CAPITULO 9

DEFLEXIONES

9.1 INTRODUCCION

Los miembros presfozados típicamente son más esbeltos que los de concreto re-forzado, debido al uso de materiales de mayor resistencia y a técnicas más refi-nadas de diseño y construcción. Con una meno¡ ¡elación de carga muerta a yiya,ellos pueden emplearse en claros mucho mayores. En tales circunstancias, eltópico de las deflexiones requiere de especial atención.

En algunas condiciones, el interés principal se enfoca hacia la deflexióntotal debida a los efectos combinados del presfuerzo y toda la carga de servicio.En otros casos, la deflexión de importancia puede ser la debida sólo a la cargaviva. A menudo, son las deflexiones de larga duración debidas a la combinacióndel presfuerzo y a las cargas de naturaleza sostenida las que i¡te¡esan.

No prcstar la atención adecuada alas deformaciones puede c¡earvarias clasesde problemas. Pa¡a nuchos miembros, particularmente para aquellos cliseñadospara la totalidad del presfuerzo, en lugar de para presfuerzo parcial, el problema esuna excesiva deflexión hacia arriba, o combeo, el cual se incrementa con el tiem_po debido al flujo plástico del concreto. El combeo de las vigas de puente, porejemplo, puede ocasionar un perfil no uniforme del carnino, produciendo calac_terísticas de ci¡culación incómodas o aún peligrosas. El combeo excesivo en lostableros de cubie¡ta puede inte¡feri¡ con el drenaie apropiado.

Para los entrepisos, los desplazamientos excesiyos hacia ardba o abajo pue-den producir el ag¡ietamiento de tabiques divisorios u otros elementos no estruc_tu¡ales, uniones defectuosas en ventanas o puertas, o posibles desaline¿Lrnientosen maquinarias sensibles. En algunos casos, el desplazatniento vertical dife¡encial,tal como el que existe entre unidades de piso precoladas adyacentes, producidopor la yariación no intencional de las propiedades de los materiales, de la fuezapretensora, o de la excentricidad, puede causar problemas.

350 Deflexiones

Mediante el presfuerzo €s posible controlar las deflexiones de manera signi

ficatiya. Una viga de sección transvemal dada puede considerarse más rígida si es

que es presforzada que si 1o es simplemente reforzada. La reducción del a$ieta-

miento significa que toda, o casi toda la sección transve¡sal es efectiva para la

contdbución al momento de inercia. Por otra parte, la deflexión neta durante el

servicio puede minimizarse o aún anularse totalmente mediante el balanceo de

los momentos inducidos por las cargas con los momentos del presfuerzo actuan-

do en sentido opuesto. Sin embargo, la predicción de la deflexiÓn en miemb¡os

presforzados se complica por la reducción gradual de la fuerza pretensora debida

a las varias pérdidas y a cambios en la curvatura debidos al flujo plástico de1 con-

creto-En un miemb¡o tipico, la aplicación de la fuerza pretensora producirá

combeo hacia ardba. El efecto de la contracción, del flujo plástico y del relaja-

miento, consiste en ¡educir gradualmente el combeo producido por la fuerza

inicial, a medida en que disminuye la fue¡za. Sin embargo, el efecto del flujo

plástico es doble. Mientras que produce una pérdida del presfuezo, tendiente a

ieducir el combeo, las deformaciones por flujo plástico en el concreto por lo

general aumenta¡ las curvaturas negativas y, en consecuencia, aumenta¡ e1 com-

beo. Por 1o general, el segundo efecto es el que predomina, y el combeo aumenta

con el tiempo, a pesar de la reducción de la fue¿a pretensora.

Por lo general, las cargas muerta y viva son tales que producen deflexiones

hacia abajo. En e1 caso de las cargas sostenidas, las deflexiones son también de-

pendientes del tiempo, debido al flujo plástico del conc¡eto.

A1 considerar el efecto del flujo plástico en 1as deflexiones, se puede notar

que, si una carga balanceada se obtiene combinando la acción del presfuerzo y

las cargas tmnsversales de larga duración, de forma que ptevalezca una compre-

sión uniforme en todas las secciones del concreto, entonces se anulan los efectos

del flujo plástico en las deflexiones, y éstas se pueden mantener casi nulas Este

estado balanceado de cargas puede constitui¡ un dato muy útil de referencia para

el diseño.

El control de la flexibilidad en el diseño, o la predicción de la deflexión se

pueden lograr con cualesquiera de varios grados de precisión, dependiendo de la

naturaleza e importancia de la obra. En muchos casos es sufici€nte establecer limi-taciones en la relación claro a peralte basándose en experiencias previas o enli-mitaciones del cód.igo (ver sección 4.7 pam Yigas y secciones 10,6 y 10.16 para lo-sas). Si se deben calcula¡ deflexiones, se encontrará que el método aproximado

descdto en la sección 9.3 tiene suficente aproximación para la mayoría de los

propósitos de diseño.

En circunstancias especiales en las que es importante obtener la mejor in'

formación posible acerca de las deflexiones bajo todos los estados importantes

de carga, como en el caso de puentes de grandes claros, el método más satisfac-

to¡io Jonsiste en el procedimiento basado en la sumatoria de las deflexiones que

ocurrcn en intervalos discretos de tiempo, según se describió en la sección 9'5'

De esta manera, los cambios dependientes del tiempo en la fuerza pretensora, en

Bases para los cálculos 351

las propiedades de los materiales, y en las cargas, se pueden toma¡ en cuenta conprecisión.

9.2 BASES PARA LOS CALCULOS

Si la fuerza pretensora se conoce con precisión, si los materiales se esfueüan so-lamente dentro de sus rangos elásticos, y si el concreto permanece sin agrieta¡se,entonces el cálculo de la deflexión debida a 1a flexión de un miembro presforza-do no presentará ninguna dificultad especial. El combeo proveniente del pres-fuerzo se puede calcular bien sea basándose en las curvaturas, o bien directamentede los diagramas de momentos debidos al presfuerzo, empleando he[amientasconocidas tales como el método de á¡ea de momentos. Altematiyamente, el efec-to del presfuerzo se puede considerar en función de lascargas equivalentes. Luegose calculan las deflexiones debidas a las cargas muerta y viva como en cualquierotro miembro sujeto a flexión, y se sobreponen a 1as deflexiones del presfuerzopara obtener los valo¡es netos correspondientes a los estados de carga que seaode interés-

L_,,_llb)

-'tr-\-t-LAld,\t\irl.l

ft¡

_ -L.L-r¡ 1 \-"$-i N

Figura 9.1 Esfuerzos y defo¡maciones debidos a la fue¡za pretenso¡a inicial p;.(a) Sección tranwersal. (ó) Esfuerzos. (c) Deformaciones.

l¿s deformaciones y los esfuerzos en el concreto de una viga típica, debidos a la aplicación de la fuerza pretensora inicial pi, pueden ser como los mostradosen la figura 9.1a. Los esfueruos en el concreto se hallan de las ecuaciones del ca.pítulo 3, después de lo cual las deformaciones se hallan fácilment€ mediante larelación e" : f.lEc, Si el pe¡alte total de la sección es h, entonces la curvatu¡adebida a P; para una sección en particular es

tz¡ - tt¡(e 1)

352 Deflex¡ones

considerando debidamente los signos. Si se conside¡a positiva la deformación por

tensión, como es usuai, entonces un signo negatiYo indicará curvatura cóncava

hacia abajo, y combeo hacia arriba para un claro sinple.Los esfuerzos y deformaciones en el concreto del miemb¡o después de las

pérdidas se muestran en la {igura 9.2. Los esfuerzos disminuyen en comparación

con los de la figura 9.1, debido a la pérdida de fuerza pretensora Sin embargo,

debido a los efectos combinados de la contracción y el flujo plástico, existe un

incremento en las deformaciones delsentido de la compresión. Después de ocuni-

das las pérdidas, la cu atura es

'lt

-l r-\

- -i\t\L\Ir"-.]

tbl

-r--N-tXF\l. .," 1(¿)

Ó0" : Qo, + dÓt + dÓz (e.3)

las curvaturas óp¡ ! óp. varían a lo largo del claro. Los valores en diferentes in-tervalos se pueden calcular de manera que se establezca la forma de1 diagrama de

urvatura, el cual puede luego tratarse como una carga elástica para los cálculosde deflexiones.

(e.2)

t---- l T

--É- Il itto l*l"IL ,1,

\dl

Figura 9.2 Esfue¡zos y deformaciones debidos a la fue¡za pretenso¡a efectiva Pe

después de las pérdidas. (¿) Sección t¡ansve¡sal. (, ) Esfue¡zos. (c) Defo¡maciones.

Pa¡a los fines del cálculo, es conveniente considerar la curvatua después de

las pérdidas, d p¿ , como la suma de tres pades; (l) 1a curyatura inst aÍlár'ea Ó pique ocurre i¡mediatamente después de la aplicación de P¡, (2) el cambio de cur"

val:ura d|r correspondiente a la pérdida del presfuerzo po¡ el relajamiento, la

contracción y el flujo plástico, y (3) el cambio de curvatura d@2 proveniente del

flujo plástico del concreto sujeto a caryas de compresión sostenidas (véase la pu'

blicación ¡efe¡ida en 9.1). Así

Bases para los cálculos 353

En muchos casos, al calcular deflexiones debidas a la fuerza prctensora, es

más sencillo t¡abajar con momentos en vez de con curvatu¡as. Para vigas estática-mente determinadas, el diagrama de momeltos del presfuerzo es directamenteproporcional al diagrama de la excentricidad, ya qÜe M : Pe. Las o¡denadas demomentos se convierten en oñ,enad,as Mf EI, y al diagrana Mf EI se le conside¡acomo una carga elástica para hallar las deflexiones mediante el teo¡ema de área

de momentos o el método de la viga conjugada. La equivalencia entre los dos mé-todos es obvia, ya que de la mecánÍca elemental

(e.4)MPeó:_:_, E,I, E,],

Así, para la viga de la figura 9.3a, la cual tiene un tendón parabólico conexcentdcidad ¿ en el centro del claro, disminuyendo a ce¡o en 1os apoyos, seobtiene un diagrama parabólico de momentos con una máxima ordenada p¿. Es-te se convierte fácilme¡te al diagrama MIEI de la figura 9.3ó. Si se apalica el mé_todo del área de momentos, el desplazamiento por flexión A debido al presfuerzoP se halla tomando m omentos del área MfEI , enlre el centro del claro y el apoyo,alrededor dei punto de apoyo:

. Pe I 2 5 I1f: x ^EI 2 3 8 2

5 pel2

48 EI

Este y otros casos que ocurrcn con frecuencia, se sintetizan en la figum 9.4para fines de ¡efe¡encia. Las figuras 9.4b, c,y d d,anlas deflexiones al centro delclaro para tendones atirantados al centro del claro, en los puntos tercios, y en loscua¡tos, respectivamente, y pasando por el centroide del concreto en los apoyosen todos los casos. I-a figura 9.4e da la deflexión en el centro del cla¡o producidapor un tendón ¡€cto con excentricidad constante e.

Los otros casos se pueden obtener por superposición. Por ejemplo, si eltendón parabólico de la figura 9.4/tiene una excent¡icidad e1 en los apoyos, másuna excent¡icidad adicional e2 en el centro del cla¡o,la deflexión total en el cen-t¡o del cla¡o debida al presfuerzo se halla superponiendo los casos (a) y (e), segúnse muestra en la figura 9.4/.

Una te¡cera alternativa para hallar la deflcxión debida al presfuerzo colrsis-te en encontrar las cargas equivalentes que produzcan el efecto del presfuerzo, loque permite el empleo de las ecuaciones para las deflexiones, pudiéndose hallaréstas en los manuales para las condiciones de carga usuales.

Para ilustrar el hecho de que se pueden obtener resultados idénticos me-diante el método de las cargas equivalentes, se recordará que la carga equivalentehacia a¡riba producida en un r¡iembro de concrcto por un tendón parabólico es

354 Detlexiones

8Pe (4.2s)

Puede confirmarse en cualquier referencia bibliogáfica estándar que la deflexión

debida a una carga uniforme en un claro simple es

5 wla

^-3uEI

Sustituyendo la carga equivalente del presfuerzo:

5xBPela^-'- 384 t2EI

5 PeI2

48 EI

r----4ldl

(c)

Figu¡a 9.3 Deflexión debida al p¡esfuerzo. (¿) Pe¡fil. (á) Cargas elásticas. (c)

Curva de deflexiones.

Bases pam los cálculos Ss

Defléx¡ón on la mitad d€¡ clero

^-a97l

- 12 Et

*-- I /2 -------t<-- U 2 ------4

(c) ^ 23 Pel2"-zTa¡i

k-¡l3 ---+<-//3 ----+<-, ¡/3---t

^ - 11 Pel2

96 FI

l<-- U a -4<-- U2 - --¿<- t/ a -t

^_1Pe1l2.5ce2t2--8 ra'4¡l¡

Figura 9.4 Deflexiones del presfueruo pa¡a varios perfiles del tendón.

{¿l

tbt

td)

lel t -g F

tf)

que ya se había encontrado mediante el mélodo de área de momentos. De ma-nera similar, se puede obtener una confirmación para los otros casos de cargasque se muestmn.

356 Deflexiones

Si la viga o losa no se encuentra agdetada, el momento de inercia a emplearseen los cálculos se puede considerar co.o aquél correspondiente a toda la seccióntransversal de concreto sin caer en serios efiores. Si existiera una gran cantidadde acero de refuerzo, 1o cual es poco frecuente,la precisión aumentará emplean-do las propiedades de la sección transfo¡mada.

Si existiera agrietamiento, la rigidez del miembro puede veme sustancial-mente reducida. Sin embargo, aun en el caso de miembros parcialmente presfor-zados, éstos sólo se agrietan en ubicaciones discr€tas. Entre grietas, la figidez a laflexión es aproximadament€ igual a la de la sección de concreto sin agdeta¡. Entales casos, se recomienda el empleo de ut momento de inercia efectivo, segúnse describe en la sección 9.4.

9.3 IVIETODO APROXIMADO PARA ELCALCULO DE DEFLEXIONES

Aun cuando en ciertos casos la deflexión para estados inte¡medios puede ser im-portante, los estados a conside¡a¡se normalmente son el estado inicial, cuando ala viga se le aplica 1a fuerza pretensora inicial Pj y su peso propio, y una o máscombinaciones de carga de servicio, cuando la fuerza pretensora es reducida porlas pérdidas hasta Pe y cuando las deflexiones son modificadas por el flujo plás-tico del concrcto sujeto a ca¡gas sostenidas.

Las deflexiones de corta durqción Ao, debidas a la fuerza pretensora inicialP¡ se pueden hallar bas¡índose en la variación de la curvatura a lo largo del claro,usando los principios del área de momentos. Las curvaturas iniciales @r¡ se pue-den calcular de las deformaciones (ecuación 9.1), pe¡o generalmente es más directotrabajar con el diagrama de momentos del presfuerzo y la correspondiente va¡ia-ción de P¡elE J "

a lo largo del claro. Pa¡a los casos comunes, la deflexión al cen-t¡o del claro Ao¡ se puede calcular directamente de las ecuaciones de la figura 9.4.

Por lo general, Apr es hacia arriba, y para condiciones normales, el pesopropio del miembro se superpone inmediatamente después del presfuerzo. Ladeflexión inmediata Ao hacia abajo debida al peso propio, el cual po¡ lo generales uniformemente distribuido, se halla fácilmente por los métodos convenciona-les. La deflexión neta después del presfuerzo es

^: Ae, + A, lq 5l

donde los valo¡es negativos indican desplazamiento hacia arriba.Al conside¡ar los efectos de larga duración, se hace rcferencias a la ecua-

ción (9.3), la cual indica que las curvatuns (o deflexiones) debidas a la fue¡zapretensora P. después de las pérdidas se pueden calcular como la suma de lascuryatums iniciales (o deflexiones) más los cambios debidos a la reducción lelpresfuerzo y debidos al flujo plástico del concreto. La ecuación (9.3) se puedevolve¡ a escribir de la manera siguiente:

donde Cu es el coeficiente de flujo plástico (ver capítulo 2). El subíndice ¡ em_pleado con e indica que la excent¡icidad varía a lo largo dei claro. El primer tér_mino de la ecuación (9.6) es la curvatu¡a negativa inicial, el segundo iérmino esla reducción de aquella curvatu¡a inicial debida a la pérdida del presfuerzo, y eltercer término es el incrcmento en la curvatura negativa debido al flujo plásticodel concreto. Aquí la aproximación importante que se hace es que el fíujo plásti-co ocure bajo una fuerza pretensora constante, e igual al promedio de sus valo-res inicial y final.

Corespondiente a tal aproximación, la deflexión fi¡al del miembro bajo laacción de P, es

A : -Ap¡ r (ap¡ - Lp") - Lo' ! a*

c,

o simplemente

n '-!": cL: -Lo.-"'' 2 " lg.7)

donde el primer término se halla fácilmente mediante proporción directa:

,,.- -Lu"i,.r tPi p"t i.t (#) i:,,r,

Lr": Aoi

Método spróximado para el cálculo de deflex¡ones a57

(e.6)

(e.8)E

h deflexión de larga duración debida al peso propio es también modifi-cada por el flujo plástico, y puede obtenerse aplicando el coeficiente del flujo plás-tico al valor instantáneo. De esta forma,la deflexión total delmiembro, después deocu¡ridas las pérdidas y las deflexiones por flujo plástico, cuando actúan il pres_fuerzo efectivo y el peso propio, viene dada por

A : -Ap" - Lo' ! a*

c"+ A"(l + c,) (e.e)

La deflexión debida a las cargas sobrepuestas puede agregarse ahora, intro_duciendo el coeficiente por flujo plástico para tomar en cueflta el efecto de largaduración de las ca¡gas muertas sostenidas, para obtener la deflexión neta bajo to_da la carga de serücio:

A.: -Lp"-^-t+c,+(4"+adxl +c,) +A¡ (e. r0)

358 Oeflex¡ones

donde Ad y A¡ son las deflexiones inmediatas debidas a las cargas muerta y viva

sobrepuestas, respectivamente.

9.4 MOMENTO DE INERCIA EFECTIVO

Se señaló con anterioridad que, si un miembro no se encuentra agfietado en los es-

tados de carga bajo los cuales debe de calcularse la deflexión, entonces los cálculos

se pueden basar en el momento de inercia de la sección t¡ansvenal total del con-

oeto. Si el agdetamiento sí existe, entonces la rigidez efecüva de fleúón puede

ve¡se conside¡ablemente reducida. Por ejemplo, en miembros parciaLmente pres-

forzados, donde puede esperarse la ocurencia de agdetamiento bajo cargas de

servicio, el empleo de la sección transve¡sal total puede acarrear sedos errores.

Para vigas de concreto reforzado, Branson ha demostrado que puede em-

plearce u¡ mommto de inercia reducido o efectivo (véase pubücación referida en

9.2), tal como sigue:

' " : (#:) r, +

[r - (-'J']''sin sobrepasar 1", donde

(e.11)

Is = momento de inercia de la sección t¡ansvenal total de conc¡eto1", = momento de inercia de la sección t¡ansformada de concreto total-

mente agrietadaM¿, = momento de agrietamiento de la viga

M,nóa = máxitrr\o momento que actúa en el claro simple

Se ve que 1", ( /" (/" y que 1" alcanza el valor 1"" a medida en que Mrhd¡ sobre-pasa a M cr.

La ecuación (9.11) se emplea mucho y se incluye en las ¡ecomendacionesdel Código ACI para vigas de concreto refo¡zado.

El Código no es claro con relación al uso de la ecuación (9.11) para la de-

fleidón de míembrcs presforzados en el úngo agrietado, pero exige que aquellosciílculos de deflexiones se basen en las secciones agrietadas transformadas y en

relaciones bilineales de momento-deflexión.Basándose en los resultados de pruebas (véase publicación referida en 9.3),

Branson recomendó que se use la ecuación (9.11) en miembros de concreto pres-

forzado, cargados en el rango de agrietamiento (veánse también las pubücaciones

referidas en 9.4,9.5 y 9.6).El empleo de E. 1, impüca la adopción de un módu-lo secante de rigidez, y parece satisfacer la intención de las disposiciones del Có-

digo. Al calcular 1." para ser empleado en la ecuación (9.1i), es no¡malmenteaceptable usar el eje nuetro de la sección transformada totalmente agrietada, to-

Gálculos refinados por ¡ntervalos incrementales 359

mando en cuenta el área de acero en la forma usual, pero despreciando el efectode la fue¡za pretensom en 1a modificación de la ubicación del eje neutro (véase

publicación referida en 9.7).A menudo, en la práctica el ingeniero no está involucrado tanto con el

cálculo de la deflexión total si¡o, por ejemplo, con la deflexión incremental a

medida en que se aplica la carga viva. En tales casos, debido a la relación no üneal

entre carga y deflexión proveniente del aumento del agrietamiento (ver figura

4.1), primero es necesario calcular la deflexión antes que se aplique el incremen-

to de carga, empleando el 1. apropiado de la ecuación (9.11), calcular luego la

deflexión después de que se agrega la carga, usando un nuevo valor apropiado de

1n, y fi¡ahnente restar el pdmer valor del segundo para obtener el inc¡emento

deseado de deflexión.

9.5 CALCULOS REFINADOS POB INTERVALOSINCREMENTALES DE TIEMPO

Al calcular la deflexión resultante de la fuerza p¡etensom, el método presentado

en la sección 9.3 :ratá a los cambios dependientes del tiempo de una mane¡amuy aproximada. Se consideraron dos estados de carga: el estado inicial, cuandoactuaba el presfuerzo P¡, y el estado fiaal, después de ocurridas todas las pérdidas

dependientes del tiempo, cuando actúa la fue¡za p¡etensoraP". Con referencia a

la ecuación (9.6), se redujo la curvatura inicial P¡e,lEJ" para tomar en cuentalas pérdidas del presfuerzo (P¡ - P"),luego se incrementó para tomar en cuenta elefecto de la deformación por flujo plástico en el aumento de las curvatu¡as a lolargo del claro. A1 calcula¡ la última componente se hizo la aproximación de queel flujo plástico del concreto ocurre bajo una fuerza pretensora constante, igualal valor promeüo (Pi + P")12. Tal aproximación debe de se¡ 1o suficientementeprecisa en todos los casos excepto en los poco usuales.

Para un mayor refinamiento, es necesario tomar en cuenta los cambios de-pendientes del tiempo de la fuerza pretensora en forma tal que se reconozca la

interacción de los efectos del flujo plástico, la contracción, y el relajamiento. Elflujo plástico no ocure bajo una carga constante, sino más bien bajo una fuerzaque se reduce constantemente debído a los efectos de la contracción, el rclaja-

miento, y el flujo plástico en sí mismo. Esto puede toma$e en cuenta usando unprocedimiento de sumatoria, basado en los cambios incrementales que ocurenen una serie escalonada de tiempos discretos (véase publicación referida en 9.1).Mientras que tal método de intervalos sucesivos es aún aproximado, permite au-

mentar el grado de precisión hastabualquier grado deseado mediante la ¡educciónde la longitud y el aumento del núme¡o considerado de intervalos de tiempo.

La determinación de las curvaturas y deflexiones mediante tal procedimientono solamente requiere de información con relación a los coeficientes últimos de

flujo plástico, contracción y relajamiento, sino también de la variación de esas

360 Deflexiones

cantidades con el tiempo. La info¡mación contenida en el capítulo 2 será útil a

este respecto (véanse también las publicaciones referidas en 9.4 y 9.5).En reaLidad, para el método de los intervalos sucesivos,la ecuación (9.6) se

reemplaza por la siguiente sumatoria, para obtener la curvatura dp,. en una seccióncualquiera en el tiempo ,:

ó0,:'#:te", - P) ntL.,ir..-." )P.-,h e.D\

donde los subíndices @ - 1) y " definen el inicio y el final de un intervalo parti-

cular de tiempo. Se recordará que el primer término es la curvatura instantáneaque ocurre después de la aplicación de la fuerza pretensora P¡, el segundo térmi-no es la disminución en curvatura co espondiente a la pérdida de presfuerzo

debida al flujo plástico, a la contracción y al relajamienio, y el tercer término es

el incremento en la curvatum proveniente del flujo plástico.La fuerza pretensora al final de cualquier intervalo de tiempo es igual a1

presfuerzo incial P¡ menos las pérdidas producidas por la contracción, el flujoplástico y el relajamiento. Las pé¡didas producidas por la contrucción, y el relaja-miento podrían hallarse fácilmente mediante la aplicación de los coeficientes de

contracción y relajamiento y de las funcioned del tiempo del capítulo 2. Sin em-bargo, el efecto del flujo plástico deberá tomarse en cuenta sumando los cambiosde curvatura de todos los intervalos de tiempo hasta el tiempo (f), debido a quela fuerza que produce el flujo plástico disminuye continuamente.

En la práctica, resulta conyeniente tratar todas las pérdidas en la misma su-matoria. Los cambios en curvatun representados por los términos segundo y ter-cero de la ecuación (9.12) se obtienen de manera concurente en cada intervalo,mediante una secuencia de cálculos que toma¡ en cuenta tanto a las pérdidas depresfuerzo debidas a todas las causas como a la curvatura debida al flujo plástico,y proporcionan los elementos de la sumatoria indicada simbólicamente por laecuación (9.12).

Primero se determina la curvatura inicial, primer término de la ecuación(9.12), bien sea de la ecuación (9.1) o de la ecuación (9.4). Luego, para el si-guiente y cada inteffalo subsecuenie de tiempo, se realiza la siguiente secuencia

de cálculos. (Referirse a la figura 9.5):

1. Obtener el inc¡emento total en la deformación por flujo plástico encada fib¡a ext¡ema, A€rro¿o¿ y Aeztotot, mediante la multiplicacióndel esfuerzo al inicio de cada intervalo de tiempo po¡ el incremento enla deformación unitaria por flujo plásüco para aquel intervalo.Determinar la deformación por flujo plástico conespondiente al niveldel centroide del acero.Snma¡ la deformación por flujo plástico hallada en el paso 2 y el incre-mento eÍ deformación por contracción para el intervalo de tiempo,

2.

3.

C¡álculos ref¡nados por intervalos ¡ncrementales 361

con el objeto de obtener el cambio total de deformación al nivel delcentroide del acero.

4. Multiplíquese la defo¡mación total hallada en el paso 3 por Eo,y agté-guese el incremento de pérdida por relajamiento para obtener la pér-dida total de esfuerzo en el acero para el intervalo.

I L*. -1,^,-]I I 'neta ' Ii. .,,.-', r] . ^.,-aJ

Figu¡a 9.5 Cambios en la defo¡mación y rotaciones en el intervalo de tiempo n.

7.

5. Halla¡ el cambio en los esfue¡zos del conc¡eto en las fibras ext¡emascorrespondientes a la pérdida de esfuerzo en el acero, y divídanse por-E para hallar los conespondientes cambios de deformación A, , y A'2.Determinar los cambios netos en la deformación por flujo plástico enlas fibras extremas. Ae1n"¡ y Ae2n"¿, restarido los cambios de defo¡-mación del paso 5 de los cambios totales del paso 1.Obtener el i¡cremento en curvatura

(ó. - ó"-,): Le¡n", - L,t1o",

de las defo¡maciones netas halladas en el paso 6, y súmese con las cur-vatums presentes al inicio del intervalo de tiempo para obtener lascurvaturas totales-

6.

352 Deflex¡ones

8. Hallar los esfue¡zos en las fib¡as extremas al final del intervalo de

tiempo encontrando la suma algebraica del esfuerzo inicial y el cambio

de esfuerzo determinado en el paso 5. Estos son los esfuerzos con los

cuales se inicia la secuencia de cálculos pa¡a el siguiente btervalo de

tiempo.

El efecto de la secuencia de cálculos recién descrita es encontnr la curvatu'

ra por flujo plástico, el término 3 de la ecuación (9.12), basándose en la fuerza

prctensora al inicio del intervalo de tiempo, luego calcular el cambio en curvatu-

¡a debido a las pérdidas, el término 2 de la ecuación (9.12), basándose en la con-

tracción y el relajamiento que ocullen durante el intervalo, y el flujo plástico

correspondiente a la fuerza pretensora que actúa al inicio del intervalo.

Los cálculos descritos se deben realizar en un número suficiente de ubica-

ciones a lo largo del claro para establecer la forma del diagrama de curvatura con

suficiente p¡ecisión, por lo menos en el centro del claro, en los puntos cuartos, yen los apoyos. El cálculo de las deflexiones de la viga a partir del diagrama de

curvatura es una tarea rutina¡ia, y se puede efectuar empleando el método del

área de momentos u otros medios.

Las deflexiones instantáneas y de larga duración debidas a las caryas trans-

versales pueden ahora superponerse para obtene¡ las deflexiones netas en los

estados de carga que sean de interés. En este caso, e1 flujo plástico no requiere

del empleo del método de sumatorias, debido a que la carga sostenida que produ-

ce el flujo plástico es constante. Las deflexiones instantilneas debidas a la carga

sostenida se pueden multiplicar directamente por el coeficiente de flujo plásticopara obtener las deflexiones de larya duración.

9.6 EJEMPLO DEL CALCULO DE DEFLEXIONES

Calcula¡ la flecha en el cent¡o del cla¡o de 40 pies de la viga I de la figula 9.6 a

los 0, 30, 180 y 360 días de edad, empleando el método de los intervalos sucesi-

vos de la sección 9.5. Compara¡ la deflexión resultante a los 360 días con laobtenida empleando el método aproximado de la sección 9.3, El miembro, estu-diado o¡iginalmente con ¡elación al análisis de esfue¡zos elásticos en la sección3.4, debe desoportar su peso p¡opio de 183 lb/pie y estará sujeto a una carga vivade servicio de 550 lb/pie. (claro : 12.9 rr, wo : 2.'7 kN/m, y

''¡ : 8.0 kN/m.)

Se dan los siguientes datos:

Pi : 169,OO0 1b (752 kN)A" : o.966 pulg2 1623 mm2¡/" - 2l0.OO0 lb/pulg2 (1448 N/mm2 I

,f,¡ : t 75,ooo lb/pulg' (1207 N/mm2 )Á" : lto pulg' (l 14x lo3 mm2)1" : 12,ooo pulga (4.99 X loe m*a)

r2 : 68.2 pub2 (44.0 x lo3 mm2)E" : 4,030,000lb/pule2Cu :2.35¿"r.,:800 x l0 6

Ejemplo delcá¡culo de deflexiones 363

- 1837 lblpul92

lal

tbt

-1-0

9'

+1 0

Figura 9.6 Ejemplo de deflexiones. (a) Elevación. (r) Sección tranwe¡sal. (c)Esfue¡zos en el concreto debidos a P¡ = 169 kilolib¡as. (d) Deflexión en el centrodel cla¡o.

t-<--40,, _ _ -______

o - a3 lb/pul92

364 Deflexiones

El miembro se construirá con concreto de densidad normal, curado con hume-dad, y se p¡esfoüará a los 7 días de edad.

Resulta conveniente dete¡mina¡ las deflexiones debidas al presfuerzo, alpeso propio, y a las cargas sob¡epuestas separadamente, y luego supe¡pooer losresultados.

En los cálculos de la sección 3.4 se demosttó que los esfuerzos en el con-c¡eto debidos a Pt, en las partes superior e inferio¡ de la sección, soo respectiva-mente -83 y 1831 lb/pulg2. Las deformaciones corespondientes en elconcteto son

.r, 8l.' : r. - +.0:[,ooo :21 lo ó

L t83'lu, :

¿.- :40:o,ooo = 456 x to-6

Entonces, de la ecuación (9.1), la curvatu¡a inicial es

, Ez¡ - Et¡Aet:

h

- -45! + 21 x r0-6: 18.14 x 10-6 md/pulg.24

Se pueden obtene¡ resultados idénticos de la ecuación (9.4):

aet: u"169,000 x 5.19 : 18.14 x 10-6 rad/pulg.

4,030,000 x 12,000

12Loi: ót;¡

: 18.14 x 10-6(40 x 12\218

: 0.52 pulg. (13 mm)

Los cambios en deflexión dependientes del tiempo debidos al relajamiento,a la contracción, y al flujo plástico del concreto se detetminarán basándose en lainfo¡mación dada para el material en el capítulo 2.

Se puede halla¡ el correspondiente combeo hacia a¡riba mediante el méto_do del á¡ea de momentos, o mediante la fi|.llúa 9-4b tomada como referencra:

Ejemplo de, cálculo de deflex¡ones 365

.. El coeficie¡lte último de flujo plástico Cu de 2.35 cor¡esponde a una defor_mación unitada po¡ flujb plástico de

" c" 2.15

'' - r' - +Pto'ooo_- - o 58l ¡o "

I,a variación de 6 con el tiempo se puede obtene¡ de la ecuació4 (2.!Ob). porejemplo, a los 30 días:

, 100¿'- lo+ loo"o r0583' Io ó

: 0.254 x 10 6

Cálculos simila¡es conducen a los resultados que se ¡esumen en la segundacolumna de la Tabla 9.1. El incremento de deformación po, nuio piasti"o paracada intervalo de tiempo está dado en la columna 3.

Los cálculos por contracción deben tomat en cuenta el hecho de que laviga e.s colada y comienza a expe¡imentar cambios volumét¡icos 7 días antes deltensado, po¡ lo tanto, a los menos 7 días. Con e"¡., : gOO X l0-6 y la funcióndel tiempo dada según la ecuación (2.13d). un

"ái!,ito ,ipi.o ", ,ut ioio oru.,

37

""" ;';'li'l' '' "'

Los cfculos para otrosintervalos de tiempo conducen a la información dada en lacolum¡a 4 de la Tabla 9.1, con los incrementos en cada intervalo en la columna 5.La pérdida de esfue¡zo en el acero debido al relajamiento ".t,á

áaaa por tuecuación (2.1). Con un esfue¡zo de fluencia de 210 kiláLbr;s/puiri-ir" "*""r_zo inicial de 175 kitolibms/pulg2, la relación ¿"

".fo".ro " for 50 áás, o zzoho¡as, es

l" los.720 t t7s

f, t Io l)ro - 055/

: 0.919

cor¡espondiendo a una ¡elación de pérdida de 1.000 _ 0.919:0.0g1. Cálculossimilares para todos los intervalos de tiempo propo."iorr* iu ini¡-riación ¿e lacolumna 6 de la Tabla 9. r, con ros cambios inc¡"*"ntur". J"áor-"r, iu Joru-n" r.Aho¡a puede procede¡se con el cálculo ¿e los ca¡ntios eni" "u*"tu.u v l"deflexión dependientes del tiempo, siguiendo los p"ro, i

" ¡-¿"-1"1"""i0" S.S.Se usa¡án solamente 3 intervalos de tiempo para los fin". i" iu ¿erios-tra"iOn ¿"tmétodo.

366 Deflexiones

Tabla 9.1 Parámetlos dependientes del tiempo para el cá1culo de las pérdidas

(Ejemplo 9.6)

(1) Q) (3)

Tiempo Flujo Plástico

(4) (s) (ó) (7)

Contraccibn Relaj¡miento

(8)

Incremento

Dias

ó, Aó, Esh.t .x 10-6 x 10-6 x l0-o

A¿"n,, fnlf,, | - fJfo' L(r - folfo')x 10- ó

-'70

30

180

360

00.2540.4040.451

0.2540.150o.o47

0133

4r1674'730

IJJ278263

56

0.081

0.0220.009

1.000

0.919 0.081

0.897 0.103

0.888 0.112

S€ tomará el primer interualo de tiempo desde el tiemPo corresponüente

al p¡esfo¡zado, tiempo 0, hasta los 30 días Al comienzo de este intervalo de

tiempo los esfuerzos en las fibras del concleto son

f: -83 lb/Pulg'

L = -183'7 lbllul*

Aplicando el incremento unita¡io de flujo plásiico de 0 254 X 10-6 para el pri-

me¡ intervalo se obtienen defo¡maciones totales por flujo plástico de

^¿r,',*=83x0254xl0 6=21 x 10-6

Lezn,"""= 1837 x 0254 x 10-6:46'7 x l0 6

El flujo ptático total al nivel del acero de presfuezo es

I t7!9 ,qet - 2rrl - lo-uAe"""=l2l+

L24 I: 340 x l0-ó

El inclemento en la deformación por contracción para el prime¡ intervalo

de tiempo, de la Tabla 10.1, es 278 X 10-6 El relajamiento en el esfuerzo del

acero, basáLndose en la ¡elación de pérdida incremental es

A/,.."¡ = 0.081 x 1?5'000

: 14,200 lb/pulg2

Ejemplo del cátculo de deftex¡ones 96?

En consecuencia la pérdida de esfue¡zo total en el ace¡o durante el tiempo delintervalo I es

Lfp: (e", + e")E, + Lfp.*l

: (34O + 278) x l0 6 x 2't x 106 + 14,200

: 30,900 lb/pulg'?

Los cambios co¡¡espondientes en los esfuerzos del conc¡eto de las ca¡as superio¡e inferior son

AP / ¿c. \Lf,-+ ll. .'I'' ,4.\ r')0.966.30.900/ 5.lq ¡ 12\: l1--l176 \ 68.2 /

: +14 Iblp.¿tE2

AP / ¿¿,\

^^: --. ll- ,'l,4. \ t'/

0.966 x 30.900/ 5.19 ' t2\_ tl+_l116 \ 68.2 /= +324 tblputc2

Estos esfuerzos se dividen po¡ el módulo de elasticidad del conüeto para obtene¡los correspondientes cambios en la defomación del conc¡eto:

^i: 1414,030,000:3 x 10 6

Li : 32414,030,UJ0 = 80 x l0 6

Ahora se ajustan las defo¡maciones totales obtenidas antgriormente con lafinalidad de obtener las defo¡maciones netas en las ca¡as super.io¡ e infe¡ior dela sección de concrcto:

LEt^"t: (21 - 3) x 10-6 = 18 x 10-6

Ler,",: (461 - 80) x 10 6 : 387 x 10 6

El inc¡emento e¡¡ la curvatu¡a durante el tiempo del primer inte¡valo se halla fá-cilmente basándose en estas deformaciones:

. (-387+ 18)10 6

Ón- Ór¡: - -15.18x l0 6

368 Deflex¡ones

De esta manera la curvatura total, al finalizar el tiempo del intervalo 1, es:

r,,. ^, -,_::::,.

,'011','o-"

Esta curvatu¡a, la cual es constante a lo largo del clato como consecuencia de laexcent¡icidad constante, se transfo¡ma fácilmente a deflexión hacia arriba en elcentro del claro:

384E"r"

5x183(40x12)a384 x 4,030,000 x 12,000 x 12

:0.2i8 puls. (ó mm)

t')4.," : d."'" ,""

8

: -JJ.52 r lo ' r4o l2r'

8

: -0.97 pulg. (- 25 mm)

Los esfue¡zos en el concreto en las caras superio¡ e inferio¡ al inicio del si-guiente intervalo de tiempo se obtienen mediante la suma algebraica de los esfuer-zos al inicio del primet intervalo de tiempo y el cambio eo el esfue¡zo ¡esultantede las pérdidas:

/l : - 83 + t4: -69 tbla)te2

fz: t83j + 324: _tst3tblpvte2

Los resultados de todos los cálculos desc¡itos hasta este punto se ¡esume¡ren la Tabla 9.2 parc eI tiempo de 30 dias. Asismismo, se resumen los cálculoscorrespondientes a los intervalos de tiempo segundo y terce¡o.

Basándose en la curvatura total al final de cada intervalo de tiempo, encon-trada mediante el proceso sumatorio recientemente descrito, los combeos haciaa¡riba debidos a la fuerza pretenso¡a coüespondientes a los tiempos 0, 30, 180 y360 días son respectivamente, O.52,0.97,1.18y 1.24 pulg., según se dánenlacolumna fi¡al de la Tabla 9.2. Estos combeos se g.afican como una función deltiempo en días en la figura 9.6d.

A contituación se hallan las deflexiones debidas al peso propio de 183 lb/pie.La deflexión instantánea hacia abajo es

5wla

-1 vlot-

.1 n-1

+++

+++

<i

€i- !t l= E

x

x

o

I

<=x

I

{=x

IE

6!

q¡oot\óEE;g o€ c3E 6ÉYooii '0 '5

o!!EE€ g A-.!oó9

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+++

+++

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OOI')O v-) l'r

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EAAF'O .:

f{ ói1o

F

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o

oá

o

370 Deflexiones

El incremento en este yalot dependiente del tiempo se halla más fácilmente me-

diante la introducción del coeficiente de flujo plástico Cu - 2.3 5, con los facto¡es

de tiempo obtenidos mediante la ecuación (2.10¿):

^¡:^'(l+c¡)A¡o = 0.218(1 + 0.435 x 2.35) :0A4 pulg (1 I mm)

Ar¡o :0.218(1 + 0.693 x 2.35) :0.57 pulg (14 mm)

A¡oo : 0.218(1 + 0.114 x 235) :0.61 pulg (15 mm)

Estos valo¡es también se gafican como una función del tiempo en la figura 9.6d,y se muestla la deflexión neta debida al efecto combi¡ado del presfue¡zo y lacarga muerta-

La deflexión i¡stantánea debida a la aplicación de la ca¡ga viYa de 5501b/pie

A, : 0.218 " ffi : o.oo {lrrn.)

Así la deflexión neta pa¡a el tiempo de 360 días, debida al presfuerzo, y a las

cargas viva y mue¡ta se¡á

L""' = - 124 + 0'61 + 0'66

: +0.03 pulg (1 mm)

En este estado de carga la viga estaría casi a nivel, pero pod¡ia preve¡se un combeoneto hacia ar¡iba de 0.63 pulg., debido a la ¡emoción de la carga viva de codadu¡ación.

En la Tabla 9.3 se resumen las componentes de deflexión y las deflexionesnetas al final de cada intervalo de tiempo. La columna 5 ¡epresenta el combeo dela viga pa¡a el miemb¡o descargado, en tanto que la columna 6 es la deflexióncuando actúa la totalidad de la carga v¡va.

Tabla 9.3 Resumen de deflexiones (Ejemplo 9.6)

(1)Tiempo

(4)ar

(3)A"

(2)Le

(5) (6)

A¡+4, Ae+4,+^

Días pulg. mm puk. mm pulg. mm pulg, mm pulg. mm

0 - 0.s2 - 13

30 -o.97 -25180 l.l8 -30360 1.24 - 31

+6 + 0.66 + 17

+ 11 +0.66 + l7+ 14 +0.66 + 17

+ l5 +0.66 + 17

- 0.30 -8 +0.36 +9

-0.53 - 13 +0.13 + l-0.61 -15 +0.05 +1

-0.63 -16 +0.03 +l

+0.22+0.44+0.57+ 0.61

Ejemplo del cálculo de defiexiones 3?1

Para fi¡es de comparación, se hallará el combeo debido al p¡esfuerzo a los360 días empleando el método aproximado de la sección 9.3. La pérdida de pres-

fue¡zo se tomará igual que en los cálculos previos, y al final de los 360 días suma¡áufl total de

^l;:30,900+ 15,400 + 4400

: 5o,7oo lb/pulg2 (350 N/mm2 )

según se muestra erL l^'Iabla 9.2. Esto coresponde a una pérdida en la fuerza de

0.6ó X 50,70O = 49,000 1b. Así

P": Pt - LP:169-49: 120 kilolib¡as (534 KN)

La deflexión inmediata hacia ar¡iba debida al presfuerzo es

Lo¡: -0.52 pulg (13 mm)

igual que antes, mient¡as que

120L--:-O9t-* t69

: -0.3? pulg (9 mm)

El coeficiente de flujo plástico es Ct : 0.'7'14 X 2.35 = 1.82 co¡¡espóndiente alos 360 días, asi, de la ecuación (9.7) ta deflexión total debida a la fue¡za p¡eten-sora a los 360 días se estima que es

A¡oo L* - Lo, -rL* ,,

: -0.37 - 052 + 037 , 1.82

2

: - 1.18 pulg (30 mm)

Esta valor es muy similar ¿1 de 1.24 pulg. que se obtuyo mediante el método delos intervalos. No siemp¡e se tend¡á una ap¡oximación tan buena.

En el caso presente, solamente se demost¡ó el método de los i¡teryalosempleando t¡es intervalos, con i¡c¡ementos de pérdida y deflexión calculadospa¡a las edades de 30, 180 y 360 días. Si las deflexiones son lo suficientementec¡íticas de tal fo¡ma que el método de los inte¡valos sea el indicado, se deberánusa¡ por lo menos de 9 a l0 intervalos de tiempo. Po¡ ejemplo, se sugi€le una se-

372 Deflexiones

cuencia que podría emplea¡ cálculos cor¡espondientes a edades entre un día ytres años, empreando intervalos cortos al inicio de la secuencia e intervalos la¡gosal final de la misma. puesto que el t¡abajo podría ser te¿ioso si se erectúa ma-nualmente, el análisis de deflexiones se puede programar fácilmente para obteneruna solución mediante computado¡a digital.

9.7 MIEMBROS COMPUESTOS

[,a dete¡minación de la deflexión de vigas compuestas de concreto presforzadointroduce_muy pocos conceptos nuevos, aunque existen compücaciones p¡ácticasdebido a ta necesidad de ¡elacionar a los pa¡ámetro, ¿a fo, rnut".i-utm iependien-tes del tiempo con la secuencia de tiempos de las operaciones de construcción,tales como el colado de la losa, el logro de la acción co*pu"riu aiuf. y poriUfr"mente el tensado del acero por etapas. Deben usarse las propiedade, ap.opiuO"sde la sección para los diversos estados en los cálculos.

Aun si se usara el método aproximado de la sección 9.3, normalmente esnecesario emplear dos intervalos de tiempo, el primero desde el tiempo de trans_ferencia del presfue¡zo hasta el teimpo en que se cuela la losa, y el sequndo desdeel momento en que se cuela la losa hasr¿ el estado cle .urgu;a;i;;i;

", q". ,"puede suponer que han ocu¡¡ido todas las pérdidas.

. , El combeo_ inicial debido al presfuerzo, y la deflexión debida al peso pro-

pio. de la.unidad precolada y el peso del concreto fresco de la losa se pue4enhallar mediante los procedimientos ya descritos, sin cambio, usando las propie_dades de la sección precolada. El efecto del flujo plástico debido al presfuerzo y aotras.ca¡gas sostenidas, junto con el efecto de las pérdidas de fuerza pretensora,se deben determina¡ en dos estados: antes y después de cola¡ la losa. tambiénh-ay que establec€r los valores apropiados de loi coeficientes de contracción,flujo plástico y relajamiento mediante la apLicación de las funciones del tiempodel capítulo 2 para los valores últimos de los parámet¡os. I¿ deflexión por cargaviva se puede calcula¡ de la manera usual, empleando las propiedades de la seccióncompuesta de la viga.

Una nueva consideración en el caso de vigas compuestas es el efecto de lacontracción diferencial entre las partes colada in situ y precolada de la sección.La contracción de la losa después de su colado siempre será mayor que la conti-nuación de la cont¡acción de la sección precolada. Los incrementos resultantesen la deflexión hacia abajo del miembro compuesto pueden ser significativos,aunque los esfuerzos y deformaciones por la contracción tienden a si ¡educidospor el flujo plástico del concreto.

El cálculo de la deflexión en miembros compuestos se discute en las publicaciones referidas en 9.4,9 .5 y 9.g. para los detalles relacionados con casos espe_cíficos se remite al lecto¡ a aquellas fuentes.

9.8 DEFLEXIONES PERMISIBLFS

Las deflexiones que se consideran aceptables va¡ían ampliamente dependiendodel tipo particular de const¡ucción y de las circunstancias. Los requerimientos

Def 'ex¡ones

permis¡bles g73

Tabla 9-4 M*io."r p"rrni.ibles máxi¡nas calculadas det Código ACId

Tipo de miembroDeflexión a se¡conside¡ada

Limitación enla deflexión

Cobe¡tizos planos que no soportano estan ligados a ejementos ncesfructurales propensos a ser da-nados por las grandes deflexiones

Deflexión inmediata debida a lacarga viva L

180

Pisos que no soportan o estánligados a elementos IIoest¡uctu¡ales propensos a se¡dañados por las grandes deflexiones

*ff;i:;;:-..*,a debida a ra

3ó0

Const¡ucción de cobe¡tizo oprso que soporta o está ligado aetementos no estructuralespropensos a ser dañados por lasgrandes deflexiones

Aqu€lla pa.rte de la deflexióntotal que ocure después de lacolocación de los elementosno estructu¡ales, la sllma deia deflexión de la¡ga du¡aciónoebrda a todas las cargassostenidas y la deflexiónIllmedjata debida a cualqulercarga viva adicional

180

Construcción ¿e cobe¡tiio piso que sopo¡ta o estálrgado a elementos noesttuctu¡ales que no so¡lp¡opensos de dañarse

/0

21ó

po¡ las grandes deflexiones

,iiiEi;,;1;¡",

ilT:l*Til"''',"lililiT?'ñti::il#i:ri" :.:!,üi:"1 ix,iniÍ:iti,*"",i; ijde toda\ tas crrga( ros*"r0"., "j

."rt"i",ii::¡:.:-ol:ld:r¡ndo ro. crecro. de ¡¡¡g" ¿u,r.¡onlas previsiones para eldrcnaje

- _-"'^".krrurcrinLrasdcconstruccrónylaconñabilidadde

tlas dcflexiones ae tao" ii*",¿" * ",antes ¿e ¡u coro.acióri;T;:,:H:;:ji:i":,cdurir cn ra canridad de ra dcflexión .ruc ocurrcba:¡indose cn informac,ó" ;";,;;.il;; l"

.srruct¡r¡¡les. fsra can¡idad \e dcberá dc¡erminar

::l: l::T0.,",,*;;;;;;ffijJ;il:::"T;,,:'j;:",;"ili;::,,.,",¡,.i.,s rie,nJo.dene,ion-LsLe l]mrte podrá cxcedersc siempre oren Ios e¡ementos sopor"o., . u*"'ái.l

I're se tomen medidas adecuadas pa¡a evitar ios daños

-3r:ro no mayor quc h lolerancia Dermirrdá n, r^. -r^_- -

r:i:1 f ::"i;:ii#;i'."#$"",f",,;il1.,]i:T;::;:'ff ;""fi,JJiii';Í.::,:l [,:;funcionales dei miembro o la estruriexiones debidas

" l;';;;;:':::::'i ,l::d","

imponer limiraciones. si tas de-mentus no

"r,ru.'urui"r riior,.i"'r"::t-: '"n" durac¡ón son mu] grandes. ros ere-por ta construcción p.esforzuJa pueden verse

gr4 Deflexiones

afectados. Se puede afectar el drenaje de los cobertizos de grandes claros' Las

;;;il.;d conforte en la circulación sobre puentes pueden ser insatisfac-

rorias si la estructura soporte es muy flexible'"'----

pn .f Ca¿Uo ACi se incluyen ciertos límites' aplicables a la consüucción

A" .¿i¡"¡r. Esás se dan en la Tabla 9 4' En cada caso' la limitación de la

i"n"_rlr, ".pr"r"¿a

como una fracción del claro, depende del tipo del miembro

y'J" iu "o*t-."iOn

que se soporta En algunos casos los límites sólo se aplican a

la deflexión por carga viva, mientras que Á otros c¿sos los límites se aplican a las

;f;;i";", itt"r"-átul", previstas después de la frjación de los elementos no es-

iructulales." -'"-fitu 'p,.r.n,.r, la especificación AASHTO exige que' para claros simples o

"ontinuoJ, iu Jrn.r,ion óbida a la carga viva más el impacto no.debe sobrepasar

ijffi.ü'"il, excepto para los nrrentes en áreas urbanas usados en parte por

;;;'1*;, ;" í", "u"1",

i" '"lu"ión

debe ser de preferencia l/ 1000 .La

deflexión

;";;t;;;;d.dJo debida a la carga viva más el impacto está limitada a 1/300

;;i;l"iir", excepto para el caso de los usados por tanseúntes en que se debe

"*pi."t p*f.*",".enie de acuerdo con la especificación l/375'

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York, 1977,546 Págs.

PROBLEMAS

9.1 La viga T de concrcto mostrada en la figura P9'1 es postensada con una

fuerza inicial 4 : 229 kilolib¡as, la cual después de un año se ¡educe a un

Problemas 375

valor efectivo P€ = 183 kilolib¡as. Adicionalmente a su peso propio la viga

debe sopota¡ una carg¿ viva sobrepuesta de co¡ta du¡ación de 21.5 kiloLi-bras al centro del claro. Empleando el método aproximado de la sección9.3 hallar (a) la deflexión inicial de la viga descargada, y (b) la deflexión a

la edad de un año de la viga cargada. Se dan los siguientes datos: Ac: 45o

pulg2, c, : 8 pulg, 1" = 24,600 pltlga , E.: 3,5o0,ooo lb/pulc2 , c, = 2.5

21.5 kilollbras

e^", = 13.04" F-50" ¡

-l1

L0"

Figura P9.1

9.2 Hallar las deflexiones de la viga del problema 9.1 mediante el método de

los intervalos incrementales de tiempo descrito en la sección 9.5. Conside-¡ar a la viga en los tiempos cefo, I mes, 3 meses, 6 meses, y un año. Se dan

los siguientes datos adicionales: Ap : 1.31 ptl.lgz, ¡n - 210,000 lb/pulg2,

fp¡: l'75,OoO lb/pulgz, e"¡,, - 650 X 10-6. Usar las p¡opiedades delosmateriales según se dan en el capítulo 2. La viga se cuela 3 días antes de la

F<-60. ---

)-l

l< r8.+ 18 --lr-r8

Figura P9.3

376 Deflexiones

t¡ansferencia, y se cura con vapor. Compárese con los resultados del pfo-

blema 9.1 y haga comentados.

9.3 La úga de sección doble T estánda¡ de la figura P9 3 debe tener un claro

simple de 54 pies. Los tendones se atirantan en los puntos tetcios con ex-

ániriaaaae" qu" varían según se muest¡a en el croquis El presfuerzo in!cial en el acero es de 140,000 lb/pulf ; después de las pérdidas dependientes

del tiempo éste se reduce a 77.000 lb/pulg2. Usando el método aproxima-

do de la sección 9.3. calcular las deflexiones del miembfo bajo los siguientes

estados de cargas: (a) inmediatamente después de la transfetencia' cuando

actúan el presfuerzo inicial y el peso propio' (b) Después de todas las pér-

didas dependientes del tiempo, cuando actúan el presfuerzo efectivo y el

peso propio. (c) Igual que efl (b) pero actuando una carga viva de corta

il.""iór,- d" 2'15 lblpie. S" ¿a"-tás siguientes datos: l. - 267 pule2 '

I "

: I SSO pulga, c¡- : 5.5 púlg' Ap : 1'52 pulg2, wo : 21 5 lb I pie'

r"-' : 5000 tb/putg, , c. = 2.o, E c: 4,03 0,000 lb/pulgz ,y Eo : 21 ,ooo,0ooiü/prrle'. I'lót"t" que la aplicación de toda la carga viva producirá agrieta-

miento por flexión.