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CAPITULO II.FUNCIONES DEVARIABLE REAL
SECCIONES
A. Dominio e imagen de una funcion.
B. Representacion grafica de funciones.
C. Operaciones con funciones.
D. Ejercicios propuestos.
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A. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCION.
Una relacion entre dos conjuntos X e Y de numeros reales que hace corres-ponder a cada elemento ”x” del primer conjunto un solo elemento ”y” delsegundo conjunto se llama funcion de ”y” respecto a ”x”. Dicha relacionviene expresada por una ecuacion en dos variables y = f(x).
El conjunto de numeros reales ”x” para los cuales la formula que define lafuncion produce valores tambien reales se llama dominio de la funcion. Ensımbolos,
D(f) = {x ∈ R : ∃y ∈ R, y = f(x)}
El conjunto de valores ”y” que se obtienen como resultado de aplicar laformula que define la funcion a los valores del dominio se llama imagen orango de la funcion.
R(f) = {y ∈ R : ∃x ∈ D(f), y = f(x)}
Graficamente, el dominio corresponde a los valores del eje de abscisas (X)en los cuales la funcion se puede representar.
La imagen corresponde a los puntos del eje de ordenadas (Y ) para los queexiste grafica.
PROBLEMA 2.1.
Determinar las funciones a las que da lugar la ecuacion de lacircunferencia x2 + y2 = r2.
Solucion
La ecuacion x2 + y2 = r2 no corresponde a una funcion. Pero si escribi-mos y = ±
√r2 − x2, obtenemos dos funciones cuyo dominio es el intervalo
cerrado [−r, r] para ambas, mientras que las imagenes son diferentes: parala primera funcion es [0, r] y para la segunda, [−r, 0]. Las graficas son lasque se muestran a continuacion.
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y =√
r2 − x2 y = −√
r2 − x2
PROBLEMA 2.2.
¿Cual (o cuales) de las ecuaciones y = x2, x = y2 corresponde auna funcion de y respecto a x?
Solucion
Las ecuaciones y = x2, x = y2 representan dos parabolas. La primera deellas es una funcion pero la segunda no es funcion. Sin embargo, da lu-gar a dos funciones y =
√x e y = −
√x. Las graficas son las siguientes:
y = x2 y =√
x y = −√
x
De las graficas se observa que el dominio de y = x2 es todo R y la imagenel conjunto [0,∞). El dominio de y =
√x e y = −
√x es el intervalo [0,∞),
la imagen de la primera es tambien el intervalo [0,∞) y la de la segunda(−∞, 0].
PROBLEMA 2.3.
Encontrar el dominio y el rango de la funcion y =√
1− x.
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Solucion.
Para poder efectuar la raız, el radicando debe ser no negativo. Es decir,tenemos que resolver la inecuacion 1 − x ≥ 0. La solucion es 1 ≥ x, o bienx ∈ (−∞, 1].
El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operacion√1− x. Como 1 − x ≥ 0, las raıces de numeros positivos dan numeros
positivos y no falta ninguno. Ası que la imagen es el intervalo [0,∞).
PROBLEMA 2.4.
Encontrar el dominio y el rango de la funcion y =(√
x + 2)2
.
Solucion.
De nuevo necesitamos efectuar una raız cuadrada, para lo cual plantearemosla inecuacion x + 2 ≥ 0. La solucion es x ≥ −2, o bien, x ∈ [−2,∞).
El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operacion(√x + 2
)2. La raız cuadrada da resultados positivos y al elevarlos al cua-drado el resultado tambien es positivo. De nuevo la imagen es el intervalo[0,∞).
Observacion: No se puede confundir la funcion anterior con la funcion y =x + 2, pues el dominio de esta ultima son todos los reales. La simplificacionde la raız con el cuadrado sı es posible pero solo para los valores de x ≥ −2,que son los del dominio de la funcion.
PROBLEMA 2.5.
Encontrar el dominio y el rango de la funcion y =1
cos(x2).
Solucion.
En este caso aparece una division, que es una operacion valida para numerosreales no nulos. Debemos plantear la inecuacion cos(x2) 6= 0.
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Como la funcion coseno se anula en los valores ±π/2,±3π/2,±5π/2, . . . , de-be ser x2 6= ±π/2,±3π/2,±5π/2, . . . , es decir, x 6= ±
√π/2,±
√3π/2,±
√5π/2, . . .
Todos estos valores formaran el dominio.
Como la funcion coseno toma valores comprendidos entre −1 y 1, la divisionde 1 entre numeros x ∈ [−1, 1] resultan numeros mayores que uno, o menoresque -1.
El rango o imagen sera entonces la union de los intervalos [−∞,−1] y [1,∞).
PROBLEMA 2.6.
Calcular el dominio de la funcion y =
√x− 32x + 1
.
Solucion.
En este caso aparece una division dentro de una raız cuadrada. Debemosplantear dos inecuaciones, una que permita la division y otra que permitala raız.
(a) 2x + 1 6= 0; (b) (x− 3)/(2x + 1) ≥ 0.
Al despejar x de (a), resulta x 6= −1/2.
Para resolver (b) es conveniente construir una tabla de signos para el nume-rador y el denominador y operarlos de acuerdo a las reglas de productos (ococientes) de signos. En resumen tenemos:
x < −1/2 −1/2 < x < 3 x > 3
x− 3 – – +
2x + 1 – + +
(x− 3)/(2x + 1) + – +
Esto nos dice que (b) es cierto cuando x ≤ −1/2 o cuando x ≥ 3.
Reuniendo (a) y (b) queda en definitiva que el dominio de la funcion es launion de los intervalos (−∞,−1/2) y [3,∞).
PROBLEMA 2.7.
Calcular el dominio de la funcion y =√|x| − 2x.
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Solucion.
En este caso aparece un valor absoluto dentro de una raız cuadrada. Alplantear la inecuacion |x| − 2x ≥ 0, habra que separarla en dos casos deacuerdo al signo de la expresion que aparece dentro del valor absoluto.
(a) x− 2x ≥ 0 si x ≥ 0 =⇒ −x ≥ 0 si x ≥ 0 =⇒ x = 0.
(b) −x− 2x ≥ 0 si x < 0 =⇒ −3x ≥ 0 si x < 0 =⇒ x < 0.
En definitiva, la solucion sera la union de los valores obtenidos en (a) y en(b), es decir, el intervalo (−∞, 0].
PROBLEMA 2.8.
Encontrar el dominio de las funciones definidas por las siguientesformulas:
a) f(x) =√
1− x2.
b) f(x) =√
1−√
1− x2.
c) f(x) =1
x− 1+
1x− 2
.
d) f(x) =√
1− x2 +√
x2 − 1.
e) f(x) =√
2x2 − x− 1.
Solucion
a) f(x) =√
1− x2 esta definida cuando 1−x2 ≥ 0. Al resolver la inecuaciontenemos:
1 ≥ x2 ⇐⇒ |x|2 ≤ 1 ⇐⇒ |x| ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1.
En definitiva, D(f) = {x : |x| ≤ 1} = [−1, 1].
b) f(x) =√
1−√
1− x2 tiene sentido para 1−√
1− x2 ≥ 0 y 1− x2 ≥ 0.De aquı obtenemos:
1−√
1− x2 ≥ 0 ⇐⇒ 1 ≥√
1− x2 ⇐⇒ 1 ≥ 1−x2 ⇐⇒ 0 ≥ −x2 ⇐⇒ x ∈ R;
1− x2 ≥ 0 ⇐⇒ 1 ≥ x2 ⇐⇒ |x| ≤ 1.
Se obtiene de lo anterior que D(f) = {x : |x| ≤ 1} = [−1, 1].
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c) f(x) =1
x− 1+
1x− 2
no esta definida unicamente cuando x = 1 y x = 2,
por lo que D(f) = {x : x 6= 1, x 6= 2} = R \ {1, 2}.
d) f(x) =√
1− x2 +√
x2 − 1 esta definida cuando 1−x2 ≥ 0 y x2−1 ≥ 0,es decir, cuando 1 ≥ |x| y |x| ≥ 1, lo que da en definitiva |x| = 1, obien, el conjunto {−1, 1}.
e) El dominio de la funcion es el conjunto de puntos para los que 2x2−x−1 ≥ 0. Como las raıces del polinomio son x = 1, x = −1/2, debemosresolver la inecuacion 2(x − 1)(x + 1/2) ≥ 0. Haciendo una tabla designos como en el problema 2.6 tenemos que D(f) = (∞,−1/2]∪[1,∞).
PROBLEMA 2.9.
Encontrar el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x) =√
1− x +√
x− 2.
b) f(x) =x2
1− cos x.
c) f(x) =x
1 + x2.
d) f(x) = ln(arc senx).
e) f(x) =lnx
sen(lnx).
f) f(x) =1
x− |x|.
g) f(x) =√−x +
1√2 + x
.
Solucion
a) El dominio de f(x) =√
1− x +√
x− 2 sera el conjunto de puntos paralos que 1− x ≥ 0 y x− 2 ≥ 0.
Por una parte, 1− x ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 1 y por otra, x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 2;la interseccion de ambos conjuntos es el vacıo. Por tanto, D(f) = ∅.
b) Si f(x) =x2
1− cos x, debe ser 1 − cos x 6= 0, es decir cos x 6= 1. Esto da
lugar al conjunto D(f) = R \ {2kπ | k ∈ Z}.
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c) Como el denominador de la funcion f(x) =x
1 + x2nunca se anula, el
dominio es todo R.
d) Si f(x) = ln(arc senx), ha de ser arc senx > 0 lo cual ocurre cuando0 < x ≤ 1. Luego D(f) = (0, 1].
e) El dominio de la funcion f(x) =lnx
sen(lnx)sera el conjunto interseccion
de x > 0 y sen(lnx) 6= 0. Pero
sen(lnx) = 0 ⇐⇒ lnx = kπ con k ∈ Z ⇐⇒ x = ekπ.
En definitiva, D(f) = {x | x > 0 y x 6= ekπ con k ∈ Z}.
f) Para que f(x) =1
x− |x|este definida, debe ser x − |x| 6= 0, es decir
x 6= |x|, lo cual ocurre si x < 0. Por tanto, D(f) = (−∞, 0).
g) El dominio de f(x) =√−x +
1√2 + x
se obtiene como solucion de las
inecuaciones −x ≥ 0 y 2 + x > 0. Esto da el conjunto x ≤ 0, x > −2,es decir el intervalo (−2, 0].
B. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES.
Se llama grafica de una funcion al conjunto de puntos en el plano que verifi-can la formula que define dicha funcion. La abscisa de los puntos correspondea la variable independiente y la ordenada a la variable dependiente.
G(f) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D(f), y = f(x)}
Para dibujar una funcion hay que tener en cuenta la forma en que esta de-finida. Ası, si la funcion es de la forma
(a) y = ax + b, sera una recta y bastan dos puntos de la misma.
(b) y = ax2 + bx+ c, sera una parabola y se necesita el vertice y los puntosdonde corta a alguno de los ejes.
Otra forma sera escribirla como y = a(x−h)2 + k y deducir su graficade la de y = x2 como veremos en los ejemplos siguientes.
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(c) y =ax + b
cx + drepresenta una hiperbola, la cual se podra escribir como
y = m +n
x + py dibujarla mediante transformaciones de y = 1/x.
(d) y = |f(x)| corresponde al valor absoluto de la funcion f(x). Se repre-senta la funcion y = f(x) y de la parte que quedo debajo del eje Y setoman los puntos simetricos respecto a este eje.
(e) Si la funcion esta definida de diferentes maneras en distintos inter-valos I1, . . . , In de numeros reales, es decir tiene la forma general
f(x) =
f1(x) si x ∈ I1
. . .
fn(x) si x ∈ In,
habra que dibujar por separado la fun-
cion que corresponde a cada uno de los intervalos, para despues reunirsus partes.
PROBLEMA 2.10.
Dibujar la grafica de la funcion f(x) = | − x + 1/4|.
Solucion
En primer lugar dibujamos la grafica de y = −x + 1/4 para despues tra-zar la grafica simetrica respecto al eje X de la parte negativa. Resulta:
y = −x + 1/4 y = | − x + 1/4|
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PROBLEMA 2.11.
Trazar la grafica de las siguientes funciones:
a) f(x) = [x] (donde [x] representa el mayor entero que es menor oigual a x).
b) f(x) = [x]− x.
c) f(x) = {x} (donde {x} es la distancia de x al entero mas proximo).
Solucion
a) La funcion [x] (llamada parte entera de x) es constante en cada intervalode la forma [n, n + 1) donde n es un numero entero. Tenemos:
-2 -1
0 1 2 3
b) Debido al apartado anterior, [x]−x = n−x si x ∈ [n, n+1), resultandosiempre la parte decimal del numero x cambiada de signo (pues nrepresenta la parte entera que se resta). La grafica se repite en todoslos intervalos [n, n + 1), con n ∈ Z, lo que quiere decir que la funciones periodica de perıodo 1.
c) En este caso tambien la funcion es periodica y la grafica queda de laforma:
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PROBLEMA 2.12.
Dibujar la grafica de la funcion y =
{x2 si |x| < 2,
1 si |x| ≥ 2.
Solucion
La parabola y = x2 se debe representar en el intervalo (−2, 2) que equivalea |x| < 2. Fuera de este intervalo, la grafica es una recta horizontal y = 1.
PROBLEMA 2.13.
Dibujar la grafica de la funcion y = 2− 1x.
Solucion
Esta grafica se obtiene a partir de la grafica de y = 1/x mediante dostransformaciones: un cambio de signo que produce una simetrıa respectoal eje X y la suma de dos unidades lo que origina que la grafica suba dosunidades respecto al eje Y . La sucesion de graficas es la siguiente:
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y = 1/x y = −1/x y = 2− 1/x
PROBLEMA 2.14.
Dada la funcion f(x) = −(x2 − x), dibujar la grafica de la funciony = |f(x)|.
Solucion
Como | − (x2 − x)| = |x2 − x|, vamos a dibujar y = x2 − x, y despues tomarsu valor absoluto.
Podemos escribir, completando cuadrados, x2 − x = (x2 − x + 1/4)− 1/4 =(x− 1/2)2 − 1/4.
La secuencia de graficas a dibujar sera (a) y = x2; (b) y = (x − 1/2)2; (c)y = (x− 1/2)2 − 1/4.
La parte (b) se obtiene trasladando el vertice media unidad a la derecha, yla parte (c) bajando la grafica 1/4 respecto al eje Y .
y = x2 y = (x− 1/2)2 y = (x− 1/2)2 − 1/4
En definitiva, tenemos:
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y = |x2 − x|
PROBLEMA 2.15.
Representar graficamente la funcion f(x) =|x|
1 + |x|.
Solucion
Escribimos la funcion segun el signo de x como f(x) =
{x
1+x si x ≥ 0,−x1−x si x < 0.
Por tanto basta dibujar las funciones f1(x) =x
1 + xy f2(x) =
−x
1− xy ob-
tener a partir de ellas la funcion f(x).
Si escribimos f1(x) = 1− 11 + x
y f2(x) = 1 +1
x− 1, podemos representar
la siguiente secuencia de graficas:
y = −1/x y =−1
1 + xy = 1− 1
1 + x
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y = 1/x y =1
x− 1y = 1 +
1x− 1
Reuniendo las dos graficas en una, resulta en definitiva
f(x) =|x|
1 + |x|
PROBLEMA 2.16.
Dibujar el conjunto de los puntos (x, y) que satisfacen las siguientesrelaciones
a) |x|+ |y| = 1.
b) |x| − |y| = 1.
c) |x− 1| = |y − 1|.
d) x2 + y2 = 0.
e) xy = 0.
f) x2 − 2x + y2 = y.
g) x2 = y2.
h) x = y2.
i) x = |y|.
60
Solucion
a) En cada uno de los cuadrantes la relacion es de la forma:
x, y ≥ 0 : x + y = 1, es decir y = 1− x;x ≥ 0, y < 0 : x− y = 1, es decir y = x− 1;
x, y < 0 : −x− y = 1, es decir y = −1− x;x < 0, y ≥ 0 : −x + y = 1, es decir y = 1 + x.
Resulta en definitiva,
1
-1 1
-1
b) Analogamente al apartado anterior, descomponemos la ecuacion segunlos signos de x e y:
x, y ≥ 0 : x− y = 1, es decir y = x− 1;x ≥ 0, y < 0 : x + y = 1, es decir y = 1− x;
x, y < 0 : −x + y = 1, es decir y = 1 + x;x < 0, y ≥ 0 : −x− y = 1, es decir y = −1− x.
-1 1
61
c) En este caso descomponemos la ecuacion segun los signos de x − 1 ey − 1:
x, y ≥ 1 : x− 1 = y − 1, es decir y = x;x ≥ 1, y < 1 : x− 1 = 1− y, es decir y = 2− x;
x, y < 1 : 1− x = 1− y, es decir y = x;x < 1, y ≥ 1 : 1− x = y − 1, es decir y = 2− x.
2
1
0 1 2
d) x2 + y2 = 0 ⇐⇒ x = y = 0. La solucion es el origen.
e) xy = 0 ⇐⇒ x = 0 o y = 0. La solucion esta formada por los ejes decoordenadas.
f) x2 − 2x + y2 = y es la ecuacion de una circunferencia. Para determinarel centro y radio, la escribiremos como suma de cuadrados:
x2 − 2x + y2 − y = 0 ⇐⇒ (x− 1)2 + (y − 1/2)2 = 1 + 1/4 = 5/4.
Se trata pues de la ecuacion de una circunferencia de centro (1, 1/2) yradio
√5/2.
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g) x2 = y2 ⇐⇒ |x| = |y|.
En el primero y tercer cuadrantes, x = y, mientras que en el segundoy cuarto, x = −y.
h) x = y2 es la ecuacion de una parabola cuya grafica es la siguiente:
i) x = |y| ⇐⇒
{x = y si y ≥ 0,
x = −y si y < 0.
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C. OPERACIONES CON FUNCIONES.
Las operaciones comunes con numeros reales se pueden definir para las fun-ciones. Tenemos lo siguiente:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) y D(f + g) = D(f) ∩D(g).
2. (f − g)(x) = f(x)− g(x) y D(f − g) = D(f) ∩D(g).
3. (f · g)(x) = f(x) · g(x) y D(f · g) = D(f) ∩D(g).
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) y D(f/g) = D(f) ∩D(g) ∩ {x : g(x) 6= 0}.
5. (fn)(x) = [f(x)]n y D(fn) = D(f), si n ∈ N.
Ademas se define la composicion entre dos funciones ası:
6. (f ◦ g)(x) = f [g(x)], siendo D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f)}.
Cuando al componer dos funciones el resultado es la identidad (y = x), sedice que las funciones son inversas.
PROBLEMA 2.17.
Una funcion f es par si f(x) = f(−x), ∀x ∈ D(f), e impar sif(x) = −f(−x), ∀x ∈ D(f).
a) Determinar si f + g es par, impar o no necesariamente ningunade las dos cosas, en los cuatro casos obtenidos al tomar f par oimpar y g par o impar (las soluciones pueden estar conveniente-mente dispuestas en una tabla 2× 2).
b) Hagase lo mismo para f · g.
c) Idem para f ◦ g.
d) Demostrar que toda funcion par f puede escribirse de la formaf(x) = g(|x|) para una infinidad de funciones g.
Solucion
a)g\f PAR IMPAR
PAR par ni par ni impar
IMPAR ni par ni impar impar
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b)
g\f PAR IMPAR
PAR par impar
IMPAR impar par
c)
g\f PAR IMPAR
PAR par par
IMPAR par impar
d) Dada una funcion par f , basta definir g(x) = f(x) para x ≥ 0 y garbitraria para x < 0 para que f(x) = g(|x|).
PROBLEMA 2.18.
Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cualesson impares:
a) f(x) =ax + a−x
2.
b) f(x) =√
1 + x + x2 −√
1− x + x2.
c) f(x) = ln1 + x
1− x.
d) f(x) = 3√
(x + 1)2 + 3√
(x− 1)2.
e) f(x) = ln(x +√
1 + x2).
Solucion
a) Como f(−x) = (a−x + ax)/2 = f(x), la funcion es par.
b) La funcion es impar porque
f(−x) =√
1− x + (−x)2 −√
1 + x + (−x)2
=√
1− x + x2 −√
1 + x + x2 = −f(x).
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c) Si escribimos f(x) = ln1 + x
1− x= ln(1 + x)− ln(1− x), entonces
f(−x) = ln1− x
1 + x= ln(1− x)− ln(1 + x) = −f(x).
La funcion es impar.
d) Como f(−x) = 3√
(−x + 1)2 + 3√
(−x− 1)2 = 3√
(x− 1)2 + 3√
(x + 1)2 =f(x), la funcion es par.
e) Podemos escribir f(−x) = ln(−x +√
1 + (−x)2) = ln(−x +√
1 + x2).Como
f(x) + f(−x) = ln(x +√
1 + x2) + ln(−x +√
1 + x2)
= ln(x +√
1 + x2)(−x +√
1 + x2)
= ln((√
1 + x2)2 − x2)
= ln 1 = 0,
se deduce que f(x) = −f(−x) y la funcion es impar.
PROBLEMA 2.19.
Sea f(x) =1
1 + x. Interpretar lo siguiente, averiguando los valores
de x para los que tiene sentido:
a) f(f(x))
b) f(1/x).
c) f(cx).
d) f(x + y).
e) f(x) + f(y).
f) ¿Para que numeros c existe x tal que f(cx) = f(x)?
Solucion
a) f(f(x)) = f
(1
1 + x
)=
11 + 1
1+x
=1
x+1+11+x
=x + 1x + 2
.
Tiene sentido para x 6= −1 y x 6= −2.
b) f(1/x) =1
1 + 1x
=1
x+1x
=x
x + 1.
Tiene sentido para x 6= 0 y x 6= −1.
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c) f(cx) =1
1 + cx.
Tiene sentido para x 6= −1/c si c 6= 0.
d) f(x + y) =1
1 + (x + y).
Tiene sentido cuando x + y 6= −1.
e) f(x) + f(y) =1
1 + x+
11 + y
=x + y + 2
(x + 1)(y + 1).
Tiene sentido para x 6= −1 e y 6= −1.
f) f(cx) = f(x) =⇒ 11 + cx
=1
1 + x.
Para que tenga sentido, debe ser x 6= −1/c si c 6= 0 y x 6= −1. En estasituacion,
11 + cx
=1
1 + x=⇒ 1 + x = 1 + cx =⇒ x = cx.
Si c = 1, se verifica para todo x ∈ R \ {−1} y si c 6= 1, se verifica solopara x = 0.
PROBLEMA 2.20.
Dadas las funciones f(x) = x + 1/x y g(x) =√
x + 1, encontrar lafuncion compuesta.
Solucion
A falta de informacion mas precisa, vamos a realizar las dos composicionesposibles dependiendo del orden en que se escriban las funciones (los resulta-dos seran diferentes pues la composicion no es conmutativa). Resulta:
(f ◦ g)(x) = f(√
x + 1)
=√
x + 1 +1√
x + 1;
(g ◦ f)(x) = g(x + 1/x) =√
x + (1/x) + 1.
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PROBLEMA 2.21.
Sea g(x) = x2 y sea h(x) =
{0 si x ∈ Q,
1 si x ∈ R \ Q.
a) ¿Para que valores de y es h(y) ≤ y?
b) ¿Para cuales es h(y) ≤ g(y)?
c) ¿Que es g(h(z))− h(z)?
d) ¿Para cuales w es g(w) ≤ w?
e) ¿Para cuales t es g(g(t)) = g(t)?
Solucion
a) Si y ∈ Q, h(y) = 0; en este caso, h(y) ≤ y cuando 0 ≤ y.
Si y 6∈ Q, h(y) = 1; en este caso, h(y) ≤ y cuando 1 ≤ y.
En definitiva, h(y) ≤ y en el conjunto
{y ∈ Q : y ≥ 0} ∪ {y ∈ R \ Q : y ≥ 1}.
b) Si y ∈ Q, h(y) ≤ g(y) si y solo si 0 ≤ y2, lo cual es cierto para todo y.
Si y 6∈ Q, h(y) ≤ g(y) si y solo si 1 ≤ y2, es decir, |y| ≥ 1.
En definitiva, h(y) ≤ g(y) en Q ∪ {y ∈ R \ Q : |y| ≥ 1}.
c) Si z ∈ Q, g(h(z))− h(z) = g(0)− 0 = 0.
Si z 6∈ Q, g(h(z))− h(z) = g(1)− 1 = 1− 1 = 0.
Luego, g(h(z))− h(z) = 0,∀z ∈ R.
d) g(w) ≤ w cuando w2 ≤ w, o bien w(w − 1) ≤ 0, cuya solucion es [0, 1].
e) g(g(t)) = g(t) equivale a
g(t2) = t2 ⇐⇒ t4 = t2 ⇐⇒ t2(t2 − 1) = t2(t− 1)(t + 1) = 0.
La solucion de esta ecuacion da los puntos {−1, 0, 1}.
68
PROBLEMA 2.22.
a) Supongase que H es una funcion e y un numero tal que H(H(y)) =y. ¿Cual es el valor de H(H(H(. . . (H(y) . . . ))) (80 veces)?
b) La misma pregunta sustituyendo 80 por 81.
c) La misma pregunta de a) si H(H(y)) = H(y).
Solucion
a) Por hipotesis H2(y) = H(H(y)) = y. Procediendo por recurrencia, ob-tenemos sucesivamente que
H3(y) = H(H2(y)) = H(y);H4(y) = H(H3(y)) = H(H(y)) = y;
. . .
H2n−1(y) = H(y);H2n(y) = y.
de modo que H(H(H(. . . (H(y) . . . ))) = H80(y) = y.
b) Por el mismo razonamiento anterior, H81(y) = H(H80(y)) = H(y).
c) Si H2(y) = H(H(y)) = H(y), H3(y) = H2(y) = H(y), y ası sucesiva-mente, se puede obtener por recurrencia que Hn(y) = H2(y) = H(y)y en particular, H80(y) = H(y).
PROBLEMA 2.23.
Dadas las funciones P (x) = 2x, Q(x) = x2, R(x) = senx, determi-nar los siguientes valores (en cada caso la solucion debe ser unnumero):
a) (Q ◦ P )(y).
b) (Q ◦R)(y).
c) (Q ◦ P ◦R)(t) + (R ◦ P )(t).
69
Solucion
a) (Q ◦ P )(y) = Q(P (y)) = Q(2y) = (2y)2 = 22y.
b) (Q ◦R)(y) = Q(R(y)) = Q(sen y) = sen2 y.
c) (Q ◦ P ◦R)(t) + (R ◦ P )(t) = (QP)(R(t)) + R(P (t)) = Q(P (sen t)) + R(2t)
= Q(2sen t) + sen(2t) = (2sen t)2 + sen(2t) = 22 sen t + sen(2t).
PROBLEMA 2.24.
Expresar cada una de las siguientes funciones en terminos de lasfunciones P (x) = 2x, Q(x) = x2, R(x) = senx.
a) f(x) = 2sen x.
b) f(x) = sen 2x.
c) f(x) = senx2.
d) f(x) = sen2 x.
e) f(t) = 22t.
f) f(u) = sen(2u + 2u2
).
g) f(y) = sen(sen
(sen
(222sen y )))
.
h) f(a) = 2sen2 a + sen a2 + 2sen(a2+sen a).
Solucion
a) f(x) = 2sen x = P (senx) = (P R)(x) =⇒ f = P R.
b) f(x) = sen 2x = R(2x) = (RP)(x) =⇒ f = RP.
c) f(x) = senx2 = R(x2) = (RQ)(x) =⇒ f = RQ.
d) f(x) = sen2 x = Q(senx) = (QR)(x) =⇒ f = QR.
e) f(t) = 22t= P (2t) = (P P)(t) =⇒ f = P P.
f) f(u) = sen(2u + 2u2
)= R
(2u + 2u2
)= R(P (u) + P (u2))
= R[P (u) + (P Q)(u)] = [R(P + P Q)](u) =⇒ f = R(P + P Q).
70
g) f(y) = sen(sen
(sen
(222sen y )))
= R (R (R (P (P (P (R(y)))))))
=⇒ f = RRRPPPR.
h) Como en los casos anteriores, podemos escribir
f(a) = 2sen2 a + sen a2 + 2sen(a2+sen a) = P (sen2 a) + R(a2) + P (sen(a2 + sen a))= P (Q(sen a)) + R(Q(a)) + P (R(a2 + sen a))= (P QR)(a) + (RQ)(a) + (P R)(Q + R)(a)
=⇒ f = P QR + RQ + P R(Q + R).
PROBLEMA 2.25.
Demostrar o dar un contraejemplo de las siguientes proposicio-nes:
a) f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.
b) (g + h) ◦ f = g ◦ f + h ◦ f .
c)1
f ◦ g=
1f◦ g.
d)1
f ◦ g= f ◦ 1
g.
Solucion
a) Si tomamos g(x) = h(x) = 1 y f una funcion para la que f(2) 6=f(1)+f(1) (por ejemplo f(x) = x2), resulta que [f ◦(g+h)](x) = f(2)pero [f ◦ g + f ◦ h](x) = f(1) + f(1). La proposicion es falsa.
b) [(g + h) ◦ f ](x) = (g + h)(f(x)) = g(f(x)) + h(f(x)) = (g ◦ f)(x) + (h ◦f)(x) = (gf + hf)(x), ∀x, por lo que la proposicion es cierta.
c) Como (1
f ◦ g
)(x) =
1f(g(x))
=(
1f
)(g(x)) =
(1f◦ g
)(x),
la proposicion es cierta.
d) Sea g(x) = 2 y f una funcion para la que f(1/2) 6= 1/f(2) (cualquierfuncion f(x) = k con |k| 6= 1 lo cumple). Entonces
1f ◦ g
(x) =1
f(2)pero
(f ◦ 1
g
)(x) = f(1/2).
71
La proposicion es falsa.
PROBLEMA 2.26.
a) Sea f(x) = x + 1. ¿Existen funciones g tales que f ◦ g = g ◦ f?
b) Sea f una funcion constante. ¿Para que funciones g se cumplef ◦ g = g ◦ f?
c) Supongase que f ◦ g = g ◦ f, ∀g. Demostrar que f es la funcionidentidad.
d) Si f < g, ¿se cumple h ◦ f = h ◦ g? ¿Es f ◦ h < g ◦ h?
Solucion
a) Para que f ◦g = g◦f debe ser f(g(x)) = g(f(x)), ∀x, es decir g(x)+1 =g(x + 1). La funcion g debe ser solucion de la ecuacion g(x + 1) −g(x) = 1. En particular es valida cualquier funcion g(x) = x + k con kconstante.
b) Si (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) y f(x) = k, entonces k = g(k) por lo que bastatomar cualquier funcion g tal que g(k) = k.
c) Probaremos el contrarrecıproco, es decir, si f 6= identidad, entoncesexiste g tal que f ◦ g 6= g ◦ f :
f 6= identidad =⇒ ∃a, a′ (a 6= a′) : f(a) = a′. Entonces (g ◦ f)(a) =g(a′) y (f ◦ g)(a) = f(g(a)).
Elegimos g tal que g(a) = g(a′) = a. De este modo, f(g(a)) = f(a) =a′ y g(f(a)) = g(a′) = a. Como a 6= a′, entonces g ◦ f 6= f ◦ g, comoquerıamos probar.
d) Si f(x) < g(x), no tiene por que cumplirse que h(f(x)) = h(g(x)) (bastadefinir h = identidad).
Sin embargo, como f(h(x)) < g(h(x)), ∀h(x), sı es cierto que f ◦ h <g ◦ h.
72
PROBLEMA 2.27.
Hallar la funcion inversa de f en los siguientes casos:
a) f(x) = 2x + 3
b) f(x) = ln(x/2).
c) f(x) = x2 − 1.
d) f(x) = arc tg 3x.
e) f(x) = 3√
1− x3.
f) f(x) =
{x si x ≤ 0,
x2 si x > 0.
¿En que campos estaran definidas estas funciones inversas?
Solucion
Utilizaremos en todos los casos la equivalencia y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).
a) f(x) = 2x + 3 ⇐⇒ y = 2f−1(y) + 3 ⇐⇒ f−1(y) =y − 3
2.
La funcion esta definida en todo el campo real.
b) f(x) = lnx
2⇐⇒ y = ln
f−1(y)2
⇐⇒ ey =f−1(y)
2⇐⇒ f−1(y) = 2ey.
El dominio de definicion es todo R.
c) f(x) = x2 − 1 ⇐⇒ y = [f−1(y)]2 − 1 ⇐⇒ f−1(y) =√
y + 1.Esta definida cuando y + 1 ≥ 0, es decir en [−1,∞).
d) f(x) = arc tg 3x ⇐⇒ y = arc tg 3f−1(y) ⇐⇒ f−1(y) =tg y
3.
Esta funcion esta definida en R \ {y | cos y = 0} = R \ {(2k + 1)π/2 :
k ∈ Z}.
e) f(x) = 3√
1− x3 ⇐⇒ y = 3√
1− f−1(y)3 ⇐⇒ y3 = 1− f−1(y)3
⇐⇒ f−1(y)3 = 1 − y3 ⇐⇒ f−1(y) = 3√
1− y3. La
funcion esta definida en todo R.
f) f(x) =
{x si x ≤ 0,
x2 si x > 0.
Si x ≤ 0, como y = x, tambien y ≤ 0 y f−1(y) = y.
73
Si x > 0, como y = x2 tambien y > 0 y [f−1(y)]2 = y es decir,f−1(y) =
√y.
En definitiva, f−1(y) =
{y si y ≤ 0,√
y si y > 0,y el dominio es todo R.
PROBLEMA 2.28.
Sea f(x) =ax + b
cx− a, x 6= a/c. Probar que f−1(x) = f(x).
Solucion
Para calcular la inversa de una funcion, despejamos x de la ecuacion que
define dicha funcion. Ası pues, de y =ax + b
cx− aobtenemos
y(cx− a) = ax + b =⇒ cyx− ay = ax + b =⇒ x(cy − a) = ay + b
=⇒ x =ay + b
cy − a=⇒ f−1(x) =
ax + b
cx− a=⇒ f−1(x) = f(x).
74
D. EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- Determina de las siguientes ecuaciones cuales corresponden a unafuncion. En caso de no serlo, encuentra las formulas de todas lasfunciones a que dan lugar las ecuaciones correspondientes. Encualquier caso encuentra el dominio y la imagen. (Se recomiendadibujar la grafica).
a) x · y = 1.
Resp.: Sı ; y = 1/x ; R− {0}; R− {0}.
b) x2 · y2 = 1.
Resp.: No; y = 1/x, y = −1/x; R− {0}, R− {0}; R− {0}, R− {0}.
c)√
xy = 1.
Resp.: Sı ; y = 1/x; R− {0}; R− {0}.
2.- En los siguientes ejercicios se dan las ecuaciones de ciertas fun-ciones. Encontrar su dominio y su rango. a) y =
√1 +
√x.
Resp.: [0,∞); [1,∞).
b) y = cos 1/x.
Resp.: R− {0}; [−1, 1].
c) y =|x|
1 + |x|.
Resp.: R; [0, 1).
3.- Encontrar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =√|x + 2|+ x.
Resp.: [−1,∞).
b) f(x) =1
3−√
x + 5.
Resp.: [−5, 4) ∪ (4,∞).
75
c) f(x) =√
x
(x− 1)(x + 2).
Resp.: (−2, 0] ∪ (1,∞).
4.- Si el dominio de la funcion f(x) es el intervalo [a, b], ¿cual es eldominio de la funcion g(x) = f(mx + n) con m > 0?
Resp.: D(g) = [(a− n)/m, (b− n)/m].
5.- Dibujar la grafica de las siguientes funciones:
a) y = −|x| − 1.
Resp.:
b) y = |x− 1|+ |x + 1|.
Resp.:
c) y = x− 1 + |4− x2|.
76
Resp.:
d) y =1
|x− 3|+ |x + 4|.
Resp.:
e) y =x− 18x
.
Resp.:
6.- Dibujar la grafica de las siguientes funciones:
a) y = signo(x2 − 4).
77
Resp.:
b) y = [1/x].
Resp.:
c) y = 3− [3x].
Resp.:
d) y =√
x− [x].
78
Resp.:
7.- Sea la funcion f(x) = x2. Representar la funcion y = f(x + 2)− 1.
Resp.:
8.- Dibujar la grafica de la funcion
f(x) =
2x− 1 si x < −1,
x2 − 1 si − 1 ≤ x ≤ 2,
3 si x > 2.
Resp.:
9.- Dada la grafica de f(x), dibujar f(x) + 2, 2f(x), 2− f(x), [f(x)]:
79
y = f(x)
1
-2 1
Resp.:
3 y = f(x) + 2
2 y = 2f(x)
-2 1 -2 1
y = [f(x)]
y = 2− f(x)
-2 1 -2 1
10.- Sea la funcion f(x) definida ası:
f(x) =
−3x si x < 0,
−x2 + 2x si 0 ≤ x ≤ 2,
1 si x > 2.
Dibujar la grafica de f(x) y la de 2− f(x).
80
Resp.:
11.- En el intervalo −4π ≤ x ≤ 4π , dibujar las siguientes graficas:
a) f(x) = cos x.
b) f(x) = cos 2x.
c) f(x) = | cos x|.
d) f(x) = cos(x/2).
81
12.- ¿Cual es la relacion entre las siguientes funciones?
a) f(x) =x− 2x2
x.
b) g(x) = 1− 2x.
c) h(x) =x2 − 2x3
x2.
d) i(x) =√
1− 4x + 4x2.
e) j(x) =(x3 + x)(1− 2x)
x(1 + x2).
Resp.: f = h = j, |g| = i.
13.- La misma pregunta anterior para las funciones:
a) f(x) = |x|.
b) g(x) =√
x2.
c) h(x) = x· signo x.
Resp.: Son todas iguales.
14.- Dadas f(x) =1√
x− 1, g(x) =
√x− 1, probar que (f + g)(x) = 0
no tiene solucion en su dominio.
Resp.: (f + g)(x) =x√
x− 1.
15.- Construir una funcion polinomica de grado 3, sabiendo que essimetrica respecto al origen y que pasa por (1, 0) y (-1, 0).
Resp.: f(x) = ax3 − ax, a 6= 0
16.- Dadas las funciones f(x) = −(x2 − x), g(x) = | − x + 1/4|, hallar1√gf
y su dominio.
Resp.: (1/√
gf)(x) =1
|x− 1/2|; Dom = R− {1/2}.
17.- Dadas f(x) =√
x, g(x) = x− 1,
(a) hallar f ◦ g y dibujarla.
(b) Idem para g ◦ f .
82
(c) Idem para f−1 (si existe).
Resp.: (f ◦ g)(x) =√
x− 1; (g ◦ f)(x) =√
x − 1; (f−1)(x) = x2 parax ≥ 0.
18.- Dadas f(x) =x− 1
x, g(x) =
√x,
(a) Calcular (f ◦ g)(x).
(b) Calcular (g ◦ g)(9).
(c) Probar que f(x) · f(1− x) = 1.
Resp.: (f ◦ g)(x) =√
x− 1√x
; (g ◦ g)(9) =√
3.
19.- Hallar la funcion inversa de f en los siguientes casos:
a) f(x) = (x− 1)3.
Resp.: f−1(x) = 3√
x + 1.
b) f(x) =
{x si x es racional,
−x si x es irracional.
Resp.: f−1(x) = f(x).
c) f(x) = x + [x].
Resp.: f−1(x) = x− n cuando x ∈ [2n, 2n + 1), ∀n ∈ Z.
d) f(x) =x
1− x2si −1 < x < 1.
Resp.: f−1(x) =−1 +
√1 + 4x2
2x.
20.- ¿Para que valores de los parametros a, b, c, d la funcion f(x) =ax + b
cx + des inversa de sı misma?
Resp.: a = −d.
21.- ¿En que intervalo tiene inversa la funcion f(x) = y = x+ |2−x|.
Resp.: (2,∞).
83
22.- Probar que si f es una funcion creciente, tambien lo es f−1.
23.- Demostrar que si f y g son inyectivas, tambien lo es (f ◦ g) ycomprobar que (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
84