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Características*de*las*ondas
Integrantes:González/López/Deni Montserrat/Nogüez Castillo/Erika/IvoneSánchez/López/GustavoValverde/Guerrero/Isaac/Rubén/
Fundamentos+de+Teoría+electromagnética
Módulo'8.* Propagación'de'ondas'electromagnéticas'planas
8.6 Características de las ondas8.6.1 Constante de propagación8.6.2 Constantes de fase y atenuación8.6.3 Profundidad nominal8.6.4 Impedancia intrínseca8.6.5 Velocidad de fase8.6.6 Velocidad de Grupo
Recordamos*que*la*Ec.* De*onda*para*cada*campo*es*la*siguiente:
!"# − %& '#'(" − %)'#'( = 0
CONSTANTE*DE*PROPAGACIÓN,*CONSTANTES*DE*FASE*Y*ATENUACIÓN
Si*consideramos*una*ecuación*unidimensional:'#', =
'#'- = 0
Si*al*mismo*tiempo*consideramos*medios*no*conductivos:'"#'." − %)
'#'(" = 0
Dado*que*es*una*ecuación*unidimensional*dependiente*solo*de*z*y*t:
'#'. = /0#'#'( = −/1#
Se*considera*la*condición*inicial*para*la*solución*general*de*la*onda:* 2" = 1
)%
Como$solución$a$la$ ecuación$de$onda$plana$unidimensional,$viajando$a$lo$largo$de$z$planteamos:
! ", $ = !&'((*+(,-.)Expresamos$nuestros$campos$con$la$misma$notación
0 = 01 '(,(*+(-.)2 = 21 '(,(*+(,-.)
0 ", $ = (Ex, Ey, Ez)'(,(*+(,-.)2 ", $ = (Bx, By, Bz)'(,(*+(,-.)
Donde$E0 y$B0$ son$amplitudes$vectoriales$constantes$que$deberán$relacionarse$entre$sí$para$$satisfacer$las$ecuaciones$de$Maxwell.
Ahora comenzamos suponiendo lasecuaciones de Maxwell para un casodonde no existen cargas o corrienteslibres externas en la región deestudio ρf =0 y J’ f =0
! • # = 0
!&# = −()(*! • + = 0
!&+ = ,-# + ,/ (#(*
Si integramos nuestro análisis deecuación de onda en un mediounidimensional, no conductor , sincargas o corrientes libres (ρf =0 , J’ f =0y -=0) y las ecuaciones de Maxwelltendremos.
! • # = (12(3 = 4512
! • + = ()2(3 = 45)2
Recordando)la)ecuación)de)onda)para)medios)no)conductivos:
! ", $ = (Ex, Ey, Ez),-.(/0-.12)3 ", $ = Bx, By, Bz ,-. /0-.12
5675"6 − 9:
575$6 = 0
<=! = >?(−@AB + @DE)
<=3 = >?(−FAB + FDE)535$ = −>G3
Ahora si consideramos las ecuaciones de Maxwell Maxwell para un caso donde noexisten cargas o corrientes libres externas en la región de estudio ρf =0 y J’ f =0 y unmedio no conductor (σ=0). Tendremos:
?@0 = 0?F0 = 0
?(−@AB + @DE) = G3? −FAB + FDE = 9:G!
Recordando)la)condición)inicial)para)la)solución)general)de)la)onda:)
!" = 1%&
' −)*+ + )-. = /!" 0
Reescribiendo)las)ecuaciones)de)onda)para)facilitarnos)la)visualización:
' ẑ • 0 = 0' ẑ • 4 = 0' ẑ 5 0 = /4
' ẑ 5 4 = − /!" 0
Figura 1. Relación entre los vectoresde campo y la dirección depropagación para una ondatransversal.
Figura72.7Campos7de7una7onda7transversal.
Análisis'de'resultados:
Como'consecuencia'de'que'los'campos'sean'perpendiculares'tenemos'una'relación'de'sus'magnitudes:
! = #$ %
Con'respecto'a'las'amplitudes:'
# ẑ ' ( = $)# ẑ ' (Ex, Ey, Ez)123(452367) = $(Bx, By, Bz)123(452367)
#(−%:, %;, <) = $(Bx, By, Bz)Se'cumle la'relacion de'amplitides.
Bx = 46 (−%:) By = 4
6 (%;)
Igualmente podemos llegar a la conclusión de que ambos campos están en fase
considerando la parte real de los campos
!"#$% = !'()(+, − ./ + 1)3"#$% = 3'()(+, − ./ + 1)
Se observa que la relación se cumplirá para argumento de cosenos iguales, es decir
campos en fase: que alcancen sus ceros juntos, sus máximos y mínimos
Para medios conductivos se tiene un caso donde no existen cargas o corrientes libres
externas en la región de estudio ρf =0 y J’ f =0 y un medio conductor (σ≠0). Tendremos:
4564,5 − 78
4564/5 − 79
464/ = 0
Al tratar de resolver6 ,, / = 6<=>(?@>ABC)
Se#encuentra#una#nueva#relación#de#k
!" = $"%& + ($%)Para#campos#que#varían#de#forma#armónica#con#el#tiempo#se#tiene#que#estos#no#se#amortiguan#con#el#tiempo.#Lo#que#nos#da#la#restricción#de#que#ω#sea#real#y#positiva,#por#lo#que#k#es#una#cantidad#compleja.
Constante#de#propagación:
! = ±(, + -.)Con#0 y#1 reales#positivos:
α" −β" +2(αβ = $"%& + ($%)α"−β"= $"%&2αβ = $%)
Donde#μ#ε#σ#son#reales.
Con$! y$" reales$positivos,$despejando$de$las$relaciones$anteriores:
Constante$de$fase
α = ω &'2 1 + +
,'-
+ 1./-
Constante$de$atenuación:
β = ω &'2 1 + +
,'-
− 1./-
Para$comprobar$consideramos$un$medio$no$conductor$y$llegamos$a:
α = ω &' = 23
β = 0
Otras&formas&de&expresarlo:
Usando&la&constante&Q.
! = #$%
α = ω ($2 1 + 1
!,
+ 1-/,
β = ω ($2 1 + 1
!,
− 1-/,
Como$k$resulta$ser$un$complejo:$! = ! #$% = ! ('()* + ,)#-*)
De$manera$que$:/ = ! cos(*)3 = ! ,)#-(*)
! = /4 + 34 5/4 = ω 89 1 + 1;4 + 1
5/<
=>-* = 3/ ; 1 + 1
;4 − 1 = 1 + ;4 − ;
Análisis'de'resultados:
! ", $ = !&'()((+,)-)/(01)! ", $ = !&'(-/'()(/+(01)
Observando esta última ecuación podemosconcluir los significados de la constante defase y la constante de atenuación. Ya que laprimer exponencial nos representa “unaonda viajera amortiguada” !&'(-/ que soloexiste para 2≠0 que solo existe para mediosconductores. Mientras por su parte 3 nosrepresenta la parte real de una onda de faseconstante.
Su interpretación real nos dice que losmedios conductores son medios disipativospor la perdida de energía por la resistencia.
¿Qué%pasa%si%la%onda%se%propaga%en%un%medio%conductor%?
Sabemos(que(dentro(de(un(conductor(la(carga(es(igual(a(0(por(lo(tanto(:!"#$ y(%"#$La(ecuación(de(onda(plana(en(estas(condiciones(
&'(&)' − +, &'(
&-' − +.&(&- = 0Y(la(solución(general(es(:
( ), - = ($23(56789)
Las(derivadas(respecto(a(z(y( t(son:&'(&- = −;<($23(56789)=>?=9> = −<'($23(56789)
=>?=6> = −@'($23(56789)
PROFUNDIDAD(NOMINAL
Reescribiendo+la+ecuación+diferencial
−"#$%&'()*+,-)(− /0)− (−/1)#2$%&'()*+,-) −32 $%&'()*+,-) = 0
Eliminando+términos+en+común+y+despejando+32 obtenemos++una+expresión+para+k+también+conocida+como++Relación+de+Dispersión+
32 = #2/1 + "#/0
¿Cómo+usamos+esta+expresión?Campo+armónico+
Analizando)K)complejo
Sea! = ($ + &')
Sustituyendo:
( ), + = (,-.((/0.1)3456)
Usando propiedad de exponencial:
( ), + = (,-.(/3456)-4 13
Onda viajera amortiguada
Encontrando)K
! = ±(% + '()Igualando)parte)real)y)parte)imaginaria)tenemos)
*+,- = %+ − (+*,/ = 2%(
Resolviendo)simultáneamente)obtenemos)
% = * 12 ,- 1 + /
*-++ 1
2+
( = * 12 ,- 1 + /
*-+− 1
2+
Analizando)las)unidades)de)% y)( [ 24]
Origen'de'la'atenuación'
! = #$
De'las'expresiones'para % y'& sabemos'que'k'no'es'constante'por'lo'tanto'$ tampoco'lo'es
Medio'Dispersivo'
Factor'de'amortiguamiento'
!" #$
La'amplitud'disminuye'a'razón'de'%& ,'sabemos'que'' tiene'unidades'de'
longitud"%,'por'lo'tanto'la'distancia'a'la'que'la'amplitud'disminuye'es'()
* = () Profundidad'nominal'''''
Ondas&planas&en&una&dirección&arbitraria
Buscamos una generalización para describir una onda viajera que semueve en una dirección arbitraria respecto a un sistema coordenadodado.
IMPEDANCIA&INTRINSECA
Ecuación(de(onda
Partimos(de(la(forma(de(representar(una(onda(plana(y(armónica
! ", $ = !&'((*+,-.)
0=(Constante de(propagación1 =Frecuencia(angular.(
Ecuación(de(onda(en(términos(de(ζ
Se(plantea(una(componente(! del(campo(ya(sea(eléctrico(o(magnético(que(dependa(del(tiempo(y(de(una(distancia(ζ, que va(de(un(plano(dado(al(origen(del(sistema(coordenado.
" = $% . (̅$%=(normal(al(plano(̅=vector(de(posición
(Wangsness,)2001)
Ecuación(de(onda(en(términos(de(ζ
! ζ, # = !%&'()ζ*+,)
! ζ, # = !%&'() ./ .2̅*+,)
34 = 4 .5
34 =vector(de(propagación
! ζ, # = !%&'(3).2̅*+,)
34. 6̅ =((747, 848 , 949).(7, 8, 9)(=(747 + 848 + 949
! ζ, # = !%&'(;);<=)=<>)>*+,)
Relación)con)la)ecuaciones)de)Maxwell
Obtenemos)el)gradiente)de:)
! = !#$%('(')*(*)+(+,-.)En)la)componente)x:
010' = !#$%('(')*(*)+(+,-.)(i23)= !(i23)
010* = !(i24)
010* = !(i25)
Equivalencias,de,los,operadores,
! "=("(i#$), "(i#%), "(i#&))
! "=( (i#$),,(i#%),,(i#&)) "
!= ((i#$),,(i#%),,(i#&))=i#
De,igual,manera,sacando,la,parcial,de,ψ,respecto,al,tiempo
'(') = "+,-(/0/1202130345))(:i7)=,"(:i7)
Ecuaciones*de*Maxwell*con*los*resultados*obtenidos*
! • # = 0
! • &=' • &=0
! • # =*' • B= (
! • &=' • B=0
!)&=' XE=−Bt= Ωb
!)+=' XB=µσE+ µεEt=−(iµσ+ µεω)E
Obtención)de)la)impedancia)intrínseca)del)medio
De)la)ley)de)AmperekxE= ωB
Usando la)expresión B=)Hµ
H)=)( "#$ )nxE
Para)el)caso)especial)de)un)medio)no)conductor)se)cumple)que)
( "#$ ) =
&'=(µε)
1/2
Obtención)de)la)impedancia)intrínseca)del)medio
H)=)[(µε)1/2/µ)]nxE
H)=)(ε/µ)1/2nxE= (nxE)/Z
Donde)Z=)(µ/ε)1/2
La)constante)Z)se)conoce)como)impedancia)intrínseca)del)medio
Zo=)(µo/εo)1/2=)377)[Ω]
VELOCIDAD)DE)FASE)Y)VELOCIDADDE)GRUPO)
Sabemos)que:
!" # = #%& cos(+, − ./ + 1)
FaseÁngulo que indica el desplazamientoque la señal tiene con respecto alorigen.
3 = +, − ./
Velocidad)de)fase
Consideramos+las+relaciones:
! = 2$% & % = 2$
!1& ( = 2$
) * ) = 2$(
1*
Velocidad de fase:o Rapidez a la que un valor definido de la fase
viaja.o Velocidad de una onda de una sola f.
+ = )%
&*
Velocidad)de)grupo
Superposición)de)ondas)
!" = !$cos()"* − ,"-)
!/ = !$cos()/* − ,/-)
Consideramos:
! = !$ cos()"* − ,"-) +"!$ cos()/* − ,/-)
Haciendo)un)promedio:
! = !# + !%2 ' = '# + '%
2
!# = ! − )!Expresando)! en)términos)de)!# y)de))!
! = !# + )!
!% = ! + )!! = !% − )!
'# = ' − )'
'% = ' + )'
' = !# + )'
' = '% − )'
Expresando)' en)términos)de)'# y)de))'
Sustituyendo
! = !# cos(() − +, − -() + -+,) +"!# cos(() − +, + -() − -+,)
! = !# cos((0) − +0,) +"!# cos((1) − +1,)
cos(2) cos 3 = 01 [cos 5 + 3 + cos 5 − 3 ]
! = 2!# cos(() − +,)cos(-() − -+,)
u = dω-(
Utilizando/la/propiedad
Velocidad/de/grupoVelocidad/a/la/que/viajan/un/grupo/de/ondas
u = d(%&)(&
u = % + & d(%)(&
Sustituyendo+* en+u
Velocidad+de+grupo+en+términos+de+la+velocidad+de+fase+
d(%)(& ≠ 0
d(%)(& ≠ 0
u ≠ %
u = %
En+un+medio+dispersivo
En+un+medio+no+dispersivo
Fuentes:• Gardiol, F.(1987).Curso intermedio de electromagnetismo.México: LIMUSA.
• Stein, S. & Wyssession, M.(2012).An Introduction TO Seysmology.Earthquakes and Earth structure.UK:Blackwell Publishing.
• Wangsness, R.(1989). Campos Electromagnéticos. MéxicoDF:LIMUSA.