capítulo 4 probabilidadescvalle/ili-280/cap3-ii-07-2pp.pdfconcepto de σσσσ-álgebra de sucesos...

Universidad Técnica Federico Santa María

1


Departamento de Informática

ILI-280

Capítulo 4 Capítulo 4 ProbabilidadesProbabilidades

Estadística ComputacionalEstadística ComputacionalII Semestre 2006II Semestre 2006

Profesores:

Héctor Allende ([email protected])

Carlos Valle ([email protected])

2Profesor: C.Valle

Conceptos BásicosConceptos Básicos

Experimento aleatorio : ξ

Espacio Muestral : Ω

Evento o Suceso : A; B;….

Sucesos elementales, seguros e imposibles

Probabilidad : grado de certidumbre

Probabilidad y Juegos de Azar

Probabilidad y Frecuencia relativa

Probabilidad Subjetiva (Personal)

Experimento aleatorio : ξ

Espacio Muestral : Ω

Evento o Suceso : A; B;….

Sucesos elementales, seguros e imposibles

Probabilidad : grado de certidumbre

Probabilidad y Juegos de Azar

Probabilidad y Frecuencia relativa

Probabilidad Subjetiva (Personal)


2

3Profesor: C.Valle

Conceptos BásicosConceptos Básicos

Experimento Aleatorio:

- Experimento que tiene 2 o más resultados posibles

Evento ( Suceso) Elemental:

-Resultado de un experimento indivisible

-Mutualmente Excluyentes: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro

-Equiprobable : Cada evento simple tiene identicaprobabilidad

Espacio Muestral

-El conjunto que contiene todos los resultados posibles

Evento “A”

-El conjunto de todos los eventos elementales posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”

Experimento Aleatorio:

- Experimento que tiene 2 o más resultados posibles

Evento ( Suceso) Elemental:

-Resultado de un experimento indivisible

-Mutualmente Excluyentes: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro

-Equiprobable : Cada evento simple tiene identicaprobabilidad

Espacio Muestral

-El conjunto que contiene todos los resultados posibles

Evento “A”

-El conjunto de todos los eventos elementales posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”

4Profesor: C.Valle

Ω

Ω : Espacio Muestral: Todos los posibles

resultados elementales

w ∈∈∈∈ Ω, resultado elemental

ℑ :Familia de todos los eventos posibles de Ω

∅ ∈∈∈∈ ℑ , luego ∅ es un Evento imposible

Ω ∈∈∈∈ ℑ , luego Ω es el Evento Seguro

A y B ∈∈∈∈ ℑ, luego son eventos

A∪∪∪∪B ∈∈∈∈ ℑ; A∩∩∩∩B ∈∈∈∈ ℑ; Ac ∈∈∈∈ ℑ, son eventos

A

B

ConjuntosConjuntos y y EventosEventos

w ∈∈∈∈ Ω


3

5Profesor: C.Valle

Concepto de Concepto de σσσσσσσσ--áálgebra de sucesoslgebra de sucesos

Sea ℑ ℑ ℑ ℑ una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos del espacio muestralΩ.

σ-algebra de sucesos : ℑ ℑ ℑ ℑ es una σ-algebra

Φ, Ω є ℑℑℑℑ , los sucesos complementarios de aquellos que están en ℑℑℑℑ y también están en ℑℑℑℑ, así como sus uniones numerables (sean finitas o infinitas). Esto se puede enunciar como:

Sea ℑ ℑ ℑ ℑ una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos del espacio muestralΩ.

σ-algebra de sucesos : ℑ ℑ ℑ ℑ es una σ-algebra

Φ, Ω є ℑℑℑℑ , los sucesos complementarios de aquellos que están en ℑℑℑℑ y también están en ℑℑℑℑ, así como sus uniones numerables (sean finitas o infinitas). Esto se puede enunciar como:

ℑ∈⇒ℑ∈∀

∈⇒ℑ∈∀⇔−ℑ

=i

n

in

c

AAA

AAA

11,...,

álgebra una es Υ

σ

6Profesor: C.Valle

Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades

ΩΩΩΩ Universo Espacio Muestral

ℑℑℑℑ Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos

A ∈∈∈∈ ℑℑℑℑ A subconjunto de Ω A es un Evento

w ∈∈∈∈ A w es elemento de A Ocurre el evento A

∅∅∅∅ Conjunto vacío Evento Imposible

Ω Universo Evento Seguro

A∪∪∪∪B A unión B Evento A o Evento B

A∩∩∩∩B A intersección B Evento A y Evento B

Ac Complemento de A Evento no-A

A ⊂⊂⊂⊂ B A es subconjunto de B A implica B

A∩∩∩∩B= ∅∅∅∅ A y B son disjuntos A y B mutuamente excluyentes

ConjuntosConjuntos vs. vs. EventosEventos


4

7Profesor: C.Valle

Ejemplo DadoEjemplo Dado

Se realiza un experimento aleatorio de lanzar un dado al aire:

-Sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5, 6

-Espacio Muestral S=1,2,3,4,5,6

-Conjunto Potencia ℑℑℑℑ =P(S)=Ø,S,1,2,...,1,2,...

Ø suceso imposible

S suceso seguro

1, 3, 5

-Sucesos aleatorios 4, 5, 6

2, 4, 6=1, 3, 5C

....

Se realiza un experimento aleatorio de lanzar un dado al aire:

-Sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5, 6

-Espacio Muestral S=1,2,3,4,5,6

-Conjunto Potencia ℑℑℑℑ =P(S)=Ø,S,1,2,...,1,2,...

Ø suceso imposible

S suceso seguro

1, 3, 5

-Sucesos aleatorios 4, 5, 6

2, 4, 6=1, 3, 5C

....

σ-álgebra

8Profesor: C.Valle

EjemploEjemplo

Si se realiza un experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C14, se desintegre de modo natural, se tiene que

sin embargo, el σ-álgebra de sucesos que se considera no es P(ℜ), que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se considera el σ-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas

ℑℑℑℑ =Ø, ℜ+, (1,2),...,(2,3],...

lo que por supuesto incluye a los puntos de ℜ+.

Si se realiza un experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C14, se desintegre de modo natural, se tiene que

sin embargo, el σ-álgebra de sucesos que se considera no es P(ℜ), que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se considera el σ-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas

ℑℑℑℑ =Ø, ℜ+, (1,2),...,(2,3],...

lo que por supuesto incluye a los puntos de ℜ+.

+ℜ=Ω


5

9Profesor: C.Valle

Se toma al azar una esfera de la urna I

Se transfiere a la urna II, se mezclan bien.

Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II.

¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

I II

1

1

2 2

3

3

ExperimentoExperimento AleatorioAleatorio

10Profesor: C.Valle

EspacioEspacio MuestralMuestral

Traspasar Roja # 1

Traspasar Verde # 1

Traspasar Verde # 2

Distintas

formas como

puede resultar

el

experimento.

Ya que las

esferas han

sido sacadas

al azar, cada

uno de ellas

tiene la misma

posibilidad de

ocurrir

1

1

2

1

2

3

2

3

2

3

1

2

3

2

3

I

II

II

II

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


6

11Profesor: C.Valle

Nociones de ProbabilidadNociones de Probabilidad

Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimaciónde la probabilidad)

Teórica - “A Priori”

-Pr (Ai) = n / N

• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado

• N = número total de resultados posibles

Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”

-Pr (Ai) = n/N

• n = número de veces que ocurrio “Ai”

• N = número total de observaciones

Subjetiva

-La “Opinión de un Experto”

Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimaciónde la probabilidad)

Teórica - “A Priori”

-Pr (Ai) = n / N

• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado

• N = número total de resultados posibles

Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”

-Pr (Ai) = n/N

• n = número de veces que ocurrio “Ai”

• N = número total de observaciones

Subjetiva

-La “Opinión de un Experto”

12Profesor: C.Valle

EjemploEjemplo

En la figura se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en el lanzamiento de una moneda en 100 ocasiones (simulado en un computador).

En la figura se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en el lanzamiento de una moneda en 100 ocasiones (simulado en un computador).


7

13Profesor: C.Valle

Sea una Distribución de Probabilidad P, función que asigna a cada sub-conjunto razonable de Ω un valor entre 0 y 1.

Sea colección de eventos razonables de Ω (σ-álgebra)

Sea una Distribución de Probabilidad P, función que asigna a cada sub-conjunto razonable de Ω un valor entre 0 y 1.

Sea colección de eventos razonables de Ω (σ-álgebra)

Ω⊂ℑ 2

),,( adProbabilid de Modelo PℑΩ=

Modelo Modelo ProbabilísticoProbabilístico

]1;0[: →ℑP

14Profesor: C.Valle

Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades (Eventos (Eventos EquiprobablesEquiprobables))

Noción intuitiva (regla de Laplace):

Noción frecuentista:

Sea

Noción intuitiva (regla de Laplace):

Noción frecuentista:

Sea

N

NAP

N

N

AN

A

∞→=

°

°

lim)(

A ocurre que vecesde totalN:

oexperimentun realiza se que vecesde totalN:

posibles Resultados

A evento al favorables Resultados)( =AP


8

15Profesor: C.Valle

Ejemplo DadoEjemplo Dado

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se tenga par?-El espacio muestral es Ω=1, 2, 3, 4, 5. Vamos a llamar A, al suceso consistente en que el resultado es impar, A=1,3,5. Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás, podemos aplicar la regla de Laplace para obtener que

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se tenga par?-El espacio muestral es Ω=1, 2, 3, 4, 5. Vamos a llamar A, al suceso consistente en que el resultado es impar, A=1,3,5. Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás, podemos aplicar la regla de Laplace para obtener que

2

1

6

3

posibles casos de número

A a favorables casos de número][

==

=AP

16Profesor: C.Valle

Observación

-En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera

aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetos

Sea N el número de objetos.

-Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la

misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N

-Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene

la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que

existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir

un par cualesquieres es 1/ K.

-Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada

r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser

seleccionada que cualquier otra r-tupla.

Observación

-En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera

aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetos

Sea N el número de objetos.

-Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la

misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N

-Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene

la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que

existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir

un par cualesquieres es 1/ K.

-Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada

r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser

seleccionada que cualquier otra r-tupla.

Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades (Eventos (Eventos EquiprobablesEquiprobables))


9

17Profesor: C.Valle

Probabilidad AxiomáticaProbabilidad Axiomática

Axioma 1:

Axioma 2:

Axioma 3:-

Axioma 1:

Axioma 2:

Axioma 3:-

1)( =ΩP

0)( ≥AP

∑=∪

∈

i

iAPAPse

Suponiendo

)()(, que verifica

excluyente mutuamente sea Ii , A que i

18Profesor: C.Valle

PropiedadesPropiedades

1. P(φ) = 0

2. P(A) ≤ 1

3. P(AC) = 1 - P(A)

4. Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

5. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai)

Si A ⊆ B ⇒ P(B-A) = P(B) - P(A∩B)

1. P(φ) = 0

2. P(A) ≤ 1

3. P(AC) = 1 - P(A)

4. Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

5. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai)

Si A ⊆ B ⇒ P(B-A) = P(B) - P(A∩B)


10

19Profesor: C.Valle

Sea

Aplicando los axiomas se tiene

Sea

Aplicando los axiomas se tiene

pares a de sexcluyente Mutuamente

Elemental Evento ,..,1

Finito Muestral Espacio ,...,, 21

Ω=∴

==

=Ω

i

N

i

ii

N

E

NiwE

www

Υ

Espacio Espacio MuestralMuestral FinitoFinito

)()()( 0 Como

1 1)(

321 0)(

jijiji

ii

N

i

ii

EPEPEEPjiEE

fEP

,...,N,,ifEP

+=→≠∀=

=→=

=>=

∑ΙΙ

Υ

20Profesor: C.Valle

Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional

Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.

La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A|B) :

Propiedades:i) P(A|B) ≥ 0

ii) P(Ω |B) = 1

iii) P(∪Ai|B) = Σ P(Ai|B)

con Ai∩Aj = ∅ ,∀ i, j : i ≠j

Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.

La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A|B) :

Propiedades:i) P(A|B) ≥ 0

ii) P(Ω |B) = 1

iii) P(∪Ai|B) = Σ P(Ai|B)

con Ai∩Aj = ∅ ,∀ i, j : i ≠j

)(

)()|(

BP

BAPBAP

Ι=


11

21Profesor: C.Valle

A

B

Ω

Centra el foco de atención en el

hecho que se sabe que han ocurrido

el evento B

Estamos indicando que el espacio

muestral de interés se ha “reducido”

sólo a aquellos resultados que

definen la ocurrencia del evento B

Entonces, P(A | B) “mide” la

probabilidad relativa de A con

respecto al espacio reducido B


22Profesor: C.Valle

Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie.

Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas superficiales son funcionalmente defectuosas

100% piezas

Manufacturadas

Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie.

También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas

Evento A = pieza funcionalmente defectuosa

B = pieza tiene una falla visible en la superficie

P( A dado B) = P(A | B) ?



12

23Profesor: C.Valle

AB

Si A ∩ B = A P(A | B) = = ≥ P(A)P(A ∩ B )

P(B)

P(A)

P(B)

AB Si A ∩ B = B P(A | B) = = = 1

P(A ∩ B )

P(B)

P(B)

P(B)

A

B

Si A ∩ B = ∅ P(A | B) = = = 0P(A ∩ B )

P(B)

P(∅)

P(B)

A

BSi A ∩ B ≠ ∅ P(A | B) = =

P(A ∩ B )

P(B)

Casos Probabilidad CondicionalCasos Probabilidad Condicional

24Profesor: C.Valle

Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes :

Entonces

Consecuencia (Regla de Bayes):

Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes :

Entonces

Consecuencia (Regla de Bayes):

1)(1

==

Υn

i

iBP

∑=

=n

i

ii BPBAPAP1

)()|()(

)(

)()|()|(

AP

BPBAPABP ii

i =

Probabilidad TotalProbabilidad Total


13

25Profesor: C.Valle

B1 B2

B3B4

A∩∩∩∩B4

A∩∩∩∩B3

A∩∩∩∩B1

A∩∩∩∩B2

B5

Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes

Entonces

A Equipo Fallado

Equipo Manufacturado

en Planta B2

Probabilidad TotalProbabilidad Total

∑=

=n

i

ii BPBAPAP1

)()|()(

1)(1

==

n

iiBP Υ

26Profesor: C.Valle

Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ?Se pide P(B3|A); pero sólo se conoce

P(A ∩ Bi), i = 1, 2, 3, .. , k

Sabemos que

P(A ∩ Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)

Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ?Se pide P(B3|A); pero sólo se conoce

P(A ∩ Bi), i = 1, 2, 3, .. , k

Sabemos que

P(A ∩ Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)

)()|(

)()|()|(

j

j

j

iii

BPBAP

BPBAPABP

∑=

Regla de Regla de BayesBayes

SB

jiBB

jj

ji

=

≠=

Υ

Ι ;φ


14

27Profesor: C.Valle

Ley Multiplicativa:

siempre que:

Ley Multiplicativa:

siempre que:

Ιn

i

iAP1

0)(=

>

)|().....|()()(1

112

1i

n

ini

n

ii AAPAAPAPAP

−

==

= ΙΙ

Probabilidad MultiplicativaProbabilidad Multiplicativa

28Profesor: C.Valle

n2

n2

n2

n1

Regla de la MultiplicaciónRegla de la Multiplicación

El Número de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n1 elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto del k-ésimoconjunto que tiene nk elemetos, en donde el orden como se selecciona es importante

n1* n2* ......* nk

El Número de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n1 elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto del k-ésimoconjunto que tiene nk elemetos, en donde el orden como se selecciona es importante

n1* n2* ......* nk


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29Profesor: C.Valle

Ejemplo 1Ejemplo 1

1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que:

P(B)=0,4 P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75

Determinar:

P(AC) ; P(A-B) ; P(AC∪BC) ; P(A|BC)

1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que:

P(B)=0,4 P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75

Determinar:

P(AC) ; P(A-B) ; P(AC∪BC) ; P(A|BC)

30Profesor: C.Valle

P(AC) = 1 - P(A)

P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩∩∩∩B)P(A∩∩∩∩B) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6

P(AC) = 0,4

P(A-B) = P(A∩∩∩∩BC) = P(A) - P(A∩∩∩∩B) = 0,6 - 0,3 = 0,3

P(AC∪∪∪∪BC) = P(AC) + P(BC) - P(AC∩∩∩∩BC)P(AC∩∩∩∩BC) = P(BC) - P(A∩∩∩∩BC) = 0,6 - 0,3 = 0,3Luego P(AC∪∪∪∪BC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7

P(A/BC) = P(A∩∩∩∩BC) = 0,3 = 0,5P(BC) 0,4

SoluciónSolución


16

31Profesor: C.Valle

Ejemplo 2Ejemplo 2

Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25; p2 = 0,50; p3 = 0,25.

Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas.

ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25; p2 = 0,50; p3 = 0,25.

Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas.

ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

32Profesor: C.Valle

225.0

25.0*4.05.0*2.025.0*1.0

)()|()(3

1

=

++=

=∑=i

ii FPFCPCP

SoluciónSolución

444.0225.0

25.0*4.0

)(

)()|()|( 33

3

==

=CP

FPFCPCFP


17

33Profesor: C.Valle

Independencia ProbabilísticaIndependencia Probabilística

Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico(Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:

Sean Ai: i ∈ I = 1,2,3,......,k una colección de eventos de (Ω, ℑ, P). Se dice que los elementos son conjuntamente independientes ssi:

Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico(Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:

Sean Ai: i ∈ I = 1,2,3,......,k una colección de eventos de (Ω, ℑ, P). Se dice que los elementos son conjuntamente independientes ssi:

)()|(

)()|( )()()(

BPABP

APBAPBPAPBAP

=

=⇒=Ι

,...,3,2,1 )()( kIJAPAPJj

ijJj

=⊆⊂= ∏∈∈

φΙ

34Profesor: C.Valle

Independencia probabilística Conjunta ⇒ Independencia de a pares

2. Independencia probabilística de a pares ⇒ Independencia probabilística Conjunta

3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente.

Entonces se tiene A, BC son independientes.

AC, BC son independientes

AC, B son independientes

4. Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.

Estudiar independencia conjunta y de a pares.

Independencia probabilística Conjunta ⇒ Independencia de a pares

2. Independencia probabilística de a pares ⇒ Independencia probabilística Conjunta

3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente.

Entonces se tiene A, BC son independientes.

AC, BC son independientes

AC, B son independientes

4. Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.


ObservacionesObservaciones


18

35Profesor: C.Valle

Independencia ProbabilísticaIndependencia Probabilística

Ejemplo 3:

Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.

Ω = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)

P(wi) = 1/4 ∀ i = 1, 4

Sean A1, A2, A3 eventos de (Ω, 2Ω, P) :

A1: 1era coord. es 1

A2: 2da coord. es 1



Ejemplo 3:

Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.

Ω = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)

P(wi) = 1/4 ∀ i = 1, 4

Sean A1, A2, A3 eventos de (Ω, 2Ω, P) :


A2: 2da coord. es 1



36Profesor: C.Valle

A B

1 2

3 4

A B

12

3 4

5

Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan

independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B42

43214321 2][][][)()];()[()( ppRPRRPRRPEPRRRRPEP i −=−+== ΙΙΙΙΥΙ

Ejemplo 3.4 : Independencia Ejemplo 3.4 : Independencia ProbabilísticaProbabilística


19

37Profesor: C.Valle

Construcción Modelos de ProbabilidadConstrucción Modelos de Probabilidad

Sea µ una medida en el Espacio Muestral tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud ; Superficie Volumen. etc.

Entonces existe un función definida en IR

es una medida de Probabilidad

Sea µ una medida en el Espacio Muestral tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud ; Superficie Volumen. etc.

Entonces existe un función definida en IR

es una medida de Probabilidad)(

)()(

:

Ω=

ℜ→ℜ

µ

µ AAP

P

38Profesor: C.Valle

Ejemplo 3.5: Ejemplo 3.5:

Problema del encuentro:Dos estudiantes acuerdan [9; 10] encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.

¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1

Y(t) : Llegada del estudiante 2

[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=Ω

A=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10

P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36

Problema del encuentro:Dos estudiantes acuerdan [9; 10] encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.

¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1

Y(t) : Llegada del estudiante 2

[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=Ω

A=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10

P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36


20

39Profesor: C.Valle

Ejemplo 3.5:Ejemplo 3.5:

Problema del encuentro:

Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1Y(t) : Llegada del estudiante 2[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=ΩA=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36

Problema del encuentro:

Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1Y(t) : Llegada del estudiante 2[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=ΩA=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36

40Profesor: C.Valle

Def: Sea A un conjunto : , se llama variaciónsimple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados

Obs: Si las variaciones son con repetición

Def: Sea A un conjunto : , se llama variaciónsimple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados

Obs: Si las variaciones son con repetición

nACard =)(

VariacionesVariaciones

)1).....(2)(1(),(

.....

)2)(1()3,(

)1()2,(

,...,, 21

+−−−=

−−=

−=

=

knnnnknV

nnnnV

nnnV

xxxA n

knknV =),(1


21

41Profesor: C.Valle

Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN IMPORTA :

Nota: Estudiar permutaciones con repetición

n objetos

- - - - -

1 2 3 4 r

PermutaPermutaccionioneess

)!(

!

rn

nPnr

−=

42Profesor: C.Valle

CombinaCombinaccionioneess

Combinaciones (sin repetición):Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA

Nota : Estudiar combinaciones con repetición

C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

Combinaciones (sin repetición):Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA

Nota : Estudiar combinaciones con repetición

C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

)!(!

!),(

rnr

nrnC

−=

capítulo 4 probabilidadescvalle/ili-280/cap3-ii-07-2pp.pdfconcepto de σσσσ-álgebra de sucesos...

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