capitulo4-exercicio

4-9

4 DIAGRAMAS TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU

4.1 EXERCÍCIOS

EX. 4.1

Defina os diagramas tensão-deformação de cálculo para:

concreto C20 (parábola-retângulo);

aço CA-50.

Complete o quadro abaixo e defina os diagramas usando as seguintes escalas:

deformação: 1 cm = 1‰

tensão do concreto: 1 cm = 5 MPa

tensão da armadura: 1 cm = 100 MPa

c [MPa] s [MPa]

0,0‰

0,5‰

1,0‰

1,5‰

2,0‰

2,5‰

3,0‰

3,5‰

4,0‰

5,0‰

10,0‰

EX. 4.2

Determinar, para a viga abaixo representada:

a posição da linha neutra (x) e o correspondente domínio;

a força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd);

a força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd);

a força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd);

os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd);

as solicitações de cálculo (NSd e MSd) para a condição limite de segurança (Rd = Sd).

Dados:

concreto: C25;

aço: CA-50;

armadura superior: 2 10 mm;

armadura inferior: 3 12,5 mm;

encurtamento do concreto: 3,5‰ para a fibra mais comprimida;

alongamento da armadura: 7,0‰ para a barra mais tracionada.

Considerar:

estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15);

4-10

domínios da ABNT NBR 6118;

condição de segurança Rd = Sd;

diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,85 fcd para 0,7‰ c 3,5‰).

EX. 4.3

Determinar os valores da força normal resistente de cálculo (NRd) e do momento fletor resistente de cálculo (MRd)

correspondentes ao estado de deformação mostrado na viga abaixo representada.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50;

armadura superior: 2 12,5 mm;

armadura inferior: 3 16 mm;



Considerar:



condição de segurança Rd = Sd; e


NSd

MSd

7,0‰

3,5‰

20 cm

40 cm

5 cm

5 cm

NSd

MSd

10,0‰

2,0‰

20 cm

55 cm

5 cm

5 cm

4-11

EX. 4.4



Dados:

concreto: C20;

aço: CA-25;

armadura: 3 16 mm;



Considerar:




diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,80 fcd para 0,7‰ c 3,5‰);

solicitações e esforços referidos ao centro de gravidade da seção transversal da viga.

EX. 4.5



Dados:

concreto: C20;

aço: CA-25;

armadura: 4 16 mm;



Considerar:





5 cm

3,5‰

NSd

MSd

3,5‰

45 cm

35 cm

5 cm

4-12


EX. 4.6



Dados:

concreto: C30;

aço: CA-50;

armadura: 2 16 mm;



Considerar:






20 cm

60 cm

80 cm

20 cm

10 cm

NSd

MSd

3,5‰

3,5‰

20 cm

NSd

MSd

10 cm

5 cm

3,5‰

1,75‰

10 cm

10 cm

30 cm

10 cm

50 cm

10 cm

4-13

EX. 4.7

Determinar a curva força normal resistente de cálculo x momento fletor resistente de cálculo (NRd x MRD) para a

viga abaixo representada.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50;


armadura inferior: 3 12,5 mm.

A curva deverá ser traçada para o intervalo de pontos definidos a seguir:

Ponto c

(encurtamento)

s

(alongamento) NRd MRd

1 0,0‰ 10,0‰

2 2,0‰ 10,0‰

3 3,5‰ 10,0‰

4 3,5‰ 7,0‰

5 3,5‰ 3,5‰

6 3,5‰ 0,0‰

Considerar:





EX. 4.8

A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm.

Sabendo-se que o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c) é igual a 3,5‰, para a condição limite

de segurança (Rd = Sd), pede-se:

a posição da linha neutra (x) e o correspondente domínio;

a tensão no concreto (c) na região comprimida;

a altura do bloco de concreto comprimido (y);

valor do braço de alavanca (z) correspondente ao binário formado pelas forças resistentes;

NSd

MSd

s

c

20 cm

40 cm

5 cm

5 cm

4-14


a força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada (Rsd);

o alongamento da armadura (s) necessário para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo;

a tensão na armadura (s) necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo;

a área de armadura (As) necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo.

Dados:

concreto: C20; e

aço: CA-50.

Considerar:





EX. 4.9

A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Sabendo-se que:

o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c) é igual a 3,5‰;

a linha neutra (x) encontra-se 25 cm abaixo da fibra mais comprimida;

a armadura de compressão (A's) corresponde a 4,0 cm2,

Pede-se:

o domínio correspondente ao estado de deformação;

o alongamento (s) da armadura tracionada;

o encurtamento ('s) da armadura comprimida;

a tensão no concreto (c) na região comprimida;

a tensão na armadura comprimida ('s);

a tensão na armadura tracionada (s);

o valor da força resistente de cálculo na região de concreto comprimido (Rcd);

o valor da força resistente de cálculo na armadura comprimida (R'sd);

o valor da força resistente de cálculo na armadura tracionada (Rsd);

a área de armadura tracionada (As) necessária para absorver o momento fletor solicitante de cálculo;

o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd).

Dados:

concreto: C25;

aço: CA-50.

s

3,5‰

20 cm

5 cm

45 cm

MSd = 125 kNm

As

4-15

Considerar:






EX. 4.10

A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Sabendo-se que:

o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c) é igual a 3,5‰;

a linha neutra (x) encontra-se 25 cm acima da fibra mais comprimida,

Pede-se:

o valor da força resistente de cálculo na região de concreto comprimido (Rcd);

o valor da força resistente de cálculo na armadura tracionada (Rsd);

a área de armadura tracionada (As) necessária para absorver o momento fletor solicitante de cálculo;

o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd).

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50.

Considerar:






5 cm

s

3,5‰

MSd 25 cm

5 cm

40 cm

4,0 cm2

As

20 cm

35 cm

20 cm

4-16

EX. 4.11



Dados:

concreto: C25;

aço: CA-25;


armadura inferior: 3 12,5 mm;



Considerar:






EX. 4.12

Uma viga calha, tal como ilustrada na figura, ao ser submetida a um carregamento permanente uniformemente

distribuído, sofreu uma deformação de flexão. Para a seção crítica (máxima solicitação), constatou-se que o

encurtamento da fibra mais comprimida do concreto atingiu o máximo permitido pela ABNT NBR 6118 e foi

igual ao alongamento da armadura. Nestas condições, e considerando a condição limite de segurança (Rd = Sd),

determinar:

5 cm

MSd

3,5‰

s

25 cm

40 cm

As

20 cm

35 cm

20 cm

NSd

MSd

40 cm

20 cm

65 cm

10‰

2‰

5 cm

5 cm

4-17

a armadura As (cm2) necessária para que o estado de deformação supra referido seja provocado somente

por momento fletor (carregamento gk);

a força resistente de cálculo Rcd (kN) atuante na região de concreto comprimido, componente do binário

(momento fletor) estabelecido no item a;

o carregamento característico gk (kN/m) atuante nas condições estabelecidas nos itens a e b.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50;

altura útil: d = h - 5 cm.

Considerar:






EX. 4.13

A viga abaixo indicada, em equilíbrio estático, está submetida somente a um momento fletor de cálculo MSd.

Sabendo-se que o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida é igual a 3,5‰ e que a armadura

tracionada é composta por três barras de 20 mm, pede-se:

o alongamento da armadura tracionada necessário para promover o equilíbrio entre os esforços externos

e internos atuantes na viga;

a tensão na armadura necessária para promover o equilíbrio entre os esforços externos e internos

atuantes na viga;

o valor do momento fletor de cálculo MSd atuante na viga.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50.

Considerar:




20 20 20

5 m

gk = ? kN/m

seção transversal

(dimensões em cm)

40

15

4-18


EX. 4.14

As colunas AB e CD, de seções transversais iguais a 30 cm x 30 cm, estão submetidas à compressão centrada e

recebem as reações da viga simplesmente apoiada AC. Nestas condições, pede-se:

a área de armadura (As), necessária em cada coluna, considerando, na ruptura à compressão centrada, a

deformação do concreto igual a 2‰;

para a armadura calculada no item a, o máximo carregamento gk efetivamente permitido sobre a viga,

sabendo-se que o controle tecnológico (ruptura dos corpos de prova cilíndricos), constatou, durante o

processo de concretagem, que a resistência média do concreto (fc28) resultou em 25,55 MPa e o desvio

padrão (s) em 7,0 MPa;

citar, pelo menos uma recomendação, para evitar ou solucionar os problemas associados ao item b.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50.

Considerar:



condição de segurança Rd = Sd; e

diagrama parábola-retângulo para o concreto.

Observações:

considerar o peso próprio da viga incluído na carga gk; e

admitir a probabilidade de 5% de ocorrência, na obra, de valores inferiores à resistência característica do

concreto (fc,28 = fck + 1,65 s).

s

3,5‰

15 cm

5 cm

40 cm

MSd

As

4-19

EX. 4.15

A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que provoca o

encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c) igual a 2,5‰. Tendo em vista que esta viga obedecerá,

rigorosamente, o estabelecido para os domínios da ABNT NBR 6118 (correspondência entre alongamentos e

encurtamentos), determinar:

o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd) correspondente ao estado de deformação acima

definido (MSd = MRd);

a armadura tracionada (As) necessária para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (MSd)

estabelecido de acordo com o item a.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-25;

Considerar:




diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,80 fcd para 0,7‰ c 3,5‰); e


NSd

2‰

D

C

B

A

gk = 260 kN/m

= 10 m

As

corte longitudinal de

uma coluna

diagrama de

deformações

4-20

EX. 4.16

A viga abaixo representada está solicitada apenas por um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Na condição

limite de segurança - estado limite último (MRd = MSd), a fibra de concreto mais comprimida deformou até o valor

máximo admissível pela ABNT NBR 6118 e a linha neutra ficou situada 31,25 cm abaixo desta fibra. Nestas

condições, pede-se:

os valores das forças resistentes de cálculo (kN) atuantes na região de concreto comprimido (Rcd) e na

região da armadura tracionada (Rsd);

o valor do momento fletor solicitante de cálculo MSd (kNm) capaz de provocar o estado de deformação

acima definido;

o valor da armadura de tração As (cm2) necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo

MSd.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50.

Considerar:






AS

s

MSd

2,5‰

55 cm

5 cm

50 cm

4-21

EX. 4.17

Determinar, para a viga abaixo representada:

o valor limite para a carga Qk (carga acidental direta – valor característico) correspondente às condições

mínimas de segurança estabelecidas pela ABNT NBR 6118;

a armadura necessária (cm2) para a condição estabelecida no item a.

Sabe-se que, para o estabelecido no item a, a viga apresenta as deformações indicadas no desenho.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50;

Considerar:





Observação:

peso próprio da viga incluído na carga gk.

s

c

20 cm

5 cm

50 cm

MSd

As

15 cm

60 cm

4-22

EX. 4.18

Determinar o momento solicitante de cálculo (MSd) e a correspondente armadura tracionada (As), capazes de

provocar, na viga abaixo representada, um encurtamento na fibra de concreto mais comprimida (c) igual a 3,5‰

associado a uma altura (y) da região de concreto comprimida igual a 24 cm.

Dados:

concreto: C30;

aço: CA-50.

Considerar:






10‰

2,5‰

20 cm

5 cm

45 cm

MSd

As

estado de deformação na seção

correspondente a posição da carga Qk

1,0 m 2,0 m 1,0 m

Qk

gk = 20 kN/m

2,0 m

4-23

EX. 4.19

Determinar, para o estado de deformação da viga abaixo representada:

a armadura de compressão (A’s), necessária para que a seção transversal resista somente ao momento

fletor solicitante de cálculo (MSd);

o valor deste momento fletor solicitante de cálculo.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50;

armadura inferior: 3 16 mm;

encurtamento da fibra de concreto mais comprimida: 2,5‰.

Considerar:





EX. 4.20

3,5‰

5

20

20

20

15 30 15

dimensões em cm

MSd

As

s

s 20 cm

5 cm

45 cm

5 cm

MSd A’s

2,5‰

4-24

Determinar, para a viga abaixo representada, qual o momento resistente de cálculo MRd para a condição de força

normal nula. Sabe-se que o referido momento encontra-se no domínio 2. Admitir, para este domínio, variação

linear da curva MRd x NRd.

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50;

armadura superior (A’s): 2 10 mm;

armadura inferior (As): 2 12,5 mm.

Considerar:





EX. 4.21

Para a viga abaixo representada, determinar:

a armadura de tração (As), necessária para que a seção transversal resista somente ao momento fletor

solicitante de cálculo (MSd);

A’s

5 cm

s

c

20 cm

55 cm

MSd

As

5 cm

NRd

(compressão)

NRd

(tração)

MRd

domínio 2

(reta)

domínio 3

domínio 1

4-25

o valor deste momento fletor solicitante de cálculo.

Dados:

concreto: C25;

aço: CA-50;

altura da região de concreto comprimido (y): 15 cm.

Considerar:





EX. 4.22

A viga abaixo indicada está submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que provoca o

alongamento da fibra de aço mais tracionada (s) igual a 7‰. Tendo em vista que esta viga será dimensionada

com concreto C20, aço CA-25 e obedecerá, rigorosamente, o estabelecido para os domínios da ABNT NBR 6118

(correspondência entre alongamentos e encurtamentos), determinar:

o valor do momento fletor solicitante de cálculo (MSd) correspondente ao estado de deformação acima

definido (MSd = MRd);

a armadura tracionada (As) necessária para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (MSd)

estabelecido de acordo com o item a.

Considerar:






50 cm

s 20 cm

5 cm

40 cm

10 cm

MSd

As

c

15 cm

0,7‰

4-26

EX. 4.23

A viga abaixo indicada está submetida somente a um momento fletor solicitante de cálculo MSd. Sabendo-se que a

área da seção transversal da armadura tracionada corresponde a 8,66 cm2, pede-se:

a altura do bloco de concreto comprimido (y);

a posição da linha neutra (x);

valor do braço de alavanca (z) correspondente ao binário formado pelas forças resistentes;


a força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada (Rsd);

o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c);

o alongamento da armadura tracionada (s);

a tensão na armadura (s);

o momento fletor solicitante de cálculo (MSd).

Dados:

concreto: C20;

aço: CA-50.

Considerar:





AS

7‰

MSd

c

50 cm

5 cm

45 cm

4-27

5

5

5

35

5 10

5

5

s

MSd

As

c

dimensões

em cm

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