capÍtulo vi integraciÓn 6.1 integral...
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137
CAPÍTULO VI
INTEGRACIÓN
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA
La integral indefinida de f(x) denota la familia de primitivas de f(x). Es decir si
F'(x) = f(x) para todo x, entonces
donde f(x) se llama integrando y C constante de integración, dicha
constante hace que la integral sea indefinida.
La diferencial dx en la integral indefinida identifica la variable de integración,
es decir el símbolo ∫ f(x) dx denota la primitiva de f respecto a x, de modo
similar a cómo dy/dx denota la derivada de y respecto a x.
La naturaleza inversa de las operaciones de integración y derivación puede
simbolizarse del siguiente modo: La derivación es la inversa de la integración:
la integración es la inversa de la derivación:
6.2 REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Cxdx)1
dxxfkdxxfk )()()2
dxxgdxxfdxxgxf )()()()()3
f(x)dx = F(x)+C
d f(x)dx = f(x)
dx
f (x)dx = f(x)+C
138
11
)41
nCn
xdxx
nn
Ejemplo 1. Calcule la integral indefinida
Ejemplo 2. Halle
Ejemplo 3. Encuentre
6.3 REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS PARA LA
INTEGRACIÓN
Si u es una función diferenciable de x, entonces
donde n ╪ -1 y C es una constante
3 2/3( x +2 - 3 )dxx x
1/ 2 3 2 / 32 33/2 4 5/3
3/2 4 5/3
x x x(x + x - x )dx = + 2 - 3 + C =
3 54
2 3
2 1 9= + - + Cx x x
3 2 5
C + x2
5 - x
5
3 + x2 = )dxx10 + x + x(
= )dxx
10 + x + x(
4-5/31/25-2/31/2-
5
3 21/2-
C + x7
3 - x3 - x
5
36 - x6 - =
= )dxx3 - x18 - x36 - x(-24 =
= )dxx + x2x*3 + xx4*3 + x-3(8 =
dx)x+3(2x-
7654
6543
64223
32
n+1n u
u u dx = +Cn+1
139
Demostración: Utilizando la regla de las potencias en la derivación, se tiene
donde n ╪ -1
Ejemplo 1. Encontrar la integral
Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral indefinida
Ejemplo 3. Hallar
n+1n
n+1n
n+1n
n+1n
d n+1u( + C ) = ( ) u + 0u
dx n+1 n+1
ud ( + C ) = u dxu
n+1
ud + C = u u dx
n+1
u + C = u u dx
n+1
42 3
3 2
5 53 342 3
( - 1 dx)x x
sea, u = - 1 u = 3x x
1 1 ( - 1 ( - 1) )x x3 ( - 1 dx = + C = + C)x x
3 3 5 15
2
2 2( )
2
2
1/2
2
1/2
4xdx
1 + x
sea, u = 1 + u = 2xx
4xdx = 2 (1 + x 2xdx =)
1 + x
2 2 (1 + x + C = 4 1 + x + C)
2 3
8x + 10dx
(2x + 5x + 2 )
140
2
22
2
22
2
-
3
sea, u = 2x + 5x + 2 u = 4x + 5
4x + 5 (2x + 5x + 2 )= 2 dx = 2 + C
-(2x + 5x + 2 )
1= + C
(2x + 5x + 2 )
6.3.1 PROBLEMAS VARIOS
El estudiante deberá familiarizarse con las fórmulas de integración, de manera
que le resulte fácil transformar una integral a otra que permita su integración a
través de una de las 19 fórmulas básicas.
Ejemplo 1.
dxx
xdx
x
dxx
x
4
2
2
1
4
3
4
3
22
2
Fórmulas 15 y 3
Cxx
Arctg 4ln2
1
22
3 2
Ejemplo 2.
dxx
x
22
3
Cxx
dxx
xxdx
x
x
2ln2
2
2
2
22
22
3
Ejemplo 3.
dxxx
x
44
22
141
Fórmulas 3 y 1
Cx
xxdxx
xx
dxxx
dxxx
xdx
xx
x
1
)2(444ln
)2(
1444ln
44
14
44
42
44
442
12
2
2
222
Cx
xx2
444ln 2
Ejemplo 4.
xdxtg2
Cxtgxdxx )1(sec2
Ejemplo 5.
dxxcos1
1
dxxsen
xdx
x
xdx
x
x
x )(
cos1
)cos1(
cos1
cos1
cos1
cos1
122
Cecxxdxxecxxec coscot)cot.cos(cos 2
Ejemplo 6.
3
2
1 11 dt
t t
2 3 2 2 3 4 5
3 3 1 1 1 3 3 11 dt dt
t t t t t t t t
1 2 3 42 3 4 53 3 3 3
1 2 3 4
t t t tt t t t dt C
2 3 4
1 3 1 1
2 4C
t t t t
Este problema puede ser resuelto de manera más sencilla del siguiente modo:
3
2
1 11 dt
t t
Ct
41
14
1
142
Ejemplo 7.
3
2 3dx
x
1
22 33 2 3
12 22 32
xdx C
x
3 2 3x C
NOTA. Es importante que el estudiante resuelva los ejercicios 1 al 14 del
trabajo práctico No. 5. páginas 253 y 254
6.4 CÁLCULO DE INTEGRALES UTILIZANDO DERIVE
El formato para hallar integrales indefinidas es el siguiente: INT(u,x)
Ejemplo 1 Si se desea hallar la integral
dxxx
x
225
652
Ingrese en la barra de entrada de expresiones
INT((5x - 6)/(5x^2 - 2x - 1),x) luego de introducir y simplificar derive
mostrará:
#1 dxxx
x
225
652
#2 22
1115
1115ln117
2
)225ln( 2 x
x
xx
Ejemplo 2
#3 dxx
x2
2
9
#4 2
9
2
3arcsin9
2xx
x
143
#5 dxx
x2
2
sin1
sin
#6 2
21
2
322)2cos(
)2sin(arctan2
xx
x
#7 dxxxx
x
)22()1( 22
#8 )1(5
1
25
)1ln(
50
)22ln(
25
)1arctan(7 2
x
xxxx
#9 dxx
x
16
#10 12
)1(
1ln
6
3
3
3
32arctan3
22
242
x
xxx
#11 dxxx ))tan(ln()sin(
#12 2
tanln2
))(ln(cot)cos( 2 xxx
#13 dxxx 33 ln
144
#14 128
3
64
)(ln(3
64
))(ln(3
32
))(ln( 424224324 xxxxxxx
6.5 ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA
y y
f(Mi)
f(mi)
x x
a x b a x b
s(Δ) Área de rectángulos inscritos S(Δ) Área de rectángulos circunscritos
menor que el área real A mayor que el área real A
s(Δ) < A < S(Δ)
lim ( ) lim ( )n n
s A S
Por tanto
0 01 1
lim ( ) lim ( )n n
i i i ix x
i i
f m x A f M x
01
lim ( )n
xi
A f x x
Esto nos permite definir la integral definida con las siguientes consideraciones;
Sea f definida en un intervalo cerrado [ , ]a b y sea ci un punto del subintervalo [
xi - 1, xi ] de anchura Δ xi. Entonces, si
145
existe, denotaremos este limite por
y lo llamaremos INTEGRAL DEFINIDA de f entre a y b
Donde a y b son los límites superior e inferior de la integral, respectivamente,
f(x) es el integrando, dx el diferencial de x
Una propiedad importante de las integrales es que; si f es continua en [ , ]a b ,
entonces también es integrable en [ , ]a b .
6.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si una función f es continua en el intervalo [ , ]a b , entonces
Donde F es cualquier función tal que F'(x) = f(x) para todo x en [ , ]a b . Nótese
la desaparición de la constante de integración C.
Este teorema ofrece el método para calcular la integral definida, que permite
calcular el área debajo de la curva desde a hasta b, donde a < b. La aparición de
un signo negativo como resultado de la integral significa que; a) los límites de
integración fueron cambiados hallándose la curva por encima del eje x. b) la
curva tiene su gráfica por debajo del eje x.
La integral definida goza de las mismas propiedades de la integral indefinida
además de:
x)cf( ii
n
1=ix 0
lim
x)cf( f(x)dx ii
n
1=ix
b
a0
lim
F(a) - F(b) = f(x)dx
b
a
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx + f(x)dx
146
Ejemplo 1. Determinar el área comprendida entre y = 3x² + 1; x = 0; x = 2;
y=0
x y
0 1
1 4
2 13
Ejemplo 2. Hallar el área comprendida entre y = -x² + 2x + 3 ; y = 0
-x² + 2x + 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3) (x + 1) =0
3
1
233
1
2 33
)32( xxx
dxxx
66,103
1112
3
193)1(
3
)1(93
3
3 23
23
10 =(0) - 2)+2( = x+x[
= 1)dx+(3x
3
2
0
3
2
0
]
2
dx
147
Ejemplo 3. Evaluar
Ejemplo 4 Graficar la función y hallar la integral 1
2 3
1
( 1)x x dx
3,619 = ))(4 - (16 8
3 =] )(4 - )[(8
8
3
= ) (4 - )2 + [(48
3 = )x + [(4
4
3
2
1 =
dx x + 4 2x 2
1 =dx x + 4 x
4/34/34/3
4/34/32
0
4/3
3
2
0
3
2
0
] 22
22
dx
dx
148
Como la curva tiene dos partes, se hace necesaria la división de la integral en
dos partes de la forma
0 1
2 3 2 3
1 0
( 1) ( 1)x x dx x x dx
Como la gráfica es simétrica al origen puede evaluarse una de las integrales y
multiplicarse por dos para tener el área total
0
420
2 3
11
112 2 ( 1)
2 4
xx x dx
0
4 42
1
1 1 11 1 1 1
4 4 4x
Ejemplo 5. Hallar el área comprendida entre
(3 ) 0y x x y
Graficando tenemos
dx
dx
149
Las raíces de la ecuación (3 ) 0 0 ; 3x x son x x por tanto, se
debe evaluar la integral
3
0
(3 )x x dx
3
3 53 2 2312 2
0
0
3 33 5
2 2
x xx x dx
3
5 52 23 3
2 2
0
3 12 32 2 3 4,1569
5 5 5
xx
NOTA. Resulta necesario que se refuerce el conocimiento adquirido
resolviendo los problemas15 al 24 de la práctica No. 5 página 254
dx
150
6.7 ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son funciones continuas en [a , b] y g(x) < f(x) para todo x en [a , b],
entonces el área de la región limitada por y = f(x); y = g(x); x = a ; x = b es
y
f(x)
g(x)
dx
a b
Ejemplo 1. Hallar el área de la región comprendida entre y = x3 ; y = x en el
intervalo [0 , 1], haga un gráfico del problema.
g(x)]dx - [f(x) = A
b
a
4
1 =
=)] 0 ( - )4
1 -
2
1[( =
= 4
x -
2
x[ =)dx x - (x = A ]
1
o
43
1
o
2
dx
151
Ejemplo 2. Hallar el área entre las curvas y = 2 - x² ; y = - x
Igualando tenemos: 2 - x² = - x
x² - x - 2 = 0
(x - 2) (x + 1) = 0 ===> x = 2 ; x = - 1
y
2
2
22
9 =
2
1 - 3 - 8 = A
= )3
1 +
2
1 + (-2 - )
3
8 - 2 + (4 =
3
x -
2
x + [2x =
= dx)] x - x + [(2 = dxx)] (- - )x - [(2 = A
]2
1-
3
2
1-
2
1-
dx
152
Ejemplo 3. Hallar el área comprendida entre x = y² - 2 ; x = 6 - y²
El gráfico de este ejemplo muestra claramente que hallar el área
correspondiente utilizando dx se torna dificultosa siendo más conveniente
utilizar dy, por tanto:
y² - 2 = 6 - y² 2y² = 8 y = ± 2
3
64
3
323216
3
1616
3
168
3
2
)82()2()6(
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
yy
dyydyyy
Ejemplo 4. Mediante integración encontrar el área del triángulo cuyos vértices
son (0,0) ; (0,5) ; (6,0)
Sabemos que:
A = bh/2 =6*5/2
A = 15
dy
dx
153
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,5) ; (6,0) es:
0306553066
5
0
5yxxy
x
y
Despejando y tenemos:
xx
y6
55
6
530
La integral que nos dará el área será:
6
0
6
0
2 1512
18030
12
55)
6
55( xxdxx
Ejemplo 5 Hallar el área comprendida entre
2 2( ) 2 4 1 ; ( ) 4 3f x x x g x x x
La intersección de las parábolas permitirá hallar los límites de integración.
Igualando las ecuaciones tenemos
2 2
2
2 4 1 4 3
2 2
x x x x
x x
Los correspondientes valores de y son
2
( 2) 2 2 4 2 1 0.6568 2, 0.66f
2
( 2) 2 4 2 3 10.6568 2,10.66g
Note que los valores de y pueden hallarse a partir de cualquiera de las
ecuaciones
Graficando tenemos
154
Por tanto la integral que debe resolverse es
2 22 2
2 2
( ( ) ( )) ( 4 3) (2 4 1)g x f x dx x x x x dx
22 32
2 2
2 23
xx dx x
3 32 2 8 2
2 2 2 2 3.773 3 3
Ejemplo 6. Hallar el área comprendida entre:
xxxxg
xxxxf
32)(
932)(
23
23
dx
155
0)2)(3(
06
32932
23
2323
xxx
xxx
xxxxxx
Los límites de integración son -2 , 0 para el primer tramo A1 donde f(x) > g(x)
y; 0 , 3 para el segundo A2 donde g(x) > f(x), por tanto: 0
2
230
2
23231 632932 dxxxxdxxxxxxxA
3
16
3
88)12
3
84(
)2(33
2
4
2)0(3
3
0
4
0
2
6
34
1
234
234
0
2
234
1
A
xxxA
3
0
23
3
0
2323
2 693232 dxxxxdxxxxxxxA
4
63
4
8136279
4
81
)0(33
0
4
0)3(3
3
3
4
3
2
6
34
2
234
234
3
0
234
2
A
xxxA
08,2112
253
12
18964
4
63
3
1621 AAA
NOTA. Resuelva problemas 1 al 12 de la práctica 6, página 255
Igualando las ecuaciones se tiene:
A1
A2
156
6.8 CÁLCULO DE ÁREAS CON DERIVE
Las integrales definidas pueden hallarse con INT(u,x,a,b) donde u es la
función que se desea integrar, x especifica la variable respecto a la cual se
integra, a es el límite inferior y b el límite superior.
Las siguientes ordenes del derive permiten dibujar las gráficas de las áreas
buscadas:
AreaUnderCurve(u, x, a, b, y) sombrea el área bajo la gráfica de la función
y=u(x) hasta el eje OX en el intervalo [a,b] (a < b). Por ejemplo, para la
función y = x + cos(x) en [0,3], represente la expresión
AreaUnderCurve(x + COS(x), x, 0, 3)
AreaOverCurve(u, x, a, b, y) sombrea el área sobre la gráfica de la función
y=u(x) hasta el eje OX en el intervalo [a,b] (a < b). Por ejemplo, para la
función y = sin(x) - x en [1,3] hasta 3, represente la expresión
AreaOverCurve(SIN(x) - x, x, 1, 3)
AreaBetweenCurves(u, v, x, a, b, y) sombrea el área comprendida entre las
gráficas de las funciones y=u(x) y y=v(x) desde x = a hasta b (a < b). Por
ejemplo, para representar el área comprendida entre y = sin(2x) y v(x) =
cos(3x) desde x = -p a p, represente
AreaBetweenCurves(SIN(2x), COS(3x), x, -pi, pi)
Haciendo v = 0, AreaBetweenCurves puede usarse para representar el área
asociada con la integral de y=u(x) en [a,b] con un único color. Por ejemplo,
para representar la integral de y = sin(2x) + cos(3x) desde x = -p a p, represente
AreaBetweenCurves(SIN(2x) + COS(3x), 0, x, -pi, pi)
PlotInt(u, x, a ,b, y) representa el área asociada con la integral de y= en [a,b].
Para que PlotInt trabaje correctamente, la opción Simplificar antes de
Representar debe estar activada. Por ejemplo, para representar la integral de
u(x) = x + sin(2x) desde x = -3 hasta 3, represente
PlotInt(x + SIN(2x), x, -3, 3)
A CONTINUACIÓN MOSTRAMOS LAS APLICACIONES EN DERIVE
157
Ejemplo HALLAR EL AREA COMPRENDIDA ENTRE
300,13
1 2 xhastaxdesdexx
#1 AreaUnderCurve yxx ,3,0,,13
1 2
#2
3
0
2 13
1dxx
#3 6
LA MISMA GRÁFICA PUEDE OBTENERSE MEDIANTE
#4 PlotInt yxx ,3,0,,13
1 2
#5
30013
,30013
,13
222
xyyx
xyx
yx
dx
158
Ejemplo HALLAR EL ÁREA COMPRENDIDA ENTRE
0,322 xxxy
#6 SOLVE( -x2 + 2 x + 3, x, y )
#7 x = 3 o x = -1
#8
3
1
2 )32( dxxx
#9 3
32
#10 AreaUnderCurve( - x2 + 2 x + 3, x, -1, 3, y)
#11 [ - x2 + 2 x + 3, y < - x
2 + 2 x + 3 ^ 0 < y ^ -1 ≤ x ≤ 3 ]
dx
159
EJEMPLO. ENCONTRAR EL ÁREA COMPRENDIDA ENTRE
02043 2 xhastaxdesdexxxy
LA GRÁFICA PUEDE SER OBTENIDA DE CUALQUIERA DE LAS
SIGUIENTES DOS FORMAS:
#12 PlotInt( x ( 4 + x2 )
1/3, x, -2, 0, y)
#13 [x(x2+ 4)
1/3, y < x(x
2+ 4)
1/3 ^ 0 < y ^ -2 ≤ x ≤0, x(x
2+ 4)
1/3<y^ y<0^-
2≤x≤0]
#14 AreaOverCurve( x ( 4 + x2 )
1/3, x, -2, 0, y)
#15 [x(x2+ 4)
1/3, x(x
2+ 4)
1/3< y ^ y < 0 ^ -2 ≤ x ≤ 0]
dx
160
#16
0
2
3/12 )4( dxxx
#17 62
23 3/2
#18 -3.618898422
EJEMPLO. HALLAR EL ÁREA ENTRE LAS CURVAS
10,3 xhastaxdesdexyxy
#19 AreaBetweenCurves( x3 ,x , x, 0, 1, y)
#20 [x3, x, x ≤ 1 ^ 0 ≤ x ^ (x
3 – y) (y – x) > 0]
dx
dx
161
#21
1
0
3 )( dxxx
#22 4
1
EJEMPLO. HALLAR EL ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LAS CURVAS
10,2 2 xhastaxdesdexyxy
#23 AreaBetweenCurves( 2 – x2, -x, x, 0, 1, y)
#24 [ 2 – x2, -x, x ≤ 1 ^ 0 ≤ x ^ - (x + y) (x
2+ y – 2) > 0]
#25
1
0
2 )2( dxxx
#26 6
13
#27 2.166666666
dx
162
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Cudxuuu csc')cot.(csc)9 Cudxuu cosln')(tan)10
Cuuu sinln')(cot)11 Cuudxuu tansecln')(sec)12
Cuudxuu cotcscln')(csc)13
Ca
udx
ua
uarcsin
')14
22 C
a
u
adx
ua
uarctan
1')15
22
Cauudxau
u 22
22ln
')16
Cau
au
adx
au
uln
2
1')17
22
Ca
uarc
aauu
dxusec
1')18
22
Cu
uaa
auau
dxu 22
22ln
1')19
1;1
')11
nCn
udxuu
nn Cedxue uu ')2
Cudxu
uln
')3 Cudxuu cos')(sin)4
Cudxuu sin')(cos)5 Cudxuu tan')(sec)6 2
Cudxuu cot')(csc)7 2 Cudxuuu sec')tan.(sec)8