capitulo 54 algebra de cliford

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas

El sector de Yukawa del Modelo Estandar en 6 dimensiones

Tesis presentada al

Colegio de Fsica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fsica

por

Adriana Perez Martnez

asesorado por

Dr. J. Jesus Toscano Chavez

Puebla Pue.Noviembre de 2013

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas

El sector de Yukawa del Modelo Estandar en 6 dimensiones

Tesis presentada al

Colegio de Fsica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fsica

por

Adriana Perez Martnez

asesorado por

Dr. J. Jesus Toscano Chavez

Puebla Pue.Noviembre de 2013

i

Ttulo: El sector de Yukawa del Modelo Estandar en 6 dimensionesEstudiante:Adriana Perez Martnez

COMITE

Dr. Gilberto Tavares VelascoPresidente

Dra. Mara Alicia Lopez OsorioSecretario

Dr. Eric Martnez PascualVocal

Dr. Arturo Fernandez TellezVocal

Dr. J. Jesus Toscano ChavezAsesor

Indice general

Resumen VII

Introduccion IX

1. Simetras Continuas 11.1. Grupos ortogonales y unitarios. SO(N) y SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Grupos SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Grupos SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Grupo de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1. Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Grupo de Translaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Rompimiento espontaneo de una simetra continua 192.1. El Teorema de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. El mecanismo de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. La teora electrodebil 253.1. Sector de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Sector de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. Sector de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1. Sector de Yukawa Leptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2. Sector de Yukawa de Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Sector de Corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1. Sector de corrientes Leptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.2. Sector de corrientes Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. El sector de Yukawa en 6 dimensiones 394.1. Espinores en 6 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Sector de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Compactificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. Conclusiones 51

A. Integrales 53

Bibliografa 56

iii

Agradecimientos

A mis padres por todo el apoyo que me han brindado a lo largo de mis estudios. En especial ami mamita linda porque siempre creyo en m y me apoyo en todo momento; siempre me esforce almaximo para que estuvieras orgullosa de m. A mi papa le agradezco su apoyo economico brindado,ya que sin eso habra sido muy difcil seguir estudiando. A mis hermanos que siempre han estadoa mi lado.

A mi asesor de tesis el Dr. J. Jesus Toscano Chavez por su apoyo, dedicacion y tiempo propor-cionado para la realizacion de esta tesis, por compartir sus conocimientos conmigo, por alentarmea conocer lo fascinante que es la fsica fundamental, en cada uno de sus cursos y seminarios.

A todos mis profesores, con los que tuve la oportunidad de tomar clases a lo largo de mi carrera,los cuales compartieron sus conocimientos y a veces grandes consejos, y que definitivamente hicieronque me enamorara mas de la fsica.

A todos mis amigos que caminaron a mi lado durante mi carrera; sin duda alguna su companahizo que mi estancia en la universidad fuese aun mejor y mas liviana. A Marxil porque siemprecreyo en mi, y me alentaba a esforzarme mas.

A CONACYT por su apoyo economico brindado para la realizacion de esta tesis, mediante elproyecto Correciones radiativas y dimensiones extra.

v

Resumen

Se estudian las propiedades matematicas de espinores en seis dimiensiones. Se escribe el sectorde Yukawa del Modelo Estandar en seis dimensiones y se deriva la lagrangiana efectiva que resultade asumir que las dos dimensiones extras estan compactificadas.

vii

Introduccion

Se sabe que teoras fundamentales a la escala de Planck, tales como teoras de cuerdas, requie-ren de mas de cuatro dimensiones para ser formuladas de manera consistente. Estas formulacionesno son teoras de campo, pero a mucho mas bajas energas los efectos de dimensiones extras sepueden parametrizar en forma independiente del modelo por medio de una teora de campo efec-tiva gobernada por un grupo de Poincare extendido. Aunque a la escala de Planck, estas teorascarecen de interes fenomenologico, en la ultima decada se ha argumentado que dimensiones extrasrelativamente grandes podran manifestarse a la escala de TeVs [1]. De acuerdo con este enfoque,el espacio tridimensional ordinario esta embebido en un espacio-tiempo de dimension mas alta, elcual es conocido con el nombre de bulto. Si las dimensiones extras son suficientemente pequenas,los campos de norma y de materia del modelo estandar (ME) se propagaran por las dimensionesextras, incidiendo de esta manera sobre observables que estaran bajo el escrutinio del gran colisio-nador de hadrones (LHC, por sus siglas en ingles). Por consistencia con los experimentos actuales,se supone que las dimensiones extras estan apropiadamente compactificadas en una subvariedadNn de tamano suficientemente pequeno. Como resultado de la compactificacion de esta subvarie-dad, los campos que inicialmente son gobernados por el grupo de Poincare extendido ISO(1,m),son desarrollados en serie de Fourier con respecto a las coordendadas de las subvariedad Nn, cu-yos coeficientes son campos que forman representaciones del grupo de Lorentz estandar SO(1, 3),conocidos con el nombre de excitaciones de Kaluza-Klein o simplemente campos de KK, as quela teora efectiva resultante es invariante bajo el grupo de Poincare estandar ISO(1, 3). Por otraparte, la teora original es gobernada por el grupo de norma SU(N,Mm), pero despues de lacompactificacion, los campos de KK forman representaciones del grupo SU(N,M4). El hecho im-portante a destacar en este punto, lo cual ha sido discutido en una serie reciente de artculos [27],es que el paso de la teora original, gobernada por los grupos ISO(1,m) y SU(N,Mm), a la teoraefectiva que contiene los modos de KK, la cual esta definida por los grupos estandar ISO(1, 3) ySU(N,M4), es altamente no trivial por las causas que comentaremos brevemente a continuacion.

Un aspecto notable de este tipo de teoras es que los modos de KK asociados con la serie deFourier de los campos de norma son tambien campos de norma, solo que masivos, pues como seestablecio claramente en la referencia [2], los modos de KK asociados a un campo de norma delgrupo SU(N,Mm) son tambien campos de norma que se transforman en la representacion adjuntadel grupo estandar SU(N,M4), lo cual significa que el mecanismo de Higgs opera en el procesode compactificacion. Sin embargo, dicho mecanismo no puede operar, en este caso, en la formaestandar, esto es, mediante el rompimiento espontaneo de una simetra global (Teorema de Golds-tone), ya que el paso de la teora de norma gobernada por el grupo SU(N,Mm) a la teora efectivacaracterizada por el grupo de norma SU(N,M4) no involucra un rompimimiento espontaneo delgrupo de norma. En efecto, los grupos SU(N,Mm) y SU(N,M4) tienen el mismo numero degeneradores y solo difieren en la dimension de la variedad soporte. Dado que Mm contiene a M4,SU(N,M4) es un subgrupo de SU(N,Mm) en este sentido y no porque uno tenga mas generadoresque el otro [4]. En realidad, el mecanismo de Higgs opera por compactificacion, esto es, por unrompimiento explcito del grupo de Poincare ISO(1,m) al grupo de Poincare estandar ISO(1, 3),lo cual ocurre cuando las coordenadas extras son integradas [4]. La generazilacion de estos resul-tados a un numero arbitrario de dimensiones extras n tanto a nivel clasico [5] como cuantico [6]ha sido completada para el sector puro de Yang-Mills. Diversas aplicaciones fenomenologicas en elcontexto del ME con una dimension extra [8] se han llevado a cabo con resultados interesantes [7].El objetivo central de esta tesis es el estudio del proceso de compactificacion de campos espinoria-

ix

x Introduccion

les en seis dimensiones y su aplicacion al sector de Yukawa del Modelo Estandar. El propopositode este trabajo es establecer las bases para el estudio general de espinores y su compactificacionen presencia de un numero arbitrario de dimensiones extras, lo cual nos permitira establecer unaformulacion general del Modelo Estandar en dimensiones extras.

El contenido de la tesis se ha organizado de la siguiente manera. En el Captulo 1 se presenta unadiscusion elemental de los grupos ortogonales, unitarios y el grupo de Poincare. En el Captulo 2se estudia el fenomeno de rompimiento espontaneo de una simetra global (Teorema de Goldstone)y local (Mecanismo de Higgs). El Captulo 3 es dedicado a estudiar las propiedades basicas de lateora electrodebil. En el Captulo 4 se presenta la contribucion de esta tesis, la cual consiste enestablecer las propiedades matematicas de los espinores en 6 dimensiones con el fin de estudiarel sector de Yukawa de la teora electrodebil con dos dimensiones compactas. Finalmente, en elCaptulo 5 se presentan las conclusiones.

Captulo 1

Simetras Continuas

Desde la antiguedad los Griegos crean que las simetras de la naturaleza deban estar reflejadasen el movimiento de los objetos; empero fue hasta Newton quien se dio cuenta que las simetrasfundamentales de la naturaleza estan manifiestas, no en el movimiento individual de los objetos,sino en el conjunto de todos los posibles movimientos. Por ejemplo: la ley de la gravitacion universalde Newton nos muestra una simetra esferica, la fuerza es la misma en todas las direcciones. De estaforma todas estas simetras ocultas de los sistemas son solamente reveladas de formas indirectas.

Por otro lado podramos preguntarnos que es una simetra. En el lenguaje matematico, es unaoperacion que transforma un sistema, el cual lo deja invariante, es decir, lleva al sistema a unaconfiguracion indistinguible de la original.

Asimismo la simetra de un cuerpo es descrita dando el conjunto de todas aquellas transfor-maciones donde preserve la distancia entre todos los pares de puntos del cuerpo y lleve a dichocuerpo en su propia coincidencia. Cualquier transformacion con estas caractersticas es llamadauna transformacion simetrica. Es claro que este conjunto forma un grupo, el grupo de simetras deun cuerpo. Las transformaciones que preservan la distancia pueden ser de tres tipos fundamentales:

1. Rotacion a traves de un angulo definido alrededor de un eje.

2. Reflexion en un plano.

3. Desplazamientos paralelos (translaciones).

Los grupos de simetras de muchos sistemas fsicos consisten en un infinito numero de elementosmas que en un numero finito. De esta forma los problemas fsicos requieren examinar la teorade representacion de grupos con un numero infinito de elementos. Por otro lado un grupo sedice continuo si alguna definicion generalizada de cercana o continuidad es impuesta sobre loselementos de la variedad del grupo. Se demanda que un pequeno cambio en los factores de unproducto produzca un pequeno cambio en el producto. As nos restringiremos en el caso dondelos elementos de la variedad del grupo pueden ser etiquetados por un conjunto finito de variadosparametros continuos. El grupo cuyos elementos pueden ser etiquetados por un numero finito devarios parametros continuos es llamado un grupo continuo finito. El rango de variacion de losparametros no esta especificado, puede variar entre y +, o esta confinado en algun dominiofinito. Si el dominio de la variacion es finito, la variedad del grupo se dice que es cerrada. [9]

Para continuar se dice que hay una simetra G continua cuando un sistema fsico se mantieneinvariante bajo la transformacion continua dada por G, o equivalentemente cuando la lagrangianadel sistema es invariante. A veces dicho conjunto de simetra G genera una estructura algebraicade grupo, en tal caso se dice que hay un grupo de simetras. [10]

1

CAPITULO 1. SIMETRIAS CONTINUAS1.1. GRUPOS ORTOGONALES Y UNITARIOS. SO(N) Y SU(N)

1.1. Grupos ortogonales y unitarios. SO(N) y SU(N)

1.1.1. Grupos SO(N)

Sea O(N) el conjunto de las matrices reales N N que al actuar sobre RN dejan invariante ladistancia del origen al punto (x1, x2, , xn), la cual es definida por

x2 = xixi = ijxixj = xT1x. (1.1)

Ahora, bajo la transformacion

xi = Oijxj , (1.2)

la distancia queda como

x2 = xixj = (Ox)i(Ox)j = xT (OT1O)x = x2,

lo cual implica que OTO = 1. Entonces O(N) consta de todas las matrices cuya inversa coincide consu transpuesta. Este tipo de matrices reciben el nombre de matrices ortogonales. Dichas matricesestan definidas en espacios euclideanos, esto es, espacios cuyos tensor metrico es

gij = 1ij = ij .

En estos espacios, el elemento de longitud se define como

ds2 = ijdxidyj = dxidxi.

En consecuencia las matrices O forma un grupo, siendo la operacion el producto matricial. Enefecto,

1. Existe cerradura, ya que si O1, O2 O(N), entonces (O1O2)T (O1O2) = OT2 OT1 O1O2 = 1.2. Existencia del nuetro. El neutro es 1, ya que es ortogonal trivialmente.

3. Existencia del inverso. El inverso de O es OT .

4. Asosciatividad. Se cumple en general.

Cuando los elementos del grupo conmutan, se dice que el grupo es conmutativo o abeliano. En elcaso que nos ocupa, solo O(2) es conmutativo. Las matrices O tienen N2 componentes, pero notodos son independientes, ya que deben de cumplir la condicion de ortogonalidad

OTO = 1, (1.3)

la cual proporciona 12N(N + 1) elementos dependientes. As que el numero de componentes inde-pendientes de O es:

N2 12N(N + 1) =

1

2N(N 1). (1.4)

Este es el numero de parametros del grupo O(N).Por otra parte, tomando el determinante en la relacion de ortogonalidad, se tiene Det(OTO) =

Det(1), por lo tantoDet(O) = 1.

De acuerdo con esto, los elementos de O(N) se pueden agrupar en dos categoras:

2


Subconjunto de todas los O O(N) tales que Det(O) = 1. Dado que 1 pertenece a estacategora, este subconjunto forma el subgrupo SO(N).

El subconjunto formado por todos los O O(N) tales que el Det(O) = 1. Estos elementos,los cuales no forman un subgrupo, son de la forma OpO, con O SO(N) y Op una matrizdiagonal formada con +1 y 1, con un numero impar de 1.

Por otro lado, existe una relacion uno a uno entre parametros y los llamados generadores delgrupo. Los elementos del grupo se pueden escribir como

O() = eiTaa , (1.5)

donde = (1, 2, , 12N(N1)), con a= 1, 2, ..., 12N(N 1), es el conjunto de parametros delgrupo. Los elementos de SO(N) dependen de estos parametros y de los generadores definidos poruna transformacion infinitesimal como sigue

O() = 1+dO

da|a=0a = 1+ iT aa, (1.6)

con T a = 1idOda |a=0 los generadores del grupo.

Ahora, sea O(), O() SO(N), entonces su producto es tambien un elemento del grupoO()O() = O(g(, )) SO(N), con g(, ) = (g1(, ), g2(, ), , g 12N(N1)(, )). Debe cum-plirse que ga(0, 0) = 0, O( = 0) = 1 = O( = 0) y ga(0, ) = ga(, 0) = a. En terminos degeneradores O()O() = O(g(, )), toma la forma

eiTaaeiT

aa = eiTaga(,).

Haciendo un desarrollo en serie de Taylor en ambos lados de la igualdad, y asumiendo que en g(, )no pueden aparecer terminos proporcionales a 2 y 2, porque violara el hecho que ga(, 0) =ga(0, ) = a, se obtiene

g(, ) = a + a + gabcbc + (1.7)

De esta forma de los terminos proporcionales a , del desarrollo en serie, se obtiene una condicionno trivial, la cual es

i2bT bcT c = igabcT abc +i2

2(bc + bc)T bc, (1.8)

pero los terminos de T bc deben ser simetricos, ya que surgen de segundas derivadas en el desarrolloen serie, as podemos quitar el producto de . Haciendo el algebra se tiene lo siguiente:

T bT c + igabcT a = T cT b + igacbT a

T bT c T cT b = i(gacb gabc)T a

[T a, T b] = ifabcT c, (1.9)

es el algebra de Lie del grupo, donde fabc = gacb gabc son las constantes de estructura.

Representaciones

Sea G un grupo, si gi G entonces el objeto D(gi) es una representacion de G si obedece

D(gi)D(gj) = D(gigj), (1.10)

3


para todos los elementos de G. Con otras palabras, los D(gi) tienen la misma regla de multiplicacionque el grupo original.

Considere la transformacion infinitesimal

xi = Oijxj = (ij + wij)xj = xi + wijxj , (1.11)

entonces la condicion de ortogonalidad toma la forma:

ij = (ki + wki)(kj + wkj) = ij + wij + wji, (1.12)

de manera que wij = wji. As que este tensor tiene 12N(N-1) componentes independientes. Estosson los parametros del grupo. Por ejemplo, wij es el angulo que caracteriza la rotacion en el planoxi xj . Ahora bien en la ec.(1.6) se mostro la forma infinitesimal de O, la cual en esta notaciontoma la forma

O(1+ w) = 1+i

2wijM

ij , (1.13)

donde M ij son los generadores del grupo, los cuales se transforman como 2-tensores bajo el grupo.La prueba es como sigue. Sea D(O) una representacion de SO(N), entonces usando la ley demultiplicacion al producto

D(O)D(1+ w)D1(O) = D(1+OwO1),

se obtiene que

D(O)M ijD1(O) = OikOjlMkl,

lo cual prueba que los generadores se transforman como 2-tensores. Asumiendo que O es tambieninfinitesimal, se obtiene[

1+i

2klMkl

]Mij

[1 i

2klMkl

]= (ik + ik)

(jl + jl

)Mkl,

lo cual, despues de un poco de algebra, se traduce en

[Mkl,Mij ] = i (jlMik jkMil + ikMlj ilMkj) . (1.14)

Esta es el Algebra de Lie del grupo SO(N).Por otro lado, se dice que una representacion D(gi) es reducible si se puede descomponer en

forma de bloques diagonales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una representacion reducible,

D(gi) =

D1(gi) 0 00 D2(gi) 00 0 D3(gi)

, (1.15)donde las Di son representaciones de mas baja dimension del grupo, esto es, las D(gi) se puededescomponer en piezas mas pequenas del grupo. El conjunto completo de todas las representacionesdel grupo SO(N) se divide en las siguientes categoras

Tensoriales

Espinoriales

Representaciones tensoriales

4


El 0-tensor es la representacion trivial del grupo. El 1-tensor es la representacion mas simpleno trivial, dada por

Ai = OijAj . (1.16)

Una forma simple de generar representaciones de SO(N) de rango mas alto es con el productoexterno de vectores. Por ejemplo, el producto AiBi se transforma como (AiBj) = (OikOjl)(AkBl).De modo que el objeto que se transforma como el producto externo de varios vectores se llamatensor. En general, un tensor T ijk... bajo SO(N) no es otra cosa que un objeto que se transformacomo el producto de vectores ordinarios, es decir,

T i1i2... = Oi1j1Oi2j2 T jij2... (1.17)Los tensores son en general reducibles, esto es, dentro de la coleccion de componentes que for-man el tensor, se puede encontrar subconjuntos que por s mismos forman una representaciondel grupo. Tomando combinaciones simetricas y antisimetricas se pueden extraer representacionesirreducibles. Por ejemplo, sea el tensor T ij , el cual se transforma como

T ij = OikOjlT kl.

Tomese las partes simetricas y antisimetricas,

Sij =1

2(T ij + T ji)

y

Aij =1

2(T ij T ji),

la primera con 12N(N + 1) componentes y la segunda con12N(N 1) componentes. Estas partes

se transforman independientemente sin mezclarse. As por ejemplo, en un espacio bidimensional,el objeto T ij con 4 elementos, se descompone en 2 objetos que tiene un numero menor decomponentes: Sij tiene 3 componentes y Aij tiene 1 componente.

Representacion espinorial

La representacion espinorial consiste en la introduccion de N matrices i; las cuales obedecenla regla de anticonmutacion {

i,j}

= 2ij , (1.18)

y recibe el nombre de Algebra de Clifford. La representacion espinorial de los generadores de SO(N)se define por

M ij =i

4[i,j ]. (1.19)

Esta elecion particular de los generadores satisface el algebra de Lie del grupo.En general, uno puede encontrar una representacion espinorial de SO(N) para N par, que es

compleja y tiene dimension 2N2 . En este caso de dimension par podemos introducir una matriz

adicional

N+1 = i12...N =i

N !i1i2...iN

i1i2 ...iN . (1.20)

Esta matriz tiene propiedades especiales, ya que del algebra de Clifford se implica que

ij = ji, i 6= j (1.21)5


y

(i)2 = 1. (1.22)

Directamente de su definicion se encuentra que{N+1,i

}= 0 y (N+1)2 = 1. (1.23)

As que el conjunto de matrices 1,2, ...,N y N+1 tambien satisfacen el algebra de Clifford.Ademas en los espacios de dimension par podemos introducir el concepto de quiralidad, a travesde los proyectores

PL 12

(1 N+1) (1.24)

y

PR 12

(1+ N+1), (1.25)

con las siguientes propiedades:

P 2L = PL, P2R = PR, PLPR = 0 y PL + PR = 1.

En esta representacion el grupo SO(N) actua sobre vectores columna de dimension 2N2 , llamados

espinores,

=

12...

. (1.26)Los proyectores PL y PR permiten definir espinores independientes, es decir,

L = PL y R = PR,

se nombran espinor izquierdo y espinor derecho, respectivamente. Obviamente,

= L + R.

Esto permite introducir el concepto de quiralidad1 en fsica. La interaccion debil es una teoraquiral.

Cuando la dimension del espacio es impar, es decir, se tiene SO(N+1), con N par, la dimension

de la representacion sigue siendo la misma 2N2 , de esta manera i tienen dimension 2

N2 2N2 y

los espinores dimension 2N2 . Pero ahora debemos tener N + 1 matrices i, y se forma con las N

matrices i y la matriz N+1, de tal suerte que se cumpla el algebra de Clifford. Las N+1 matricesi se transforma como 1-tensores bajo SO(N + 1). Y los generadores son de la misma dimensionque en el caso par, solo que ahora el numero de generadores es 12N(N + 1). La diferencia en elnumero de generadores es N . En los espacios con dimension impar no existe quiralidad.

1Viene del Griego, mano. Su definicion clasica es: Una figura geometrica o conjunto de puntos es dicho quepresenta quiralidad si su imagen de espejo no puede ser superpuesta con ella misma.

6


1.1.2. Grupos SU(N)

Consta de las matrices unitarias NN con determinante +1. Esta representacion de dimensionN se llama representacion fundamental. Sea U SU(N), la cual tiene N2 condiciones debido alhecho que U = U1 y una condicion mas que surge del hecho que Det(U) = +1. Entonces elnumero de parametros independientes de U es igual a 2N2 N2 1 = N2 1, el cual es siempremayor que N .

Por otra parte, dado que un operador unitario se puede escribir como la exponencial de unoperador hermitiano, podemos escribir los elementos de SU(N) como

U() = eiata , a = 1, 2, ..., N2 1, (1.27)

donde ta = ta son los generadores del grupo y a sus parametros. El inverso de U() es

U() = (eiata) = ei

ata . (1.28)

Dado que Det(U) = 1, esto implica que

log(DetU) = TrlogU0 = Trta,

entonces las ta forman un conjunto deN2-1 matrices hermitianas de traza nula. En la representacion

fundamental, los generadores suelen normalizarse a Tr(tatb) = ab

2 .Ahora, sea U(), U() SU(N), entonces

U()U() = eiataei

btb .

Usando la identidad, eAeB = eA+B+12 [A,B]+

13! [[A,B],B]+..., se tiene que

U()U() = exp{i(a + a)ta 12ab[ta, tb] i

3!abc[[ta, tb], tc] + ...}

= U() SU(N),lo cual es posible si,

[ta, tb] = ifabctc, (1.29)

donde fabc son las constantes de estructura del grupo. Esta es el algebra de Lie del grupo SU(N).Analizando mas el algebra de Lie del grupo se encuentra que las constantes de estructura fabc sonreales y totalmente antisimetricas.

Representaciones de SU(N)

Representacion fundamental de SU(N)

La representacion de dimension de dimension N es la mas baja del grupo SU(N) y recibeel nombre de representacion fundamental. En esta representacion los elementos de SU(N) sonmatrices unitarias N N , las cuales actuan sobre N-pletes complejos:

=

12...N

, (1.30)y se transforman como = U, o en componentes, i = U ij

j ; i, j, ... = 1, 2, ..., N . Luego latransformacion infinitesimal corresponde a

U() = 1+ iata, (1.31)

en componentes U ij = ij + i

a(ta)ij , para a infinitesimales. En este caso, i = i + i, entonces

i = i i = ia(ta)ijj .7


Representacion adjunta

Sean y dos N-pletes de SU(N)

= U, y = U,

entonces

= (U)(U) = (UU) =

es un invariante. Considere las propiedades de transformacion del producto externo de dosN-pletes de SU(N), i

j , el cual es un objeto con N2 componentes.

mji = ()ji (1.32)

dado que y se transforman en la representacion fundamental. El objeto m debe transformarsede manera bien definida. En efecto,

m = UmU (1.33)

m es un 2-tensor. La expresion (1.33) es la transformacion de similaridad. Luego tomando la trazaen ambos lados, se tiene que

Trm = Tr(UmU) = Tr(UUm) = Trm, (1.34)

el cual es otro invariante, entonces Trm = S es un escalar. Ahora observe que

mji = ij 1

N(Trm)ji +

1

N(Trm)ji = M

ji +

1

N(Trm)ji ,

por lo tanto,

M = m 1N

(Trm)1, (1.35)

y tiene la propiedad que es de traza nula por construcion. Entonces el objeto m que tiene N2

componentes se ha descompuesto en dos objetos que se transforman bajo SU(N) sin mezclarse. Elprimero es S con una componente, el cual transforma como S = S; y el segundo es M con N2 1componentes. Se dice que se transforman bajo la representacion adjunta de SU(N) como

M = UMU. (1.36)

Dado que M es una matriz NN de traza nula, esta puede ser expresada como combinacion linealde los N2-1 generadores 2ta, de la siguiente manera:

M = Aata, a = 1, ..., N2 1. (1.37)

Bajo una transformacion infinitesimal

M = UMU = (1+ iata)M(1 iata) = M + ia[ta,M ]

Aata = Aata + ibAc[tb, tc] = Aata + ibAc(ifabcta)

Aa = Aa + ibAc(ifabc). (1.38)2El numero de componentes de M coincide con el numero de generadores y ademas sabemos que los generadores

son de traza nula.

8

CAPITULO 1. SIMETRIAS CONTINUAS1.2. GRUPO DE POINCARE

Esto sugiere que se identifiquen los elementos (T b)ac de un conjunto de N2-1 matrices T b de

dimension (N2-1)x(N2-1) como

(T b)ac = ifabc.

Note que Tr(T b) = (T b)aa = ifaba = 0. Ademas T b = T b, ya que (T b)ca = if cba = ifacb =

ifabc = (T b)ac. Entonces los Ta son los generadores de SU(N) en la representacion adjunta. Estos

generadores deben de satisfacer:

[T a, T b] = ifabcT c.

En resumen, un objeto A= Aata , en general con ta no necesariamente es la representacion funda-mental, se transforma como

A = ia[ta, A], (1.39)

en la representacion adjunta, y

Aa = fabcbAc. (1.40)

1.2. Grupo de Poincare

Las propiedades del espacio-tiempo plano surgen de los siguientes postulados:

1. Las leyes de la fsica lucen iguales en todos los marcos de referencia inerciales. Significa quelas ecuaciones que representan estas leyes deben tener una estructura covariante, de tal suerteque su forma no cambie cuando se pasa a otro marco inercial o se realiza alguna rotacion enel 3-espacio.

2. Existe una velocidad lmite en la naturaleza, la cual tiene un valor absoluto c. Solo laspartculas de masa cero se mueven a esta velocidad, como los fotones, los gluones, etc. Estepostulado determina la metrica del espacio-tiempo.

Las coordenadas del espacio-tiempo son denotadas por x0, x1, x2 y x3, donde x0 ct es lacoordenada temporal y xi son coordenadas espaciales (i=1, 2, 3.) El 4-vector posicion se denotapor

x = (x0, ~x), = 0, i. (1.41)

Nos interesa estudiar las propiedades de simetra de los sistemas fsicos cuando en el 4-espaciose realizan cierto tipo de transformaciones. Las transformaciones con sentido fsico que pueden serrealizadas son:

Rotaciones en el 3-espacio, son transformaciones ortogonales en los planos: x1 x2, x1 x3y x2 x3.

Transformaciones puras de Lorentz (boost), los cuales conectan marcos de referencia inercialen movimiento relativo a lo largo de los ejes x1, x2, x3. Son transformaciones lineales en losplanos espacio-temporales , x0 x1, x0 x2 y x0 x3.

Transformaciones a lo largo de los 4 ejes.

9


1.2.1. Grupo de Lorentz

Consideraremos en general las propiedades del grupo de Lorentz homogeneo. Nos concentrare-mos en los aspectos teoricos del grupo, los cuales ofrecen la oportunidad de comprender mejor elpapel central que juega la relatividad espacial la descripcion de las partculas elementales.

La transformacion mas general de Lorentz esta dada en terminos de transformacion de coorde-nadas conectando dos marcos de referencia inercial, siguiendo la notacion usual de la RelatividadEspecial, estas transformaciones se definen como

x = x , (1.42)

con la condicion(x)2 = (x)2,

expresado por un 4-vector covariante. [11] El cuadrado de un 4-vector es definido por

(x)2 = gxx = xx = (x

0)2 (~x)2, (1.43)

donde el tensor metrico g = g , cuya forma es dictada por el segundo postulado, se puede

escribir como la matriz 44

g = {g} =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (1.44)As en el espacio-tiempo los puntos senalan eventos; por ejemplo, el nacimiento (produccion) deuna partcula al tiempo t1, en el punto ~x1, y su muerte (decaimiento) al tiempo t2 en el punto ~x2.Es de interes fsico la separacion entre eventos, dado por

S212 = (x01 x02)2 | ~x1 ~x2|2, (1.45)

el cual esta dictado por el segundo postulado; vemos que la norma no es definida positiva. Deacuerdo con esto el intervalo se clasifica en 3 categoras:

S212 > 0,

S212 < 0,

S212 = 0,

cuya interpretacion fsica es la siguiente:1) S212 > 0. Es un invariante temporaloide. Siempre es posible encontrar un marco de referencia

en el cual ~x1 = ~x2

de tal suerte que

S212 = (x01 x0

2 )

2 > 0.

Los eventos pueden estar relacionados de manera causal.2) S212 < 0. Es un intervalo espacialoide. Siempre es posible encontrar un marco de referencia

en el cual x0

1 = x02 , as que

S212 = ( ~x1 ~x2)2 < 0.Los eventos ocurren al mismo tiempo pero en puntos diferentes, no pueden estar relacionados demanera causal.

3) S212 = 0. Este es un intervalo luzoide. Dichos eventos forman el llamado cono de luz, loscuales son conectados por las partculas que se mueven a la velocidad lmite.

10


Para dos eventos separados infinitesimalmente, podemos escribir

ds2 = gdxdx = (dx0)2 (dx1)2 (dx2)2 (dx3)2. (1.46)

Por otro lado la longitud x2 = xx es un invariante de Lorentz, de donde se halla que

T g = g, (1.47)

lo que nos dice que es una transformacion de Lorentz, si deja invariante g en este sentido. Ahoratomando el determinante a ambos lados, se encuentra que

Det() = 1.

Las transformaciones con determinante +1, se llaman transformaciones propias de Lorentz. Y lastransformaciones impropias de Lorentz son de la forma: p o T, con una transformacionpropia. Un ejemplo de transformaciones impropias son las siguientes:

p =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

o p =1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

,donde la primera transformacion representa la reflexion espacial y la segunda representa la reversiontemporal.

Las propiedades del grupo de Lorentz son dictadas por el algebra que satisfacen sus generadores.Para determinarlos, necesitamos los 3 boots y las 3 rotaciones. Las matrices que representan a los3 boost son:

(1) =

cosh1 sinh1 0 0sinh1 cosh1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, (2) =cosh2 0 sinh2 0

0 1 0 0sinh2 0 cosh2 0

0 0 0 1

, (1.48)

y (3) =

cosh3 0 0 sinh3

0 1 0 00 0 1 0

sinh3 0 0 cosh3

.Las matrices que representan a las 3 rotaciones son:

(1) =

1 0 0 00 1 0 00 0 cos1 sin10 0 sin1 cos1

, (2) =

1 0 0 00 cos2 0 sin20 0 1 00 sin2 0 cos2

, (1.49)

y (3) =

1 0 0 00 cos3 sin3 00 sin3 cos3 00 0 0 1

.Luego los generadores estan dados por:

Ki =1

i

d(i)

di|i=0 y Ji =

1

i

d(i)

di|i=0. (1.50)

11


Se puede mostrar que

Ji = Ji y Ki = Ki. (1.51)

Un calculo directo muestra que

[Ji, Jj ] = iijkJk, (1.52)

[Ki,Kj ] = iijkJk, (1.53)lo que indica que los boost no forman un grupo, y finalmente que

[Ji,Ki] = iijkKk. (1.54)

Defnase los siguientes generadores:

Ai =12 (Ji + iKi)

Bi =12 (Ji iKi)

} A

i = Ai

Bi = Bi. (1.55)

Entonces

[Ai, Aj ] = iijkAk SU(2), (1.56)[Bi, Bj ] = iijkBk SU(2), (1.57)[Ai, Bj ] = 0 SU(2) SU(2). (1.58)

Por otro lado las transformaciones de Lorentz son de hecho los elementos del grupo de LorentzSO(1, 3). Comparando esto con las reglas de conmutacion de SU(2), vemos que tenemos dos copiasde SU(2). El hecho que podamos escribir el grupo de Lorentz como dos copias de SU(2) es relevantepara encontrar sus representaciones, ya que las representaciones de SU(2) son bien conocidas. Estoes solo cierto en dimension 1+3 del espacio-tiempo.

Representacion espinoral del grupo de Lorentz

Encontrar las representaciones del grupo de Lorentz SO(1, 3), es equivalente a encontrarlas representaciones del grupo SU(2) SU(2). Sabemos que las representaciones de SU(2) sonespecificadas por un valor j = 0, 1/2, 3/2, , con 2j + 1 la dimension de la representacion. Porlo tanto, la representacion del grupo de Lorentz en dimension 1+3 sera especificada por 2 valoresde j, uno por cada copia de SU(2). En otras palabras, una representacion dada de SO(1, 3),puede ser especificada por un doblete (j, j), donde j corresponde a un SU(2) y j correspondeal otro grupo SU(2). Debido a que la representacion j de SU(2) esta formada por matrices(2j + 1) (2j + 1), la representcaion (j, j) del grupo de Lorentz SO(1, 3) estara formada pormatrices (2j + 1)(2j + 1) (2j + 1)(2j + 1) [12]. La forma en que se construyen las diversasrepresentaciones sigue la regla de la suma de momento angular.

El campo de Dirac

Se discute la representacion espinorial en el contexto del grupo de Lorentz SO(1, 3), el cual,aparte de la metrica, coincide esencialmente con el grupo ortogonal SO(4). Dicha representaciones conocida como representacion espinorial de Dirac.

Una representacion del grupo SO(1, 3) se entiende como un conjunto de matrices D() quesatisface la ley de multiplicacion del grupo

D()D() = D(),

donde

D() = ei2wS

, (1.59)

12


con S los generadores del grupo en dicha representacion. Sea la transformacion infinitesimal deLorentz

= + w

; w = w, (1.60)

para la cual

D() = 1+i

2wS

; S = S. (1.61)

Como ya se dijo, el conjunto de matrices S son los generadores del grupo, los cuales satisface elalgebra de Lie del grupo de Lorentz, dada por

i[S , S] = gS gS gS + gS. (1.62)Para construir los generadores asuma que existen matrices (= 0, 1, 2 y 3) que satisfacen elalgebra de Clifford,

{, } = 2g , (1.63)de tal suerte que los generadores de la representacion espinorial son:

S =i

4[, ] = S. (1.64)

Un calculo directo muestra que

[S , ] = i(g g). (1.65)Tambien se puede demostrar que S satisface el algebra de Lorentz. Por otra parte, se puededemostrar que

D()D1() = (1.66)

lo que nos dice que se transforma como un 4-vector en el mismo sentido que D()1D1() = 1es un escalar. Por otra parte se puede demostrar que

D()SD1() = ( +

w

+

w

)S

,

que es justo la version infinitesimal de

D()SD1() = S

. (1.67)

La representacion espinorial tiene una transformacion de paridad que se toma como = 0.Del algebra de Clifford se concluye que

1 = . (1.68)

As, para las matrices de Dirac, se tiene que 1 se transforma como sigue:

i1 = i,01 = 0. (1.69)

En particular, bajo paraidad los generadores se transforman como

Sij1 = Sij y S0i1 = S0i. (1.70)Por otro lado, en un espacio 4-dimensional los tensores totalmente antisimetricos no pueden

tener mas de 4 ndices. La regla es la siguiente: Un tensor con N ndices en D dimensiones tiene

13


un numero de componentes independientes igual a D!N !(DN)! , as tiene 4 componentes inde-

pendientes ya que D = 4 y N = 1, entonces las deben ser matrices 44. De manera general,en cualquier espacio tiempo de dimension D, uno puede formar tensores antisimetricos con unnumero de ndices igual a 0, 1, 2, ..., D; los cuales tienen conjuntamente un numero de componentesindependientes igual a

DN=0

D!

N !(D N)! = 2D. (1.71)

As que las matrices deben tener 2D2 renglones y 2

D2 columnas.

Volviendo al 4-espacio, una representacion conveniente de las matrices de Dirac es

0 =

(1 00 1

)y i =

(0 i

i 0), (1.72)

con 0, 1 matrices 22 y i las matrices de Pauli.3 Esta es la llamada representacion de Dirac. Noteque

0 = 0 y i = i = , (1.73)

ya que no es posible construir una representacion hermtica, dado que implicara que el grupode Lorentz admite representaciones unitarias, lo cual no es posible. En esta representacion, losgeneradores espaciales toman la forma

Sij =1

2ijk

(k 00 k

). (1.74)

Y los generadores de boost son de la forma

S0i =i

2

(0 i

i 0

). (1.75)

Por otro lado, como sabemos si el espacio tiene dimension par, existe otra matriz independiente.Sea

5 = 5 = i0123 = 1

4!

, (1.76)

la cual, mediante un calculo directo, se puede probar que es hermtica. En la representacion deDirac 5 es dada por

5 =

(0 11 0

). (1.77)

Ademas, dado que

{5, } = 0 [5, S ] = 0. (1.78)

De esta relacion se obtine que bajo transformaciones de Lorentz se transforma como un 0-tensor,D()5D1() = 5, mientras que bajo paridad se transforma como 51 = 050 = 5.De donde concluimos que es un seudo-escalar, ya que cambia de signo bajo paridad.

3Dichas matrices son: 1 =

(0 11 0

), 2 =

(0 ii 0

)y 3 =

(1 00 1

).

14


Ahora, sea el campo con 4 componentes

(x) =

1(x)2(x)3(x)4(x)

.(x) es un campo espinorial, el cual se transforma en la representacion espinorial de SO(1, 3) dela forma

(x) = D()(x). (1.79)

Un aspecto importante es como podemos multiplicar un par de espinores para formar un escalar.Uno podra pensar que es un escalar, de la siguiente manera:

= D()D() = ,

y esto sera cierto si D() = D1(), pero como habamos dicho antes esto no es posible ya que elgrupo de Lorentz no admite representaciones unitarias, y la matriz D() que representa a los boostno es unitaria, porque Sij = Sij , para este caso D es unitaria, pero S0i = S0i y en este caso laD no es unitaria. Por lo tanto no se pueden construir objetos covariantes con . La solucion delproblema consiste en introducir el siguiente objeto

= 0. (1.80)

Bajo una transformacion infinitesimal, tenemos

= [1 i2wS

]0. (1.81)

Si y son espaciales entonces = D1(). Por otra parte, cuando por ejemplo =0 y espacial, tenemos (S) = S , pero en este caso se puede demostrar que (S)0 = 0S .De donde finalmente se obtiene que

= D1(). (1.82)

Por lo tanto = ,

es un invariante de Lorentz. En particular si D() = 1 = 1 = .Luego en lugar de tomar S , suele usarse para construir invariantes

=i

2[, ] (1.83)

Todos estos objetos son covariantes bajo SO(1,3).

1.2.2. Grupo de Translaciones

La transformacion continua mas general en el espacio-tiempo consta de una transformacion deLorentz mas una translacion, definida como

x = x + a , (1.84)

con a un 4-vector constante. Considere dos transformaciones sucesivas, as que

x = x

+ a = (x

+ a) + a = ()x + (a) + a.

15


Por otro lado, recuerdese que las transformaciones de Lorentz son aquellas que satisfacen T g = g,as que

()T g() = T (T g) = T g = g,

tambien es una transformacion de Lorentz. Entonces, sea D(, a) una representacion del grupo dePoincare, entonces debe cumplirse la regla de composicion

D(, a)D(, a) = D(, a+ a). (1.85)

Ahora considere una transformacion infinitesimal

= + w

y a

= , (1.86)

donde w y son infinitesimales. Mientras que la condicion de Lorentz g

= g, toma la

formag(

+ w

)(

+ w

) = g,

esto es

g + w + w = g, (1.87)

entonces w = w es totalmente antisimetrico. En este caso w tiene 6 componentes indepen-dientes, y tiene 4 componentes independientes. Por lo tanto vemos que el grupo de Poincare tiene10 parametros. Para una transformacion infinitesimal, la representacion D puede ser escrita como

D(1 + w, ) = 1+i

2wJ

iP, (1.88)

donde J = J dada la antisimetra de w . Los J son los generadores del grupo de Lorentzy los P representan a los generadores del grupo de las translaciones. Examinemos las propiedadesde transformacion bajo el grupo de J y P. Para tal fin se considera el producto

D(, a)D(1 + w, )D1(, a),

donde y a son los parametros de una transformacion finita, que no esta relacionada con latransformacion infinitesimal. Pero antes de acuerdo con la regla de composicion

D1(, a) = D(1,1a).

Por lo tanto haciendo el algebra se obtiene que

D(, a)D(1 + w, )D1(, a) = D(1 + w1, w1a).

Haciendo un desarrollo a primer orden en w y , tenemos lo siguiente:

D(, a)[1+i

2wJ

iP ]D1(, a) = 1+ i2

(w1)J i( w1a)P,

esto es,

D(, a)[1

2wJ

P ]D1(, a) = 12w

J

+1

2w

(a

P aP ) P.

De esta manera igualando coeficientes de w y , se llega a las siguientes relaciones:

D(, a)JD1(, a) = (J

aP + aP) (1.89)D(, a)P D1(, a) = P

(1.90)

16


Para a =0, estas ecuaciones muestran que J es un 2-tensor y P es un 1-tensor. Y para trans-laciones puras ( =

), estas ecuaciones nos dicen que P

es un invariante bajo translaciones,pero no J. Ahora bien asuma que las transformaciones D(, a) son infinitesimales, as que laecuacion (1.89) toma la forma

[1+i

2wJ

iP]J[1 i2wJ

+ iP] = ( + w

)(

+ w

)(J

P + P).

Haciendo las cuentas se llega a

i

2w [J

, J]i[P, J] = 12w(g

JgJ)12w(g

JgJ)+(gP gP).

Igualando coeficientes de w y nuevamente, se halla que

i [J , J] = gJ gJ gJ + gJ (1.91)i [P, J] = (gP gP ) (1.92)

Por otra parte, la ecuacion (1.90) toma la forma

[1+i

2wJ

iP]P [1 i2wJ

+ iP] = ( + w

)P

,

la cual conduce a

i

2w [J

, P ] i[P, P ] = 12w(g

P gP ).

De donde finalmente se concluye que

[P, P ] = 0; (1.93)

lo que nos dice que el grupo de las translaciones es conmutativo. Las ecs. (1.91,1.92,1.93)representan el algebra de Lie del grupo de Poincare ISO(1, 3).

17

Captulo 2

Rompimiento espontaneo de unasimetra continua

En el modelo estandar las teoras aceptadas son teoras de Gauge (norma) y que significa esto,que existe una simetra que tiene invariancia de norma. As la lagrangiana que describe al sistemaes invariante de norma, es decir, es invariante bajo la accion del grupo de Lie en consideracion.Desde el punto de vista cuantico, el campo de norma se manifiesta mediante partculas bosonicassin masa, y es precisamente en la parte donde la teora no concuerda con la realidad, ya que comosabemos las partculas mediadoras de la interaccion debil son partculas masivas. Por lo tanto,necesitamos un mecanismo en el cual podamos dotar de masa a estas partculas, pero sin destruirla simetra de la lagrangiana. Al tratar de dar solucion a este problema, en 1964 el escoces PeterWare Higgs encontro un metodo para dotar de masa a estas partculas sin romper la simetra localcon la que cuenta la teora de norma. Dicho rompimiento permite obtener la masa de las partculassin que ocurre un rompimiento expcito de la simetra de norma de la teora [10].

En teoras de norma, no podemos definir el termino de masa de un campo de norma, el cualesta definido por

1

2m2AaA

a , (2.1)

ya que no es invariante bajo transformaciones de norma, dadas por

A(x) = U(x)A(x)U(x) +

i

g(U)U

,

con

A T aAa, (2.2)

donde U(x) es un elemento del grupo en consideracion (unitario u ortogonal). El rompimientoespontaneo de una simetra permite definir la masa para algunos o todos los campos de normaAa(x) mediante el as llamado mecanismo de Higgs.

Sea G un grupo de Lie (orotgonal u unitario) y H un subgrupo. Luego sea (x) un multiplete decampos escalares en alguna representacion de G. El rompimiento espontaneo de G en H, denotadopor G H, consiste en la eleccion de una direccion particular 0 = cte (no depende de lascooordenadas) en el espacio de configuracion tal que H G tiene por elementos U(g), que dejaninvariante 0, es decir,

U(g)0 = 0. (2.3)

Note que existiran U(g) G, pero U(g) / H, tales que

U(g)0 6= 0.19

CAPITULO 2. ROMPIMIENTO ESPONTANEO DE UNA SIMETRIACONTINUA

2.1. EL TEOREMA DE GOLDSTONE

El rompimiento espontaneo consiste en elegir una direccion especial en el espacio en el queaparece la representacion del grupo, en este caso el grupo electrodebil, dada por los campos es-calares que no es invariante bajo el grupo completo, sino solo por un subgrupo de este, el grupoelectromagnetico en el caso que nos coupa. El teorema de Goldstone sintetiza lo que ocurre cuandose rompe espontaneamente una simetra continua global, es decir, que no depende de los puntos deespacio-tiempo. Mientras que el mecanismo de Higgs caracteriza este mismo fenomeno pero cuandoel rompimiento espontaneo se realiza en una teora local, esto es, en una teora de norma. Ambosfenomenos seran discutidos a continuacion.

Sea la lagrangiana

L = 12

()() V (, ), (2.4)

con V(, ) = ()+()2 , > 0, real. La existencia de un rompimiento espontaneo dependede un estado de mnima energa degenerado, el cual surge de la siguiente manera

V

i= 0 [2 + 4()]i = 0. (2.5)

Tenemos dos posibilidades,

0 = 0.

2 < 0 = 24 v2.En el segundo caso, notamos que el conjunto de puntos que cumplen dicha condicion, coincideprecisamente con los puntos de una esfera, los cuales estan conectados por G. Pero la teora debedesarrollarse en el entorno de un 0. As, dependiendo de como se elija 0 es lo que determina H.La eleccion de un 0 particular es lo que significa romper espontanemente el grupo G al grupo H.El campo (x) en L es remplazado por

0 + (x). (2.6)Este hecho no destruye la invariancia de L bajo G. Esto es importante: la lagrangiana de la teorasigue siendo invariante bajo G, lo unico que no es invariante bajo este grupo es el vector 0.

Ahora, si U(g) H, entoncesU(g)0 = 0 [1+ iaT a + ]0 = 0, (2.7)

lo que indica que T a0 = 0. Se dice que los generadores de H no estan rotos. Por el contrario siU(g) G, implica que

U(g)0 6= 0 T a0 6= 0,donde T a son los generadores de G que estan rotos.

Como veremos a continuacion, si la simetra es global, por cada generador roto aparece unboson de Goldstone, el cual es un campo escalar sin masa, este es el teorema de Goldstone. Si G eslocal, los bosones de Goldstone se incorporan a los campos de norma asociados con los generadoresrotos para formar el estado de polarizacion longitudinal del campo de norma en consideracion, estoes el mecanismo de Higgs.

2.1. El Teorema de Goldstone

El teorema de Goldstone establece que si una simetra global se rompe de forma espontanea,aparecen partculas escalares sin masa. As, existe una partcula escalar, denominada boson de

20



Goldstone, por cada generador de la simetra que se rompe. Este mecanismo es el rompimientoespontaneo de una simetra global, en cual involucra un multiplete de escalares dado en algunarepresentacion del grupo. Tomando una lagrangiana renormalizable, que sea invariante bajo dichogrupo, hallamos que en ciertos puntos tenemos un mnimo del potencial. Una vez hallados lospuntos extremos, al tomar una direccion en particular es cuando rompemos la simetra. Y como yase dijo, por cada generador roto debe existir un escalar de masa cero, llamado boson de Glodstone.Existe, ademas, un campo escalar con masa en reposo que corresponde a una excitacion a lo largode la direccion especial que se ha elegido al romper espontaneamente la simetra; este campo recibeel nombre de boson de Higgs.

Para ilustrar las ideas esenciales atras del rompimiento espontaneo de una simetra, se consi-derara un caso especfico. Se trata de romper espontaneamente el grupo SO(3) en el grupo SO(2).Para ello considere el triplete de SO(3) de campos escalares

(x) =

1(x)2(x)3(x)

,donde los campos i(x) son campos reales. Bajo SO(3)

(x) = O()(x); O() = eiaTa SO(3). (2.8)

La siguiente lagrangiana renormalizable es un invariante de Lorentz y bajo SO(3) global

L = 12

()() V (),

con

V () =1

22(T) + (T)2,

donde >0, R, V es el potencial escalar (potencial de Higgs si 2 < 0). Los puntos extremosdel potencial son dados por

V

i= [2 + 4()]i = 0,

si 2 > 0, entonces el mnimo ocurre en i=0; en este caso, corresponde a la masa de los camposi. Un caso mucho mas interesante ocurre si

2 < 0, pues existe un numero infinito de punto quesatisfacen la condicion de extremo

=24 v2,

esto es,

21 + 22 +

23 = v

2, (2.9)

dado que > 0 , V (y por tanto, la energa) es un mnimo en todos los puntos de esta superficieesferica. Lo que quiere decir que el estado base es degenerado, con grado de degeneracion infinito nonumerable. Note que la esfera es un invariante de SO(3). En efecto, sean 0 los puntos de la esfera,entonces 0 = O0 el cual es otro punto de la esfera. Se debe de elegir una direccion en particularcaracterizada por algun punto de esta esfera, notando siempre que todos los puntos son equivalentesen el sentido de que estan relacionados por el grupo de simetra. Romper espontaneamente SO(3)significa elegir una direccion particular (un punto de la esfera). Que direccion 0 elegir lo determinala teora fsica. En este caso tomese

0 =

00v

. (2.10)21



Los elementos de SO(2) son los elementos de SO(3) tales que dejan invariante a 0, es decir,

O(3)0 = 0.

Dichos elementos son las matrices de la forma

O(3) =

cos3 sin3 0sin3 cos3 00 0 1

.De esta manera, SO(3) es roto espontaneamente a SO(2). Observamos que

O(3)0 = 0

[1+ 3T3 + ]0 = 0 T30 = 0,de esta manera se dice que el generador T3 no esta roto. Dado que con O(a) = e

iaTa , lo cual cona 6= 3, se convierte en

eiaTa0 6= 0 Ta0 6= 0,implica que los generadores T1 y T2 estan rotos.

Ahora, desarrollando la teora en el entorno de 0 mediante la traslacion

(x) 0 + (x),se tiene,

0 + =

00v

+1(x)2(x)3(x)

= 00v + 3(x)

+1(x)2(x)

0

=

00v + h

+1(x)2(x)

0

= h + g; con hg = 0.De donde resulta que el potencial toma la forma

V =1

22(h + g)

(h + g) + [(h + g)(h + g)]2,

pero 2 = 4v2. Despues de hacer el algebra se llega a lo siguienteV = [2(v2 + hh)gg + (hh 2v2)hh + (gg)2].

Los terminos de masa se identifican con las partes cuadraticas en los campos. Una posible masapara 1 y 2 solo puede surgir de

(v2 + hh)gg = [v2 + (v + h2)](21 + 22) = 2vh(21 + 22) + Entonces 1 y 2 tiene masa cero, por lo que reciben el nombre de bosones de Goldstone. Comoya se haba senalado anteriormente siempre aparece uno por cada generador roto. El termino dedonde puede surgir un termino de masa para el campo h es

(hh 2v2)hh = [(v + h)2 2v2](v + h)2 = 4v2h2 + 4vh3 + h4 v4.Haciendo un poco de algebra se obtiene

L = 12

(h)(h) +

1

2(1)(

1) +1

2(2)(

2)

[2vh(21 + 22) + 2h2(21 + 22) + (21 + 22)2 v4 + 4v2h2 + 4vh3 + h4].22


2.2. EL MECANISMO DE HIGGS

Por lo tanto

Lh = 12

(h)(h) 1

2m2hh

2 4vh3 h4,

con m2h = 8v2, entonces =

m2h8v2 . Finalmente

Lh = 12

(h)(h) 1

2m2hh

2 m2h

2vh3 m

2h

8v2h4.

Note que los bosones de Goldstone se transforman covariantemente bajo SO(2). Los bosones deGoldstone siempre aparecen en una representacion del subgrupo H. Este es un resultado general.El campo masivo h, llamado boson de Higgs, se transforma trivialmente bajo SO(2).

2.2. El mecanismo de Higgs

Cuando la teora considerada en el punto anterior es de norma, es decir, cuando es invariantebajo transformaciones locales del grupo en consideracion, los campos de norma adquieren masamediante la absorcion de los bosones de Goldstone, de tal suerte que estos desaparecen de la teorapara incorporarse como un grado de libertad extra de los campos de norma, grado de libertad quecorresponde a la masa de la partcula. La partcula de Higgs queda como el unico remanente fsicodel multiplete de escalares introducido en la teora para implementar el rompimiento espontaneode la simetra.

Asumase ahora que el grupo SO(3) actua localmente, esto es,

O() = eia(x)Ta U(x). (2.11)

La teora invariante es ahora

L = 12

(D)(D) V (, ) 1

4F aF

a , (2.12)

donde D = igT aAa es la derivada covariante y F a = AaAa+geabcAbAc la curvaturadel grupo. En particular, en la representacion de triplete

(D)a = Dab b, con Dab = ab gabcAc.

Asumiendo que la teora presenta rompimiento espontaneo (2 < 0 ), debemos tomar

0 + , con 0 =00v

y =12h

.Nada cambia en V(, ), con respecto a cuando la teora es global. Pero en el sector cinetico segeneran resultados interesantes, como se vera a continuacion. Tenemos que

Lk = 12

[D(0 + )][D(0 + )] 1

2(D0)

(D0)

=1

2g2abdaceAdA

eb0c0 =

g2v2

2(A1, A

2)

(A1

A2

),

el cual se transforma covariantemente bajo SO(2) justo como

(12

). Y esto muestra que los campos

asociados con los generadores rotos T 1 y T 2 adquieren masa, con mA = gv, es decir,

1

2m2A(A

1, A

2)

(A1

A2

).

23


2.2. EL MECANISMO DE HIGGS

Ahora, defnase los campos complejos

A =12

(A1 iA2),

lo que implica que:

A1 =12

(A+ +A )

A2 =i2

(A+ A ).

Entonces, el termino de masa toma la siguiente forma m2AAA

+, la cual es invariante bajo U(1) SO(2). Observe que el campo de norma A3 asociado al generador no roto de SO(3) permanece sinmasa.

Por otra parte, defnase

G =12

(1 i2).

Un desarrollo explcito del sector cinetico usando las relaciones anteriormente definidas, conduce a

1

2(Dab b)(Dacc) = (DG+)(DG+) +

1

2(h)(

h) + ig3[A+ (D

G+)

A (DG+)] + g223AA+ + ig(3)(G+A +GA+)

g2

2(G+A +G

A+ )(GA+ +G+A).

En lo que respecta al sector de Yang-Mills, definimos

F+ 12

(F 1 iF 2) = DA+ DA+ ; F = (F+),

F 3 = F + ig(AA

+ A+A ), con F = A A,

de donde se desprende que este sector se puede escribir como

14F aF

a = 12FF

+ 14FF igFAA+

+g2

4(AA

+ A+A )(AA+ A+A).

Los acoplamientos fsicos que surgen del sector cinetico de Higgs son

1

2(h)(

h) + g223AA

+ =

1

2(h)(

h) +m2vAA

+

+2gmvhAA

+ + g

2h2AA+ ,

con mv = gv, entonces v =mvg . En terminos de los campos complejos A

y G

, la teora esinvariante bajo el grupo U(1) en forma manifiesta.

24

Captulo 3

La teora electrodebil

El modelo estandar es una teora cuantica de campos renormalizable que describe las interac-ciones electrodebil y fuerte entre los quarks y los leptones, los cuales constituyen las componentesde materia mas elementales hasta hoy conocidos. Dichas partculas son fermiones de espn 1/2 einteraccionan entre s mediante el intercambio de bosones de norma de espn 1 que estan asociadoscon dichas interacciones. [13]

El modelo estandar es descrito por el grupo de norma

SUC(3) SUL(2) UY (1),

donde UY (1) es el grupo de Hipercarga. La correspondiente constante de acoplamiento y el campode norma asociados a este grupo se denota por g y B, respectivamente. Los campos de normaasociados con el grupo SU(2) son detodados por W a y con g se denota la constante de acoplamientocorrespondiente. Finalmente, SU(3) es el grupo de la interaccion fuerte. Los correspondientes ochobosones de norma reciben el nombre de gluones y suelen denotarse por Ga. En esta tesis noscentraremos en el sector electrodebil del modelo caracterizado por el grupo de norma SUL(2) U(1)Y [14]. El proposito de este captulo es presentar una breve descripcion de cada uno de lossectores de la teora electrodebil, con enfasis especial en el sector de Yukawa, en el contexto delcual se dara la contribucion original de este trabajo.

Una interesante peculiaridad de la interaccion electrodebil es que distingue entre los estados dehelicidad de los leptones y los quarks, es decir, los bosones de norma correspondientes se acoplancon diferentes intensidades a dichos estados. Como consecuencia, esta interaccion viola paridad.Otra caracterstica importante consiste en que los bosones de norma correspondientes son masivos.Es por esto que el mecanismo de Higgs juega un papel central en esta teora.

En la teora electrodebil, los leptones y quarks se organizan en tres dobletes izquierdos deSUL(2), denominados familias, que tienen caractersticas similares, excepto por sus masas,

1era.Familia :

(ee

)L

; eR;(ud

)L

; uR y dR (3.1)

2da.Familia :

(

)L

; R;(cs

)L

; cR y sR (3.2)

3era.Familia :

(

)L

; R ;(tb

)L

; tR y bR (3.3)

Resumidos de la siguiente manera,

Li =

(ili

)L

; lRi; Qi =

(uidi

)L

; uRi y dRi (3.4)

25

CAPITULO 3. LA TEORIA ELECTRODEBIL3.1. SECTOR DE HIGGS

Los campos derechos e izquierdos estan dados en terminos del operador de quiralidad 5 medianteL = PL y R = PR, donde los proyectores de quiralidad entan definidos como lo dictan lasecuaciones (1.24) y (1.25). Esta notacion es usada debido al hecho de que los campos izquierdostransforman como dobletes bajo el grupo SUL(2), sin embargo este no es el caso para los camposderechos, los cuales son sigletes del grupo. As, los campos tiene las siguientes transformaciones denorma bajo SUL(2) UY (1):

Li Li = exp[ii(x)i

2+ i(x)

Y

2]Li

lRi lRi = exp[i(x)Y

2]lRi, (3.5)

donde i(x) y (x) son parametros de los grupos SUL(2) y UY (1), respectivamente. Estos operado-res determinan dos numeros cuanticos Y y T3 , los cuales estan relacionados con la carga electrica,mediante la relacion de Gell-Mann-Nishijima1

Q =3

2+Y

2. (3.6)

Calculemos el valor explcito de las hipercargas de los leptones y los quarks. Comencemos con elvalor del doblete leptonico y de quarks,

Li

{Qi = 0 =

12 +

Y2

Qli = 1 = 12 + Y2

} YLl = (1)

Qi

{Qui =

+23 =

12 +

Y2

Qdi =13 = 12 + Y2

} YLq = (1

3).

Ahora calculemos el valor de la hipercarga de los singletes de leptones y quarks,

lRi Q = 1 = 0 + Y2 Y lR = 2,

uR Q = 23

= 0 +Y

2 Y uR =

4

3

dR Q = 13

= 0 +Y

2 Y dR =

23.

La lagrangiana invariante de norma de SUL(2) UY (1) se puede dividir en dos partes, unaque contiene a los campos bosonicos y otra que contiene fermiones y bosones. La parte bosonicase divide a su vez en los sectores de Higgs y de Yang-Mills, mientras que el sector de fermionesse divide en los sectores de Corrientes y de Yukawa. Por lo tanto, la lagrangiana de la teoraelectrodebil se puede divir en cuatro sectores como sigue:

L = Lf + Lb = LH + LYM + LY + LC ,

donde Lf = LY + LC y Lb = LH + LYM . Se procede ahora a presentar una breve descripcion delas caractersticas principales de cada uno de estos sectores.

3.1. Sector de Higgs

Este sector permite dotar de masa a los bosones debiles y al boson de Higgs y genera la dinamicaentre estas partculas. Para dotar de masa a los fermiones y bosones de norma, necesitamos delrompimiento espontaneo de la invariancia de norma, ya que nosotros vivimos en el mundo simetrico

1Esta combinacion lineal hace que el vaco quede invariante

26


Ue(1), con un foton sin masa. De esta forma debemos tener el siguiente rompimiento espontaneoSUL(2) UY (1) Ue(1). Para realizar este rompimiento espontaneo de simetra, se introduce elcampo escalar, llamado el campo de Higgs. Como se tienen cuatro campos de norma (tres asociadoscon SUL(2) y uno con U(1)Y ), y se quiere terminar con un foton si masa asociado con Ue(1), senecesitan de al menos cuatro grados de libertad. [15] De esta manera se introduce un dobleteescalar de SU(2), con hipercarga Y=1, [16]

(x) =

(G+w0

). (3.7)

La lagrangiana renormalizable es

LH = LHK + V, (3.8)donde LHK es el termino cinetico, dado por:

LHK = (D)(D), (3.9)del cual sugen las masas de los bosones de norma, as como sus interacciones con el boson de Higgs.Por otra parte, V es el potencial de Higgs, cuya estructura renormalizable tiene la forma:

V = 2() + ()2, (3.10)

con un parametro con unidades de masa y > 0 adimensional, para asegurar que el vaciosea estable. Es aqu donde se genera la masa del boson de Higgs y sus auto interacciones. Elrompimiento espontaneo de SUL(2) UY (1) ocurre cuando 2 < 0. En efecto la condicion demnimo es dada por:

V

= 0 [2 + 2()] = 0, (3.11)

pero esta mnima energa es degenerada, ya que

= 2

2=v2

2. (3.12)

De esta manera se toma una direccion 0, tal que:

Q0 =

(3

2+Y

2

)0 = 0, (3.13)

dado que Y (x) =(+1)(x), tomando la relacion de Gell-Mann-Nishijima se obtiene que

Q =1

2

{(1 00 1

)+

(1 00 1

)}=

(1 00 0

),

as la unica forma posible para 0 es:

0 =

(0v2

). (3.14)

Por lo que al estar eligiendo un 0, ya estamos rompiendo el grupo. De esta forma la teora tieneun mnimo en 0. En consecuencia de los 4 generadores, queremos romper 3 para que correspondaal grupo electromagnetico, como se ha dicho anteriormente. Segun el teorema de Goldstone, porcada generador roto hay un escalar de masa cero, llamado boson de Golstone. En este caso se tiene,

(x) 0 + (x) =(

G+wv+H+iGz

2

)=

(G+wiGz

2

)+

(0

v+H2

)= g + h. (3.15)

27


La masa del campo H surge del potencial de Higgs.

Ya hemos visto que v2

2 =22 , de donde resulta que

2 = v2. Ahora bien, queremos conocer(g+h)

(g+h) = gg+hh+

gh+

hg. Pero

hh = (

v+H2

)2, gg = (GwG

+w+

G2z2 )

y gh + hg = 0. Por lo tanto (g + h)

(g + h) = gg + hh. Entonces

V (,) = [v2 + ()]()= [2(v

2

2+ hh)

gg + (

hh v2)hh + (gg)2]. (3.16)

Analicemos de cerca el primer termino del cual podra surgir un termino de masa para Gw y Gz.Como gg = (G

wG

+w +

G2z2 ) = (

21 +

22 +

2I), entonces se tiene que

2(v2

2+ hh)

gg = 2(vH +

H2

2)(21 +

22 +

2I). (3.17)

As, de la ec. (3.17) vemos que no hay ningun terminos que puede contribuir con terminos de masapara los campos 1, 2 y I . Esto significa que los campos G

w y Gz son bosones de Golstone, que

como sabemos siempre aparece uno por cada generador roto si la simetra es global, en cuyo casotenemos en lugar de D, y seudobosones de Golstone si la simetra es de norma (mecanismo deHiggs). Finalmente, analicemos el segundo termino de la ecuacion (3.16), el cual esta dado por

(hh v2)hh = (v2

2+ vH +

H2

2)(v2

2+ vH +

H2

2)

= (v4

4+ v2H2 + vH3 +

H4

4). (3.18)

De esta expresion se puede identificar la masa que corresponde al campo H, la cual puede verseque es dada por mH=

2v.

Por otra parte, los sudobosones de Goldstone pueden ser removidos de la teora medianteuna transformacion de norma particular, conocida con el nombre de norma unitaria. Esta normacorresponde a una transformacion de norma para la cual los nuevos seudobosones de Goldstoneson exactamente cero:

Gw = 0 y Gz = 0.

Este caso corresponde a fijar la norma con respecto a los generadores rotos de SUL(2) UY (1),pero no respecto al generador no roto. Esta es la norma unitaria,

(x) =

(0

v+H2

). (3.19)

Para desarrollar el termino cinetico debemos conocer la forma de la derivada covariante en larepresentacion fundamental, la cual es dada por

D = ig a

2W a ig

Y

2B. (3.20)

Construyamos explcitamente la derivada covariante para esta representacion, para eso tomemos

en cuenta que Q

(0

v+H2

)= 0, y definamos + =

(0 10 0

)operador de subida, y =

(0 01 0

)operador de bajada. Ademas, se introducen las siguientes definiciones para los campos de norma:W = W

1 iW 2 . Despues de alguna algebra, se obtiene

D =

[(0

H2

) ig

2(v +H)W+

(10

)+i

2(gW 3 gB)

(0

v+H2

)]. (3.21)

28

CAPITULO 3. LA TEORIA ELECTRODEBIL3.2. SECTOR DE YANG-MILLS

Por lo tanto,

LHK = 12

(H)(H) +

g2

4(v +H)2W W

+

+1

8(v +H)2(g2W 3W

3 2ggW 3B + g2BB). (3.22)

El termino g2

4 (v)2W W

+ es el termino de masa para los campos de norma W. En lo que respectaa los terminos de masa asociados a los campos de norma W 3 y B, notemos que la ecuacion anteriorse puede escribir como

1

2(H)(

H) +g2

4(v +H)2W W

+ +1

8(v +H)2(W 3 , B)

(g2 gg

gg g2)(

W 3

B

),

donde se definio el llamado angulo debil como tanw =g

g . Por lo tanto, cosw = cw =g

g2+g2y

sinw = sw =gg2+g2

. De la expresion anterior, vemos que los terminos de masa para los campos

W 3 y B estan encriptados en el siguiente termino

1

8v2(W 3 , B)

(g2 gg

gg g2)(

W 3

B

), (3.23)

el cual puede ser diagonalizado de la siguiente manera

1

8v2(Z, A)

(g2 + g2 0

0 0

)(Z

A

)=

1

8v2(g2 + g2)ZZ, (3.24)

usando la transformacion ortogonal(W 3B

)= S

(ZA

)=

(cw swsw cw

)(ZA

). (3.25)

De la ec.(3.24) podemos ver que la masa del boson de norma neutro Z esta dada por mZ =1

2cwgv =

mWcW

, mientras que la masa del foton es cero, como debe ser.

3.2. Sector de Yang-Mills

En los anos 50s Yang y Mills concideraron extender la invariancia local de norma para incluirlas transformaciones no-abelianas 2 bajo SU(2) [14]. De esta forma al incluir los campos vectoriales,se debe agregar el termino de propagacion de los campos, tambien denominado el termino cinetico,el cual debe de ser invariante de norma. Dicho termino se construye con las estructuras covariantesdadas por el tensor de campo W = T

iW i , asociado con el grupo no abeliano de SUL(2) yel correspondiente tensor B del grupo abeliano UY (1), los cuales transforman de la siguientemanera

W = UWU, U SUL(2) (3.26)

y B = B . (3.27)

As, la lagrangiana del sector de Yang-Mills de la teora electrodebil esta dada por

LYM = 14W aW

a 14BB

, (3.28)

2Esto lo hicieron como un ejercicio matematico.

29

CAPITULO 3. LA TEORIA ELECTRODEBIL3.3. SECTOR DE YUKAWA

donde los tensores de campo estan dados por

B = B B, (3.29)W a = W

a W a + geabcW bW c . (3.30)

Pero como vimos en la seccion anterior, se tiene que B = cwA swZ y W 3 = cwZ + swA,entonces

B = cwF swZ (3.31)y

W 3 = swF + cwZ + ig(W W

+ W W+ ). (3.32)

Ademas, definimos

W+ = W+ W+ . (3.33)

Por otra parte, sean los tensores con contenido de carga electrica

W+ 12 (W 1 iW 2)W 12 (W 1 + iW 2)

}W

1 =

12(W+ + W

)

W 2 =i2(W+ W)

Note que W = (W+). Realizando el algebra para W+ , se tiene que

W+ = W+ + ie(W

+ A W+ A) + igcw(W+ Z W+ Z). (3.34)

Finalmente la lagrangiana de Yang-Mills toma la forma

L = 14

(W 1W1 +W 2W

1) 14W 3W

3 14BB

= 12WW

+ 14FF

14ZZ

ig(swF + cwZ)WW+

+g2

4(W W

+ W+ W )(WW+ W+W). (3.35)

Este sector determina las interacciones entre los bosones de norma electrodebiles W, Z y A.

3.3. Sector de Yukawa

El modelo estandar contiene dos sectores fermionicos con estructuras de norma y de Lorentzcompletamente diferentes. Uno de estos sectores es el de Yukawa. La simetra electrodebil no per-mite la introduccion explcita de terminos de masa para ninguun tipo de particula, y en particularpara los leptones y quarks. El sector de Yukawa tiene como proposito generar las masas para losfermiones quirales va el mecanismo de Higgs. Las invariantes de este sector se contruyen comoproducto de eigenestados de campos de norma que vinculan fermiones de diferente helicidad aco-plados al doblete de Higgs. Como sabemos, la teora electrodebil no define los estados de helicidadderecha para los neutrinos, por lo que no pueden tener ninguna manifestacion fsica en este sector.El secctor de Yukawa corresponde a invariantes electrodebiles de dimension cuatro que se puedenconstruir con los dobletes izquierdos de los fermiones, los singletes derechos y el doblete de Higgs.

Las expresiones (3.1), (3.2), (3.3) y (3.4) nos muestran como se organizan los fermiones. Deesta forma la lagrangiana de Yukawa es:

LY = LlY + LqY , (3.36)30


donde

LlY = Y lijLilRj + h.c. (3.37)

y

LqY = Y uij QiuRj Y dijQidRj + h.c., (3.38)

donde en cada termino existe suma sobre los ndices de sabor i, j. Las Y lij , Yuij y Y

dij son componentes

de matrices 33 completamente generales, llamadas las constantes de Yukawa, las cuales sonadimensionales. En lo que respecta a los quarks, sabemos que existen estados derechos para lasdos componentes del doblete izquierdo, de esta manera es necesario considerar otro objeto quetransforme convariantemente bajo el grupo SUL(2) UY (1). Dicho objeto es dado por

= i2 =(

0 11 0

)(0

v+H2

)=

( v+H2

0

). (3.39)

3.3.1. Sector de Yukawa Leptonico

El sector de Yukawa leptonico puede escribirse de la siguiente manera

(

0v+H

2

)

LlY = Y lij(Li, lLi)(

0v+H

2

)lRj + h.c.

= v +H2Y lij l

LilRj + h.c.

= v +H2ELY

lER + h.c., (3.40)

donde E =

e

es un vector en el espacio de sabor. Lo que implica queLlY = EL

Y lv2ER

H2ELY

lER + h.c. (3.41)

Ahora sea Ylv2

= Y l, de aqu tambien se tiene que Y l =

2Y l

v . As que la lagrangiana puede ser

escrita de la siguiente manera

LlY = (1 +H

v)ELY lE

R + h.c. (3.42)

Como ya se haba mencionado, Y lij =v2Y lij son los elementos de la matriz de masa, la cual es

completamente general. Para identificar las masas fsicas es necesario diagonalizarla. Al respecto,existe un teorema del algebra lineal que nos dice

Teorema: Para cualquier matriz M , siempre es posible encontrar dos matrices unitarias, A yB, tal que AMB es real y diagonal.

Prueba.- Expresemos la matriz M en su descomposicion polar, la cual esta dada por

M = HU,

31


donde H es una matriz hermitiana y U una matriz unitaria. Pero toda matriz hermitiana puedeser diagonalizada por una matriz unitaria, esto es,

SHS

es diagonal, con S = S1. Por lo que tomando A = S y B = US, tenemos que

AMB = SMUS = S(HU)US = SHS,

la cual es una matriz real y diagonal, ya que los eigenvalores de una matriz hermitiana son eigen-valores reales. Por lo que queda demostrado el teorema.

Por otro lado, sea la transformacion unitaria dada por

EL = VlLEL (3.43)

ER = VlRER, (3.44)

donde V lL y VlR son matrices unitarias, entonces la lagrangiana toma la forma

LlY = (1 +H

v)ELV

lL Y

lV lRER + h.c. (3.45)

Definamos M l = V lL Y lVlR, la cual es una matriz diagonal y real, usando el teorema anteriormente

demostrado, por eso se pide que V lL y VlR, sean matrices unitarias. Dicha matriz es la matriz de

masa de los leptones. Entonces

LlY = (1 +H

v)(ELM

lER + ERMlEL)

= (1 + Hv

)(EM lE), (3.46)

donde

M l =

me 00 m 00 0 m

. (3.47)As pues el sector de Yukawa para leptones conserva el sabor, esto es, el boson de Higgs solo seacopla al mismo tipo de lepton cargado. Finalmente,

LlY = (1 +gH

2mw)(EM lE) (3.48)

3.3.2. Sector de Yukawa de Quarks

Una vez mas en la norma unitaria, tenemos

(

0v+H

2

)y

( v+H

2

0

).

32

CAPITULO 3. LA TEORIA ELECTRODEBIL3.4. SECTOR DE CORRIENTES

De este modo la lagrangiana de Yukawa para el sector de quarks es

LqY = Y uij (uLi, dLi)( v+H

2

0

)uRj Y dij(uLi, dLi)

(0

v+H2

)dRj + h.c.

= v +H2Y uij u

LiuRj

v +H2Y dij d

LidRj + h.c.

= v +H2

(U LYuU R + D

LY

dDR) + h.c. (3.49)

donde U =

uct

y D =dsb

son vectores en el espacio de sabor. EntoncesLqY = U L

Y uv2U R

H2U LY

uU R DLY dv

2DR

H2DLY

dDR + h.c. (3.50)

Sean Yuv2

= Y u y Ydv2

= Y d, as que la lagrangiana anterior toma la forma

LqY = (1 +H

v)(U LY uU

R + D

LY

dDR) + h.c. (3.51)

Ademas Y uij =v2Y uij y Y

dij =

v2Y dij son los elementos de la matriz de masa para los quarks de

tipo up y down, respectivamente. Dichas matrices son completamente generales, las cuales debenser diagonalizadas para determinar las masas fsicas de los quarks. Apoyandonos en el teorema dela seccion anterior, hagamos las siguientes transformaciones unitarias

U L = VuLUL

U R = VuRUR

};DL = V

dLDL

DR = VdRDR

, (3.52)

donde V uL , VuR , V

dL y V

dR son matrices unitarias. Entonces, en termino de los nuevos campos, la

lagragiana de Yukawa toma la forma

LqY = (1 +H

v)(ULV

uL Y

uV uRUR + DLVdL Y

dV dRDR) + h.c. (3.53)

Definamos Mu = V uL Y uVuR y M

d = V dL Y dVdR , las cuales, como consecuencia del teorema men-

cionado, son matrices diagonales y reales. Finalmente,

LqY = (1 +H

v)(UMuU + DMdD), (3.54)

con

Mu =

mu 00 mc 00 0 mt

y Md =md 00 ms 0

0 0 mb

. (3.55)De esta manera el sector de Yukawa para quarks en terminos de los eigenestados de campos demasa conserva el sabor, ya que el boson de Higgs solo se acopla a pares del mismo tipo de quarks.

3.4. Sector de Corrientes

Este sector determina los terminos cineticos de los leptones y quarks, as como sus interaccionescon los bosones de norma. Esto se genera al sustituir la derivada ordinaria de la parte cinetica de

33


los fermiones quirales por la derivada covariante asociada al grupo electrodebil, lo que da lugar ala presencia de terminos de interaccion carracterizados por las estructuras de Lorentz y 5.Las interacciones de los fermiones con los bosones de norma da lugar a lo que se conoce comocorrientes cargadas y neutras. En terminos de los eigenestados de masa, este sector conserva elsabor de familias y aun entre miembros de las misma familia en el caso de corrientes neutras. Esterequerimiento viene de la necesidad de definir correctamente a los terminos cineticos, los cualesno pueden involucrar el producto de dos terminos diferentes, es decir, los terminos de la formaifLi

fLj con i distinto de j, no tiene una interpretacion directa en el contexto de campo libre.La lagrangiana renormalizable para este sector es dada por

Lc = Llc + Lqc , (3.56)donde

Llc = iLi /DLi + i lRi /DlRi. (3.57)La primera derivada de la ec. (3.57) es:

D = ia

2W a + ig

YL2B, (3.58)

y la segunda derivada corresponde a

D = igYlR2B. (3.59)

De acuerdo con el rompimiento espontaneo SUL(2) UY (1) Ue(1), el generador del grupoelectromagnetico es Q = T 3 + Y2 , as que el lepton cargado izquierdo y derecho tienen la mismacarga, auqnue, como ya se vio, no la misma hipercarga. Entonces

Ql =3

2+YL2

y Ql =YR2.

Por otra parte para el caso del doblete la derivada covariante en la representacion fundamental deSUL(2) es

D = ig2

(W+ + +W

) ig2cw

Z(3 2s2wQl) ieQlA, (3.60)

mientras que para el singlete la derivada covariante correspondiente es

D = ieQlA + igQl s2w

cwZ. (3.61)

Por ejemplo,

/DLi =(/Li/lLi

) ig

2/W

+(lLi0

) ig

2/W(

0Li

) ig

2cw/Z

(Li

(1 + 2s2wQl)lLi) ieQl /A

(0lLi

)

iLi /DLi = iLi /Li + ilLi /lLi +g2W+

Li

lLi +g2W l

Li

Li

+eQlA lLi

lLi +g

2cwZ(

Li

Li (1 + 2s2wQl)(lLilLi))

y

ilRi /lRi = il

Ri /l

Ri + eQlA l

Ri

lRi s2wcwgQlZ l

Ri

lRi.

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3.4.1. Sector de corrientes Leptonico

El sector de corrientes leptonico es dado por la siguiente lagrangiana

Llc = iLi /Li + ilLi /lLi +g2W+

Li

lLi +g2W l

Li

Li

+eQlA lLi

lLi +g

2cwZ(

Li

Li (1 + 2s2wQl)(lLilLi))

+ilRi /lRi + eQlA l

Ri

lRi s2wcwgQlZ l

Ri

lRi. (3.62)

Sean los vectores en el espacio de sabor,

=

e

y E =e

.Entonces,

Llc = iL /L + iEL /EL + iER /ER +g2W+

L

EL

+g2W E

L

L + eA(QlEL

EL +QlER

ER)

+g

2cwZ(

L

L (1 + 2s2wQl)(ELEL))s2wcwgQlZE

R

ER. (3.63)

Pasando a eigenestados de masa elegimos las mismas matrices que rotan EL y ER

EL = VlLEL

ER = VlRER

.

Pero que hacemos con L? Como no hay ninguna restriccion ya que desaparece totalmente delsector leptonico de Yukawa, podemos elegir la transformacion que mas nos convenga, as lo trans-formamos de la misma forma que EL, para que elimine los efectos de violacion de sabor en lascorrientes cargadas. Entonces, tomemos

L = VlLL.

Como consecuencia de esta eleccion, las corrientes neutras conservan el sabor. En efecto,

LEL = LV

lL

V lLEL

= LV lL V

lLEL

= LEL. (3.64)

En lo que respecta a las corrientes cargadas, tenemos

EL /EL + E

R /E

R = EL /EL + ER /ER

= E /PLE + E /PRE

= E /(PR + PL)E

= E /E. (3.65)

lo cual muestra que no esxisten acoplamientos entre miembros de diferentes familias. Es importantesenalar la ausencia de interacciones entre leptones de diferentes familias mediadas por el boson debil

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cargado. Ademas esto no solo se debe a la inexistencia de neutrinos derechos, sino tambien a queel sector de corrientes es originalmente invariante de sabor. Finalmente,

Llc = iL /L + iE /E +g2

(W+ PLE +W

E

PL)

+eA(QlEE)

+g

2cwZ(

PL + glLEL

EL + glRER

ER). (3.66)

3.4.2. Sector de corrientes Quarks

El sector de corrientes de quarks esta caracterizado por la siguiente lagrangiana

Lqc = iQi /DQi + iuRi /DuRi + idRi /DdRi, (3.67)

donde Qi =(uidi

)L

. El desarrollo explcito de esta expresion conduce a

Lqc = iuLi /uLi + idLi /dLi +g2W+ u

Li

dLi +g2W d

Li

uLi

+eQlAdLi

dLi +g

2cwZ(u

Li

uLi (1 + 2s2wQl)(dLidLi))

+iuRi /uRi + eQlAu

Ri

uRi s2wcwgQlZu

Ri

uRi

+idRi /dRi + eQlAd

Ri

dRi s2wcwgQlZd

Ri

dRi. (3.68)

Introduciendo los siguientes vectores en el espacio de sabor de quarks,

U =

uct

; D =dsb

la lagrangiana toma la forma

Llc = iU L /U L + iDL /DL + iU R /U R + iDR /DR +g2W+ U

L

DL +g2W D

L

U L

+eA(QlDL

DL +QlUR

U R +QlDR

DR)

+g

2cwZ(U

L

U L (1 + 2s2wQl)(DLDL))

s2w

cwgQlZU

R

U R s2wcwgQlZD

R

DR (3.69)

Pasando a eigenestado de masa mediante las siguientes transformaciones unitarias

U L = VuLUL

U R = VuRUR

DL = VdLDL

DR = VdRDR.

se obtienen las corrientes cargadas y neutras en este sector. Como consecuencia de la unitariedadde la transformacion, las corrientes neutras conservan el sabor. Por ejemplo,

U RU R = URV

uR V

uR

UR

= URUR. (3.70)

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Cabe senalar que el cambio de sabor mediado por corrientes neutras aparece a orden de un lazo.Algo muy diferente ocurre con las corrientes cargadas. En este caso, se tiene

U LDL = ULV

uL

V dLDL

= ULVuL V

dL

DL,

sea K= V uL VdL la matriz de Kobayashi-Maskawa. Entonces,

U LDL = ULK

DL. (3.71)

Existe un efecto observable de interacciones entre quarks de diferentes familias que se transfieredesde el sector de Yukawa a traves del proceso de rotacion. Este es un fenomeno directamenterelacionado con la definicion de las masas de los fermiones quirales. Por lo tanto las corrientescargadas cambian el sabor de los quarks. La presencia de este efecto de violacion de sabor a nivelde accion clasica es responsable de que a orden de un lazo aparezca el fenomeno de cambio desabor mediado por los bosones neutros Z, A y H (corrientes neutras con cambio de sabor).

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Captulo 4

El sector de Yukawa en 6dimensiones

En este captulo se presenta la contribucion de esta tesis. El objectivo central es encontrar larepresentacion espinorial del grupo de Lorentz en 6 dimensiones, determinando la forma explcitade las matrices de Dirac correspondientes, con el fin de estudiar la estructura del sector de Yukawaen un espacio-tiempo 6-dimensional, en el que ademas de las 4 dimensiones ordinarias del espacio-tiempo, se asume la existencia de dos coordenadas espaciales compactas.

4.1. Espinores en 6 dimensiones

Considere un espacio-tiempo plano de dimension m, es decir, una variedad Mm =M4 Nn ,donde n es el numero de dimensiones extra. El grupo de Poincare ISO(1,m 1) en este espacioesta definido a traves de sus generadores, cuyo numero es igual a 12m(m + 1); donde m de estosgeneradores, denotados por PM (M = , , con = 0, 1, 2, 3 y = 5, ..., 4+n ), pertencen al grupode las translaciones, y los restantes 12m(m 1), denotados por JMN , estan asociados con el grupode Lorentz SO(1,m 1). Estos generadores satisfacen la siguiente algebra de Poincare [4]

[PM , PN ] = 0, (4.1)

[JMN , PR] = i (gMRPN gNRPM ) (4.2)[JMN , JRS ] = i (gMRJNS gMSJNR gNRJMS + gNSJMR) . (4.3)

Esta algebra tiene 2 sub-algebras unidas. Una de estas corresponde al grupo de Poincare estandar,la cual se denota con ndices griegos, y que ya fue presentada en el captulo 1.

[P, P ] = 0,

[J , P] = i (gP gP)[J , J] = i (gJ gJ gJ + gJ) .

Mientras que la otra algebra esta asociada con el grupo ortogonal inhomogeneo en n dimensionesISO(n), y cuyos ndices correspondientes a las dimensiones extra son denotadas con ndices griegosbarra,

[P, P ] = 0,

[J , P] = i (gP gP)[J , J] = i (gJ gJ gJ + gJ) .

Transformacion de campos

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CAPITULO 4. EL SECTOR DE YUKAWA EN 6 DIMENSIONES4.1. ESPINORES EN 6 DIMENSIONES

Considere una transformacion infinitesinal de Poincare en la variedad Mm,X M = XM + wMNX

N + M , (4.4)

donde X Mm. Ademas, wMN = wNM y M son los parametros infinitesimales del grupo.Entonces

XM = wMNXN + M . (4.5)

Campo vectorialBajo una transformacion infinitesimal del grupo de Poincare, un campo vectorial se transforma

como

AM (X) = [gMN + wMN ]AN (X + X). (4.6)Haciendo un desarrollo en serie a primer orden en la variacion de la coordenada X, se tiene

AM (X) = [gMN + wMN ](AN (X) + XPPAN (X)),esto es,

AM (X) = gMNAN (X) + wMNAN (X) + gMN (wPRXR + P )PAN (X),de donde se obtiene que la variacion del campo esta dada por

AM (X) = [wMN + gMN (wPRXR + P )P ]AN (X). (4.7)Esta relacion puede dividirse naturalmente en variaciones de componentes de A(X) y A(X)como sigue,

A(X) = [w + g(wx + )]A(X)+[(wx

+ ) + w(X

x)]A(X) + wA(X), (4.8)

A(X) = [w + g(wx + )]A(X)+[(wx

+ ) + w(x

x)]A(X) + wA(X). (4.9)De estas expresiones, podemos ver que A y A se transforman bajo el grupo estandar de LorentzSO(1, 3) como un vector y un escalar, respectivamente, mientras que bajo el grupo ortogonalSO(n) se transforman como un escalar y un vector, respectivamente. Esto significa que el vectordefinido por el grupo grande de Poincare ISO(1,m 1) puede descomponerse en terminos deobjetos covariantes de los grupos ISO(1, 3) y ISO(n). Estos objetos son A(X) y A(X).

Campo EspinorialEn el estudio de esta representacion de SO(1,m 1), asumiremos que m es par, a modo de no

perder la

capitulo 54 algebra de cliford

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