capitulo 5. pandeo
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Ingeniería Estructural
Inestabilidad elástica
1
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Pandeo de piezas rectas
• Imaginemos una hoja de sierra
– σy = 520 MPa
– Sección transversal 12mm x 0.5mm
– La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N
• Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho menor
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La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para una carga que podríamos calcular:
Supongamos:
I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10-13 m4
E = 200 GPa y L = 300mm
La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N
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Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferenteEquilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente
ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
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x
.
l
PP
.
PP
.
P
k k
.
Pkx kx
a) b) c) d)
x
.
l
PP
.
PP
.
P
k k
.
Pkx kx
a) b) c) d)
Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable.Si: 2(kx)L<Px (lo que implica P>2kL) el equilibrio es inestable.
L
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Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural
PA B
A PB
wB
A PcríticaB
Para cargas bajas
∫ ⋅+=
B
AAB dz
AENww
AELPwB ⋅⋅−=
Para una cierta Pcrítica se producen grandes desplazamientos
transversales
Pandeo
Aparecen fenómenos no lineales
6
z
y
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Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural
El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que las que producen la plastificación del material
PA B
AP compe ⋅σ<criticaPP <
Puede ser la condición de diseño crítica
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Teoría de primer ordenTeoría de primer orden Problema de Euler
PA Bz
y
PA Bz
y
Hipótesis:
- Viga esbelta de sección constante
- Ejes principales de inercia
- Sólo existen esfuerzos de compresión
- Comportamiento lineal elástico
- Pequeños desplazamientos de flexión
- Deformaciones pequeñas
- No existen tensiones residuales
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Teoría de primer ordenTeoría de primer orden
Aplicando la ecuación de la elástica
IEM
dzvd
⋅−=2
2
Con las condiciones de contorno:
0v 0v
====
Lzz 0
022
2
=⋅+ vdzvd
λ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅=
IEP2λ
( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅=
PA Bz
y( )zv
z
A
z
y
( )zv
z
P
( )zvPM ⋅=
9
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Teoría de primer ordenTeoría de primer orden
PA Bz
y( )zv
z
( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅=
( ) 00
=⋅⋅=
LλsenBA
π⋅=⋅ nLλ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
⋅⋅= z
LnsenBzv π
IEL
nP ⋅⋅⋅
= 2
22 π
IEL
Pcritica ⋅⋅= 2
2π
Carga crítica de Euler(1744) 10
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Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
BA
PB
P
P
P Viga en voladizo
Viga biempotrada con deslizadera horizontal
Viga biempotrada con deslizadera vertical
Viga empotrada-apoyada con deslizadera vertical
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Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
PA Bz
y
PB
PB
Viga en voladizo
P
BA
La carga de pandeo coincide con la de una
viga biapoyada de longitud doble
( )IE
LPcritica ⋅⋅
⋅= 2
2
2π
4Euler
criticaPP =
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PA Bz
P
Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo
La carga de pandeo coincide con la de una
viga biapoyada de longitud mitad
( ) IEL
Pcritica ⋅⋅= 2
2
2
π
Eulercritica PP ⋅= 4
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
P
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P
P
P
Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo
La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de
longitud doble
( )IE
LPcritica ⋅⋅
⋅⋅
= 2
2
24 π
Eulercritica PP =
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
P
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PA Bz
y
PB
PB
PB
Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un extremo
La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de
longitud doble
( )IE
LPcritica ⋅⋅
⋅= 2
2
2π
4Euler
criticaPP =
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
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PBA
PBA
Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un extremo
No es posible aplicar simetrías
022
2
=⋅+ vdzvd
λ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅=
IEP2λ
+condiciones de contorno
( )IE
L,Pcritica ⋅⋅
⋅= 2
2
70π
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
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En general:
PBA
? ?( )
IEL
Pcritica ⋅⋅⋅
= 2
2
βπ
Viene fijado en la normativa
Longitud de pandeo:
( )IE
LIE
LP
pcritica ⋅⋅=⋅⋅
⋅= 2
2
2
2 πβπ
PA Bz
y
L
Lp
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
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Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
x
z
y
π
( ) ξβπ IEL
Pcritica ⋅⋅⋅
= 2
2
x
y
π
AI
i ξξ =
Radio de giro de la sección respecto al eje ξ
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⋅=
ξ
β
πσ
iL
Ecritica
ξ
λξ: Esbeltez mecánica
Plano de pandeo
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Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
ξ
ξ
βλ
iL La viga pandea en el plano
perpendicular al eje de mayor esbeltez mecánica
x
z
y
π
x
y
π
ξ
19
2
2
ξλπ
σE
critica =
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Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
Ejemplo:Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la configuración más estable frente a pandeo
4 4x
4 4y
I 2140 10 mm
I 117 10 mm
= ⋅
= ⋅x
y
IPN-200
4 4x
4 4y
I 117 10 mm
I 2140 10 mm
= ⋅
= ⋅x
y
IPN-200
Configuración I Configuración II
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Rótula esférica
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
Ejemplo
x y
z
y
z
x
z
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
xx i
L⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
yy i
L
21
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Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
Ejemplo
L47,531087,1
Li
L
L5,12108,0L
iL
2y
xzp
y
2x
yzp
x
⋅=⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
⋅=⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
−
−
L5,12108,0L
iL
L47,531087,1
LiL
2y
xzp
y
2x
yzp
x
⋅=⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
⋅=⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
−
−
Configuración I Configuración II
Pandea respecto al eje x Pandea respecto al eje y
Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica
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x y
z
y
z
x
z
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
xx i
L⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=λy
y iL5,0
Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas
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Ejemplo
L7,261087,1
L5,0i
L
L5,12108,0L
iL
2y
xzp
y
2x
yzp
x
⋅=⋅⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
⋅=⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
−
−
L25,6108,0
L5,0i
L
L47,531087,1
LiL
2y
xzp
y
2x
yzp
x
⋅=⋅⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
⋅=⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=λ
−
−
Configuración I Configuración II
Pandea sobre el plano xz Pandea sobre el plano yz
La configuración II es más inestable
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
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Material de apoyoMaterial de apoyo
REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS
1. Celigüeta, J.T. “Curso de Análsis Estructural”EUNSA. 1998Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural
2. Garrido, J.A. Y Foces, A. “Resistencia de Materiales”.Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994Cap.15 La torsión en los problemas de pandeoCap.16 Pandeo global de pórticos planos
3. Marti Montrull, P. “Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matricialHoracio Escarabajal Editores. 2003Parte 6. Pandeo global de estructuras
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