capitulo 6.- la transformada de laplace ...informatica.uv.es/iiguia/ss/capitulo_6_05-06.pdf1...
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1
CAPITULO 6.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.6.1 Introducción.
6.2 La transformada de Laplace.
6.3 La transformada de Laplace unilateral.
6.4 Inversión de la transformada de Laplace.
6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.
6.6 La transformada de Laplace bilateral.
6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace.
6.1 Introducción.
Generalizamos la representación senoidal compleja de la FTCaracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales
*señales no absolutamente sumables(ej. : respuesta impulso de un sistema inestable)
PropiedadesFunción de transferencia
Unilateral: solución ecuaciones diferenciales con condiciones inicialesBilateral: características del sistema (estabilidad, causalidad, resp. frec.)
Análisis transitorio y estabilidad de sistemas LTI
2
6.2 La transformada de Laplace
)()cos( tsenjeteeeejs
tttjtts ωω
ωσσσωσ +==
+=
==
ωσ Factor de amortiguamiento exponencial < 0
Frecuencia del coseno y seno
6.2 a
{ }
{ }
( ))()(
)(
)(
)()()(
)()(;)()()(
)()(;)(
)()()()(
)()()(*)()()(
ωσφωσφ
φ
τ
ττ
ωσ
φ
ττ
ττττ
τττ
jtjttssj
sj
ts
ststs
tstssts
tsts
eejHeesHty
sHdefasesesHsHsistemadelticocaracterísvalorsH
sistemadelticacaracterísfuncióne
dehsHesHeH
esHedehdehty
dtxhtxtheHtyetx
++
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−−
∞
∞−
+==
==
==
==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
−===⇒=
∫
∫ ∫
∫
3
6.2 b( ) ( ))()()(cos)()( ωσφωωσωσφωωσ σσ jtsenejHjjtejHty tt +++++++=
)()cos( tsenjetee ttts ωω σσ +=
[ ]
[ ] [ ]
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∞
∞−
+
∞
∞−
−
−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−−∞
∞−
+−
∞
∞−
−
+=
+=
+⎯→←
==
==+
+==
ωωσπ
ωωσπ
ωσ
ωωπ
ω
τωσ
ωσττ
ωσ
ωσ
σ
ωω
ωσωσ
τ
dejHth
dejHeth
jHeth
dejXtxdtetxjXFT
deethdtethjH
jsdehsH
tj
tjt
FTt
tjtj
tjttj
s
)(
)(
)(21)(
)(21)(
)()(
)(21)(;)()(:
)()()(
;)()(
6.2 c
∞<
=+⎯→←⎯→←
==
==
=
=
=+=+=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞
∞−
−
−
∞
∞−
−
∞+
∞−
∞
∞−
−
∞+
∞−
∞
∞−
+
dtetxiaconvergencdecondición
sXjXetxsXtx
thdeLaplacededaTransformadtetxsX
sHdeLaplacedeinversadaTransformadsesXj
tx
txseñaltodaParadtethsH
dsesHj
th
jdsdjsdejHth
ts
FTtL
ts
j
j
ts
ts
j
j
ts
tj
)(;
)()()(;)()(
)()()(
)()(2
1)(
)(;)()(
)(2
1)(
;;)(21)( )(
ωσ
π
π
ωωσωωσπ
σ
σ
σ
σ
σ
ωσ
ROC : Región de convergencia=intervalo de σ para converja transfor.
4
Figure 6.2 (p. 485)The Laplace transform applies to more general signals than the
Fourier transform does. (a) Signal for which the Fourier transform does not exist.
(b) Attenuating factor associated with Laplace transform. (c) The modified signal x(t)e-σt is absolutely integrable for σ > 1.
1>σ
te σ− tetx σ−)(
1>σ
6.2 dSi x(t) es absolutamente sumable:La transformada de Fourier está dada por la transformada de Laplace evaluada a lo largo del eje imaginario
0|)()( == σω sXjX
xSXdepolosdoSXdecerosc
ds
csbasasas
bsbsbsbSX
k
k
N
k k
M
k kMN
NN
MM
MM
⇒⇒
−
−=
++++++++
=∏∏
=
=−
−
−−
)(:)(:
)(
)()(
1
1
011
1
011
1
K
K
5
Figure 6.3 (p. 486)The s-plane. The horizontal axis is Re{s} and the vertical axis
is Im{s}. Zeros are depicted at s = –1 and s = –4 ± 2j, and poles are depicted at
s = –3, s = 2 ± 3j, and s = 4.
σ
σω
⇒⇒
sv
6.2 eEjemplo 6.1. Determine la transformada de Laplace de
y describa la ROC y la localización de polos y ceros. Suponer “a” real
)()( tuetx ta=
aspolo
ROCasas
sX
eee
eas
dtedtetuesX
atjta
t
tas
t
tastaststa
=
⇒>−
=
==
−−
===
>−−−
∞→
−−
∞→
∞−−∞
−−∞
∞−
− ∫∫
)Re(,1)(
0limlim
|1)()(
)()(
0)(
0
)(
σωσ
(causal)
6
Figure 6.4 (p. 487)The ROC for x(t) = eatu(t) is depicted by the shaded region. A
pole is located at s = a.
σω
⇒⇒
sv
σ
6.2 fEjemplo 6.1. Determine la transformada de Laplace de :
y describa la ROC y la localización de polos y ceros. Suponer “a” real
)()( tuety ta −−=
[ ]
)()(
)Re(,1)(
0limlim
|1)()(
)()(
0)(0
)(
sXsYaspolo
ROCasas
sX
eee
eas
dtedtetuesY
atjta
t
tas
t
tastaststa
==
⇒<−
=
==
−=−=−−=
<−−−
−∞→
−−
−∞→
∞−−−
∞−
−−∞
∞−
− ∫∫σ
ωσ
(anticausal)
7
Figure 6.5 (p. 488)The ROC for y(t) = –eatu(–t) is depicted by the shaded region.
A pole is located at s = a.
σ
σω
⇒⇒
sv
6.3 La transformada de Laplace unilateral.
asROCas
tueas
tue
sXtxdtetxsX
LtaLta
Lts
u
u
>−
⎯→←−
⎯→←
⎯→←= ∫∞ −+
)Re(1)(;1)(
)()(;)()(0
PROPIEDADES )()(;)()( sYtysXtx uu LL ⎯→←⎯→←
Linealidad
Escalamiento
Corrimiento en el tiempo
)()()()( sbYsaXtbytax uL +⎯→←+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎯→←
asX
aatx uL 1)(
)()()()(|)()(
τττττ τ
−−=−∀⎯→←− −
tutxtutxsXetx sLu
8
6.3 aPROPIEDADES (cont.)
Corrimiento en el dominio s
Convolución
Diferenciación en el dominio de s
Diferenciación en el dominio del tiempo
Integración
Teorema valor inicialTeorema valor final
)()( 00 ssXtxe uLts −⎯→←
)()()(*)( sYsXtytx uL⎯→←
)()( sXdsdtxt uL⎯→←−
)0()()( +−⎯→← xssXtxdtd
uL
)0(|)(|)()()( 10
201
1+−
=−
=−
−
−−−−⎯→← ++ xstxdtdstx
dtdsXstx
dtd n
tn
tn
nnL
n
nu K
ssXdx
sdx uLt )()(1)(
0+⎯→← ∫∫
+
∞−∞−ττττ
)0()(lim +
∞→= xssX
s
)()(lim0
∞=→
xssXs
solo si Re(polos)<0
6.4 Inversión de la transformada de Laplace.
ni
Ltdn
ri
i
i
i
i
i
k
kLtdk
N
k k
k
N
k k
MM
MM
NN
N
MM
MM
dsAtue
nAt
dsA
dsA
dsA
dsAtueA
dsASX,
dsbsbsbsbSX
asasasbsbsbsb
sAsBSX
uk
r
uk
)()(
)!1(
)(,,
)(,,rdadmultiplicidpolo
)(;)(distintosdpolos
)()(
)()()(
1
2i
1k
1
011
1
011
1
011
1
21
−⎯→←
−
−−−
−⎯→←
−=
−
++++=
++++++++
==
−
=
=
−−
−−
−−
∑
∏
K
K
K
K
∫∞+
∞−=
j
j
ts dsesXtxσ
σπ)(
21)(
Polos reales:
9
6.4 aPolos complejos
Si los coeficientes en el polinomio del denominador son reales, lospolos complejos se presentan en pares conjugados complejos.
20
2
202
02
20
21
01
20
212112
02
202
20
21
20
221
00
21
0
1
0
1
00
)()()(
)()()()cos(
;;)()(
)(
)())((
,:
ωαωω
ωααω
ωα
ωαω
ωαα
ωαωαωαωαωα
ωαωα
α
α
+−⎯→←
+−−
⎯→←
+==
+−+
+−−
=
=+−
+=
+−−−+
=+−
+−−
−+
sCtutseneC
ssCtuteC
BBCBCs
Cs
sC
sBsB
jsjsBsB
jsA
jsA
jjcomplejosconjugadospolos
u
u
Lt
Lt
Re{s}>-a
Re{s}>-a
Re{s}>0t u(t)
Re{s}>0u(t)
ROCTransformadaSeñal
Transformadas de Laplace básicas (1)
∫∞+
∞−=
j
j
ts dsesXj
txσ
σπ)(
21)( ∫
∞
∞−
−= dtetxsX ts)()(
s1
2
1s
ste−
as +1
2)(1as +
0),( ≥− ττδ t
)(tue at−
)(tute at−
s∀
10
Re{s}>-a
Re{s}>-a
Re{s}>0
Re{s}>0
Re{s}>0
ROCTransformadaSeñal
Transformadas de Laplace básicas (2)
21
2 ω+ss
)()][cos( 1 tutω
)()]([ 1 tutsen ω 21
21
ωω+s
)()]cos([ 1 tute at ω−21
2)( ω+++
asas
)()]([ 1 tutsene at ω−21
21
)( ωω
++ as
)(tut n1
!+ns
n
∫∞+
∞−=
j
j
ts dsesXj
txσ
σπ)(
21)( ∫
∞
∞−
−= dtetxsX ts)()(
6.4 bProblema 6.8Encontrar la transformada inversa de Laplace de 54
23)( 2 +++
=ss
ssX
)()(4)()cos(3)(
)()()(
)()()()cos(
1)2(14
1)2()2(3)(
4;3;)()(
)()(
2;3;)(1)2(
2354
23)(
22
20
2
202
02
20
21
01
22
2
22
20
212112
02
202
20
21
2120
221
222
tutsenetutetx
sCtutseneC
ssCtuteC
ssssX
BBCBCs
Cs
sCsX
BBs
BsBs
sss
ssX
tt
Lt
Lt
u
u
−− −=
+−⎯→←
+−−
⎯→←
++−
+++
+=
−=+
===+−
++−−
=
==+−
+=
+++
=++
+=
ωαωω
ωααω
ωα
ωαω
ωαα
ωα
α
α
11
6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.
)()()()()()(
|)()(
|)()(
)(
)(
)()()()(
)()()()(
1
1
00
1
1
1
00
1
011
1
011
1
011
1
1
011
1
1
sDsXsBsCsYsA
txdtdsbsD
tydtdsasC
bsbsbsbsB
asasasasA
txbtxdtdbtx
dtdbtx
dtdb
tyatydtdaty
dtdaty
dtda
M
k
k
ltl
llk
k
N
k
k
ltl
llk
k
MM
MM
NN
NN
M
M
MM
M
M
N
N
NN
N
N
−=−
=
=
++++=
++++=
++++=
=++++
∑∑
∑∑
=
−
==
−−
=
−
==
−−
−−
−−
−
−
−
−
−
−
+
+
K
K
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
K
K
6.5 a
)()()(
sistemadelnaturalessfrecuencia
)(;0)(;)()()(
)()()()()(
)()(0)()()()()(0)(
)()(
)()()()()(
)()()()()()(
)()(
)(
)(
)(
)(
sYsYsY
p
etypraicessAsAsCsY
sAsDsXsBsY
sYsYsDsXsBnulaentradasYsYsCnulasinicialesscondicione
sAsC
sAsDsXsBsY
sDsXsBsCsYsA
nfi
i
tpi
n
f
n
f
i
+=
=
==⇒==
−=
=⇒=−⇒
=⇒=⇒
+−
=
−=−
∑
Frecuencias naturales del sistema : raíces de A(s)=0
12
Problema 6.38Problema 6.38 Determine la respuesta natural y forzada parael sistema LTI descrito por la siguiente ecuación diferencial
6.6 La transformada de Laplace bilateral.
causalnotxdtetxsXtx tsL )(;)()()( ∫∞
∞−
−=⎯→←
Propiedades de la región de convergencia ROC
Si x(t) es de orden exponencial.La ROC de una señal lateral izquierda es de la forma σ<σn
La ROC de una señal lateral derecha es de la forma σ>σn
La ROC de una señal bilateral es de la forma σp<σ<σn
[ ]bttx >∀= ,0)(
[ ]attx <∀= ,0)(
(es de extensión infinita en ambas direcciones)
13
6.6 aPropiedades de la región de convergencia ROCLas propiedades de: linealidad, escalamiento,corrimiento,convolución y diferenciación en el dominio s son idénticas para la transformada bilateral y unilateral, aunque las operaciones asociadas con estas propiedades pueden cambiar la ROC.
Corrimiento en el tiempo
Diferenciación en el dominio del tiempocon ROC al menos Rx
Integración en el tiempo
Teoremas del valor inicial y final ,con la restricción x(t)=0 t<0
)()( sXetx tsL −⎯→←−τ
)()( ssXtxdtd L⎯→←
0)Re(:,)()( >∩⎯→←∫ ∞−sRROC
ssXdx x
Ltττ
6.6 bInversión de la tranformada de Laplace bilateral
kk
kLtdk
kk
kLtdk
N
k k
kN
k k
M
k kMN
NN
MM
MM
dsROCconds
AtueA
dsROCconds
AtueA
dsA
ds
csbasasas
bsbsbsbSX
k
k
<−
⎯→←−−
>−
⎯→←
−=
−
−=
++++++++
= ∑∏∏
==
=−
−
−−
)Re()(
)Re()(
;)(
)()(
11
1
011
1
011
1
K
K
Transf. lateral derecha
Transf. lateral izquierda
La ROC asociada a X(s) determina cual de las dos se elige.La propiedad de linealidad establece que la ROC de X(s) es laIntersección de las ROC de los términos individuales en la expansiónen fracciones parciales.Si la señal es causal elegimos transformada lateral derecha.Una señal estable es absolutamente integrable y existe la transformadade Fourier, la ROC incluye el eje Re(s)=0.
14
6.6 cProblema 6.43 Use el método de la la descomposición en fracciones simples para calcular la señal en tiempo continuo correspondiente a la siguiente transformada bilateral de Laplace :
)(2)(3)())()23()())()23()()
22
13
234)(
1)Re(2)1)Re()2)Re()
234)(
2
2
2
2
2
tuetuetxctueetxbtueetxassss
sSX
sROCConcsROCConbsROCCona
sssSX
tt
tt
tt
−−
−−
−−
+−−=
+−=
−−=+
++−
=++
−−=
−<<−−>−<
++−−
=
6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace.
==⇒=⎯→←=)()()()()()()(*)()(
sXsYsHsXsHsYtxthty L Función de
transferencia
15
6.7 aFunción de transferencia y las ecuaciones diferenciales
{ } { } { }
∏∏
∑
∑
∑∑
∑∑∑∑
=
=
=
=
==
====
−
−===
==
=⇒=
=⎯→←=
N
k k
M
k k
N
MN
k
kk
M
k
kk
tsktsk
kts
M
kk
k
k
N
k
tsk
k
k
tsts
M
k
kk
N
k
kk
LM
kk
k
k
N
kk
k
k
ds
csab
sa
sb
sXsYsH
esedtde
dtdbsHe
dtda
esHtyetx
sXsbsYsatxdtdbty
dtda
!
1
0
0
00
0000
)(
)()()()(
;)(
)()()(
)()()()(
6.7 bDescripción de función de transferencia y variables de estado
[ ]dssH
sXsHsXdssYsXss
sXsssdXssYtdxtty
sXssstxttdtd
sQ
sQsQ
s
tq
tqtq
t
L
L
N
L
N
+−=
=+−=
−=
=−+=⎯→←+=
=−⎯→←+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎯→←
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
bAIcbAIc
bAIqbqAI
qccq
bqAqbAqq
1
1
1
2
1
2
1
)()()()()()()(
)()()(~)()(~)(
)()(~)()()()(
)()(~)(~)()()(
)(
)()(
)(~
)(
)()(
)(MM
16
6.7 cCausalidad y estabilidad
La respuesta al impulso es la transformada inversa de Laplacede la función de transferencia (¿ROC ?)La descripción de la ecuación diferencial no da información de ROC
Si el sistema es causal h(t)=0 para t<0, la respuesta al impulso sedetermina de la función de transferencia empleando transformadasinversas de Laplace laterales derechas
Si el sistema es estable la respuesta al impulso es absolutamenteintegrable, existe la transformada de Fourier, la ROC incluye el ejejω en el plano s
Un sistema estable y causal deben tener todos los polos en el semiplano izquierdo del plano s
Figure 6.19 (p. 524)The relationship between the locations of poles and the impulse
response in a causal system. (a) A pole in the left half of the s-plane corresponds to an exponentially decaying impulse response. (b) Apole in the right half of the s-plane corresponds to an exponentially
increasing impulse response. The system is unstable in this case.
σω
⇒⇒
sv
17
Figure 6.20 (p. 524)The relationship between the locations of poles and the impulse
response in a stable system. (a) A pole in the left half of the s-plane corresponds to a right-sided impulse response. (b) A pole in the right half of the s-plane corresponds to an left-sided impulse response. In
this case, the system is noncausal.
σω
⇒⇒
sv
Figure 6.21 (p. 525)A system that is both stable and causal must have a transfer function with all of its poles in the left half of the s-plane, as
shown here.
σω
⇒⇒
sv
18
6.7 dDeterminación de la respuesta en frecuencia a partir de polos y ceros. Diagramas de Bode
∏∏
∏
∏
∏∏
∏∏
∑
∑
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
−=⎯⎯ →←
−
−===
N
k k
M
k k
N
M
N
kk
M
kk
N
k k
M
k k
N
Mjs
N
k k
M
k k
N
MN
k
kk
M
k
kk
d
cabk
djcj
Kdj
cjabjHsH
ds
csab
sa
sb
sXsYsH
!
1
1
1
!
1
!
1
0
0
)(
)(
1
1
)(
)()()(
)(
)()()()(
ω
ω
ω
ωωω
Calcularemos la respuesta en frecuencia del sistema combinandoapropiadamente las respuestas en frecuencia de cada polo y cero.Suponemos que todos los polos y ceros son reales
6.7 e
{ }
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+−=
−=−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−−−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
∑∑
∑∑
∏
∏
==
==
=
=
2
2
11
11
1
1
1log101log20)(
;1
1)(
1arg1argarg)(arg
1log201log20log20)(
1
1)(
bbdbd
bk
k
d
N
k k
M
k k
M
k k
M
k kdb
N
kk
M
kk
jjH
realddonde
djjH
polofactorunosConsideremdj
cjKjH
dj
cjKjH
djcj
KjH
k
k
ωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ω
ω
ω
sumas
sumas
19
6.7 e2
transiciónocrucedefrecuencia:asintotasdecorte
log20log20log20log101log10
,sfrecuenciaaltasAsintotas
01log101log10
,sfrecuenciabajasAsintotas
1log10)(
2
2
2
2
2
2
2
⇒=
+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
>>
=−≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
<<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
b
bbbb
b
b
b
bdbd
db
jHpolok
ωω
ωωωω
ωω
ωω
ωωωω
ωωωωω
6.7 f{ }
{ } { }
{ } º45arctan)(arg
º90)arctan(arctan
,sfrecuenciabajasAsintotas
0)0arctan(arctan
,sfrecuenciabajasAsintotas
arctan/1arg)(arg
;1
1)(
1arg1argarg)(arg11
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒=
−=∞−≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
>>
=−≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
<<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=+−=
−=−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= ∑∑
==
b
bbdb
b
b
b
b
bbd
bk
k
d
N
k k
M
k k
jH
jjH
realddonde
djjHpoloun
dj
cjKjH
k
k
k
ωωωωω
ωω
ωωωω
ωωωωωωω
ωωω
ωωω
20
Figure 6.30 (p. 535)Bode diagram for first-order pole factor: 1/(1 + s/ωb).
(a) Gain response. (b) Phase response.
σω
⇒⇒
svbωω / bωω /
b
jωω
+1
1
6.7 g
Ejemplo 6.25 Dibujar el diagrama de Bode de un sistema con función de transferencia
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+=
+++
=
501)1(
101
)(
)50)(1()10(5)(
ωω
ω
ωjj
j
jH
ssssH
Sistema de fase mínima : “ todos los polos y ceros están en el semiplano izquierdo”
21
Figure 6.31a (p. 536)Bode diagram for Example 6.25.
(a) Gain response of pole at s = –1 (solid line), zero at s = –10 (dashed line), and pole at s = –50 (dotted line).
(b) Actual gain response (solid line) and asymptotic approximation (dashed line).
ω⇒v
Figure 6.31b (p. 536)(c) Phase response of pole at s = –1 (solid line), zero at s = –10
(dashed line), and pole at s = –50 (dotted line). (d) Actual phase response (solid line) and asymptotic
approximation (dashed line).
ω⇒v
22
6.7 h
( ) ( )[ ]{ } ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
+−−=
+−=
≤−±−=
++=
++=
2
2/12222
2
2
222
2
)/(1)/(2arctan)(arg
/4)/(1log20)(
)/(2)/(11)(
1,1
)/()/(211
2)(
n
n
nndb
nn
nn
nnnn
n
jP
jP
jjP
jspolos
sssssP
ωωωωζω
ωωζωωω
ωωζωωω
ζζωζω
ωωζωζωω
Pares de polos o ceros complejos conjugados
6.7 h2( ) ( )[ ]
707.0;35.0;01.0;14
)2log(20)(:Re
01log40)(asintotasdeCorte
)/log(40)/log(20)(
,sfrecuenciaaltasAsintotas
01log20)(,sfrecuenciabajasAsintotas
/4)/(1log20)(
{
2
2/12222
=−==
=−=⇒=
=−=⇒=⇒
−=−=
>>
=−=
<<
+−−=
ζζζ
ζωωω
ωωω
ωωωωω
ωω
ωωω
ωωζωωω
dbdbdb
jPal
dbjP
dbjP
dbjP
jP
dbnn
dbn
nndb
n
db
n
nndb
Pares de polos o ceros complejos conjugados
23
6.7 h3{ }
{ }
{ }
{ } º90)(arg:Re
180)0arctan()(arg
,sfrecuenciaaltasAsintotas
0)0arctan()(arg
,sfrecuenciabajasAsintotas
)/(1)/(2arctan)(arg 2
−=⇒=
−=−=
>>
=−=
<<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
−
nn
ob
ob
n
n
jPal
jP
jP
jP
ωωω
ω
ωω
ω
ωω
ωωωωζω
Pares de polos o ceros complejos conjugados
Figure 6.32 (p. 537)Asymptotic approximation to 20log10|Q(jω)|, where
nn s ss 22 /)/(2 1
1 )Q(ω+ωζ+
=
ω⇒v
24
Figure 6.33 (p. 538)Bode diagram of second-order pole factor for varying ζ
(a) Gain response. (b) Phase response.
nn s ss 22 /)/(2 1
1 )Q(ω+ωζ+
=
ω⇒v
ζ⇒z
6.7 i1
)20(408)()(
++
=ssssHa
Problema 6.23 Dibujar los diagramas de bode para elsistema con función de transferencia :
ω⇒v
25
6.7 i2
)10)(2)(1(`10)()(
+++=
ssssHb
Problema 6.23 Dibujar los diagramas de bode para elsistema con función de transferencia :
ω⇒v
6.7 j)10020(
)1(100)( 2 +++
=sss
ssH
Problema 6.23 Dibujar los diagramas de bode (módulo)para el sistema con función de transferencia :
ω⇒v
26
Re{s}>-a
Re{s}>-a
Re{s}>0t u(t)
Re{s}>0u(t)
ROCTransformadaSeñal
Transformadas de Laplace básicas (1)
∫∞+
∞−=
j
j
ts dsesXj
txσ
σπ)(
21)( ∫
∞
∞−
−= dtetxsX ts)()(
s1
2
1s
ste−
as +1
2)(1as +
0),( ≥− ττδ t
)(tue at−
)(tute at−
s∀
Re{s}>-a
Re{s}>-a
Re{s}>0
Re{s}>0
Re{s}>0
ROCTransformadaSeñal
Transformadas de Laplace básicas (2)
21
2 ω+ss
)()][cos( 1 tutω
)()]([ 1 tutsen ω 21
21
ωω+s
)()]cos([ 1 tute at ω−21
2)( ω+++
asas
)()]([ 1 tutsene at ω−21
21
)( ωω
++ as
)(tut n1
!+ns
n
∫∞+
∞−=
j
j
ts dsesXj
txσ
σπ)(
21)( ∫
∞
∞−
−= dtetxsX ts)()(
27
Re{s}<-a
Re{s}<-a
Re{s}<0-t u(-t)
Re{s}<0-u(-t)
ROCTransformadaSeñal
Transformadas de Laplace bilaterales, para señales distintas de cero para
s1
2
1s
ste−
as +1
2)(1as +
0),( ≤− ττδ t
)( tue at −− −
)( tute at −− −
s∀
0≤t
Propiedades de la transformada de Laplace (1)
x(at)
x(t-τ)
al menosaX(s)+bY(s)aX(s)+bY(s)ax(t)+by(t)
Y(S)Y(s)y(t)
X(S)X(s)x(t)
ROCTransformada
bilateralTransformada
unilateralSeñal
xRs∈
0,1>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ a
asX
a
yRs∈
yx RR ∩
)(sXe sτ−
)()()()( τττ −−=− tutxtutxsi)(sXe sτ−
xR
)(0 txe ts− )( 0ssX + )( 0ssX + { }0Re sRx +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
asX
a1
aRx
28
Propiedades de la transformada de Laplace (2)
al menos
al menos
-t x(t)
al menosX(s)Y(s)X(s)Y(s)x(t)*y(t)
Y(S)Y(s)y(t)
X(S)X(s)x(t)
ROCTransformada
bilateralTransformada
unilateralSeñal
xRs∈
∫−
∞−+
0 )()(1ssXdx
sττ
yRs∈
yx RR ∩
)(sXdsd
xR
)(txdtd
)0()( +− xssX )(ssX xR
ssX )( { }{ }0Re >∩ sRx∫ ∞−
tdx ττ )(
)(sXdsd
Propiedades de la transformada de Laplace (3)
Teorema del valor inicial
Teorema del valor final
Propiedad de diferenciación unilateral-Forma general
)0()(lim +
∞→= xssX
s
)()(lim0
∞=→
xssXs
solo si Re(polos)<0
)0(|)(|)()()( 10
201
1+−
=−
=−
−
−−−−⎯→← ++ xstxdtdstx
dtdsXstx
dtd n
tn
tn
nnL
n
nu K
29
Problema 6.26
Problema 6.27
30
Problema 6.28
Problema 6.30
31
Problema 6.32
Problema 6.33
32
Problemas 6.35 y 6.36
Problema 6.37
33
Problema 6.38
Problema 6.41
34
Problema 6.43
Problema 6.45
35
Problema 6.47
Problema 6.48
36
Problema 6.49
Problema 6.50
37
Problema 6.55 a
Problema 6.55 b