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Resistência dos Materiais I – SLIDES 05
Capítulo 5
Carga Axial
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REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
Objetivos do capítulo
Determinar a tensão
normal e as deformações
em elementos carregados
axialmente
Calcular as reações de
apoio quando as
equações de equilíbrio
estático forem
insuficientes
Estudar o efeito da tensão
térmica
2
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5.1 Princípio de Saint-Venant
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5.1 Princípio de Saint-Venant
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5.1 Princípio de Saint-Venant
5
A tensão e a deformação produzidas em pontos de um
corpo suficientemente distantes da região de aplicação
de cargas serão iguais à tensão e à deformação
produzidas por quaisquer carregamentos aplicados
que tenham a mesma resultante estaticamente
equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da
mesma região.
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5.1 Princípio de Saint-Venant
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5.2 Deformação elástica de um
elemento sob carga axial
Consideremos a viga genérica sob carga axial:
7
Carga varia ao longo de x P (x)
Área varia ao longo de x A (x)
Elasticidade varia ao longo de x E (x)
Tensão uniforme em cada seção Saint-Venant
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5.2 Deformação elástica de um
elemento sob carga axial
Vamos calcular a deformação no elemento dx:
8
E
Lei de Hooke!!!
)(
)(
xA
xP
dx
d
dx
dxE
xA
xP )(
)(
)(
)()(
)(
xExA
dxxPd
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5.2 Deformação elástica de um
elemento sob carga axial
Para o comprimento total da barra, tem-se:
9
L
xExA
dxxP
0 )()(
)(
δ = deslocamento de um ponto na barra
relativo a um outro ponto.
L = distância original entre os dois pontos.
P(x) = força axial interna na seção, localizada
a uma distância x de uma extremidade.
A(x) = área da seção transversal da barra,
expressa em função de x.
E(x) = módulo de elasticidade do material,
expresso em função de x.
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5.2 Deformação elástica de um
elemento sob carga axial
Elemento com P, A e E constantes (ao longo do
comprimento
Quando o elemento
é constituído de
segmentos:
10
L
dxEA
P
0
EA
LP
EA
LP
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5.2 Deformação elástica de um
elemento sob carga axial
Convenção de sinais
11
+
Tração / Alongamento
─
Compressão / Contração
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Exemplo 5.1
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Exemplo 5.2
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5.3 Princípio da Superposição
Metodologia:
Subdividir o carregamento em componentes;
Calcular os efeitos em separado;
Somar os resultados.
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A tensão ou o deslocamento resultante no
ponto podem ser determinados se antes se
determinar a tensão ou o deslocamento
causado por cada componente de carga
agindo separadamente sobre o elemento.
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5.3 Princípio da Superposição
Condições necessárias para aplicação do método:
A carga deve estar relacionada linearmente com a
tensão ou com o deslocamento a ser determinado:
Exemplos:
A carga não deve provocar mudanças significativas na
geometria ou na configuração original do elemento.
Lembrar da hipótese de pequenos deslocamentos!
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A
P
AE
PL
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5.3 Princípio da Superposição
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Condições necessárias para aplicação do método:
Contra exemplo (o princípio não é válido):
No curso o princípio sempre será válido, a menos que se
explicite o contrário, como no caso de flambagem de colunas
212211 porque , ddddPdPdP
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5.4 Elemento com carga axial
estaticamente indeterminado
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Um elemento é considerado estaticamente
indeterminado quando as equações de equilíbrio
são insuficientes para a determinação das reações
Uma forma de se resolver o problema consiste em
adicionar mais uma equação ao sistema, chamada
equação de compatibilidade ou cinemática, que
relaciona o deslocamento ao equilíbrio
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5.4 Elemento com carga axial
estaticamente indeterminado Exemplo:
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0 PFF BA
Equilíbrio: 0
vF
Duas incógnitas e
apenas uma equação!
Equação de
compatibilidade
zero/ BA
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5.4 Elemento com carga axial
estaticamente indeterminado Exemplo:
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Percebendo-se que a força
interna no segmento AC é
+FA, e que no segmento CB
é -FB , a equação de com-
patibilidade pode ser escri-
ta como:
0// CBCA
0
EA
LF
EA
LF CBBACA
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5.4 Elemento com carga axial
estaticamente indeterminado Exemplo:
20
0
EA
LF
EA
LF CBBACA
AC
CBBA
L
LFF
Substituindo na equação de equilíbrio estático:
PFL
LFB
AC
CBB
PL
LF
AC
CBB
1
PL
LLF
AC
ACCBB
L
LPF AC
B
L
LPF CB
A
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Exemplo 5.3
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Exemplo 5.4
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Exemplo 5.4
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5.5 Tensão Térmica
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A partir de estudos da Física, pode-se deduzir:
α: coeficiente linear de expansão térmica [T]-1
ΔT: variação de temperatura do elemento
L: comprimento inicial do elemento
δT: variação no comprimento do elemento
LTT
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5.5 Tensão Térmica
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Se a mudança na temperatura ou o deslocamento
mudar ao longo do comprimento:
Observação: quando o elemento é estaticamente
indeterminado, os deslocamentos térmicos podem
ser restringidos pelos apoios, o que produz
tensões térmicas que devem ser consideradas em
projeto.
L
T dxT0
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Exemplo 5.5
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1 m10 mm
10 mmEaço = 200 GPa
αaço = 12x10-6 ºC-1
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Exemplo 5.5
27
1 m
10 mm
10 mm
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Exemplo 5.6
28
Eaço = 200 GPa
αaço = 12x10-6 ºC-1
EAl = 73,1 GPa
αAl = 23x10-6 ºC-1
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Exemplo 5.6
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