capitulo v flujo bidimensional-1

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I CAPITULO: V FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LIQUIDO IDEAL

Msc Ing. Abel A. Muiz Paucarmayta Pgina 1

CAPITULO V

FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LQUIDO IDEAL

5.1. INTRODUCCIN.

La mayora de problemas sobre conduccin de agua en tuberas y canales se resuelven con la

hiptesis de flujo unidimensional. Pero tambin hay un grupo importante de problemas en los que se

hace imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que la

descripcin del flujo en planos paralelos es idntica a la estudiada.

Parecera que solamente el lquido ideal (sin viscosidad y por ello irrotacional) puede ser objetivo de

estudio en lo que refiere a movimiento plano, pero no es as. Como regla general, se puede producir

un flujo casi irrotacional es de poca importancia.

Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como es el subsuelo o

una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con predominio de la viscosidad (flujo laminar

pero resulta casi irrotacional. Esto hace que el estudio del flujo plano alcance tambin a este

importante caso de flujo.

ECUACIN DE CONTINUIDAD.- En coordenadas cartesianas se considera el volumen de control

elemental dx, dy dz, con centro en el punto P (X, Y, Z).

En el punto P ocurren los valores y como funciones de punto y del tiempo.

FIGURA No 5.1

Se puede aplicar la (Ec. 4.17):

AdVdZdYdXt

SC

El segundo miembro, en la direccin X:

dZdYdXVX

dZdYdX

VX

VdZdYdX

VX

V

X

XXXX

)(

22)(

En las otras dos direcciones se obtienen expresiones anlogas, por lo que el caudal neto de masa

que sale es:

dZdYdXvZ

vY

vX

ZYX

Reemplazando y simplificando:



)37(.. t

Vdiv

tv

Zv

Yv

XZYX

tvdiv

. (Ec. 5.1)

Que es la expresin de la ecuacin de continuidad para flujo comprensible e incomprensible,

permanente y no permanente.

Para fluidos incomprensibles, como es el caso del lquido ideal:

0.

vdiv (Ec. 5.2)

5.2. LA FUNCIN DE CORRIENTE.

Como cuestin previa recordamos la definicin del gradiente en el plano y sus propiedades.

Dada una funcin escalar en el plano X, Y, tal como ),( YX , se llama gradiente de la misma el

vector cuyas componentes son las derivadas parciales de :

jY

iX

grad

Sus propiedades son:

a) El grad es normal a las lneas = constante.

b) El mdulo de grad. es la derivada de segn la normal a las lneas = constante.

ngrad

c) El sentido de grad. es el que corresponde a las crecientes.

Se puede suponer un lquido incompresible en movimiento bidimensional permanente, que se

desarrolla en planos perpendiculares al eje Z, de modo que su estudio puede hacerse en el plano

XY.

Se puede considerar luego una familia de l.c, las que no cambiarn con el tiempo por tratarse de un

movimiento permanente.

La ecuacin de estas l.c. tambin podemos expresar como:

zYX v

dz

v

dy

v

dx

Y se puede considerar que la familia de l.c. viene definida por una cierta funcin escalar ),( YX

que se denomina funcin de corriente, con un valor constante diferente para cada 1.c.

En el punto P, sobre una l.c, los vectores indicados en la figura son normales entre s, de modo que

se cumple:

FIG. No 5.2



kxgradv (Ec. 5.3)

Siendo las componentes de V ;

XV

YV

jX

iYZYX

kji

V

Y

X

100 (Ec. 5.4)

Y en coordenadas polares:

FIG. No 5.3

',r vectores unitarios.

rV

rr

ddV

rr

Zr

kr

V

nnn

r

n

1

100

'

(Ec. 5.5)

Por otra parte, si n es la direccin normal a la l.c, genrica ,

ngrad

.

Y por la (Ec. 5.3): vgrad

De modo que: vn

(Ec. 5.6)

dnvd gasto que pasa entre dos l.c. y d , por unidad de ancho

perpendicular al papel.



Es decir:

FIG. No 5.3

222

1 q (Ec. 5.7)

5.3. LA FUNCIN POTENCIAL.

El estudio del flujo plano es posible slo si se cumple que el campo de velocidades es potencial es

decir un campo en el que existe una funcin escalar , llamada funcin potencia, tal que:

V = - grad

Se puede mostrar con facilidad que rot v = 0, es decir que si el campo de velocidades es potencial es

irrotacional, lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.

De la definicin de funcin potencial se desprende que las componentes de

v son:

Yv

Xv

Y

X

(Ec. 5.8)

Y en coordenadas polares:

r

V

rVr

1(Ec. 5.9)

FIG. No 5.4

Y tambin que se cumple: v

(Ec. 5.10)



Siendo s la direccin normal a las lneas .cte , llamadas lneas equipotenciales.

Puesto que las direcciones s y n son normales entre s, las lneas de corriente y las lneas

equipotenciales son ortogonales entre s.

5.4. LA RED DE CORRIENTE:

Agrupamos las Ec. 5.6 y Ec. 5.10 prescindiendo del signo.

Vs

Vn

De aqu: ns

O bien: dn

d

ds

d

Como se puede ver, si se escogen incrementos iguales para y resulta ds = dn. Es decir, que

l.c. y las l.e. adems de ser ortogonales formaran una malla de cuadrados. A esta malla se

denomina red de flujo o red de corriente.

FIG. No 5.5

En ltima instancia, el estudio del flujo plano en un cierto contorno se refiere a la obtencin de la red

de corriente para ese contorno, y a partir de la RC, que es nica en cada contorno, deducir la

distribucin de velocidades o la distribucin de presiones en las zonas de inters.

El lquido ideal es incompresible por lo que satisface la ecuacin de continuidad:

0

0

0

0)(

0

2

2

2

2

2

2

2

2

YX

YX

XYXX

graddiv

Vdiv

Es decir, cumple la ecuacin de Laplace, indicando con ello que es una funcin armnica.

El lquido ideal es irrotacional, por lo que la componente segn Z del vector rot V es nula:



0

Y

v

X

v XY (Item 3.3)

Reemplazando segn (Ec. 5.3)

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

YX

YX

Es decir, tambin cumple la ecuacin de Laplace, indicando con ellos que es una funcin

armnica.

De los desarrollos anteriores se desprende que las funciones y no son independientes sino

que estn relacionados entre s a travs de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en coordenadas

cartesianas:

YXv

YXv

Y

X

(Ec. 5.11)

En coordinadas polares:

rv

rrv r

1

(Ec. 5.11)

Otras propiedades de la funcin potencial ( ) son:

a) Si 1 y 2 son dos funciones potenciales que satisfacen la ecuacin de Laplace, las funciones

( 1 - 2) ( 1 - 2) tambin cumplen con la ecuacin de Laplace.

b) Una funcin potencial que satisface la ecuacin de Laplace en un flujo determinado en un cierto

contorno, representa la solucin nica del problema de dicho flujo.

c) Considerando una curva AB cualquiera dentro de un flujo, la integral de lnea a lo largo de esa

curva desde A hasta B es:

dYvdXvdsv YXB

A

B

A .

Donde ds es el vector diferencial de arco sobre la curva AB.

En el caso presente:

BA

B

A

B

A

B

AdddY

YdX

X

De modo que si la curva es cerrada, la integral de lnea que ahora recibe el nombre de circulacin (r),

vale:

0. ddsvrB

A

B

A

Es decir, en el flujo plano del lquido ideal la circulacin vale cero.



ECUACIONES DEL MOVIMIENTO.- Cuando se estudia la ecuacin del movimiento a lo largo de una

l.c., como en el Item 4.3.1, se llega a la expresin:

02

2

g

V

y

pZ

s

Cuya integral conduce a la educacin de Bernoulli:

cteHg

vpz

2

2

Vlida para todos los puntos del flujo plano, no necesariamente sobre una l.c.

De modo similar, cuando se estudia la ecuacin del movimiento a lo largo de una direccin normal a

la l.c, cosa que aqu se ha omitido por simplicidad, se llega a la expresin:

gr

vpz

n

2

en la que r es el radio local de curvatura de la l.c

Agregando a ambos miembros:

n

v

g

v

g

v

n

2

2

n

v

g

v

gr

V

g

vpz

n

22

2

El primer miembro es cero, de modo que:

0

n

v

r

v

Pero dn = dr,

0

0

v

dv

r

dr

v

dv

r

dr

v

dv

r

v

dr

dv

r

v

kLnvLnrLn ... K = cte.

r

kLnvLn

rLnkLnvLn

r

kv (Ec. 5.12)



Ecuacin vlida slo para el flujo plano del lquido ideal, irrotacional, y que es distinta de la ecuacin.

wrv (Ec. 5.13)

Que rige en el flujo rotacional.

La conclusin es importante: en una curva horizontal la distribucin de velocidades es diferente en

uno y otro caso.

FIG. No 5.6

COEFICIENTE DE PRESIN.- Ecuacin de Bernoulli entre un punto P0 y otro punto genrico P:

2

0

00

22

000

22

0

00

22

00

0

2

1

2

1

2

1

22

22

v

zpz

vvzpz

vz

vpz

g

vpz

g

vpz

(Ec. 5.14)

La utilidad prctica del Cp es la siguiente. Dibujada la red de corriente es posible determinar la

variacin del Cp mediante la ecuacin:

2

0

1

v

vCp

Y la variacin del Cp es una medida de la variacin de la presin segn la ecuacin:

2

0

00

2

1v

zpzpCp

5.5. TRAZADO GRFICO DE LA RED DE CORRIENTE

De lo estudiado aqu se desprende que la red de corriente se dibuja para representar la

conformacin del flujo en los casos de flujo irrotacional. La red est formada por:

a) Una familia de l.c. espaciadas de tal forma que el caudal es el mismo entre cada dos pares de l.c.

y.

b) Otra familia de curvas ortogonales y espaciadas de tal forma que la separacin entre ellas es igual

a la separacin entre las l.c., adyacentes.

Para describir completamente un flujo en condiciones de contorno dadas se requiere un nmero muy

grande de l.c. No obstante el nmero de l.c. empleadas en la prctica es el mnimo necesario para

obtener la precisin deseada. Cuando se ha obtenido la RC para una forma de los contornos que



limitan el flujo, dicha red puede utilizarse para todos los flujos irrotacionales en tanto que los

contornos sean geomtricamente semejantes.

El procedimiento para dibujar la RC entre los contornos de una curva horizontal es el siguiente.

FIG. No 5.7

1. En una seccin entre contornos paralelos se divide el flujo en un cierto nmero de bandas de igual

ancho 0n ;

2. Para determinar la direccin de las l.c. se dibujan las l.e, espaciadas de forma que 00 ns en

la zona de contornos paralelos y nS en el resto.

3. Las l.e. son ortogonales a las l.c. en cada punto de interseccin, y a los contornos ya que estos

son l.c. De esta manera se obtiene un diagrama que se asemeja a una malla de cuadrados.

4. Para comprobar la malla obtenida se dibujan las diagonales deben formar tambin una red

aproximada de cuadrados.

Obtenida la red se puede dibujar la variacin de velocidades en los puntos 0, 1, 2, 3, 4, utilizando la

relacin:

n

n

v

v

nvnvp

0

0

00

Tambin se puede dibujar la variacin de velocidades en los puntos a, b, c, d, e, del contorno,

utilizando la relacin:

s

s

v

v

0

0

S ... medido en el contorno.

Por ltimo, se puede dibujar la variacin de la presin en los mismos puntos a, b, c, d, e, del

contorno, utilizando la variacin de velocidades recin encontrada:

2

0

0

2

0

2

1

1

v

ppCp

v

vCp



NOTA: La variacin de velocidades en el contorno encontrada en la forma que se ha descrito es ms

real que la obtenida con la ecuacin de continuidad:

b

b

v

v 0

0

b : Ancho medido sobre una l.e.

Igual comentario cabe hacer en torno de la variacin de la presin.

A continuacin se presenta la RC para una contraccin gradual, la variacin de velocidades en el

contorno y la verificacin de la presin tambin en el contorno.

FIG. No 5.8

RED DE FLUJO

FIG. No 5.9

VARIACION DE LA VELOCIDAD SOBRE LA PARED



FIG. No 5.10

VARIACION DE LA PRESION SOBRE LA PARED

Los esquemas que siguen tienen por objeto dar una idea de la RC en cada caso y aclarar algunos

conceptos.

CURVA HORIZONTAL:

FIG. No 5.11

Ntese como para el flujo rotacional no es posible dibujar la RC.

PERFIL VERTICAL DE CONTORNOS PARALELOS:

FIG. No 5.12

PERFIL VERTICAL DE CONTORNOS CONVERGENTES:



FIG. No 5.13

RANURA EN LA PARED VERTICAL DE UN DEPSITO

FIG. No 5.14

COMPUERTA DE FONDO:

FIG. No 5.15

Zona de estancamiento (ZE) es aquella zona de flujo en el que la separacin entre las l.c es grande, indicando con ello que la velocidad del agua es casi cero. El punto P se llama punto de estancamiento. VERTEDERO DE PARED DELGADA:



FIG. No 5.16

EXPANSION BRUSCA:

FIG. No 5.17

Zona de separacin (ZS) es aquella zona de flujo en que el lquido por la inercia del movimiento se

separa del contorno. Dentro de ella no se cumple la RC pero fuera de ella si. La lnea de separacin

(l.s) es una l.c.

TOMA DE FONDO CON ARISTA AGUDA.

FIG. No 5.18

Nota: El fenmeno de separacin se presenta en contornos divergentes y en contornos divergentes y

en contornos con arista aguda.

METODO PRASIL:

Es un mtodo para dibujar la RC por encima de un aliviadero de contorno conocido y situaciones

similares como el flujo bajo compuertas. El procedimiento consiste en suponer la l.c superior a la que

se asigna el valor arbitrario 1, trazar la RC siguiendo ciertas pautas y comprobar la l.c inferior con

la forma del contorno. El procedimiento se repite hasta que la l.c inferior coincida con el contorno del

aliviadero.



FIG. No 5.19

Para un punto genrico iM se puede averiguar la velocidad ii ghV 2 siendo ii ZHh 0 ,

donde 0H es la carga en la zona de acercamiento del agua. Se grafica vi versus la distancia sj

medida como indica la figura.

FIG. No 5.20

Como se recordara: s

gradVi

Luego,

dsv

dsVd

i

i

De manera que se puede graficar la curva versus s como consta en la misma figura. En seguida se

toman incrementos iguales y se determinan los valores de s para los puntos ,, 21 MM etc. Estos

puntos pueden ahora ser ubicados sobre la l.c.

Apoyados en los puntos contiguos ,,1 ii MM se trazan dos rectas que formen 045 con la tangente a

la l.c 1 , las cuales se cortan en iP que pertenecer a la l.c. 2

1

.

Repitiendo el procedimiento con los nuevos puntos encontrados se traza la RC completa.

En la reiteracin del procedimiento la iv en una l.c. interior se determina con la ecuacin de

continuidad.



ii nvnv 00

ni

nvv i

00

Una vez obtenida la RC definitiva, la presin en un punto cualquiera se determine con la ecuacin de

Bernoulli:

g

Vh

Y

P

g

VZH

Y

P

g

V

Y

PZH

j

j

j

j

j

j

j

2

2

2

2

2

10

2

10

La figura siguiente muestra la RC definitiva.

FIG. No 5.21

5.6 OTROS MTODOS DE ESTUDIO DEL FLUJO PLANO

El contenido de este apartado es un compendio de lo que esta tratado en el libro Hidrulica General,

volumen 1, de Gilberto Sotelo vila.

TRAZADO DE RC POR MTODOS NUMRICOS.

Los mtodos numricos se basan en la solucin de la ecuacin de Laplace por diferencias finitas. La

descripcin se har para la contraccin que se muestra para un gasto de 60 lps.



FIG. No 5.22

1. El campo de flujo, incluyendo las fronteras, se cubren con la malla de cuadrados paralelamente a

un sistema de ejes x, y, con cualquier origen. El tamao de los cuadrados (h) recibe el nombre de

intervalo de la red y debe ser lo mas pequeo posible para lograr mayor precisin.

2. A un punto genrico o corresponde la estrella regular.

FIG. No 5.23

La funcin en los puntos 1 y 2 en trminos del valor de la funcin en el punto o se obtiene por

desarrollo de la serie de Taylor:

...!3!2

...!3!2

0

3

33

0

2

22

0

02

0

3

33

0

2

22

0

01

X

h

X

h

Xh

X

h

X

h

Xh

Restando:

0

21 2

Xh

hX 2

21

0

Y sumando:

0

2

22

021 2

Xh

2

021

0

2

2 2

hX

Un desarrollo anlogo al anterior pero ahora en la direccin sY conduce a:

2

043

0

2

2

43

0

2

2

hY

hY

3. Para satisfacer la ecuacin de Laplace en el punto O se debe cumplir:

0

0

2

2

0

2

2

YX

3

1 2

4

h

h

0



Es decir, 04 04321 (Ec. 5.15)

O bien, 432104

1

Anlogamente: 432104

1

4. En general las fronteras son curvas por lo que aparecern estrellas irregulares de la forma.

h/b

h/a

FIG. No 5.24

Los brazos incompletos tienen las dimensiones indicadas y los valores de en la frontera se

conocen ( B , C).

Se demuestra que en este caso:

0)2(043 baba CB (Ec. 5.16)

O bien, )(2

1430

CB ba

ba

Esta ecuacin es igualmente aplicable en el caso de una estrella irregular de solo un abrazo

incompleto.

5. Se sigue un proceso iterativo consistente en asignar valores iniciales de la funcin en los

diferentes nudos de la malla; dichos valores sustitutos en la (Ec. 5.15) de cada punto debe dar

residuos cero siempre que los valores iniciales sean los correctos. Por relajacin se entiende la

tcnica que consiste en hacer desaparecer dichos residuos.

En general en la (Ec. 5.15) se tendr:

043210 4 R (Ec. 5.17)

Si se efecta un incremento 00 en el nuevo residuo es:

)( 00432100 RR

0

C

a 2

4



De modo que: 00 4 R

Es decir, para liquidar el residuo original la funcin se debe incrementar en:

004

1R (Ec. 5.18)

Y dicho incremento de la funcin 0 impone cambios en los residuos de los cuatro puntos

adyacentes de la malla, de valor:

04321 RRRR (Ec. 5.19)

Esto es, si el valor de la funcin en un punto se relaja una cantidad igual a 1, su residuo cambia en -

4 y el de los cuatro puntos adyacentes en -1.

I

FIG. No 5.25

FIG. No 5.26

6. La relajacin debe hacerse en el residuo de mayor absoluto. El valor final de la funcin en cada

punto ser la suma algebraica del valor inicial mas todos los incrementos efectuados en la

misma. El mtodo se repite hasta que los valores finales de la funcin arrojen residuos cercanos

a cero con la precisin deseada.

Una eleccin adecuada de los valores iniciales de la funcin puede reducir considerablemente el

nmero de etapas de la relajacin. Se puede uno ayudar con una construccin grafica

aproximada de la red de flujo.

7. En la contraccin del ejemplo, la frontera inferior corresponde a la l.c. =0 y la superior a la l.c.

=60. las fronteras verticales iniciales y final son l.e donde se supone que las perturbaciones

ocasionadas por la contraccin ya no tienen influencia por lo que el flujo es informe.

-4

1

1

1 1

1

1 (2+a+b)

1



Con lneas de puntos se ha trazado a mano un juego de l.c. aproximadas con el objeto de

interpolar los valores iniciales de la funcin , que en este caso es ms adecuada para

integrar.

En cada punto de la malla de cuadrados se anota: en el ngulo correspondiente al segmento

cuadrante los valores inicialmente asignados de la funcin y en el primer cuadrante los

residuos calculados con la Ec. 5.17. Debajo de cada punto y encerrados en un rectngulo

aparecen los valores finales terminados de acuerdo con la precisin deseada, en este caso

hasta la segundo cifra decimal.

8. En un crculo se indica el punto en el que resulto el residuo de dcimo valor absoluto (-2) y que

se obtuvo con la ecuacin Ec. 5.17.

0.2)4.42(42.230.604.430.410 R

Segn la ecuacin (54) el incremento de la funcin es:

50.04

0.2

Dicho incremento se anota arriba del valor inicial de y el residuo liquidado se tacha, el cual

segn la (Ec. 5.19) establece cambios en los residuos de los puntos adyacentes; estos son

idnticos al incremento de la funcin y sumados algebraicamente con los residuos propios del

punto resultan los valores que se consignan en la figura. Se excepta el punto sobre la frontera

porque ah el valor de es constante.

El proceso se reitera con el punto de mximo residuo, en este caso el inmediato superior al

antes analizado.

9. Con los valores finales de en cada punto es posible determinar los de haciendo uso de las

ecuaciones de Cauchy-Riemann, ecuacin (47), las que desarrolladas por incremento finitos

para una estrella regular resultan:

1243

4321

(Ec. 5.20)

Para efectuar el calculo se asigna a todos los puntos de la 1.e. que coincide con el eje y el

mismo valor (cualquiera que se elija) a partir del cual se obtienen los restantes con ayuda de las

ecuaciones ultimas.

10. Para dibujar las l.c. y l.e. definitivas se realiza una interpolacin con los valores finales de y

y despus se unen los puntos de = cte, y = cte, conservando la condicin de

.

Por simplicidad se ha descrito el mtodo de la malla de cuadrados. En la practica existen otros

dos mtodos: el matricial y el del elemento finito, basados tambin en la solucin de la ecuacin

de Laplace por diferencias finitas. Los tres se resuelven con computadora y de ellos el ltimo de

los nombrados es el de mayor versatilidad.



SOLUCIN ANALTICA DIRECTA

Este mtodo consiste en obtener las funciones y por integracin analtica en aquellos casos

especiales en que es suficiente especificar la forma como varia la velocidad. Por simplicidad se opta

por emplear la representacin escalar del vector velocidad.

Los casos de mayor inters se refieren a:

Flujo uniforme rectilneo.

Fuente.

Sumidero.

Vrtice libre y combinado.

SUPERPOSICIN DE FLUJOS

Este mtodo se basa en la propiedad de superposicin de la funcin potencial y consiste en

combinar las soluciones conocidas de los flujos simples antes enumeradas para encontrar

soluciones de otros flujos ms complicadas como:

Vrtice espiral.

Flujo de una fuente a un sumidero.

Doblete.

Flujo en torno a un cilindro.

MTODOS DE TRANSFORMACIN CONFORME (o de mapeo en el plano complejo)

Mediante este mtodo las soluciones de flujos conocidas en un plano complejo se transforman en el

flujo deseado en el plano tambin complejo Z = X + iY. En algunos casos se utilizan

transformaciones conformes sucesivas hasta obtener el flujo deseado.

ANALOGA ELECTRICA.

Es posible emplear la analoga elctrica para obtener la solucin aproximada de un problema de

flujo potencial. El mtodo se basa en la semejanza de la funcin potencial con el potencial

elctrico (voltaje), que tambin satisface la ecuacin de la Place, de tal manera que el vector

grad E representa la intensidad elctrica del campo y es proporcional al campo de velocidades de un

flujo potencial.

0

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