Capítulo 4:Medidas de dispersión

Medidas de dispersión absolutas Desviación media

Varianza, Desviación típica o estándarTipificación

Medidas de dispersión relativas

Introducción

¿Es la media representativa?

Queremos cuantificar la separación de los valores de la distribución respecto a la media. Si todos los valores están cercanos al valor medio, la media es representativa.

Medidas de dispersión absolutas

• Recorrido:

- la diferencia entre el mayor y el menor valor.

- Nota: ¡Muy sensible a valores extremos!

ii

ii

xmínxmáx Re

Medidas de dispersión absolutas

• Recorrido intercuartílico:

- la diferencia entre el tercer cuartíl y el primero.

- 50% de los valores centrales están incluidos en .

13 CCRI

IR

• Queremos una medida que hace referencia a la promedia.

• Alternativa: sumar todas las desviaciones al promedio y promediar estas ;

• ¡Pero entonces sumamos valores positivos y negativas y sería pequeña aunque la dispersión puede ser grande!

)(P

n

i

ii N

nPxD

1

)(

¡Si xP , 0D !

Desviación media

Se puede calcular las desviaciones en valor absoluto.

Es la desviación media respecto a la media aritmética.

Un valor de grande indica una gran dispersión.

n

i

iix N

nxxD

1

xD

Desviación media respecto a la mediana

- Recuerda que cuando la distribución está agrupada en intervalos

y para se usa las marcas de clase.

n

i

iiMe N

nMexD

1

ii

i

i cn

NN

LMe1

12

ix

Varianza

• La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable a la media aritmética;

n

i

ii N

nxxS

1

22 )(

Desviación típica o estándar

• La varianza es difícil de interpretar porque las unidades de la medida están elevadas al cuadrado. La desviación típica es,

n

i

ii N

nxxSS

1

22 )(

Varianza

• Propiedades de la varianza:1) La varianza es positiva para un variable (Un constante

tienen la varianza cero!)2) La varianza es la medida cuadrática de dispersión

óptima: 3) La varianza es igual al momento de segundo orden

respecto al origen menos el de primer orden elevado al cuadrado.

4) Si sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza no varía.

5) Si multiplicamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

Desviación típica

• Propiedades de la desviación típica:

1)…5)

Nota: Valores extremos tiene más influencia sobre la desviación típica comparado con la desviación media.

Tipificación

• Una variable se denomina tipificada, estandardizada o reducida, si su media es cero y su varianza es uno.

• La observación está desviaciones típicas por encima (debajo) de la media.

S

xxZ i

ix Z

Medidas de dispersión relativas

• ¿Como podemos comparar la dispersión de dos variables distintas cuando la unidad de medida es diferente? (¿o cuando la media es diferente?).

• Necesitamos medidas adimensionales.

Medidas de dispersión relativas

• Coeficiente de apertura.

• La relación por cociente entre el valor mayor ( ) y menor ( ), nx 1x

1x

xA n

Medidas de dispersión relativas

• Recorrido relativo

• El cociente entre el recorrido y la media aritmética, .

• Indica el número de veces que el recorrido contiene a la media aritmética.

x

RR er

Medidas de dispersión relativas

• Recorrido semi-intercuartílico:

• El cociente entre el recorrido intercuartílico y la suma del primer y tercer cuartil:

13

13

CC

CCRs

Medidas de dispersión relativas

• Coeficiente de variación de Pearson

• Coeficiente de variación de Pearson es la relación por cociente entre la desviación típica y la media aritmética:

x

SV

Medidas de dispersión relativas

• Índice de dispersión respecto a la mediana

• Para comparar medianas.

MeN

nMex

Me

DV

n

i

ii

MeMe

1