caracterización y control activo de una suspensión neumática
TRANSCRIPT
Antonio Javier Nieto Quijorna
CARACTERIZACIÓN Y CONTROL ACTIVO DE UNA SUSPENSIÓN
NEUMÁTICA
I.S.B.N. Ediciones de la UCLM 978-84-8427-789-7
Cuenca, 2010
UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
DEPARTAMENTO DE MECANICA APLICADA E INGENIERIA DEPROYECTOS
Caracterizacion y Control Activo de unaSuspension Neumatica
Tesis Doctoral
DIRECTORES
Publio Pintado Sanjuan
Jose Manuel Chicharro Higuera
AUTOR
Antonio Javier Nieto Quijorna
Agradecimientos
El autor de la tesis doctoral que se presenta desea mostrar su agradeci-
miento al grupo de personas que se han visto involucradas en la misma. En
primer lugar, a los directores Publio Pintado Sanjuan y Jose Manuel Chi-
charro Higuera, por el interes y apoyo mostrado en todo momento tanto en
las tareas de investigacion como en las docentes en todo este periodo. Por
otra parte, el autor tambien agradece la colaboracion prestada por el resto
de miembros del grupo del Area de Ingenierıa Mecanica, Antonio Gonzalez
Rodrıguez, Angel Luis Morales Robredo y Ricardo Moreno Sanchez.
A todos, el mas sincero agradecimiento por la facilidad con que han
creado el ambiente de motivacion idoneo para trabajar en esta tesis.
i
Indice general
1. Introduccion 1
1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Descripcion de la suspension 33
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Caracterizacion experimental del muelle de aire . . . 41
2.2.2. Resultados del modelo no lineal . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4. Validacion experimental: Prototipo I . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1. Evaluacion de las transformaciones del gas dentro de
la suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.2. Validacion experimental de los parametros de la sus-
pension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5. Estrategia de funcionamiento de la suspension . . . . . . . . 78
2.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
iii
iv INDICE GENERAL
3. Optimizacion y control activo 85
3.1. Descripcion del Prototipo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2. Analisis del Prototipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1. Caracterizacion experimental . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.2. Simulacion del modelo para el Prototipo II . . . . . 92
3.2.3. Validacion experimental . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3. Comparacion con el Prototipo I . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4. Control de barrido en seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1. Implementacion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.2. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5. Influencia de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6. Tratamiento de senales a atenuar . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4. Rigidizacion de la suspension 131
4.1. Descripcion del Prototipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.1. Caracterizacion de los actuadores de rigidez variable 136
4.2. Parametros del Prototipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.1. Comparacion con el Prototipo II . . . . . . . . . . . 150
4.3. Control de barrido en seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.1. Procedimiento de operacion para el cambio de confi-
guraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.2. Estudio experimental del transitorio entre configura-
ciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Conclusiones 163
5.1. Resultados de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
INDICE GENERAL v
5.2. Aportaciones de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4. Futuras lıneas de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Bibliografıa 171
Indice de figuras
1.1. Principales factores que influyen en la Incomodidad Cinetica
Vibratoria (ICV). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Sistema de referencia para la medicion de vibraciones del
cuerpo entero en tres posturas. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Lımite de capacidad reducida por la fatiga para la acelera-
cion eficaz en direccion longitudinal (eje Z) en funcion de la
frecuencia y del tiempo diario de exposicion. . . . . . . . . . 6
1.4. Lımite de capacidad reducida por la fatiga para la aceleracion
eficaz en direcciones transversales (ejes X e Y) en funcion de
la frecuencia y del tiempo diario de exposicion. . . . . . . . 7
1.5. Ejemplo de muelle a flexion: ballestas. . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Ejemplo de muelle a torsion: barra de torsion en un vehıculo. 11
1.7. Ejemplo de muelle a torsion: muelle helicoidal en la suspen-
sion trasera de una motocicleta. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Muelle de aire en la cabina de un vehıculo pesado para trans-
porte de mercancıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. Amortiguador hidraulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10. Suspension trasera de un vehıculo: eje rıgido. . . . . . . . . 16
vii
viii INDICE DE FIGURAS
1.11. Suspension delantera de un vehıculo: suspension indepen-
diente tipo McPherson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.12. Suspension delantera de un vehıculo: suspension indepen-
diente tipo doble horquilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.13. Suspension neumatica: (a) en los ejes de remolques para
transporte de mercancıas (b) en los ejes de un vehıculo todo
terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.14. Suspension hidroneumatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.15. Ejemplo de suspension construida combinando elementos con-
vencionales con actuadores neumaticos. . . . . . . . . . . . 22
1.16. Ejemplo de suspension construida combinando elementos con-
vencionales con actuadores neumaticos. . . . . . . . . . . . 23
1.17. Ejemplo de utilizacion de un muelle de aire para adaptacion
a maquinaria de tipo manual. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.18. Ejemplo de utilizacion de una suspension neumatica con ele-
mento disipador construido con platos paralelos. . . . . . . 25
1.19. Ejemplo de utilizacion de una suspension neumatica con un
orificio como elemento disipador. . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.20. Ejemplo de utilizacion de una suspension neumatica con un
orificio como elemento disipador. . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.21. Incorporacion de una suspension neumatica como elemento
de atenuacion de vibraciones en camillas de ambulancias. . 28
1.22. Suspension neumatica de doble camara con orifico y diafrag-
ma para utilizacion en mesas antivibratorias. . . . . . . . . 29
1.23. Suspension hıbrida: combinacion de elementos de las suspen-
siones convencionales con elementos magneticos. . . . . . . 30
INDICE DE FIGURAS ix
1.24. Suspension hıbrida: muelles de aire como elemento pasivo y
un actuador electromagnetico como elemento activo. . . . . 31
2.1. Esquema del sistema de suspension neumatica . . . . . . . . 34
2.2. Muelle de aire utilizado en la caracterizacion y en los ensayos
experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Actuador hidraulico para la caracterizacion y ensayos expe-
rimentales del muelle de aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Caracterizacion del area efectiva del muelle de aire en funcion
de la altura z y de la presion Pm. . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5. Caracterizacion del volumen del muelle de aire en funcion de
la altura z y de la presion Pm. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6. Diagrama general de la herramienta Simulink para el modelo
no lineal de la suspension neumatica. . . . . . . . . . . . . . 47
2.7. Resultados de la simulacion del modelo no lineal para la ri-
gidez de la suspension neumatica. . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8. Resultados de la simulacion del modelo no lineal para el Dia-
grama de Carding de la suspension neumatica. . . . . . . . 50
2.9. Resultados de la simulacion del modelo no lineal para la res-
puesta a escalon de la suspension neumatica. . . . . . . . . 51
2.10. Resultados de la simulacion del modelo no lineal para la
transmisibilidad de la suspension neumatica. . . . . . . . . 52
2.11. Porcentaje de desviacion del modelo lineal respecto al no
lineal en funcion de la carrera del muelle de aire. . . . . . . 58
2.12. Elementos adicionales de la suspension: a) deposito auxiliar
de 2 l. de capacidad, b) conductos de diferente longitud y
seccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
x INDICE DE FIGURAS
2.13. Montaje experimental para la obtencion de la rigidez de la
suspension neumatica del Prototipo I. . . . . . . . . . . . . 61
2.14. Fuerza ejercida por la suspension en funcion de la altura del
muelle de aire para distintas presiones iniciales. . . . . . . . 62
2.15. Rigidez experimental de la suspension en funcion de la altura
del muelle de aire para distintas presiones iniciales. . . . . . 63
2.16. Sonda de presion utilizada en la medida de la presion interna
del muelle de aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.17. Presion interna en el muelle de aire en funcion de la altura
del muelle de aire para distintas presiones iniciales. . . . . . 64
2.18. Rigidez debida a variaciones del area efectiva del muelle de
aire respecto de la altura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.19. Rigidez debida a variaciones del volumen del muelle de aire
respecto de la altura para el caso isotermo. . . . . . . . . . 65
2.20. Rigidez debida a variaciones del volumen del muelle de aire
respecto de la altura para el caso adiabatico. . . . . . . . . 66
2.21. Rigidez de la suspension obtenida de manera analıtica (con
transformacion adiabatica o isoterma) y experimental para
el caso en que el sistema soporta una dinamica rapida. . . . 67
2.22. Comparacion de la rigidez del Prototipo I: modelo no lineal
(lıneas delgadas); modelo lineal (lıneas gruesas) y ensayos
experimentales (cırculos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.23. Diagrama de Carding experimental para la suspension neumati-
ca del Prototipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.24. Montaje experimental para la obtencion de la transmisibili-
dad de la suspension neumatica del Prototipo I. . . . . . . . 73
INDICE DE FIGURAS xi
2.25. Respuesta a escalon experimental para la suspension neumati-
ca del Prototipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.26. Comparacion entre el modelo lineal y los ensayos experimen-
tales para la respuesta a escalon de la suspension neumatica
del Prototipo I: a) para Cr ≈ 10−8; b) para Cr ≈ 10−8. . . . 75
2.27. Comparacion de la transmisibilidad de la suspension neumati-
ca del Prototipo I obtenida mediante el modelo no lineal
(lıneas delgadas), mediante el modelo lineal (lıneas gruesas)
y mediante los ensayos experimentales (cırculos). . . . . . . 77
2.28. Frecuencia de transicion en el diagrama de transmisibilidad
para la suspension neumatica del Prototipo I. . . . . . . . . 80
3.1. Esquema experimental propuesto para el prototipo II. . . . 87
3.2. Muelle de aire utilizado para el Prototipo II. . . . . . . . . 88
3.3. Deposito utilizado para el Prototipo II. . . . . . . . . . . . . 88
3.4. Caracterizacion del area efectiva del muelle de aire en funcion
de la altura z y de la presion Pm. . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5. Caracterizacion del volumen del muelle de aire en funcion de
la altura z y de la presion Pm. . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6. Simulacion de la rigidez dinamica del Prototipo II de sus-
pension neumatica para los valores extremos del coeficiente
Cr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7. Simulacion de la respuesta a escalon normalizada del Pro-
totipo II de suspension neumatica para el coeficiente Cr ≈10−8m5/N/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
xii INDICE DE FIGURAS
3.8. Simulacion de la respuesta a escalon normalizado del Pro-
totipo II de suspension neumatica para el coeficiente Cr ≈10−5m5/N/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9. Simulacion de la respuesta dinamica del Prototipo II de sus-
pension neumatica para los valores extremos del coeficiente
Cr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.10. Comparacion entre los resultados del modelo (en lıneas con-
tinuas) y los ensayos experimentales (en cırculos) de la rigi-
dez dinamica del Prototipo II para los valores extremos del
coeficiente Cr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.11. Disposicion experimental del Prototipo II para la realizacion
de los ensayos con la masa suspendida. . . . . . . . . . . . . 99
3.12. Comparacion entre los resultados del modelo y los ensayos
experimentales de la respuesta a escalon para el coeficiente
Cr ≈ 10−8m5/N/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.13. Comparacion entre los resultados del modelos y los ensayos
experimentales de la respuesta a escalon para el coeficiente
Cr ≈ 10−5m5/N/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.14. Comparacion entre los resultados del modelo (en lıneas con-
tinuas) y los ensayos experimentales (en cırculos) de la res-
puesta dinamica del Prototipo II para los valores extremos
del coeficiente Cr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.15. Comparacion entre los resultados de la simulacion de la rigi-
dez de los prototipos I (lıneas delgadas) y II (lıneas gruesas). 103
3.16. Comparacion entre los resultados de la simulacion de la trans-
misibilidad de los prototipos I (lıneas delgadas) y II (lıneas
gruesas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
INDICE DE FIGURAS xiii
3.17. Simulacion de un barrido en seno sobre la suspension del
Prototipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.18. Simulacion de un barrido en seno sobre la suspension del
Prototipo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.19. Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de
configuracion de la suspension para el Prototipo I. . . . . . 110
3.20. Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de
configuracion de la suspension para el Prototipo II. . . . . . 110
3.21. Simulacion del transitorio desde la configuracion 1 hasta la
configuracion 2 en el Prototipo I. . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.22. Simulacion del transitorio desde la configuracion 1 hasta la
configuracion 2 en el Prototipo II. . . . . . . . . . . . . . . 113
3.23. Simulacion del transitorio desde la configuracion 2 hasta la
configuracion 1 en el Prototipo I. . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.24. Simulacion del transitorio desde la configuracion 2 hasta la
configuracion 1 en el Prototipo II. . . . . . . . . . . . . . . 114
3.25. Resultados experimentales de un barrido en seno sobre la
suspension del Prototipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.26. Resultados experimentales de un barrido en seno sobre la
suspension del Prototipo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.27. Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo I. . . . . . . . . . 117
3.28. Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo II. . . . . . . . . . 117
3.29. Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo I. . . . . . . . . . 118
xiv INDICE DE FIGURAS
3.30. Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo II. . . . . . . . . . 118
3.31. Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
2 hasta la configuracion 1 en el Prototipo I. . . . . . . . . . 119
3.32. Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
2 hasta la configuracion 1 para el Prototipo II. . . . . . . . 119
3.33. Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de
configuracion de la suspension para el Prototipo I. . . . . . 123
3.34. Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de
configuracion de la suspension para el Prototipo II. . . . . . 124
3.35. Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de
configuracion de la suspension para el Prototipo II. . . . . . 126
4.1. Esquema de dispositivos utilizados para la construccion del
Prototipo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2. Esquema del cilindro lineal neumatico usado como muelle de
rigidez variable en el Prototipo III. . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3. Disposicion experimental del actuador lineal neumatico para
ser caracterizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4. Caracterizacion experimental del actuador lineal neumatico 138
4.5. Caracterizacion del actuador lineal neumatico a distintas fre-
cuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6. Banco experimental sobre el Prototipo III para determinar el
tiempo de llenado de los actuadores neumaticos a la presion
seleccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7. Tiempo necesario para llenar los actuadores neumaticos a
una presion de 1.5 bar desde la presion atmosferica. . . . . 143
INDICE DE FIGURAS xv
4.8. Disposicion experimental para la determinacion de la rigidez
del Prototipo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.9. Resultados de los ensayos de rigidez sobre el Prototipo III. . 146
4.10. Resultados experimentales de la respuesta dinamica del Pro-
totipo III para sus dos posibles configuraciones. . . . . . . . 148
4.11. Respuesta a escalon experimental del Prototipo III. . . . . . 149
4.12. Comparacion entre los valores de rigidez dinamica de los pro-
totipos II y III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.13. Comparacıon entre los valores de transmisibilidad de los pro-
totipos II y III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.14. Barridos en seno experimentales sobre las dos configuracio-
nes del Prototipo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.15. Secuencia de acciones a seguir para la activacion y conmu-
tacion de las configuraciones del Prototipo III. . . . . . . . 155
4.16. Control de barrido en seno experimental sobre el Prototipo
III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.17. Evaluacion experimental del transitorio ocurrido por el paso
de la configuracion 1 a la configuracion 2 del Prototipo III. 159
4.18. Evaluacion experimental del transitorio ocurrido por el paso
de la configuracion 2 a la configuracion 1 del Prototipo III. 160
Indice de tablas
2.1. Geometrıa de los conductos utilizados en los ensayos experi-
mentales del Prototipo I de suspension neumatica. . . . . . 68
2.2. Comparacion entre la rigidez y el amortiguamiento del mo-
delo lineal y los resultados experimentales para el mayor y
el menor valor del coeficiente Cr. . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1. Valores de frecuencia de resonancia y factor de amortigua-
miento obtenidos en la simulacion de la respuesta a escalon
del Prototipo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2. Comparacion entre la rigidez y el amortiguamiento del mo-
delo lineal y los resultados experimentales para el mayor y
el menor valor del coeficiente Cr. . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Comparativa de tiempos empleados en los transitorios en el
proceso de cambio de configuraciones de la suspension de los
prototipos I y II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1. Valores de rigidez experimental del actuador lineal neumati-
co en funcion de la presion inicial. . . . . . . . . . . . . . . 139
xvii
xviii INDICE DE TABLAS
4.2. Valores de frecuencia de resonancia y amortiguamiento para
las dos configuraciones de los prototipos II y III. . . . . . . 153
4.3. Comparativa de tiempos empleados en los transitorios en el
proceso de cambio de configuraciones de la suspension de los
prototipos II y III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Nomenclatura
Am Area efectiva del muelle de aire [m2]
Cr Coeficiente de restriccion del conducto [N5/m/s]
Dc Diametro de la seccion del conducto [m]
F Fuerza ejercida por el muelle de aire [N]
g Aceleracion de la gravedad [m/s2]
k Rigidez total de la suspension neumatica [N/m]
kam Rigidez del muelle de aire debida a variaciones del
area efectiva [N/m]
km Rigidez del muelle de aire [N/m]
kvm Rigidez del muelle de aire debida a variaciones en
el volumen [N/m]
kvmd Rigidez de la suspension neumatica debida a
variaciones en el volumen [N/m]
lc Longitud del conducto [m]
M Masa suspendida [kg]
n Coeficiente politropico
Pd Presion relativa en el deposito [bar]
Pm Presion relativa en el muelle de aire [bar]
R Constante de los gases [J/kg/K]
xix
RA,PI Rigidez del Prototipo I a altas frecuencias [N/m]
RA,PII Rigidez del Prototipo II a altas frecuencias [N/m]
RB,PI Rigidez del Prototipo I a bajas frecuencias [N/m]
RB,PII Rigidez del Prototipo II a bajas frecuencias [N/m]
RK,PI Razon de rigidez del Prototipo I
RK,PII Razon de rigidez del Prototipo II
T Temperatura de la suspension neumatica [K]
Vd Volumen del deposito [m3]
Vm Volumen del muelle de aire [m3]
Vmd Volumen del muelle de aire y del deposito [m3]
x Respuesta absoluta de la masa suspendida [m]
y Excitacion [m]
z Altura del muelle de aire [m]
z0 Altura inicial del muelle de aire [m]
γ Ratio de calores especıficos
ε Parametro adimensional
θ Parametro adimensional
µ Viscosidad dinamica del aire [Pa·s]ρ Densidad del aire [kg/m3]
ωtr Frecuencia de transicion [rad/s]
m Gasto masico de aire [kg/s]
xx
Resumen
En esta tesis se aborda el problema del aislamiento de vibraciones focali-
zado en las suspensiones neumaticas como elemento atenuador. Se presenta
un esquema de suspension neumatica tomando como elementos principales
un muelle de aire, un deposito y un conducto uniendo ambos elementos.
Se construye un modelo fluido-dinamico sobre este esquema de suspension
neumatica. El modelo es simulado con herramientas de analisis no lineal
para obtener caracterısticas de la suspension tales como la rigidez, amorti-
guamiento y respuesta dinamica. Los resultados analıticos son validados con
los ensayos realizados sobre un primer prototipo de suspension. Ademas,
el modelo se linealiza obteniendose un rango de validez aceptable del mis-
mo. Los resultados del modelo sugieren la adopcion de un procedimiento o
estrategia de operacion de la suspension para hacer frente a senales de un
unico armonico o barridos en seno. El analisis del modelo devuelve una serie
de recomendaciones acerca del diseno optimo de la suspension, es decir, del
dimensionamiento de los elementos de la suspension. Estas sugerencias se
incorporan a un segundo prototipo obteniendose unos resultados que mejo-
ran los del prototipo predecesor. Este segundo prototipo es utilizado para
implementar la estrategia de funcionamiento disenada. Por ultimo, y mo-
xxi
tivado por la imposibilidad de incorporar mejoras a la suspension con los
elementos de que dispone, se incorporan elementos auxiliares que intentan
dotar de rigidez a uno de los dos posibles estados en que puede comportarse
la suspension. El objetivo es dotar a estos elementos auxiliares de compor-
tamiento activo convirtiendolos en elementos con aportacion de un cierto
valor de rigidez (en un determinado estado), o en elementos sin aporte de
rigidez (en el otro caso). Los resultados en este tercer prototipo mejora
nuevamente los del prototipo anterior. Finalmente se sientan las bases de
actuacion de la suspension ante la necesidad de filtrar senales de diversa
morfologıa.
xxii
Abstract
Vibration isolation problem focused on pneumatic suspensions are tac-
kled in this thesis. A new pneumatic suspension configuration is presented.
The principal elements are: an air spring, a reservoir and a pipe connecting
them. A fluid-dynamic model is built over this suspension scheme. This
model is simulated thanks to several nonlinear tools and some characteris-
tics like dynamic stiffness, damping and transmissibility are obtained. The
theoretical results are validated with some experimental results on a first
suspension prototype. Furthermore, the model is linearized for a reasona-
ble operation range. The model conclusions recommend several guidelines
about of dimension of suspension elements, that is, about the optimal de-
sign of suspension. These conclusions suggest also an operation strategy
in order to face both single-frequency signal or sinusoidal sweeps vibration
signals. A second prototype is generated in order to add all those model
suggestions. The results of this second prototype improves the ones ob-
tained for its predecessor. Moreover, the operation strategy presented is
developed on this second prototype. A third prototype is then built since
the original suspension elements are not able to add new improvements
on the suspension dynamic response. Therefore, new external elements are
xxiii
incorporated into the pneumatic suspension. The main objective is the ad-
dition of stiffness on one of the suspension configurations. In other words,
these auxiliary elements must give additional stiffness in some cases and no
stiffness in some others. This third prototype results are even better that
the second one. Finally, taking as a basis the previous operation strategy,
a procedure to follow is presented to attenuate several kind of signals.
xxiv
Objetivos de la tesis
La tesis que se presenta se enmarca en el proyecto regional titulado
“Analisis y diseno de elementos neumaticos activos para el control de vi-
braciones” financiado por la Consejerıa de Educacion y Ciencia de la Junta
de Comunidades de Castilla-La Mancha. El diseno y fabricacion de los pro-
totipos que se presentan han sido desarrollados en la E.T.S. de Ingenieros
Industriales de la Universidad de Castilla-La Mancha. En la tesis se pre-
senta un esquema de suspension neumatica que pretende incorporar alguna
mejora respecto a las configuraciones de suspension neumatica encontra-
dos en la literatura cientıfica. Los objetivos principales de la tesis son los
siguientes:
Formular una modelizacion de una suspension neumatica constituida
por un muelle de aire, un acumulador y un conducto que une a esos
dos elementos.
Abordar el problema de la linealizacion de un modelo que en un prin-
cipio es no lineal y valorar el rango de validez de dicho modelo lineal.
Intentar optimizar la suspension en base al analisis de modelo. Se
pretende obtener criterios para seleccionar cada uno de los elementos
xxv
de la suspension con el fin de obtener mejoras en el comportamiento
dinamico de la suspension.
Estudiar la viabilidad de incorporar elementos auxiliares a la suspen-
sion original con el fin de mejorar caracterısticas que estan fuera del
alcanza del diseno optimo de la suspension.
Implementar una estrategia de control para afrontar vibraciones con
componentes monoarmonicas pero tambien senales de barrido en seno.
xxvi
Estructura de la memoria
La tesis se ha desarrollado en cinco capıtulos:
En el Capıtulo 1 se presenta una introduccion a los sistemas de sus-
pension. En primer lugar se hace un breve recorrido por las suspensio-
nes existentes a nivel comercial. A continuacion se presentan esquemas
de suspensiones neumaticas que aparecen en la literatura cientıfica,
ası como aquellas que combinan elementos neumaticos con elementos
de suspensiones convencionales.
En el Capıtulo 2 se presenta una modelizacion de la suspension neumati-
ca presentada. Este modelo se apoya en una caracterizacion experi-
mental del muelle de aire. El modelo se valida experimentalmente
mediante la construccion del llamado Prototipo I. Se procede tam-
bien a la linealizacion del modelo. Por ultimo, se presentan una serie
de recomendaciones acerca de los criterios optimos de seleccion de los
elementos de la suspension, ası como una estrategia de funcionamiento
para la suspension en base a la frecuencia de excitacion.
En el Capıtulo 3 se toman como base las recomendaciones del mode-
lo analıtico respecto a los criterios de eleccion de los elementos de la
xxvii
suspension. Con dicha sugerencias se construye el segundo prototipo
(Prototipo II). El modelo es de nuevo utilizado para simular el segun-
do prototipo. Se realizan ensayos experimentales para validar dichas
simulaciones. El prototipo es utilizado para implementar la estrategia
de funcionamiento sobre la suspension.
En el Capıtulo 4 se presenta una modificacion del Prototipo II ba-
sada en la incorporacion de elementos auxiliares a la suspension, por
lo que se implementa el llamado Prototipo III. Se trata de un par
de actuadores neumaticos lineales que tienen como mision rigidizar
uno de los posibles estados de la suspension. Se pretende dotar de
comportamiento activo a estos elementos auxiliares.
En el Capıtulo 5 se presentan las conclusiones a las que se han lle-
gado a lo largo del analisis teorico y experimental de la suspension
neumatica en sus diversos prototipos.
xxviii
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Motivacion
La gran cantidad de actividades cotidianas asociadas a ambientes rodea-
dos de vibraciones hacen necesario el diseno e incorporacion de elementos
de atenuacion de esas vibraciones a un gran numero de aplicaciones. Exis-
ten una gran variedad de ambitos donde se hacen necesarios estos sistemas
de filtrado de vibraciones. Quiza la aplicacion mas usual y ampliamente
utilizada sea en vehıculos, pero tambien son normales en gran cantidad
de actividades como pueden ser las mesas de trabajo antivibratorias pa-
ra manufactura de precision, optica, asientos de vehıculos, suspensiones en
ambulancias para camillas y maquinaria manual. En esta tesis, se dara un
mayor espacio a las suspensiones destinadas al uso en vehıculos.
Las suspensiones se pueden clasificar en pasivas, semi-activas y activas
[Klinger, 1976]. La primera de ellas se encuentra en la mayorıa de vehıculos
de hoy en dıa. Se caracterizan por la ausencia de cualquier fuente de energıa
1
2 CAPITULO 1. INTRODUCCION
que abastezca a la suspension. Por esta razon, son relativamente economicas
y fiables. Por el contrario, las suspensiones activas necesitan fuentes de
energıa tales como compresores o bombas con el objeto de alcanzar un
nivel mayor nivel de aislamiento de vibraciones. Sin embargo, la mejora en
las prestaciones de las suspensiones activas esta asociado con el incremento
de la complejidad de los elementos de la suspension, ası como con unos
costes superiores y una fiabilidad menor.
Las suspensiones semi-activas, rellenan el hueco entre las pasivas y las
activas. Representan un compromiso entre las prestaciones de las activas y
la simplicidad de las pasivas. Desde su introduccion, las suspensiones semi-
activas han sido introducidas en un gran numero de problemas de aisla-
miento de vibraciones, desde tractores y maquinaria agrıcola [Roley, 1975],
hasta vehıculo de transporte terrestre de gran velocidad ([Karnopp, 1974],
[Margolis, 1975] y [Siebenhaar, 1975]).
Uno de los mayores objetivos de cualquier tipo de suspension en vehıcu-
los es dotar de confort el uso del mismo por ocupantes. El comportamien-
to dinamico vertical del vehıculo esta muy relacionado con el confort de
los pasajeros y con la estabilidad. Desplazamientos en esta direccion pue-
den originar descargas considerables de las ruedas, afectando al valor de
la fuerza adherente entre estas y la calzada. Las vibraciones en el vehıculo
son excitadas, fundamentalmente, por tres tipos de acciones: irregularida-
des de la calzada, accion de las masas giratorias (motor y transmision) y
aerodinamicas. El confort de los pasajeros es una sensacion subjetiva de-
pendiente del grado de sensibilidad de las personas, que se ve influenciado
por los parametros de la vibracion antes citados. La disminucion del con-
fort debido a las vibraciones mecanicas se denomina Incomodidad Cinetica
Vibratoria (ICV). En la figura 1.1 se representan los principales elemen-
1.1. MOTIVACION 3
tos que influyen en la ICV. Los lımites de ICV son difıciles de establecer
por depender del nivel de sensibilidad de cada persona. Han sido realiza-
das numerosas investigaciones de naturaleza experimental para analizar la
respuesta humana a las vibraciones.
- Irregularidades calzada (aleatorias)
- Motor y otras masas rotativas (periódicas)
- Aerodinámica
EXCITACIONES
- Neumáticos
- Suspensión
- Asientos
AISLAMIENTO DE VIBRACIONES
- Límite de confort
- Límite de capacidad reducida
- Límite de exposición
RESPUESTA DEL HOMBRE
- Vibraciones
- Posible pérdida de fuerza adherente
RESPUESTA DEL VEHÍCULO
Figura 1.1: Principales factores que influyen en la Incomodidad Cinetica
Vibratoria (ICV) [Aparicio, 2001].
Todas ellas pretenden encontrar correlaciones entre la respuesta de los
sujetos expuestos a vibraciones en terminos cualitativos con diferentes parame-
4 CAPITULO 1. INTRODUCCION
tros de la vibracion: frecuencia, aceleracion, etc. En 1974 la International
Standard Organization (ISO) publico su norma 2631 [ISO 2631:1987], que
constituye una guıa general para definir la tolerancia humana a las vibracio-
nes, de utilizacion tanto en vehıculos de transporte como en la industria. Se
definen en ella tres lımites para a el conjunto del cuerpo humano, abarcando
un intervalo de frecuencias de 1 a 80 Hz. Estos lımites son:
Lımite de exposicion. Referido a valores por encima de los cuales
existe riesgo para la salud. No debe ser sobrepasado excepto en casos
excepcionales.
Lımite de capacidad reducida por fatiga. Expresa la frontera a par-
tir de la cual se produce un decrecimiento de capacidades para la
realizacion eficaz de un trabajo.
Lımite de confort reducido. En vehıculos de transporte esta relacio-
nado con la posibilidad de realizar funciones tales como lectura, es-
critura, comer, etc.
En la figura 1.2 se definen un sistema de referencia para la medi-
cion de vibraciones del cuerpo entero en tres posturas ([Miyara, 2005] y
[Gillespie, 1992]). El eje X (posterior-anterior) y el Y (derecha-izquierda)
son los ejes transversales, y el eje Z (pies-cabeza) es el eje longitudinal. El
origen del sistema es el corazon.
En las figuras 1.3 y 1.4 se representan las curvas de tiempos lımites
de fatiga, correspondientes, respectivamente, a vibraciones verticales (Z) y
horizontales (X,Y), referidas a un sistema de referencia asociado al cuer-
po humano, en el que el eje OZ tiene la direccion pies/cabeza, el eje OX
espalda/pecho y el eje OY derecha/izquierda.
1.1. MOTIVACION 5
Xb
Yb
Zb
Zb
Yb
Xb
Xb
Zb
Yb
Figura 1.2: Sistema de referencia para la medicion de vibraciones del cuerpo
entero en tres posturas [Miyara, 2005].
Los tiempos lımites de fatiga representados en las figuras anteriores se
refieren al lımite de capacidad reducida por fatiga. El tiempo lımite de
exposicion se obtiene multiplicando por dos el tiempo de capacidad redu-
cida y el de confort reducido dividiendo por tres dicho valor. La tolerancia
humana a las vibraciones depende de la direccion de estas en relacion al
cuerpo humano. En direccion vertical la mayor sensibilidad se presenta pa-
ra frecuencias comprendidas entre 4 y 8 Hz, mientras que en direcciones
transversales dicho intervalo se reduce a frecuencias comprendidas entre 1
y 2 Hz.
6 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Bd
01
0,3 0,4 0,5 0,63 0,8 1 1,25 1,6 2 2,5 3,15 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 31,5 40 50 63 80 Hz
1 g pico
0,016
0,025
0,040
0,063
0,10
0,16
0,25
0,40
0,63
1,00
1,60
(g)
0,125
0,200
0,400
0,630
1,000
1,600
2,50
4,00
6,30
10,00
(m/s2)
0,100
0,160
0,315
0,500
0,800
1,250
2,000
3,15
5,00
8,00
12,50
0,250
zacife n
óicarelecA
Az , f
e
24 h
16 h
8 h
4 h
2,5 h
1 h
25 min
16 min
1 min
Figura 1.3: Lımite de capacidad reducida por la fatiga para la aceleracion
eficaz en direccion longitudinal (eje Z) en funcion de la frecuencia y del
tiempo diario de exposicion [ISO 2631:1987].
En otros trabajos ([Hostens, 2003] y [Hostens, 2004]) se demuestra co-
mo los sistemas neumaticos acoplados en cabinas de vehıculos son favo-
rables en la prevencion de los efectos de las vibraciones sobre el cuerpo
humano. El estudio muestra como el aislamiento de vibraciones en tales
cabinas es mas efectivo cuando la suspension de aire atenua frecuencias
sobre 4 Hz comparado con los sistemas de suspension tradicionales. Con-
clusiones similares son alcanzadas estudiando cabinas en vehıculos agrıcolas
[Deprez, 2005]. Relacionados con estos estudios aparecen muchos otros en
1.1. MOTIVACION 7
Bd
01
0,3 0,4 0,5 0,63 0,8 1 1,25 1,6 2 2,5 3,15 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 31,5 40 50 63 80 Hz
1 g pico
0,016
0,025
0,040
0,063
0,10
0,16
0,25
0,40
0,63
1,00
1,60
(g)
0,125
0,200
0,400
0,630
1,000
1,600
2,50
4,00
6,30
10,00
(m/s2)
0,100
0,160
0,315
0,500
0,800
1,250
2,000
3,15
5,00
8,00
12,50
0,250
zaci fe nó ica relec
AA
y-x ,f
e
24 h
16 h
8 h
4 h
2,5 h
1 h
25 min
16 min
1 min
16,00
20,00
Figura 1.4: Lımite de capacidad reducida por la fatiga para la aceleracion
eficaz en direcciones transversales (ejes X e Y) en funcion de la frecuencia
y del tiempo diario de exposicion [ISO 2631:1987].
la literatura ([Griffin, 1990], [Hulshof, 1987] y [Kjellberg, 1997]) que mues-
tran como el sistema musculo-esqueleto posee una cierta respuesta de re-
sonancia con el movimiento entrante desde la interfaz asiento-nalga, siendo
amplificado a ciertas frecuencias y en ciertas zonas. Especıficamente, estos
autores muestran que el mayor movimiento ocurre, bajo vibracion sinusoi-
dal al menos, en la zona lumbar superior y en la zona toracica inferior de
la espina dorsal. El dano provocado por las vibraciones e impactos es mas
8 CAPITULO 1. INTRODUCCION
probable que aparezca en estas zonas. Otros autores estudian la frecuen-
cia de maxima respuesta en la region toracica-lumbar ([Sandover, 1987] y
[Seidel, 1997]). En movimientos verticales se encuentra alrededor de 5 Hz,
variando entre diferentes sujetos generalmente en el rango de 4 a 6 Hz. Tam-
bien mencionan la importancia de los impactos en la generacion de fatiga
en la region de la espalda en humanos. En otros trabajos ([Clijmans, 1998]
y [Van Dien, 1993]) se analiza el comportamiento del cuerpo humano en
condiciones normales de trabajo en el campo en maquinaria agrıcola. Vi-
braciones alrededor de 0.5 y 10 Hz son transmitidas al asiento y afectan a la
salud del conductor. Concretamente, en varios estudios, se muestra como la
columna vertebral es sensible en este rango de frecuencias si la exposicion
es prolongada ([Magnusson, 1996], [Pope, 1992] y [Boshuizen, 1992]).
Este escenario de consecuencias de las vibraciones sobre el cuerpo hu-
mano, pero tambien sobre cualquier otro elemento (ya sea de manufactura,
optica, etc.) donde exista especial sensibilidad a los efectos de las vibracio-
nes, hace necesario ahondar en el conocimiento, analisis y diseno de nuevos
sistemas de suspension. Estos nuevos sistemas han de ser disenados con
el objetivo de ofrecer unas caracterısticas de atenuacion importantes pero
tambien, han de poder adaptarse a los distintos escenarios de trabajo a los
que se enfrentan los cuerpos que han de ser aislados de las vibraciones.
1.2. Estado del arte
En esta seccion se pretende hacer un recorrido por las distintas solu-
ciones que han sido presentadas para afrontar el problema de aislamiento
de vibraciones en vehıculos. Se presenta en primer lugar un breve recorrido
por las suspensiones existentes en los vehıculos actuales ([Pintado, 1994]
1.2. ESTADO DEL ARTE 9
y [Cascajosa, 2000]). Seguidamente, se presentan las suspensiones que son
fruto de recientes investigaciones y que invitan a ser incorporadas a distin-
tos sistemas, vehıculos, maquinaria rotativa, etc.
Los elementos de la suspension son aquellos que estan situados entre
la masa suspendida (motor, chasis, carrocerıa, etc.) y la masa no suspen-
dida (ejes y ruedas). Tienen la mision de mantener en todo momento las
ruedas en contacto con el suelo contribuyendo a mejorar la adherencia y el
guiado del neumatico. Ademas, el sistema de suspension es el encargado de
soportar el peso del vehıculo y de absorber las fuerzas longitudinales, trans-
versales y verticales que se producen durante la marcha, contribuyendo a
la estabilidad. Asimismo, colabora en la confortabilidad de los pasajeros
evitando que los golpes recibidos por las ruedas repercutan sobre ellos. Los
sistemas de suspension mas utilizados se pueden clasificar en:
Sistemas de suspensiones simples o convencionales.
Sistemas de suspensiones neumaticas e hidroneumaticas.
Sistemas de suspensiones inteligentes.
Dentro de las suspensiones simples o convencionales, se encuentran una
serie de elementos que se pasan a describir. En primer lugar se encuentran
los muelles, que son unos elementos elasticos disenados para almacenar
energıa en las oscilaciones del vehıculo. Los muelles se clasifican en funcion
de la forma en que trabajen. Existen muelles que trabajan a flexion, como
son las ballestas. Otros trabajan a torsion, como las barras de torsion y los
muelles helicoidales y tambien hay otros que trabajan a cortante.
Las ballestas mostradas en la figura 1.5 son un elemento elastico utili-
zado sobre todo en vehıculos industriales. Se compone de un conjunto de
10 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.5: Ejemplo de muelle a flexion: ballestas (fuente: www.dodge.com).
hojas de acero superpuestas y unidas a traves de abrazaderas, las cuales
permiten el deslizamiento entre ellas por el peso o por las reacciones que
sufre el sistema de suspension. El numero de hojas, el espesor y el material
de las mismas depende del peso que tenga que soportar la suspension.
Un ejemplo de muelle a torsion son las barras de torsion que se utilizan
sobre todo en ejes traseros de vehıculos. Se trata de una barra de acero
elastico que esta sometida un esfuerzo de torsion, de tal manera que uno
de los extremos esta fijado al chasis, mientras que el otro se fija al brazo
o trapecio de la rueda. Esta barra se encuentra torsionada haciendo que la
rueda se mantenga siempre en contacto sobre el suelo. En funcion de las
irregularidades del terrero, la barra cede o admite mas torsion. Un ejemplo
se muestra en la figura 1.6. Los muelles a torsion se usan en vehıculos
pequenos con objeto de reducir el espacio ocupado por el mecanismo de
suspension. Son muy usados en vehıculos turismos. No obstante, tambien es
usado en vehıculos mas pesados para incrementar la rigidez al balanceo. Su
1.2. ESTADO DEL ARTE 11
Figura 1.6: Ejemplo de muelle a torsion: barra de torsion en un vehıculo
(fuente: www.gmc.com).
capacidad de almacenamiento de energıa es alta, pero tienen poca capacidad
de disipacion de energıa.
Los muelles helicoidales estan construidos en un hilo de acero de espesor
variables arrollado en forma de espiras. Las espiras extremas se realizan de
manera plana para ofrecer un buen asiento tanto al chasis como al amor-
tiguador al que en normalmente van asociados. Ademas del diametro del
hilo, caracterısticas importantes del muelle son su altura y el diametro de
la espira. Este tipo de elemento elastico trabaja a torsion del hilo que lo
constituye. Un ejemplo se muestra en la figura 1.7.
12 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.7: Ejemplo de muelle a torsion: muelle helicoidal en la suspension
trasera de una motocicleta (fuente: www.honda.com).
Otro tipo de muelles son los muelles neumaticos que trabajan compri-
miendo y expandiendo un gas que se encuentra dentro de los mismos. El
muelle de aire es quiza el tipo de muelle mas versatil y adaptable. En la
figura 1.8 se muestra un ejemplo de este tipo de muelles. Ellos proporcionan
una accion practicamente sin friccion, tienen una adaptable capacidad de
carga y permiten un control de altura simple de la suspension. Es bien sa-
bido que la suspension neumatica puede dar tanto una conduccion suave a
baja velocidad en buenas carreteras y estabilidad y control a alta velocidad
en carreteras malas. La altura del chasis puede ser rapidamente variada
mediante la entrada o salida de aire desde el muelle de aire por medio de
una valvula de control de altura.
1.2. ESTADO DEL ARTE 13
Figura 1.8: Muelle de aire en la cabina de un vehıculo pesado para trans-
porte de mercancıas (fuente: www.volvo.com).
Existen muchos y muy variados usos de los muelles de aire entre los que
se encuentran ([Hundal, 1978] y [Hundal, 1980]):
Microscopio electronico.
Maquina de fatiga.
Asientos de vehıculos.
Suspensiones de vehıculos.
Mesas para experimentos o procesos de fabricacion sensibles.
Aislamiento de shock o impacto usando muelles de aire.
14 CAPITULO 1. INTRODUCCION
En el interior del muelle de aire se producen procesos politropicos de-
pendiendo de las condiciones de funcionamiento. Se puede conseguir un
funcionamiento no-lineal obteniendose una rigidizacion del muelle con el
desplazamiento si las variaciones del volumen son significativas en relacion
al inicial. Si el volumen inicial es muy grande comparado con las variacio-
nes, la rigidez se hace mas lineal. Son una variedad de muelles incorporados
cada vez mas en vehıculos industriales (ejes de remolques pesados y cabi-
nas de vehıculos), pero tambien en vehıculos turismos y todo terreno. La
ventaja de estos elementos radica en la gran adaptabilidad y la posibilidad
de incorporar modos de funcionamiento activos sobre la suspension.
Ademas de los muelles, otro elementos muy comun en las suspensiones
es el amortiguador. En la figura 1.9 se muestra un ejemplo del mismo. La
mision que tienen es la de absorber la energıa almacenada por las oscilacio-
nes de los elementos elasticos y, de esta forma, contribuir a la estabilidad
de marcha del vehıculo ası como de su confort. Los amortiguadores utili-
zados en los automoviles son de tipo telescopico y se clasifican, segun su
sentido de amortiguacion en amortiguadores de simple efecto o de doble
efecto. Tambien se pueden clasificar en funcion del fluido de trabajo siendo
posible encontrar de gas o hidraulicos.
Los sistemas de suspension mas difundidos (en cuanto a las suspensiones
convencionales) son la suspension por eje rıgido y la suspension indepen-
diente. La suspension por eje rıgido se utiliza sobre todo en vehıculo todo
terreno y para el transporte de mercancıas. Consiste en disponer un eje
rıgido que une las dos ruedas traseras. El sistema puede ir acompanado de
muelles o ballestas como elemento elastico, amortiguadores y barra trans-
versal. Tiene la ventaja de su sencillez constructiva, bajo coste de fabrica-
cion e invariabilidad de las caıdas de las ruedas traseras cuando se circula
1.2. ESTADO DEL ARTE 15
Figura 1.9: Amortiguador hidraulico (fuente: www.monroe.com).
por terrenos irregulares. Como inconveniente, las vibraciones producidas en
una rueda repercuten sobre la otra y se dispone de un gran peso no suspen-
dido. Esto ultimo provoca mas inercia en la rueda al coger un bache y, por
tanto, mas rebotes de los elementos elasticos, que se traducen en perdidas
de adherencia, sobre todo cuando el eje es propulsor y lleva el lastre del
grupo diferencial. Un ejemplo de suspension por eje rıgido se muestra en la
figura 1.10.
El segundo tipo de suspension convencional mas habitual es la suspen-
sion independiente. De entre el gran numero de suspensiones independientes
destacan la suspension McPherson y la doble horquilla. La primera es usada
tanto en ejes delanteros como en trasero, mientras que la segunda es mas
usada en ejes traseros. En el sistema McPherson, se reduce el numero de
16 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.10: Suspension trasera de un vehıculo: eje rıgido (fuente:
www.jeep.es).
elementos de la suspension y reproduce aproximadamente el movimiento
de la rueda que se tiene con el mecanismo de doble horquilla. El elemento
elastico contiene en su interior al amortiguador. Uno de los inconvenien-
tes es el riesgo de encasquillamiento del amortiguador, ya que el esfuerzo
flector en la barra telescopica del amortiguador no es nulo. Para contrarres-
tarlo se incorporan elementos antifriccion y se inclina el muelle respecto a
la posicion original de la barra obteniendose un momento flector de signo
contrario al obtenido en la seccion del piston. En la figura 1.11 se muestra
un ejemplo de esta configuracion.
Otro tipo de suspension independiente es la doble horquilla. Esta cons-
tituida por un par de brazos sobre los que se aloja el elemento elastico. Las
longitudes de los brazos inferior y superior se determinan de tal manera
que se establezca un compromiso entre la variacion del angulo de caıda de
la rueda y el desplazamiento lateral de la zona de contacto rueda-carretera.
1.2. ESTADO DEL ARTE 17
Figura 1.11: Suspension delantera de un vehıculo: suspension independiente
tipo McPherson (fuente: www.citroen.es).
En la figura 1.12 se muestra un ejemplo de este tipo de suspension. El
siguiente gran grupo de suspensiones son las suspensiones neumaticas e
hidroneumaticas. Este tipo de suspensiones tienen ventajas frente a las
convencionales.
Permiten un control en altura del chasis del vehıculo independiente-
mente de la carga suspendida ([Esmailzadeh, 1978]). En las suspensiones
neumaticas se puede variar la deflexion estatica sin mas que variar la pre-
sion inicial del muelle de aire. Esto permite salvar el inconveniente de las
suspensiones convencionales con muelles metalicos, ya que para permitir
frecuencias naturales bajas, las deflexiones estaticas deben ser elevadas.
Los muelles de aire suelen ir asociados a amortiguadores de aceite como
elemento disipador de energıa. Entre las grandes ventajas de la suspension
18 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.12: Suspension delantera de un vehıculo: suspension independiente
tipo doble horquilla (fuente: www.dodge.com).
neumatica hay que incluir la constancia de sus caracterısticas, que propor-
cionan una marcha suave independientemente de si el vehıculo va cargado
o vacıo. Ello reduce los danos de transporte, confiere mayor longevidad
al chasis y un mejor confort para el conductor. El uso de suspensiones
neumaticas tiene efectos beneficiosos sobre los pavimentos ya que el dano
ocasionado sobre los mismos se ve reducido ([Valaek, 1998], [Sun, 2002] y
[Harris, 2007]).
El sistema de suspension neumatica hace que los vehıculos sean mas
flexibles. Gracias a la regulacion manual del nivel, con gran altura de eleva-
cion, se adaptan a todos los sistemas de manipulacion de carga existentes
actualmente en el mercado. Este sistema confiere tambien al vehıculo unas
excelentes cualidades y estabilidad de marcha extraordinarias, por ejemplo,
impide que se incline, si se ha cargado desigualmente. El reglaje de los faros
y la distancia al suelo se mantienen siempre constantes. Gracias a esta sus-
1.2. ESTADO DEL ARTE 19
pension es posible elevar o descender la totalidad del vehıculo, o solamente
su extremo posterior, segun la ejecucion, para adaptarse al nivel del muelle
de carga. Las suspensiones neumaticas tienen una frecuencia natural que
es sustancialmente independiente de la carga si se usa con una valvula ni-
veladora de altura. Un ejemplo de suspension neumatica se muestra en la
figura 1.13.
a b
Figura 1.13: Suspension neumatica: (a) en los ejes de remolques para trans-
porte de mercancıas (fuente: www.volvo.com) (b) en los ejes de un vehıculo
todo terreno (fuente: www.volkswagen.com).
Las suspensiones hidroneumaticas utilizan como elemento elastico un
muelle de gas (esfera) relleno de nitrogeno. Cuando el movimiento del
neumatico es ascendente, un piston sube empujando un lıquido hacia el
interior de la esfera comprimiendo el gas. Cuando el movimiento es des-
cendente, el gas se expansiona empujando el lıquido hacia el cilindro de la
suspension. El efecto amortiguador se consigue limitando el paso del lıquido
hacia dentro o fuera de la esfera, ya que en la esfera estan alojados los pasos
calibrados. En la figura 1.14 se muestra un ejemplo de esta suspension.
20 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.14: Suspension hidroneumatica (fuente: www.citroen.es).
Por ultimo, se encuentran las suspensiones activas o inteligentes. Las
suspensiones convencionales, neumaticas e hidroneumaticas presentan una
cierta incompatibilidad entre confort y seguridad de marcha. Cuando un
vehıculo se disena para que sea muy seguro en lo que a suspension se re-
fiere, la suspension resulta poco confortable (muy dura), mientras que si se
disena para que sea muy confortable (muy blanda), se inclinara demasiado
en las curvas y en las frenadas, sera poco segura y tardara un tiempo rela-
tivamente largo en absorber las oscilaciones de los elementos elasticos. Las
suspensiones inteligentes ofrecen una solucion a dichas limitaciones varian-
do las caracterısticas de la suspension en funcion de las condiciones de la
marcha, actuando sobre los amortiguadores en el caso de las suspensiones
1.2. ESTADO DEL ARTE 21
convencionales y anulando la tercera esfera situada en cada eje en el caso
de suspensiones hidroneumaticas. La suspension inteligente posee una cen-
tralita que recibe datos de los sensores. Estos sensores informan en todo
momento acerca de la inclinacion de la carrocerıa, velocidad del vehıcu-
lo, presion de frenada, velocidad de giro del volante, etc. En funcion de
la informacion recibida, se envıa una senal a una serie de electrovalvulas
que varıan el comportamiento de la suspension. El cambio de posicion de
la suspension se realiza modificando el recorrido del aceite en el caso del
amortiguador y anulando parte del recorrido del lıquido hidraulico en el
caso de las suspensiones hidroneumaticas.
A continuacion se muestran un abanico de suspensiones que se encuen-
tran en investigacion y que incorporan muelles de aire como elemento elasti-
co. El primer grupo de suspensiones encontrados en la literatura cientıfi-
ca son suspensiones con elementos neumaticos combinados con elementos
elasticos convencionales. Existen varias formas para incorporar elementos
convencionales como son los muelles helicoidales junto con muelle de aire
[Bachrach, 1983]. En la figura 1.15 se muestra el esquema de funciona-
miento. El elemento neumatico utilizado es un actuador lineal neumatico
asociado a un deposito mediante la interposicion entre ambos de un orificio
que hace las veces de elemento que restringe el flujo de aire entre dichos
elementos. En paralelo al cilindro neumatico se coloca un muelle helicoidal.
Los estudios teoricos y experimentales sobre este tipo de suspension mues-
tran un mayor factor de rigidez, definiendo este como el cociente entre la
rigidez del muelle helicoidal y la rigidez del cilindro neumatico. Esta rigi-
dez alcanza rapidamente un valor asintotico a medida que se incrementa la
razon de volumen entre el tanque y el cilindro.
Otro dispositivo de este tipo de configuraciones se muestra en la figura
22 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Tanque
Orificio
K
S
P V1 1P V2 2
Cilindro
Masa
Figura 1.15: Ejemplo de suspension construida combinando elementos con-
vencionales con actuadores neumaticos [Bachrach, 1983].
1.16 [Hrovat, 1988]. En este caso se coloca tambien un muelle helicoidal en
paralelo con un actuador neumatico lineal. Ahora, el cilindro neumatico
se encuentra desprovisto de un deposito. En dicho cilindro se anade una
fuente electrica que es capaz de alimentar un motor. Este motor es capaz
de genera un par motor que desplaza una valvula de apertura o cierre del
orificio del cilindro, modificando de ese modo el area de paso de la valvula.
El efecto producido es un cambio de la fuerza del actuador neumatico. De
esta manera el actuador neumatico hace las veces de elemento disipador de
energıa.
Otro grupo de suspensiones con elementos neumaticos en la literatu-
ra cientıfica son aquellas destinadas para el uso en maquinaria manual. En
otros trabajos se estudian las propiedades mecanicas de un muelle neumati-
1.2. ESTADO DEL ARTE 23
Cilindro
K
Válvula
x
y
Figura 1.16: Ejemplo de suspension construida combinando elementos con-
vencionales con actuadores neumaticos [Hrovat, 1988].
co, constituido como una camara principal con un volumen y una pre-
sion cambiante, que son controlados por el movimiento relativo del piston
([Palej, 1990], [Palej, 1991a], [Palej, 1991b] y [Palej, 1993]). En la figura
1.17 se muestra el esquema de este tipo de muelle neumatico. La camara
principal es alimentada con aire procedente de un deposito con una presion
constante de entrada P1 a traves del orificio caracterizado por su area A1.
El flujo saliente se situa a traves del orificio de area variable A2(x) en un
segundo deposito con una presion de descarga constante P2. El movimiento
del piston causa un cambio del volumen de la camara principal y de las
dimensiones del orificio de descarga. Mientras el area activa A2(x) influye
considerablemente en la presion de la camara P mediante la variacion del
flujo de masa de aire que entra y sale, el movimiento periodico del piston
induce cambios periodicos de la presion de la camara de amplitud ∆P al-
rededor de un cierto valor P0. Determinando como P0 y ∆P influyen en los
24 CAPITULO 1. INTRODUCCION
parametros del sistema, es posible determinar la rigidez estatica y dinamica
del muelle de aire.
P2
P1
P, V
S
A1
A2
x
Figura 1.17: Ejemplo de utilizacion de un muelle de aire para adaptacion a
maquinaria de tipo manual [Palej, 1990].
Otros autores investigan acerca de la incorporacion de elementos de res-
triccion del flujo en suspensiones neumaticas con el fin de disipar energıa
y obtener suficiente amortiguamiento. Algunos autores modelan y ensayan
experimentalmente un esquema de suspension neumatica formado por un
muelle de aire, un deposito auxiliar y como elemento disipador una restric-
cion de plato paralelo como se muestra en la figura 1.18 [Esmailzadeh, 1978].
Como resultado se obtiene una suspension neumatica auto-amortiguada me-
diante el elemento de restriccion del flujo. El inconveniente claro es la falta
de versatilidad a la hora de cambiar la restriccion deseada. Cambios rapi-
dos en el accionamiento que permite reducir o ampliar la restriccion son
bastante complicados. Tambien incorpora un sistema de auto-nivelacion
de la suspension mediante una valvula de control de altura. En otros es-
1.2. ESTADO DEL ARTE 25
tudios se recurre a la restriccion de flujo en una suspension neumatica
donde se incorpora un orificio entre un muelle elastico de aire y un acu-
mulador. Este esquema se muestra en la figura 1.19 [Quaglia, 2000]. Esta
disposicion es cuestionada porque el nivel de amortiguamiento es muy de-
pendiente de la amplitud y no se adapta a modelos lineales ([Baker, 1975]
y [Koyanagi, 1990]).
Suministro de aire
Depósito auxiliar
Respuesta
Excitación
Masa suspendida
Muelle de aireRestricción de plato paralelo
Figura 1.18: Ejemplo de utilizacion de una suspension neumatica con ele-
mento disipador construido con platos paralelos [Esmailzadeh, 1978].
Existen dispositivos donde aparece un orificio como elemento para do-
tar de amortiguamiento a una suspension neumatica ([Henderson, 1998a]
y [Henderson, 1998b]). En concreto, se utiliza una suspension neumatica
compuesta por un cilindro neumatico lineal en combinacion con un deposi-
26 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Masa suspendida
zRespuesta
Movimiento
de la rueda
M
x
G
Volumen
auxiliar
Muelle de
aire
resistencia
V 2
P1
P2
V1
Figura 1.19: Ejemplo de utilizacion de una suspension neumatica con un
orificio como elemento disipador [Quaglia, 2000].
to donde el flujo de aire entre ellos pasa a traves de dicho orificio. La figura
1.20 muestra un esquema de dicha suspension. Este esquema de suspension
se utiliza para aislar vibraciones en una camilla que se incorpora a una
ambulancia como se muestra en la figura 1.21. La suspension se utiliza por
partida doble en la camilla de tal manera que tanto el cabeceo como el
bote puedan ser atenuados. Una persona en posicion supina es mucho mas
sensible a la vibracion que una persona de pie. Esta polıtica de aislamiento
de vibraciones aplicada a personas en posicion supina es tambien estudiada
y aceptada en otros dispositivos, obteniendose buen corportamiento en la
respuesta del paciente ([Winter, 1979]).
Otro ejemplo de suspension neumatica con orificio como elemento de
restriccion del flujo se muestra en la figura 1.22. Consiste en un sistema
formado por dos camaras interconectadas por un orificio. Cada una de las
camaras tiene una apertura para ajustar la presion. Ademas se anade un
1.2. ESTADO DEL ARTE 27
Tanque
x
Cilindro
A
m·cP
cV
tP
tV
Figura 1.20: Ejemplo de utilizacion de una suspension neumatica con un
orificio como elemento disipador [Henderson, 1998a].
diafragma de elastomero para conectar el piston a la camara superior. Si-
guiendo con esta configuracion de suspension, existen mesas de aislamiento
de vibracion que intentan aislar la carga de pago del movimiento de la
base, sobre todo en experimentos relacionados con optica, medida de pre-
cision y manufactura de semiconductores. Algunos disenos usan patas con
camaras llenas de aire, un diafragma elastomero y un piston. Las cama-
ras se presurizan para que el piston pueda soportar un rango de cargas
([Burggraaf, 1993], [DeBra, 1992], [Cellucci, 1993] y [Vu, 1993]). Analisis
sobre este tipo de configuraciones sugieren que si el orificio se disena para
operar en la region de flujo laminar, el sistema proporciona un amortigua-
miento lineal en todas las amplitudes de desplazamiento de la carga de pago
[DeBra, 1984].
Otro gran grupo de suspensiones donde aparecen elementos neumati-
cos son las suspensiones hıbridas que combinan elementos de suspensiones
convencionales con elementos magneticos. En la figura 1.23 se muestra un
28 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.21: Incorporacion de una suspension neumatica como elemento de
atenuacion de vibraciones en camillas de ambulancias [Henderson, 1998b].
ejemplo de suspension con la incorporacion un elemento magnetico. El sis-
tema presenta un amortiguador magnetico para reducir activamente las
vibraciones. Se utiliza un actuador electromagnetico con un iman perma-
nente. El sistema necesita un amplificador y un controlador para gobernar
la suspension. Se obtienen buenos resultados tanto en regimen permanente
como en transitorios. Tiene dos inconvenientes: se necesitan 6 amperios (en
corriente continua) por cada 50 Newtons de fuerza de amortiguamiento.
1.2. ESTADO DEL ARTE 29
Qt
Qb
Cámara inferior
Cámarasuperior
Masa
y
x
Orificio
Diafragma
Figura 1.22: Suspension neumatica de doble camara con orifico y diafragma
para utilizacion en mesas antivibratorias [Erin, 1998].
Ademas, la distancia optima entre el iman permanente y el electroiman fue
de 12 mm, lo cual introduce limitaciones en la amplitud de las senales que
pueden ser filtradas. Otros trabajos similares utilizando dispositivos elec-
tromagneticos se pueden encontrar en la literatura ([Nikdajolasen, 1979],
[Kasarda, 1988], [Sharp, 1988], [Stein, 1991] y [Stein, 1995]). Existen confi-
guraciones donde se estudia un aislamiento activo de vibraciones con una
suspension hıbrida neumatica y magnetica, concretamente se utilizan mue-
lles de aire y un actuador electromagnetico [Ahn, 1996]. Los muelles de aire
se usan como elementos pasivos y el actuador electromagnetico como ele-
mento activo. El actuador electromagnetico permite un control rapido de la
respuesta. Presenta buenas prestaciones en cuanto a filtrado de vibraciones.
En la figura 1.24 se muestra un esquema de esta suspension. Finalmente,
30 CAPITULO 1. INTRODUCCION
existe otro tipo de suspensiones bastante difundido en la literatura: son las
suspensiones magnetoreologicas (MR). Este tipo de suspensiones no incor-
poran elementos neumaticos, pero trabajan con fluidos magnetoreologicos
para conseguir un comportamiento activo en la suspension.
Generador deseñal
Excitador
Acelerómetro Amplificador
ControladorAmplificador
Electroimán
Imán permanente
Figura 1.23: Suspension hıbrida: combinacion de elementos de las suspen-
siones convencionales con elementos magneticos [Kim, 2000] y [Kim, 2001].
Concretamente, un gran numero de autores recogen el uso de amorti-
guadores magnetoreologicos combinados con muelles neumaticos como ele-
mentos pasivos ([Choi, 2001], [McManus, 2002] y [Hong, 2005]). Los fluidos
magnetoreologicos pertenecen a los materiales inteligentes cuyas propieda-
1.2. ESTADO DEL ARTE 31
des pueden ser modificadas mediante la aplicacion de un campo electrico.
Los fluidos magnetoreologicos son fundamentalmente dispersiones de polvo
de hierro al 99.9% de pureza en aceite portador. El tamano de las partıcu-
las de hierro tienen una media de 15.53 µm con una desviacion estandar de
2.62 µm. La viscosidad de los fluidos MR varıa desde 800 cP hasta 150000
cP dependiendo del campo magnetico aplicado. Como inconveniente, es cos-
toso trabajar con ellos pues se necesitan consumos de corriente importante
para cambiar rapidamente el campo magnetico y por tanto la viscosidad.
Base
Masa
Muelles de aire
Eletroimán
Imán permanente
Acelerómetro
y
x
Figura 1.24: Suspension hıbrida: muelles de aire como elemento pasivo y
un actuador electromagnetico como elemento activo [Ahn, 1996].
Capıtulo 2
Descripcion de la suspension
2.1. Introduccion
Una vez que se han presentado los objetivos de la tesis, se procede con
la presentacion del sistema mecanico que se pretende analizar. En la figura
2.1 se presenta un esquema de la suspension neumatica objeto de estudio.
El sistema neumatico consta de tres partes: un muelle de aire (sobre el que
descansa la masa suspendida), un deposito de paredes rıgidas y un conducto
flexible de seccion reducida que comunica al muelle de aire con el deposito.
En el presente capıtulo se pretende desarrollar un modelo fluido-dinamico
del sistema neumatico presentado. El modelo (en su forma no lineal inicial)
servira para simular el comportamiento de la suspension. Seguidamente,
se procedera a linealizar el modelo inicial, evaluando el rango de validez
de ese modelo lineal sobre el no lineal. Ademas, dicho modelo linealizado
sera utilizado para determinar las propiedades de la suspension neumati-
ca comparando con las obtenidas por el modelo no lineal inicial. Ambas
33
34 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
DEPÓSITO
MUELLE DE AIRE
MASA SUSPENDIDA
Respuesta x(t)
Excitación y(t) CONDUCTO
Figura 2.1: Esquema del sistema de suspension neumatica
versiones del modelo (tanto la no lineal como la lineal) necesitaran de una
caracterizacion experimental previa del muelle de aire para determinar un
par de parametros de dicho muelle de aire. Para concluir el capıtulo, se pre-
sentara un prototipo experimental (Prototipo I) que servira para validar los
analisis llevados acabo por el modelo tanto en su version inicial como en
la version linealizada. Del analisis de los modelos se concluyen una serie
de recomendaciones, tanto en el diseno como en la utilizacion de la sus-
pension neumatica, que seran implementados en los siguientes prototipos
desarrollados en los sucesivos capıtulos.
2.2. Modelo
El sistema neumatico presentado, como se ha explicado, consta de tres
elementos principales: un muelle de aire, un deposito y un conducto que une
2.2. MODELO 35
a ambos. Sin embargo, para comenzar el analisis, se considera un sistema
cerrado donde solo se incluye el muelle de aire. De este modo, la fuerza
ejercida por el actuador neumatico puede expresarse como:
F = PmAm (2.1)
es decir, como el producto de la presion del aire en el interior del actuador,
Pm, y el area efectiva del mismo, Am. El area efectiva del actuador, es un
parametro usado de manera analoga que en el caso de actuadores de paredes
rıgidas, sin embargo, en el caso de un actuador neumatico de paredes flexi-
bles, como se vera mas adelante, el area efectiva no permanecera constante
ante variaciones en la carrera del actuador.
Una vez que se ha definido el valor de la fuerza que es capaz de ejer-
cer el actuador neumatico, se estudia el comportamiento de dicha fuerza
ante variaciones en la carrera, es decir, se analiza la rigidez del actuador
neumatico. La rigidez del muelle de aire puede definirse como la derivada
de la fuerza que es capaz de ejercer respecto a la altura de dicho muelle
z, definiendo dicha altura como la diferencia entre el desplazamiento de la
parte superior del muelle (respuesta x(t)) y el desplazamiento de la parte
inferior del mismo (excitacion y(t)), mas un valor inicial de la altura del
muelle (z0). De este modo, tomando dicha derivada sobre 2.1, la rigidez del
muelle puede escribirse como:
km = −dF
dz= −
[Am
dPm
dz+ Pm
dAm
dz
](2.2)
Consideremos ahora una transformacion politropica de exponente n entre
un estado inicial de presion y volumen del muelle de aire (denotado por el
subındice 0) y un estado final de la presion y el volumen, es decir:
Pm0Vnm0 = PmV n
m = cte (2.3)
36 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
En 2.2 aparece un termino de la rigidez del muelle afectado por la variacion
de la presion interna con respecto a la altura de dicho muelle. Tomando
dicha derivada sobre 2.3 resulta:
dPm
dz= −nPm0V
nm0
V n+1m
dVm
dz(2.4)
donde Pm0 y Vm0 son considerados como constantes correspondientes a
los estados iniciales de la presion y volumen interno del muelle de aire
respectivamente. De ese modo, sustituyendo 2.4 en 2.2, la rigidez del muelle
de aire puede escribirse como:
km =nPm0V
nm0Am
V n+1m
dVm
dz− Pm
dAm
dz(2.5)
En la expresion anterior, se observa como la rigidez del muelle de aire
responde a la contribucion de dos terminos de rigidez. El primero de ellos es
un termino de rigidez que esta relacionado con las variaciones del volumen
interno del muelle de aire Vm con respecto a la altura z. Dicho termino
correspondiente al primer sumando de 2.5 se agrupa bajo la denominacion
de kvm:
kvm =nPm0V
nm0Am
V n+1m
dVm
dz(2.6)
El segundo termino de rigidez, correspondiente al segundo sumando de 2.5,
esta relacionado con las variaciones del area efectiva del muelle de aire Am
con respecto a la altura z. Dicho termino se agrupa bajo la denominacion
de kam:
kam = −PmdAm
dz(2.7)
pudiendo de este modo escribirse la rigidez del muelle de aire 2.5 igual a
km = kvm + kam.
2.2. MODELO 37
Como se ha mencionado, la rigidez del muelle de aire km es la corres-
pondiente a un sistema cerrado que considera tan solo dicho muelle de aire.
Por tanto, el resto de elementos de que disponıa la suspension neumatica
aun no se han incluido en el analisis. Sin embargo, el analisis anterior pue-
de ser valido asumiendo ahora como nuevo sistema cerrado al volumen de
control formado por el muelle de aire y el deposito. No obstante, para que
el termino de rigidez analıtico enunciado tenga validez ha de darse una de-
terminada situacion. La condicion para que esto suceda es que la diferencia
de presion entre el muelle de aire y el deposito sean despreciables a cada
instante. Teniendo en cuenta que ambos elementos estan comunicados me-
diante un conducto, tal condicion es asumible tan solo cuando la dinamica
de la suspension sea razonablemente lenta, es decir, cuando la suspension
sea excitada a frecuencias relativamente bajas. En esas circunstancias, la
rigidez de la suspension puede expresarse en base a 2.5 sin mas que anadir
el volumen del deposito al del muelle de aire ya presente. De ese modo, la
rigidez de la suspension se escribe como:
k =nPm0V
nmd0Am
V n+1md
dVm
dz− Pm
dAm
dz(2.8)
donde Vmd es la suma del volumen del muelle de aire, Vm, y el volumen
del deposito, Vd y, por tanto, Vmd0 es la suma del volumen inicial de ambos
dispositivos. Ademas, la derivada del volumen de la suspension respecto a
la altura del muelle (dVmd/dz) es igual a la variacion de volumen del muelle
de aire respecto a dicha altura (dVm/dz) dado que el deposito esta construi-
do con paredes rıgidas. Los terminos de presion en la suspension completa
se escriben como Pm0 y Pm, es decir, como los terminos correspondientes
a las presiones en el muelle de aire iniciales y en cualquier instante respec-
tivamente, dado que en condiciones en que la suspension se somete a una
38 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
dinamica lenta, no existen practicamente diferencias de presion entre los
distintos puntos de dicha suspension.
Analogamente a como se habıa escrito con anterioridad para la rigidez
del muelle de aire, la rigidez de la suspension, k, puede ahora escribirse
como la suma de dos terminos, k = kam + kvmd, y el termino de rigidez
debido a variaciones del volumen de la suspension respecto a la altura del
muelle de aire, kvmd, es ahora:
kvmd =nPm0V
nmd0Am
V n+1md
dVm
dz(2.9)
En todos los terminos de rigidez anteriormente presentados, se han venido
presentando dos funciones: el area efectiva del muelle de aire como funcion
de la altura del muelle (Am(z)) y el volumen del muelle de aire (Vm(z)).
Estas funciones junto con sus respectivos terminos derivativos (dAm/dz y
dVm/dz) seran obtenido de manera experimental como se describira mas
adelante.
Por otra parte, en el otro extremo del ancho de banda, cuando la dinami-
ca de la suspension es muy rapida, las ondas de presion no disponen de
suficiente tiempo para alcanzar el deposito. Por tanto, a altas frecuencias,
la suspension se comporta como un sistema cerrado compuesto unicamente
por el muelle de aire. En este caso, la rigidez viene dada por 2.5.
Ası pues, la rigidez de la suspension ha sido modelada para estos dos
casos extremos: dinamica lenta (rango de bajas frecuencias) en cuyo caso
la rigidez de la suspension viene dada por 2.8, y dinamica rapida (rango de
altas frecuencias) en cuyo caso la rigidez viene dada por 2.5. Seguidamente,
se describira un modelo fluido dinamico para el caso general.
En primer lugar, se puede expresar el flujo de masa de aire que abandona
2.2. MODELO 39
el muelle de aire camino del deposito mediante la ecuacion de continuidad:
m = −ρmVm − Vmρm (2.10)
siendo dicho flujo positivo cuando supone el llenado de la cavidad del muelle.
Como se comentara en el apartado de ensayos experimentales, la tem-
peratura del aire de la suspension fue monitorizada experimentalmente en
condiciones de trabajo mediante un termopar. Los resultados de las medi-
ciones invitan a sostener la hipotesis de una transformacion isoterma. En
base a esta hipotesis, la variacion con respecto al tiempo de la densidad del
aire del muelle se define como:
ρm =Pm
RT(2.11)
donde se ha asumido la ecuacion del gas ideal Pm = ρmRT . Combinando
2.10 y 2.11, la variacion temporal de la presion en el muelle de aire resulta:
Pm = −mRT
Vm− Vm
Pm
Vm(2.12)
Identico razonamiento que el presentado para obtener 2.12 es ahora aplicado
en el otro extremo de la suspension, es decir, en la zona del deposito, con el
objetivo de relacionar el flujo masico con la presion en el deposito. En este
caso, se debe tener en cuenta que Vd es igual a 0 dado que las paredes del
deposito se consideran rıgidas. De esta manera, la variacion con respecto al
tiempo de la presion en el deposito se puede escribir como:
Pd = mRT
Vd(2.13)
donde Pd es la presion en el deposito. La variacion respecto al tiempo de
la presion en el deposito conectado al conducto es la misma que uno puede
40 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
encontrarse en un proceso de descarga [Fermi, 1996], y se escribe como:
Pd = −γCr
2Vd
(Pd
2 − Pm2)
(2.14)
donde γ es la razon de calores especıficos y Cr el coeficiente de restriccion
del conducto, que se puede definir como [Shames, 1982]:
Cr =πD4
c
128µlc(2.15)
siendo lc la longitud del conducto, Dc el diametro de su seccion, y µ la
viscosidad dinamica del aire. Teniendo en cuenta el tamano de los conductos
(en cuanto a su longitud y seccion) ası como la amplitud y frecuencia de la
senal de excitacion a que se vera enfrentada la suspension, es posible asumir
un flujo laminar incompresible (flujo de Hagen-Poiseuille, en particular, con
numero de Mach M < 0,3 y numero de Reynolds Re < 2300). Siguiendo
con el desarrollo del modelo, 2.12 y 2.13 se combinan y como resultado se
obtiene:
Pm = −PdVd
Vm− Vm
Pm
Vm(2.16)
Dos ecuaciones adicionales son necesarias para completar el modelo. La
primera es la variacion respecto al tiempo de la fuerza ejercida por el muelle
de aire, la cual puede obtenerse derivando 2.1:
F = PmAm + PmAm (2.17)
La segunda ecuacion es la segunda ley de Newton aplicada a la suspension:
Mx + Mg − F = 0 (2.18)
siendo M la masa suspendida, x su respuesta dinamica y g la aceleracion
debida a la gravedad.
2.2. MODELO 41
Las variaciones con respecto al tiempo del area efectiva del muelle (Am)
y del volumen del muelle (Vm) que aparecen en 2.16 y 2.17 se pueden
expresar como:
Am =dAm
dz
dz
dt= A′m(x− y) (2.19)
Vm =dVm
dz
dz
dt= V ′
m(x− y) (2.20)
Para finalizar, se procede a la reordenacion de las ecuaciones que han
aparecido para construir un sistema de tres ecuaciones diferenciales. La
primera de esas ecuaciones diferenciales se obtiene cuando 2.16 se combina
con 2.20. La segunda ecuacion del sistema es 2.14. La tercera y ultima de
estas ecuaciones se obtiene combinando la derivada con respecto al tiempo
de 2.18 con 2.17 y 2.19. Con todas estas expresiones puestas en orden, se
tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
Pm = −PdVdVm
− V ′m
PmVm
(x− y)
Pd = −γCr
2Vd
(Pd
2 − Pm2)
M...x = PdAm + PmA′m(x− y)
(2.21)
Este sistema tiene tan solo tres funciones del tiempo desconocidas, Pm, Pd,
y x. El resto de elementos son parametros conocidos (M , Vd, Cr, y y) o
funciones que han de ser determinadas de manera experimental (Am(z) y
Vm(z)).
2.2.1. Caracterizacion experimental del muelle de aire
Como se ha mencionado con anterioridad, existe un par de funciones
que han de determinarse de manera experimental: Am(z) y Vm(z). Para la
obtencion de dichas funciones y posterior utilizacion en la simulacion del
42 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
modelo previamente presentado, se procede a la caracterizacion experimen-
tal del muelle de aire. El muelle de aire utilizado para la caracterizacion
sera tambien utilizado en la validacion experimental del modelo posterior-
mente. El muelle de aire que se elige es el que se presenta en la figura
2.2. Se trata de un diapres neumatico modelo M/31062 de Norgren de dos
lobulos. Los materiales en que esta realizada corresponden a acero zincado,
aluminio y tela reforzada SBR, para las tapas, anillo central y fuelle res-
pectivamente. El fluido que aloja ha de ser aire comprimido no lubricado.
La presion maxima de trabajo es de 8 bar, mientras que el rango de tempe-
raturas oscilan entre -40oC y 70oC. El funcionamiento es de simple efecto.
La carrera maxima se situa en 115 mm. La caracterizacion de este muelle
neumatico se lleva acabo en el dispositivo hidraulico de la figura 2.3. El
Figura 2.2: Muelle de aire utilizado en la caracterizacion y en los ensayos
experimentales.
dispositivo consiste en un actuador hidraulico controlado por computador
con capacidad de carga de 120 y 100 kN para ensayos estaticos y dinamicos
respectivamente. El compresor del equipo es capaz de dotar de una presion
al fluido hidraulico de hasta 200 bar. De las dos mordazas que presenta la
unidad de carga, el actuador se situa en la mordaza inferior. Dichas mor-
dazas poseen un rango de apertura entre 11 y 15 mm. Con este equipo, es
2.2. MODELO 43
Figura 2.3: Actuador hidraulico para la caracterizacion y ensayos experi-
mentales del muelle de aire.
posible realizar ensayos en los que sea necesario el control por fuerza pero
tambien es posible realizar el control por desplazamiento. Ademas de los
equipos anteriores, ha sido necesario la incorporacion de una valvula de
regulacion de presion que adapte la presion del aire desde un acumulador
primario a las necesidades del muelle de aire. La reguladora de presion es
capaz de mantener la presion de aire regulada en un rango de 0 a 10 bar.
Para la realizacion de esta caracterizacion se situa el muelle de aire entre
las dos mordazas del actuador hidraulico. La parte superior del muelle se fija
mediante un util a la mordaza superior. Por otro lado, la mordaza inferior
se encarga de amarrar la parte inferior del muelle por medio de otro util. La
mordaza superior permanecera inmovil mientras que la inferior sera la que
44 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
transmitira el movimiento al muelle de aire. La distancia entre las mordazas
se elige de tal manera que la altura inicial del muelle de aire z0 resulte igual
a 130 mm.
Una vez que el diapres neumatico esta situado en su posicion inicial, se
procede a conectarlo a la red de aire comprimido. Para ello se une dicho
diapres con la toma de aire mediante un conducto al que se interpone la
citada valvula reguladora de presion. El muelle de aire se llena a una presion
manometrica de 2 bar. El actuador hidraulico es programado con control
en desplazamiento de tal manera que la altura del muelle varıa desde 0.09
m hasta 0.175 m. Durante ese proceso, la presion en el muelle permanece
constante, por tanto, la valvula reguladora de presion elimina o alimenta
en funcion de la altura del muelle. Ademas, la senal de la fuerza que ejerce
el muelle es capturada por la celula de carga del actuador hidraulico como
funcion del desplazamiento de la mordaza inferior.
El proceso se repite nuevamente para las presiones de 3 y 4 bar. De esta
manera, el area efectiva (funcion de la altura del muelle), como indica 2.1,
se puede obtener sin mas que calcular la razon entre la senal de la fuerza
capturada para cada presion constante (2, 3 y 4 bar) y cada una de esas
presiones. Los resultados de esta primera caracterizacion se muestran en
la figura 2.4. Como se puede apreciar, la influencia de la presion a la que
se realiza la caracterizacion del area efectiva es poco relevante. La segunda
funcion que ha de ser caracterizada experimentalmente es el volumen del
muelle de aire (Vm(z)) como funcion de la altura z. Para ello, se utiliza una
bomba reguladora de presion para llenar el muelle con agua manteniendo la
presion constante. La altura z se varıa de nuevo como en la caracterizacion
anterior desde 0.09 m hasta 0.175 m. Por tanto, la bomba reguladora de
presion ha de introducir o expulsar agua del muelle dependiendo de la
2.2. MODELO 45
altura para mantener la presion a un valor constante. Este procedimiento
se siguio para varios valores de la altura del muelle. Para cada uno de esos
valores, se evalua el volumen de agua dentro del muelle midiendo la masa de
agua restante en el deposito de la bomba, dado que se parte de un volumen
constante de agua para realizar la caracterizacion. Estos ensayos se realizan
para los mismos valores constantes de presion que los utilizados para la
caracterizacion del area efectiva del muelle. Los resultados de esta segunda
caracterizacion se muestran en la figura 2.5. Como se puede comprobar
nuevamente, la variacion del valor de presion constante al que se realizan
los ensayos, tiene tambien en el volumen escasa influencia.
Áre
a e
fect
iva
de
l mu
elle
de
aire
, A
[m
] 2
P = 3 bar m
P = 4 bar m
P = 2 bar m
1.6E-02
1.2E-02
8E-03
4E-03
m
Altura del muelle de aire, z [m]
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
Figura 2.4: Caracterizacion del area efectiva del muelle de aire en funcion
de la altura z y de la presion Pm.
46 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
Altura del muelle de aire, z [m]
Volu
men d
el m
uelle
de a
ire, V
[m
]
3
2E-03
1.6E-03
1.2E-03
8E-04
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
m
P = 3 bar m
P = 4 bar m
P = 2 bar m
Figura 2.5: Caracterizacion del volumen del muelle de aire en funcion de la
altura z y de la presion Pm.
2.2.2. Resultados del modelo no lineal
El sistema de ecuaciones diferenciales 2.21 se resuelve numericamente
utilizando la caracterizacion experimental previa de las funciones Am(z)
y Vm(z). Para realizar la simulacion del modelo se utiliza la herramienta
Simulink de Matlab [MathWorks, 1999]. El esquema de bloques programado
en la citada herramienta se muestra en la figura 2.6. La senal de entrada
en el modelo es la excitacion (y) mientras que las senales de salida son
las presiones del muelle de aire y del deposito (Pm y Pd) y la respuesta
dinamica (x).
El esquema representado en la figura 2.6 se compone en tres bloques
representativos de cada una de las tres ecuaciones diferenciales que com-
2.2. MODELO 47
Pm
Pd
x
y
y
x
x
Pd
Pm
Pm
Pm
Pd
P = - (P - P )d
M x = P A + P A’ (x-y) m
m
m m m
2VC
d
r
Vm
2 2
d
γ
P = -P - V’ (x-y) m d
Vdm Vm
P m
Figura 2.6: Diagrama general de la herramienta Simulink para el modelo
no lineal de la suspension neumatica.
ponen el sistema 2.21. Estos tres bloques secundarios dan como resultado
las funciones incognita x, Pm, y Pd, las cuales son introducidas de nuevo
en su mismo bloque y en los otros dos en un proceso de iteracion. Ademas
de estas funciones, el resto de constantes o funciones obtenidas de manera
experimental son utilizadas en cada bloque.
La rigidez de la suspension neumatica es simulada en primer lugar. Para
ello se utilizan cuatro tipos diferentes de conductos representados por sus
respectivos coeficientes Cr. El rango de frecuencia utilizado en el analisis
va desde 0.1 hasta 25 Hz. Los resultados de esta simulacion son mostrados
en modulo y fase en la figura 2.7. Todas las curvas, en los diagramas de
modulo, muestran zonas de rigidez relativamente constante a altas y bajas
frecuencias. Entre esas dos zonas de frecuencia constante, existe una zona
48 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
idez
[N/m
]F
ase
[º]
Frequencia [Hz]
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
ide
z [N
/m]
Fase
[º]
Frequencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5 Cr = 1.4 · 10
-7m /Ns 5
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns 5
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5 m /Ns
5
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5 Cr = 1.4 · 10
-7m /Ns 5
Frequencia [Hz] Frequencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
Frequencia [Hz] Frequencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
Frequencia [Hz] Frequencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
idez
[N/m
]F
ase
[º]
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
ide
z [N
/m]
Fase
[º]
(a) (c)
(b) (d)
(e) (g)
(f) (h)
Figura 2.7: Resultados de la simulacion del modelo no lineal para la rigidez
de la suspension neumatica.
2.2. MODELO 49
intermedia de transicion que conecta a ambas. Este patron de comporta-
miento de la rigidez se repite para cada uno de los coeficientes Cr usados.
No obstante, la zona de transicion se traslada a frecuencias mas altas a
medida que el coeficiente Cr crece.
Si se observa ahora los diagramas de fase, tambien se puede observar
la citada zona de transicion creciente con el coeficiente Cr. A bajas y altas
frecuencias, la fuerza y la altura del muelle se encuentran en oposicion
de fase. Sin embargo, la zona de transicion en la rigidez se identifica en
los diagramas de fase como la zona de frecuencias donde la curva de fase
encuentra el maximo. El siguiente parametro simulado por el modelo no
lineal en la herramienta Simulink es el amortiguamiento. Para ello, para
cada uno de los valores del coeficiente Cr, se representa el valor de la fuerza
que ejerce la suspension frente al desplazamiento y, como se muestra en los
diagramas de Carding de la figura 2.8.
En la simulacion se ha tomado una variacion de y de ±5 mm alrededor
del valor inicial de la altura del muelle z0. Estos diagramas muestran a la
vez la variacion de la rigidez (como variacion de la pendiente de las curvas) y
del amortiguamiento (como variacion del area encerrada en las curvas) con
respecto a la frecuencia. Para cada uno de los cuatro diagramas, se muestran
cuatro curvas correspondientes a cuatro frecuencias diferentes para las que
se ha simulado el modelo. Se puede observar como el amortiguamiento, para
un mismo coeficiente Cr, crece con la frecuencia hasta un valor maximo.
A partir de ese punto, incrementos en la frecuencia hacen decrecer el valor
del amortiguamiento. Existe, por tanto, una frecuencia a la que el sistema
alcanzar un maximo de amortiguamiento. Si se cambia a otra configuracion
definida por otro coeficiente Cr de mayor valor, se reproduce el mismo
comportamiento, es decir, crecimiento del amortiguamiento hasta un valor
50 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
0.2 Hz0.7 Hz 2 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
0.4 Hz 1 Hz 3 Hz 5 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
1 Hz 7 Hz 10 Hz 15 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
2 Hz 8 Hz 15 Hz 20 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
(a) (b)
(c) (d)
4 Hz
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5
Cr = 1.4 · 10-7
m /Ns 5
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns 5
Figura 2.8: Resultados de la simulacion del modelo no lineal para el Dia-
grama de Carding de la suspension neumatica.
2.2. MODELO 51
maximo para un posterior descenso del mismo, solo que ese proceso se
produce ahora a frecuencias superiores. Por tanto, se observa como la zona
de frecuencias a la que el amortiguamiento alcanza los mayores valores
coincide con la zona de frecuencias donde se producıa la transicion en el
valor de rigidez. En estos diagramas de Carding tambien es posible apreciar
la zona de transicion dado que la rigidez parte de un valor y crece hasta otro
superior a medida que aumenta la frecuencia. A frecuencias intermedias,
coincidiendo con la zona de amortiguamiento mayor, es donde se produce la
zona de transicion. Seguidamente, se procede a la simulacion de la respuesta
a escalon del modelo. El mayor y el menor valor del coeficiente Cr se utilizan
para el analisis. Se introduce como senal de entrada al modelo dos escalones
de valores diferentes: 10 mm y 2.5 mm. Los resultados de la simulacion se
muestran en la figura 2.9.
Re
spu
est
a a
esc
aló
n,
x(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tiempo [s]
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10-8
Cr ~ m /Ns5
10-5
Cr ~ m /Ns5
y(t)
Figura 2.9: Resultados de la simulacion del modelo no lineal para la res-
puesta a escalon de la suspension neumatica.
52 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
En dicha figura se puede observar como la configuracion para la sus-
pension con el menor valor del coeficiente Cr presenta una mayor rigidez
y, por tanto, una mayor frecuencia natural que el sistema cuya configura-
cion esta relacionada con un mayor valor del coeficiente Cr. Por otro lado,
tambien se puede apreciar como la configuracion con el menor valor del coe-
ficiente Cr presenta una respuesta menos amortiguada que la configuracion
con el mayor valor de dicho coeficiente.
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilida
d
Frequencia [Hz]10
010
1
8
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilida
dFrequencia [Hz]
100
101
8
Cr = 1.4 · 10-7
m /Ns 5
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilida
d
Frequencia [Hz]
100
101
8
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilida
d
Frequencia [Hz]
100
101
8
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns 5
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.10: Resultados de la simulacion del modelo no lineal para la trans-
misibilidad de la suspension neumatica.
Finalmente, se procede a la simulacion de la transmisibilidad de la sus-
pension. El rango de frecuencias ahora analizado se situa entre 0.5 y 7 Hz,
2.3. MODELO LINEAL 53
dado que esa es la zona donde se hallan la informacion mas relevante sobre
la respuesta de este tipo de suspensiones. Los resultados de la simulacion se
muestran en la figura 2.10 para cada uno de los cuatro coeficientes Cr que
se han venido analizando. La influencia del coeficiente Cr en la frecuencia
de resonancia de la suspension es detectada nuevamente.
2.3. Modelo lineal
En esta seccion se procede a la linealizacion del modelo anteriormen-
te presentado. Para ello, se aplica una serie de Taylor de primer orden al
sistema no lineal de ecuaciones diferenciales 2.21 de la anterior seccion.
Esta serie de Taylor se aplica alrededor de un punto de equilibrio estati-
co denotado por el superındice est y que se define por los siguientes valores:
mest = 0; Am = Aestm ; zest = z0;
Pm = Pd = P estd = P est
m ; P estm = 0; P est
d = 0;
A′estm = λ; Vm = V est
m ; V′estm = κ; F est = 0; zest = (x− y)est = 0;
De ese modo, el sistema de ecuaciones diferenciales, en su version linea-
lizada, se puede escribir de la siguiente manera:
Pm = −PdVd
V estm
− κP est
m
V estm
(x− y) (2.22)
Pd = −γCrPestm
Vd(Pd − Pm) (2.23)
M...x = Aest
m Pm − λP estm (x− y) (2.24)
El siguiente paso, una vez linealizadas las ecuaciones, es escribir las mismas
en el dominio de Laplace. Aplicando dicha transformada a las tres ecuacio-
54 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
nes anteriormente linealizadas y reordenando terminos, se puede obtener
la relacion entre la fuerza ejercida por la suspension, F (s), y la altura del
muelle de aire, Z(s), es decir, se puede obtener la funcion de transferencia
de la rigidez de la suspension y se escribe como:
F (s)Z(s)
= −s (KAM + KV M ) + WKV M
(1 + KAM
KV MD
)
s + W(
KV MKV MD
) (2.25)
donde W se define como W = γCrPestm /Vd. Los terminos KAM , KV M , y
KV MD son definidos respectivamente como los valores de rigidez 2.7, 2.6 y
2.9 en condiciones estaticas:
KAM = −P estm λ = kam|est (2.26)
KV M =P est
m Aestm
V estm
κ = kvm|est (2.27)
KV MD =P est
m Aestm
V estm + Vd
κ = kvmd|est (2.28)
y por tanto los valores de rigidez definidos en 2.5 y 2.8 se pueden escribir
ahora como:
KM = kestm = KAM + KV M (2.29)
K = kest = KAM + KV MD (2.30)
Las ecuaciones linealizadas 2.22, 2.23, y 2.24, escritas en el dominio de
Laplace, son de nuevo utilizadas para, reordenando terminos, poder obtener
la relacion entre la respuesta de la suspension, X(s), y la excitacion sobre
la misma, Y (s), es decir, para obtener la funcion de transferencia de la
2.3. MODELO LINEAL 55
transmisibilidad de la suspension, que se puede escribir como:
X(s)Y (s)
=s(
KAM+KV MM
)+ W KV M
M
(1 + KAM
KV MD
)
s3 + s2(W KV M
KV MD
)+ s
(KAM+KV M
M
)+ W KV M
M
(1 + KAM
KV MD
)
(2.31)
La funcion de transferencia de la transmisibilidad anterior puede simplifi-
carse, y por tanto ser mas util para analisis posteriores, si se reordenan sus
terminos haciendo uso de dos parametros adimensionales, θ y ε, definidos
de la siguiente manera:
θ =√
KAM + KV M
KAM + KV MD(2.32)
ε =W
ωsθ2
KV M
KV MD(2.33)
donde ωs =√
KM/M . Estos dos parametros adimensionales se introducen
en 2.31, resultando la siguiente funcion de transferencia adimensional para
la transmisibilidad:
X(s)Y (s)
=s(
1ωsε
)+ 1
s3(
1ω3
sε
)+ s2
(θ2
w2s
)+ s
(1
ωsε
)+ 1
(2.34)
Esta expresion de la transmisibilidad sera empleada de nuevo para obtener
conclusiones acerca del comportamiento de la suspension. En la figura 2.7 de
la seccion anterior, la rigidez de la suspension se obtuvo mediante simulacion
del modelo no lineal. En dicha figura se observaba como la rigidez se podıa
dividir en dos zonas correspondientes a bajas y altas frecuencias. Cada una
de las cuatro curvas, correspondientes a los cuatro valores seleccionados del
coeficiente Cr, crecen desde un valor de rigidez bajo a bajas frecuencias, que
a la postre resulta ser el lımite inferior, hasta un valor de rigidez alto a altas
56 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
frecuencias, que resulta ser el lımite superior. Como se puede comprobar,
estos valores lımite de rigidez no dependen del coeficiente Cr que se tome, y
corresponden a los valores de rigidez obtenidos con los modelos simplificados
de la seccion anterior. En particular, el valor de rigidez a bajas frecuencias
coincide con aquel expresado en 2.8, mientras que el valor de rigidez a altas
frecuencias coincide con aquel expresado en 2.5. Estos valores lımite de
rigidez pueden tambien obtenerse por medio del modelo lineal recientemente
presentado. A bajas frecuencias, la rigidez de la suspension tiende a:
F (s)Z(s)
∣∣∣∣s⇒0
= KAM + KV MD (2.35)
resultando por tanto un valor de rigidez igual a K. Por otro lado, a altas
frecuencias, la rigidez de la suspension tiende a:
F (s)Z(s)
∣∣∣∣s⇒∞
= KAM + KV M (2.36)
resultando ahora un valor de rigidez igual a KM . La transicion entre es-
tos dos valores de rigidez tiene a lugar a frecuencias que si dependen del
coeficiente Cr elegido.
En la figura 2.10, se pudo comprobar como la frecuencia de resonan-
cia correspondiente al mayor valor del coeficiente Cr es practicamente la
frecuencia mas baja que se puede alcanzar. De hecho, esta frecuencia de
resonancia puede ser calculada de manera aproximada asumiendo que la
rigidez de la suspension en esta situacion es la rigidez a bajas frecuencias
del modelo lineal K. De manera similar, la frecuencia de resonancia corres-
pondiente al menor valor del coeficiente Cr es practicamente la frecuencia
mas alta que se puede alcanzar. Esta frecuencia tambien puede ser obtenida
de forma aproximada considerando que la rigidez de la suspension en este
caso es la rigidez a altas frecuencias del modelo lineal KM .
2.3. MODELO LINEAL 57
Consideremos de nuevo el parametro adimensional ε definido con ante-
rioridad. Teniendo en cuenta que dicho parametro esta relacionado con el
coeficiente de restriccion del conducto, la evaluacion del lımite de la funcion
de transferencia adimensional y lineal de la transmisibilidad 2.34, cuando
ε es relativamente grande o pequeno, debe aportar conocimientos acerca
del comportamiento del sistema cuando uno u otro conducto es interpuesto
entre el acumulador y el muelle de aire de la suspension neumatica. De esta
manera, evaluando dicha funcion de transferencia cuando ε tiende a 0, es
decir, en una situacion tal como la presentada con el menor coeficiente Cr,
resulta:X(s)Y (s)
∣∣∣∣ε⇒0
=1
s2 1ω2
m+ 1
(2.37)
La suspension evaluada en estas condiciones resulta igual a un tıpico sistema
no amortiguado con una frecuencia equivalente igual a KM , es decir, el
sistema se comporta como un sistema formado tan solo por el muelle de
aire. Por otro lado, evaluando la funcion de transferencia 2.34 cuando ε
tiende a infinito, es decir, en una situacion tal como la presentada con el
mayor coeficiente Cr, resulta:
X(s)Y (s)
∣∣∣∣ε⇒∞
=1
s2 θ2
ω2m
+ 1=
1s2 1
ω2 + 1(2.38)
donde ω se define como√
K/M . De esta manera, el resultado es un tıpico
sistema no amortiguado con una rigidez equivalente K, correspondiente
a una suspension con un muelle de aire con un incremento de volumen
procedente del deposito.
Para acabar esta seccion, se procede a evaluar el rango de validez del
modelo lineal presentado anteriormente. Para ello, se compara el valor del
pico de resonancia en el diagrama de transmisibilidad para un determinado
58 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
10 20 30 40 50 600
Carrera del muelle de aire [%]
Desv
iaci
ón d
el m
odelo
lineal
[%]
Figura 2.11: Porcentaje de desviacion del modelo lineal respecto al no lineal
en funcion de la carrera del muelle de aire.
valor del coeficiente Cr tanto en el modelo no lineal como en el linealiza-
do. Dicha comparacion se muestra en la figura 2.11 en funcion del valor de
desplazamiento experimentado en la suspension expresado como porcentaje
de la carrera del muelle de aire, para un muelle de aire con carrera igual a
115 mm, es decir, para un muelle de aire como el utilizado en la caracteri-
zacion. Como se puede observar en dicha figura, la desviacion del modelo
lineal frente al no lineal no supera el 10% hasta valores inferiores al 25%
de la carrera del muelle de aire.
2.4. Validacion experimental: Prototipo I
En esta seccion se procede a la validacion experimental del modelo pre-
sentado, para lo cual se selecciona una serie de elementos para la suspension
neumatica. Estos elementos se adquieren de manera comercial, es decir, no
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 59
se fabrican ex profeso para el prototipo experimental. La primera parte
de esta seccion se dedicada a estudiar el tipo de transformacion que sufre
el aire dentro de la suspension. Se compara una serie de ensayos realiza-
dos sobre el prototipo con lo predicho por el modelo. La segunda parte de
la seccion se dedicara a validar las simulaciones de los parametros de la
suspension presentadas anteriormente, esto es, las simulaciones de rigidez,
amortiguamiento y transmisibilidad. En los ensayos, ademas del muelle de
aire presentado previamente, se utilizaran los otros dos elementos de la
suspension que se muestran en la figura 2.12, es decir, se incorporan los
conductos de diferentes tamanos y un deposito de 2 l. de capacidad.
a b
Figura 2.12: Elementos adicionales de la suspension: a) deposito auxiliar de
2 l. de capacidad, b) conductos de diferente longitud y seccion.
2.4.1. Evaluacion de las transformaciones del gas dentro de
la suspension
Los elementos de la suspension que conforman el Prototipo I se presen-
tan en la figura 2.13. Este prototipo es utilizado para evaluar experimental-
mente el comportamiento del gas en el interior de la suspension neumatica.
Para tal fin, la rigidez de la suspension (como funcion de la altura del mue-
60 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
lle) es evaluada para distintas presiones iniciales de llenado. Esta rigidez
se calcula tanto de forma experimental como utilizando las ecuaciones del
modelo simplificado mostradas en la parte inicial del modelo.
Para la obtencion experimental de la rigidez como funcion de z se pro-
cede de la siguiente manera: El montaje experimental mostrado en la figura
2.13 es usado para obtener el valor de la fuerza que ejerce la suspension en
funcion de la altura del muelle de aire z. Para ello, se llena la suspension
compuesta por los tres elementos habituales, muelle de aire, conducto y
deposito (siendo el conducto elegido el correspondiente a un valor pequeno
del coeficiente Cr) hasta un valor inicial de presion manometrica de 2 bar.
En ese instante se mantiene cerrado el circuito de aire de la suspension de
tal manera que la masa de aire permanezca constante. A continuacion se
programa el actuador hidraulico para que la mordaza inferior se desplace
de tal manera que z varıe entre z0±40 mm con una frecuencia de 3 Hz. En
todo momento, la fuerza ejercida por la suspension se registra por medio de
la celula de carga del actuador hidraulico. Este mismo proceso se repite en
otras dos ocasiones con otros dos valores iniciales de presion de 3 y 4 bar.
Los resultados de estos ensayos se muestran en la figura 2.14. La rigidez
experimental es obtenida a partir de esta figura sin mas que derivar numeri-
camente cada curva (correspondiente a cada presion inicial) respecto a z. El
resultado de la derivacion de la fuerza respecto a z se muestra en la figura
2.15 para cada una de las tres curvas. En dicha figura se observa como la
rigidez no es lineal con z, siendo esta rigidez mas pronunciada a medida
que z disminuye. La rigidez como funcion de la altura del muelle se obtiene
ahora por medio de las expresiones analıticas simplificadas de la rigidez de
la suspension para ser comparada con la obtenida experimentalmente. Para
ello se tratara de evaluar la rigidez haciendo uso de la expresion 2.5. Esto
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 61
Figura 2.13: Montaje experimental para la obtencion de la rigidez de la
suspension neumatica del Prototipo I.
es ası puesto que las condiciones en que la rigidez experimental se obtiene
(a frecuencias relativamente altas y valores pequenos del coeficiente Cr) co-
rresponden al ambito donde la rigidez de la suspension se comporta segun
dicha expresion. La rigidez de la suspension en las circunstancias anterio-
res, esta compuesta por la suma de los terminos kvm de 2.6 y kam de 2.7.
El termino kam depende de la presion interna del muelle y tambien de la
variacion del area efectiva del muelle respecto a z. Para evaluar este primer
termino de rigidez se hace uso nuevamente de la caracterizacion del muelle
de aire (para obtener dAm/dz) y de la medida de la presion interna del
muelle ante variaciones de z. Para obtener esto ultimo, se realiza un ensayo
experimental. Sobre el montaje experimental descrito en la caracterizacion
experimental, se realizan variaciones en z de z0± 40. Antes de eso, se llena
62 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.180
2000
4000
6000
8000
12000
10000
Altura del muelle de aire, z [m]
Fuerz
a [N
]
P = 2 bar
0
P = 3 bar0
P = 4 bar0
Figura 2.14: Fuerza ejercida por la suspension en funcion de la altura del
muelle de aire para distintas presiones iniciales.
la suspension hasta un valor de presion inicial y se cierra el circuito de aire
de manera que la masa de aire permanezca constante. Ademas, para recoger
la senal de presion, se incorpora una sonda de presion como la mostrada en
la figura 2.16.
Finalmente, se representa la presion registrada frente a z como se puede
apreciar en la figura 2.17. El proceso se repite nuevamente para otros dos
valores de presion inicial. De esta manera, queda evaluado el termino de
rigidez kam y se representa frente a z en la figura 2.18. El segundo termi-
no de km es kvm. Dicho termino kvm, depende de las funciones Am(z) y
Vm(z) determinadas en la caracterizacion experimental, de la variacion del
volumen del muelle respecto a z, dVm/dz, y de constantes como la presion
inicial del muelle, el area efectiva inicial y del exponente politropico. Por
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 63
Rig
ide
z
[N/m
]
Altura del muelle de aire, z [m]
3.5
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
P = 2 bar
0
P = 3 bar0
P = 4 bar0
x 5
10
Figura 2.15: Rigidez experimental de la suspension en funcion de la altura
del muelle de aire para distintas presiones iniciales.
tanto, el termino kvm, tendra a su vez dos posibles resultados, es decir, de-
bera ser evaluado suponiendo tanto una transformacion isoterma como una
adiabatica. El termino kvm, por tanto, se evalua para estas dos versiones de
transformacion politropica, y se muestra en la figura 2.19 (transformacion
isoterma) y en la figura 2.20 (transformacion adiabatica) para tres valores
de presion inicial (2, 3 y 4 bar). Una vez que se tienen los terminos de rigi-
dez kam y kvm para cada una de las tres presiones iniciales (2, 3 y 4 bar), es
posible obtener, sumando ambos terminos, el termino km que corresponde
a la rigidez de la suspension en las circunstancias en que fue ensayada.
En la figura 2.21 se muestra, para la presion inicial de 3 bar, una com-
paracion entre la rigidez km obtenida experimental y analıticamente distin-
guiendo, para este ultimo caso, el efecto sobre dicha rigidez de una trans-
64 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
Figura 2.16: Sonda de presion utilizada en la medida de la presion interna
del muelle de aire.
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 1
2
3
4
5
7
6
Pre
sión, [bar]
8
Altura del muelle de aire, z [m]
P = 2 bar0
P = 3 bar0
P = 4 bar0
P m
Figura 2.17: Presion interna en el muelle de aire en funcion de la altura del
muelle de aire para distintas presiones iniciales.
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 65
Altura del muelle de aire, z [m]
7
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18
6
5
4
3
2
1
P = 2 bar0
P = 3 bar0
0
x 4
10
P = 4 bar
Rig
ide
z, k
[N
/m]
am
Figura 2.18: Rigidez debida a variaciones del area efectiva del muelle de
aire respecto de la altura.
Altura del muelle de aire, z [m]
16
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18
14
12
10
8
4
2
x 4
10
Rig
ide
z, k
[
N/m
]v
m
6
0
P = 2 bar0
P = 3 bar0
0P = 4 bar
Figura 2.19: Rigidez debida a variaciones del volumen del muelle de aire
respecto de la altura para el caso isotermo.
66 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
Altura del muelle de aire, z [m]
25
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18
20
15
10
P = 2 bar0
P = 3 bar0
0
x 4
10
P = 4 bar
Rig
ide
z, k
[
N/m
]v
m
5
0
Figura 2.20: Rigidez debida a variaciones del volumen del muelle de aire
respecto de la altura para el caso adiabatico.
formacion isoterma o adiabatica. En tono negro se representa la rigidez
km obtenida analıticamente suponiendo que en el volumen de control de
la suspension ocurre una transformacion isoterma. En tono gris oscuro se
representa la misma rigidez tambien de manera analıtica pero considerando
que se produce una transformacion adiabatica. Por ultimo, en tono gris cla-
ro se representa la rigidez obtenida en la figura 2.15. En la zona proxima a
z0 del muelle de aire, es decir, alrededor de z = 130 mm, la transformacion
isoterma explica mejor el comportamiento de la rigidez de la suspension.
Este hecho apoya la hipotesis de transformacion isoterma asumida en la des-
cripcion del modelo en base a la medicion experimental de la temperatura
por medio de un termopar.
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 67
Altura del muelle de aire, z [m]
25
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18
20
15
10
x 4
10R
igid
ez,
k
[N
/m]
5
0
30
35
IsotermoAdiabáticoExperimental
m
Figura 2.21: Rigidez de la suspension obtenida de manera analıtica (con
transformacion adiabatica o isoterma) y experimental para el caso en que
el sistema soporta una dinamica rapida.
2.4.2. Validacion experimental de los parametros de la sus-
pension
En esta seccion se procede a la validacion experimental de los resulta-
dos obtenidos por el modelo analıtico en secciones anteriores. Para ello, se
realizan una serie de ensayos en el Prototipo I (formado por el muelle de
aire, conductos y acumulador descritos con anterioridad) que conducen a
la obtencion de la rigidez, el amortiguamiento y la respuesta dinamica de
la suspension. Para la realizacion de los ensayos encaminados a obtener la
rigidez y el amortiguamiento se emplea la disposicion experimental mos-
trada en la figura 2.13. En estos ensayos se utiliza el muelle de aire que
fue anteriormente empleado en la caracterizacion experimental, el deposito
68 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
Conducto Longitud [m] Diametro [mm] Coeficiente Cr[m5/Ns]
1 2 2.7 3.6·10−8
2 1.5 4 1.4·10−7
3 1 6 2.7·10−6
4 0.5 8 1.1·10−5
tabla 2.1: Geometrıa de los conductos utilizados en los ensayos experimen-
tales del Prototipo I de suspension neumatica.
auxiliar de 2 l. de capacidad y un juego de cuatro conductos comerciales
de nylon con el que se comunican ambos elementos. Las caracterısticas de
estos tubos, ya empleados en los analisis del modelo, se muestra en la tabla
2.1.
El tamano de estos elementos, conductos, deposito y muelle de aire,
sera el parametro de diseno mas importante, y tendra gran influencia en el
comportamiento de la suspension. Como se ha mencionado anteriormente,
los primeros ensayos, rigidez y amortiguamiento se desarrollan en el banco
experimental de la figura 2.13. Para el ensayo de rigidez de la suspension,
el procedimiento a seguir es el siguiente: en primer lugar, se fija el muelle
de aire a la mordaza inferior del actuador hidraulico por medio de un util
disenado para tal uso. A continuacion, se acerca la mordaza superior para
amarrar el otro lado del muelle de aire, por medio de otro util disenado
ex profeso. Una vez que ambos lados del muelle de aire quedan amarrados,
se desplaza la mordaza inferior hasta conseguir que la altura del muelle z
alcance un valor igual z0 = 130 mm. Seguidamente, se conecta uno de los
conductos entre el muelle y el deposito.
Al deposito tambien le llega otro conducto, este procedente de la toma
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 69
de aire a presion, con el que se introduce aire a la suspension hasta un
determinado valor inicial controlado por medio de una valvula reguladora
de presion. Una vez que se ha llenado de aire la suspension, el conducto
alimentador de aire queda cerrado justo en la entrada al deposito con el
fin de que la masa de aire dentro de la suspension permanezca constante.
Para este ensayo, la presion manometrica seleccionada es de 3 bar. Este
proceso previo a la realizacion del ensayo de rigidez es repetido para cada
uno de los cuatro conductos. Para este ensayo, la senal de entrada es un
seno de 5 mm de amplitud aplicado por el actuador hidraulico. El rango
de frecuencias utilizado va desde 0.1 hasta 25 Hz. La senal de salida es la
senal de fuerza medida mediante la celula de carga del actuador hidraulico.
Una vez recogidas las senales, se representa el cociente entre la amplitud
de la fuerza y la amplitud del desplazamiento en funcion de la frecuencia
de excitacion. Los resultados de estos ensayos se muestran en la figura 2.22
junto con los resultados del modelo tanto en su forma no lineal como en
su forma linealizada. En dicha figura, se representa la rigidez en magnitud
(figuras 2.22a, 2.22c, 2.22e y 2.22g) y en fase (figuras 2.22b, 2.22d, 2.22f
y 2.22h) para cada uno de los cuatro conductos. Como se puede apreciar
en todas estas figuras, el comportamiento de la suspension en el banco de
ensayos ha sido bastante bien reproducido tanto por el modelo no lineal
como por el lineal. Las senales recogidas en los ensayos de rigidez, son reu-
tilizados para representar el diagrama de Carding experimental. Como en
la simulacion del modelo, se muestran cuatro diagramas correspondientes
a los cuatro conductos. En cada uno de ellos, se representa la fuerza ejer-
cida por el muelle de aire de la suspension, frente al desplazamiento (±5
mm alrededor de la posicion de equilibrio z0 = 130 mm). Los diagramas de
Carding experimentales se muestran en la figura 2.23. En este caso, como
70 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
ide
z [N
/m]
Fa
se [
º]
Frecuencia [Hz]
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
ide
z [N
/m]
Fa
se [
º]
Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5 Cr = 1.4 · 10
-7m /Ns 5
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns 5
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5 m /Ns
5
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5 Cr = 1.4 · 10
-7m /Ns 5
Frecuencia [Hz] Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
Frecuencia [Hz] Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
Frecuencia [Hz] Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1 10 −1 10 0 10 1
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
ide
z [N
/m]
Fa
se [
º]
− 185
− 180
− 175
− 170
− 165
− 160
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8 x 104
Rig
ide
z [N
/m]
Fa
se [
º]
(a) (c)
(b) (d)
(e) (g)
(f) (h)
Figura 2.22: Comparacion de la rigidez del Prototipo I: modelo no lineal
(lıneas delgadas); modelo lineal (lıneas gruesas) y ensayos experimentales
(cırculos).
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 71
en las simulaciones de los modelos, se repite el comportamiento de la sus-
pension en cuanto al amortiguamiento. El amortiguamiento va creciendo
desde un valor pequeno hasta un valor maximo y despues vuelve a caer su
valor. Esta tendencia se produce nuevamente a medida que la frecuencia
crece. El maximo de amortiguamiento coincide con la zona de transicion
entre valores constante de rigidez a altas y bajas frecuencias.
Ese transitorio de frecuencia donde es maximo el amortiguamiento se
produce a una frecuencia superior a medida que el coeficiente Cr del con-
ducto crece. En definitiva, el ensayo experimental del diagrama de Carding
se ajusta bastante bien a los diagramas que resultaron de la simulacion.
En los dos siguientes ensayos, se pretende determinar experimentalmen-
te la respuesta a escalon y la respuesta dinamica de la suspension. Para ello,
al montaje experimental utilizado en los ensayos anteriores, se le suma una
masa suspendida de valor 115 kg mediante la incorporacion de discos de
acero, como se muestra en la figura 2.24. El valor de la masa elegido corres-
ponde a la fuerza necesaria para equilibrar estaticamente la fuerza ejercida
por la suspension cuando se introduce aire a una presion de 1 bar. Ma-
yores valores de presion inicial en la suspension, harıan necesario un valor
superior de masa y un consiguiente incremento de volumen, lo cual serıa
inviable dado el espacio de trabajo util que ofrece el actuador hidraulico.
Con respecto a la disposicion experimental del ensayo, un util es cons-
truido para que, a la vez, amarre la parte superior del muelle de aire y aloje
los discos que constituyen la masa suspendida. Ademas, este util presenta
una guıa cilındrica capaz de introducirse dentro de un husillo de bolas el
cual esta fijado por la mordaza superior del actuador hidraulico. De esta
manera, el movimiento rectilıneo y vertical de la masa queda asegurado.
Una vez que el banco experimental ha sido ensamblado se procede al lle-
72 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
0.4 Hz
1 Hz
3 Hz
5 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
1 Hz
7 Hz
10 Hz
15 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
2 Hz
8 Hz
15 Hz
20 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
(b)
(c) (d)
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
0.2 Hz
0.7 Hz
2 Hz
4 Hz
Desplazamiento, y [m]
Fuerza, F
[N]
(a)
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5
Cr = 1.4 · 10-7
m /Ns 5
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns 5
Figura 2.23: Diagrama de Carding experimental para la suspension
neumatica del Prototipo I.
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 73
Figura 2.24: Montaje experimental para la obtencion de la transmisibilidad
de la suspension neumatica del Prototipo I.
nado de la suspension hasta una presion de 1 bar. Este llenado se produce
paulatinamente a medida que se van colocando cada uno de los discos de
acero. El actuador hidraulico es capaz de generar una senal cuadrada de
desplazamiento que es usada como senal de entrada en el ensayo de respues-
ta a escalon. La frecuencia de esta senal cuadrada se elige lo suficientemente
lenta como para poder adquirir adecuadamente la senal de salida del des-
plazamiento de la masa suspendida. Como en la simulacion del modelo, dos
tamanos distintos de escalon son experimentados: 10 y 2.5 mm. Los resul-
tados de estos ensayos se muestran en la figura 2.25. Por tanto, la figura 2.9
74 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
Re
spu
est
a a
esc
aló
n,
x(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tiempo [s]
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10-8
Cr ~ m /Ns5
10-5
Cr ~ m /Ns5
y(t)
Figura 2.25: Respuesta a escalon experimental para la suspension neumatica
del Prototipo I.
obtenida en la simulacion del modelo, reproduce aceptablemente el compor-
tamiento real de la suspension en cuanto a frecuencia y a amortiguamiento
para los dos tipos de escalon.
En la figura 2.26 se muestra una comparacion entre la respuesta a es-
calon normalizada obtenida de manera experimental y mediante la simu-
lacion del modelo lineal para los conductos con valor mayor y menor del
coeficiente Cr. En dicha figura, se vuelve a comprobar como el modelo lineal
coincide con los resultados experimentales, presentando un valor de rigidez
superior la configuracion de la suspension con el coeficiente Cr menor. Sin
embargo, este coeficiente no dota a la suspension de excesivo amortigua-
miento, y es el coeficiente mayor de Cr el que hace mas amortiguado el
comportamiento de la suspension.
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 75
Resp
ue
sta a
esc
aló
n n
orm
aliz
ada
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tiempo (s)
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tiempo [s]
Resp
ue
sta a
esc
aló
n n
orm
aliz
ada 1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Modelo lineal
Experimental
Modelo lineal
Experimental
(a)
(b)
Figura 2.26: Comparacion entre el modelo lineal y los ensayos experimen-
tales para la respuesta a escalon de la suspension neumatica del Prototipo
I: a) para Cr ≈ 10−8; b) para Cr ≈ 10−8.
76 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
En la tabla 2.2 se muestran los valores de rigidez y factor de amortigua-
miento que resultan del modelo lineal y de los ensayos experimentales para
los dos valores extremos del coeficiente Cr. El factor de amortiguamiento
experimental se estima por medio de la tecnica del decremento logarıtmico
[Rao, 1995]. Se puede comprobar como el modelo lineal es capaz de predecir
bastante bien el comportamiento de la suspension en cuanto a su rigidez
pero no es capaz de hacerlo con tanta precision en cuanto al amortigua-
miento. Sin embargo, es comun encontrar cierta dificultad para construir
un buen modelo que sea capaz de predecir dicho amortiguamiento, de he-
cho, en muchas ocasiones, este amortiguamiento es determinado de manera
experimental.
Cr Metodo fn [Hz] ξ % Error fn % Error ξ
∼ 10−5 Modelo lineal 2.261 0.102 2.5 7.2
Experimental 2.321 0.110
∼ 10−8 Modelo lineal 3.054 0.075 1.0 11.7
Experimental 3.088 0.085
tabla 2.2: Comparacion entre la rigidez y el amortiguamiento del modelo
lineal y los resultados experimentales para el mayor y el menor valor del
coeficiente Cr.
Finalmente, se procede a la realizacion del ensayo de transmisibilidad.
Para ello, nuevamente el juego de cuatro conductos se incluyen en el ensayo.
En este caso, la senal de entrada en una senal senoidal de 1.5 mm de
amplitud y un rango de frecuencia que varıa entre 0.5 y 7 Hz. Con estos
parametros de senal de excitacion, la senal salida es la respuesta de la
suspension, la cual es recogida por medio de un sensor de desplazamiento
2.4. VALIDACION EXPERIMENTAL: PROTOTIPO I 77
LVDT (modelo Schaevitz DC-EC 2000) con un rango de medida de ±50
mm y 0.01 mm de resolucion. La parte movil de dicho sensor se ensambla
solidaria a la masa para poder capturar la senal de desplazamiento.
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frequencia [Hz]
100
101
8
Cr = 3.6 · 10-8
m /Ns 5
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frequencia [Hz]
100
101
8
Cr = 1.4 · 10-7
m /Ns 5
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia [Hz]
100
101
8
0
2
4
6
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia [Hz]
100
101
8
Cr = 2.7 · 10-6
m /Ns 5 Cr = 1.1 · 10
-5m /Ns 5
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.27: Comparacion de la transmisibilidad de la suspension neumati-
ca del Prototipo I obtenida mediante el modelo no lineal (lıneas delgadas),
mediante el modelo lineal (lıneas gruesas) y mediante los ensayos experi-
mentales (cırculos).
En la figura 2.27 se muestran los resultados de este ensayo. Para cada
uno de los cuatro conductos, se representa el diagrama de transmisibilidad
junto con los obtenidos por medio de los modelos, tanto en la version no
lineal como en la version lineal. Se comprueba como los modelos se aproxi-
78 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
man bastante a los valores de transmisibilidad medidos. La influencia del
coeficiente Cr se observa en estos diagramas. Por un lado, la frecuencia
de resonancia de la suspension aumenta a medida que el coeficiente Cr
disminuye. Sin embargo, el amortiguamiento alcanza valores pequenos con
valores extremos de dicho coeficiente mientras que los mayores valores de
amortiguamiento se alcanzan a valores intermedios del coeficiente Cr.
2.5. Estrategia de funcionamiento de la suspen-
sion
El modelo y los ensayos experimentales de la suspension neumatica pre-
sentada ha sido muy util en cuanto al entendimiento de su comportamiento
incluyendo la prediccion de su respuesta dinamica. Sin embargo, como se
ha visto, este tipo de suspension presenta varios modos de operacion de-
pendiendo de la eleccion de los elementos de que consta. Por tanto, se hace
necesaria una estrategia de actuacion sobre la suspension que permita obte-
ner una respuesta optima de la suspension. Algunos ejemplos de modos de
operacion en suspensiones similares son presentados ([Henderson, 1998a] y
[Stammers, 1993]). El primero sugiere la utilizacion de la conocida estrate-
gia de control “skyhook” usando un orificio como elemento de restriccion
del flujo de aire dependiendo del signo de la diferencia entre la presion del
muelle de aire y el deposito. El segundo sugiere el uso de un amortigua-
dor viscoso con capacidad de ser desconectado en paralelo con un muelle
helicoidal. Ninguna de las dos ideas resulta en la practica facil de llevar a
cabo. Otra propuesta para suspensiones de este tipo tiene como proposito
es disenar una suspension cuya respuesta dinamica, reflejada en las cur-
vas de transmisibilidad, tenga una caracterıstica especial ([Soliman, 1966]).
2.5. ESTRATEGIA DE FUNCIONAMIENTO DE LA SUSPENSION 79
Concretamente, se busca la curva de transmisibilidad con el menor valor
del maximo, es decir, la estrategia es buscar la mejor atenuacion de la
excitacion. Sin embargo, la suspension neumatica presentada en esta te-
sis puede adaptarse a la implementacion de una interesante estrategia de
control. Concretamente, la estrategia de control parte de la observacion en
detalle del diagrama de transmisibilidad mostrado en la figura 2.28, donde
se representan las curvas de transmisibilidad, en magnitud y fase, de la
suspension utilizando cada uno de los cuatro conductos. En el diagrama
de magnitud (figura 2.28a) se puede observar como cada una de las cuatro
curvas pasan por un mismo punto. La diferencia entre cada una de ellas
radica en el coeficiente Cr y por tanto en el coeficiente ε.
El punto de cruce de todas las curvas puede ser analıticamente calculado
por medio del modelo si se asume que se necesita conocer el valor del modulo
de transmisibilidad de aquella frecuencia para la que el valor del parametro
adimensional ε no influya en el valor de dicho modulo, es decir:
∂|XY |∂ε
= 0 (2.39)
y el valor de frecuencia que cumple esa condicion es llamada la frecuencia
de transicion (ωtr) y resulta:
ωtr = ωs
√2
θ2 + 1(2.40)
mientras que el valor del modulo de transmisibilidad alcanzado por ese valor
de frecuencia es: ∣∣∣∣X
Y
∣∣∣∣tr
=θ2 + 1θ2 − 1
(2.41)
donde θ es el parametro adimensional definido en 2.32. Una vez que este
punto de transicion ha sido identificado, es posible establecer la estrategia
80 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
0
2
4
6
8
Tra
nsm
isib
ilidad
Cr = 3.6 · 10-8
Cr = 1.4 · 10-7
Cr = 2.7 · 10-6
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns
m /Ns
m /Ns
m /Ns
100
101
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
Frequencia [Hz]
0
Fase
[º]
5
5
5
5
trω
Frequencia [Hz]
100
101
Cr = 3.6 · 10-8
Cr = 1.4 · 10-7
Cr = 2.7 · 10-6
Cr = 1.1 · 10-5
m /Ns
m /Ns
m /Ns
m /Ns5
5
5
5
(a)
(b)
Figura 2.28: Frecuencia de transicion en el diagrama de transmisibilidad
para la suspension neumatica del Prototipo I.
de funcionamiento de la suspension. A cada lado (izquierda y derecha) de
la frecuencia de transicion en el diagrama de transmisibilidad, existe un
trozo de curva de transmisibilidad cuya amplificacion es la mınima. Sin
embargo, estos dos trozos de curva con la mınima amplificacion, segun el
diagrama de transmisibilidad, no se producen con la utilizacion de un unico
conducto. En otras palabras, para llevar a cabo esa idea, se necesita usar dos
conductos diferentes. Esto no debe ser un problema si el punto de transicion
2.5. ESTRATEGIA DE FUNCIONAMIENTO DE LA SUSPENSION 81
se usa como una frontera de cambio entre los dos conductos necesarios: uno
con el menor valor y otro con el mayor valor del coeficiente Cr. Cuando
la frecuencia de transicion es alcanzada por la frecuencia de excitacion, se
produce el momento en el que debe dejarse de usar un conducto y cambiar al
otro. Una valvula selectora debe ser empleada para tal fin, haciendo pasar el
aire desde el muelle hacia el deposito por el conducto con menor coeficiente
Cr si la frecuencia de excitacion es menor que ωtr, o por el conducto con
mayor coeficiente Cr si la frecuencia de excitacion es mayor que ωtr.
Una vez que la frecuencia ωtr ha sido determinada y se ha disenado la
estrategia de funcionamiento para la suspension, se procede a la tarea de
mejora de las prestaciones de la suspension, es decir, se pretende presentar
las premisas necesarias para obtener el menor valor posible del modulo de
transmisibilidad (correspondiente a la frecuencia ωtr). Dicho modulo, como
se muestra en 2.41, es funcion del parametro adimensional θ. Un valor
relativamente elevado de este parametro conlleva un valor menor del modulo
de transmisibilidad para ωtr. Por tanto, la eleccion de los elementos de la
suspension ha de ir encaminada, en la medida de lo posible, a la obtencion
del mayor valor de θ. En otras palabras, se debe buscar la mayor distancia
posible entre los valores de frecuencias de resonancia correspondientes al
menor y al mayor de los coeficientes Cr en el diagrama de transmisibilidad
maximizando y minimizando los valores de KV M y KV MD respectivamente.
Esto hace necesario la reduccion del volumen del muelle de aire Vm y el
incremento del volumen del deposito Vd. Esta minimizacion y maximizacion
ha de adecuarse a una serie de limitaciones: en primer lugar, los volumenes
del muelle de aire y del deposito, pueden reducirse y aumentarse hasta unos
determinados valores marcados por las dimensiones razonables para ser
usados en la suspension de un vehıculo. Por otro lado, y como se abordara en
82 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
el siguiente capıtulo, la eleccion del tamano de esos elementos se hace en
funcion de lo que comercialmente se puede encontrar en cuanto a elementos
de la neumatica. Finalmente, esta eleccion debe realizarse hasta llegar al
punto en que cualquier decremento o incremento del volumen del muelle de
aire o del deposito, respectivamente, produzcan efectos despreciables en las
frecuencias de resonancia de la suspension creada.
2.6. Resumen
A lo largo de este capıtulo se ha presentado el modelo de una suspen-
sion neumatica basado en una caracterizacion experimental de la misma,
constituida por tres elementos principales: un muelle de aire, un deposito
y un conducto uniendo a estos dos. En este capıtulo se ha presentado un
modelo analıtico, cuyos resultados (incluyendo los resultados de la version
linealizada del mismo) se ajustan bastante bien a los obtenidos mediante
ensayos experimentales (de la rigidez, amortiguamiento y transmisibilidad)
desarrollados sobre un prototipo construido para la validacion de dicho mo-
delo, para un rango de operacion razonable de dicha suspension. Ademas,
se han extraıdo una serie de conclusiones acerca de como hacer trabajar la
suspension pero tambien de como elegir correctamente los elementos de los
que esta compuesta con el fin de obtener unas mejores prestaciones.
Se ha podido comprobar como el comportamiento dinamico de la sus-
pension puede ser mas versatil si los elementos de la misma son elegidos
de manera apropiada, en particular, si el muelle de aire y del deposito son
elegidos correctamente. La reduccion del volumen del muelle de aire incre-
menta la rigidez de la suspension, y por tanto, la frecuencia de resonancia
de mayor valor (la obtenida con el coeficiente Cr menor). Por otro lado,
2.6. RESUMEN 83
el incremento del volumen del deposito, reduce la rigidez de la suspension,
y por tanto, la frecuencia de resonancia de menor valor (la obtenida con
el coeficiente Cr mayor). La implementacion de estos cambios en los ele-
mentos de la suspension hacen posible el incremento de la diferencia entre
esas dos frecuencias de resonancia, es decir, la razon de rigidez KS/K se
ve incrementada. La utilidad de esta estrategia aumenta si la suspension
se disena para trabajar de manera diferente en dos regiones de frecuencia
distintas. La zona de frecuencias de trabajo se divide en dos partes por me-
dio de la frontera marcada en la “frecuencia de transicion”. Para conseguir
una razonable atenuacion de la vibracion, para frecuencias inferiores a ωtr,
se debe elegir el conducto con el menor valor del coeficiente Cr, y para fre-
cuencias por encima de ωtr, se debe elegir el conducto con el mayor valor de
dicho coeficiente. Esto puede requerir y sistema de control capaz de decidir
y elegir el conducto correcto en cada momento de acuerdo con la frecuencia
de excitacion. Para unos elementos de la suspension fijos (muelle de aire y
deposito), los valores de rigidez KAS , KV S , y KV SR son constantes (si el
valor inicial de presion con el que se llena la suspension no se varıa). Por
otro lado, el valor de la frecuencia de transicion, depende del parametro θ,
el cual es funcion de esos tres valores de rigidez (KAS , KV S , y KV SR), es de-
cir, permanece constante si aquellos tres tambien son constantes. Ademas,
ωtr depende de ωs, es decir, del valor de la masas suspendida, habra que
tener un criterio de actuacion cuando la carga soportada por la suspension
se vea incrementada o reducida.
La reduccion del volumen del muelle de aire junto con el incremento
del volumen del deposito hacen posible, como se ha venido argumentando,
la reduccion del modulo de transmisibilidad a la frecuencia de transicion
ωtr. La reduccion de este modulo pueden mejorar tambien los resultados
84 CAPITULO 2. DESCRIPCION DE LA SUSPENSION
de la estrategia de control cuando el objetivo es filtrar senales de una sola
frecuencia. El metodo de control activo explicado tambien puede adaptarse
satisfactoriamente al filtrado de vibraciones causadas por maquinaria rota-
tiva sometida a desequilibrios provocados por frecuentes ciclos de arranque
y parada. Esta tarea probablemente conllevara la estimacion de parametros
de la senal de excitacion ası como un criterio para conmutar cada uno de
los dos conductos de diferentes tamanos. Para este fin, existen tecnicas que
utilizan el dominio de la frecuencia como la estimacion de PSD en tiem-
po real ([Kanazawa, 2005]) y tambien tecnicas que utilizan el dominio del
tiempo para estimacion de parametros de senales de manera muy rapida
([Trapero, 2007]). Todas las conclusiones y mejoras apuntadas hasta aho-
ra seran abordadas y desarrolladas (analıtica y experimentalmente) en el
siguiente capıtulo sobre el prototipo denominado prototipo II.
Capıtulo 3
Optimizacion y control
activo de la suspension
3.1. Descripcion del Prototipo II.
En el anterior capıtulo se analizo la modelizacion de una suspension
neumatica novedosa, compuesta por tres elementos principales: un muelle
de aire, un deposito y un conducto que los unıa. El modelo fue verificado
mediante la experimentacion sobre un primer prototipo construido expre-
samente para tal fin, y los resultados dieron validez al modelo. Ademas,
el modelo en su version linealizada fue una valiosa herramienta de anali-
sis puesto que sirvio para obtener una serie de conclusiones y mejoras que
podrıan incorporarse a la suspension. Las sugerencias aportadas por el mo-
delo, como ya se ha visto, han ido encaminadas hacia la variacion de los
tamanos de los elementos de la suspension (decremento del volumen del
muelle de aire e incremento del volumen del deposito). Esto hace posible
85
86 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
separar las frecuencias de resonancia caracterısticas que aparecen en es-
te tipo de suspension neumatica y por tanto, reducir el valor del modulo
de transmisibilidad a la frecuencia de transicion ωtr, pues el valor de ese
modulo sera el maximo que puede experimentar la suspension una vez que
se aplique la estrategia de control senalada en el anterior capıtulo.
El objetivo de este capıtulo es doble: por un lado, se pretende poner
en practica de manera experimental las mejoras sugeridas por el modelo
del capıtulo anterior. Para ello, se implementara un segundo prototipo de
suspension neumatica llamado Prototipo II. El segundo objetivo de este
capıtulo es aprovechar la mejora que supone la optimizacion de la sus-
pension (obtenida por el Prototipo II) para aplicar un control activo en
la suspension basado en la estrategia de funcionamiento apuntada en el
capıtulo anterior. En la figura 3.1 se muestra el prototipo propuesto para
incorporar las mejoras sugeridas por el modelo analıtico. El esquema expe-
rimental parte de la base del Prototipo I, con los tres elementos principales,
muelle de aire, deposito y conducto. En el nuevo prototipo se incluye un
muelle de aire de menor tamano que en el prototipo predecesor y por tanto
de menor volumen, concretamente, unas dos veces y media menor que el del
prototipo I. En la figura 3.2 se muestra el muelle de aire para este segundo
prototipo.
La morfologıa de este nuevo muelle de aire es similar al anterior, es de-
cir, el muelle de aire dispone de dos lobulos y esta construido en materiales
similares. Por otro lado, el deposito se mantiene como uno de los elementos
principales de la suspension neumatica pero ahora, como se habıa comen-
tado, es de un tamano bastante mayor que el anterior, concretamente doce
veces mayor (24 l. de capacidad). En la figura 3.3 se muestra el deposito
para el segundo prototipo. Por otro lado, el hecho de tener que incorporar
3.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO II. 87
DEPÓSITO
MUELLEDE AIRE
LVDT
VÁLVULA 2/2
LVDT MASA SUSPENDIDA
Respuesta x(t)
Excitación y(t)
PC
CONDUCTO 1
VÁLVULA 2/2
CONDUCTO 2
Figura 3.1: Esquema experimental propuesto para el prototipo II.
la anunciada estrategia de control, hace necesario incorporar no uno sino
dos conductos en paralelo uniendo el muelle de aire con el deposito. En
concreto, estos dos conductos corresponden a aquellos con el mayor y el
menor valor del coeficiente Cr. Para solventar el problema de elegir una u
otra configuracion de suspension, es decir, para poder elegir en el momento
que sea necesario uno u otro conducto, se incorpora una valvula neumatica
2/2 neumatica de solenoide por cada uno de los conductos. Dichas valvulas
se situan en los extremos de los conductos lo mas cerca posible del orificio
de entrada del muelle de aire. Este par de electro-valvulas seran actuadas
mediante ordenes generadas desde un computador para la apertura y cierre
de las mismas en funcion de las condiciones de la excitacion.
88 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
Figura 3.2: Muelle de aire utilizado para el Prototipo II.
Figura 3.3: Deposito utilizado para el Prototipo II.
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 89
3.2. Analisis del Prototipo II
En la presente seccion se utilizan de nuevo las expresiones del mode-
lo del capıtulo anterior para simular el comportamiento del prototipo II
obteniendo de ese modo las caracterısticas de rigidez, amortiguamiento y
respuesta dinamica de la nueva version de suspension. Se necesita ademas
realizar una nueva caracterizacion puesto que el muelle de aire es un ele-
mento nuevo. Finalmente se examina experimentalmente el Prototipo II
para verificar la simulacion del modelo.
3.2.1. Caracterizacion experimental
Para poder realizar una simulacion del modelo de suspension neumatica
de este nuevo prototipo, al igual que ya ocurrio con el primer prototipo, se
hace necesaria la caracterizacion experimental previa de dos parametros: el
area efectiva del muelle de aire, Am(z), y el volumen interno del muelle de
aire, Vm(z). Estos parametros, tienen por tanto un caracter experimental y
son funcion de la altura del muelle z. El procedimiento para la obtencion
de los mismos es identico al explicado para el prototipo I. El muelle de aire
presentado para el prototipo II sera utilizada para la caracterizacion, pero
tambien para la comprobacion experimental de los resultados del modelo. El
muelle de aire de la figura 3.2 es un diapres neumatico modelo PM/31042 de
Norgren de dos lobulos. Los materiales son muy similares a los del muelle de
aire del prototipo I, es decir, acero zincado, aluminio y tela reforzada SBR,
para las tapas, anillo central y fuelle respectivamente. El fluido que aloja ha
de ser aire comprimido no lubricado. La presion maxima de trabajo es de
8 bar, mientras que el rango de temperaturas oscilan entre -40oC y 70oC.
La carrera maxima se situa en 60 mm. La caracterizacion de este muelle
90 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
neumatico se lleva acabo en el actuador hidraulico ya usado para el otro
prototipo. Para la realizacion de esta caracterizacion, se situa nuevamente
el muelle de aire entre las mordazas del actuador hidraulico.
La parte superior del muelle queda inmovil fijada a la mordaza superior,
mientras que la parte inferior del muelle queda fijada a la mordaza inferior,
que sera la que impondra el desplazamiento al muelle. Para la realizacion de
esta caracterizacion al muelle de aire del segundo prototipo se construyeron
nuevos utiles de amarre puesto que los anteriores estaban adaptados al
mayor tamano del muelle del primer prototipo.
5E-3
6E-3
7E-3
4E-3
3E-3
2E-3
P = 3 bar m
P = 4 bar m
P = 2 bar m
Áre
a e
fect
iva
de
l mu
elle
de
aire
, A
[m
] 2
m
Altura del muelle de aire, z [m]
0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13
Figura 3.4: Caracterizacion del area efectiva del muelle de aire en funcion
de la altura z y de la presion Pm.
En este caso, la distancia elegida entre las mordazas da como resulta-
do una altura inicial del muelle z0 igual a 105 mm. El procedimiento es
identico al seguido en la caracterizacion experimental del Prototipo I en
el capıtulo anterior. El rango de variacion de la senal de desplazamiento
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 91
0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13
3E-4
4E-4
5E-4
6E-4
7E-4
Altura del muelle de aire, z [m]
Volu
men d
el m
uelle
de a
ire, V
[m
]
3m
Figura 3.5: Caracterizacion del volumen del muelle de aire en funcion de la
altura z y de la presion Pm.
esta entre 0.082 m y 0.128 m. Los resultados de la caracterizacion de la
funcion As(z) se muestran en la figura 3.4, donde se ha obtenido la razon
entre la senal de fuerza para cada presion (2, 3 y 4 bar) y cada una de esas
presiones. De manera analoga a la caracterizacion del muelle del Prototipo
I, la presion tiene escasa influencia en la funcion experimental As(z). La
segunda funcion experimental que ha de ser caracterizada es el volumen
interno del muelle Vm(z). El procedimiento a seguir es analogo al descrito
en la caracterizacion del volumen del muelle del primer prototipo salvo que
la altura del muelle se varıa entre 0.082 m y 0.128 m. Los resultados de
esta segunda caracterizacion se muestran en la figura 3.5. Como se puede
comprobar nuevamente, la variacion del valor de presion constante al que
se realizan los ensayos, tiene tambien en el volumen escasa influencia. Estas
dos funciones resultado de la caracterizacion son utilizadas a continuacion
92 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
en la simulacion del modelo para el nuevo prototipo de suspension.
3.2.2. Simulacion del modelo para el Prototipo II
En este capıtulo se ejecuta el modelo lineal con los datos y caracterısti-
cas del Prototipo II. Concretamente, se muestran los resultados de la si-
mulacion del modelo para la rigidez, la respuesta a escalon (de la cual se
obtiene el amortiguamiento) y la respuesta dinamica de la suspension. En
primer lugar se procede con la simulacion del modelo lineal para evaluar
la rigidez dinamica del Prototipo II. Para ello se incorporan al analisis las
funciones experimentales correspondientes al muelle de aire resultado de la
caracterizacion, Am(z) y Vm(z). Ademas se incorpora el dato del volumen
del deposito, que para este segundo prototipo es igual a 24 l. Los conductos
simulados en este analisis son los correspondientes al mayor y al menor va-
lor del coeficiente Cr. La presion inicial de la suspension introducida en el
analisis es de 3 bar. La senal de entrada es una senal senoidal de desplaza-
miento con una amplitud de 5 mm. La frecuencia de dicha senal varıa en un
rango desde 0.1 hasta 25 Hz. La senal de salida es la fuerza que es ejercida
por la suspension. El resultado de la simulacion para la rigidez del Prototi-
po II se muestra en la figura 3.6. En dicha figura se observan (al igual que
en las curvas de rigidez dinamica del Prototipo I) dos valores constantes
de rigidez que son alcanzados por las dos configuraciones de la suspension
(para cada uno de los coeficientes Cr): un valor bajo de rigidez constante a
bajas frecuencias y otro valor de rigidez constante mas alto correspondiente
a frecuencias altas.
El proceso transitorio por el que se viaja desde el valor de rigidez bajo
hasta el alto, se retrasa (a frecuencias superiores) en el caso de la configu-
racion con mayor coeficiente Cr. Otro de los parametros a simular por el
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 93
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5x 10
4R
igid
ez
[N/m
]
Cr 10-8
m /Ns 5
Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1
4
3
3.5
~~
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
Figura 3.6: Simulacion de la rigidez dinamica del Prototipo II de suspension
neumatica para los valores extremos del coeficiente Cr.
modelo es la respuesta a escalon del sistema, con la que obtener la frecuencia
de resonancia y amortiguamiento de la suspension. Para ello se introduce
al modelo una senal de desplazamiento correspondiente a un escalon de 10
mm de amplitud. La senal de salida es el desplazamiento de la respuesta
y(t) que se muestra normalizado respecto de la entrada en la figura 3.7,
para la configuracion con el menor coeficiente Cr y en la figura 3.8 para la
configuracion con el mayor coeficiente Cr.
En la tabla 3.1 se recogen los valores de frecuencia de resonancia y factor
de amortiguamiento para los dos modos de funcionamiento de la suspen-
sion (dos valores del coeficiente Cr). Se comprueba de este modo como los
94 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [s]
Re
spu
est
a a
esc
aló
n n
orm
aliz
ad
a
2
1.5
0.5
0
1
Figura 3.7: Simulacion de la respuesta a escalon normalizada del Prototipo
II de suspension neumatica para el coeficiente Cr ≈ 10−8m5/N/s.
valores mas altos tanto de la frecuencia de resonancia como del factor de
amortiguamiento corresponden a la configuracion con menor valor del coe-
ficiente Cr. Ademas, en relacion a los resultados obtenidos en el Prototipo
I, la frecuencia de resonancia correspondiente al menor valor del coeficiente
Cr ha aumentado, mientras que la frecuencia de resonancia correspondiente
al mayor valor del coeficiente Cr ha disminuido. De este modo, la simula-
cion del modelo para este Prototipo II aprueba las conclusiones del modelo
que fueron mencionadas en el capıtulo anterior. Finalmente, se procede con
la simulacion de la respuesta dinamica de la suspension del Prototipo II.
Para ello se introduce en el modelo una senal de desplazamiento senoidal
y se recoge a la salida la senal de desplazamiento de la masa suspendida.
En la simulacion se elige un valor de masa suspendida identica al utilizado
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 95
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo [s]
Re
spu
est
a a
esc
aló
n n
orm
aliz
ad
a 2
1.5
0.5
0
1
Figura 3.8: Simulacion de la respuesta a escalon normalizado del Prototipo
II de suspension neumatica para el coeficiente Cr ≈ 10−5m5/N/s.
para el Prototipo I, es decir, 115 kg. En este caso, el valor de presion inicial
en la suspension, P0, es igual a 2 bar. El rango de frecuencias ensayado va
desde 0.5 hasta 7 Hz. El resultado de la simulacion se muestra en la figura
3.9 para el mayor y el menor valor del coeficiente Cr.
Como se habıa comprobado en los resultados de la respuesta a escalon,
se observa en los diagramas de transmisibilidad como las frecuencias de
resonancia (correspondientes a cada una de las dos configuraciones) se han
distanciado una de la otra, es decir, ha aumentado la frecuencia resonante
correspondiente a Cr ≈ 10−8m5/N/s y ha disminuido la frecuencia co-
rrespondiente a Cr ≈ 10−5m5/N/s. Del mismo modo, se comprueba como
los valores de amortiguamiento obtenidos en las simulaciones de respuesta
a escalon y respuesta dinamica alcanzan un mayor valor en este segundo
96 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
Cr [m5/N/s] fn [Hz] ξ
≈ 10−8 3.21 0.136
≈ 10−5 2.09 0.115
tabla 3.1: Valores de frecuencia de resonancia y factor de amortiguamiento
obtenidos en la simulacion de la respuesta a escalon del Prototipo II.T
ransm
isib
ilidad
[N
/m]
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
-5
m /Ns 5
~~
6
8
4
2
0
Frecuencia [Hz]10
010
1
Cr 10
Figura 3.9: Simulacion de la respuesta dinamica del Prototipo II de suspen-
sion neumatica para los valores extremos del coeficiente Cr.
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 97
prototipo.
3.2.3. Validacion experimental
A continuacion se presentan los resultados obtenidos en los ensayos
experimentales realizados sobre el Prototipo II para los parametros de la
suspension simulados anteriormente. En primer lugar se realizan los ensayos
para la determinacion de la rigidez dinamica de la suspension. Se procede
de igual manera que cuando se realizaron los ensayos sobre el Prototipo I.
Se parte con una presion inicial de la suspension de 3 bar, y se fija la parte
superior del muelle de aire mientras que la inferior recibe la excitacion de
una senal de desplazamiento senoidal de 5 mm de amplitud. Se recoge la
senal de fuerza ejercida por la suspension y se compara con la amplitud de
desplazamiento de entrada para obtener la rigidez en un rango de frecuen-
cias que va desde 0.1 hasta 25 Hz. Los resultados se muestran en la figura
3.10 junto a los obtenidos en la simulacion de la rigidez para los dos valo-
res extremos del coeficiente Cr. Como se puede apreciar, el modelo predice
bastante fielmente lo obtenido en los ensayos experimentales. Se reproduce
por tanto el cambio valores constantes de rigidez desde frecuencias bajas
(valor bajo de rigidez) hasta frecuencias altas (valor alto de rigidez).
Seguidamente se procede con la obtencion de la respuesta a escalon del
Prototipo II de manera experimental. La figura 3.11 muestra el esquema
experimental del Prototipo II para este ensayo. Los ensayos se realizan
para dos configuraciones de la suspension (las habituales con coeficientes
Cr mayor y menor). Para este experimento la suspension esta cargada con
la masa suspendida (115 kg) y parte con una presion inicial de 2 bar y una
altura inicial del muelle z = z0 = 105 mm. La senal procedente del actuador
hidraulico es una senal cuadrada de baja frecuencia, con lo cual es posible
98 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5x 10
4
Rig
ide
z [N
/m]
Cr 10-8
m /Ns 5
Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1
4
3
3.5
~~
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
Figura 3.10: Comparacion entre los resultados del modelo (en lıneas conti-
nuas) y los ensayos experimentales (en cırculos) de la rigidez dinamica del
Prototipo II para los valores extremos del coeficiente Cr.
obtener la respuesta del amortiguamiento del sistema. El escalon al cual se
le somete a la suspension tiene 10 mm de amplitud. Los resultados de estos
ensayos para las dos configuraciones se muestran en las figuras 3.12 y 3.13.
En la tabla 3.2 se muestran los valores experimentales y teoricos de
las frecuencias de resonancia y factores de amortiguamiento calculados en
base a estas respuestas a escalon. Se puede comprobar como el valor de las
frecuencias de resonancia son estimadas con mayor precision que los factores
de amortiguamiento. Finalmente, aprovechando el montaje para el anterior
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 99
Figura 3.11: Disposicion experimental del Prototipo II para la realizacion
de los ensayos con la masa suspendida.
experimental donde la masa suspendida se situo sobre la suspension, se
realizan los ensayos para obtener la transmisibilidad del Prototipo II.
En este caso, el montaje experimental es identico al anterior para la
respuesta a escalon. La senal de desplazamiento de entrada en una senal
senoidal de 1.5 mm de amplitud. La senal de desplazamiento de salida de la
masa suspendida se recoge mediante un sensor de desplazamiento (LVDT)
y posteriormente se compara, para cada valor de frecuencia ensayada, con
la senal de desplazamiento de entrada. El rango de frecuencias ensayado va
desde 0.5 hasta 7 Hz. Los resultados de estos ensayos se muestran junto con
los obtenidos en la simulacion en la figura 3.14, donde se observa un buen
100 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [s]
Resp
ue
sta a
esc
aló
n n
orm
aliz
ada
2
1.5
0.5
0
1
Experimental
Analítico
Figura 3.12: Comparacion entre los resultados del modelo y los ensayos ex-
perimentales de la respuesta a escalon para el coeficiente Cr ≈ 10−8m5/N/s.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo [s]
Resp
ue
sta a
esc
aló
n n
orm
aliz
ada
2
1.5
0.5
0
1
Experimental
Analítico
Figura 3.13: Comparacion entre los resultados del modelos y los ensayos ex-
perimentales de la respuesta a escalon para el coeficiente Cr ≈ 10−5m5/N/s.
3.2. ANALISIS DEL PROTOTIPO II 101
Cr Metodo fn [Hz] ξ % Error fn % Error ξ
∼ 10−5 Modelo lineal 2.09 0.115 1.4 6.9
Experimental 2.12 0.107
∼ 10−8 Modelo lineal 3.21 0.136 1.3 5.8
Experimental 3.17 0.128
tabla 3.2: Comparacion entre la rigidez y el amortiguamiento del modelo
lineal y los resultados experimentales para el mayor y el menor valor del
coeficiente Cr.
Tra
nsm
isib
ilidad
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
-5
m /Ns 5
~~
6
8
4
2
0
Frecuencia [Hz]10
010
1
Cr 10
Figura 3.14: Comparacion entre los resultados del modelo (en lıneas conti-
nuas) y los ensayos experimentales (en cırculos) de la respuesta dinamica
del Prototipo II para los valores extremos del coeficiente Cr.
102 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
comportamiento del modelo frente a los resultados experimentales.
3.3. Comparacion con el Prototipo I
En las conclusiones del capıtulo anterior, se recomendaban unos pasos a
seguir para obtener una respuesta mas atenuada de la suspension. En este
capıtulo se ha simulado analıticamente y ensayado experimentalmente una
suspension neumatica (Prototipo II) con esas recomendaciones aconsejadas
por el modelo. Estas recomendaciones han ido encaminadas a la reduccion
y ampliacion, en la medida de lo posible, del volumen del muelle de aire y
del volumen del deposito respectivamente. Los resultados de las simulacio-
nes y ensayos han sido comprobados anteriormente. No obstante, conviene
comparar los dos prototipos ensayados hasta el momento para constatar los
avances alcanzados. En la figura 3.15 se muestran los resultados de rigidez
dinamica obtenidos en cada uno de los dos prototipos. En trazos gruesos
se muestra la rigidez para el Prototipo II mientras que en trazos delgados,
la rigidez para el Prototipo I. En esa misma figura, para cada uno de los
prototipos, se indican las curvas correspondientes a cada una de las dos
configuraciones ensayadas, es decir, cada uno de los conductos utilizados.
Ademas, con lıneas discontinuas se indican los valores mayores y menores
de rigidez alcanzados por cada prototipo.
El valor alto de rigidez se denomina RA,PI para el Prototipo I y RA,PII
para el Prototipo II. El valor bajo de rigidez se denomina RB,PI para el
Prototipo I y RB,PII para el prototipo II. Teniendo en cuenta estos valores
de rigidez se define la razon de rigidez, RK , como el cociente entre los
valores de rigidez alto y bajo de cada prototipo:
3.3. COMPARACION CON EL PROTOTIPO I 103
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5x 10
4
Rig
ide
z [N
/m]
Cr 10-8
m /Ns 5
Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1
4
3
3.5
~~
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
RA,PI
RA,PII
RB,PI
RB,PII
Figura 3.15: Comparacion entre los resultados de la simulacion de la rigidez
de los prototipos I (lıneas delgadas) y II (lıneas gruesas).
RK,PI =RA,PI
RB,PI(3.1)
RK,PII =RA,PII
RB,PII(3.2)
Como se puede observar en la figura 3.15, la razon rigidez para el pro-
totipo II es claramente superior. Concretamente, RK,PII es igual a 2.06
mientras que RK,PI es igual a 1.58. Si se recuerdan las conclusiones del
104 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
capıtulo anterior, esta era una de las consecuencias derivadas de la eleccion
optima de los elementos de la suspension, es decir, la razon de rigidez se ha
aumentado significativamente. Por otro lado, en la figura 3.16 se muestran
los resultados de transmisibilidad para los Prototipos I (en trazo delgado) y
II (en trazo grueso). En dicha figura tambien se aprecia el efecto de aumen-
tar la razon de rigidez RK : los picos correspondientes a las frecuencias de
resonancia se han distanciado. Esto ha hecho posible que el valor del modulo
de transmisibilidad del punto donde se cruzan las curvas correspondientes
a los dos coeficientes Cr haya disminuido. Concretamente se ha producido
una reduccion desde un valor de 4 hasta un valor de 2.3 aproximadamente,
lo cual supone una reduccion de una 42,5%. En el segundo prototipo se han
obtenido valores mayores del factor de amortiguamiento para los mismos
dos coeficientes Cr del prototipo I. Diversas simulaciones adicionales sobre
el modelo demuestran que estos factores de amortiguamiento para el Pro-
totipo II se hacen mas pequenos cuando se utilizan valores del coeficiente
Cr aun mas extremos, es decir, cuando se incrementa el mayor coeficiente y
se reduce el menor. Esto podrıa producir un leve distanciamiento adicional
(aunque irrelevante) de las frecuencias de resonancia correspondientes a los
dos coeficientes Cr. Sin embargo, este hecho podrıa no materializarse puesto
que habrıa dificultad en encontrar comercialmente conductos tan angostos.
En el otro extremo, conductos tan amplios harıan peligrar la hipotesis de
capilaridad del modelo analıtico.
3.4. Control de barrido en seno
Una vez que el Prototipo II ha sido simulado teoricamente, validado ex-
perimentalmente y se han comprobado las ventajas frente a su predecesor,
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 105
Tra
nsm
isib
ilidad
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
-5
m /Ns 5
~~
6
8
4
2
0
Frecuencia [Hz]10
010
1
Cr 10
A
B
Figura 3.16: Comparacion entre los resultados de la simulacion de la trans-
misibilidad de los prototipos I (lıneas delgadas) y II (lıneas gruesas)
se procede en esta seccion a la implementacion tanto analıtica como expe-
rimental de un procedimiento de control adaptado a situaciones en las que
la suspension se enfrente a situaciones de subidas o bajadas en la frecuen-
cia en que este siendo excitada. Se pretende por tanto poner en practica
un procedimiento de control para el caso en que el prototipo este someti-
do a barridos en seno. Este caso es un problema frecuente al que se ven
afectadas diversos equipos y maquinaria. El origen de la vibracion de estas
caracterısticas ocurre cuando existen desequilibrios en elementos de esas
maquinas, las cuales son sometidas a frecuentes procesos de arranque y pa-
rada. Se trata para ambos prototipos presentados hasta ahora de manera
analıtica y experimental.
106 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
3.4.1. Implementacion analıtica
En primer lugar se simulan los dos prototipos para el caso en que sean
excitados por una senal de desplazamiento cuya amplitud sea constante pe-
ro con la frecuencia de excitacion en progresivo aumento. Concretamente,
la amplitud de la excitacion se fijo en 1.5 mm, mientras que la frecuencia
se hizo variar entre 0.5 y 10 Hz a razon de 0.0475 Hz/s. En las figuras
3.17 y 3.18 se muestran, para los prototipos I y II respectivamente, las si-
mulaciones teoricas de la respuesta dinamica de las suspensiones ante una
excitacion por barrido en seno. En ambos prototipos, se utiliza el valor de
la masa suspendida habitual, es decir, 115 kg. En dichas figuras, se mues-
tra el desplazamiento de la masa suspendida normalizado con el valor del
desplazamiento de la senal de entrada para el rango de frecuencias mencio-
nado. En estas figuras, se puede tambien comprobar como los diagramas
de transmisibilidad de ambos prototipos estudiados en secciones anteriores
se pueden tambien obtener a partir de estas figuras sin mas que trazar la
curva envolvente de estos barridos en seno y traducir el eje de tiempo a
frecuencia teniendo en cuenta la velocidad de barrido.
Estos barridos sirven para ilustrar el objetivo que se persigue: en ambas
simulaciones de los barridos en seno, se observa como, aproximadamente en
un tiempo entre 80 y 100 segundos, se produce el cruce entre las curvas en-
volventes mencionadas anteriormente. Concretamente para cada prototipo,
teniendo en cuenta la velocidad del barrido y el valor del tiempo en el cruce
de curvas, se estima el valor de la frecuencia a la cual se produce dicho
corte. No obstante, en el capıtulo anterior ya se obtuvo analıticamente ese
valor de frecuencia, el cual se denominaba ωtr. La frecuencia de transicion
para el Prototipo I resulto igual a 2.57 Hz mientras que para el Prototipo
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 107
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de la
ma
sa
Figura 3.17: Simulacion de un barrido en seno sobre la suspension del Pro-
totipo I.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~ Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de
la ma
sa
Figura 3.18: Simulacion de un barrido en seno sobre la suspension del Pro-
totipo II.
108 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
II resulto igual a 2.48 Hz. Una vez que se conoce la frontera que divide el
rango de frecuencias ensayadas y sirve para decidir la configuracion ade-
cuada de la suspension, se procede con la aplicacion del control de manera
analıtica. En el capıtulo anterior se estudio la expresion de la funcion de
transferencia de la transmisibilidad para la suspension. El objetivo ahora
es tomar una expresion de la funcion de transferencia relativa a una confi-
guracion de la suspension (correspondiente a un valor del coeficiente Cr) o
la expresion de dicha funcion de transferencia relativa a la otra configura-
cion dependiendo si la suspension es excitada a una frecuencia superior o
inferior a ωtr. En otras palabras, cuando la frecuencia de la excitacion sea
inferior a la frecuencia de transicion, se optara por la configuracion con el
coeficiente Cr mas pequeno, mientras que si la suspension es excitada con
una frecuencia superior a la de transicion, se elegira la otra configuracion,
es decir, la relativa al coeficiente Cr mayor. No obstante, no basta con re-
presentar la simulacion de la respuesta de una funcion de transferencia a
continuacion de la otra cuando se atraviesa la frecuencia de transicion. Es
necesario determinar las condiciones de posicion y velocidad que presenta la
masa suspendida cuando se deja de utilizar una determinada configuracion
de la suspension para ser incorporadas a la simulacion de la configuracion
alternativa. La simulacion del barrido ha sido creciente, es decir, se ha co-
menzado en 0.5 Hz y se ha finalizado en 10 Hz. Esto ha hecho necesario
comenzar el barrido con la suspension utilizando el conducto con coeficiente
Cr ≈ 10−8 (configuracion 1) y posteriormente, tras atravesar la frecuencia
de transicion, utilizar el conducto con coeficiente Cr ≈ 10−5 (configuracion
2).
En definitiva, el resultado de las simulaciones de los barridos en seno
(mostrados en las figuras 3.19 y 3.20 para los prototipos I y II) ha sido el
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 109
resultado de unir dos senales de respuesta de la masa suspendida: la primera
es la perteneciente a la respuesta de dicha masa utilizando la funcion de
transferencia de la configuracion 1 en regimen permanente. La segunda es
la perteneciente a la suma a su vez de otras dos senales: una es la funcion
de transferencia en regimen permanente de la configuracion 2 y la otra la
funcion de transferencia en regimen transitorio de esa misma configuracion,
utilizando los datos de posicion y velocidad pertenecientes al ultimo instante
de la configuracion 1. Dicha funcion de transferencia en regimen transitorio
con condiciones iniciales se expresa de la siguiente manera [Ogata, 1997]:
X(s)Y (s)
∣∣∣∣C2,trans
=s2xC1(0) + s
(xC1(0) + xC1(0)W KV M
KV MD
)+ xC1(0)W KV M
KV MD
s3 + s2W KV MKV MD
+ sKV M+KAMM + WKV M
(1+
KAMKV MDM
)
(3.3)
donde xC1(0) y xC1(0) son, respectivamente, la posicion y la velocidad
procedentes del ultimo instante en que se utilizo la configuracion 1, con
lo que son las condiciones iniciales de la configuracion 2. De ese modo,
la funcion de transferencia de la transmisibilidad para la configuracion 2
queda:
X(s)Y (s)
∣∣∣∣C2
=X(s)Y (s)
∣∣∣∣C2,trans.
+X(s)Y (s)
∣∣∣∣C2,perm.
(3.4)
Observando por tanto las figuras 3.19 y 3.20 se comprueba como en esta
segunda, correspondiente al barrido con control sobre el Prototipo II, alcan-
za un valor maximo de desplazamiento bastante inferior al desplazamiento
maximo alcanzado por el barrido con control perteneciente al Prototipo I.
Una vez que ha sido comprobada la mejorıa de este segundo prototipo, es
110 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~ Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de la
ma
sa
Figura 3.19: Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de con-
figuracion de la suspension para el Prototipo I.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~ Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de
la ma
sa
Figura 3.20: Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de con-
figuracion de la suspension para el Prototipo II.
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 111
importante detenerse en el estudio del tiempo empleado en cambiar desde
una configuracion hasta la otra, es decir, en el tiempo de transitorio nece-
sario para pasar del regimen permanente de una configuracion al regimen
permanente de la otra. Para ello, tambien de manera analıtica, se ha simu-
lado (para ambos prototipos) la respuesta de la masa suspendida sujeta al
cambio desde la configuracion 1 hasta la 2, excitando en todo momento a
la frecuencia de resonancia de la configuracion 1 y posteriormente se simula
la respuesta de la masa suspendida cuando se produce el cambio desde la
configuracion 2 hasta la 1 excitando en todo momento a la frecuencia de
resonancia de la configuracion 2. Para ello, se procede de manera similar a
las simulaciones de barridos con control, es decir, se toman las condiciones
iniciales de posicion y velocidad de la primera configuracion (ya sea la 1 o la
2) para introducirlas en el termino transitorio de la transmisibilidad (de la
configuracion 2 o la 1) y sumarle el termino permanente de dicha transmi-
sibilidad. En las figuras 3.21 y 3.22 se muestran las simulaciones del cambio
de configuracion de la suspension para los prototipos I y II respectivamen-
te. Se produce el cambio desde la configuracion 1 hasta la 2, excitando en
todo momento a la frecuencia de resonancia de la configuracion 1. Se to-
maron los tiempo correspondientes al transitorio de una configuracion a la
otra, es decir, el tiempo necesario para pasar del regimen permanente de
una a la otra configuracion. En esta primera simulacion de este estudio,
los tiempo obtenidos para los prototipos I y II fueron 1.30 y 0.87 segundos
respectivamente.
En las figuras 3.23 y 3.24 se muestran las simulaciones del otro posible
cambio de configuracion de la suspension para los prototipos I y II respecti-
vamente. En este caso, se produce el cambio desde la configuracion 2 hasta
la 1, excitando en todo momento a la frecuencia de resonancia de la confi-
112 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
0 1 2 3 4 5 6
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
-5
m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10Desplazamiento
no
rmalizado
de
la masa
Figura 3.21: Simulacion del transitorio desde la configuracion 1 hasta la
configuracion 2 en el Prototipo I.
guracion 2. De nuevo, se tomaron los tiempo correspondientes al transitorio
de una configuracion a la otra. En esta segunda simulacion de este estudio,
los tiempo obtenidos para los prototipos I y II fueron 1.10 y 0.98 segundos
respectivamente. Como se ha podido comprobar en las simulaciones, en las
dos modalidades de cambio en la configuracion de la suspension, el Proto-
tipo II se ha mostrado un comportamiento mas rapido en la adaptacion a
la nueva configuracion, ya fuese la 1 o la 2. Este hecho es debido al mayor
amortiguamiento alcanzado por la suspension del Prototipo II en ambas
configuraciones.
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 113
0 1 2 3 4 5 6
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
-5
m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10Desplazamiento
no
rmalizado
de
la masa
Figura 3.22: Simulacion del transitorio desde la configuracion 1 hasta la
configuracion 2 en el Prototipo II.
0 1 2 3 4 5 6
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
-8
m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10Desplazamiento
no
rmalizado
de
la masa
Figura 3.23: Simulacion del transitorio desde la configuracion 2 hasta la
configuracion 1 en el Prototipo I.
114 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
0 1 2 3 4 5 6
10-5
m /Ns 5
~~
-8m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10De
splaza
miento
no
rmalizado
de
la ma
sa Cr
Figura 3.24: Simulacion del transitorio desde la configuracion 2 hasta la
configuracion 1 en el Prototipo II.
3.4.2. Resultados experimentales
Una vez que se han simulado los barridos en seno, los barridos con
control y los transitorios para ambos prototipo, se procede a contrastar
esas simulaciones con ensayos experimentales. Para ello, en primer lugar se
procede al barrido en seno experimental para cada una de las dos configu-
raciones de los prototipos I y II. Las condiciones de estos ensayos (presion
inicial y altura inicial de la suspension) son identicas a las utilizadas para
cada prototipo cuando se desarrollaron los ensayos de respuesta dinamica
con masa suspendida. Se programa una senal de desplazamiento senoidal
de amplitud 1.5 mm, con una frecuencia creciente desde 0.5 hasta 10 Hz
con la misma velocidad de barrido que las simulaciones.
El habitual sensor de desplazamiento (LVDT) utilizado en ensayos pre-
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 115
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de
la ma
sa
Figura 3.25: Resultados experimentales de un barrido en seno sobre la sus-
pension del Prototipo I.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~
Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de la
ma
sa
Figura 3.26: Resultados experimentales de un barrido en seno sobre la sus-
pension del Prototipo II.
116 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
vios se usa de nuevo para obtener la respuesta de la masa suspendida. En
las figuras 3.25 y 3.26 se muestran los resultados de estos barridos en seno
para los prototipos I y II respectivamente. Como se puede comprobar en
estas dos figuras, el modelo analıtico es capaz de predecir bastante fielmen-
te lo ocurrido en los ensayos experimentales. Una vez que se ha validado
experimentalmente los barridos en seno para cada configuracion y cada pro-
totipo se procede a la aplicacion experimental del control a la frecuencia de
transicion. El montaje experimental adicional para realizar este cometido es
el explicado en la primera parte de este capıtulo, es decir, se incorporan un
par de valvulas electronicas de solenoide con funcion 2/2 en los extremos de
cada conducto que une el deposito al muelle de aire, con la intencion de que
cuando una valvula permita el flujo a traves de un determinado conducto,
la otra valvula lo impida sobre el otro conducto y viceversa. Estas valvulas
se controlan electronicamente a traves de un equipo de entrada-salida de
senales conectadas a un computador. Para los ensayos en el laboratorio, el
control se realiza en lazo abierto, es decir, teniendo en cuenta la velocidad
de barrido y la frecuencia inicial del barrido, se temporiza el programa del
instrumental de control para que la conmutacion de las valvulas se pro-
duzca justo a la frecuencia de transicion de casa uno de los prototipos. De
esta manera, se parte con la configuracion 1 a una frecuencia de 0.5 Hz
de manera creciente hasta que se llega a la frecuencia ωtr y se produce la
conmutacion de valvulas para hacer trabajar a la suspension con la configu-
racion 2 a partir de entonces. Los resultados de estos ensayos se muestran
en las figuras 3.27 y 3.28 para los prototipos I y II respectivamente.
A continuacion se procede a evaluar experimentalmente los transitorios
estudiados con anterioridad obtenidos mediante las simulaciones del mo-
delo. En primer lugar se ensayan experimentalmente el proceso de cambio
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 117
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
Tiempo (s)
R
esp
ue
sta
no
rma
liza
da
de
la m
asa
Cr 10-8
m /Ns 5
~~ Cr 10-5
m /Ns 5
~~
Figura 3.27: Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo I.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo (s)
Cr 10-8
m /Ns 5
~~ Cr 10-5
m /Ns 5
~~
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
R
espu
esta n
ormalizada
de
la ma
sa
Figura 3.28: Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo II.
118 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
0 1 2 3 4 5 6
10-8
m /Ns 5
~~
-5m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10De
splaza
miento
no
rmalizado
de
la ma
sa Cr
Figura 3.29: Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo I.
0 1 2 3 4 5 6
10-8
m /Ns 5
~~
-5m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10De
splaza
miento
no
rmalizado
de
la ma
sa Cr
Figura 3.30: Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
1 hasta la configuracion 2 en el Prototipo II.
3.4. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 119
0 1 2 3 4 5 6
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
Cr 10-5m /Ns 5
~~
-8m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
Desplazamiento
no
rmalizado
de
la masa
Figura 3.31: Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
2 hasta la configuracion 1 en el Prototipo I.
0 1 2 3 4 5 6
10-5
m /Ns 5
~~
-8m /Ns 5
~~ Cr 10
transitorio
Tiempo (s)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10De
splaza
miento
no
rmalizado
de
la ma
sa Cr
Figura 3.32: Resultado experimental del transitorio desde la configuracion
2 hasta la configuracion 1 para el Prototipo II.
120 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
desde la configuracion 1 hasta la 2 para ambos prototipos. Para ello se
excita la suspension a la frecuencia de resonancia de la configuracion 1 y,
una vez alcanzado el regimen permanente en esta configuracion, se realiza
la conmutacion de valvulas para hacer trabajar a la suspension en la confi-
guracion 2. Los resultados de estos ensayos se muestran en las figuras 3.29
y 3.30 para los prototipos I y II respectivamente.
Transitorio Metodo Prot. I Prot. II
Frec. transicion ωtr
Experimental 1.19 s. 1.14 s.
Teorico 1.11 s. 1.07 s.
Config. 1 ⇒ Config. 2
Experimental 1.25 s. 0.98 s.
Teorico 1.30 s. 0.87 s.
Config. 2 ⇒ Config. 1
Experimental 1.03 s. 0.89 s.
Teorico 1.10 s. 0.98 s.
tabla 3.3: Comparativa de tiempos empleados en los transitorios en el pro-
ceso de cambio de configuraciones de la suspension de los prototipos I y
II.
Seguidamente, se procede al ensayo del transitorio alternativo, es decir,
pasando desde la configuracion 2 de la suspension hasta la configuracion 1.
En este caso, se excita la suspension (de ambos prototipos) a la frecuen-
cia de resonancia de la configuracion 2, y una vez alcanzado el regimen
permanente, se conmutan las valvulas pasando a la configuracion 1 de las
suspensiones. En las figuras 3.31 y 3.32 se muestran los resultados de estos
3.5. INFLUENCIA DE LA MASA 121
ultimos ensayos. Finalmente, se cuantifica el tiempo empleado en los tran-
sitorios experimentales estudiados, contabilizando el tiempo transcurrido
desde el tiempo en que se produjo la conmutacion hasta que se produce la
entrada en regimen permanente de la configuracion a la que se ha cambia-
do. En la tabla 3.3 se recogen, ademas de los tiempos de los transitorios
estudiados de manera analıtica y experimental, los tiempos de los transi-
torios producidos en los ensayos de barridos con control en el proceso de
conmutacion de una a otra configuracion.
3.5. Influencia de la masa es la estrategia de con-
trol
Los estudios que han sido realizados contemplaban la existencia de los
elementos habituales de la suspension, es decir, el muelle de aire, el deposito
y los conductos que se interponıan entre ellos, ademas de una masa que se
suspendıa encima de la suspension. Hasta ahora el valor de dicha masa a
permanecido constante para todos las simulaciones y ensayos experimenta-
les. Una de las interrogantes que surgen es como influye el hecho de que la
suspension perteneciente a algun tipo de vehıculo, este sujeta a frecuentes
procesos de carga o descarga, es decir, a continuos cambios en el valor de la
masa suspendida, ya sea de pasajeros o carga comercial. Para ver los efectos
del cambio de la masa suspendida, se simulan en los prototipos I y II las
curvas de transmisibilidad para las dos configuraciones habituales y para
cuatro valores diferentes de dicha masa, es decir, 70, 100, 115 y 130 kg. Los
resultados de estas simulaciones se muestran en las figuras 3.33 y 3.34 para
los prototipos I y II respectivamente. Como se observa en dichas figuras,
el efecto de anadir masa a la suspension es el decremento de la frecuencia
122 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
de transicion ωtr ası como del factor de amortiguamiento, mientras que si
lo que se produce es una reduccion de la masa, el efecto sobre la suspen-
sion es el incremento de la frecuencia de transicion ası como del factor de
amortiguamiento.
Este comportamiento es facilmente previsible si se tiene en cuenta la
expresion analıtica de la frecuencia de transicion ωtr que fue descrita en
el capıtulo anterior. Dicha expresion estaba afectada por un factor igual
a ωs, la cual dependıa de la masa M con una relacion de proporcionali-
dad inversa. Hay que tener en cuenta que en el estudio de la influencia de
la masa suspendida en la estrategia de control no se ha previsto variar la
masa de aire en el interior de la suspension, es decir, la masa de aire es
constante y es igual a la introducida para conseguir la presion inicial a la
altura inicial de cada prototipo. En otras palabras, variaciones de la masa
mucho mas importantes de las que se estan considerando harıan descender
demasiado la altura inicial del muelle, y podrıa ser necesario plantearse la
necesidad de anadir un sistema de equilibrado de la suspension hasta la
posicion de altura inicial. Este hecho harıa innecesaria las acciones actuales
en prevision de aumentos o descensos de la masa. Esto es debido a que,
teniendo en cuenta la prevision de llenar o vaciar la suspension hasta al-
canzar la altura inicial del muelle, se varıa la rigidez de la suspension de
manera proporcional a la variacion de la masa, con lo cual las frecuencias
resonantes correspondientes a cada configuracion no sufren alteraciones. En
prevision de que sea necesario tener en cuenta variaciones de masa, se pro-
cede a explicar un procedimiento de operacion para estimar la frecuencia
de transicion necesaria para la aplicacion del control. Para conocer dicha
frecuencia de transicion se necesita saber la masa suspendida que soporta la
suspension, por tanto, la tarea a desarrollar es la estimacion de dicha masa.
3.5. INFLUENCIA DE LA MASA 123
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 130 kg
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 115 kg
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 100 kg
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 70 kg
Figura 3.33: Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de con-
figuracion de la suspension para el Prototipo I.
124 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 130 kg
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 115 kg
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 100 kg
100
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Frecuencia (Hz)
ωtr
M = 70 kg
Figura 3.34: Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de con-
figuracion de la suspension para el Prototipo II.
3.6. TRATAMIENTO DE SENALES A ATENUAR 125
Esta estimacion se traduce en desarrollar un metodo de medida de la mis-
ma en condiciones estaticas de la suspension. Para ello, se utiliza el estudio
experimental descrito en el capıtulo anterior donde se hallaba la fuerza que
ejerce la suspension para una determinada presion inicial de llenado y para
cada valor de la altura inicial de dicha suspension. En otras palabras, para
una posicion de equilibrio estatico, una masa cuyo peso sea igual al valor
de la fuerza ejercida por el muelle (en unas determinadas condiciones de
presion inicial y altura inicial) es la necesaria para equilibrar la suspension
y por tanto, el valor de la masa buscada. Ası pues, para cada unos de los dos
prototipos, se realiza una regresion, donde se muestra la masa suspendida
como funcion de la presion inicial y de la altura inicial del muelle de aire
de la suspension. Dichas regresiones se muestran en la figura 3.35 donde se
representa la masa M en funcion de la presion y altura inicial a modo de
mapa de curvas sobre un mismo plano. Finalmente, se necesita determinar
la presion y altura inicial estaticas de la suspension. Para ello se necesi-
ta incorporar un LVDT en la masa suspendida y un sensor de presion en
algun punto de la suspension. Dichas medidas se introducen en la regresion
anterior pudiendose obtener de ese modo el valor de la masa suspendida.
3.6. Tratamiento de senales a atenuar
A lo largo de este capıtulo se ha estudiado de forma analıtica pero
tambien de forma experimental la manera de poner en practica la estrategia
de control sugerida en el capıtulo 2. Esta estrategia pretende marcar una
frontera en una frecuencia bien definida, de tal manera que a cada lado
de la misma, se establecen dos regiones de frecuencias donde una u otra
configuracion de la suspension ha de ser utilizada. Esta idea ha sido llevada a
126 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
7010
011
513
0
160
190
M = 220
70
100
115
130
160
190
0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17
1
2
3
4
Altura inicial del muelle de aire, z [m]0
Pre
sión in
icia
l del m
uell
de a
ire, P
[bar]
m0
M = 220
Prototipo II (P , z )m0 0
Prototipo I (P , z )m0 0
Figura 3.35: Simulacion de un barrido en seno aplicando el cambio de con-
figuracion de la suspension para el Prototipo II.
cabo en senales de barrido en seno en este capıtulo, obteniendose resultados
positivos. No obstante, para visualizar estos resultados el control ha sido
realizado en lazo abierto, es decir, sin recoger una senal que informase de las
caracterısticas de la excitacion a la que la suspension se estaba enfrentando.
Lo inmediato es pensar en como poder realizar esa tarea, es decir, estimar
los parametros de las senales que estan excitando la suspension. Para ello, se
puede abordar el problema desde dos puntos de vista: desde el dominio de la
frecuencia o desde el dominio del tiempo. El dominio de la frecuencia tiene
la ventaja de que, tomando una senal y transformando la misma (ya sea por
medio de coeficientes autorregresivos o por analisis directo de la densidad
3.6. TRATAMIENTO DE SENALES A ATENUAR 127
espectral de potencia (PSD)) se obtiene una gran cantidad de informacion,
es decir, se pueden obtener el mapa de frecuencias de resonancia del sistema
ante una determinada excitacion ası como informacion acerca de cual de
ellas esta mas amplificada. Por contra, existe un gran inconveniente para
el caso de la suspension neumatica. Tal como se ha planteado la estrategia
de funcionamiento de la suspension, se ha de ser muy agil a la hora de
decidir por que configuracion de la suspension optar. Esto obliga a tomar
un tiempo de muestreo bastante breve (no mas de uno o dos segundos).
Ademas, se ha de poder estudiar frecuencias en el rango de la suspension
(entre 2 y 4 Hz). Como resultado, la resolucion en frecuencia que resulta
es muy pobre para poder discernir y decidir con precision la configuracion
de la suspension por la que optar. De hecho, serıan necesarios, con estos
condicionantes, tener al menos un tiempo de 20 s. de muestreo para tener
una aceptable resolucion en frecuencia. Esto resulta del todo inaceptable
para implementar un control en este tipo de sistemas.
La otra herramienta es el analisis en el dominio del tiempo. Como gran
ventaja tiene la posibilidad de estimar casi en tiempo real parametros de
la senal que llega y excita a la suspension. Por contra, la capacidad de
estimacion de parametros de esta tecnica es limitada, es decir, se puede
estimar la frecuencia de una senal de un solo armonico, la de una senal con
varios armonicos o la de un seno de frecuencia creciente o decreciente, pe-
ro es inviable estimar senales con multiples armonicos o senales aleatorias.
Como se comentara en el apartado de futuras lıneas de investigacion, la
tarea inmediata para dar continuidad a esta tesis es enfrentarse, utilizando
estas tecnicas en el dominio del tiempo a senales monoarmonicas de fre-
cuencias cambiantes o senales de barridos en seno. Habrıa que (en el caso
de senales con pocos armonicos) evaluar a ambos lados de la frecuencia de
128 CAPITULO 3. OPTIMIZACION Y CONTROL ACTIVO
transicion que componentes frecuenciales estan mas amplificadas, decidir
que region de frecuencia esta mas excitada y evaluar que configuracion de
la suspension es mejor tomar.
3.7. Resumen
En este capıtulo se ha comenzado con el estudio del Prototipo II, pri-
mero analizandolo teoricamente con el modelo del capıtulo anterior, y pos-
teriormente se ha procedido a la validacion experimental. El resultado es
que los ensayos experimentales han dado de nuevo la aprobacion al mo-
delo. Los elementos del Prototipo II han sido seleccionado en base a las
recomendaciones del modelo, como sugerencia ante los resultados obteni-
dos en el capıtulo anterior sobre el Prototipo I. Las mejoras obtenidas sobre
el segundo prototipo han servido para aplicar con exito una estrategia de
control para hacer frente a situaciones donde la suspension sea excitada
por frecuencias de magnitud creciente o decreciente, es decir, a frecuentes
procesos de parada o arranque con maquinaria que sufre cierto grado de
desequilibrio. El resultado de este barrido con control es que, en el caso del
Prototipo II, la maxima amplificacion a la que es sometida la suspension
es al menos un 40 % inferior que en el caso del Prototipo I.
Otro punto que ha sido estudiado en este capıtulo es el coste en tiempo
en que se traduce realizar un cambio de configuraciones de la suspension
en cada uno de los dos prototipos. En este sentido, han sido estudiados los
transitorios de una a otra configuracion de manera analıtica y experimental
en cada prototipo. Los tiempos obtenidos en estos ensayos y simulaciones
concuerdan los unos con los otros y ademas suponen tiempos bastante ra-
zonables en el proceso de cambio entre configuraciones.
3.7. RESUMEN 129
Ademas, se ha sugerido un procedimiento a seguir en caso de que la
masa cambie de valor, es decir, en el supuesto en que la suspension sufra
aumentos o descensos en el valor de la masa que esta soportando. Este
procedimiento pasa por medir de manera experimental la masa suspendida
en condiciones estaticas por medio de dos sensores: uno de presion y otro de
desplazamiento. De esta manera se obtiene la presion inicial de la suspension
y la altura inicial del muelle. Estos datos son introducidos en un mapa de
regresion que devuelve el valor de la masa suspendida. Este hecho hace
posible adaptar la estrategia de control a variaciones de la masa puesto que
la frecuencia de transicion se ve afectada por el valor de dicha masa.
Finalmente, se anaden una serie de recomendaciones o sugerencias a la
vista de lo observado y obtenido en el Prototipo II. Las nuevas mejoras que
se pueden aconsejar deben ir encaminadas al hecho de separar aun mas las
frecuencias de resonancia obtenidas en cada configuracion de la suspension.
Esto harıa posible obtener un menor valor de amplificacion maxima para la
suspension. Para este fin, la idea ha de ser rigidizar la suspension cuando la
suspension necesite trabajar en la configuracion 1 para ası llevar la curva de
transmisibilidad asociada a dicha configuracion mas a la derecha en el rango
de frecuencias. Reducciones en la frecuencia de resonancia en la suspension
asociada a la configuracion 2 serıa menos productiva, pues necesitarıa de
aumentar demasiado el volumen del acumulador y puede comprometer a
la logıstica de la suspension. Aun ası, las mejoras que pudieran obtener-
se serıan poco relevantes. En este contexto, como se vera en el siguiente
capıtulo, se hace necesario incorporar un elemento auxiliar externo a los
elementos habituales de la suspension (muelle de aire, deposito y conduc-
tos) capaz de dotar o eliminar rigidez a voluntad en el momento en que sea
necesario.
Capıtulo 4
Rigidizacion de la suspension
con actuadores neumaticos
En el capıtulo anterior se ha visto una primera forma de mejorar las
prestaciones de la suspension neumatica. Esta primera forma se ha basado
en la eleccion del tamano del muelle de aire y del acumulador tan pequeno y
tan grande respectivamente, como sea posible. Esta medida ha posibilitado
ampliar el margen de rigidez disponible en la suspension, pudiendo pasar
de un valor bajo a otro bastante superior. En otras palabras, sin anadir
elementos externos a la suspension (solo con el muelle de aire, deposito y
conductos), se han mejorado las prestaciones de la suspension cuando se
aplica un control sobre la misma. En el presente capıtulo se pretende dar
un paso mas alla en el proceso de mejora de la suspension. Concretamente,
se pretende anadir unos elementos auxiliares a la suspension neumatica (tal
como ha aparecido hasta ahora) con el fin de anadir rigidez a la suspension
en una de las dos configuraciones posibles en que puede funcionar dicha
131
132 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
suspension. Como se vera a continuacion, el estudio experimental del nuevo
prototipo de suspension neumatica con estos elementos auxiliares (Prototi-
po III) muestra una respuesta de la masa suspendida mas atenuada.
4.1. Descripcion del Prototipo III
En este capıtulo se proponen una serie de mejoras que se pretenden
llevar a cabo sobre un tercer prototipo (Prototipo III) que aparece en la
figura 4.1. En dicha figura, aparecen los mismos elementos utilizados en el
Prototipo II del capıtulo anterior, es decir, el muelle de aire cuyo volumen
ha sido reducido, el deposito con un volumen que fue incrementado y los
dos conductos correspondientes al mayor y al menor valor del coeficiente Cr
utilizado. El aspecto novedoso en este nuevo prototipo es la incorporacion
de dos actuadores lineales neumaticos como elementos auxiliares a la sus-
pension. Estos actuadores se situarıan en paralelo con el muelle de aire. En
este tercer prototipo se utilizan dos actuadores en vez de uno solo. Esto es
debido a que, teniendo en cuenta el dispositivo experimental donde se van a
llevar a cabo los ensayos (el actuador hidraulico habitual), la incorporacion
de uno solo de esos actuadores provocarıa la aparicion de un par de giro en
sentido perpendicular a la direccion vertical de la suspension (direccion del
vector gravedad). Esto a su vez producirıa desequilibrios en la suspension
y en el propio dispositivo de ensayo experimental cuando sean accionados.
Por tanto, se incorpora un par de estos actuadores con lo que desaparece
la posibilidad de que aparezcan desequilibrios.
El esquema de los actuadores es el mostrado en la figura 4.2. La figura
muestra un cilindro lineal neumatico de doble vastago y doble efecto. Dicho
cilindro consta de una camisa externa con dos orificios que comunica el
4.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO III 133
DEPÓSITO
MUELLE DE AIRE
LVDT
LVDT MASA SUSPENDIDA
Respuesta x(t)
Excitación y(t)
PC
CONDUCTO 2 CONDUCTO 1
1
Válvula 3/2 vías selectora de conducto
1
3
2 Válvula 2/2 vías apertura/cierre
Válvula 3/2 vías alimentación/escape
2
2
2
2
3
Suministro aire comprimido 6 bar
SÍMBOLOS
Figura 4.1: Esquema de dispositivos utilizados para la construccion del
Prototipo III.
interior del mismo con el exterior. Entre esos dos orificios se situa el embolo
o piston, con lo que el cilindro puede entonces utilizarse con la funcion de
doble efecto. A cada lado del piston se situan dos vastagos. La razon por la
que se ha elegido un cilindro de doble vastago es para evitar que el balance
de fuerzas en el cilindro, cuando se llenan las dos camaras a igual presion,
sea distinto de cero. La carrera total del cilindro es de ±50 mm desde
la posicion donde el embolo se encuentra en la zona central del cilindro.
134 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
El diametro del embolo es de 50 mm. El cilindro neumatico dispone de
una serie de juntas estaticas y dinamicas de sellado para asegurar que las
camaras del cilindro permanezcan estancas. Estas juntas se fabrican en
poliuretano y en goma de nitrilo. El rango de temperatura y presion de
estos actuadores se situa entre -20 y 80 oC y de 1 a 16 bar respectivamente.
Orificios de entrada / salida
Doble vástago
Cá
ma
ra 1
Cám
ara
2
Ém
bolo
Cilindro
Figura 4.2: Esquema del cilindro lineal neumatico usado como muelle de
rigidez variable en el Prototipo III.
La incorporacion de los actuadores neumaticos hace que el Prototipo III
necesite, con respecto al prototipo predecesor, una serie de nuevas valvulas
neumaticas controladas electronicamente que se encargan de gestionar el
4.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO III 135
funcionamiento de los elementos de la suspension. Concretamente, como se
muestra en la figura 4.1, atendiendo a la funcion que desarrollan, las valvu-
las de solenoide se clasifican en tres grupos: el primero de ellos (valvula 1
en la figura), es una electro-valvula con funcion 3/2 que se situa cercana al
orificio de entrada del muelle de aire. La funcion que desempena, en fun-
cion de la posicion que este accionada, es conectar el muelle de aire con
el deposito a traves del conducto 1 o del conducto 2, es decir, se utiliza
como valvula selectora. Anteriormente, en el Prototipo II se utilizaba una
valvula con funcion 2/2 por cada uno de los conductos. En este caso, se
utiliza tan solo una valvula que engloba ambas funciones. El segundo grupo
de valvulas en la clasificacion segun la funcion realizada (valvulas 2 en la
figura), es un grupo de cuatro electro-valvulas con funcion 2/2 situadas en
cada uno de los cuatro orificios de los actuadores neumaticos (dos valvulas
por cada actuador). Estas valvulas funcionan simultaneamente, de mane-
ra que permanecen cerradas mientras que los actuadores neumaticos estan
activos. Para ello, previamente y durante un lapso pequeno de tiempo han
estado abiertas llenando las camaras de los actuadores neumaticos. Cuan-
do los actuadores neumaticos estan inactivos, las valvulas tipo 2 estan en
posicion abierta y comunicando las camaras de los actuadores a la presion
ambiental.
El tercer grupo de valvulas en cuanto a la funcion desempenada (valvula
3 en la figura), es una electro-valvula con funcion 3/2. Esta valvula esta co-
nectada por un lado al suministro de aire a 6 bar de presion. La valvula es
capaz de trabajar en dos posiciones. La primera de ella consiste en comu-
nicar aire a 6 bar de presion a las valvulas tipo 2 y, por consiguiente a las
camaras de los actuadores. Por otro lado, trabajando en la otra posicion,
comunican a la presion ambiental las valvulas tipo 2 (estando estas en po-
136 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
sicion abierta), cuando se pretenda mantener inactivos los actuadores. En
secciones posteriores se explica con detalle tanto el proceso de accionamien-
to de los actuadores para incorporar rigidez a una de las configuraciones
de la suspension como el proceso de desconexion de los actuadores para
trabajar en la otra configuracion posible.
4.1.1. Caracterizacion de los actuadores de rigidez variable
Anteriormente se ha explicado la intencion de incorporar actuadores
lineales neumaticos, ası como la funcion para la que se desea incorporar-
los. El siguiente paso necesario es caracterizar dichos actuadores, es decir,
analizar experimentalmente los valores de rigidez para una serie de valores
iniciales de presion en las camaras de los actuadores en un rango razonable
de carrera. Para la realizacion de estos ensayos se situa el actuador lineal
neumatico en el actuador hidraulico habitual. El procedimiento a seguir es
fijar el vastago del actuador a la mordaza superior de la maquina de ensa-
yos, mientras que el cuerpo del cilindro se fija a la mordaza inferior. Para
ello, tanto en la zona del vastago como en la zona del cilindro, se disenan
y construyen unos utiles que sirven para adaptar los elementos del actua-
dor lineal neumatico al sistema de agarre de las mordazas. En la figura 4.3
se muestra el montaje del actuador neumatico en la maquina hidraulica de
ensayos. Una vez que el actuador se situa en posicion de ensayo (situando el
embolo en un punto intermedio de la carrera total del actuador neumatico),
se llenan las camaras del actuador con aire a la misma presion inicial. Se
utilizan distintos valores de presion inicial desde 1 hasta 5 bar. Una vez que
se han llenado las camaras, se cierran los orificios de entrada y se procede
al ensayo. La mordaza inferior se programa para que aporte un desplaza-
miento cıclico al cilindro del actuador neumatico con valores de ±20 mm.
4.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO III 137
Ademas, se mide la senal de la fuerza por medio de la habitual celula de
carga del actuador hidraulico. En la figura 4.4, se muestran los resultados
de este estudio experimental. En dicha figura, para cada valor de presion
inicial, se muestra una curva cuya pendiente crece proporcionalmente a esa
presion inicial. Por tanto, se puede decir que la presion inicial tiene un
efecto notable sobre la rigidez del actuador neumatico.
Figura 4.3: Disposicion experimental del actuador lineal neumatico para ser
caracterizado.
138 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
−0.025−1000
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
1000
−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
P0 = 1 bar
P0 = 2 bar
P0 = 3 bar
P0 = 4 bar
P0 = 5 bar
Desplazamiento [m]
Fue
rza
[N
]
Figura 4.4: Caracterizacion experimental del actuador lineal neumatico
En la tabla 4.1 se recogen los valores aproximados de rigidez experimen-
tal del actuador neumatico en funcion de la presion inicial. Estos valores
corresponden a la rigidez de uno solo de los cilindros neumaticos, por lo
que, se debera tener en cuenta a la hora de incluir no uno sino dos de es-
tos actuadores en el prototipo. Ademas del aporte de rigidez, las curvas
mostradas en la figura 4.4 indican la presencia de cierta componente de
amortiguamiento. Concretamente, este amortiguamiento se acentua a me-
dida que la presion inicial en el cilindro va en aumento. La forma de las
curvas hace pensar que el tipo de amortiguamiento es debido a la existencia
de friccion seca entre los elementos del actuador neumatico. Se indaga en
el diseno constructivo del actuador, se comprueba como en el embolo existe
un par de juntas dinamicas de goma de nitrilo. Estas juntas impiden que el
aire comprimido de una camara viaje hacia la camara opuesta y viceversa.
El aporte de amortiguamiento no es el objetivo de la incorporacion del ac-
4.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO III 139
Presion inicial Rigidez [N/m]
1 14 115
2 21 310
3 29 280
4 37 530
5 46 535
tabla 4.1: Valores de rigidez experimental del actuador lineal neumatico en
funcion de la presion inicial.
tuador neumatico. No obstante, es inevitable tener presente cierto valor de
amortiguamiento en funcion de la presion inicial seleccionada. Para compro-
bar que el amortiguamiento generado por la utilizacion de estos actuadores
neumaticos no responde a un amortiguamiento de tipo viscoso, se procede
a la realizacion del mismo ensayo correspondiente a la caracterizacion pero
realizando ciclos de frecuencias distintas y bien diferenciadas. De ese modo,
se realizan dos ensayos, uno a 0.5 Hz y otro a 3 Hz para una presion inicial
de 3 bar. Los resultados se muestran en la figura 4.5. Las curvas muestran
como el efecto de la frecuencia en el amortiguamiento es poco trascendente,
pudiendose de ese modo descartar la presencia de un amortiguamiento de
tipo viscoso.
La caracterizacion del actuador neumatico demuestra que este se puede
comportar como un muelle neumatico de rigidez variable. Esta variabilidad
de la rigidez es funcion de la presion inicial de llenado. No obstante, sin
animo de despreciar esa capacidad del muelle neumatico, la necesidad de
este actuador neumatico no es tanto adecuar su rigidez, y por tanto la de la
suspension, sino utilizar ese aporte adicional de rigidez en unas determina-
140 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
−0.025
−1000
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
1000
−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Desplazamiento [m]
Fue
rza
[N
]
P0 = 3 bar, f = 3 Hz
−0.025
−1000
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
1000
−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
P0 = 3 bar, f = 0.5 Hz
Desplazamiento [m]
Fue
rza
[N
]
Figura 4.5: Caracterizacion del actuador lineal neumatico a distintas fre-
cuencias.
4.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO III 141
das circunstancias o dejar de utilizarlo en otras. Es decir, se trata de activar
el actuador (el par de actuadores en realidad) a una determinada presion
inicial (seleccionada para que siempre sea la misma) para que aporte una
cantidad constante de rigidez a la configuracion 1 de la suspension. Cuan-
do se necesite utilizar la configuracion 2 de la suspension se procedera a
desactivar los actuadores para que no aporten rigidez. Por tanto, ahora la
tarea es saber la presion inicial a la que se desea utilizar los actuadores.
Por un lado, se necesita que la presion inicial seleccionada aporte una
cantidad de rigidez suficiente como para aumentar la frecuencia de reso-
nancia de la configuracion 1, mejorando los resultados de la estrategia de
control que ha sido propuesta. Por otro lado, se necesita un valor no de-
masiado alto de presion, ya que de ser ası, penalizarıa el tiempo necesario
en accionar el actuador y, por tanto, el tiempo de conmutacion desde la
configuracion 2 hasta la configuracion 1 de la suspension. Por este motivo,
se elige una presion inicial de 1.5 bar, capaz de aportar un valor constante
de rigidez aproximadamente igual a la rigidez de la suspension del Proto-
tipo II a bajas frecuencias, es decir, aproximadamente unos 37500 N/m.
Ası pues, se procede a estimar el coste en tiempo que supone tener que
pasar de la configuracion 2 de la suspension (con los actuadores inactivos)
a la configuracion 1 (con los actuadores llenos de aire a la presion de 1.5
bar).
En la figura 4.6 se muestra el Prototipo III donde se va a llevar a cabo la
medicion de ese tiempo de llenado de los actuadores. A dicho prototipo se
le anade una sonda capaz de capturar la senal de presion en los actuadores
neumaticos. En dicha figura se comprueba como los actuadores se insertan
en paralelo al muelle de aire del Prototipo II. Para ello se anaden utiles
solidarios tanto a la masa suspendida (amarrando el vastago del actuador)
142 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
Figura 4.6: Banco experimental sobre el Prototipo III para determinar el
tiempo de llenado de los actuadores neumaticos a la presion seleccionada.
como a la parte inferior del muelle de aire que recibe la excitacion (que
amarran el cilindro del actuador) para alojar los actuadores neumaticos. A
continuacion, se ajusta una presion de 6 bar justo a la entrada de la valvula
3 del diagrama 4.1.
Se mantienen las valvulas 2 en posicion abierta para permitir que el aire
llegue a cada camara de cada uno de los actuadores. Seguidamente, se abre
la valvula 3 un espacio muy breve de tiempo. Transcurrido ese lapso de
tiempo se vuelve a cerrar. De ese modo, las camaras de los actuadores y el
conducto que lleva el aire desde la valvula 3 hasta los actuadores se llenan
4.1. DESCRIPCION DEL PROTOTIPO III 143
con una determinada presion inicial. Se realizan varias pruebas cargando de
aire de esta manera los actuadores hasta que se consigue obtener una presion
inicial de 1.5 bar. El lapso de tiempo necesario en el proceso apertura-cierre
de la valvula 3 finalmente fue de 50 ms.
0 1 2 3 4 5 6−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiempo [s]
Pre
sió
n r
ela
tiva
[b
ar]
Figura 4.7: Tiempo necesario para llenar los actuadores neumaticos a una
presion de 1.5 bar desde la presion atmosferica.
El motivo por el que se fija una presion de 6 bar en el punto de suministro
de aire comprimido es para conseguir un gradiente grande de presiones entre
ese punto de suministro y las camaras de los actuadores y el llenado de los
mismos se vea acelerado. La figura 4.7 muestra la senal de presion captada
por la sonda en el proceso de llenado de los actuadores, teniendo abierta
la valvula 3 durante 50 ms y cerrando a continuacion. El tiempo necesario
para que la presion de 1.5 bar se estabilice es de 0.35 s aproximadamente.
144 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
4.2. Determinacion experimental de los parame-
tros del Prototipo III
Una vez que se ha determinado el comportamiento de los actuadores
neumaticos y se ha elegido en que condiciones van a trabajar en el conjun-
to de la suspension, se procede en esta seccion a determinar los parametros
habituales de la suspension neumatica del Prototipo III, es decir, se ob-
tendran la rigidez de la suspension como funcion de la frecuencia, ası como
la respuesta dinamica y amortiguamiento. En primer lugar, se procede a
determinar la rigidez experimental del Prototipo III. El ensayo se realiza
como se ha realizado para los prototipos I y II, es decir, en ausencia de
masa suspendida. La existencia de nuevos elementos como son los actua-
dores neumaticos hace necesario disenar nuevo util para fijar los vastagos
de los actuadores y la parte superior del muelle de aire y que permanezcan
inmoviles durante el ensayo. En la figura 4.8, se puede observar en detalle
la disposicion experimental para la realizacion de este ensayo. En el util su-
perior se observa como se incorporan unos elementos (esparragos con rosca
externa e interna) que permiten, ademas de amarrar los vastagos de los ac-
tuadores, regular la posicion de los mismos (y por tanto del embolo) dentro
del cilindro. De esta manera se situa el embolo en la posicion central de la
carrera de los actuadores. Este aspecto es muy importante ya que, de no
existir la posibilidad de regular la posicion del embolo, serıa muy complica-
do ubicar simultaneamente las posiciones iniciales tanto del muelle de aire
como de los actuadores neumaticos.
La senal de entrada en el ensayo sera un desplazamiento armonico de
5 mm de amplitud y la senal de salida la fuerza ejercida por el prototipo.
El rango de frecuencia objeto del estudio, ira desde 0.1 hasta 25 Hz. Las
4.2. PARAMETROS DEL PROTOTIPO III 145
Figura 4.8: Disposicion experimental para la determinacion de la rigidez
del Prototipo III.
operaciones previas a la realizacion del ensayo dependen de la configura-
cion de la suspension que se desee ensayar. En primer lugar se ensaya la
configuracion 1. Para ello, se realiza el llenado de los actuadores hasta 1.5
bar tal como se ha comentado previamente, y del muelle de aire de la sus-
pension hasta 3 bar (tal como se hizo para los prototipos predecesores) una
vez alcanzada, en ambos casos, la posicion inicial. Este ensayo experimental
de la rigidez, se repetira para presiones en los actuadores de 1 y 0.5 bar.
El mismo proceso, a excepcion del proceso de llenado de los actuadores,
se repite para ensayar la configuracion 2 de la suspension. En este caso,
las camaras de dichos actuadores estan comunicadas directamente con el
146 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
ambiente, ya que las valvulas 2 permanecen abiertas y la 3 en posicion de
comunicar los actuadores con el ambiente. La figura 4.9 muestra los resul-
tados de estos ensayos experimentales para la determinacion de la rigidez.
En dicha figura se muestra la evolucion de la rigidez de la suspension con
Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1
x 104
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Rig
ide
z [N
/m]
C1 + actuadores a P = 1.5 barC1 + actuadores a P = 1.0 barC1 + actuadores a P = 0.5 barC2 + actuadores inactivos
Figura 4.9: Resultados de los ensayos de rigidez sobre el Prototipo III.
la frecuencia para la configuracion 1 (C1) y la configuracion 2 (C2) de la
suspension. En el caso de la configuracion 1 se representa para las tres pre-
siones iniciales usadas en los actuadores (0.5, 1 y 1.5 bar). Resulta evidente
la diferencia de rigidez entre las curvas correspondientes a la configuracion
1 y la configuracion 2. En prototipos anteriores, las curvas de rigidez co-
rrespondientes a esas dos configuraciones, tendıan a valores constantes a
4.2. PARAMETROS DEL PROTOTIPO III 147
altas y bajas frecuencias. El hecho de que ahora no lo hagan responde a la
incorporacion de los actuadores neumaticos, ya que aportan una cantidad
de rigidez constante en todo el rango de frecuencia. Para la configuracion 1
y a bajas frecuencias, existe una diferencia clara en el valor de rigidez entre
las tres curvas debido logicamente a las distintas presiones de 0.5, 1 y 1.5
bar en los actuadores neumaticos. Sin embargo, esa diferencia de rigidez
entre las tres curvas no se mantiene en la zona de altas frecuencias. Este
comportamiento se puede explicar en base a la existencia de la componente
de amortiguamiento por friccion seca. A altas frecuencias, la fuerza nece-
saria para mantener la senal de desplazamiento es mayor ya que hay que
vencer ese amortiguamiento por friccion seca. La fuerza por unidad de des-
plazamiento por tanto se ve aumentada. En definitiva, se ha conseguido el
objetivo primordial para el que se incorporaron los actuadores neumaticos,
es decir, se ha aumentado considerablemente los valores de rigidez para la
configuracion 1 de la suspension en el rango de frecuencia estudiado.
El siguiente ensayo experimental sobre el prototipo III es la determina-
cion de la transmisibilidad de la suspension. La disposicion experimental
para la realizacion del ensayo es identica a la mostrada en la figura 4.6, es
decir, se ha incorporado la masa suspendida habitual, pero se ha eliminado
el sensor de presion usado es esa ocasion. El procedimiento a seguir es el
siguiente: se situa el muelle aire en su posicion inicial (z0=105 mm) con una
presion inicial en la suspension de 2 bar. Se regula la posicion del embolo
de los actuadores neumaticos para que queden en la posicion central del
cilindro. Se empieza tomando la configuracion 1 de la suspension, por tan-
to, se llenan las camaras de dichos actuadores hasta una presion de 1.5 bar
tal como se ha explicado con anterioridad y se configura la valvula 1 del
esquema 4.1 para que el conducto de trabajo sea el correspondiente a dicha
148 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
configuracion de la suspension. La senal de excitacion de la suspension es
una senal senoidal de desplazamiento cuya amplitud es constante (1.5 mm).
Las frecuencias ensayadas van desde 0.5 hasta 7 Hz. Para ese rango de fre-
cuencias se recoge la senal de salida de la masa suspendida con el sensor de
desplazamiento (LVDT) habitual.
10
0
1
2
3
101
4
0
Frequencia [Hz]
Tra
nsm
isib
ilid
ad
Configuración 2
Configuracion 1
Figura 4.10: Resultados experimentales de la respuesta dinamica del Pro-
totipo III para sus dos posibles configuraciones.
El mismo proceso se sigue para evaluar la respuesta dinamica de la
suspension con la configuracion 2. En este caso, los actuadores neumati-
cos siguen estando presentes en el montaje experimental del prototipo pero
el proceso de llenado de los mismos no se realiza, estando comunicados
a la presion ambiental. La figura 4.10 muestra los resultados de estos en-
sayos experimentales. En estos resultados se comprueba con la frecuencia
4.2. PARAMETROS DEL PROTOTIPO III 149
de resonancia de la configuracion 1 se ha desplazado notablemente hasta
frecuencias mas altas, mientras que la frecuencia de resonancia de la con-
figuracion 2 se ha mantenido constante. Sin embargo, ambas respuestas se
han visto provistas de un mayor amortiguamiento fruto de la existencia de
la friccion seca mencionada previamente. Finalmente, sobre el mismo mon-
taje experimental se realiza un ensayo encaminado a obtener la respuesta
a escalon del prototipo para sus dos configuraciones.
0 0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tiempo (s)
Resp
uest
a a
esc
aló
n n
orm
aliz
ada
Configuración 1
Configuración 2
Figura 4.11: Respuesta a escalon experimental del Prototipo III.
La senal de excitacion utilizada es un escalon de 10 mm de amplitud.
La respuesta de la masa suspendida se muestra normalizada en la figura
4.11. Con este nuevo ensayo se comprueba nuevamente como los valores de
amortiguamiento han crecido para cada una de las configuraciones.
150 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
4.2.1. Comparacion con el Prototipo II
Los resultados obtenidos anteriormente correspondientes a los parame-
tros de la suspension neumatica del Prototipo III son ahora comparados
con los que se obtuvieron para el Prototipo II. Concretamente, los valo-
res de rigidez y transmisibilidad son comparadas. La figura 4.12 muestra
la rigidez dinamica de ambos prototipos. Si se comparan las curvas de
ambos prototipos correspondientes a la configuracion 1, se observa como
las correspondientes al Prototipo III son practicamente paralelas a las co-
rrespondientes al Prototipo II, con la salvedad de que las primeras van
aumentando el valor de rigidez conforme aumenta la presion inicial en los
actuadores neumaticos. Esa conservacion del paralelismo se pierde progre-
sivamente cuando se alcanzan altas frecuencias. Esto esta motivado por la
presencia del amortiguamiento por friccion seca. Comparando las curvas de
rigidez de los dos prototipos para la configuracion 2 se observa algo pare-
cido. Concretamente, las curvas permanecen practicamente identicas hasta
que se alcanza un determinado valor de frecuencia para el cual los efectos
del amortiguamiento por friccion seca aumenta la rigidez del prototipo III.
La transmisibilidad de los prototipos II y III es comparada en la figura
4.13. En ambos prototipos y para la configuracion 2, la frecuencia de re-
sonancia se mantiene constante ya que el prototipo III no aporta rigidez
adicional para esa configuracion. Sin embargo, para la configuracion 1, el
aporte de rigidez se refleja en el aumento notable de la frecuencia de reso-
nancia de dicha configuracion. Nuevamente, en esta figura se observa como
se obtienen valores mas altos del factor de amortiguamiento para ambas
configuraciones del prototipo III. El objetivo perseguido en todo momento
desde que se ha iniciado el diseno y construccion de este prototipo ha sido
4.2. PARAMETROS DEL PROTOTIPO III 151
que el valor del modulo de transmisibilidad a la frecuencia de transicion
fuese menor que el obtenido para el prototipo anterior.
Frecuencia [Hz]
10 −1 10 0 10 1
x 104
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Rig
ide
z [N
/m]
C1 + actuadores a P = 1.5 barC1 + actuadores a P = 1.0 barC1 + actuadores a P = 0.5 barC2 + actuadores inactivos
C1 C2
Prototipo III
Prototipo II
Figura 4.12: Comparacion entre los valores de rigidez dinamica de los pro-
totipos II y III.
Observando la figura 4.13 se aprecia un notable descenso de dicho valor
desde 2.3 hasta 1.1 aproximadamente para los prototipos II y III respecti-
vamente. Por tanto, como se ha podido comprobar, no solo se ha podido
llevar a cabo la construccion del tercer prototipo e implementar en el mon-
taje los elementos accesorios de que disponıa (con las relativas dificultades
de ajustes entre partes de la suspension), sino que se han podido constatar
152 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
las ventajas que aporta la utilizacion de esta nueva version. Ası pues, la si-
guiente tarea no es sino llevar a cabo una aproximacion a un control sobre
el mismo, lo cual se desarrolla en la siguiente seccion.
Tra
nsm
isib
ilida
d
6
8
4
2
0
Frecuencia [Hz]
100
101
Prototipo II. Configuración 1
Prototipo II. Configuración 2
Prototipo III. Configuración 1
Prototipo III. Configuración 2
Figura 4.13: Comparacıon entre los valores de transmisibilidad de los pro-
totipos II y III.
En la tabla 4.2 se recogen los valores de frecuencia de resonancia y
factor de amortiguamiento para cada una de las dos configuraciones de
los prototipos II y III. El incremento de rigidez en la configuracion 1 ha
hecho posible pasar de de 3.17 a 4.51 Hz en su frecuencia de resonancia
con el consiguiente descenso del valor del modulo de transmisibilidad a la
frecuencia de transicion.
4.3. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 153
Prototipo Configuracion fn ξ
II 1 3.17 0.128
2 2.12 0.107
III 1 4.51 0.241
2 2.14 0.350
tabla 4.2: Valores de frecuencia de resonancia y amortiguamiento para las
dos configuraciones de los prototipos II y III.
4.3. Control de barrido en seno
El objetivo ahora no es otro sino implementar experimentalmente un
procedimiento de control tal como se ha venido haciendo en el resto de
prototipos. La tarea ahora es obtener experimentalmente la frecuencia de
transicion a la cual hay que conmutar las configuraciones. La expresion
analıtica de la frecuencia de transicion obtenida en el modelo analıtico para
los prototipos I y II no es valida para este prototipo ya que los actuadores
neumaticos no estan incluidos en dicho modelo. Seguidamente se ha im-
plementar un mecanismo de cambio entre configuraciones y determinar la
programacion de valvulas para tal fin.
4.3.1. Procedimiento de operacion para el cambio de confi-
guraciones
La figura 4.14 muestra los dos barridos sobre las dos configuraciones
del Prototipo III, tomando una frecuencia de comienzo de 0.5 Hz y una
frecuencia final de 10 Hz, con una velocidad de barrido de 0.0475 Hz/s.
Estos barridos se han realizado sobre las configuraciones 1 y 2, cargando
154 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (s)
6
4
2
0
-2
-4
-6
R
esp
uest
a n
orm
aliz
ad
a d
e la
masa
Configuración 1
Configuración 2
Figura 4.14: Barridos en seno experimentales sobre las dos configuraciones
del Prototipo III.
cada una de las mismas como se ha comentado en secciones anteriores.
La frecuencia de transicion se obtiene experimentalmente resultando ser
aproximadamente 2.9 Hz.
Tras definir los objetivos del control del barrido en seno atendiendo
a la frecuencia de excitacion, se presentan a continuacion el conjunto de
acciones relacionadas con la puesta en marcha y conmutacion de una u
otra configuracion del Prototipo III. Los pasos a seguir se muestran en la
figura 4.15. En primer lugar, se realizan las acciones 1, 2 y 3 encerradas
en el rectangulo negro, es decir, se monta la masa suspendida, se situa el
muelle de aire en su posicion inicial y se llena a la presion inicial de 2 bar y
se regula la posicion de los vastagos para que los embolos de los actuadores
4.3. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 155
queden en la posicion central de la carrera de los mismos. En el ensayo
de barrido se parte desde frecuencias bajas, y por tanto, se opta por la
configuracion 1 de la suspension. Por ello se continua con las acciones 1.4,
1.5 y 1.6 encerradas en el rectangulo correspondiente a la configuracion 1.
Estas acciones pasan, en primer lugar, por accionar la valvula selectora del
conducto a la posicion abierta, es decir, permitir que el conducto de trabajo
sea el de menor coeficiente Cr.
1. Montaje de la masa suspendida
2. Llenado del muelle de aire y depósito hasta la presión de trabajo correspondiente a la altura inicial del muelle de aire
3. Fijación del vástago de los cilindros a la masa suspendida y del cuerpo del cilindro al chasis receptor de la excitación
2.4. Conmutar la válvula 1 en posición OFF
2.5. Conmutar las válvulas 2 en posición ON y
la válvula 3 en posición OFF
1.4. Conmutar la válvula 1 en posición ON
1.5. Conmutar la válvula 3 y las válvulas 2
1.6. Conmutar las válvulas 2 y la válvula 3 en posición OFF
en posición ON durante 50 ms Alimentación
de las cámaras de los cilindros a 1.5 bar
CONFIGURACIÓN 2
CONFIGURACIÓN 1
t =
0.6
5 s
t =
0.6
0 s
Figura 4.15: Secuencia de acciones a seguir para la activacion y conmutacion
de las configuraciones del Prototipo III.
156 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
A continuacion se permite la apertura de las valvulas 2 (que estan en la
entrada de las camaras de los actuadores) y se activa la valvula 3 durante
50 ms. Esto permite que las camaras de los actuadores se llenen a una pre-
sion de 1.5 bar. Tras ese tiempo, se conmutan las valvulas 2 y la valvula 3,
haciendo que las valvulas 2 queden cerradas y no escape el aire de los actua-
dores neumaticos y dejando la valvula 3 en posicion inactiva comunicando
los actuadores al ambiente cuando sea necesario en la otra configuracion.
Si en lugar de la configuracion 1 se pretende cargar la configuracion 2 (o si
se carga la configuracion 2 desde la configuracion 1) los pasos a seguir son
los que se detallan a continuacion. Una vez que se han dado los pasos 1, 2
y 3 (o 1.4, 1.5 y 1.6 si se parte de la configuracion 1) se procede a realizar
los pasos 2.4 y 2.5. Consiste en definitiva en conmutar la valvula selecto-
ra de los conductos para trabajar ahora con el de mayor coeficiente Cr.
Ademas, simultaneamente se posicionan las valvulas 2 en posicion abierta
y la valvula 3 en posicion inactiva, es decir, se permite que las camaras
de los cilindros se comuniquen con el ambiente. Anticipando el tiempo de
cambio entre configuraciones que se presentara seguidamente, se indica en
la secuencia de operaciones de la figura 4.15 los valores de los mismos. El
tiempo de cambio desde la configuracion 1 hasta la 2 es de 0.60 s mientras
que el tiempo de cambio desde la configuracion 2 hasta la 1 es de 0.65 s. El
procedimiento para realizar el cambio de configuraciones de la suspension
descrito anteriormente es ahora implementado experimentalmente sobre el
Prototipo III. El barrido experimental es estudiado en un rango de frecuen-
cia desde 0.5 a 10 Hz. La velocidad con la que se realiza dicho barrido es
de 0.0475 Hz/s y la amplitud de la excitacion es de 1.5 mm. La configu-
racion elegida para empezar el barrido es la 1. La frecuencia de comienzo
del ensayo es 0.5 Hz, y segun lo comentado en la estrategia de control, en
4.3. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 157
esa zona de frecuencias (por debajo de la frecuencia de transicion) se ha
de tomar la configuracion con mayor aporte de rigidez a la suspension. El
ensayo transcurre barriendo frecuencias cada vez mas altas hasta que se
llega a la frecuencia de cambio de configuraciones. En ese momento se pro-
duce el cambio desde la configuracion 1 hasta la 2 a la frecuencia de 2.9 Hz
tal como se comento anteriormente. El ensayo prosigue hasta alcanzar la
frecuencia de 10 Hz. Los resultados de este ensayo se muestran en la figura
4.16.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo [s]
Configuración 1 Configuración 2
6
4
2
0
-2
-4
-6
R
esp
ue
sta
no
rma
liza
da
de
la m
asa
Figura 4.16: Control de barrido en seno experimental sobre el Prototipo III.
Como se puede observar en dicha figura, el valor del modulo de trans-
misibilidad en la frecuencia de transicion alcanza un valor bastante inferior
al de los prototipos predecesores siendo este aproximadamente de 1.1.
158 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
4.3.2. Estudio experimental del transitorio entre configura-
ciones.
Para finalizar el estudio experimental sobre el Prototipo III se proce-
de, como en los anteriores prototipos, al estudio del coste en tiempo que
supone el cambio entre configuraciones de la suspension. Dos ensayos ex-
perimentales se programan para estimar dicho coste en tiempo. El primero
de ellos trata de cuantificar la premura con que se pasa desde la configura-
cion 1 hasta la configuracion 2. El ensayo se realiza excitando la suspension
con la configuracion 1 a la frecuencia de resonancia de dicha configuracion,
es decir, a 4.51 Hz y con una amplitud de 1.5 mm. Cuando se alcanza el
regimen permanente en esas condiciones, se cambia subitamente a la con-
figuracion 2 y se evalua el comportamiento (tanto en regimen transitorio
como permanente) de la configuracion 2 en condiciones de resonancia de la
configuracion 1.
El resultado de este primer ensayo se muestra en la figura 4.17. A ese
valor de frecuencia de excitacion correspondiente a la frecuencia de resonan-
cia de la configuracion 1, la diferencia de respuestas entre configuraciones
es bastante significativa como ya se obtuvo en la transmisibilidad expe-
rimental. El segundo ensayo evalua la rapidez con que se pasa desde la
configuracion 2 hasta la configuracion 1. El ensayo ahora se realiza exci-
tando la suspension con la configuracion 2 a la frecuencia de resonancia de
dicha configuracion, es decir, a 2.14 Hz y con una amplitud de 1.5 mm.
Una vez alcanzado el regimen permanente en esas condiciones, se cambia
a la configuracion 1 y se estudia el comportamiento de la configuracion 1
en condiciones de resonancia de la configuracion 2. El resultado de este
segundo ensayo se muestra en la figura 4.18.
4.3. CONTROL DE BARRIDO EN SENO 159
0 1 2 3 4 5
Tiempo [s]
transitorio
6
4
2
0
-2
-4
-6
Desp
laza
mie
nto
norm
aliz
ado d
e la
masa Configuración 1
Configuración 2
Figura 4.17: Evaluacion experimental del transitorio ocurrido por el paso
de la configuracion 1 a la configuracion 2 del Prototipo III.
A este valor de frecuencia de excitacion correspondiente a la frecuen-
cia de resonancia de la configuracion 2, la diferencia de respuestas entre
configuraciones es menos notable que en el primer ensayo, ya que la con-
figuracion 1 se encuentra en zonas de factor de amplificacion igual a 1 y
la amplificacion de la configuracion 2 es pequena debido a la considerable
cantidad de amortiguamiento. Los valores de tiempo de estos transitorios
junto con el valor de tiempo de transicion a la frecuencia de resonancia se
recogen en la tabla 4.3 y se comparan con los obtenidos para el Prototipo
II.
160 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
0 1 2 3 4 5
Tiempo [s]
transitorio
6
4
2
0
-2
-4
-6
Desp
laza
mie
nto
norm
aliz
ado d
e la
masa
Configuración 2
Configuración 1
Figura 4.18: Evaluacion experimental del transitorio ocurrido por el paso
de la configuracion 2 a la configuracion 1 del Prototipo III.
Transitorio Prot. II Prot. III
Frec. transicion ωtr 1.14 s. 0.82 s.
Config. 1 ⇒ Config. 2 0.98 s. 0.60 s.
Config. 2 ⇒ Config. 1 0.89 s. 0.65 s.
tabla 4.3: Comparativa de tiempos empleados en los transitorios en el pro-
ceso de cambio de configuraciones de la suspension de los prototipos II y
III.
4.4. RESUMEN 161
4.4. Resumen
Las conclusiones e ideas alcanzadas cuando se analizo y ensayo el Pro-
totipo II se han puesto de manifiesto en este capıtulo en el Prototipo III.
Los analisis sobre el segundo prototipo desembocaron en la necesidad de
aportar mas rigidez a una de las dos configuraciones de la suspension. Este
aporte de rigidez estaba motivado por la necesidad de apartar la frecuencia
de resonancia de la configuracion 1 de la frecuencia de resonancia de la
configuracion 2. De esa manera, el punto de corte de las curvas de transmi-
sibilidad alcanzarıa un valor menor en modulo. Este hecho era importante
dada la estrategia de control por la que se opto, es decir, optar por la con-
figuracion 1 (la de mayor valor de la frecuencia de resonancia) cuando la
frecuencia de excitacion estaba por debajo de la frecuencia de corte de las
curvas (frecuencia de transicion) y optar por la configuracion 2 (la de me-
nor valor de la frecuencia de resonancia) cuando la frecuencia de excitacion
excedıa dicha frecuencia de transicion.
El problema con el Prototipo II era que con su configuracion no se podıa
dotar de mas rigidez a la configuracion 1. Por tanto, se hacıa necesario incor-
porar elementos externos que aportasen esa cantidad de rigidez requerida.
Sin embargo, esa incorporacion de rigidez deberıa poderse incorporar (a
la configuracion 1) y suprimir cuando se trabajase con la configuracion 2.
Con esas premisas, este capıtulo ha abordado el estudio del Prototipo III.
Dicho prototipo anadıa a su predecesor un par de actuadores neumaticos
lineales. La idea fue incorporar rigidez al sistema mediante el llenado de
dichos actuadores en el caso de utilizacion de la configuracion 1, y aliviar
dicha rigidez cuando se utilizase la configuracion 2, ya que no interesa mo-
dificar sus caracterısticas (en cuanto a rigidez al menos). Estos actuadores
162 CAPITULO 4. RIGIDIZACION DE LA SUSPENSION
se estudiaron para obtener las caracterısticas idoneas para ser usados, es
decir, se estudio la presion inicial con la que debıan llenarse para llegar a un
compromiso entre el valor de rigidez alcanzado y que el proceso de llenado
de los mismos se viese penalizado.
El Prototipo III fue sometido a diversos ensayos experimentales para la
obtencion de su rigidez, amortiguamiento y respuesta dinamica. Ademas,
tambien se estudio (como en prototipos anteriores) la premura con que se
realizan los cambios entre configuraciones, es decir, se evaluaron los tiempos
empleados en los transitorios entre configuraciones. Los resultados han si-
do satisfactorios, tanto en los tiempo necesarios para la conmutacion entre
estados de la suspension como en el objetivo perseguido desde el princi-
pio. El valor del modulo de transmisibilidad a la altura de la frecuencia
de transicion se ha conseguido bajar hasta el valor de 1.1 lo cual mejora
notablemente lo obtenido por los prototipos I y II (4 y 2.3 respectivamente).
Capıtulo 5
Conclusiones
5.1. Resultados de la tesis
Esta tesis ha sido posibles gracias a la posibilidad de utilizar la dotacion
de equipos del Area de Ingenierıa Mecanica perteneciente a la E.T.S. de In-
genieros Industriales. Ademas, el coste experimental de esta tesis ha sido
sufragado por el proyecto de investigacion concedido con el nombre “Anali-
sis y diseno de elementos neumaticos activos para el control de vibraciones”
y referencia PBI05-020, financiado por la Consejerıa de Educacion y Ciencia
de la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha. El resultado de la tesis
ha sido la concepcion, analisis y desarrollo experimental de una suspension
neumatica novedosa cuyas principales caracterısticas son las siguientes:
Nuevo concepto de suspension neumatica basada en la incorporacion
de un deposito y unos conductos al elemento clasico (muelle de aire).
Versatilidad en la rigidez de la suspension en base a la eleccion del
conducto de trabajo entre el muelle de aire y el deposito.
163
164 CAPITULO 5. CONCLUSIONES
Posibilidad de implementar una estrategia de control de manera sen-
cilla basada en la utilizacion de un par de configuraciones en funcion
de las condiciones de excitacion de la suspension.
Versatilidad en la incorporacion de elementos auxiliares que aportan
rigidez a la suspension y se incorporan a una de las configuraciones
de la suspension.
Posibilidad de atacar el problema de filtrado de senales monocromati-
cas y de barrido en seno.
El diseno de la suspension se ha dividido en varias partes. En primer
lugar se ha modelado analıticamente el esquema de sistema concebido. En
esta etapa la prioridad ha sido tener un modelo teorico que reprodujese
el comportamiento de la suspension neumatica formada por el muelle de
aire, el deposito y el conducto que une a ambos. Un sistema de ecuaciones
diferenciales no lineal es capaz de reproducir dicho comportamiento. Para
corroborarlo, se realizan una serie de ensayos experimentales con unos ele-
mentos comerciales. Los resultados experimentales apoyaban la validez del
modelo. Una vez que esta primera etapa habıa dado sus frutos, el paso si-
guiente era intentar indagar en el modelo buscando una posible variacion en
la suspension que produjese mejorıas sobre el comportamiento de la misma.
La segunda etapa de la elaboracion de esta tesis comienza con esa premisa.
Las conclusiones del modelo aportan la informacion necesaria y dirigen la
investigacion hacia la eleccion de una estrategia de control especıfica. Con-
cretamente, el analisis se basa en la eleccion de una estrategia de operacion
que imponga la utilizacion de un conducto de entre dos dependiendo del
valor de la frecuencia de excitacion de la suspension. La utilizacion de es-
tos dos conductos producen la menor amplificacion de la excitacion en la
5.1. RESULTADOS DE LA TESIS 165
suspension siempre que cada uno sea utilizado a cada lado del punto de
cruce de las curvas de transmisibilidad obtenidas con cada conducto por
separado. En base a esta discusion sobre la estrategia de operacion sobre la
suspension, la optimizacion de la suspension pasa por separar tanto como
sea posible las frecuencias de resonancia correspondientes, es decir, incre-
mentar la razon de rigidez entre la configuracion 1 y la 2 de la suspension.
La funcion de transferencia de la rigidez de la suspension aconseja, para
ese fin, tomar un muelle de aire con un volumen tan reducido como sea
posible, ası como un deposito con un volumen tan grande como sea posible.
Ante esas exigencias, se ha de marcar un compromiso entre obtener esa
minimizacion y maximizacion respectivamente, e incorporar en la suspen-
sion elementos comerciales y sobre todo que sus dimensiones se adapten a
lo que serıa un vehıculo real. Se eligen por tanto unos elementos acorde a
esas recomendaciones y se implementan en el llamado Prototipo II. Las ca-
racterısticas de este prototipo son introducidas en el modelo analıtico. Los
ensayos experimentales sobre el segundo prototipo dan nuevamente validez
a los resultados de las simulaciones del modelo sobre este prototipo.
Finalmente, como tercera etapa en el proceso de diseno de la suspen-
sion neumatica, se realiza otro paso mas en el proceso de obtener un valor
pequeno del modulo de transmisibilidad a la altura de la frecuencia de
transicion. Para conseguir esto se deben separar aun mas las frecuencias
resonantes de las curvas de transmisibilidad mencionadas anteriormente.
Ante la imposibilidad de reducir la frecuencia resonante menor (pues existe
un volumen de deposito a partir del cual los resultados no son significati-
vos), la unica opcion es aumentar la frecuencia de resonancia mayor. Esta
solucion pasa por rigidizar la configuracion de la suspension correspondien-
te a esa resonancia. Como solucion se presenta la incorporacion de un par
166 CAPITULO 5. CONCLUSIONES
de actuadores neumaticos lineales en paralelo con el muelle de aire, obte-
niendo de ese modo el llamado Prototipo III. La idea es que operen con
doble estado de funcionamiento, es decir, con y sin aporte de rigidez. Estos
actuadores se analizan experimentalmente para decidir las condiciones de
presion para la obtencion de resultados satisfactorios. Tambien se propone
un procedimiento de operacion para conmutar las configuraciones que su-
pone una serie de tareas en las electro-valvulas asociadas al prototipo. Los
resultados experimentales sobre el prototipo son satisfactorios. En todos los
prototipos se evalua el tiempo empleado en el cambio de una a otra con-
figuracion de la suspension. Como resultado el tiempo es razonablemente
bajo para los prototipos, siendo el menor de todos el obtenido para el Pro-
totipo III. Esto es debido a la existencia de un amortiguamiento adicional
aportado por los actuadores neumaticos externos. La estrategia es utilizada
tanto para filtrar la vibracion de senales de entrada monocromaticas como
de barrido en seno.
5.2. Aportaciones de la tesis
Entre las aportaciones que se han realizado en esta tesis destacan las
que se enumeran a continuacion:
Se he concebido un nuevo tipo de suspension neumatica.
Se modelado y verificado experimentalmente la suspension neumatica
presentada.
La suspension neumatica presenta una gran versatilidad en cuanto
a componente de rigidez con tan solo variar levemente un elemento
(conducto).
5.3. PUBLICACIONES 167
Se ha realizado una optimizacion de los elementos que entran en juego
en la suspension neumatica (muelle de aire y deposito)
Se han incorporado unos actuadores neumaticos externos para aporte
activo de rigidez.
Se ha implementado una estrategia de control para tratar senales
monocromaticas y de barrido en seno.
5.3. Publicaciones
Revistas
• A.J. Nieto, A. Gonzalez, J.M. Chicharro, P. Pintado. “Charac-
terization and design of pneumatic spring”. IADAT Journal of
Advanced Technology on Automation, Control and Instrumenta-
tion. vol.1, (25-27), 2005.
• A.J. Nieto, A.L. Morales, A. Gonzalez, J.M. Chicharro, P. Pinta-
do. “An analytical model of pneumatic suspensions based on an
experimental characterization”. Journal of Sound and Vibration,
(en prensa).
Congresos
• A.J. Nieto, J.M. Chicharro, P. Pintado, A. Gonzalez. “Characte-
rization and design of a pneumatic spring”. International Asso-
ciation for the Development of Advances in Technology. Interna-
tional Conference on Automation, Control and Instrumentation.
(IADAT-aci). Bilbao, Espana, 2005.
168 CAPITULO 5. CONCLUSIONES
• A.J. Nieto, J.M. Chicharro, A.L. Morales, A. Gonzalez, P. Pin-
tado. “Theoretical and Experimental Analysis of Pneumatic Sus-
pensions”. 10th International Research/Expert Conference ”Trends
in the Development of Machinery and Associated Technology”(TMT),
Lloret de Mar, Espana, 2006.
• A.J. Nieto, J.M. Chicharro, A. Gonzalez, A.L. Morales, P. Pin-
tado. “Semi-analytical model for air spring suspensions”. 24th
Seminar on Machinery Vibration. Canadian Machinery Vibra-
tion Association (CMVA). Montreal, Canada, 2006.
• A.J. Nieto, A.L. Morales, R. Moreno, J.M. Chicharro, P. Pinta-
do. “Sinusoidal sweep control of an improved pneumatic suspen-
sion”. 11th International Research/Expert Conference ”Trends
in the Development of Machinery and Associated Technology”(TMT),
Hammamet, Tunez, 2007.
• A.J. Nieto, A.L. Morales, R. Moreno, J.M. Chicharro, P. Pin-
tado. “Control activo en una suspension neumatica mejorada”.
XVII Congreso Nacional de Ingenierıa Mecanica (CNIM), Gijon,
Espana, 2008.
5.4. Futuras lıneas de investigacion
El trabajo tanto teorico como experimental desarrollado en esta tesis ha
servido para desarrollar progresivamente una serie de prototipos de una sus-
pension neumatica. Cada prototipo ha ido mejorando a su predecesor, desde
aspectos como mejorar la relacion de tamano de sus elementos hasta otros
aspectos como incorporar elementos auxiliares externos a la suspension,
siempre con el objetivo de mejorar las prestaciones de dicha suspension.
5.4. FUTURAS LINEAS DE INVESTIGACION 169
Sin embargo, con la base del estudio desarrollado en esta tesis, es posible
plantearse algunas mejoras o futuras lıneas de investigacion alrededor de
esta suspension neumatica como se listan a continuacion:
Implementacion de un control en lazo cerrado que permita a la suspen-
sion enfrentarse a senales vibratorias mediante la estimacion rapida
de parametros de la excitacion en el dominio del tiempo.
Paso del modelo y prototipo de la suspension neumatica de un cuar-
to de coche al modelado y construccion de un prototipo de coche
completo.
Implementacion de la estrategia de control ası como de los prototipos
mejorados a maquinaria rotativa con frecuentes ciclos de arranque y
parada.
Implementacion de un sistema de deteccion de variacion de parame-
tros de la suspension primaria de un vehıculo basado en tecnicas de
analisis de ruido utilizando como suspension secundaria la suspen-
sion neumatica presentada. El analisis tendrıa como objetivo detectar
comportamientos anomalos como pudiera ser la falta de presion en un
neumatico.
Bibliografıa
[Ahn, 1996] Ahn K.G., Pahk H.J., Jung M.Y., Cho D.W. “A hybrid-type
active vibration isolation system using neural networks”. Journal of
Sound and Vibration, 192(4), (1996), 793-805.
[Aparicio, 2001] Aparicio F., Vera C., Dıaz V. “Teorıa de los vehıculos au-
tomoviles”. Segunda Edicion, (2001).
[Bachrach, 1983] Bachrach B.I. “Analysis of a damped pneumatic spring”,
Journal of Sound and Vibration, 86(2), (1983), 191-197.
[Baker, 1975] Baker J.K. “Vibration Isolation”, 1975, Engineering Design
Guides 13 (Oxford University Press for the Design Council).
[Boshuizen, 1992] Boshuizen H.C., Bongers P.M., Hulshof C.T.J. “Self-
reported back pain in work lift truck and freight container tractor
drivers exposed to whole-body vibration”, Spine 17 (1992) 1048-1059.
[Burggraaf, 1993] Burggraaf P. “Vibration control in the fabrication”. Se-
miconductor International. (1993) 42-46.
[Cascajosa, 2000] Cascajosa M. “Ingenierıa de vehıculos”. Editorial Tebar.
2000.
171
172 BIBLIOGRAFIA
[Cellucci, 1993] Cellucci T.A., Houghton B. “Vibration control without
sticker shock”. Machine Design. (1993) 38-42.
[Choi, 2001] Choi S.B., Lee S.K., Park Y.P. “A hysteresis model for the
field-dependent damping force of a magnetorheological damper”. Jour-
nal of Sound and Vibration 245, (2)9, (2001), 375-383.
[Clijmans, 1998] Clijmans L., Amon H.R., De Baerdemaeker J. “Structu-
ral modification effects on the dynamic behaviour of an agricultural
tractor”. Transactions of the ASAE 41 (1) (1998) 5-10.
[DeBra, 1984] DeBra D.B. “Design of laminar flow restrictors for damping
pneumatic vibration isolators”. CIRP Annals 33(1) (1984), 351-356.
[DeBra, 1992] DeBra D.B. “Vibration isolation of precision machine tools
and instruments”.CIRP Annals 41(2) (1992), 711-718.
[Deprez, 2005] Deprez K., Moshou D., Anthonis J., De Baerdemaeker J.,
Ramon H. “Improvement of vibrational comfort on agricultural vehi-
cles by passive and semi-active cabin suspensions”, Computers and
Electronics in Agriculture, 49, (2005), 431-440.
[Erin, 1998] Erin C., Wilson B. “An improved model of a pneumatic vibra-
tion isolator: theory and experiment”, Journal of Sound and Vibration,
218(1), (1998), 81-101.
[Esmailzadeh, 1978] Esmailzadeh E., “Optimization of pneumatic vibra-
tion isolation system for vehicle suspension”, Journal of Mechanical
Design, 100, (1978), 500-506.
[Fermi, 1996] Fermi E. “Thermodynamics”, Dover Publications, 1996.
BIBLIOGRAFIA 173
[Gillespie, 1992] Gillespie, T.D. “Fundamentals of vehicle dynamics”. So-
ciety of Automotive Engineers, Inc. (1992).
[Griffin, 1990] Griffin M.J. “Handbook of Human Vibration”, Academic
press, London, 1990.
[Harris, 2007] Harris N.K., OBrien E.J., Gonzalez A.“Reduction of bridge
dynamic amplification through adjustment of vehicle suspension dam-
ping” Journal of Sound and Vibration, 302(3), (2007), 471-485.
[Henderson, 1998a] Henderson R.J., Raine J.K. “A two-degree-of-freedom
ambulance stretcher suspension. Part 2: simulation of system perfor-
mance with capillary and orifice pneumatic damping”, Proceeding Ins-
titution of Mechanical Engineers. 212, Part D, (1998), 227-240.
[Henderson, 1998b] Henderson R.J., Raine J.K. “A two-degree-of-freedom
ambulance stretcher suspension. Part 3: laboratory and road test per-
formance”, Proceeding Institution of Mechanical Engineers. 212, Part
D, (1998), 401-407.
[Hong, 2005] Hong S.R., Choi S.B., Choi Y.T., Wereley N.M. “Non-
dimensional analysis and design of a magnetorheological damper”.
Journal of Sound and Vibration, 288, 4-5(20) (2005), 847-863.
[Hostens, 2003] Hostens I., Ramon H. “Descriptive analysis of combine ca-
bin vibration and their effect on the human body”, Journal of Sound
and Vibration, 266, (2003), 453-464.
[Hostens, 2004] Hostens I., Deprez K., Ramon H. “An improved design of
air suspension for seats of mobile agricultural machines”, Journal of
Sound and Vibration, 276, (2004), 141-156.
174 BIBLIOGRAFIA
[Hrovat, 1988] Hrovat D., Margolis D.L., Hubbard M. “An approach to-
ward the optimar semi-active suspension”. Transactions of the ASME.
Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 110, (1988),
288-296.
[Hulshof, 1987] Hulshof C., Van Zanten B.V. “Whole-body vibration and
low back pain”, International Archives of Occupational and Environ-
mental Health 59, (1987), 205-220.
[Hundal, 1978] Hundal M.S. “Analysis of performance of pneumatic impact
absorbers”. Transactions of the ASME. Journal of Mechanical Design.
100, (1978), 236-241.
[Hundal, 1980] Hundal M.S. “Literature review-pneumatic shock absorbers
and isolators”. Shock and Vibration Digest. 12(9), (1980), 17-21.
[ISO 2631:1987] ISO 2631:1987 Evaluation of human exposure to whole-
body vibration.
[Kanazawa, 2005] Kanazawa K., Hirata K. “Parametric estimation of the
cross-power spectral density”, Journal of Sound and Vibration, 282,
(2005), 1-35.
[Karnopp, 1974] Karnopp D.C., Crosby M.J., Harwood R.A. “Vibration
control using semi-active force generators”. ASME Journal of Engi-
neering for Industry, 96(2), (1974).
[Kasarda, 1988] Kasarda M., Allaire P.E., Humphris R. Barrett L.E. “A
magnetic damper for first mode vibration reduction in multi-mass
flexible rotors”. Workshop on Rotor Dynamic Problems in High-
Performance Turbo-Machinery, Texas A&M University, (1988).
BIBLIOGRAFIA 175
[Kim, 2000] Kim Y.B., Yi H.B., Lee B.K.“Design and application of mag-
netic damper for reducing rotor vibration”. Int. KSME J. 24, (2000),
355-361.
[Kim, 2001] Kim Y.B., Hwang W.G., Kee C.D., Yi H.B.“Active vibration
control of a suspension system using an electromagnetic damper”.
Proc. Instn. Mech. Engrs. 215 Part D. (2001), 865-873.
[Kjellberg, 1997] Kjellberg A., Wikstrom B.O., Landstrom U. “Injuries and
other adverse effects of occupational exposure to wholebody vibra-
tion”. A review for criteria documentation, Arbete och H. alsa vetens-
kaplig skriftserie 41, (1997), 2-6.
[Klinger, 1976] Klinger D.L., Cooperrider N.K., Hedrick J.K., White R.C.,
Calzado A., Sayers M., Wormley D. “Guideway vehicle cost reduc-
tion, Parts I and II”. DOT Reports No. DOT-TST-76-95 (1) and (2),
National Technical Information Service, Springfield, VA 22121, (1976).
[Koyanagi, 1990] Koyanagi S. “The development of the air spring with va-
riable nozzle”, Quarterly Report of Railway Technical Research Insti-
tute, 31 (3), (1990), 122-127.
[Magnusson, 1996] Magnusson M.L., Pope M.H., Wilder D.G., Areskoug
B. “Are occupational drivers at increased risk for developing muscu-
loskeletal disorders?” Spine 21 (6), (1996), 710-717.
[Margolis, 1975] Margolis D.L., Tylee J.L. Hrovat D. “Heave mode dyna-
mics of a tracked air cushion vehicle with semiactive airbg secondary
suspension”. ASME Journal of dynamic systems, measurement and
control. 97(4), (1975), 399-407.
176 BIBLIOGRAFIA
[MathWorks, 1999] MathWorks, (1999). Matlab 6.1.1., Copyright c© by the
MathWorks Inc., Natick, MA.
[McManus, 2002] McManus S.J., St. Clair K.A., Boileau P.E. Boutin J.,
Rakheja S. “Evaluation of vibration and shock attenuation performan-
ce of a suspension seat with a semi-active magnetorheological fluid
damper”. Journal of Sound and Vibration, 253, 1(23) (2002), 313-327.
[Miyara, 2005] Miyara F. “Criterios sobre vibraciones”. Curso de Posgrado:
Especializacion en higiene y seguridad en el trabajo. (2005).
[Nikdajolasen, 1979] Nikdajolasen J., Holmes R., Gondhalekar V. “Inves-
tigation of an electromagnetic damper for vibration control of a trans-
mission shaft”. Proc. Instn. Mech. Engrs. 193 (1979), 331-336.
[Ogata, 1997] Ogata K. Modern Control Engineering, Prentice Hall Inter-
national 1997.
[Palej, 1990] Palej R., Piotrowski S., Stojek M. “Dynamic properties of
active pneumatic spring”. International Conference on Nonlinear Os-
cillations, INCO XII, Krakow, (1990).
[Palej, 1991a] Palej R., Piotrowski S. “Pneumatic Vibration Isolator”. Po-
lish Patent No. 150938. (1991).
[Palej, 1991b] Palej R., Piotrowski S. “Active Control of Sound and Vibra-
tion”, International Symposium Tokyo. Active Vibration Isolation for
Pneumatic hand-held tools, (1991).
[Palej, 1993] Palej R., Piotrowski S., Stojek M. “Mechanical properties of
an active pneumatic spring”, Journal of Sound and Vibration, 168(2),
(1993), 299-306.
BIBLIOGRAFIA 177
[Pintado, 1994] Pintado P. “Un curso de automocion”. 1994
[Pope, 1992] Pope M.H., Hansson T.H. “Vibration of the spine and low
back pain”, Clinical Orthopaedics and Related Research 279, (1992),
49-59.
[Quaglia, 2000] Quaglia G., Sorli M. “Experimental and theoretical analy-
sis of an air spring with auxiliary reservoir”, Proceedings of the 6th
International Symposium on Fluid Control Measurement and Visuali-
zation, Sherbrooke, Canada, (2000).
[Raine, 1998] Raine J.K., Henderson R.J. “A two-degree-of-freedom am-
bulance stretcher suspension. Part 1: system overview”, Proceeding
Institution of Mechanical Engineers. 212, Part D, (1998), 93-102.
[Rao, 1995] Rao S.S. “Mechanical vibrations”, Third edition. Addison-
Wesley, (1995).
[Roley, 1975] Roley D.G. “Tractor cab suspension performance modeling”.
Ph.D. thesis, Department of Agricultural Engineering, University of
California, Davis, 1975.
[Sandover, 1987] Sandover J., Dupuis H. “A reanalysis of spinal motion
during vibration”. Ergonomics 30 (6), (1987), 975-985.
[Seidel, 1997] Seidel H., Bluthner R., Hinz B., Schust M. “Stresses in the
lumbar spine due to whole-body vibration containing shocks”. Sch-
riftenreihe der Bundesanstalt fur Arbeitsschutz und Arbeitsmedezin,
Forschung Fb 777 (final report), (1997) (English translation by A.W.
Bednall).
178 BIBLIOGRAFIA
[Shames, 1982] Shames I.H. “Mechanics of fluids”, Second edition.
McGraw-Hill, (1982).
[Sharp, 1988] Sharp R.S., Hassan J.H. “Performance predictions for a pneu-
matic active car suspension system”. Proc. Instn. Mech. Engrs, Part
D, Trnasport. Engineering, 2002(D4), (1998), 243-250.
[Siebenhaar, 1975] Siebenhaar A. “The semi-active regulator”. PhD. dis-
sertation, Department of Mechanical Engineering, University of Cali-
fornia, Davis, 1975.
[Soliman, 1966] Soliman J.I., Tajer-Ardabili D. “Self-damped pneumatic
isolator for variable frequency excitation”, Journal of Mechanical En-
gineering, 8(3), (1966), 284-293.
[Stammers, 1993] Stamers C.W. “The role of a relaxation damper in a semi-
active suspension”, In IMechE Autotech 1993, Birmingham, 1993, pa-
per C462/32/014 (Mechanical Engineering Publications, London).
[Stein, 1991] Stein G.J., Ballo I. “Active vibration control system for the
driver’s seat for off-road vehicles”. Vehicle System Dynamics, 20(1),
(1991), 57-78.
[Stein, 1995] Stein G.J., “Results of investigation of an electro pneumatic
active vibration control system for a driver’s seat”. Proc. Instn Mech.
Engrs. Part D. Journal of Automobile Engineering, 209(D3), (1995),
227-234.
[Su, 1990] Su H., Rakheja S., Sankar T.S. “Vibration-isolation characte-
ristics of an active electromagnetic force generator and the influence
BIBLIOGRAFIA 179
of generator dynamics”. Transactions of the American Society of Me-
chanical Engineers, Journal of Vibration and Acoustics 112, (1990),
8-15.
[Sun, 2002] Sun L.“Optimum design of “road-friendly” vehicle suspension
systems subjected to rough pavement surfaces Applied Mathematical
Modelling”, 26(5), 2002, 635-652.
[Trapero, 2007] Trapero J.R., Sira-Ramırez H., Feliu V. “A fast on-line fre-
quency estimator of lightly damped vibrations in flexible structures”.
Journal of Sound and Vibration, 307 (1-2), 2007, 365-378.
[Valaek, 1998] Valaek M., Kortum W, Magdolen L., Vaculın O. “Develop-
ment of semi-active road-friendly truck suspensions”. Control Enginee-
ring Practice, 6(6), (1998), 735-744.
[Van Dien, 1993] Van Dien J.H. “Functional Load of the Low Back”. Ph.D.
Thesis,Wageningen, IMAG-DLO Report 93 (5), 1993, p. 150.
[Vu, 1993] Vu H.V., Torby B.J. “Pneumatic vibration isolation of a ta-
ble traversed by a moving load”. ASME, Design Engineering Division
(Publication) DE Vibration Isolation, Acoustics, and Damping in Me-
chanical Sustems 62, (1993), 39-42.
[Winter, 1979] Winter D. “Biomechanics of Human Movement”. Biomedi-
cal Engineering and Health Systems, (1979) (John Wiley and Sons,
New York)