caracterización del espacio de trabajo geométrico de alumnos de octavo año básico. estudio de...
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FACULTAD DE FILOSOFÍA Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE PEDAGOGÍA
EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA
Trabajo de titulación para optar al grado de Licenciado en
Educación y al título de Profesor de Educación General Básica Mención Matemática
y Ciencias Naturales o Castellano y Ciencias sociales.
Caracterización del espacio de trabajo geométrico de alumnos de
octavo año básico. Estudio de caso de establecimientos
educacionales la comuna de viña del mar.
Profesor/a Guía: Andrea Pizarro Canales.
Estudiantes: Fabiola Fierro Sazo.
Maira Gandarillas Corral.
Zócima Rubio Hormazabal.
2
ÍNDICE
Introducción 5
Capítulo Nº1: Planteamiento del Problema
1.1. Enunciado del problema 8
1.2. Objetivos de la Investigación. 12
Capítulo Nº2: Marco Teórico
2.1. El conocimiento Geométrico
2.1.1. Haciendo Historia 14
2.1.2. El desarrollo del pensamiento geométrico según Jean Piaget. 15
2.1.3. Paradigma geométrico según Houdement y Kuzniak. 17
2.1.4. Espacio de Trabajo Geométrico. 20
2.1.5. Niveles de Razonamiento Geométrico según Van Hiele. 23
2.2. Bases Teóricas diseñadas por el Ministerio de Educación.
2.2.1. Programas de Estudios y Ajuste Curricular. 27
2.2.2. Mapas de Progreso del Aprendizaje de Geometría. 64
Capítulo Nº3: Metodología
3.1. El conocimiento Geométrico
3.1.1. Población y Muestra. 67
3.1.2. Sobre el instrumento. 68
3.1.3. Aplicación del Instrumento. 71
3.1.4. Diseño para el análisis de los resultados. 72
3
Capítulo Nº4: Análisis de los Resultados
4.1. Resultados obtenidos por establecimiento educativo 79
4.1.1. Colegio A 80
4.1.2. Colegio B 88
4.1.3. Colegio C 93
4.1.4. Colegio D 101
4.1.5. Colegio E 107
4.1.6. Colegio F 113
4.2. Resultados obtenidos por tipo de establecimiento educacional. 118
4.2.1. Caso de dos Colegios Municipales 119
4.2.2. Caso de dos Colegios Particulares Subvencionados 121
4.2.3. Caso de dos Colegios particulares 123
4.3. Resultados obtenidos por el total de la muestra 125
Capítulo Nº5: Conclusiones 129
Referencias Bibliográficas. 134
Anexos. 136
4
ABSTRACT
The lines outlined in this thesis, account for a Qualitative study, wich focuses on
the application of a geometric question to eight grade students from six schools in
the Municipality of Viña del Mar, with the main objective of characterizing the
personal Geometric Workspace (ETG, by its initial in french) of these students. The
responses obtained, and placed in categories, according to the development of the
question will be the starting point for the construction of a rigorous analysis, wich
will establish the description of reasoning evidenced by the sample. Finally, we will
establish that the main feature of students’ reasoning in general is related to
perception, leading to reflexive conclusions, looking to make from this investigation
an instance of questioning and transformation teaching.
RESUMEN
Las líneas esbozadas en el presente trabajo, dan cuenta de una investigación
de tipo Cualitativo, que se centra en la aplicación de una pregunta geométrica, a
alumnos de octavo año básico, pertenecientes a seis colegios de la Comuna de
Viña del Mar, con el objetivo principal de caracterizar el Espacio de Trabajo
Geométrico personal (ETG, por su siglas en francés) de dichos estudiantes. Las
respuestas obtenidas, y situadas en categorías, de acuerdo al desarrollo de la
pregunta, serán el punto de partida para la construcción de un análisis riguroso, en
el cual se establecerá la descripción del razonamiento evidenciado por la muestra.
Finalmente, se llegará a establecer que la principal característica del razonamiento
de los estudiantes, en términos generales, dice relación con la Percepción, dando
paso a conclusiones de tipo reflexivo que buscan hacer de la presente
investigación una instancia de cuestionamiento y transformación de la enseñanza.
5
INTRODUCCIÓN
El enfrentarse al mundo de hoy, para hacerse parte de un sistema social
complejo, atiborrado de cambios, transformaciones y nuevas concepciones, ha
hecho volcar la mirada sobre el sujeto y su entorno, concibiéndolo como ser que
se construye en base a subjetivaciones, experiencias, vivencias y no sólo por
influencias o aprendizajes provenientes de factores externos. Es así como la
educación del individuo, los paradigmas, las estrategias, metodologías y
actividades relacionadas con el aprendizaje de los niños de hoy, se orientan a
lograr la comprensión de lo estudiado, a relacionar dicho contenido con las
diversas experiencias que ofrece el mundo, y a lograr establecer análisis,
reflexión, detención, ante situaciones problemáticas; muy lejos de lo que sostenían
concepciones que se centraban en el saber conceptual, en la actualidad, cobra
real relevancia el que los alumnos logren aplicar dichos aprendizajes en contextos
reales o situaciones desafiantes, generando redes de conectividad entre lo ya
sabido y las nuevas experiencias, con mayor grado de complejidad; estos cambios
requieren de una formación escolar orientada a lograr dichas aptitudes y
capacidades, modelos que no circunscriban el aprendizaje a un texto de estudio, o
al aula.
Ante este escenario, los esfuerzos por lograr capacidades y habilidades que
evidencien, en las personas, aprendizaje real y significativo, se han incrementado
considerablemente. Referentes Teóricos, Pedagogos, Escuelas y Centros
Educativos, están volcando los estudios o la generación de conocimiento y las
actividades de enseñanza y aprendizaje, hacia la consecución de objetivos
ambiciosos. Y es aquí donde la interrogante ¿se verán, estos esfuerzos, reflejados
en el aprendizaje de los niños? que surge como resultado de reflexión constante,
como participantes directos de la enseñanza y aprendizaje de las futuras
generaciones del país, se transforma en punto de partida para la exploración.
6
Es así como, el querer obtener un diagnóstico sobre la forma que tienen los
alumnos de enfrentarse a un problema en el área Matemática, específicamente en
Geometría, es lo que ha motivado la presente investigación; de acuerdo a los
lineamientos de nuevos paradigmas y concepciones sobre el aprendizaje, éste
cobra real relevancia cuando se ha construido a partir de una base conceptual, y
se han establecido las conexiones necesarias para poder aplicar lo conocido en
una situación-problema.
La realidad educativa se conoce a cabalidad, a través de exploraciones in
situ, y el camino para llegar a establecer conclusiones y generar nuevos
conocimientos, se logra en la medida que se estudie un contexto determinado,
desde las reales apreciaciones, conocimientos, dinámicas individuales y
colectivas. El camino de la investigación comienza con la reflexión, para
posteriormente, plantear problemas que insten la obtención de diagnósticos, y la
consecución de objetivos propuestos, y, de este modo, enriquecer las
apreciaciones y el conocimiento sobre la temática escogida.
Las siguientes páginas dan cuenta de un trabajo investigativo, que surge por
la necesidad de diagnosticar el razonamiento de estudiantes, a la hora de
enfrentarse a una pregunta geométrica; el conocer la realidad educativa, y, así,
generar cambios o modificaciones oportunas, dentro de la experiencia docente,
de acuerdo a las conclusiones obtenidas mediante la investigación, se transforman
en una herramienta valiosa.
En términos de estructura, el presente trabajo se compone de seis capítulos,
que, desde el inicio de su producción, ayudan en la comprensión del estudio
realizado y de las conclusiones a las que se llega.
7
CAPÍTULO Nº1
8
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Enunciado del problema
El acontecer nacional e internacional nos sitúa en una posición privilegiada para
percibir una creciente preocupación por la Sociedad, el Ser y su Educación; y es
que, el hombre, al comprenderse como entidad construida para la búsqueda de la
Verdad, ha transformado la Educación en un anhelo preciado, en un ideal de
consecución. Es así como los contextos sociales, los medios de comunicación
masiva, las agrupaciones humanas, han atiborrado de exigencias, opiniones y
críticas los diversos escenarios públicos y privados, con el propósito de cambiar y
mejorar la Educación, valiéndose del derecho a reclamar calidad y equidad en la
misma.
Chile, desde hace algunos años, se ha esforzado por mejorar estándares que
dicen relación con la calidad de la Educación de niños y jóvenes de nuestro país.
Para ello, las entidades públicas y privadas han implementado proyectos, políticas,
modelos y pilotos que hacen frente a las problemáticas pesquisadas en tan
importante área a nivel país. A nivel Estatal, se han implementado programas de
Mejoramiento de la Calidad y Equidad (MECE), tanto en Enseñanza Básica y
Media, como en la Educación Superior, los que se sustentan en las políticas
educativas que plantea la actual reforma, cuyo eje central es la transformación
curricular, en todos sus niveles, y el refuerzo de la profesionalización docente. El
Ministerio de Educación, en su búsqueda constante por mejorar y equiparar los
procesos de enseñanza y aprendizaje de todos los chilenos, y, como herramienta
para verificar la calidad y equidad de la educación chilena, todos los años aplica, a
nivel nacional, la prueba SIMCE, a alumnos de 4º básico, 8º básico y 2º medio, la
cual evalúa el logro de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos
9
Obligatorios (OF-CMO) del Marco Curricular vigente en diferentes subsectores de
aprendizaje.
Así, también, nuestro país, al participar en pruebas internacionales, ha
encontrado ciertas luces que nos conducen hacia caminos de resultados,
evidencias y estadísticas, necesarias para conocer la realidad de la educación
chilena, teniendo parámetros con los cuales comparar lo aprendido por los
educandos chilenos con lo conocido por estudiantes de naciones del mundo.
Dichas pruebas buscan evaluar el desempeño de los estudiantes, entendiendo el
nivel alcanzado por los niños, como indicador de habilidades y conocimientos
adquiridos a lo largo de los años de escolaridad. Una de ellas, es la prueba TIMSS,
Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias, que tiene por
objetivo medir los logros de los estudiantes en las áreas mencionadas en el ámbito
internacional. (MINEDUC, 2004, p.11)
Y es, precisamente, este instrumento el que nos ha revelado información
trascendental acerca de conocimientos adquiridos por nuestros niños en el área de
Matemáticas, los cuales destacan por presentar niveles que se encuentran muy por
debajo de la media internacional. Aun más reveladores son los datos que
evidencian el desempeño de los estudiantes en el ámbito específico de Geometría,
donde encontramos cifras que sitúan a Chile en la penúltima posición respecto a
otros países.
De acuerdo a los resultados obtenidos del SIMCE en el año 2009, en el
Subsector de Matemática, se concluye que a nivel nacional: el 13% de los alumnos
se encuentra en el nivel Avanzado, lo que hace referencia a la demostración de
conocimientos y habilidades descritas para octavo año básico; Un 25% se
encuentra en el nivel Intermedio, esto, indica que los estudiantes aún requieren
apoyo para lograr los aprendizajes esperados para 8° básico; y un 62% se
encuentra en un nivel inicial, indicador que hace referencia a la necesidad de
10
refuerzo para lograr los aprendizajes propuestos para el nivel. (Ministerio de
Educación, 2010, p.8)
Estos resultados vienen a develar la realidad de los estudiantes, resultados no
esperados, de acuerdo a lo que el currículum nacional sustenta; más de la mitad de
los alumnos que rindieron la prueba obtuvieron resultados insuficientes, por lo que,
de acuerdo a los estándares y criterios propuestos por el Ministerio, estos alumnos
y alumnas aún no han logrado consolidar los aprendizajes del Nivel Intermedio, es
decir, no dan cuenta del manejo de contenidos y habilidades propuestas por el
currículum nacional, para 6º básico, pues, los datos evidencian logro en algunos de
los aprendizajes descritos en ese nivel, con una menor frecuencia y de manera
poco consistente. (Ministerio de Educación, 2010)
Ante la obtención de resultados que poco aluden a aprendizajes significativos y
perdurables, que poco refieren a la comprensión y desarrollo de habilidades y
destrezas de orden superior, surgen interrogantes que buscan dar respuestas o
explicaciones a una realidad compleja; se inicia, entonces, un camino de
reflexiones, análisis, búsqueda, investigaciones, a partir del contexto citado. No es
fácil concluir o establecer los factores que inciden en los resultados de las
mediciones nacionales e internacionales; se tiene conocimiento sobre desigualdad,
falta de oportunidades, poca profundización en contenidos, prácticas pedagógicas
que no acercan los contenidos a los estudiantes, contenidos a los que se aborda de
manera aislada y sin la importancia debida.
Se ha querido investigar específicamente el ámbito de la geometría, sector
donde se evidencia la poca comprensión de lo estudiado y la escasa capacidad
para relacionar dichos contenidos con el mundo circundante. Sin duda, el no tratar
en profundidad y con las metodologías adecuadas las materias pertenecientes a la
geometría, influye significativamente en los resultados y en el grado de
razonamiento que puedan realizar los alumnos, ante diferentes circunstancias o
11
problemas de la vida cotidiana. Y es, precisamente, esta línea la que motiva la
investigación; lejos de valorar los factores o los resultados de los alumnos en su
desempeño geométrico, se busca conocer la forma o las habilidades que ponen en
juego, los estudiantes, al enfrentarse a un problema geométrico. Y es porque los
resultados delimitan la realidad o contexto general, no siendo la esencia o el fin
último de la educación, que se ha querido profundizar en un área poco estudiada en
las aulas del país; el saber en qué nivel de razonamiento se encuentran los niños, y
a la vez, constatar cómo relacionan los contenidos aprendidos en determinada
situación problema, se vuelve sumamente enriquecedor para comenzar a
establecer cambios, teniendo en cuenta este panorama.
Este catastro cobra un valor diferente, si se efectúa en una etapa que evidencie
el aprendizaje global de contenidos y procedimientos, de manera ordenada y
sistemática. Por este motivo, la finalización de la Enseñanza básica, en octavo año,
será un nivel adecuado para obtener las primeras aproximaciones del Espacio de
trabajo geométrico de niños y niñas, alumnos que han cursado ocho años y poseen
las herramientas en lo conceptual y en lo procedimental para enfrentarse a la
resolución de problemas. Del mismo modo, las prácticas pedagógicas en este ciclo,
requieren de perspectivas y conocimientos sobre el razonamiento de niños y niñas,
de modo de potenciar las capacidades de cada uno de los estudiantes que
componen la realidad de aula.
En virtud de lo anteriormente explicitado, se hace necesario investigar en la
realidad escolar, ¿Cuál es el Espacio de Trabajo Geométrico personal de
alumnos de octavo año básico? y, de esta manera, aportar en la consecución del
fortalecimiento de la educación en el subsector de matemática, destacando el
razonamiento y la capacidad de resolver problemas.
12
1.2. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
Para efectos de esta investigación, se plantean los siguientes objetivos:
Objetivo General
- Determinar el Espacio de Trabajo Geométrico personal de alumnos de octavo año
básico, de dos colegios particulares, dos particulares subvencionados y dos
municipales, de la comuna de Viña del Mar.
Objetivos Específicos:
- Aplicar diagnóstico para conocer el Espacio de Trabajo Geométrico de los
estudiantes que conforman la muestra, considerando los Paradigmas Geométricos
según Houdement y Kuzniak.
- Analizar las pruebas aplicadas a los alumnos de octavo año básico que conforman
la muestra, determinando el Espacio de Trabajo Geométrico.
- Categorizar los niveles de razonamiento que tienen los alumnos de octavo básico,
de seis colegios de Viña del Mar.
13
CAPÍTULO Nº2
14
2. MARCO TEÓRICO
Ante la necesidad de desarrollar una investigación que busque dar respuesta a la
interrogante que se ha planteado y lograr los objetivos propuestos, se pone en
manifiesto el referente teórico que permitirá dilucidar y fundamentar los resultados
que se obtengan de la investigación. Para ello, es necesario abordar dos ejes de
investigación: El conocimiento geométrico, y las Bases teóricas diseñadas por el
Ministerio de Educación.
2.1. El conocimiento Geométrico
2.1.1. Haciendo Historia
La geometría, surge por la necesidad de resolver problemas, encontrándose los
antecedentes más antiguos en Egipto y Mesopotamia. La geometría en la
antigüedad se caracterizó por su carácter práctico, puesto que la utilizaban para
calcular la producción proporcional de las parcelas o para reconstruirlas luego de
inundaciones. (Mansilla, 2009). Frente a este conocimiento es que el origen de su
nombre: geo (tierra) y métrica (medida), que se traduce como “Medida de la Tierra”
El conocimiento geométrico de los egipcios y de las culturas mesopotámicas, se
traspasa a la cultura griega a través de Tales de Mileto y Pitágoras, formalizándose
recién con ellos la geometría. La obra que tuvo mayor proyección histórica es la de
Euclides, a quien se le debe el nombre de Geometría Euclidiana (Mansilla, 2009).
15
2.1.2. El desarrollo del pensamiento geométrico según Jean Piaget
Al estudiar la evolución del pensamiento lógico matemático, sale al encuentro
Jean Piaget, psicólogo suizo que desarrolló su teoría sobre la naturaleza del
conocimiento. Según el autor, en el desarrollo cognoscitivo se distinguen diferentes
periodos o estadios que van evolucionando desde las acciones senso-motoras
hasta las operaciones más abstractas. Por otra parte, concibe la inteligencia como
la capacidad de adaptación al medio que nos rodea, equilibrando los procesos de
asimilación y acomodación. En el primero una persona internaliza un estímulo
(aprendizaje) a la estructura cognitiva preestablecida; mientras que en el segundo,
se modifica la estructura cognitiva para acoger el nuevo estímulo (aprendizaje) que
hasta el momento era desconocido por la persona (Riveros y Zanoccos, 1981).
De la misma manera se desarrollan los conceptos geométricos en el niño. “La
geometría del mundo físico puede ser tocada o vista, permitiéndole al niño
experimentarla con sus sentidos” (Opus Cit, 1981, p. 112), y va a depender de la
forma en que explora los objetos la evolución que tenga de los conceptos
geométricos.
Como resultado de sus distintas investigaciones, Piaget, citado en (Godino y
Ruiz, 2002, p. 498), propuso una teoría del desarrollo de los conceptos espaciales
en el niño. En ella se distinguen la percepción, definida como el conocimiento de
objetos resultante del contacto directo con ellos, y la representación, o imagen
mental, que permite la evocación de objetos en ausencia de ellos.
Las capacidades de percepción del niño se desarrollan hasta la edad de dos
años, ubicándose el niño en un estadio sensoriomotriz, mientras que la capacidad
de reconstrucción de imágenes espaciales comienza hacia la edad de dos años,
perfeccionándose, en la mayoría de los casos, desde los siete años, cuando el niño
entra al periodo de operaciones concretas (Opus Cit, 2002)
16
En cada uno de los estadio de desarrollo del pensamiento, Piaget distingue,
además, una progresiva diferenciación de las propiedades geométricas. Esta
diferenciación inicia en las propiedades topológicas, las que se caracterizan por ser
globales e independientes de la forma o el tamaño del objeto de estudio (Opus Cit,
p. 498). Luego se avanza a un segundo grupo de propiedades, las proyectivas.
Estas, se relacionan con la “capacidad del niño para predecir qué aspectos
presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos” (Godino y Ruiz, p. 498). El
tercer y último grupo de las propiedades geométricas son las euclídeas, las que
consideran tamaños, distancias y direcciones, llevando al niño a medir longitudes,
ángulos, áreas, etc. Los niños en esta parte son capaces de reproducir la posición
exacta de un punto en una página, o una figura geométrica, y decidir qué líneas y
ángulos han de medir para ello. (Godino y Ruiz, 2002)
Es así como van evolucionando los conceptos geométricos, pero para que el niño
logre esta evolución del pensamiento va a depender del tipo de material que se le
presente al niño. Éstos, deben ser concretos o gráficos, puesto que proveen al niño
de esquemas, que al interiorizarlos, se asimilan a su pensamiento, modificando sus
estructuras que lo llevaran a adquirir las nociones espaciales y geométricas.
(Riveros y Zanoccos, 1981)
17
2.1.3. Paradigma geométrico según Houdement y Kuzniak.
Ya analizado la evolución del pensamiento geométrico, se hace necesario
entender cómo se desarrolla el conocimiento geométrico en la escuela, y en esta
búsqueda sale al encuentro Houdement y Kuzniak.
Kuzniak (2004, p. 15) en sus estudios, cita a Khun (1962) quien define paradigma,
en su aspecto general, como:
<< l'ensemble des croyances, des techniques et des valeurs que partage en
groupe scientifique. Il fixe la manière correcte de poser un probléme et d'en
entreprendre la rèsolution. Dans ce sens Kuhn parle aussi de matrice disciplinaire
qui permet de regrouper les théories et plus généralement les connaissances d'un
groupe qui travaille sur le même sujet.>>
<<conjunto de creencias, técnicas y valores compartidos por un grupo de
científicos. En él se establecen la forma correcta de expresar un problema para
llevar a cabo la resolución. En este sentido, Kuhn también habla de la matriz
disciplinaria que permite combinar las teorías y, en general el conocimiento de un
grupo de trabajo sobre el mismo tema>>
Además, señala que:
<<Dans un deuxième sens, intéressant dans une perspective d' enseignement, il
caractérise les exemples significatifs qui sont donnés aux étudiants pour leur
apprendre à reconnaître, à isoler et à distinguer les diffèrentes entités constitutives
du paradigme global. Cela renvoie à la pratique par les individus de ce champ
disciplinaire.>>
<<En una segunda dirección, desde una perspectiva interesante de la enseñanza,
caracteriza a los ejemplos más significativos que se le entregan a los estudiantes
para aprender a reconocer, aislar y distinguir las diferentes entidades integrantes
del paradigma global.>>
Ahora bien, según Kuzniak y Houdement (1999), la concepción de paradigma
geométrico define tres geometrías y su ajuste al sistema escolar. Esto, basándose en
las investigaciones de Gonseth, citado por Houdement y Kuzniak (1999, pp. 7-9),
quien señala que la dialéctica de la geometría se sustenta en tres pilares
18
fundamentales: intuición, experiencia y razonamiento deductivo. Estas formas de
pensamiento nos ayudan a comprender la relación con el espacio y el mundo
sensible. Además, serán la base del estudiante a la hora de enfrentarse a un
problema geométrico y, en virtud de ello, el profesor debe considerarlos para que
evolucione el conocimiento geométrico del estudiante.
Kuzniak (2004), en sus estudios realizados con Houdement, caracterizan tres
geometrías elementales. Geometría Natural (GI), Geometría Aiomática Natural (GII),
y la Geometría Axiomática Formalista (GIII).
La Geometría Natural (GI)
Este paradigma mira hacia la tecnología y el mundo de la práctica. Comparte la
concepción de las herramientas matemáticas para actuar en el mundo de la
empresa. También son consideradas para permitir resolver un gran número de
problemas propuestos en la vida cotidiana. (Kuzniak, 2008, p. 6)
El componente de esta geometría es de carácter cognitivo, puesto que se
relaciona directamente con el mundo real constituido por objetos manipulables. En
ella se relacionan las tres formas de pensamiento: intuición, experiencia y
razonamiento deductivo. Pero es, éste último el que se trabaja, principalmente, sobre
los objetos materiales con la ayuda de la percepción y la experiencia (Kuzniak, 2004,
pp. 18-19).
19
Las características de este paradigma son:
- Los objetos geométricos corresponden a una abstracción de la realidad.
- La fuente de validación es el mundo real y sensible, cuyos medios de prueba
son concretos, permitiendo realizar mediciones con instrumentos, cortes,
pliegues, etc.
- El modelo geométrico en que se sustenta, es la concepción que construye el
propio sujeto sobre la Geometría Euclidiana, que no forma parte de la
Geometría I, ya que en los procedimientos de validación, no tienen lugar el
uso de propiedades que aprueben determinadas respuestas, pues los objetos
no son parte de la geometría, son sólo representaciones. Lo importante es la
idea que el estudiante construirá a partir de la experiencia al manipular un
medio de prueba. (Henríquez, 2009)
La Geometría Axiomática Natural (GII)
Insiste en la explicación de las acciones efectuadas y tiene como horizonte una
modelización que se articula con una axiomatización creciente destinada a
fundamentar lo mejor posible la teoría. (Kuzniak, 2008, p. 7)
A diferencia de la GI, en la Geometría II la representación de objetos como
figuras geométricas es descrita por propiedades. La fuente de validación se
fundamenta en las leyes hipotéticas deductivas puestas en juego como
propiedades, definiciones, etc., es decir, se circunscribe entorno a la Geometría
Euclidiana Local, ya que para responder a un problema no se requiere toda la
axiomática, sólo se vale de los axiomas que se involucran en el problema. Aquí, el
uso de instrumentos tradicionales (regla, compás) y no tradicionales (software
geométrico) sólo se permiten para realizar construcciones, no como medios de
prueba. (Henríquez, 2009)
20
La Geometría Axiomática Formalista (GIII)
La insistencia sobre la coherencia de la base axiomática desemboca en esta
geometría, la que privilegia las relaciones entre los objetos teóricos introducidos en
Geometría II. Su horizonte se integra perfectamente en el desarrollo de las
matemáticas actuales y enmarca sus principios. (Kuzniak, 2008, p. 7). Esta
geometría no se observa en educación básica.
2.1.4. ESPACIO DE TRABAJO GEOMÉTRICO
Las tres geometrías elementales analizadas, hacen posible que el estudiante
construya su propio Espacio de Trabajo Geométrico (ETG).
Kuzniak (2004, p. 22), describe el espacio geométrico de la siguiente manera:
<<Nous appellerons espace de travail de la géométrie un univers organicé pour le
travail du géomètre. Cet espace se structure grâce à la mise en réseau des trois
composantes (voir figure) que sont l’espace réel et local en tant que support
matériel, l’ensemble des artefacts qui seront les outils et instruments mis au service
du gémètre et enfin un référentiel theoriqueq qui dépendra de la géométrie
choisie.>>
A través de estas líneas se define el espacio de trabajo geométrico como un
ambiente organizado para el trabajo del geómetra, en la que se integran tres
componentes que determinan la labor del geómetra y su relación con el
conocimiento del espacio en que se desarrolla. Estos componentes son, el
referencial teórico, el espacio local-real y los artefactos. El primero se relaciona
directamente con el razonamiento deductivo, el segundo con la intuición y el
tercero, con la experiencia. Ahora, va a depender del paradigma geométrico que
prevalece, el ETG en que se encuentre el geómetra.
21
Kuzniak (Opus Cit, 2004, p. 22) explica esta idea en el siguiente esquema:
Figura 1:
El Espacio de Trabajo
Geométrico
Los tres componentes que se integran el este ambiente, se definen de la
siguiente manera:
Referencial teórico: Conjunto de definiciones, propiedades y relaciones
articuladas por los axiomas que determinan el modelo geométrico.
Espacio local-real: Concepción del individuo acerca del modelo geométrico, de
carácter local y real; en el primero, el individuo trabaja con una parte del modelo, y
en el segundo, los objetos son el resultante de la abstracción del modelo a partir de
la realidad.
Artefactos: objeto realizado por el hombre que permite trabajar al geómetra.
(Kuzniak, 2004, p. 24). Los artefactos pueden ser herramientas materiales, como
regla, compás, etc., como también pueden corresponder a herramientas
conceptuales, como definiciones, propiedades o teoremas. Todos ellos ayudarán
al geómetra a abordar y resolver un problema.
Ahora, va a depender del análisis o reflexión que realice el geómetra al
enfrentarse a un problema geométrico el tipo de Espacio de Trabajo Geométrico
22
en que se encuentre. Kuzniak en su presentación realizada en el VI Congreso
Iberoamericano de Didáctica de la Educación Matemática (2009), determina tres
tipos de ETG, estos son:
ETG de Referencia: La organización esperada de este espacio de trabajo es
definido de manera ideal solamente sobre la base de criterios matemáticos.
ETG Idóneo: El ETG de referencia debe ser acondicionado y organizado para
volverse un espacio de trabajo efectivo e idóneo en una institución dada con
una función definida.
ETG Personal: El ETG idóneo debe ser utilizado por los estudiantes y
también por sus profesores. Cada uno se apropia y lo ocupa con sus
conocimientos matemáticos y sus capacidades cognitivas. Este ETG es lo que
llamamos un ETG personal.
En términos generales, la configuración de los tipos de ETG depende de la
institución donde está el geómetra, influyendo en las adaptaciones de las
componentes que conforman el ETG.
23
2.1.5. Niveles de Razonamiento Geométrico según Van Hiele
Ya analizados los paradigmas geométricos, se hace necesario articular los
paradigmas con los niveles de razonamiento de un geómetra. En la búsqueda de la
evolución del pensamiento geométrico, aparece el matrimonio holandés Van Hiele,
quienes presentan un modelo de niveles de razonamiento basados en las teorías
de Piaget y Gestalt.
Van Hiele, citado por Kuzniak (2004, pp. 35,36), construye una teoría sobre el
desarrollo del pensamiento geométrico en los estudiantes, basado en los diferentes
niveles de comprensión de la percepción que lo conducen de una percepción
simple a una concepción abstracta y discursiva de la geometría.
Los cinco niveles de razonamiento, según Van Hiele (Kuzniak, 2004, p. 36) son:
NIVEL CARACTERÍSTICAS
Nivel 0:
Nivel
Visual
Las figuras geométricas son reconocidas por sus formas; los
estudiantes reconocen la forma externa, pero no pueden justificar
sus afirmaciones. Van Hiele habla del “pensamiento espacial”
(Kuzniak, 2004, p. 36).
Los alumnos reconocen las figuras y las nombran basándose
en las características visuales globales que tienen. Los alumnos
que razonan según este nivel son capaces de hacer mediciones
e incluso de hablar sobre propiedades de las formas, pero no
piensan explícitamente sobre estas propiedades. Lo que define
una forma es su apariencia. Un cuadrado es un cuadrado porque
se parece a un cuadrado. Debido a que la apariencia es el factor
dominante en este nivel, esta apariencia puede llevar a atribuir
propiedades impertinentes a las formas. Por ejemplo, un
24
cuadrado que se ha girado 45º respecto de la vertical puede que
no se considere un cuadrado. (Godino y Ruiz, 2002, p. 499).
Nivel 1:
Nivel
Descriptivo
Las propiedades de las figuras permiten reconocerlas. Los
estudiantes comienzan a controlar una secuencia de relaciones
entorno a los objetos. Van Hiele habla del “pensamiento espacial
geométrico”. (Kuzniak, 2004, p. 36)
Los estudiantes que razonan según este nivel son capaces de
considerar todas las formas incluidas en una clase en lugar de
una forma singular. Las características irrelevantes (como el
tamaño o la orientación) pasan a un segundo plano. Los
estudiantes comienzan a darse cuenta de que una colección de
formas pertenecen a la misma clase por sus propiedades. Las
propiedades no se consideraban en el nivel 0, mientras que en el
nivel 1, los estudiantes, pueden ser capaces de listar todas las
propiedades de los cuadrados, rectángulos, y paralelogramos,
pero no ver las relaciones entre estas clases. Por ejemplo, que
todos los cuadrados son rectángulos y todos los rectángulos son
paralelogramos. Cuando se les pide que definan una forma, es
probable que listen todas las propiedades que conozcan. (Godino
y Ruiz, 2002, p. 499)
Nivel 2:
Nivel
Deductivo
informal
El tercer nivel es un nivel teórico que estudia las relaciones
lógicas entre las propiedades de las figuras. Este nivel requiere
un nuevo tipo de expresión mucho más discursiva que se basa
entre otros sobre las definiciones. Van Hiele habla del
“pensamiento geométrico matemático”. (Kuzniak, 2004, p. 36).
A medida que los estudiantes comienzan a ser capaces de
25
pensar sobre propiedades de los objetos geométricos sin las
restricciones de un objeto particular, son capaces de desarrollar
relaciones entre estas propiedades, por ejemplo: “Si los cuatros
ángulos son rectos, la figura es un rectángulo. Si es un cuadrado,
todos los ángulos son rectos. Si es un cuadrado, entonces debe
ser un rectángulo”. Las observaciones van más allá de las
propias propiedades y comienzan a centrarse en argumentos
lógicos sobre las propiedades. Los estudiantes del nivel 2 serán
capaces de seguir y apreciar un argumento deductivo informal
sobre las formas y sus propiedades. “Las demostraciones”
pueden ser más de tipo intuitivo que rigurosamente deductivas.
(Godino y Ruiz, 2002, p. 500)
Nivel 3:
Nivel
Deductivo
axiomático
En este nivel, se desarrolla un estudio de la naturaleza de las
relaciones entre ciertos teoremas al interior de una teoría
axiomática. Van Hiele habla del “pensamiento matemático lógico.
(Kuzniak, 2004, p. 36).
Los estudiantes que se encuentren en el Nivel 3. Son capaces
de trabajar con enunciados abstractos sobre propiedades
geométricas y llegar a conclusiones basadas más sobre la lógica
que sobre la intuición. Por ejemplo, puede observar claramente
que las diagonales de un rectángulo se cortan en su punto
medio, de la misma manera que lo puede hacer un estudiante
situado en un nivel inferior. Sin embargo, en el nivel 3, se aprecia
la necesidad de probar esta proposición a partir de una serie de
argumentos deductivos. El estudiante del nivel 2 puede seguir el
argumento, pero no reconoce la necesidad de hacer la
demostración deductiva. (Godino y Ruiz, 2002, p. 500)
26
Nivel 4:
Nivel
Estructural
Las diferentes estructuras axiomáticas son comparadas entre
ellas. Se consideran otros tipos de geometría. (Kuzniak, 2004, p.
36).
Aquí, el objeto de atención son los propios sistemas
axiomáticos, no las deducciones dentro de un sistema. Se
aprecian las distinciones y relaciones entre los diferentes
sistemas axiomáticos. (Godino y Ruiz, 2002, p. 500).
27
2.2. Bases Teóricas diseñadas por el Ministerio de Educación
La presente investigación requiere de planteamientos que complementen las
bases teóricas presentadas con anterioridad, articulando la información proveniente
de autores con aquellas propuestas definidas por el Ministerio de Educación, en
virtud de comprender a cabalidad la realidad a estudiar.
2.2.1. Programas de Estudios y Ajuste Curricular
Se iniciará el escrito con las referencias entregadas por el Ministerio de Educación
acerca de la composición del currículum de Matemática, área en la cual se sustenta
el presente estudio; junto con esto, el qué son y qué proponen, tanto los Programas
de Estudio y los Ajustes Curriculares como los Mapas de Progreso, vistos como
herramientas que acercan a la realidad de aprendizaje que entrega cada
establecimiento educacional, específicamente en el área de Geometría, se vuelve
información fundamental para la presente investigación, y, por tanto, debe ser
trabajada.
Se ha mencionado la importancia de abordar las directrices que propone el
Ministerio de Educación, como medio para construir primeras aproximaciones de lo
que es, en esencia, la educación en nuestro país; es así como el primer tema que
esbozarán estas líneas, es el de los Programas de Estudio; éstos “ofrecen una
propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. Esta
propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales
(OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el
marco curricular” (MINEDUC, Gobierno de Chile- Ministerio de Educación). El
Ministerio de Educación, plantea para el desarrollo de dichos Contenidos Mínimos
Obligatorios y Objetivos Fundamentales, una serie de aprendizajes, que se espera,
los alumnos logren alcanzar en un tiempo determinado. Se habla, también, de
Aprendizajes Esperados, que son organizados temporalmente en Unidades,
28
dispuestas para cada semestre académico; además, esta propuesta incluye
actividades y evaluaciones sugeridas para cada contenido; la propuesta curricular
entregada por el MINEDUC, puede ser modificada por los establecimientos, para
sustentar Proyectos Educativos Institucionales específicos, siempre y cuando se
cautele mantener los Objetivos y Contenidos Mínimos Obligatorios, propuestos.
Ahora bien, lo que, específicamente, plantea el currículum de Matemática dice
relación con que, alumnos y alumnas adquieran los conocimientos básicos de la
disciplina, a la vez, que desarrollen el pensamiento lógico, la capacidad de
deducción, la precisión, las capacidades para formular y resolver problemas y las
habilidades necesarias para modelar situaciones o fenómenos. En virtud de esto,
se presenta en el cuadro Nº1, los Objetivos Fundamentales y los Contenidos
Mínimos Obligatorios de geometría; en el cuadro Nº2, los Aprendizajes Esperados e
Indicadores planteados en los Programas de Estudios; y en el cuadro Nº3, los
Ajustes Curriculares de la disciplina.
29
CUADRO Nº1: PROGRAMA DE ESTUDIO
NIVEL OBJETIVOS
FUNDAMENTALES
CONTENIDOS MÍNIMOS
OBLIGATORIOS
PRIMER
AÑO
BÁSICO
Reconocer la existencia
de una diversidad de
formas en los objetos
del entorno y
representar algunas de
ellas de manera
simplificada mediante
objetos geométricos,
que pueden ser curvos
o rectos, de una
dimensión (líneas), de
dos dimensiones
(figuras planas) o de
tres dimensiones
(cuerpos geométricos).
Utilizar la imaginación
espacial para anticipar y
constatar formas que se
generan a partir de
otras, mediante
procedimientos tales
como yuxtaponer y
separar diversas formas
geométricas.
Identificar y comparar
Asociación entre objetos del entorno
y formas geométricas (líneas curvas
y rectas, cuadrados, rectángulos,
triángulos, círculos, cubos, prismas
rectos, cilindros y esferas), utilizando
los nombres geométricos
correspondientes.
Número de dimensiones de las
formas geométricas: distinción entre
líneas (una dimensión), figuras
planas (dos dimensiones) y cuerpos
(tres dimensiones).
Reconocimiento del carácter curvo o
recto en las formas geométricas de
una y dos dimensiones y del
carácter curvo o plano, en las
formas de tres dimensiones.
Identificación de lados, vértices,
ángulos, en una figura plana y
descripción de cuadrados,
rectángulos y triángulos
considerando número y longitud de
los lados y presencia de ángulos
rectos.
Exploración de figuras planas
30
cuadrados, triángulos,
rectángulos, cubos y
prismas rectos,
manejando un lenguaje
geométrico básico.
Comunicar e interpretar
información relativa al
lugar en que están
ubicados objetos o
personas (posiciones) y
dar y seguir
instrucciones para ir de
un lugar a otro
(trayectoria).
empleando materiales de apoyo
(varillas, geoplanos, redes de puntos
y otros); trazado y armado de
cuadrados, rectángulos y triángulos.
Formación y transformación de
figuras planas mediante
yuxtaposición y corte de formas
cuadradas, triangulares y
rectangulares.
Identificación de caras, aristas y
vértices en cuerpos geométricos y
descripción de cubos y prismas
rectos con bases de distintas
formas, considerando número de
aristas y de vértices, número y forma
de las caras y percepción de la
perpendicularidad entre ellas.
Exploración de cuerpos
geométricos; modelado y armado de
cubos y prismas rectos.
Transformación de cuerpos
geométricos mediante yuxtaposición
y separación de cubos y prismas
rectos.
Posiciones y trayectorias de objetos:
descripción considerando referentes,
direcciones y cambios de dirección.
31
SEGUNDO
AÑO
BÁSICO
Reconocer la existencia
de una diversidad de
formas en los objetos
del entorno y
representar algunas de
ellas de manera
simplificada mediante
objetos geométricos,
que pueden ser curvos
o rectos, de una
dimensión (líneas), de
dos dimensiones
(figuras planas) o de
tres dimensiones
(cuerpos geométricos).
Utilizar la imaginación
espacial para anticipar y
constatar formas que se
generan a partir de
otras, mediante
procedimientos tales
como yuxtaponer y
separar diversas formas
geométricas.
Identificar y comparar
cuadrados, triángulos,
rectángulos, cubos y
prismas rectos,
manejando un lenguaje
Asociación entre objetos del entorno
y formas geométricas (líneas curvas
y rectas, cuadrados, rectángulos,
triángulos, círculos, cubos, prismas
rectos, cilindros y esferas), utilizando
los nombres geométricos
correspondientes.
Número de dimensiones de las
formas geométricas: distinción entre
líneas (una dimensión), figuras
planas (dos dimensiones) y cuerpos
(tres dimensiones).
Reconocimiento del carácter curvo o
recto en las formas geométricas de
una y dos dimensiones y del
carácter curvo o plano, en las
formas de tres dimensiones.
Identificación de lados, vértices,
ángulos, en una figura plana y
descripción de cuadrados,
rectángulos y triángulos
considerando número y longitud de
los lados y presencia de ángulos
rectos.
Exploración de figuras planas
empleando materiales de apoyo
(varillas, geoplanos, redes de puntos
y otros); trazado y armado de
cuadrados, rectángulos y triángulos.
32
geométrico básico.
Comunicar e interpretar
información relativa al
lugar en que están
ubicados objetos o
personas (posiciones) y
dar y seguir
instrucciones para ir de
un lugar a otro
(trayectoria)
Formación y transformación de
figuras planas mediante
yuxtaposición y corte de formas
cuadradas, triangulares y
rectangulares.
Identificación de caras, aristas y
vértices en cuerpos geométricos y
descripción de cubos y prismas
rectos con bases de distintas
formas, considerando número de
aristas y de vértices, número y forma
de las caras y percepción de la
perpendicularidad entre ellas.
Exploración de cuerpos
geométricos; modelado y armado de
cubos y prismas rectos.
Transformación de cuerpos
geométricos mediante yuxtaposición
y separación de cubos y prismas
rectos.
Posiciones y trayectorias de objetos:
descripción considerando referentes,
direcciones y cambios de dirección
TERCER
AÑO
BÁSICO
Caracterizar y comparar
polígonos de tres y
cuatro lados,
manejando un lenguaje
geométrico que
incorpore las nociones
Elementos geométricos en figuras
planas: rectas paralelas y rectas
perpendiculares (percepción y
verificación); clasificación de
ángulos en rectos, agudos (menor
que el ángulo recto), y obtusos
33
intuitivas de ángulo y de
lados paralelos y
perpendiculares. Trazar
polígonos de acuerdo a
características dadas.
Percibir lo que se
mantiene constante en
formas geométricas de
dos dimensiones
sometidas a
transformaciones que
conservan su forma, su
tamaño o ambas
características.
Caracterizar y comparar
prismas rectos,
pirámides, cilindros y
conos: utilizar el nombre
geométrico; designar
sus elementos como
caras, aristas y vértices;
armar cuerpos de
acuerdo a
características dadas.
Identificar y representar
objetos y cuerpos
geométricos en un
plano.
Interpretar y elaborar
(mayor que el ángulo recto).
Triángulos: Exploración de diversos
tipos de triángulos y clasificación en
relación con: la longitud de sus lados
(3 lados iguales, sólo 2 lados
iguales, 3 lados desiguales); la
medida de sus ángulos (1 ángulo
recto, sólo ángulos agudos, 1 ángulo
obtuso); el número de ejes de
simetría (con 0, con 1 o con 3 ejes
de simetría). Trazado de triángulos
pertenecientes a las clases
estudiadas.
Cuadriláteros: Exploración de
diversos tipos de cuadriláteros y
clasificación en relación con: la
longitud de sus lados (todos los
lados iguales, todos los lados
diferentes y 2 pares de lados
iguales); el número de pares de
lados paralelos (con 0, con 1 o con 2
pares); el número de ángulos rectos
(con 0, con 2 o con 4); el número de
ejes de simetría (con 0, con 1, con 2,
con 4). Trazado de cuadriláteros
pertenecientes a las clases
estudiadas.
Realización de traslaciones,
reflexiones y rotaciones
34
representaciones
gráficas de trayectorias.
manipulando dibujos de objetos y de
formas geométricas, para observar
qué características cambian y cuáles
se mantienen.
Ampliación y reducción de dibujos
de objetos y de formas geométricas
para observar qué características
cambian y cuáles se mantienen.
Prismas rectos, pirámides,
cilindros y conos: Exploración y
descripción en relación con: el
número y forma de las caras el
número de aristas y de vértices.
Armado de estos cuerpos en base a
una red.
Representación plana de objetos y
cuerpos geométricos, e
identificación del objeto
representado y de la posición desde
la cual se realizó.
Representación gráfica de
trayectorias: dibujar considerando
referentes, direcciones y cambios de
dirección e interpretación que
permita ejecutar la trayectoria
representada.
CUARTO
AÑO
BÁSICO
Caracterizar y comparar
polígonos de tres y
cuatro lados,
Elementos geométricos en figuras
planas: rectas paralelas y rectas
perpendiculares (percepción y
35
manejando un lenguaje
geométrico que
incorpore las nociones
intuitivas de ángulo y de
lados paralelos y
perpendiculares. Trazar
polígonos de acuerdo a
características dadas.
Percibir lo que se
mantiene constante en
formas geométricas de
dos dimensiones
sometidas a
transformaciones que
conservan su forma, su
tamaño o ambas
características.
Caracterizar y comparar
prismas rectos,
pirámides, cilindros y
conos: utilizar el nombre
geométrico; designar
sus elementos como
caras, aristas y vértices;
armar cuerpos de
acuerdo a
características dadas.
Identificar y representar
objetos y cuerpos
verificación); clasificación de
ángulos en rectos, agudos (menor
que el ángulo recto), y obtusos
(mayor que el ángulo recto).
Triángulos: Exploración de diversos
tipos de triángulos y clasificación en
relación con: la longitud de sus lados
(3 lados iguales, sólo 2 lados
iguales, 3 lados desiguales); la
medida de sus ángulos (1 ángulo
recto, sólo ángulos agudos, 1 ángulo
obtuso); el número de ejes de
simetría (con 0, con 1 o con 3 ejes
de simetría). Trazado de triángulos
pertenecientes a las clases
estudiadas.
Cuadriláteros: Exploración de
diversos tipos de cuadriláteros y
clasificación en relación con: la
longitud de sus lados (todos los
lados iguales, todos los lados
diferentes y 2 pares de lados
iguales); el número de pares de
lados paralelos (con 0, con 1 o con 2
pares); el número de ángulos rectos
(con 0, con 2 o con 4); el número de
ejes de simetría (con 0, con 1, con 2,
con 4). Trazado de cuadriláteros
pertenecientes a las clases
36
geométricos en un
plano.
Interpretar y elaborar
representaciones
gráficas de trayectorias.
estudiadas.
Realización de traslaciones,
reflexiones y rotaciones
manipulando dibujos de objetos y de
formas geométricas, para observar
qué características cambian y cuáles
se mantienen.
Ampliación y reducción de dibujos
de objetos y de formas geométricas
para observar qué características
cambian y cuáles se mantienen.
Prismas rectos, pirámides,
cilindros y conos: Exploración y
descripción en relación con: el
número y forma de las caras el
número de aristas y de vértices.
Armado de estos cuerpos en base a
una red.
Representación plana de objetos y
cuerpos geométricos, e
identificación del objeto
representado y de la posición desde
la cual se realizó.
QUINTO
AÑO
BÁSICO
Distinguir elementos de
un cuerpo geométrico y
establecer
correspondencias entre
un cuerpo y su
representación plana.
Cuerpos geométricos (cubos,
prismas, pirámides):
- Armar cuerpos a partir de caras.
- Construir redes para armar cubos.
- Identificar y contar el número de
caras, aristas y vértices de un
37
Reconocer elementos en
una figura geométrica,
describir y analizar los
cambios que se producen
en la figura al variar la
medida de sus ángulos
internos.
Distinguir perímetro y
área como elementos uni
y bidimensionales en una
figura geométrica.
cuerpo y describir sus caras y
aristas.
Figuras geométricas:
- Diferenciar cuadrado, rombo,
rectángulo y romboide a partir de
modelos hechos con varillas
articuladas.
- Identificar lados, vértices y ángulos
en figuras poligonales.
- Distinguir tipos de ángulos con
referencia al ángulo recto.
Perímetro y área:
- Utilizar centímetros para medir
longitudes, y centímetros cuadrados
para medir superficies.
- Calcular perímetros y áreas en
cuadrados, rectángulos y triángulos
rectángulos y en figuras que puedan
descomponerse en las anteriores.
- Reconocer las fórmulas para el
cálculo del perímetro y del área del
cuadrado, rectángulo y triángulo
rectángulo, como un recurso para
abreviar el proceso de cálculo.
- Distinguir perímetro y área a partir
de transformaciones de una figura
en la que una de esas medidas
permanece constante.
38
SEXTO
AÑO
BÁSICO
Planificar el trazado de
figuras sobre la base del
análisis de sus
propiedades, utilizando
los instrumentos
pertinentes.
Comprender los efectos
que provoca en el
perímetro y en el área de
cuadrados y de
rectángulos la variación
de la medida de sus
lados y recurrir a las
razones para
expresarlas.
Figuras geométricas
- Reproducción y creación de figuras
y representaciones planas de
cuerpos geométricos usando regla,
compás y escuadra.
- Estudio de cuadriláteros:
características de sus lados y de sus
ángulos.
- Trazado de cuadriláteros a partir de
sus ejes de simetría.
- Combinación de figuras para
obtener otras previamente
establecidas.
Perímetro y área
- Cálculo de perímetro y área de
figuras compuestas por cuadrados,
rectángulos y triángulos rectángulos.
- Ampliación y reducción de
cuadrados y rectángulos en papel
cuadriculado; expresando como
razones las variaciones de los lados,
el perímetro y el área.
- Análisis del perímetro y el área de
familias de cuadrados y rectángulos,
generadas a partir de la variación de
sus lados.
39
SÉPTIMO
AÑO
BÁSICO
Utilizar el razonamiento
proporcional como
estrategia para resolver
problemas numéricos y
geométricos.
Analizar familias de
figuras geométricas para
apreciar regularidades y
simetrías y establecer
criterios de clasificación.
Figuras y cuerpos geométricos
- Redes para armar prismas y
pirámides. Armar cuerpos
geométricos a partir de otros más
pequeños.
- Estudio de triángulos: características
de sus lados y de sus ángulos.
- Construcción de alturas y bisectrices
en diversos tipos de triángulos.
- Uso de instrumentos (regla, compás,
escuadra), para la reproducción y
creación de triángulos y en la
investigación de las condiciones
necesaria para dibujar un triángulo.
Perímetro y área
- Medición y cálculo de perímetros y
de áreas de triángulos de diversos
tipos en forma concreta, gráfica y
numérica.
- Investigación de las relaciones entre
medidas de altura y base y el área
correspondiente, en familias de
triángulos generadas al mantener
dichas medidas constantes.
Potencias de base natural y
exponente natural
- Interpretación de potencias de
exponentes 2 y 3 como
multiplicación iterada.
40
- Asociación de las potencias de
exponente 2 y 3 con
representaciones en 2 y 3
dimensiones respectivamente (áreas
y volúmenes).
- Investigación de algunas
regularidades y propiedades de las
potencias de exponente 2 y 3.
- Investigación sobre aplicaciones
prácticas del teorema de Pitágoras.
OCTAVO
AÑO
BÁSICO
Analizar y anticipar los
efectos en la forma, el
perímetro, el área y el
volumen de figuras y
cuerpos geométricos al
introducir variaciones en
alguno(s) de sus
elementos (lados,
ángulos).
Reconocer las
dificultades propias de
la medición de curvas y
utilizar modelos
geométricos para el
cálculo de medidas.
Construcción de polígonos por
combinación de otros. Interpretación
y uso de fórmulas para el cálculo de
perímetro y área de polígonos.
Investigación sobre la suma de los
ángulos interiores de polígonos y el
número de lados de éstos.
Resolución de problemas.
Investigación de las relaciones entre
los ángulos que se forman al
interceptar dos rectas por una
tercera.
Análisis de los elementos de una
circunferencia (radio, diámetro) en la
reproducción y creación de
circunferencias con regla y compás.
Experimentación de diversos
procedimientos (gráficos y
concretos) para medir el perímetro y
41
el área de circunferencias.
Significado geométrico y numérico
del número π. Interpretación y uso
de fórmulas para el cálculo de
perímetro y área de circunferencia.
CUADRO Nº2: APRENDIZAJES ESPERADOS E INDICADORES
NIVEL APRENDIZAJES
ESPERADOS INDICADORES
PRIMER
AÑO
BÁSICO
Asocian formas geométricas
de una, dos y tres
dimensiones con objetos
presentes en el entorno, las
nombran y reconocen en
ellas elementos curvos,
rectos o planos que las
conforman.
Nombran formas geométricas de
una dimensión (líneas rectas y
curvas), de dos dimensiones
(cuadrados, rectángulos,
triángulos, círculos) y de tres
dimensiones (cubos, prismas,
cilindros, conos, esferas).
Distinguen entre elementos curvos
y no curvos en las figuras y
cuerpos geométricos que conocen.
Representan objetos o partes del
espacio circundante, a través de
combinación de formas
geométricas, respetando
42
relaciones de tamaño, distancia y
posición existentes entre los
objetos representados.
Justifican la selección de las
formas geométricas utilizadas en
sus representaciones, haciendo
referencia a su relación con los
objetos representados,
considerando la presencia de
elementos curvos o rectos.
SEGUNDO
AÑO
BÁSICO
Describen cuadrados,
rectángulos y triángulos,
considerando número de
lados y de vértices, medida
de sus lados y presencia de
ángulos rectos; los forman y
anticipan las figuras que se
obtienen por yuxtaposición y
por separación de los
mismos.
Identifican lados y vértices en
figuras poligonales.
Comparan la longitud de dos lados
en figuras poligonales mediante
superposición o medición.
• Identifican ángulos rectos en
figuras planas, los distinguen de
ángulos menores o mayores que
un ángulo recto, y constatan esta
distinción utilizando una escuadra.
• Trazan o arman figuras
geométricas planas claramente
reconocibles como cuadrados,
rectángulos y triángulos.
Seleccionan, de un conjunto de
figuras geométricas, las que
permiten armar cuadrados,
triángulos y rectángulos, por
yuxtaposición.
43
Describen cubos y prismas
rectos, considerando
número de aristas y de
vértices, medida de sus
aristas y relación angular
entre sus caras; los forman
y anticipan los cuerpos que
se obtienen por
yuxtaposición de los
mismos.
Identifican caras, aristas y vértices
de un cubo y de un prisma recto
Señalan características de los
cubos y prismas rectos con
diversas bases poligonales (formas
de las caras, número de caras,
aristas y vértices).
Arman cubos y prismas rectos: con
objetos provenientes del medio,
por modelado, a través de redes,
con cartón o cartulina, por armado
con varillas.
Seleccionan de un repertorio
compuesto por cubos y prismas
aquellos que permiten armar otros
cubos y prismas.
TERCER
AÑO
BÁSICO
Caracterizan triángulos
considerando la medida de
sus ángulos, longitud de sus
lados y el número de ejes
de simetría.
En formas geométricas diversas
Identifican ángulos rectos, agudos
y obtusos y justifican su
determinación en función de su
relación con el ángulo recto.
Dado un conjunto de triángulos de
distintos tamaños y posiciones, los
clasifican en: rectángulos,
acutángulos y obtusángulos.
• Dado un conjunto de triángulos de
distintos tamaños y posiciones, los
clasifican en: equiláteros, isósceles
y escalenos según si tienen tres,
44
dos o ningún lado de igual medida.
• Dado un conjunto de triángulos de
distintos tamaños y posiciones, los
clasifican en: equiláteros, isósceles
y escalenos según si tienen tres,
uno o ningún eje de simetría.
Dibujan triángulos a partir de
características dadas, apoyándose
en la regla para trazar y medir los
lados y en la escuadra para el
trazado de los ángulos.
Describen, dibujan e
identifican simetrías y
traslaciones de figuras y
formas geométricas.
Dada una figura o forma
geométrica, determinan si es
simétrica e identifican el o los ejes
de simetría.
Dada una figura o forma
geométrica y un eje de simetría,
dibujan la figura simétrica.
Dadas determinadas figuras o
formas geométricas simétricas,
trazan el o los ejes de simetría.
Identifican figuras que han sido
trasladadas determinando la
dirección y la magnitud del
traslado.
Efectúan traslaciones de una figura
dada de acuerdo a condiciones
previamente establecidas.
Describen qué cambia y qué se
45
mantiene en figuras simétricas y en
traslaciones de una figura dada.
Describen prismas rectos y
pirámides, identifican y
realizan representaciones
de ellos en un plano y los
forman a partir de redes.
Señalan características de prismas
rectos y pirámides, en función del
número y forma de sus caras y
número de aristas y vértices.
• Mencionan diferencias y
semejanzas entre prismas rectos y
pirámides.
• Identifican representaciones de
prismas rectos y pirámides
destacando la posición desde la
cual se realizó la representación.
• Dibujan prismas rectos y pirámides
vistos desde distintas posiciones.
• Seleccionan las figuras planas
necesarias para formar una red
para armar un prisma recto y una
pirámide.
• Identifican la red que permite armar
un prisma o una pirámide con
características dadas, y los arman.
CUARTO
AÑO
BÁSICO
Caracterizan, dibujan y
clasifican cuadriláteros.
En formas geométricas diversas
identifican rectas paralelas y
perpendiculares.
Dado un conjunto de cuadriláteros
de distintos tamaños y posiciones,
los clasifican en aquellos que
tienen un par de lados paralelos
46
(trapecios), que tienen dos pares
de lados paralelos
paralelogramos).
Dado un conjunto de cuadriláteros
de distintos tamaños y posiciones,
los clasifican en aquellos que
tienen todos los lados iguales
(cuadrado y rombo), todos los
lados diferentes (trapezoide) y dos
pares de lados iguales (rectángulo
y romboide).
Dado un conjunto de cuadriláteros
de distintos tamaños y posiciones,
los clasifican en aquellos que no
tienen ángulos rectos (trapecios,
trapezoides, rombos y romboides),
aquellos que tienen dos ángulos
rectos (trapecio rectángulo) y
cuatro ángulos rectos (rectángulos
y cuadrados).
Identifican ejes de simetría en
cuadriláteros de distintas formas y
los clasifican en aquellos que
tienen cero, uno, dos y cuatro ejes
de simetría.
Dibujan cuadriláteros a partir de
características dadas, en papel
cuadriculado y apoyándose en la
regla y escuadra.
47
Reconocen y llevan a cabo
transformaciones de figuras
y formas geométricas, por
rotación, ampliación y
reducción y describen los
efectos que cada una de
ellas provoca.
Dada una forma geométrica,
dibujan aquella que resulta luego
de rotarla en un ángulo de 90° (1/4
de giro) o 180° (1/2 giro).
Identifican figuras que han sido
rotadas, determinando si la
rotación fue de 90° (1/4 de giro) o
180° (1/2 giro).
Dada una figura geométrica, la
amplían o reducen de acuerdo a
un factor dado.
Describen qué cambia y qué se
mantiene al efectuar rotaciones,
ampliaciones y reducciones de una
figura dada.
QUINTO
AÑO
BÁSICO
Seleccionan entre variadas
figuras geométricas las
adecuadas (forma) y
necesarias (cantidad) para
construir prismas rectos y
pirámides
Reconocen diferentes redes
para armar cubos;
reconocen y explican que
existe una cantidad limitada
de variaciones en las redes
de cubos.
Distinguen cuadrados y
rectángulos de rombos y
48
romboides. Describen sus
diferencias haciendo
referencia a: los ángulos en
relación al ángulo recto; los
lados en función de su
longitud.
Asocian el perímetro de una
figura a la medida del
contorno de la misma y el
área a la medida de su
superficie. Resuelven
problemas que impliquen
calcular áreas y perímetros
de cuadrados y rectángulos
y de figuras que puedan
descomponerse en las
anteriores.
SEXTO
AÑO
BÁSICO
Dibujan figuras y
representaciones planas de
cuerpos, describen en forma
verbal el proceso seguido y
lo fundamentan.
Identifican propiedades y
regularidades de
cuadriláteros convexos y
establecen relaciones entre
ellas.
Resuelven problemas que
impliquen calcular
49
perímetros y áreas de
figuras, utilizando
descomposiciones de éstas
en cuadrados, rectángulos
y/o triángulos rectángulos.
Resuelven problemas que
impliquen calcular y analizar
áreas y perímetros de
familias de cuadrados y
rectángulos generadas a
partir de la variación de sus
lados
Predicen efectos en el área
y/o perímetro de cuadrados
y rectángulos, al introducir
variaciones en las medidas
de sus lados y viceversa.
SÉPTIMO
AÑO
BÁSICO
Caracterizan familias de
pirámides y prismas rectos
que se generan al hacer
variar las caras de dichos
cuerpos geométricos;
seleccionan las figuras
necesarias para construir
redes de pirámides y de
prismas rectos (en forma y
cantidad adecuadas).
Construyen triángulos con
regla y compás, y describen
50
verbalmente el
procedimiento realizado,
considerando los elementos
que aseguran el
cumplimiento de las
condiciones que hacen
posible su construcción.
Reconocen diversos
elementos de los triángulos,
los relacionan con las
características de éstos y
los utilizan adecuadamente
para clasificarlos y para la
reproducción y/o creación
de triángulos.
Justifican la igualdad de las
áreas y diferencia de
perímetro de una familia de
triángulos de base común
construidos entre dos
paralelas.
Visualizan geométricamente
las potencias de exponente
dos y de exponente tres y
representan situaciones
diversas.
Formulan conjeturas y
desarrollan procesos
sistemáticos para mostrar
51
su factibilidad, utilizando
recursos geométricos y
numéricos, referidas a
regularidades asociadas al
cuadrado y al cubo de un
número y a relaciones
geométricas en triángulos
rectángulos.
Utilizan de manera
pertinente el Teorema de
Pitágoras para la resolución
de problemas cotidianos,
del ámbito de otras
disciplinas y de oficios.
OCTAVO
AÑO
BÁSICO
Caracterizan los polígonos
regulares en función de sus
elementos, de la relación
entre estos elementos y
entre polígonos.
En situaciones problema
utilizan las relaciones entre
los ángulos obtenidos entre
dos rectas que se
intersectan y entre rectas
paralelas cortadas por una
transversal.
Caracterizan el número π
desde el punto de vista
geométrico y numérico.
52
Utilizan de manera
pertinente fórmulas para
calcular el perímetro y el
área de figuras compuestas
por circunferencias y
polígonos.
En problemas geométricos
fundamentan sus
respuestas basándose en
las relaciones entre los
ángulos o entre las figuras y
explican sus procedimientos
utilizando las ecuaciones u
otros métodos de
resolución.
Caracterizan los poliedros
regulares en función de sus
elementos y de la relevancia
que han tenido en algunos
períodos de la historia.
Utilizan de manera
pertinente fórmulas para
calcular el volumen de
cuerpos geométricos y para
analizar, predecir y/o
justificar las eventuales
variaciones en éste al variar
algunos de los elementos
del cuerpo (longitud de
53
aristas, altura, área total).
Reconocen elementos de
los cilindros y los conos, y
los proyectan para el dibujo
de redes correspondientes.
Comprenden la relación
entre las fórmulas para
calcular el volumen de
diversos poliedros, el
cilindro y el cono.
Evalúan y justifican
estrategias (o
procedimientos) para medir
y/o calcular el volumen de
cuerpos geométricos.
54
CUADRO Nº3: AJUSTES CURRICULARES
NIVEL OBJETIVOS
FUNDAMENTALES
CONTENIDOS MÍNIMOS
OBLIGATORIOS
PRIMER AÑO
BÁSICO
Identificar figuras
geométricas como
patrones reconocibles en
formas del entorno y
caracterizar dichas formas
mediante un lenguaje
geométrico básico.
Reconocimiento de formas
geométricas en el entorno y su
descripción mediante un
lenguaje geométrico básico, e
identificación de líneas rectas y
curvas en estas formas.
Identificación de lados y
vértices en polígonos y
caracterización en función del
número de lados.
Exploración de prismas rectos
de base triangular o
rectangular, identificación de
sus caras, aristas y vértices y
caracterización en función del
número y forma de las caras.
Resolución de problemas que
implican comparar
características de figuras
planas y prismas rectos de
base triangular o rectangular
SEGUNDO
AÑO BÁSICO
Identificar ángulos y
posiciones relativas entre
dos rectas en el plano,
Identificación de ángulos
menores, mayores e iguales al
ángulo recto, así como también
55
caracterizar triángulos y
cuadriláteros y anticipar
formas que se generan a
partir de la formación y
transformación de figuras
planas y cuerpos
geométricos.
de rectas paralelas,
perpendiculares y oblicuas.
Identificación y caracterización
de cuadriláteros y triángulos en
función del paralelismo,
perpendicularidad y longitud de
los lados. Formulación y
verificación de conjeturas
respecto a la relación entre
longitud y paralelismo de lados
en cuadriláteros.
Formación y transformación de
figuras planas mediante
yuxtaposición y corte de formas
triangulares y rectangulares,
transformación de cuerpos
geométricos mediante
yuxtaposición y separación de
prismas rectos.
Estimación y medición de
longitudes de objetos o
distancias entre dos puntos
utilizando unidades de medida
informales tales como la
medida de manos o pies o
unidades estandarizadas como
el metro, centímetro y
milímetro, e interpretación de
información referida a
56
longitudes.
Resolución de problemas que
implican comparar
características de triángulos y
cuadriláteros, combinar y
descomponer formas
geométricas empleando cortes,
dobleces o yuxtaposiciones;
medición, adición, sustracción
y estimación de longitudes.
TERCER AÑO
BÁSICO
Caracterizar cuerpos
geométricos, asociarlos a
sus redes, formular y
verificar conjeturas, en
casos particulares, acerca
de la posibilidad de
construirlos a partir de
ellas.
Comprender el concepto
de perímetro y resolver
problemas que impliquen
su obtención usando
instrumentos de medición y
unidades de longitud.
Exploración de pirámides,
cilindros y conos para su
caracterización en función de
las superficies y líneas que los
delimitan.
Identificación y empleo de
redes que permiten construir
cuerpos geométricos.
Interpretación de información
referida a perímetros, en
situaciones significativas, y
determinación de la medida del
perímetro en polígonos,
expresando el resultado en
metros, centímetros o
milímetros.
Formulación y verificación de
conjeturas, en casos
particulares, acerca de la
57
posibilidad de armar cuerpos a
partir de distintas redes y
resolución de problemas
referidos al cálculo de
perímetros en situaciones
significativas.
CUARTO AÑO
BÁSICO
Relacionar
representaciones bi y
tridimensionales de
cuerpos, a partir de la
posición desde la que se
observa.
Comprender el concepto
de área, estimar y medir
áreas utilizando
cuadrículas en contextos
diversos.
Representación en el plano de
la elevación, perfil y planta de
cuerpos geométricos, y
recíprocamente trazado de la
representación de dichos
cuerpos geométricos en el
plano a partir de sus vistas.
Interpretación de información
relativa a áreas en contextos
significativos y empleo de
cuadrículas para cuantificar o
estimar el área de rectángulos
o de figuras que pueden
descomponerse en
rectángulos.
Formulación y verificación de
conjeturas, en casos
particulares, y resolución de
problemas referidos a
representaciones
bidimensionales de cuerpos,
estimación y cálculo de áreas
utilizando cuadrículas.
58
QUINTO AÑO
BÁSICO
Elaborar, utilizar y
argumentar estrategias
para la obtención del área
de triángulos y
paralelogramos en
contextos diversos,
comunicando los
resultados en las unidades
de medidas
correspondientes, formular
y verificar conjeturas, en
casos particulares,
relativas al cambio en el
área de dichas figuras al
variar uno o más de sus
elementos.
Elaboración y utilización de
estrategias para el cálculo de
áreas de rectángulos, de
figuras que pueden ser
descompuestas en rectángulos
y paralelogramos,
argumentando en cada caso
acerca de las estrategias
utilizadas, expresando el
resultado de estos cálculos en
metros, centímetros o
milímetros cuadrados.
Elaboración y utilización de
estrategias para el cálculo del
área de triángulos
cualesquiera, argumentando en
cada caso acerca de las
estrategias utilizadas;
aplicaciones a situaciones
significativas relacionadas con
formas triangulares o que
puedan descomponerse en
triángulos o rectángulos,
expresando los resultados en
las unidades de área
correspondientes.
Formulación y verificación de
conjeturas, en casos
particulares, relativa al cambio
59
en el área de paralelogramos al
variar uno o más de sus lados
y de triángulos al variar los
lados y su altura
correspondiente.
Resolución de problemas en
situaciones significativas en el
plano y el espacio que implican
el cálculo de áreas en
triángulos, rectángulos y
paralelogramos utilizando
diversas estrategias
SEXTO AÑO
BÁSICO
Representar secuencias
numéricas, áreas,
perímetros y relaciones
angulares, mediante
expresiones algebraicas y
utilizar estrategias para
resolver ecuaciones de
primer grado con una
incógnita en el ámbito de
los números naturales y
verificar sus soluciones.
Emplear procedimientos
para medir ángulos y
establecer relaciones entre
la medida de ángulos que
se forman en rectas
Medición de ángulos con
transportador o herramientas
tecnológicas y empleo del
grado sexagesimal como
unidad de medida.
Identificación de ángulos
opuestos por el vértice en
rectas que se cortan en el
plano, de los ángulos que se
forman al cortar rectas
paralelas por una transversal y
verificación de las igualdades
de medida que se dan en estos
casos.
Formulación y verificación de
conjeturas, en algunos casos,
referidas a la suma de las
60
paralelas cortadas por una
transversal.
Formular y verificar
conjeturas, en casos
particulares, relativas a la
suma de ángulos interiores
y exteriores de polígonos y
aplicarlas en la resolución
de problemas que
involucren determinar
medidas de ángulos en
ellos.
medidas de los ángulos
interiores y exteriores de
polígonos.
Resolución de problemas en
situaciones variadas relativas
al cálculo de la medida de
ángulos interiores y exteriores
en polígonos.
SÉPTIMO AÑO
BÁSICO
Construir triángulos a partir
de la medida de sus lados
y ángulos, caracterizar sus
elementos lineales y
comprobar que algunas de
sus propiedades son
válidas para casos
particulares, en forma
manual y usando
procesadores geométricos.
Comprender el teorema de
Pitágoras y aplicarlo en
situaciones concretas.
Utilización de estrategias
para la obtención del
volumen en prismas rectos
y pirámides en contextos
Transporte de segmentos y
ángulos, construcción de
ángulos y bisectrices de
ángulos, construcción de rectas
paralelas y perpendiculares,
mediante regla y compás o un
procesador geométrico.
Análisis y discusión de las
condiciones necesarias para
construir un triángulo a partir
de las medidas de sus lados y
de sus ángulos.
Determinación del punto de
intersección de las alturas,
transversales de gravedad,
bisectrices y simetrales6 en un
triángulo, mediante
61
diversos, expresar los
resultados en las unidades
de medida correspondiente
y formular y verificar
conjeturas, en casos
particulares, relativas a
cambios en el perímetro de
polígonos y al volumen de
dichos cuerpos al variar
uno o más de sus
elementos lineales.
construcciones con regla y
compás o un procesador
geométrico.
Verificación, en casos
particulares, en forma manual o
mediante el uso de un
procesador geométrico del
teorema de Pitágoras, del
teorema reciproco de Pitágoras
y su aplicación en contextos
diversos.
Establecimiento de estrategias
para la obtención del volumen
de prismas rectos de base
rectangular o triangular y de
pirámides, cálculo del volumen
en dichos cuerpos expresando
el resultado en milímetros,
centímetros y metro cúbicos y
aplicación a situaciones
significativas.
Formulación de conjeturas
relativas a los cambios en el
perímetro de polígonos y
volumen de cuerpos
geométricos, al variar la
medida de uno o más de sus
elementos lineales, y
verificación, en casos
62
particulares, mediante el uso
de un procesador geométrico.
OCTAVO AÑO
BÁSICO
Caracterizar y efectuar
transformaciones
isométricas de figuras
geométricas planas,
reconocer algunas de sus
propiedades e identificar
situaciones en contextos
diversos que corresponden
a aplicaciones de dichas
transformaciones.
Caracterizar la
circunferencia y el círculo
como lugares geométricos,
utilizar los conceptos de
perímetro de una
circunferencia, área del
círculo y de la superficie
del cilindro y cono,
volumen de cilindros y
conos rectos, en la
resolución de problemas
en contextos diversos.
Realización de traslaciones,
reflexiones y rotaciones de
figuras geométricas planas a
través de construcciones con
regla y compás y empleando
un procesador geométrico,
discusión acerca de las
invariantes que se generan al
realizar estas
transformaciones.
Construcción de teselaciones
regulares y semirregulares y
argumentación acerca de las
transformaciones isométricas
utilizadas en dichas
teselaciones.
Caracterización de la
circunferencia y el círculo como
lugares geométricos y su
representación mediante
lenguaje conjuntista e
identificación de sus
elementos: arco, cuerda,
secante y tangente.
Definición del número pi y su
relación con el diámetro y la
longitud de una circunferencia.
63
Cálculo de la longitud de una
circunferencia y estimación del
área del círculo por medio de
polígonos regulares inscritos
en la circunferencia.
Formulación de conjeturas
relacionadas con el cálculo del
volumen del cilindro y cono;
cálculo del área de la superficie
del cilindro y cono, y
verificación, en casos
particulares, mediante el uso
de un procesador geométrico.
Resolución de problemas en
situaciones significativas que
involucran el cálculo de la
longitud de la circunferencia, el
área del círculo, la superficie
del cilindro, cono y pirámides y
el volumen del cilindro y cono.
64
2.2.2. Mapas de Progreso del Aprendizaje de Geometría
Relacionado con estos aprendizajes, otra herramienta que viene a organizar los
logros de las competencias, en el transcurso de la escolaridad, son los mapas de
progreso. Los mapas de progreso del aprendizaje “describen la secuencia típica en
que éste se desarrolla, en determinadas áreas o dominios que se consideran
fundamentales en la formación de cada estudiante, en los distintos sectores
curriculares.” (MINEDUC, 2010, p. 3). El planteamiento de los Mapas de Progreso
del Aprendizaje, se presenta de manera sencilla y de forma breve, con el objetivo
de que todos, padres, apoderados, docentes y alumnos, puedan comprender el
progreso del aprendizaje a lo largo de los doce años de escolaridad.
Los Mapas de Progreso surgen como complemento a los instrumentos
curriculares, como Programas de Estudio y, por consiguiente, a Contenidos
Mínimos Obligatorios y Aprendizajes Esperados; dando pie a la propuesta de los
Ajustes Curriculares y, actualmente, a las nuevas Bases Curriculares.
A continuación se presentan los distintos niveles en que se organizan los Mapas
de Progreso del proceso educativo, en la Asignatura de Matemática,
específicamente en el área de Geometría.
65
•Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Conjetura sobre la base de exploraciones realizadas con herramientas tecnológicas y verifica proposiciones geométricas mediante axiomas y demostraciones directas e indirectas.
Nivel 7
sobresaliente
•Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen. Caracteriza puntos, rectas y planos en el espacio, describe cuerpos generados por traslaciones y rotaciones de figuras planas. Determina el módulo de un vector en dos o tres dimensiones y el área y volumen de cuerpos generados por traslaciones y rotaciones. Describe la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar. Formula conjeturas en relación a la forma de los cuerpos generados a partir de rotaciones y traslaciones de figuras planas en el espacio. Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos.
Nivel 6
•Caracteriza ángulos entre elementos lineales asociados a la circunferencia, comprende los conceptos de congruencia y semejanza, conoce los teoremas respectivos y los aplica como criterios para determinar congruencia y semejanza de figuras planas. Calcula la medida de ángulos en la circunferencia y de segmentos de figuras planas. Comprende el concepto de transformación en el plano cartesiano, y utiliza la representación vectorial para describir traslaciones y homotecias de figuras geométricas en el plano. Formula y verifica conjeturas en relación a los efectos de la aplicación de una transformación a una figura en el plano cartesiano. Demuestra teoremas relativos a relaciones entre trazos en triángulos y en la circunferencia y a trazos y ángulos en ella, y los aplica en la resolución de problemas.
Nivel 5
•Reconoce la circunferencia y el círculo como lugares geométricos identificando sus elementos, y caracteriza elementos secundarios de triángulos. Comprende el teorema de Pitágoras y el concepto de volumen. Calcula longitudes de figuras bi y tridimensionales, el área del círculo y obtiene el volumen de distintos cuerpos geométricos. Construye ángulos, triángulos y sus elementos secundarios, y polígonos regulares. Comprende el concepto de transformación isométrica y aplica estas transformaciones a figuras planas. Formula conjeturas relativas a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de cuerpos geométricos al variar elementos lineales y resuelve problemas relacionados con estas variaciones.
Nivel 4
•Caracteriza la relación entre ángulos que se forman en rectas coplanares que se cortan. Mide ángulos expresando sus resultados en unidades sexagesimales y determina áreas en triángulos y paralelogramos. Formula conjeturas relativas a medidas de ángulos en polígonos y a cambios en el área de paralelogramos al variar uno o más de sus elementos. Resuelve problemas que implican la elaboración de procedimientos para calcular ángulos en polígonos regulares y calcular áreas de triángulos, paralelogramos y formas que puedan descomponerse en estas figuras, y argumenta sobre la validez de sus procedimientos.
Nivel 3
•Caracteriza cilindros, conos y pirámides en términos de las superficies y líneas que los delimitan e identifica las redes que permiten construirlos y las representaciones en el plano de sus vistas. Comprende los conceptos de perímetro y área, y emplea cuadrículas para estimar y medir áreas de superficies que se pueden descomponer en rectángulos. Formula y verifica conjeturas relativas a la posibilidad de construir cuerpos a partir de distintas redes. Resuelve problemas relacionados con el cálculo de áreas y perímetros de figuras que pueden ser descompuestas en rectángulos.
Nivel 2
•Caracteriza figuras planas y prismas rectos en términos de sus elementos básicos y las relaciones de paralelismo y perpendicularidad, utilizándolos para describir y representar formas presentes en el entorno. Comprende el concepto de medición, estima y mide longitudes, usando unidades de medidas informales y estandarizadas, e interpreta información referida a longitudes en diferentes contextos. Formula y verifica conjeturas, y resuelve problemas relacionados con formas que se generan a partir de transformaciones y yuxtaposiciones de figuras planas y prismas rectos, y con la determinación de longitudes.
Nivel 1
66
CAPÍTULO Nº3
67
3. METODOLOGÍA
Al comenzar esta investigación, se han delimitado objetivos que orientan el
trabajo, situando en dirección a la consecución de determinadas metas. Para
cumplir con éstas, se hace necesario definir el tipo de investigación, continuando
con la delimitación de la Población y la Muestra del estudio. Posteriormente, se da
paso a la selección del instrumento y su aplicación, para finalizar con el diseño para
el análisis de los resultados.
3.1. Población y Muestra
La presente investigación se enmarca dentro del Paradigma Cualitativo, que
encuentra sustento en el acercamiento a la realidad circundante, como interacción
entre sujeto y objeto; el paradigma escogido para este trabajo investigativo, se
explica por la naturaleza de la realidad a estudiar, que en este caso es una realidad
social, educativa, y por tanto, compleja, de acuerdo a las diversas relaciones dadas
en su interior. La investigación cualitativa se centra en la descripción como base
para la elaboración de datos, hecho que guarda estrecha relación con los objetivos
finales de este trabajo. Tal como lo enuncia María José Albert Gómez, en su libro
“Investigación Educativa: Claves teóricas”, “Este tipo de investigación comienza
con la recogida de datos mediante observación empírica o mediciones de alguna
clase y posteriormente construye, a partir de las relaciones descubiertas, sus
categorías y proposiciones teóricas” (2007, p. 158). Esta investigación se inicia con
la recolección de evidencias sobre el tema, para luego, construir el cuerpo de
conocimiento que sustentará los análisis y conclusiones de dicho trabajo
investigativo.
68
De acuerdo a los objetivos que pretende la investigación, la población del estudio
será la cantidad de alumnos de octavo básico de la comuna de Viña del Mar,
pertenecientes a dos colegios Municipales, dos colegios Particulares
Subvencionados y dos establecimientos Particulares Pagados. Dicha población
alcanza un total de doscientos setenta y siete estudiantes, siendo la muestra de la
investigación doscientos setenta alumnos. Los siete alumnos restantes no fueron
considerados dentro de la Muestra, debido a que, durante las sesiones de
aplicación del instrumento, éstos se encontraban ausentes.
- Población: 277 alumnos
- Muestra: 270 alumnos
El propósito de este estudio, como se ha mencionado, consiste en determinar el
Espacio de Trabajo de Geométrico de los alumnos que conforman la Muestra,
mediante un instrumento validado. En el siguiente punto, se dará lugar a la
descripción de dicho instrumento, para continuar explicitando la aplicación de dicha
prueba y los parámetros comunes con los cuales se categorizarán las respuestas.
3.2. Sobre el instrumento (conocimiento del instrumento)
Para acceder a un instrumento que evidenciara de manera fiable, las habilidades
desarrolladas por los estudiantes en el ámbito de Geometría, se recurrió al estudio
realizado por Kuzniak, descrito en el ejemplar “Paradigmes et espaces de travail
géometriques” (Kuzniak, 2004), en el cual se explicitan las bases teóricas del
desarrollo del pensamiento geométrico. Así, el texto, se transforma en apoyo
esencial para obtener, tanto el conocimiento en el cual se enmarca esta
investigación, como el material a través del cual se pesquisará el Espacio de
Trabajo Geométrico de la Muestra.
69
El instrumento evaluativo se seleccionó a partir del Estudio Colaborativo realizado
entre Chile y Francia, publicado en el texto citado. Durante la realización de esta
investigación, se aplicaron diferentes preguntas, a alumnos en Formación Inicial
Docente, de los países participantes, dando paso a la comparación de los
resultados obtenidos, en los contextos citados, con el fin de analizar la realidad
educativa de los contextos mencionados.
De las preguntas utilizadas en el Estudio Colaborativo, se seleccionó una de ellas,
la cual fue extraída de la página cuarenta y siete del texto citado. Se escogió dicha
pregunta, ya que ésta es la única que, en su resolución, pone en juego las
habilidades que los alumnos de octavo año básico han adquirido durante su
trayectoria en Enseñanza Básica. Debe añadirse, además, que la pregunta se
encontraba validada, al ser ésta, parte del estudio chileno-francés.
A continuación se presenta el formato del instrumento que se utilizará.
70
71
3.3. Aplicación del instrumento
El instrumento evaluativo fue aplicado durante las dos primeras semanas del mes
de Marzo del año 2012, a alumnos y alumnas que se encontraban iniciando octavo
básico (NB6), con el fin de captar las habilidades adquiridas en el transcurso de la
Educación Básica y, así, llegar a conocer el Espacio de Trabajo Geométrico de
dichos estudiantes. Se trabajó con seis establecimientos educacionales, dos de
dependencia Municipal; dos, subvencionado y dos, particular, los cuales serán
identificados con las letras A, B, C, D, E, F respectivamente.
El instrumento fue aplicado en un lapso de seis días; de los cuales se destinó uno
a cada sesión de trabajo por colegio. Los horarios de visita a dichos
establecimientos fueron acordados en reuniones previas, en las cuales se informó
sobre el objetivo de la investigación, el procedimiento a seguir y las fechas
respectivas para la aplicación del problema, a cada grupo de estudiantes.
Al momento de la aplicación del instrumento, a los alumnos se les entregó
individualmente el problema, de forma escrita. Junto con ello, se plantearon: las
instrucciones a seguir y el tiempo máximo destinado al desarrollo de sus
respuestas. Se contemplaron veinte minutos para desarrollar el problema
entregado, cronometrados por reloj. Es importante recalcar que no se respondieron
dudas respecto a la pregunta, tampoco, los estudiantes, pudieron comentar
impresiones con sus compañeros. La resolución de la pregunta se realizó en
completo silencio, respetando el tiempo asignado. Finalizado el tiempo estipulado,
se recogieron las respuestas por escrito de los alumnos y alumnas.
72
3.4. Diseños para el análisis de los resultados.
Luego de la aplicación de la pregunta, destinada a evaluar la muestra, se hizo
necesario elaborar categorías en las cuales pudiesen ser clasificadas las
respuestas de los estudiantes, con el objetivo de conocer el razonamiento
geométrico de los alumnos que conforman la muestra. Estas categorías fueron
construidas a partir de las ya diseñadas por el Equipo ECOS, conformado por
investigadores pertenecientes al Didirem Paris 7 y a la PUCV, en el estudio
comparativo de la enseñanza de la geometría de los sistemas escolares de Chile y
Francia; se tomaron como referencia para elaborar nuevos parámetros,
contextualizados a la realidad a investigar.
La creación de categorías estuvo orientada a encauzar el análisis de las
respuestas de los niños y niñas que se enfrentaron al problema, teniendo
parámetros comunes y objetivos, que permitieran determinar, confiablemente, el
Espacio de Trabajo Geométrico en que se encuentra la muestra.
El primer paso en esta construcción, estuvo marcado por la elección de criterios o
aspectos a tener en cuenta al momento de definir en qué categoría se encontraba
cada respuesta. Se establecieron los siguiente aspectos, que, dentro de las
respuestas, debían estar presentes: el desarrollo del Teorema de Pitágoras, como
medio para concluir que la figura presentada no es un cuadrado, y, de este modo,
establecer que los ángulos no son rectos, por consiguiente, explicitar que dicha
figura es un rombo.
Se debe destacar que la categorización se hizo en base a une revisión general
previa de las respuestas, teniendo en cuenta las aproximaciones de los alumnos; de
lo anterior, se debe explicitar que las categorías fueron construyéndose en virtud de
las respuestas dadas por la muestra.
A continuación se presentan las categorías formuladas para el análisis de las
respuestas desarrolladas por la muestra:
73
CAC (Carolina con Argumento Completo): Grupo compuesto por estudiantes
que utilizan la forma clásica del Teorema de Pitágoras. Éste está aplicado al interior
del mundo de las figuras abstractas, sin considerar la apariencia real del objeto. El
alumno considera la información entregada por el enunciado y las codificaciones
(códigos de segmento, indicaciones sobre la dimensión de las longitudes) para
probar que el cuadrilátero es un rombo (cuatro lados de la misma longitud) y
argumentar que el cuadrilátero no es un cuadrado (recíproco del Teorema de
Pitágoras).
CAI (Carolina con Argumento Incompleto): Los estudiantes prueban que el
cuadrilátero no es un cuadrado utilizando el Teorema de Pitágoras y concluyendo
que Carolina tiene la razón, sin argumentar el por qué es un rombo.
MAC (María con Argumento Completos): Este grupo utiliza las propiedades
para argumentar, recurriendo al Teorema de Pitágoras y aproximando los
resultados obtenidos. Frente a esto, concluyen que María tiene la razón ya que
reconoce la importancia del dibujo y la aproximación de las medidas, determinando,
así, que la figura es un cuadrado.
MAExp. (María con Argumento Experimental): Grupo de estudiantes que
utilizan las medidas para determinar las medidas utilizadas en la construcción de la
figura geométrica, para lograr una respuesta. Aquí los estudiantes pueden concluir
que Carolina o María tienen la razón dependiendo de las mediciones que realicen.
Los estudiantes usan instrumentos como regla, compás o transportador para medir
lados o ángulos de la figura, y así, determinar su respuesta.
RPerc (Respuestas basadas en la Percepción): En esta categoría los
estudiantes entregan sus respuestas basándose sólo en la percepción; las
respuestas se sustenta en la interpretación del dibujo.
74
IRSC (Intenta Responder sin lograr Concluir): Los alumnos pueden decir que
María, Carolina o ambas tienen la razón, sin presentar argumentos o razones
coherentes a la respuesta dada. No logra estipular una respuesta coherente y
válida.
MSA (María Sin Argumento): Los alumnos dicen que María tiene la razón sin
fundamentar su respuesta.
CSA (Carolina Sin Argumento): Los estudiantes responden que Carolina tiene
la razón sin fundamentar su respuesta.
NR (No responde): Los estudiantes no responden al problema propuesto.
Siguiendo estos lineamientos, deben explicitarse los criterios o aspectos que
deben estar presentes en las respuestas de los alumnos, para ser clasificados dentro
de las categorías mencionadas. La siguiente tabla, sintetiza aquellos parámetros
comunes que serán utilizados en la tarea de análisis.
75
Categoría Aspectos de la respuesta que la harán clasificar dentro
de la categoría.
CAC (Carolina
con Argumento
Completo)
Desarrollo del Teorema de Pitágoras; se concluye que la
figura presentada no es un cuadrado, y, de este modo, se
establece que los ángulos no son rectos, por consiguiente,
se explicita que la figura es un rombo.
CAI (Carolina con
Argumento
Incompleto):
Desarrollo del Teorema de Pitágoras, para probar que la
figura no es un cuadrado. Se concluye que Carolina tiene la
razón, sin argumentar el por qué es un rombo.
MAC (María con
Argumento
Completos)
Desarrollo del Teorema de Pitágoras, aproximando
resultados, que llevan a afirmar que la figura es un cuadrado.
MAExp. (María
con Argumento
Experimental)
Desarrollo de mediciones en la figura, para determinar que es
un cuadrado, o bien, un rombo.
RPerc
(Respuestas
basadas en la
Percepción)
Observación de la figura, llegando a determinar que es un
cuadrado, o bien, un rombo, de acuerdo a la información que
percibe el alumno.
IRSC (Intenta
Responder sin
lograr Concluir)
Entrega de respuesta que considera la figura como cuadrado,
o bien, como rombo, sin presentar argumentos que validen
dicha afirmación.
76
Para finalizar, cabe explicitar que durante el análisis de resultados y, por
consiguiente, en el transcurso de la categorización, no se realizará juicio o valoración
de respuestas; No se considerarán respuestas adecuadas, tampoco erróneas, pues
el objetivo que persigue el presente trabajo, es encontrar el Espacio de Trabajo
Geométrico de los alumnos y alumnas de octavo año básico.
Las respuestas de los alumnos, además, se sitúan dentro de los Paradigmas
geométricos citados en el Marco Teórico de la presente investigación. De este modo,
las respuestas dadas, se relacionan directamente con los Niveles de Razonamiento
propuestos por Van Hiele, así, también, con los lineamientos planteados por Kuzniak
y Houdement, acerca del pensamiento geométrico. Por tanto, las respuestas de los
alumnos van a ser analizadas bajo criterios o parámetros que permitan realizar
diagnóstico acabado y, así, caracterizar el Espacio de Trabajo Geométrico de la
muestra.
La siguiente tabla sintetiza las relaciones establecidas entre las categorías
propuestas por autores y por el equipo de trabajo de esta investigación, para llegar a
describir el Espacio de Trabajo Geométrico de los alumnos. Se observarán
relaciones transversales entre Niveles de Razonamiento, Tipos de geometría, y
respuestas propiamente tales.
Tipo de
Geometría
(Kuzniak y
Houdement)
Geometría I Geometría II Geometría III
Niveles (Van
Hiele)
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Categorías
basadas en el
trabajo de
Grupo ECOS.
- MaEXP
- Rperc
MAI CAI CAC
77
Tomando en cuenta los Niveles propuestos por Van Hiele, en el Nivel 3 se
encontrarán las respuestas situadas en Carolina con Argumento Completo. En el
Nivel 2 se encontrarán las respuestas categorizadas en María con Argumento
Completo, y en Carolina con Argumento Incompleto. En el Nivel 1, se ubicarán las
respuestas situadas en María con Argumento Experimental y en Respuestas
basadas en la Percepción.
Así, también, de manera transversal, las respuestas dadas y, por consiguiente, las
categorías, se sitúan en un tipo de Geometría específica, de acuerdo a lo planteado
por Houdement y Kuzniak. En Geometría II, se consideran las categorías Carolina
con Argumento Completo y Carolina con Argumento Incompleto, pues los
argumentos dados para apoyar la afirmación, corresponden al razonamiento
deductivo. Y en Geometría I, se sitúan las categorías María con Argumento
Completo, María con Argumento Experimental y Respuestas basadas en la
Percepción. La primera, se ubica en este tipo de Geometría por la aproximación
realizada en el desarrollo del Teorema de Pitágoras, razón que convierte el
razonamiento en inductivo, alejándose de aquel desarrollo de pensamiento
deductivo.
Las categorías, Intenta Responder sin lograr Concluir, María Sin Argumento,
Carolina Sin Argumento y No responde, no serán clasificadas de acuerdo a los
Niveles de Razonamientos propuestos por Van Hiele, ni tampoco se podrá
determinar el tipo de Geometría en que se encuentran, pues se presentan
argumentos, descripciones o procedimientos que contienen errores conceptuales, o
falta de conocimientos teóricos que permitan resolver el problema planteado.
Cabe explicitar que, dentro de la investigación, no se abordará el tipo de
Geometría III, por encontrarse ésta, en otro tipo de saber, y que no corresponde a la
Educación Básica, donde ha surgido la inquietud de conocer el razonamiento de los
niños. Del mismo modo, el Nivel 4, no se considerará en el análisis de las
respuestas.
78
CAPÍTULO Nº4
79
4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Las líneas que se esbozarán en este capítulo, darán cuenta del análisis de las
respuestas obtenidas, en la aplicación del instrumento a la muestra específica.
Se darán a conocer los resultados en tres etapas; En la primera, se analizarán los
resultados obtenidos por cada uno de los colegios participantes; en la segunda, se
presentará el análisis, por tipo de establecimiento; para finalizar con la tercera, que
mostrará un análisis general de los resultados obtenidos.
4.1. RESULTADOS OBTENIDOS POR ESTABLECIMIENTO EDUCATIVO
Como ha quedado explicitado dentro de la investigación, el estudio de caso se
realizó en seis establecimientos educacionales, de la ciudad de Viña del Mar. La
muestra se compuso por octavos básicos de dos colegios municipales, dos,
particulares subvencionados y dos, particulares.
La tabla que se presentará a continuación, evidencia los resultados obtenidos por
los octavos básicos de cada institución participante. Los colegios A y B corresponden
a establecimientos municipales; los colegios C y D, a instituciones del tipo particular
subvencionado; y los colegios E y F, a colegios particulares.
La tabla presentada, pretende informar sobre la cantidad de alumnos que fueron
situados en cada una de las categorías construidas, para cada uno de los
establecimientos.
80
COLEGIOS CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR Total por colegio
COLEGIO A 0 0 0 1 27 10 4 5 7 54
COLEGIO B 0 0 0 0 5 0 10 1 0 16
COLEGIO C 0 24 4 1 26 16 4 1 3 79
COLEGIO D 0 3 0 0 8 16 0 0 1 28
COLEGIO E 0 2 1 3 40 8 2 2 9 67
COLEGIO F 0 0 0 3 19 3 1 0 0 26
Totales 0 29 5 8 125 53 21 9 20 270
TABLA Nº1: Resultados obtenidos por los octavos básicos de cada establecimiento educativo
4.1.1. Colegio A
Se han analizado las respuestas de los alumnos de octavo básico del
establecimiento municipal A, y, se hace necesario detallar los aspectos presentes en
el desarrollo de la pregunta de investigación. Se presenta, a continuación, la tabla
que sintetiza el tipo de análisis realizado por los estudiantes.
81
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO COMPLETO (CAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
imagen 1
La respuesta del alumno explicita la exactitud de las
medidas de la figura; se apoya en la medición de los
elementos del cuadrilátero presentado, es decir, utiliza la
regla para medir y responder.
82
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 6
Imagen 4
Imagen 3
Imagen 11
Imagen 8
El estudiante basa su respuesta, en datos o características
visuales, que proporciona la figura. La respuesta dada
considera, como única característica del cuadrado, la
congruencia de los lados.
La respuesta contiene elementos que dicen relación con los
primeros datos que ofrece la figura, al ser explorada (número
de lados, medidas, vértices, posición de la figura.)
El alumno argumenta, por ejemplo:
- “La figura posee cuatro lados que miden cuatro
centímetros” (datos que aporta la figura).
- “Los Vértices O, E, L, M delimitan un cuadrado”
- La diagonal y los lados del la figura, no tienen medidas
congruentes, por tanto, no es un cuadrado
- Si la figura girara sería un rombo
- “El rombo presenta características de figura delgada y
alargada”
83
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 30
Imagen 32
Imagen 34
La respuesta evidencia el intento por responder o plantear
solución, sin embargo, carece de una conclusión o resultado
final.
El alumno desarrolla su respuesta en base a argumentos
como:
- La medida de la diagonal, como elemento que “divide la
parte interior en dos partes iguales”.
- Cantidad de lados y vértices; basa sus intentos de
respuesta en la justificación “el rombo tiene más lados que
el cuadrilátero”
- El “orden de las letras” como indicador del tipo de figura.
- “La diagonal no corresponde al resultado de la
multiplicación de la medida de los lados”
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Respuesta tipo Descripción de las respuesta
Imagen 40
La respuesta del alumno explicita el nombre de María, y con
esto, da a conocer que la figura presentada es un cuadrado,
pero sin dar argumentos o bases que apoyen dicha
conclusión.
84
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 44
Se evidencia el nombre de Carolina como respuesta a la
pregunta dada; sin embargo, no existe procedimiento que
justifique o argumente dicha afirmación.
CATEGORÍA: NO RESPONDE (NR)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 48 El alumno no responde la pregunta dada.
Teniendo ideas que aclaran el panorama general del tipo de respuesta, dada por
los alumnos, y los resultados de la categorización realizada, se hace necesario
ahondar en dichas resoluciones, destacando y analizando las tendencias de los
estudiantes en cuanto a su razonamiento y a la forma de abordar la pregunta de
investigación. Esta información será crucial para establecer relaciones con los
referentes teóricos y sus respectivas categorizaciones sobre el pensamiento
geométrico. Es, a través de esta secuencia de análisis, que se llegará a concluir
valiosa información, dando respuesta satisfactoria a los objetivos del presente
trabajo.
85
Gráfico Nº1
Los alumnos de octavo año básico del Colegio A obtuvieron los siguientes
resultados:
- Un 50% de los alumnos respondieron basándose en la percepción.
- Un 18,5%, respondieron con argumentos que no son coherentes con el
planteamiento del problema.
- Un 13% no respondió a la pregunta
- Un 9,3% de los estudiantes, de este establecimiento, que participaron del
estudio, respondió que Carolina tenía la razón, sin dar ningún argumento.
- El 7,4%, respondió que María era quien tenía la razón pero sin argumentar.
- El 1,9% de los estudiantes utilizó la regla para medir los lados y dar una
respuesta al problema planteado.
1,9%
50,0%
18,5%
7,4%
9,3%
13,0%
Resultados obtenidos por Colegio A
CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR
86
- No hubo alumnos que utilizaran el Teorema de Pitágoras para resolver el
problema.
Al observar los resultados obtenidos, se puede concluir que un 87% de los
estudiantes respondieron a la pregunta, pero de ese porcentaje, un 70,3% argumenta
el por qué Carolina o María tiene la razón. Es por ello que, en este establecimiento,
se puede determinar el tipo de geometría en que se encuentra el alumno, sólo en ese
porcentaje de alumnos, pues, al no argumentar, no se puede determinar si la
respuesta se realiza por azar, por la existencia de análisis, o bien, por otros factores
que intervinieron en la decisión de alumno.
Dentro del 70,3% de los alumnos que dieron argumento, hay un 18,5% que intentó
responder, pero sus argumentos no fueron validos. Al revisar los tipos de respuestas
dadas por este grupo de estudiantes, se evidencia que la invalidez de sus
argumentos se relaciona con una falta de conocimientos en el área de la geometría,
o bien la falta de comprensión de la información entregada por la imagen. Ante esta
realidad, no se tienen las herramientas para determinar el tipo de geometría en que
se encuentran estos alumnos, pues el razonamiento se ve influenciado por la falta de
conocimientos para la resolución del problema planteado. Si los alumnos hubiesen
tenido claridad sobre las características de un cuadrado o de un rombo, o bien,
hubiesen sabido interpretar la imagen, habrían podido desarrollar un argumento
válido.
Ahora bien, se debe tener claridad que el 51,9% de los alumnos, que participaron
de la investigación, en este establecimiento educacional, pueden ser clasificados en
algún tipo de geometría, en vista a los argumentos entregados.
De estos alumnos, un 50% fue categorizado en Rperc, y sólo el 1,9% en MaExp;
por lo tanto, se concluye que la figura fue reconocida por las características visuales
o códigos que presenta dicho cuadrilátero; de acuerdo a esto, el 51,9% de los
87
alumnos se encuentran en el Nivel Visual o Nivel 0 propuesto por Van Hiele, y el tipo
de geometría, propuesta por Houdement y Kuzniak, en que se encuentran estos
alumnos es la Geometría Natural (GI).
88
4.1.2. Colegio B
El segundo establecimiento municipal en estudio, corresponde al Colegio B; el
grupo participante en la investigación, estuvo compuesto por dieciséis alumnos,
cuyas respuestas se sintetizan en la siguiente tabla.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO COMPLETO (CAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
89
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 57
Imagen 58
El alumno cimenta su respuesta en la información visual que
sugiere la figura. La respuesta contiene elementos que se
basan exclusivamente en procesos perceptivos, sin valerse
de propiedades o algoritmos matemáticos. El estudiante se
apoya en el argumento:
- La Inclinación de la figura, como rasgo que la clasifica
dentro de los rombos
- “La existencia de cuatro lados iguales
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 60
La respuesta del alumno explicita el nombre de María, y con
esto, da a conocer que la figura presentada es un cuadrado,
pero sin dar argumentos o bases que apoyen dicha
conclusión.
90
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 70
Se evidencia el nombre de Carolina como respuesta a la
pregunta dada; sin embargo, no existe procedimiento que
justifique o argumente dicha afirmación.
CATEGORÍA: NO RESPONDE
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasifiquen en esta categoría.
91
Las respuestas ya esbozadas, fueron categorizadas, y los resultados obtenidos,
se sintetizan en el siguiente gráfico:
Gráfico Nº2
Los alumnos de octavo básico del Colegio B, obtuvieron los siguientes resultados:
- Un 62,5% de los alumnos respondieron que la figura era un cuadrado, es decir,
que María tiene la razón; pero no presentan argumentos que apoyen su
elección.
- El 31,3% de los alumnos, utilizó la percepción como medio para responder.
- Un 6,3% de los estudiantes, determinó que Carolina tiene la razón, sin
fundamentar su afirmación.
- En este Colegio no hubo alumnos que utilizaran el Teorema de Pitágoras para
resolver la pregunta.
31,3%
62,5%
6,3%
Resultados obtenidos por Colegio B CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR
92
Las respuestas de los alumnos de este establecimiento, no variaron de manera
considerable; la información que proveen dichas respuestas dice relación con que el
nivel de razonamiento del 31,3% de los estudiantes, se ubica en la categoría Rperc.
El porcentaje restante, no entrega argumentos que avalen su respuesta, sólo
determinan que Carolina o María tiene la razón.
Los alumnos que responden en base a la percepción, se encuentran en el Nivel 0
o Nivel Visual, planteado por Van Hiele y, como tal, se encuentran en Geometría
Natural (GI).
93
4.1.3. Colegio C
Se han analizado los establecimientos Municipales, que participaron en la
investigación, y es tiempo de estudiar los resultados proporcionados por los colegios
que se encuentran en la categoría Particular subvencionado; se comenzará por
analizar las respuestas dadas por los alumnos de octavo año básico del Colegio C.
A continuación se presenta el cuadro resume del tipo de respuestas dadas por los
estudiantes de este establecimiento:
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO COMPLETO (CAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 71
El alumno responde que es Carolina quien tiene la razón; la
respuesta se apoya en el Teorema de Pitágoras para descubrir
la medida de lado de la figura, partiendo del supuesto que es un
cuadrado.
94
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 98
El alumno establece que es María quien tiene la razón; se vale
del Teorema de Pitágoras para llegar a dicha conclusión. En
dicho procedimiento, redondea o aproxima los resultados
obtenidos.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 99
La respuesta dada se apoya en mediciones con instrumentos
geométricos. Se llega a establecer que la figura es un cuadrado,
tras realizar mediciones.
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
El estudiante basa su respuesta en las evidencias visuales, que
proporciona la figura. La respuesta contiene elementos que se
basan exclusivamente en procesos perceptivos, sin valerse de
propiedades o algoritmos matemáticos. El estudiante se apoya
en medida de lados, vértices, posición de la figura, medida de la
diagonal, que son datos explícitos dentro de la pregunta de
investigación.
95
Imagen 100
Imagen 101
Imagen 102
El alumno argumenta sus respuesta en base a:
- “Medida de la diagonal no es la misma que la medida de
los lados por lo tanto no es un cuadrado”.
- “Inclinación de la figura, como rasgo que la clasifica
dentro de los rombos”.
- La figura posee cuatro lados que miden cuatro
centímetros.
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 141
Imagen 136
Imagen 135
La respuesta dada por el estudiante, da cuenta del intento por
llegar a un resultado concreto, pero no concluye el desarrollo
que permitiría llegar a una respuesta clara.
El alumno desarrolla su respuesta en base a:
- Coloca un valor a un cateto de uno de los triángulos
rectángulos pero sin presentar cálculos o desarrollo
matemático.
- Enunciados que explicitan la necesidad de calcular para
llegar a la respuesta, pero no presentaban los cálculos.
- Realización de cálculos de acuerdo a Teorema de
Pitágoras aplicado a un triángulo equilátero, sin llegar a
resultados finales.
- Afirmación que dice relación con la suma de los catetos.
- Planteamiento que enuncia la suma de lados para
96
Imagen 133
Imagen 130
Imagen 129
Imagen 127
obtener el perímetro lo que será diferente a la medida de
la diagonal planteada.
- La presencia de una diagonal, que transforma el
cuadrilátero presentado, en otra figura.
- El orden de las letras que nombran los vértices.
- La característica de la figura, “pueden ser 2 triángulos o
rombo”
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 144
La respuesta del alumno explicita el nombre de María, y con
esto, da a conocer que la figura presentada es un cuadrado,
pero sin dar argumentos o bases que apoyen dicha conclusión.
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 146
Se evidencia el nombre de Carolina como respuesta a la
pregunta dada; Sin embargo, no existe procedimiento que
justifique o argumente dicha afirmación.
CATEGORÍA: NO RESPONDE
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 147 El alumno no responde la pregunta dada.
97
Teniendo una visión más clara del tipo de respuestas entregada por los
estudiantes del Colegio C, se hace necesario dar a conocer los resultados obtenidos,
y, para ello, se presenta el siguiente gráfico, con su respectivo análisis.
Gráfico Nº3
De los 79 alumnos, del Colegio C, que participaron del estudio:
- Un 32,9%, respondió a la pregunta basándose en la percepción.
- El 30,4%, concluyó que Carolina tenía la razón, demostrando que la figura no
es un cuadrado, mediante el Teorema de Pitágoras.
- El 20,3%, concluyó su respuesta con argumentos que no se relacionan con el
problema planteado.
30,4%
5,1%
1,3%
32,9%
20,3%
5,1%
1,3% 3,8%
Resultados obtenidos por Colegio C CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR
98
- El 5,1% de los estudiantes, utilizó el Teorema de Pitágoras, aproximando los
resultados obtenidos, para, finalmente, concluir que María tenía la razón.
- Un 5,1% de los alumnos, determinó que María tenía la razón, sin dar
argumentos.
- El 1,3% de los alumnos dijo que Carolina estaba en lo cierto, sin presentar
fundamentos.
- El 1,3% restante utilizó la regla para medir y concluir.
Al tener una mirada más clara acerca de las respuestas y resultados de los
alumnos, se pueden realizar los análisis respectivos, en virtud de determinar el tipo
de geometría en que se sitúa el razonamiento de los estudiantes de este
establecimiento.
Dentro de los estudiantes, existe un 3,8% que no respondió a la pregunta, y no se
tiene conocimiento sobre los factores que motivaron la ausencia de desarrollo. Ante
esta realidad, no se logra determinar el tipo de geometría en que se sitúan los
alumnos.
El 6,4% de los estudiantes que explicitan que Carolina o María tienen la razón, sin
dar a conocer un procedimiento o descripción que apoye dicha afirmación, tampoco
puede clasificarse dentro de un tipo de geometría. Esto, porque las razones que
motivan su respuesta no se aclaran, en absoluto, existiendo múltiples posibilidades
para explicar la respuesta.
Por otra parte, existe un 20,3% de los alumnos, que respondió al problema,
presentando argumentos poco claros o que poco se relacionaban con el objetivo de
definir si la figura era o no un cuadrado. Hay alumnos que presentan errores
conceptuales, o bien, intentan argumentar o apoyarse en un desarrollo que no
recurre a las características o propiedades de un cuadrado o de un rombo.
99
Esta realidad no permite determinar el tipo de geometría en el cual se encuentran
los alumnos; quizás, si hubiesen demostrado tener los conocimientos o herramientas
básicas, para lograr una respuesta que dijese relación con el problema planteado, se
podría haber evidenciado, con claridad, el razonamiento utilizado para responder.
En cuanto al 69,7% de alumnos que respondieron con argumentos claros y
coherentes al problema enunciado, se debe explicitar que el 32,9% de ellos,
respondió basándose en la percepción y el 1,3% utilizó herramientas o instrumentos
para verificar medidas en la figura, para luego, concluir. Estos alumnos se
encuentran en el Nivel Visual, planteado por Van Hiele, ya que concluyen o llegan a
responder, en base a la información o códigos que se desprenden de la figura
presentada. Si bien, existen casos en los que se determina que la figura es un
cuadrado porque tiene sus cuatro lados de la misma medida, no se piensa,
concretamente, en las propiedades de la figura. Al estar en el nivel visual, se
desprende, entonces, que el 34,2% de los alumnos se encuentra razonando en
Geometría Natural (GI).
El 5,1% que se sitúa en la categoría María con Argumentos Completos, utilizó el
Teorema de Pitágoras para llegar a una conclusión; este grupo de estudiantes,
aproxima los resultados para llegar a determinar que la figura es un cuadrado,
alejándose del resultado correcto. Los alumnos que están en esta categoría se
encuentran en el Nivel 2, propuesto por Van Hiele, denominado como Deductivo
Informal, porque se evidencia la realización de un procedimiento que busca
demostrar, pero que incurre en lo intuitivo, más que en lo deductivo. Esto indica que,
los alumnos situados en esta categoría, razonan en Geometría I, aunque debe
considerarse que se encuentran en una transición hacia Geometría II.
Finalmente, existe un 30,4% de alumnos que concluye que la figura no es un
cuadrado; al buscar la medida de uno de los lados del supuesto cuadrado, utilizando
el Teorema de Pitágoras, los alumnos concluyen que la medida no es igual a cuatro
100
y, por tanto, deducen que la figura no corresponde a un cuadrado. Este
razonamiento, sitúa a los alumnos en el Nivel 2: Deductivo Informal, pero, a
diferencia de los alumnos categorizados en MAC, realizan una demostración más
deductiva que intuitiva, lo que los hace progresar a Geometría Axiomática Natural
(GII).
101
4.1.4. Colegio D
Es la instancia para analizar el segundo establecimiento de tipo Particular
subvencionado, el cual se ha denominado Colegio D. Veintiocho alumnos conforman
el grupo que participó en la investigación; los tipos de respuestas que se evidencian
en el desarrollo de la pregunta, por cada alumno, se presentan en la siguiente tabla.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO COMPLETO (CAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 152
Imagen 150
Concluye que María tiene la porque si fuese un rombo se
cumpliría el Teorema de Pitágoras, y como no se cumple es un
cuadrado. El error que la alumna tuvo radica en lo conceptual,
si hubiese recordado que el Teorema de Pitágoras se puede
aplicar en el cuadrado por estar compuesto por triángulos
rectángulos su respuesta no hubiese tenido error conceptual.
El razonamiento no hubiese cambiado.
“Carolina tiene la razón porque sus lados no todos sus lados
miden igual”. Utilizó Teorema de Pitágoras para resolver pero
existen algunos errores de cálculo.
102
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 156 Imagen 154
Imagen 159
El alumno se vale de la información visual que recibe de la
figura presentada, al observarla en primera instancia.
La respuesta contiene elementos que se basan
exclusivamente en procesos perceptivos, sin valerse de
propiedades o algoritmos matemáticos. El estudiante se apoya
en medida de lados, vértices, posición de la figura, medida de
la diagonal, que son datos explícitos dentro de la pregunta de
investigación.
Basan respuestas en datos, argumentos o acciones, como:
- Posición de la figura.
- Medida de los lados.
- Carolina porque la medida de la diagonal es distinta a la
de los lados
103
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 161
Imagen 167
Imagen 168
Imagen 169
Imagen 170
Imagen 172
Imagen 173
Imagen 175
Imagen 176
Los procedimientos llevados a cabo por el estudiante, carecen
de conclusión o resultado; ya sea, la utilización de cálculos,
respuestas tentativas, o primeras aproximaciones, no llegan a
una respuesta clara y final.
El alumno desarrolla su respuesta en base a planteamientos
como:
- “Carolina porque la figura está formada por dos
triángulos rectángulos”
- “Es un rombo porque tiene todos sus lados iguales pero
su área da distinto”
- “María tiene la razón, es un cuadrado pero al realizar
Teorema de Pitágoras y unir los catetos forma un rombo
(16)”
- “María ya que el cuadrado es lo mismo que el
cuadrilátero, o sea todos sus lados miden 4 cm y en su
base hay una línea de 5,6 cm”
- “Es un rombo porque el ángulo interior es de 5,6 cm”
- “Carolina, porque si no estuviese la O ni la M sería un
rombo”
- “María, porque un cuadrilátero tiene todas sus medidas
exteriores iguales”
- “Las dos porque tienen cuatro lados y una diagonal”
- “Carolina porque el rombo no tiene cuatro lados y una
línea al medio”
104
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: NO RESPONDE
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 177 El alumno no responde la pregunta dada.
Los resultados obtenidos por los alumnos de octavo básico del Colegio D, se
resumen en el gráfico que se presenta a continuación, para luego, dar paso a los
análisis correspondientes.
105
Gráfico Nº4
En el Colegio D, los alumnos de octavo básico obtuvieron los siguientes
resultados:
- Más de la mitad del grupo que participó del estudio, dio respuestas en base a
argumentos que no se relacionan con el problema planteado.
- El 28,6% respondió a la pregunta, utilizando su percepción.
- El 10,7% de los alumnos respondió que Carolina tenía la razón, utilizando el
Teorema de Pitágoras para comprobar si la figura era o no un cuadrado.
- Un 3,6%, no respondió.
10,7%
28,6%
57,1%
3,6%
Resultados obtenidos por Colegio D CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR
106
Al igual como ocurre con los alumnos de los establecimientos A, B y C hay un
porcentaje de estudiantes que no puede situarse en un tipo de geometría, por no
haber respondido a la pregunta planteada; en este establecimiento, específicamente,
el porcentaje de alumnos que no responde la pregunta, corresponde al 3,6%. En este
contexto, no se pueden hacer conjeturas acerca del tipo de razonamiento que
utilizado para resolver problemas.
Existe, también, otro porcentaje de alumnos que no puede ser clasificado en
Geometría I o Geometría II; es el 57,1%, que posee respuestas que no se relacionan
con el problema planteado, sólo se intenta responder, en base a suposiciones o
creencias del alumnado.
El 28,6% que utiliza la percepción como principal apoyo para responder, se sitúa
en el Nivel Visual de los Niveles de Razonamientos de Van Hiele, y, por tanto, en
Geometría Natural (GI) propuesto por Houdement y Kuzniak.
En cuanto al 10,7% que respondió a la pregunta, utilizando el Teorema de
Pitágoras para buscar la medida de uno de los lados del cuadrado, se puede concluir
que se encuentra en el Nivel 2, Deductivo Informal, puesto que se centran en
argumentos lógicos, para comprobar si se cumplen las características del cuadrado.
Y, Al argumentar lógicamente las respuestas, los alumnos que se encuentran en esta
categoría se encuentran en Geometría II, la que es denominada por Houdement y
Kuzniak como Geometría Axiomática Natural.
107
4.1.5. Colegio E
Es momento de realizar los análisis respectivos, para los establecimientos
educacionales del tipo Particular, comenzando por aquel colegio que fue designado
con la letra E. En este colegio participaron 67 alumnos, cuyas respuestas se
ejemplifican en la siguiente tabla.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO COMPLETO (CAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 178
El alumno afirma que es Carolina quien tiene la razón, y, por
tanto, que la figura es un rombo. Llega a establecer que los
lados son diferentes, descartando la posibilidad de que fuese
un cuadrado, mediante el Teorema de Pitágoras. Existen
errores conceptuales que dejan incompleta la respuesta.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 179
El alumno establece que es María quien tiene la razón; se
vale del Teorema de Pitágoras para llegar a dicha conclusión.
En dicho procedimiento, redondea o aproxima los resultados
obtenidos.
108
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 181
Imagen 180
La respuesta dada se apoya en mediciones con instrumentos
geométricos. Se llega a establecer que la figura es un
cuadrado, tras realizar mediciones.
El alumno responde en base a medición de ángulos, lados y
diagonal.
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 209
Imagen 185
El alumno se vale de la información visual que recibe de la
figura presentada, al observarla en primera instancia.
La respuesta contiene elementos que se basan
exclusivamente en procesos perceptivos, sin valerse de
propiedades o algoritmos matemáticos. El estudiante se
apoya en medida de lados, vértices, posición de la figura,
medida de la diagonal, que son datos explícitos dentro de la
pregunta de investigación.
Se evidencian afirmaciones como:
- “Posee cuatro lados iguales”, esto lo deduce de los
códigos dados por la figura.
- La posición permite que sea tanto rombo como
109
Imagen 192
Imagen 194
Imagen 197
Imagen 215
cuadrado
- “Está conformado por dos triángulos iguales.”
- “Esta partido por la mitad.”
- “Es un rectángulo, porque sus lados mide 4 y 5,6 cm”.
- “Por lo que se ve, es un cuadrado. “A simple vista es un
cuadrado.”
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 224 Imagen 229 Imagen 227 Imagen 228 Imagen 231
Los procedimientos llevados a cabo por el estudiante, carecen
de conclusión o resultado; ya sea, la utilización de cálculos,
respuestas tentativas, o primeras aproximaciones, no llegan a
una respuesta clara y final.
El alumno desarrolla su respuesta en base a planteamientos
como:
- “Los lados se pueden separar”
- “Carolina ya que lado por lado distinto a medida de la
diagonal”
- “Las puntas tendrían diferentes medidas”
- “Los conocimientos son inútiles para resolver el
ejercicio.”
- Cálculos sin concluir
110
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 232
La respuesta del alumno explicita el nombre de María, y con
esto, da a conocer que la figura presentada es un cuadrado,
pero sin dar argumentos o bases que apoyen dicha
conclusión.
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 235
Se evidencia el nombre de Carolina como respuesta a la
pregunta dada; Sin embargo, no existe procedimiento que
justifique o argumente dicha afirmación.
CATEGORÍA: NO RESPONDE
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 237 El alumno no responde la pregunta dada.
111
Los resultados obtenidos por los alumnos de octavo año básico del Colegio E,
quedan sintetizados en el siguiente gráfico:
Gráfico Nº7
- El 59,7% de los alumnos que participaron, dieron sus respuestas basándose
en la percepción, valiéndose de los códigos que presenta la figura.
- El 13,4% de los alumnos no respondió a la pregunta.
- El 11,9% intentó dar una respuesta al problema planteado, pero sus
conclusiones no tenían relación respecto a lo solicitado.
- Un 6%determinó que Carolina o María tenía la razón, sin dar a conocer algún
procedimiento o razones que justificasen su respuesta.
112
- Un 4,5% de los alumnos utilizó algún instrumento de medición para responder.
- Un 1,5%, desarrolló Teorema de Pitágoras y redondeó el resultado
determinando, así, que la figura es un cuadrado, es decir, María tiene la razón.
- Un 3% determinó que la figura no era un cuadrado utilizando el Teorema de
Pitágoras.
Teniendo un panorama general sobre las aproximaciones de los alumnos, para
dar respuesta al problema presentado, se abren las puertas para determinar los
niveles de razonamiento y tipo de geometría en que se encuentran los estudiantes.
Al igual que en los colegios analizados con anterioridad, existe un porcentaje de
alumnos a los que no se puede determinar su tipo de razonamiento, esto, por la
ausencia parcial o total de argumentos o procedimientos que permitan vislumbrar las
bases que apoyen sus afirmaciones. Ese porcentaje corresponde al 31,3%,
compuesto por los alumnos categorizados en: No Responde (NR), Carolina Sin
Argumentos (CSA), María Sin Argumento (MSA) e Intenta Responder sin Concluir
(IRSC).
Por otra parte, el 64,2% se encuentra en el Nivel O: Nivel Visual, pues se valen de
percepción visual y de la realización de algunas mediciones para responder a la
pregunta. Este tipo de razonamiento los ubica en Geometría I. dentro de este grupo
de alumnos de octavo año básico, existe un 1,5% que se encuentra en un nivel de
transición, específicamente en el Nivel 2: Deductivo Informal; sus respuestas no
logran ser totalmente lógicas, pues se aproximan los resultados obtenidos tras el
desarrollo del Teorema de Pitágoras. Esto, automáticamente sitúa a los alumnos en
Geometría Natural.
Finalmente, existe un 3% del total de alumnos, cuyo razonamiento ha trascendido
a una Geometría Axiomática Natural. Estos alumnos han logrado progresar en
cuanto al tipo razonamiento utilizado a la hora de desarrollar la pregunta; aunque se
ubiquen en Nivel 2, propuesto por Van Hiele, se ha manifestado el razonamiento
deductivo, al momento de concluir.
113
4.1.6. Colegio F
Corresponde analizar el último establecimiento educacional, que pertenece al tipo
Particular; dicha institución ha sido denominada como Colegio F. En este
establecimiento, participaron 26 alumnos cuyas respuestas se sintetizan en la
siguiente tabla.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO COMPLETO (CAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasifiquen en esta categoría.
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 245
María tiene la razón, con la ayuda de la regla y compás mide
los lados.
114
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 249
Imagen 258
Imagen 254
Imagen 261
Imagen 263
El alumno se vale de la información visual que recibe de la
figura presentada, al observarla en primera instancia.
La respuesta contiene elementos que se basan
exclusivamente en procesos perceptivos, sin valerse de
propiedades o algoritmos matemáticos. El estudiante se apoya
en medida de lados, vértices, posición de la figura, medida de
la diagonal, que son datos explícitos dentro de la pregunta de
investigación.
- Medida de los lados son iguales, basándose en los
códigos de la figura.
- Medida de los lados y lados opuestos paralelos.
- Posición de la figura (“si lo gira resulta un rombo”)
- “A simple vista se ve que es un cuadrado.”
- “María porque la figura no está achatada”
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Los procedimientos llevados a cabo por el estudiante, carecen
de conclusión o resultado; ya sea, la utilización de cálculos,
respuestas tentativas, o primeras aproximaciones, no llegan a
una respuesta clara y final.
115
Imagen 267
Imagen 268
Imagen 269
El alumno desarrolla su respuesta en base a planteamientos
como:
- “María tiene la razón porque la medida de los rombos no son
iguales a las de un cuadrado”.
- “Las dos tienen la razón ya que es un cuadrado porque todos
los lados miden lo mismo y también puede ser un rombo ya
que todos sus lados también miden lo mismo”
- “Es un rombo porque el área es más grande que sus lados”
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
Imagen 270
La respuesta del alumno explicita el nombre de María, y con
esto, pero sin dar argumentos o bases que apoyen su
conclusión; o entrega características del cuadrado, ya
mencionadas en el enunciado.
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
CATEGORÍA: NO RESPONDE
Ver en anexos Descripción de las respuesta
No hubo respuestas que clasificaran en esta categoría.
116
Las categorías encontradas en este establecimiento, de acuerdo al tipo de
respuesta dada por los educandos, y los resultados de este proceso, se informan en
el gráfico que se presenta a continuación.
Gráfico Nº6
Los resultados obtenidos por el Colegio F son:
- El 73,1% de los estudiantes utilizó la percepción como medio para resolver el
problema, basándose en la posición de la figura y sus medidas.
- El 11,5% utilizó herramientas o instrumentos para medir y, así, concluir.
- Un 11,5% respondió al problema, utilizando argumentos que no se sustentan
en un razonamiento coherente, de acuerdo a lo planteado en el problema.
- El 3,8% restante, dijo que María tenía la razón, sin dar argumento alguno.
- En este establecimiento no hubo alumnos que utilizaran el Teorema de
Pitágoras para resolver el problema.
11,5%
73,1%
11,5% 3,8%
Resultados obtenidos por Colegio F CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR
117
Las respuestas dadas, evidencian la existencia de un 84,6% de alumnos que
razonan en base a las características visuales y/o medidas de la figura, factores que
los sitúan en el Nivel Visual propuesto por Van Hiele. Estos alumnos se ubican
entonces, en Geometría Natural (GI).
Del 15,4% restante, no se puede determinar nivel de razonamiento ni tipo de
geometría en que se encuentran los alumnos, pues, las respuestas no presentan
argumentos que justifiquen, en sus descripciones se evidencian errores
conceptuales, o bien, involucran otros temas que no se relacionan con el problema
planteado.
118
4.2. RESULTADOS OBTENIDOS POR TIPO DE ESTABLECIMIENTO
EDUCACIONAL
Se ha realizado un análisis de cada uno de los establecimientos estudiados, y se
ha querido contrastar las distintas realidades educativas. Es por ello que se
presentan, a continuación, los resultados obtenidos por tipo de colegio: municipal,
particular subvencionado y particular.
TABLA Nº2: Resultados obtenidos por tipo de establecimiento educacional
TIPO DE ESTABLECIMIENTO
CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR TOTAL
ESTABLECIMIENTOS MUNICICPALES
0 0 0 1 31 11 14 6 7 70
ESTABLECIMIENTOS PARTICULARES
SUBVENCIONADOS 0 27 4 1 34 32 4 1 4 107
ESTABLECIMIENTOS PARTICULARES
0 2 1 6 59 11 3 2 9 93
119
4.2.1. Caso de dos Colegios Municipales
Gráfico Nº7
Los alumnos de octavo básico de los dos establecimientos municipales que
participaron de la investigación, obtuvieron los siguientes resultados:
- Un 1,4% respondió a la pregunta utilizando herramientas o instrumentos de
medición, como regla y transportador, ubicándose, así en la categoría
MaExp.
- El 45,7% de los alumnos respondió utilizando la percepción, esto quiere decir
que responden sólo apoyándose en la información visual que proporciona la
figura.
- El 14,3% de los alumnos se encuentra en la categoría de los que intentan
responder pero sin concluir.
120
- Un 20 % dice que María tiene la razón pero no argumenta la respuesta.
- Un 8,6% de los alumnos responde que Carolina tiene la razón pero sin dar
argumentos que justifiquen su respuesta; un 10% de los alumnos no
responde.
En la realidad educativa de los establecimientos municipales que participaron de
esta investigación, se evidencia que el 47,1% de los alumnos tienen un razonamiento
que los ubica en el Nivel Visual planteado por Van Hiele; esto, porque responden de
acuerdo a las características visuales de la figura y un pequeño porcentaje realiza
mediciones para dar una respuesta al problema.
En la realidad municipal analizada un 38,6% no presenta argumentos que
permitan identificar el tipo de razonamiento en que se encuentran los alumnos, por lo
que no se puede clasificar dentro de un paradigma geométrico.
Por otra parte, hay un 14,3% de alumnos que intenta responder, dando
argumentos que no se relacionan con el problema planteado, hay respuestas que
evidencian errores conceptuales o argumentos que no tienen validez respecto al tipo
de pregunta realizada.
121
4.2.2. Caso de dos Colegios Particulares Subvencionados
Gráfico Nº8
Los alumnos de octavo básico de los dos establecimientos Particulares
subvencionados que forman parte de la muestra, obtuvieron los siguientes
resultados:
- Un 25,2% responde que Carolina tiene la razón, pero dando una respuesta
incompleta
- Solamente un 3,7% de los estudiantes argumenta que María tiene la razón
- Un 0,9% utiliza herramientas o instrumentos, como regla o transportador
para responder.
- Encontramos un 31,8% que responde basándose en la percepción.
122
- Un 29,9% de los estudiantes, intenta responder pero no concluye su
respuesta.
- El 3,7% de los estudiantes responde que María tiene la razón pero no
argumenta dicha afirmación.
- Sólo un 0,9% de los estudiantes concluye que Carolina tiene la razón, sin
argumentar su decisión.
- Finalmente el 3,7% de los estudiantes no da ninguna respuesta.
Al igual que en los establecimientos ya analizados, existe un 8,3% de alumnos que
no da argumentos dentro del desarrollo de sus respuestas, razón por la cual no se
pueden clasificar en algún Nivel de razonamiento o en uno de los tipos de Geometría
propuestas por Houdement y Kuzniak. En cuanto al 29,9% de estudiantes que
argumentó en base a planteamientos que no se relacionan con la pregunta, tampoco
puede determinarse un Nivel de Razonamiento o un tipo de geometría para dichas
respuestas.
En los establecimientos C y D, hay un 32,7% de educandos que utiliza la
percepción y las herramientas o instrumentos de medición para responder,
ubicándose en el Nivel 0: Nivel Visual y por tanto, en Geometría Natural (GI).
A diferencia de los colegios municipales, en la realidad Particular subvencionada,
estudiada, existe un 3,7% de alumnos que se encuentra en el nivel de razonamiento
Deductivo Informal, pero que no ha logrado llegar a razonamientos más bien
deductivos. Esto hace que los alumnos se ubiquen en GI, pero que estén cercanos a
una transición hacia GII, como lo ha hecho el 25,2% que se ubica en la categoría
Carolina con Argumentos Incompletos (CAI).
123
4.2.3. Caso de dos Colegios Particulares
Gráfico N°9
Los alumnos de octavo año básico de los dos colegios particulares, obtuvieron los
siguientes resultados:
- Un 63,4% responde apoyándose en la información visual proveniente de la
figura.
- El 6,5% de los alumnos utiliza una herramienta, ya sea regla o transportador,
para determinar su respuesta.
- Un 2,2 % de los alumnos contesta que Carolina tiene la razón pero sin
argumentar.
- El 3,2 % de los alumnos dice que María tiene la razón, sin dar argumentos que
validen sus respuestas.
124
- Un 11,8% intenta responder con argumentos que no se relacionan con el
problema planteado.
- Sólo un 1,1% determina que María tiene la razón, utilizando el Teorema de
Pitágoras, aproximando el resultado y determinando que la figura es un
cuadrado.
- Sólo un 2,2% de los alumnos determina que la figura es un rombo,
desarrollando el Teorema de Pitágoras, concluyendo que uno de los lados de
la figura no es igual a 4 cm.
- Finalmente, el 9,7% de los alumnos no da ninguna respuesta.
Al igual que en las realidades anteriores hay un 26,9% de estudiantes que no se
puede clasificar en algún tipo de geometría, planteada por Houdement y Kuzniak o
en un Nivel de razonamiento, propuesto por Van Hiele. Esto, por la ausencia o
incoherencia de argumentos.
Existe un 69,9% de alumnos, categorizados en Rperc y MaExp, que se encuentra
en el Nivel Visual, y Geometría I.
Por otra parte, un 1,1% de los alumnos se encuentra en Geometría Natural, pero
su nivel de razonamiento corresponde al Deductivo Informal. Estos alumnos no
logran desarrollar argumentos lógicos, a pesar de haber utilizado el Teorema de
Pitágoras, ya que, al concluir la idea, aproximan los resultados obtenidos, acción
contraria a determinar que las medidas no son congruentes.
Finalmente, en esta realidad se evidencia un porcentaje equivalente al 2,2% de
alumnos que logra transitar a la Geometría Axiomática Natural (GII), esto, al poder
concluir que la figura no es un cuadrado, mediante el desarrollo del Teorema de
Pitágoras; se logra, así, razonar que la figura presentada no puede ser cuadrado,
porque la medida de uno de sus lados, no es igual a 4 cm.
125
4.3. RESULTADOS OBTENIDOS POR EL TOTAL DE LA MUESTRA
Se han realizado análisis para cada uno de los establecimientos que participaron
de la investigación, de acuerdo al tipo de colegio, lo cual sitúa en una perspectiva
privilegiada para establecer conclusiones. Sin embardo se hace necesario estudiar la
realidad de la muestra total, de modo de tener un panorama global de la realidad
estudiada.
Como se ha mencionado anteriormente, en el trabajo investigativo participaron
270 alumnos de octavo año básico de seis colegios de la comuna de Viña del mar; la
tabla que se presenta a continuación muestra la cantidad de alumnos que se
encuentra en cada una de las categorías utilizadas, de acuerdo a las respuestas
analizadas.
TABLA Nº3: Resultados obtenidos por el total de la muestra.
CAC CAI MAC MaExp Rperc IRSC MSA CSA NR TOTAL
MUESTRA TOTAL
0 29 5 8 125 53 21 9 20 270
126
Gráfico N°10
Los resultados obtenidos por el total de la muestra son los siguientes:
- No hubo alumnos que determinaran que la figura es un rombo explicitando de
manera correcta las propiedades de dicho cuadrilátero. Sólo un 10,7% de
alumnos llegó a establecer que la figura no es un cuadrado. Esto lo establecen
luego de desarrollar el Teorema de Pitágoras y concluir que el resultado no es
igual a la medida del lado dado (4cm).
- Un 1,9%, utilizó el Teorema de Pitágoras, pero aproximó el resultado obtenido,
concluyendo que la figura es un cuadrado.
- Un 46,3% utiliza la percepción como apoyo para responder, basándose en las
características visuales de la figura.
127
- Un 3% tiene un razonamiento más experimental, valiéndose de herramientas
para medir y, así, comprobar que todos los lados del cuadrilátero presentado
miden lo mismo.
- Un 19,6% Intenta responder, pero sin dar argumentos coherentes al problema
propuesto.
- El 7,8% de los estudiantes explicita que María tiene la razón sin dar razones
que apoyen dicha respuesta; un 3,3% responde que Carolina tiene la razón
sin justificar.
- Finalmente un 7,4% no respondió a la pregunta.
De acuerdo a los resultados pesquisados, existe un grupo de alumnos,
equivalente al 18,5%, que categorizados en NR, CSA y MSA, no presentan
argumentos y, por tal motivo, no pueden ser clasificados en un Nivel de
Razonamiento o un paradigma geométrico. Tampoco se puede determinar el tipo de
razonamiento de los estudiantes que se encuentran en la categoría IRSC, pues sus
argumentos no dicen relación con el problema planteado, habiendo errores
conceptuales, o demostrando falta de conocimiento sobre cuadriláteros.
El 49,3% de la muestra, sí se puede situar en un Nivel de Razonamiento; son los
alumnos categorizados en Rperc y MaExp, los que se encuentran en el Nivel Visual
y, por consiguiente, en GI.
Otro grupo que se encuentra en GI, pero que se sitúa en el nivel de transición
llamado Deductivo Informal, es el que se ubica en la Categoría MAC,
correspondiente al 1,9% de la muestra. Estos alumnos deben llegar a establecer
argumentos más bien deductivos, por sobre los del tipo inductivo, para progresar a
GII; esto fue logrado sólo por el 10,7% del total de la muestra, quienes fueron
categorizados en CAI.
128
CAPÍTULO Nº5
129
CONCLUSIONES
El trabajo investigativo cobra real relevancia cuando confluyen, en una instancia
determinada, la experiencia, los análisis y las reflexiones, resultantes de un proceso
de trabajo riguroso. Y, es que toda investigación busca generar construcciones
personales, a partir de los conocimientos forjados desde la experiencia de estudio. El
trabajo de investigación no tendría relevancia alguna si es que no cumpliera con
generar nuevas interrogantes y futuras proyecciones, en virtud de optimizar la
realidad ya existente.
Las líneas que componen la investigación revisada, dan cuenta del logro de los
objetivos propuestos, al inicio del estudio. A partir de la presentación de una pregunta
de investigación y la exploración de respuestas, se logra el acercamiento hacia la
descripción del Espacio de Trabajo Geométrico, y, por consiguiente, del
razonamiento lógico-matemático, del grupo de estudiantes participantes.
Se ha mencionado que es el desarrollo a la pregunta planteada, de cada uno de
los alumnos, lo que permite describir de manera acabada, el Espacio de Trabajo
Geométrico de dichos educandos.
La información obtenida, de las respuestas desarrolladas por los estudiantes, ha
abierto las puertas a la realización de un análisis riguroso, que no sólo se supedita a
datos cuantitativos, sino que abre paso a valiosas conclusiones, que interrogan el
contexto y las causas subyacentes de los fenómenos investigados.
Es en base a los datos y cifras, abordadas en el análisis de resultados, que se
construyen conclusiones cimentadas, específicamente, en la evidencia cuantitativa.
El principal objetivo propuesto para la investigación, se relaciona con describir el
Espacio de Trabajo Geométrico de los alumnos que conformaron la muestra. Es así
como el análisis permite caracterizar el razonamiento de los alumnos, a partir de las
130
tendencias generales. Cabe destacar, como primera conclusión, que la mayoría de
los estudiantes posee un ETG basado en la percepción; esto alude al carácter
sensorial de su razonamiento, que, específicamente, en el desarrollo de la pregunta
presentada, se vale de información visual proveniente de la figura, para sostener una
afirmación. Las respuestas o conjeturas a las que se llega, responden a una lógica
perceptiva, más que a un razonamiento deductivo. Junto con presentar estas
características, el razonamiento de la muestra, en términos generales, se sitúa en
Nivel Visual o Nivel 0, propuesto por Van Hiele, como se explicitó en el Marco
Teórico del presente estudio. Así, también, el ETG de los estudiantes puede
clasificarse dentro de la Geometría Natural (GI), propuesta por Houdement y
Kuzniak, base teórica que localiza y describe el razonamiento evidenciado, en una
realidad donde predomina la experiencia y la deducción a partir de lo concreto, a
partir de la manipulación y la percepción.
Se ha hecho mención del principal objetivo del estudio, pudiendo forjar el
panorama general de la muestra, en cuanto al carácter de su Espacio de Trabajo
Geométrico.
El análisis de resultados, ha dado cuenta, también, de diferencias poco
significativas entre los distintos tipos de establecimientos, que participaron en el
estudio; esto, en cuanto al razonamiento alcanzado por los estudiantes. Los
resultados no varían de manera considerable entre una u otra realidad, lo cual habla
de un contexto más bien homogéneo, semejante en cuanto a las formas de razonar;
contrariamente a lo que se piensa en sectores de la sociedad, y distinto a los
indicadores, estadísticas y tendencias actuales, que demuestran la brecha abismante
que separa a colegios particulares de establecimientos municipales. La investigación
presentada, evidencia la similitud de resultados en cuanto al Espacio de Trabajo
Geométrico de los estudiantes, develando una realidad que trasciende los factores
externos que intervienen en el aprendizaje, y desafía toda predisposición y
estereotipo. En base a estos resultados, se origina un camino cargado de
131
interrogantes, que enriquecen las líneas del escrito. Se torna necesario cuestionar
¿Qué está ocurriendo con la enseñanza de la Geometría? ¿Cómo se explica el que
la mayoría de la muestra, encuentre dificultades en el desarrollo de un problema,
cuando se supone, posee las herramientas para enfrentarse a dicha pregunta? El
escenario actual, invita a interrogar sobre cómo se están presentando los contenidos
en el área de Geometría, cuánto se profundiza y qué importancia se le está
otorgando a esta ciencia, dentro de las aulas, y es, quizás, el medio para comenzar a
encontrar las respuestas que den paso a verdaderos cambios en Educación, a nivel
país. La pregunta ¿se busca, realmente, ampliar o fortalecer el razonamiento de
alumnas y alumnos, con cada actividad escolar?, se transforma en reflexión
primordial, tras analizar las líneas que componen la investigación. Dentro de las
prácticas pedagógicas, resurge con fuerza, la idea de reformular o cuestionar los
medios utilizados en la enseñanza y el aprendizaje de niños y niñas, en virtud de
lograr la comprensión de lo estudiado y de enriquecer las formas de razonar,
tendiendo, con esto, al desarrollo íntegro de personas.
Otro aspecto que revela la investigación, y que motiva la presente conclusión, es
el escaso manejo de contenidos o el dominio deficiente de conceptos geométrico-
matemáticos, demostrado por los estudiantes. En términos generales, el 12,6% de la
muestra total, utiliza el Teorema de Pitágoras para llegar a un desarrollo satisfactorio
del problema; este grupo reducido de alumnos, es el que recurre a las bases
conceptuales necesarias, para desarrollar correctamente el problema planteado.
Ciertamente, este trabajo investigativo no busca centrar la atención en cuánto
saben los alumnos, mucho menos en la emisión de juicios de valor respecto al
manejo de dichos conceptos, sin embargo, no puede omitirse el diagnóstico que
revela la realidad estudiada. Es necesario hacer mención de lo importante que es
tener dominio de conocimientos o bases conceptuales, en el escenario del
razonamiento. ¿De qué otro modo, si no es a través del aprendizaje de contenido, se
puede acceder a fortalecer el razonamiento del alumno? Es un requerimiento
sustancial, el que los alumnos posean las bases desde donde comenzar a trazar
132
nuevas redes. Y es aquí donde comienzan a surgir nuevas interrogantes que
estructuran el camino reflexivo. ¿Por qué los alumnos no están preparados para
abordar un problema de este tipo? ¿Será que no se están entregando los
conocimientos, durante el proceso educativo? Se debe tener en cuenta la situación
en la que se enmarca la realidad de los estudiantes; aquellos que no utilizaron el
Teorema de Pitágoras o no aplicaron las propiedades matemáticas en la resolución
de la pregunta, no necesariamente serán incapaces de llegar a una abstracción;
ocurre que no poseen las herramientas necesarias para abordar el problema. No se
tendrá certeza de las causas que expliquen el escaso dominio de conceptos, pero
corresponde dejar constancia de este fenómeno, entendiendo que los educadores
deben velar por la formación de los estudiantes.
La información revelada, en el transcurso del estudio, ha servido de motivación
para establecer conclusiones, a partir de datos cuantitativos y cualitativos. Surgen,
así, planteamientos y reflexiones que se inician en ideas del ámbito pedagógico. El
situarse en escenarios que propendan a mejoras en términos de la enseñanza de la
Geometría en las aulas, es uno de las alcances de esta investigación. Si bien, el
presente trabajo, no busca plantear ideas formales que sirvan de sugerencia para la
optimización de la enseñanza, sí abre las puertas a un proceso reflexivo personal,
que promueve la construcción de respuestas, en virtud de lograr apertura, en lo que
a formación de personas respecta. Las líneas que componen el escrito, abren
camino a futuras investigaciones, que aborden proyecciones u orientaciones para la
enseñanza de la Geometría en las aulas, enfocándola hacia el fomento del
razonamiento; de este modo, considerar cada actividad, problema o pregunta
geométrica, como medio para hacer del razonamiento de los estudiantes, una
capacidad en potencia, una facultad en ascenso permanente.
Este estudio estuvo centrado en el Espacio de Trabajo Geométrico de la muestra,
es decir, en el razonamiento de los estudiantes, alejándose de concepciones que
conciben los resultados o la medición de conocimiento, como fin último de la
133
Educación. La curiosidad por insertarse en este complejo campo de estudio, surge
por la concepción de que el ser, se construye desde la variedad de experiencias y
que el valor de lo aprendido se confirma cuando el razonamiento abre las puertas
hacia el camino de la comprensión, la reflexión, el análisis y la ejecución. Es por esto
que, reducir el aprendizaje al manejo de contenidos, en virtud de obtener resultados
que se encuentren en un rango aceptable y valorado por la sociedad, corresponde a
perder completamente de vista, el horizonte de educar.
La investigación intenta revelar, fielmente, la realidad o contexto en el cual se
enmarca el razonamiento de los alumnos. Se ha mencionado la complejidad, como
característica de la temática abordada; la descripción del Espacio de Trabajo
Geométrico personal del alumno, se vuelve una labor no menor, considerando las
limitantes de la propia capacidad para interpretar la forma de pensamiento de otro
sujeto, a partir del desarrollo de una pregunta evaluativa. No puede quedar sin
explicitar la existencia de posibles falencias dentro de la investigación, producto de la
interpretación personal de las respuestas.
Finalmente, debe explicitarse que este estudio, propuso, dentro de sus objetivos,
el describir el Espacio de Trabajo Geométrico de cada uno de los alumnos que
participaron en la investigación, lo cual se concreta en el proceso de revisión rigurosa
de respuestas y en el análisis de dichos resultados.
134
LISTA DE REFERENCIAS
- Albert, M.J. (2007). La Investigación Educativa: Claves teóricas. Madrid,
McGraw-Hill.
- Godino, J., &Ruiz, F. (2002). Geometría y su didáctica para Maestros.
Granada: La Mediana.
- Henríquez, C. (2009). Semejanzas de Figuras Planas en dos Textos
Escolares: Tipo de Geometría y el Razonamiento del Espacio de Trabajo
Geométrico. Tesis para obtener el Título de Magíster en Enseñanza de las
Ciencias con mención en Didáctica de la Matemática, Instituto de Matemática,
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
- Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999). Géometrie et paradigmes géométiques.
Revista Petit X, Volumen 51. IREM Grenoble. Documento obtenido el día 18
de Mayo del 2012, desde http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/
- Kuzniak, A. (2009, Enero). Didáctica de la geometría: Paradigmas geométricos
y espacio de trabajo geométrico. Ponencia presentada en VI Congreso
Iberoamericano de Educación Matemática, Puerto Montt, Chile.
- Kuzniak, A. (2008, Febrero). Diversidad de las matemáticas enseñadas “aquí”
y “en otro lugar”: el ejemplo de la geometría. Revista matematicalia, vol.4, nº1.
Obtenido el día 23 de Mayo del 2012, desde
http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=4
46&Itemid=270
- Kuzniak, A. (2004). Paradigmes et espaces de travail géométriques. Paris:
Université Denis Diderot, Irem Paris 7.
- Mansilla, C.A. (2009). Los problemas geométricos en la clase de matemática.
VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. Puerto Montt.
135
- MINEDUC. Gobierno de Chile- Ministerio de Educación: Currículum Nacional.
www.mineduc.cl/index5_int.php?id_portal=47&id_contenido=17116&id_seccio
n=3264&c=10. Recuperado el 02 de Junio del 2012.
- Ministerio de Educación (2003). Programas de Estudios Educación Básica y Media General [CD-ROM]. Santiago-Chile.
- Ministerio de Educación, Unidad de Curriculum y Evaluación, SIMCE, (2004).
Chile y el aprendizaje de las Matemáticas y Ciencias según TIMSS. Santiago:
MINEDUC.
- MINEDUC. (2010). Mapas de Progreso del Aprendizaje, Geometría. Santiago:
MINEDUC.
- Ministerio de Educación, (2010). Resultados para Docentes y Directivos
SIMCE. Santiago: MINEDUC.
- Riveros, M., & Zanoccos, P. (1981). ¿Cómo aprenden matemática los niños?
Santiago: Editorial Universitaria.
BIBLIOGRAFÍA
- Salinas, D. (2010). ¿A cuántos y a quiénes preguntar?: Una aproximación al
muestreo cuantitativo y cualitativo en investigación social y educación.
Universitarias de Valparaíso. Valparaíso, Chile.
136
ANEXOS
137
RESPUESTAS DADAS POR LOS ALUMNOS DEL COLEGIO A
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
2
3
CATEGORÍA: : MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
1
49
138
3
6
4
11
5
15
139
6
16
7
17
8
18
140
9
19
10
20
11
21
141
12
22
13
23
142
14
25
15
26
143
16
27
17
29
18
30
144
19
31
20
33
21
34
145
22
35
23
39
24
41
146
25
42
26
48
27
50
147
28
51
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
29
1
148
30
8
31
32
149
32
36
33
37
34
40
150
35
44
36
45
37
46
151
38
53
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
39
4
152
40
13
41
14
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
42
2
153
43
5
44
7
45
12
154
46
24
47
54
CATEGORÍA: NO RESPONDE Imagen
N° Foto
Alumno
N°
48
9
155
49
10
50
28
51
38
52
43
156
53
47
54
52
157
RESPUESTAS DADAS POR LOS ALUMNOS DEL COLEGIO B
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
55
1
56
8
57
9
158
58
13
59
16
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
60
3
159
61
4
62
5
63
6
160
64
7
65
10
66
11
161
67
12
68
14
69
15
162
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Imagen
N°
Foto Alumno
N°
70
2
163
RESPUESTAS DADAS POR LOS ALUMNOS DEL COLEGIO C
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
71
2
72
4
164
73
11
74
21
165
75
25
76
30
77
32
166
78
38
79
40
167
80
43
81
44
82
48
168
83
52
84
53
85
54
169
86
55
87
56
88
58
170
89
62
90
64
171
91
65
92
66
93
68
172
94
77
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
95
33
96
41
173
97
63
98
78
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
99
18
174
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
100
3
101
7
175
102
8
103
9
104
12
176
105
13
106
14
107
15
177
108
19
109
20
110
22
178
111
24
112
27
113
28
179
114
31
115
37
116
60
180
117
61
118
69
119
71
181
120
72
121
73
122
74
182
123
75
124
76
125
79
183
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC) Imagen
N° Foto
Alumno
N°
126
1
127
6
128
10
184
129
16
130
17
131
29
185
132
34
133
35
134
36
186
135
42
136
45
187
137
46
138
47
139
49
188
140
59
141
70
CATEGORÍA :MARÍA SIN ARGUMENTO (MSA)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
142
26
189
143
50
144
51
145
57
190
CATEGORÍA : CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
146
39
CATEGORÍA : NO RESPONDE
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
147
5
191
148
23
149
67
192
ESPUESTAS DADAS POR LOS ALUMNOS DEL COLEGIO D
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
150
3
151
18
193
152
25
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
153
4
194
154
6
155
7
156
12
195
157
13
158
14
196
159
15
160
24
197
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
161
162
2
198
163
5
164
8
165
9
199
166
10
167
11
200
168
16
169
17
201
170
19
171
20
172
21
202
173
22
174
23
203
175
26
176
27
204
CATEGORÍA: NO RESPONDE (NR)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
177
28
205
RESPUESTAS DADAS POR LOS ALUMNOS DEL COLEGIO E
CATEGORÍA: CAROLINA CON ARGUMENTO INCOMPLETO (CAI)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
178
41
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO COMPLETO (MAC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
179
44
206
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
180
3
181
7
207
182
25
183
47
208
CATEGORIA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
184
2
185
8
209
186
9
187
11
188
12
210
189
13
190
14
191
15
211
192
16
193
17
194
19
212
195
23
196
26
213
197
27
198
28
199
29
214
200
30
201
31
202
32
215
203
33
204
34
216
205
35
206
37
207
39
217
208
40
209
42
210
46
218
211
48
212
50
213
54
219
214
55
215
57
220
216
58
217
59
218
61
221
219
62
220
63
221
64
222
222
66
223
67
223
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
224
1
225
4
224
226
10
227
18
225
228
24
229
43
226
230
45
231
65
227
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTOS (MSA)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
232
21
233
51
228
CATEGORÍA: CAROLINA SIN ARGUMENTO (CSA)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
234
5
235
6
229
CATEGORÍA: NO RESPONDE (NR)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
236
20
237
22
238
36
230
239
38
240
49
241
52
231
242
53
243
56
244
60
232
RESPUESTAS DADAS POR LOS ALUMNOS DEL COLEGIO F
CATEGORÍA: MARÍA CON ARGUMENTO EXPERIMENTAL (MAEXP)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
245
1
246
4
233
247
5
CATEGORÍA: RESPUESTA BASADA EN LA PERCEPCIÓN (RPERC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
248
2
234
249
3
250
7
235
251
8
252
9
236
253
10
254
12
237
255
13
256
14
238
257
16
258
17
239
259
18
260
19
240
261
21
262
22
263
23
241
264
24
265
25
242
266
26
CATEGORÍA: INTENTA RESPONDER SIN CONCLUIR (IRSC)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
267
6
243
268
11
269
15
244
CATEGORÍA: MARÍA SIN ARGUMENTOS (MSA)
Imagen
N° Foto
Alumno
N°
270
20