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CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

Capítulo 2

Energía interna de deformación

2.1- Energía interna de deformación en sólidos elásticos

Se dice que un sólido es elástico si para cualquier carga exterior P , la relación P U

(Figura 2.1) se cumple mediante una única ley a través de los ciclos de carga y descarga (U es la

componente del desplazamiento del punto de aplicación de la carga P en la dirección de dicha

carga)

Figura 2.1

En otros términos, un sólido es elástico cuando no se observan ciclos de histéresis en el

diagrama P U a través de los ciclos de carga y descarga.

El trabajo desarrollado por la fuerza exterior durante la deformación del sólido está

representado por el área rayada del diagrama P U (Figura 2.1)

Si la carga crece lentamente de modo de no producir aceleraciones, y además el sólido

es elástico (por lo que el diagrama de cargas es reversible), entonces todo el trabajo externo We

de la carga queda almacenado en forma de energía interna de deformación, Wi .

. We P dU (Ec. 2.1)

P

U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-

Wi We (Ec. 2.2)

Cuando se trata de sólidos elásticos, el trabajo de las fuerzas exteriores es por

definición igual a la energía interna de deformación. La energía elástica acumulada en el cuerpo deformado se restituye cuando el sólido

recupera su forma primitiva. Por lo tanto, Wi es energía potencial elástica de deformación.

Cuando un sólido es elástico, y además el diagrama P U es una línea recta (Figura 2.2)

se dice que es un sólido linealmente elástico.

Figura 2.2

Para el caso de un resorte de rigidez constante K resulta:

.P K U (Ec. 2.3)

que corresponde al gráfico de la Figura 2.2, donde la recta tiene pendiente K .

Llevando la ecuación (Ec. 2.3) a (Ec. 2.1) tenemos según (Ec. 2.2):

1

21

0

1. . . .2

U

We Wi K U dU K U (Ec. 2.4)

Este valor coincide con el área rayada del triángulo de la Figura 2.2.

Introduciendo la ecuación (Ec. 2.3) a (Ec. 2.4) se tiene: 2

11 .2

PWiK

(Ec. 2.5)

1 11 . .2

Wi P U (Ec. 2.6)

Obsérvese que tanto (Ec. 2.4) como (Ec. 2.5) son expresiones numéricamente iguales para

sólidos linealmente elásticos, pero en (Ec. 2.4) Wi es función de las deformaciones y en (Ec. 2.5)

de los esfuerzos.

A continuación se desarrollan las expresiones de Wi para estructuras de barras de

materiales que siguen la ley de Hooke.

P

U

1P

1U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-

2.2- Cálculo de la energía interna de deformación Wi asociada al esfuerzo axial N :

Figura 2.3

Se considera un tramo de barra de longitud infinitesimal dx para el cual resulta N cte ,

por lo que el trabajo externo infinitesimal resulta:

1 1. . . . .2 2

dWe dWi N dx Wi dWi N dx (Ec. 2.7)

Esta ecuación se cumple para sólidos elásticos en general. Si además se supone válida la

ley de Hooke (sólido linealmente elástico) se obtiene:

.. .

N l l NlA E l A E

(Ec. 2.8)

Donde:

l Longitud de la barra

E Módulo de elasticidad

A Área de la sección

Deformación específica longitudinal

Llevando la ecuación (Ec. 2.8) a (Ec. 2.7): 2

0

1 .2 .

l NWi dxA E

(Ec. 2.9)

Que expresa Wi en función del esfuerzo normal N para el caso lineal.

También puede expresarse:

2

0

1 . . .2

l

Wi A E dx (Ec. 2.10)

Que expresa Wi en función de la deformación específica para el caso lineal.

dx

N

N

dx

N

N

.dx


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-

Wi asociada al momento flector M :

Figura 2.4

Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone

M cte , el trabajo externo infinitesimal resulta:

1 . .2

dWe dWi M d

.d dx

0

1 . .2

l

Wi dWi M dx (Ec. 2.11)

ddx Curvatura longitudinal

La (Ec. 2.11) se cumple para sólidos elásticos en general. Si además se supone válida la

ley de Hooke (sólido linealmente elástico) se obtiene

.. .

M Md dxE I E I

(Ec. 2.12)

Llevando (Ec. 2.12) a (Ec. 2.11) tenemos: 2

0

1 .2 .

l MWi dxE I

(Ec. 2.13)

Esta última expresa Wi en función del momento flector M para sólidos linealmente

elásticos. Puede también escribirse:

2

0

1 . . .2

l

Wi E I dx (Ec. 2.14)

La anterior expresa Wi en función de la curvatura para el caso lineal.

d

dx

M M


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-

Wi asociada al esfuerzo de corte Q :

Figura 2.5

Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone

Q cte , el trabajo externo infinitesimal resulta:

1 . .2

dWe dWi Q du

.du dx

0

1 . .2

l

Wi dWi Q dx (Ec. 2.15)

La (Ec. 2.15) se cumple para sólidos elásticos en general. Si además se supone válida la

ley de Hooke

.. .c c

Q Qdu dxA G A G

(Ec. 2.16)

Llevando (Ec. 2.16) a (Ec. 2.15) se tiene: 2

0

1 .2 .

l

c

QWi dxA G

(Ec. 2.17)

2

0

1 . . .2

l

cWi A G dx (Ec. 2.18)

Tanto (Ec. 2.17) como (Ec. 2.18) corresponden a sólidos linealmente elásticos.

( . )cA G Es la rigidez al corte.

cA Es el área de corte que, en general, resulta menor que el área de la sección y

depende de la forma de la misma.

Q

du

Q

dx


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-

Wi asociada al momento torsor Mt

Figura 2.6

Procediendo en forma análoga a los otros esfuerzos se obtiene:

1 . .2

dWe dWi Mt d

.d dx

0

1 . .2

l

Wi dWi Mt dx (Ec. 2.19)

Si se introduce la ley de Hooke:

.. .p p

Mt Mtd dxG J G J

(Ec. 2.20)

Reemplazando (Ec. 2.20) en (Ec. 2.19): 2

0

1 .2 .

l

p

MtWi dxG J

(Ec. 2.21)

2

0

1 . . .2

l

pWi G J dx (Ec. 2.22)

Que corresponde a sólidos linealmente elásticos.

Es la deformación específica (giro por unidad de longitud).

( . )pG J Es la rigidez a la torsión.

pJ Es el momento polar de inercia sólo para el caso de secciones circulares o anulares.

Para secciones no circulares no es el momento polar de inercia sino un parámetro generalizado

que se define en la teoría general de la torsión de secciones no circulares.

Mt

dx

d

Mt


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-

Wi para el caso de solicitaciones combinadas

Debe notarse que para cada tipo de solicitación corresponde un tipo de deformación

independiente. Así, depende exclusivamente de N , depende exclusivamente de M , etc.,

aún en el caso que las solicitaciones sean simultáneas. Por lo tanto, la energía total para este caso

se obtiene como la suma de los distintos términos: 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1. . . .2 . 2 . 2 . 2 .

l l l l

p c

M Mt N QWi dx dx dx dxE I G J A E A G

(Ec. 2.23)

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1. . . . . . . . . . . .2 2 2 2

l l l l

p cWi E I dx G J dx A E dx A G dx (Ec. 2.24)

Según se puede apreciar en (Ec. 2.23) y (Ec. 2.24), Wi es una función cuadrática en

los esfuerzos o en las deformaciones específicas y por lo tanto resulta:

0Wi (Ec. 2.25)

Obsérvese que si se duplica la carga, la energía Wi se hace 4 veces mayor. Por esta razón,

no es correcto sumar la energía correspondiente a una carga iP con la energía correspondiente a

otra jP calculadas independientemente; se requiere determinar primero los esfuerzos totales

como superposición de esfuerzos debidos a las distintas cargas y recién calcular la energía

interna que es una función cuadrática de las cargas.

En las expresiones (Ec. 2.23) y (Ec. 2.24) deben considerarse para la flexión dos términos

correspondientes a los momentos flectores respecto a los dos ejes principales de inercia, para los

cuales las deformaciones (curvaturas) son independientes. Lo mismo ocurre con el esfuerzo de

corte, que debe considerarse según las direcciones de los dos ejes principales de inercia.

Notar que se cumple: 0

. . 0l

i jE d dx cuando i j

Donde:

iE Es un esfuerzo determinado, como ser: , , , .N M Q Mt

jd Es la distorsión asociada al esfuerzo jE .


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-

2.3- Aplicaciones del postulado Wi We 1- Calcular la flecha en la viga simplemente apoyada de la Figura 2.7 cargada en el centro del tramo.

Figura 2.7

1 . .2

We P Wi

2 2

0 0

1 1 1. . . .2 2 . 2 .

l l

c

M QP dx dxE I A G

(Ec. 2.26)

Se desprecia la energía de deformación por corte frente a la de flexión. Esto equivale a

despreciar la deformación por corte frente a la deformación por flexión (suele ser menor del 1%).

( ) .2PM x x

Por simetría, la energía en toda la viga es dos veces la energía correspondiente a la mitad. / 2/ 2 2 2 2 3 2 3

20 0

1 1 . 1 1 .. . . 2. . . . .2 2 2 . . 2 2. . 3 2 48. .

ll P x P x P lP dxE I E I E I

Finalmente: 3.

48. .P l

E I (Ec. 2.27)

El postulado de igualdad entre We y Wi permite calcular el desplazamiento del punto de

aplicación de la única fuerza actuante (ver el primer miembro de (Ec. 2.26)).

lx

P

( )M x


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-

2- Calcular la flecha en la viga simétrica de la Figura 2.8

Figura 2.8

Tramo Momento flector Limites

(Ec. 2.28) A-D 1

3 . .2

P x 104lx

D-C 2 2 23 3. . . . . .2 4 8 2

l PP x P x P l x

204lx

1 1 1 1. . . . . . . .2 2 2 2i i D C EWe P P P P

21 .2 .

MWi dxE I

(Se desprecian las deformaciones de corte).

Haciendo We Wi se tiene una única ecuación con tres desplazamientos incógnitas:

, ,D C E . En rigor, aprovechando la condición de simetría las incógnitas se reducen a dos.

El problema puede ser resuelto en forma aproximada asumiendo una “forma” para la

elástica. A tal efecto, se supone una elástica aproximada con forma de parábola simétrica

respecto al centro con un parámetro 0 a determinar:

xx

y

0

0

l1x

P PP

2x

P PP

xA BCD E


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-

2

0 2. 1 4. xyl

(Ec. 2.29)

Wi se calcula en forma exacta a partir de los momentos dados en (Ec. 2.28). 2 2/ 4 / 4 2 3

1 1 2 20 0

1 3 3 23 .. 2. . . . . . . . .2 . 2 8 2 384 .

l l P P lWi P x dx P l x dxE I E I

(Ec. 2.30)

Se puede calcular We en forma aproximada utilizando (Ec. 2.29).

( / 4) (0) ( / 4)1 . .2 l lWe P y y y

( / 4) ( / 4) 03 .4l ly y ; (0) 0y

0 01 3 3 5. . . 1 . .2 4 4 4

We P P

(Ec. 2.31)

Igualando (Ec. 2.30) y (Ec. 2.31): We Wi 2 3

023 . 5. . .

384 . 4P l PE I

3

0.

20,86. .P l

E I (Ec. 2.32)

El resultado que se obtiene con procedimientos exactos es:

3

0.

20, 21. .P l

E I (Ec. 2.33)

La (Ec. 2.32) presenta sólo un 3% de error en defecto.

Alternativamente, es posible también aproximar la elástica por una sinusoide del tipo:

0.. xy senl

(Ec. 2.34)

01 3. . . .2 4 2 4

We P sen sen sen

01,207. .We P (Ec. 2.35)

xx

y

0

l


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-

La energía interna se determina en forma exacta en (Ec. 2.30) mientras que (Ec. 2.35) es

una aproximación del trabajo externo basada en (Ec. 2.34). Igualando We con Wi tenemos: 2 3

023 .. 1, 207. .

384 .P l PE I

3

0.

20,15. .P l

E I (Ec. 2.36)

Este resultado presenta un error en exceso del 0.3%.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

3- Calcular el área de corte para una sección rectangular

Figura 2.9

La tensión de corte τ(y) no es constante en la altura de la viga y su valor en función del

momento estático S(y) se encuentra utilizando el teorema de Jouravski:

( )( )

yy

rect

Q Sb I

; 3.

12rectb hI

/2 2

2( ) . . .

2 4

h

yy

b hS y b dy y

2

( ) 2

6. 1.. 4yQ y

b h h

(Ec. 2.37)

( )( )

yy G

(Ec. 2.38)

Para obtener la energía de deformación por corte en el tramo dx debe integrarse primero

en la altura de la viga(variable y) y luego integrarse a lo largo de la viga (variable x):

/ 2 2

2 2( )

0 0 / 2 0

1 1 1 6. . . . . . . . . . . .2 2 2 5 . .

c

l l h l

c yh dA

QWi A G dx b dy G dx dxb h G

(Ec. 2.39)

.cdA b dy Área de corte infinitesimal donde la tensión es constante ( ) ( ).y y G

Comparando (Ec. 2.39) con (Ec. 2.17) resulta:

dx

y

b

h

dQ

.dQ dA

dx

dy

.dA b dy

( )y( )y


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

2 26 .5 . . .c

Q Qb h G A G

5 .6cA A (Ec. 2.40)

Conclusión:

En lugar de considerar la tensión de corte variable a lo largo de la altura de la

viga según la expresión (Ec. 2.37) se puede considerar una tensión constante m

actuando sobre el área de corte cA a los efectos del cálculo de la elástica incluyendo las

deformaciones por corte de una viga de sección rectangular:

5 . .6

mc

Q QA b h

(Ec. 2.41)


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

4- Área de corte para una viga reticulada

En casos de estructuras livianas del tipo de la Figura 2.10 que se construyen con hierros

redondos soldados, suele no convenir analizarlas como reticulado por el elevado número de

barras, sino como una barra de alma llena con propiedades equivalentes.

Figura 2.10

Donde:

A Área de cordón ; mA Área de montante ; dA Área de diagonal

Se busca una viga de alma llena equivalente que tenga igual deformación por flexión y

corte que la viga reticulada. El momento de inercia se calcula por el teorema de Steiner. Se

puede despreciar los momentos de inercia de las barras respecto a su propio eje. 2

24. . .2hI A A h

(Ec. 2.42)

La determinación del área de corte cA de una viga equivalente requiere el cálculo de la

energía de deformación por corte. Para un tramo de viga de longitud “ a ” se tiene:

Figura 2.11

a

A

dAmA

2h

2Q

mF

a

dF


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

El sistema de apoyos deslizantes sólo permite deformaciones por corte. Se considera la

mitad del corte actuando sobre cada una de las caras del reticulado.

2mQF ;

2. ( )dQF

sen (Ec. 2.43)

El corte se transmite a través de fuerzas axiales en las diagonales y en los montantes

cuyos valores están dados por la (Ec. 2.43).

La energía de deformación es:

2 2( ) ( )1 12. . .2 2. .

d m

d md m

F FWi E EA Al l

(Ec. 2.44)

El coeficiente 2 en (Ec. 2.44) resulta de considerar las dos caras verticales del reticulado.

Se ha considerado sólo un montante ya que existe uno por módulo que se repite (el montante de

la izquierda se lo considera perteneciente al modulo anterior). Introduciendo la (Ec. 2.43) en la

(Ec. 2.44): 2

2

1 . .2 2. . ( ) 2.

d m

d m

l lQWiE A sen A

(Ec. 2.45)

En el caso de una viga de alma llena, la energía de deformación por corte está dada por

(Ec. 2.17). Integrando en un tramo de longitud “ a ”: 21 . .

2 .c

QWi aA G

(Ec. 2.46)

Igualando (Ec. 2.45) y (Ec. 2.46), y observando que:

cos( )dl a

. tan( )ml h a

2

1. 1 tan( )2. . ( ).cos( ) 2.

c

d m

EAG

A sen A

(Ec. 2.47)

Este valor puede resultar del orden del 10% del área de la sección transversal (4. )A por lo

que las deformaciones por corte suelen no resultar despreciables frente a las deformaciones por

flexión y deben tenerse en cuenta en los cálculos. Para resolver problemas hiperestáticos es

necesario calcular deformaciones, y éstas deben considerar los esfuerzos de corte a través de un

área de corte cA .


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

Una vez determinado el diagrama de M podemos hallar la máxima solicitación en los

cordones (que son los que absorben la flexión), a partir del máximo momento flector:

max max max2. .

. 2cM M M hrW I A h

max

2. .cM

A h (Ec. 2.48)

r Distancia del eje neutro a la fibra más alejada.

Alternativamente puede considerarse que el momento flector M se equilibra por fuerzas

F en los cordones tales que:

Figura 2.12

4. . 4. . .2 2h hM F A

con lo que se llega nuevamente a (Ec. 2.48).

Los esfuerzos máximos en las barras diagonales y montantes (que absorben el corte) se

calculan según (Ec. 2.43) a partir del máximo corte.

max

2m

m mm

Q FFA

; max

2. ( )d

d dd

Q FFsen A

(Ec. 2.49)

.F A

F

2h


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

5- Calcular el desplazamiento vertical ( )v del punto de aplicación de la única carga que actúa sobre la estructura.

Figura 2.13

1 . .2 vWe P

La energía interna es la suma de la energía de todas las barras.

Wi Para una barra es según (Ec. 2.6) un medio del producto del esfuerzo jN por la

elongación je .

1 . .2 j jWi N e

Suponiendo el material lineal se tiene por Hooke:

.j

j

j

Ne

A El

Si se impone la condición Wi We . 21 1. . .

.2 2j

v

j

NP

A El

21 ..

jv

j

NA EP

l

(Ec. 2.50)

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

Ejercicio Nº 1:

Comprobar que la energía de deformación es igual al trabajo de deformación cuando un

fleje de largo " "l se lleva a la forma circular mediante momentos iguales y opuestos actuando en

los extremos.

Se puede asegurar que la forma final es una circunferencia porque al ser el momento

constante en todo el fleje y el momento de inercia también constante tendremos curvatura

constante.

1.

Mr E I (Ec. 2.51)

Trabajo externo: Es el trabajo del momento a través del giro:

1 . .2

2.

We M

.We M

Energía de deformación: es la energía de deformación por flexión: 2

0

1 1. . . .2 . 2 .

l M MWi dx M lE I E I

Según (Ec. 2.51):

1.

MKr E I

Además: 2. .l r

Reemplazando:

1 1. . .2. .2

Wi M rr

.Wi M

Luego:

We Wi

l

M M

r


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

Ejercicio Nº 2:

Determinar el máximo valor aproximado de la flecha para el caso de la viga del croquis.

Suponiendo una elástica:

La energía de deformación (por flexión) se calcula en forma exacta (Wi ).

2. . .2 2

q l xM x q

2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 3 5 4

0 0 0

1 1 . . . . . . .. . . .2 . 2. . 4 4 2 2. . 12 20 8

ll lM q l x q x q l x q l x x l xWi dx dxE I E I E I

2 5 2 5. 1 1 1 ..2. . 12 20 8 240. .q l q lWi

E I E I

El trabajo externo We se calcula aproximadamente en base a una cierta “forma” de la

elástica.

Caso a):

/ 2 / 2 2

011 0 12

/ 2 0

. .4.1 2. . . . . . 1 .2 2 3

l l

l

q lxWe q dx y q dxl

Igualando: Wi We

2 50. ..

240. . 3q lq l

E I

4

0.

80. .q l

E I

q

.2

q l .2

q l

x

q

2x 1xl

21

0 2

0 2

4.) . 1

) . .

xa yl

b y sen xl


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

Caso b):

/ 2 / 2

02 0 2 2 0

/ 2 0

. .1 2. . . . . . . . 0,3183. . .2 2

l l

l

q lWe q dx y q sen x dx q ll

Igualando: Wi We

2 50. ..

240. .q lq l

E I

4

0..

240 .q lE I

Nota: el valor exacto de la flecha es: 4

05 ..

384 .q lE I

Caso a), error: 3,99 % ; Caso b), error: 0,53 %

Nótese que la elástica propuesta es simétrica y cumple con las condiciones de contorno.

Ejercicio Nº 3:

Determinar el desplazamiento de la viga en la sección donde se aplica la carga puntual,

analizando la influencia de las deformaciones por corte.

P

L / 3 L

x1 x2

fM29

PL

Q23

P13

P

23

P 13

PReacciones


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

Las expresiones de energía externa e interna resultan:

12

We P 2 2

0 0

( )1 1 ( )2 2

L Lf

C

M x Q xWi dx dxEI GA

Desarrollando, la energía interna se obtiene como: 2 2 2 22 2

3 3 3 30 0 0 0

1 2 1 1 2 12 3 3 2 3 3

L LL L

C

Wi Px dx Px dx P dx P dxEI GA

3 2 32 3 3 2

3 2 3

0 00 0

4 1 4 12 9 3 9 3 2 9 9

L LL L

C

P x x PWi x xEI GA

2 3 22 1243 9 C

P L P LWiEI GA

De esta forma: 3

deformación deformaciónflexional por corte

4 2243 9 C

PL PLWe WiEI GA

Adoptando los siguientes parámetros: 3 4 4

2

(ancho de la viga) (alto de la viga)

0.15 m 12 8 10 m0.40 m 5 6 0.05 mC

b I bhh A bh

7 2

7 2

3.5 10 kN m1.5 10 kN m100 kN

EGP

Se consideran dos longitudes diferentes de la viga:

Para 3 3 3

97% 3%4: 3.762 10 m 0.119 10 m 3.881 10 mL

Para 4 4 4

67% 33%1: 0.588 10 m 0.296 10 m 0.884 10 mL

Se observa que la contribución de las deformaciones por corte no es despreciable cuando

la longitud de la viga se torna relativamente corta respecto a las dimensiones de la sección.

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