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Capítulo 3
Teoria da Estabilidade Linear
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3.1. Introdução
•A turbulência já foi caracterizada e o processo de transição em diversos tipos de escoamentos foi estudado.
•No entanto, a transição é um assunto muito complexo e pouco compreendido. Ele permanece, ainda nos dias atuais, sem uma teoria plausível que permita descrevê-lo coerentemente.
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A teoria da estabilidade linear é, no entanto, uma ferramenta interessante que tem permitido obter informações
importantes.
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3.2. Teoria da Estabilidade Linear
•As referências mais clássicas neste assunto são Drazin and Reid (1981) e White (1991).
•Os escoamentos laminares são exceção. A altos números de Reynolds, via de regra, acontece a transição para a turbulência.
•Devido à complexidade dos sistemas fluidos, torna-se interessante estudar e caracterizar o processo de transição de sistemas mecânicos simples antes de estudar a transição de escoamentos.
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3.2. Teoria da Estabilidade Linear
(a) (b) (c) (d)
a) Sistema incodicionalmente estável – retorna ao equilíbrio, independentemente da amplitude da perturbação.
b) Sistema instável – por menor que seja a amplitude da perturbação, ele se torna instável, sem retorno à posição inicial.
c) Sistema neutramente estável – sempre encontrará uma nova posição de equilíbrio.
d) Sistema condicionalmente estável – dependendo da amplitude da perturbação o sistema poderá ou não retornar ao equilíbrio.
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3.2. Teoria da Estabilidade Linear
•Uma camada limite sobre uma placa plana, com uma fonte de perturbação, é um exemplo de um sistema condicionalmente estável
Fonte deperturbação
Camada Limite: ela poderá seTornar instável, dependendo danatureza da perturbação injetada,em relação ao regime deoperação;
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3.3. Esquema básico de uma análise de estabilidade
b) Perturbar esta solução de base com uma perturbação Q´: Q0+Q’
c) Subtrair da solução em Q0+Q’ a solução em Q0 e obter uma equação para Q’;
d) Se a equação linearizada ainda permanecer complicada, simplificar a perturbação, fazendo-a unidimensional ou bidimensional.
a) Procura-se examinar a estabilidade de uma solução de base no sistema em questão. Seja Qo esta solução de base, a qual pode ser um escalar ou um vetor.
•Pode-se estabelecer a análise de estabilidade de um sistema dinâmico segundo os seguintes passos:
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e) Esta equação deve ser homogênea com condições de contorno também homogêneas, o que implica em solução envolvendo autovetores e autofunções;
f) Determinados os autovetores ou as auto funções, determina-se diagramas de estabilidade, identificando-se as zonas de estabilidade e instabilidade, separadas por linhas neutras.
3.3. Esquema básico de uma análise de estabilidade
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Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
P Py(x)
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Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
Dados: L: comprimento da viga;E: módulo de elasticidadeI: Momento de inérciaP: Carga impostaQuestão: a viga fletirá?
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a) Modelo e solução de base: teoria do momento fletor para uma viga
2d yM EI
2dx y 0 y L 0
Solução de base: y x 0
Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
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b) Perturbar:
2d y y P
y y 02 EIdx
2d y Py 0
2 EIdx
Com
y 0 y L 0
Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
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Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
c) Solução em y’
y x A sen x B cos x
onde1 / 2P
EI
e y 0 0 B 0
Por outro lado
ny L 0 sen L 0 com n int eiron L
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Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
d) Examinar a estabilidade
Para diferentes cargas Pn, com n inteiro, tem-se diferentes níveis de flexão na forma de sonoides:
n=0 => y(x)=0n=1 => y(x)=Asen (x/L)n=2 => y(x)=Asen (3x/2L)
Estabilidade neutra.
1 / 2 2 2P n n EInFisicamente Pn 2EI L L
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Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão
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3.4. Estabilidade linear em Escoamentos
•Equação de Orr-Sommerfeld
Escoamentos incompressíveis laminares. Propriedades físicas constantes. Equações:
CM : .V 0
DV 1 2CQM : p VDt
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•Seguindo os passos:
.Assumir uma dada solução de base para o comportamento médio do escoamento
V U ,V ,W0p P0
.Superpor uma perturbação sobre a solução de base
ˆ ˆ ˆ ˆV v U u,V v ,W w0ˆ ˆp p P p0
Estabilidade linear em Escoamentos
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.Após desprezar as potências de ordem superior, tem-se:
ui 0xiˆ ˆ ˆˆu u U u1 pi i i iˆU uj jt x x x x xj j i j j
•Para continuar, assume-se um escoamento de base U(y)bidimensional e localmente paralelo por exemplo;
. As perturbações se comportam na forma de ondas que são transportadas. Expressando-as na forma complexa, tem-se:
ˆ ˆ ˆ ˆu,v ,w , p u y ,v y ,w y , p y exp i x cos z sen ct
Estabilidade linear em Escoamentos
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.onde
i 1 o: n de onda
: ângulo em relação à diração considerada
c : velocidade de propagação das ondas
forma de um trem de ondas cujas amplitudes dependem de y e movimentam-se com um ângulo
ˆ ˆ ˆu,v ,w
Todas as ondas se propagam com um número de onda e com velocidade c.
Estabilidade linear em Escoamentos
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. Estas ondas são classicamente conhecidas como ondas de Tolmien-Schilichting (ondas TS)
. Substituindo-se estas perturbações nas equações precedentes, obtém-se o seguinte sistema de equações:
dvPCM i ucos i sen 0
dy
2dU i d u 2i uF v pcos u 02dy dy
21 dp d v 2i vF v 02BQM dy dy
2dW i d w 2i wF v pcos u 02dy dy
F U cos w sen c
Estabilidade linear em Escoamentos
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• Tem-se um sistema de quatro equações e quatro incógnitas (u, v, w e p). Elas são de segunda ordem em (u, v e w) e de primeira ordem na pressão p. Trabalhando estas equações e eliminando variáveis tem-se a equação de Orr-Sommerfeld:
i2 2 4U c v v U v v 2 v v 0.
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Para duto : v h v h 0
v 0 v 0 0Cacama lim ite :
v v 0
Camada cizalhante : v v 0
+h
-h
y
y
Estabilidade linear em Escoamentos
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A equação de Orr-Sommerfeld é homogênea e linear e as condições de contorno também o são. Logo ela admite solução do tipo auto-valores e auto-funções. Para um dado perfil apenas uma seqüência de valores satisfarão a equação de Orr-Somerfeld, submetida a estas condições de contorno. O problema matemático maior que reside é a determinação destas auto-funções associadas à solução
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Estabilidade linear para escoamentos invíscidos
Neste caso considera-se que Reynolds tenda a infinito. Desta forma, simplifica-se a equação de Orr-Somerfeld, obtendo-se a equação de Rayleigh (1878).
U 2v v 0U c
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Estabilidade linear para escoamentos invíscidos
Com base nesta teoria, foram propostos e demonstrados os seguintes teoremas:
Teorema 1 (Rayleigh -1880) – É necessária a existência de um ponto de inflexão (escoamentos 2D) ou uma linha de inflexão (escoamentos 3D) em U(y) (perfil de base) para aparecer instabilidades no escoamento.
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Estabilidade linear para escoamentos invíscidos
Teorema 2 (Fjortoff - 1950) – É também necessário que o valor numérico da vorticidade /U’/ (norma da vorticidade) assuma um máximo no ponto de inflexão ou sobre a linha de inflexão.
Teorema 3 (Fjortoff – 1950) – Se um ponto ou uma linha de inflexão existem é também necessário que U”(U-UPI)<0 em algum ponto sobre o perfil U(y), onde UPI é a velocidade sobre o ponto ou sobre a linha de inflexão.
Teorema 4 (Fjortoff - 1950) – Se um ponto ou uma linha de inflexão existe sobre U(y), ou seja, em y=yPI, então poderá existir uma linha neutra (cI=0) cuja velocidade de fase é Cr=U(PI). Isto é importante pois esta linha separa as regiões estáveis e instáveis em um diagrama de estabilidade
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Estabilidade linear para escoamentos invíscidos
Teorema 5 (Rayleigh - 1880) – A velocidade de fase Cr de uma perturbação amplificada deve sempre estar no intervalo Umax e Umin.
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Estabilidade linear para escoamentos invíscidos
Estável, seminflexão.
y
U(y)(a)
oyI
y
U(y)(b)
Estável, seminflexão.
y
U(y)(c)
0UUU0UU
0yUPI
PI
Estável: Imin yemU
y
U(y)(d)
Poderá ser instável,satisfaz aos trêsprimeiros teoremas
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Por muito tempo, pensou-se que, pelo teorema 1, só os escoamentos cizalhantes livres poderiam transicionar. Coube a Prandtl (1921) constatar que os efeitos viscosos podem desestabilizar escoamentos do tipo camada limite. Conclui-se, desta forma, que existem duas famílias de instabilidades: aquelas de natureza cizalhante e aquelas de natureza viscosa.
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Estabilidade linear para escoamentos viscosos
•Escoamentos cizalhantes livres
•Aqui é apresentada uma análise de estabilidade relativa a uma camada de mistura em desenvolvimento temporal. Betchov e Szewcyk (1963), utilizaram um perfil de base do tipo
yU y U tgh0 L
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Estabilidade linear para escoamentos viscosos
•Ilustração do perfil de base utilizado
L
a
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Estabilidade linear para escoamentos viscosos
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Estabilidade linear para escoamentos viscosos
•Camada limite de Blasius
Re
Z o n a I n s t á v e l
Z o n a e s t á v e l
cRe
ondadenúmero:
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Estabilidade linear para escoamentos viscosos
O cenário do processo de transição em uma camada limite pode ser resumido como segue:
1. Formação de ondas TS: natureza física está ligada a efeitos viscosos, que neste caso são voltado para o processo de amplificação de perturbações e geração das ondas TS;
2. Surgimento de instabilidades transversais;
3. Surgimento de instabilidades do tipo “grampo de cabelo”;4. Formação dos chamados spots turbulentos;5. Degeneração em turbulência 3D.
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Estabilidade linear para escoamentos viscosos
`
c Re
Ondas de T-S Instabilidades em
grampo de cabelo
Spots turbulentos e turbulência desenvolvida
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5.- Turbulência 3D4.- Spots Turbulentos3.- Indução não linear dos processos de bombeamento de fluido vertical e de soerguimento das cristas das instabilidades2.- Oscilações transversais sobre as ondas TS1.- Ondas de Tollmien- Schlichting