capítulo 37 - wordpress.com

© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

Capítulo

Distribución de probabilidad normal


3 7


Hasta ahora hemos construído distribuciones de probabilidad para variables discretas. Construir la probabilidad para una variable aleatoria X, que puede asumir cualquier valor en un intervalo requiere interpretar probabilidad como un área. Esto se conoce como una probabilidad continua. En la próximas lecciones estudiaremos dos formas de probabilidad continua: • probabilidad uniforme • probabilidad normal

7-2

La distribución de probabilidad uniforme


Supongamos que UPS va a entregar un paquete a su residencia en algún momento entre 10 a.m.-11 a.m.

Sea X representa el tiempo después de las 10 am cuando la entrega tenga lugar.

Noten que la entrega podría ser a las 10 AM (x = 0) o a las 11 AM (x = 60). Noten, además, que es tan probable que el paquete llegue entre 10:15 AM y 10:16 o que llegue entre 10:40 y 10:41.

O sea que X puede asumir cualquier valor en 0 ≤ 𝑥 ≤ 60 con igual probabilidad.

Como dos intervalos cualesquiera, de igual longitud, entre 0 y 60, inclusive, son igualmente probables, se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de probabilidad uniforme.

EJEMPLO Ilustrar la distribución uniforme

7-3

© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-4

La función de densidad de probabilidad

Cuando calculamos las probabilidades de las variables aleatorias discretas, por lo general sustituimos el valor de la variable aleatoria en una fórmula. Como una variable aleatoria continua puede tener una infinidad de resultados posibles, la probabilidad de observar un valor particular de una variable aleatoria continuo es cero. Para resolver este problema, calculamos las probabilidades de variables aleatorias continuas sobre un intervalo de valores. Para calcular probabilidades para variables aleatorias continuas, se utilizan funciones de densidad de probabilidad.


Una función de densidad de probabilidad (PDF) es una ecuación utilizada para calcular probabilidades de variables aleatorias continuas. Debe satisfacer las dos propiedades siguientes: 1. El área total bajo la gráfica de la ecuación sobre todos los valores posibles de la variable aleatoria debe ser igual a 1. 2. La altura de la gráfica de la ecuación debe ser mayor que o igual a 0 para todos posibles valores de la variable aleatoria.

Definición

Supongamos que UPS va a entregar un paquete a su residencia en algún momento entre 10 am - 11 am.

Sea X representa el tiempo después de las 10 am cuando la entrega tenga lugar.

Construya una gráfica de la distribución de probabilidad.

Note que 1. el área del

rectángulo es 1. 2. la altura de la

gráfica es mayor o igual a 0 para todos los posibles valores de X. 7-6

EJEMPLO Distribución de probabilidad uniforme


El área bajo la gráfica de la función de

densidad en un intervalo representa la

probabilidad de observar un valor de la variable aleatoria continua en ese intervalo.

7-7

La probabilidad de una variable continua


Determine la probabilidad de que el paquete se entregue entre 10:15 AM y 10:30 AM.

P(15 ≤ 𝑥 ≤ 30) es el área bajo la función de densidad uniforme.

15 30

EJEMPLO Probabilidad como área

7-8

Area = P(15 < x < 30)

= 15/60 = 0.25

15 30


El tiempo de reacción X (en minutos) de un cierto proceso químico sigue una distribución de probabilidad uniforme con 5 ≤ 𝑥 ≤ 10.

EJEMPLO Probabilidad como área

7-9

(a) Dibuje la gráfica de la curva de densidad.

(b) (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 6 y 8 minutos?

(c) (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 5 y 8 minutos?

(d) (d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción sea menor que 6 minutos?

Función de densidad normal

La distribución normal es una, sino la más importante de todas las distribuciones de probabilidad.

Las razones principales para su importancia incluyen:

• gran número de fenómenos reales se pueden modelar con esta distribución

• muchas de las distribuciones de uso frecuente tienden a aproximarse a la normal bajo ciertas condiciones

• proporciona la base de la inferencia estadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central.


Histogramas de frecuencias relativas que son simétricas y tienen forma acampanadas se dice que tienen la forma de una curva normal.

7-11

La gráfica de una curva normal


Si una variable aleatoria continua se distribuye normalmente, o si tiene una distribución de probabilidad normal, entonces su histograma de frecuencias relativas tiene forma de campana y es simétrica (forma de curva normal ).

7-12

Para distribuciones

simétricas con un solo pico,

tales como la distribución

normal,

moda = media = mediana.

A consecuencia de esto, la

media, es el punto más alto

de la gráfica de la

distribución.


Las siguientes figuras

muestran cómo los

cambios en 𝝁 y 𝝈 cambian

la curva normal.

En la primera, podemos ver

que el aumento de la media

de 0 a 3 causó que la

gráfica se trasladara tres

unidades a la derecha, pero

mantuvo su forma.

En la segunda, podemos

ver que el aumento de la

desviación estándar de 1 a

2 hace que la gráfica se

vuelva más plana y más

dispersa, pero mantuvo su

punto central.


Propiedades de la curva de densidad normal 1. Es simétrica alrededor de su media. 2. Debido a que moda = media = mediana, existe un solo pico

y el punto más alto se produce en 𝑥 = 𝜇. 3. Tiene puntos de inflexión en 𝑥 = 𝜇 + 𝜎 𝑦 𝑥 = 𝜇 − 𝜎 4. El área bajo la curva es igual a 1. 5. El área bajo la curva a la derecha de 𝜇 es igual al área bajo

la curva a la izquierda 𝜇 y es igual a 1

2.

6. Cuando x → ∞, 𝑓 x → 0, Cuando x → − ∞, 𝑓 x → 0 7. Según la regla empírica: aproximadamente

a) 68% del área bajo la curva normal está entre 𝑥 = 𝜇 + 𝜎 𝑦 𝑥 = 𝜇 − 𝜎

b) 95% del área bajo la curva normal está entre 𝑥 = 𝜇 + 2𝜎 𝑦 𝑥 = 𝜇 − 2𝜎

c) 99.7% del área bajo la curva normal está entre 𝑥 = 𝜇 + 3𝜎 𝑦 = 𝜇 − 3𝜎


La curva de densidad normal


EJEMPLO Identificar 𝜇 𝑦 𝜎 en los histogramas

7-16

𝜇 = 5, 𝜎 = 2 𝜇 = 530, 𝜎 = 100


Los datos en la siguiente diapositiva representan la altura (en pulgadas) de una muestra aleatoria de 50, varones de dos años de edad.

(a) Dibuje un histograma de los datos utilizando como límite inferior 31.5 y ancho de clase igual a 1.

EJEMPLO Una variable aleatoria normal

7-17


31.5 34.6 35.6 36.2 37.4

33 34.7 35.7 36.7 37.7

33.2 34.8 35.7 36.8 37.9

33.4 34.8 35.7 36.8 38.2

33.5 35 35.7 36.9 38.3

33.6 35.1 36 36.9 38.4

34 35.1 36 37 38.9

34 35.2 36 37 39.3

34.4 35.2 36 37.2 39.3

34.4 35.4 36.1 37.2 39.8

(b) ¿Cree usted que la variable aleatoria "altura de varones de 2 años de edad" se distribuye normalmente? Justifique su respuesta.

EJEMPLO (cont.) Una variable aleatoria normal

7-20

La figura demuestra

que la curva normal

describe bastante bien

las alturas de los

varones de 2 años de

edad.

Concluimos que las

alturas son

aproximadamente

normales, con

𝜇 = 35.95

y 𝜎 = 1.79

(c) ¿Cómo se relaciona el área del rectángulo correspondiente a una estatura entre 34.5 y 35.5 pulgadas con el área bajo la curva entre estas dos alturas?

EJEMPLO (cont.) Una variable aleatoria normal

7-21

Observe que el área de

esta región sombreada

está muy cerca al área

bajo la curva normal de

la misma región, por lo

que se puede utilizar el

área bajo la curva

normal para aproximar

la proporción de

varones de 2 años de

edad con estatura entre

34.5 y 35.5 pulgadas.


Area bajo la curva normal

Supongamos que un variable aleatoria, X, tiene una

distribución normal con media 𝜇 y desviación estándar

𝜎.

El área bajo la curva normal para cualquier intervalo de

valores de la variable aleatoria X representa cualquiera

de los siguientes

• la proporción de la población con la característica

descrita por el intervalo de valores

• la probabilidad de que una persona seleccionada

al azar de la población tenga la característica

descrita por el intervalo de valores.

EJEMPLO Interpretar el área bajo la curva normal

Los pesos de jirafas siguen, aproximadamente, una distribución normal con μ = 2,200 libras y σ = 200 libras. (a) Dibuje una curva normal con los parámetros marcados. Sombree el área

bajo la curva normal a la izquierda de x =2100. (b) Supongamos que el área bajo la curva normal a la izquierda de x = 2100

libras es 0.3085. Proporcione dos interpretaciones para este resultado.

• La proporción de las

jirafas cuyo peso es menor

que 2,100 libras es 0.3085

• La probabilidad de que

una jirafa seleccionada al

azar pese menos de 2,100 libras es 0.3085.

7-23


Area bajo una curva normal ¿Cómo se determina el área bajo la curva normal de una

variable aleatoria?

La función de densidad de probabilidad para una

variable aleatoria normalmente distribuida está dada por

donde 𝜇 es la media y 𝜎 es la desviación estándar de la

variable aleatoria.

Determinar el área bajo esta curva requiere técnicas

introducidas en el cálculo, que están fuera del foco de

este curso.


Variable aleatoria normal estandarizada

Una alternativa al uso de técnicas de cálculo para determinar el área bajo la curva normal sería el uso de una serie de tablas. Sin embargo, esto equivaldría crear una infinidad de tablas… una para cada posible combinación de desviación estándar y media. Una mejor alternativa es estandarizar la variable.

7-26

Z: valor estandarizado

Para transformar una variable aleatoria X, con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎, en una variable aleatoria Z, con media 0 y desviación estándar 1 se usa la transformación Note que lo que hace la transformación es determinar a cuántas desviaciones estándares se encuentra el valor de X de la media. Z es una variable aleatoria con una distribución normal estándar.


Z: distribución normal estándar

Ahora, necesitaremos sólo una tabla para determinar las áreas correspondientes a la distribución normal estándar y, por lo tanto, determinar la probabilidad de que una variable aleatoria normal asuma cierto valor.

La tabla normal


EJEMPLO Estandarizar una variable aleatoria

Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media μ = 2,200 libras y desviación estándar σ = 200 libras.

Dibuje una gráfica que demuestra que el área bajo la curva normal entre 2000 y 2300 libra es igual al área bajo la curva normal estándar entre los valores Z para 2,000 y 2,300 libras.

7-30

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎

𝑧 =2000 − 2200

200

𝑧 =−200

200

𝑧 = −1

𝑧 =2300 − 2200

200

𝑧 =100

200

𝑧 =1

2

EJEMPLO (cont.) Estandarizar una variable aleatoria

A continuación se muestra el área bajo la curva de los pesos entre

x=2000 y x=2300 Y la curva normal estándar entre los valores para Z entre z=-1 y z = ½

7-31


Seccón 7.2: La distribución normal estándar

7-32


Propiedades de la curva de normal estándar 1. Es simétrica alrededor de su media, 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1. 2. La moda = media = mediana =0, y el punto más alto se

produce en 𝑥 = 0. 3. Tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 1 4. El área bajo la curva es igual a 1. 5. El área bajo la curva a la derecha de 𝜇 es igual al área bajo

la curva a la izquierda 𝜇 y es igual a 1

2.

6. Cuando Z → ∞, P(Z) → 0, Cuando Z → − ∞, 𝑃(Z) → 0 7. Según la regla empírica: aproximadamente

a) 68% del área bajo la curva normal está entre 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 1

b) 95% del área bajo la curva normal está entre 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 2

c) 99.7% del área bajo la curva normal está entre 𝑥 = −3 𝑦 = 3


Area bajo una curva de normal estándar


La tabla para la distribución normal estándar da el área bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de alguna Z, como se muestra

7-35

Determinar el área bajo una curva de normal estándar


Determinar el área bajo la curva normal estándar a la

izquierda de Z = -0.38.

EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar

Area left of z = -0.38 is 0.3520. 7-36


Área bajo la curva normal estándar a

la derecha de zo es igual a 1 – Area

to the left of zo

7-37

Area bajo una curva de normal estándar

Determinar el área bajo la curva normal estándar a la derecha de Z = 1.25

Área a la derecha 1.25 = 1 – área a la izquierda de 1.25 = 1 – 0.8944 = 0.1056 7-38



Determinar el área bajo la curva normal estándar entre

z = -1.02 y z = 2.94.

Área entre -1.02 y 2.94

= (Área a la izquierda de z = 2.94) – (área a la izquierda de z = -1.02)

= 0.9984 – 0.1539

= 0.8445

7-39



7-40

Problema Procedimiento Solución

Determinar el área a la izquierda de z

Sombrear el área a la izquierda de z

Usar la tabla normal para hallar la fila y la columna que corresponden a z. El área el el valor donde la fila y la columna intersecan.

Determinar el área a la derecha de z

Sombrear el área a la derecha de z

Usar la tabla normal el área a la izquierda de z. Luego reste 1 – área a la izquierda de z

Determinar el área entre 𝑧1 𝑦 𝑧2

Sombrear el área entre 𝑧1 𝑦 𝑧2

Usar la tabla normal el área a la izquierda de 𝑧1 y a la izquierda de 𝑧2. Luego reste área a la izquierda 𝑧2 – área a la izquierda de 𝑧1


Determinar z, dado que el área a la izquierda de z es 0.7157

EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la izquierda de z.

El valor z tal que el área a la izquierda de z es 0.7157 es z = 0.57.

7-41


Determinar z, dado que el área a la derecha de z es 0.3021.

El área a la izquierda de z es 1 – 0.3021 = 0.6979.

La aproximación para el valor de z que corresponde a un área de 0.6979 a la izquierda (0.3021 a la derecha) es 0.52. Por lo tanto, z = 0.52.

7-42

EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la derecha de z.

Práctica

Determinar el área bajo la curva normal estándar que

está a la izquierda de z.

Determinar el área bajo la curva normal estándar entre:

capítulo 37 - wordpress.com

Documents