cap_tensione trazione cls

Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria

Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…

Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13

I materiali utilizzati nelle strutture in c.a.p.

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso

I materiali utilizzati per il c.a.p.

Per loro natura le strutture in precompresso sono soggette ad elevati

sforzi interni. Per tale motivo sono in genere realizzate con materiali più

resistenti di quelli utilizzati nel cemento armato normale:

Calcestruzzi ad elevata

resistenza

35 < Rck < 55 MPa

Per loro natura i calcestruzzi con

resistenze elevate sono anche più

fragili aspetto che limita l’uso del

precompresso in zona sismica

dove invece occorre un

comportamento piuttosto duttile



Le NTC-08 prescrivono le seguenti classi di resistenza dalle quali si

deduce che per elementi in c.a.p. deve essere utilizzata una classe

minima C28/35, ossia un calcestruzzo con resistenza cubica minima

pari a Rck=35 MPa

Strutture di destinazione Classe di calcestruzzo

minima

Per strutture non armate o a bassa

percentuale di armatura

C8/10

Per strutture semplicemente armate C16/20

Per strutture precompresse C28/35



Le classi di resistenza previste dall’EC2 sono state parzialmente

recepite dal DM 14.01.08 (NTC) al punto 11.2.10

Classi di resistenza del calcestruzzo C Relazioni

30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67

fck (MPa) 30 35 40 45 50 55

Rck(MPa) 37 45 50 55 60 67

fcm (MPa) 38 43 48 53 58 63 fck+8(MPa)

fctm (MPa) 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 4.2

fcm=0.30×fck(2/3)

< C/50/60

fcm=2.12ln (1+fcm/10)

> C/50/60

Ecm (GPa) 32 34 35 36 37 38 Ecm=22×(fcm/10)0.3

(fcm in MPa)

EUROCODICE 2



NTC-08


28/35 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67

fck (MPa) 29.05 37.35 41.50 45.65 49.80 55.61 fck=0.83Rck

Rck(MPa) 35 45 50 55 60 67

fcm (MPa) 37.08 45.35 49.50 53.65 57.80 63.61 fck+8(MPa)

fctm (MPa) 3.34 3.82 4.04 4.27 4.49 4.23

fcm=0.30×fck(2/3)

< C/50/60

fcm=2.12ln

(1+fcm/10)

> C/50/60

fctk(MPa) 2.34 2.67 2.82 2.89 3.14 2.69 fctk=0.7 ftcm

Ecm

(GPa) 32.59 34.62 35.58 36.42 37.24 38.33

Ecm=22×(fcm/10)0.3 (fcm in MPa)

Le classi di resistenza previste dall’EC2 sono state parzialmente

recepite dal DM 14.01.08 (NTC) al punto 11.2.10



Esempio: calcolare in accordo con le NTC08 le caratteristiche meccaniche di

un calcestruzzo con resistenza cubica caratteristica pari a 30 Mpa

( )

( ) MPaREMPafE

Mpaff

Mpaff

Mpaff

MPaff

MPaRf

MPaR

ckcmcmcm

ctmctk

ctmctk

ckctm

ckcm

ckck

ck

3122057003144710/000.22

11.32.1

79.17.0

59.23.0

9.328

9.2483.0

30

3.0

95.0,

05.0,

3/2

====

==

==

==

=+=

==

=

(D.M. 96)

cmf

cmf4.0

cmE

σ

ε

in MPa



I MODELLI DI CALCOLO PER IL CALCESTRUZZO SECONDO LE NTC-08

εc2 = 0,20% εcu = 0,35% εc3 = 0,175% εc4 = 0,07%

Il modello (a) è quello più utilizzato per il calcolo allo SLU



LA VARIAZIONE DELLA RESISTENZA NEL TEMPO(RESISTENZA A COMPRESSIONE)

Poiché nel precompresso occorre generalmente effettuare le verifiche per le

diverse fasi costruttive previste in sede di progetto è necessario disporre di

leggi che forniscano la variazione temporale dei resistenza e modulo elastico.

fcm t =βcc(t)fcm

con βcc t =es 1− 28

t

1/2

fcm (t) è la resistenza media del cls al tempo t

fcm è la resistenza media del cls a 28 giorni

βcc(t) è un coefficiente che dipende dall’età t del clst è l’età del cls in giorni

s è un coefficiente che dipende dal tipo di cemento

= 0.20 cementi alta resistenza (R) (CEM42,5R CEM52,5)

= 0.25 normali (N) (CEM32,5R,CEM42,5)

= 0.38 a lento indurimento (S) (CEM32,5)



E’ particolarmente importante tener conto della variazione di resistenza

nel cemento armato precompresso a causa della possibile presenza di più

fasi costruttive che coinvolgono verifiche tensionali in tempi successivi nei

quali il calcestruzzo ha raggiunto livelli di maturazione differenti.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 200 400 600 800

ββ ββ∞∞ ∞∞

tempo (g)

28gg Incremento max

del 20%




In forma analoga l’Eurocodice 2 prescrive una legge temporale per

esprimere la variazione della resistenza a trazione del calcestruzzo.

L’espressione proposta è al seguente:

fctm t = βcc(t) αfctm

dove

fctm è la resistenza media a trazione del cls a 28 giorni

βcc(t) è il coefficiente utilizzato nell’espressione della resistenza a compressioneα è un coefficiente che vale 1 per t < 28 gg, 2/3 per t ≥ 28 gg




TENSIONI LIMITE DI COMPRESSIONE IN ESERCIZIO

Condizioni iniziali

L’Eurocodice 2 prevede che in condizioni iniziali le tensioni non superino

i seguenti valori

strutture a cavi post-tesi

strutture a cavi pre-tesi

La normativa italiana prevede invece solamente la seconda limitazione

valida per entrambi gli acciai (NTC-08 p. 4.1.8.1.4)

(t)0.6fσ ckicc, =

(t)0.7fσ ckicc, =




Condizioni di esercizio

In condizioni di esercizio le prescrizioni normative contenute

nell’EC2 si differenziano a seconda della condizione di carico

variabile considerata e della classe di esposizione del manufatto:

Per le classi di esposizione 3,4

Per le classi di esposizione 1,2

ck1ecc, fkσ ≤

ck2ecc, fkσ ≤



La normativa italiana prevede invece la sola differenziazione

legata al tipo di combinazione di carico (NTC08 p. 4.1.2.2.5.1):

per combinazione caratteristica (rara)

per combinazione quasi permanente




• La normativa Italiana non prevede esplicitamente la possibilità di

utilizzare la precompressione limitata così come la normativa

europea. Sicché non sono presenti indicazioni sulla massima

tensione ammissibile di trazione per tale condizione.

• Nell’EC2 è previsto però che le sezioni possano essere

considerate interamente reagenti se la tensione massima di

trazione sia inferiore alla resistenza media di trazione (fctm) a

patto che si disponga un’armatura minima che assorbi la

risultante delle trazioni ad incipiente fessurazione (EC2 p. 7.3.2).

Questa condizioni era già presente nella normativa italiana

precedente [DM 09.01.96].




La normativa italiana (NTC 08 – p. 4.1.2.2.4.1) prevede che per lo

stato limite di fessurazione la tensione massima a trazione nel

calcestruzzo sia inferiore o al più uguale al limite seguente:

Poiché è previsto l’uso di modelli consolidati si può continuare ad

utilizzare la condizione di precompressione limitata purché la

tensione massima di trazione sia inferiore a fctk e che sia disposta

un’armatura che assorba lo sforzo di trazione.

21.

f ctm=≤ ctkei,ct, fσ

TENSIONI LIMITE DI TRAZIONE IN ESERCIZIO



CALCOLO TENSIONI LIMITE : ESERCIZIO

Per un calcestruzzo di classe C40/50 realizzato con cemento ad alta

resistenza si calcolino le tensioni limite di esercizio secondo la

NTC08, in presenza di condizioni di carico quasi permanente e

precompressione applicata dopo 14 gg dal getto.

soluzione: Seguendo le indicazioni contenute nella tabella seguente

la resistenza caratteristica cilindrica fck del calcestruzzo esaminato è

pari a 41.5 MPa, mentre la resistenza cilindrica media fcm risulta

essere pari a 49.5 MPa.




28/35 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67

fck (MPa) 29.05 37.35 41.50 45.65 49.80 55.61 fck=0.83Rck

Rck(MPa) 35 45 50 55 60 67

fcm (MPa) 37.08 45.35 49.50 53.65 57.80 63.61 fck+8(MPa)

fctm (MPa) 3.34 3.82 4.04 4.27 4.49 4.23

fctm=0.30×fck(2/3)

< C/50/60

fctm=2.12ln

(1+fcm/10)

> C/50/60

fctk(MPa) 2.34 2.67 2.82 2.89 3.14 2.69 fctk=0.7 fctm

Ecm (GPa) 32.59 34.62 35.58 36.42 37.24 38.33Ecm=22×(fcm/10)0.3

(fcm in GPa)

CALCOLO TENSIONI LIMITE IN ESERCIZIO: ESERCIZIO




Per la determinazione delle

tensioni limite a

compressione e trazione in

fase iniziale è necessario

valutare dapprima la

resistenza media fcm(t)

all’atto del tiro :

βcc t=14gg =e0.2 1− 28

14

12

=0.66

fcm t=14gg =βcc t fcm=0.66× 49.5=32.67 MPa

La resistenza caratteristica al tempo t=14 gg si

ottiene sottraendo dalla precedente una quantità

pari a 8 Mpa

fck t=14gg =32.67−8=24.67 MPa

Resistenza media a

compressione al tempo t=14 gg




la resistenza trazione media fctmrisulta pari a 3.5 MPa, sicchè al

tempo t=14 gg la resistenza a

trazione media assume il valore

seguente (con α=1, poiché t<28 gg)

Resistenza media a trazione al

tempo t=14 gg

fctm t = βcc(t) αfctm

fctm 14gg =0.66 × 3.5 MPa = 2.31 MPa



CALCOLO TENSIONI LIMITE : ESERCIZIO

Tensioni limite in fase iniziale

Compressione σcc,i t=14gg =0.7fck t=14gg =16.57 MPa

Trazioneσct,i t=14gg =fctm t=14gg

1.2=

2.311.2

=1.92 MPa

Tensioni limite in fase di esercizio

Compressioneσcc,e=0.45fck=0.45 × 23.68=10.56 MPa

Trazioneσct,e=fctm1.2

=3.51.2

=2.91 MPa



LE PROPRIETA’ REOLOGICHE DEL CALCESTRUZZO(VISCOSITA’)

00 ),()( ttttEE

tc

c

c

cvelc ≥Φ+=+=

σσεεε

Il fenomeno della viscosità si manifesta come variazione di lunghezza a

tensione costante. Per livelli di tensione bassi è lecito assumere che tali

deformazioni siano proporzionali alle tensioni; si parla così di viscoelasticità

lineare. Detta σc la tensione iniziale nel cls (t=t0), nell’ipotesi che essa

rimanga costante, la deformazione al tempo t può essere così espressa:

00 ),( tttt ≥Φ

Funzione di viscosità

εel εel+ εv

t=t0 t=t

F=cost

F F

t

ε

elε

vε

0t




Nel caso generale nel quale la tensione varia nel tempo, la

deformazione al tempo t può essere espressa come somma

dell’effetto della tensione iniziale, considerata costante, e delle

variazioni temporali della stessa:

[ ] [ ]∫ +++=t

tc

c

c

cc

E

dttt

Et

0

)(),(1),(1)( 0

τστφφ

σε

t

σ

σd

t

ε

εd

τd

Termine legato alla tensione iniziale

Termine legato

agli incrementi di tensione




La valutazione della deformazione in questo caso si può effettuare, ad

esempio, utilizzando il metodo del coefficiente d’invecchiamento

AAEM [Cosenza & Greco]. Il metodo consiste nell’approssimare

l’integrale precedente introducendo il coefficiente d’invecchiamento

χ(t,t0):

[ ])t()t()t,t(

)(d),t(

)t,t(cc

t

t

c

c00

00

σσφ

τστφ

χ−

=

∫

In virtù della precedente la deformazione può essere espressa mediante l’equazione algebrica.

[ ] [ ]),(),(1)()(

),(1)(

)( 000

00 tttt

E

tttt

E

tt

c

cc

c

cc φχ

σσφ

σε +

−++=

),(),(1),(1

)()()()(

00

mod,

0

0,

mod,

0

0,

0

tttt

EE

tt

EE

E

tt

E

tt c

cc

c

c

cc

c

cc φχφ

σσσε

+=

+=

−+=




Il coefficiente d’invecchiamento dipende non solo da t e t0 ma anche

dallo stato tensionale σc. Sotto l’ipotesi che quest’ultimo produca una

variazione di deformazioni lineare con la funzione di viscosità φ, sipuò dimostrare che χ risulta essere indipendente dalla tensione. Lasoluzione dell’equazione di viscosità può essere ad esempio valutata

mediante i metodi così detti algebrizzati che consistono nella

valutazione approssimata dell’integrale [Cosenza, Greco, 1991]. Le

norme americane ACI suggeriscono il calcolo del coefficiente χmediante un’espressione approssimata, che proviene

dall’osservazione che esso stabilizzandosi rapidamente può essere

espresso come inviluppo dei massimi delle varie curve

(Walther R. Miehlbradt, 1994).




0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 10 100 1000

χχ χχ(t

0)

t0

3/10

3/10

01

)(t

tt

+=χ

Coefficiente d’invecchiamento




Nel caso di cemento armato precompresso, la tensione di riferimento

per il calcolo delle deformazioni viscose si considera in genere

costante e quindi un coefficiente di invecchiamento unitario. Nel caso

però ci fossero diverse fasi di precompressione la deformazione

viscosa andrebbe valutata utilizzando un valore appropriato di χ.

Il calcolo del coefficiente di viscosità si effettuata in genere

utilizzando espressioni fornite dalle normative, che sono state

ricavate a seguito di numerose indagini di natura sperimentale.




La normativa italiana attuale [NTC-08] prevede, che in sede di

progettazione, se lo stato tensionale del calcestruzzo, al tempo t0=j di

messa in carico, non è superiore a 0.45×fckj, il coefficiente di viscosità

φ(∞, t0), a tempo infinito, a meno di valutazioni più precise (ad es.EC2), può essere dedotto da Tabelle in funzione di h0 (dimensione

fittizia definita come il rapporto tra il doppio dell’area di calcestruzzo

esposto e il perimetro che confina l’area stessa h0=2A/p).




Tabella NTC -08- Valori del coefficiente di viscosità a

tempo infinito per umidità ambientale del 75%

Dalla tabella si evince che la deformazione di viscosità può essere

generalmente variabile tra 2 e 3.5 volte la deformazione elastica

iniziale, con conseguente aumento della deformabilità.

Nel cemento armato precompresso ciò significa perdita di

tensione nel cavo




Esempio:Valutare funzione di viscosità tempo infinito di una trave in calcestruzzo

di classe C/30 in condizioni di umidità del 65% e la cui sezione è rettangolare 30 x

50 cm. Il tempo di carico iniziale t0=15gg.

L’area esposta è quella dell’intera sezione A=1500 cm2 così come il perimetro

p=160 cm. Il parametro h0 , rapporto tra il doppio dell’area e il perimetro esposto

vale dunque h0=2 150000/1600 =187.5 mm. Visto il valore di umidità relativa

imposto, occorre interpolare tra i valori delle tabelle 2 e 3.

Calcoliamo il coefficiente di viscosità per umidità del 75%. Dalla tabella 2 per t0 =

15gg occorre interpolare tra i valori di 2.6 e 2.4:

φ (75%) =2.4 - (2.4-2.2)/(300-150)×(187.5-150) = 2.35

Per il caso di umidità del 55% la funzione di viscosità, valutabile dalla tabella 3,

vale:

φ (55%) =3.0 - (3.0-2.7)/(300-150)×(187.5-150) =2.925

Il valore del coefficiente di viscosità cercato varrà dunque:

φ (∞, t0,RH=65%) =2.925 - (2.925-2.35)/(75-55)×(65-55) =2.64




In presenza di più fasi di precompressione occorre valutare le

variazioni temporali della funzione di viscosità e non solamente il

valore a tempo infinito. A tal proposito l’EC2 suggerisce la

procedura seguente:

)(),( 00 tttt cu −= βφφ

)()( 0tfcmRHu ββφφ =

213

01.0

11 ααφ

−+=

h

RHRH ( )

cm

cmf

f8.16

=β ( )200

01.0

1

tt

+=β



LE PROPRIETA’ REOLOGICHE DEL CALCESTRUZZO(RITIRO)

( )00rr t,t)t( βεε =

dove εr0 è la deformazione (di ritiro)dipendente dal materiale e dalle

condizioni ambientali, mentre la

funzione β è la funzione che regola ilfenomeno nel tempo e che dipende

da:

• t0=istante iniziale a partire dal

quale si tiene conto del ritiro

• t = età del cls

• h0 = dimensione caratteristica

della struttura




La normativa italiana e l’Eurocodice 2 prevedono la valutazione

della deformazione da ritiro. In particolare, si può esprimere come

somma di due contributi:

εcs=εcd+εca

dove:

εcs è la deformazione totale per ritiro

εcd è la deformazione per ritiro da essiccamento

εca è la deformazione per ritiro autogeno.

Valori tipici sono dell’ordine di 0.3 – 0.4 0/00




fck

(MPa)

Deformazione da ritiro per essiccamento (in °/°°)

Umidità relativa (in %)

20 40 60 80 90 100

20 -0.62 -0.58 -0.49 -0.30 -0.17 +0.00

40 -0.48 -0.46 -0.38 -0.24 -0.13 +0.00

60 -0.38 -0.36 -0.30 -0.19 -0.10 +0.00

80 -0.30 -0.28 .0.24 -0.15 -0.07 +0.00

h0 (mm) kh

100 1.0

200 0.85

300 0.75

≥ 500 0.70

εcd,∞= kh εc0

deformazione per ritiro da essiccamento a tempo infinito

la deformazione per ritiro autogeno

( ) 6101052 −∞ ⋅−−= ckca f.,ε

con fck in N/mm

2




( )sdscdcd ttt −= ∞βεε ,)( ( )( ) 2/3

004.0 htt

tttt

s

ssds

+−

−=−β

Variazione nel tempo della deformazione per ritiro

(NTC08 11.2.10.6)

� t è l’età del calcestruzzo nel momento considerato (in giorni)

� ts è l’età del calcestruzzo a partire dalla quale si considera

l’effetto del ritiro da essiccamento (normalmente il termine

della maturazione, espresso in giorni).



Per loro natura le strutture in precompresso sono soggette ad elevatisforzi interni. Per tale motivo sono in genere realizzate con materialipiù resistenti di quelli utilizzati nel cemento armato normale:

• Acciai Armonici

1000 < fyk < 1900 MPa

N.B. Sono acciai ad elevata

resistenza ma scarsa

duttilità, dunque poco

adatti in zona sismica

σ

εFeB22k – 200 MPa

FeB44k (350-400 Mpa)

Barre (>1000 Mpa)

Trecce/trefoli (1500-1900 MPa)

Acciai Armonici

Acciai da cemento armato precompresso



Filo: prodotto trafilato di sezione piena che possa fornirsi in rotoli;

Barra: prodotto laminato di sezione piena che possa fornirsi

soltanto in forma di elementi rettilinei. Essa hanno il vantaggio di

poter essere giuntate. Ciò permette di effettuare più agevolmente la

posa in opera delle armature di precompressione.

Tipologie di acciai secondo le NTC08



Treccia: 2 o 3 fili avvolti ad elica intorno al loro comune asse

longitudinale; passo e senso di avvolgimento dell’elica sono eguali

per tutti i fili della treccia;

Trefolo: fili avvolti ad elica intorno ad un filo rettilineo

completamente ricoperto dai fili elicoidali.




Modulo elastico: 195000 MPa – 205000 MPa




LE PROPRIETA’ REOLOGICHE DELL’ACCIAIO(RILASSAMENTO)

Un fenomeno duale di quello della

viscosità nel calcestruzzo è quello

del rilassamento, che si manifesta

nell’acciaio come diminuzione della

tensione a deformazione costante.

Questo fenomeno assume

particolare rilevanza negli acciai da

precompresso per i quali una

diminuzione di tensione al loro

interno produce una diminuzione

del grado di precompressione nella

struttura.

1σ

2σ

0σ

21 εε =

∞=2t

0t 1 =

Decremento del 10-20%




Le NTC-08 forniscono le seguenti espressioni per il calcolo delle

cadute di tensione da rilassamento dell’acciaio da precompresso

utilizzabili in assenza di sperimentazione diretta:




Esempio:Valutare la perdita per rilassamento a tempo infinito di trefoli d’acciaio

armonico di classe 1 con resistenza caratteristica fptk = 1800 MPa soggetto ad una

tensione iniziale pari a 1300 MPa.

Essendo l’acciaio di classe 1 per il calcolo della perdita di rilassamento deve essere

utilizzata la prima espressione con una perdita a 1000 ore pari a ρ1000 = 8.0:

=

⋅⋅=

=

∆ −−5

)1800

13001(75.0

1800

13007.6

5)1(75.0

7.61000 10

1000

500000839.510

100039.5 e

te

pi

prµ

µρσ

σ

0.199

La perdita vale dunque ∆σpr=258.78 MPa

Per indicare un tempo infinito



MODELLI DI CALCOLO DELL’ACCIAIO DA C.A.P.

Per il precompresso viene in genere utilizzato il modello (a) che

prevede un incrudimento tipico degli acciai armonici con

deformazione ultima caratteristica pari a 1%

cap_tensione trazione cls

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