caracterización de la transición superconductora. modelos
TRANSCRIPT
125
Apéndice A
Caracterización de la transición superconductora.
Modelos fenomenológicos.
A.1. Propiedades termodinámicas de los superconductores
La transición entre la fase normal y superconductora en un metal está asociada a su
comportamiento magnético a bajas temperaturas. La idea es calcular la energía libre
de Gibbs y hacer una comparación entre la fase normal y superconductora.
La energía libre de Gibbs G de un elemento en un campo magnético se escribe
como8
HMPVTSUG 0µ−+−= (A.1)
donde U es la energía interna, T la temperatura, S la entropía, P la presión, V el
volumen, 0µ la permeabilidad magnética, H el campo magnético, y M el momento
magnético total.
Un cambio en G implica que
( ), , , , , ,dG U T S P V H MG G G G G G GdU dT dS dP dV dH dMU T S P V H M∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(A.2)
Todas las derivadas parciales suponen constantes las variables no involucradas.
A presión constante ( 0→dP ) de la Ec. (A.1) se obtiene
126
MdHHdMPdVSdTTdSdUdG 00 µµ −−+−−= (A.3)
Si se aplica la primera y segunda ley de la termodinámica,
HdMPdVTdSdU 0µ+−= , (A.4)
entonces, la Ec. (A.3) se puede escribir como
MdHSdTdG 0µ−−= (A.5)
Comparando las Ecs. (A.2) y (A.5) se puede identificar que
TPHGM
,0
∂∂
−=µ y HPT
GS,
∂∂
−= (A.6)
Considerando que en el estado superconductor se presenta el efecto Meissner
donde las líneas de flujo son expulsadas del interior de éste, por tanto el campo
magnético será cero 0=B : ( ) 00 =+= MHB µ , es decir, HM −= (A.7)
La susceptibilidad magnética se define por
0H
dMdH
χ=
=
Para superconductores, 1χ = − , esta cualidad identifica a estos materiales como
diamagnéticos perfectos.
Si se supone un proceso isotérmico ( )0=dT se puede evaluar cómo cambia la
energía libre de Gibbs con el campo magnético aplicado: Sea sG la energía libre en la
fase superconductora
( ) ( ) ∫∫ ==−=−HH
ss HHdHMdHTGHTG0
20
00 2
10,, µµ (A.8)
Así, se observa que la aplicación de un campo magnético aumenta la energía libre
de Gibbs de manera proporcional a 202
1 Hµ .
Ahora, si el campo magnético crítico cH es el campo requerido para aumentar la
127
energía libre del estado superconductor hasta la del estado normal, ( nG ) se puede
establecer por tanto que
( ) ( ) ( )2202
1,, HHHTGHTG cscn −=− µ (A.9)
Asimismo, como el campo aplicado H no depende de la temperatura, la
diferencia de entropías por unidad de volumen se escribe como14
dTdHHSS c
csn 0µ−=− (A.10)
Si se observa el diagrama de fase de un superconductor (Fig. 1) es notorio que
dTdHc siempre es negativa, por tanto 0>− sn SS , entonces sn SS > .
Figura 1.
Cuando la temperatura aumenta hasta cTT = se tiene que 0=cH y se puede decir
que 0=− sn SS .
Mucha de la comprensión de los superconductores se debe a las mediciones del
calor específico. La Fig. 2 ilustra el comportamiento del calor específico en un
superconductor tipo 1 sin campo magnético aplicado. Este comportamiento puede
predecirse con la termodinámica. A muy bajas temperaturas el calor específico de un
128
metal normal tiene una dependencia de la temperatura como 3aT bT+ , donde el
término lineal es debido a los electrones de conducción y el cúbico a los fonones15.
Para un superconductor se exhibe un comportamiento diferente. Debajo de cT , el
calor específico es proporcional a exp cTcteT
α ∗ −
Figura 2.
Dado que cTTsn SS
== y usando
,P H
GST∂ = − ∂
se obtiene que
sn TG
TG
∂∂
=
∂∂ (A.11)
Si G es continua y también su derivada se refiere entonces a una transición de fase
de segundo orden con las siguientes características8:
129
No existe calor latente, ó TG∂∂ es continua.
El calor específico presenta un salto, o en forma más general, 2
2
TG
∂∂ es
discontinua.
La primera característica deriva del hecho de que en la transición sn SS = y dado
que TdSdQ = se puede decir que cuando ocurre la transición no hay cambio de
entropía y por tanto no hay calor latente.
La segunda característica se explica a partir de la definición de calor específico,
( )TSTC ∂∂= , usando la Ec. (A.10) se obtiene la diferencia entre calores específicos
entre ambos estados es
2
02
2
0
+=−dTdHT
dTHdHTCC cc
cns µµ (A.12)
Cuando cTT = el campo magnético crítico es cero, entonces
( )2
0
=−
= dTdHTCC c
cTTnsc
µ (A.13)
Esta expresión es conocida como fórmula de Rutgers y predice la discontinuidad
en el calor específico.
Ahora, para un metal se tiene que TCn γ= y en el estado superconductor cambia a
3TCs α= . En términos de cT y usando ∫ ∫=c cT T
sn dSdS0 0
se observa que
( ) ( )∫ ∫ −==c cT T
csn STSTdTC
TdTC
0 00 , por tanto
∫ ∫=c cT T
dTTdT0 0
2αγ lo que conduce a 23cTγα = (A.14)
y al hacer la razón 31
=sn CC se obtiene el
orden del salto en el calor específico.
130
De acuerdo a los datos experimentales el cociente entre ambos calores específicos
en el punto de transición es 3. Esto demuestra la discontinuidad en los calores
específicos al cambiar de fase. Cabe aclarar que este es un modelo ad-hoc sin un tipo
de justificación teórica, pero es interesante pues lleva consigo predicciones no
sencillas y está en acuerdo razonable con los experimentos. Además, cuando se
combina con la teoría de London conduce a predicciones no triviales y válidas. No
obstante la expresión postulada para la energía libre no tiene relación con la obtenida
por la teoría microscópica4.
A.2. Efecto isotópico
En 1950 E. Maxwell y Ch. Reynolds establecieron la evidencia de que las vibraciones
de la red tienen un papel importante en el fenómeno de la superconductividad8.
La temperatura crítica de un superconductor cambia cuando solamente la masa
del ión es cambiada mientras el resto permanece igual (figura 3). Tal experimento
consiste en cambiar un átomo por su isótopo y los experimentos arrojaron que
α−≈ MTc donde M es la masa atómica y ( )( )MdTd c
lnln
=α . Los experimentos se realizaron
con mercurio dando un resultado de 03.050.0 ±=α . Este efecto aclara el papel
importante que juega la red cristalina del sólido, (ver la figura 3) en sus propiedades
de transporte de carga.
Es decir lo anterior indica que la temperatura crítica está relacionada a la
frecuencia de vibración de la red 21−
≈≈≈ MMkT oscc ω .
La cT es proporcional a la frecuencia de oscilación de su posición de equilibrio,
esto sugiere que las oscilaciones y el estado superconductor tienen algo en común.
131
Figura 3.
A.3. Electrodinámica de un superconductor. Teoría de London
Al siguiente año del trabajo de Gorter y Casimir sobre superfluidez14, se avanzó
en la teoría fenomenológica del comportamiento electromagnético de los
superconductores, con el trabajo presentado en 1935 por los hermanos Fritz y Heinz
London; este trabajo es de carácter clásico y trata de explicar el efecto Meissner y la
conducción perfecta. Ellos retoman la idea de corriente eléctrica de dos flujos
(electrones normales y superconductores) en un superconductor. Se establece sn como la densidad volumétrica de cargas superconductoras y nn de cargas normales,
el total de cargas por unidad de volumen ns nnn += . Por supuesto que ambas
densidades se asocian a sus respectivas velocidades svr y nv
r .
Cuando el material se encuentra a una temperatura mayor que la temperatura
crítica la corriente superconductora es cero ( ) 0→= cTTns . Conforme la temperatura
disminuye el valor de sn aumenta esperando que a una temperatura de K0 toda la
densidad volumétrica de carga sea superconductora, nns = .
A continuación se presenta parte del desarrollo de esta teoría.
Para corrientes normales se tiene que EJ nn
rrσ= , además nnn venJ rr
−= . La corriente
sJr
generada por los electrones superconductores es sJr
ssven r−= .
132
La fuerza dentro del material debido a un campo aplicado es
Eedtvdm
rr−=
Con estas dos ecuaciones se tiene que
mEne
dtdven
tven
tJ
ss
ss
ss
rr2=−=
∂∂
−=∂∂
Sea sne
m2=∆ , entonces se tiene la primera ecuación de London
[ ]tJE s
∂∆∂
=r
(A.15)
Aplicando la ley de Faraday: tB
cE
∂∂
=×∇r
r 1 al campo eléctrico obtenido
tB
ctJ
∂∂
−=∂∆∂
×∇rr
1)(
[ ] 0=∂
+∆×∇∂t
BJc s
rr
(A.16)
Pero esta última ecuación es general para cualquier metal de densidad de
electrones sn y no justifica el efecto Meissner. Sin embargo los hermanos London se
dieron cuenta de que cierto conjunto de soluciones, aquéllas para las cuales la
cantidad entre paréntesis es cero, explicaba dicho efecto, por tanto propusieron
(segunda ley de London)
( )s BJc
∇× ∆ = −r
r (A.17)
Usando la ley de Faraday y la segunda ley de London se tiene
( )cBJ
tE s
•
=∆×∇∂∂
=×∇r
rr (A.18)
Ahora si ns JJJrrr
+= , donde EJ nr
σ= , la segunda ley de London se reescribe como
133
( ) ( )cBEJr
rr−=∆×∇−∆×∇ σ (A.19)
O también
( ) ( )EcBJcrrr
∆×∇−=∆×∇− σ (A.20)
Ahora, si se aplica otra vez la ley de Faraday se determina que
( )•
∆+=∆×∇− BBJcrrr
σ (A.21)
Al sustituir EJJ srrr
σ−= en la Ec. (A.15) se tiene
( )•
∆+=∆∂∂ EEJt
rrrσ (A.22)
Ahora al considerar las ecuaciones de Maxwell
πρ4=⋅∇ Er
01=
∂∂
+×∇tB
cE
rr
0=⋅∇ Br
Jct
Ec
Br
rr π41
=∂∂
−×∇
Se tiene entonces de esta última que
•
×∇+×∇=×∇×∇ Ec
Jc
Brrr 14)( π (A.23)
Ahora sí se deriva la segunda ecuación de Maxwell cBE
•••
−=×∇r
r , por tanto,
2
4 1( )B J Bc cπ ••
∇× ∇× = ∇× −r r r
(A.24)
entonces,
( ) ( )π42cB
cBJ
∆
+×∇×∇∆=∆×∇••rrr
(A.25)
134
( ) ( )π4cB
cBcJc
∆
+×∇×∇∆−=∆×∇−••rrr
(A.26)
Al sustituir en la Ec. (A.21) se obtiene
( ) 0442 =++∆
+×∇×∇•••
BBBBcrr
rr
πσπ (A.27)
Asimismo, es posible de igual forma determinar para el campo eléctricoEr
( ) 0442 =++∆
+×∇×∇•••
EEEEcrr
rr
πσπ (A.28)
También para la densidad de corriente Jr
queda de igual forma
( ) 0442 =++∆
+×∇×∇•••
JJJJcrr
rr
πσπ (A.29)
En el caso de la densidad de carga eléctrica ρ
044=++
∆
•••
ρρπσπρ (A.30)
cuya solución es de la forma
tt BeAe 21 γγρ −− += ,
donde BA, son constantes y 21,γγ son las raíces de la ecuación
24 4 0π πσγ γ− + =∆
(A.31)
Entonces se tiene
πσσπ
πσγ 41112 21 ≈
∆
−+= (A.32)
σσππσγ
∆≈
∆
−−=11112 22 (A.33)
El tiempo de relajación está definido por el más pequeño de las dos
135
exponenciales8
σγ
τ ∆≈=2
1 (A.34)
En un superconductor se cumple
04 =⋅∇= Er
πρ , (A.35)
y la consecuencia es la ecuación de continuidad
•
−=⋅∇ ρJr
0= (A.36)
Además, usando la identidad vectorial
( ) BBBrrr
2∇−⋅∇∇=×∇×∇
Con esto la Ec. (A.27) se escribe ahora
( ) 044222 =++∆
+∇−⋅∇∇•••
BBBBcBcrrrrr
πσπ
o bien
•••
++∆
=∇ BBBBcrrrr
πσπ 4422 (A.37)
Para el campo eléctrico se modifica la Ec. (A.28), con 0=⋅∇ Er
se tiene
•••
++∆
=∇ EEEEcrrrr
πσπ 4422 , (A.38)
y para la densidad de corriente, Ec. (A.29), con 0=⋅∇ Jr
•••
++∆
=∇ JJJJcrrrr
πσπ 4422 (A.39)
Para campos cuasiestacionarios las Ecs. (A.27) a la (A.29) se transforman en
042 =
∆+×∇×∇ Bc
Brr π (A.40)
136
042 =
∆+×∇×∇ Ec
Err π (A.41)
042 =
∆+×∇×∇ Jc
Jrr π (A.42)
En el caso estacionario 0=−=×∇
•
cBEr
r lo que implica que 0=E
r. Tales ecuaciones
tienen la forma
uc
u 22 4
∆=∇
π (A.43)
La solución es de tipo de
x
ceu 24∆
−
=π
(A.44)
Se puede ver que la longitud de penetración Lλ del campo magnético en el
material viene dada por8 5104
−≈∆
=π
λ cL cm 1
La longitud de penetración de London mide la extensión de la penetración del
campo magnético dentro del superconductor. Con esto el efecto Meissner queda
explicado.
También existe en la literatura una combinación de Gorter y Casimir con London.
En el modelo de dos fluidos de Gorter y Casimir la corriente total es
nnss vnvnJ rrr+= . (A.45)
En presencia del efecto Meissner 0=Br
, entonces 0=nvr y por tanto sJJ
rr= , es decir
a partir del efecto Meissner la conductividad perfecta se justifica, sin embargo esta
teoría no conoce cómo varía sn ni si ésta varía con el campo aplicado, con la corriente
aplicada o con la temperatura, esos aspectos los explica la teoría de Ginzburg-
Landau.
En el modelo de Gorter y Casimir la fracción de densidad de electrones normales
137
es x y x−1 es la fracción de superconductor, es decir
( )nTnx s= ( )
nTnx s=−1 (A.46)
Experimentalmente se sabe que para T fija
( )nTnx s=
4
=
cTT ,
asimismo,
( )nTnx s=−1
4
1
−=
cTT
y por tanto,
( )
−=
4
1c
s TTnTn (A.47)
Ahora, de la ecuaciones de London se tiene que
nemc
L 2
22
4πλ =
Al sustituir sn en la Ec. (A.47)
−
= 42
22
14c
L
TTne
mc
π
λ
entonces,
( )ne
mcL 2
22
40
πλ =
así
138
( )21
4
1
0
−
=
c
LL
TT
λλ (A.48)
Al alcanzar la temperatura crítica el valor de la longitud de penetración de
London tiende a infinito, lo cual significa que el estado superconductor se rompe. Los
valores de la teoría de London predicen15que ( )0Lλ se encuentra entre 100oA y
10000A .
La dependencia de la temperatura es muy cerca de lo observado
experimentalmente, aunque la teoría microscópica es un tanto mejor.
Una modificación de la Teoría de London fue propuesta por Pippard. Él
generaliza λ para metales impuros. De forma experimental relacionaron la densidad
de corriente y campo eléctrico de la forma
( )( ) 3
4
34
R lR R E r
j r e d rl R
R r r
σπ
− ′⋅ ′=
′≡ −
∫r
r r r rr r
r r
(A.49).
Donde σ es la longitud de onda de conductividad eléctrica, l es el camino libre
medio de electrones en la superficie de Fermi, dado por Fl v τ= , velocidad de Fermi
por tiempo de dispersión en el modelo de Drudé. Los puntos que contribuyen a la
integral son separados por distancias de orden 0r definido por
0 0
1 1 1r lξ= +
(A.50)
La 0ξ se denomina longitud de coherencia. De las ecuaciones de London asumió
que
139
( ) ( ) ( ) ( )( ) 21 1 s
s
n T ej r A r
c T T m= ≡
Λ Λ
rr r r (A.51)
Para campos que varían suavemente sobre un camino libre medio l (A.49) se
reduce a la ley de Ohm j Eσ=rr
. Con esto la ecuación (A.51) puede ser ahora
modificada a
( )( )
0 34
0
34
R rs
R R A rj r e d r
Rπξ−
′⋅ ′= −Λ ∫
rr r rr r
r (A.52)
Después que la BCS fue desarrollada se aclaró que la longitud de coherencia 0ξ
fue relacionada aproximadamente al gap de energía por 0Fvξ
π=
∆h
Después de que se tuvo la longitud de coherencia de Pippard, implicó que para
caracterizar un superconductor se requieren al menos tres diferentes longitudes de
escala: la longitud de penetración λ , la longitud de coherencia 0ξ y el camino libre
medio l . Entre estas longitudes se clasifican en tipos de superconductores uno y dos
y los límites limpios y sucios.
A.4. Teoría de Ginzburg-Landau
En 1950 Vitaly Ginzburg y Lev Landau formularon su teoría de la
Superconductividad. Es en cierto modo una generalización de las ideas de los
hermanos London y se desarrolla en la línea de la teoría de Landau para transiciones
de fase de segundo orden8.
La hipótesis de partida es la idea de explicar el supercondensado con la ayuda de
una función de onda ( )rrΨ ( ) ( )rier ϕrΨ= , que en general es compleja, conocida como
función de onda de Ginzburg-Landau o bien parámetro de orden complejo, es decir
no se trata de una función de onda en el sentido cuántico sino de una pseudofunción
de onda macroscópica. Tiene las siguientes características:
140
( ){0 0c
c
T TT T Tψ ψ
>= ≠ < (A.53)
La teoría Ginzburg-Landau fue construida con base en una expresión de la
diferencia de energía libre que depende suavemente de ψ , dado que esta es compleja
y la energía libre debe ser real la energía sólo depende entonces de ψ . Además dado
que ψ va de cero a cT se escribe como una expansión de Taylor en potencias de ψ .
Para temperaturas cerca de cT sólo los dos primeros términos de la expansión son
necesarios. Por tanto la densidad de energía libre por unidad de volumen
f F V= estará dada por
( ) ( )2 412s nf f T Tα ψ β ψ= + + + ⋅⋅⋅ (A.54)
donde ,n sf f son las densidades de energía libre en el estado normal y
superconductor respectivamente. Los parámetros ( ) ( ),T Tα β son parámetros
fenomenológicos dependientes de la temperatura. También se asume que ( )Tβ es
positiva dado que de otra forma no habría un mínimo y no tiene sentido físico. La
idea es tener resultados alrededor de cT , aunque sólo los primeros términos de la
expansión son significativos; por tanto
( ) ( )2 412s nf f f T Tα ψ β ψ∆ = − = + (A.55)
Existen dos posibilidades para encontrar el mínimo de f∆ , es decir, depende de si
α es positiva o negativa. Minimizando respecto de ∗ψ
( )20f ψ α β ψψ ∗
∂= = +
∂ (A.56)
Para 0>α el mínimo de energía libre está en 0=ψ , para cTT > , estado normal.
Para 0<α el mínimo de energía está en 0≠ψ para cTT < , estado superconductor, y
por tanto (ver la Fig. 4)
141
βαψ −=20 para cTT < (A.57)
Figura 4.
donde 20ψ es el valor de la posición de equilibrio en el punto de la transición.
Cerca de la temperatura crítica se asume que ( ) ( ),T Tα β cambian suavemente
con la temperatura, se puede entonces hacer una expansión de Taylor tal que
( ) ( )( )
cT T TT
α αβ β
•
≈ × − + ⋅⋅⋅≈ + ⋅⋅⋅
(A.58)
donde α•
y β son dos constantes fenomenológicas. En términos de estos parámetros
es fácil ver que
( )1 2
1 2
0
c c
c
T T T T
T T
αψ β
• − <=
>
(A.59)
Se encuentra que (para el campo cero) la diferencia de energía libre entre las fases
142
superconductora y normal está dada por
22
01 12 2 cf Hα µβ
∆ = − = − (A.60)
donde se usa el resultado de la termodinámica de un superconductor, Ec. (A.8); cH
depende de la temperatura de la forma
−∝
cc T
TH 1 ; por otra parte, de la Ec.(A.56)
se obtiene que cerca de cT
−∝∝
cs T
Tn 12ψ (A.61)
que reproduce la densidad de electrones de London, con
−∝∝ −
cs T
Tn 12λ .
La Teoría de Ginzburg Landau en sistemas inhomogeneos se describe a
continuación.
Ellos postularon que el parámetro de orden depende de la posición ( )rψ r , por
tanto la energía libre tendrá otro término que dependa del gradiente de ( )rψ r . Con
esto la densidad de energía libre viene dada ahora como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2
412
s nf T f T r T rm
T r
ψ α ψ
β ψ
∗= + ∇ +
+
h r r
r (A.62)
El término m∗ juega el rol de masa efectiva de la mecánica cuántica. Para
encontrar el parámetro de orden ( )rψ r se puede minimizar la energía libre total del
sistema
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 4 3
2 2
s nF T F T
Tr T r r d r
mβ
ψ α ψ ψ
= +
∇ + + ∗
∫h r r
(A.63)
143
Para encontrar el mínimo se debe considerar una variación infinitesimal de la función
( )rψ r tal que ( ) ( ) ( )r r rψ ψ δψ→ +r r r
Evaluando el cambio de energía total debido a ( )rδψ r y discriminando los
términos de orden superior se tiene
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 3
22 3
2
2
F d rm
d rm
δ δψ ψ δψ αψ βψ ψ
ψ δψ αψ βψ ψ δψ
∗ ∗∗
∗ ∗ ∗∗
= ∇ ⋅ ∇ + +
+ ∇ ⋅ ∇ + +
∫
∫
h
h (A.64)
Integrando por partes los términos del gradiente se obtiene
22 2 3
22 2 3
2
2
F d rm
d rm
δ δψ ψ αψ βψ ψ
ψ αψ βψ ψ δψ
∗∗
∗
∗
= − ∇ + +
+ − ∇ + +
∫
∫
h
h
(A.65)
La condición para que ( )rψ r produzca un mínimo es que 0Fδ = para toda
variación arbitraria de ( )rδψ r . Se observa que se cumple si
22 2 0
2mψ αψ βψ ψ∗− ∇ + + =
h (A.66)
Así se ha encontrado que minimizando al energía total conduce a una ecuación
igual a la de Schrödinger para ( )rψ r
( ) ( )( ) ( )2
22 02
r r rm
ψ α β ψ ψ∗− ∇ + + =h r r r (A.67)
Sin embargo, no es igual a la de Schrödinger dado que no es lineal por el segundo
término del paréntesis. Por esta no linearidad no aplica el principio de superposición
de la mecánica cuántica14 y por tanto la normalización de ψ es diferente a lo usual.
Esta ecuación es útil para estudiar la respuesta de los superconductores a
perturbaciones externas. Un buen ejemplo incluye las propiedades de superficies e
144
interfases de un superconductor.
Considerando un modelo simple de un metal normal y un SC. Suponer que la
interface es en el plano yz y que en 0x < es la región del metal normal y en 0x > .
Del lado del metal normal ( )rψ r debe ser cero, también se asume que ( )rψ r es
continua, se debe resolver la ecuación de Schrödinger no lineal
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
32 0
2d x
T x T xm dx
ψα ψ β ψ∗− + + =
h (A.68)
En la región 0x > con condiciones de frontera en ( )0 0ψ = , al resolver se
determina que
( )( )0 tanh 2xxT
ψ ψξ
=
(A.69)
Aquí 0ψ es el valor del parámetro de orden lejos de la superficie14 y el parámetro
( )Tξ es definido por
( ) ( )
1 2
2
2T
m Tξ
α∗
=
h (A.70)
Esta cantidad con dimensiones de longitud es la llamada Longitud de coherencia
de Ginzburg Landau, y es un importante parámetro físico que caracteriza la
superconductividad. Tal cantidad surge en casi todos los problemas de superficies,
interfases, defectos y vórtices. Usando la ecuación ( )cT Tα α•
= − , la longitud de
coherencia se puede reescribir
( ) ( ) 1 20T tξ ξ −= donde c
c
T TtT−
= (A.71)
Que es la llamada temperatura reducida
145
La teoría GL en un campo magnético aplicado es considerada a continuación.
El poder de la teoría de GL aparece cuando se incluye el efecto del campo
magnético, lo que lleva a completar en una sola teoría el efecto Meissner Ochsenfeld
y las ecuaciones de London. Hasta aquí no se ha incluído los efectos de la carga del
condensado superconductor, de cualquier forma lo anterior puede ser apropiado
para sistemas de partículas neutras como en el caso de la superfluidez , pero en
presencia de supercorrientes o partículas cargadas se puede extender la teoría para
incluir la interacción entre corrientes y campos magnéticos.
Es bien conocido que para partículas cargadas en campos magnéticos es necesario
reemplazar lo siguiente qAi i∇→ ∇−
rh h , donde q es la carga y Ar
es el potencial
vectorial magnético. Si se considera que la carga la aportan pares de electrones se
tiene que ésta es 2e− . Con estas novedades la densidad de energía ahora es
( ) ( )22
2 422 2s nf T f T eAm i
βψ ψ α ψ ψ∗= + ∇ + + +rh h (A.72)
Para obtener la energía libre total se debe incluir un término adicional
correspondiente a la energía del campo electromagnético ( )B r A= ∇×rr en cada punto
rr , ahora se hace indispensable efectuar la integral sobre este sistema
( ) ( )
( )
223
2 4 3 3
0
22
11( )2 2
s nF T F T eA d rm i
d r B r d r
ψ ψ
α ψ β ψµ
∗= + ∇ +
+ + +
∫
∫ ∫
rh h
r (A.73)
La condición de mínima energía es encontrada ejecutando una diferenciación
146
funcional para minimizar respecto a ( )rψ r y ( )rψ ∗ r . El resultado para ( )rψ r es otra
vez una ecuación de Schrödinger no lineal, pero ahora contiene el potencial vectorial
magnético Ar
( ) ( ) ( )2
22 02
ei A r rm
ψ α β ψ ψ∗
− ∇ + + + =
rh r r
h (A.74)
La supercorriente debido a un campo magnético puede ser encontrada de la
derivada funcional de la energía libre superconductora respecto al vector potencial14
( )s
sFjA r∂
= −∂
rr r
Lo que conduce a la supercorriente
( )2
22 42si e ej Am m
ψ ψ ψ ψ ψ∗ ∗∗ ∗
= − ∇ − ∇ −
rr h (A.75)
Se tiene que el parámetro de orden GL para superconductores es
( ) ( ) ( )i rr r e θψ ψ=rr r , es decir tiene amplitud y fase compleja. Pero se observa que
sucede cuando se considera invarianza de norma. En efecto si se realiza una
transformación de norma del campo magnético se tiene
( ) ( ) ( )A r A r rχ→ +∇r rr r r (A.76)
Entonces se debe hacer un cambio en la fase del parámetro de orden. Si se
considera que la densidad de energía libre contiene el operador de momento
canónico
ˆ 2p eAi
= ∇ +rh (A.77)
Si se cambia la fase del parámetro de orden tal que ( ) ( ) ( )i rr r e θψ ψ→rr r y se aplica
el operador se obtiene
147
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ˆ 2
22
i r i r i r
i r
p r e e eA r r e ri
e e A ri e
θ θ θ
θ
ψ ψ ψ θ
θ ψ
= ∇ + + ∇
= ∇ + + ∇
r r r
r
rhr r r rh
rh h r
(A.78)
De aquí se sigue que la energía libre será intercambiada cuando simultáneamente
cambie ( )rψ r a ( ) ( )i rr e θψrr y el vector potencial de acuerdo a
( ) ( )2
A r A re
θ→ + ∇r r hr r (A.79)
Esto demuestra que la teoría satisface la invarianza local de norma. Es decir,
ambos, el potencial vectorial magnético y la fase del parámetro de orden dependen
de la selección de norma, pero todas las cantidades físicas observables (energía libre,
campo magnético Br
) son invariantes de norma14.
Es necesario aclarar que un material Sc tiene un estado base con parámetro ψ
constante con la misma θ . Si esta cambia, entonces habrá cambios de energía. Si se
considera un sólido con magnitud del parámetro de orden ( )rψ r constante y la fase
( )rθ r variando suavemente con la posición rr y usando la Ec.(A.78), se obtiene
20 3 2
s s seF F d rρ θ = + ∇ +
∫ h (A.80)
Donde se ha definido
22
2s mρ ψ∗=
h (A.81)
También se tiene 0sF la energía libre total en el estado base (θ = constante, 0A =
r),
ahora si se selecciona la norma de London 0A∇⋅ =r
. También bajo ciertas
consideraciones de simetría, la corriente puede ser calculada de la derivada funcional
de la energía libre
148
( )
2 2
ss
s
F Aj
A r
e e Aρ θ
∂ =∂
= − ∇ +
rr
r r
r
h h
(A.82)
Empezando con el estado base donde θ es constante y con un pequeño potencial
magnético externo es
2
2
4s s
ej Aρ= −rr
h (A.83)
La cuál es exactamente igual a la ecuación de London. Para hacer una mejor
conexión se tiene que la Ec (A.82) y la Ec.(A.83) lleva a
2s
se
n ej Am
= −rr
se reescribe como 2
242sej Am
ψ∗= −rr
En términos de los parámetros originales de GL la sn es dada por
( )22 2s cn T Tαψβ
= = − (A.84)
La profundidad de penetración de London ahora es dada por
( )( )
1 2
22e
c
mTe T T
βλµ α
= −
(A.85)
Y por último, la razón ( )( )TT
λκ
ξ= (A.86)
Este parámetro se relaciona con la longitud de penetración de London a
temperatura cero ( )0Lλ y con la longitud de coherencia a temperatura cero 0ξ de la
siguiente forma, es llamado parámetro de Ginzburg-Landau para el material.
En los metales simples, los cuales son razonablemente puros, el parámetro
149
Ginzburg-Landau tiende a ser menor que uno. Estos son llamados superconductores
de primer tipo. En metales con impurezas el parámetro es mayor que uno, éstos son
llamados de segundo tipo. Las respuestas de ambos tipos serán muy diferentes
principalmente a la hora de aplicar los campos.
Gorkov obtuvo una derivación de la teoría de Ginzburg-Landau iniciando con la
teoría microscópica; él encontró que la función de onda de Ginzburg-Landau es
proporcional al valor local del parámetro del gap de energía ∆ .
La teoría de Ginzburg-Landau es particularmente útil en cálculos donde no se
incluyen los campos magnéticos por teoría de perturbaciones. Ejemplos típicos de
tales situaciones incluyen películas delgadas en campos magnéticos fuertes. También
la teoría ha jugado un rol importante en los llamados superconductores duros.
Desafortunadamente la teoría original de Ginzburg-Landau se restringe al rango
de temperaturas ( ) 1<<− cc TTT , aunque recientemente Werthamer y Tewordt han
extendido su uso a toda temperatura bajo condiciones apropiadas.
Otro resultado importante es el llamado hamiltoniano de Frölich, el cual jugó un
papel importante en la idea microscópica de la superconductividad. Se considera
como un gas de partículas independientes a los electrones de un metal y usando
segunda cuantización y una transformación canónica se evidencia la atracción entre
electrones debido a los fonones. Los cálculos se explican en el apéndice B.
150
A.5. Pares de Cooper
Cuando se encontró que hay interacción entre electrones, cerca del nivel de Fermi
fue un gran salto en la teoría de condensados. Neil L. Cooper8 demostró que si dos
electrones interactúan atractivamente sobre un mar de Fermi este se volverá
inestable. Lo anterior significa que el sistema se traslada a otro estado físico de menor
energía y este nuevo estado se caracteriza por una ligadura de dos electrones
llamados pares de Cooper. El mar de Fermi se reorganiza de manera diferente
cuando dos electrones se atraen causando una inestabilidad que transita a otro estado
el cual es el estado superconductor.
Los electrones apareados tienen menor energía que sus similares no apareados. El
estado base es el par de Cooper. Este es el problema de Cooper y que a continuación
se plantea y resuelve dicho problema.
El modelo se asume como una superficie esférica de Fermi a temperatura cero,
donde todo los estados con fk k< están ocupados. En la figura se observa como dos
electrones aparecen en el rango de energía de interacción fonónica.
La función de onda de estos dos electrones extras
( ) ( )1 21 1 2 2 1 2 ,, , , cm cmik R spinr r e r r σ σψ σ σ ϕ φ⋅= −
r rr r r r (A.87)
Donde cmRr
es coordenada centro de masa ( )1 2 2r r+r r y cmkr
h es el momento del par.
El momento de un par de Cooper se establece a partir de la solución de la
Ecuación de Schrödinger para un potencial cristalino y aquí se tiene que los
electrones de conducción en un sistema metálico se caracterizan por bandas de
energía ( )kε , que dependen del momento kr
h y el espín σ . Cada electrón interactúa
con los iones de la red y recibe o da energía y momento equivalente de un fonón. El
espín no cambia dado que el fonón carece de él (espín cero).
Suponer que cada electrón antes de la interacción tiene un momento y después
otro tal que
151
1 1i fk k→r r
h h 2 2i fk k→r r
h h
Es de esperarse que exista conservación de momento tanto para electrones y
fonones, pero en el caso de Sc se tiene que no hay resistencia eléctrica y por tanto el
par de Cooper tiene que tener otra condición adicional, pues repitencia igual a cero se
traduce en que no debe quedar energía en la red después de la interacción (si quedará
energía genera calor lo que se manifiesta en resistencia). Entonces las ecuaciones de
conservación de momento y energía se establecen de tal forma que para cada electrón
se tendrá
1 1 2 2f i f ik k kq k k q= − = +r r r r r
h h h h h h
Donde qh es el momento del fonón. Es evidente entonces que
1 2 1 2f f i i cmk k k k k+ = + =r r r r r
h h h h h (A.88)
Cuando no hay corriente neta el centro de masa no se mueve y se tiene 0cmk =r
h ,
es decir los pares de Cooper en estado superconductor tienen momentos opuestos kr
y k−r
.
Por el lado del espín puede haber función de onda con espín singlete o triplete, el
primero se escribe
( )1 2,12
spinσ σφ = ↑↓ + ↓↑ (A.89)
O espín triplete
( )1 2,12
spinσ σφ
↑↑= ↑↓ + ↓↑↓↓
(A.90)
Casi todos los superconductores (con pocas excepciones) tienen par de Cooper con
espín singlete. La antisimetría de los fermiones implica que
152
( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1, , , , , ,r r r rψ σ σ ψ σ σ= −r r r r (A.91)
Dado que el espín singlete es una función impar de 1 2,σ σ , entonces la parte
orbital de función de onda es simétrica ( ) ( )1 2 2 1r r r rϕ ϕ− = + −r r r r , por el contrario el espín
triplete tendría una función impar.
Expandiendo ( )1 2r rϕ −r r en términos de funciones de onda de Bloch se tiene
( ) ( )1 21 2
ik r rk
k
r r eϕ ϕ ⋅ −− =∑r r r
rr
r r donde kϕ r son los coeficientes de la expansión ha ser
calculados. La función de onda completa es la suma de determinantes de Slater
( )( ) ( )
( ) ( )1 2
1 1 2 2
1 2
, , ,k k
kk
k k
r rr r
r r
ψ ψψ σ σ ϕ
ψ ψ
↑ ↓
− ↑ − ↓
=∑ rr
r rr r
r r (A.92)
Sea 0 el estado base al nivel de Fermi, es decir es un producto antisimétrico que
contiene todas la funciones de onda entre 0 y FE . También sea el operador kc+↑ que
crea un electrón con momento kr
h y espín 12
y se denota con ↑ . Entonces 0k kc c+ +↑ − ↓
representa la creación de un par de electrones con números cuánticos k ↑ y
k− ↓ donde dichos estados tienen energía mayor a la de Fermi. De manera que se
puede representar la función de onda de un par de Cooper como una combinación
lineal de todos los estados posibles cuyo estado base será
0F
k k kk k
c cψ ϕ + +↑ − ↓
>
= ∑ (A.93)
El hamiltoniano cuya solución es ψ y que describe una interacción atractiva
entre electrones es de la siguiente forma
, ,k k k kk k k k k
k k k
H c c V c c c cσ σσ
ε + + +′ ′ ′↑ − ↓ − ↓ ↑
′
= −∑ ∑ (A.94)
El primer término es la energía cinética y censa la energía de cada electrón que
entra al problema. El segundo es la energía potencial de la interacción donde sea
153
destruye dos electrones que forman el par y se crea el par de Cooper, el potencial que
propicia tal acción es kkV ′ . El valor esperado de la energía se obtiene a partir de
E Hψ ψ= (A.95)
Es de suponer que se cumpla 1ψ ψ = la normalización de la función de onda, lo
que lleva a la siguiente condición.
21
F
kk k
ϕ>
=∑ r (A.96)
Al efectuar la operación con ambas ecuaciones se tiene
( ),
, ,
0
0
k kk k k k q qk q
kk k k k k k q qk k q
H c c c c c c
V c c c c c c
ψ ε ϕ
ϕ
+ + + +↑ ↑ ↓ ↓ ↑ − ↓
+ + + +′ ′ ′↑ − ↓ − ↓ ↑ ↑ − ↓
′
= +
−
∑
∑ (A.97)
Se computa el primer término considerando que kϕ es constante
( ) ( ), ,
0 0I k k k k kk k q q k k q qk q k q
H c c c c c c c cε ϕ ε ϕ ϕ+ + + + + +↑ ↑ ↑ − ↓ ↓ ↓ ↑ − ↓= +∑ ∑ (A.98)
Dado que el estado 0q qc c+ +↑ − ↓ contiene los dos electrones de momento q y q− que
se ubican por arriba del nivel de Fermi dentro del cuál todos los estados están
ocupados por el principio de Pauli, además dado que el operador k kc c+↑ ↑ contabiliza
todos los electrones que existen arriba del nivel de Fermi y suma la energías si esos
estados son ocupados, y se sabe que los únicos estados ocupados son los de momento
q y q− , y la energía asociada a ellos es ,q qε ε− respectivamente , por tanto
0 0k q q qk k q q q qc c c c c cε ϕ ε ϕ+ + + + +↑ ↑ ↑ − ↓ ↑ − ↓= , entonces
0 0I q q q qq q q qq q
H c c c cε ϕ ε ϕ+ + + +−↑ − ↓ ↓ − ↑= +∑ ∑ (A.99)
Considerando que q qε ε−=
154
2 0I q q q qq
H c cε ϕ + +↑ − ↓= ∑ (A.100)
Para el segundo término
, ,
0II kk k k k k k q qk k q
H V c c c c c cϕ + + + +′ ′ ′↑ − ↓ − ↓ ↑ ↑ − ↓
′
= ∑
,
0II kq q k k q qk q
H V c c c cϕ + + + +↑ − ↓ ↑ − ↓= ∑
(A.101)
,
0II kq q k kk q
H V c cϕ + +↑ − ↓= ∑
Por tanto la energía se escribe como
2,
,
2 k k k q k qk k q
E H Vψ ψ ε ϕ ϕ ϕ∗′ ′ ′′ ′
= = −∑ ∑ (A.102)
Para calcular la energía se requiere determinar primero el coeficiente kϕ . Una
forma sencilla es con el uso de los multiplicadores de Lagrange8 lo cuál deja tales
coeficientes linealmente independientes, en efecto:
2,
,
2k k k k k q k qk k k q
E Vλ ϕ ϕ λ ε ϕ ϕ ϕ∗ ∗′ ′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′
= − + + −∑ ∑ ∑ (A.103)
Efectuando la variación de E con respecto a kϕ∗ se tiene
,2 0k k k k q q k
k k k qE Vδ λ ϕ ε ϕ ϕ δϕ∗
′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′
= − + − =
∑ ∑ ∑ (A.104)
Lo que conduce a
( ) ,2 0F
k k k q qq kVε λ ϕ ϕ′ ′ ′
>
− − =∑ (A.105)
El parámetro λ se encuentra restando las siguientes dos ecuaciones
( ) 2,
,
2 0k k k q q kk k q
Vε λ ϕ ϕ ϕ∗′ ′ ′ ′
′ ′
− − =∑ ∑ (A.106)
155
2,
,
2 k k k q q kk k q
V Eε ϕ ϕ ϕ∗′ ′ ′ ′
′ ′
− =∑ ∑ (A.107)
Para determinar que
2k
kEλ ϕ ′
′
=∑ (A.108)
Con la condición de normalización se tiene que Eλ = , por tanto la Ec. (A.105) se
escribe ahora
( ) ,2 0F
k k k q qq k
E Vε ϕ ϕ′ ′ ′>
− − =∑ (A.109)
Debido al potencial ,k kV ′ , la ecuación integral es todavía difícil, sin embargo, se
puede simplificar si se considerar tal potencial como constante, sin dependencia de
k ′ y q . Entonces el potencial se aproxima a una constante V para ,k q Dε ε ω′ < h , que
es el rango de energía donde los electrones sienten el potencial atractivo. De tal forma
que ahora se tiene
( )2 0k k qq
E Vε ϕ ϕ′ ′− − =∑ (A.110)
Donde E es la energía total del par de electrones y kε ′ es medida en relación a Fε .
Asimismo se recuerda que
k kk
ψ ϕ ψ=∑ (A.111)
Donde kψ es el determinante de Slater de dos partículas dado por
( ) ( )
( ) ( )1 2
1 2
k k
k
k k
r r
r r
ψ ψψ
ψ ψ
↑ ↓
− ↑ − ↓
=
r r
r r (A.112)
Esta función de onda obedece la ecuación de Schrödinger para dos cuerpos la cuál
es
H Eψ ψ=
156
Para resolver la Ec. (A.110) se obtiene una solución para kϕ ′
( )2kk
aE
ϕε′
′
=−
(A.113)
Donde a es una constante
Para calcular la energía se sustituye kϕ ′ en la Ec.(A.110), se tiene
02q q
aa VEε
− =−∑
( )11 02 2
F D
F
E
Eq q
dV N VE E
ω εε ε
+= =
− −∑ ∫h
(A.114)
Donde se usó ( )0 F D
F
E
Eq
Nω+
→∑ ∫h
que incluye densidad de estados a nivel de Fermi
Al resolver la integral se obtiene
( ) ( ) 2 210 0 ln2 2 2
F D
F
EF D
EF
E EdN V N VE E E
ω ωεε
+ + −= − −
∫h h
Finalmente se determina
( )20
22
1
DF
N V
E E
e
ω= +
−
h (A.115)
Se define acoplamiento débil cuando ( )0 1N V << . En este caso la solución se
reduce a
( )202 2 N V
F DE E eω−
= − h (A.116)
Dos electrones de la banda de conducción cuyos estados de energía están sobre el
nivel de Fermi tienen energía igual a 2 FE . Se supone que la energía del par es menor,
157
y que la energía necesaria para desligar los electrones que forman el par será
( ) 0202 N
par DE e νω−
= h (A.117)
Para acoplamiento fuerte ( )0 1N V >> el comportamiento de la energía es
( )2 0F DE N Vε ω= − h (A.118)
lo cual explica que la energía de un par de Cooper es menor que cuando los dos
electrones están libres sobre un mar de Fermi . Esto llevó a pensar que la formación
de los pares de Cooper es la base de la superconductividad. Al término ( )0N Vλ = ,
se le conoce como parámetro de acoplamiento electrón fonón
158
Apéndice B
Hamiltoniano de Frölich o la interacción electrón
electrón vía fonones
La primera idea clave en la teoría BCS es que existe una interacción efectiva
atractiva entre electrones cerca de la superficie de Fermi. Se sabe que esta idea fue
primero formulada por Frölich en 1950 y la sorpresa fue encontrar una fuerza
atractiva porqué los electrones se repelen uno a otro fuertemente debido a la
repulsión coulombiana
( )2
04eV r rr rπε
′− =′−
r rr r (B.1)
Esto será verídico siempre que el electrón sea “desnudo”, pero en un metal se
puede pensar en cuasipartículas, no electrones “desnudos”. Una cuasipartícula es
una excitación en un sólido y consiste en un movimiento del electrón junto a una
correlación de intercambio con huecos. El modelo se basa en el hecho de que al
moverse el electrón, otros de ellos van dejando huecos en el camino. Esto tiene dos
motivos, el primero es el principio de exclusión de Pauli que impide dos electrones
con el mismo espín en el mismo punto (Interacción de intercambio) y el segundo es
que las partículas tratan de minimizar el potencial repulsivo de Coulomb. La idea de
cuasipartículas fue desarrollada por Landau.
159
Si se considera electrones y sus alrededores en una correlación de intercambio con
huecos, entonces en el metal sucede que entre las partículas la fuerza de interacción
coulombiana es sustancialmente reducida por apantallamiento. Un modelo simple es
el modelo de Thomas Fermi que tiene una interacción atractiva de la forma
( )4TF
r rr
TFeV er rπ
′−−
=′−
r r
r r (B.2)
Donde TFr es la longitud de apantallamiento de Thomas Fermi. Se puede observar
que el efecto del apantallamiento es reducir la repulsión Coulombiana, en particular
la fuerza repulsiva es acortada y desaparece cuando TFr r r′− >r r y la total es mucho
más débil que el potencial 1 r original
Por otro lado los electrones interactúan con otros vía los fonones de la red
cristalina. En lenguaje de Feynman, un electrón en el estado de Bloch ( )nk rψ rr puede
excitar un fonón de momento cristalino qrh , dejando al electrón en el estado ( )nk rψ ′rr
con momento cristalino k k q′ = −r r r
h h h . Después un segundo electrón puede absorber
el fonón y adicionar ahora el momento qrh .
Entonces ahora se puede dar una idea de la interacción electrón fonón. El
hamiltoniano efectivo de los fonones en un sólido es justamente el correspondiente a
un conjunto de osciladores armónicos cada uno con vector de onda q y en modo
fonónico λ .
,
1ˆ2q q q
qH a aλ λ λ
λ
ω + = +
∑ r rh (B.3)
Donde los operadores qa λ+r y qa λr crean y destruyen fonones en el modo λ . Se sabe
que hay 3 aN modos en un cristal con aN átomos por unidad de celda. Para
simplificar se asume que hay un átomo por unidad de celda y entonces se tiene 3
modos (uno longitudinal y dos transversales). Por tanto el átomo localizado en
iRr
tendrá un desplazamiento dado por
160
( )1 2
,
ˆ2
iiq Ri q q q
q q
R e a a eMλ λ λ
λ λ
δω
⋅+−
= +
∑
rrr r
r r
r h (B.4)
Aquí ˆqe λr es un vector unitario en la dirección del desplazamiento para el modo
qλr . Por ejemplo el modo longitudinal será en la dirección de propagación de qr . Por
tanto un desplazamiento produce una modulación de la densidad de carga
electrónica y del potencial efectivo para los electrones en el sólido, se define aquí el
potencial de deformación dado por (ver figura 5)
( ) ( )11 i
i i
V rV r R
Rδ
δ δδ
=∑r rrr (B.5)
Este es potencial con una modulación periódica con longitud de onda 2 qπ , es
decir un electrón que se mueve a través de la red cristalina experimenta un potencial
periódico que lo somete a una difracción. Si el estado inicial de Bloch ( )nk rψ rr puede
ser difractado a otro estado de Bloch ( ),n k q rψ ′ −r r
r . El efecto neto de esto que el electrón
ha sido dispersado de un estado con momento cristalino kr
, a otro con momento
k q−r r . Este momento extra ha sido proporcionado por el fonón, también puede
observarse que se ha creado un fonón de momento qr o destruir otro de momento
q− r consistente con la conservación total de momento cristalino. Esto se puede dibujar
en un diagrama de Feynman (Figura 2, capítulo 3). En el vértice un electrón es
dispersado mientras un fonón es creado o destruido. Se puede a priori establecer que
el potencial efectivo entre electrones debido al intercambio de fonones es de la forma
( ) 2
2 2
1,eff qq
V q g λλ
ωω ω
=−
r
r
r (B.6)
Donde qλωr es la frecuencia del fonón y el parámetro qg λr es relacionado a la matriz
de elementos de la dispersión de un electrón del estado kr
al k q+r r .
Una forma de analizar la interacción electrón electrón mediada por fonones es
hamiltoniano de Frölich, el cual usa la aproximación adiabática (la masa de los
161
electrones es muy pequeña comparada con la masa de los iones 310mM
− ) y en tal
virtud se puede considerar que los electrones se mueven en un campo de iones fijo. El
hamiltoniano de Frölich que sirve de base a la BCS está dado por
f q q q k k kq
H a a c cω ε+ += +∑ ∑h ( ), ,
kk k k q qk k q
M c c a a+ +′ ′ −
′
+ +∑ (B.7)
Sea 0H el sistema de electrones y fonones sin interactuar tal que
0 q q q k k kq
H a a c cω ε+ += +∑ ∑h (B.8)
Por otro lado el término de la interacción electrón fonón está representado por
( ), ,
e f kk k k q qk k q
H M c c a a+ +′ ′− −
′
= +∑ (B.9)
Ahora se tiene 0f e fH H H −= +
Se hace una transformación canónica
ˆ s sfH e H e−= = ( )0
s se fe H H e−−+ (B.10)
( )2 20
1 11 ... 1 ...2 2e fs s H H s s−
= − + − + + +
[ ] [ ]0 0 01, , , ....2e fH H H s H s s− = + + + +
[ ]( ) [ ]( )0 0 01 1, , , , ...2 2e f e f e fH H H s H H s s H s− − − = + + + + + + (B.11)
Se escoge s de tal forma que su conmutador con 0H cancele el término e fH − , es
decir se toma [ ]0 , 0e fH H s− + = , con esto, y eliminando términos de orden 3s en
adelante para obtener
01ˆ ,2 e fH H H s− = + + ⋅ ⋅ ⋅ (B.12)
Se propone s de la siguiente forma
162
( ),
q q kk k kk k
s Aa Ba M c c+ +′ ′−
′
= +∑ (B.13)
Ay B se determinan a partir de la condición de [ ]0 , 0e fH H s− + = . Primero se evalúa
[ ]0 0 0,H s H s sH= −
( ),
k k k q q q k k q q k kk q k k
c c a a M Aa Ba c cε ω+ + + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
= + +
∑ ∑ ∑h
( ),
k k q q k k k k k q q qk k k qM Aa Ba c c c c a aε ω+ + + +
′ ′′ ′ ′ ′ ′′−′ ′′
− + + ∑ ∑ ∑ h (B.14)
( ), ,
k k k k k q q k kk k k
c c M Aa Ba c cε + + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
= +∑ ( ), ,
q q q k k q q k kk k q
a a M Aa Ba c cω + + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
+ +∑ h
( ), ,
k k q q k k k k kk k k
M Aa Ba c c c cε+ + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
− +∑ ( ), ,
k k q q k k q q qk k q
M Aa Ba c c a aω+ + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
− +∑ h
Al reescribir los términos del operador se obtiene
[ ] ( )
( )
0 ,, ,
, ,
,
,
k k k q q k k k kk k k
q k k q q q q k kk k q
H s M Aa Ba c c c c
M a a Aa Ba c c
ε
ω
+ + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
+ + +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
= +
+ +
∑
∑ h (B.15)
Al aplicar las propiedades de conmutadores y la regla para fermiones y bosones
se tiene ahora que
,k k k k k k kk k k kkc c c c c c c cδ δ+ + + +′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ = −
Además,
,q q q qa a Aa Ba+ +′ ′− + , ,q q q q q qAa a a B a a a+ + +
′ ′− = +
,q q q q qqAa Baδ δ+′ ′−= −
Con lo anterior se puede desarrollar el conmutador
[ ] ( ){ }0 . ,, ,
, k k k q q k k k k k k k kk k k
H s M Aa Ba c c c cε δ δ+ + +′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′−
′ ′′
= + −∑
163
( ), ,, ,
q k k q q q q q q k kk k q
M Aa Ba c cω δ δ+ +′ ′′ ′ ′ ′ ′′−
′ ′′
+ −∑ h (B.16)
,
k k k q k kk k
M Aa c cε + +′ ′ ′′ ′ ′ ′′−
′ ′′
= ∑,
k k k q k kk k
M Ba c cε + +′ ′ ′′ ′ ′ ′′
′ ′′
+∑
,
k k k q k kk k
M Aa c cε + +′′ ′ ′′ ′ ′ ′′−
′ ′′
−∑,
k k k q k kk k
M Ba c cε + +′′ ′ ′′ ′ ′ ′′
′ ′′
−∑
,
q k k q k kk k
M Aa c cω + +′ ′ ′′ ′ ′ ′′− −
′ ′′
+∑ h,
q k k q k kk k
M Ba c cω + +′ ′ ′′ ′ ′ ′′−
′ ′′
−∑ h
por tanto,
[ ] ( )0,
, k k k k q q k kk k
H s AM a c cε ε ω + +′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′− −
′ ′′
= − +∑ h
( ),
k k k k q q k kk k
BM a c cε ε ω +′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′
′ ′′
+ − −∑ h (B.17)
enseguida,
[ ] ( )0,
,e f kk q q k kk k
H H s M a a c c+ +′ ′ ′− −
′
+ = +∑ ( ),
k k k k q q k kk kAM a c cε ε ω + +
′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′− −′ ′′
+ − +∑ h
( ), ,
0k k k k q q k kk k q
BM a c cε ε ω +′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′
′ ′′
+ − − =∑ h
considerando
k k′ → k k′′ ′→ q q′ → se tiene
[ ] ( ){ }0,
, 1e f kk q k k k k qk k
H H s M a c c A ε ε ω+ +′ ′ ′− − −
′
+ = + − +∑ h
( ){ },
1 0kk q k k k k qk kM a c c B ε ε ω+
′ ′ ′′
+ + − − =∑ h
por lo tanto,
( ) 1k k qA ε ε ω−
′ −= − − + h y además ( ) 1k k qB ε ε ω−
′= − − − h (B.18)
Con esto y la relación
( )0, ,
1ˆ , ( )2 kk q q k k q q k k
k k k kH H M a a c c Aa Ba c c+ + + +
′ ′ ′ ′ ′′ ′′′− −′ ′′ ′′′
= − + +
∑ ∑
164
Primero se debe desarrollar el conmutador
( ) ( ),q q k k q q k ka a c c Aa Ba c c+ + + +′ ′ ′ ′′ ′′′−
+ +
( ) ,q q k k q k ka a c c Aa c c+ + + +′ ′ ′′ ′′′−
= + ( ) ,q q k k q k ka a c c Ba c c+ + + +′ ′ ′′ ′′′ + +
,q k k q k kA a c c a c c+ + + +′ ′ ′′ ′′′− − = + ,q k k q k kA a c c a c c+ + +
′ ′ ′′ ′′′−
,q k k q k kB a c c a c c+ + + +′ ′ ′′ ′′′− + ,q k k q k kB a c c a c c+ + +
′ ′ ′′ ′′′ +
Y considerando que
,q k k q k kA a c c a c c+ + + +′ ′ ′′ ′′′− −
( ), ,q k k q k k q q k k k kA a c c a c c a a c c c c+ + + + + + + +′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′− − − − = +
( ), ,q q k k k k q q k k k kA a a c c c c a a c c c c+ + + + + + + +′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′− − − − + +
=términos de dos operadores
asimismo,
,q k k q k kB a c c a c c+ +′ ′ ′′ ′′′ = términos de dos operadores
además,
,q k k q k kA a c c a c c+ + +′ ′ ′′ ′′′− + ,q k k q k kB a c c a c c+ + +
′ ′ ′′ ′′′−
( ), , ,
,
q q q q k k k k q q k k
q q k k
A B c c c c A a a c c
B a a c c
δ δ + + + +′ ′ ′′ ′ ′′′ ′ ′′′− − −
+ +′ ′ ′′′−
= − + + −
así se obtiene que
( ) ( ),q q k k q q k ka a c c Aa Ba c c+ + + +′ ′ ′ ′′ ′′′−
+ +
( ), ,q q q q k k k kA B c c c cδ δ + +′ ′ ′′ ′ ′′′− −= − + + términos de dos operadores
Según las deltas q k k ′= − y q k k′ ′′ ′′′= − , y considerando que
165
( )( ) ( )2 2
2 q
k q k q
A Bω
ε ε ω′′′ ′′′−
−− + =
− −
h
h
Se obtiene entonces,
( ) ( )2
0 22, , , ,
ˆ qq k k k k
k k k k q k k q
H H M c c c cω
ε ε ω+ +
′′ ′ ′′′′ ′′ ′′′ ′′ ′′′
= +− −
∑h
h
+ términos de dos operadores
Al reacomodar los subíndices se tiene finalmente
( ) ( )
2
0 2 2, ,
ˆ qq k q k q k k
k k q k k q q
H H M c c c cω
ε ε ω+ +
′+ −′
−
= +− −
∑h
h (B.19)
La interacción electrón electrón es atractiva para k k q qε ε ω−− < h y repulsiva en
otro caso. La atracción es dominante cuando
DFkDF ωεεωε +<<− Dω energía de Debye.
Es rápido detectar que si se identifica el segundo término de la Ec.(B.19) como 1H ,
además la matriz de elementos de la Ec. (B.9) se asocia ahora como q kkg Mλ ′→r tal que
( )2
1 2 2. ,
ˆ qq k q k q k k
k k q k k q q
H g c c c cλ
λ
ω
ε ε ω+ +
′+ −′
−
=− −
∑ rh
(B.20)
Todavía es posible eliminar la dependencia de qr y facilitar más el problema si en
(B.20) se reemplaza qω por un promedio efectivo de todos los valores de qr que es la
frecuencia típica de los fonones Dω (de Debye) Esto puede ayudar a definir qg λr como
una constante effg . Entonces la Ec. (B.6) ahora es
( ) 2
2 2
1,eff effD
V q gωω ω
=−
r (B.21)
Aquí si Dω ω< es atractivo, según la BCS es despreciable los casos repulsivos
cuando Dω ω> . Sólo interesan electrones que estén entre Bk T± y la energía de Fermi y
166
las temperaturas que interesan al problema de la superconductividad están en
D Bk Tω >>h , de cualquier forma la BCS asume finalmente que
( ),eff eff DV q gω ω ω= − <r
De tal forma que se puede reescribir el hamiltoniano efectivo de la interacción
como
2
1ˆ
eff k q k q k kH g c c c c+ +′+ −= − ∑ (B.22)
Con la restricción de F Dkε ε ω− <r h lo que permite que pares de electrones formen
estados ligados con menor energía que la correspondiente a dos electrones libres.
Figura 5. Potencial de deformación.