Capítulo 4. Sucesiones y series

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4.1 Sucesiones.

La teoría de series y sucesiones tiene sus antecedentes en la antigüedad clásica. Ya desde la época de Zenón de Elea se conocen intentos por comprender los fenómenos matemáticos de series y sucesiones. Zenón fue un hombre que se caracterizó por construir muchas aporías, de las cuales sólo cuatro llegaron hasta nosotros. En una de ellas él se preguntaba ¿cómo Aquiles, el de los pies ligeros, puede recorrer, es decir correr, el estadio (125 pasos geométricos u octava parte de una milla)? Él decía: antes de llegar a la meta, Aquiles tiene que recorrer la mitad del camino. En este momento le resta la otra mitad. Ahora bien, antes de recorrer la mitad restante, tiene que recorrer la mitad de esta mitad, de modo que aún le resta la mitad de esta mitad, es decir la cuarta parte. Pero antes de recorrer esta cuarta parte restante, tiene que recorrer su mitad, y así sucesivamente. Evidentemente, siempre –supone Zenón- le quedará una parte por recorrer.

Claro que Zenón no intentaba negar que Aquiles llegase a la meta. Él sólo trataba de mostrar la aparente imposibilidad racional del movimiento. Cuentan que Diógenes de Sinope, el cínico, intentaba refutar estos argumentos caminando en círculos alrededor de su oponente. Pero una verdad racional no se refuta demostrando lo contrario, se refuta delatando la falla lógica. El hecho de que Diógenes sólo atinase a caminar sin poder decir nada, muestra cuán fuerte son los argumentos de Zenón.

Ya en el siglo XVII y XVIII, algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la suma de conjuntos de infinitos números fuese finita. La idea que propone Zenón en esta aporía es que la suma de un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita.

La sucesión que propone Zenón es la siguiente: primero el corredor tiene que recorrer la mitad del estadio, luego la mitad de la mitad restante (es decir, la cuarta parte), luego la mitad de la mitad de la mitad (es decir, la octava parte), y así sucesivamente. Es decir, la sucesión tiene la forma:

½, ¼, 1/8, 1/16, …

Evidentemente, esta sucesión tiene infinitos términos, cada uno de los cuales es una magnitud positiva. Fácil es comprender que la magnitud que tiene que recorrer el corredor viene dada por la serie

“… antes de empezar a sumar mecánicamente los 100 primeros números me di cuenta de que si sumaba el primero y el último obtenía 101; al sumar el segundo y el penúltimo también se obtiene 101, al igual de sumar el tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente hasta llegar a los números centrales que son 50 y 51, que también suman 101. Entonces lo que hice fue multiplicar 101 x 50 para obtener mi resultado de 5.050”

Carl Friedrich Gauss

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½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + …

¿Qué es lo que propusieron los matemáticos?, que la serie anterior tiene suma positiva finita, aunque se sumen infinitos términos. Sabemos que en este caso la suma es 1, es decir la unidad (la unidad que el estadio representa).

Los primeros investigadores en este dominio ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia o divergencia de las series. Trataban las series infinitas como si fuesen sumas ordinarias, como si estuviesen supeditadas a las leyes usuales del álgebra, sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse universalmente a las series infinitas. Por eso, no es sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de los resultados obtenidos fuesen incorrectos. Afortunadamente, muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y destreza poco frecuente, que les evitaba llegar a conclusiones falsas, aunque no pudieran justificar los métodos empleados.

Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar importante Leonhard Euler. Euler descubría una fórmula interesante después de otra y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto unificador de diversas ramas de las matemáticas, que hasta entonces estaban sin relación. La extensión del uso de las series infinitas empezó más tarde, cerca de 50 años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el desarrollo del cálculo infinitesimal. Nicolás Mercator y Guillermo Brunckor descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al intentar calcular el área de un segmento hiperbólico. Poco después Newton descubrió la serie binomio. Estos descubrimientos constituyeron un punto fundamental en la historia de las matemáticas. Poco después de la muerte de Euler, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a disminuir y el período formal en la historia de las series llegó a su término.

Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía por primera vez un estudio riguroso de la convergencia de las series infinitas. Pocos años más tarde, Cauchy (en 1821) introdujo una definición analítica del concepto de límite y expuso los fundamentos de la teoría moderna de convergencia y divergencia de las series infinitas. Con ello quedó claro que una serie infinita de números tiene suma finita si la serie es convergente, o lo que es lo mismo: si la serie converge, entonces tiene suma finita.

Cuando nos encontramos con una serie infinita de números hay dos cosas que debemos determinar: a) si la serie converge o no, b) si converge, ¿cuál es su suma? La mayor dificultad para tratar de dilucidar ambas cuestiones es determinar el término enésimo de la sucesión de las sumas parciales. En realidad, puede decirse que son raras las series en las que es posible hallar una fórmula que nos dé la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, si para determinar la convergencia de la serie es preciso hallar el límite cuando n tiende a infinito del término enésimo de la sucesión de las sumas parciales, cabe la pregunta: ¿de qué manera podemos saber en el caso general el carácter de la serie?

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De suerte que se han desarrollado criterios que permiten determinar el carácter de la serie sin tener que hallar el término enésimo de la sucesión de las sumas parciales. Existe un número bastante amplio de criterios, unos más apropiados que otros para este o aquel tipo de serie, que nos permite realizar semejante cálculo. Ahora bien, no existe un criterio único, una metodología universal que resuelva el problema en cuestión. La determinación del término enésimo de la sucesión de las sumas parciales de una serie es un problema que su solución abriría las puertas al problema de determinar de manera muy sencilla si una serie converge o no y, si converge, ¿cuál es su suma? Veamos.

Definición:

Una sucesión es un conjunto numerable de elementos, dispuestos en un orden definido y que guardan una determinada ley de formación. Formalmente diremos que una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los naturales y su rango es el conjunto de los números reales.

𝑆𝑆𝑆𝑆 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑛𝑛) = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 1,2,3, … Aunque 𝑓𝑓(𝑛𝑛) es una función, usualmente se representa con una notación de subíndices en vez de una notación funcional. Para referirnos a una sucesión cualquiera escribimos.

𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3, 𝑎𝑎4, … 𝑎𝑎𝑛𝑛, … Estos elementos son los términos de una sucesión. El término 𝑎𝑎𝑛𝑛, que ocupa el lugar 𝑛𝑛, se llama término general o n-ésimo término y es la ley mediante la cual se obtiene un término cualquiera de la sucesión. Si el Término general viene expresado mediante una fórmula, entonces se pueden hallar tantos términos de la sucesión como queramos. e.g.

𝑎𝑎1 =12

+ 7 =152

Primer término

𝑎𝑎2 =22

+ 7 = 8 Segundo término

𝑎𝑎3 =32

+ 7 =172

Tercer término

𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑛𝑛2

+ 7 n-ésimo término

Si una sucesión tiene un conjunto infinito de elementos entonces la llamamos sucesión infinita, en caso contrario sería una sucesión finita. Al igual que las funciones, las sucesiones pueden presentarse en forma de gráficas, tablas o una expresión.

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Por ejemplo, las siguientes sucesiones tienes su término general expresado por una fórmula:

2; 5; 8; 11, … … 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛 − 1

1;13

;15

;17

; … … 𝑎𝑎𝑛𝑛 =1

2𝑛𝑛 − 1

1; 4; 9; 16; 25; 36 . .. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2

1; 8; 27; 64; 125; 216; . .. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛3

o también pueden ser expresadas como pares ordenados:

2; 5; 8; 11, … … {(1,2), (2,5), (3,8), (4,11), … , (𝑛𝑛, 3𝑛𝑛 − 1)}

1;13

;15

;17

; … … ��1,13� , �2,

15� , �3,

17� , … , �𝑛𝑛,

12𝑛𝑛 − 1

��

1; 4; 9; 16; 25; 36 . .. {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), … , (𝑛𝑛,𝑛𝑛2)}

1; 8; 27; 64; . .. {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64), … , (𝑛𝑛,𝑛𝑛3)}

4.2 Sucesiones Recursivas Se dice que una sucesión se describe recursivamente si dados los primeros 𝑝𝑝 términos de la sucesión para algún número natural 𝑝𝑝, cada uno de los siguientes términos se define como una función de uno o más de los términos precedentes. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci1 se forma así:

𝑢𝑢1 = 𝑢𝑢2; 𝑢𝑢1 = 1; 𝑢𝑢2 = 1 𝑢𝑢𝑛𝑛+1 = 𝑢𝑢𝑛𝑛 + 𝑢𝑢𝑛𝑛−1; 𝑢𝑢2+1 = 𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢2−1 = 𝑢𝑢3; 𝑢𝑢3 = 𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢1 = 1 + 1 = 2

𝑢𝑢3+1 = 𝑢𝑢3 + 𝑢𝑢3−1 = 𝑢𝑢4; 𝑢𝑢4 = 𝑢𝑢3 + 𝑢𝑢2 = 2 + 1 = 3

𝑢𝑢4+1 = 𝑢𝑢4 + 𝑢𝑢4−1 = 𝑢𝑢5; 𝑢𝑢5 = 𝑢𝑢4 + 𝑢𝑢3 = 3 + 2 = 5

𝑢𝑢5+1 = 𝑢𝑢5 + 𝑢𝑢5−1 = 𝑢𝑢6; 𝑢𝑢6 = 𝑢𝑢5 + 𝑢𝑢4 = 5 + 3 = 8

𝑢𝑢6+1 = 𝑢𝑢6 + 𝑢𝑢6−1 = 𝑢𝑢7; 𝑢𝑢7 = 𝑢𝑢6 + 𝑢𝑢5 = 8 + 5 = 13

𝟏𝟏,𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟑𝟑,𝟓𝟓,𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑, . . ..

1 Leonardo de Pissa Fibonacci (hijo de Bonacci) en su libro acerca del abaco (1228) presenta el siguiente ejemplo: una persona colocó una pareja de conejos en un criadero con el objeto de averiguar cuantas parejas nacerían en un año. Las hipótesis eran que, (1)cada mes una pareja de conejos produciría otra pareja de conejos y (2) los conejos comenzarían a tener crías dos meses después de su nacimiento. Buchannan, L., “Límites (una transición al Cálculo)” Edit. Easo, México, 1985.

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Como podemos notar una sucesión recursiva está definida por los términos anteriores, veamos otro ejemplo:

𝑏𝑏𝑛𝑛 = −𝑏𝑏𝑛𝑛−1𝑏𝑏𝑛𝑛−2 − 𝑏𝑏𝑛𝑛−2 𝑏𝑏1 = 5; 𝑏𝑏2 = −2; 𝑏𝑏3 = −𝑏𝑏3−1𝑏𝑏3−2 − 𝑏𝑏3−2; 𝑏𝑏3 = −𝑏𝑏2𝑏𝑏1 − 𝑏𝑏1 = −(−2 ∗ 5) − (5) = 5

𝑏𝑏4 = −𝑏𝑏4−1𝑏𝑏4−2 − 𝑏𝑏4−2; 𝑏𝑏4 = −𝑏𝑏3𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏2 = −(5 ∗ −2) − (−2)= 12

𝑏𝑏5 = −𝑏𝑏5−1𝑏𝑏5−2 − 𝑏𝑏5−2; 𝑏𝑏5 = −𝑏𝑏4𝑏𝑏3 − 𝑏𝑏3 = −(5 ∗ 12) − (5)= −65

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la sucesión de los números primos 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; no hay ninguna fórmula que exprese el término general. Algunos ejemplos prácticos de sucesiones son los siguientes:

a) Encontrar los cuatro primeros términos de una sucesión a partir del término general,

i. {2𝑛𝑛 − 𝑛𝑛2} = 21 − 12; 22 − 22; 23 − 32; 24 − 42; … … = 1; 0;−1; 0; … …

ii. {100(0.1)𝑛𝑛} = 100(0.1)1; 100(0.1)2; 100(0.1)3; 100(0.1)4; =

10,1,0.1,0.01

iii. {1 + (−1)𝑛𝑛} = 1 + (−1)1; 1 + (−1)2; 1 + (−1)3; 1 + (−1)4; … = 1,0,1,0

iv. � 4𝑛𝑛+2

� = 41+2

; 42+2

; 43+2

; 44+2

; … … = 43

; 1; 45

; 46

; … …

v. {𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)} = 1(1 − 1); 2(2 − 1); 3(3 − 1); 4(4 − 1); … = 0,2,6,12 …

vi. � 1𝑛𝑛2+1

� = 112+1

; 122+1

; 132+1

; 142+1

; … … = 1; 15

; 110

; 117

; … …

vii. �(−1)𝑛𝑛−1 1𝑛𝑛� = 1; −1

2; 13

; −14

; 15

; … …

viii. �3 + � 110�𝑛𝑛� = 3.1; 3.01; 3.001; 3.0001; … …

ix. �𝑛𝑛3+1

𝑛𝑛2+2� = 2

3; 32

; 2811

; 6518

; … ….

x. � 𝑛𝑛2𝑛𝑛+1

� = 13

; 25

; 37

; 49

; … ….

xi. � 2𝑛𝑛−1(𝑛𝑛+1)2

� = 14

; 13

; 516

; 725

; … …

xii. �2𝑛𝑛−1

𝑛𝑛2+1� = 1

2; 25

; 25

; 817

; … …

137

b) Hallar el término enésimo de las sucesiones siguientes: i. −2; 4;−8; 16;−32; … … … … . {(−2)𝑛𝑛}

ii. 32

; 43

; 54

; 65

; 76

; … … … … … … … . �1 + 1𝑛𝑛+1

�

iii. 1; 12

; 14

; 18

; 116

; … … … … … … … . � 12𝑛𝑛−1

�

iv. 0; 2; 0; 2; 0; … … … … {(−1)𝑛𝑛 + 1}

v. 1; 12

; 13

; 110

; 129

; … … … � 1𝑛𝑛3−6(𝑛𝑛−1)2

�

vi. −1; 12

;−13

; 14

;−15

; … … �1𝑛𝑛

(−1)𝑛𝑛�

vii. 12

; 23

; 34

; 45

; 56

; … … … … . � 𝑛𝑛𝑛𝑛+1

�

viii. 12

; 34

; 56

; 78

; 910

; … … … . . �2𝑛𝑛−12𝑛𝑛

�

ix. 23

; 45

; 87

; 169

; 3211

; … … … . � 2𝑛𝑛

2𝑛𝑛+1�

x. 0; 32

; 83

; 154

; 245

; … … … . . �𝑛𝑛2−1𝑛𝑛�

Ejercicios. Encontrar el término enésimo de las siguientes sucesiones. 1. En la sucesión (𝑎𝑎𝑛𝑛) el primer término es 2 y los demás términos se obtienen

sumando 5 al término anterior. Hallar los 5 primeros términos de la sucesión. 2. {𝑎𝑎𝑛𝑛} = 3,5,7,9,11, … . . 3. {𝑎𝑎𝑛𝑛} = 6, 12, 24, 48, …

4. {𝑎𝑎𝑛𝑛} = 4, 94

, 149

, 1916

, …

5. {𝑎𝑎𝑛𝑛} = 12

, 67

, 1610

, 4013

, …

6. {𝑎𝑎𝑛𝑛} = 93

, 164

, 255

, 366

, …

4.3 Sucesión aritmética Se llama sucesión aritmética al conjunto de elementos en la cual cada término, después del primero, es igual al anterior más una cantidad constante, llamado diferencia. Esta cantidad constante que diferencia a dos términos consecutivos. Se llama razón y se representa por la letra 𝒅𝒅 La sucesión: 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 5; 8; 11; 14; … Tiene la razón o diferencia

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𝑐𝑐 = 8 − 5 = 3; 11 − 8 = 3; 14 − 11 = 3

La sucesión: 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 18; 13; 8; 3; −2; −7; … Es una sucesión aritmética de seis términos en la cual cada término, a partir del segundo, se obtiene añadiendo al anterior una cantidad constante igual a -5 𝑐𝑐 = 13 − 18 = −5;

𝑐𝑐 = 8 − 13 = −5;. . .

Si la razón es positiva, la sucesión aritmética es creciente. Por lo contrario, si la razón es negativa la sucesión es decreciente,

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 5; 10; 15; 20; 25; … 𝑐𝑐 = 5 (sucesión 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑆𝑆𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎) 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 11; 7; 3;−1;−5; … 𝑐𝑐 = −4 (sucesión 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑆𝑆𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎)

¿Pero por qué se llama sucesión aritmética?

La razón es sencilla, observe la siguiente sucesión: 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 3; 9; 15; 21; 27; … si a partir del segundo término, sumas los términos vecinos y los divides entre 2 (i.e. una media aritmética) obtienes el termino en cuestión veamos:

𝑎𝑎2 = 9; 𝑎𝑎1 = 3;𝑎𝑎3 = 15;

𝑎𝑎3 = 15; 𝑎𝑎2 = 9; 𝑎𝑎4 = 21;

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎32

=3 + 15

2= 9 = 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎42

=9 + 21

2= 15 = 𝑎𝑎3

Término general de una sucesión aritmética o enésimo termino. Para encontrar el término general de una sucesión aritmética 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝒂𝟐𝟐, 𝒂𝒂𝟑𝟑, 𝒂𝒂𝟑𝟑,𝒂𝒂𝟓𝟓, . . . ,𝒂𝒂𝒏𝒏, se deduce a partir de lo siguiente: 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎1 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎1 + 𝑐𝑐 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 = (𝑎𝑎1 + 𝑐𝑐) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎1 + 2𝑐𝑐 𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎3 + 𝑐𝑐 = (𝑎𝑎1 + 2𝑐𝑐) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎1 + 3𝑐𝑐 𝑎𝑎5 = 𝑎𝑎4 + 𝑐𝑐 = (𝑎𝑎1 + 3𝑐𝑐) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎1 + 4𝑐𝑐 Entonces, el término general es,

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 – 1) 𝑐𝑐 Esta fórmula nos permite determinar el término general o enésimo de una sucesión aritmética, y los componentes a1, n y d, como en el siguiente ejemplo:

139

Hallar el vigésimo término de la sucesión aritmética: −15,−12,−9,−6, … Para este caso los parámetros son:

𝑎𝑎1 = −15; 𝑐𝑐 = −12 – (−15) = −12 + 15 = 3 𝑛𝑛 = 20 𝑎𝑎𝑛𝑛 = ? 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 – 1)𝑐𝑐 = −15 + (𝑛𝑛 − 1)3 = −15 + 3𝑛𝑛 − 3 Finalmente, el término enésimo 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛 − 18 Para 𝑛𝑛 = 20; por ejemplo, 𝑎𝑎20 = 3(20) − 18 = 60 − 18 = 42

Ejemplos: a) El primer término de una sucesión aritmética es 5, su diferencia 2; escribir los cuatro primeros términos.

Datos:𝑎𝑎1 = 5;𝑐𝑐 = 2 Incógnitas: 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3,𝑎𝑎4 Como cada término es igual al anterior más la diferencia será: 𝑎𝑎1 = 5;𝑎𝑎2 = 5 + 2 = 7;𝑎𝑎3 = 7 + 2 = 9;𝑎𝑎4 = 9 + 2 = 11 Los cuatro términos de la sucesión serán: 5, 7, 9, 11. Se trata de una sucesión aritmética creciente.

b) El séptimo término de una sucesión aritmética es 3 su diferencia es -3 Determinar el primer término.

Datos: 𝑎𝑎7 = 3;𝑐𝑐 = −3; 𝑛𝑛 = 7 Incógnita: 𝑎𝑎1 Se trata de una sucesión aritmética decreciente al ser negativa la diferencia. A partir de la fórmula del término enésimo 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 + (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)𝒅𝒅, sustituimos los datos; 𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 + (𝟕𝟕 − 𝟏𝟏)(−𝟑𝟑);𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟖𝟖 de donde 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟖𝟖 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 por lo tanto 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟏𝟏

c) Los términos tercero y séptimo son, respectivamente, 10 y 34. Determinar el primer

término y escribir los tres términos siguientes. Datos: 𝑎𝑎3 = 10; 𝑎𝑎7 = 24 Incógnitas: 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3,𝑎𝑎4 Sustituimos en 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 – 1) 𝑐𝑐, los datos para el 3º y séptimo término. Es decir, tenemos 2 ecuaciones que al sustituir para el tercer y séptimo término nos queda lo siguiente: 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎1 + (3 – 1)𝑐𝑐 para el tercer término 10 = 𝑎𝑎1 + 2𝑐𝑐

𝑎𝑎7 = 𝑎𝑎1 + (7 – 1)𝑐𝑐 para el sétimo 24 = 𝑎𝑎1 + 6𝑐𝑐

Que constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se resuelve si se resta a la segunda ecuación, la primera (método de reducción)

Resultado −14 = −4𝑐𝑐 de donde 144

= 𝑐𝑐 ; luego 𝑐𝑐 = 72

Sustituimos este valor en la primera ecuación resultará:

140

10 = 𝑎𝑎1 + 2 �72� de donde 𝑎𝑎1 = 10 − 7 = 3

Ahora con los valores de 𝑎𝑎1 𝑦𝑦 𝑐𝑐, podemos obtener el término general.

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3 + (𝑛𝑛 – 1) 72 ; 𝑎𝑎𝑛𝑛 = −1

2+ 7

2𝑛𝑛

Y con el termino general podemos obtener tantos valores como queramos:

𝑎𝑎1 = −12

+ 72

(1) = 3; 𝑎𝑎5 = −12

+72

(5) = 17;

𝑎𝑎2 = −12

+72

(2) =132

;

𝑎𝑎6 = −12

+ 72

(6) = 412

;

𝑎𝑎3 = −12

+ 72

(3) = 10;

𝑎𝑎7 = −12

+72

(7) = 24;

𝑎𝑎4 = −12

+72

(4) =272

;

𝑎𝑎8 = −12

+72

(8) =552

;

Problemas.

1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones aritméticas

a. 12

, 1, 32

, 2, … d. 3, 7, 11, 15, …

b. 3, 6 12, 24 ,48, …

e. 14

, 210

, 328

, 482

, …

b. 15

, 37

, 59

, 711

, 913

, …

2) Si en una sucesión aritmética el décimo séptimo es 11 12 y el primero es 3 1

2, hallar la

razón. 3) En la sucesión aritmética −7,−2, 3, 8, 13, … ¿qué término vale 153? 4) ¿Cuántos términos tiene una sucesión aritmética finita, cuyo término general, o

enésimo, es 3, la razón es 13 y su primer término es – 2?

5) Si el séptimo término de una sucesión aritmética es 16 y el décimo quinto término es 32, escribir los cinco primeros términos de esta sucesión.

6) ¿Cuál es el décimo término de la sucesión aritmética 15, 12, 9, . ..? 7) El primer término de una sucesión aritmética es – 1 y su duodécimo término es 44.

Hallar la diferencia Común.

141

4.4 Sucesiones geométricas: Dada una sucesión, 𝑎𝑎1;𝑎𝑎2;𝑎𝑎3;𝑎𝑎4;𝑎𝑎5;𝑎𝑎6; … si cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija denominada razón (𝑝𝑝), la sucesión se denomina sucesión geométrica. Por ejemplo, dada la sucesión geométrica creciente 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5,10,20,40. En donde la razón o multiplicador de cada término es 2. Se puede observar que cada término se obtiene por la multiplicación del término anterior por 2. Es decir,

𝑎𝑎1 = 5 En forma general tenemos; 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎1 ∗ 2 = 5 ∗ 2 = 10 5 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎2 ∗ 2 = 1 ∗ 2 = 20 𝑎𝑎2 = 𝑝𝑝𝑎𝑎1 … 𝑎𝑎3 = 𝑝𝑝𝑎𝑎2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝2 Etc. 𝑎𝑎4 = 𝑝𝑝𝑎𝑎3 = 𝑝𝑝𝑎𝑎1𝑝𝑝2 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝3

Y así sucesivamente. Entonces el término enésimo 𝑎𝑎𝑛𝑛 se formará de acuerdo con la siguiente regla:

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝𝑛𝑛−1

Donde 𝑎𝑎𝑛𝑛 es el término general o enésimo término 𝑛𝑛 es el número natural que expresa el número de términos 𝑝𝑝 es la razón o cociente de dos términos consecutivos. Se observa que un término cualquiera puede obtenerse multiplicando el anterior por la razón constante r, así:

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝𝑛𝑛−1

También puede obtenerse observando la ley de formación. Cada término es igual al primero multiplicado por la potencia de r cuyo exponente es igual a los términos que le preceden. Ejemplos. a) El primer término de una sucesión geométrica es 5; su razón 2; escribir los cuatro primeros términos.

Datos: 𝑎𝑎1 = 5 𝑝𝑝 = 2 Incógnitas: 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3,𝑎𝑎4,

Como cada término es igual al anterior multiplicado por la razón, será: 𝑎𝑎1 = 5;𝑎𝑎2 = 5 ∗ 2 = 10;𝑎𝑎3 = 10 ∗ 2 = 20;𝑎𝑎4 = 20 ∗ 2 = 40

142

Los cuatro términos de la sucesión serán 5; 10; 20; 40; …. Se trata de una sucesión geométrica creciente. ¿Por qué se llama sucesión geométrica? De manera análoga a la sucesión aritmética, la sucesión geometría es una media geometría; si a partir del segundo término de la sucesión, multiplicas los términos vecinos y del producto resultante obtienes la raíz cuadrada, el resultado es el termino en cuestión. 𝑎𝑎2 = 10;𝑎𝑎1 = 5;𝑎𝑎3 = 20;𝑎𝑎2 = �𝑎𝑎3𝑎𝑎1; 10 = √5 ∗ 20 c) El quinto término de una sucesión geométrica es 486 su razón es 3. Determinar el

primer término. Datos: 𝑎𝑎5 = 486; 𝑝𝑝 = 3; 𝑛𝑛 = 5 5 Incógnita: 𝑎𝑎1

Se trata de una sucesión geométrica, creciente al ser la razón mayor que 1. Sustituimos estos valores en la fórmula del término general 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝𝑛𝑛−1 486 = 𝑎𝑎135−1 operando resulta: 486 = 𝑎𝑎134 = 81𝑎𝑎1 de donde 𝑎𝑎1 = 486

81= 6

d) Los términos tercero y quinto de una sucesión geométrica son, 8 y 2 respectivamente. Determinar el primer término y escribir los tres términos siguientes.

Datos: 𝑎𝑎3 = 8;𝑎𝑎5 = 2; Incógnitas = 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3,𝑎𝑎4.

Sustituimos estos datos en la fórmula del término general, para cada caso, 3º y séptimo término así:

𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝3−1 Que se transforma en 8 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝2 𝑎𝑎5 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝5−1 Que se transforma en 2 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝4

Que constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos eliminando una incógnita y una ecuación, (método de reducción), dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones resultarán:

4 =1𝑝𝑝2

𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝2 =14

⇒ 𝑝𝑝 = ±�14

= ±12

Al sustituir en la primera ecuación: 8 = 𝑎𝑎1𝑝𝑝2 resulta 8 = 𝑎𝑎1(± 12)2 = 1

4𝑎𝑎1 y así 𝑎𝑎1 = 32.

Como tenemos dos soluciones para la razón, habrá también dos soluciones para el problema: Solución 1ª para 𝑝𝑝 = 1

2: 𝑎𝑎1 = 32; 𝑎𝑎2 = 16; 𝑎𝑎3 = 8; 𝑎𝑎4 = 4; 𝑎𝑎5 = 2.

Solución 2ª para 𝑝𝑝 = −12

: 𝑎𝑎1 = 32; 𝑎𝑎2 = −16; 𝑎𝑎3 = 8; 𝑎𝑎4 = −4; 𝑎𝑎5 = 2.

En el primer caso la sucesión es decreciente por cumplir la desigualdad: 0 < 𝑝𝑝 < 1 En el segundo caso la sucesión es alternada por cumplir la desigualdad: 𝑝𝑝 < 0

143

Ejercicios.

1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones geométricas 𝑎𝑎)3, 6, 12, 24, … 𝑎𝑎) 6, 3,

32

,34

, … 𝑎𝑎) 13

,19

,1

27,

181

,1

243, …

𝑏𝑏) 2,45

,8

25,

16125

, … 𝑐𝑐)8,92

,278

,8132

, … 𝑓𝑓) 3, 247

, 19249

, 1536343

, … ..

2) Si en una sucesión aritmética el primer término es 4 y la razón 𝑝𝑝 = 5, calcular los

términos 𝑎𝑎6; 𝑎𝑎12 𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑛𝑛 3) En la sucesión aritmética 2, 4, 8, 16, 32, … ¿qué término vale 1024? 4) Dados los términos 𝑎𝑎1 = 27

64 y 𝑎𝑎8 = 2

81 de una sucesión geométrica, encuentra la

razón. 5) Escribe el término general y los cuatro primeros términos de la sucesión

geométrica cuyo primer término es 𝑎𝑎1 = 25 su razón 2

3

4.5 Límite de una sucesión ¿hacía donde apuntan las Sucesiones?

Como vimos al principio del capítulo, el infinito es parte fundamental del análisis matemático, Newton y Leibniz habían creado el cálculo, pero hacía falta un buen tramo para la formalización, este camino invariablemente llevó a trabajar con los procesos infinitos, es entonces que aparece la idea de límite, que se encuentra ligada con la idea de sucesión que es una lista infinita de términos.

𝑎𝑎𝑛𝑛 =; 𝑎𝑎1 = 54

= 1.25; 𝑎𝑎10 = 4122

= 1.863636; 𝑎𝑎100 = 401202

1.985;

𝑎𝑎1000 = 40012002

= 1.9985; 𝑎𝑎10000 = 4000120002

= 1.9998;

𝑎𝑎1000000 =40000012000001

= 1.999998 ; 𝑎𝑎100000000 =400000001200000002

= 1.9999999999;

Nóte que mientras más grande sea el término de la sucesión el resultado tiende a ser 2; entonces podríamos decir que el valor de esta sucesión cuando 𝑛𝑛 tiende a infinito es 2,

i.e. el límite de esta sucesión es 2. lím𝑛𝑛→∞

4𝑛𝑛+12𝑛𝑛+2

= 2; lím𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2; 𝐿𝐿 = 2. En otras palabra, 𝑎𝑎𝑛𝑛 esta tan cerca de 2 (el límite) como tú quieras, dando un 𝑛𝑛 lo suficientemente grande, i.e. 𝑎𝑎𝑛𝑛 esta dentro de 𝜀𝜀 (tan 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑆𝑆𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎)𝑐𝑐𝑎𝑎 2. 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 (𝑐𝑐𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑢𝑢𝑓𝑓𝑆𝑆𝑎𝑎𝑆𝑆𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎).

144

lím𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 ≔ ∀𝜀𝜀 > 0,∃𝑛𝑛𝑛𝑛𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑛𝑛 ≥ 𝑵𝑵; |𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝐿𝐿| < 𝜺𝜺

4.6 Sucesiones monótonas.

Cota superior. Una sucesión está acotada superiormente si existe un número positivo M independiente

de n, tal que: 𝑢𝑢𝑛𝑛 ≤ 𝑀𝑀 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 1,2,3,4, …., es decir ningún término de la sucesión será

mayor a 𝑀𝑀.

Cota inferior. Una sucesión está acotada inferiormente si existe un número positivo M independiente de n, tal que: 𝑢𝑢𝑛𝑛 ≥ 𝑀𝑀 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 1,2,3,4, …., es decir ningún término de la sucesión será menor a 𝑀𝑀. Finalmente, una sucesión está “acotada”, si dicha sucesión es acotada superior e inferiormente. Ejemplos

a) 3; 52

; 73

; 94

; 115

; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐á 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑢𝑢𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑆𝑆𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑎𝑎 3 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �2𝑛𝑛+1𝑛𝑛�

b) 34

;−45

; 56

;−67

; 78

; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐á 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑦𝑦𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑎𝑎 34

< 𝑎𝑎𝑛𝑛 < 1; 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �2𝑛𝑛+1𝑛𝑛�

c) 2; 4; 6; 8; 10; … …𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐á 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑛𝑛{2𝑛𝑛}

Una sucesión es monótona creciente cuando la siguiente proposición es verdadera ,.....4,3,2,11 =≤ + ntodaparauu nn

De forma análoga una sucesión es monótona decreciente si se cumple lo siguiente ,.....4,3,2,11 =≥ + ntodaparauu nn

Ejemplo, conteste Si/No para los siguientes casos;

Sucesión Acotada Monótona creciente

Monótona decreciente

2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; … .. NO SI NO 1; −1; 1; −1; 1; −1; 1; … … SI NO NO 1; 1.1; 1.11; 1.111; 1.1111; … SI SI NO 1

10;

111

;1

12;

113

; … … … SI NO SI

1;34

; 1;45

; 1;56

; 1; … … …. SI NO NO

Si los términos de una sucesión {𝑎𝑎𝑛𝑛} se acercan a un número L, se dice que la sucesión es Convergente a L. O bien, que el límite de 𝑆𝑆𝑛𝑛 tiende a L. Es decir:

145

lím𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝐿𝐿; 𝑎𝑎𝑛𝑛 → 𝐿𝐿 𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞

En caso contrario se dice divergente. Por la definición de convergencia, toda sucesión convergente es acotada y toda sucesión no acotada es divergente. Para los ejemplos anteriores.

i. �(−1)𝑛𝑛−1 1𝑛𝑛� = 1;−1

2; 13

;−14

; 15

; … … 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑎𝑎 0

ii. �3 + ( 110

)𝑛𝑛� = 3.1; 3.01; 3.001; 3.0001; 3.00001; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑎𝑎 3

iii. �𝑛𝑛3+1

𝑛𝑛2+2� = 2

3; 96

; 2811

; 6518

; 12627

; … …𝑐𝑐𝑆𝑆𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎.

Ejercicios. Estudiar la convergencia de las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes;

1. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5 − 2𝑛𝑛

;

2. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2−1𝑛𝑛

;

3. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛√2𝑛𝑛2−1

;

4. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �1𝑛𝑛

(−1)𝑛𝑛�;

4.7 Sumas parciales o sumatorias En muchas ocasiones, sobre todo en matemáticas avanzadas, es necesario realizar sumas parciales o sumas infinitas, gracias a los atajos que nos proporciona el lenguaje de las matemáticas no es necesario escribir todos los miembros de la suma a realizar, basta con emplear la notación sigma. Por ejemplo, si queremos sumar cada número del 1 al 50 realizaremos lo siguiente:

�𝑓𝑓(𝑆𝑆)50

𝑖𝑖=1

= 𝑓𝑓(1) + 𝑓𝑓(2) + 𝑓𝑓(3) + 𝑓𝑓(4) + 𝑓𝑓(5) + 𝑓𝑓(6) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑛𝑛)

Donde ∑𝑎𝑎𝑆𝑆𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎 (s del alfabeto griego) revela que es una suma, 𝑆𝑆 (índice) nos indica el comienzo de la suma, 𝑓𝑓(𝑆𝑆) es la función que rige la suma y 50(superíndice) nos indica donde finaliza. De manera general:

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

146

Ejemplos:

� 4𝑘𝑘6

𝑘𝑘=0

= 40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 = 5461

�1

𝑑𝑑 + 2=

12 + 2

+1

3 + 2+

14 + 2

=3760

4

𝑗𝑗=2

�𝑝𝑝35

𝑟𝑟=1

= 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 5461

Propiedades de las sumas parciales. Conocer las propiedades de las sumas parciales resulta de gran utilidad en la manipulación de operaciones, facilitando el proceso a realizar. En los siguientes párrafos las abordaremos. La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término. Esta propiedad nos indica que puedes separar las sumatorias y el resultado es el mismo, de manera análoga en el caso negativo, se puede “fragmentar la suma”. Demostraremos el caso positivo y dejamos al estudiante la prueba del caso negativo.

�𝑎𝑎𝑗𝑗 + 𝑐𝑐𝑗𝑗 =𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

�𝑎𝑎𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

+ �𝑐𝑐𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

�𝑎𝑎𝑗𝑗 + 𝑐𝑐𝑗𝑗 =𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

(𝑎𝑎1 + 𝑐𝑐1) + (𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2) + (𝑎𝑎3 + 𝑐𝑐3) + ⋯+ (𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑐𝑐𝑛𝑛−1) + (𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑐𝑐𝑛𝑛) =

Asociamos = (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛) + (𝑐𝑐1 + 𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐3 + ⋯+ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1 + 𝑐𝑐𝑛𝑛)

�𝑎𝑎𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛); �𝑐𝑐𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= (𝑐𝑐1 + 𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐3 + ⋯+ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1 + 𝑐𝑐𝑛𝑛);

�𝑎𝑎𝑗𝑗 + 𝑐𝑐𝑗𝑗 =𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

�𝑎𝑎𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

+ �𝑐𝑐𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

.∎

Ejemplos:

�𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘 =4

𝑘𝑘=1

�𝑘𝑘4

𝑘𝑘=1

+ � 4𝑘𝑘4

𝑗𝑗=1

; � 3𝑘𝑘 +5𝑘𝑘

=120

𝑘𝑘=1

� 3𝑘𝑘120

𝑘𝑘=1

+ �5𝑘𝑘

120

𝑘𝑘=1

;

147

�𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘 −2𝑘𝑘

3𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘=

4

𝑘𝑘=1

�𝑘𝑘4

𝑘𝑘=1

+ �4𝑘𝑘4

𝑗𝑗=1

−�2𝑘𝑘

3𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘

4

𝑗𝑗=1

La suma del producto de una constante (𝑫𝑫) por una variable, es igual a 𝑫𝑫 veces la sumatoria de la variable. En la práctica cotidiana es común encontrar funciones o expresiones algebraicas multiplicadas por una constante, al momento de multiplicar cada miembro por la constante pueden ocurrir errores, esta propiedad ayuda a hacer más manejable la función a operar y a minimizarlos.

�𝐷𝐷𝑏𝑏𝑗𝑗 =𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝐷𝐷�𝑏𝑏𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

; �𝐷𝐷𝑏𝑏𝑗𝑗 = 𝐷𝐷𝑏𝑏1 +𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝐷𝐷𝑏𝑏2 + 𝐷𝐷𝑏𝑏3 + 𝐷𝐷𝑏𝑏4 + ⋯+ 𝐷𝐷𝑏𝑏𝑛𝑛−1 + 𝐷𝐷𝑏𝑏𝑛𝑛

Al factorizar = 𝐷𝐷(𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 + 𝑏𝑏4 + ⋯+ 𝑏𝑏𝑛𝑛−1 + 𝑏𝑏𝑛𝑛)

𝑅𝑅𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑎𝑎�𝑏𝑏𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= (𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 + 𝑏𝑏4 + ⋯+ 𝑏𝑏𝑛𝑛−1 + 𝑏𝑏𝑛𝑛);

�𝐷𝐷𝑏𝑏𝑗𝑗 =𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝐷𝐷�𝑏𝑏𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

.∎

Ejemplos:

� 5(4𝑘𝑘) =4

𝑘𝑘=1

5�4𝑘𝑘4

𝑗𝑗=1

; � 3𝑘𝑘120

𝑘𝑘=1

+5𝑘𝑘

= 3�𝑘𝑘120

𝑘𝑘=1

+ 5�1𝑘𝑘

120

𝑘𝑘=1

;

� 16√𝑘𝑘𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

= 16�√𝑘𝑘𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

;

La sumatoria de una constante es n veces la constante.

Esta propiedad suele crear bastante “ruido”, pero resulta fácil de comprender recordando la siguiente propiedad de los exponentes

�𝐷𝐷𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= �𝐷𝐷𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑑𝑑0 = 𝐷𝐷�1𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= 𝑛𝑛𝐷𝐷 ;

�𝐷𝐷𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑑𝑑0 = 𝐷𝐷10 + 𝐷𝐷20 + 𝐷𝐷30 + 𝐷𝐷40 + 𝐷𝐷50 + 𝐷𝐷60 + ⋯+ 𝐷𝐷𝑛𝑛 − 10 + 𝐷𝐷𝑛𝑛0

𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑆𝑆𝑓𝑓𝑎𝑎 𝐷𝐷; = 𝐷𝐷(10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + ⋯𝑛𝑛 − 10 + 𝑛𝑛0) = 𝑛𝑛𝐷𝐷

148

Ejemplos:

� 5 =4

𝑘𝑘=1

5�14

𝑗𝑗=1

= 5 ∗ 4 = 20; � 3120

𝑘𝑘=1

= 3� 1120

𝑘𝑘=1

= 3 ∗ 120 = 360 ;

�√1510

𝑘𝑘=1

= √15� 1 = 10√1510

𝑘𝑘=1

;

4.8 Sumas telescópicas. Hemos visto que la sumatoria nos permite ahorrar tiempo (y esfuerzo), ya que este operador nos permite expresar la suma de n elementos sin tener que escribir uno a uno, la propiedad telescópica nos permitirá obtener el valor de una sumatoria sin tener que sumar miembro a miembro; esta propiedad nos dice que si en una sumatoria tienes la variable 𝑛𝑛 y a dicha variable le restas la variable anterior (𝑛𝑛 − 1), los miembros intermedios se cancelan i.e. se hacen cero, quedando sólo el miembro final menos el miembro inicial.

�(𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑎𝑎𝑗𝑗−1)𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑎𝑎02

�(𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑎𝑎𝑗𝑗−1)𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= (𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎0) + (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1) + (𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2) + ⋯+ (𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−1)

𝑎𝑎𝑔𝑔𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎; = −𝑎𝑎0 + (𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎1) + (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2) + (𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎3) + ⋯ (𝑎𝑎𝑛𝑛−1 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 ) + 𝑎𝑎𝑛𝑛. = 𝒂𝒂𝒏𝒏 − 𝒂𝒂𝟎𝟎.∎

Ejemplos:

�(3𝑘𝑘 − 3𝑘𝑘−1) =5

𝑘𝑘=1

(31 − 31−1) + (32 − 32−1) + (33 − 33−1) + (34 − 34−1) + (35

− 35−1);

= (31 − 30) + (32 − 31) + (33 − 32) + (34 − 33) + (35 − 34) = −30 + (31 − 31) + (32 − 32) + (33 − 33)+(34 − 34) + 35

= 35 − 30 + (0) + (0) + (0) + (0) = 35 − 30 = 243 − 1 = 242.

��1

𝑘𝑘 + 2−

1𝑘𝑘 + 1

� =4

𝑘𝑘=1

�1

1 + 2−

11 + 1

� + �1

2 + 2−

12 + 1

� + �1

3 + 2−

13 + 1

� + �1

4 + 2−

14 + 1

� ;

= �13−

12� + �

14−

13� + �

15−

14� + �

16−

15�

2 En la literatura se encuentran distintos tipos de notación, v.gr. ∑ (𝑎𝑎𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑘𝑘+1);𝑛𝑛

𝑘𝑘=1 el resultado es el mismo al final solo quedan el primer y el ultimo término.

149

𝑎𝑎𝑔𝑔𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎; = −12

+ �13−

13� + �

14−

14� + �

15−

15� +

16

��√𝑘𝑘 + 1 − √𝑘𝑘 + 2√𝑘𝑘2 + 3𝑘𝑘 + 2

� =4

𝑘𝑘=1

Note que a simple vista esta suma no es telescópica, sin embargo, podemos llevar a cabo manipulaciones algebraicas que nos permitan emplear la propiedad telescópica.

��√𝑘𝑘 + 1 − √𝑘𝑘 + 2√𝑘𝑘2 + 3𝑘𝑘 + 2

� =4

𝑘𝑘=1

��√𝑘𝑘 + 1 − √𝑘𝑘 + 2

�(𝑘𝑘 + 1)(𝑘𝑘 + 2)� =

4

𝑘𝑘=1

��√𝑘𝑘 + 1 − √𝑘𝑘 + 2

�(𝑘𝑘 + 1) �(𝑘𝑘 + 2)� =

4

𝑘𝑘=1

��√𝑘𝑘 + 1

�(𝑘𝑘 + 1) �(𝑘𝑘 + 2)−

√𝑘𝑘 + 2

�(𝑘𝑘 + 1) �(𝑘𝑘 + 2)� =

4

𝑘𝑘=1

��1

�(𝑘𝑘 + 2)−

1

�(𝑘𝑘 + 1) �

4

𝑘𝑘=1

=

Ya podemos aplicar la propiedad telescópica

��1

�(𝑘𝑘 + 2)−

1

�(𝑘𝑘 + 1) �

4

𝑘𝑘=1

=1√6

−1√2

=√2 − √6

2√3

Ejercicios Calcule el valor de las siguientes sumatorias

a) ∑ 𝑑𝑑 + 25𝑗𝑗=0 b) ∑ (𝑘𝑘 + 5) − (𝑘𝑘 + 4)10

𝑘𝑘=1 c)∑ 2𝑆𝑆 − 18𝑖𝑖=1

d)∑ 𝑆𝑆1000𝑖𝑖=1 e)∑ 𝑛𝑛2−1

𝑛𝑛5𝑘𝑘=1

4.9 Series. Una serie es la suma de los términos de una sucesión y el valor de dicha suma, si es que tiene alguno es, se lee, 𝑆𝑆𝑛𝑛 es la suma de la sucesión, a partir del primer término, hasta el elemento n, que se expresa mediante la notación, ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

4.9.1 Serie aritmética. La serie aritmética es la suma de una sucesión aritmética. Así, en lo que sigue vamos a establecer el procedimiento para encontrar esta suma. En principio si la suma es,

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛

Invertimos los sumandos y escribimos una segunda serie así,

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎1

150

Sumamos las dos igualdades y tenemos,

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛

+ 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎1

2𝑆𝑆𝑛𝑛 = (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛) + (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1) + (𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2) + ⋯+ (𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + 𝑎𝑎3) + (𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎2) + (𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑎𝑎1)

Los términos entre paréntesis (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛), (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1) etc. Son equidistantes y suman la misma cantidad. Como hay 𝑛𝑛 paréntesis se tiene,

2𝑆𝑆𝑛𝑛 = (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑛𝑛 Así, la fórmula para sumar los primeros términos de una serie aritmética, o cualesquiera términos consecutivos es,

𝑆𝑆𝑛𝑛 =(𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛)

2𝑛𝑛

Una anécdota muy conocida de Carl Friedrich Gauss se refiere a que a la edad de 10 años su profesor para castigar al grupo, les pidió que sumaran los primeros cien números enteros. De esta manera el profesor podría descansar un buen rato porque suponía que esta tarea les llevaría un buen tiempo. A los pocos segundos se levantó Gauss y le entregó su resultado el cual era correcto. El razonamiento que dio el niño fue “Maestro, antes de empezar a sumar mecánicamente los 100 primeros números me di cuenta de que si sumaba el primero y el último obtenía 101; al sumar el segundo y el penúltimo también se obtiene 101, y así sucesivamente hasta llegar a los números centrales que son 50 y 51”. Así,

1 2 3 4 … 50 + 100 99 98 97 … 51

101 101 101 101 … 101 = 100 �101

2� = 5050

De esta manera Gauss encontró la propiedad de la simetría de las series aritméticas

La suma, si usamos la formula anterior, 𝑆𝑆𝑛𝑛 = �1+1002

�100 = 5050

Esta fórmula también puede ser utilizada para sumar por ejemplo los términos intermedios de una serie aritmética, por ejemplo, de 𝑎𝑎8 al 𝑎𝑎42. En este caso tendremos (42 − 8) = 34 parejas de términos. La suma es,

𝑆𝑆𝑛𝑛 = �𝑎𝑎8 + 𝑎𝑎42

2�34

Ejemplo, Para la siguiente serie, −3, 4, 11, 18, 25

a) Sumar los veinte primeros términos

151

b) Sumar los términos del 4 al 16 c) ¿Cuántos términos hay que tomar para que la suma sea 507?

Solución, La diferencia es 𝑐𝑐 = 11 − 4 = 7 por lo tanto 𝑐𝑐 = 7, y el elemento 𝑎𝑎20 𝑎𝑎20 = −3 + (20 − 1)7 = 130

a) La suma de los veinte primeros es 𝑆𝑆20 = −3+1302

20 = 1270 b) Los términos 𝑎𝑎4 = 18 y 𝑎𝑎16 = −3 + (15)7 = 102. Entre ambos hay 16 − 3 = 13

elementos entonces, la suma

𝑆𝑆4−16 = �18 + 102

2�13 = 780

c) Sabemos que 𝑎𝑎1 = −3 y que 𝑎𝑎𝑛𝑛 = −3 + (𝑛𝑛 − 1)7 = −10 + 7𝑛𝑛 y 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 507 Entonces 507 = �−3+7𝑛𝑛−10

2� 𝑛𝑛 → 1014 = 7𝑛𝑛2 − 13𝑛𝑛

Resolver con la fórmula de la ecuación de 2º grado.

𝑛𝑛1,2 =13 ± �132 − 4(7)(−1014)

14=

13 ± 16914

= 13,−78

7

Tomamos solamente el valor positivo ya que 𝑛𝑛, es un número entero positivo. Por lo tanto 𝑛𝑛 = 13

Ejercicios.

1) Encontrar la suma de los 12 primeros términos de una serie aritmética si el tercer elemento es 7 y el décimo 52.

2) Encontrar la suma de los primeros 20 términos de una serie aritmética si el segundo término es 𝑎𝑎2 = 1 y 𝑎𝑎5 = 7

3) Un estacionamiento público cobra $20 pesos por la primera hora y $2 más cada nueva hora, a) ¿cuál es el precio que un automovilista debe pagar por 7 horas de estacionamiento? b) encuentre una fórmula que para encontrar el precio de estacionamiento por n horas.

4) El primer término de una serie aritmética de diferencia 5 es 3 y el 54avo es 270. a) Encuentre la suma de los primeros 54 términos b) encuentre la suma de los elementos 𝑎𝑎6 al 𝑎𝑎60.

4.9.2 Suma de una serie geométrica. En economía estamos interesados a estudiar las series geométricas infinitas, de la forma:

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑘𝑘2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘3 + 𝑎𝑎𝑘𝑘4 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛−1+. . ….

La cual se obtiene a partir de un término inicial multiplicado por una cantidad constante En la actividad financiera que se realiza día a día, se efectúan gran cantidad de operaciones con capitales. Los agentes económicos han de disponer de herramientas que les permitan comparar capitales, sustituir varios de ellos por uno sólo equivalente, etc.

152

Una empresa agrícola ha tenido como beneficios el último año $350,000 pesos y esperan crecer el 12% anual los próximos 8 años. Este tipo de problemas, se pueden resolver con la ayuda de las series geométricas. ¿Cuáles son los beneficios previstos para el octavo año? Año Beneficios

0 350,000 1 350000 + 35000(.12) = 350000(1+.12)=350000(1.12) 2 350000(1.12)+350000(1.12)(.12)=350000(1.12)(1+.12) = 350000(1.12)2 3 350000(1.12)2+350000(1.12)2(.12)+350000(1.12)2(1.12)=350000(1.12)3 4 ….. 5 ….. 6 ….. 7 350000(1.12)7

Puesto que el dinero puede producir ganancias a una cierta tasa de interés a través de su inversión en un período de tiempo, es importante reconocer que una unidad monetaria recibida en alguna fecha futura no produce tanta ganancia como esa unidad monetaria en el presente. Esta relación entre interés y tiempo es la que conduce al concepto de "valor temporal del dinero". Cuando el interés ganado cada período se adiciona al monto de la inversión como se observa en nuestro ejercicio, se dice que es compuesto anualmente. La diferencia entre interés simple y compuesto se debe al efecto de la capitalización. El monto final será más elevado cuando intervienen grandes montos de dinero, tasas de interés más altas o mayor número de períodos. El interés compuesto es el que se utiliza en la práctica. A partir del ejercicio, la fórmula para encontrar el interés compuesto es,

𝑐𝑐𝑓𝑓 = 𝑐𝑐𝑝𝑝(1 + 𝑆𝑆)𝑡𝑡

Donde, 𝑐𝑐𝑓𝑓 es el valor futuro de la inversión, 𝑐𝑐𝑝𝑝 es el valor de la inversión inicial, 𝑆𝑆 es la tasa de interés y 𝑐𝑐 el periodo de tiempo. Así, los beneficios previstos para el 8vo año son,

𝑐𝑐𝑓𝑓 = 350000(1.12)7 = $ 773,738.5

Un problema un poco diferente sería, por ejemplo, una persona que quiere destinar una parte de su ingreso a una inversión para su vejez. El decide reservar para esta pensión $15,000 pesos cada año, durante 8 años y la institución financiera le da un interés anual del 9%.

153

Si nos interesa saber ¿cuáles son los beneficios totales a lo largo de los 8 años? Año Beneficios

0 15,000 1 15,000 + 15,000(.09) =15,000(1.09) 2 15,000(1.09)(1+.09) = 15,000(1.09)2 3 15,000(1.09)2(1+.09) =15,000(1.09)3 4 ….. 5 ….. 6 ….. 7 15,000(1.09)7

Tendríamos que utilizar 7 cálculos y después realizar 8 sumas. Una alternativa es utilizar una serie geométrica 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 15,000 + 15,000𝑘𝑘 + 15,000𝑘𝑘2 + 15,000𝑘𝑘315,000𝑘𝑘4 + ⋯+ 15,000𝑘𝑘𝑛𝑛−1+. . ….

La suma de esta serie de cantidades es la ecuación que escribimos antes.

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑘𝑘2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘3 + 𝑎𝑎𝑘𝑘4 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛−1+. . ….

Esta serie es una Serie Geométrica finita de razón 𝑘𝑘. Para encontrar la suma de la serie, primero multiplicamos ambos miembros de la ecuación por la constante k.

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑘𝑘2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘3 + 𝑎𝑎𝑘𝑘4 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛−1+. . …. 𝑘𝑘𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑘𝑘2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘3 + 𝑎𝑎𝑘𝑘4 … … + 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛

Hacemos la resta de 𝑆𝑆𝑛𝑛 − 𝑘𝑘𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 , despejamos 𝑆𝑆𝑛𝑛(1 − 𝑘𝑘) = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 lo que nos deja finalmente

𝑆𝑆𝑛𝑛 =𝑎𝑎(1 − 𝑘𝑘𝑛𝑛)

(1 − 𝑘𝑘), 𝑘𝑘 ≠ 1

Si el valor de 𝑘𝑘 = 1 la suma sería 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑎𝑎

En resumen, la suma de una serie geométrica infinita será igual a

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑘𝑘2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘3 + 𝑎𝑎𝑘𝑘4 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛−1 =𝑎𝑎(1 − 𝑘𝑘𝑛𝑛)

(1 − 𝑘𝑘) , 𝑘𝑘 ≠ 1

Para el ejemplo anterior, tenemos los siguientes datos 𝑎𝑎 = 15,000, 𝑘𝑘 = 1.09 y 𝑛𝑛 = 8. Que al sustituir tenemos;

15,000 + 15,000(1.09) + ⋯+ 15,000(1.09)7 =15,000(1 − 1.098)

(1 − 1.09) = 165,427.1

154

En economía, series geométricas se utilizan frecuentemente en matemáticas financieras, por ejemplo para encontrar el valor actual de una anualidad o para el cálculo del interés simple o compuesto. Ejemplo. Supongamos una sucesión infinita de números como la siguiente:

1; 12

; 14

; 18

; 116

; 132

;

En donde para cada término de la sucesión se forma dividiendo por 2 a su predecesor, de tal forma que el enésimo término es 1

2𝑛𝑛−1. La razón de esta serie es 1

2, y el primer término

es 𝑎𝑎 = 1. Por lo tanto, tenemos la siguiente serie geométrica

1 +12

+1

22+

123

+ ⋯+1

2𝑛𝑛−1=

1 − �12�

𝑛𝑛

1 − 12

= 2 −1

2𝑛𝑛−1

En el caso de series geométricas infinitas para poder encontrar la suma de la serie cuando n tiende a infinito, es decir para el ejemplo anterior;

lim𝑛𝑛→∞

2 −1

2𝑛𝑛−1= 2

Cuando más crezca el valor de n el término 12𝑛𝑛−1

tenderá a ser cero, por ejemplo, para un valor grande como de n=100, el termino es aproximadamente 7.8𝑒𝑒10−32, un valor muy cercano a cero. En forma general para el caso de series infinitas:

𝑆𝑆𝑛𝑛 =𝑎𝑎1(1 − 𝑘𝑘𝑛𝑛)

(1 − 𝑘𝑘), 𝑘𝑘 ≠ 1

𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑛𝑛 → ∞,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑛𝑛 Si el valor de K esta entre −1 < 𝑘𝑘 < 1 el limite tiende cero. Mientras que; si 𝑘𝑘 > 1 ó 𝑘𝑘 ≤ −1 no tiene límite. En resumen, si |𝑘𝑘| < 1, la suma de los n términos de 𝑆𝑆𝑛𝑛, cuando 𝑛𝑛 tienda a infinito, tenderá al límite

𝑆𝑆𝑛𝑛 =𝑎𝑎1

1 − 𝑘𝑘

Este límite es por definición la suma infinita, y esta es convergente. Por lo contrario, si 𝑘𝑘 ≥ 1 la serie infinita es divergente. Ejercicios

1. Encuentre la suma de las series 132 3

1.......31

31

311 −+++++= nS

2. Estudiar la convergencia de las series geométricas siguientes y calcular la suma de las que tengan.

155

a. 𝟏𝟏𝒑𝒑

+ 𝟏𝟏𝒑𝒑𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏𝒑𝒑𝟑𝟑

+. . . . . . . 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝒑𝒑

b. 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏(𝟏𝟏+𝒙𝒙) + 𝟏𝟏

(𝟏𝟏+𝒙𝒙)𝟐𝟐+ 𝟏𝟏

(𝟏𝟏+𝒙𝒙)𝟑𝟑 + ⋯ . . . . 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏(𝟏𝟏+𝒙𝒙)

3. Si se depositan en una cuenta de ahorro $10,000 pesos y se paga un interés anual

de 5.5% ¿cuánto dinero se tiene al cabo de un año? En los ejercicios a-j, encuéntrense los primeros seis términos y el doceavo término de la sucesión de la cual se ha dado el enésimo término. 1. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 4 − 3𝑛𝑛 2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2

5𝑛𝑛−1

3. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛−1𝑛𝑛2+1

4. 𝑐𝑐𝑛𝑛 = 10 + 1𝑛𝑛

5. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 4 + (−0.1)𝑛𝑛 6. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5 + −1𝑛𝑛 7. 𝑔𝑔𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛−1 𝑛𝑛+1

2𝑛𝑛

8. ℎ𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛 3−𝑛𝑛√𝑛𝑛+1

9. 𝑘𝑘𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛+1 + (0.1)𝑛𝑛−1 10. 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1 + (−1

2)𝑛𝑛−1

Encuéntrense los primeros siete términos de la sucesión infinita definida recursivamente en cada uno de los Ejercicios 1 al 4. 11. 𝑞𝑞1 = 5, 𝑞𝑞𝑘𝑘+1 = 4𝑞𝑞𝑘𝑘 − 1 12. 𝑞𝑞1 = 2, 𝑞𝑞𝑘𝑘+1 = 𝑞𝑞𝑘𝑘2 13. 𝑞𝑞1 = 1, 𝑞𝑞𝑘𝑘+1 = 𝑘𝑘𝑞𝑞𝑘𝑘

14. 𝑞𝑞1 = 2, 𝑞𝑞𝑘𝑘+1 = 1𝑞𝑞𝑘𝑘

En cada uno de los ejercicios, encuéntrese los números representados. 15. ∑ (𝑐𝑐2 + 35

𝑣𝑣=1 )

16. ∑ 1𝑣𝑣

6𝑣𝑣=1

17. ∑ 𝑣𝑣+4𝑣𝑣−1

6𝑣𝑣=2

18. ∑ (−12)𝑣𝑣−24

𝑣𝑣=0

19. ∑ 5𝑣𝑣−102

5𝑣𝑣=1

156

En cada uno de los ejercicios, encuéntrese el séptimo, el decimoséptimo y el enésimo término de la sucesión aritmética dada. 20. -5, -1, 3, 7, … 21. 10, 7, 4, 1, … 22. 2, 2.3, 2.6, 2.9, … 23. -1, -1.4, -1.8, -2.2, … 24. 2x-9, 2x-5, 2x-1, 2x+3, …

25. Encuentre el decimosexto término de la sucesión aritmética que tiene como primeros dos términos a 3 + √2 y 2.

26. Encuentre el decimoprimer término de la sucesión aritmética que tiene como primeros dos términos a 7.6 y 5.3

27. El sexto, octavo y noveno términos de una sucesión aritmética son -4 y -1.5. Encuéntrese el primer término.

28. Dada una sucesión aritmética con 𝑏𝑏3 = 4 y 𝑎𝑎20=22, encuentre 𝑎𝑎15. Encuentre la suma de la sucesión aritmética cuya descripción queda indicada. 29. 𝑎𝑎1 = 60, 𝑔𝑔 = −2,𝑛𝑛 = 50 30. 𝑎𝑎1 = 1,𝑔𝑔 = 0.1,𝑛𝑛 = 25 31. 𝑎𝑎1 = −6, 𝑎𝑎10 = 18,𝑛𝑛 = 12 32. 𝑎𝑎7 = 5

3,𝑔𝑔 = −2

3,𝑛𝑛 = 10

En cada uno de los ejercicios, encuentre el quinto, octavo, y enésimo término de la sucesión geométrica dada. 33. ¼, ½, 1, 2, … 34. 3, 0.9, 0.27, 0.081, … 35. 5, -0.5, 0.05, -0.005, … 36. 1, −√3.3, −√27, … 37. 𝑒𝑒2,−𝑒𝑒4, 𝑒𝑒6,−𝑒𝑒8, … 38. 3𝑧𝑧 , 3𝑧𝑧+1, 3𝑧𝑧+2, 3𝑧𝑧+3, … 39. Encontrar el séptimo término de la sucesión geométrica que tiene como primeros dos

términos a 8 y 12. 40. Encontrar el noveno término de una sucesión geométrica que tiene como segundo y

tercer término a 3 y −√2, respectivamente. 41. En una sucesión geométrica, 𝑎𝑎5 = 1

16 y 𝑝𝑝 = 3

2, encontrar 𝑎𝑎1 y 𝑆𝑆5.

Escriba cada serie en notación de sumatoria con el índice de suma k comenzando en k = 1. 42. 12 + 22 + 32 + 42

157

43. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 44. 1

2+ 1

22+ 1

23+ 1

24+ 1

25

45. 1 − 12

+ 13− 1

4

46. 1 + 122

+ 133

+ ⋯+ 1𝑛𝑛2

Estudiar la convergencia de las series geométricas siguientes y calcular la suma. 47. 1 − 1

2+ 1

4− 1

8+ ⋯

48. 4 + 43

+ 49

+ 427

+ ⋯ 49. 0.017 + 0.00017 + 0.0000017 + ⋯ 50. 0.1 − 0.01 + 0.001 − 0.0001 + ⋯ 51. √5 + 5 + √125 + 25 + ⋯ 52. 125 − 50 + 20 − 4 + ⋯ 53. Jaime depositó $10,000 en un fideicomiso a nombre de su primogénito el día después

de su nacimiento, la institución financiera da un rendimiento del 5% anual, ¿cuánto dinero habrá al cabo de 18 años?

54. Una empresa puede comprar nueva maquinaria en 6 años si deposita $45,000 cada año en un fondo de inversiones que ofrece el 7.5% de rendimiento anual; ¿cuánto cuesta la maquinaria?