capitulo ix_análisis bajo riesgo e incertidumbre en proyectos de inversión
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LISIS DE RIESGO E
INTRODUCCIÓN
I. ANÁLISIS BAJO RIESGO
1.1 El Riesgo En Los Proyectos
1.2 Métodos Para Tratar El Riesgo
1.2.1 El Método del Criterio Subjetivo
1.2.1.1 Dependencia e independencia de los flujos de caja en el tiempo
1.2.1.2 Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR
1.2.2 El Método del ajuste a la tasa de descuento. 1.2.3 El método de la equivalencia a certidumbre.
1.2.4 El método de los valores esperados. o modelo dl árbol de decisión
1.2.5 Los métodos basados en mediciones estadísticas o Modelo de
simulación de Monte Carlo
II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE
2.1. Criterio Maximin - pesimista o conservador
2.2. Criterio Minimax - pesimista o conservador
2.3. Criterio Maximax - optimista o agresivo
2.4. Principio de Laplace
LAPLACE
CONCLUSIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN
PROYECTOS DE INVERSIÓN
RECOMENDACIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE
EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
CAPITULO
IXANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE
EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
INTRODUCCIÓN
Al no tener certeza sobre los flujos futuros de caja que ocasionará cada inversión, se estará en
una situación de riesgo o incertidumbre. Existe riesgo cuando hay una situación en la cual una
decisión tiene más de un posible resultado y la probabilidad de cada resultado específico se
conoce o se puede estimar. Existe incertidumbre cuando esas probabilidades no se conocen o
no se pueden estimar.
El objetivo de este capítulo es analizar el problema de la medición del riesgo en los proyectos
y los distintos criterios de inclusión y análisis para su evaluación.
Existen diversos factores que dan lugar a la introducción del riesgo en los proyectos de
inversión. La situación económica del país y las medidas de política que se adopten, el
mercado, la tecnología, la legislación laboral, las tasas de interés, etc. Hacen prácticamente
imposible predecir el futuro con exactitud. En consecuencia, los ingresos, costos y vida útil
del proyecto no se conocen en total certeza.
El análisis de riesgo de un proyecto permite dar al inversor una idea de la posibilidad de
obtener los retornos a su capital. De ahí la importancia de su análisis pues permite tomar una
decisión }en relación a invertir en un proyecto. En el cado de proyectos altamente riesgosos,
deberán tenerse mucho cuidado en la asignación de recursos debido que al variar las
condiciones originales proyectadas, podrían generarse proyectos no rentables y por lo tanto
deberían descartarse o postergarse, salvo que desde el punto de vista social se justifique su
ejecución.
I. ANÁLISIS BAJO RIESGO
1.1 EL RIESGO EN LOS PROYECTOS
El riesgo de un proyecto se define como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto de
los estimados. Mientras más grande sea esta variabilidad, mayor es el riesgo del proyecto. De
esta forma, el riesgo se manifiesta en la variabilidad de los rendimientos del proyecto, puesto
que se calculan sobre la proyección de los flujos de caja.
Como ya se indicó, riesgo define una situación donde la información es de naturaleza
aleatoria, en que se asocia una estrategia a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los
cuales tiene asignada una probabilidad. La incertidumbre caracteriza a una situación donde los
posibles resultados de una estrategia no son conocidos y, en consecuencia, sus probabilidades
de ocurrencia no son cuantificables. La incertidumbre, por lo tanto, puede ser una
característica de información incompleta. de exceso de datos, o de información inexacta,
sesgada o falsa.
La incertidumbre de un proyecto crece en el tiempo. El desarrollo del medio condicionará la
ocurrencia de los hechos estimados en su formulación. La sola mención de las variables
principales incluidas en la preparación de los flujos de caja deja de manifiesto el origen de la
incertidumbre: el precio y calidad de las materias primas; el nivel tecnológico de producción;
las escalas de remuneraciones; la evolución de los mercados: la solvencia de los proveedores;
las variaciones de la demanda, tanto en cantidad, calidad como en precio: las políticas del
gobierno respecto del comercio exterior (sustitución de importaciones, liberalización del
comercio exterior); la productividad real de la operación, etcétera.
Una diferencia menos estricta entre riesgo e incertidumbre identifica al riesgo como la
dispersión de la distribución de probabilidades del elemento en estudio o los resultados
calculados, mientras que la incertidumbre es el grado de falta de confianza respecto a que la
distribución, de probabilidades estimadas sea la correcta.
CAPITULO
IXANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE
EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
John nadá señala y analiza ocho causas del riesgo e incertidumbre en los proyectos. Entre
éstas cabe mencionar el numero insuficiente de inversiones similares que puedan proporcionar
información promediable: los prejuicios contenidos en los datos y su apreciación, que inducen
efectos optimistas o pesimistas, dependiendo de la subjetividad del analista: los cambios en el
medio económico externo que anulan la experiencia adquirida en el pasado, y la
interpretación errónea de los datos o los errores en la aplicación de ellos.
Se han hecho muchos intentos para enfrentar la falta de certeza en las predicciones. Las que
1.2. MÉTODOS PARA TRATAR EL RIESGO
Para incluir el efecto del factor riesgo en la evaluación de proyectos de inversión se han
desarrollado diversos métodos o enfoques que no siempre conducen a un idéntico resultado.
La información disponible es, una vez más, uno de los elementos determinantes en la elección
de uno u otro método.
El Criterio Subjetivo
es uno de los métodos comúnmente utilizados. Se basa en consideraciones de carácter
informal de quien toma la decisión, no incorporando específicamente el riesgo del
proyecto, salvo en su apreciación personal. Se ha intentado mejorar este método
sugiriendo que se tengan en cuenta la expectativa media y la desviación estándar del VAN,
lo cual, aunque otorga un carácter más objetivo a la inclusión del riesgo, no logra
incorporarlo en toda su magnitud. De igual forma, el análisis de fluctuaciones de los
valores optimistas, más probables y pesimistas del rendimiento del proyecto, sólo
disminuye el grado de subjetividad de la evaluación del riesgo, pero sin eliminarla.
Los métodos basados en mediciones estadísticas o
Modelo de simulación de Monte Carlo
son quizás los que logran superar en mejor forma, aunque no definitivamente, el riesgo
asociado a cada proyecto. Para ello, analizan la distribución de probabilidades de los
flujos futuros de caja para presentar a quien tome la decisión de aprobación o rechazo los
valores probables de los rendimientos y de la dispersión de su distribución de
probabilidad.
El Método del ajuste a la tasa de descuento.
Con este método, el análisis se efectúa sólo sobre la tasa pertinente de descuento, sin
entrar a ajustar o evaluar los flujos de caja del proyecto. Si bien este método presenta
senas deficiencias, en términos prácticos es un procedimiento que permite solucionar las
principales dificultades del riesgo.
El método de la equivalencia a certidumbre.
Según este criterio, quien decide está en condiciones de determinar su punto de
indiferencia entre flujos de caja por percibir con certeza y otros, obviamente mayores,
sujetos a riesgo.
El método de los valores esperados.
Este método, conocido comúnmente como análisis del árbol de decisiones, combina las
probabilidades de ocurrencia de los resultados parciales y finales para calcular el valor
esperado de su rendimiento. Aunque no incluye directamente la variabilidad de los flujos
de caja del proyecto, ajusta los flujos al riesgo en función de la asignación de
probabilidades.
El método del análisis de sensibilidad,
es una forma especial de considerar el riesgo, se analiza por la importancia práctica que
ha adquirido. La aplicación de este criterio permite definir el efecto que tendrían sobre el
resultado de la evaluación cambios en uno o más de los valores estimados en sus
parámetros.
1.2.1 METODO DEL CRITERIO SUBJETIVO
Se definió el riesgo de un proyecto como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto
de los estimados. Ahora corresponde analizar las formas de medición de esa variabilidad
como un elemento de cuantifícación del riesgo de un proyecto.
La falta de certeza de las estimaciones del comportamiento futuro se pueden asociar
normalmente a una distribución de probabilidades de los flujos de caja generados por el
proyecto.
Su representación gráfica permite visualizar la dispersión de los flujos de caja, asignando un
riesgo mayor a aquellos proyectos cuya dispersión sea mayor.
Existen, sin embargo, formas precisas de medición que manifiestan su importancia
principalmente en la comparación de proyectos o entre alternativas de un mismo proyecto. La
más común es la desviación estándar, que se calcula mediante la expresión
n σ = ∑ (FC ti – FC t )2 * Pi
i=1donde
FC ti es el flujo de caja del periodo t, si ocurriera la situación i
FC t es el promedio ponderado de los flujos de caja del periodo t
Pi es su probabilidad de ocurrencia de la situación i
n FC t = ∑ FC ti * Pi
i=1
Mientras mayor sea la dispersión esperada de los resultados de un proyecto, mayores serán su
desviación estándar y su riesgo. y Aquellos FC con menor dispersión y menor variabilidad
son menos riesgosos
A partir de estas definiciones se puede derivar el valor esperado y la desviación estándar del
VAN con el que será posible medir el Riesgo del Proyecto, entonces el valor esperado es
igual a:
n
VE (VAN) = - I0 + ∑ FC t t =1 (1 + i) 2
1.2.1.1. Dependencia E Independencia De Los Flujos De Caja En El Tiempo
La Varianza del VAN dependerá de la correlación existente entre los Flujos de caja.
Si tales flujos son independientes entre si entonces:
n V (VAN) = ∑ σ 2 sin correlacion t =1 (1 + i) 2 t
lo usual sin embargo es que exista una correlación entre los flujos de caja de periodos
sucesivos dado que se ven afectados por Factores Propios del Proyecto. En la situación
extrema de una correlación Perfecta de los flujos de caja, la Varianza será:
n 2 V (VAN) = ∑ σ t con correlacion t =1 (1 + i) t
1.2.1.2. Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR
A partir del cálculo del valor esperado y la desviación estándar del VAN es posible estimar la
probabilidad de que el VAN de un proyecto sea positivo o tome un valor determinado, dados
distintos valores para el COK. Para ello se utiliza la distribución estandarizada Z, de la forma:
Z = VANHo - E(VAN)
σ (VAN)
donde VANHo es el valor del VAN para el que se requiere determinar la probabilidad de
ocurrencia. De esta manera, será posible verificar diversas hipótesis sobre los valores que
puede tomar el VAN de un proyecto y/ó sobre los intervalos de confianza dentro de los cuales
se puede mover este indicador de rentabilidad.
Así mismo, a partir de la distribución de probabilidades del VAN es posible derivar la de la
T1R, si es que se recuerda que la probabilidad de que el VAN sea menor que cero es igual a la
probabilidad de que la T1R sea menor que el valor de la COK utilizado para estimar la
primera probabilidad. Si graficamos la probabilidad de que el VAN sea negativo para diversos
COK, será posible determinar el valor de este último que corresponde a una probabilidad
acumulada de 50%; dicho valor será la media de la T1R.
Para encontrar su desviación estándar, hay que tener en cuenta que en el caso de una
distribución normal, como la del VAN y la T1R, la probabilidad de que su verdadero valor se
encuentre en el intervalo E (VAN) ± σ (VAN), es igual a 68%; es decir, la desviación estándar
de la T1R estará dada por la distancia existente entre las tasas de interés que corresponden a
las probabilidades acumuladas 16% (50 - 68/2) y 84% (50 + 68/2) de la distribución del VAN.
EJEMPLO 1:
La inversión necesaria para ejecutar un proyecto de 3 años de duración es US$ 850,000. El
estimado de los flujos futuros se presenta en el cuadro siguiente:
ESTIMADO DE FLUJO DE CAJA
(En miles de dólares)
Prob. F1 Prob. F2 Prob. F3
0.1 200 0.2 300 0.2 4500.2 250 0.2 350 0.2 5000.3 300 0.1 400 0.1 5500.1 350 0.1 420 0,1 6000.1 400 0.1 440 0.1 6500.2 450 0.3 460 0.3 700
Si se asume independencia entre los términos del flujo, y la tasa costo de oportunidad de un
inversionista es 15% por período:
a) Determinar si le conviene ejecutar el proyecto asumiendo que los términos del flujo de caja
son independientes.
b) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este proyecto?
SoluciónDe acuerdo con los datos, debemos entender que los beneficios netos por período se deben
considerar como variables aleatorias, cuyas funciones de probabilidad están especificadas en
el cuadro.
Por lo tanto, el primer paso es hallar los valores esperados y las desviaciones estándar de las
variables aleatorias F1 F2 y F3
E(F1) = 325 s(F1) = 81.3941
E(F2) = 394 s(F2) = 61.1882
E(F3) = 580 s(F3) = 97.9796
En segundo lugar, debemos hallar el valor esperado del VPN que se obtendrá en el proyecto.
Para ello utilizamos los valores esperados anteriormente hallados.
E(VPN) = - 850 + 325 + 394 + 580 (1.15) (1.15)2 (1.15)3
E(VPN) = 111.8887
El resultado anterior nos indica que, en promedio, podemos esperar obtener un VPN igual a
$111,888.70; sin embargo, en un contexto de riesgo. una variable adicional importante de
considerar es la desviación estándar. Para hallarla, debemos asumir una determinada relación
entre los términos del flujo de caja del proyecto, las cuales pueden ser:
1) Independencia
2) Correlación perfecta
3) Correlación imperfecta
En el último caso, el tratamiento formal matemático es muy complicado. por ello se
acostumbra a utilizar el método del árbol de probabilidades.
Si asumimos independencia entre los flujos del proyecto
σ2 (Ft)σ (VPN) = [∑ ——— ] 1/2
t=0 (1+i)2t
(81.3941)2 (61.1882)2 (97.9796)2
σ (VPN) = [ ————— + ———— + ———— ] 1/2
(1.15)2 (1.15)4 (1.15)6
σ (VPN) = 106.30
El resultado anterior nos indica que la variabilidad o dispersión promedio alrededor del valor
esperado del VPN es de US$ 106,300 aproximadamente.
Dados los resultados anteriores podemos hallar la probabilidad de perder en el proyecto, es
decir, de que el VPN sea menor que cero.
Si asumimos que el VPN es una variable aleatoria que se distribuye normalmente, el primer
paso será estandarizar la variable para luego hallar la probabilidad requerida:
Z = VPN - E(VPN) = VPN - 111.8887
o(VPN) 106.30
Donde z es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media cero y desviación
estándar igual a la unidad.
Prob (VPN<0) = Prob ( VPN-111.8887 < 0-111.8887 )
106.30 106.30
= Prob (z <-1.0526) Observando el valor de z en tablas:
Respuesta : Prob (VPN < 0) = 14.69%
EJEMPLO 2 :
Evaluar los siguientes proyectos si se sabe que el proyecto A está en unidades monetarias
reales del período cero, mientras que el proyecto B está en unidades monetarias reales del
período tres.
Proyecto A:
Prob. F1 Prob. F2 Prob. F3
0.3 20 0.3 40 0.3 500.1 40 0.1 60 0.1 600.1 60 0.1 65 0.1 700.1 70 0.1 70 0.1 800.2 100 0.2 100 0.2 900.2 120 0.2 110 0.2 110Proyecto B:
Prob. F1 Prob. F2 Prob. F30.1 10 0.1 40 0.1 600.1 20 0.1 60 0.1 650.1 60 0.1 65 0.1 700.2 65 0.1 70 0.2 750.2 70 0.3 75 0.2 900.3 90 0.3 95 0.3 95
Datos adicionales:
- La inversión que se requiere para ejecutar el proyecto A es 60 u.m. • del período cero.
- El proyecto B requiere para su ejecución una inversión de 60 u.m. del período tres.
- La inflación para los años 1, 2 y 3: 3%, 5% y 3% respectivamente.
- La tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) corriente por utilizar es 10% anual.
Determinar cuál es el proyecto de menor riesgo relativo si se asume que los términos del
flujo:
a) Son independientes
b) Están perfectamente correlacionados
Solución
a) La TMAR está en términos corrientes y los flujos son reales; por tanto, el primer paso
consiste en hallar la tasa de descuento equivalente real para cada período:
TMAR1 = (0.1- 0.03)/(1.03) = 6.8% (períodos 1 y 3)
TMAR2 = (0.1- 0.05)/(1.05) = 4.76% (período 2)
El siguiente paso consiste en hallar los valores esperados para cada componente del flujo de
caja, así como sus desviaciones estándar. Luego se determinará el valor esperado del VPN
para cada proyecto, así como la desviación estándar de los mismos.
Proyecto A:
E(F1) = 67 σ (F1) = 39
E(F2) = 73.5 σ (F2) = 27.75 E(F3) = 76 σ (F3) = 22.45
E(VPNA) = - 60 + 67 + 73.5 + 76 (1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2 (1.0476)
E(VPNA)= 132.03 (unidades monetarias del período cero)
Si asumimos independencia entre los términos que conforman el flujo de cada proyecto, se
debe utilizar la siguiente expresión para hallar la desviación estándar del VPN de los
proyectos A y B. n
σ 2 (VPN) = ∑ σ 2 (F t) t =1 (1 + i) 2 t
σ 2 (VPNA) = (39) 2 + (27.75) 2 + (22.45) 2
(1.068)2 (1.068) 2 (1.0476)2 (1.068)4(1.0476)2
Despejando el valor de la desviación estándar:
σ 2 (VPNA) = 47.98 (unidades monetarias del período cero)
Proyecto B:
E(F1) = 63 σ (F1) = 26.38
E(F2) =74.5 σ (F2)= 16.65
E(F3) = 81 σ (F3) =12.81
E(VPNB) = - 60 + 63 + 74.5 + 81 (1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2 ( 1.0476)
E(VPNB) = 133.36 (unidades monetarias del período 3)
Si se asume independencia entre los términos del flujo del proyecto:
σ (VPNB) = [ (26.38) 2 + (16.65) 2 + (12.81 ) 2 ] 1/2
(1.068)2 (1.068)2(1.0476)2 (1.068)4(1.0476)2
σ (VPNB) = 30.77 (unidades monetarias del período 3) Transformando unidades monetarias:
E (VPNB) = 119.72 (unid. monetarias del período cero)
σ (VPNB) = 27.62 (unid. monetarias del período cero)
Según los resultados obtenidos, el proyecto A es el de mayor VPN sin embargo, también es el
de mayor riesgo. En estos casos debemos calcular el coeficiente de variación (desviación
estándar entre el valor esperado) con el fin de elegir aquel proyecto con menor riesgo relativo.
En forma resumida:
Proyecto A B
E(VPN) 132.03 119.72
σ (VPN) 47.98 27.62C.V. 0.36 0.23
Por lo tanto, lo recomendable es elegir el proyecto B si el objetivo es asumir el menor riesgo
relativo al ejecutar uno de los proyectos.
b) Si los flujos están perfectamente correlacionados, entonces la expresión para calcular la
desviación estándar del VPN es la siguiente:
. n σ (VPN) = ∑ σ (F t) t =1 (1 + i) t
Aplicando la expresión anterior a cada uno de los proyectos:
Proyecto A:
σ (VPNA) = (39) + (27.75) + (22.45)
(1.068) (1.068) (1.0476) (1.068)2(1.0476)
σ (VPNA) = 80.11 (unidades monetarias del período cero)
Proyecto B:
σ (VPNB) = (26.38) + (16.65) + (12.81)
(1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2(1.0476)
σ (VPNB) = 50.30 (unidades monetarias del período 3)
Respuesta :
Los resultados en relación al coeficiente de variación serían los siguientes:
Proyecto A B
E(VPN) 132.03 133.36
σ (VPN) 80.11 50.30
C.V. 0.61 0.38
Como podemos observar, el proyecto B es el de menor riesgo relativo. Cabe mencionar que
como el coeficiente de variación no tiene unidades, no es necesario que los proyectos A y B
estén expresados en las mismas unidades monetarias.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
CASO PRÁCTICO Nº 1
El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar
con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades.
Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son:
Io PR F1 PR1 F2 PR2 F3 PR3
30,000
34,000
36,000
38,000
40,000
48,000
0.15
0.15
0.20
0.20
0.15
0.15
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
0.10
0.05
0.25
0.25
0.05
0.30
16,000
18,000
20,000
22,000
24,000
26,000
0.15
0.25
0.20
0.10
0.20
0.10
23,000
25,000
29,000
32,000
35,000
38,000
0.20
0.10
0.15
0.15
0.30
0.10
A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del
proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 8%
(COK = 8%).
B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados.
CASO PRÁCTICO Nº 2
El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar
con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades.
Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son:
Io PR F1 PR1 F2 PR2 F3 PR3
40,000
42,000
44,000
46,000
48,000
50,000
0.10
0.15
0.20
0.20
0.15
0.20
12,000
14,000
16,000
18,000
20,000
22,000
0.15
0.10
0.20
0.15
0.25
0.15
20,000
22,000
24,000
26,000
28,000
30,000
0.10
0.15
0.15
0.20
0.10
0.30
22,000
24,000
26,000
28,000
30,000
32,000
0.15
0.15
0.10
0.20
0.15
0.25
A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del
proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 9%
(COK = 9%).
B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados.
CASO PRÁCTICO Nº 3
El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar
con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades.
Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son:
Io PR F1 PR1 F2 PR2 F3 PR3
37,000
39,000
41,000
43,000
45,000
47,000
0.20
0.20
0.20
0.10
0.15
0.15
5,000
7,000
9,000
12,000
13,000
15,000
0.15
0.15
0.15
0.15
0.10
0.30
17,000
19,000
21,000
23,000
25,000
27,000
0.30
0.15
0.15
0.15
0.15
0.10
30,000
32,000
34,000
36,000
38,000
40,000
0.25
0.15
0.20
0.10
0.15
0.15
A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del
proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 5%
(COK = 5%).
B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados.
1.2.2 MÉTODO DEL AJUSTE A LA TASA DE DESCUENTO
Una forma de ajustar los flujos de caja consiste en hacerlo mediante correcciones en la tasa de
descuento. A mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para castigar la rentabilidad del proyecto.
De esta forma, un proyecto rentable evaluado en función de una tasa libre de riesgo puede
resultar no rentable si se descuenta a una tasa ajustada.
El principal problema de este método es determinar la tasa de descuento apropiada para
cada proyecto. Al no considerar explícitamente información tan relevante como la
distribución de probabilidades del flujo de caja proyectado, de esta forma el mayor riesgo se
compensa por una mayor taza de descuento que tiende a castigar el proyecto de acuerdo con
esto el calculo del valor actual neto se efectúa de la siguiente manera:
n
VAN = ∑ BN t - I0
t =1 (1 + f ) 2
siendo BN, los beneficios netos del período t y f la tasa de descuento ajustada por riesgo que
resulta de aplicar la siguiente expresión
f = 1 + p
donde i es la tasa libre de riesgo y p es la prima por riesgo que exige el inversionista para
compensar una inversión con retornos inciertos.
La dificultad de este método reside en la determinación de la prima por riesgo. Al tener un
carácter subjetivo, las preferencias personales harán diferir la tasa adicional por riesgo entre
distintos inversionistas para un mismo proyecto.
1.2.3 EL MÉTODO DE LA EQUIVALENCIA A CERTIDUMBRE
La equivalencia a certidumbre es un procedimiento de alternativa al método de la tasa de
descuento ajustada por riesgo. Según este método, el flujo de caja del proyecto debe ajustarse
por un tactor que represente un punto de indiferencia entre un flujo del que se tenga certeza y
el valor esperado de un flujo sujeto a riesgo. Si se define este factor como a, se tiene que:
α = BNC t BNR t
donde
αt = es el factor de ajuste que se aplicará a los flujos de caja inciertos en el período t;
BNC t = representa el flujo de caja en el período t sobre el que se tiene certeza y
BNR t = representa el flujo de caja incierto en el período t.
El factor del coeficiente a varía en forma inversamente proporcional al grado de nesgo. A
mayor riesgo asociado, menor será el coeficiente αt cuyo valor estará entre cero y uno.
ejemplificando una situación en que debe optarse por una de estas alternativas:
a) recibir SI.000.000 si al tirar al aire una moneda perfecta resulta cara, sin obtener nada
si sale sello,
b) no tirar la moneda y recibir S300.000.
El valor esperado de la primera opción es $500.000 (0.5 x 1.000.000 + 0.5 x 0). Si el jugador
se muestra indiferente entre las alternativas, los S300.000 son el equivalente de certeza de un
rendimiento esperado de S500.000 con riesgo. Al reemplazar mediante estos valores en la
ecuación se tiene:
300.000 = 0,6
500.000
CASO PRÁCTICO Nº 1
UNA DECISION INDIVIDUAL
Un individuo tiene la siguiente función de utilidad:
Utj = 2ln (FNtj+1)
Donde Utj es la utilidad asociada a FNtj (flujo neto probable) ocurrido en el período “t” para la
alternativa “j”.
Se tiene que optar por una de las dos alternativas siguientes, (ambas requieren una inversión
inicial de 100 U.M. y tiene una vida útil de 3 años).
Alternativa A
FN1A P1A FN2A P2A FN3A P3A507090
0.20.30.5
80100110
0.40.30.3
90110150
0.40.30.3
Alternativa B
FN1B P1B FN2B P2B FN3B P3B6090150
0.50.30.2
80150200
0.40.40.2
100180240
0.60.30.1
COK = 10%
a. Hallar la mejor alternativa (A o B) sobre la base del método del equivalente a la
certidumbre.
b. ¿Qué prima por riesgo se escogería en cada caso para que los resultados coincidieran
al usar una tasa de descuento ajustada?.
Solución
A. Es necesario estimar los flujos ciertos asociados a los flujos riesgosos de cada
alternativa. Ellos se muestran en el siguiente cuadro.
0 1 2 3 VAN(10%)Alternativa AA. E (FNAi)B. E(U(FNAi)1/
C. FNAi(cierto)2/
Alternativa BD. E(FNBi)E. E(U(FNBi)1/
F. FNBi(cierto)3/
-100
-100
-100
-100
768.6474
878.8281
959.1194
1329.65124
1149.44111
1389.75130
133
129
192
174
Respuesta. La mejor alternativa sobre la base del método del equivalente a la certidumbre es
la alternativa B: tiene un VAN10% mayor que el de A.
B. Para hallar la prima por riesgo es necesario calcular una tasa de descuento tal que el
valor actual de los flujos riesgosos sea igual que el valor actual de los flujos asociados
descontados al 10%. Así.
76 95 114129 = -100 + -------- + --------- + -----------
(1.1+PA) (1.1+PA)2 (1.1+PA)3
de donde PA = 0.009823
87 132 138174 = -100 + --------- + --------- + -----------
(1.1+PB) (1.1+PB)2 (1.1+PB)3
de donde PB = 0.033999
Respuesta.
La prima por riesgo necesaria para la alternativa A es de 0.98 puntos porcentuales y para la
alternativa B es de 3.4 puntos porcentuales.
1.2.4 EL MÉTODO DE LOS VALORES ESPERADOS.
O MODELO DL ÁRBOL DE DECISIÓN
El método de árboles de decisión es un enfoque por medio del cual se puede hacer un análisis
de como las decisiones tomadas en el presente afectan o pueden afectar las decisiones en el
futuro, ya que muchas decisiones tomadas en el presente no consideran las consecuencias que
pueden originar a largo plazo, por lo que se utiliza cuando es importante considerar las
secuencias de decisión y se conocen las probabilidades de que sucedan en el futuro los
eventos bajo análisis. Los árboles de decisión se construyen, por ejemplo, a partir de 3
situaciones u opciones mutuamente excluyentes que se pueden seleccionar. De cada una de
estas opciones se generan a su vez, otras dos o tres opciones. Los árboles de decisión se usan
para evaluar un proceso de decisión de “múltiples etapas” en el cual se toman decisiones
dependientes una tras otra.
Cada decisión se representa gráficamente por un cuadrado con un número dispuesto en una
bifurcación del árbol de decisión. Cada rama que se origina en este punto representa una
alternativa de acción. Además de los puntos de decisión, en este árbol se expresan, mediante
círculos, los sucesos aleatorios que influyen en los resultados. A cada rama que parte de estos
sucesos se le asigna una probabilidad de ocurrencia. De esta forma, el árbol representa todas
las combinaciones posibles de decisiones y sucesos, permitiendo estimar un valor esperado
del resultado final, como un valor actual neto, utilidad u otro.
Ejemplo 1
Una compañía tiene las opciones de construir una planta de tamaño regular o una pequeña que
se pueda ampliar después. La decisión depende principalmente de las demandas futuras del
producto que producirá la planta. La construcción de una planta de tamaño completo puede
justificarse en términos económicos si el nivel de demanda es alto. En caso contrario, quizá
sea recomendable construir una planta ahora y después decidir en dos años si esta se deba
ampliar.
El problema de decisión de múltiples etapas se presenta aquí por que si la compañía decide
construir ahora una planta pequeña, en dos años deberá tomarse una decisión a futuro relativa
a la expansión de dicha planta. El problema de decisión se divide en dos etapas: una decisión
ahora relativa a la dimensión o tamaño de la planta y una decisión de aquí a dos años referente
a la expansión de la planta(suponiendo que se decide construir una planta pequeña ahora).
El problema se va a resolver por medio de un árbol de decisiones, se supone que la demanda
puede ser alta o baja. Su representación gráfica puede observarse a continuación.
Solución
Si comenzamos con el nodo 1 (un punto de decisión), debemos tomar la decisión referente al
tamaño de la planta. El nodo es un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que
representan demanda baja y alta, dependiendo de las condiciones del mercado. El nodo 3 es
también un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demandas alta y
baja.
Los datos del árbol de decisión deben incluir las probabilidades asociadas con las ramas que
emanan de los eventos de oportunidad y los ingresos asociados con las diversas alternativas
del problema. Si suponemos que la compañía está interesada en estudiar el problema en un
periodo de 10 años. Un estudio de mercado indica que las probabilidades de tener demandas
altas y bajas en los 0 años siguientes son 0.75 y 0.25, respectivamente. La construcción
inmediata de una planta grande costará $5 millones y una planta pequeña costara solo $1
millón. La expansión de la planta pequeña de aquí a dos años se calcula costará $4.2 millones.
Los cálculos del ingreso anual de cada una de las alternativas se indican a continuación:
1.- La planta completa y la demanda alta(baja) producirán $1,000,000 ($300,000) anualmente
2.- La planta pequeña y una baja demanda generarán $200,000 anuales
3. - La planta pequeña y la demanda alta producirán $250,000 para cada uno de los 10 años
4.- La planta pequeña ampliada con demanda alta(baja) generará $900,000 ($200,000)
anualmente
5.- La planta pequeña sin expansión y con alta demanda en los dos primeros años, seguida de
una demanda baja producirá $200,000 para cada uno de los 8 años restantes.
La evaluación de las alternativas está basada en el uso del criterio del valor esperado. Los
cálculos empiezan en la etapa 2 y después retroceden a la etapa 1, como se indica en la figura,
Por lo tanto en los últimos 8 años , es posible evaluar las dos alternativas en el nodo 4 como
sigue:
Por lo tanto, en el nodo 4, la decisión indica que no habrá expansión y la ganancia neta será
esperada es $1,900,000.
Después se reemplazan todas las ramas que emanan del nodo 4 por una sola rama con una
ganancia neta esperada de $1,900,000 que representa la ganancia neta para los últimos ocho
años. Ahora se efectúan los cálculos de la etapa 1 que corresponde al nodo 1 como sigue:
Ahora, se concluye que la decisión óptima en el nodo 1 es construir una planta grande, y por
lo tanto se eliminan las consideraciones tomadas en el nodo 4.
RESPUESTA: Se concluye que se debe optar por construir la planta grande
Ejemplo 2
se estudia el lanzamiento de un nuevo producto. Las posibilidades en estudio son introducirlo
a nivel nacional o regional. Si se decide lanzar el producto regionalmente, es posible luego
hacerlo a nivel nacional si el resultado regional a si lo recomendara.
Para tomar la decisión óptima, se analizan los sucesos de las alternativas de decisión más
cercanas al final del árbol, calculando el valor esperado de sus valores actuales netos y
optando por aquella que proporcione el mayor valor esperado del VAN
VAN
demanda alta P= 0.6 4000
Ampliar a nivel Nacional demanda Media P= 0.1 1000
demanda Baja P= 0.3 -2000
demanda Alta P= 0.7
demanda alta P= 0.6 2000
Introducción Regional continuar a nivel Regional demanda Media P= 0.1 1500
demanda Baja P= 0.3 1000
demanda Media P= 0.1 2000
demanda Baja P= 0.2 1000
demanda alta P= 0.5 5000
Introducción Nacional demanda Media P= 0.2 100
demanda Baja P= 0.3 -3000
Por ejemplo, la última decisión de nuestro caso es la [2], que presenta dos sucesos de
alternativa. El valor esperado del suceso (C) se calcula aplicando la ecuación de la siguiente
forma:
0.6 * 4000 = 2400
0.1 * 1000 = 100
0.3 * -2000 = -600
VAN = 1900
que representa el valor esperado del VAN en el caso de ampliar la introducción a nivel
nacional
En el caso de continuar en nivel regional se obtiene, por el mismo procedimiento. el siguiente
resultado:
0.6 * 2000 = 1200
0.1 * 1500 = 150
B
1
2
A
C
D
0.3 * 1000 = 300
VAN = 1650
Por lo tanto, la decisión será ampliar a nivel nacional, porque retoma un VAN esperado
mayor.
La siguiente decisión se refiere a la introducción inicial. Si es a nivel regional, existe un 70%
de posibilidades de que la demanda sea alta. Si así fuese, el VAN esperado sería de 1.900. que
correspondería al resultado de la decisión que se tomaría de encontrarse en ese punto de
decisión. Aplicando el procedimiento anterior, se obtiene:
0.7 * 1900 = 1330
0.1 * 2000 = 200
0.2 * 1000 = 200
VAN = 1730
Para la alternativa de introducción nacional se tendría:
0.5 * 5000 = 2500
0.2 * 100 = 20
0.3 *-3000 = -900
VAN = 1620
En consecuencia, se optaría por una introducción inicial en el nivel regional, que luego se
ampliaría a nivel nacional. Esta combinación de decisiones es la que maximiza el valor
esperado de los resultados.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CASO PRÁCTICO Nº 1
Proyecto de apertura de una heladería.
Pedro García está pensando abrir una heladería este verano durante enero y febrero, sus
meses de vacaciones. Su mama le prestara un local, por lo que los únicos costos de
inversión necesarios serían mesas, sillas y la máquina de hacer helados, que cuesta $ 2
000. Según los noticieros, existe una probabilidad de o0.7 de que se presente el
Fenómeno del Niño (calor extremo). Además, si la demanda es alta (probabilidad de 0.6)
se puede pensar en ampliar el mercado.
Así pues, si la demanda es alta y se presenta el Fenómeno del Niño, los beneficios netos
para enero serían de $ 1 100; si no se presenta el fenómeno serían de $ 1 000. por otro
lado, si la demanda es baja y se presenta el Fenómeno del Niño, los beneficios netos
serían de $ 900 para enero y de $ 1 000 para febrero, si no se presenta el fenómeno serían
de $ 800 y de $ 900 para enero y febrero respectivamente. Además, si se presenta el
Fenómeno del Niño y se amplia el mercado, los beneficios para febrero serían de $ 1 500
con una probabilidad de 0.65 y de $ 1 300 con una probabilidad de 0.35. Si no se amplia
el mercado, dichos beneficios serían de $ 1 300. Si no se presenta dicho fenómeno y se
amplia el mercado, los beneficios para febrero serían de $ 1 250 con una probabilidad DE
0.2. De lo contrario, los beneficios netos de febrero serían de $ 1 220.
Pedro ha revelado que su función de utilidad por el dinero es logarítmica (U = LN
(Dinero)) y que el costo de oportunidad mensual de su capital, libre de riesgo, es de 5%.
¿Es conveniente que Pedro haga el negocio? Si lo hace, ¿conviene ampliar el mercado?
CASO PRÁCTICO Nº 2
La empresa Aeronaves del Perú S.A.
La empresa Aeronaves del Perú S.A. está evaluando la compra de nuevas unidades para
sus rutas internacionales. Para ello cuenta con dos propuestas: un avión turbopropulsor
nuevo que costaría $ 550 000 y un avión de combustión de segunda mano que sólo cuesta
$ 250 000. En el caso que la demanda fuera alta en el próximo período se podrían hacer
refracciones al avión de segunda mano por $ 150 000 a principios el segundo período.
A continuación se presentan la evolución de las demandas, sus probabilidades de
ocurrencia y los beneficios netos asociados para cada uno de los aviones.
Opción 1: Avión turbopropulsor.
Primer año Prob. B. neto ($ miles) Segundo año Prob. B. neto ($ miles)
Demanda alta 0.6 150 Demanda alta 0.8 960 Demanda baja 0.2 220
Demanda baja 0.4 30 Demanda alta 0.4 930 Demanda baja 0.6 140
Opción 2: Avión de combustión.
Primer año Prob.B. neto ($
miles)
Segundo año
Prob.B. neto ($
miles)
Demanda alta 0.6 100 Repara
Demanda alta 0.8 800
-150Demanda
baja 0.2 100
No reparaDemanda
alta 0.8 410
Demanda
baja 0.2 180Demanda
baja 0.4 25Demanda
alta 0.6 220
Demanda
baja 0.4 100
Si el costo de capital es 10%, ¿Qué avión recomendaría usted comprar? (Haga el análisis para
un horizonte de dos periodos).
CASO PRÁCTICO Nº 3
La empresa Petróleos del Norte.
La empresa Petróleos del Norte está evaluando la explotación de lote Lobitos y la del lote
Zorritos.
Se conoce que, por las condiciones de los lotes, la explotación de Zorritos costaría
$700000 y la de Lobitos, $30000. En el caso de que se explotara el lote Lobitos, la
probabilidad de que se encuentre petróleo es 0.7; y, en Zorritos; la probabilidad es 0.6. En
el caso que no se encontrara petróleo en Zorritos, se obtendrá un VAN de $ -900000; si
no se encontrara petróleo en Lobitos, se obtendría un VAN de $ -500000 ( en ambos
casos el VAN incluye la inversión inicial).
Se espera que la producción empezará en el segundo periodo para el cual se ha estimado
que las probabilidades que los precios sean altos, normales y bajos son 0.6, 0.3 y 0.1,
respectivamente.
En Zorritos, si el precio fuese alto en el periodo 2, se obtendrá hasta el período 6 un BN
de $ 1 500 000 anuales. Si el precio fuese normal, el BN será de $ 1 000 000 en el mismo
período, mientras que si el precio fuera bajo, este BN sólo será de $ 800 000. en el caso
de Lobitos bajo las mismas condiciones, el BN será $ 700 000, $ 500 000 y $ 300 000
respectivamente para los precios señalados.
Se tiene claro en Zorritos que si el precio fue alto en el período 2, es posible reinvertir en
el período 6. Si se reinvierte $ 400 000, ganaría $ 3 000 000 anuales en los periodos 7 y
10, y si no se reinvierte solo se ganaría $ 2 000 000 al año. Si el precio fuera bajo en el
período 2, se tiene la opción de vender sus activos en el período 6. si se vendieran los
activos se obtendría $ 2 500 000; y, si no se vendieran, se continuaría operando y se
ganaría $ 800 000 al año entre el período 7 y 10. si el precio fuese normal, se ganaría $ 1
800 000 anuales en el mismo período.
En el caso de Lobitos, las decisiones son más sencillas. Si el precio fuera alto en el
período 2, se tiene la opción de reinvertir $ 150 000 en el período 6, ganándose con ello $
900 000 anuales entre el período 7 y 10; y, si no se reinvirtiera, sólo se ganaría $ 800 000
al año en el mismo período. En el caso que el precio fuera normal en el período 2, el BN
sería $ 600 000 en promedio y, si el precio fuera bajo, el BN anual sería $ 550 000 en el
mismo período.
Evalué usted que lote es más conveniente explotar. (COK = 10%).
CASO PRÁCTICO Nº 4
El caso del agricultor.
El señor Walter Gómez es un agricultor experimentado, poseedor de un terreno que
puede alquilar por S/. 200 000 anuales, los cuales serían pagados al final del período, o
que puede destinar al cultivo de fresas.
Si el señor Gómez se dedica a cultivar fresas puede sembrar hasta tres cosechas al año si
el invierno es corto, dos cosechas si es normal y sólo una cosecha si es largo. Walter ha
llevado un registró cuidadoso de la situación climatológica de su terreno en los últimos
18 años y ha establecido que en seis ocasiones el invierno ha sido corto y en tres ha sido
muy largo.
La experiencia de Walter le indica que los gastos de siembra, fumigación, mantenimiento,
recolección, y otros costos relacionados a este cultivo en su terreno ascienden a S/. 80
000 por cosecha y deben ser pagados al iniciar la siembra. Además, existen costos fijos
anuales de S/. 30 000 que corresponden primordialmente a los gastos de un asistente, que
deben ser pagados por adelantado.
Sin embargo, existen varios aspectos sobre los cuales Walter no tiene un conocimiento
preciso. En particular, siente incertidumbre acerca de los precios de venta de cada
cosecha, que puede ser de S/. 100 000, S/. 200 000 ó S/. 250 000, según la oferta nacional
e internacional que exista en el momento de la recolección. En principio, Walter tiene
incertidumbre al respecto, pero debido a la política de sustentación del gobierno, sabe con
certeza que su cosecha será comprada a uno de tres precios. El señor Gómez se ha
enterado de la existencia de una firma consultora que puede elaborar un cuidadoso
estudio de mercados (cuyo resultado será infalible) para predecir cuál será el precio de
venta de las cosechas durante el próximo año. La firma cobra S/. 32 000 por la prestación
del servicio.
En estas condiciones Walter se enfrenta con la decisión de sembrar el terreno o alquilarlo,
y de contratar o no los servicios de la firma consultora. Teniendo en cuenta que su tasa de
interés de oportunidad es del 2% mensual, ayúdelo a tomar la decisión.
1.2.5 EL MÉTODO BASADO EN MEDICIONES ESTADÍSTICAS
O MODELO DE SIMULACIÓN DE MONTE CARLO
El modelo de Monte Cario, llamado también método de ensayos estadísticos, es una técnica
de simulación de situaciones inciertas que permite definir valores esperados para variables no
controlables, mediante la selección aleatoria de valores, donde la probabilidad de elegir entre
todos los resultados posibles está en estricta relación con sus respectivas distribuciones de
probabilidades.
La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo
aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo
aleatorios y automatizar cálculos.
La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los
ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de
sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va
cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien
a la simulación de sistemas continuos).
Veamos un ejemplo sencillo:
Ejemplo:
al lanzar una moneda tres veces seguidas al aire quiero saber la probabilidad que las tres veces
resulte cara; no tengo idea de probabilidades y solo se que la probabilidad de obtener cara =
0.5 probabilidad de obtener sello = 0,5 para un lanzamiento individual.
¿ Que alternativas tengo?
- Lanzar muchas veces
- Usar tabla de números aleatorios, o ruleta de 100 valores.
CARA PAR (0, 2, 4,,,,,, 98)
SELLO IMPAR (1, 3, 5,,,,, 99)
EJEMPLOS DE TRES CARAS: (38, 36, 98) (74, 10, 46)
CARA ≥50 (50, 51, _ _ _, 99)
SELLO < 50 (0, 1, 2, _ _ _, 49)
EJEMPLOS DE TRES CARAS: (66, 96, 55) (50, 95, 99)
Ejemplo:
el casino de viña estudia ofrecer el siguiente juego:
*el jugador tira una moneda en forma repetida hasta que la diferencia absoluta entre caras y
sellos sea tres, momento en que se termina el juego.
*Para jugar se deben pagar $10.000, y el jugador gana $1.000 por cada moneda lanzada antes
de terminar el juego. Usando valor esperado, jugarias?
X : # de lanzamientos hasta que el juego termine.
X : 3, 5, 7 P(X) = ; NO ES FACIL DE CALCULAR
VE = (1000*X·P(X))- 10.000
SEA PAR = CARA E IMPAR = SELLO
LAN. N. A. C S C S |C-S|1 97 0 1 12 2 1 1 03 80 2 1 14 66 3 1 25 96 4 1 3 6 55 0 1 17 50 1 1 08 29 1 2 19 58 2 2 010 51 2 3 111 4 3 3 012 86 4 3 113 24 5 3 214 39 5 4 115 47 5 5 016 60 6 5 117 65 6 6 018 44 7 6 119 93 7 7 020 20 8 7 121 86 9 7 222 12 10 7 3
RESULTADO DE SIMULACION DEL JUEGO ANTERIOR
# DE JUEGOS
# DE LANZAMIENTOS
CANT. A RECIBIR
CANT. A PAGAR
PAGAR / RECIBIR
100 968 1000000 968000 96,8%200 1882 2000000 1882000 94,1%300 2746 3000000 2746000 91,5%400 3484 4000000 3484000 87,1%500 4432 5000000 4432000 88,6%600 5426 6000000 5426000 90,4%700 6260 7000000 6260000 89,4%800 7166 8000000 7166000 89,6%900 7900 9000000 7900000 87,8%1000 8786 10000000 8786000 87,9%
¿JUGARIAS?EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CASO PRÁCTICO Nº 1
La compañía Bristol S.A. una empresa comercializadora realiza una de sus tantas
operaciones en el puerto de Callao en Peru. Una de sus funciones consiste en el
desembarque de vagones de cargas provenientes de barcos que arriban desde puertos
extranjeros. Estos barcos llegan al puerto tanto de dia como de noche, y el numero de
llegada responde a una distribucion de probabilidad discreta como se presenta en la
siguiente tabla:
Numero de Vagones que llegan (X)
Probabilidad de llegada
0 0.231 0.302 0.303 0.104 0.055 0.02
La capacidad de descargue de la compañía es de dos vagones diarios, y el tiempo que se
utilizara para el siguiente estudio sera de 500 dias.
CASO PRÁCTICO Nº 2
Gun Bound S.A.C, es una empresa que produce y exporta reposteros de gran tamaño y de
fino acabado hechos de caoba para las empresas mas importantes del mundo que luego la
comercializan. Actualmente una propuesta de un pedido de 1000 reposteros a entregar
dentro de 365 días útiles.
Sabemos que esta tiene una capacidad de producción de 2 reposteros por día, no mas.
La empresa cada vez que tiene un pedido, hace un contrato con su proveedor para que
este lo aprovisione de materia prima.
La materia prima consiste en planchas de caoba traídos de la selva, en cargas de 10
planchas (que caben en un 1 camión). Además sabemos que por cada 10 planchas de
madera se pueden hacer 2 reposteros.
La distribución de probabilidad para que el Nº de llegadas de los camiones es la
siguiente:
Numero de camiones que llegan
Probabilidad de llegadas
0123
0.180.280.290.16
4 0.09Ahora la planta de producción nunca para, a diario le llegan a su almacén materia prima,
de su proveedor muchas mas de la que esta necesita; por la que muchas veces esta tiene
colas de materia prima esperándola.
Lo que quiere la empresa es ¿como será la llegada de materia prima a sus almacenes,
puesto que el costo de inventario de m.p es de $40 por cada carga del camión ya que
repercute directamente con el precio del repostero ?
CASO PRÁCTICO Nº 3
Se esta considerando la introducción de un nuevo producto. El producto tiene una vida
útil de tres años. Hay tres factores de incertidumbre; el precio de venta, el costo variable y
el volumen anual de ventas.
Debe suponerse que habrá incertidumbre para las ventas en el primer año , pero luego
aumentaran 20% en el segundo año y después descenderán 50% en el tercer año. Además
que la incertidumbre acerca del primer año de ventas puede describirse mediante una
distribución normal con una media de 2.0 millones de cajas y una desviación estándar de
0.6 millones de cajas.
El costo de fabricar el producto es incierto, y la incertidumbre puede representarse con
una distribución uniforme entre US $ 2.00 y US $ 4.00 por unidad.
La incertidumbre acerca del precio para el producto esta representada por una
distribución discreta, como sigue :
Los costos fijos asociados con introducir el producto son US $ 3.0 millones en el primer
año y US $ 1 millón para los años 2 y 3. Finalmente debe suponer que la empresa tiene la
capacidad de abandonar el producto después del primer año, si no es rentable.
¿La introducción del nuevo producto será rentable?
II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE
Se tomara en cuenta los siguientes criterios con su respectivo ejemplo.
- El criterio de decisión se toma basándose en la experiencia de quien toma la decisión.
- Este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador.
-Criterios:
* Criterio Maximin - pesimista o conservador
* Criterio Minimax - pesimista o conservador
* Criterio Maximax - optimista o agresivo
* Principio de Laplace
2.1. CRITERIO MAXIMIN
-Este criterio se basa pensando en el peor de los casos
-El criterio se ajusta a ambos tipos de decisiones, es decir pesimista y optimista.
* Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá.
* Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible.
-Para encontrar una decisión optima:
* Marcar la mínima ganancia a través de todos lo estados de la naturaleza posibles.
* Identificar la decisión que tiene máximo de las “mínimas ganancias”.
EJEMPLO: La Inversión de John Pérez
John Pérez ha heredado $1000.
El ha decidido invertir su dinero por un año.
Un inversionista le ha sugerido 5 inversiones posibles:
* Oro.
* Bonos.
* Negocio en Desarrollo.
* Certificado de Depósito.
* Acciones.
John debe decidir cuanto invertir en cada opción.
LA DECISION MAS OPTIMA –600
El Criterio Maximin MinimosGan
anciaDecisi
ones
Gran
Alza
Peq
. Alza
Sin
Cambios
Peq
. Baja
Gra
n
Baja
Oro -100 100 200 300 0 -100
Bonos 250 200 150 -100 -150 -150
Negoci
o en D. 500 250 100 -200 -600 -600
Cert.
De Dep. 60 60 60 60 60 60
2.2 CRITERIO MINIMAX
-Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras.
-La matriz de ganancia es basada en el costo de oportunidad
-El tomador de decisiones incurre en una perdida por no escoger la mejor decisión.
-Para encontrar la decisión óptima:
-Para cada estado de la naturaleza:
* Determine la mejor ganancia de todas las decisiones
* Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia
entre su ganancia y la mejor ganancia calculada.
- Para cada decisión encuentre el máximo costo de oportunidad para todos los estados de
la naturaleza.
- Seleccione la alternativa de decisión que tiene el mínimo costo de oportunidad.
Continuación Problema John Pérez
Matriz de Ganancias
Decision Gran Alza Peq. Alza
Sin Cambios Peq. Baja
Gran Baja
Or
o-
10
0
1
0
0
2
0
0
3
0
0
0
Bonos2
5
0
2
0
0
1
5
0
-
10
0
-15
0Negocio 5
0
0
2
5
0
1
0
0
-
20
0
-
60
0Cert Dep 6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
500 – (-100) = 600
Invertir en Oro incurre en una pérdida mayor cuando el mercado presenta una gran alza
Matriz de Costo de Oportunidad
Maximo
Costo
Op
Decision
Gran
Alz
a
Peq.
Alza
Sin
Cambios
Peq
Baja
Gran
Baja
Oro 600 150 0 0 60 600
Bonos 250 50 50 400 210 400
Negocio D. 0 0 100 500 660 660
Cert. Dep 440 190 140 240 0 440
La Decisión Mas Optima Es
2.3. EL CRITERIO MAXIMAX
- Este criterio se basa en el mejor de los casos.
- Este criterio considera los puntos de vista optimista y agresivo.
Un tomador de decisiones optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada.
Un tomador de decisiones agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia.
- Para encontrar la decisión óptima:
* Encuentre la máxima ganancia para cada alternativa de
decisión.
* Seleccione la decisión que tiene la máxima de las“máximas ganancias”.
El Criterio Maximax MáximasDecision Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran Baja
Oro -100 100 200 300 0
Bonos 250 200 150 -100 -150
Neg. Des 500 250 100 -200 -600
Cert. Dep. 60 60 60 60 60
Decisión Optima :
EJEMPLO :
TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE
Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO" desea
determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer la demanda
creciente de ropa invernal.
A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior:
FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son:
a).- Fabricar abrigos
b).- Fabricar sweters
c).- Fabricar cazadoras
FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con respecto
a la demanda son:
a).- Demanda alta
b).- Demanda media
c).- Demanda baja
d).- Demanda nula
FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:
SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS.
Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el máximo de los
máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada alternativa (500, 700, 300) y
de estos se selecciona el máximo (700) . La decisión usando este criterio es "fabricar
sweters"
Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo de los
mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada alternativa (-450, -
800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La decisión usando este criterio es
"fabricar cazadoras"
Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es
necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre "tabla de
arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento conocemos cuales serán los
estados de la naturaleza y que podemos arrepentirnos de la decisión ya tomada con
anterioridad, así pues, si tomamos la decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se
presenta una demanda alta, pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta,
hubiéramos tomado la decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de
$500, por lo cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de
ganar $200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de
pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado económicamente la mejor
decisión como se muestra en la siguiente tabla:
Valor mínimo.
Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada
alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión
sería "fabricar abrigos".
Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en
un criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al
coeficiente o índice de optimismo (a)
Usado en la siguiente relación :
Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio
mínimo)
Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7
R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125
R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180
La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión
es "fabricar sweters" con una utilidad estimada de $250.
2.4 EL PRINCIPIO DE RAZONAMIENTO INSUFICIENTE O CRITERIO DE
LAPLACE
- Este criterio puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista.
- El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equi
probables.
- El procedimiento para encontrar una decisión óptima:
* Para cada decisión calcule la ganancia esperada.
* Seleccione la decisión con la mayor ganancia esperada.
El Análisis : E ( D1 ) = ( X11 + X12 + ..... + X1m ) / m
E ( D2 ) = ( X21 + X22 + ..... + X2m ) / m
.
.
E ( Dn ) = ( Xn1 + Xn2 + ..... + Xn m ) / m
LAPLACE
1.- Ejercicio
ESTADO DE LA NATURALEZA
DECISIÓN E1 E2 ....... Em
( p1 ) ( p2 ) ( pm )
D1 X11 X12 X1m
D2 X21 X22 X2m
.
.
Calcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:
Solución:
Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso
favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan
como variaciones con repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los
signos que hay que rellenar).
Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X)
que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se
puede repetir hasta 14 veces.
Por lo tanto, los casos posibles son:
Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:
No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue.
2.- Ejercicio
Y la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:
Solución:
Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables se
calculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta manera
obtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que
equivale a acertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que
el orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)
Los casos posibles siguen siendo los mismos:
Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:
Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por
eso por lo que pagan menos?).
3.- Ejercicio
Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan
primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).
Solución:
Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos
que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de
12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles
alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el
orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar
de variaciones.
Por lo tanto, los casos posibles son:
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga menos.
4.- Ejercicio
Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su
entrada en meta.
Solución:
El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar,
colocados en su orden correspondiente.
Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de
12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los
12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer
lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.
4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE POR SEPARACIÓN DE VARIABLES.
COORDENADAS CARTESIANAS.
El problema fundamental de la teoría del potencial es encontrar una solución de la ecuación
de Laplace que satisfaga ciertas condiciones en el contorno de la región considerada.
En ciertos sistemas de coordenadas podemos ir más allá y escribir la solución como un
producto de funciones de las coordenadas individuales, de modo que las condiciones de
contorno puedan aplicarse a factores separados de una variable.
Puede agregarse que mientras que no existe un método general de solución de ecuaciones
diferenciales a derivadas parciales, la separación reduce la ecuación de Laplace a un conjunto
de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en principio siempre tienen solución.
La ecuación de Laplace es:
y desarrollando en dos dimensiones:
Supongamos que V(x,y)=X(x).Y(y), donde X es una función de x solamente e Y una función de Y. La ecuación de Laplace resulta:
y dividiendo por V=X.Y
Observamos que el miembro de la izquierda no contiene a y. En consecuencia no cambia
cuando y varía. Análogamente el miembro de la derecha no contiene a x, y no cambia al
variar x. Como los dos miembros son iguales, su valor común no puede cambiar cuando se
modifica alguna de las variables y en consecuencia debe ser una constante k2.
La constante k2 es llamada parámetro de separación. Reemplazando en la última igualdad
resulta el sistema de ecuaciones:
Y"+k2Y=0
X"-k2X=0
que tienen soluciones generales:
Y=A senky + B cosky
X=C ekx + D e-kx
EJERCICIO : Demuestre las soluciones obtenidas. Suponga X=epx e Y=epy.
El producto de las soluciones generales del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es
una solución general de la ecuación de Laplace bidimensional. V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A
senky + B cosky). Aplicaremos este resultado a dos ejemplos.
EJEMPLO 1.
FIGURA 1
Dos placas conductoras paralelas infinitas, Figura 1, están separadas por una distancia a. Las
placas están puestas a tierra (0 V) y una tercera placa, aislada de las anteriores se encuentra a
potencial 1 V respecto de aquellas, como se muestra en la figura. El medio entre las placas es
aire. Halle la distribución de potencial.
La solución de la ecuación de Laplace para dos dimensiones fue hallada en el apartado
anterior:
V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A senky + B cosky)
sujeta en este problema a las siguientes condiciones de borde:
V(x,a)=0
V(0,y)=1
V(x,0)=0
V(infinity ,y)=0
La última condición de contorno nos indica que el potencial se desvanece cuando nos
alejamos del origen. Para que ello ocurra la constante C debe ser igual a cero. Para satisfacer
V(x,0)=0 debe ser B=0. La solución se reduce a :
V(x,y)=(A.D) e-kx sen ky
Dado que V(x,a)=0 y la exponencial no se anula, debe ser senka=0 o ka=np , con
n=0,1,2,3,.........., de donde k=np /a. Reemplazando en la función potencial :
Esta función por si sola no satisface la condición V(0,y)=1. En efecto:
Sin embargo, dado que la ecuación de Laplace es lineal, la condición puede ser satisfecha por una suma de funciones de la forma anterior, tal que:
donde los Cn son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de una función impar tal que y vale 1 en el intervalo [0,a]. Sea una onda cuadrada de amplitud unitaria:
Calculemos y representemos su desarrollo en serie de Fourier hasta la décima armónica espacial:
Los coeficientes Cn de los términos en coseno son nulos por tratarse de una función impar. Para los términos en seno solamente son distintos de cero los coeficientes correspondientes a n impar. Observando sus valores se comprueba que valen:
C[n_]=4/(n Pi)
A mayor cantidad de términos se mejora la aproximación a la función original.
Considerando hasta la armónica 51 resulta:
Representamos en la Figura 2:
EJERCICIOS DE MAXIMIN Y MÍNIMAS : FASES EN EL ENFOQUE DE TEORÍA DE DECISIONES
1.- Listar todas las alternativas viables.2.- Identificar todos los eventos futuros que pueden ocurrir.
3.- Construir una tabla de beneficios.
EJEMPLO: Considere un fabricante de ropa que esta considerando varios métodos alternativos para expander su producción a fin de adecuar una demanda creciente
para sus productos. |
FASE 1.- Las alternativas que el fabricante tiene para expander su producción son:
a).- Expander la planta actual.b).- Construir una nueva planta.
c).- Subcontratar la producción a otros fabricantes.
FASE 2.- Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de naturaleza) con respecto a la demanda son:
a).- Demanda alta.b).- Demanda moderada.
c).- Poca demanda.d).- Demanda nula.
FASE 3.- La tabla de beneficios es la siguiente dando un valor estimativo para cada combinación de posibilidades:
AMBIENTES EN QUE SE TOMAN LAS DECISIONES
- Bajo condiciones de certeza.- Bajo condiciones de incertidumbre.- Bajo condiciones de riesgo.
Bajo condiciones de certeza: Solo existe un estado de la naturaleza (evento futuro). Se escoge el mayor beneficio par este estado con respecto a sus diferentes alternativas.
Bajo condiciones de incertidumbre: Existe más de un estado de la naturaleza y se conoce poco o nada acerca de ellos.
En ambientes de este tipo, son utilizados cuatro criterios diferentes para la toma de decisiones:
1.- Maximax (criterio optimista)2.- Maximin (criterio pesimista)3.- Minimax (también llamado de arrepentimiento)4.- Realismo
Bajo condiciones de riesgo: Existe mas de un estado de la naturaleza y se conoce lo suficiente para poder asignar probabilidades de ocurrencia a cada uno de los estados posibles.
En ambiente de este tipo, son utilizados tres criterios para la toma de decisiones:
1.- Valor esperado.2.- Racionalidad.3.- Máxima verosimilitud.
EJEMPLO1: TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE CERTEZA. Se piensa organizar una tardeada de fin de cursos y se tienen las opciones de:
1.- Contratar un sonido.2.- Contratar un grupo musical.3.- Contratar la presentación de un grupo de imitadores.
Se sabe también que para cualquiera de las tres opciones se garantiza un cupo lleno, las utilidades obtenidas para cada una de las alternativas se indican a continuación:
¿ Qué decisión tomaría?
SOLUCIÓN:
Se tomaría la alternativa de contratar un sonido, ya que es la opción que
proporciona una mayor utilidad bajo la condición de un solo estado de la
naturaleza (cupo lleno).
EJEMPLO 2: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE
INCERTIDUMBRE
Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO"
desea determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer
la demanda creciente de ropa invernal.
A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior:
FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son:
a).- Fabricar abrigos
b).- Fabricar sweters
c).- Fabricar cazadoras
FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con
respecto a la demanda son:
a).- Demanda alta
b).- Demanda media
c).- Demanda bajad).- Demanda nula
FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:
SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS.
Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el
máximo de los máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada
alternativa (500, 700, 300) y de estos se selecciona el máximo (700) . La
decisión usando este criterio es "fabricar sweters"
Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo
de los mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada
alternativa (-450, -800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La
decisión usando este criterio es "fabricar cazadoras"
Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es
necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre
"tabla de arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento
conocemos cuales serán los estados de la naturaleza y que podemos
arrepentirnos de la decisión ya tomada con anterioridad, así pues, si tomamos la
decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se presenta una demanda alta,
pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta, hubiéramos tomado la
decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de $500, por lo
cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de ganar
$200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de
pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado
económicamente la mejor decisión como se muestra en la siguiente tabla:
Valor mínimo.
Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada
alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión
sería "fabricar abrigos".
Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en un
criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al coeficiente o
índice de optimismo (a)
Usado en la siguiente relación :
Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio
mínimo)
Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7
R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125
R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250
R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180
La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión es "fabricar
sweters" con una utilidad estimada de $250.
EJEMPLO3: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE RIESGO
Considere que un distribuidor de artículos de NAVIDAD desea determinar el número óptimo
de árboles que debe pedir para esa temporada si dispone de los siguientes datos:
- Paga $20.00 por cada árbol y lo vende en $60.00
- Entrega todos los árboles que vende y paga $5.00 de comisión por cada uno
que es entregado antes de la temporada.
- Si le sobran árboles al final de la temporada puede venderlos para leña a
$5.00 cada uno.
SOLUCIÓN:
El vendedor tiene seis alternativas a seguir.
UX,Z = Utilidad obtenida si se pierden x árboles y se tiene una demanda z
Definiendo variables:
x = cantidad ordenada
z = nivel de la demanda
Casos posibles de presentar
1.- Que la cantidad ordenada sea igual a la cantidad demandada. x = z
2.- Que la cantidad ordenada sea menor a la cantidad demandada. x < z
3.- Que la cantidad ordenada sea mayor a la cantidad demandada. x > z
Para cada caso se obtiene una relación en función de la variable X (cantidad
ordenada). Aplicando estas relaciones se calculan los siguientes resultados en
la tabla:
El valor esperado se calcula mediante la fórmula siguiente:
E (z) = Zip (z)
i = j = 1,2,…6
La cantidad recomendada a pedir será aquella donde obtenemos el mayor valor
esperado, en este caso x = 4.
Por lo tanto, según el criterio de valor esperado, se recomienda pedir 4 árboles
con una utilidad promedio de $10.75.
ANÁLISIS MARGINAL PARA LA TOMA DE DECISIONES
Cuando al número de alternativas crece, la matriz de utilidades también crece y
el número de cálculos aumenta considerablemente, haciendo difícil el
procedimiento mediante el criterio de valor esperado, en su lugar puede usarse
como método alternativo el "análisis marginal".
La simbología utilizada y su significado es la siguiente:
UM = Utilidad obtenida por vender una unidad adicional.
PM = Pérdida obtenida por almacenar una unidad que no es vendida.
p = Es la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad
adicional para justificar el almacenamiento de dicha unidad.
DEDUCCIÓN DE FÓRMULA:
La deducción se da a partir del siguiente razonamiento lógico:
Se debe pedir una unidad adicional solo que:
UTILIDAD MARGINAL ESPERADA >= PÉRDIDA MARGINAL ESPERADA
p (UM) ³ (1-p) (PM)
p (UM) ³ PM-p (PM)
p (UM) + p (PM) ³ PM
p (UM+PM) ³ PM
Definiendo:
p = Probabilidad de vender una unidad adicional.
1-p = Probabilidad de no vender una unidad adicional.
APLICACIÓN AL EJEMPLO 3 (ÁRBOLES DE NAVIDAD):
UM = 60 - 20 - 5 = 35
60 Lo que se obtiene de la venta de una unidad adicional.
-20 Lo que se paga por la compra de una unidad adicional.
-5 Lo que se paga de comisión por la venta de una unidad adicional.
PM = 20 - 5 = 15
20 Lo que se paga por la compra de una unidad adicional.
5 Lo que se recupera como valor de salvamento de una unidad que no es
vendida durante la temporada.
El valor de p = 0.30 es el valor de referencia para el análisis marginal en la
siguiente tabla de probabilidades acumulativas.
Se analiza el pedir 1 unidad, ésta se pide si p( z ³ i) ³ 30, lo cual ocurre para este
caso en que p( z ³ i ) = 1. Se analiza el pedir 2 unidades, lo cual ocurre ya que p(
z ³ i ) = 0.95
Se continua el análisis incrementando una unidad a la vez mientras se cumpla
la condición, lo cual ocurre hasta i = 4 donde p( z ³ i ) = 0.60 ya que en i = 5 ,
p( z ³ i) = 0.20 ya no cumple la condición, por lo cual se decide pedir 4 árboles.
EJEMPLO 4: El señor Juan Manzanero es un comerciante de frutas y verduras,
y quiere saber cuántos kilogramos de durazno debe comprar hoy para la venta
del día de mañana. Se cuenta con la información de ventas de los últimos 90
días, tal como se muestra en la siguiente tabla:
Juan compra el kilogramo de durazno a $3.00 y lo vende a $8.00, el producto no
tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta.
El planteamiento es similar al mostrado en el ejemplo 3.
MATRIZ DE UTILIDADES CONDICIONALES
Según el criterio de valor esperado, la decisión es comprar 12 kg.
UTILIDAD ESPERADA CON INFORMACIÓN PERFECTA
(U.E.I.P.)
En este caso se considera que se conoce a la perfección la cantidad
demandada, esto es, si se sabe que la demanda será de 10, solo se pedirán 10,
si se sabe que la demanda será de 11, solo se pedirán 11 y así sucesivamente.
Observe que es el caso en que X=Z, por lo tanto la utilidad esperada será:
50(0.20)+55(0.40)+60(0.30)+65(0.10) = $56.5
La cuál se conoce como "utilidad esperada con información perfecta". Esta
utilidad es la máxima que se puede obtener con información perfecta.
El Problema del CarpinteroDurante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas
las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente: Maximizar 5 X1 + 3 X2 Sujeta a:2 X1 + X2 40 restricción de mano de obra X1 + 2 X2 50 restricción de materiales tanto X1 como X2 son no negativas. Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta. Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero continúa fabricando estos productos. Los artículos parciales simplemente se contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en productos terminados, en la siguiente semana.
Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologías preferidas (más eficientes y efectivas), conocidas como las Técnicas de Soluciones de Programación Lineal están disponibles en el mercado en más de 4000 paquetes de software de todo el mundo. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es: Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3 Sujeta a:2 X1 + X2 40 + X3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas X1 + 2 X2 50 restricción de materiales En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas. ¿Qué pasaría si sólo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qué pasaría si" (what-if) se estudia en la sección sobre análisis de sensibilidad en este sitio Web. Un Problema de Mezcla
El taller LUBEOIL se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion
del sistema electrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por
regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de
aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y
$8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en
insumos. LUBEOIL paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea
actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana.
Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. LUBEOIL
desea maximizar el beneficio total. Formule el problema.
Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un
cambio del aceite o del ajuste no es factible.
X1 = Cambios del aceite, ajuste
X2 = Ajuste
Maximizar 7X1 + 15X2 Sujeta a:X1 30 Cuenta De la Flota20X1 + 60X2 4800 De trabajo tiempo 8X1 + 15X2 1750 Primas MateriasX1 0, X2 0. El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formular el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideración el coste de trabajo.
Supongamos que quiere hallar el peor de varios valores de funciones objetivos definidas con un conjunto común de restricciones en una sola corrida de computación. Como aplicación, supongamos que en el Problema del Carpintero, sin pérdida de generalidad, hay tres mercados con funciones objetivos de 5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, y 4X1 + 4X2, respectivamente. Al carpintero le interesa conocer el peor mercado. Es decir, la solución del siguiente problema: El problema del minimax: Min Max {5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, 4X1 + 4X2} Sujeta a:2 X1 + X2 40X1 + 2 X2 50Y ambos, X1, X2, son no negativos. El Problema del Minimax equivale a: Maximice y Sujeta a:y 5x1 + 3X2y 7X1 + 2X2 y 4X1 + 4X2 2X1 + X2 40X1 + 2X2 50Y todas las variables, X1, X2, y, son no negativas. Si se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones y este problema se implementa en el paquete de computación, la solución óptima es X1 = 10, X2 = 20, y = $110. Esto significa que el primero y el segundo mercados son los peores (porque la primera y la segunda restricciones son obligatorias) aportando sólo $110 de utilidad neta.
CONCLUSIONES
Es importante diferenciar el riesgo de la incertidumbre, el primero se presenta cuando no
disponemos de la información necesaria como para asociar un evento con un conjunto de
posibles resultados cada uno de los cuales tiene una ocurrencia relativa.
Por otro lado la incertidumbre es una situación donde los posibles resultados de una
acción no se conocen o no es posible vincularlos con probabilidades de ocurrencia.
La medición del riesgo en un proyecto esta asociado con la variabilidad de los beneficios
netos anuales estimados y en consecuencia con la del rendimiento que es posible estimar
a partir de ellos de esta forma para determinar cuan riesgoso es un proyecto es necesario
calcular la desviación estándar del riesgo y del VAN Esperado.
RECOMENDACIONES
Hasta este momento se ha estado suponiendo que las proyecciones de los flujos de caja sobre
los cuales se calculaba la rentabilidad de un proyecto eran totalmente ciertas sin embargo es
bastante improbable ya que cualquiera sea el giro del negocio este tendrá asociado un cierto
grado de éxito, este ultimo se refleja principalmente en la posible variabilidad de los
beneficios netos anuales proyectados las que redundan en una rentabilidad incierta.
Por tanto es necesario tener en cuenta los distintos métodos para la evaluación de proyectos
los cuales se desarrollan a lo largo de estos capítulos