capitulo 2 - metodos numericos.pdf

ndice de contedos

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Captulo 2. Mtodos Numricos............................................................53

1.Introduo.........................................................................................53

1.1.Mtodos analticos versus mtodos numricos.....................................................53

1.2.Necessidade para mtodos numricos..............................................................54

2.Soluo de uma equao no linear..........................................................54

2.1.Forma geral do problema..............................................................................54

2.2.Caractersticas do problema..........................................................................55

2.3.Razes, Zeros e Multiplicidade........................................................................55

2.4.Mtodos iterativos, erro, convergncia e paragem...............................................56

2.5.Localizao e separao das razes..................................................................59

2.6.Estimativa para o erro de truncatura...............................................................60

2.7.Critrios de paragem...................................................................................60

2.8.Aplicao dos mtodos iterativos....................................................................60

2.9.Mtodo da Bisseco...................................................................................61

2.9.1.Frmula geral......................................................................................61

2.9.2.Algoritmo para o mtodo da Bisseco........................................................61

2.10.O mtodo da Falsa Posio (ou da Corda Falsa)..................................................63

2.10.1.Frmula geral....................................................................................63

2.10.2.Algoritmo para o mtodo da Falsa Posio..................................................64

2.11.Mtodo do Ponto Fixo.................................................................................64

2.11.1.Frmula geral....................................................................................64

2.11.2.Convergncia.....................................................................................67

2.11.3.Algoritmo do mtodo do Ponto Fixo..........................................................69

2.11.4.Exemplo...........................................................................................70

- i -

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2.12.Mtodo de Newton-Raphson.........................................................................70

2.12.1.Frmula geral....................................................................................70

2.12.2.Newton-Raphson como caso particular do mtodo do Ponto Fixo.......................71

2.12.3.O mtodo de Newton-Raphson a partir da srie de Taylor...............................72

2.12.4.Ordem de convergncia do mtodo de Newton-Raphson.................................72

2.12.5.Um majorante do erro absoluto..............................................................73

2.12.6.Uma estimativa do erro absoluto.............................................................73

2.12.7.Critrios de convergncia do mtodo de Newton-Raphson...............................74

2.12.8.Algoritmo para o mtodo de Newton-Raphson.............................................74

2.12.9.Vantagens e desvantagens do mtodo de Newton-Raphson..............................75

2.12.10.Alguns casos patolgicos do mtodo de Newton-Raphson..............................75

2.13.Mtodo da Secante....................................................................................75

2.13.1.Forma geral......................................................................................75

2.13.2.Exemplo...........................................................................................76

2.13.3.Convergncia.....................................................................................77

2.13.4.Algoritmo do mtodo da Secante.............................................................77

3.Equaes lineares................................................................................78

3.1.O problema da resoluo de um sistema linear...................................................78

3.2.Mtodos diretos.........................................................................................79

3.3.Mtodos iterativos......................................................................................79

3.4.Mtodo de Jacobi.......................................................................................80

3.4.1.Frmula geral......................................................................................80

3.4.2.Algoritmo para o mtodo de Jacobi...........................................................81

3.5.Mtodo de Gauss Seidel................................................................................82

3.5.1.Frmula geral......................................................................................82

3.5.2.Algoritmo para o mtodo de Gauss Seidel....................................................82

3.6.Exemplo..................................................................................................83

3.7.Eficincia.................................................................................................84

- ii -

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4.Interpolao polinomial.........................................................................84

4.1.Polinmio interpolador.................................................................................85

4.1.1.Definio...........................................................................................85

4.1.2.Polinmios..........................................................................................87

4.1.3.Clculo de valores de um polinmio...........................................................87

4.2.Interpolao polinomial de Lagrange................................................................89

4.2.1.Frmula de Lagrange.............................................................................90

4.2.2.Frmula de Newton...............................................................................91

4.2.3.Erros de Interpolao Polinomial...............................................................95

5.Aproximao polinomial.........................................................................96

5.1.Conceitos e resultados bsicos.......................................................................97

5.1.1. Mtricas, normas e seminormas...............................................................97

5.1.2.Melhor aproximao polinomial................................................................99

5.2.Aproximao dos mnimos quadrados..............................................................100

5.2.1.Funes aproximantes e desvios..............................................................100

5.2.2. Mtodo dos Mnimos Quadrados..............................................................101

5.2.3.Reta dos Mnimos Quadrados (Reta de Regresso).........................................102

5.2.4.Parbola dos Mnimos Quadrados.............................................................104

- iii -

Captulo 2. Mtodos Numricos


1. Introduo

Os mtodos numricos so mtodos usados para a obteno de solues numricas para

problemas quando, por uma qualquer razo, no se pode ou no se deseja usar mtodos analticos.

Os mtodos numricos conduzem a solues aproximadas de um modelo ou sistema real.

1.1. Mtodos analticos versus mtodos numricos

O que uma soluo numrica e como ela difere da soluo exata (ou analtica) ?

Um mtodo analtico para resolver um dado problema matemtico qualquer mtodo baseado

rigorosamente na anlise matemtica e cuja aplicao conduz a uma soluo verdadeira (exata),

tambm conhecida como soluo analtica do problema.

Mtodo numrico para resolver um dado problema matemtico qualquer mtodo baseado na

anlise matemtica rigorosa cuja aplicao em muitos casos, pode simplesmente conduzir a uma

soluo aproximada (no exata), tambm conhecida como soluo numrica. Em alguns casos,

raros, um mtodo numrico pode dar uma soluo exata.

Por exemplo, as solues exatas da equao no linear x2 5x + 3 = 0 podem ser obtidas usando

a bem conhecida frmula quadrtica (mtodo analtico)

x1,2 =b b24ac

2a

Esta frmula d uma soluo analtica x1,2 =5 13

2

Por sua vez, a frmula de iterao (mtodo numrico)

xn+1 = 5xn3 , n=0,1,2 ,...; x0=4.5pode tambm ser aplicada para aproximar uma das duas solues da equao quadrtica dada. Este

mtodo pode somente dar uma soluo numrica aproximada.

Em geral a diferena entre solues analticas e solues numricas pode ser resumida na

seguinte frase: solues analticas so exatas enquanto solues numricas so aproximadas.

- 53 -


1.2. Necessidade para mtodos numricos

Porqu algum aprenderia mtodos numricos? Os mtodos numricos so necessrios?

A partir da distino apresentada entre os mtodos analticos e os mtodos numricos,

facilmente algum pode ser levado a concluir que suficiente usar mtodos analticos na resoluo

de problemas matemticos. Por outras palavras, no h necessidade de aprender mtodos

numricos pois eles conduzem somente a solues aproximadas. Tal concluso enganadora.

Precisamos de aprender mtodos numricos pelas seguintes razes:

Existem situaes em que prefervel um mtodo numrico ao mtodo analtico, ainda que este

exista, como por exemplo se a soluo para um problema envolve vrios clculos, os quais

podem ser muito demorados.

A maior parte dos problemas concretos so, em geral, complexos e envolvem fenmenos no

lineares, pelo que comum os conhecimentos de matemtica no serem suficientes para a

descoberta de uma soluo para um problema real.

Quando os dados do problema so os de uma tabela de valores, qualquer tratamento (a sua

diferenciao ou integrao, por exemplo) ter de ser feito atravs de um mtodo numrico.

Uma vez que, em geral, o modelo matemtico real demasiado complexo para ser tratado

analiticamente, deve-se construir modelos aproximados e obter solues aproximadas.

Alterar e simplificar o modelo por forma a torn-lo tratvel, e assim obter uma soluo exata de

um sistema ou modelo aproximado. Tal soluo suspeita pelo facto de ocorrerem simplificaes

do modelo, pelo que tero que fazer vrias experincias para ver se as simplificaes so

compatveis com os dados experimentais.

Usar mtodos numricos e assim produzir solues aproximadas para o sistema real. Tais

solues so apenas aproximaes que podem ser melhoradas custa de esforo computacional.

2. Soluo de uma equao no linear

2.1. Forma geral do problema

Uma equao no linear na varivel x representada na forma

f(x) = 0,

em que f : R R uma funo contnua no linear em x R. A varivel x diz-se independente e a

varivel y = f(x) a varivel dependente. Resolver a equao f(x) = 0 consiste em calcular as suas

razes, ou determinar os zeros da funo f(x). Na representao grfica da funo f(x) no plano

XOY, os pontos de interseo da curva f(x) com o eixo dos XX definem as razes reais de f(x) = 0.

Pode-se esperar que uma equao no linear tenha razes reais e/ou complexas.

- 54 -


2.2. Caractersticas do problema

Existem dois tipos de de equaes no lineares: as algbricas e as transcendentes.

As equaes algbricas envolvem apenas as operaes aritmticas bsicas, de que a forma

polinomial um caso particular,

pn (x) = anxn +an1x

n1 + ...+ a1x + a0 = 0

sendo os coeficientes ai, i = 0, , n, nmeros reais ou complexos. Destas fazem parte as

diofantinas, que so equaes polinomiais com apenas solues inteiras, e que nem sempre tm

soluo; por exemplo, xn + yn = zn no tem soluo inteira para n > 2. Tambm as equaes

polinomiais lineares, quadrticas, cbicas e qurticas fazem parte deste conjunto de equaes, as

quais tm frmulas resolventes, umas mais complicadas do que outras.

As equaes transcendentes envolvem tambm funes trigonomtricas, exponenciais,

logartmicas, entre outras, para alm das polinomiais. So exemplos de equaes transcendentes,

f (x) = x ex = 0,

f (x) = x + ln(x ) = 0,

f (x) = (2x + 1)24 cos(x ) = 0.

Se, para um dado valor da varivel independente x, pretende-se calcular o correspondente valor de

f(x), o problema diz-se direto. No entanto, se o objetivo determinar o(s) valor(es) de x que

satisfaz(em) a equao f(x) = 0, ento o problema diz-se inverso. O problema direto no oferece

qualquer dificuldade, apenas o problema inverso requer, na grande maioria dos casos, a utilizao

de um mtodo numrico.

2.3. Razes, Zeros e Multiplicidade

Se f(a) = 0 diz-se que a uma raiz da equao f(x) = 0 ou que a um zero da funo f(x):

a) zero simples: f(a) = 0

b) zero duplo: f(a) = f'(a) = 0

c) zero triplo: f(a) = f'(a) = f''(a) = 0

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Definio:

A multiplicidade de um zero a da funo f(x) o supremo m dos valores k tais que,

limx

f (x) xk

= c <

Se m = 1 o zero diz-se simples, se m = 2 o zero diz-se duplo,

Exemplos:

a = 0 um zero simples da funo f(x) = sin(x) porque,

limx 0

sin(x )x

= 1

a = 0 um zero duplo da funo f(x) = 1 cos(x) porque,

limx 0

1cos(x )x 2

= 12

Nota: a multiplicidade de um zero pode no ser um nmero inteiro, nem sequer finita.

Teorema:

Se a for um zero da funo f(x) e se f(x) for m vezes diferencivel em a ento a multiplicidade

de a m se e s se,

f () = f ' () = ... = f(m1)() = 0, mas fm() 0.

Exemplo 1:

para f(x) = sin(x), f(0) = 0 mas f'(0) 0, portanto m = 1.

Exemplo 2:

para f(x) = 1 - cos(x), f(0) = f'(0) = 0 mas f''(0) 0, portanto m = 2.

2.4. Mtodos iterativos, erro, convergncia e paragem

A maior parte dos mtodos numricos para a resoluo da equao no linear f(x) = 0 pertence

classe dos mtodos iterativos.

Define-se sequncia de nmeros, { xk } k = 1, 2, , como sendo uma transformao do conjunto dos

inteiros positivos no conjunto dos reais. O nmero real associado a k designado por xk. Uma

sequncia diz-se definida por iterao se a funo F (na expresso em baixo) independente de k.

A sequncia resultante

xk = F(xk1, ...)

chama-se sequncia iterativa gerada por F.

Este processo iterativo gera uma sucesso de aproximaes xk, cada uma com erro associado,

ek = a - xk

sendo a um ponto fixo da equao, isto , a = F(a).

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A sequncia iterativa diz-se convergente se

limk

xk =

ou seja,

limk

ek = 0.

Um mtodo iterativo definido por uma equao iterativa, com a qual se constri aproximaes

soluo do problema. A implementao da equao iterativa obriga ao conhecimento de uma

aproximao inicial e definio de um conjunto de condies que garantam que a aproximao

calculada, numa certa iterao, se encontra suficientemente prxima da soluo. Quando estas

condies forem verificadas, pode-se parar o processo. Desta forma, antes de se iniciar o processo

iterativo, deve-se ter resposta para as seguintes questes:

1. Interessa saber se o mtodo iterativo converge ou no para a soluo procurada. Desta forma,

devem ser analisadas as condies necessrias e/ou suficientes de convergncia do mtodo.

2. Tendo a garantia da convergncia do mtodo, deve-se saber qual a razo de convergncia:

seja {xk} uma sucesso convergente para a; se existirem constantes positivas P e C tais que,

limk

xk+1 xk P

= C

ento diz-se que a sucesso {xk} convergente para a de ordem P com uma constante de

convergncia assimpttica igual a C:

a) P = 1, convergncia linear/1 ordem (C < 1); dgitos ganhos por iterao: constante.

b) P > 1, convergncia superlinear; dgitos ganhos por iterao: aumenta.

c) P = 2, convergncia quadrtica/2 ordem; dgitos ganhos por iterao: duplica.

Quanto maior for a ordem de convergncia de um mtodo iterativo menor ser, em princpio,

o nmero de iteraes necessrias para atingir uma dada preciso.

No entanto a rapidez depende tambm do esforo computacional requerido em cada iterao.

3. A implementao de um mtodo iterativo exige a realizao de um nmero infinito de

operaes para se chegar soluo. No entanto, face aos recursos limitados disponveis, o

processo iterativo tem de ser terminado aps um nmero finito de operaes. Esta paragem

tem de ser feita com a ajuda de condies que, sendo verificadas, do melhor garantia de

que se est perto da soluo. O valor obtido na ltima iterao a melhor aproximao

calculada. Estas condies definem o que designado por critrio de paragem de um processo

iterativo.

Os mtodos para resolver o problema f(x) = 0 podem ser classificados em dois grandes grupos: os

mtodos de encaixe e os mtodos de intervalo aberto.

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Os primeiros caracterizam-se por definir, em cada iterao, um intervalo que contm a raiz e

construir, para a iterao seguinte, outro intervalo encaixado neste e que continue a conter a raiz.

Os intervalos, como aparecem encaixados uns nos outros, tm amplitudes sucessivamente menores.

Como exemplos de mtodos de encaixe so o da Bisseco e o da Falsa Posio.

No grupo dos mtodos de intervalo aberto no necessrio definir um intervalo que contenha a

raiz. O processo iterativo pode ser iniciado com uma nica aproximao raiz, ou mesmo duas. A

convergncia destes mtodos depende dos valores iniciais atribudos na primeira iterao. Deste

grupo de mtodos fazem parte o do Ponto Fixo, o de Newton-Raphson e o da Secante.

Independentemente do mtodo utilizado, muitas vezes possvel obter um majorante para o

erro.

Teorema:

Seja a a raiz exata e xk um valor aproximado da raiz da equao

f(x) = 0 com a, xk [a, b].

Se f(x) for diferencivel em [a, b] e |f'(x)| m > 0, x [a, b]

ento,

xk f (xk)

m

Demonstrao:

Pelo teorema do Valor Mdio,

f ()f (xk)

xk f '(), ( , xk)

aplicando mdulo,

xk f (xk) f ' ()

(f(a) = 0)

e portanto,

xk f (xk)

m (fazendo m = |f'()|.

Nota:

Neste texto, apenas sero abordados os mtodos iterativos ou de aproximaes sucessivas.

- 58 -


2.5. Localizao e separao das razes

Conhecer uma aproximao inicial necessrio para aplicar um mtodo iterativo na resoluo de

uma equao no linear. Alm disto, para certos mtodos, para haver convergncia a aproximao

inicial deve estar suficientemente prxima da raiz. Deste trabalho de anlise feito priori depende

do sucesso na resoluo numrica do problema proposto. Desta forma, antes de se aplicar um

mtodo iterativo para resolver a equao f(x) = 0, necessrio obter uma aproximao inicial, o

que exige a separao das possveis razes em intervalos to pequenos quanto possvel.

O mtodo mais prtico consiste em analisar a representao grfica de f(x), ou da combinao

dos termos que formam a sua expresso analtica. Se o grfico de f pode ser esboado facilmente,

ento so obtidas geometricamente estimativas para os zeros. Se a equao f(x) = 0 pode ser

escrita na forma g(x) = h(x) onde g e h so facilmente representadas graficamente, os pontos a tais

que g(a) = h(a) verificam f(a) = 0.

Por exemplo, para f(x) = |x| - ex, primeiro, verificamos que

existe um ponto de interseo de |x| com ex no intervalo (-1, 0). Depois, confirmamos essa

observao, com base em dois resultados:

1. Se f(x) uma funo real e contnua em [a, b], sendo a e b nmeros reais, tendo f(a) e f(b)

sinais contrrios (f(a).f(b) < 0), ento existe pelo menos uma raiz real entre a e b.

2. Se f'(x) existe, contnua e mantm o sinal no intervalo (a, b), ento a raiz nica.

Para o exemplo: f(x) C((-1, 0))

f(-1) = 0.632 > 0 e f(0) = -1 < 0

f'(x) = -1 ex < 0 em todo o intervalo (-1, 0)

Chamam-se nmeros de Rolle da equao f(x) = 0, definida em D R, ao conjunto dos pontos

fronteira de D e dos zeros da funo derivada de f. Ordenados por ordem crescente, entre dois

nmeros de Rolle consecutivos existe no mximo uma raiz real da equao.

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2.6. Estimativa para o erro de truncatura

Seja { xk } k = 1,2,..., uma sequncia de aproximaes convergindo para uma raiz real simples a de

f(x) = 0, obtidas usando um mtodo iterativo. Deduz-se uma expresso que d um limite para o erro

na aproximao xk para a.

Pelo teorema do valor mdio, f (xk)f () = (xk ) f ' (k),

sendo k [min{xk ,}, max {xk ,}]. Ento, k = xk verifica k =f (xk)f ' (k)

.

Se f contnua em [a, b] contendo a e f'(a) 0 ento existe Nr(x) = [ a - r, a + r ] [a, b] tal

que x Nr(a). Alm disso, existe uma constante M1 > 0 sendo |f'(x)| M1 para x Nr(a). Dado que

{ xk } converge para a existe k' tal que se k > k' , |xk a | < r, e consequentemente |k a| < r, isto

, k Nr(a) . Donde,

k f (xk)

M1.

2.7. Critrios de paragem

Note-se que h duas possveis interpretaes computacionais para o problema posto com a

equao f(x) = 0. Uma calcular um valor xk muito prximo de a onde f(a) = 0. Outra calcular xk

tal que |f(xk)| muito pequeno (muito prximo de zero).

Assim, os algoritmos de mtodos iterativos para calcular uma raiz de f(x) = 0 envolvem trs

parmetros de paragem: 1, 2 e kmax. O efeito parar o processo aps o clculo de xk quando

xkxk1 1 xk (ou xk xk1 1) ou f (xk) 2 ou k = kmax.O primeiro parmetro, e1, serve para verificar a proximidade de xk em relao a a (um zero da

funo), o segundo, e2, para verificar se f(xk) est prximo de 0 (f(xk) 0), e o terceiro, k, para

controlar o nmero de iteraes (se atingiu o nmero mximo de iteraes predefinido, kmax).

2.8. Aplicao dos mtodos iterativos

Na aplicao de um mtodo iterativo, deve ter-se em conta as seguintes quatro questes:

1. Estimativa inicial: como escolher x0 ?

2. Convergncia de { xk }: convergente ? converge para uma soluo?

3. Critrio de paragem (um dos trs, dois dos trs ou os trs): xk prximo de s ? f(xk) prximo

de 0 ? Nmero de iteraes ?

4. Rapidez de convergncia: quantas iteraes so necessrias ?

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2.9. Mtodo da Bisseco

2.9.1. Frmula geral

Este mtodo baseado no teorema do valor intermdio e consiste no seguinte: partindo de um

intervalo (a, b) que contm a raiz, construir uma sucesso de intervalos, sendo cada um deles o

semi-intervalo do anterior que contm a raiz.

Seja [a, b] D e f(a).f(b) < 0. Ento, (a, b) contm uma raiz real de f(x) = 0. Seja I0 = [a, b] e x0

o ponto mdio de I0. Se f(a).f(x0) < 0 ento (a, x0) contm uma raiz. Se f(a).f(x0) > 0 ento (x0, b)

contm uma raiz. Suponha-se que f(a).f(x0) < 0. Seja I1 = [a, x0] e seja x1 o ponto mdio de I1. Se

f(a).f(x1) < 0 ento (a, x1) contm uma raiz. Se f(a).f(x1) > 0 ento (x1, x0) contm uma raiz.

2.9.2. Algoritmo para o mtodo da Bisseco

Objetivo: Calcular uma raiz real de f(x) em [a,b] a (a,b)

Parmetros de entrada: a, b, e1, e2 R+, kmax N e f(a).f(b) < 0

fa f(a)

k 0

repita

m (a + b) / 2

fm f(m)

se fa.fm < 0 ento { a (a, m) }

b m

seno { a (m, b) }

a m

fa fm

k k + 1

se (|a b| < e1) ou (|fm| < e2) ou (k > kmax) ento interromper

fimrepita

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{ a (a, b) e |a b| < e1 ou |fm| < e2 ou k > kmax }

Note-se que:

S necessrio calcular o valor de f(x) uma vez por iterao.

Em aritmtica de reais extremamente improvvel atingir o valor exato da raiz, pelo que no

vale a pena testar a igualdade.

A sequncia de sub-intervalos {(ak, bk)} foi representada pelos sucessivos valores das variveis

a e b.

Para um dado erro absoluto e, em cada iterao k, utilizou-se o teste:

bkak 2

1

de modo a que o erro cometido seja inferior semi-amplitute do intervalo.

Deste modo, sendo ck os sucessivos pontos mdios,

c1 ba

2; c2

b a 22

; ... ; cn b a

2n

o que nos permite estimar o nmero n de iteraes necessrias, para garantir uma aproximao da

raiz com um erro absoluto mximo de e:

b a

2n 1

ou seja,

2n b a1

n

ln ba1

ln 2

Por exemplo, o mtodo da bisseco aplicado equao

f(x) = |x| - ex, com e1 = 10-6

e tomando [a, b] = [-1, 0] produziu os seguintes resultados:

k ak bk k ak bk

1 -1.000000 0.000000 11 -0.567383 -0.5664062 -1.000000 -0.500000 12 -0.567383 -0.5668953 -0.750000 -0.500000 13 -0.567383 -0.5671394 -0.625000 -0.500000 14 -0.567261 -0.5671395 -0.625000 -0.562500 15 -0.567200 -0.5671396 -0.593750 -0.562500 16 -0.567169 -0.5671397 -0.578125 -0.562500 17 -0.567154 -0.5671398 -0.570313 -0.562500 18 -0.567146 -0.5671399 -0.570313 -0.566406 19 -0.567146 -0.56714210 -0.568359 -0.566406 20 -0.567144 -0.567142

- 62 -


A raiz da equao em estudo encontra-se em (-0.567144, -0.567142). O ponto mdio deste

intervalo -0.567143 um valor aproximado da raiz com um erro absoluto que no excede 10 -6. O

processo parou na iterao k = 20, em que

b a

2n= 0.00000095,

ou seja,

n

ln ba1

ln 2= 19.931569.

As vantagens do mtodo da Bisseco so:

converge sempre (desde que exista raiz no intervalo inicial);

possibilidade de prever um majorante para o erro cometido ao fim de um certo nmero de

iteraes;

custo computacional de cada iterao muito baixo.

As desvantagens do mtodo da Bisseco so:

A maior desvantagem reside no facto da sua convergncia ser muito lenta (muitas iteraes)

quando comparada com a dos outros mtodos. A ordem de convergncia do mtodo da

Bisseco linear, com constante igual a 1/2.

2.10. O mtodo da Falsa Posio (ou da Corda Falsa)

2.10.1. Frmula geral

Este mtodo pode ser encarado como um melhoramento do mtodo da Bisseco.

Em vez de se determinar o ponto mdio, determinado um ponto ck como a interseo da

secante que passa pelos pontos (ak, f(ak)) e (bk, f(bk)) com o eixo dos XX.

- 63 -


A partir da equao da secante,

yf (bk) =f (bk) f (ak)

bk ak(x bk)

e fazendo y = 0 obtm-se,

ck = bk f (bk)

f (bk)f (ak)(bk ak)

Note-se que os sucessivos clculos desta frmula no provocam efeitos de cancelamento

subtrativo pois f(bk) e f(ak) tm sinais contrrios.

2.10.2. Algoritmo para o mtodo da Falsa Posio

Objetivo: Calcular uma raiz real de f(x) em [a,b] a (a,b)

Parmetros de entrada: a, b, e1, e2 R+, kmax N e f(a).f(b) < 0

fa f(a)

k 0

repita

m = b f (b)f (b)f (a)

(b a )

fm f(m)

se fa.fm < 0 ento { a (a, m) }

b m

seno { a (m, b) }

a m

fa fm

k k + 1

se (|a b| < e1) ou |fm| < e2) ou (k > kmax) ento

interromper

fimrepita

{ a (a, b) e |a b| < e1 ou |fm| < e2 ou k > kmax }

2.11. Mtodo do Ponto Fixo


Pretende-se determinar a soluo a de uma equao no linear da forma,

x = g(x).

Dada uma equao na forma f(x) = 0 sempre possvel fazer,

x = x + f(x), em que g(x) = x + f(x).

- 64 -


Mais geralmente pode-se considerar,

g(x) = x + c(x).f(x)

onde c(x) uma funo contnua, no nula e limitada no intervalo [a,b], contendo a raiz a de f(x).

Definio:

Um ponto fixo de uma funo g(x) um nmero real a tal que a = g(a).

Dada uma aproximao inicial x0 [a, b], o mtodo do Ponto Fixo consiste numa sucesso de

aproximaes { xk } a tal que,

xk+1 = g(xk) , k = 0, 1, 2, ...

Geometricamente, os pontos fixos de uma funo y = f(x) so os pontos de interseco de

y = g(x) com y = x.

Assim, se f(x) = 0 x = g(x), determinar a raiz de f(x) = 0 em [a, b] o mesmo que procurar o

ponto fixo de g(x) em [a, b].

Por exemplo, o clculo de (a) consiste na sucesso de aproximaes:

xk+1 =12 ( axk + xk)

Experimente-se para a = 16, comeando com x0 = 10:

0 10.00000000

1 5.80000000

2 4.27931034

3 4.00911529

4 4.00001036

5 4.00000000

- 65 -


O mtodo utilizado tem por base a equao,

x = g (x ) = 12 (ax + x)

que equivalente a x2 = a e consiste na pesquisa de um ponto fixo da funo g(x).

Para a = 16 a funo g(x) tem dois pontos fixos, em x = 4 e x = -4.

E se partir-se de uma estimativa inicial negativa, o mtodo encontra a raiz negativa de 16.

0 -10.000000001 -5.800000002 -4.279310343 -4.009115294 -4.000010365 -4.00000000

Como funciona ?

A partir de uma aproximao inicial x0, uma sucesso de aproximaes da forma xk+1 = g(xk)

converge para um ponto fixo da funo g(x).

Porque funciona ?

Teorema:

Seja g(x) uma funo contnua e {xk} uma sucesso de aproximaes gerada pelo mtodo do

Ponto Fixo xk+1 = g(xk). Se limk

xk = ento a um ponto fixo de g(x).

Quando existe ponto fixo ?

Teorema:

Seja g(x) C([a, b]). Se para todo o x [a, b], se verifica que g(x) [a, b] (isto , se g for uma

contrao) ento g(x) tem pelo menos um ponto fixo em [a, b].

- 66 -


Quando nico o ponto fixo ?

Teorema:

Se g'(x) est definida em [a, b] e existe uma constante positiva L < 1, com |g'(x)| L < 1 para

todo o x [a, b], ento g(x) tem um nico ponto fixo em [a, b].

2.11.2. Convergncia

Quando converge o mtodo do ponto fixo?

Teorema do Ponto Fixo:

Sejam g(x), g'(x) C([a, b]):

g(x) [a, b] para todo o x [a, b],

|g'(x)| < 1 para todo o x [a, b],

x0 [a, b].

Ento a sucesso { xk } gerada por xk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, ...

converge para o nico ponto fixo a [a, b].

Como converge o mtodo do ponto fixo ?

Convergncia montona quando 0 < g'0(x) < 1:

- 67 -


Convergncia oscilante quando -1 < g'0(x) < 0 :

Quando diverge o mtodo do ponto fixo ?

Teorema:

Seja g : D R R. Se g, g' C(D), g(x) com um ponto fixo a [a, b] D, |g'(x)| > 1 para todo

o x D, x0 [a, b] (com x0 a). Ento a sucesso { xk } gerada por xk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, ... ,

no converge para o ponto fixo a [a, b].

Como diverge o mtodo do ponto fixo ?

Divergncia montona quando g'(x) > 1:

- 68 -


Divergncia oscilante quando g'(x) < -1 :

Quando converge, qual a ordem de convergncia do mtodo do ponto fixo ?

Consideremos que g(x), g'(x) C([a, b]) e que o mtodo do ponto fixo convergente para a.

1) No caso de g'(a) 0, e como |g'(a)| < 1, ento o mtodo do ponto fixo apresenta ordem de

convergncia linear sendo |g'(a)| a constante assimpttica de convergncia.

2) Para o caso de g'(a) = 0 e g''(a) 0, o mtodo do ponto fixo apresenta ordem de

convergncia quadrtica sendo |g''(a)|/2 a constante assimpttica de convergncia.

3) De um modo geral, assumindo que g(x) Cn([a, b]), se

g'(a) = g''(a) = ... = g(n-1)(a) = 0 , mas g(n)(a) 0

prova-se que o mtodo do Ponto Fixo apresenta ordem de convergncia n.

2.11.3. Algoritmo do mtodo do Ponto Fixo

Majorao do erro:

xn+1 1L

L xn+1xnCritrio de paragem:

n+1 =1L

L xn+1xn 1 xn+1 1Objetivo: Calcular raiz real simples de f(x) = 0,

Parmetros de entrada: x0, e1, kmax e a garantia de convergncia

k 0

repita

k k + 1

x1 g(x0)

= x1x0 x0 x1

- 69 -


se (d e1) ou (k = kmax) ento interromper

fimrepita

2.11.4. Exemplo

Determinar, com um erro absoluto inferior a 5x10-5, o zero da funo f(x) = 1 + x + ex no

intervalo [-2, -1].

k xk xk+1 = g(xk) d

0 -2.00000 -1.13534 +5.0 x 10-1

1 -1.13534 -1.32131 +1.1 x 10-1

2 -1.32131 -1.26678 +3.2 x 10-2

3 -1.26678 -1.28174 +8.7 x 10-3

4 -1.28174 -1.27756 +2.4 x 10-3

5 -1.27756 -1.27872 +6.8 x 10-4

6 -1.27872 -1.27839 +1.9 x 10-4

7 -1.27839 -1.27848 +5.2 x 10-5

8 -1.27848 -1.27846 +1.5 x 10-5

2.12. Mtodo de Newton-Raphson


Em cada iterao xk, a curva y = f(x)

aproximada pela sua tangente e

a interseo desta com o eixo dos XX

a nova aproximao xk+1.

A equao tangente curva no

ponto (xk, f(xk)) ,

y = f(xk) + f'(xk) (x - xk)

e a sua interseo com o eixo

dos XX determina a nova aproximao,

xk+1 = xk f (xk)

f ' (xk)

A partir de uma aproximao inicial x0 esta frmula gera uma sucesso { xk } que, em certos

casos, dever convergir para um zero da funo.

Por exemplo, para a funo f(x) = x2 a,

xk+1 = xk f (xk)

f '(xk)=xk

xk2a

2 xk=

12 ( axk + xk)- 70 -


e para o caso particular de a = 16, com a aproximao inicial x0 = 10,

a sucesso das aproximaes tende para um zero de f(x) = x2 16.

k xk

0 10.00000000 1 5.80000000 2 4.27931034 3 4.00911529 4 4.00001036 5 4.00000000

2.12.2. Newton-Raphson como caso particular do mtodo do Ponto Fixo

Dada uma equao f(x) = 0, podemos passar para a forma x = g(x) atravs da relao,

g(x) = x + c(x) f(x)

onde c(x) uma funo contnua, no nulo e limitada no intervalo [a,b], contendo a raiz a de f(x).

Pretendemos definir c(x) de modo a que o mtodo do Ponto Fixo (no caso de convergir) tenha

uma ordem de convergncia pelo menos quadrtica.

Assumindo que f(x) e c(x) so diferenciveis em [a, b],

g'(x) = 1 + c'(x) f(x) + c(x) f'(x)

e calculando no ponto a,

g'(a) = 1 + c'(a) f(a) + c(a) f'(a).

Para que a convergncia seja quadrtica, devemos ter g'(a) = 0. E como f(a) = 0 ento,

c () = 1f ' ()

Assim, basta escolher,

c (x) = 1f ' (x)

assumindo que f'(x) 0 em todo o intervalo [a, b].

- 71 -


Substituindo, temos a nova forma,

g (x) = x f (x)f '(x)

que corresponde ao mtodo de Newton-Raphson,

xk+1 = xk f (xk)

f '(xk), k=0,1,2, ...

e que, por esta construo, se convergir quadrtico.

2.12.3. O mtodo de Newton-Raphson a partir da srie de Taylor

Suponha-se que f C2([a, b]), que o Mtodo de Newton-Raphson convergente e considere-se o

desenvolvimento de Taylor de ordem 1 em torno de xk :

f (x) = f (xk)+ f ' (xk)(xxk)+f ' '(k)

2 (xxk)2 , k (x ,xk)

Calculando em x = a,

0 = f () = f (xk)+ f ' (xk)(xk)+f ' '(k)

2 ( xk)2 , k ( ,xk)

donde,

= (xk f (xk)f '(xk))( f ' '(k)2f '(xk) (xk)2)e assim obtemos a nova aproximao xk+1 e o erro cometido.

Note-se que assumiu-se que |a - xk| pequeno, para todo o k, incluindo a aproximao inicial k=0.

2.12.4. Ordem de convergncia do mtodo de Newton-Raphson

Teorema:

A razo de convergncia do mtodo de Newton-Raphson dois (convergncia quadrtica).

Prova-se, pela expresso anterior,

xk+1 = f ' ' (k)

2 f ' (xk)(xk)2

que, no caso de o mtodo convergir,

limk

xk+1xk 2

=f ' ' () 2 f ' ()

e a convergncia quadrtica com constante de convergncia assimpttica igual a 12f ' ' ()f ' ()

- 72 -


Observao:

Se o zero de f no for simples a ordem de convergncia do mtodo degrada-se. Mostra-se que,

no caso dos de multiplicidade 2 a convergncia apenas linear.

2.12.5. Um majorante do erro absoluto

Pela expresso anterior,

xk+1 = f ' ' (k)

2 f ' (xk)(xk)

2 , k ( , xk)

tem-se

ek+1 =f ' '(k)

2f '(xk)ek 2

Se identificar-se um majorante da segunda derivada

M2 f ' '(x), x[a,b]

e um minorante da primeira derivada, para todo o intervalo,

0 < m1 f '(x), x[a,b]

simples calcular

ek+1 M2

2m1ek 2.

2.12.6. Uma estimativa do erro absoluto

Assumindo que f C([a, b]) e que o Mtodo de Newton-Raphson convergente, pelo Teorema do

Valor Mdio,

f (xk)f ()

xl= f '(k), k ( , xk)

donde, assumindo ainda que f ' (x) 0, x ( , xk)

xk =f (xk)

f ' (k).

Por outro lado, da expresso do prprio mtodo,

xkxk+1 =f (xk)

f '(xk)

Para k suficientemente grande, xk+1 a, donde, k xk, e portanto,

xkxk+1 xk

Assim, podemos estimar,

ek xk+1xk

- 73 -


Em termos algortmicos, mais cmodo calcular,

ek1 xk xk1 De facto, para o exemplo anterior

k xk |ek| |ek-1| |xk - xk-1|

0 10.00000000 6.00000000 1 5.80000000 1.80000000 6.00000000 4.20000000 2 4.27931034 0.27931034 1.80000000 1.52068966 3 4.00911529 0.00911529 0.27931034 0.27019506 4 4.00001036 0.00001036 0.00911529 0.00910492 5 4.00000000 0.00000000 0.00001036 0.00001036

2.12.7. Critrios de convergncia do mtodo de Newton-Raphson

Teorema:

Seja f C2([a, b]). Se

(i) f(a).f(b) < 0

(ii) f'(x) 0 para todo o x [a, b]

(iii) f''(x) no muda de sinal em [a, b]

(iv) f (a)f ' (a) < ba e f (b)f ' (b) < b aEnto para qualquer x0 [a, b], a sucesso { xk } gerada pelo mtodo de Newton-Raphson

converge para o nico zero de f em [a, b].

Observaes:

(i) + (ii) garantem a existncia de uma s soluo em [a, b];

(ii) + (iii) garantem que a funo montona, convexa ou cncava;

(iv) garante que as tangentes curva em (a, f(a)) e (b, f(b)) intersetam o eixo dos XX em (a, b).

2.12.8. Algoritmo para o mtodo de Newton-Raphson

Objetivo: Calcular raiz real simples de f(x) = 0

Parmetros de entrada: x0, e1, e2, kmax e garantia de convergncia

k 0

f0 f(x0)

repita

d f0 / f'(x0)

x1 x0 d

k k + 1

x0 x1

- 74 -


f0 f(x1)

se (|d| < e1|x0|) ou (|f0| < e2) ou (k = kmax) ento

interromper

fimrepita

2.12.9. Vantagens e desvantagens do mtodo de Newton-Raphson

Vantagens:

Quando converge, tem convergncia quadrtica.

Necessita apenas de um ponto, para estimativa inicial.

Desvantagens:

Exige uma boa aproximao inicial. Caso contrrio pode divergir, ou encontrar outra raiz.

Exige o clculo da derivada em cada iterao, o que pode ser lento ou mesmo impossvel.

Exige que a derivada (no denominador) nunca se anule. Note que, mesmo para valores da

derivada prximos de zero, a interseco da tangente com o eixo dos XX um ponto muito

afastado...

2.12.10. Alguns casos patolgicos do mtodo de Newton-Raphson

Para a funo f(x) = x3 2x + 2, se escolhermos x0 = 0, o mtodo calcula x1 = 1, gerando a

sucesso de aproximaes: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

Para a funo f (x) = 3x o mtodo gera uma sucesso tal que, xk+1 = - 2 xk

Para a funo f (x) = x, obtm-se xk+1 = - xk de modo que, para qualquer x0 , o mtodo gera a

sucesso: x0 , - x0 , x0 , - x0 , x0 , - x0 ,

Todo o ponto de inflexo provoca um afastamento da raiz.

...

2.13. Mtodo da Secante

Uma desvantagem da utilizao do mtodo de Newton-Raphson a necessidade de calcular a

derivada da funo envolvida. Quando a expresso da derivada complexa e o clculo de valores

da derivada pouco eficiente, quando comparado com o clculo de valores da funo, o uso do

mtodo da Secante poder ser preferido ao do mtodo de Newton-Raphson.

2.13.1. Forma geral

Para calcular a raiz da equao f(x) = 0, o mtodo da Secante baseia-se na aproximao de f(x)

por uma reta, na vizinhana da raiz. O ponto de interseo da reta com o eixo dos XX considerado

como aproximao raiz de f(x) = 0. Se ainda estiver longe da soluo a, o processo repetido

iterativamente.

- 75 -


Para iniciar o processo iterativo so escolhidos dois pontos x0 e x1. O intervalo definido por eles

no necessita de conter a raiz. O ponto de interseo da reta, que passa pelos dois pontos, com o

eixo dos XX obtm-se a partir da equao iterativa, cuja sua forma geral

xk+1 = xk (xkxk1) f (xk)f (xk)f (xk1)

, k=1,2, ....

Embora sejam necessrios dois pontos para iniciar o processo iterativo, apenas um novo ponto e

o correspondente valor da funo so calculados em cada iterao. O grfico seguinte ilustra este

processo iterativo.

Uma vez que podem ocorrer situaes de overflow, se numa iterao f(xk) f(xk-1), aconselha-

se a implementao da seguinte frmula:

xk+1 = xk (xk1xk)

f (xk)

f (xk1)

1f (xk)

f (xk1)

,

em vez da frmula anterior, caso o valor de |f(xk-1)| seja superior a |f(xk)|; seno, trocam-se os

valores de xk por xk-1, bem como os correspondentes valores da funo, antes de utilizar esta

ltima frmula.

2.13.2. Exemplo

Determinar aproximaes para a raiz real da funo x3 2x 5 = 0, tomando como aproximaes

iniciais os pontos x0 = 3 e x1 = 2. Usando o mtodo da Secante, foi calculada a seguinte

sequncia de iteraes convergindo para a raiz real daquela funo:

x2 = 2.058824,

x3 = 2.096559,

- 76 -


x4 = 2.094511,

x5 = 2.094511,

x6 = 2.094552,

x7 = 2.094552.

2.13.3. Convergncia

Para que a sequncia gerada por este mtodo convirja para uma raiz real simples de f(x) , em

geral, necessrio que as aproximaes iniciais, x0 e x1, estejam suficientemente prximas da raiz.

Teorema:

Seja f C2([a,b]) e a uma raiz simples de f(x) = 0 em [a,b]. Ento existe r > 0 tal que a sequncia

{ xk } k = 2,3,... gerada pelo mtodo da Secante converge sempre que |xi - a| < r (i = 0,1).

As condies do teorema anterior (relacionado com a convergncia do mtodo de Newton-

Raphson) so tambm suficientes para estabelecer convergncia para o mtodo da Secante.

Teorema:

Seja f C2([a,b]). Se (i), (ii), (iii) e (iv) do teorema sobre convergncia do mtodo de Newton-

Raphson se verificam, ento para x0, x1 [a,b] a sequncia gerada pelo mtodo da Secante

converge para a nico zero de f em [a,b].

Ordem de convergncia do mtodo da Secante

Teorema:

A ordem de convergncia deste mtodo ((1+(5))/2) = 1.618... (convergncia superlinear).

2.13.4. Algoritmo do mtodo da Secante

Objetivo: Clculo de uma raiz real simples de f(x) = 0,

Parmetros de entrada: x0, x1, e1, kmax e garantia de convergncia

k 0

f0 f(x0)

f1 f(x1)

repita

se |f1| > |f2| ento

trocar(x0, x1)

trocar(f0, f1)

d ( (x0 x1) (f1/f0) / (1 f1/f0) )

x2 x1 d

- 77 -


k k + 1

x0 x1

x1 x2

f0 f1

f1 f(x2)

se (|d| < e1|x1|) ou (k = kmax) ento interromper

fimrepita

3. Equaes lineares

Neste captulo ser abordado o problema de resoluo de sistemas de equaes lineares, o qual

um dos problemas que na prtica ocorre com maior frequncia. Os mtodos para resolver este

tipo de problemas so classificados em duas classes: mtodos diretos e mtodos iterativos. Neste

documento, apenas sero abordados com mais detalhe os mtodos iterativos.

3.1. O problema da resoluo de um sistema linear

Pretende-se calcular a soluo de um sistema de equaes lineares, cuja forma geral ,

{a11x1 + a12 x2+ ...+ a1n xn = b1a21x1+ a22 x2+ ...+ a2n xn = b2

...an1 x1+ an2 x2+ ...+ ann xn = bn

onde

x1, x2, ..., xn so as incgnitas do sistema,

aij (i, j = 1,2, ..., n) so os coeficientes do sistema,

b1, b2, ..., bn so os segundos membros do sistema.

Problema:

Pretende-se determinar valores para x1, x2, ..., xn de modo que as n equaes do sistema em

cima seja satisfeitas simultaneamente.

O sistema pode tambm escrever-se na sua forma matricial

A x = b

onde,

A = [a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann], x = [x1x2...xn], b = [b1b2...bn]- 78 -


sendo A = (aij) a matriz dos coeficientes, b = (bi) o vetor dos termos independentes e x = (xi) o vetor

das incgnitas.

Definio:

Diz-se que um sistema de equaes lineares determinado se tem uma nica soluo.

Teorema:

Um sistema de equaes lineares (escrito na sua forma matricial) determinado se e s se

verificar qualquer uma das duas condies (equivalentes):

1) A-1 (inversa de A) existir (A invertvel)

2) det A 0

Nota:

Ao longo deste documento ser assumido que os sistemas de equaes considerados tm soluo

nica.

3.2. Mtodos diretos

Teoricamente, os mtodos diretos permitem calcular a soluo exata com um nmero finito de

operaes aritmticas bsicas. No entanto, na prtica isto no bem assim, pois, devido

acumulao de erros de arredondamento, ao cancelamento subtrativo, etc., estes mtodos

permitem apenas calcular uma soluo aproximada.

Exemplos de mtodos diretos so a Regra de Cramer, Eliminao de Gauss, Decomposio LU e

Mtodo de Choleski.

3.3. Mtodos iterativos

Teoricamente, nos mtodos iterativos a soluo definida como um limite de uma sucesso

(infinita) de vetores. Na prtica, calcula-se apenas um nmero finito de vetores da sucesso, isto ,

calcula-se um um nmero finito de iteraes.

Exemplos de mtodos iterativos so os mtodos de Jacobi e de Gauss-Seidel. Estes mtodos so

apropriados para sistemas de grande dimenso, cuja matriz dos coeficientes dispersa.

Seja

A x = b (1)

um sistema de n equaes em n incgnitas.

A matriz A pode ser escrita na forma

A = M N, (2)

sendo M e N matrizes de ordem n e M invertvel.

Substituindo (2) na expresso (1), obtm-se

(M N) x = b

- 79 -


ou

M x = N x + b

donde

x = M-1 (N x + b) (3)

Assim, a soluo de (1) ponto fixo de (3) e reciprocamente.

Note-se que, x, y Rn

M1 (N x + b) M1 (Ny + b) = M1 N (xy) M1 Nxy se a norma de matriz for compatvel com a norma de vetor.

Assim, tem-se o teorema que se segue.

Teorema 1:

Se M1 N < 1 a sequncia definida pela iteraoxk+1 = M1 (N x(k)+ b), (k=0,1,...) (4)

converge para o ponto fixo de (3) qualquer que seja x(0) Rn.

Teorema 2:

A razo de convergncia do mtodo iterativo definido por (4) igual a 1. A constante de

convergncia menor ou igual a M1 N.

Com algumas escolhas especiais para M e N sero definidos os mtodos que a seguir sero

apresentados (mtodos de Jacobi e de Gauss Seidel).

3.4. Mtodo de Jacobi

3.4.1. Frmula geral

Considerando a matriz dos coeficientes de (1), A = (aij), definam-se D = (dij) uma matriz

diagonal, L = (Lij) uma matriz estritamente triangular inferior e U = (U ij) uma matriz estritamente

triangular superior, tais que

dij = {aij, se i= j0, se i j , lij = {aij , se i> j0, se i j , uij = {aij, se i< j0, se i j (5)Ento, A = D + (L + U)

A escolha M = D e N = L + U resulta no mtodo de Jacobi.

Do teorema 1 conclui-se que, se

D1 (L + U) < 1 (6)a sequncia definida pela iterao

x(k+1) = D1 ((L + U) x(k)+ b ), (k=0,1,...) (7)

converge para a soluo de (1), qualquer que seja x(0) Rn.

- 80 -


Naturalmente que (6) e (7) pressupem que D invertvel. Mas, sendo A invertvel sempre

possvel por troca de linhas transform-la numa matriz cujos elementos da diagonal so no nulos.

Um caso importante e frequente o dos sistemas dispersos cuja matriz dos coeficientes

estritamente diagonal dominante. A convergncia do mtodo de Jacobi ento garantida.

Teorema 3:

Se a matriz dos coeficientes do sistema Ax = b de n equaes em n incgnitas estritamente

diagonal dominante, ento o mtodo de Jacobi converge.

As componentes da iterao x(k+1) de (7) so dadas por

x(k+1) = j=1j i

na 'ij x j

(k)+ b 'i, (i=0,1,2,... ,n) (8)

onde

a 'ij =aijaii

e b 'i =biaii

3.4.2. Algoritmo para o mtodo de Jacobi

Objetivo: resoluo de Ax = b supondo satisfeitas as condies de convergncia

Parmetros de entrada: x(0), e e kmax

para i de 1 at n fazer

xi xi(0)

k 0

repetir


yi xi


xi b 'i j=1j i

na'ij y j

k k + 1

at ((xy < x) ou (k=kmax))

- 81 -


3.5. Mtodo de Gauss Seidel

3.5.1. Frmula geral

Considere-se novamente as matrizes D, L e U, definidas em (5). Tem-se A = (D + L) + U. A escolha

M = D + L e N = U d o mtodo de Gauss Seidel.

Sendo

(D + L) x(k+1) = -U x(k) + b, (k = 0, 1, )

obtm-se

x(k+1) = D-1 (-L x(k+1) - U x(k) + b), (k = 0, 1, ) (9)

Se

(D+ L)1 U < 1 (10)a sequncia definida pela iterao (9) converge para a soluo de (1) qualquer que seja x(0) Rn.

Se A for estritamente diagonal dominante garantida a convergncia para o mtodo de Gauss

Seidel qualquer que seja x(0) Rn.

As componentes de x(k+1) de (8) so dadas por

xi(k+1) =

j=1

i1a 'ij x j

(k+1) j=i+1

na'ij xj

(k) + b 'i , (i=0,1,2,... ,n) (11)

Para interpretar a diferena entre (11) e (8) note-se que no mtodo de Gauss Seidel, no clculo

da componente i da iterao k+1 so usadas as primeiras i-1 componentes j atualizadas.

3.5.2. Algoritmo para o mtodo de Gauss Seidel

Objetivo: Resoluo de Ax = b supondo satisfeitas as condies de convergncia

Parmetros de entrada: x(0), e e kmax


xi xi(0)

k 0

repetir


yi xi


xi b 'i j=1

i1(a'ij xj)

j=i+1

n(a'ij yj)

k k + 1

at ((xy < x) ou (k=kmax))

- 82 -


3.6. Exemplo

Considere-se o seguinte sistema de equaes lineares

{7 x1 3 x3 + x5 = 1

2 x1 + 8 x2 = 1

x3 = 1

3 x1 + 5x4 = 1

x2 + 4 x5 = 1

2x4 + 6 x6 = 1

A matriz dos coeficientes estritamente diagonal dominante e assim haver convergncia para a

soluo do sistema usando o mtodo de Jacobi ou o de Gauss Seidel.

Tomando x(0) = [1/7 1/8 1 1/5 1/4 1/6]T foram obtidos os seguintes resultados:

Iterao xi Mtodo Jacobi Mtodo Gauss Seidel

1

123456

0.6071430.0892861.0000000.2857140.2812500.233333

0.607143-0.0267861.0000000.5642860.2433040.354762

2

123456

0.611607-0.0267861.0000000.5642860.2723220.354762

0.606186-0.0265471.0000000.5637120.2433630.354571

3

123456

0.610332-0.0279021.0000000.5669640.2433040.354762

0.606195-0.0265491.0000000.5637170.2433630.354572

4

123456

0.606186-0.0275821.0000000.5637120.2431040.355400

0.606195-0.0265491.0000000.5637170.2433630.354572

... ... ...

10

123456

0.606195-0.0265491.0000000.5637170.2433630.354572

------------------

- 83 -


3.7. Eficincia

Se a matriz A em Ax = b (1) tiver p elementos no nulos, ento cada iterao dos mtodos de

Jacobi e Gaus Seidel requer p-n adies/subtraes e pn multiplicaes/divises. Donde, k

iteraes requerem k(pn) adies/subtraes (e multiplicaes/divises). Adicionalmente, no

clculo dos (a')s e dos (b')s tem-se p+n divises.

Definindo

a = p/n2

o nmero 100a d a percentagem de elementos no nulos de A, portanto uma medida da disperso

dos elementos de A. Donde k(pn) = kan2 kn kan2 se n for grande.

No sistema associado ao exemplo dado (3.6) verifica-se que n = 6 e p = 12, logo a = 12/36 = 1/3.

4. Interpolao polinomial

Seja f uma funo real definida em [a, b] R, sendo conhecidos os seus valores nos pontos x0,

x1, , xn [a, b]. Suponha-se que se pretende calcular o valor no tabulado f(y), sendo y [a, b].

Por exemplo, dada a tabela de valores da funo log10 seguinte

x log10(x)

2.1 0.322222.2 0.342422.3 0.361732.4 0.380212.5 0.397942.6 0.414972.7 0.431362.8 0.447162.9 0.46240

considere-se os seguintes problemas:

calcular log10(2.45);

determinar x tal que log10(x) = 0.4.

Qualquer um destes problemas pode ser resolvido por interpolao. Em linhas gerais, este processo

consiste em obter uma aproximao para o valor que se pretende conhecer representando a

funo f por uma funo simples, a funo interpoladora, que assume os mesmos valores que f

para certos valores do argumento em [a, b].

Um caso particular de interpolao com grande importncia devido ao grande nmero de

aplicaes a interpolao polinomial. Os polinmios interpoladores constituem meios de

aproximao de funes muito usados. Alm disso, frmulas desenvolvidas para interpolao

- 84 -


polinomial esto na base do desenvolvimento de muitos mtodos numricos para o clculo de

integrais e resoluo de equaes diferenciais.

4.1. Polinmio interpolador

4.1.1. Definio

Seja f C([a,b]) e xi [a, b] (i = 0, 1, , n). Um polinmio p que assume os mesmos valores que

f nos pontos x0, x1, , xn, isto , que satisfaz

p(xi) = f(xi), (i = 0, 1, , n)

chama-se polinmio interpolador de f nos pontos x0, x1, , xn.

Exemplo:

Considere-se a tabela de log10 anterior. Para se obter estimativas para para log10(2.45), vai-se

representar log10 por diferentes polinmios interpoladores.

Comear por calcular o polinmio p3 de grau menor ou igual a 3, interpolador de log10 nos pontos

2.3, 2.4, 2.5 e 2.6. De acordo com a definio anterior ter-se-

p3(2.3) = 0.36173, p3(2.4) = 0.38021, p3(2.5) = 0.39794, p3(2.6) = 0.41497.

Isto , se p3(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ento

{a0+2.3a1+5.29a2+12.167 a3 = 0.36173

a0+2.4 a1+5.76a2+13.824 a3 = 0.38021

a0+2.5a1+6.25a2+15.625a3 = 0.39794

a0+2.6a1+6.76 a2+17.576a3 = 0.41497

Sendo o sistema possvel e determinado tal polinmio existe e nico. Assim,

p3(x) = -0.33540 + 0.50502 x 0.09750 x2 + 0.00833 x3 ,

o polinmio de grau menor ou igual a 3 interpolando log10 nos pontos 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6.

Tem-se ento log10(2.45) p3(2.45) = 0.38916. Sendo log10(2.45) = 0.38916608... o erro na

aproximao calculada no excede 0.7 x10-5.

Problema:

Dado um conjunto de pontos,

(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)

com xi xj para i j, e com i, j = 0, 1, ..., n

determinar uma funo interpoladora f tal que

f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n

- 85 -


Por exemplo, dado o conjunto de pontos

duas possveis solues seriam

Terminologia associada a esta problemtica:

Os valores x0, x1, , xn chamam-se ns de interpolao e

os respetivos y0, y1, ..., yn so os valores nodais.

O conjunto { (xi, yi), i = 0, 1, , n } chama-se suporte de interpolao.

{ f(xi) = yi , i = 0, 1, , n } a funo de interpolao nesse suporte.

Existem vrios tipos de funes de interpolao, tais como:

Interpolao polinomial

f(x) = an xn + ... + a1 x + a0

Interpolao trigonomtrica

f(x) = a-M e-iMx + ... + a0 + ... + aM eiMx

onde M um inteiro igual a n/2 se n par e (n-1)/2 se n mpar,

i a unidade imaginria

Interpolao racional

f (x) =ak x

k + ...+ a1 x + a0ak+1 x

n + ... + ak+n x + ak+n+1

- 86 -


4.1.2. Polinmios

Um polinmio de grau n uma funo da forma,

pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 (an 0, para n > 0)

onde a0, a1, , an so os coeficientes reais do polinmio.

O problema da determinao de zeros de um polinmio p pode ser visto como o de calcular as

razes da equao p(x) = 0.

Teorema (Fundamental da lgebra):

Seja p um polinmio de grau n 1 definido pela expresso anterior. Ento, existe a R tal que

pn(a) = 0.

Se a um zero real de pn(x) ento pn(x) = (x a) qn-1(x).

4.1.3. Clculo de valores de um polinmio

Como calcular o valor de um polinmio num dado ponto ?

Seja p um polinmio de grau n de coeficientes reais definido por

pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 (an 0, para n > 0).

Pretende-se calcular pn(y), y R. Ao usar-se

pn(y) = an yn + an-1 yn-1 + ... + a1 y + a0 ,

sero efetuadas n adies/subtraes e 2n-1 multiplicaes/divises.

Mas pn(x) pode ser escrita na forma

pn(x) = ((...(an x + an-1) x + ... + a2) x + a1) x + a0 ,

que representa a chamada forma encaixada do polinmio e a base do mtodo de Horner para o

clculo de valores do polinmio. Neste caso, o clculo de pn(a) requer n adies/subtraes e n

multiplicaes/divises.

Por exemplo,

p3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 { n + (n-1) + ... + 2 + 1 = n (n+1) / 2 = 6 multiplicaes }

p3(x) = ((a3 x + a2) x + a1) x + a0 { n = 3 multiplicaes }

Algoritmo:

{ Objetivo: clculo do valor de pn(x) = ((...(an x + an-1) x + ... + a2) x + a1) x + a0 }

{ parmetros de entrada: a0, a1, ..., an , z R }

{ parmetros de sada: polinomio = ((...(an z + an-1) z + ... + a2) z + a1) z + a0 }

polinomio an

para k desde (n-1) at 0 fazer

polinomio polinomio * z + ak

- 87 -


Complexidade:

n multiplicaes e n adies

Algoritmo (mtodo de Horner):

{ Objetivo: calcular pn(z), valor de um polinmio de grau n no ponto z }

{ parmetros de entrada: a0, a1, ..., an, z R }

{ parmetros de sada: c0 = pn(z) }

cn an

para k desde (n-1) at 0 fazer

ck ak + z ck+1

{ c0 = pn(z) }

Exemplo (mtodo de Horner):

Calcular p5(x) = x5 - 6 x4 + 8 x3 + 8 x2 + 4 x 40, para x = 3

c5 = a5 = 1

c4 = a4 + 3 c5 = -6 + 3 = -3

c3 = a3 + 3 c4 = 8 9 = -1

c2 = a2 + 3 c3 = 8 3 = 5

c1 = a1 + 3 c2 = 4 + 15 = 19

c0 = a0 + 3 c1 = -40 + 57 = 17

Logo, p5(3) = c0 = 17.

Seja

pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

um polinmio de grau n e z um nmero real. Ento.

pn(x) = (x z) qn-1(x) + r

onde q um polinmio de grau n-1 e r uma constante (r = 0 se e s se z um zero de p).

Seja

qn-1(x) = bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b1 x + b0 .

Ento, a expresso pn(x) = (x z) qn-1(x) + r pode ser escrita da seguinte forma:

an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = (x - z) (bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b1 x + b0) + r

donde, e igualando os coeficientes de potncias de x do mesmo grau, obtm-se

bn-1 = an ,

bk = ak+1 + z bk+1 (k = n-2, n-3, ..., 0),

r = a0 + z b0 .

- 88 -


Algoritmo (fatorizao de um polinmio):

{ Objetivo: fatorizar pn(x) = (x z) qn-1(x) + r, onde z R e p n(x) = an xn + ... + a1 x + a0 }

bn-1 a n

para k desde (n 2) at 0 fazer

bk z bk+1 + ak+1

r z b0 + a0

Exemplo (mtodo da fatorizao):

Sendo p5(3) = x5 - 6 x4 + 8 x3 + 8 x2 + 4 x 40, fatorizar p5(x) = (x z) qn-1(x) + r, para z = 3

b4 = a5 = 1

b3 = 3 b4 + a4 = 3 - 6 = -3

b2 = 3 b3 + a3 = 9 + 8 = -1

b1 = 3 b2 + a2 = 3 + 8 = 5

b0 = 3 b1 + a1 = 15 + 4 = 19

r = 3 b0 + a0 = 57 - 40 = 17

Logo, q4(x) = x4 - 3 x3 - x2 + 5 x + 19.

E assim, p5(x) = (x 3) (x4 - 3 x3 - x2 + 5 x + 19) + 17.

4.2. Interpolao polinomial de Lagrange

Os polinmios so excelentes candidatos a funes interpoladoras, porque:

O clculo dos valores realizvel em ordem linear ao nmero de multiplicaes e adies.

As operaes de derivao e primitivao so simples e podem ser facilmente programveis.

Aproximam tanto quando se queira qualquer funo contnua num intervalo finito (Teorema

de Weierstrass).

Sempre que as funes de interpolao consideradas so polinmios ento est-se perante

Interpolao Polinomial.

Problema:

Dado um suporte de interpolao com n+1 pontos,

{ (xi, yi), i = 0, 1, ..., n }

encontrar um polinmio de grau menor ou igual a n tal que,

yi = pn(xi), i = 0, 1, ..., n

Questes:

Existe sempre um polinmio que satisfaz as condies acima ?

Caso exista, nico ?

- 89 -


Teorema (da existncia e unicidade):

Seja Pn o conjunto dos polinmios de grau menor ou igual a n.

Dados n+1 pontos suporte distintos (xi, f(xi)), i = 0, 1, ..., n,

existe um e um s polinmio pn Pn tal que,

pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n

Observaes:

O teorema anterior mostra-nos que o polinmio interpolador existe e nico (podem ser

deduzidas vrias frmulas para ele, mas todas representam o mesmo polinmio

interpolador).

4.2.1. Frmula de Lagrange

Definio:

Os polinmios de grau n dados por,

Lk(x) = i= 0i k

n xxixk xi

, k=0,1,...,n

so designados por polinmios de Lagrange associados aos ns x0, x1, ..., xn .

Teorema:

O polinmio interpolador pn de grau menor ou igual a n que interpola os valores nodais y0,

y1, ..., yn nos ns distintos x0, x1, ..., xn dado por,

pn (x) = k = 0

nLk(x ) yk .

Exemplo:

Construir o polinmio interpolador de grau menor ou igual a 3 que interpola os seguintes valores:

xi 0 1 3 4

yi 1 -1 1 2

Os polinmios de Lagrange associados aos ns (x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4) obtm-se

diretamente da definio anterior,

L0(x) =(x x1) (x x2) (x x3)

(x0x1) (x0x2) (x0x3)= 1

12(x1) (x3) (x4)

L1(x ) =(xx0) (x x2) (x x3)

(x1x0) (x1x2) (x1x3)= 1

6x (x 3) (x 4)

- 90 -


L2(x ) =(xx0) (x x1) (x x3)

(x2x0) (x2x1) (x2x3)= 1

6x (x 1) (x 4)

L3(x ) =(xx0) (x x1) (x x2)

(x3x0) (x3x1) (x3x2)= 1

12x (x 1) (x 3)

Assim sendo, nas condies do teorema, o polinmio interpolador dado por:

p3(x) = k = 0

3Lk(x) yk= L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x )y2+L3(x )y3 = L0(x )L1(x)+L2(x )+2L3(x )=

= 112

(x 1) (x 3) (x 4)16

x (x 3) (x 4) 16

x (x 1) (x 4) + 112

x (x 1) (x 3)

Algoritmo (frmula de Lagrange):

{ Objetivo: clculo de pn(z) sendo pn interpolador de f nos pontos distintos x0, x1, ..., xn }

q 0

para i desde 0 at n fazer

p 1

para j desde 0 at n fazer

se j i ento

p p ((z xj)/(xi xj))

q q + yi p

Observao:

A frmula de Lagrange pode no ser a representao mais conveniente do polinmio

interpolador, fundamentalmente por duas razes:

1. possvel obter este polinmio com menos operaes aritmticas do que as requeridas

por aquela frmula (o clculo de um valor do polinmio interpolador requer n(n+2)

adies/subtraes e n(n+1) multiplicaes/divises);

2. Os polinmios de Lagrange esto associados a um conjunto de ns e uma mudana de

posio, ou do nmero destes, altera completamente estes polinmios.

4.2.2. Frmula de Newton

Definio:

A Forma de Newton para polinmios de grau n dada por,

pn(x) = a0 + a1 (x c1) + a2 (x c1) (x c2) + + an (x c1) (x c2) ... (x cn)

onde os parmetros ci, i = 1, 2, ... , n so chamados centros do polinmio.

- 91 -


Construo da Frmula de Newton:

Considerando os ns x0, x1, ..., xn-1 como centros do polinmio, temos:

pn(x) = a0 + a1 (x x0) + a2 (x x0) (x x1) + + an (x x0) (x x1) ... (x xn-1)

Os coeficientes a0, a1, ..., an vo ser determinados de modo que pn seja o polinmio

interpolador nos ns x0, x1, ..., xn dos valores nodais y0, y1, ..., yn:

pn(x0) = y0 ; pn(x1) = y1 ; ... ; pn(xn) = yn

ou, se os valores nodais yi forem valores nodais de uma funo f tem-se,

pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n

Assim, a partir de,

pn(x) = a0 + a1 (x x0) + a2 (x x0) (x x1) + + an (x x0) (x x1) ... (x xn-1)

e fazendo sucessivamente x = x0, x = x1 , ..., x = xn obtm-se os coeficientes:

a0 = f (x0)

a1 =f (x1) a0

x1x0=

f (x1)f (x0)

x1x0

a2 =f (x2)a0a1(x2x0)

(x2x0)(x2x1)=

f (x2)f (x1)

x2x1

f (x1)f (x0)

x1x0x2x0

. . .

an =f (xn)a0a1(xnx0)a2(xn x0)(xn x1) ...an1(xnx0)...(xnxn2)

(xn x0)(xn x1)...(xnxn1)= ...

Observao:

Cada coeficiente ak , k = 0, 1, ..., n:

pode ser calculado a partir dos ai , i = 0, 1, ..., k-1, j determinados.

depende exclusivamente dos ns x0, x1, ..., xn e dos respetivos valores nodais y0, y1, ..., yn

ak = f[x0, x1, ..., xk]

em que

f[x0, x1, ..., xk]

a diferena dividida de ordem k (k 1) entre os k+1 ns x0, x1, ..., xk .

Definio:

Para designar a diferena dividida de ordem k (k 1) entre os k+1 ns x0, x1, ..., xk , so

utilizadas indistintamente duas notaes:

Dk f (xi) f [xi, xi+1 , ... , x i+k]

- 92 -


onde

Dk f (xi) =Dk1 f (xi+1) D

k1 f (xi)

xi+k xi

ou

f [xi, x i+1, ... , xi+k ] =f [xi+1, ... , xi+k ] f [xi, ..., xi+k1]

xi+k xi

Teorema:

Os coeficientes ak , k = 0, 1, ..., n do polinmio pn de grau menor ou igual a n, na forma de

Newton que interpola os valores f(x0), f(x1), ..., f(xk) nos ns distintos x0, x1, ..., xk so dados

indutivamente pela expresso:

ak = f [x0, x1, ... , xk] =f [x1 , ..., xk] f [x0 , ... , xk1]

xk x0

Assim, o Polinmio Interpolador com Diferenas Divididas tem a forma:

pn (x) = f [x0] + f [x0 , x1](x x0)+ f [x0 ,x1 ,x2](x x0)(x x1)+

+ ...+ f [x0 , x1,... ,xn ](xx0)(x x1)...(x xn1)

Uma tabela de diferenas divididas de uma funo f pode ser escrita da forma que segue

(denotando-se por fi,i+j a diferena f[xi, ..., xi+j]).

x D0 / f[] D1 / f [ , ] D2 / f [ , , ] D3 / f [ , , , ] ...

x0 f(x0)f0,1

x1 f(x1) f0,2f1,2 f0,3

x2 f(x2) f1,3 ...f2,3 ...

x3 f(x3) ... ...... fn-3,n

... ... fn-2,nfn-1,n

xn f(xn)

Algoritmo (Diferenas divididas):

{ Objetivo: construir uma tabela de diferenas divididas de f por diagonais ascendentes sucessivas }

f0 f(x0)

para i desde 1 at n fazer

fi f(xi)

para j desde (i-1) at 0 fazer

fj,i (fj,i-1 - fj+1,i) / (xj - xi)

- 93 -


Exemplo:

Determinar o polinmio interpolador, na forma de Newton, que interpola os seguintes pontos:

xi 0 1 3 4

yi 1 -1 1 2

A tabela de diferenas dividida para este caso a seguinte:

x D0 / f[] D1 / f [ , ] D2 / f [ , , ] D3 / f [ , , , ]

x0 = 0 1f0,1 = -2

x1 = 1 -1 f0,2 = 1f1,2 = 1 f0,3 = -1/4

x2 = 3 1 f1,3 = 0f2,3 = 1

x3 = 4 2

f0,1 = f [x0 , x1] =f (x1)f (x0)

x1x0= 11

1 0= 2

1= 2

f1,2 = f [x1 ,x2] =f (x2)f (x1)

x2x1= 1(1)

31= 2

2= 1

f2,3 = f [x2 ,x3] =f (x3)f (x2)

x3x2= 21

43= 1

1= 1

f0,2 = f [x0 , x1, x2] =f [x1 ,x2] f [x0 ,x1]

x2x0=

f1,2f0,1x2x0

= 1(2)30

= 33= 1

f1,3 = f [x1 ,x2 ,x3] =f [x2, x3]f [x1 ,x2]

x3x1=

f2,3 f1,2x3x1

= 114(1)

= 05= 0

f0,3 = f [x0 , x1, x2, x3] =f [x1 ,x2 ,x3 ]f [x0 ,x1 ,x2]

x3x0=

f1,3 f0,2x3x0

= 0140

= 14

Assim calculados os coeficientes do polinmio interpolador na forma de Newton,

a0 = f[x0] = 1

a1 = f[x0, x1] = -2

a2 = f[x0, x1, x2] = 1

a3 = f[x0, x1, x2, x3] = -1/4

p3(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(xx1) + a3(x x0)(xx1)(x x2)

p3(x) = 1+(2)(x0)+ 1(x 0)(x1) +(14 )(x 0)(x 1)(x 3) p3(x) = 12 x + x (x1)

14

x (x 1)(x 3) .

- 94 -


Observaes:

A ordem pela qual os ns so tomados arbitrria.

Se necessrio acrescentar mais algum n aos anteriores, basta coloc-lo no fundo da tabela

e calcular mais uma linha de valores (as diferenas divididas j obtidas no seriam afetadas).

Se os valores nodais forem os de uma funo, possvel estabelecer uma ligao importante

entre as diferenas divididas de ordem k e a derivada da mesma ordem dessa funo.

Teorema:

Sejam f C n([a,b]) e x0, x1, ..., xn ns distintos no intervalo [a,b].

Ento existe um (a,b) tal que,

f [x0 , x1, ... , xn] =1n!

f(n)()

Deste modo, se os valores nodais forem os valores nodais de uma funo, este teorema

estabelece uma relao importante entre as diferenas divididas de ordem n e a derivada da

mesma ordem dessa funo.

4.2.3. Erros de Interpolao Polinomial

Que erro se comete quando se interpola uma funo por um polinmio de grau menor ou igual a

n utilizando o valor da funo em n+1 ns distintos?

Por exemplo,

Teorema:

Sejam f Cn+1([a, b]) e pn o polinmio de grau menor ou igual a n que interpola f nos ns

distintos x0, x1, ..., xn, contidos em [a,b]. Ento para qualquer z [a,b] existe um valor (a,

b), dependente de x0, x1, ..., xn, z e de f tal que

en(z) f (z)pn(z) =f(n+1)()(n+1)!

(zx0)(zx1)...(zxn) .

- 95 -


Estimativa do Erro de Interpolao

Como em,

en(x ) =f(n+1)( )(n+1)!

(x ), com (x ) = (xx0)(x x1)...(x xn)

o valor de desconhecido, temos de calcular um limite superior para estimativa do valor do

erro.

Para o caso particular da funo a interpolar, procuramos um majorante em [x0, xn],

f(n+1)(x) Mn+1e considerando h o espaamento mximo entre dois ns consecutivos,

(x ) n!4

hn+1, x[x0 , xn]

temos,

en(x) (x )Mn+1(n+1)!

ou,

en(x) 1

4(n+1)Mn+1 h

n+1.

Comportamento do Erro de Interpolao

Analisando

en(x ) =f(n+1)( )(n+1)!

(x )

verifica-se que o erro de interpolao depende de:

o nmero de ns considerado,

o comportamento da derivada de ordem n+1 da funo,

o comportamento do polinmio de grau n+1.

5. Aproximao polinomial

Em linhas gerais pode dizer-se que aproximar uma funo represent-la por uma outra mais

simples. H a necessidade de aproximar uma funo quando a maneira com ela definida

dificulta ou impossibilita a resoluo de problemas matemticos envolvendo essa funo. o caso,

por exemplo, de funes conhecidas por uma tabela de alguns dos seus valores, funes definidas

como solues de equaes, ou definidas explicitamente por expresses envolvendo funes

transcendentes. Pode-se estar interessado em calcular o valor do integral da funo num dado

domnio e no conhecer a primitiva da funo, ou calcular um (ou mais) zeros da funo no

existindo uma frmula que o permita fazer explicitamente, etc.

- 96 -


Uma forma de resolver estes problemas substituir a funo dada por outra mais simples (por

exemplo, um polinmio) que num subconjunto relevante do seu domnio no se afasta muito da

funo dada.

As classes de funes mais importantes so as dos polinmios (incluindo polinmios

segmentados), das funes racionais (quocientes de polinmios) e das funes de Fourier ({sen(nx),

cos(nx)}, n = 0, 1, ). Neste texto ser considerada apenas a aproximao de funes por

polinmios.

Podem ser colocadas trs questes. Para que tipo de funes existe uma aproximao polinomial

adequada? Como caraterizar uma boa aproximao? Como constru-la?

5.1. Conceitos e resultados bsicos

O teorema de Weierstrass estabelece que para uma certa classe de funes, as funes

contnuas num intervalo fechado de R, existe um polinmio que aproxima a funo to bem quando

se queira.

Teorema (da aproximao de Weierstrass):

Seja [a, b] R e f C([a,b]). Ento, qualquer que seja e > 0 existe n = n(e) tal que

|f(x) pn(x)| < e,

para todo o x [a, b].

possvel construir, de uma maneira eficiente, aproximaes polinomiais teis sob o ponto de

vista prtico, e estimar o erro de aproximao. No entanto, tm de ser impostas condicionais

adicionais sobre a regularidade da funo a aproximar.

5.1.1. Mtricas, normas e seminormas

Qualquer estudo sobre aproximao de funes pressupe a existncia de uma maneira de medir

a distncia entre duas funes.

Definio:

Seja F um conjunto. Uma aplicao d : F x F R tal que

f, g F, d(f,g) = 0 se e s se f = g,

f, g F, d(f,g) = d(g,f),

f, g, h F, d(f,h) d(f,g) + d(g,h),

uma mtrica. O conjunto F munido duma mtrica um espao mtrico.

Desta definio resulta que

f, g F, d(f, g) 0.

- 97 -


Exemplo:

Considere-se o conjunto C([a,b]) das funes reais contnuas num intervalo fechado [a,b] R. A

aplicao d : C([a,b]) x C([a,b]) R definida por

f, g C([a,b]), d(f,g) = maxx[a,b] |f(x) g(x)|,

uma mtrica.

Considere-se a funo ex definida em [0,1] e o polinmio p(x) = 1 + (e - 1)x, interpolador de ex

nos pontos 0 e 1. Tem-se

d(ex,p) = maxx[0,1] |ex (1 + (e 1)x)| 0.21

Definio:

Seja F um espao linear. Uma aplicao . : F R tal que,

f F, f = 0 se e s se f = 0,

f F, a R, f= f ,

f, g F, f + g f +g,

chamada de norma. O espao linear F onde est definida uma norma diz-se espao normado.

Definio:

Se a aplicao . : F R satisfaz as duas ltimas condies da definio anterior e

f F, f = 0 se f = 0,

ento f uma seminorma.

Note-se que se . uma seminorma em F pode ter-se, para algum f 0, f = 0.

Se . : F R uma norma (ou seminorma) tem-se

fF , f 0.

Seja C[a,b] o espao linear das funes reais contnuas no intervalo fechado [a,b] R.

Exemplo:

A aplicao . : C([a,b]) R definida por

fC([a ,b ]), f = maxx[a ,b ]

f (x),

uma norma chamada norma uniforme ou norma de Chebyshev.

Exemplo:

A aplicao .2 : C([a,b]) R definida por

fC([a ,b ]), f 2= {ab

w(x) f (x )2 dx}1/2

, w C([a,b]) e w(x) > 0 para x [a,b],

uma norma chamada norma dos quadrados ponderados.

- 98 -


Exemplo:

Dados n + 1 pontos distintos x0, x1, ..., xn [a, b], a aplicao . : C([a,b]) R definida por

fC([a ,b ]), f = max0in

f (x i),

uma seminorma.

Exemplo:

Dados n + 1 pontos distintos x0, x1, ..., xn [a, b], a aplicao . : C([a,b]) R definida por

fC([a ,b ]), f = {i=0n

w (xi) f (xi) 2 dx}1/2

, w C([a,b]) e w(xi) > 0 (i = 0, 1, ..., n),

uma seminorma.

Toda a norma induz uma mtrica. Isto , se F um espao normado onde est definida uma

norma ., ento F um espao mtrico com a mtrica definida por

f, g F, d(f ,g) =f g .

5.1.2. Melhor aproximao polinomial

Definio:

Seja F um espao linear de funes onde est definida uma norma .. Se g F umaaproximao para f F a

f g

chama-se erro de aproximao g com respeito norma ..

Definio:

Seja F C([a,b]) um espao normado e Pn o conjunto dos polinmios de coeficientes reais e grau

menor ou igual a n. Ento, pn Pn uma melhor aproximao polinomial de grau n para uma

funo f F em relao norma . de F, se

f pn= infqnP

n

f qn.

Por outras palavras, relativamente a uma dada norma, a melhor aproximao polinomial de grau

n para uma funo que minimiza o erro.

Se a norma for a de Chebyshev ou a dos quadrados ponderados, existe uma melhor aproximao

polinomial e nica.

Uma melhor aproximao em relao norma de Chebyshev chamada aproximao minimax.

Uma melhor aproximao em relao norma dos quadrados ponderados chamada

aproximao dos mnimos quadrados.

- 99 -


5.2. Aproximao dos mnimos quadrados

Em muitos casos reais, os valores nodais que se tem so

obtidos experimentalmente, vindo portanto afetados de

erros.

Em vez de tentar construir uma funo interpoladora, faz

mais sentido procurar a funo que melhor aproxima esses

valores.

Seja { (xi, yi) }, i = 1, 2, ..., m um conjunto de pares de

nmeros reais onde,

yi f(xi), i = 1, 2, ..., m

A partir deste valores, pretende-se construir uma funo que, de alguma forma, seja a melhor

aproximao da funo f(x).

Tome-se como exemplo o caso linear, isto , quando a

funo aproximante pretendida for uma reta y = a x + b.

Para calcular os parmetros a e b, podem ser estabelecidos

diferentes critrios, tais como:

Minimizar o erro mximo, maxi=1,... ,m

yi(a xi+b)

Minimizar a soma dos erros, i=1

m

yi(ax i+b)

Minimizar o erro quadrtico, i=1

m

(yi(a xi+b))2

5.2.1. Funes aproximantes e desvios

No caso geral, o problema consiste em determinar a funo que melhor aproxima um dado

conjunto de pontos { (xi, yi) }, i = 1, 2, ..., n.

A classe das funes aproximantes caracterizada por um conjunto de parmetros c1, ..., ck.

Cada funo da classe especificada pelos valores desses parmetros,

f(x) = F(x; c1, ..., ck)

Por exemplo, se pretender-se aproximar os pontos por

uma reta, so dois os parmetros (c1 e c2) e f(x) = F(x; c1, c2) = c1 + c2 x

uma parbola, so trs os parmetros (c1, c2 e c3) e f(x) = F(x; c1, c2, c3) = c1 + c2 x + c3 x2

Para cada classe definem-se os desvios, em relao aos valores yi dos dados,

di = yi F(xi; c1, c2, ..., ck), i = 1, 2, ..., n

- 100 -


Em funo dos desvios, necessrio decidir qual o critrio a estabelecer. Cada critrio define

um problema de minimizao.

Problema de minimax (minimizao do desvio mximo),

minimizar maxi=1,... ,n

yiF (xi ; c1 ,c2 , ...,ck) Problema de minimizao (da soma) dos desvios absolutos,

minimizar i=1

n

yiF(xi ; c1,c2 ,...,ck)

Problema de minimizao do erro quadrtico total,

minimizar i=1

n

(yiF (xi; c1 ,c2, ... ,ck) )2

O mtodo de resoluo do problema de minimizao do erro quadrtico total chama-se

mtodo dos mnimos quadrados e a funo que o minimiza chama-se aproximao dos

mnimos quadrados.

5.2.2. Mtodo dos Mnimos Quadrados

Considere-se uma classe de funes,

F(x; c1, c2, ..., ck) = c1 f1(x) + c2 f2(x) + ... + ck fk(x)

onde f1(x), f2(x), ..., fk(x) so funes dadas.

A aproximao dos mnimos quadrados consiste na determinao dos parmetros c1, c2, ..., ck

que minimizam a soma dos quadrados dos desvios,

E(c1 , ...,ck) = i=1

n

(yic1f1(xi)c2f2(xi)...ck fk(xi) )2 = i=1

n (yij=1n

cj f j(xi))2

Tratando-se de um problema de minimizao em Rk para que E(c1, c2, ..., ck) seja mnimo

necessrio que,

E(c1,..., ck) = 0 E cj

= 0, j= 1, ...,k

Donde se obtm um sistema de k equaes a k incgnitas,

{c1 i=1n

f1(xi)f1(xi)+ c2 i=1

n

f1(xi)f2(xi)+ ...+ ck i=1

n

f1(xi)fk (xi) = i=1

n

yif1(xi)

c1 i=1

n

f2(xi)f1(xi) + c2 i=1

n

f2(xi)f2(xi)+ ...+ ck i=1

n

f2(xi)fk(xi) = i=1

n

yif2(xi)

...

c1 i=1

nfk(x i) f1(xi) + c2

i=1

nfk(xi)f2(xi)+ ...+ ck

i=1

nfk(xi) fk(x i) =

i=1

nyifk (xi)

- 101 -


Em certos casos, este sistema tem soluo nica e permite determinar univocamente os

parmetros c1, c2, ..., ck que caracterizam a melhor funo aproximante.

5.2.3. Reta dos Mnimos Quadrados (Reta de Regresso)

No caso linear, o problema da minimizao do erro quadrtico simples. Pretende-se

determinar os valores de a e de b em,

F(x; a, b) = a + b x

que minimizam

E (a ,b ) = i=1

n

(y i a bx i)2

Para que E(a, b) seja mnimo necessrio (e prova-se que tambm suficiente) que,

E (a, b) = {Ea = 0Eb

= 0

ou seja que,

{a n + b i=1n

xi = i=1

ny i

a i=1

nxi + b

i=1

nxi

2 = i=1

nxi yi

Assim tem-se um sistema linear com duas equaes (equaes normais) e as duas incgnitas a e

b que caracterizam a reta pretendida (reta de regresso).

Os coeficientes de a e de b e os termos independentes, obtm-se facilmente pela construo de

uma tabela,

xi yi xi2 xi yi

x1 y1 x12 x1 y1x2 y2 x22 x2 y2... ... ... ...xn yn xn2 xn yn

xi yi xi2 xi yi

Exemplo:

Para se determinar a reta de regresso que aproxima os pontos,

x 1 2 4 5 7 8 10

y 1 2 4 4 5 6 7

- 102 -


constri-se a tabela

xi yi xi2 xi yi

1 1 1 12 2 4 44 4 16 165 4 25 207 5 49 358 6 64 4810 7 100 70

37 29 259 194

Donde se obtm o sistema

{a 7 + b 37 = 29a 37 + b 259 = 194cuja soluo

a = 0.75

b = 0.6418918918919

o que permite determinar a reta de regresso,

y = 0.75 + 0.6418918918919 x

Em algumas aplicaes, so os valores de { xi }, i = 1, 2, ..., n que esto afetados de erros,

sendo os { yi } considerados exatos. Nesse caso necessrio efetuar uma aproximao inversa.

Assim, dado { xi, yi }, i = 1, 2, ..., n um conjunto de pares de nmeros reais onde,

xi g(yi), i = 1, 2, ..., n

podemos calcular uma aproximao dos mnimos quadrados para g(y).

Exemplo: no exemplo anterior, basta trocar os papis dos x e y dados,

x 1 2 4 5 7 8 10

y 1 2 4 4 5 6 7

- 103 -


construindo neste caso a tabela

xi yi yi2 yi xi

1 1 1 12 2 4 44 4 16 165 4 16 207 5 25 358 6 36 4810 7 49 70

37 29 147 194

donde se obtm o sistema

{a 7 + b 29 = 37a 29 + b 147 = 194cuja soluo

a = -0.994680851064

b = 1.5159574468085

o que permite determinar a reta de regresso inversa,

x = -0.994680851064 + 1.5159574468085 y

5.2.4. Parbola dos Mnimos Quadrados

Para aproximar o conjunto de pontos por uma parbola, pretende-se determinar os valores de

a, b e c em,

F(x; a, b, c) = a + b x + c x2

por forma a minimizar o erro quadrtico total,

E (a ,b,c) = i=1

n

(yi a b xi c xi2)2

Para que ocorra o mnimo necessrio (e prova-se que tambm suficiente) que,

E (a, b,c) = 0

ou seja,

{a n + b i=1n

x i + c i=1

n

x i2 =

i=1

n

yi

a i=1

n

xi + b i=1

n

xi2 + c

i=1

n

x i3 =

i=1

n

xi yi

a i=1

n

xi2 + b

i=1

n

x i3 + c

i=1

n

x i4 =

i=1

n

xi2 yi

Os coeficientes de a e de b e os termos independentes, tambm se obtm pela construo de

uma tabela.

- 104 -


Exemplo:

Para o exemplo anterior,

x 1 2 4 5 7 8 10

y 1 2 4 4 5 6 7

construindo a tabela

xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi

1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 16 4 84 4 16 64 256 16 645 4 25 125 625 20 1007 5 49 343 2401 35 2458 6 64 512 4096 48 38410 7 100 1000 10000 70 700

37 29 259 2053 17395 194 1502

donde se obtm o sistema

{a 7 + b 37 + c 259 = 29a 37 + b 259 + c 2053 = 194a 259 + b 2053 + c 17395 = 1502cuja soluo

a = 0.28869047619

b = 0.890625

c = -0.02306547619

o que permite determinar a parbola, que se aproxima dos pontos,

y = 0.28869047619 + 0.890625 x - 0.02306547619 x2

- 105 -

Captulo 2. Mtodos Numricos1. Introduo1.1. Mtodos analticos versus mtodos numricos1.2. Necessidade para mtodos numricos

2. Soluo de uma equao no linear2.1. Forma geral do problema2.2. Caractersticas do problema2.3. Razes, Zeros e Multiplicidade2.4. Mtodos iterativos, erro, convergncia e paragem2.5. Localizao e separao das razes2.6. Estimativa para o erro de truncatura2.7. Critrios de paragem2.8. Aplicao dos mtodos iterativos2.9. Mtodo da Bisseco2.9.1. Frmula geral2.9.2. Algoritmo para o mtodo da Bisseco

2.10. O mtodo da Falsa Posio (ou da Corda Falsa)2.10.1. Frmula geral2.10.2. Algoritmo para o mtodo da Falsa Posio

2.11. Mtodo do Ponto Fixo2.11.1. Frmula geral2.11.2. Convergncia2.11.3. Algoritmo do mtodo do Ponto Fixo2.11.4. Exemplo

2.12. Mtodo de Newton-Raphson2.12.1. Frmula geral2.12.2. Newton-Raphson como caso particular do mtodo do Ponto Fixo2.12.3. O mtodo de Newton-Raphson a partir da srie de Taylor2.12.4. Ordem de convergncia do mtodo de Newton-Raphson2.12.5. Um majorante do erro absoluto2.12.6. Uma estimativa do erro absoluto2.12.7. Critrios de convergncia do mtodo de Newton-Raphson2.12.8. Algoritmo para o mtodo de Newton-Raphson2.12.9. Vantagens e desvantagens do mtodo de Newton-Raphson2.12.10. Alguns casos patolgicos do mtodo de Newton-Raphson

2.13. Mtodo da Secante2.13.1. Forma geral2.13.2. Exemplo2.13.3. Convergncia2.13.4. Algoritmo do mtodo da Secante

3. Equaes lineares3.1. O problema da resoluo de um sistema linear3.2. Mtodos diretos3.3. Mtodos iterativos3.4. Mtodo de Jacobi3.4.1. Frmula geral3.4.2. Algoritmo para o mtodo de Jacobi

3.5. Mtodo de Gauss Seidel3.5.1. Frmula geral3.5.2. Algoritmo para o mtodo de Gauss Seidel

3.6. Exemplo3.7. Eficincia

4. Interpolao polinomial4.1. Polinmio interpolador4.1.1. Definio4.1.2. Polinmios4.1.3. Clculo de valores de um polinmio

4.2. Interpolao polinomial de Lagrange4.2.1. Frmula de Lagrange4.2.2. Frmula de Newton4.2.3. Erros de Interpolao Polinomial

5. Aproximao polinomial5.1. Conceitos e resultados bsicos5.1.1. Mtricas, normas e seminormas5.1.2. Melhor aproximao polinomial

5.2. Aproximao dos mnimos quadrados5.2.1. Funes aproximantes e desvios5.2.2. Mtodo dos Mnimos Quadrados5.2.3. Reta dos Mnimos Quadrados (Reta de Regresso)5.2.4. Parbola dos Mnimos Quadrados

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