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Capıtulo 5 - Distribuicoes conjuntas deprobabilidade e complementos
Conceicao Amado e Ana M. Pires e Isabel M. Rodrigues
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Capıtulo 5 - Distribuicoes conjuntas de probabilidade ecomplementos
Em muitas situacoes, esta-se interessado em estudarsimultaneamente mais de uma caracterıstica numa experienciaaleatoria. Suponha-se que a experiencia e selecionaraleatoriamente alunos de um certo curso, e o interesse e estudar operfil “biologico” desses alunos. Pode-se, entao considerar que operfil e composto de:
— peso
— altura
— pressao arterial
— frequencia cardıaca
— capacidade respiratoria
Ou seja, esta-se interessado em cinco variaveis aleatorias quedevem ser estudadas simultaneamente. Isto motiva a seguintedefinicao de um vector aleatorio.
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Definicao: Considere-se uma experiencia aleatoria e o seu espacode resultados Ω. Diz-se que (X ,Y ) e um vector aleatorio, paraleatorio ou variavel aleatoria bidimensional se X e Y forem variaveisaleatorias.
(X ,Y ) e um vector aleatorio:
— discreto se X e Y forem variaveis aleatorias discretas;
— contınuo se X e Y forem variaveis aleatorias contınuas.
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Dadas duas ou mais v.a. o seu comportamento simultaneo eestudado usando as chamadas distribuicoes conjuntas.
Definicao: Dadas duas variaveis aleatorias discretas, X e Y , chama-se funcao de (massa de) probabilidade conjunta a funcao
fX ,Y (x , y) = P(X = x ,Y = y), ∀(x ,y)∈R2 ,
que verifica
i) fX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x ,y)∈R2
ii)∑x
∑y
fX ,Y (x , y) = 1
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Esta funcao em tabela de dupla entrada:
X\Y y1 y2 · · · ys · · ·
x1 p11 p12 · · · p1s · · ·
x2 p21 p22 · · · p2s · · ·
. . . · · · · · ·
xr pr1 pr2 · · · prs · · ·
. . . · · · · · ·
pij = P(X = xi ,Y = yj)
I pij ≥ 0
I∑
i
∑j pij = 1
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Exemplo 5.1: Considere o lancamento de dois dados perfeitos.Seja
X - v.a. que indica o n.ode vezes que saiu a face 5
Y - v.a. que indica o n.ode vezes que saiu a face 6
Valores possıveis: RX = 0, 1, 2 e RY = 0, 1, 2X ∼ Bin(2, 1/6) e que Y ∼ Bin(2, 1/6).
Nota: Isto quer dizer que X e Y tem o mesmo comportamentoem termos de valores possıveis e respectivas probabilidades.
Nao quer dizer X = Y ! O que se pode dizer e
X e Y sao identicamente distribuıdas
Qual e o comportamento conjunto das duas variaveis, emtermos de probabilidades dos pares de valores (x , y), comx = 0, 1, 2 e y = 0, 1, 2?
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
P(X = 0,Y = 0) = 46 × 4
6
P(X = 0,Y = 1) = 16 × 4
6 × 2
P(X = 0,Y = 2) = 16 × 1
6
P(X = 1,Y = 0) = P(X = 0,Y = 1)
P(X = 1,Y = 1) =) = 16 × 1
6 × 2
P(X = 1,Y = 2) = 0
P(X = 2,Y = 0) = P(X = 0,Y = 2)
P(X = 2,Y = 1) = 0
P(X = 2,Y = 2) = 0
Verificar que
2∑x=0
2∑y=0
P(X = x ,Y = y) = 1
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
X\Y 0 1 2
0 1636
836
136
1 836
236
0
2 136
0 0
fX,Y (x, y)
x
y
4/9
y
x0 1 2
0
1
2
(4/9) (2/9)
(2/9) (1/18)
(1/36)
(1/36)
b b b
b b
b
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Definicao: Seja (X ,Y ) um v.a. contınuo. Se existir uma funcaofX ,Y (x , y) tal que:
F(X ,Y ) (x , y) =
∫ x
−∞
∫ y
−∞f(X ,Y ) (u, v) dvdu, ∀(x,y)∈R2
entao ela diz-se a funcao de densidade de probabilidade conjunta do v.a.contınuo (X ,Y ) e satisfaz:
1) fX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x,y)∈R2
2)
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞fX ,Y (x , y)dxdy = 1
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Nota: Qualquer que seja a regiao R ∈ R2
P((X ,Y ) ∈ R) =
∫R
∫fX ,Y (x , y)dxdy .
Exemplo 5.2: Seja a f.d.p conjunta do par aleatorio (X ,Y ),
f(X ,Y ) (x , y) =
12 , 0 < x < 1, 0 < y < 20, c .c .
E facil de verificar que e, de facto, uma f.d.p, pois:
(i) f(X ,Y ) (x , y) ≥ 0, ∀(x,y)∈R2 ;
(ii)∫ +∞−∞
∫ +∞−∞ f(X ,Y ) (x , y) dydx =
∫ 1
0
∫ 2
012dydx =
=∫ 1
0
[12y]20dx =
∫ 1
01dx = [x ]10 = 1
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Definicao: Dado o par (X ,Y ) discreto (contınuo), com funcao de pro-babilidade conjunta P(X = x ,Y = y) (f.d.p. conjunta fX ,Y (x , y)), asfuncoes de probabilidade (f.d.p.) marginais de X sao:
P(X = x) =∑y
P(X = x ,Y = y) ∀x∈R (discreto)
fX (x) =
∫ +∞
−∞f(X ,Y ) (x , y) dy =, ∀x∈R (contınuo)
e de Y sao:
P(Y = y) =∑
x P(X = x ,Y = y), ∀y∈R (discreto)
fY (y) =
∫ +∞
−∞f(X ,Y ) (x , y) dx =, ∀y∈R (contınuo)
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Exemplo 5.1 (cont.) - Funcoes de probabilidade marginais:
X\Y 0 1 2 P(X = x)
016
36
8
36
1
36
25
36
18
36
2
360
10
36
21
360 0
1
36
P(Y = y)25
36
10
36
1
361
por exemplo
P(X = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0,Y = 1) + P(X = 0,Y = 2) =
=∑2
y=0 P(X = 0,Y = y) (verificar que X e Y ∼ Bin(2, 1/6))
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
F(X ,Y )(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =∑xi≤x
∑yj≤y
P(X = xi ,Y = yj), ∀(x,y)∈R2
(discreto)
F(X ,Y )(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =
∫ x
−∞
∫ y
−∞fX ,Y (u, v)dvdu, ∀(x,y)∈R2
(contınuo)
Nota: As propriedades da funcao de distribuicao sao analogas as do casounivariado.
Exemplo 5.1 (cont.)
O valor da funcao distribuicao no ponto (0, 1):F(X ,Y )(0, 1) = P(X ≤ 0,Y ≤ 1) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0,Y = 1) = 24
36
Exemplo 5.2 (cont.)Calculo da seguinte probabilidade:
P(X ≤ 1
3,Y ≤ 1) = F(X ,Y )(
1
3, 1) =
∫ 13
0
∫ 1
0
1
2dydx =
1
6
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
E [h(X ,Y )] =∑x
∑y
h(x , y)P(X = x ,Y = y) (discreto)
E [h(X ,Y )] =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞h(x , y)fX ,Y (x , y)dydx (contınuo)
Casos particulares:
I E (XY ) =∑x
∑y
x y P(X = x ,Y = y) (discreto)
I E (XY ) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞x y fX ,Y (x , y)dydx (contınuo)
I E (X ) =∑x
∑y
x P(X = x ,Y = y) =
∑x
x
(∑y
P(X = x ,Y = y)
)=∑x
x P(X = x) (discreto)
I E [X ] =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞xfX ,Y (x , y)dydx =
∫ +∞
−∞xfX (x)dx
(contınuo)14 / 45
5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)0 16/36 8/36 1/36 25/361 8/36 2/36 0 10/362 1/36 0 0 1/36
P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1
I E (XY ) =∑
x
∑y x y P(X = x ,Y = y) =
= 0× 0× 1636 + 0× 1× 8
36 + · · ·+ 1× 1× 236 + 2× 2× 0 = 1
18
I E (X ) =∑
x
∑y x P(X = x ,Y = y) =
= 0× 1636 + 0× 8
36 + 0× 136 + 1× 8
36 + 1× 236 + 2× 1
36 = 13
ou
E (X ) =∑
x x P(X = x) = 0× 2536 + 1× 10
36 + 2× 136 = 1
3
ou ainda
E (X ) = 2× 16 = 1
3 , dado que X ∼ Bin(2, 16 )
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Definicao: Dado o par (X ,Y ) discreto (contınuo), com funcao de proba-bilidade conjunta P(X = x ,Y = y) (f.d.p conjunta fX ,Y (x , y))), chama-se funcao de probabilidade (f.d.p.) condicionada de Y dado x (seP(X = x) > 0, fX (x) > 0) a funcao :Caso discreto:
fY |x(y) = P(Y = y |X = x) =fX ,Y (x , y)
fX (x)=
P(X = x ,Y = y)
P(X = x)
que verifica
1) fY |x(y) ≥ 0, ∀y e 2)∑y
fY |x(y) = 1
Caso contınuo:
fY |x(y) =fX ,Y (x , y)
fX (x)
que verifica
1) fY |x(y) ≥ 0, ∀y e 2)
∫y
fY |x(y)dy = 1
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
I Para cada x fixo, fY |x(y), tem as propriedades de uma funcaode probabilidade (e a f.p. da v.a. Y |X = x)
I Analogamente define-se fX |y (x) = P(X = x |Y = y).
I E as funcoes de distribuicoes condicionadas de Y |X = x eX |Y = y definem-se como usualmente.
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Definicao: O valor e esperado condicionado e a variancia condicionada deY dado x (tal que fX (x) > 0) sao respectivamente:Caso discreto:
E (Y |X = x) =∑y
y P(Y = y |X = x)
V (Y |X = x) = E (Y 2|X = x)− E 2(Y |X = x)
Caso contınuo:
E (Y |X = x) =
∫ +∞
−∞y fY |x(y)dy
V (Y |X = x) = E (Y 2|X = x)− E 2(Y |X = x)
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)0 16/36 8/36 1/36 25/36
1 8/36 2/36 0 10/36
2 1/36 0 0 1/36
P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1
Y |X = 0 Y |X = 1
P(Y = 0|X = 0) = 16/3625/36
= 16/25 P(Y = 0|X = 1) = 8/3610/36
= 8/10
P(Y = 1|X = 0) = 8/3625/36
= 8/25 P(Y = 1|X = 1) = 2/3610/36
= 2/10
P(Y = 2|X = 0) = 1/3625/36
= 1/25 P(Y = 2|X = 1) = 010/36
= 0
E(Y |X = 0) = 1× 825
+ 2× 125
= 10/25 E(Y |X = 1) = 1× 210
= 2/10
O que acontece com Y |X = 2?
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Representacao grafica de valores esperados condicionados:
y
x0 1 2
0
1
2
bcbc
bcbc
bc
bc
b b b
b b
b
·
·
·+
+
+
E(Y |X = x)
E(X|Y = y)
Observacoes:
I Os E (X |Y ) e E (Y |X ) sao v.a.(s) que tomam diferentes valoresconsoantes os valores fixos para X e Y respectivamente.
I Propriedade destas v.a.(s) :
I E (E (X |Y )) = E (X ) se E (X ) existir e fY (y) > 0.I E (E (Y |X )) = E (Y ) se E (Y ) existir e fX (x) > 0.
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Definicao: Seja (X ,Y ) um vector aleatorio. As variaveis aleatoriasX e Y (contınuas ou discretas), dizem-se independentes, simbolica-mente X ⊥⊥ Y , sse:
FX ,Y (x , y) = FX (x)FY (y), ∀(x ,y)∈R2 (1)
A equacao (1) e equivalente a:
I P(X = x ,Y = y) = P(X = x)P(Y = y), ∀(x ,y)∈R2 , se(X ,Y ) for um vector aleatorio discreto;
I fX ,Y (x , y) = fX (x) fY (y), ∀(x ,y)∈R2 , se (X ,Y ) for um vectoraleatorio contınuo.
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5.1 + 5.2 - Duas v.a. discretas ou contınuas.
Observacao: Podemos dizer, em geral, que as variaveis aleatoriassao independentes sse:
P(X ∈ A,Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
para quaisquer acontecimentos A e B definidos no eixo dos xx e noeixo dos yy , respectivamente.
Se X ⊥⊥ Y entao:
I fY |x(y) = fY (y), ∀(x ,y), com fX (x)>0
I fX |y (x) = fX (x), ∀(x ,y), com fY (y)>0
I E (XY ) = E (X )E (Y ).
No Exemplo 5.1 X e Y serao independentes? E no Exemplo 5.2?
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Objectivo: Duas medidas do grau de associacao linear de duas variaveisaleatorias:
I covariancia;
I correlacao.
Definicao: A covariancia de duas variaveis aleatorias X e Y , com valoresesperados E (X ) e E (Y ), respectivamente, representa-se por cov(X ,Y ) ouσXY , e definida por
cov(X ,Y ) = E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))]
e calcula-se por∑x
∑y
(x − E (X ))(y − E (Y ))P(X = x ,Y = y)
se X e Y forem discretas, ou por∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞(x − E (X ))(y − E (Y ))fX ,Y (x , y)dxdy
se X e Y forem contınuas.23 / 45
5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
y
x
·
(µX , µY )
(x−µX) > 0(y−µY ) > 0
(x−µX) < 0(y−µY ) < 0
(x−µX) < 0(y−µY ) > 0
(x−µX) > 0(y−µY ) < 0
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Interpretacao do valor e sinal covariancia:
Mede a variacao conjunta de duas variaveis, podendo serinterpretada do modo seguinte:
I se for positiva, as duas variaveis variam em media no mesmosentido;
I se for negativa, as duas variaveis variam em media emsentidos contrarios;
I se for nula, nao se verifica nenhuma das tendencias anteriorese as duas variaveis aleatorias nao estao linearmente associadas
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
1. cov(X ,Y ) = E (XY )− E (X )E (Y )
2. cov(X ,Y ) ∈ R e nas (unidX )×(unidY )
3. cov(X ,Y ) = cov(Y ,X )
4. cov(X ,X ) = var(X )
5. cov(aX + b, cY + d) = a c cov(X ,Y )
6. cov(X + Z ,Y ) = cov(X ,Y ) + cov(Z ,Y )
7. Se X ⊥⊥ Y entao cov(X ,Y ) = 0 ... Muito importante: a proposicaoinversa nao e verdadeira, i.e.
cov(X ,Y ) = 0 ⇒/ X e Y sao independentes
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)0 16/36 8/36 1/36 25/361 8/36 2/36 0 10/362 1/36 0 0 1/36
P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1
E (XY ) =1
18E (X ) = E (Y ) = 1
3 (ja calculados)
cov(X ,Y ) =1
18− 1
9= − 1
18
Significa que ha uma tendencia para Y decrescer quando X cresce evice-versa.
Podemos saber se essa tendencia e “forte” ou “fraca”?
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Definicao: A correlacao ou coeficiente de correlacao (linear)entre duas variaveis aleatorias, X e Y , representa-se por corr(X ,Y )ou ρX ,Y e e definida por
corr(X ,Y ) = ρX ,Y =cov(X ,Y )√V (X )V (Y )
=σXYσXσY
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
O coeficiente de correlacao nao e alterado quando ha mudancas deescala e e adimensional:
1 2 3 4
1
2
3
4
y
xb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
5 10 15 20
5
10
15
20
y
xb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
ρX ,Y = 0.81 ρX ,Y = 0.81
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Propriedades da correlacao
1. −1 ≤ ρX ,Y ≤ 1
2. ρX ,Y = 1 se e so se Y = a + bX , com b > 0
ρX ,Y = −1 se e so se Y = a + bX , com b < 0
3. Se X e Y forem independentes entao ρX ,Y = 0. a proposicaoinversa nao e necessariamente verdadeira, i.e.,
ρX ,Y = 0 ⇒/ X e Y sao independentes
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Demonstracoes
1) Considere-se a variavel aleatoria XσX
+ YσY
. Usando uma daspropriedades da variancia vem:
V
(X
σX+
Y
σY
)≥ 0 ⇔ E
[(X
σX+
Y
σY
)2]−[E
(X
σX+
Y
σY
)]2⇔
⇔ E (X 2)
σ2X
+E (Y 2)
σ2Y
+2E (XY )
σXσY−E 2(X )
σ2X
−E 2(Y )
σ2Y
−2E (X )E (Y )
σXσY≥ 0 ⇔
⇔ E (X 2)− E 2(X )
σ2X
+E (Y 2)− E 2(Y )
σ2Y
+ 2E (XY )− E (X )E (Y )
σXσY≥ 0 ⇔
1 + 1 + 2 ρX ,Y ≥ 0 ⇔ ρX ,Y ≥ −1
De igual modo V
(X
σX− Y
σY
)≥ 0 ⇔ · · · ⇔ ρX ,Y ≤ 1
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Demonstracoes (cont.)
2) ρX ,Y = 1 ⇔ V
(X
σX− Y
σY
)= 0 ⇔ X
σX− Y
σY= constante
ρX ,Y = −1 ⇔ V
(X
σX+
Y
σY
)= 0 ⇔ X
σX+
Y
σY= constante
3) X e Y independentes ⇔ fX ,Y (x , y) = fX (x) fY (y), ⇒
⇒ E (XY ) =
∫ ∫x y fX ,Y (x , y)dxdy =
∫ ∫x y fX (x) fY (y)dxdy =
=
(∫x fX (x)dx
)(∫y fY (y)dy
)= E (X )E (Y )
isto e:cov(X ,Y ) = 0 ⇔ ρX ,Y = 0
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Para mostrar quecov(X ,Y ) = corr(X ,Y ) = 0 ⇒/ X e Y sao independentes
basta dar um contra-exemplo:
X\Y −1 0 1 P(X = x)
−1 0 1/6 0 1/6
0 1/12 1/12 1/12 2/3
1 0 1/6 0 1/6
P(Y = y) 1/12 5/6 1/12 1
I. E (XY ) = 0, E (X ) = E (Y ) = 0, logo cov(X ,Y ) = 0
II. No entanto, X e Y nao sao independentes
(por exemplo, P(X = −1,Y = −1) 6= P(X = −1)× P(Y = −1)
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5.3 Covariancia e correlacao. Propriedades
Exemplo 5.1 (cont.): X\Y 0 1 2 P(X = x)
0 16/36 8/36 1/36 25/361 8/36 2/36 0 10/362 1/36 0 0 1/36
P(Y = y) 25/36 10/36 1/36 1
Vimos antes que cov(X ,Y ) = −1/18, o que significa que ha uma tendenciapara Y decrescer quando X cresce e vice-versa, e podemos agora responder aquestao: essa tendencia e “forte” ou “fraca”?
Como X e Y ∼ Bin(2, 1/6), tem-se que V (X ) = V (Y ) = np(1− p) = 5/18,logo
corr(X ,Y ) =−1/18√
5/18× 5/18= −1
5
o que permite concluir que a sua tendencia/relacao e “fraca” (por o seu valorestar bastante mais proximo de 0 do que de -1), para alem de que as variaveisestao correlacionados linearmente no sentido negativo.
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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias
Definicao: Dadas p variaveis aleatorias, X1,X2, . . . ,Xp e p cons-tantes reais, c1, c2, . . . , cp, diz-se que a variavel aleatoria Y , definidacomo
Y = c1 X1 + c2 X2 + · · ·+ cp Xp
e uma combinacao linear de X1,X2, . . . ,Xp.
Valor esperado de uma combinacao linear
I E (c1 X1 + c2 X2) = c1E (X1) + c2E (X2)
Demonstracao:
∫ ∫(c1x1 + c2x2)f (x1, x2)dx1dx2 =
= c1
∫ ∫x1f (x1, x2)dx1dx2 + c2
∫ ∫x2f (x1, x2)dx1dx2
I E (c1 X1 + c2 X2 + · · ·+ cp Xp) =c1E (X1) + c2E (X2) + · · ·+ cp E (Xp)
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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias
Variancia de uma combinacao linear
I V (c1 X1 + c2 X2) = c21V (X1) + c22V (X2) + 2 c1 c2 cov(X1,X2)
Dem.: V (c1X1 + c2X2) = E[(c1X1 + c2X2)2
]− [E (c1X1 + c2X2)]2 =
= E (c21X21 + c22X
22 + 2c1c2X1X2)− (c1E (X1) + c2E (X2))2 =
= c21E (X 21 ) + c22E (X 2
2 ) + 2c1c2E (X1X2)−c21E
2(X1)− c22E2(X2)− 2c1c2E (X1)E (X2) =
= c21(E (X 2
1 )− E 2(X1))
+ c22(E (X 2
2 )− E 2(X2))
+
+2c1c2 (E (X1X2)− E (X1)E (X2))
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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias
Variancia de uma combinacao linear (cont.)
I V (c1X1 + · · ·+ cpXp) =p∑
i=1
c2i V (Xi ) + 2
p∑i=1
p∑j=1,j>i
ci cj cov(Xi ,Xj)
I Se cov(Xi ,Xj) = 0, para qualquer i 6= j , ou seja, se asvariaveis aleatorias forem nao correlacionadas duas a duas,entao
V (c1 X1 + · · ·+ cp Xp) =
p∑i=1
c2i V (Xi )
I O mesmo acontece se as variaveis aleatorias foremindependentes duas a duas, pois como se viu, independencia⇒ covariancia (e correlacao) nula.
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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias
Casos especiais de somas/combinacoes lineares de variaveisaleatorias
1. Soma de binomiais independentes com a mesmaprobabilidade de sucesso
X1 ∼ Bin(n1, p)X2 ∼ Bin(n2, p)X1 e X2 independentes
⇒ X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p)
Xi ∼ Bin(ni , p) independentes ⇒ X1+· · ·+Xk ∼ Bin(∑k
i=1 ni , p)
Caso especial:
Xi ∼ Ber(p) ≡ Bin(1, p) independentes ⇒ X1+· · ·+Xn ∼ Bin (n, p)
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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias
2. Soma de Poisson’s independentes
X1 ∼ Poisson(λ1)X2 ∼ Poisson(λ2)X1 e X2 independentes
⇒ X1 + X2 ∼ Poisson(λ1 + λ2)
Xi ∼ Poisson(λi ) independentes ⇒ X1+· · ·+Xk ∼ Poisson(∑k
i=1 λi
)
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5.4 Combinacoes lineares de variaveis aleatorias
3. Combinacao linear de normais independentes
X1 ∼ N(µ1, σ21)
X2 ∼ N(µ2, σ22)
X1 e X2 independentes
⇒ aX1+bX2 ∼ N(aµ1+bµ2, a2σ21+b2σ22)
Xi ∼ N(µi , σ2i ) independentes ⇒
⇒ c1X1 + · · ·+ ckXk ∼ N(∑k
i=1 ciµi ,∑k
i=1 c2i σ
2i
)
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5.6 Teorema do Limite Central. Aplicacoes as distribuicoesbinomial e de Poisson
Na maioria das situacoes e difıcil determinar a distribuicao da somade variaveis (mesmo que sejam independentes!). O teoremaseguinte justifica a grande utilidade e importancia da distribuicaonormal (quer em probabilidades quer em estatıstica).
Teorema do Limite Central: Seja X1, . . . ,Xn uma sucessao dev.a. independentes e identicamente distribuıdas com valor esperadoµ < ∞ e variancia σ2 < ∞. Considere-se Sn =
∑ni=1 Xi , entao
quando n→ +∞
Sn − E (Sn)√V (Sn)
=Sn − nµ√
nσ2a∼N (0, 1) ,
ou seja,
limn→+∞
P
(Sn − E (Sn)√
V (Sn)≤ z
)= Φ(z)
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5.6 Teorema do Limite Central. Aplicacoes as distribuicoesbinomial e de Poisson
Observacoes:
I A demonstracao do teorema exige algumas ferramentasmatematicas avancadas.
I Observar que,
E (Sn) = E
(n∑
i=1
Xi
)=
n∑i=1
E (Xi ) = nE (X1) = nµ
e como X1,X2 · · ·Xn sao v.a. independentes tem-se
V (Sn) = V
(n∑
i=1
Xi
)=
n∑i=1
V (Xi ) = nV (X1) = nσ2
I As v.a. X1, . . . ,Xn podem ser discretas ou contınuas.
I Geralmente considera-se n grande se n ≥ 30
I As distribuicoes Binomial e de Poisson podem ser aproximadas peladistribuicao normal (na seccao anterior vimos que podem serescritas como somas de variaveis aleatorias).
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Exemplo 1. Combinacao linear de normais independentes
Um elevador de acesso a galeria de uma mina tem capacidade nominal de3800kg. Admita que a v.a. Xi peso do i−esimo mineiro que usa o elevador temdistribuicao normal com valor esperado 75kg e desvio padrao 8kg. Qual e aprobabilidade de ser excedida a capacidade nominal do elevador quando nele seencontram 50 mineiros?
Xi− ‘v.a. peso do i−esimo mineiro (kg)’ , i = 1, . . . , 50, Xi ∼ N(75; 82) , ∀iVamos admitir que Xi q Xj para i 6= j
S =∑50
i=1 Xi ‘v.a. peso dos 50 mineiros (kg)’
E(S) = E(∑50
i=1 Xi ) =∑50
i=1 E(Xi ) = 50E(X ) = 50× 75 = 3750 (porque saoidenticamente distribuıdos (i.d.) a X )
V (X ) = V (∑50
i=1 Xi ) =∑50
i=1 V (Xi ) = 50V (X ) = 50× 82 = 3200 porque saoindependentes e identicamente distribuıdos (i.d.) a X .
S ∼ N(3700, 3200) porque e a combinacao linear de v.a.’s normaisindependentes
P(S > 3800) = 1− P(S ≤ 3800) = 1− P( S−3750√3200≤ 3800−3750√
3200) =
1− Φ( 3800−3750√3200
) = 1− Φ(0.88) = 1− 0.8106 = 0.1894.
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Exemplo 2. Teorema do limite central (T.L.C.)
Uma empresa de chocolates embala caixas com 100 pacotes de bombons. Ospesos por pacote sao v.a.’s Xi , onde Xi q Xj , com media 0.5kg e variancia0.1kg2.Sao colocadas 10 caixas numa palete. Qual e a probabilidadeaproximada do peso dos bombons da palete ser superior a 510kg?
Xi− ‘v.a. peso do i−esimo pacote (kg)’E(Xi ) = 0.5 V (Xi ) = 0.1 ,∀i e Xi q Xj para i 6= j
S =∑1000
i=1 Xi ‘v.a. peso dos bombons colocados na palete (kg)’
E(S) = E(∑1000
i=1 Xi ) =∑1000
i=1 E(Xi ) = 1000E(X ) = 1000× 0.5 = 500 (porquesao identicamente distribuıdos (i.d.) a X )
V (X ) = V (∑1000
i=1 Xi ) =∑1000
i=1 V (Xi ) = 1000V (X ) = 1000× 0.1 = 100 porquesao independentes e identicamente distribuıdos (i.d.) a X .
Pelo T.L.C. tem-se que: S−E(S)√V (S)
= S−500√100
a∼N (0, 1) ,
P(S > 510) = 1− P(S ≤ 510) = 1− P
(S − 500√
100≤ 510− 500√
100
)≈
T .L.C .
≈T .L.C .
1− Φ(1) ≈ 0.1587.
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5.6 Teorema do Limite Central. Aplicacoes as distribuicoesbinomial e de Poisson
Aproximacoes Binomial/Normal e Poisson/Normal:
I X ∼ Bin(n, p) pode ser aproximada a X ∼ N(np, np(1− p)) quandonp > 5 e n(1− p) > 5
I X ∼ Poisson(λ) pode ser aproximada a X ∼ N(λ, λ) quando λ > 5
I Correccao de continuidade: em geral a aproximacao e melhor sefizermos
P(a ≤ X ≤ b) ' P(a− 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
Exemplo: O numero de chamadas de telemovel registadas a partir de certa“zona” numa hora tem, em condicoes estacionarias, distribuicao de Poisson deparametro 1500. Calcule a probabilidade de ocorrerem mais de 1600 chamadasna proxima hora.X ∼ Poi(1500) pode ser aproximado a X ∼ N(1500, 1500)
P(X > 1600) = 1− P(X ≤ 1600) = 1− P(X ≤ 1600 + 0.5) '
' 1− P(X ≤ 1600.5) = 1− P
(X − 1500√
1500≤ 1600.5− 1500√
1500
)=
= 1− Φ(2.59) ' 0.0048
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