capitulo ii análisis dimensional de tm y mdp

7/23/2019 Capitulo II Análisis Dimensional de Tm y Mdp

http://slidepdf.com/reader/full/capitulo-ii-analisis-dimensional-de-tm-y-mdp 1/18

MÁQUINAS TÉRMICAS. Análisis dimensional Carlos A. Orozco H. CAPÍTULO II

CAPITULO IIANALISIS DIMENSIONAL APLICADO A MÁQUINAS DE FLUIDO

Objetivos Específicos Capitulo II• Discutir brevemente los sistemas básicos de unidades.• Elaborar una clasificación de las variables físicas y escribir su forma dimensional.

• Enunciar el Teorema de Buckingham o Teorema π.

•

Aplicar el Teorema π al caso de las máquinas Hidráulicas y Térmicas.• Presentar un resumen general de los números adimensionales usados en diferentes aplicaciones tales como flujo general

de fluidos, flujo en tuberías y en superficies sumergidas.• Definir los parámetros adimensionales velocidades especificas, diámetro especifico, coeficientes de energía y caudal

característico de una máquina Hidráulica o Térmica.• Discutir ejemplos donde se revirarán y aplicarán los conceptos descritos en este capitulo.

2.1 Sistemas De Unidades:

Tabla 2.1 Sistema Básico de Unidades.SISTEMAS

Unidad/Dimensión Métrico Inglés InternacionalTiempo [ T ] Segundo Segundo SegundoLongitud [ L ] Metro Pie MetroMasa [ M ] Kilogramo Libra KilogramoFuerza (F) Kgf Lbf N (Newton)Temperatura (θ) No es unidad Básica

Grados Celcius ó Kelvin° K=273+° C

Grados Fahrenheit ó Rankine° R=460+° F

Grados Celcius ó Kelvin° K=273+° C

Fuerza [F] Kgf Lbf N (Newton)

[M, L, T, θ] = [Formas Dimensional][F] = [m × a ] = M × L × T-2

Toda propiedad física puede expresarse en función de propiedades básicas como el tiempo, longitud y la masa (MLT), inclusive la temperatura, que a nivel microscópico se manifiesta como la energía cinética de las partículas pero que, a nivel

del macromundo se considera como otra dimensión independiente.Para un gas ideal, ( )T V R= × = × × ⋅ =

v vo2 3 ; (a 21 C: V 293.15 0.2887 3 10 503.75m s)3 0.5

, dondev

V es la velocidad

cuadrática media de las partículas del gas, según la teoría cinética. Las equivalencias entre estas unidades básicas son :• L : Pie (ft) = 0.3048 Metros (m) = 12 Pulgadas (in)

1 in = 0.0254 metros (m)• M : Kilogramos (kg) = 2.204 Libras (lb.)

Libras (lb) = 0.4537 Kilogramos (kg.) = 453.7 Gramos (gr)• T : Es igual en los sistemas mencionados.• θ : °K = 273.15 + °C, °R = 459.67 + °F, °F = 1.8°C + 32

2.2. Definición del Peso de una Masa (F) La fuerza según la segunda ley de Newton es el producto de la masa por la aceleración que este cuerpo lleve. Basado en esta

idea un peso sometido a un campo gravitatorio experimentará una fuerza (F) igual al producto de la masa (m) que posee elcuerpo multiplicado por la aceleración de la gravedad (g). O sea, a gravedad nula, el peso cero.

Luego usando el símbolo de = =∆

odef

bajo el significado de : “Por definición”, se tiene :

)1.2(gmF ×=∆

Para los diversos sistemas de unidades en ingeniería se tiene :

Métrico : F kg m

s

kg m

skgf Ki ramo Fuerza= × =

−= → −1 9 8 9 81

2 2. . log

∆




Inglés : F lb pies

s

lb ft

slbf Libras Fuerza= × =

−= → −1 32174 32174

2 2. .

∆

Internacional : F kg

m

s

kg m

s N Newton= × =

−

= →1 1 2 2

∆

Kgf: Kilogramo - fuerza.lbf: Libra - fuerza.N: Newton.

De lo anterior se desprenden las equivalencias : kgf = 2.204 lbf = 9.81N ; lbf = 4.45 N

Ejemplo 2.1.En un campo donde g = 9.7 m/s2 (31.816 ft/s2)a) Cuanto pesan 20 kilos en kgf ? y (Newton ?)b) Cuanto pesan 30 libras en lbf ? y (Newton ?)

Usando la definición (2.1) F = m × g

[ ] [ ]

[ ] [ ]

a F kg m

skgf N

b F lb ft

slbf N

) ..

.. ( )

) ..

.. ( . )

= ×

× = →

= ×

× = →

20 9 79 81

9 8119 78 194

30 3118632174

3217429 08 129 4

2

2

2.3 Otras Unidades. En ingeniería, el calor y el trabajo son formas de la potencia es energía en unidad de tiempo.

Tabla 2.2. Unidades de la Energía y la Potencia. Unidad Métrico Inglés InternacionalCalor Caloría BTU Joule [ J ] = (N-m)Trabajo Kgf-m Lbf-Ft Joule*Potencia CV* HP* Vatio [ W ] =

(J/S)Definición de potencia 75 kgf-m/s 33000 Lbf-Ft/min J/s

*Joule = Newton × Metro = N-m.*CV = Caballos de vapor.*HP = Caballos de fuerza.

Cualquier propiedad física, se define en cada sistema de unidades, usando el sistema básico de unidades y la definición defuerza. En los numerales 2.3.1, 2.3.2 y 2.3.3 demostremos lo dicho.

2.3.1.

Calor : Forma de la energía que se manifiesta a través de una superficie de control. En el Sistema Métrico la unidad

básica es la kilocaloría que se define como la cantidad de calor agregada a un kilogramo de agua a 14.5 ºC paraelevar su temperatura hasta 15.5 ºC.En el sistema ingles la unidad básica de calor es el BTU ( British Termal Units) que se define como la cantidad decalor necesaria para elevar la temperatura de una libra masa de agua desde 63 ºF hasta 64 ºF.

Basados en las definiciones de kilocalorías y BTU podemos encontrar las equivalencias entre ambas así:Aplicando 1 BTU calentamos 453.7 gramos→ 0.556 ºC (1 ºF).

Aplicando 1 BTU calentamos x gramos→ 1 ºC (1.8 ºF).El problema es una regla de tres inversa lo que permitirá obtener:

X gr C

gr = × =45370556

1252.

.




Aplicando 11 BTU calentaríamos 252 gramos 1 C osea 252 calorías que se obtendrían al aplicar la definición yaestablecida. De lo anterior tenemos 1 BTU = 252 calorías.

Del equivalente mecánico de calor tenemos que 1 Caloría es 4.186 Joules ( valor experimental ).

2.3.2. Trabajo :Forma de energía que se manifiesta a través de una superficie de control (en maquinas de fluido puede serla carcaza). Es el producto de la fuerza por el desplazamiento en la misma dirección. A partir de esta definición seconstruye la siguiente tabla 2.3.

TABLA 2.3 UNIDADES DE ENERGIA (DEFINICIONES )SISTEMA DEFINICIÓN EQUIVALENCIAMétrico de Ingeniería Kilogramo fuerza metro = Kgf - m JoulesInglés de Ingeniería Libra fuerza pié = Lbf – ft JoulesInternacional Joules = Newton – metro = N - m Joules

2.3.3. Potencia : Es la rata de trabajo, si la rata es uniforme entonces la potencia es el trabajo en la unidad de tiempo. Apartir de esta definición se construye la siguiente tabla.

TABLA 2.4 UNIDADES DE POTENCIA (DEFINICIONES)

SISTEMA DEFINICION EQUIVALENCIAMétrico Caballos de Vapor (CV) CV =

∆

75Kgf - m/seg 736 vatios

Inglés Caballos de fuerza (HP) HP =∆

3300 lbf-ft / min 746 Vatios

Internacional Vatios (W) =∆

Joules / Segundo Vatio

2.4. Clasificación De Las Variables Físicas

Estas se clasifican Geométricas, Cinemáticas, y Dinámicas [9] La tabla 2.5 da una lista de variables físicas con su respectivaforma dimensional.

• Geométricas : Diámetro (D), Longitud (L), Rugosidad (λ), Area (A), Volumen (∀), Ancho del ala (a), Longitud del alabe

(b), espesor (e).

•

Cinemáticas : Caudal ( &∀ ), Flujo de masa ( &m ), RPM, Velocidad ( vV ), Velocidad angular (ω).

• Dinámicas :Pr : , , , , ,

: , , , , , &

opiedades del fluido B

Caracteristicas del fluido H P F F T W

s

x z

ρ γ υ µ δ

TABLA 2.5 FORMA DIMENSIONAL DE ALGUNAS PROPIEDADESFÍSICAS USADAS EN MÁQUINAS DE FLUIDOS

Propiedades Físicas Variable Forma DimensionalDimensiones D, e, b, λ, L, a LVelocidad

∀ LT-1

Presión p ML-1T-2 Fuerza F MLT-2 Torque T ML-2T-2 Gravedad g LT-2 Trabajo W ML-2T-2 Potencia &W ML2T-3

Rpm N T-1 Modulo de Elasticidad E MT-2L-1 Tensión Superficial δs (sigma) MT-1 Densidad ρ (rho) ML-3




Modulo Bulk o de Compresibilidad B ML-1T-2 Viscosidad Dinámica µ (Mu) ML-1T-1 Peso Específico γ (gama) ML2T-2 Caudal &∀ L3T-1

Conductividad Térmica k MLT-3θ-1 Calor Específico Cp L2T-2θ-1 Coeficiente de Convección hc MT-3θ-1

Fx : Fuerza de sustentación FZ : Fuerza de arrastre T : Torque

Los fluidos tratados en estas notas presentarán características elásticas lo que significa que se podrán propagar ondaselásticas de la misma forma que en los sólidos. Es posible demostrar que la velocidad de una onda ( c ) es cualquier medioelástico es la raíz cuadrada de la característica elástica del medio (módulo de elasticidad en sólidos, módulo de Bulk o decompresibilidad en líquidos, constante adiabática por presión en gases), dividida por la densidad del medio. Esto es :

C E = ρ [8]

Ejemplo 2.2.Basados en la definición de la velocidad de una onda ( c ), calcular la velocidad del sonido en el aire a 21 C

C E = ρ Según definición ya establecida (2.2)

P RT

ρ = de la ecuación de gas ideal (2.3)

Por lo tanto : C k RT = donde la constante adiabática es k, y para el aire como gas ideal k = 1.4,

R lbf ft

lb R

KJ

Kg K =

−

−=

−5334 0 2887. .

( )C lb ft

s

ft

lb R R

ft

s

C ms

metross

= × × −

−× + =

= × × = =

14 5334 32174 460 70 1128

14 288 7 29315 344 2 344

2. . .

. . . .

2.5. Teorema de Buckingham o Teorema ππππ Sean A1, A2, .........., Am propiedades físicas que describen un fenómeno, todas ellas susceptibles de ser expresadas en laforma dimensional (MLTθ). El enunciado anterior se puede verificar en la tabla 2.5 Entonces si existe un conjunto deoperaciones que describen el fenómeno [F(A1, A2, ......., Am) = 0], existirá una relación funcional de números adimensionalesque también pueden describir el mismo fenómeno [f (π1, π2,.......,πm-n)=0].Observe que m es el número de propiedades físicas que describen el fenómeno, definidas por la experiencia.y n es el número de dimensiones (MLTθ). [9] [10] La tabla 2.6 muestra un resumen de las funciones F que describen los

diferentes fenómenos. Donde : [ ]π = += −

A A A A x Y Z

n j j m n

j j j

1 2 31 2

, , ,..........,, ,....

A1 : Variable geométrica. A2 : Variable Cinemática.A3 : Variable Dinámica. Y A1 A2 A3 : Variables de repetición.

TABLA 2.6. RESUMEN DE LOS NÚMEROS ADIMENSIONALES

Función (Variables que rigen elfenómeno)

Variablesde

repeticiónπ1 π2 π3 π4 π5 π6

Flujo General de FluidosF(D, V, ρ, λ, ∆P, µ, δS, B, γ ) D V ρ

λ

ρ

Rug. relativa

∆P

V ρ 2

Euler

ρ

µ

VD

Reynols

ρ

γ

V D

s

2

Webwer

ρ V

B

2

Mach

ρ

γ

V

D

2

Froude




Flujo Incompresible en tuberíasF(D, V, ρ, λ, ∆P, µ, L ) D V ρ

λ

ρ ∆P

V ρ 2 ρ

µ

VD L

D

Observe que el factor de

fricción : f =2 2

4

π π

Máquinas Hidráulicas

F(D, V, ρ, & , & ,W ∀ µ, g, H ) D N ρ

&W

N D ρ 3 5 φ =

∀&

N D3

µ

ρ N D2

g

N D2

H

D

Ψ

Ψ

=

=

π π 4 5

2 2

g H

N D

Máquinas TérmicasF(D, ρO1, PO1, PO2, &m ,N ,µ) D ρ PO1

P

P

O

O

2

1

&m

D PO O2

1 1 ρ

MachFluido

ND P

O

O

ρ 1

1

Mach delRotor

µ ρ D PO O1 1

Reynols

φ ::Coeficientedeenergia

CoeficientedeenergiaΨ

Flujo de Superficies SumergidasF(a, V, ρ, b, Fx, µ, Fz)

a V ρ b

a

F

g V b a

x

2

arrastre

ρ

υ

Va F

V ba

22 ρ

sustentación

En un perfil de alabeb×a = área

Transferencia de calor porConvecciónF(D, V, ρ ,k, Hc, Cp, µ)

D V ρ kh D

k

c C

k

p µ V D ρ

µ Unico caso donde n = 4

otros casos n = 3

anotados y además se muestra los diferentes números adimensionales π que podrían describir también los fenómenos.

Observe las variables de repetición en la tabla 2.6. 2.5.1 números adimensionales en Máquinas Térmicas

2.6 NÚMEROS ADIMENSIONALES EN MÁQUINAS TÉRMICAS

El desarrollo de los números adimensionales de la tabla 2.6 se hará mediante el siguiente ejemplo analítico.

Ejemplo 2.3

Conocidas las variables que describen el fenómeno de las Máquinas Térmicas (Tabla 2.6), encontrar los númerosadimensionales π que describen el fenómeno.

La función es F(D, ρO1, PO1, PO2, &m ,N ,µ)=0; m = 7 y n = 3 de la tabla 2.6. El subíndice “0: Cero”indica propiedades de estancamiento, es decir, se tendrán en cuenta los efectos de la velocidad delfluido sobre las propiedades. Las variables de repetición son iguales al número de dimensiones, eneste caso (D, ρO1, PO1). Aplicando teorema de Buckinghamπ :

PO2 : Presión del estancamiento del estado 2, descargaPO1 : Presión del estancamiento del estado de referencia o succión.D : Diámetro del rotor.

Este grupo de ecuaciones equivale a: De cada ecuación π obtenemos el conjunto de ecuaciones necesarias para los valores de

Xi, Yi, Zi (i = 1, 2, ..., 4)

022:

013:

01:

:

1

111

11

1

=−−

=−−+

=++

Z T

Z Y X L

Z Y M

π

−=

=

=

1

0

0

1

1

1

Z

X

Y

=01

021

P

Pπ

(2.4)

π ρ

π ρ

π ρ

π ρ µ

1

2

3

4

11

111

2

2

1

2

1

2

3

1

3

1

3

4

1

4

1

4

=

=

=

=

D P P

D P m

D P N

D P

xO y

O z

O

x

O

y

O

z

x

O

y

O

z

x

O

y

O

z

&

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

π

π

π

π

1

0 3 1 2 1 2

2

0 3 1 2 1

3

0 3 1 2 1

4

0 3 1 2 1 1

1 1 1

2 2 1

3 3 3

4 4 4

= =

= =

= =

= =

− − − − −

− − − −

− − − −

− − − − −

MLT L ML ML T ML T

MLT L ML ML T MT

MLT L ML ML T T

MLT L ML ML T ML T

x y z

x y z

x y z

x y z




012:

03:

01:

:

2

222

22

2

=−−

=−−

=++

Z T

Z Y X L

Z Y M

π

−=

−=

−=

21

22

1

2

2

2

Z

X

Y

⋅

⋅=

⋅=

•

•

012

012

010122

P D

T Rm

P D

m

π

ρ π

(2.5)

012:

03:

0:

:

3

333

33

3

=−−

=−−

=+

Z T

Z Y X L

Z Y M

π

−=

=

−=

21

12

1

3

3

3

Z

X

Y

⋅

⋅=

⋅=

01

3

01

013

T R

D N

P D N

π

ρ π

(2.6)

012:

013:

01:

:

4

444

44

4

=−−

=−−−

=++

Z T

Z Y X L

Z Y M

π

−=

−=

−=

21

12

1

3

3

3

Z

X

Y

⋅=

0101

4P ρ

µ π

(2.7)

2.5.2 Significado físico de los números adimensionales de las Máquinas Térmicas [6] y [9]

π1: Estados termodinámicos semejantes. Lo anterior se deduce al aplicar la ecuación de estado.

0101

01

011

022

01

021 1

P

P

P

PP

T R

T R

P

P ∆+=

∆+=

⋅⋅

⋅⋅==

ρ

ρ π

π2: Este número es el número de MachC

V M

∆

=

C

V

D

k A

T Rk D

V k A

P D

V A

P D

V A

P D

m⋅

=

⋅

⋅=

⋅

⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅=

•

201

20101

20101

20101

22 ρ ρ

ρ

ρ π

π3: Este número es el número de Mach del rotor, definido comomedioelenSonidodelVelocidad

PeriféricaVelocidad

C

U M ==

∆

∴

=

⋅⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=

C

U k

T k R D

k DU

T R

D N

π π π

0101

3 π3 = Constante x MR

0101

4P⋅

= ρ

µ π Número de Reynolds, asociado con las eficiencias, relaciona las fuerzas viscosas con las fuerzas de

inercia. Este número no es exactamente Reynolds si no proporcional a él. En turbomáquinas el número de Reynolds sedefine como:




µ

ω ρ

µ

ρ 222Re

D DU ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=∆

, donde ω = 2 π N (2.8)

2.6 Similitud

Para darse entre estados de máquina o entre un modelo y una máquina real. permite la transposición de los resultados de unmodelo físico a una estructura real; puede ser: Geométrica, Dinámica o Cinemática. Se dice que la similitud física esperfecta (SFP) si se dan las tres similitudes.

En la práctica no se da debido a los factores de escala [3] y [11]

Similitud Geométrica: Se da cuando la relación de dimensiones es igual en todos los puntos, es decir, existe un factor deescala único entre la estructura real y el modelo.

Similitud Dinámica: Se cumple cuando hay semejanza en los triángulos de fuerzas de la estructura real y el modelo.

Similitud Cinemática: Se cumple cuando la relación de velocidades es igual en todos los puntos, es decir, existe semejanzadel triángulo de velocidades real y el modelo.

Para la SFP se cumple:PrototipoModelo

PrototipoModelo

η η π π

==

El hecho que no se de la SFP es debido a los siguientes efectos (Efectos de Escala[10])

A. Máquinas Hidráulicas.

a) Disimilitudes geométricas debido a tolerancias.b) Variaciones de las holguras.c) Acabado de las superficies.d) Efectos hidrodinámicos.e) Errores de ensayo.

f)

Efectos de instalación.

B. Bombas y Sopladores.Las holguras son importantes y el hecho de que mayores eficiencias corresponden a altas eficiencias de flujo es debido aajustes como el incremento de las dimensiones. Es importante observar que mejoras en la rugosidad de la superficie nodan mayor eficiencia, excepto para ventiladores pequeños a alta velocidad.

C. Maquinas de Flujo Compresible.• Si máquinas de simple etapa son considerada, el efecto de la compresibilidad puede ser despreciado para bajos números

de Mach (bajo M ≤ 0.5), la divergencia crece con Mach.• Trabajo con compresores usando refrigerante u otros gases pesados indican que el efecto de el exponente adiabático

puede ser despreciado para pocas etapas. Sin embargo, cuando la relación de presiones y el número de etapas seincrementa, el cambio de densidad es particularmente importante.

Los problemas de SFP especificada en bombas ocurren también en compresores. Henssler y bhinder [10] estudiaron lasinfluencias de los compresores turbocargadores; estos tenían 60 mm., 82 mm., y 94 mm. de diámetro del rotor, otrasdimensiones fueron escaladas, pero el acabado de la superficie era el mismo.

Ellos demostraron como el comportamiento varía con el coeficiente de flujo y el número de Reynolds basados en lavelocidad periférica. Los autores comentan que esos cambios no son predecibles usando leyes de similitud.No hay disponible en el momento un método de predicción general que sea completo y satisfactorio, aunque lascompañías y grupos individuales usan sus propias aproximaciones para satisfacer sus necesidades.

Debido a los efectos de escala, las eficiencias de modelos y máquinas semejantes no son iguales y las siguientesformaciones experimentales pueden ser usadas:




• Máquinas Hidráulicas[10]:

2.0

Re

Re7.03.0

1

1

+=

−

− m

mη

η , ecuación de Hutton (2.10)

• Ventiladores y Sopladores[2]:

+

−−=

2.0

Re

Re1

2

11 mmη

η , Ecuación de Ackeret.

Siendo η: Eficiencia del prototipo.

ηm: Eficiencia del modelo.Rem, Re: Se calcula según la relación (2.8)

•

máquinas de flujo compresible: No hay modelo disponible.

Tenga en cuenta que cuando se da la SFP se cumple lo siguiente para máquinas o estator semejante:

PrototipoModelo π π =

Todos los π son iguales, excepto Reynolds

η η ≠⇒= mPrototipoModelo ReRe Las eficiencia están relacionadas por formulaciones empíricas

Para las máquinas térmicas se verificarán las relaciones (2.4), (2.5) y (2.6) aplicados a modelo y prototipos:

m

m

mP

P

P

P

01

02

01

0211 =⇔= π π

mmm

mm

P D

m

P D

m

01012

0101222

⋅=

⋅==

••

ρ ρ π π

mm

mmmT R

D N

T R

D N

0101

33⋅

⋅=⋅

⋅== π π

Máquinas semejantes son aquellas que poseen un mismo factor de escala e iguales ángulos de diseño. Se comporta segúnrelación (2.12). Observe que r puede ser el del hidrógeno y rm el del aire, (véase ejemplo 2.4) el subíndice m se refiere avariables del modelo. Para algunos problemas práctico, se puede asumir que las propiedades de estancamiento son iguales alas propiedades de un volumen de control donde las velocidades no afectan dichas propiedades. (Véase ejemplo 1.5 y 2.4).

Ejemplo 2.4Un compresor de hidrógeno maneja 18 Kg./s cuando la presión en la succión es 1 atm. estándar, la temperatura 27 ºC, lapresión de descarga es 16.3 atm. estándar. La temperatura a la entrada es 27 ºC y la velocidad de rotación 2900 RPM, parainvestigar y desarrollar la anterior máquina un modelo a media escala será ensayada utilizando aire a 0.1 MPa y 15 ºC.Usando números adimensionales predecir:

a) Flujo de masa en el modelo.b) Presión de descarga en atmósferas estándar.c) Velocidad de rotación del modelo en RPM.

a)01

01

01

012

012

01

012

012 4 P

P

T R

T Rmm

P D

T Rm

P D

T Rmm

mm

mm

mm

mmm

⋅

⋅=⇒=

⋅=

⋅=

••

••

π π

2

D Dm = , modelo a media escala.




sKg

MPa

MPa

K K Kg

KJ

K K Kg

KJ s

Kg

P

P

T R

T Rmm m

mm

m 18.17101325.0

1.0

288287.0

300124.4

4

18

4 01

01

01

01 =⋅

−

⋅

−=

⋅

⋅=

••

b) 3.161

3.16

01

021 ===

atm

atm

P

Pπ

1 atmósfera = 0.101325 MPaSe usará el subíndice (m) para referirse al modelo.

ata MPa xP xPP

Pmm

m

m

m6087.163.11.03.1601102

01

0211 ====⇒== π π π

c)01

013

0101

3T R

T R

D

D N N

T R

D N

T R

D N mm

m

mm

mm

mm

⋅

⋅⋅=⇒=

⋅

⋅=

⋅

⋅= π π

RPM x N m 15.1499300124.4

288287.022900 =

⋅

⋅=

2.7 Números adimensionales en Máquinas Hidráulicas

El procedimiento aplicado en el ejemplo 2.3 puede ser aplicado a los fenómenos mencionados en la tabla 2.6, para asíencontrar los números π que pueden describir cada fenómeno, caso por ejemplo de π de máquinas hidráulicas cuyofenómeno se describe con 5 números π. Teniendo en cuenta que el producto de dos números adimensionales es otroadimensional, se tiene que el fenómeno será descrito por cuatro números adimensionales.

• τ ρ

π ∆

•

=⋅⋅

=531

D N

W Coeficiente de Potencia (2.13)

•

Φ=⋅∀=

∆

32 D N

&

π Coeficiente de caudal (2.14)

No confundir Φ con φ que se define como coeficiente de velocidad, véase problemas propuesto 2.11

•

Re

232

π µ π

⋅=

⋅=

∆

D N Número de Reynolds de la máquina (2.15)

• ψ π π ∆

=⋅

⋅=

2242 D N

H g x (2.16)

Observe que el término gH es energía, además es obvio que ( )53 D N WHPW ó x ⋅⋅⋅⋅Φ===Φ•

ρ τ τ ψ ; donde

la cabeza que se aplica es la cabeza real H y lo mismo el caudal real ∀&

2.8 Velocidad Específica (NSA, NS)

Este número se utiliza para caracterizar las máquinas de fluidos por lo general en el punto de máxima eficiencia, siendo elmismo número sobre una línea de igual eficiencia, independiente de las RPM y el diámetro de las máquinas.

Lo dicho anteriormente significa que el NSA de una máquina es único a igual línea de eficiencia.La velocidad NSA se define como:

43

ψ

Φ=SA N (2.17)




La ecuación (2.17) puede modificarse introduciendo (2.14) y (2.16) y se obtiene:

( ) 43

gH

N N SA

∀=

& (2.18)

Sabiendo que la potencia ∗W es H W ⋅∀⋅=∗ &γ (2.19) podemos modificar (2.18) introduciendo (2.19) y así obtener:

( ) 45

*

gH

W N N SA

⋅=

ρ (2.20)

La práctica de los fabricantes han hecho que los números (2.18) y (2.20) que son estrictamente adimensionales adquieran laforma:

43

*

H

N N S

∀= y

45

*

H

W N N S = (2.21)

Las ecuaciones (2.21) se justifican analíticamente si se tiene en cuenta que al aplicar (2.18) y (2.20) a dos máquinassemejantes que usen el mismo fluido los términos g y ρ son constantes y por lo tanto no influyen en la igualdad que resulta.Entre dos estados o entre dos máquinas tenemos:

( ) ( ) II I

SA

H g

N

H g

N N

⋅

∀=

⋅

∀=

43

43

&&

donde los subíndice I y II representan dos estados o dos máquinas diferentes, pero similares.

El término g desaparecerá obteniendo S

II

II II

I

I I N

H

N

H

N =

∀=

∀

43

43

&&

y en general:4

3

H

N N SA

∀=

& (2.22)

La velocidad específica NSA es independiente del sistema de unidades, NS no lo es, cada fabricante define las unidades paracalcular la “Velocidad específica del fabricante”, NS.

2.9 Diámetro Específico (DSA, DS)

Por definición:Φ

=∆ 4 ψ

SA D (2.23) Reemplazando (2.14) y (2.16) en (2.23) se obtendrá( )

∀=

&

DgH DSA

41

(2.24)

Este número completamente adimensional y por lo tanto independiente del sistema de unidades, no así el número DS de la

ecuación siguiente, obtenida por los mismos criterios de (2.22) ∀= &

D H

DS

41

La anterior ecuación se deriva de (2.25) cuando se aplica a dos estados o dos máquinas, simplificada la gravedad. DSA esindependiente del sistema de unidades DS no lo es, cada fabricante define las unidades para calcular su diámetro específico,DS.

Ejemplo 2.5

Una turbina se diseña para entregar 65 MW en su eje cuando el salto es 30 m. y gira a 1.667 R.P.S. La eficiencia global dela máquina es 92% y el del rotor es 6 m. Estimar coeficientes de caudal, energía, velocidad específica y diámetro




específicos adimensionales y de fabricante usando las unidades del enunciado. Formule las condiciones o comentariospertinentes.

WHP

BHPT =η : Definición de la eficiencia de una turbina hidráulica

sm

mm

N s

J

x H

BHP H

BHPT

T

3

3

6

1.24092.0309810

1065 =

⋅⋅

=⋅

=∀⇒∀⋅

=η γ γ

η &&

( )667.0

6_667.1

1.24031

3

3 =

⋅=

⋅

∀=Φ

−ms

sm

D N

&

( ) ( )943.2

6_67.1

3081.9

2221

2

22 =

⋅

⋅=

⋅

⋅=

− ms

ms

m

D N

H gψ

( )3635.0

943.2

667.0

4343

==Φ

=ψ

SA N

60.1667.0

294344

==Φ

= ψ

SA D

Éstos números son iguales para máquinas semejantes (sección 2.7). Los cuatro números calculados previamente sonadimensionales, no así los cuatro que siguen.

=

⋅=

∀=

23

43

75.04

3015.2

30

1.240667.1

s

m

H

N N SA

&

=⋅=Φ

⋅=4

449.0

1.240306

ft

s D DSA

ψ

Como se puede observar los números adimensionales de fabricante dependen del sistema de unidades, veamos:

( )

=

⋅=

−

23

43

75.0

31

91.44.98

7.8470_667.1

s

m

ft

s ft

s N S

=

⋅=

43

4

6735.0

7.8470

4.9868.19

ft

s

s ft

ft ft DS

Ejemplo 2.6

Una turbina de una planta hidroeléctrica está diseñada para dar 55 MW, cuando el salto es de 25 m y gira a 94.7 RPM. Laeficiencia global de diseño es 93% y el diámetro del rotor es 6 mts. Un modelo con un diámetro del rotor de 300 m.m. seráensayado bajo el mismo salto. Sugiera la probable velocidad de rotación, rata de caudal, eficiencia y potencia producidacuando el modelo opera en condiciones de similitud. Cual es la velocidad específica NSA?

El caudal que maneja la turbina actual es:




WHP

BHP Def

T =η para máquinas motoras (2.27), WHP =γ ∀ H (2.28). De estas ecuaciones H

BHP

T η γ ⋅=∀& (2.29)

Siendo BHP la potencia al freno medido en el eje de la turbina y WHP la potencia disponible del fluido.

sm

mm

N x

W x 3

3

3

6

1.24125

81.91093.0

1055==∀&

Aplicando similitud sabemos que Φ y ψ son constantes, usando (2.14) y (2.16) tenemos:

33mm

m

D N D N ⋅

∀=

⋅

∀=Φ

&&

2222mm

m

D N

H g

D N

H g

⋅

⋅=

⋅

⋅=ψ

( )707.0

6_60

7.94

1.241

31

3

3

ms

sm

D N ⋅

=

⋅

∀=Φ

−

&

( )

73.2

61

60

7.94

2581.9

22

2

22 =

⋅

⋅=

⋅

⋅=

ms

ms

m

D N

H gψ

( ) RPM N

m N

m

s

m

m

m6.1895

3.060

2581.9

73.22

2

2

=⋅

⋅

=

( ) s

m

ms

m

m3

31

603.03.0_

60

6.1895707.0 =∀⇒

⋅

∀=

−

&&

La eficiencia del modelo la encontramos usando la ecuación de Hutton.

8977.07.03.01

93.012.0

2

=

⋅

⋅+=

−

−

D N

D N mm

mη

Aplicando (2.27) y (2.28) al modelo se tiene:

KW MW W m xs

m x

m

N x x BHP

H BHP

m

mmmm

76.13213276.07.13276325603.081.910389777.03

3 ====

∀⋅⋅= &γ η

Ejemplo 2.7




Un ventilador centrífugo fue seleccionado para suministrar una cabeza de 2 in.c.a. y un caudal de 7680 CFM. Del catálogose obtuvieron los siguientes datos:

•

Área de salida 5.12 ft2 • Diámetro del rotor 22 1/4 in• Velocidad de giro 1170 RPM

•

Potencia al freno 3.42 HP• Velocidad del aire a la salida 1500 fpm (7680 cfm / 5.12 ft2)

Usando los datos obtenidos de catálogo determinar:

a) Cabeza dinámica (VP) y total (TP) para el ventiladorb) Determinar la potencia del fluido calculada con la cabeza totalc) Calcular eficiencia estática y eficiencia totald) Calcular los coeficientes de energía y caudal

a) La cabeza dinámica

g

V H d

2

2

= , siendo V la velocidad del fluido, en este caso aire, por lo tanto Hd se expresa en

metros columna de aire y su valor en columna de agua se designa como VP. La presión dinámica es independiente delfluido de medición es decir:

Presión = γ agua VP = γ air Hd (3.20)

Despejando =g

V VP

agua

air

2

2

γ

γ = (3.21)

La ecuación (2.31) se reduce a (2.32) al insertar los valores correspondientes a los pesos específicos y gravedad (véaseejemplo 3.2)

2

4010

= V

VP , donde V: m/s

VP: in.c.a.

Para este ejemplo ...1399.04010

12.5 / 76802

acinVP =

= y TP = SP + VP: Cabeza total (2.33) TP = 2 + 0.14 = 2.14 in.c.a.

b)

6356

TPCfmWHP

×= (2.34)

Esta ecuación (2.34) se puede deducir a partir de la ecuación (1.15)

HPWHP 586.26356

14.27680 ×=

c)

756.042.36356

14.27680

;7066.042.36356

27680

6356

=×

×==

=×

×=

×==

η η

η η

y BHP

WHP

ySPCfm

BHP

WHP

Def

st

st Def

st

d)

Para el caso de los ventiladores la cabeza se calculará en columna de aire:




TP H donde D N

H g

aire

agua

λ

γ ψ =

⋅

⋅= ,

22

22 D N

TPgaire

agua

⋅

⋅

= λ

γ

ψ (2.35)

6558.3

12

25.22

60

1170

1214.2

075.047.622.32

22 =

⋅

⋅

=

ft

ft

ψ

03.1

12

25.221170

76803

3

3 =

⋅

=⋅

∀=Φ

ft min

min ft

D N

&

Observe que la ecuación (2.35) puede escribirse como: ψ = 1.158 x 109 22 D N

TP

adsPu D

RPM N

acinTP

lg:

:

...:

(2.36)

Ejemplo 2.8

Un modelo con un diámetro de 12 in será ensayado bajo la misma cabeza del ejemplo 2.7Estime la velocidad de rotación, rata de caudal, eficiencia y potencia al freno si el modelo es una máquina de la mismafamilia del ventilador del ejemplo 2.7 Cual es la velocidad específica adimensional?

Usando (2.14) para el cálculo de Φ y (2.63) para el calcular ψ se obtendrá:

03.1

12

25.221170

76803

3

=

⋅

=Φ

ft min

min ft

ψ = 1.158 x 109 65.325.221170

14.222

=

Para el modelo:

ψ = 3.65 = 1.158 x 109 RPM N N

m

m

4.217112

14.222

=⇒

Cfmm 5.2236

12

124.2171

03.1 3 =∀⇒

⋅

∀==Φ &&

( )384.0

65.3

03.1

43

43

==Φ

=ψ

SA N

362.103.1

65.344

==Φ

= ψ

SA D




De la ecuación de Ackeret podemos obtener la eficiencia del modelo [3]

+

−−=

2.0

Re

Re1

2

11 mmη

η

698.025.221170

124.217112

11

2.0

2

2

=⇒

××+−−= m

m η η η

m

mm

m

m TPCfmWHP BHP

η η ⋅

×==

6356

HP BHP 079.1698.06356

14.25.2236=

⋅

×= , Observe que WHPm = 0.753 HP

2.11 Experiencia en la UTP Experiencias en el área de ventiladores realizadas en el laboratorio de fluidos y máquinas hidráulicas de la UTP se describen

en las referencias [5] y [7]. Las figuras 2.2 y 2.3 muestran fotografías de las instalaciones para pruebas con ventiladores.Véase también figura 1.4 y 1.5 donde se muestra un banco de pruebas para máquinas hidráulicas usado por la referencia [2]es un trabajo experimental validar los números adimensionales.

Figura 2.2 Equipo para prueba de ventilador con ducto en la descarga

Figura 2.3 Equipo para obtener perfil de velocidad en un flujo totalmente desarrollado

Ejemplo 2.9Demostrar que en general los números adimensionales son una relación entre las fuerzas asociadas a la propiedad ocaracterística del fluido y las fuerzas de Inercia. Para dicho propósito utilice losπ de el flujo general de fluidos.

Para flujos general de fluidos las variables que se tienen son:

m = 9, n = 3, m-n = 6. Los números adimensionales se forman entre las variables de repetición (D, V,ρ) y cada una de lasdemás variables son seis:

D

V

B

V DV

DV

V

P

D

S ⋅

⋅=

⋅=

⋅=

⋅⋅=

⋅

∆==

γ

ρ π

ρ π

δ

ρ π

µ

ρ π

ρ π

λ π

2

6

2

5

2

4

3221

,,

,,,

Las fuerzas de inercia (F1) se calculan a partir de la segunda ley de Newton:

( ) ( ) 211 V A

dt

dxV AF

dt

V X Ad

dt

mV d F ⋅⋅=⋅⋅=∴

⋅⋅⋅== ρ ρ

ρ

Si la velocidad es uniforme:

Para el caso de1

222F

F

AV

F

V

A

F

PP

P

=⋅⋅

=⋅

= ρ ρ

π , donde A

F P P=∆ , Fuerza de presión/Área




Para el caso de A

F

DV DV

DV

DV DV

t

2222

3

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

ρ

τ

ρ

τ

ρ

µ

ρ π

Donde Fτ: Fuerzas viscosas. Recuerde queγ

µ τ d

dV = y en tuberías con flujo uniforme

D

V µ τ = . Por lo anterior:

AF

F AF

V A

µ µ π

ρ π 13

2

3 =⇒⋅⋅

= La anterior relación nos muestra que el número de Reynolds es la relación entre fuerzas

viscosas y las de inercia,

DF

DV

S

⋅

⋅⋅=

π

ρ π

2

4, si el perímetro es circunferencia, este es igual aπD, por lo tanto:

S S S S F

F

F

AV

F

DV

F

DV 12222

4 444

4 =⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

ρ π ρ ρ π π

El anterior resultado muestra que el número de Weber es una relación entre las fuerzas de tensión superficial (Fs) y las deInercia (FI)

e

e

v

ee

v

v

F

F

F

AV

AF

V

P

V

B

V ξ ξ

ρ ξ ρ

ξ

ρ ρ π 1

2222

5 =⋅⋅

=⋅⋅

=∆

⋅=

⋅= . El módulo de compresibilidad es igual al cambio de presión ∆P

dividido por la deformación volumétrica ξV. Observe que π5 es una relación entre fuerzas elásticas y de inercia o viceversa.

D

L

F

F

D

L

F

AV

DF

V

D

V 1222

6 =⋅⋅

=

∀

⋅=

⋅

⋅=

ρ ρ

γ

ρ π

Observe que el número π6 es una relación entre las fuerzas gravitacionales

(peso F) y las fuerzas de inercia.

2.12 Otras definiciones del Coeficiente de Energía

Se ha deducido para las máquinas hidráulicas el coeficiente de energía como22 D N

gH . este número es extensible a las

demás máquinas de fluido, sin embargo, la literatura reporta el coeficiente de energía como:

)38.2()37.2(2 2

2

2

2

U

gH o

U

gH Def

a

Def

U == ψ ψ La relación entre ψ U y ψ a es 2

¿Cuál es la relación entre estas definiciones y ψ ?

aU

gH

D

DU

gH

D N

gH ψ π π

π

ψ 22

2

2

22

222

22 ==== (2.39)

La ecuación anterior permite entonces concluir: ψ = π2 ψ a = π2 ψ u /2 (2.40)

Ejemplo 2.10Calcular el coeficiente de energía del ejemplo 2.7, acorde con las definiciones dadas en (2.37) y (2.38).

ψ = 3.65, según el ejemplo 2.7 Aplicando (2.40)

ψ a = 3.65/ π2 = 0.3698

ψ U = 2 x ψ a = 0.7396

Del anterior resultado se concluye que el significado físico del coeficiente de energía es el mismo para cualquier definición,no así el resultado o el valor numérico.




Auto Evaluación Capitulo II2.1. Elaborar la definición de fuerza en los sistemas de ingeniería2.2. Que son el calor y el trabajo ?

2.3.

Clasificación de las variables físicas2.4. Usando el teorema de buckingham deducir los números adimensionales para las máquinas hidráulicas y el flujo ensuperficies sumergidas.

2.5. Explicar que son las fuerzas de sustentación y arrastre.2.6.

Explicar el significado físico de los números adimensionales en las máquinas térmicas y en el flujo general de fluido.2.7.

Que se define como “Similitud Física Perfecta”2.8.

Que se define como máquinas reales semejantes, como están relacionadas sus eficiencias ?2.9. Que se define como velocidad especifica y diámetro especifico ?2.10. Que son los factores de escala ?2.11. Que se define como velocidad especifica y diámetro especifico ? Como se relacionan estos números con la velocidad

del fabricante ?2.12. Que otras definiciones del coeficiente de energía ψ reporta la literatura inglesa y la europea ?

Problemas Propuestos Capitulo II2.1.

Cuantas lbf pesan 20kg de mercurio y 20 kg. de agua sometidas a campos gravitatorios de 9.3 m/s2 y 8.7 m/s2 ?2.2.

Calcular la velocidad del sonido en el acero y en el agua. Temperatura de los medios elásticos 21 C. Compare con elresultado del ejemplo 2.2 donde se calcula la velocidad del aire.

2.3. Demostrar analíticamente que el número π4 de las máquinas térmicas relaciona las fuerzas viscosas con las de inercia. R/: Fµ / F1 = π4

2.4.

Aplicar el teorema de π para concentrar los números adimensionales en los siguientes fenómenos:a) Flujo general de fluidosb) Flujo incompresible en tuberíasc) Máquinas Hidráulicasd) Flujo en superficie sumergidase) Transferencia de calor por convección

Use tablas 2.5 y 2.6R/: Véase tabla 2.6

2.5. Las máquinas que intervienen en el flujo general de fluidos están dadas por:F (λ, D, V, ρ, γ , µ, B, δS, ∆P) = 0a) Enumere las variables de repeticiónb) Cuántos números adimensionales describirán el fenómeno?c) Cuál es la expresión de las fuerzas de inercia?d) Deduzca los números adimensionales partiendo únicamente de su significado físico

R/: a) ρ, V, D. b) 6. c) FI = ρ V2 A d) D

V B

V DV DV V

P D S ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

∆γ

ρ ρ δ

ρ µ

ρ ρ

λ 222

,,,,,

2.6. Dar las expresiones para los coeficientes de energía caudal y potencia. Escribir ;as ecuaciones para el BHP y el

WHP de una máquina generadora en función de dichos coeficientesR/: BHP = η WHP, WHP = Φτ (ρ N3 D5)

2.7. Una caldera de vapor en la caldera es T1. El generador es de dos pares de polos para 60 Hz. ¿Cuál deberá ser lacantidad de vapor del mismo tipo a suministrar en la caldera, para el mismo salto, si la generación será a 50 Hz?¿Cuáles son las velocidades sincrónicas?

2.8.

Calcular el coeficiente de energía de un ventilador que maneja 100 mm.c.a. de cabeza total y un caudal de 5 m3 /s. Lavelocidad de giro es 900 RPM y el diámetro 50 cm. (b) Aplique 2.36R/: ψ = 10.09, ψ a = 1.0226 (b) ψ = 10.09

2.9.

Si el coeficiente de energía estuviese definido como2

2

U

H g aire

U

⋅⋅=ψ , demostrar que el diámetro del rotor de un




ventilador está dado porU

TP

N D

ψ

31053.1 ×= , en pulgadas, N: RPM y TP: in.c.a. = H

agua

aire

γ

γ

2.10.

Un ventilador tiene 36.5 in de diámetro y puede suministrar 5.5 in.c.a. de cabeza estática. Siψ U = 0.8, ¿Cuánto es lavelocidad de giro en RPM y RPS?R/: 1900 RPM, 18.34 RPS

2.11.

Un ventilador turbo axial tiene 36.5 cm de diámetro en la carcaza, 36.2 de diámetro en el rotor y 14 cm en el cubo.a) ¿Cuánto debe ser la cabeza total del ventilador si gira a 1800 RPM, suministrando un caudal de 1060 Cfm y mediapulgada columna de agua de cabeza estática?b) Calcular el WHP, el coeficiente de energía el coeficiente de caudal y la velocidad específica NSA c) El coeficiente de velocidad Φ = Va / U, siendo Va la velocidad axial del fluido.R/: a) 0.5788 in.c.a. b) WHP = 0.0965 HP,ψ = 1.0185, Φ = 0.417, NSA = 0.637 c) Φ = 0.1676

2.12. Si el caudal de un ventilador es 7680 Cfm y el área de la boca de salida es 5.12 ft2. ¿Cuánto es la velocidad a ladescarga en pies por minuto y cual la cabeza de velocidad?R/: VP = 0.14 in.c.a., TP = 2.14 in.c.a.

2.13. Para un ventilador que gira a 800 RPM con caudal de 800 Cfm y área de salida de 6 ft2, determine:a) El coeficiente de energía si el diámetro es 28.37 in y la presión estática es 3.5 in.c.a.b) Calcule el coeficiente de caudal

c) Calcule la velocidad específica NSA.d) Calcular NSA para ∀& : Cfm, TP: in.c.a., N: RPMR/: a) 7.9036. b) 0.75677. c) 0.18455. d) 27318.38

2.14.

Justificar las expresiones 2.32 y 2.332.15. Resolver 2.10 si la cabeza dinámica no es mas del 10% de la cabeza estática2.16. Estimar la velocidad específica y el diámetro específico de una turbomáquina de coeficiente de energía ψ a = 0.46 y

un coeficiente de caudal de 0.414.2.17. Un ventilador centrífugo maneja 4 m3 /s a una cabeza de 90 mm.c.a. Determine

a) Cabeza total a la descarga del ventilador si el área de salida es 0.464 m2.b) ¿Cuánto debe ser el diámetro del rotor si el coeficente de energíaψ a = 0.5? Velocidad de giro 900 RPMc) ¿Cuánto debe ser el coeficiente de caudal?d) ¿Cuanto es la potencia teórica considerando♦

Flujo incompresible?♦ Flujo Compresible?, donde k = 1.4e) Consideremos el proceso politrópico con una constante politrópica n = 1.2, ¿Cuánto es la potencia politrópica?

Considere el aire admitido a condiciones de 21 ºC y 1 ata

BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO II

[1] BOYLE, O. E. Turbomachines. New York: Jhon Wiley and sons, 1981[2] HURTADO REYES, Eduardo. Diseño, Construcción y Prueba de un rotor para la Bomba Centrífuga del

Laboratorio Hidráulicas. Pereira, Colombia: Proyecto de grado para obtar al título de Ingeniero Mecánico, Octubre1974

[3] MASANAS TARDAN, José. Ventiladores y Turbocompresores. Barcelona, Marcombo, 1966.

[4] MATAIX, Claudio. Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas. Santa fe de Bogotá: Harla, 1982.[5] MOSQUERA, Jorge y CARDONA, Hernando. Diseño y Montaje de una Instalación para prueba de Ventiladores.

Pereira UTP, 1977.[6] SANS, Luis F. Máquinas de vapor (Notas de clase). Pereira UTP, 1977.[7] SANTA, Oscar H. y CARDENAS, Alberto. Diseño y Construcción del Equipo para obtener el perfil del Ventilador

en un flujo de aire totalmente desarrollado. Pereira: UTP, 1976[8] SEARS W. Francis y MARK W. Zemansley. Física. Madrid: Aguilar S.A., 1996.[9] SHEPARD, D. G. Principles of Turbomachinery. New York, Mc Millan, 1956.[10] SHEETER, Victor L y WYLE E. Benjamin. Mecánica de Fluidos. Santa Fe de Bogotá: Mc Graw Hill, 1979.[11] TURTON, R. K. Principles of Turbomachinery. London: SPON, 1984.

capitulo ii análisis dimensional de tm y mdp

Documents