capítulo 7 integral_de_duhamel
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Te envío un capítulo que trata de la Respuesta a carga dinámica General - integral de Duhamel, para sistemas amortiguados y no amortiguados, además una evaluación numérica de la respuesta dinámica. Espero que te sirva, saludos!TRANSCRIPT
Capítulo 7
RESPUESTA A CARGA
DINAMICA GENERAL
7.1 INTEGRAL DE DUHAMEL
Figura 7.1 Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)
El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración
sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la
Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=. Esta carga que actúa
durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la
ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este
procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para
un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la carga p() es:
Para t > )()(
)(
tsen
m
dpdu n
nt (7.1)
d
t
p(t)
(t-
Respuesta du(t)
p()
Conceptos generales en el análisis dinámico
72
En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u
durante el intervalo de tiempo dt.
El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su
propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración
d, es decir:
t
nn
t dtsenpm
u
0
)()( )(1
(7.2)
esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de
superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.
En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en
reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo 0)0( u y 0)0( u se añade la respuesta en vibración
libre a la solución, entonces se tiene:
t
nn
nnn
t dtsenpm
tutsenu
u
0
)()0(
)0(
)( )(1
cos
(7.3)
usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones
iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es:
)cos1()(cos
)( 0
0
0
0
0)( t
k
pt
m
pdtsen
m
pu n
t
n
n
n
t
nn
t
7.2 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.
Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración
formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales,
y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad
trigonométrica nnnnnn senttsentsen coscos)( para reformular la ecuación 7.2:
t t
nn
nnn
nt dsenpm
tdpm
tsenu
0 0
)()()(
1coscos
1
ó
tBtsenAu ntntt cos)()()( (7.4)
donde:
t
nn
t dpm
A
0
)()( cos1
(7.5)
t
nn
t dsenpm
B
0
)()(
1
Conceptos generales en el análisis dinámico
73
7.3 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.
El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga
general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración
libre iniciada por un impulso diferencial p()·d esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo
estableciendo u(0)=0 y mdpu /)( )()0( en la ecuación 4.15 da:
)(
)()()(
tsen
m
dpedu D
D
tt
n (7.6)
la respuesta de la carga total arbitraria es:
t
Dt
Dt dtsenep
mu n
0
)()()( )(
1
(7.7)
para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma
similar a la ecuación 7.4:
tBtsenAu DtDtt cos)()()( (7.8)
donde en este caso:
t
DtD
t
t
DtD
t
dsene
ep
mB
de
ep
mA
n
n
n
n
0
)()(
0
)()(
1
cos1
(7.9)
Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p() toma el valor de:
)()( gump (7.10)
7.4 EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA1
La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza
aplicada p(t) o aceleración del suelo )(tgu ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal.
Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de
cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser
desarrollado para sistemas lineales.
La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de
líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el
intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. La función de excitación para el
intervalo de tiempo 1 ii ttt está dada por:
i
ii
t
ppp
)( (7.11)
1 Anil K. Chopra, pp 155-185 [ref. 12]
Conceptos generales en el análisis dinámico
74
donde:
iii ppp 1 (7.12)
y la variable de tiempo varía de 0 a ti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin
amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es:
i
ii
t
ppukum
(7.13)
Figura 7.2 Interpolación lineal
La respuesta u() para it0 es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial
ui y velocidad iu para =0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta
para (pi/ti)· con condiciones iniciales de cero. Adoptando las soluciones disponibles de los párrafos
precedentes para estos tres casos la respuesta total es:
in
n
i
in
in
n
ini
t
sen
tk
p
k
psen
uuu
cos1cos)(
y (7.14)
)cos1(1
cos)(
nin
in
in
n
ini
n tk
psen
k
pusenu
u
Evaluando estas ecuaciones para =ti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad 1iu en el tiempo i+1:
)(1
)cos(1)()cos(1 ininin
iin
iin
n
iinii tsent
tk
pt
k
ptsen
utuu
(7.15)
)cos(11
)()cos()(1in
in
iin
iin
n
iini
n
i ttk
ptsen
k
pt
utsenu
u
t
p(t)
Real
Interpolado: p()
ti ti+1
pi
pi+1
ti
Conceptos generales en el análisis dinámico
75
Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes:
11 iiiii pDpCuBuAu
(7.16)
11 iiiii pDpCuBuAu
estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones
para los coeficientes A, B,..., D’; y éstas están dadas en la Tabla2 5.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados;
cuyo título es: “Coeficientes para las fórmulas recurrentes ( < 1)”.
2 Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]
Conceptos generales en el análisis dinámico
76
7.5 EJEMPLOS
Ejemplo 7.13 Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo
histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
Figura 7.3
Solución
Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de
análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo.
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: 3.32:g
Frecuencia natural: w
gkn
:
Periodo natural: n
nT
2:
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
c
a
6.96:
0:
d
b
la ecuación de la recta resultante es:
xbaxac
bdp x
0.3864)(:)(
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
t
nxt dxxpA0
)()( )cos(: t
nxt dxxsenpB0
)()( )(:
3 Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]
k=2700 k/ft
w=96.6 k p(t)
fs0.025 s 0.025 s
96.6 k
p(t)
t
histograma de carga
Conceptos generales en el análisis dinámico
77
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
: )()()( tBtsenAw
u ntntn
t
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : tt ukf
La respuesta de velocidad4 es:
)()( : tdtd
t uv
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
h
e
0:
6.96:
i
g
la ecuación de la recta resultante es:
6.960.3864)(:)(
ge
eh
gip
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 025.0:tr
desplazamiento inicial[ft]: 3)( 10271.3 tru
velocidad inicial [ft/s]: 385.0)( trv
Evaluación de 5C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
j
nj dpC0
)()( )cos(: j
nj dsenpD0
)()( )(:
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
)cos()(: )()()(
)(
)( jDjsenCw
jujsenv
res njnjn
ntrnn
tr
j
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : jj reskfuerza
La respuesta de velocidad es:
)()( : jdjd
j resvel
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 05.0:to
desplazamiento inicial[ft]: 017.0)05.0( trres
velocidad inicial [ft/s]: 563.0)05.0( trvel
4 ù(t)=v(t) 5 C(t)=C(j)
Conceptos generales en el análisis dinámico
78
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
)cos()(: )05.0(
)05.0(
)( sresssenvel
reslib ntrnn
tr
s
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
)()( : ss reslibkflib
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta máxima: Fuerza[k]=69.214 en un tiempo [s]=0.0772
Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.025635 en un tiempo [s]=0.0772
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 100
75
50
25
0
25
50
75
100
Respuesta de Fuerza Elástica
tiempo [s]
fuez
a el
ásti
ca [
k]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Respuesta de Desplazamiento
tiempo [s]
des
pla
zam
iento
[ft
]
Conceptos generales en el análisis dinámico
79
Ejemplo 7.26 Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento
=5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
Figura 7.4
Solución
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: 3.32:g
Frecuencia natural: w
gkn
:
Periodo natural: n
nT
2:
Razón de amortiguamiento: 05.0:
Frecuencia de amortiguamiento: 21: nD
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
c
a
6.96:
0:
d
b
la ecuación de la recta resultante es:
xbaxac
bdp x
0.3864)(:)(
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
t
Dt
x
xt dxxe
epA
n
n
0)()( )cos(:
t
Dt
x
xt dxxsene
epB
n
n
0)()( )(:
6 Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]
k=2700 k/ft
w=96.6 k p(t)
fs0.025 s 0.025 s
96.6 k
p(t)
t
histograma de carga
Conceptos generales en el análisis dinámico
80
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
: )()()( tBtsenAw
u DtDtD
t
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : tt ukf
La respuesta de velocidad7 es:
)()( : tdtd
t uv
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
h
e
0:
6.96:
i
g
la ecuación de la recta resultante es:
6.960.3864)(:)(
ge
eh
gip
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 025.0:tr
desplazamiento inicial[ft]: 3)( 10211.3 tru
velocidad inicial [ft/s]: 376.0)( trv
Evaluación de 8C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
j
Djj de
epC
n
n
0)()( )cos(:
j
Djj dsene
epD
n
n
0)()( )(:
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
)()cos(: )()(
)()(
)()( jDjsenCw
jsenuv
jueres DjDjD
DD
trntr
Dtrj
jn
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : jj reskfuerza
La respuesta de velocidad es:
)()( : jdjd
j resvel
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 05.0:to
desplazamiento inicial[ft]: 017.0)05.0( trres
velocidad inicial [ft/s]: 52.0)05.0( trvel
7 ù(t)=v(t) 8 C(t)=C(j)
Conceptos generales en el análisis dinámico
81
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
)()cos(:)05.0()05.0(
)05.0()( ssenresvel
sresereslib DD
trntr
Dtrs
sn
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
)()( : ss reslibkflib
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta máxima: Fuerza[k]=64.1402 en un tiempo [s]=0.0758
Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.023756 en un tiempo [s]=0.075
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 100
75
50
25
0
25
50
75
100
Respuesta de Fuerza Elástica
tiempo [s]
fuez
a el
ásti
ca [
K]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.03
0.0225
0.015
0.0075
0
0.0075
0.015
0.0225
0.03
Respuesta de Desplazamiento
tiempo [s]
des
pla
zam
ien
to [
ft]