capítulo 4 - docentes.fe.unl.ptdocentes.fe.unl.pt/~mhalmeida/slides4.pdf · qual é o cardinal do...

1

Capítulo 4

Complementos de FunçõesComplementos de Funções

2

�SUMÁRIO

� Estrutura e cardinalidade em R� Topologia� Limites e continuidade de funções num ponto pela

Capítulo 4 - Funções

� Limites e continuidade de funções num ponto pela definição (vizinhanças)

� Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass� Teorema de Rolle e de Lagrange� Fórmula de Taylor e fórmula de Mac-Laurin� Derivada da função composta e inversa.� Regra de L´Hospital e regra de Cauchy.

3


• Estrutura dos Números

3− 5

46− i−4

5

104 7− 2+e 0π

4


Números Naturais

São designados por .

1, 2, 3, 4, … , n, …

N

1, 2, 3, 4, … , n, …

Os números naturais são em número infinito, mas é um infinito contável, chamado de infinito numerável.

Chamamos cardinal ao número de elementos de um conjunto. Qual é o cardinal do conjunto dos números naturais?

5


O cardinal do conjunto dos números naturais é Alef Zero. É o cardinal dos conjuntos com um número infinito mas numerável de elementos.

{ }...,...,3,2,1 n Todos estes conjuntos { }...,...,3,2,1 n

{ },...5,...15,10,5 n

{ },...1,...2,1,0 +−−− n

Todos estes conjuntos têm o mesmo cardinal, dado por Alef Zero.

0ℵ

6


Números Inteiros


..., -n, ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n...

Z

..., -n, ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n...

Os números inteiros também são em número infinito, e esse infinito é ainda um infinito numerável.

Logo, o cardinal do conjunto dos números inteiros é ainda dado por Alef Zero.

7


Números Racionais


Podem ser escritos como a divisão de dois números inteiros.

Q

Podem ser escritos como a divisão de dois números inteiros.

Q∈8

0Q∈−

7

4Q∈

2

6

Os números racionais também são em número infinito, e esse infinito é ainda um infinito numerável. O cardinal do conjunto dos números racionais é Alef Zero.

Q∈3

1

8


É possível fazer uma listagem dos números racionais, daí ser considerado um infinito contável, numerável.

....11111

....

....5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

....5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

9


Diferenças entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números naturais ou inteiros:

- O conjunto dos números racionais é denso (entre quaisquer dois números racionais há sempre outro). N e Zquaisquer dois números racionais há sempre outro). N e Znão são densos!

- Qualquer que seja o intervalo entre dois inteiros, o número de racionais nesse intervalo é igual ao número de todos os números racionais, de todos os números inteiros e de todos os números naturais (Alef Zero).

10


....5

2

4

2

3

2

2

2....

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

- O número de racionais no intervalo [0,1] é Alef Zero.- Existem espaços vazios entre os infinitos racionais de 0 a 1. Esses espaços são preenchidos pelos números irracionais.

11


4714,03

2≈

Estes números estão também

Os números irracionais são todos os números que não se podem exprimir como uma razão de dois inteiros.

4714,03

≈

7854,04

≈π

Estes números estão também compreendidos no intervalo [0,1]

Os números irracionais vão ocupar todos os espaços deixados em branco pelos números racionais no intervalo [0,1].

12


À união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais designamos de conjunto dos números reais e representamos por R.

Números Reais

dos números reais e representamos por R.

No intervalo [0,1], se representarmos todos os números racionais e irracionais (ou seja todos os números reais deste intervalo) iremos preencher todo o espaço.

Nada ficará por preencher entre 0 e 1. Trata-se de um infinito não contável, não numerável.

Ao cardinal do contínuo chamamos Alef Um

13


1ℵ1ℵ

RESUMO SOBRE CARDINALIDADE EM R

NÚMEROS NATURAIS:

14


0ℵℵNÚMEROS INTEIROS:

NÚMEROS RACIONAIS:

NÚMEROS REAIS: (cardinal do contínuo)

0

0ℵ

0ℵ

1ℵ

TOPOLOGIA

Seja S um subconjunto de R, ou seja, .

15


RS ⊂

∈∀Diz-se que b émajorante de S se e só se se tem x ≤ b.

Diz-se que b é minorante de S se e só se se tem x ≥ b.

Diz-se que S é um conjunto limitado se e só for majorado eminorado.

Sx ∈∀

Sx∈∀

- Um majorante de um conjunto é um número pelo menos tão grande como qualquer elemento desse conjunto.

- Se existe um majorante, existe uma infinidade de majorantes.

16


- Um majorante pode ou não ser um elemento do conjunto.

- Chama-se supremo ao menor dos majorantes e ínfimo ao maior dos minorantes.

- Chama-se máximo de S ao supremo se este pertencer a S e chama-se mínimo de S ao ínfimo se este pertencer a S.

- O supremo de um conjunto S pode existir ou não.

- O supremo de um conjunto S se existir é único.

- Um conjunto S pode não ter máximo:

17


- Um conjunto S pode não ter máximo:

i) Se o conjunto S nem sequer é majorado OUii) Se o supremo de S, menor dos majorantes, não

pertencer a S

- Todo o subconjunto S de R, majorado e não vazio, tem supremo. Todo o subconjunto S de R , minorado e não vazio, tem ínfimo.

18


[ ] [ [20,106,1 ∪=A

Exemplo 1

Majorantes: Minorantes:

Supremo: Ínfimo:

Máximo: não existe Mínimo:

[ [∞+,20 ] ]1,∞−

20 1

1

19


Exemplo 2

∈−== Nnn

xxB ,1

5:


Supremo: Ínfimo:

Máximo: não existe Mínimo:

[ [∞+,5 ] ]4,∞−

5 4

4

20


Exemplo 3

[ ] QC ∩= 9,3


Supremo: Ínfimo:

Máximo: Mínimo:

??

??

??

??

??

??

21


Distância em R:

A distância entre dois pontos x e y em R é uma funçãoque satisfaz as seguintes propriedades:RRyxd →2:),( RRyxd →:),(

0),( ≥yxd

),(),( xydyxd =

),(),(),( yzdzxdyxd +≤

yxyxd −=),(

22


Vizinhança:

Uma vizinhança de um ponto em R (com ) é: ε a 0>ε

{ }

{ } ] [εεε

εε

+−=<−∈=

=<∈=

aaaxRx

axdRxaV

,:

),(:)(

23


Ponto Interior:

Seja um subconjunto de R. Seja um ponto de R. O ponto a é interior a A se existe uma vizinhança de

RA ⊂ Ra ∈

a contida em A.

O conjunto dos pontos interiores de A é o interior de A.

[ ]8,0=A ?int =A

[ [6,2−=B ?int =B

24


[ ] QRD \25,1 ∩=

?int =C

?int =D

∈== Nnn

xxC ,2

:

[ ] QRD \25,1 ∩=

[ ] { }1710,2 ∪=E

?int =D

?int =E

{ } { }108,6,3 ∪=F ?int =F

25


Ponto Exterior:

Seja um subconjunto de R. Seja um ponto de R. O ponto a é exterior a A se existe uma vizinhança de

RA ⊂ Ra ∈

a que não intercepta A.

O conjunto dos pontos exteriores de A é o exterior de A.

[ ]8,0=A ?)( =Aext

[ [6,2−=B ?)( =Bext

26


[ ] QRD \25,1 ∩=

?)( =Cext

∈== Nnn

xxC ,2

:

?)( =Dext[ ] QRD \25,1 ∩=

[ ] { }1710,2 ∪=E

{ } { }108,6,3 ∪=F

?)( =Dext

?)( =Eext

?)( =Fext

27


Ponto Fronteiro:

Seja um subconjunto de R. Seja um ponto de R. O ponto a é fronteiro a A se: , e

RA ⊂ Ra ∈

)(aVε∀ φε ≠∩ AaV )(

φε ≠∩ AaV )(

Qualquer vizinhança está em A e no seu complementar. O conjunto dos pontos fronteiros de A é a fronteira de A.

[ ]8,0=A ?)( =Afront

[ [6,2−=B

φε ≠∩ AaV )(

?)( =Bfront

28


[ ] QRD \25,1 ∩=

?)( =Cfront

∈== Nnn

xxC ,2

:

?)( =Dfront[ ] QRD \25,1 ∩=

[ ] { }1710,2 ∪=E

{ } { }108,6,3 ∪=F

?)( =Dfront

?)( =Efront

?)( =Ffront

29


Ponto Aderente:

É um ponto que está no interior de A ou na fronteira de A. Em linguagem de conjuntos, a é aderente a A se ,)(aVε∀

φ≠∩ AaV )(

A aderência de A é formada pela união do interior de A com a fronteira de A, ou seja:

φε

≠∩ AaV )(

)()(intAder(A) AfrontA ∪=

30


Conjunto Aberto:

Um conjunto A é aberto se coincidir com o seu interior.

)(intA A=

Um conjunto A é fechado se coincidir com a sua aderência.

Conjunto Fechado:

)()(int)(A AfrontAAader ∪==

31


Exemplos:

[ ] { }75,1 ∪=A O conjunto A é fechado pois coincide com a sua

] [5,1)int( =A

ARAext \)( =

{ }7,5,1)( =Afront

] [ { } AAader =∪= 7,5,15,1)(

pois coincide com a sua aderência. Não é aberto pois não coincide com o seu interior.

32


Exemplos:

∈+−== Nnn

exxBn ,

1)1(:

φ=)int(A

{ }( )eeBRAext ,\)( −∪=

{ }eeBAfront ,)( −∪=

{ }eeBAader ,)( −∪=

O conjunto A não é aberto nem fechado.

33


Há conjuntos simultaneamente abertos e fechados. É o caso do conjunto vazio e de R. São chamados “clopen sets”.

RC = φ=D

RC =)int(

φ=)(Cext

φ=)(Cfront

RCader =)(

φ=)int(D

RDext =)(

φ=)(Dfront

φ=)(Dader

34


Ponto de Acumulação:

O ponto a é ponto de acumulação do conjunto A se à sua volta se juntarem infinitos pontos de A. Um ponto de acumulação de A pode não pertencer a A.A pode não pertencer a A.

Ao conjunto dos pontos de acumulação do conjunto A chama-se derivado de A, designado por .

{ }[ ] φε

≠∩ aAaV \)(,0>∀ε

A′

35


Ponto Isolado:

O ponto a do conjunto A é ponto isolado se não for ponto de acumulação de A, ou seja, se:acumulação de A, ou seja, se:

,0>∃ε { }aAaV =∩)(ε

36


[ ] QB ∩= 7,1

{ }8)( =Aderiv

∈+== Nnn

xxA ,1

8:

[ ]7,1)( =Bderiv[ ] QB ∩= 7,1

[ ] { }19,4 ∪=C

[ [ ZD ∩= 7,3

[ ]7,1)( =Bderiv

[ ]9,4)( =Cderiv

φ=)(Dderiv

37


{ }6,6)( −=Ederiv

] [ { }19,2 ∪=F

∈+−== +Nn

nxxE

n ,2

)1(6: 1

[ ]9,2)( =Fderiv] [ { }19,2 ∪=F [ ]9,2)( =Fderiv

Teorema de Bolzano Weirstrass:

Todo o subconjunto limitado de R, de cardinal infinito, admite pelo menos um ponto de acumulação.

38


Limites de funções num ponto: definição por vizinhanças

Seja uma função real de variável real f, definida numa vizinhança do ponto , , mas não necessariamente x )(xVvizinhança do ponto , , mas não necessariamente em .Diz-se que é o limite de f(x) quando x tende para se:

0x )(

0xV

0x

εδεδε <−⇒<−∃>∀ bxfxx )(:)(,0 0

b 0x

39


b

y

fε

εδεδε <−⇒<−∃>∀ bxfxx )(:)(,0 0

0x x

δ

40


Exemplo 1:

Provemos pela definição que o limite no ponto 1 é 4.

εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx

22)( += xxf

εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx

2112)1(2

224224)(

εεε

εεε

<−⇔<−⇔<−⇔

⇔<−⇔<−+⇔<−

xxx

xxxf

41


214)(

εε <−⇔<− xxf

Seja )(ε

εδ =Seja

Logo,

2)(

εεδ =

( ) 422lim1

=+→

xx

42


4

yf

ε

εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx

1 x

δ

43


4

yf

ε 0,2 0,1

ε )(εδ

1 x

δ

2)(

εεδ =

0,002 0,001

As imagens dos xx que estejam dentro de uma vizinhança 0,1 de , estarão dentro de uma vizinhança de 0,2 de y=4.

1=x

44


Exemplo 2:

Provemos pela definição que o limite no ponto 3 é 5.

εδεδε <−⇒<−∃>∀ 5)(3:)(,0 xfx

4)( 2 −= xxf

εδεδε <−⇒<−∃>∀ 5)(3:)(,0 xfx

7333)3)(3(

9545)( 22

εεε

εεε

<−⇒<+−⇔<+−⇔

⇔<−⇔<−−⇔<−

xxxxx

xxxf

Vamos majorar por 7

45


Exemplo 3:

Provemos pela definição que o limite no ponto 2 é 1/2.

εδεδε <−⇒<−∃>∀1

)(2:)(,0 xfx

xxf

1)( =

εδεδε <−⇒<−∃>∀2

1)(2:)(,0 xfx

εε

εεεε

222

2

2

2

2

2

2

11

2

1)(

<−⇒<−

⇔

⇔<−

⇔<−

⇔<−⇔<−

xx

x

x

x

x

x

xxf

Vamos minorar por 1x

46


Para provar pela definição que uma função é contínua num dado ponto, basta calcular a imagem b desse ponto e provar pela definição que o limite da função nesse ponto é igual a b.igual a b.

Exemplo: prove pela definição que é contínua em x=1. Como , basta provar que:

xxf −= 5)(

4)1( =f

εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx

47


Teorema de Bolzano ou do Valor Intermédio:

Seja uma função contínua num intervalo fechado com . Seja k um valor arbitrário entre f(a) e f(b) (ou entre f(b) e f(a)). Então existe c, tal que f(c)=k.

[ ]ba;

)()( bfaf ≠

f(b) (ou entre f(b) e f(a)). Então existe c, tal que f(c)=k.

Corolário do Teorema de Bolzano

Se f(a).f(b)<0, então f tem pelo menos um zero em .[ ]ba;

48


Teorema de Weierstrass ou do Valor Extremo:

Toda a função contínua num conjunto limitado e fechado de R tem máximo e mínimo.

x

y

f

a b

max

min

49


y

f

xa b

Não há máximo nem mínimo em [a,b] . O intervalo não é fechado logo as condições de aplicação do teorema de Weierstrass não estão cumpridas. Não se garante a existência de extremos em [a,b].

50


Teorema de Rolle:

Seja uma função contínua em e diferenciável em . Seja . Então tal que .

f [ ]ba, ] [ba,

kbfaf == )()( ] [bac ,∈∃ 0)(' =cf

x

y

f

a b

k

51


Não basta que a função seja contínua, tem de ser diferenciávelem . Se apenas for contínua não garantimos que exista pelo menos um ponto onde a derivada se anula. Ver exemplo seguinte: y

] [ba,

x

y

f

a b

k

52


Corolário 1 do Teorema de Rolle:

Entre dois zeros de uma função diferenciável há pelo menos um zero da derivada.

Corolário 2 do Teorema de Rolle:

Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função diferenciável há, no máximo, um zero da função.

53


Teorema de Lagrange (ou dos acréscimos finitos):

Seja uma função contínua em e diferenciável em . Então existe tal que:

)(xf [ ]ba, ] [ba,

] [bac ,∈ ] [

)(')()(

cfab

afbf=

−

−

x

y

a bc

O declive da recta secante ao gráfico que passa em ae b é igual à derivada no ponto c.

f

54


Corolário 1 do Teorema de Lagrange:

Seja uma função nas condições do teorema de Lagrange. Se , , é constante em .

0)(' =xf

] [bax ,∈∀ )(xf [ ]ba,

Corolário 2 do Teorema de Lagrange:Corolário 2 do Teorema de Lagrange:

Seja uma função nas condições do teorema de Lagrange. Se , , é estritamente crescente em

0)(' >xf

] [bax ,∈∀ )(xf [ ]ba,

Corolário 3 do Teorema de Lagrange:

Seja uma função nas condições do teorema de Lagrange. Se , , é crescente em

0)(' ≥xf

] [bax ,∈∀ )(xf [ ]ba,

55


Diferencial de uma função num ponto

Permite fazer aproximações ao valor (desconhecido) de uma função num ponto desde que num ponto vizinho conheçamos o valor da função e da sua derivada.o valor da função e da sua derivada.

Exemplos:

- A partir de sen(45º) podemos prever o valor de sen(46º).- A partir de podemos prever o valor de ou de . 9 8 10

56


- Ou seja, sabendo o valor que uma variável toma hoje e sabendo o seu ritmo de crescimento, posso prever o seu comportamento no futuro.

- Ponto conhecido

- dx corresponde à variação na variável x

- Consideremos o novo valor de x dado por

- Pretende-se estimar

( )( )00 , xfx

)( 0 dxxf +

dxx +0

57


y

f)( dxxf + A yfxfdxxfCA ∆=∆=−+=− )()(

x0x dxx +0

)( 0xf

)( 0 dxxf + A

B

C

yfxfdxxfCA ∆=∆=−+=− )()( 00

A-C é o acréscimo da função devido a dx

58


y

f)( dxxf + A

dydfCB ==−

B-C é o diferencial da função

x0x dxx +0

)( 0xf

)( 0 dxxf + A

B

C

dxxfdy )('0

=

)('0

xfdx

dy=

59


y

f)( dxxf + A

dyy ≈∆

x0x dxx +0

)( 0xf

)( 0 dxxf + A

B

CDiferencialAcréscimo

60


dxxfxfdyxfdxxf ).(')()()( +=+≈+

dyy ≈∆

dxxfxfdyxfdxxf ).(')()()( 0000 +=+≈+

Imagem do ponto conhecido

DiferencialImagem do ponto desconhecido

Aproximação de primeira ordem

61


Exemplo:

A partir do valor de estime o valor de . A ideia geral é que será mais um “bocadinho”. Esse “bocadinho” é o diferencial em 4 para dx=1 .

4 5

5 4

diferencial em 4 para dx=1 .

4

951

4

125)4('4545 ≈⇔×+≈⇔+≈⇔+≈ dxfdy

4

1)4('e

2

1)('logo)( === f

xxfxxf

62


25,24

95 =≈

Usando uma máquina calculadora obtém-se o valor “exacto”:

O erro na aproximação corresponde a:

...236068,25 =

013932,0236068,225,2 =−

63


Aproximação de 1ª ordem da função em torno de x=4.

4

1)4('logo

2

1)('logo)( === f

xxfxxf

xxf =)(

14

)4.(4

14.

4

14 +≈⇔−+≈⇔+≈

xxxxdxx

4)4('logo

2)('logo)( === f

xxfxxf

Polinómio de grau 1

64


Aproximação de 1ª ordem da função em torno de x=9.

6

1)9('logo

2

1)('logo)( === f

xxfxxf

xxf =)(

2

3

6)9.(

6

13.

6

19 +≈⇔−+≈⇔+≈

xxxxdxx

6)9('logo

2)('logo)( === f

xxfxxf

Polinómio de grau 1

65


Considerações importantes:

- O diferencial de uma função num ponto depende do valor da derivada nesse ponto e do acréscimo dx.da derivada nesse ponto e do acréscimo dx.

- O valor de dx nada tem que ver com a função específica que estamos a aproximar.

dxxfdy ).(' 0=

66


-A diferença entre o diferencial e o acréscimo depende do valor de dx e da forma específica da função; se esta for uma recta ....; se for convexa….; se for côncava....

- Só se pode falar de diferencial num ponto que pertença ao domínio de f.

- Só se pode falar em diferencial num ponto se a função for diferenciável nesse ponto.

67


y

f

Aproximações por polinómios de ordem superior

O diferencial deu origem à aproximação de primeira ordem e este foi um primeiro passo para

x0x

f

dxx +0

)( 0xf

)( 0 dxxf + A

B

C

este foi um primeiro passo para aprendermos a calcular valores de certas funções.

Mas porque não aproximar uma curva à função e não uma recta, de modo a melhorar a aproximação?

68


Aproximação de 1ª ordem

))((')()( axafafxf −+≈

Aproximação de 2ª ordemAproximação de 2ª ordem

!2

))((''))((')()(

2axaf

axafafxf−

+−+≈

Aproximação de ordem n

( )

!

))((...

!2

))((''))((')()(

2

n

axafaxafaxafafxf

nn −++

−+−+≈

69


xexf =)(Exemplo: Consideremos 0=a


)0)(0(')0()( −+≈= xffexfx

yf xy +=1

2)0)(0(''2

1)0)(0(')0()( −+−+≈= xfxffexf

x

2

2

11)( xxexf

x ++≈=

)0)(0(')0()( −+≈= xffexf

xexfx +≈= 1)(

Aproximação de 2ª ordemx

1

70



nnxxfxfxffexf )0)(0(

1...)0)(0(''

1)0)(0(')0()( 2 −++−+−+≈= nnx

xfn

xfxffexf )0)(0(!

1...)0)(0(''

2

1)0)(0(')0()( 2 −++−+−+≈=

...!

1...

!4

1

!3

1

2

11)( 432 +++++++≈= nx

xn

xxxxexf

71


xexf =)(Exemplo: Consideremos 1=a


)1)(1(')1()( −+≈= xffexfx

yf exy =

)1)(1(')1()( −+≈= xffexf


exxeeexfx =−+≈= )1()(

2)1(2

1)1()( −+−+≈= xexeeexf

x

2)1)(1(''2

1)1)(1(')1()( −+−+≈= xfxffexf

x

x

e

1

72



nnxxfxfxffexf )1)(1(

1...)1)(1(''

1)1)(1(')0()( 2 −++−+−+≈= nnx

xfn

xfxffexf )1)(1(!

1...)1)(1(''

2

1)1)(1(')0()( 2 −++−+−+≈=

nxxe

nxexeeexf )1(

!

1...)1(

2

1)1()( 2 −++−+−+≈=

Estas aproximações foram descobertas por Brook Taylor.

73


Polinómio de Taylor:

axafaxafaxafafxf ))(('''!3

1))((''

!2

1))((')()( 32 +−+−+−+≈

nnaxaf

naxaf ))((

!

1...))((''''

!4

1

!3!2

)(4 −++−+

74


Fórmula de Taylor:

))(('''!3

1))((''

!2

1))((')()( 32

axafaxafaxafafxf +−+−+−+=

)())((!

1...))((''''

!4

1

!3!2

)(4axRaxaf

naxaf n

nn −+−++−+

O resto de ordem n é o que “sobra” após uma aproximação de ordem n.

75


Fórmula de Mac-Laurin:

( ) ( ) ))(0('''!3

1)0(''

!2

1)0(')0()( 32

xfxfxffxf ++++=

amente)obrigatori(0=a

)())(0(!

1...))(0(''''

!4

1

!3!2

)(4xRxf

nxf n

nn ++++

Quando a fórmula de Taylor é desenvolvida em torno de a=0 denomina-se de fórmula de Mac-Laurin.

76


O Resto de Lagrange:

( )( )

)(!1

)( )1(

1

cfn

axaxR

n

n

n

+

+

+

−=− ] [xac ,∈

( )!1nn

+] [xac ,∈

- É o termo de ordem n+1 na fórmula de Taylor com a derivada calculada num ponto desconhecido c, entre x e a.

- O resto é desconhecido, por isso vamos querer majorá-lo.

77


Exemplo:

-Escreva a fórmula de Taylor com resto de Lagrange onde aparece a derivada de terceira ordem em torno de (ou seja, a fórmula de MacLaurin) da função .

0=xx

exf =)(seja, a fórmula de MacLaurin) da função . Calcule ainda um majorante para o erro ao calcular .

exf =)(

32 )0)(('''!3

1)0)(0(''

!2

1)0)(0(')0()( −+−+−+== xcfxfxffexf

x

xccfxxxexfx <<+++== 0)('''

!3

1

!2

11)( 32

1,0e

78


xcexxxexfcx <<+++== 0

!3

1

!2

11)( 32

Esta fórmula é exacta. Só é possível majorar o resto no caso concreto.concreto.

Caso concreto:

O que dizer sobre o resto?

( ) ( ) ( ) cceeef

3321,0 1,0!3

1105,11,0

!3

11,0

!2

11,01)1,0( +=+++==

1,00 << c

79


( ) 1,001,0!3

1)1,0(

3

2 <<= ceRc

Um majorante do resto será obtido quando c=0,1.

( ) ...0003684,01,0!3

1 1,03=e

Com uma aproximação de 2ª ordem, o erro (em módulo) ao afirmarmos que é inferior a . Com uma máquina de calcular obtemos .

105,11,0 =e 0003684,0

105170918,1

80


Derivada da função composta e inversa

Derivada da função composta

[ ] [ ] )(')).((''))((')( xgxgfxgfxfog ==

[ ] )(')).(('))).((('')))((( xhxhgxhgfxhgf =

81


Derivada da função inversa

Seja uma função estritamente monótona (logo, injectiva) e contínua. Seja a sua função inversa .

RRDf →⊂:g RDfg →)(:

Se é diferenciável em e então:

é diferenciável em .

))(('

1

)('

1)('

00

0ygfxf

yg ==

f Dx ∈00)(' 0 ≠xf

g00 )( yxf =

82


64)( += xxf

4

664

−=⇔+=

yxxy

Exemplo 1 :

Como a função inversa de f é:

6−x

Como calcular ? É fácil perceber que . Mas como encontrar este valor sem encontrar explicitamente a função inversa de f ? Aplicando a fórmula da derivada da função inversa.

4

6)()(1 −

==− xxgxf

)1('g4

1)1(' =g

83


64)( += xxf

Pretende-se calcular . Sabendo que os objectos da função inversa são as imagens da função inicial, podemos encontrar a coordenada em falta do ponto em estudo.

)1('g

coordenada em falta do ponto em estudo.

Ponto de f:

Ponto de g:

4

1

4

5'

1)1(' =

−

=

f

g

4

5641 −=⇔+= xx

− 1;

4

5

−

4

5;1

84


7)( 2 −= xxfExemplo 2 :

Fazendo uma restrição ao domínio de f e sendo g a função inversa de f, encontre . )2('ginversa de f, encontre .

Sabemos que f não é uma função injectiva no seu domínio logo consideremos ou . Vamos considerar a segunda restrição.

)2('g

0>x 0<x

772 +−=⇔−= yxxy 7)()(1 +−==−xxgxf

85


72

1)('

+

−=

xxg

6

1)2(' −=g

Usando o teorema da derivada da função inversa, temos:

( ) ( ) 6

1

32

1

3'

1)2(' −=

−×=

−=

fg

Usando o teorema da derivada da função inversa, temos:

Dada a restrição x<0, . Ponto de f:

Ponto de g:

33972 2 =∨−=⇔=⇔−= xxxx

( )2;3−

( )3;2 −

3−=x

86


Regras de L´Hospital e de Cauchy

Sejam duas funções e diferenciáveis num )(xg

Regra de L´Hospital

Sejam duas funções e diferenciáveis num ponto onde mas . Seja ainda

numa vizinhança de . Então:

)(xf )(xg

ax = 0)()( == agaf 0)(' ≠ag

0)( ≠xg ax =

)('

)('

)(

)(lim

ag

af

xg

xfax

=→

87


101

2

5

25lim

5

0

0

2

5=

=

−

−

=

→x

RL

x

x

x

x

2210

2

−−

RL

xx

Confirmar que as condições de aplicação

3

2

2

6

2

66

1lim

1

02

1−=

−=

−

−

=

→

x

RL

x

x

x

x

x

( ) ( )1

9

9cos9

9

9lim

0

0

0

0=

=

=

→x

RL

x

x

x

xsen

condições de aplicação da regra de L´Hospitalestão verificadas em todos estes exemplos!

88


Notas:

- Esta regra só é válida para o caso .0

0

)(116

32

3

43lim

1

2

2

1FALSO

x

x

xx

xx

xx

=

−

+=

−

−+

=→

89


- A regra pode ser usada para levantar indeterminações quando x tende para infinito. Basta redefinir a variável.

( ) ( )1

cossinlim

6sin

lim0

0

=

==

RL

zzx 6=

( ) ( )1

1

cossinlim

6lim

0

0

0=

==

=

→+∞→x

zx

z

z

z

x

xx

z6

=

11

1lim

1

1lim

0

0

0

0

2

12

=

=

−=

−

=

→+∞→x

zRL

z

z

x

x

e

z

e

x

e2

1

xz =

90


Sejam duas funções e definidas num ponto de um intervalo (mas eventualmente não diferenciáveis em ) e tais que quando

)(xf )(xg ax =

Regra de Cauchy

] [βα ,

ax = ax →diferenciáveis em ) e tais que quando (com ) , e ou e .

Então:

(desde que o segundo limite exista)

ax = ax →ax ≠ 0)( →xf 0)( →xg ∞→)(xf ∞→)(xg

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfaxax →→

=

91


Notas:

- O ponto a pode ser um dos extremos de .] [βα ,

0 ∞- A indeterminação pode ser da forma ou .

- O limite pode ser tomado em ou .

0

0

∞

∞

∞+ ∞−

92


05

1lim

5

1

limln

lim545

===+∞→+∞→

∞

∞

+∞→ xx

x

x

x

xx

RC

x

12

)1(

1

2

1

1

lim1)1ln(

lim

0

20

0

0

0

0

20=

++

=+−

=−+−

=

→

→

x

xRLx

x

RCx

x

xe

x

xe

x

xe

93


Outros tipos de indeterminação:

( ) 0lim1

1

lim1

lnlimln.lim

000

0

0=−=

−

==++++ →→

∞

∞

→

∞×

→xxx

xxxx

RC

xx 11 0

2

000−

++++ →→→→

xx

xxxx

0sincos2

sinlim

cossin

1coslim

sin.

sinlim

sin

11lim

0

0

0

0

0

0

00

=

−

−=

=

+

−=

−=

−

→

→

→

∞−∞

→

xxx

x

xxx

x

xx

xx

xx

x

RC

x

RC

xx

94


( ) ( )( ) ( )

limsinlim

cos

sinlnlimsinlnlimsinln

0

0

0

00

0

====+→+→

++ →→eeex x

x

xx

x

xxxx

x

x

x

( )

10cos

sincos2

0

0

sin

coslim

1sin

cos

lim1

sinlnlim

0

2

2

02

00

===

====

=

+→

+→+→

−−

−−

∞

∞

ee

eee

x

x

xx

x

xxxx

RL

x

xx

x

x

x

RC

x

x

capítulo 4 - docentes.fe.unl.ptdocentes.fe.unl.pt/~mhalmeida/slides4.pdf · qual é o cardinal do...

Documents