carayianniskallinikosbakamidis signals systems exercises 2004

ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ

ΥΟΛΗ ΗΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ

ΚΑΙ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ

ΣΟΜΔΑ ΗΜΑΣΩΝ, ΔΛΔΓΥΟΤ

ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΣΙΚΗ

ΔΦΑΡΜΟΓΔ & ΑΚΗΔΙ

ΣΑ «ΗΜΑΣΑ ΚΑΙ ΤΣΗΜΑΣΑ»

Γ. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ

Γ. ΚΑΛΛΙΝΙΚΟ

. ΜΠΑΚΑΜΙΓΗ

ΑΘΗΝΑ 2004

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1 ................... 1

ΑΣΚΗΣΗ 2 ................... 4

ΑΣΚΗΣΗ 3 ................... 7

ΑΣΚΗΣΗ 4 ................... 8

ΑΣΚΗΣΗ 5 ................... 9

ΑΣΚΗΣΗ 6 ................. 10

ΑΣΚΗΣΗ 7 ................. 11

ΑΣΚΗΣΗ 8 ................. 15

ΑΣΚΗΣΗ 9 ................. 17

ΑΣΚΗΣΗ 10 ................. 21

ΑΣΚΗΣΗ 11 ................. 24

ΑΣΚΗΣΗ 12 ................. 25

ΑΣΚΗΣΗ 13 ................. 28

ΑΣΚΗΣΗ 14 ................. 31

ΑΣΚΗΣΗ 15 ................. 33

ΑΣΚΗΣΗ 16 ................. 36

ΑΣΚΗΣΗ 17 ................. 38

ΑΣΚΗΣΗ 18 ................. 40

ΑΣΚΗΣΗ 19 ................. 42

ΑΣΚΗΣΗ 20 ................. 44

ΑΣΚΗΣΗ 21 ................. 45

ΑΣΚΗΣΗ 22 ................. 46

ΑΣΚΗΣΗ 23 ................. 48

ΑΣΚΗΣΗ 24 ................. 49

ΑΣΚΗΣΗ 25 ................. 50

ΑΣΚΗΣΗ 26 ................. 52

ΑΣΚΗΣΗ 27 ................. 53

ΑΣΚΗΣΗ 28 ................. 54

ΑΣΚΗΣΗ 29 ................. 55

ΑΣΚΗΣΗ 30 ................. 57

ΑΣΚΗΣΗ 31 ................. 59

ΑΣΚΗΣΗ 32 ................. 60

ΑΣΚΗΣΗ 33 ................. 62

ΑΣΚΗΣΗ 34 ................. 64

ΑΣΚΗΣΗ 35 ................. 66

ΑΣΚΗΣΗ 36 ................. 68

ΑΣΚΗΣΗ 37 ................. 70

ΑΣΚΗΣΗ 38 ................. 74

ΑΣΚΗΣΗ 39 ................. 77

ΑΣΚΗΣΗ 40 ................. 80

ΑΣΚΗΣΗ 41 ................. 85

ΑΣΚΗΣΗ 42 ................. 88

ΑΣΚΗΣΗ 43 ................. 90

ΑΣΚΗΣΗ 44 ................. 91

ΑΣΚΗΣΗ 45 ................. 94

ΑΣΚΗΣΗ 46 ................. 97

ΑΣΚΗΣΗ 47 ................. 99

ΑΣΚΗΣΗ 48 ............... 102

ΑΣΚΗΣΗ 49 ............... 105

ΑΣΚΗΣΗ 50 ............... 108

ΑΣΚΗΣΗ 51 ............... 111

ΑΣΚΗΣΗ 52 ............... 114

ΑΣΚΗΣΗ 53 ............... 118

ΑΣΚΗΣΗ 54 ............... 120

ΑΣΚΗΣΗ 55 ............... 122

ΑΣΚΗΣΗ 56 ............... 124

ΑΣΚΗΣΗ 57 ............... 125

ΑΣΚΗΣΗ 58 ............... 128

ΑΣΚΗΣΗ 59 ............... 129

ΑΣΚΗΣΗ 60 ............... 131

ΑΣΚΗΣΗ 61 ............... 133

ΑΣΚΗΣΗ 62 ............... 134

ΑΣΚΗΣΗ 63 ............... 137

ΑΣΚΗΣΗ 64 ............... 139

ΑΣΚΗΣΗ 65 ............... 140

ΑΣΚΗΣΗ 66 ............... 142

ΑΣΚΗΣΗ 67 ............... 145

ΑΣΚΗΣΗ 68 ............... 148

ΑΣΚΗΣΗ 69 ............... 153

ΑΣΚΗΣΗ 70 ............... 155

ΑΣΚΗΣΗ 71 ............... 157

ΑΣΚΗΣΗ 72 ............... 160

ΑΣΚΗΣΗ 73 ............... 161

ΑΣΚΗΣΗ 74 ............... 163

ΑΣΚΗΣΗ 75 ............... 166

ΑΣΚΗΣΗ 76 ............... 168

ΑΣΚΗΣΗ 77 ............... 170

ΑΣΚΗΣΗ 78 ............... 175

ΑΣΚΗΣΗ 79 ............... 178

ΑΣΚΗΣΗ 80 ............... 182

ΑΣΚΗΣΗ 81 ............... 185

ΑΣΚΗΣΗ 82 ............... 188

ΑΣΚΗΣΗ 83 ............... 191

ΑΣΚΗΣΗ 84 ............... 193

ΑΣΚΗΣΗ 85 ............... 197

ΑΣΚΗΣΗ 86 ............... 203

ΑΣΚΗΣΗ 87 ............... 208

ΑΣΚΗΣΗ 88 ............... 212

ΑΣΚΗΣΗ 89 ............... 218

ΑΣΚΗΣΗ 90 ............... 225

ΑΣΚΗΣΗ 91 ............... 229

ΑΣΚΗΣΗ 92 ............... 234

ΑΣΚΗΣΗ 93 ............... 237

ΑΣΚΗΣΗ 94 ............... 240

ΑΣΚΗΣΗ 95 ............... 244

ΑΣΚΗΣΗ 96 ............... 247

ΑΣΚΗΣΗ 97 ............... 250

ΑΣΚΗΣΗ 98 ............... 255

ΑΣΚΗΣΗ 99 ............... 261

ΑΣΚΗΣΗ 100 ............... 267

ΑΣΚΗΣΗ 101 ............... 270

ΑΣΚΗΣΗ 102 ............... 273

ΑΣΚΗΣΗ 103 ............... 278

ΑΣΚΗΣΗ 104 ............... 282

ΑΣΚΗΣΗ 105 ............... 287

ΑΣΚΗΣΗ 106 ............... 291

ΑΣΚΗΣΗ 107 ............... 298

ΑΣΚΗΣΗ 108 ............... 302

ΑΣΚΗΣΗ 109 ............... 306

ΑΣΚΗΣΗ 110 ............... 314

ΑΣΚΗΣΗ 111 ............... 317

ΑΣΚΗΣΗ 112 ............... 323

ΑΣΚΗΣΗ 113 ............... 328

ΑΣΚΗΣΗ 114 ............... 333

ΑΣΚΗΣΗ 115 ............... 337

ΑΣΚΗΣΗ 116 ............... 341

ΑΣΚΗΣΗ 117 ............... 344

ΑΣΚΗΣΗ 118 ............... 350

ΑΣΚΗΣΗ 119 ............... 354

ΑΣΚΗΣΗ 120 ............... 356

ΑΣΚΗΣΗ 121 ............... 363

ΑΣΚΗΣΗ 122 ............... 368

ΑΣΚΗΣΗ 123 ............... 371

ΑΣΚΗΣΗ 124 ............... 375

ΑΣΚΗΣΗ 125 ............... 377

ΑΣΚΗΣΗ 126 ............... 383

ΑΣΚΗΣΗ 127 ............... 388

ΑΣΚΗΣΗ 128 ............... 393

ΑΣΚΗΣΗ 129 ............... 396

ΑΣΚΗΣΗ 130 ............... 399

ΑΣΚΗΣΗ 131 ............... 403

Ασκήσεις στα "Σήματα και Συστήματα" 1

ΑΣΚΗΣΗ 1

Έλα ζήμα διακπιηού χπόνου, x n( ) , θαίλεηαη ζην επόκελν ζρήκα :

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4

1

1/2

n

x n( )

Να ζρεδηαζηνύλ αλαιπηηθά θαζέλα από ηα επόκελα ζήκαηα :

i) x n( )2

ii) x n( )4

iii) x n( )2

iv) x n( )2 1

v) x n u n( ) ( )2

vi) x n n( ) ( )1 3

vii) 1

2

1

21x n x nn( ) ( ) ( )

viii) x n( )2

ΛΥΣΗ

i) Από ην ζήκα x n( ) πξνθύπηεη ην x n( )2 κε κεηαηόπηζε ηνπ ζήκαηνο δεξιά θαηά δύν

κνλάδεο :

0 1 2 3 4 5-1-2

1

1/2

x n( )2

n6 7 8

ii) Όκνηα, γηα ην x n( )4 , ζρεδηάδνπκε ην x n( ) θαη κεηαηνπίδνπκε ηε παξάζηαζε

απιζηεπά θαηά ηέζζεξηο κνλάδεο :

2 Ασκήσεις στα "Σήματα και Συστήματα"

0 1 2 3 4 5-1-2

1

1/2

x n( )4

n6 7 8

iii) Σηε ζπλέρεηα ζρεδηάδνπκε ην ζήκα x n( )2 :

0 1 2 3 4 5-1-2-3

1

1/2

n

x n( )2

iv) Τν ζήκα x n( )2 1 πξνθύπηεη από ηελ αξρηθή γξαθηθή παξάζηαζε :

0 1 2 3 4 5-1-2-3

1

n

x n( )2 1

-4

v) Γηα ην ζρεδηαζκό ηεο x n u n( ) ( )2 ιακβάλνπκε ππόςε καο ηε κνξθή ηεο κνλαδηαίαο

βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο u n( )2 :

0 1 2 3 4 5-1-2-3

1

n

x n u n( ) ( )2

vi) Όκνηα, ρξεζηκνπνηνύκε ηε κνξθή ηνπ ζήκαηνο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο γηα λα

θαηαζθεπάζνπκε ηε x n n( ) ( )1 3 :


0 1 2 3 4 5-1-2

1

x n n( ) ( )1 3

n6

vii) Η γξαθηθή παξάζηαζε 1

2

1

21x n x nn( ) ( ) ( ) παξηζηάλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα :

0 1 2 3 4 5-1-2-3

1

1/2

n

1

2

1

21x n x nn( ) ( ) ( )

6

viii) Τέινο, ζρεδηάδνπκε ηε )n(x 2 εύθνια από ηε δνζκέλε έθθξαζε ηνπ x n( ) :

0 1 2 3 4-1-2

1

1/2

n

x n( )2


ΑΣΚΗΣΗ 2 Να βξεζεί θαη λα ζρεδηαζηεί ην άξηην θαη ην πεξηηηό κέξνο ησλ ζεκάησλ πνπ εηθνλίδνληαη ζηε ζπλέρεηα (άξηην : even, πεξηηηό : odd ) :

α)

0 1 2 3

-1-2

1

x n1( )

n

...

-1

-3

...

β)

0 1 2 3 4 5-1-2-3 n

x n2 ( )

6 7 8

3

2

1

γ)

0 1 2

3

4 5-1-2-3 n

x n3 ( )2

1

-4-5

-1

ΛΥΣΗ Υπελζπκίδνπκε όηη ην άξηην θαη ην πεξηηηό κέξνο πεξηγξάθνληαη από ηηο ζρέζεηο :

άξηην κέξνο x n x n x ne1 1 1

1

2, ( ) ( ) ( )

θαη πεξηηηό κέξνο x n x n x no1 1 1

1

2, ( ) ( ) ( )

όηαλ x1(n) = x1,e(n)+x1,o(n)


α) Δθαξκόδνληαο ηνπο παξαπάλσ ηύπνπο παίξλνπκε :

0 1 2 3

-1-2

1

x ne1, ( )

n

-3

4

0 1 2 3

-1-2

1

x no1, ( )

n

...

-1

-3

...

β)

0 1 2 3 4 5-1-2-3 n

x ne2 , ( )

6 7 8

3

2

1

-4-5-6-7-8

-

-1/2

-9

0

1 2 3 4 5

-1-2-3 n

x no2 , ( )

6 7 8

1

-4-5-6

-7

-8

-

-1/2

-9

-1

-1/2-

-


γ)

0 1 2 3

4

5-1-2-3 n

x ne3, ( )

2

1

-4-5

-1/2

1/2

3/2

-

-

-

0 1

2 3

4 5

-1

-2-3 n

x no3, ( )

2

1

-4-5

-1/2

1/2

3/2

-

-

-

-

-

--3/2

-


ΑΣΚΗΣΗ 3 Καζνξίζηε πνηα από ηα παξαθάησ εηθνληδόκελα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ είλαη πεξηνδηθά. Σε πεξίπησζε πνπ ηα ζήκαηα είλαη πεξηνδηθά λα βξείηε ηελ ζεκειηώδε πεξίνδν N0

.

ΛΥΣΗ

α) x n n( ) cos( )8 7 2

Τν ζήκα είλαη πξνθαλώο πεξηνδηθό κε βαζηθή πεξίνδν N0 7 .

β) x n e j n( ) ( )8

Από ηελ κνξθή απηή βιέπνπκε όηη ην ζήκα δελ είλαη πεξηνδηθό.

γ) x n n( ) cos( )2 8

Τν ζήκα είλαη πεξηνδηθό κε βαζηθή πεξίνδν N0 8 .

δ) x n n m n m( ) ( ) ( )3 1 3

Τν ζήκα απηό είλαη πεξηνδηθό κε βαζηθή πεξίνδν ίζε κε N0 3 .

ε) x n n n( ) cos( ) cos( )4 4

Τν ζήκα απηό δελ είλαη πεξηνδηθό.

ζη) x n n n n( ) cos( ) sin( ) cos( )2 4 8 2 2 6

Τν ζήκα καο είλαη πεξηνδηθό κε βαζηθή πεξίνδν ίζε κε N0 16 .


ΑΣΚΗΣΗ 4

α) Θεσξείζηε ην εθζεηηθό ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ x n e jm N n( ) ( )2 . Γείμηε όηη ε

ζεκειεηώδεο πεξίνδνο, N0, απηνύ ηνπ ζήκαηνο δίλεηαη από ηελ ζρέζε :

N N m n0

* ( , ) .

β) Θεσξείζηε επίζεο ην επόκελν ζύλνιν ησλ αξκνληθώλ εθζεηηθώλ ζεκάησλ δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

k

jk nn e( ) ( )2 7 .

Να βξεζεί ε ζεκειηώδεο πεξίνδνο ή ε ζπρλόηεηα απηώλ ησλ ζεκάησλ γηα όιεο ηηο αθέξαηεο ηηκέο ηνπ k.

γ) Δπαλαιάβεηε ην εξώηεκα (β) γηα ην επόκελν ζύλνιν ζεκάησλ :

k

jk nn e( ) ( )2 8 .

* ΜΚΓ = Μέγηζηνο Κνηλόο Γηαηξέηεο

ΛΥΣΗ

α) Θέινπκε ην κηθξόηεξν N0 ηέηνην ώζηε :

mN

N k mN

Nk( ) ( )

220

0,

όπνπ k είλαη έλαο αθέξαηνο. Άξα :

m m N N

N m Nm

( , )

( , );

0(=αθέξαηνο ).

Γηα ηνλ ειάρηζην N0 0 έρνπκε :

N NN

m N0 ( , ).

β) Η πεξίνδνο είλαη 7 γηα όια ηα k εθηόο από ηηο ηηκέο k m0 7, νπόηε ε πεξίνδνο είλαη 1,

κηαο θαη ηόηε ε θάζε ησλ εκηηόλσλ θαη ζπλεκηηόλσλ ζα είλαη 2πnm. Τα απνηειέζκαηα απηά αλ θαη είλαη πξνθαλή πξνθύπηνπλ θαη από ηνλ ηύπν πνπ απνδείρζεθε παξαπάλσ. γ) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ k παίξλνπκε :

k=0 Πεξίνδνο = 1

k=1,3,5,7 Πεξίνδνο = 8

k=2,6 Πεξίνδνο = 4

k=4 Πεξίνδνο = 2

Ο θύθινο επαλαιακβάλεηαη γηα k 0 7, , όπνπ mkk 8 .


ΑΣΚΗΣΗ 5 Υπνζέζηε ηα παξαθάησ ζπζηήκαηα κε ηηο εμήο ζρέζεηο εηζόδνπ-εμόδνπ :

Σύζηεκα 1 (S1) : y n

xn

n l

n l

( )

( ) , : ( )

, : ( )

22

0 2 1

Σύζηεκα 2 (S2) : y(n) = x(n) + ½ x(n-1) + ¼ x(n-2)

Σύζηεκα 3 (S3) : y(n) = x(2n)

Σπλδένπκε ηα ηξία ζπζηήκαηα ζε ζεηξά όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα :

y n( )S1 S2 S3

Να βξεζεί ε ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ απηνύ ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο. Δίλαη ην ζύζηεκα γξακκηθό ; Δίλαη ρξνληθά αλαιινίσην ;

ΛΥΣΗ Οη έμνδνη ησλ ηξηώλ ζπζηεκάησλ δίλνληαη αληίζηνηρα από ηηο ζρέζεηο :

x n( )y n( )S1 S2 S3

w n( ) z n( )

S3 : y n z n( ) ( )2

S2 : z n w n w n w n( ) ( ) ( ) ( )1

21

1

42

S1 : w n

xn

n k

n k

( )

( ) ,

,

22

0 2 1

Από ηηο ηξεηο απηέο ζρέζεηο, παίξλνπκε ηελ έμνδν :

y n z n w n w n w n( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

22 1

1

42 1

x n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( )01

41

1

41

Τν ζύλζεην ζύζηεκα είλαη πξνθαλώο γξακκηθό θαη ρξνληθά αλαιινίσην (ΓΦΑ).


ΑΣΚΗΣΗ 6 Θεσξνύκε ηα εμήο ζπζηήκαηα :

S y n x n

S y n a x n b x n c x n

S y n x n a b c

1

2

3

1 1

: ( ) ( )

: ( ) ( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) , , , R

Σπλδένπκε θαη ηα ηξία ζπζηήκαηα ζε ζεηξά όπσο ζηελ άζθεζε 5. Να βξεζεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο. Κάησ από πνηέο ζπλζήθεο πάλσ ζηα a b c, , ην ζύλζεην ζύζηεκα έρεη ηηο εμήο ηδηόηεηεο :

α) Γξακκηθό θαη Φξνληθά Αλαιινίσην ( ΓΦΑ ).

β) Η ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ είλαη ίδηα κε ηελ ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο 2 (S2

).

γ) Τν ζύζηεκα είλαη αηηηαηό.

ΛΥΣΗ

y n( )S1 S2 S3w n( )

x n( )

z n( )

Από ην ζρήκα γίλεηαη θαλεξό όηη νη έμνδνη από θάζε βαζκίδα ζα έρνπλ ηελ εμήο κνξθή :

S y n z n

S z n a w n b w n c w n

S w n x n

3

2

1

1 1

: ( ) ( )

: ( ) ( ) ( ) ( )

: ( ) ( )

y n z n a w n b w n c w n( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

a x n b x n c x n( ) ( ) ( )1 1

α) Τν ζύλζεην ζύζηεκα είλαη πάληα ΓΦΑ. β) Τν ζύζηεκα έρεη απηή ηελ ηδηόηεηα όηαλ a c όπσο είλαη θαλεξό από παξαπάλσ.

γ) Μπνξεί λα πινπνηεζεί απηή ε ζπλζήθε όηαλ ηζρύεη a 0 .


ΑΣΚΗΣΗ 7

Να ππνινγηζηεί ε ζπλέιημε, y n x n h n( ) ( )* ( ) , ησλ επόκελσλ δεπγώλ

ζεκάησλ :

α) x n a u nn( ) ( ) , a b , 0 1a b,

h n b u nn( ) ( )

β) x n h n a u nn( ) ( ) ( )

γ) x n u nn( ) ( )2

h n u n( ) ( )

δ) x n n( ) ,1 θαη h n

n

n

n

n

( )

( )1

20

4 0

ε) x n u n u n( ) ( ) ( ) θαη h n

n

n

n

n

( )

( )1

20

4 0

ΛΥΣΗ α) Γλσξίδνπκε όηη :

y n x n( ) ( )

a u k b u n k a b u n ba

bu nk n k

k

k n k

k

n

n k

k

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

Βάζεη ησλ ζρέζεσλ από ηηο γεσκεηξηθέο πξνόδνπο, παίξλνπκε :

y n b

a

b

a

ba

b

u na b

a bu nn

nn n

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

1

1 1


k

x k( ) -

-

-

h k( )

k

1

1

. .

. . .

β) Από ηελ πξνεγνύκελε πεξίπησζε έρνπκε : ( )a b

y n x n h n a u n n a u nn

k

n

n( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )1 10

γ) Δθαξκόδνπκε θαη πάιη ηε ζρέζε νξηζκνύ ηεο ζπλέιημεο, πξώηα γηα n 0 :

y n x n h n x k h n k nk

k

k

n

n( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ,2 2 01

Τν ίδην θάλνπκε θαη γηα ηα ζεηηθά n παίξλνληαο όκνηα απνηειέζκαηα.

Άξα : y n

n

nn

( )

,

,

2 0

2 01

.

n

h n( ) -

-

x n( )

n

1

1

. .


k

)k(h -

-

x k( )

k

1

1

. .

δ) Σηελ πεξίπησζε απηή ε ζπλέιημε ππνινγίδεηαη πνιύ εύθνια :

y n x n h n x k h n k

n

k

k

k

k

k

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )

, .

41

21

1

11

4

1

11

2

14

32 1

7

3

0

0

k

x k( ) -

-

h k( )

k

1

. . . .

1


ε) y n x n h n x k h n kk

( ) ( )* ( ) ( ) ( ).

Γηα n 0 παίξλνπκε :

y n k

k

n

k

k n

k

k

n n

( ) ( )4 41

21

4

11

4

4 4 1

4 1

1

11

2

11

1

0

0

1 1 1

1

41

43

4

4 1

3

4

1 41

3

4

3

4

31 4

5

3

7

3

nn

n n( )

Οκνίσο γηα n 0 βξίζθνπκε :

y n k

k

k

k

n

k

k n

n n

( ) ( ) ( )

( ) ( )

41

2

1

21

1

11

4

1

2

1

21

1

21

1

2

11

2

10

0

1

1

1 1

1

3

1

21

1

2

1

2

1

21

2

1

32

1

22

1

2

7

33

1

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

n n

n n n

k

x k( )

h k( )

k

1

1

4k

( / )1 2 k

-1


ΑΣΚΗΣΗ 8

Θεσξήζηε όηη κε h nk ( ) ραξαθηεξίδνπκε ηελ απόθξηζε ελόο ζπζηήκαηνο ζηελ

είζνδν ( )n k , δειαδή :

( )n kS

h nk ( )

Να βξεζεί ε αθξηβήο ζρέζε κεηαμύ εηζόδνπ-εμόδνπ, x n( ) θαη y n( ) , γηα θαζέλα

από ηα ζπζηήκαηα πνπ ραξαθηεξίδνληαη από ηα εμήο h nk ( ) :

α) h n n kk ( ) ( )

β) h n

n k k l

k lk ( )( ),

,

2

0 2 1

γ) h n n kk ( ) ( )2

δ) h n k u n kk ( ) ( )

ε) h n k n k k n kk ( ) ( ) ( )2 3

ζη) h nn k k l

u n k k lk ( )( ),

( ),

1 2 1

5 2.

ΛΥΣΗ :

α) h n n k h n h n n nk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 , δειαδή :

( )nS

h n n( ) ( )

Άξα ην ζύζηεκα είλαη ην ηαπηνηηθό ζύζηεκα :

x n( )S

y n x n( ) ( )

β) h nn k k l

k lk ( )( ),

,

2

0 2 1

νπόηε ε έμνδνο ζα δίλεηαη από ηελ ζρέζε :

y n x k h n x k h n x nn lk

k

k

kk

k l

k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

Άξα ζα έρνπκε όηη ηζρύεη :


y nx n n l

n l( )

( ) ,

,

2

0 2 1.

γ) h n n k y n x k h n x k n k x nk kk

k

k

k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

Άξα ε έμνδνο είλαη :

y n x n( ) ( )2

δ) h n k u n k y n x k h n x k k u n k x k kk kk

k

k

k

k

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Άξα : y n x k kk

n

( ) ( )

ε)

h n k n k k n kk ( ) ( ) ( )2 3

y n x k h n x k k n k k n k

x k k n k x k k n k

kk

k

k

k

k

k

k

k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3

2 3

y n

nx

nn x n n l

n x n n l( )

( ) ( ) ,

( ) ,2 2

3 2

0 3 2 1

ζη) h nn k k l

u n k k lk ( )( ),

( ),

1 2 1

5 2 y n x k h nk

k

k

( ) ( ) ( )

x k n k x k u n k

x n n m

x k n mk

k

k

k

k l

k

k

k l

n

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

( ) ,1 5

1 2

5 2 1

21 1 2 2

Άξα ζα έρνπκε νηη ε έμνδνο ζα είλαη :

y n

x n n m

x k n mk

k l

n

( )

( ) ,

( ) ,

1 2

5 2 1

2


ΑΣΚΗΣΗ 9

α) Σηα ζπζηήκαηα πνπ αθνινπζνύλ (άζθεζε 8) λα βξείηε πνηά είλαη αηηηαηά θαη πνηά όρη. Αηηηνινγήζηε ηηο απαληήζεηο ζαο.

i) h n n kk( ) ( )

ii) h nn k k l

k lk ( )( ) ,

,

2

0 2 1

iii) h n n kk ( ) ( )2

iv) h n k u n kk ( ) ( )

v) h n k n k k n kk ( ) ( ) ( )2 3

vi) h nn k k l

u n k k lk ( )( ) ,

( ) ,

1 2 1

5 2

β) Καζνξίζηε θαη ζρεδηάζηε ηελ απόθξηζε θαζελόο από ηα παξαπάλσ ζπζηήκαηα ζε είζνδν : x n u n( ) ( ) .

ΛΥΣΗ α) Τα i) θαη ii) είλαη πξνθαλώο αηηηαηά.

Τν iii) δελ είλαη γηαηί ε έμνδνο y n( ) εμαξηάηαη από κειινληηθέο ηηκέο ηεο εηζόδνπ.

Τν iv) είλαη αηηηαηό γηαηί ε έμνδνο εμαξηάηαη από παξειζνύζεο ηηκέο ηεο εηζόδνπ.

Τν v) δελ είλαη αηηηαηό γηαηί γηα n 0 έρνπκε εμάξηεζε ηεο εμόδνπ από κειινληηθέο ηηκέο

ηεο εηζόδνπ, δειαδή γηα n0 0 έρνπκε y n f xn

( ) (.. ( ).. )0

0

2 θαη ε είζνδνο x

n( )

0

2 είλαη

κειινληηθή σο πξνο ηε ρξνληθή ζηηγκή n 0 .

Τν vi) πξνθαλώο δελ είλαη αηηηαηό γηαηί θαη εδώ ε έμνδνο εμαξηάηαη από κειινληηθέο ηηκέο

ηεο εηζόδνπ ( x n( )1 ).

β)

i) Γλσξίδνπκε όηη γηα y n x n( ) ( ) (ηαπηνηηθό) x n u n y n( ) ( ) ( )

0 1 2 3 4 n

x n( ) -

-

-

y n( )

0 1 2 3 4 n

...

...


ii) y nx n u n n l

n l( )

( ) ( ) ,

,

2

0 2 1 ή y n

u n n l

n l( )

( ) ,

,

2

0 2 1

0 1 2 3 4 n

x n( ) -

-

-y n( )

0 1 2 3 4 n

...

...

1

1

iii) y n x n u n u n( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 1 2 3 4 n

x n( ) -

-

-

y n( )

0 1 2 3 4 n

...

...

1

1

iv) y n k x kk

n

( ) ( ) θαη αληηθαζηζηώληαο x n u n( ) ( ) παίξλνπκε :

y n kk

n

( )0


0 1 2 3 4 n

x n( ) -

-

-

y n( )

0 1 2 3 4 n

...

...

1

1

3

6

10

v) y n

nx

nn x n n l

n x n n l( )

( ) ( ) ( ) ,

( ) ,2 2

3 2

3 2 1 θαη επεηδή x n u n( ) ( ) :

y n

nn n l

n n l( )

,

,2

3 2 0

3 2 1 0y n

nn l

n n l

( ),

,

7

22 0

3 2 1 0

0 1 2 3 4 n

x n( ) -

-

-

y n( )

0 1 2 3 4 n

...

...

1

3

7

9

14

vi) y n

x n n m

x k n mkk l

n

( )

( ) ,

( ) ,

1 2

5 2 1

2

y n

n m

n m

k l

n

( )

,

,

1 2 0

5 2 10

2


y n

n m

nn m

( )

,

( ) ,

1 2 0

1

25 2 1 0

0 1 2 3 4 n

x n( ) -

-

-

y n( )

0 1 2 3 n

...

1

κ.ο.κ

1

5

1

10


ΑΣΚΗΣΗ 10 Θεσξήζηε ηελ ελ ζεηξά ζύλδεζε ηξηώλ αηηηαηώλ ΓΦΑ ζπζηεκάησλ όπσο θαίλεηαη ζηελ ζπλέρεηα :

x n( ) y n( )h n1( ) h n2 ( ) h n2 ( )

Γίδεηαη όηη :

h n u n u n2 2( ) ( ) ( ) ,

θαη ε νιηθή απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο (ή θξνπζηηθή απόθξηζε) ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο είλαη απηή πνπ θαίλεηαη ζην επόκελν ζρήκα :

0 1 2 3 4 5-1-2

h n( )

n6 7-3

1

5

4

8

10

11

-4

α) Να βξεζεί ε h n1( )

β) Να βξεζεί ε έμνδνο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο ζηελ είζνδν x n n n( ) ( ) ( )1 .

ΛΥΣΗ

α) h n h n h n h n( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

Γηα ηελ h n2 ( ) ηζρύεη :


0 1 2 3

h n2 ( )

n

1

h n h n2 2( ) ( )

h n n n n2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2 3-1

h n2 ( )

n

1

4

2

Άξα ζα ηζρύεη :

h n h n n n n h n h n h n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 1 2 2 1 2

Τν θάζε ζύζηεκα είλαη αηηηαηό, δειαδή h n1 0( ) γηα n 0 .

n 0 h h h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 1 2 0 11 1 1 1 n 1 h h h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 5 1 2 0 1 1 31 1 1 1

n 2 h h h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 10 2 2 1 0 2 31 1 1 1

n 3 h h h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 11 3 2 2 1 3 21 1 1 1

n 4 h h h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 8 4 2 3 2 4 11 1 1 1

n 5 h h h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 5 2 4 3 5 01 1 1 1

Οκνίσο h n n1 0 5( ) , .

β)

y n x n h n h n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 y n h n h n( ) ( ) ( )1

Η έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο παξνπζηάδεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα :

0 1 2 3

4 5

-1-2

y n( )

n

6 7

-3

1

5

4

8

-1

-3

-4

9 10


0 1 2 3 4 5-1-2

h n1( )

n6 7

1

3

2


ΑΣΚΗΣΗ 11

Θεσξήζηε ην ΓΧΑ ζύζηεκα, αξρηθά ζε εξεκία, πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ :

y n y n x n x n( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2

Να βξεζεί ε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο ζηελ είζνδν ηνπ ζρήκαηνο, ιύλνληαο ηελ δηαθνξνεμίζσζε επαλαιεπηηθά.

0 1 2 3-1-2-3 n

x n( )

1-

-

-

-

2

3

2

1

4

2

ΛΥΣΗ

Αξρηθά εξεκία : y y( ) ... ( )3 0 .

Λύλνπκε επαλαιεπηηθά :

n y y x x y2 2 2 3 2 2 4 2 1

0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n y y x x y1 1 2 2 1 2 3 1 0

1 2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n y y x x y0 0 2 1 0 2 2 0 5

0 3 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n y y x x y1 1 2 0 1 2 1 1 4

5 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

θαη κε ηνλ ίδην ηξόπν, βξίζθνπκε :

y( )2 16 , y( )3 26 , y( )4 56 , y(5) 110

θαη γεληθά y n nn( ) ( ) ,110 2 55.


ΑΣΚΗΣΗ 12

Να ππνινγίζεηε ηελ εηεξνζπζρέηηζε r ni j

i ji jx xi j

( ), ,( , ) , , ,1 2 3 4 γηα ηα ζήκαηα

x n ii ( ), , , ,12 3 4 πνπ θαίλνληαη ζηελ ζπλέρεηα :

0 1 2 3 4 5-1-2

1

n

x n1( )

0 1

2

3 4 5-1-2

1

n

x n2 ( )

-1

0 1 2 3 4-1-2

1

n

x n3( )

2

-3

0 1 2 3 4-1 6

1

n

x n4( )

5


ΛΥΣΗ Δθαξκόδνπκε ηε βαζηθή ζρέζε ππνινγηζκνύ ηεο εηεξνζπζρέηηζεο :

r n x k y k nxyk

( ) ( ) ( ) ,

θαη παίξλνπκε, αληίζηνηρα, ηα παξαθάησ :

r nx x1 2( )

0

1

2 3 4 5

-1

-2

1

n

r nx x1 2( )

-1

6-3

r nx x1 3( )

0 1 2 3 4 5-1-2

r nx x1 3( )

n6 7

1

3

2

4

r nx x1 4

( )

0 1 2 3 4 5-1-2

1

n

r nx x1 4( )

-5 -4 -3


r nx x2 3( )

0 1

2 3

4 5-1-2

1

n

r nx x2 3( )

-1

-3-4-5

r nx x2 4

( )

0 1

2

3 4 5-1-2

1

n

r nx x2 4( )

-1

-3

-4

-5

-6-7-8

r nx x3 4

( )

0 1 2 3 4-1-2

1

n

r nx x3 4( )

2

-3-4-5-6-7


ΑΣΚΗΣΗ 13

Να βξεζεί ν κεηαζρεκαηηζκόο z ησλ επόκελσλ αθνινπζηώλ ή ζεκάησλ θαη λα θαζνξηζηεί ε πεξηνρή ζύγθιηζεο ηνπ κεη/ζκνύ (ROC).

α) ( )n , β) ( )n 1 , γ) ( )n 1 , δ) ( ) ( )1

2

n u n

ε) ( ) ( )1

21n u n , ζη) ( ) ( )

1

2

n u n , δ) ( ) ( ) ( )1

2

1

4

n n u n

ε) ( ) ( )1

211n u n

ΛΥΣΗ

α) Ιζρύεη : Z[ ( )] ( )n n z n

n 0

1 .

Δπνκέλσο, δελ ππάξρνπλ πόινη θαη κεδεληθά θαη ε πεξηνρή ζύγθιηζεο (ROC) είλαη όιν ην z-επίπεδν. β) Σηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε :

x n n X z Z x n x n z n z zn

n

n

n

( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )1 10 0

1 .

Η πεξηνρή ζύγθιηζεο είλαη όιν ην z-επίπεδν κε εμαίξεζε ην ζεκείν z 0 (πόινο).

γ) x n n X z n z zn

n

( ) ( ) ( ) ( )1 10

.

Η πεξηνρή ζύγθιηζεο είλαη όιν ην z-επίπεδν κε εμαίξεζε ην z .

δ) x n u n X z

z

z

z

n( ) ( ) ( ) ( )1

2

1

11

2

1

2

1

.

Η πεξηνρή ζύγθιηζεο είλαη : | |z1

2.


ε)

2

1z

z

z2

11

1)z(X)1n(u)

2

1()n(x

1

n .

Η πεξηνρή ζύγθιηζεο είλαη : | |z1

2.

ζη) x n u nn( ) ( ) ( )1

2

Γηα ηε ζπλάξηεζε απηή γξάθνπκε : x n u n y nn( ) ( )( ) ( ) ( )11

2

1

21 .

Τόηε : x n y n Z y n z Y z X z

x n

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

( )

1 1 1

.

Αιιά θαη : Y z

z

z

z

( ) ( )

( )

1

2

1

11

22

1

2

1

.

Πεξηνρή ζύγθιηζεο : | |z1

2.

δ) x n u n X z

z z

z

z

z

z

n n( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

1

4

1

11

2

1

11

4

1

2

1

4

1 1

.



2.

ε)

x n u n x n u n y nn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

21 1

1

2

1

y n x n X z z Y z( ) ( ) ( ) ( )1 1.

Όκσο ην Y z( ) γξάθεηαη : Y zz

z

X z

z

( ) ( )1

2

1

1

2

.


2.

Παξαηήξεζε : i) Σε νξηζκέλα παξαδείγκαηα γίλεηαη ρξήζε ηνπ ακθίπιεπξνπ κεη/κνύ Z.

ii) Σηηο πεξηπηώζεηο δ) θαη ε) νη κεηαζρεκαηηζκνί έρνπλ ηελ ίδηα θιεηζηή έθθξαζε z

z1

2

,

αιιά αληηζηνηρνύλ ζε δηαθνξεηηθά ζήκαηα. Πξάγκαηη, ν κεηαζρεκαηηζκόο Z δελ ραξαθηεξίδεη κνλνζήκαληα ην ζήκα θαη γη’ απηό απαηηείηαη νπσζδήπνηε θαη ε πεξηνρή ζύγθιηζεο ηνπ κεη/κνύ.


ΑΣΚΗΣΗ 14 Θεσξήζηε ην ςεθηαθό θίιηξν πνπ εηθνλίδεηαη ζην επόκελν ζρήκα.

α) Να βξείηε ηελ H(z) απηνύ ηνπ αηηηαηνύ θίιηξνπ. Να απεηθνλίζεηε ηνπο πόινπο θαη ηα κεδεληθά θαη λα ζεκεηώζεηε ηελ πεξηνρή ζύγθιηζεο ( ROC ).

β) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ k ην ζύζηεκα είλαη επζηαζέο ;

γ) Να βξείηε ην y n( ) αλ k=1 θαη x nn

( ) cos( )3

.

x n( ) y n( )

z 1

+ +

w n1( )

w n2 ( )

K

3

K

4

ΛΥΣΗ

α) Θεσξνύκε ηα ελδηάκεζα ζήκαηα w n1( ) θαη w n2 ( ) :

Τόηε :

)z(W)z(W)z(Y 21

W z X zk

z W zk

z W z X z1

1

1

1

131

3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)(4

)( 1

1

2 zWzk

zW

Y z W z W zX z

kz

kz

X z

kz

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 21

1

113

41

3

Άξα ζα έρνπκε όηη :

H zY z

X z kz

kz

kz

kz

kz

zk

zk

( )( )

( )

1

13

4

1

13

14

13

4

31

1

1

1

1

,

πξνθαλώο ε πεξηνρή ζύγθιηζεο είλαη zk

3.

β) Τν ζύζηεκα είλαη επζηαζέο γηα k 3


γ) Ξέξνπκε όηη :

H z( )

x n ne e

j n j n

( ) cos( )3 2

3 3

y n( )

z zn n

0 0

* ( ) ( )*z z H zn n

0 0 0

Άξα :

)207.5n

3

πcos(022.1)n(x207.5022.1)n(x

3

1z

4

1z

)n(y

0

3

πj

z

ez

)z(Η


ΑΣΚΗΣΗ 15

Να βξεζνύλ νη αληίζηξνθνη κεη/κνί z ησλ αθόινπζσλ ζεκάησλ κε ηε κέζνδν αλάιπζεο ζε απιά θιάζκαηα θαη κε ηε κέζνδν ηεο αηέξκνλεο δηαίξεζεο :

i) 21

1

8

1

4

31

2

11

zz

z

zX )( , z1

2

ii) X z

z

z

( )

11

2

11

4

1

2

, z1

2

iii) X zaz

z a( )

1 1

1 , za

| |1

ΛΥΣΗ i) Αλάιπζε ζε απιά θιάζκαηα :

X z

z

z z

A

z

B

z

( )

11

2

13

4

1

81

1

41

1

2

1

1 2 1 1

A

z

zz

11

2

11

2

3

1

141| θαη B

z

zz

11

2

11

2

4

1

121| .

Έηζη :

x n u nn n( ) [ ( ) ( ) ] ( )31

44

1

2

Αηέξκνλε δηαίξεζε :

13

4

1

8

1 2z z11

2

1z

13

4

1

8

1 2z z

5

4

1

8

1 2z z

5

4

15

16

5

32

1 2 3z z z

13

16

5

32

2 3z z

15

4

13

16

1 2z z ...


Πξάγκαηη γηα n 1 από ηε ζρέζε x n u nn n( ) [ ( ) ( ) ] ( )31

44

1

2 παίξλνπκε

x u( ) [ ( ) ( )] ( )1 31

44

1

21

3

42

5

4, πνπ ζπκθσλεί κε ηνλ αληίζηνηρν

ζπληειεζηή ηεο δηαίξεζεο. ii) Αλάιπζε ζε απιά θιάζκαηα :

2

1z

z

z2

11

1

)z2

11)(z

2

11(

)z2

11(

z4

11

z2

11

)z(X111

1

2

1

, z1

2

x n Zz

z

u nn( ) ( ) ( )1

1

2

1

2


11

4

2z11

2

1z

11

4

2z

1

2

1

4

1 2z z

1

2

1

8

1 3z z

1

4

1

8

2 3z z

11

2

1

4

1 2

1

2

z z

x n u nn

...

( ) ( ) ( )

iii) Αλάιπζε ζε απιά θιάζκαηα :

X zaz

z a

z a

az a

a

a

az a

a

az

a z( )

( ) ( )1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 2

2

1

1 1

x n Za

a

az

a z an

a

au nn( )

( )

( )( )

( )1

2

2

1

1 1

2

1

1

1

1

1 11



a z1

11

az

11 1

az

12

1a

az

1 12 2

22a

a

a

az

12

2

2a

az

1 1 12

2

1

2

3

2

a

a

az

a

az ..

1 12

22

2

33a

az

a

az

….


ΑΣΚΗΣΗ 16 Καζνξίζηε ηνπο ζπληειεζηέο Fourier γηα θάζε έλα από ηα επόκελα ζήκαηα (πεξηνδηθά). Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ην κέηξν θαη ηελ θάζε γηα θάζε ζύλνιν ζπληειεζηώλ, X m( ) .

1) x nn

( ) sin(( )

)1

4

2) x nn n

( ) cos( ) sin( )2

8

2

7

ΛΥΣΗ

1)

N 8

1N

0n

N

nm2j

e)n(x)m(X

x n ee e

je

jnm

n

jn

jn

jnm

n

( ) ( )

( ) ( )

2

8

0

7

1

4

1

4

4

0

7

2

1

2

1

2

1

4

0

7 1

4

0

7

je

je

jn mn

n

jn mn

n

(( ) ) (( ) )

Μεηά από πξάμεηο βξίζθνπκε :

Xje

j

( )11

24 , X

je

j

( )71

24 θαη X X X X X X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 3 4 5 6 0 .

0 1 2 3 4 6

1/2

m

| ( )|X m

5 7 8

0 1 2 3 4 5 76

m

Arg X m[ ( )]

-3π/4

-5π/4


2) N 21 Με ηνλ ίδην ηξόπν ππνινγίδνληαο ηελ αλαιπηηθή έθθξαζε ηνπ

κεηαζρεκαηηζκνύ παίξλνπκε :

X Xj

( ) ( )3 181

2 , X X( ) ( )7 14

1

2 . Όια ηα ππόινηπα είλαη κεδέλ.

0 1 2 3 4 6

1/2

m

| ( )|X m

5 7 8 9 10 11 12 13 1514 16 17 18 19 20 21

0 1 2

3

4 6

π/2

m

Arg X m[ ( )]

5 7 8 9 10 11 12 13 1514 16 17 18 19 20 21

-π/2


ΑΣΚΗΣΗ 17

Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ραξαθηεξίδεηαη από ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο

5.0z

z)z(H .

α) Να ππνινγηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο αλ ε είζνδόο ηνπ είλαη ε ζπλάξηεζε κνλαδηαίνπ βήκαηνο u n( ) . (κε κεζόδνπο ζην πεδίν z )

β) Δπαιεζεύζηε ηελ απάληεζε ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο κε κεζόδνπο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ.

γ) Πώο ραξαθηεξίδεηαη ην ζύζηεκα από πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ ;

x n( ) y n( )

H z( )h n( )

X z( ) Y z( )

ΛΥΣΗ α) Γλσξίδνπκε όηη ε ζπλάξηεζε κνλαδηαίνπ βήκαηνο έρεη κεηαζρεκαηηζκό z :

u n U z u n zz

z

z

Zn

n

( ) ( ) ( )0

1

1

1 1

Δίλαη : H zY z

X zY z H z X z H z U z

z

z z( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( . )( )

2

05 1

Τόηε Y z

z

z

z z

A

z

B

z

( )

( . )( ) .05 1 05 1

AY z

zz

z

zz z

( )( . )|

( )|

.

.. .051

05

05 110 5 0 5 θαη

BY z

zz

z

zz z

( )( )|

( . )|

.1

05

1

0521 1 . Άξα : Y z

z

z

z

z( )

.

2

1 0 5

θαη ζην ρξόλν γξάθνπκε :

y n Z Y z Zz

z

z

zu n u n u nn n n( ) ( )

.( ) ( ) ( . ) ( ) [ ( . ) ] ( )1 1 2

1 052 1 05 2 05

β) Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ νξηζκό ηεο ζπλέιημεο : y n x h n( ) ( * )( )

Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ είλαη :

h n Z H z Zz

z

n( ) ( ).

( . )1 1

0505

Δπνκέλσο (γηα n 0 ) :

1)5.0(

1)5.0()5.0()kn(h)k(u)n)(h*u()n)(h*x()n(y

1nn

0k

kkk

kk

H

L

y n u n

n

n( )( . )

.[ ( . ) ] ( )

1 05

052 05

1


k

h

u

n 0

γ) H H ze

eH

z e

j

jj( ) ( )|.

| ( )|(cos . ) sin05

1

05

2

2 2 , 0 2 .

Η γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ | ( )|H 2 ζπλαξηήζεη ηνπ δίλεη :

0

4

0.444

| ( )|H 2

π 2π

Πξόθεηηαη γηα βαζππεξαηό θίιηξν (LOW PASS) .


ΑΣΚΗΣΗ 18

Να ζρεδηαζηεί έλα FIR ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ (ςεθηαθό θίιηξν) πνπ λα απνθόπηεη ηειείσο ηε ζπρλόηεηα ηνπ 1kHz θαη λα πεξλά ην ζπλερέο (D.C.) ρσξίο ηξνπνπνίεζε ηνπ πιάηνπο. Γώζηε έλα πξόρεηξν δηάγξακκα ηεο κεηαβνιήο ηνπ πιάηνπο | ( )|H ζπλαξηήζεη ηνπ . Η ζπρλόηεηα

δεηγκαηνιεςίαο είλαη f kHzS 8 .

ΛΥΣΗ

α) Οη ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο δίλνληαη από ηηο αθόιόπζεο ζρέζεηο :

f kHz Ff

fF

s

0 0

0

0 011

82 2

1

8 4.

Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ζα έρεη ηε κνξθή :

H z Cz z z z

z p z p( )

( )( )

( )( )1

1 2

1 2

,

κε z j1

2

2

2

2 θαη z j2

2

2

2

2 ελώ νη δύν πόινη βξίζθνληαη ζηελ αξρή ησλ

αμόλσλ, όπσο θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα :

H z C

z j z j

zC

z

z( )

( )( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2 2

2

H z Cz z

z( )

2

2

2 1

Γηλεηαη ζηελ εθθώλεζε όηη ην ζπλερέο ξεύκα δηέξρεηαη κέζα από ην ζύζηεκα ρσξίο λα κεηαβάιιεηαη ην πιάηνο :

| ( )|H 0 1 | ( )| ,708H z C Cz 1 1 11 2 1

1

1

2 21

Δπνκέλσο, ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο γξάθεηαη :


H zz z

z( ) ,7081

2 12

2

0

| ( )|H

-π ππ/4-π/4

High Pass

Notch

1

Σηε ζπλέρεηα, από ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, ζα βξνύκε ηε ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ :

H zz z

zz z( ) , , ( )1708

2 11708 1 2

2

2

1 2

ή Y z z z X z( ) , ( ) ( )1 708 1 2 1 2

Η ηειεπηαία εμίζσζε κε ηε ρξήζε ηνπ αληηζηξόθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Z (αξρηθέο ζπλζήθεο κεδεληθέο) δίλεη :

y(n x(n x(n x(n) , [ ) ) )]1 708 2 1 2

Αθνινπζεί ην δηάγξακα ηνπ ζπζηήκαηνο :

x n( ) y n( )

z 1

+x n( )12

+

z 1

+

1

1 708,

x n( )2


ΑΣΚΗΣΗ 19

α) Να ζρεδηαζηεί έλα FIR ςεθηαθό ζύζηεκα πνπ λα απνξξίπηεη κία αλεπηζύκεηε παξεκβνιή 60Hz (εκηηνληθή) πνπ αιινηώλεη ην επηζπκεηό ζήκα ησλ 200Hz.

β) Να θαζνξηζηεί ε απνιαβή ησλ θίιηξσλ έηζη ώζηε ην ρξήζηκν ζήκα λα πεξλά ρσξίο κεηαβνιή πιάηνπο.

γ) Να ζρεδηαζηεί πξόρεηξα ην κέηξν θαη ε θάζε ηνπ ζπζηήκαηνο.

δ) Να θαζνξηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ζε είζνδν : x t t t( ) cos cos400 120 . Γίλεηαη ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο

500samples/sec.

ΛΥΣΗ

Γίλνληαη f Hzs 500 , f Hz0 60 θαη f Hz1 200 .

Τόηε : Ff

fs

0

0 60

500012. , F

f

fs

1

1 200

5000 4. θαη αληίζηνηρα :

0 0

02 0 24 432F . ( . ) , 1 1

02 08 144F . ( ) .

Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο έρεη ηε κνξθή : H z Cz z z z

z( )

( )( )1 2

2

H z Cz e z e

zC

z z

zC

z z

z

j j

( )( )( ) cos cos( . )0 0

2

2

0

2

2 0

2

1 1 432

H z Cz z

z( )

.2

2

1458 1

Δίλαη :

H H Ce e

e

j j

j( ) ( ).

1

2

211458 1

| ( )| | | | . |H C e ej j

1

2 1 11458 1

C1

308.

H C e e e C ej j j j( ) ( . ) ( cos . )1458 2 1458


| ( )| | | |( cos . )|H C 2 1458 θαη H( ), ( cos . )

, ( cos . )

0 2 1458 0

2 1458 0

x t t t t t( ) cos cos cos cos400 120 2 200 2 60

x n F n T n e j n( ) cos cos2 1 1

1

1 γηαηί T 1 .

H H e Hj H( ) | ( )| ( ) . .( )

1 1

1

11 08 0 2

H e j( ) .

1

0 2

1

| ( )|H

0.24π π

+π

H( )

0.24π π

+0.76π

-0.24π

-π

Η έμνδνο ζα είλαη :

y n H e e e e y n nj n j j n j n( ) ( ) ( ) cos( ). ( . )

1

0 2 0 2

1

01 1 1 36 ή

y t t( cos( )400 360.


ΑΣΚΗΣΗ 20 Θεσξνύκε ηα πξαγκαηηθά ζήκαηα x n( ) θαη y n( ) , όπνπ n N0 1 1, ,..., . Πώο

είλαη δπλαηόλ λα βξεζνύλ νη ΓΜΦ ησλ δύν απηώλ ζεκάησλ, X m( ) θαη Y m( )

αληίζηνηρα, ζπλαξηήζεη ηνπ ΓΜΦ G m( ) , ηνπ κηγαδηθνύ ζήκαηνο

g n x n jy n( ) ( ) ( ) ; ( n m N, , ,...,0 1 1 ).

ΛΥΣΗ

g n x n jy n G m X m jY m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

~( ) ( ) ( ) [~( )] ( ) ( ) ( )g n x n jy n g n X m jY m 2

[~( )] ~( ) , ( )g n g n e n nj

nm

N

n

N 2

0

1

[~( )] ~( ) ( )g n g n ej

nm

N

n

N 2

0

1

3

Αιιά από ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη :

)nN(g)n(g , γηα n N0 1, ,..., .

Άξα :

)4()nN(g~)n(g~

Από ηηο (3) θαη (4) έρνπκε όηη :

[~( )] ~( ) ~( )~

( ) ( )

( )

g n g N n e e g N n e G N mj

N n m

N

n

N

j mj

nm

N

n

N2

1

2

2

1

5

Βάζεη ηεο (5) ε ζρέζε (2) γίλεηαη :

~

( ) ( ) ( ) ( )G N m X m jY m 6

Σπλδπάδνληαο ηηο (1) θαη (6) έρνπκε :

( ) ( ): ( )( )

~( )

( ) ( ): ( )( )

~( )

( )

1 62

1 62

7

X mG m G N m

Y mG m G N m

j


ΑΣΚΗΣΗ 21

Θεσξνύκε ην πξαγκαηηθό ζήκα x n( ) , n N01 2 1, ,.., .

Πώο είλαη δπλαηό λα βξεζεί ν ΔΜΦ, X m( ) , απηνύ ηνπ ζήκαηνο ζπλαξηήζεη

ηνπ ΔΜΦ, G m( ) , ηνπ κηγαδηθνύ ζήκαηνο : g n a n jb n( ) ( ) ( ) ;

όπνπ a n x n( ) ( )2 θαη b n x n( ) ( )2 1 , n N01 2 1, ,.., .

ΛΥΣΗ

X m x n e x n e x n e A m e B mj

mn

N

n

N

a n

jn m

N

n

N

b n

jn m

N

n

Nj

m

N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )2

2

0

2 12

2

2

0

12

2 1

2

0

1

2 2 1

(ζρέζε 1) κε 1N,..,1,0m .

Τα A m( ) θαη B m( ) ζα βξεζνύλ κε αληηθαηάζηαζε ζηηο ζρέζεηο ηεο άζθεζεο 20 πνπ δίλνπλ :

X mG m G N m

Y mG m G N m

j

( )( )

~( )

( )( )

~( )

2

2

Γηα ηηκέο ηνπ 1N2,..,1N,Nm ζα έρνπκε αληίζηνηρα m N m , 1N,..,1,0m .

Έηζη ν ΔΜΦ ηνπ x n( ) γίλεηαη :

X N m x n e x n e x n ej

NN m n

n

N

a n

jN

N m n

n

N

b n

jN

N m n

n

N

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )( )2

2

0

2 1 2

22

0

1 2

22 1

0

1

2 2 1

a n e e b n e e e A m e B mjN

m nj n

n

N

n

NjN

m n jN

mj n

jN

m

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

10

1

0

1 2

2 1

1

(2)

κε m N01 1, ,.., .

Σπλνςίδνληαο ηηο ζρέζεηο (1) θαη (2) παίξλνπκε :

)m(Be)m(A)mN(X

)m(Be)m(A)m(X

mN

πj

mN

πj

κε m N01 1, ,.., .

όπνπ ηα A m( ) θαη B m( ) βξίζθνληαη από ηηο ζρέζεηο ηεο άζθεζεο 20 :

A mG m G N m

B mG m G N m

j( )

( )~

( ), ( )

( )~

( )

2 2

κε G m n jb n A m jB m( ) [a( ) ( )] ( ) ( ) .


ΑΣΚΗΣΗ 22 Δίλνληαη νη ζρέζεηο r T x ( ζπζρέηηζε ) θαη y T x ( ζπλέιημε ). Να

βξεζεί ε ζρέζε κεηαμύ T θαη T .

ΛΥΣΗ :

r T x r l x n h n ln

N

( ) ( ) ( ) ( )0

1

1

Θεσξνύκε όηη : x n( ) 0 αλ n N0 1, θαη,

h n( ) 0 αλ n M0 1, θαη έζησ Ν<Μ.

Πξνθαλώο r l l M N( ) , ,0 1 1 .

Έηζη γξάθνληαο ηελ πην πάλσ ζρέζε (1) γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ l έρνπκε :

r M x h M x x x N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1 0 1 1 0 2 0 1 0

r M x h M x h M x x N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )2 0 2 1 1 2 0 1 0

r x h x h x h x N h N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )2 0 2 1 3 2 4 1 1

r x h x h x h x N h N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1 0 1 1 2 2 3 1

r x h x h x h x N h N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )0 0 0 1 1 2 2 1 1

r x x h x h x N h N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1 0 0 1 0 2 1 1 2

r N x x x x N h( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1 0 0 1 0 2 0 1 0

ή ππό κνξθή πίλαθα :

r M

r M

r

r

r

r N

h M

h M h M

h h h N

h h h N

h h N

h

r

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1

2

1

0

1

1

1 0 0 0

2 1 0

1 2

0 1 1

0 0 2

0

0 0 0 0

T

x

x

x

x N

( )

( )

( )

0

1

1

Οη δηαζηάζεηο ηνπ πίλαθα T είλαη : ( ) ( )N M N1 1

y T x y n x k h n kk

N

( ) ( ) ( ) ( )0

1

2 ,

όπνπ n N M0 2,


y x h x x x N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )0 0 0 1 0 2 0 1 0

y x h x h x x N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1 0 1 1 0 2 0 1 0

y x h x h x h x N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )2 0 2 1 1 2 0 1 0

y N x h N x h N x h N x N h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )0 1 1 2 2 1 1

y M N x h M N x h M N x h M N x N h M( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )2 0 2 1 3 2 4 1 1

ή ππό ηελ κνξθή :

y

y

y N

y N

y N

y M N

h

h h

h

h N h N

h N h

h N

y

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

1

1

2

2

0 0 0 0

1 0 0 0

0

1 0

0 0 1 1

0 0

0

0 0 0 1

T

x

x

x

x N

( )

( )

( )

0

1

1

Οη δηαζηάζεηο ηνπ πίλαθα T είλαη : ( ) ( )N M N1 1

Από ηελ ζεσξία πεξί πηλάθσλ γλσξίδνπκε όηη :

a b

c d

e f

b a

d c

f e

A

J

A3 2 3 2

0 1

1 0

'

Δειαδή ν πνιιαπιαζηαζκόο από ηα δεμηά ηνπ πίλαθα Α κε ηνλ πίλαθα J είρε ζαλ απνηέιεζκα ηνλ πίλαθα Α’ πνπ είλαη ν Α κεηά από ζηξνθή 180 κνηξώλ γύξσ από ηνλ θαηαθόξπθν λνεηό άμνλα πνπ πεξλάεη από ην κέζν ηνπ πίλαθα. Επίζεο :

Αληίζηνηρα ν πνιιαπιαζηαζκόο από αξηζηεξά ηνπ πίλαθα Α κε ηνλ πίλαθα J είρε σο απνηέιεζκα ηελ πεξηζηξνθή ηνπ Α θαηά 180 κνίξεο γύξσ από ηνλ νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλάεη από ην κέζνλ ηνπ. Έηζη θαηαιήγνπκε ζηε ζρέζε :

T J T JM N N

M N M N

M N N

N N

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1


ΑΣΚΗΣΗ 23 α) Να γξαθεί ε απηνζπζρέηηζε ζαλ γηλόκελν πίλαθα επί δηάλπζκα.

β) Απνδείμηε όηη, αλ )()()( lnynxElrxy , ηόηε )0()0()( yyxxxy rrlr .

ΛΥΣΗ

Ο νξηζκόο ηεο απηνζπζρέηηζεο γηα x n( ) 0 , n N[ ,.., ]0 1 είλαη :

11,)()(ˆ)(1

0

NlNlnxnxlrN

n

xx (1)

Εθαξκόδνληαο ηε ζρέζε ππνινγηζκνύ (1) έρνπκε :

)1(

)2(

)1(

)0(

)0(000

)2()1()0(0

)1()2()1()0(

0)1()2()3(

00)1()2(

000)1(

)1(

)1(

)0(

)3(

)2(

)1(

Nx

x

x

x

x

Nxxx

Nxxxx

NxNxNx

NxNx

Nx

Nr

r

r

Nr

Nr

Nr

β) Γλσξίδνπκε όηη : 0]))((

)(

))((

)([ 2

2/122/12 lnyE

lny

nxE

nxE

0))(())((

)()(2

)(

)(

)(

)(2/122/122

2

2

2

lnyEnxE

lnynxE

lnyE

lnyE

nxE

nxE

0)))(())((

)()(1(2

2/122/12 lnyEnxE

lnynxE

Όκσο ηζρύεη :

)()()( lnynxElrxy , r E x nxx( ) ( )0 2 θαη )()0( 2 lnyEryy

Επνκέλσο :

)0()0()( yyxxxy rrlr .


ΑΣΚΗΣΗ 24 Απνδείμηε όηη ε απηνζπζρέηηζε πεξηνδηθνύ ζήκαηνο κε πεξίνδν N p είλαη

πεξηνδηθή (νκνίσο κε πεξίνδν N p ).

ΛΥΣΗ

x n x n mN mp( ) ( ), , , ,...1 2 3

)()()( lnxnxElrxx

)()()( ppxx mNlnxnxEmNlr

Αιιά :

)()( lnxmNlnx p ,

θαη επνκέλσο :

)()()()( lrlnxnxEmNlr xxpxx ,

ε νπνία είλαη ε δεηνύκελε ζρέζε.


ΑΣΚΗΣΗ 25 Θεσξνύκε ηελ ηπραία δηαδηθαζία x n n( ) cos( ) , όπνπ είλαη ηπραία

κεηαβιεηή κε νκνηόκνξθε θαηαλνκή ζην δηάζηεκα [0,2π]. Είλαη ε δηαδηθαζία x n( ) ζηάζηκε θαηά ηελ επξεία έλλνηα ;

ΛΥΣΗ

Γλσξίδνπκε όηη : ( ),

,

1

20 2

0

.

( )

1

2

0 2

Μία ηπραία δηαδηθαζία νλνκάδεηαη ζηάζηκε θαηά ηελ επξεία έλλνηα αλ :

E x n mx( ) =ζηαζεξό θαη E x n x n l r lxx( ) ( ) ( ) , δειαδή ε απηνζπζρέηηζε εμαξηάηαη

κόλν από ηε δηαθνξά l n n1 2 .

Ειέγρνπκε αλ ηζρύνπλ νη δύν πξναλαθεξζείζεο ζπλζήθεο :

0d)ncos(

2

1)n(xE

2

0

)(

( =ζηαζεξό )

2

021

)(

2121 d)ncos()ncos(2

1)ncos()ncos(E)n(x)n(xE

2

0212121 ))](cos()2)([cos(

2

1

2

1)()( dnnnnnxnxE

)lcos(2

1))nn(cos(

4

2)n(x)n(xE

21 nnl

2121 .

Έηζη, απνδείμακε όηη ε δηαδηθαζία είλαη ζηάζηκε θαηά ηελ επξεία έλλνηα. Σπκπιήξσκα ζηελ άζθεζε :

Είλαη x f xX( ) ( ) ; ( f x1( ) ).

Από ηε ζρεηηθά ζεσξία (“Σηνραζηηθέο Δηαδηθαζίεο”) γλσξίδνπκε όηη :

X xd

dxf x

d

dx( ) ( ) | | ( ( )) | |1

Σηε γεληθή πεξίπησζε ζπλάξηεζεο κε κνλόηηκνπο θιάδνπο :

1 1

1f x( ) , 2 2

1f x( ) , …., N Nf x1( )


X N

Nxd

dx

d

dx

d

dx( ) ( ) | | ( ) | | .. ( ) | |1

1

2

2 (1)

Εδώ έρνπκε :

arccos( )x n k ( k 01, ) κε κνλόηηκνπο θιάδνπο :

1 arccos( )x n , 0 1

θαη 2 arccos( )x n ,

2 2 .

Επνκέλσο : | | | |d

dx

d

dx x

1 2

2

1

1 (2).

Έηζη, κε αληηθαηάζηαζε ηεο (2) ζηελ (1) έρνπκε :

X xx

( )1

1 2, 1 1x πνπ είλαη αλεμάξηεηε ηνπ ρξόλνπ δηόηη ηζρύεη :

X xx x x x

( )1

2

1

1

1

2

1

1

2

2

1

1

1

12 2 2 2.

Επηπιένλ :

E d( ) , E x E f x x dxX( ) ( )1

1

.

Αιιά ηζρύεη : X x dx d( ) ( ) , άξα : 2

0

1

1

)()()( dxdxxxxE X

0d2

1)ncos(xE

2

0

(ζηαζεξό).


ΑΣΚΗΣΗ 26

Να ππνινγηζηεί ε απηνζπζρέηηζε ηνπ ζήκαηνο : x nn

N( ) cos( )

2.

ΛΥΣΗ

H

L

Nn

Nn

xx lnxnxN

lr )()(1

)( .

Εδώ ηζρύεη : N N NL H0 1,

1

0

))(2

sin()2

sin(1

)(N

n

xxN

ln

N

n

Nlr

1

0

)])(22

cos())(22

[cos(2

11 N

n N

lnn

N

lnn

N

0

1

0

1

0

1

0

)24

cos(2

12cos

2

1)]

24cos()

2[cos(

2

1 N

n

N

n

N

n N

l

N

n

NN

l

NN

l

N

n

N

l

N

N

l

N

lN

N

2cos

2

12cos

2

1


ΑΣΚΗΣΗ 27 Έζησ s n x n w n( ) ( ) ( ) , όπνπ x n( ) : πεξηνδηθό ζήκα θαη w n( ) : εξγνδηθό

ζήκα κεδεληθήο κέζεο ηηκήο, ρσξίο πεξηνδηθή ζπληζηώζα. Τα x n( ) θαη w n( )

ζεσξνύληαη αζπζρέηηζηα κεηαμύ ηνπο. Απνδείμηε όηη :

lim ( ) ( )| |l ss xxr l r l . (Μέζνδνο αλαδήηεζεο πεξηνδηθνηήησλ ζε ζόξπβν )

ΛΥΣΗ Γλσξίδνπκε όηη :

r l E s n s n l E x n w n x n l w n lss( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

E x n x n l x n w n l w n x n l w n w n l( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E x n x n l E x n w n l E w n x n l E w n w n l( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r l E x n E w n l E w n E x n l r l r l r lxx ww xx ww( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

.

Αιιά γλσξίδνπκε όηη γηα έλα εξγνδηθό ζήκα, w n( ) , κε κεδεληθή κέζε ηηκή ( E w n( ) 0 )

ηζρύεη : lim ( )| |l wwr l 0 .

Έηζη, έρνπκε :

lim ( ) lim ( ( ) ( )) ( )| | | |l ss l ww xx xxr l r l r l r l

0

.


ΑΣΚΗΣΗ 28 Ο ιεπθόο ζόξπβνο ζηνλ δηαθξηηό ρξόλν νξίδεηαη σο εμήο :

e n( ) : Λεπθόο ζόξπβνο r n nee ( ) ( )2 . Δείμηε όηη αλ e n( ) αθνινπζία

ιεπθνύ ζνξύβνπ θαη s n( ) αθνινπζία αζπζρέηηζηε κε ηελ e n( ) , ηόηε θαη ε

αθνινπζία y n s n e n( ) ( ) ( ) είλαη ιεπθόο ζόξπβνο.

ΛΥΣΗ

r l E y n y n l E e n s n e n l s n l

E e n e n l E s n s n l

yy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)l()l()0(r)l()l(r)l(r)l(r 2

1

2

ss

)l(r

2

sseess

21ee

Έηζη πήξακε γηα ην ))(()( 2

1 llryy ζρέζε αληίζηνηρε απηήο πνπ ηζρύεη γηα ην

))(()( 2 llree.

Άξα θαη ην ζήκα y n( ) είλαη επίζεο ιεπθόο ζόξπβνο.


ΑΣΚΗΣΗ 29 Θεσξνύκε κία εξγνδηθή ηπραία δηαδηθαζία, έηζη ώζηε νη ρξνληθνί κέζνη λα είλαη ίζνη κε ηνπο κέζνπο πηζαλνζπλόινπ. Έζησ x n( ) κία πξαγκαηνπνίεζε

θαη έζησ X x( ) ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο γηα όιεο ηηο ηπραίεο κεηαβιεηέο

x n( ) .

α) Θεσξήζηε ηνλ ρξνληθό κέζν ηεο ζπλάξηεζεο u a x n( ( )) , δειαδή ηελ

πνζόηεηα u a x n( ( )) . Εμεγείζηε ην λόεκα απηνύ ηνπ κέζνπ.

β) Θεσξήζηε ηνλ κέζν πηζαλνζπλόινπ ηεο ζπλάξηεζεο u a x n( ( )) , δειαδή

ην E u a x n( ( )) , θαη ππνινγίζηε ηνλ.

γ) Σπκθσλεί ην απνηέιεζκα (β) κε ηελ εξκελεία ηνπ εξσηήκαηνο (α) ; Είλαη

ινγηθό λα πνύκε όηη : E u a x n u a x n( ( )) ( ( )) ;

ΛΥΣΗ

α) Η ζπλάξηεζε u a x n( ( )) είλαη ίζε κε 1 αλ x n a( ) θαη 0 αλ x n a( ) . Γηα κία

πξαγκαηνπνίεζε ζαλ απηή ηνπ ζρήκαηνο ζα έρνπκε :

8 9 10 11654 n

x n( )

3210 7

a...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n

1

u a x n( ( ))

...

Επνκέλσο ε πνζόηεηα u a x nn

N

( ( ))0

καο δίλεη πόζεο θνξέο κεζνιαβνύλ κέρξη ηε ρξνληθή

ζηηγκή N πνπ λα ηζρύεη x n a( ) .

Άξα ε πνζόηεηα u a x nN

u a x nn

N

( ( )) ( ( ))1

1 0

γηα πνιύ κεγάιν N καο δίλεη ηελ

πηζαλόηεηα λα έρνπκε x n a( ) , ή δηαθνξεηηθά : u a x n P x n ar( ( )) ( ( ) ) .

β) E u a x n u a x n x dx x dx P aX X

a

x( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )

Η ηειεπηαία πηζαλόηεηα είλαη ε P a P x n ax r( ) ( ( ) ) .


γ) Παξαηεξνύκε όηη ηα δύν απνηειέζκαηα ζπκπίπηνπλ, δειαδή θαη ηα δύν δίλνπλ ηελ ίδηα

πηζαλόηεηα λα έρνπκε x n a( ) . Σπρλά απηό ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ πξάμε ζαλ βάζε γηα

εθηηκήζεηο ζπκαξηήζεσλ πηζαλόηεηαο γηα ηπραίεο δηαδηθαζίεο πνπ κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ εξγνδηθέο.


ΑΣΚΗΣΗ 30 Οη κηγαδηθνί ζπληειεζηέο Fourier, ( ή Cn

όπσο ζπκβνιίδνληαη ζην βηβιίν )

X n( ) , ελόο πεξηνδηθνύ ζήκαηνο x(t) είλαη :

X n

n

e e

jnn

jn

j n( )

,

,

0 0

1 20

3

α) Τν ζήκα x(t) είλαη πξαγκαηηθό ;

β) Να πξνζδηνξηζζεί απηό ην ζήκα, x(t).

ΛΥΣΗ

α) R)t(xjn

e2e1)n(X)n(X

nπj3

nπj

*

β) g td

dtx t G n jn X n( ) ( ) ( ) ( )0

G n e ej

n

j n( ) ( )031 2 g t a t t t t t( ) ( ( ) ( ) ( )1 22 , έηζη :

G nT

g t e dta

Te ejn t

T

jn t jn t( ) ( )1

1 20 0 1 0 2 , έηζη παίξλνπκε ηα εμήο :

0 1 1 0 2 23 3 2 6 2 2t t

T Tt t

T T,

0

22

a

T T

a

Ta .

Άξα :

)2

Tt(δ2)

6

Tt(δ)t(δπ2)t(g

Έηζη, γηα ]T,0[t έρνπκε :

x t g dT T

d C

t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

26

22

TtCT

tuT

tututx 0,)2

(2)6

()(2)(

x t( )

t| | |

C 0

4

2

6 2


Γηα λα βξνύκε ηελ C έρνπκε :

1 12

64

2

10

6

5

30

Tx t dt

T

T TT

' ( ) , αιιά μέξνπκε όηη :

1

0 00

Tx t dt X

T

( ) ( )

Άξα : C5

3

x t( )

t| | |

0

5 3/

/ 3

7 3/

6 2


ΑΣΚΗΣΗ 31 Οη κηγαδηθνί ζπληειεζηέο Fourier , X n( ) , (ή Cn

) κηαο θπκαηνκνξθήο x t( )

δίλνληαη από ηελ ζρέζε :

Cn

en

jn1

123 , n

α) Να απνδεηρζεί όηη ην ζήκα x t( ) είλαη πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ :

x t R( ) .

β) Να βξεζεί ε κέζε ηηκή ηνπ ζήκαηνο x t( ) .

γ) Να βξεζεί ε RMS ηνπ ζήκαηνο x t( ) .

δ) Να βξεζεί ε RMS ηεο 3εο αξκνληθήο .

ΛΥΣΗ

α) Γηα λα ηζρύεη x t R( ) , αξθεί λα δείμνπκε όηη :

X n X n( ) ( )* .

Πξάγκαηη : Cn

en

e Cn

jn

jn

n

1

1

1

123

23

( )

* .

Αξα ην ζήκα x t( ) είλαη πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ .

β) Δίλαη X e( )01

0 112

0 : απηή είλαη ε κέζε ηηκή ηνπ ζήκαηνο x t( ) .

γ) Η RMS ηνπ ζήκαηνο x t( ) δίλεηαη εμνξηζκνύ από ηε ζρέζε :

X X A X X iiRMS i

i i

N

i

N

2 2

1

2 2

12 2

1

0 0 2 12

1( ) ( ) | ( )|

( )

Γηα N 4 παίξλνπκε :

XiRMS

i

12

11 05 008 002 0007 12682 2

1

4

( ). . . . . .

δ) Δίλαη γλσζηό όηη ε RMS ηεο 3εο αξκνληθήο ππνινγίδεηαη κε βάζε ηνλ ηύπν :

A X X X X3

2 2 1 2 23 3 2 3 2 3 21

1001414[| ( )| | ( )| ] | ( )| | ( )| ./

.


ΑΣΚΗΣΗ 32 Υποθέζαηε όηι ηο ζήμα x(t) ηος παπακάηω ζσήμαηορ είναι η είζοδορ ζ’ένα ενιζσςηή με ένα παπάγονηα , Α=10 , όλερ ηιρ ζςσνόηηηερ μεηαξύ

f Hz1 05. και f Hz2 15. . Όλερ οι άλλερ ζςσνόηηηερ αποκόπηονηαι .

Να ςπολογιζηούν οι μέζερ ιζσείρ ηων ζημάηων ειζόδος και εξόδος .

Ax t( ) y t( )

ΔΝΙΣΦΥΤΗΣ

A=10 , y t A x t( ) ( )

ΛΥΣΗ

-6 -4 0

3

2 6 8

-1

x t( ) (Volts)

t (sec)Τ=6

P x x tT

f t dt Watts

T

( ) ( ) .1 1

63 2 1 4

22

6367

2

0

P y ?

Αλαιύνπκε ηελ είζνδν x(t) θαηά Fourier :

( TT

62 2

6 30 )

Φ(n) ( ή Cn ) =1 1

63

1

60 0 0

0

2

2

6

Tx t e dt e dt e dtjn t

T

jn t jn t( )

31)0(X,e)

3

πn(csin

3

4e

σjn

1

6

1e

σjn

1

6

33

πnj6

2

tσjn

0

2

0

tσjn

0

00

Άξα ζην δηάαζηεκα 0515. , . Hz ππάξρνπλ νη ζπρλόηεηεο :

3

6

4

6

5

6

6

6

7

6

8

6

9

6, , , , , , Hz .

Άπν απηέο νη 3

6

6

6

9

6, , έρνπλ κεδεληθό ζπληειεζηή X X X( ) ( ) ( )3 6 9 0

Άξα παξακέλνπλ νη ζπρλόηεηεο :


4

6

5

6

7

6

8

6, , , Hz

Τα αληίζηνηρα X n( ) είλαη :

X X X X( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) .4 02757 5 02205 7 01575 8 01378

Άξα :

P X n X n Wattsy

n n

2 10 20 33692

4 5

7 82

4 5

7 8

( ) ( ) ..

.

.

.


ΑΣΚΗΣΗ 33 Έζησ δύν ζπζηήκαηα S1

θαη S2. Τν ζύζηεκα S1

είλαη Γ.Φ.Α. θαη έρεη απόθξηζε

κνλαδηαίνπ παικνύ h n a u nn( ) ( ) , κε 0 1a . Δμεηάζηε εαλ κπνξεί λα ηα

ζπλδέζεη θαλείο ζηε ζεηξά ρσξίο λα αζρνιεζεί κε ηε ζέζε (πξώην θαη δεύηεξν ), αλ ην ζύζηεκα S2

έρεη ηελ εμήο ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ :

α) h n k n k k n kk( ) ( ) ( )2 3

β) y n x n( ) ( ) 6

γ) y n b x n( ) ( ) , κε b 0 .

Γηθαηνινγήζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο.

ΛΥΣΗ

( )ny n1( )S1 S2

x n1( )

( )ny n2 ( )S2 S1

x n2( )

α) Όηαλ ην S1 είλαη ην πξώην θαη αθνινπζεί ην S2

παίξλνπκε :

x n a u nn

1( ) ( ) θαη ηόηε y n n x n n a u nn

1 1( ) ( ) ( ) .

Σηε δεύηεξε πεξίπησζε , όπνπ ην S2 πξνεγείηαη ηνπ S1 παίξλνπκε :

x n n n2 0( ) ( ) θαη θπζηθά y n x n h n h n2 2 0 0( ) ( )* ( ) * ( ) .

Δίλαη θαλεξό όηη : y n y n1 2( ) ( ) . Παξαηεξνύκε όηη ε απόθξηζε ηνπ ζπλζέηνπ ζπζηήκαηνο

εμαξηάηαη από ηε ζεηξά ζύλδεζεο ησλ ζπζηεκάησλ S1 θαη S2

. Απηό είλαη απόιπηα ινγηθό

γηαηί ην ζύζηεκα S2 είλαη ρξνληθά κεηαβιεηό (time variant) θαη ζπλεπώο ηζρύεη :

h n h n kk ( ) ( )

β) Σηε δεύηεξε πεξίπησζε έρνπκε :

S S1 2 : x n a u nn

1( ) ( ) θαη ζηε ζπλέρεηα y n x n a u nn

1 1 6 6( ) ( ) ( ) .

Δπηπιένλ :

S S2 1 : x n n2 6( ) ( ) θαη y n h n x n a u k n kk

k2 2 6( ) ( )* ( ) ( )[ ( ) ]

y n a n k a u k a u na

k

k

k

k

n

20 0

6 61

1( ) ( ) ( ) ( ) .

Καη πάιη y n y n1 2( ) ( ) . Σηελ πεξίπησζε απηή ε δηαθνξά ζηα απνηειέζκαηα νθείιεηαη ζην

όηη ην ζύζηεκα S2 δελ είλαη γξακκηθό αιιά δηαθνξηθά γξακκηθό .


γ) S S1 2 : x n a u nn

1( ) ( ) θαη y n b x n b a u nn

1 1( ) ( ) ( ) .

Δπίζεο :

S S2 1 : x n b n2( ) ( ) θαη

y n h n x n a u k b n k ba u nk

k

n

2 2( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) .

Δδώ y n y n1 2( ) ( ) . Αλεμάξηεηα ινηπόλ από ηε ζεηξά ζύλδεζεο ησλ S1 θαη S2

έρνπκε ηελ

ίδηα έμνδν ζην ζύλζεην ζύζηεκα . Απηό είλαη ινγηθό γηαηί θαη ηα δύν ζπζηήκαηα είλαη γξακκηθά θαη ρξνληθά αλαιινίσηα .


ΑΣΚΗΣΗ 34 Έζησ ην ζύζηεκα εμίζσζεο δηαθνξώλ y n ay n x n( ) ( ) ( )1 . Έζησ επίζεο

όηη y b( )1 .

Να δνζεί ε γεληθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο γηα x n n( ) ( ) .

Να εμεηαζζεί εάλ πξόθεηηαη γηα ρξνληθά αλαιινίσην ζύζηεκα .

Να εμεηαζζεί εάλ πξόθεηηαη γηα γξακκηθό ζύζηεκα .

Να βξεζνύλ νη ζπλζήθεο γηα γξακκηθόηεηα θαη ρξνληθά αλαιινίσην .

Να ππνινγηζζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ ηνπ Γ.Φ.Α ζπζηήκαηνο .

ΛΥΣΗ

y n ay n x n( ) ( ) ( )1

1) y ay x a b a b( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0

y ay x a a b a a b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1

0

y ay x a a a b a a b( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )2 1 2 02

y n ay n x n a a b a b a nn n n( ) ( ) ( ) ( ) ,1 0 01

Άξα :

y n a b a nn n( ) ,1 0 (1)

Ο όξνο ‘’ a bn 1’’ αληηζηνηρεί ζηελ απόθξηζε κεδεληθήο εηζόδνπ θαη ν όξνο ‘’ a n

’’ αληηζηνηρεί

ζηελ απόθξηζε κεδεληθήο θαηάζηαζεο .

Γηα n 0 ζα έρνπκε :

y na

y n x n( ) ( ) ( )11

y b( )1

ya

y xa

bb

a( ) ( ) ( )2

11 1

10

ya

y xa

b

a

b

a( ) ( ) ( )3

12 2

10 2

y na

y n x nb

ab an

n( ) ( ) ( )1

1 1 1

1

Άξα :

y n b a nn( ) ,1 0 (2)

, θαη ζπλδπάδνληαο ηηο (1) θαη (2) θαηαιήγνπκε :

y n a b a u n nn n

( ) ( ) ,1

2) Βξήθακε όηη γηα x n n( ) ( ) y n a b a u nn n( ) ( )1 .

Θα εμεηάζνπκε ηελ έμνδν y n( ) γηα x n n( ) ( )1

y ay x a b a b( ) ( ) ( )0 1 0 0

y ay x a a b a b( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2


y ay x a a b a a b( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 02 2

y ay x a a a b a a b( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )3 2 3 02 2 2

y n ay n a a bn( ) ( ) ( )1 0 1 2

Άξα :

y n a a b nn( ) ( ) ,1 2 0 (3)

Γηα n 0 :

y na

y n x n( ) ( ) ( )11

y b( )1

ya

y xa

bb

a( ) ( ) ( )2

11 1

10

ya

y xa

b

a

b

a( ) ( ) ( )3

12 2

10 2

y na

y n x nb

ab an

n( ) ( ) ( )1

1 1 1

1

Άξα :

y n b a nn( ) ,1 0 (4)

θαη ζπλνςίδνληαο ηηο (3) θαη (4) θαηαιήγνπκε όηη :

y n a b a u n nn n( ) ( ) ,1 1 1

Παξαηεξνύκε όηη ην ζύζηεκα δελ είλαη ρξνληθά αλαιινίσην δηόηη κηα θαζπζηέξεζε ηεο εηζόδνπ δελ δίλεη ηελ ίδηα έμνδν θαζπζηεξεκέλε .

3) ην ζύζηεκα δελ είλαη γξακκηθό γηαηί πνιύ απιά ηζρύεη :

S x n S x n( ) ( )

Από ηελ γεληθή ζρέζε έρνπκε : y n a b a u nn n( ) ( )1 .

Παξαηεξνύκε όηη αλ )(2)(2 ©© nyny

(Η γξακκηθόηεηα κπνξεί λα εμαζθαιηζηεί γηα b 0 ).

4) Παξαηεξνύκε όηη γηα b 0 εμαζθαιίδεηαη θαη ην ρξνληθά αλαιινίσην . Δπίζεο ην ζύζηεκα γίλεηαη θαη αηηηαηό .

5) Η απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ ηνπ Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηνο ζα είλαη ( ζεσξώληαο b 0 όπσο πξναλαθέξακε ) :

h n a u nn( ) ( ) ( Γηόηη γ=1 )

Παξαηεξνύκε όηη έρεη άπεηξνπο όξνπο , δειαδή ην ζύζηεκα είλαη I.I.R.


ΑΣΚΗΣΗ 35 1) Να ππνινγηζζεί ε έμνδνο ησλ ζπζηεκάησλ κε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ:

α) h n k n k k n kk( ) ( ) ( )2 3

β) h n n kk ( ) ( )2 ζε είζνδν )n(x

2) Να εμεηαζηεί αλ ηα ζπζηήκαηα απηά είλαη αηηηαηά .

3) Να ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε ησλ ζπζηεκάησλ όηαλ x n u n( ) ( ) .

ΛΥΣΗ 1) α) Σύκθσλα κε ηνλ νξηζκό έρνπκε :

y n x k h n x k k n k x k k n kak

kk k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

)όπεξηηη(1ι2n,)n(xn3

)ξηηνά(ι2n,)n(xn3)2

n(x

2

n

)n(ya

β) Όκνηα παίξλνπκε :

y n x k h n x k n k x nbk

kk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 .

2) Έλα ζύζηεκα είλαη κε αηηηαηό αλ ε έμνδνο ηνπ εμαξηάηαη από κεηαγελέζηεξεο ηηκέο ηνπ

ζήκαηνο εηζόδνπ. Απηό ζπκβαίλεη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο (α) θαη (β) γηαηί :

Σηελ πεξίπησζε (α), αλ ππνζέζνπκε έλα n0 0 , ηόηε ε έμνδνο απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή

εμαξηάηαη από ηελ είζνδν ηε ρξνληθή ζηηγκή n 0

2 πνπ είλαη κεηαγελέζηεξε από ηε ρξνληθή

ζηηγκή n 0 .

Σηελ πεξίπησζε (β) , γηα ζεηηθά n , ε έμνδνο εμαξηάηαη από ηελ είζνδν ζηε κεηαγελέζηεξε

ρξνληθή ζηηγκή 2n .

3) Αληηθαζηζηώληαο ην x n u n( ) ( ) ζηηο εθθξάζεηο ησλ δύν ζπζηεκάησλ παίξλνπκε :

(α) y n

nu

nn u n

nn

nu n n

n u n na ( )

( ) ( ) ( ) ,

( ) ,2 2

32

37

22

3 2 1


(β) Πξνθαλώο y n u nb( ) ( )2 .

0 1 2 3 4 5

10

5

n

y na ( )

20

15

3

-

-

-

-

79

1415

21

6 7

21

...

0 1 2 3 4 5 n

y nb ( )

6

...1


ΑΣΚΗΣΗ 36

Θεσξείζηε ην ζύζηεκα αλάδξαζεο ηνπ ζρήκαηνο. Υπνζέζαηε όηη y n( ) 0 γηα

n 0 .

α) Σρεδηάζαηε ηελ έμνδν όηαλ x n n( ) ( ) .

β) Σρεδηάζαηε ηελ έμνδν όηαλ x n u n( ) ( ) .

x n( ) y n( )z1

+++

-

e n( )

ΛΥΣΗ Βξίζθνπκε ηε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ :

e n x n y n e n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1

y n e n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1

α) Δίλαη y n n y n( ) ( ) ( ) 1 1 , πνπ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ n δίλεη:

y( )0 0 0 0

y( )0 1 0 1

y( )2 0 1 1

y( ) ( )3 0 1 1

y( )4 0 1 1

y n nn( ) ( ) , 1 01

Ζ αθόινπζε γξαθηθή παξάζηαζε απεηθνλίδεη ηελ y n nn( ) ( ) , 1 01

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

y(n

)

n

β) y n u n y n( ) ( ) ( ) 1 1

y( )0 0 0 0

y( )1 1 0 1

y( )2 1 1 0

y( )3 1 0 1


y( )4 1 1 0

y nn k

n k( )

,

,

1 2 1

0 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

y(n

)

n


ΑΣΚΗΣΗ 37

Γίλνληαη ηα εμήο δύν αλαινγηθά ζήκαηα :

x t mt t m

t m1 4

0 8

0 0 8( )

cos(sec

) , [ , ] sec.

, [ , ] sec.

θαη x tt m

t m2

1 0 8

0 0 8( )

, [ , ] sec.

, [ , ] sec.

i) Γεηγκαηνιεπηείζηε ηα παξαπάλσ ζήκαηα, έηζη ώζηε λα έρνπκε ελλέα (9) δείγκαηα ζην δηάζηεκα [0,8]msec ( Υπνζέζηε ην 1ν δείγκα ζε 0 sec θαη ην 9ν ζην 8ν msec ). Πνηά ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο fs

θαη πνηέο είλαη νη

αθξηβείο ηηκέο ησλ αληίζηνηρσλ δεηγκάησλ ;

ii) Υπνζέηνληαο θβαληηζηέο ζηξνγγύιεπζεο 3 bits θαη 4 bits, αληίζηνηρα, γηα θσδηθνπνίεζε ζηαζκώλ κε αξηζκεηηθή ζπκπιεξσκαηηθνύ σο πξνο δύν (2), πνηέο είλαη νη αληίζηνηρεο ηηκέο ησλ δεηγκάησλ θαη ησλ δύν ζεκάησλ κεηά ηνλ θβαληηζκό ;

iii) Υπνινγίζηε ηελ ζπλέιημε ησλ δύν αλαινγηθώλ ζεκάησλ. Σρεδηάζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο.

iv) Υπνινγίζηε ηελ ζπλέιημε ησλ δύν ζεκάησλ κεηά ηελ είζνδν ηνπο ζηνλ ππνινγηζηή (ςεθηαθά ζήκαηα ) θαη γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο θβαληηζκνύ. Σρεδηάζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο θαη ζπγθξίλεηε ηα κε ην απνηέιεζκα ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο. Γηθαηνινγήζηε ηα ζπκπεξάζκαηά ζαο.

ΛΥΣΗ

i) Τν αλαινγηθό ζήκα x t1( ) γξάθεηαη : x tm

tm

t1 4

2

8( ) cos(

sec) cos(

sec)

γηα

t m[ , sec]0 8 . Δπνκέλσο ε πεξίνδνο ηνπ ζήκαηνο είλαη T m 8 sec .

Γηα λα έρνπκε 9 δείγκαηα ζην δηάζηεκα [ , sec]0 8m ζα πξέπεη ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο λα

είλαη T T m ms 1

8

1

88 1sec sec . Άξα f

T mkHzs

s

1 1

11

sec.

Οη αθξηβείο ηηκέο ησλ δεηγκάησλ θαη ησλ δύν ζεκάησλ είλαη:

x1 04

0 1( ) cos( )

, x1 14

12

2( ) cos( )

, x1 2

42 0( ) cos( )

,

x1 34

32

2( ) cos( )

, x1 4

44 1( ) cos( )

, x1 5

45

2

2( ) cos( )

x1 64

6 0( ) cos( )

, x1 74

72

2( ) cos( )

θαη ηέινο x1 8

48 1( ) cos( )

.

Σπλνπηηθά γξάθνπκε :

x1 0 1( ) , x1 12

2( ) , x1 2 0( ) , x1 3

2

2( ) , x1 4 1( ) , x1 5

2

2( ) ,

x1 6 0( ) , x1 72

2( ) , x1 8 1( ) .

Δπηπιένλ γηα ην 2ν ζήκα :


x x x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 4 5) 6 7 8 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) .

ii) Κβαληηζηήο 3 bits 8 ζηάζκεο

Έηζη ηα δύν ζήκαηα κεηά ηελ έμνδν από ηνλ θβαληηζηή ησλ 3 bits ζα έρνπλ πάξεη ηηο εμήο

ηηκέο: ( ) .x1 0 075 , ( ) .x1 1 075 , ( )x1 2 0 , ( ) .x1 3 075 , ( )x1 4 1 , ( ) .x1 5 075 ,

( )x1 6 0 , ( ) .x1 7 075 θαη ( ) .x1 8 075 ,

ελώ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 1 .

Κβαληηζηήο 4 bits 16 ζηάζκεο, βήκα θβάληηζεο = qx

2

2

2 1

22 01254 4

3| |.

max.

Σπλεπώο ηα δύν ζήκαηα κεηά ηελ έμνδν από ηνλ θβαληηζηή ησλ 4 bits ζα έρνπλ πάξεη ηηο εμήο

ηηκέο: ( ) . x1 0 0875 , ( ) . x1 1 075 , ( ) x1 2 0 , ( ) . x1 3 075 , ( ) x1 4 1 ,

( ) . x1 5 075 , ( ) x1 6 0 , ( ) . x1 7 075 θαη 875.0)8(ˆ1 x ,

ελώ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 1 όπνπ

:

x n( ) ( )x n

ΚΒΑΝΤΙΣΤΗΣ b - bits

iii) Από ηελ πεξηγξαθή ησλ δύν ζεκάησλ έρνπκε :

0 1

2

3 4 5

1

( sec)m

x1( )

-1

87

6

0 1 2 3 4 5 ( sec)m

8

76

-1

x2( )

y t x x t d x x t d

L

H

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

.

Γηαθξίλνπκε δύν θάζεηο γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο παξαπάλσ ζπλέιημεο :

Φάζε 1ε : 0 8 0 t m tL Hsec , . Άξα :

y t x x t d d d

t t

t

t( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) [sin( )] [sin( )] 1

0

2

0

0

0

41

4

4

4

4

y t t t( ) [ sin( )] sin( )4

04

4

4

.


Φάζε 2ε : 8,8sec168 HL tmt . Άξα :

y t d dt

t

t( ) cos( )( ) [sin( )] [sin( )]

41

4

4

4

48

8

8

8

8

8

y t t t( ) [sin( ( )) sin( )] sin( ( ))4

48

48

4

48

0

.

Έηζη βξήθακε :

y t x t x t

t t

t t( ) ( ) * ( )

sin( ) ,

sin( ( )) ,

,

1 2

4

40 8

4

48 8 16

0

0 1 2 3 4 6

4/π

t m( sec)

y t x t x t( ) ( ) * ( ) 1 2

5 7 8 9 10 11 12 13 1514 16

-4/π

iv) Ζ ζπλέιημε ησλ δύν ςεθηαθώλ ζεκάησλ είλαη εύθνιν λα ππνινγηζηεί γηαηί θαηαιήγεη ζε

απιή άζξνηζε ησλ αληίζηνηρσλ δεηγκάησλ. έηζη ζα έρνπκε :

Κβαληηζηήο 3 bits : ( ) ( ) ( )y n x k x n kk N

N

L

H

1 2

Φάζε 1ε : 0 8 0 n N N nL H,

( ) ( ) ( ) ( )y n x k x n k x kn n

1 2

10

1

0

.

Έηζη παίξλνπκε : ( ) .y 0 075 , ( ) .y 1 15 , ( ) .y 2 15 , ( ) .y 3 075 , ( ) .y 4 025 ,

( )y 5 1 , ( )y 6 1 , ( ) .y 7 025 θαη ( ) .y 8 05 .

Φάζε 2ε : 9 16 8 8 n N n NL H,

( ) ( ) ( ) ( )y n x k x n k x kn n

1 28

8

18

8

.

Έηζη παίξλνπκε : ( ) .y 9 025 , ( )y 10 1 , ( )y 11 1 , ( ) .y 12 025 , ( ) .y 13 0 75 ,

( ) .y 14 15 , ( ) .y 15 15 , ( ) .y 16 075 .

Κβαληηζηήο 4 bits : Με ηνλ ίδην αθξηβώο ηξόπν ππνινγηζκνύ παίξλνπκε :

( ) . y 0 0875 , ( ) . y 1 1625 , ( ) . y 2 1625, ( ) . y 3 0875 , ( ) . y 4 0125 ,

( ) . y 5 0875 , 875.0)6(ˆ y , ( ) . y 7 0125θαη ( ) . y 8 075 .


Δπηπιένλ : ( ) . y 9 0125 , ( ) . y 10 0875 , ( ) . y 11 0875 , ( ) . y 12 0125 ,

( ) . y 13 0875 , ( ) . y 14 1625, ( ) . y 15 1625 , ( ) .y 16 0875 .

Γηα θάζε άιιν n [ , ]016 : ( ) ( )y n y n 0 .

Παξαηεξήζεηο -Σπκπεξάζκαηα : Όπσο θαίλεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο

( )y n θαη ( )y n πνπ αθνινπζνύλ, ε ζπλέιημε πνπ ππνινγίζακε ρξεζηκνπνηώληαο ηα

θβαληηζκέλα δείγκαηα ησλ ζεκάησλ πιεζηάδεη αξθεηά ηελ ζπλέιημε πνπ δίλνπλ ηα αλαινγηθά ζήκαηα. Οη κεγάιεο απνθιίζεηο πνπ εκθαλίδνληαη ζηελ αξρή θαη ην ηέινο θάζε πεξηόδνπ νθείινληαη ζηελ ίδηα ηε θύζε ηνπ ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο δηαθξηηώλ ζεκάησλ πνπ ζα πξνζεγγίδεη θαιύηεξα ηελ αληίζηνηρε αλαινγηθή γηα κεγαιύηεξν αξηζκό ζηαζκώλ. Βεβαίσο ζα εμαθνινπζήζεη λα πθίζηαηαη ην πξόβιεκα ηεο ύπαξμεο D.C. ζπληζηώζαο πνπ ζα πξνζεγγίδεη ην -1 γηα πνιύ κεγάια b αιιά απηή είλαη εύθνιν λα απνκαθξπλζεί κε έλα απιό θίιηξν πνπ ζα απνθόπηεη ην D.C..

0 1 2 3 4 6

1

n

( ),y n b 3

5 7 8 9 10 11 12 13 1514 16

-1

-2

( )y n

y t( )

0 1 2 3 4 6

1

n

( ), y n b 4

5 7 8 9 10 11 12 13 1514 16

-1

-2

( )y n

y t( )


ΑΣΚΗΣΗ 38 Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ έρεη ζπλάξηεζε κεηαθνξάο :

H zz z

z( )

. .

( . )

2

2

0 2 08

0 25

1) Καζνξίζαηε ηε ζέζε ησλ πόισλ θαη ησλ κεδεληθώλ ζην επίπεδν z . Δίλαη ην ζύζηεκα επζηαζέο ;

2) Πξνζδηνξίζηε ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο ζε ζπρλόηεηα f0

ίζε κε ην 14 ηεο ζπρλόηεηαο δεηγκαηνιεςίαο ( f

fs0 4 ).

3) Με ηε ρξήζε ηνπ Γηαθξηηνύ Μεηαζρεκαηηζκνύ Φνπξηέ ( ΓΜΦ ) πξνζδηνξίζαηε ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο γηα ηελ ίδηα ζπρλόηεηα, f0

, όπσο θαη ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα. Γηθαηνινγήζαηε, αλ

ππάξρνπλ, απνθιίζεηο ζην απνηέιεζκα πνπ βξήθαηε ζε ζρέζε κε ην απνηέιεζκα ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο. Τη πξνηείλεηε γηα ηελ δηόξζσζε απηώλ ησλ απνθιίζεσλ ; ( Αλ ππάξρνπλ)

ΛΥΣΗ

1) H zz z

z

z z

z z( )

( . )( . )

( ( . ) )

( . )( . )

( . )( . )

0 4 0 2

05

0 4 0 2

05 052 2

Τν ζύζηεκα καο έρεη :

Μεδεληθά : 1 04 . , 2 02 .

Πόινπο : 1 05 . , 2 05 .

Δπεηδή 1 2 05 1 . Τν ζύζηεκα είλαη επζηαζέο. ( Πόινη κέζα ζηνλ κνλαδηαίν

θύθιν )

2) H s( ) ?

0

0 4

Ω2sinj)25.0Ω2(cos

)Ωsin2.0Ω2(sinj)08.0Ωcos2.0Ω2(cos

25.0e

08.0e2.0e

ez)z(H)Ω(H

Ωj2

ΩjΩj2

Ωj

Αιιά γηα ffs

0 4 έρνπκε :

0 0

02 2 2

4

1

21

4 2

F

f

f

f

fs

s

s

Άξα :

H

j

j

j

j

j( )

(cos . cos . ) (sin . sin )

(cos . ) sin

( . ) ( . )

( . ) ( )

. .

. 0

22

0 22

0 08 22

0 22

22

0 25 22

1 0 0 08 0 0 2

1 0 25 0

108 0 2

125

Άξα :

H( ) . .0 08787 10 49

4) Άπν ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη κε ηνλ κεη/ζκό Φνπξηέ κπνξνύκε λα πεξάζνπκε από x(n) ζε X(m). Δδώ ζέινπκε λα βξνύκε θάπνην H m( )0

άξα είλαη αλαγθαίν λα γλσξίδνπκε ην

h(n). Σπλεπώο ζαλ πξώην βήκα ζα εθαξκόζνπκε ηνλ αληίζηξνθν κεη/ζκό Ε ζηελ H(z) :


5) h n Z H z( ) ( ) 1 . Αλαιύνπκε ζε απιά θιάζκαηα ηελ H zz

( ) :

H z

z

z z

z z z

A

z

B

z

C

z

( ) ( . )( . )

( . )( . ) . .

0 4 0 2

0 5 0 5 0 5 0 5

AH z

zz

z

( ) ( . )( . )

( . )( . )

.

..

0

0 0 4 0 0 2

0 05 0 05

0 08

0 250 32

BH z

zz

z

( )( . )

.

( . . )( . . )

. ( . . )

.

..05

05

05 0 4 05 0 2

05 05 05

0 07

05014

CH z

zz

z

( )( . )

.

( . . )( . . )

( . ) ( . . )

.

..05

05

05 0 4 05 0 2

05 05 05

0 27

05054

Άξα :

H zz

z

z

z( ) .

.

.

.

.

0 32

014

0 5

0 54

0 5

Καη από ηνλ πίλαθα ηεο ζει.169 έρνπκε :

h n Z H z n u nn n( ) ( ) . ( ) . ( . ) . ( . ) ( ) 1 0 32 014 05 054 05

Θα εθαξκόζνπκε ηώξα ηνλ ΓΜΦ πάλσ ζηελ h(n) νπόηε :

H m h n w n m

n

N

( ) ( )

0

1

, όπνπ : w en mj

N

2

.

Πξέπεη λα θαζνξίζνπκε πνην είλαη Ν θαη πνην είλαη ην m0 πνπ αληηζηνηρνύλ ζην ζπγθεθξηκέλν

πξόβιεκα. Όπσο μέξνπκε από ηελ αληίζηνηρε ζεσξία, ν ππνινγηζκόο ηνπ ΓΜΦ ζαπλίζηαηαη ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ H m( ) ζε Ν ηζαπέρνληα ζεκεία πάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν όπνπ

βέβαηα ην m παίξλεη ηηκέο από 0 εώο Ν-1. Τν πξώην ζεκείν ππνινγηζκνύ m 0 είλαη πάληα

ζηελ αξρή ηνπ θύθινπ ( Ω=0 ). Τν πξόβιεκα εδώ καο δεηά ηελ απόθξηζε γηα ffs

0 4 , δει.

γηα 0 2

, νπόηε ην δεύηεξν ζεκείν πξέπεη λα βξίζθεηαη ζην

2. Άξα ηα ζεκεία

απέρνπλ θαηά

2. Σπλεπώο Ν=4 θαη m 0 1 2 3, , , . Τν ζεκείν 0 2

αληηζηνηρεί πξνθαλώο

ζε m m 1 0( ) . Έηζη εθαξκόδνληαο ηελ ζρέζε (2) παίξλνπκε Ν=4, m 1 .

H h n w n

n

( ) ( ) ,10

3

w e jj

2 .

Φξεηαδόκαζηε ηηο ηηκέο h(0), h(1), h(2), h(3) πνπ ηηο βξίζθνπκε από ηελ ζρέζε (1) :

h(0)=0.32, h(1)=-0.2, h(2)=0.17, h(3)=-0.05

H h w h w h w h w j j j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . )( ) . ( . )( ) . .1 0 1 2 3 1 1 0 2 017 0 05 0 83 0150 1 2 3

Άξα :

H( ) . .1 08434 1024

Σπγθξίλνληαο ην απνηέιεζκα πνπ βξήθακε εδώ γηα ην H( )0 ( πνπ είλαη ην H( )1 ) κε ηελ

ρξήζε ηνπ ΓΜΦ, κε απηό πνπ βξήθακε ζηελ πξνεγνύκελε εξώηεζε παξαηεξνύκε όηη ππάξρεη κηα κηθξή απόθιηζε ζην απνηέιεζκα. Απηό πξνθαλώο νθείιεηαη ζην όηη πήξακε ηνλ ειάρηζην


δπλαηό αξηζκό ζεκείσλ ( Ν=4 ) γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ ΓΜΦ. Μπνξνύκε λα βειηηώζνπκε ηελ αθξίβεηα ππνινγηζκνύ παίξλνληαο δηπιάζην ( Ν=8 ) αξηζκό ζεκείσλ πάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν θαη λα ππνινγίζνπκε πιένλ ην H( )2 ( θαη όρη ην H( )1 γηαηί απηό ηώξα αληηζηνηρεί ζε

ffs

0 8 ). Πξνθαλώο ζα ρξεηαζηνύκε επηπιένλ θαη ηηο ηηκέο ηνπ h(4), h(5), h(6) θαη h(7).

(από ηελ ζρέζε (1) ). Αλ θάλνπκε θαη απηόλ ηνλ ππνινγηζκό ηόηε βξίζθνπκε :

H( ) . .2 08847 1053

πνπ είλαη πνιύ πην θνληά ζηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ H( )0πνπ βξήθακε ζην πξνεγνύκελν

εξώηεκα ( θ.ν.θ.).


ΑΣΚΗΣΗ 39

Γίλεηαη ην ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ 2νπ βαζκνύ κε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο:

H z Kz cz d

z az b( )

2

2 κε K a b c d R, , , , .

i) Πξνζδηνξίζηε ηηο ζπλζήθεο πνπ πξέπεη λα πιεξνύλ νη παξάκεηξνη ηνπ ζπζηήκαηνο ώζηε ην ζύζηεκα λα είλαη επζηαζέο θαηά ηελ έλλνηα “θξαγκέλε είζνδνο - θξαγκέλε έμνδνο’’(BIBO).

ii) Σην ρώξν ησλ αληίζηνηρσλ παξακέηξσλ, ραξάμηε ηνπο γεσκεηξηθνύο ηόπνπο πνπ βξήθαηε ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα (ππνπεξηνρέο επζηάζεηαο).

iii) Σρεδηάζηε ελδεηθηηθά ηελ απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο ζε είζνδν κνλαδηαίνπ δείγκαηνο θαη γηα όιεο ηηο ππνπεξηνρέο επζηάζεηαο.

ΛΥΣΗ

i) Οη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη :1 2

2 4

2, a a b

.

Γηα έρνπκε BIBO επζηάζεηα πξέπεη : | |,1 2 1 .

α) 1 2 1 2

2 4 0, C a b ba

2

4. (1.1)

Πξέπεη όκσο λα ηζρύεη :

| | [ ] [ ],

/ / 1 2 1 2

1 2

2 2

1 21 14

2

4

21

a j b a a j b a

[ ] /a b ab b

2 2

1 24

41 1 1 (1.2)

Σπλδπάδνληαο ηηο (1.1) θαη (1.2) θαηαιήγνπκε ζηελ : a

b

2

41 (1).

β) 1 2

2 4 0 ( )R a b ba

2

4. (2.1)

Δπίζεο : | | | | | | | | 1 2 2 21 2 2

a aa (2.2)

Σπλδπάδνληαο ηηο (2.1)θαη (2.2) θαηαιήγνπκε ζηελ : a

b

2

41 ( ) (2).

γ) 1 2

2 4 0 ( )R a b ba

2

4 (3.1)

αιιά θαη 1 11 θαη 1 12

Δμεηάδνπκε ηελ πξώηε ζπλζήθε :

1 1 14

211

2

a a b

2 4 22a a b (πξνζζέηνπκε ην a θαη ζηα δύν κέιε ηεο αληζόηεηαο )

2 4 20

2

0 0

a a b a (επεηδή 2 2a )

Έηζη ιύλνληαο ηε δεμηά αληζόηεηα παίξλνπκε :


a b a2 4 2 a b a a b a b a2 24 4 4 4 4 1 1 ( ) (3α)

Οκνίσο από ηε δεύηεξε ζπλζήθε :

1 1 14

212

2

a a b

2 4 22a a b

2 4 20

2

0 0

a a b a (επεηδή 2 2a )

Λύλνληαο ηελ παξαπάλσ αληζόηεηα από ηελ αξηζηεξή πιεπξά παίξλνπκε :

2 42 a a b 4 4 4 4 1 12 2 a a a b a b b a( ) (3β)

ii)

b

a

+1

-1-1 +1

b=1

x y1 2

3

ba

2

4

b a 1b a 1

Τξίγσλν επζηάζεηαο

iii) Σε είζνδν, ζην ζύζηεκα, κνλαδηαίν δείγκα ( ( )) n αληηζηνηρεί έμνδνο h n( ) δειαδή

απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο. Αλ πάξνπκε ηνλ αληίζηξνθν Z ηεο H z( ) , αλάινγα κε ην

είδνο ησλ πόισλ, ζα έρνπκε ηηο εμήο πεξηπηώζεηο :

α) 1 2 ( )C (πεξηνρή (1) ζην ηξίγσλν επζηάζεηαο )

Τόηε ε θξνπζηηθή απόθξηζε ζα είλαη κία θζίλνπζα ζπλεκηηνληθή ηαιάλησζε (ζει.179,ζρέζε 9 θαη ζει.191, ζρήκα γ)


n

h n( )

β) 1 2 ( )R (πεξηνρή (2) ζην ηξίγσλν επζηάζεηαο, δειαδή πάλσ ζηελ παξαβνιή

ba

2

4 θαη κεηαμύ ησλ ζεκείσλ x θαη y .

Τόηε ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο ζα είλαη ηεο κνξθήο : h n n u nn( ) ( ) (ζει.179

ζρέζε (7) )

n

h n( )

γ) 1 2 ( )R (πεξηνρή (3) ζην ηξίγσλν επζηάζεηαο )

Τόηε ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο είλαη ηεο κνξθήο : h n u nn n( ) ( ) ( ) 1 2 (ζει. 179

ζρέζε 6 θαη ζει. 191 ζρήκα (α ) )

n

h n( )


ΑΣΚΗΣΗ 40 1. Γίλνληαη ηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n u n u n( ) ( ) ( ) 3

y n u n u n( ) ( ) ( ) 4

w n u n u n u n u n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 6 7 12 4 18

Να ππνινγηζζνύλ θαη λα ζρεδηαζζνύλ νη ζπλειίμεηο : )n(y*)n(x)n(h θαη )n(w*)n(x)n(g

2. Γίλεηαη ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n a u n an( ) ( ) , 1

Να ππνινγηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απηνζπζρέηηζε r lxx ( ) .

3. Θεσξνύκε ηα ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ x t( ) θαη y t( ) , θαη ηελ ζπλέιημή ηνπο

)t(y*)t(x)t(h . ( x t y t t( ) , ( ) , ( , )) 0 0

Αλ κε E E Ex y h, , ζπκβνιίδνπκε ην ‘’ εκβαδόλ ’’ ησλ αληηζηνίρσλ ζεκάησλ

x t( ) , y t( ) θαη h t( ) ,θαη κε K K Kx y h, , , ην ‘’ θέληξν κάδαο ‘’ αληίζηνηρα , ηόηε

λα δείμεηε όηη ηζρύεη : E E Eh x y θαη K K Kh x y

Γίλνληαη

E x t dtx

( ) (= ’’ εκβαδόλ ‘’ ηνπ ζήκαηνο x t( ) ) ,

m t x t dtx

( ) (= ’’ πξώηε ξνπή ’’ ηνπ ζήκαηνο x t( ) ) , θαη

Km

Ex

x

x

(= ’’ θέληξν κάδαο ‘’ ηνπ ζήκαηνο x t( ) )

ΛΥΣΗ 1.

0 1 2-1-2

1

x n u n u n( ) ( ) ( ) 3

n3 4

x n( )

0 1 2-1-2

1

y n u n u n( ) ( ) ( ) 4

n3 4

y n( )

5 6


0

1 2 3 4 5

-1

-4

2

1

w n( )

n6 7 8 10 11

12 13 14 15 16 17

189 19 20

3

-2

-3

-1

w n u n u n u n u n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 6 7 12 4 18

α) Με όπνηνλ ηξόπν ζέινπκε όπσο π.ρ. ζαλ γηλόκελν πνι/λύκσλ :

)n(y*)n(x)n(h

0 1 2 3 4 5-1

2

1

h n( )

n6 7

3

h n x n y n( ) ( ) * ( )

h(0)=1 , h(1)=2 , h(2)=h(3)=3 , h(4)=2 , h(5)=1 , … , h(n)=0 γηα n n 0 6

β) Γλσξίδνληαο ηελ βαζηθή ηδηόηεηα πνπ ηζρύεη ζηελ ζπλέιημε , δειαδή :

)]n(w*)n(x[a)]n(w*)n(x[a]w*)n(x[a

)]n(wa)n(wa)n(wa[*)n(x)n(w*)n(x)n(g

332211

332211

(Δπηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο ζπλέιημεο σο πξνο ηελ πξόζζεζε πνπ πξαθηηθά είλαη ην ζεώξεκα

ηεο ππέξζεζεο ή επαιιειίαο) με :

a a a1 2 32 3 4 , , , w n u n u n1 3( ) ( ) ( ) , w n u n u n2 4( ) ( ) ( ) ,

w n u n u n u n u n3 2 5 6 7 12 4 18( ) ( ) ( ) ( ) ( )


Από ην πξνεγνύκελν εξώηεκα βιέπνπκε όηη ε ζπλέιημε δύν ‘’ ηεηξαγσληθώλ ‘’ ζεκάησλ είλαη

έλα ηξαπέδην κε κεγάιε βάζε ην κήθνο ηεο ζπλέιημεο ( )N N1 2 1 θαη κηθξή βάζε ηελ

δηαθνξά κεθώλ ( απνιύησο ) ζπλ έλα ( )N N1 2 1 . Έηζη αλαιύνληαο ηελ w n( ) θαηά ηνλ

ηξόπν πνπ αλαθέξακε πην πάλσ θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηελ παξαηήξεζε πνπ αλαθέξακε γηα ηελ ζπλέιημε δύν ‘’ ηεηξαγσληθώλ ‘’ ζεκάησλ θαηαζθεπάδνπκε ηνλ επόκελν πίλαθα ηηκώλ πνπ

ππνινγίδεη ηελ ζπλέιημε )n(w*)n(x)n(g .

2. x n a u n an( ) ( ) , 1

1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 189 19 20

-2 -4 -6 -6 -6 -4 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0g n1( )

n

0 0 0 0 0 0 3 9 9 9 6 3 0 0 0 09 0 0g n2( ) 6

0

-6

0

g n3( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -8 -12 -12 -12 -80 -4 00 -120

g n( ) -4 -6 -6 -6 -6 9 9 9 9 -5 -12 -12 -12 -84 -4 0-1 -12-2 2

g n a x n w n1 1 1( ) [ ( ) * ( )]

g n a x n w n2 2 2( ) [ ( ) * ( )]

g n a x n w n3 3 3( ) [ ( ) * ( )]

g n x n w n g g g( ) ( ) * ( ) 1 2 3

n

xx )n(x)n(x)l(r l

Γλσξίδνπκε από ηελ ζεσξία όηη r l r lxx xx( ) ( ) . Έηζη ππνινγίδνληαο ηελ ζπλέιημε γηα

0l έρνπκε :

22

2

ln

n2

ln

nn

xxa1

a

a1

aaaaaa)(r

ll

llll (1)

Λακβάλνληαο ππόςε θαη ηελ ηδηόηεηα r l r lxx xx( ) ( ) (άξηηα ζπλάξηεζε ηνπ l ) ηόηε ε

ζρέζε (1) γηα λα ηζρύεη γηα θάζε l πξέπεη λα γξαθεί :

lll

,a1

a)(r

2xx


0 1 2 3 4 5

r lXX ( )

l

1

1 2

aa l| | 0 1 a,

1

1 2 a

-4 -3 -2 -1

Σημείωση :

Σην ίδην απνηέιεζκα κπνξνύκε λα θαηαιήμνπκε αλ ππνινγίζνπκε ην r lxx ( ) γηα l 0 νπόηε

έρνπκε :

220n

n2

0n

nn

xxa1

a

a1

1aaaaa)(r

l

llll , ήηνη :

l,a1

a)l(r

0l,a1

a

0l,a1

a

)(r2xx

2

2

xx

l

l

l

l

3.

α)

E h t dt x r y t r dr dt x r dr y t r dt

x r dr y K dK E E

h

K dt dK

x y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

,


β)

yxxy

dKdt,K

h

EmEm

dK)K(ydr)r(xrdr)r(xdK)K(yKdKdr)K(y)r(xrdKdr)K(y)r(xK

dKdr)K(y)r(x)rK(dtdr)rt(y)r(xtdt)t(htm

yx

y

y

x

x

yx

yxxy

h

hh KK

E

m

E

m

EE

EmEm

E

mK


ΑΣΚΗΣΗ 41

Γίλεηαη ην ζύζηεκα ηνπ επόκελνπ ζρήκαηνο :

+

-

+

+

+

+

x n( ) y n( )z 1

z 1

2

2

Να βξεζνύλ :

1. Ζ έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, y n( ) , ζαλ ζπλάξηεζε ηεο εηζόδνπ, x n( ) .

2. Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Τπνινγίζηε ηνπο πόινπο

θαη ηα κεδεληθά ηεο H z( ) θαη ζρεδηάζηε ηα ζην επίπεδν Z . Δίλαη ην

ζύζηεκα επζηαζέο ;

3. Οη ηξεηο πξώηνη όξνη ηεο απόθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ

ζπζηήκαηνο, ρξεζηκνπνηώληαο αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκό Z κέζσ ηεο κεζόδνπ ηεο αηέξκνλεο δηαίξεζεο. Δπαιεζεύζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο.

ΛΥΣΗ

1. Θεσξνύκε ηα βνεζεηηθά ζήκαηα g n( ) θαη w n( ) ζην αθόινπζν ζρήκα. Έηζη έρνπκε :

+

-

+

+

+

+

x n( ) y n( )z 1

z 1

2

2

g n( )

w n( )

y n g n g n( ) ( ) ( )2 1 (1)

g n x n w n g n x n w n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 (2)

w n y n y n w n y n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 (3)

Από ηηο (1), (2) θαη (3) έρνπκε :


y n x n y n y n x n y n y n( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [2 ( ) ( )]2 2 1 1 1 2

2 4 2 1 1 2 1 2x n y n y n x n y n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 4 1 2 4x n x n y n y n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y n x n x n y n y n( ) [2 ( ) ( ) ( ) ( )]1

51 4 1 2 (Α)

2. Δθαξκόδσ κεη/ζκό Z ζηε ζρέζε (α) :

Z y n Z x n x n y n y n[ ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]1

52 1 4 1 2

)]()(4)()(2[5

1)( 211 zYzzYzzXzzXzY

( αξρηθέο ζπλζήθεο κεδεληθέο )

Y z z z X z z( )[ ] ( )[ ]14

5

1

5

2

5

1

5

1 2 1

Y z z z X z z( )[ ] ( )[ ]5 4 21 2 1

H zY z

X z

z

z z

z z

z z( )

( )

( )

( )2

5 4

2 1

5 4 1

1

1 2 2

-Μεδεληθά ηεο H z( ) : z z( ) ,2 1 0 01

21 2 .

-Πόινη ηεο H z( ) : 5 4 1 04 16 20

10

4 2

100 4 0 22

1 2z zj

j, . .

Δπεηδή | | | | .1 2 0447 1 ΔΤΣΑΘΔΗΑ

3.


5 4 12

z z22

z z

28

5

2

5

2z z

3

5

2

5z

3

5

12

25

3

25

1z z

2

25

3

25

1z

2

5

3

52

2

5

1

3

2z z ...

2

25

8

125

2

125

1 2z z

7

125

2

125

1 2z z

h( ) ( . )02

50 4

h( ) ( . )13

250 12

h( ) ( . )22

1250 016

θ.ν.θ.

Δπαιήζεπζε : ηελ ζρέζε (Α) αλ ζηε ζέζε ηνπ x n( ) βάινπκε ην ( )n , ηόηε ην y n( ) ζα

είλαη h n( ) . Έηζη έρνπκε :

h n n n h n h n( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]1

52 1 4 1 2

n h h h0 01

52 0 1 4 1 2

2

51 0 0 0

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]

n h h h1 11

52 1 0 4 0 1

1

51

8

5

3

250 1 2 5 0

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ]/

n h h h2 21

52 2 1 4 1 0

1

5

12

25

2

5

2

1250 0 3

25

2

5

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ]


ΑΣΚΗΣΗ 42

1. Πξνζδηνξίζηε ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ( πιάηνο H 2 ( ) θαη θάζε ( ) )

γηα ην δηαθξηηό ζύζηεκα πνπ εθθξάδεηαη από ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ : y n y n x n x n( ) . ( ) ( ) ( )05 1 1

2. Δθθξάζηε ηελ H 2 ( ) ζαλ ζπλάξηεζε κε ηελ εμήο κνξθή :

Hx

x2

2 2

125( )

cos( )

. cos( )

Ση είλαη ηόηε ην x θαη ηη ηηκέο παίξλεη ; Γηα κηα ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο f KHzs 1 πξνζδηνξίζηε

ηελ έμνδν ζηε ζηαζεξή θαηάζηαζε όηαλ ε είζνδνο είλαη εκηηνλνεηδήο πιάηνπο 10 κνλάδσλ θαη ζπρλόηεηαο 100Hz.

3. Πξνζδηνξίζηε κηα θιεηζηή έθθξαζε γηα ηνλ Γηαθξηηό Μεηαζρεκαηηζκό Φνπξηέ ηνπ ζήκαηνο x n( ) γηα 0 1n N .

4. Τπνινγίζηε ηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο x n( ) ηόζν ζην ρώξν ηνπ

ρξόλνπ όζν θαη ζην ρώξν ηεο ζπρλόηεηαο.

ΛΤΖ

1. y n y n x n x n Y z z Y z X z z X zZ

( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )05 1 1 05 1 1

Y z z X z z H zY z

X z

z

z

z

z( )[ . ] ( )[ ] ( )

( )

( ) . .1 05 1

1

1 05

1

051 1

1

1

H H zz e

e

e

e

e

j

jj

j

j

j

j( ) ( ). .

cos sin

cos . sin

1

05

1

05

1

05

Πιάηνο :

A H2 22 2

2 2

1

05

2 2

125( ) ( )

(cos ) sin

(cos . ) sin

cos

. cos

Φάζε :

)2

Ωtan3(tan

5.0Ωcos

Ωsintan

1Ωcos

Ωsintan)}Ω(Harg{)Ω(Φ 111

2. 2 2 2F F x x Fx

θαη πξνθαλώο : 0 1x ( επεηδή 0 05F . ).

Άξα :

A xx

x2

2 2

125( )

cos( )

. cos( ), )

2

xπtan3(tan

5.0xπcos

xπsintan

1xπcos

xπsintan)x(Φ 111

f Hz f Hz xf

fs

s

0 0

0100 1000 2 0 2, .

nπ2.0j

r

nxπj

x e10er)n(xx

0

Έηζη έρνπκε γηα x x0 02. ( ζηε ζηαζεξή θαηάζηαζε )


x n ej n

( ),

100 2

A x ej x

( )( )

00

y n A x ej n x

( ) ( )[ , ( )]

10 0

0 2 0

864.2)π2.0cos(25.1

)π2.0cos(22)2.0(A)x(A

21

0

268.44773.05.0)2.0cos(

)2.0sin(tan

1)2.0cos(

)2.0sin(tan)2.0()( 11

0 radx

Έηζη έρνπκε :

y n r e A x e r A x e e

n n

x

j x n j x

x

j x n x

r A x

j n

x

x( ) ( ) ( ) .

. sin( . . ) . sin( . )

( ) ( ( ))

( )

( . . )

( )0 0 0 0

0

0

0 0

0 2 0 773

10 2 864

28 64 0 2 0 773 28 64 36 44 268

3. x n n N( ) ,1 0 1

)N

mπsin(

)mπsin(e

]ee[e

]ee[e

eeee

eeee

1e

1e

1e

1eeee)n(x)]n(x[F)m(X

N

)1N(mπj

N

mπj

N

mπj

N

mπj

mπjmπjmπj

N

mπj

N

mπj

N

mπj

N

mπj

mπjmπjmπjmπj

N

mπ2j

mπ2j

N

mπ2j

N

mπ2j

N

)1N(mπ2j

1N

0n

N

mnπ2j1N

0n

N

mnπ2j

1

Έηζη :

X m jm N

N

m

m

N

N m m N( ) exp( ) sin( )

sin( )

( ) , , ,...,1

0 1 1

4.Τπνινγηζκόο ηεο ελέξγεηαο ζηα πεδία ρξόλνπ ( E n ) θαη ζπρλόηεηαο ( Em ) :

E x n Nnn

N

n

N

( )2

0

1

2

0

1

1

EN

X mN

N mN

N Nmm

N

m

N1 1 12

0

12

0

1

2( ) ( )

Πξάγκαηη από ην ζεώξεκα ηνπ Parseval μέξνπκε όηη :

x nN

X mn

N

m

N

( ) ( )2

0

12

0

11


ΑΣΚΗΣΗ 43 (ΘΔΜΑ 1ν 13/2/88-(2/10))

Έζησ Γ.Υ.Α. ζύζηεκα ην νπνίν ζην επίπεδν ησλ Z εθθξάδεηαη κε έλα δηπιό κεδεληθό ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη δύν πξαγκαηηθνύο πόινπο ζηηο ζέζεηο

z1 02. θαη z2 04. . Δπίζεο δίλεηαη όηη ηζρύεη : H z Z( )|.1

1

0 48. Να βξεζνύλ :

α) Ζ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο.

β) Ζ απόθξηζε ζε είζνδν κνλαδηαίνπ βεκαηηθνύ ζήκαηνο, y nu ( ) , κε

κεζνδνινγία ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ.

ΛΤΖ α) Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο έρεη ηε κνξθή :

H z Az

z z z zA

z

z z( )

( )( ) ( . )( . )

2

1 2

2

0 2 0 4

Όκσο H z Z( )|.1

1

0 48. Από ηε ζρέζε απηή ζα ππνινγίζνπκε ηε ζηαζεξά A :

H z AA

AZ( )|. ( . )( . ) .1

1

0 48

1

08 0 6 0 481 .

Δπνκέλσο :

H zz

z zh n Z H z( )

( . )( . )( ) ( )

2

1

0 2 0 4

H z

z

z

z z

A

z

A

z

( )

( . )( . ) . .0 2 0 4 0 2 0 4

1 2

AH z

zz

z

zz z1 0 2 0 20 20 4

0 2

0 21

( )( . )|

.|

.

.. .

AH z

zz

z

zz z2 0 4 0 40 40 2

0 4

0 22

( )( . )|

.|

.

.. .

Άξα γξάθνπκε :

H zz

z

z

zh n Z

z

zZ

z

z( )

. .( )

. .

2

0 4 0 2

2

0 4 0 2

1 1

h n u n u n u nn n n n( ) ( . ) ( ) ( . ) ( ) [ ( . ) ( . ) ] ( )2 0 4 0 2 2 0 4 0 2 .

β)

y n h n u n h k u n k h kuk

n

k

n

k

k

n

k

k

n

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( . )0 0 0 0

2 0 4 0 2

20 4 1

0 4 1

0 2 1

0 2 1

0 2 1

082

0 4 1

0 610

0 2 1

8

0 4 1

3

1

0 6

1

0 8

1 1 1 1( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.[( . ) ( . )

]

. .

n n n n n n

Δπνκέλσο : y nu

n n

( ) [( . ) ( . )

]100 2 1

8

0 4 1

3

1 1

, n 0 .


ΑΣΚΗΣΗ 44 Γίλεηαη ην ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ηνπ επόκελνπ

ζρήκαηνο :

x n( )z 1

z 12 + +

y n( )

Γώζαηε κηα πξαγκαηνπνίεζε ηνπ εηθνληδόκελνπ ζπζηήκαηνο ρξεζηκνπνηώληαο κόλν έλα ζηνηρείν θαζπζηέξεζεο.

Να επξεζεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο.

Αλ ε είζνδνο είλαη ε x n u n( ) ( )2 ηόηε λα βξεζεί ε έμνδνο, y n( ) , ηνπ

ζπζηήκαηνο κε ηε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε. Ση ζπκπέξαζκα βγάδεηε γηα ηελ επζηάζεηα ηνπ ζπζηήκαηνο ;

ΛΤΖ

α)

x n( )z 1

z 12 + +

y n( )

w n( )

H z1( ) H z2 ( )

ΥΖΜΑ Η

Τα H z H z1 2( ), ( ) είναι Γ.Φ.Α. συστήματα. Έτσι μπορώ να τα αντιμεταθέσω :

H z H z H z H z H z( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ( σχήμα 2 )

x n( )

z 1

z 12 +

+

y n( )

+

++

+

ΑΤΣΖ Ζ ΚΑΘΤΣΔΡΖΖ ΦΔΤΓΔΗ

ΥΖΜΑ ΗΗ


x n( )

z 1

2

++y n( )+

+

+

ΥΖΜΑ ΗΗΗ

+

β) Από ην ζρήκα 1 έρνπκε :

y n w n y n

w n x n x n

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 1 2 Από ηηο (1) θαη (2) έρσ :

y n x n x n y n( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

3.

Y z H z U z H z U zu ( ) ( ) ( ) , ( ) ; , ( ) ;2 2

Από ηελ παξαπάλσ ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ, πνπ βξέζεθε ζην εξώηεκα (2) θαη κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Ε έρσ :

Y z X z z X z z Y z Y z z X z z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 21 1 1 1

H zY z

X z

z

z

z

z( )

( )

( )

1 2

1

2

1

1

1

U z Z u n z Z u n zz

z

z

z z2

2 221 1

( ) ( ) ( )( )

Άξα :

Y z H z U zz

z z z

z

z zu ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

2

1

1

1

2

1

Οπόηε :

y n Z Y z Zz

z zu u( ) ( )( )

1 1

1

2

1

Y z

z

z

z z

A

z

A

z

B

z

B

z

u ( )

( ) ( )

2

1 1 12 2

1 2

2

1 2

2

Από ηελ αλάιπζε ζε απιά θιάζκαηα μέξνπκε όηη γηα πόινπο z0 κε βαζκό πνιιαπιόηεηαο r

ηζρύεη ε εμήο ζρέζε γηα ηνπο ζπληειεζηέο A i ( ή Bi ) :

Ar i

d

dzz z

Y z

z z zi

r i

r i

r1

00( )!

( )( )

Έηζη εδώ γηα r 2 θαη γηα i 1 θαη 2 παίξλνπκε ηηο εμήο ηηκέο γηα ηα A Bi i, :

A A B B1 2 1 25 2 5 3, , ,


Άξα :

Y z zz

z

z

zu ( )( )

5 2 51

31

1

2

)n(u)5n3()1n(2)n(5)n(nu3)n(u5)1n(2)n(5

)1z(

z3

1z

z5z25Z)z(YZ)n(y

2

11

u

1

u

Σν ζύζηεκα έρεη έλαλ πόιν κε πνιιαπιόηεηα 2 ζην ζεκείν z1 1 (πάλσ ζηνλ κνλαδηαίν

θύθιν). πλεπώο είλαη αζηαζέο ην ζύζηεκα.


ΑΣΚΗΣΗ 45

Γίλεηαη ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

h nn

n

n

n( )

,

,

2 0

2 0

α) Να βξεζεί ν Γ.Μ.Φ. (D.F.T.), κήθνπο N , ηνπ ζήκαηνο x n( ) , όπνπ

N k2 1.

β) Να ζρεδηαζηνύλ ην κέηξν θαη ε θάζε ηνπ Γ.Μ.Φ. ζηελ πεξίπησζε πνπ k 2 θαη N 12 .

γ) Να πξνζδηνξηζηεί ε ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο πνπ πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ ζπρλνηήησλ f kHz1 1 θαη f kHz2 3 , εαλ ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο, fS

,

είλαη 8kHz .

ΛΥΣΗ α) Από ην ζήκα πνπ δίλεηαη παίξλνπκε :

x nn k

n kx n k

n k( )

, | |

, | |( )

,

,

1

0

1 0 2

0 .

Σόηε : x n k w X mF km( ) ( )

( ) , w e

jN2

,

X m w F x n kkm( ) ( ) F x n k w x n k wmn

n

N

mn

n

k

( ) ( )0

1

0

2

F x n kw

w

k m

m( )

( )2 1 1

1X m w

w w w

w w w

km

k m k m k m

m m m( )[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )1

2

1

2

1

2

2 2 2

X m

j km

N

jm

N

km

Nm

N

( )

sin[( ) ]

sin( )

sin[( ) ]

sin( )

2 2 1

2

2 1 , m N012 1, , ,..,( ) .

Άιινο ηξόπνο ππνινγηζκνύ ηνπ X m( ) :

X m w x n w w w w wmn

n k

k

mn

n k

k

mk mk mk mk( ) ( ) .. .. ( .. )1 1 2

X m ww

w

mk

k m

m( )

( )2 1 1

1 θ.ι.π.


β) Γηα k 2 θαη N 12 παίξλνπκε :

X m

m

m( )

sin

sin( )

5

12

12

, m N012 1, , ,..,( ) .

Ηζρύνπλ : | ( )| | ( )|X X0 12 , | ( )| | ( )|X X1 11 , | ( )| | ( )|X X2 10 …θ.ν.θ.

Γεληθά κπνξνύκε λα γξάςνπκε : | ( )| | ( )|X m X N m .

Κάλνληαο ππνινγηζκνύο παίξλνπκε :

X( )0 5, X( ) .1 373, X( )2 1, X( )3 1, X( )4 1, X( ) .5 0 268 θαη X( )6 1.

Γλσξίδνληαο όηη ην κέηξν ηνπ Γ.Μ.Φ. ζα έρεη άξηηα ζπκκεηξία γύξσ από ην ζεκείν N

26 θαη

ε θάζε έρεη πεξηηηή ζπκκεηξία γύξσ από ην ίδην ζεκείν πξνρσξνύκε ζηε ζρεδίαζε ησλ θαζκάησλ κέηξνπ θαη θάζεο ηνπ Γ.Μ.Φ. ηνπ ζήκαηνο.

0 1 2 3 4 6

m

| ( )|X m

5 7 8

1

2

3

4

5

6

3,73

0,268

9 10 11

0 1 2

3 4

6

m

Arg X m[ ( )]

5 7 8 9 10 11

+π

-π


γ) Δίλαη Ff

f

kHz

kHzS

1

1 1

8

1

8, F

f

f

kHz

kHzS

2

2 3

8

3

8.

Δπνκέλσο :

1 12 21

8 4F θαη 2 22 2

3

8

3

4F .

Από ηηο ηειεπηαίεο ζρέζεηο παίξλνπκε : 1 2 2 4m

EN

X mm

12

1

61 1 1

1

2

2

2

4

2 2 2| ( )| ( ) .


ΑΣΚΗΣΗ 46 Έζησ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο δηαθξηηνύ ζπζηήκαηνο :

H zb b z b z b z

a z a z a z( )

...

...( )

0 1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

311

Ζ ζπλάξηεζε απηή κπνξεί λα γξαθεί θαη σο εμήο :

H z c c z c z c z( ) ... ( )0 1

1

2

2

3

3 2

1. Γείμαηε όηη ηα cn κπνξνύλ λα ππνινγηζζνύλ αλαδξνκηθά από ηελ ζρέζε :

c b c a n c bn n n ii

n

11

0 01 3, , ( )

2. Αλ :

135.0837.0702.1

268.0165.0)(

23

23

zzz

zzzH ,

γξάςαηε ηελ ζπλάξηεζε απηή ππό ηελ κνξθή (1) θαη ρξεζηκνπνηήζαηε ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε γηα λα ππνινγίζεηε ηα πέληε πξώηα c c c c( , ,..., )1 2 5 .

Ση ζρέζε έρεη ν αλαδξνκηθόο ηύπνο (3) κε ηελ κέζνδν ηεο αηέξκνλεο δηαίξεζεο (Long Division) ;

ΛΥΣΗ α) Γίλεηαη όηη :

H zb b z b z b z

a z a z a z( )

...

...

0 1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

31

Δθηειώ ηελ αηέξκνλε δηαίξεζε :

b b z b z b z0 1

1

2

2

3

3...

b b a z b a z b a z0 0 11

0 22

0 33 ...

( ) ( )

( ) ...

b b a z b b a z

b b a z

1 0 1

1

2 0 2

2

3 0 3

3

( )

( ) . . .

b b a b a b a z

b b b a a b a z

2 0 2 1 1 1 1

2 2

2 1 0 1 1 0 2

2

1 11

22

33

a z a z a z ...

b b b a z

b b b a a b a z

0 1 0 1

1

2 1 0 1 1 0 2

2

( )

( ) ...

δειαδή

c b0 0

c b b a

c

1 1 0 1

0

c b c a c a2 2 1 1 0 2

θ.ι.π.

θ.ι.π.

Δπαγσγηθά θαηαιήγνπκε όηη νη όξνη ηνπ πειίθνπ κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ από ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε :

c b c an n n ii

n

11

Ο.Δ.Γ.


β) 321

1

23

23

135.0837.0702.11

268.0165.0

135.0837.0702.1

268.0165.0)(

zzz

z

zzz

zzzH


4,0,135.0,837.0,702.1,1

2,0,268.0,165.0

3210

10

jaaaaa

ibbb

j

i

Οπόηε έρνπκε :

c b0 0 0165.

c b c a b c an i ii

1 11

1

1 0 1 0549.

796.0549.0165.0702.1549.0020112

2

1

222 acacbacbci

ii

c b c a b c a c a c ai ii

3 3 31

3

3 2 1 1 2 0 3 0 918.

c b c a b c a c a c a c ai ii

4 4 41

4

4 3 1 2 2 1 3 0 4 0 436.

c b c a b c a c a c a c a c ai ii

5 5 51

5

5 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5 1403.

Πξνθαλώο, ν αλαδξνκηθόο ηύπνο (3), δίδεη ηνπο όξνπο ηνπ πειίθνπ πνπ παίξλνπκε κε ηελ κέζνδν ηεο αηέξκνλεο δηαίξεζεο.


ΑΣΚΗΣΗ 47 Θεσξνύκε ην Γ.Υ.Α. ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ κε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) :

h nn

n

n

n( )

,

,

2 0

2 0.

Να βξεζνύλ :

α) Ζ έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, y nu ( ) , ζε είζνδν κνλαδηαίνπ ζήκαηνο, u n( ) .

b) Ζ έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, y n( ) , ζε είζνδν :

x nn

( ),

,

1 0 10

0

κε ππνινγηζκό ηνπ ζπλειηθηηθνύ αζξνίζκαηνο. Δπαιεζεύζηε ηελ απάληεζή ζαο βαζηδόκελνη ζην απνηέιεζκα ηεο πξνεγνύκελεο εξώηεζεο.

ΛΥΣΗ

α) Δθαξκόδνπκε ηνλ ηύπν ηεο ζπλέιημεο y n h n u n h k u n kuk K

K

L

H

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) γηα ηηο

δύν πεξηνρέο ηνπ n μερσξηζηά :

Γηα n KL0 , K nHy nu

k

k

n n

n( ) 22

1 22

1

1.

Γηα n KL0 , K nH

y nu

k

k

k

k

n n

n n( ) 2 22

1 2

2 2 1

2 11 2 2 3 2

1

0

1

1

1

1 .

Άξα : y nn

nu

n

n( )

,

,

2 0

3 2 0

1

.

u n k( )

-

h k( )

k

1

1

k

2 k2k

n

b)


x n k( )

-

h k( )

k

1

1

k

2 k2k

nn 10

Ζ έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο όπσο ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα :

y n h n x n h k x n kk K

K

L

H

( ) ( )* ( ) ( ) ( )

Για n K nL0 10 , K nHy n k

k n

n n n

n( ) ( )22 2 2

2 12 2 2

10

10

10

Για 0 10 10n K nL , K nH

y n

y n

k

k n

k

k

n n n

n n

n n

( )

( )

2 22 2 2

2 1

2 2 1

2 11 2 2 2

3 2 2

10

1

0

1 10 1

1

10

10

Γηα n K nL11 10 , K nH

y n k

k n

n n n

n( ) ( )22 2 2

2 12 2 1

10

1 10

1

11.

Άξα :

y n

n

n

n

n

n n

n

( )

( ) ,

,

( ) ,

2 2 2 0

3 2 2 0 10

2 2 1 11

10

10

11

(1).

Δπαιήζεπζε : x n u n u n( ) ( ) ( )11

y n h n x n h n u n u n h n u n h n u n

A B

( ) ( )* ( ) ( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )11 11


Σα Α θαη Β όκσο κπνξνύλ λα πξνζδηνξηζηνύλ από ηελ απάληεζε ηνπ εξσηήκαηνο (α) κε θαηάιιειε ηξνπνπνίεζε ηεο ρξνληθήο κεηαβιεηήο n . Έηζη έρνπκε :

Γηα n 0 y n n

A

n

B

n( ) ( )( )2 2 2 2 21 11 1 10

.

Γηα 0 10n y n n

A

n

B

n n( ) ( )3 2 2 3 2 211 1 10

.

Γηα n 11 y n n

A

n

B

n( ) [ ] ( )( )3 2 3 2 2 2 111 11

.

πλνπηηθά γξάθνπκε :

y n

n

n

n

n

n n

n

( )

( ) ,

,

( ) ,

2 2 2 0

3 2 2 0 10

2 2 1 11

10

10

11

(2).

Παξαηεξνύκε όηη νη ζρέζεηο (1) θαη (2) ζπκπίπηνπλ. πλεπώο επαιεζεύηεθε ην δεηνύκελν.


ΑΣΚΗΣΗ 48

1. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο :

X z( )

z 1

+

++

c 0

G(z)

Y z( )

c1

2. Να βξεζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνπ, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ

πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο αλ G z( ) 1.

3. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ επόκελνπ ζπζηήκαηνο κε

ρξήζε ηεο απάληεζεο ηνπ εξσηήκαηνο (α) :

X z( )

z 1

+

++

c 0

Y z( )

c1

++

c 2

z 1

+

c3

...

...

++

c n2

z 1

+

c n2 1

A 1A 2

A n 1

B n 1B 2B1

...

ΛΥΣΗ α) Έρνπκε όηη :

)2()()()()(

)1()()()()(1

1

0

zWzGzczXzW

zWzGzXczY

)3()()](1[)()()](1)[()2( 11

1

1

1 zXzGzczWzXzGzczW

(1), (3) Y z c X z G z X z c z G z( ) ( ) ( ) ( )[ ( )]0 1

1 11


X z X z c G zc z G z

Y z X z c

c zG z

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

0

1

1 0

1

1

1

1

1

1

H zY z

X zc

c zG z

( )( )

( )

( )

0

1

1

1

1

β)

H z cc z

cz

z c( )

( )0

1

1 0

1

1

1

h n Z H z Z cz

z cc n c u nn( ) ( )

( )( ) ( ) ( )1 1

0

1

0 1

Άξα :

h n c n c u nn( ) ( ) ( ) ( )0 1

γ) Αλ ζπκβνιίζνπκε ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ηκήκαηνο ηνπ ζπζηήκαηνο δεμηά ησλ

ζεκείσλ A1 θαη B1 κε G zA B1 1

( ) , ηόηε ε νιηθή ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηόο καο

ζα είλαη απηή πνπ βξήθακε ζην εξώηεκα (α) κηαο θαη ηα δύν ζπζηήκαηα είλαη ηα ίδηα.

πλεπώο :

H z c

c zG zA B

( )

( )

0

1

1

1

1

1 1

(1)

Αο εμεηάζνπκε ηώξα ηελ G zA B1 1( ) .

Με ηνλ ίδην ζπιινγηζκό αλ ζεσξήζνπκε ηελ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ηκήκαηνο δεμηά ησλ

ζεκείσλ A2 θαη B2 κε G zA B2 2( ) ,ηόηε κπνξνύκε λα γξάςνπκε γηα ηελ G zA B1 1

( ) , κηα

παξόκνηα ζρέζε, ζαλ ηελ (1), κηα θαη ην πξνθύπηνλ ζύζηεκα είλαη έρεη ηελ ίδηα δνκή.

Έηζη :

G zA B1 1( ) c

c zG zA B

2

3

1

1

1

2 2( )

(2)

Αθνινπζώληαο απηό ηνλ ζπιινγηζκό κπνξνύκε λα θηλνύκαζηε ζπλερώο πξνο ηα δεμηά θαη λα

γξάθνπκε ζρέζεηο ηεο ίδηαο κνξθήο κε ηελ (1), (2) κέρξη ηα ηειηθά ζεκεία An 1 θαη Bn 1

νπόηε γξάθνπκε ηελ ηειηθή ζρέζε :

G zA Bn n1 1( ) c

c zn

n

2

2 1

1

1

1 (n)


Έηζη από όιεο ηηο ζρέζεηο 1,2,3,…, n κε δηαδνρηθέο αληηθαηαζηάζεηο παίξλνπκε :

H z c

c z

c

c z

c

c zn

( ) 0

1

1

2

3

1

4

2 1

1

1

1

1

1

1

1

1


ΑΣΚΗΣΗ 49

Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ επόκελε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ :

y n x n a y n b y n( ) ( ) ( ) ( )1 2

α) Αλ a 1 θαη b 01. λα εθθξαζηεί ην ζύζηεκα ζαλ ε παξάιιειε ζύλδεζε δύν ζπζηεκάησλ H z1( ) θαη H z2( ). ηε ζπλέρεηα, λα δνζεί ε δηαγξακκαηηθή

παξάζηαζή ηνπ.

β) Να βξεζεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ

ζπζηήκαηνο. Πνηόο πόινο θαζνξίδεη ηελ απόθξηζε ηνπ ; ρνιηάζηε ηελ απάληεζή ζαο.

ΛΥΣΗ α)

x n( ) y n( )

H z1( )

X z( ) Y z( )

H z2( )

+

x n( )

X z( )H z( )

y n( )

Y z( )

Αληηθαζηζηνύκε ηνπο ζπληειεζηέο ζηελ ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ :

y n x n y n y n( ) ( ) ( ) . ( )1 01 2 .

Με κεηαζρεκαηηζκό z παίξλνπκε :

Y z X z z Y z z Y z Y z z z X z( ) ( ) ( ) . ( ) ( )[ . ] ( )1 2 1 201 1 01 .

H zY z

X z z z

z

z z

z

z z( )

( )

( ) . . ( . )( . )

1

1 01 01 0887 01131 2

2

2

2

Θα γξάςνπκε ην H z( ) κε ηελ κνξθή :

H z

z

A

z

B

z

( )

. .0 887 0113

Σόηε :

AH z

zz z

( )( . )|

.

. .

.

...0 887

0 887

0 887 0113

0 887

0 77411460 887 θαη

BH z

zz z

( )( . )|

.

. .

.

...0113

0113

0113 0 887

0113

0 77401460 113


Άξα :

H zz

z

z

zH z H z

( ).

.

.

.( ) ( )

1146

0887

0146

0113

1 2

x n( ) y n( )

H z1( )

X z( ) Y z( )

H z2 ( )

+

1

H zY z

X z

z

z z1

1

1

1146

0887

1146

1 0887( )

( )

( )

.

.

.

.

1146 1 0 887 1146 0 887 11

1 1 1

1

. ( ) ( . ) ( ) . ( ) ( ) . ( )X z z Y z x n y n y nZ

(1)

Αληίζηνηρα : H zY z

X z

z

z z2

2

1

0146

0113

0146

1 0113( )

( )

( )

.

.

.

.

0146 1 0113 0146 0113 11

2 2 2

1

. ( ) ( . ) ( ) . ( ) ( ) . ( )X z z Y z x n y n y nZ

y n x n y n2 20146 0113 1( ) . ( ) . ( ) (2)

x n( )

z 1

+

++

0 887,

y n( )

1 146,

+

z 1

0 1 4 6,

0 1 1 3,

1

y n1 ( )

y n2 ( )

β) Δίλαη :

h n Z H z Zz

z

z

zu nn n( ) ( )

.

.

.

.[ . ( . ) . ( . ) ] ( )1 1 1146

0887

0146

01131146 0887 0146 0113


h n( )

h n h n h n( ) ( ) ( )1 2

n

1,146

1

1 2

3 4 5 6 7 80,1

0,146

h n u nn

1 1 1 4 6 0 8 8 7( ) , ( , ) ( )

h n u nn

2 0 1 4 6 0 1 1 3( ) , ( , ) ( )

πλεηζθνξά ζηελ h(n) ηνπ

επηθξαηνύληνο πόινπ z=0,887

(Dominant pole)

πλεηζθνξά ζηελ h(n) ηνπ κε

επηθξαηνύληνο πόινπ z=0,113

(Nondominant pole)

Από ην παξαπάλσ δηάγξακκα γηα ην h n( ) , όπσο έρνπλ ζρεδηαζηεί μερσξηζηά νη δύν όξνη

h n u nn

1 1146 0887( ) . ( . ) ( ) θαη h n u nn

2 0146 0113( ) . ( . ) ( ) θαίλεηαη μεθαζαξά όηη ν όξνο

h n2( ) έρεη πνιύ πην κηθξή ζπλεηζθνξά (από άπνςε ηηκώλ ) ζηελ h n( ) θαη πξαθηηθά γίλεηαη

κεδέλ γηα n 4 . πλεπώο κπνξνύκε λα πξνζεγγίζνπκε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ,

h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο κε ηελ h n1( ) γηα n 4 .

Έηζη : h n h n u nn( ) ( ) . ( . ) ( )1 1146 0887 γηα n 4 .


ΑΣΚΗΣΗ 50

1. Θεσξνύκε ην πεξηνδηθό ζήκα x n1( ) , κε πεξίνδν Ν=9 :

x nn

n1

1 0 2

0 3 8( )

,

,

Να βξεζεί ν Γ.Μ.Φ. ηνπ ζήκαηνο, X m1( ) , θαη λα ζρεδηαζζεί ην κέηξν, X m1( ) ,

ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ . 2. Θεσξνύκε ην πεξηνδηθό ζήκα x n2 ( ) , κε πεξίνδν Ν=9 :

x n

n

n

n

1

0 0 2

1 3 5

0 6 8

( )

,

,

,

Να ππνινγηζζεί ν Γ.Μ.Φ. ηνπ ζήκαηνο απηνύ, X m2 ( ) , ρσξίο λα

ρξεζηκνπνηεζεί ε αλαιπηηθή ζρέζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ αιιά θάλνληαο ρξήζε ηεο θαηάιιειεο ηδηόηεηαο ηνπ Γ.Μ.Φ.

Να ζρεδηαζζεί ην κέηξν X m2 ( ) .

3. Σν απηό γηα ην πεξηνδηθό ζήκα x n3( ) , κε πεξίνδν Ν=9 :

x ne n

n

j n

3

23 0 2

0 3 8( )

,

,

ΛΥΣΗ

x n X m n m N( ) ( ) ,( , ) , , , ,...,0 1 2 3 1

1)

X m x n e ee

e

e e e

e e e

jN

nm

n

Nj nm

n

j m

j m

jm

jm

jm

jm

jm

jm1 1

2

0

1 2

9

0

2

2

93

2

9

3

9

3

9

3

9

9 9 9

1

1

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

8,...,2,1,0,

)9

sin(

)3

sin(9

2

mm

m

e

mj

X m

m

mm1

3

9

0 1 2 8( )

sin( )

sin( )

, , , ,...,

Λόγσ ηεο άξηηαο ζπκκεηξίαο ηνπ X m1( ) δελ ρξεηάδεηαη λα ππνινγηζζνύλ όιεο νη ηηκέο γηα

m 0 1 2 8, , ,..., αιιά κόλν γηα m 0 1 2 3 4, , , , . Οη άιιεο ηηκέο είλαη ζπκκεηξηθέο.



X X X X X

X X X X X X X X

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

0 3 1 2 532 2 1347 3 0 4 0879

5 4 6 3 7 2 8 1

( ) , ( ) . , ( ) . , ( ) , ( ) . ,

( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )

0 1 2 3 4 6

m

| ( )|X m1

5 7 8

1

2

3 2,532

1,347

0,879

1,347θ.ν.θ.

2) Σν ζήκα x n2 ( ) είλαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα ην ζήκα x n1( ) θαζπζηεξεκέλν θαηά k=3, δει.

x n x n2 1 3( ) ( ) . Έηζη, από ηνλ πίλαθα ηδηνηήησλ ηνπ Γ.Μ.Φ. ηεο ζει.207 ησλ

ζεκεηώζεσλ (ηδηόηεηα 2) έρνπκε :

x n X m x n e X m

x n

j m

1 1 1

2

93

13

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Έηζη :

X m e e

m

mX m e

m

mm

jm

jm

X m

jm

2

6

9

2

92

8

93

9

3

9

0 1 8

1

( )

sin( )

sin( )

( )

sin( )

sin( )

, , ,...,

( )

X m

m

mX m2 1

3

9

( )

sin( )

sin( )

( )

πλεπώο γηα ην θάζκα πιάηνπο ηζρύεη ην ίδην δηάγξακκα όπσο ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα (α).

3) Σν ζήκα x n3( ) είλαη ην ζήκα x n1( ) πνιιαπιαζηαζκέλν επί ην κηγαδηθό παξάγνληα ej

n2

3

(Γηακόξθσζε), δει. x n e x nj

n

3

2

31( ) ( ) . Έηζη από ηνλ πίλαθα ηδηνηήησλ ηνπ Γ.Μ.Φ.

(ζει.207) έρνπκε από ηελ ηξίηε ηδηόηεηα :

x n X m e x n X mj n

x n

1 1

2

93

1 1

3

3( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

Άξα :


X m X m e

m

m

jm

3 1

2 3

93

3

33

9

( ) ( )

sin(( )

)

sin(( )

)

( )

X m e

m

m

jm

3

2

9 3 3

9 3

( )

sin( )

sin()

)

( )

))3((8,...,2,1,0,

)39

sin(

)3

sin(

)( 13 mXmm

m

mX

0 1 2 3 4 6

m

|)m(X| 3

5 7 8

1

2

32,532

1,347

0,879

1,347

2,532


ΑΣΚΗΣΗ 51

Γίλεηαη ην ζύλζεην ζύζηεκα ηνπ επόκελνπ ζρήκαηνο :

x n( ) y n( )h n1( ) h n2 ( )

w n( )

κε :

w n x n x n( ) ( ) ( )2 3 1 θαη y n w n w n y n( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 .

α) Τπνινγίζηε, ρσξίο ηε ρξήζε ηνπ Μεηαζρεκαηηζκνύ Z , ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο, γηα 0 5n ,

ππνζέηνληαο κεδεληθέο αξρηθέο ζπλζήθεο.

β) Δπαιεζεύζηε ηα απνηειέζκαηα ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο, ππνινγίδνληαο κε θιεηζηή ζρέζε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, κε ρξήζε ηνπ κεη/ζκνύ Z . Δπηδξάζηε ζηελ επζηάζεηα ηνπ ζπζηήκαηνο κεηαβάιινληαο ηνπο θαηάιιεινπο ζπληειεζηέο.

γ) Αλ y( )1 1, ειέγμηε αλ ηα δύν ζπζηήκαηα είλαη αληηκεηαζέζηκα, δειαδή αλ

ε ελαιιαγή ζηε ζεηξά δηαδνρήο ησλ h1 θαη h 2 νδεγεί ζε ηζνδύλακν ζύζηεκα.

ΛΤΖ

α) Ολνκάδνπκε ηηο ζρέζεηο πνπ δίλνληαη :

w n x n x n( ) ( ) ( )2 3 1 (Α) θαη y n w n w n y n( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 (Β).

Από ηελ (Α) παίξλνπκε : )2n(x3)1n(x2)1n(w (Α1).

Οη (Β) θαη (Α1) δίλνπλ :

y n x n x n x n x n y n

w n w n

( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )

( ) ( )

2 3 1 2 2 1 3 2 2 1

1

y n x n x n x n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 4 1 6 2 2 1

y n x n x n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 7 1 6 2 2 1 (Β1).

Από ηελ ηειεπηαία ζρέζε έρνπκε :

h n n n n h n( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 7 1 6 2 2 1 (Β2).

Έηζη γηα 0 5n από ηελ (Β2) παίξλνπκε :

h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 7 1 6 2 2 1 2 0 21 0 0 0

.

h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 7 0 6 1 2 0 7 4 11 1 110 1 0 2

.

h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 7 1 6 0 2 1 6 22 28 2 280 0 1 11

.

h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 7 2 6 1 2 2 56 3 560 0 0 28

.

h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 7 3 6 2 2 3 112 4 1120 0 0 56

.


h h h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 5 7 4 6 3 2 4 224 5 2240 0 0 112

.

β) ηελ (Β1) εθαξκόδνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Z :

Y z X z z X z z X z z Y z( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 7 6 21 2 1

Y z z z z X z( ) [ ] [ ] ( )1 2 2 7 61 1 2

H zY z

X z

z z

z

z z

z z( )

( )

( ) ( )

2 7 6

1 2

2 7 6

2

1 2

1

2

H z

z

z z

z z

A

z

B

z

B

z

( )

( )

2 7 6

2 2

2

2

1 2

2

AH z

zz

z z

zAz z

( )( )| |2

2 7 6 2 4 7 2 6

47 72

2

2 2.

0z2

2

0z

2

0z

2

1 |)2z(

)6z7z2()2z()7z4(|

2z

6z7z2

dz

d|z

z

)z(H

dz

dB

5B54

20

4

16)2(7B 11

.

BH z

zz

z z

zBz z2

2

0

2

0 2

2 7 6

2

6

23 3

( )| | .

Δπνκέλσο ην ζύζηεκα έρεη ηε κνξθή :

H z Az

zB

B

z

z

z z( )

27

25

31

2

h n Z H z Zz

zZ Z z

n u n

n n

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1

2

1 1 1

1

72

5 1 3

h n u n n nn( ) ( ) ( ) ( )7 2 5 3 1 (Β3).

Δπαιήζεπζε :

h u h( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 7 2 0 5 0 3 1 7 5 2 0 20

1 1 0

.

h u h( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 7 2 1 5 1 3 0 14 3 11 1 111

1 0 1

.

h u h( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 7 2 2 5 2 3 1 28 2 282

1 0 0

.

h u h( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 2 3 5 3 3 2 56 3 563

1 0 0

.

h u h( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 7 2 4 5 4 3 3 112 4 1124

1 0 0

.

h u h( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 7 2 5 5 5 3 4 224 5 2245

1 0 0

.

-Πξνθαλώο ην ζύζηεκα είλαη αζηαζέο (πόινο ζην z 2 )


Γηα λα γίλεη επζηαζέο (θαηά BIBO ) πξέπεη ν ζπληειεζηήο ηνπ y n( )1 ζηε ζρέζε (Β1) λα

γίλεη απνιύησο κηθξόηεξνο ή ίζνο ηνπ 1 (Ηζνδύλακα ν πόινο λα κεηαθεξζεί από ηε ζέζε

z 2 ζε λέα ζέζε κέζα ή πάλσ ζην κνλαδηαίν θύθιν ).

γ) Γηα λα είλαη ηα δύν ζπζηήκαηα h1 θαη h 2

αληηκεηαζέζηκα πξέπεη θαη ηα δύν λα είλαη

“Γξακκηθά “ θαη “ Υξνληθά Αλαιινίσηα “ (Γ.Υ.Α.).

Σν ζύζηεκα h1 είλαη Γ.Υ.Α. ελώ ην h 2

δελ είλαη “Γξακκηθό “ αιιά “Γηαθνξηθά Γξακκηθό “

ιόγσ ηεο αξρηθήο ζπλζήθεο y( )1 1. (ει.132 ηνπ βηβιίνπ )

πλεπώο ηα δύν ζπζηήκαηα δελ είλαη αληηκεηαζέζηκα. Απηό κπνξεί λα ειεγρζεί θαη αξηζκεηηθά κε αξθεηνύο ηξόπνπο, όπσο :

Δμεηάδνπκε ηελ έμνδν ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή n 0 , γηα κεδεληθή

είζνδν, θαη γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο κεηάζεζεο ησλ h1 θαη h 2

. Έηζη έρνπκε :

i) h h1 2

x n( ) y n( )h n1( ) h n2( )

w n( )

n x w y y y0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 0 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

ii) h h2 1

x n( ) y n( )h n2( ) h n1( )

w n( )

n x w w y w y0 0 0 0 2 0 1 2 0 2 0 4 0 4

1 2

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Άξα ( ) ( )h h h h2 1 1 2 .


ΑΣΚΗΣΗ 52

Γίλνληαη δύν ζήκαηα πεπεξαζκέλνπ κήθνπο :

x n n u n u n1 4 4( ) ( )[ ( ) ( )]

x n n u n u n2 1 5 5( ) ( )[ ( ) ( )]

1. Δθθξάζηε θαη ππνινγίζηε ηε ζπλέιημε θαη ηε ζπζρέηηζε ησλ δύν ζεκάησλ ππό κνξθή γηλνκέλνπ πίλαθα επί δηάλπζκα.

2. Τπνζέζηε όηη ηα ζήκαηα έρνπλ πεξάζεη από θβαληηζηή ζηξνγγύιεπζεο 4 bits κε κε ζπκκεηξηθή αληηζηνίρεζε. ηε ζπλέρεηα ε ζπλέιημε ππνινγίδεηαη κε Ζ/Τ αξηζκεηηθήο θηλεηήο ππνδηαζηνιήο 64 bits κε 32 bits mantissa θαη 32 bits εθζέηε. Να ππνινγίζεηε ηελ ελέξγεηα ηνπ ζθάικαηνο ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλέιημεο.

ΛΥΣΗ

Γηα ηα δύν ζήκαηα έρνπκε :

x n1 0 14

12

34 0( ) ..., , , , , ,...

x n2 01 45

35

25

15 0( ) ..., , , , , , , ,...

0 1 2 3

4 6

n

x n1( )

5 7

-3/4

-1/2

-1/4

-1


0 1 2 3 4 6

n

x n2 ( )

5 7

2/5

3/5

4/5

1/5

1

1)

y n x x n x k x n k x x n x k x n kK K

K

K K

K

L

H

L

H

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1

όπνπ

K n

K n

K K

L

H

L H

max( , )

min( , )

0 3

4 1 θαη 1 7n . Έηζη γηα ην ( )( )x x n2 1 έρνπκε :

y

y

y

y

y

y

y

x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x

y n

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1

2

3

4

5

6

7

1 0 0 0 0

2 1 0 0 0

3 2 1 0 0

0 3 2 1 0

0 0 3 2 1

0 0 0 3 2

0 0 0 0 3

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1T

x n

x

x

x

x

x

x

1

2

2

2

2

2

2

0

1

2

3

4

.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

πνπ ζεκαίλεη :

y n T x nx( ) ( ).

1 2.

Αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο έρνπκε :

y

y

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

1

2

3

4

5

6

7

14 0 0 0 0

24

14 0 0 0

34

24

14 0 0

0 34

24

14 0

0 0 34

24

14

0 0 0 34

24

0 0 0 0 34

0

1

2

3

4

2

2

2

2

2 )

(1)


θαη y n n( ) , [ , ]0 17

πζρέηηζε :

r l x n x n lx xn N

N

L

H

1 2 2 1(l) ( ) ( )

όπνπ

HL

H

L

NN

)3,4min(N

)1,0max(N

l

l

θαη 33 l .

Έηζη έρνπκε γηα ηελ ζπζρέηηζε )(r)(r 21xx 21ll :

r

r

r

r

r

r

r

x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

r l

21

21

21

21

21

21

21

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

3

2

1

0

1

2

3

3 0 0 0 0

2 3 0 0 0

1 2 3 0 0

0 1 2 3 0

0 0 1 2 3

0 0 0 1

21

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1

1

2

2

2

2

22

0 0 0 0 1

0

1

2

3

4

1

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

.

( )x

x

x

x

x

x

T

x n

x

ήηνη :

r l T x nx21 21( ) ( ).

.

Αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο έρνπκε :

r

r

r

r

r

r

r

x

x

x

21

21

21

21

21

21

21

2

2

2

3

2

1

0

1

2

3

34 0 0 0 0

24

34 0 0 0

14

24

34 0 0

0 14

24

34 0

0 0 14

24

34

0 0 0 14

24

0 0 0 0 14

0

1

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

x

2

2

3

4

34

1110

1110

810

12

15

120

(2)

θαη ]3,3[,0)(11 llr .

2) ύκθσλα κε ηα δεδνκέλα ηα 16 (= 42 ) δηαζέζηκα θβαληηθά επίπεδα ζηελ πεξηνρή [-1,+1)

είλαη :

{0, 8

1 , 1,8

7,8

6,8

5,8

4,8

3,8

2 } ή

{0, 125.0 , 1,875.0,750.0,625.0,500.0,375.0,250.0 }

Οη ηηκέο ηνπ ζήκαηνο )(1 nx παξακέλνπλ ακεηάβιεηεο γηαηί αλήθνπλ ζε επηηξεπηά θβαληηθά

επίπεδα.


Οη ηηκέο ηνπ ζήκαηνο )(2 nx ζα ζηξνγγπινπνηεζνύλ ζηα πιεζηέζηεξα θβαληηθά επίπεδα, έηζη

ζα έρνπκε :

},0,8

2,

8

3,

8

5,

8

6,

8

7,{)(2 nx

ηε ζπλέρεηα ζεσξνύκε όηη νη πξάμεηο γίλνληαη κε άπεηξε αθξίβεηα γηαηί ν Ζ/Τ δηαζέηεη κήθνο ιέμεο 64 bits (32 bits mantissa θαη 32 bits εθζέηε) θαη εξγάδεηαη κε αξηζκεηηθή θηλεηήο

ππνδηαζηνιήο. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ζρέζε : )()( 2

.

1nxTny x

, ηηο λέεο ηηκέο γηα ην

)(2 nx (Μεηά ηελ θβάλησζε), έρνπκε :

)()( 2

.

1nxTny x

, ήηνη :

163

3213

3223

3231

1619

8532

7

82

83

85

86

87

430000

42

43000

41

42

4300

04

14

24

30

004

14

24

3

0004

14

2

00004

1

)7(

)6(

)5(

)4(

)3(

)2(

)1(

)(

)(

2

.

1

nx

Tny

x

y

y

y

y

y

y

y

(3)

Από ηελ ζεσξία μέξνπκε όηη ε ελέξγεηα ελόο ζήκαηνο, x(n), ππνινγίδεηαη από ηελ ζρέζε :

n

nxE2

)( . Δδώ ην ζήκα, x(n), είλαη ην ζθάικα ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο

: )()()( nynyne . Άξα :

7

1

27

1

2)()()(

nn

nynyneE .

Αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο από ηηο ζρέζεηο (1) θαη (3) θαη κεηά ηελ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ

παίξλνπκε : 022.0E .


ΑΣΚΗΣΗ 53

Γίλεηαη ην αηηηαηό ζύζηεκα κε ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ :

y n L x kk n L

n

( ) ( / ) ( )11

, L N .

α) Να βξεζεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο.

β) Αλ ε είζνδνο είλαη : x n n k Lk

( ) ( ) λα βξεζεί ε έμνδνο ηνπ

ζπζηήκαηνο.

ΛΤΖ α)

y n L x kL

x k x k h n k x h nk n L

n

k n L

n

k n L

n

( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * )( )( ) ( )

11

1 1 1

Άξα : h n Ln L

( ),

,

10 1

0

( ρέζε 4.6.19, ζει. 162 ηνπ βηβιίνπ )

πλεπώο, γηα ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηζρύεη ε αλάιπζε πνπ ππάξρεη ζηηο ζειίδεο 163, 164,

165 ηνπ βηβιίνπ. ρεδηάδνπκε ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο, H( ) , π.ρ. γηα L άξηην.

| ( )|H

2

L

4

L

| ( )| |sin( )

sin( )

|HL

L1 2

1

2

1

0 6

L

( )L

L

4 ( )L

L

2

| ( )| |

sin( )

sin( )

|HL

L

1 21

2

θαη Arg HL

ArgL

[ ( )]( )

[sin( )]1

2 2.


Arg H[ ( )]

2

L

4

L

Arg HL

ArgL

[ ( )]( )

[sin( )]1

2 2

0 6

L

( )L

L

4 ( )L

L

2

L

2

L

3 / L

( )L

L

3

( )L

L

1

( )L

L

2

2

β) Ζ είζνδνο είλαη : x n n k L x nn k L

k

( ) ( ) ( ),

,

1

0.

0 L 2L 3L

x n( )

n

1

-L-2L-3L

0 L-1

h n( )

n

1/L

Σόηε ε έμνδνο δίλεηαη από ηε ζρέζε : y n x h n x k h n kLk

( ) ( * )( ) ( ) ( )1

, n ,

όπσο εύθνια θαίλεηαη από ην πην πάλσ ζρεδηάγξακκα κεηά ηελ εθαξκνγή ησλ βαζηθώλ βεκάησλ ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο (ΑΝΑΚΛΑΖ / ΟΛΗΘΖΖ / ΠΟΛ/ΜΟ / ΠΡΟΘΔΖ ).

Β’ ηξόπνο : Σν ζήκα x n( ) είλαη πεξηνδηθό κε πεξίνδν L . Άξα ε ζπλέιημε ηνπ κε ην ζήκα

h n( ) ζα είλαη επίζεο πεξηνδηθό ζήκα κε ηελ ίδηα πεξίνδν. πλεπώο ππνινγίδνπκε ηελ

ζπλέιημε ζην δηάζηεκα [ , ]0 1L :

y n x h n x n h n n h n h n( ) ( * )( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) , n L[ , ]0 1 .

Άξα y nL

( )1

, n .


ΑΣΚΗΣΗ 54

ην θύθισκα ηνπ επόκελνπ ζρήκαηνο εθαξκόδεηαη ε είζνδνο )(tu i . Να

επξεζεί ην πνζνζηό ελέξγεηαο πνπ πεξηέρεηαη ζηηο δύν πξώηεο κε κεδεληθέο

αξκνληθέο ηνπ ζήκαηνο )(tuo ζε ζρέζε κε ηελ ελέξγεηα ηεο εηζόδνπ.

v ti ( ) v to ( )

R

C

+ +

- -

R 1

C F1

t

2

v ti( )

π π

ΛΤΖ

V ji ( )H j( )

V jo( )

)()()( jVjHjV io (α)

1

1

1

1

1

)(

)()(

Rcj

cjR

cj

jV

jVjH

i

o (β)

Σν ζήκα )(tu i είλαη ην εηθνληδόκελν ζην ζρήκα 3.1.3 ηνπ βηβιίνπ (ζει.114) κε Α=2, Σ=2π θαη

d=π. ( 10 ). πλεπώο νη ζπληειεζηέο Fourier ( mc ) δίδνληα από ηνλ ηύπν 3.1.33, ζει.115 :


)2

(sin)2

1(sin

2

2)

2(sin 0 m

cm

cdm

cT

Adcm

Οη δύν πξώηεο κε κεδεληθέο αξκνληθέο αληηζηνηρνύλ ζε m=1 θαη m=3. Έηζη, έρνπκε :

4

2

12

2

2sin

22 11 cA

3

4

2

3

12

2

32

3sin

22 33 cA

Άξα :

4

)1( 1AjVi θαη 3

4)3( 3AjVi (γ)

Από ηελ ζρέζε (β) έρσ :

2

2

11

1)1(

jjH ,

10

10

31

1)3(

jjH (δ)

Από ηελ ζρέζε (α) ζε ζπλδηαζκό κε ηηο ζρέζεηο (γ) θαη (δ) έρσ :

224

2

2)1()1()1( jVjHjV io

15

102

3

4

10

10)3()3()3( jVjHjV io

Τπνινγίδνπκε ηελ ελέξγεηα εηζόδνπ (ζρέζε 3.1.43, ζει.117) :

2]22

[2

42

1)(

1 2

2

2

2

2 dtdttxT

E

T

T

Ζ ελέξγεηα ησλ δύν πξώησλ κε κεδεληθώλ αξκνληθώλ ζηελ έμνδν είλαη :

4143.015

10222

2

1

2

)3()1(2222

3,1

jVjVE

oo

Άξα :

20715.02

4143.03,1

E

E ή 20.715%


ΑΣΚΗΣΗ 55 Έλαο ηεηξαγσληθόο παικόο έρεη δεηγκαηνιεπηεζεί όπσο ζην επόκελν ζρήκα :

0 1 2 3 4 5

1

x t( )

t6 7 8

TS

Να βξεζεί ε ζπρλόηεηα ηεο ηζρπξόηεξεο αξκνληθήο, κε ηελ ρξήζε ηνπ Γ.Μ.Φ. γηα N=10, αλ ε πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο TS , είλαη :

α) TS 0 01, sec , β) TS 01, sec θαη γ) TS 0 2, sec .

ΛΥΣΗ

ύκθσλα κε ηνλ νξηζκό, έρνπκε :

X m F x n x n ee e

e

e

eD

jmn

n

jm

jm

jm

jm

jm( ) ( ) ( )

1

2

10

0

4

2 4

10

2

10

2

10

2 5

10

2

10

1

1

1

1

e e e e

e e e e

e jm

e jm

e

jm

jm

jm

jm

jm

jm

jm

jm

jm

jm

j

2

10

5

2

2

10

5

2

2

10

5

2

2

10

5

2

2

10

1

2

2

10

1

2

2

10

1

2

2

10

1

2

2

10

5

2

2

10

1

2

222

10

5

2

22

10

1

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) sin( ( ))

( ) sin( ( ))

m

m

m5 2

10

sin( )

sin( )

Άξα : X m e

m

m

jm

( )

sin( )

sin( )

2

5 2

10

, m 012 9, , ,.., .

Ζ ηζρπξόηεξε αξκνληθή (όρη ην ζπλερέο ) είλαη απηή πνπ πξνθύπηεη γηα m 1 .

| ( )| |

sin( )

sin( )

| ,236X 12

10

3 .

Γηα λα βξνύκε ηε θπζηθή ζπρλόηεηα f1 πνπ αληηζηνηρεί ζην m 1 ζθεθηόκαζηε όηη :

m 1

1

1

1 1

1

1

2

10

2

102

1

10

mF F

f

ff T

S

S fTS

1

1

10


Γηα TS 0 01, sec είλαη fT

HzS

1 1

1

1

10

1

10 0 0110,

, , sec.

Γηα TS 01, sec είλαη fT

HzS

1 2

2

1

10

1

10 011,

, , sec.

Σέινο, γηα TS 0 2, sec είλαη fT

HzS

1 3

3

1

10

1

10 0 20 5,

, , sec, .


ΑΣΚΗΣΗ 56

Έλα ζύζηεκα πξνθύπηεη από ηελ ζε ζεηξά ζύλδεζε ησλ εμήο ζπζηεκάησλ :

)31(

5)( 11 zzH ,

1

2 1)( zzH , 31

2

3 )21()(

zzzH .

Πξνζδηνξίζαηε ηα ζπζηήκαηα πνπ πξέπεη λα ζπλδεζνύλ παξάιιεια γηα λα νδεγήζνπλ ζην ίδην απνηέιεζκα κε ηελ ζε ζεηξά ζύλδεζε.

ΛΥΣΗ

3

5)(1

z

zzH ,

z

zzH

1)(2 ,

33)2(

)(z

zzH

ε ζεηξά :

)(zH )(1 zH )(2 zH33

)2)(3(

)1(5)(

zz

zzzH

Πξνθαλώο ηα ζπζηήκαηα πνπ πξέπεη λα ζπλδεζενύλ παξάιιεια (θαη λα νδεγήζνπλ ζην ίδην απνηέιεζκα κε ηελ ελ ζεηξά ζύλδεζε) ζα πξνζδηνξηζζνύλ από ηελ αλάιπζε ηεο

)(zH ζε απιά θιάζκαηα.

3

3

2

21

3 )2()2(2)3()2)(3(

)1(5)(

z

B

z

B

z

B

z

A

zz

z

z

zH

1010)1(

)2(5

)23(

)13(5

)2(

)1(5)3(

)(33

3

3

3

Az

zz

z

zHA

zz

10

10)32(

10

)3(

10

)3(

)3(210

2

1

)3(

10

2

1

)3(

)1(5)3(5

2

1

)3(

)1(5

2

1)2(

)(

2

1

1

3

2

3

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

1

B

zz

z

zdz

d

z

zz

dz

d

z

z

dz

dz

z

zH

dz

dB

zzz

zzz

1010)32(

10

)3(

)1(5)2(

)(22

22

3

2 Bz

z

dz

dz

z

zH

dz

dB

zz

55)32(

)12(5

3

)1(5)2(

)(3

22

3

2 Bz

zz

z

zHB

zz

Άξα :

zHzHzHzH

z

z

z

z

z

z

z

z

z

zH

(

3

)(

2

)()( '4

'3

'2

'1

)2(

)5(

)2(

10

2

)10(

3

10)(

)('

1zH

131

110

z, )('

2 zH121

1)10(

z

)('

3 zH21

1

)21(10

z

z, )('

4 zH31

2

)21()5(

z

z


ΑΣΚΗΣΗ 57

Γίλνληαη δύν αηηηαηά ζήκαηα πεπεξαζκέλνπ κήθνπο (Ν=7) :

0,0,5,4,3,2,1)(1 nx θαη

x n2 1 1 1 1 0 0 0( ) , , , , , , .

α) Τπνινγίζηε ηελ θπθιηθή ζπλέιημε, ~( ) ( ) ( )y n x n x n1 2 ( 7 ζεκεία ), ησλ

δύν ζεκάησλ, πνπ δίλεηαη όηη είλαη πεξηνδηθά.

β) Τπνινγίζηε ηελ γξακκηθή ηνπο ζπλέιημε, y n x n x n( ) ( )* ( )1 2.

γ) Πώο εμεγείηαη ε ζύκπησζε πνιιώλ από ηηο ηηκέο ησλ δύν ζπλειίμεσλ ; Πώο ζα κπνξνύζακε λα ηξνπνπνηήζνπκε ηα ζήκαηα ώζηε ηα απνηειέζκαηα ησλ δύν ζπλειίμεσλ λα ζπκπίπηνπλ ;

ΛΥΣΗ

Δθαξκόδνληαο ηνλ νξηζκό, παίξλνπκε :

0 1 2 3 4 5

1

x n1( )

n6

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

1

x n2 ( )

n6

α)

~( ) ( ) ( )y n x n x n1 2

~( )

~( )~( )~( )~( )~( )~( )~( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

y n

y

y

y

y

y

y

y

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

0

1

2

3

4

5

6

0 6 5 4 3 2 1

1 0 6 5 4 3 2

2 1 0 6

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

5 4 3

3 2 1 0 6 5 4

4 3 2 1 0 6 5

5 4 3 2 1 0 6

6 5 4 3 2 1 ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )0

0

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

πνπ δίλεη :


~( )y n

1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 0 0 1 1

1 1 1 0 0 0 1

1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 1 1 1

1

2

3

4

5

0

0

1 5

1 2

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5

4 5

6

3

6

10

14

12

9

.

β) Σν ζήκα x n1( ) έρεη κήθνο N1 5 (κε κεδεληθά ζεκεία ).

Σν ζήκα x n2( ) έρεη κήθνο N2 4 ( >> >> >> ).

Άξα ε ζπλέιημε y n x n x n( ) ( )* ( )1 2 ζα έρεη κήθνο : N N N3 1 2 1 5 4 1 8 .

Τπνινγίδνπκε ηελ ζπλέιημε κε ηε κέζνδν ησλ δηαγσλίσλ.

x n2 ( )

x n1( ) x1 0( ) x1 1( ) x1 2( ) x1 3( ) x1 4( )

x2 0( )

x2 1( )

x2 2( )

x2 3( )

1

11

1

1

1

2 3 4 5

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

1

n 0

3

n 1

6

n 2

10

n 3

14

n 4

12

n 5

9

n 6

5

n 7 Δπνκέλσο, γξάθνπκε :

y n x n x n y y y y y y y yT

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2 3 4 5 6 7( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y nT

1 1 3 6 10 14 12 9 5( ) .

γ) Ζ ζύκπησζε πνιιώλ ηηκώλ ησλ δύν ζπλειίμεσλ εμεγείηαη από ηνλ ίδην ηνλ νξηζκό ηνπο. Αλ γξάςνπκε αλαιπηηθά ηηο ζρέζεηο ππνινγηζκνύ θαη γηα ηηο δύν ζπλειίμεηο ζα δηαπηζηώζνπκε όηη πνιινί ππνινγηζκνί είλαη θνηλνί. Δμάιινπ, αλ γξάςνπκε θαη ηηο δύν ζπλειίμεηο ππό ηε κνξθή πίλαθα επί δηάλπζκα ζα δνύκε όηη έλα ηκήκα ησλ πηλάθσλ είλαη θνηλό θαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο, κε απνηέιεζκα κεηά ηνπο ζρεηηθνύο ππνινγηζκνύο λα νδεγνύκαζηε ζε ίδηα απνηειέζκαηα.


Πξνθεηκέλνπ λα ηξνπνπνηήζνπκε ηα δύν ζήκαηα ώζηε ηα απνηειέζκαηα ησλ δύν ζπλειίμεσλ λα ζπκπίπηνπλ, ζθεπηόκαζηε σο εμήο : (Φπζηθά ε νπνηαδήπνηε ηξνπνπνίεζε αλαθέξεηαη ζην κήθνο ηνπ κεδεληθνύ ηκήκαηνο ηνπ ζήκαηνο ). Ζ γξακκηθή ζπλέιημε έρεη κήθνο ( κε κεδεληθό

ηκήκα ) N N1 2 1, δειαδή 5 4 1 8 . Αληίζηνηρα, ε θπθιηθή ζπλέιημε έρεη κήθνο όζν

ην κήθνο ηεο πεξηόδνπ ησλ δύν ζεκάησλ ( N 7 ). Πξνθεηκέλνπ ινηπόλ ηα απνηειέζκαηα ησλ δύν ζπλειίμεσλ λα ζπκπίπηνπλ, πξέπεη λα απμήζνπκε ηελ πεξίνδν ησλ δύν ζεκάησλ ζε ηέηνην κήθνο όζν ην κήθνο ηεο γξακκηθήο ζπλέιημεο. Απηό γίλεηαη κε ηελ πξνζζήθε κεδεληθώλ ζην ηέινο ησλ ζεκάησλ. Δδώ, αξθεί λα πξνζηεζεί από έλα κεδεληθό ζην ηέινο ησλ

x n x n1 2( ), ( ) ώζηε ε πεξίνδνο ηνπο λα γίλεη 8, όζν δειαδή ην κήθνο ηεο γξακκηθήο

ζπλέιημεο. Έηζη, ηα δύν ζήκαηα πιένλ ηα ζεσξνύκε κε κήθνο N 8 , σο εμήο :

x n1 1 2 3 4 5 0 0 0( ) , , , , , , , θαη

x n2 1 1 1 1 0 0 0 0( ) , , , , , , , .

Αλ δνθηκάζνπκε λα ππνινγίζνπκε μαλά ηηο δύν ζπλειίμεηο κε ηα ηξνπνπνηεκέλα ζήκαηα

x n1( ) θαη x n2( ) ζα δηαπηζηώζνπκε όηη ηα απνηειέζκαηα ζπκπίπηνπλ. Βέβαηα, ην

απνηέιεζκα ηεο γξακκηθήο ζπλέιημεο είλαη ην ίδην όπσο θαη πξνεγνπκέλσο επεηδή ην κε κεδεληθό θνκκάηη ησλ δύν ζεκάησλ δελ ηξνπνπνηήζεθε. Σν απνηέιεζκα ηεο θπθιηθήο ζπλέιημεο είλαη απηό πνπ ζα αιιάμεη θαη ζα ζπκπέζεη κε απηό ηεο γξακκηθήο ιόγσ αθξηβώο ηεο αιιαγήο ηνπ κήθνπο ηεο πεξηόδνπ ησλ δύν ζεκάησλ.


ΑΣΚΗΣΗ 58

Έλαο επεμεξγαζηήο ζα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα ππνινγίζεη ηνλ ΓΜΦ ελόο πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο. Μαο ελδηαθέξνπλ ζήκαηα κε ζπρλόηεηεο κέρξη 250 Hz. Δπηπιένλ είλαη απαξαίηεην νη ζπρλόηεηεο λα είλαη γλσζηέο θάζε 0.5 Hz,

ην πνιύ ( Hzs 5.0 ).

Να ππνινγηζηνύλ : α) Ζ κέγηζηε πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο,

β) max,sT , ην ειάρηζην ρξνληθό κήθνο ηνπ πιαηζίνπ αλάιπζεο,

γ) minT , θαζώο θαη ν αξηζκόο ησλ δεηγκάησλ ηνπ πιαηζίνπ, Ν.

Αλ απαηηεζεί ν αξηζκόο ησλ δεηγκάησλ Ν λα είλαη δύλακε ηνπ δύν (2) επαλαπξνζδηνξίζηε όζα από ηα πξνεγνύκελα κεγέζε ρξείαδεηαη ώζηε λα ηθαλνπνηνύληαη νη αξρηθέο απαηηήζεηο.

ΛΥΣΗ

HzHzf s 5.0,250 max,max

max2 ff s (Θεώξεκα ηνπ Shannon, ζρέζε 2.3.9β, ζει.39)

sec002.0sec500

1sec2502

1max,

1

ss

s

TTT

Ts

1 (ρέζε 5.2.14, ζει.210)

sec2sec2sec5.0

11min1

max,

min TTs

ssTN

1 (ρέζε 5.2.15, ζει.211)

1000100010sec102

sec2 3

3

max,

min NT

TN

s

ζεκεία

Αλ απαηηεζεί ην Ν λα είλαη δύλακε ηνπ 2 ηόηε εμεηάδνπκε ηελ πεξίπησζε 9

1 2512N θαη

10

2 21024N .

Αλ επηιέμνπκε ην 1N ηόηε παξαβηάδεηαη ε απαίηεζε Hzs 5.0 , δηόηη πιένλ

HzHz

N

f s

s 977.0512

500

1

(Ζ sf παξακέλεη ε ίδηα δηόηη ε αλώηεξε ζπρλόηεηα δελ

άιιαμε).

Δπηιέγνληαο ην 2N παξαηεξνύκε όηη πιένλ ηθαλνπνηείηαη απηή ε απαίηεζε δηόηη :

HzHzHz

N

f s

s 5.049.01024

500

1

Άξα : 10

2 21024NN

Σν max,sT παξακέλεη ην ίδην όπσο θαη πξνεγνπκέλσο γηαηί δελ ππάξρεη ιόγνο λα

ηξνπνπνηεζεί ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο min,sf . πλεπώο :

sec048.2sec048.2sec1021024 '

min

3

max,2

'

min TTNT s


ΑΣΚΗΣΗ 59

Θεσξνύκε ην FIR ζύζηεκα :

y n q x n kk

q

( ) ( / ) ( )10

1

(1)

Έλαο ηξόπνο πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ ζπζηήκαηνο κε πξόγξακκα Ζ/Τ ζπλίζηαηαη ζηνλ ππνινγηζκό ησλ ηηκώλ y n( ) , 0 n N , κε ρξήζε ηεο

πξνεγνύκελεο ζρέζεο (1).

α) Γείμηε όηη έλαο άιινο ηξόπνο πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ ίδηνπ ζπζηήκαηνο κπνξεί λα πξνθύςεη από ηε ζρέζε :

y n y n q x n x n q( ) ( ) ( / ) [ ( ) ( )]1 1 (2)

β) Γηαηίζεηαη έλαο επεμεξγαζηήο πνπ εξγάδεηαη κε αξηζκεηηθή ζηαζεξήο ππνδηαζηνιήο 16 bits θαη ρξόλνπο :

πξόζζεζεο : 200ns,

αθαίξεζεο : 200ns,

πνιιαπιαζηαζκνύ : 1κs,

δηαίξεζεο : 1κs,

ρξόλνο εθηέιεζεο ινηπώλ εληνιώλ (π.ρ. νιίζζεζε (SHIFT), απνζήθεπζε (STORE), ινγηθέο πξάμεηο (AND, OR, XOR…) θ.ι.π.) : 200ns.

Γηα q=5 κε πνηα από ηηο ζρέζεηο (1) θαη (2) ζα πξαγκαηνπνηήζεηε ην ζύζηεκα ώζηε απηό λα κπνξεί λα αληηκεησπίζεη ζήκαηα εηζόδνπ όζν ην δπλαηό πςειόηεξεο ζπρλόηεηαο ; Πνηα είλαη απηή ε ζπρλόηεηα ; Πνηα ζα κπνξνύζε λα είλαη απηή ε ζπρλόηεηα γηα q=8 ;

γ) πγθξίλεηε ηηο ζρέζεηο (1) θαη (2) κε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Z θαη ηεο έλλνηαο ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο.

ΛΥΣΗ

α) Γξάθνληαο αλαιπηηθά ην άζξνηζκα πνπ δίλεηαη γηα ηα y n( ) θαη y n( )1 έρνπκε:

y n q x n kq

x n x n x n qk

q

( ) ( / ) ( ) [ ( ) ( ) ... ( )]11

1 10

1

(Α)

y n q x n kq

x n x n x n qk

q

( ) ( / ) ( ) [ ( ) ( ) ... ( )]1 1 11

1 20

1

(Β)

Αθαηξνύκε από ηελ (Α) ηελ (Β) : y n y nq

x n x n q( ) ( ) [ ( ) ( )]11

y n y nq

x n x n q( ) ( ) [ ( ) ( )]11

(2)

β) Γηα q=5 από ηε ζρέζε (1) παίξλνπκε :

y n x n x n x n x n x n

DIVADD

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]1

51 2 3 4

14

Όπσο θαίλεηαη από ηελ πξνεγνύκελε ζρέζε έρνπκε κία δηαίξεζε θαη ηέζζεξηο πξνζζέζεηο.


Γη' απηό ν ρξόλνο πνπ απαηηείηαη γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ y n( ) είλαη :

T1

6 9 6 61 10 4 200 10 10 0 8 10 18sec sec sec , sec , sec/

Δπηπιένλ, από ηε ζρέζε (2) παίξλνπκε :

y n y n x n x n

DIVSUB

( ) ( ) [ ( ) ( )]11

55

11

.

ηελ πεξίπησζε απηή, έρνπκε κία δηαίξεζε, κία αθαίξεζε θαη κία πξόζζεζε. Άξα :

T2

6 9 91 10 200 10 200 10 14sec sec sec , sec/ .

Γηα λα κπνξεί λα αληηκεησπίζεη ην ζύζηεκα ζήκαηα εηζόδνπ όζν ην δπλαηό πςειόηεξεο

ζπρλόηεηαο πξέπεη ν ρξόλνο πνπ απαηηείηαη γηα λα ππνινγηζηεί έλα δείγκα εμόδνπ, y n( ) , λα

είλαη όζν ην δπλαηό κηθξόηεξνο. Έηζη επηιέγνπκε ηελ ζρέζε ππνινγηζκνύ (2) γηαηί απαηηεί ηνλ

κηθξόηεξν ρξόλν. πλεπώο, T TS 2 14, sec .

Από ην ζεώξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο έρνπκε :

ff

ff

TkHz

S

MAX

S

S2 2

1

2

1

2 1 4 103576, sec

.

Αλ q=8 ηόηε δελ απαηηείηαη δηαίξεζε αιιά ηξεηο (3) νιηζζήζεηο (SHIFTS) πξνο ηα δεμηά. Έηζη ν ρξόλνο ππνινγηζκνύ ελόο δείγκαηνο εμόδνπ γίλεηαη :

T

ADD SUB SHIFTS

2

9

1

9

1

9

3

200 10 200 10 3 200 10 1 sec sec sec sec

Δπνκέλσο, T T2 2 , άξα ην ζύζηεκα κπνξεί ηώξα λα αληηκεησπίζεη ζήκαηα εηζόδνπ κε

πςειόηεξε ζπρλόηεηα. Πξάγκαηη :

ff

TkHzMAX

S

S2

1

2

1

2 105006 sec

.

γ) Από ηελ (1) έρνπκε :

Y zq

z X z H zY z

X zH z

qz

q

z z

z

k

k

q

k

k

q q

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 1 1 1

10

1

1 10

1 1 1

1

H zq

z

z

q

1 1

1 1

1( )

Με βάζε ηε ζρέζε (2) παίξλνπκε :

Y z z Y zq

X z z X z Y z zq

z X zq q( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )[ ] [ ] ( )1 111

11

H zY z

X z q

z

z

q

2 1

1 1

1( )

( )

( ), νπόηε πξνέθπςε H z H z1 2( ) ( ) .

Έηζη, θαηαιήμακε ζε ίδηεο ζρέζεηο γηα ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο. Απηό όκσο ήηαλ αλακελόκελν γηαηί νη ζρέζεηο (1) θαη (2) είλαη δύν πξαγκαηνπνηήζεηο ηνπ ίδηνπ ζπζηήκαηνο θαη θπζηθά ζα νδεγνύλ ζε ίδηεο ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο.


ΑΣΚΗΣΗ 60

Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ έρεη ζπλάξηεζε κεηαθνξάο :

)4

1(

4)(

2

2

z

zzH

α) Τπνινγίζαηε ηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο, )(ny , αλ ε είζνδνο είλαη ην ζήκα

κνλαδηαίαο θιίζεο, )(nur .

β) Δπαιεζεύζηε ηα απνηειέζκαηα ηνπ πξνεγνύκελνπ αλαιπηηθνύ ππνινγηζκνύ βξίζθνληαο ηηο 4 πξώηεο ηηκέο ηεο εμόδνπ κε ηελ κέζνδν ηεο αηέξκνλεο δηαίξεζεο (Long division).

ΛΥΣΗ

α)

u nr ( )

U zr ( )H z( )

y n( )

Y z( )

)()()( zUzHzY r

1,)1(

)()()(2

zz

znunnuzU rr ZZ (πίλαθαο 5.1.1, ζρέζε 3, ζει.179)

2

3

22

2

)1)(2

1)(2

1(

4

)1()4

1(

4)(

zzz

z

z

z

z

zzY

Αλαιύνπκε ηελ )(zY ζε απιά θιάζκαηα :

2

2121

2

2

)1()1()2

1()2

1()1)(2

1)(2

1(

4)(

z

B

z

B

z

A

z

A

zzz

z

z

zY

44

411

414

)1)(2

1(

4)

21(

)(1

21

2

2

21

1 Azz

zz

z

zYA

zz

9

4

9

4

49)1(

414

)1)(2

1(

4)

21(

)(2

21

2

2

21

2 Azz

zz

z

zYA

zz

9

32

9

32

169

84

38

)4

1(

)2(4)4

1(8

41

4)1(

)(

)!12(

1

1

1

22

22

1

2

2

1

2

12

12

1

Bz

zzzz

z

z

dz

dz

z

zY

dz

dB

z

zz


3

16

3

16

43

4

41

4)1(

)(

)!22(

12

1

2

2

1

2

22

22

2 Bz

zz

z

zY

dz

dB

zz

Άξα :2)1(3

16

19

32

)2

1(9

4

)2

1(4)(

z

z

z

z

z

z

z

zzY

)()( zYny -1Z

])1(

[3

16]

1[

9

32]

)2

1([

9

4]

)2

1([4)(

2z

z

z

z

z

z

z

zny 1-1-1-1- ZZZZ

u(n)ny(n)

u(n)nu(n)u(n)u(n)y(n)

nn

nn

]3

16

9

32

2

1

9

4

2

14[

3

16

9

32

2

1

9

4

2

14

β)

000]03

16

9

32

2

1

9

4

2

1400

00

)y([)y(n

4y(1)4]3

16

9

32

9

2[21]

3

16

9

321

2

1

9

41

2

1[4y(1)1n

8y(2)8]3

32

9

32

9

1[12]

3

16

9

32

2

1

9

4

2

1[4y(2)2n

22

13)3y(13]169

32

18

1

2

1[]3

3

16

9

32

2

1

9

4

2

1[4)3y(3n

33

Δπαιεζεύσ απηέο ηηο ηηκέο κε ηελ κέζνδν ηεο αηέξκνλεο δηαίξεζεο (Long division) :

4 3z

4 8 3 23 2 1z z z z

z z z z4 3 223

4

1

2

1

4

0 4 8 131 2 3z z z ...

8 16 6 4 22 1 2z z z z

1 3 8 3 21 2z z z

1 3 2 63 9

4

1 3

2

1 3

4

1 2 3z z z z

θ.ν.θ.

y ( )0 0

y ( )1 4

y ( )2 8

y ( )3 1 3...

Δπνκέλσο, επαιεζεύζακε ηηο ηηκέο γηα ην )(ny πνπ πξνζδηνξίζακε πξνεγνπκέλσο κε ηελ

κέζνδν αλάιπζεο ζε απιά θιάζκαηα θαη αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκό Ε.


ΑΣΚΗΣΗ 61

Γείμηε όηη ν ΓΜΦ ηνπ κνλαδηαίνπ παικνύ, ( )n , είλαη κία ζηαζεξά αλεμάξηεηε

από ηνλ αξηζκό ησλ κεδεληθώλ πνπ αθνινπζνύλ ηνλ παικό κέζα ζην παξάζπξν αλάιπζεο κήθνπο Ν.

Δπίζεο δείμηε όηη ν ΓΜΦ ελόο ζηαζεξνύ ζήκαηνο ζην παξάζπξν αλάιπζεο κήθνπο Ν (δειαδή x n A( ) γηα 0 1n N ) πεξηέρεη κία κόλν ζπρλόηεηα.

Πσο εμεγείηε ηνλ πξνεγνύκελν δπτζκό ;

ΛΥΣΗ

Δθαξκόδνπκε ηνλ νξηζκό ηνπ δηαθξηηνύ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier :

α) x n n X m F n n e ej

n m

N

n

Nj

m

N1 1

2

0

1 20

1 1( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )

πνπ ηζρύνπλ m N[ , ]0 1 θαη N 1.

β)

x n A u n u n N X m F A u n u n N

A e A N mj

n m

N

n

N

2 2

2

0

1

1

( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ( ) ( ))]

( )

Ζ ηειεπηαία ζρέζε πξνθύπηεη κε βάζε ηελ παξαηήξεζε :

em

N m

jm n

N

n

N 2

0

1 0 0

0

,

,

Ο παξαηεξνύκελνο δπτζκόο ζηηο πην πάλσ πεξηπηώζεηο είλαη εύθνιν λα εμεγεζεί από ηελ πιεπξά ηεο θπζηθήο ζεκαζίαο αλ αλαηξέμνπκε ζηα αληίζηνηρα αλαινγηθά ζήκαηα.

Πξάγκαηη ην ζήκα ( )t "πεξηέρεη" όιεο ηηο ζπρλόηεηεο, κε ζηαζεξό πιάηνο, θαη αληίζηνηρα ην

ζήκα ( )n ζην παξάζπξν αλάιπζεο [ , ]0 1N δίλεη ζηαζεξό ζήκα γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ m.

Αληίζηνηρα ην ζπλερέο (ζηαζεξό) ζήκα πεξηέρεη κία θαη κόλν ζπρλόηεηα : ηε κεδεληθή.

Οκνίσο ην ζηαζεξό ζήκα ζην παξάζπξν αλάιπζεο [ , ]0 1N δίλεη αλαιπόκελν κε κεδεληθή

ηηκή κόλν γηα m=0. Από καζεκαηηθή ζθνπηά, επηπιένλ, κπνξνύκε λα πνύκε όηη ηα δύν πεδία ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier είλαη ηειείσο "ζπκκεηξηθά", δειαδή "αξρέηππα'' θαη ''εηθόλεο''

ελαιιάζζνληαη. Έηζη ην ( )n ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ δίλεη ζηαζεξό ζήκα ζην πεδίν ηεο

ζπρλόηεηαο θαη ζπκκεηξηθά ην ζηαζεξό ζήκα ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζα δίλεη ( )m ζην πεδίν

ηεο ζπρλόηεηαο.


ΑΣΚΗΣΗ 62

Θεσξνύκε ηελ ζύλδεζε ησλ Γ.Φ.Α ζπζηεκάησλ κε απόθξηζε κνλαδηαίνπ

παικνύ )5,4,3,2,1()( inhi όπσο ζην επόκελν ζρήκα :

+

+x n( ) y n( )

h n1( )

h n2 ( )

h n3( ) h n4 ( )

h n5 ( )

+

-+

+

α) Να πξνζδηνξηζηεί ε νιηθή απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, )(nh , ζαλ

ζπλάξηεζε ησλ απνθξίζεσλ )5,4,3,2,1()( inhi ησλ επηκέξνπο

ζπζηεκάησλ. β) Να ππνινγηζζεί ε )(nh , ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, αλ :

)]3()([2

14)(1 nununhn

)()1()()( 32 nunnhnh

)1()(4 nnh

)3(4)()(5 nnnh

γ) Να ππνινγηζζεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο αλ ε είζνδνο, )(nx , είλαη ην ζήκα :

)]3()([2

cos)( nununnx

δ) Δπαιεζεύζηε ηα απνηειέζκαηα ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο κε ηελ ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε

ΛΥΣΗ α)

5,4,3,2,1,)()( inhnh if

)()()()()()( 43215 nhnhnhnhnhnh

β)

)]3()([

214)(1 nununh

n

)()1()()( 32 nunnhnh

)1()(4 nnh

)3(4)()(5 nnnh


)1()1()11()1()()1()()( 43 nunnunnnunnhnh

)()1()()1()()()( 432 nununnunnhnhnh

n

k

kn

k

kn

nunununununhnhnhnh30

4321 )3(2

14)(2

14)()]3()([2

14)()()()(

n

0k

kn

0k

k

43215 )3n(u)2

1(4)n(u)

2

1(4)3n(4)n()]n(h*)n(h)n(h[*)n(h)n(h)n(h

)3n(4)2n(u7)1n(6)n(5)2n(u7)1n(6)n(4)3n(4)n(

γ)

)2()()]3()([2

cos)( nnnununnx

)4()2(7)5(4)3(10)2(5)1(6)(5

)5(4)4(7)3(6)2(5)3(4)2(7)1(6)(5

)2()()]3(4)2(7)1(6)(5[)()()(

nununnnnn

nnunnnnunn

nnnnunnnxnhny

0 1 2

3

4 5-1-2

6

5

y n( )

n6 7 8

-3

24

δ) 223

)1(

)1(

1)1()()(()()1()(

z

zzz

z

z

z

znununnunzH ZZ

22

1

243)1()1(

11

)1(

)1()()(

z

z

z

zz

z

zzzzHzH

1)1(

)1(

)1()1(

)1()()()(

222432z

z

z

zz

z

z

z

zzzzHzHzH

21

1 24)( zzzH )()()()( 4321 zHzHzHzH

1z

z7z64

1z

z2z4

1z

z)zz24(

11

121

31

1

54321 411

764)()()()()()( zz

zzzHzHzHzHzHzH


17

17410565

174654

1765

141

765)()()(

425321

35323

11

231

1

z

zz

z

zzzzzz

z

zzzzz

z

zz

zzz

zzzXzHzY

)4()2(7)5(4)3(10)2(5)1(6)(5)()( nununnnnnzYny -1Z


ΑΣΚΗΣΗ 63

Ζ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ελόο ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε :

||2/,0

2/||,1)(H

α) Να βξεζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Να

ζρεδηαζηνύλ νη ηηκέο ηεο γηα | |n 6 .

β) Σηελ είζνδν ηνπ ζπζηήκαηνο ζέηνπκε δηαδνρηθά ηα ζήκαηα :

x n u nn

1

1

2( ) ( ) ( ) θαη x n u nn

2

1

2( ) ( ) ( ) . Αλ κε a1

θαη a2 ζπκβνιίζνπκε ην

πνζνζηό ελέξγεηαο ζηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ηελ ελέξγεηα εηζόδνπ, γηα ηα δύν ζήκαηα εηζόδνπ αληίζηνηρα, πνην από ηα a1

, a2 είλαη

κεγαιύηεξν ; Γηθαηνινγείζηε επαξθώο ηελ απάληεζή ζαο.

ΛΥΣΗ

Δθαξκόδνπκε ηνλ νξηζκό ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier :

α)

h n H e d e djn

d ejn

ej n j n j njn

jn

( ) ( ) ( ) ( ) [e ]/

/

/

/1

2

1

2

1

2

1 1

22

2

2

2

2 2

ή h nn

e e

j n

nc

njn

jn

( )[ ]

sin( ) sin ( )1

2

1

2

1

2 2

2 2

0 1 2

3

4 5-1-2

h n( )

6

-3

1/2

-6

-1/3π

-5 -4

n

1/π

1/5π

7-7


β) Βξίζθνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier ησλ δύν ζεκάησλ :

x n u n X F x n e en n j n

n

j n

n1 1 1

0 0

1

2

1

2

1

2( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

X

e

Xj

1 1

1

11

2

1

1 25( ) | ( )|

, cos.

Οκνίσο πξνθύπηεη : | ( )|, cos

X2

1

1 25

0 π

| ( )|X

2π

0,67

2

0,89

| ( )|X 1

| ( )|X 2

Πξνθαλώο a a2 1, γηαηί ην ζήκα x n2( ) έρεη "ζπγθεληξσκέλε'' ηελ πεξηζζόηεξε ελέξγεηά ηνπ

ζηελ πεξηνρή δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ ηνπ ζπζηήκαηνο [ , / ]0 2 ζε αληίζεζε κε ην ζήκα

x n1( ) πνπ έρεη ''ζπγθεληξσκέλε" ηελ πεξηζζόηεξε ελέξγεηά ηνπ έμσ από απηή ηελ πεξηνρή.


ΑΣΚΗΣΗ 64

Θεσξνύκε ην πεξηνδηθό ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ :

0),600cos()200cos()( BAtBtAtx ,

ην νπνίν δεηγκαηνιεπηνύκε κε ζπρλόηεηα Hzf s 1000 .

α) Τν πξνθύπηνλ ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ, )(nx , είλαη πεξηνδηθό ;

β) Να πξνζδηνξηζζεί ην θάζκα πιάηνπο, )(mX , ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο

)(nx , κε ρξήζε ηνπ Γηαθξηηνύ Μεηαζρεκαηηζκνύ Φνπξηέ (Γ.Μ.Φ.).

ΛΥΣΗ α)

10)10

6cos()10

2cos()6.0cos()2.0cos(

)1

600cos()1

200cos()600cos()200cos()()(

Nn

Bn

AnTBnA

fnB

fnAnTBnTA

nTttxnx

s

ss

ss

s

β)

10

6

10

6

10

2

10

2

2222)(

nj

nj

nj

nj

eB

eB

eA

eA

nx

)3(102

)3(102

)1(102

)1(102

22

2222

22)()()(

9

0

)3(10

29

0

)3(10

2

9

0

)1(10

29

0

)1(10

2

10

29

0

10

6

10

29

0

10

6

10

29

0

10

2

10

29

0

10

221

0

mB

mB

mA

mA

eB

eB

eA

eA

eeB

eeB

eeA

eeA

enxnxmX

n

mn

j

n

mn

j

n

mn

j

n

mn

jnmj

n

njnmj

n

nj

nmj

n

njnmj

n

njnm

NjN

n

F

Καη ιόγσ ηεο άξηηαο ζπκκεηξίαο ησλ πιαηώλ πνπ ζηνλ ΓΜΦ εθθξάδεηαη ζαλ :

)()( mNXmX

έρνπκε : )7(5)3(5)9(5)1(5)( mBmBmAmAmX

0 1 2 3 4 6

m

| ( )|X m

5 7 8

5Α

9

5Β

5Α

5Β

fs / 2

100 200 300400 f Hz( )900


ΑΣΚΗΣΗ 65

Θεσξνύκε έλαλ ηξαπεδηθό ινγαξηαζκό ηακηεπηεξίνπ κε εηήζην επηηόθην 20%, εμακεληαίν αλαηνθηζκό, ζηαζεξέο θαηαζέζεηο 10.000δξρ. ζηελ αξρή θάζε εμακήλνπ, ρσξίο ηε δπλαηόηεηα ελδηάκεζσλ αλαιήςεσλ.

α) Να βξεζεί ε ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ ηνπ πην πάλσ νηθνλνκηθνύ ζπζηήκαηνο θαζώο θαη ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ.

β) Αλ ππνζέζνπκε όηη ν ινγαξηαζκόο "αλνίρηεθε'' ηελ εκέξα γέλλεζεο ελόο παηδηνύ, πνην ζα είλαη ην πνζό πνπ ζα έρεη ν ινγαξηαζκόο ακέζσο κεηά ηελ ζπκπιήξσζε ηνπ 18νπ, ηνπ 25νπ θαη ηνπ 40νπ έηνπο ηνπ αληίζηνηρα ;

Δπαλαιάβεηε ηνλ πξνεγνύκελν ππνινγηζκό γηα ηελ πεξίπησζε πνπ είρακε κία κόλν αξρηθή θαηάζεζε 10.000δξρ. κε ηνπο ππόινηπνπο όξνπο ακεηάβιεηνπο. (Ζ επίιπζε λα γίλεη κε ρξήζε κεζνδνινγηώλ από ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο Z).

ΛΥΣΗ

α)

x n( )+

y n( )

1 1,z 1

+

+

Τν παξαπάλσ ζύζηεκα πεξηγξάθεη ην νηθνλνκηθό ζύζηεκα πνπ δόζεθε. Δπνκέλσο γξάθνπκε :

y n y n x n( ) , ( ) ( )11 1 κε x n u n( ) ( )104.

Δθαξκόδνληαο ην κεηαζρεκαηηζκό Z παίξλνπκε :

Y z z Y z X z Y z z X z( ) , ( ) ( ) ( )[ , ] ( )11 1 111 1

ή H zY z

X z z

z

z( )

( )

( ) , ,

1

1 11 111 .

β) Αληηθαζηζηνύκε ζηελ ηειεπηαία ζρέζε ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο ηε ζρέζε

X z Z x nz

z( ) ( ) 10

1

4 :

Y z H z X zz

z

z

z

Y z

z

z

z z( ) ( ) ( )

,

( )

( , )( )1110

110

11 1

4 4


Αλαιύνπκε ζε απιά θιάζκαηα :Y z

z

A

z

B

z

( )

,11 1 νπόηε :

AY z

zz

z

( )( , )

( , )

,( , )

,11

10 11

0110 11

1 1

4

5 θαη

BY z

zz

z

( )( )

,1

10

0110

1

4

5.

Δπνκέλσο :

Y zz

z

z

zy n Z Y z y n u n u nn( ) ( , )

,( ) ( ) ( ) , ( , ) ( ) ( )11 10

1110

111 10 11 105 5 1 5 5

y n u nn( ) [( , ) ] ( )10 11 15 1.

Πξάγκαηη, γηα n 0 y( ) [ , ]0 10 11 1 105 4 (1ε θαηάζεζε ) θ.ι.π.

Γηα n 36 2 18( ) y( ) [( , ) ] . . .36 10 11 1 3300 4305 37

Γηα n 50 2 25( ) y( ) [( , ) ] . . .50 10 11 1 128131005 51

Τέινο γηα n 80 2 40( ) έρνπκε y( ) [( , ) ] . . .80 10 11 1 2252280005 81!!!

Σε πεξίπησζε πνπ έρνπκε κόλν κία αξρηθή θαηάζεζε 10.000δξρ., ε είζνδνο

γίλεηαη :

x n n( ) ( )104 θαη X z( ) 104

.

Άξα : Y z H z X zz

z( ) ( ) ( )

,11104

y n u nn( ) ( , ) ( )10 114.

Έηζη αληίζηνηρα έρνπκε :

y ( ) ( , ) . .36 10 11 3091304 36

y ( ) ( , ) . . .50 10 11 11739204 50

y ( ) ( , ) . . .80 10 11 20 484 4004 80


ΑΣΚΗΣΗ 66

Όπσο ε ζπλέιημε, έηζη θαη ε εηεξνζπζρέηηζε θαη ε απηνζπζρέηηζε, κπνξνύλ λα εθθξαζζνύλ ζαλ γηλόκελα πνιπσλύκσλ. α) Γώζηε ηηο εθθξάζεηο απηέο θαη ππνινγίζαηε ηα θαηάιιεια πνιπώλπκα. β) Δπαιεζεύζηε ηα απνηειέζκαηα ζαο ππνινγίδνληαο ηελ απηνζπζρέηηζε ηνπ ζήκαηνο :

)]5()([)1()( nununx n.

ΛΥΣΗ

α) Από ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη ζα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο :

lnnynxlmymxlr

m

xy )()()()()( (1.α.1)

(ζει.89, ζρέζε 2.7.14) θαη θαη’αλαινγία :

lnnxnxlmxmxlr

m

xx )()()()()( (1.α.2)

Δθαξκόδνληαο ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Ε ζηηο ζρέζεηο (1.α.1) θαη (1.α.2), θαη βάζεη ηεο ηδηόηεηαο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ λα κεηαηξεπεί ηελ ζπλέιημε ζε γηλόκελν, έρνπκε :

)()()()()()(1

zYzXzRln

nynxlr xyxy ZZ (1.α.3)

θαη νκνίσο :

)()()()()()(1

zXzXzRln

nxnxlr xxxx ZZ (1.α.4)

Έρνπκε ινηπόλ σο κηα κνξθή απόδεημεο ησλ παξαπάλσ ηα εμήο :

)()()()()( zRlrlmymxlr xyxy

m

xy Z

l

l

nl

l

lr

n

xy zlnynxzlnynxzR

xy

)()()()()(

)(

(1)

Αλ : nklkln ,θαη kl

Άξα :

(1)

)(

1

)( 1

)()()()()()(

zY

k

k

zX

n

n

k

nk

n

xy zkyznxzkynxzR

Άξα :

)()()( 1zYzXzRxy ,

θαη θαη’επέθηαζε :

)()()( 1zXzXzRxx

Έηζη πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε ηελ εηεξνζπζρέηηζε κεηαζρεκαηίδνπκε θαηά Ε θαη ηα δύν

ζήκαηα )(nx θαη )(ny , δειαδή δεκηνπξγνύκε ηα πνιπώλπκα )(zX θαη )(zY αληίζηνηρα, θαη


θαηόπηλ ζην δεύηεξν πνιπώλπκν )(zY αληηθαζηζηνύκε ην z κε ην 1z . Σηε ζπλέρεηα, ε

δηαδηθαζία είλαη ίδηα κε ηελ αληίζηνηρε ηεο ζπλέιημεο (δειαδή ν πνιιαπιαζηαζκόο ησλ δύν πνιπσλύκσλ, αλαγσγή νκνβάζκησλ όξσλ). Ο εθζέηεο ηνπ z δείρλεη ηελ ηηκή ηεο θαζπζηέξεζεο, (lag)(-l), ν δε αληίζηνηρνο ζπληειεζηήο ηελ ηηκή ηεο εηεξνζπζρέηηζεο ζ’απηή ηελ ζέζε. Τειείσο αλάινγα ζπκβαίλνπλ θαη ζηνλ ππνινγηζκό ηεο απηνζπζρέηηζεο. Έηζη, ελδεηθηηθά, κπνξνύκε λα γξάςνπκε :

Έζησ : 21 )2()1()0()()2(),1(),0()( zxzxxzXxxxnxZ

1121 )1()0()()2()1()0()()2(),1(),0()( zyyzYzyzyyzYyyynyZ

210

)(

1

)(

211

)0()2()]1()2()0()1([)]1()1()0()0([)1()0(

)1()0()2()1()0()()()(1

zyxzyxyxzyxyxzyx

zyyzxzxxzYzXzR

zYzX

xy

)1()1()0()0()0(),1()0()1( yxyxryxr xyxy

)0()2()2(),1()2()0()1()1( yxryxyxr xyxy

Αληίζηνηρα, κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηνπο ζπληειεζηέο ησλ πνιπσλύκσλ )(zX )( 1zX

θαη )(zY )( 1zY γηα ηελ απηνζπζρέηηζε.

β)

)]5()([)1()( nununx n

0

1

2

3

4 5-1-2

1

n

x n( )

-1

6

Υπνινγίδνληαο ηηο ηηκέο ηεο απηνζπζρέηηζεο )(lrxx κε ηελ κέζνδν ηνπ

πνιιαπιαζηαζκνύ πίλαθα κε δηάλπζκα θαη θάλνληαο ρξήζε ηεο ηδηόηεηαο ηεο άξηηαο ζπκκεηξίαο ηεο αθνινπζίαο ηηκώλ, έρνπκε :

1

2

3

4

5

1

1

1

1

1

10000

11000

11100

11110

11111

)4(

)3(

)2(

)1(

)0(

)0(0000

)1()0(000

)2()1()0(00

)3()2()1()0(0

)4()3()2()1()0(

)4()4(

)3()3(

)2()2(

)1()1(

)0(

x

x

x

x

x

x

xx

xxx

xxxx

xxxxx

rr

rr

rr

rr

r

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx


Σηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηελ απηνζπζρέηηζε κε ηελ πνιπσλπκηθή κέζνδν πνπ αλαπηύμακε πξνεγνπκέλσο :

)()( zXzRxx )( 1zX

43214321 1)(1)( zzzzzXzzzzzX

)(zRxx

4324321 11 zzzzzzzz

4321234 2345432 zzzzzzzz

Άξα :

2)3()3(,1)4()4( xxxxxxxx rrrr

5)0(,4)1()1(,3)2()2( xxxxxxxxxx rrrrr

0

1

2

3

4 5

-1

-2

r lxx ( )

6

-31

5

4

-6-1

-3

-4

-5 -4

l

3

2

-2


ΑΣΚΗΣΗ 67

Έλα FIR ζύζηεκα (θίιηξν) έρεη "ζπκκεηξηθνύο" ζπληειεζηέο, δειαδή ηζρύεη ε ζρέζε :

b bJ

όπνπ b : ην δηάλπζκα ζπληειεζηώλ ηνπ ζπζηήκαηνο (θίιηξνπ),

θαη J : ν ηειεζηήο αλάθιαζεο.

Γείμηε όηη ε ραξαθηεξηζηηθή θάζεο ελόο ηέηνηνπ θίιηξνπ είλαη θζίλνπζα γξακκηθή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, , κε εμαίξεζε έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ζεκείσλ ζηα νπνία πξαγκαηνπνηνύληαη άικαηα θαηά ή 2 . Τα

άικαηα θαηά 2 είλαη αλαγθαία γηα λα δηαηεξεζεί ε θάζε ζην δηάζηεκα

[ , ].

Σρεδηάζηε ελδεηθηηθά ηελ ραξαθηεξηζηηθή θάζεο ελόο ηέηνηνπ FIR θίιηξνπ.

ΛΥΣΗ

Από ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη ην FIR ζύζηεκα πεξηγξάθεηαη από ηελ ζρέζε :

y n b x n kkk

N

( ) ( )0

Δπνκέλσο, αλ ε είζνδνο είλαη x n n( ) ( ) ηόηε h k bk( ) (ζρέζε 2.1).

Άξα ε αθνινπζία bn είλαη ε αθνινπζία ηηκώλ ηεο απόθξηζεο κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) ,

ηνπ ζπζηήκαηνο. Δπίζεο δίλεηαη όηη b bJ , όπνπ :

b

b

b

b

bN N

0

1

2

1 1

( )

ην δηάλπζκα ζπληειεζηώλ ηνπ ζπζηήκαηνο,

)1N()1N(0001

01

01

010

100

J ν ηειεζηήο αλάθιαζεο.

Αληηθαζηζηνύκε ηνπο πίλαθεο απηνύο ζηε δνζείζα ζρέζε :

0

1

1N

N

N

2

1

0

N

2

1

0

b

b

b

b

b

b

b

b

0001

01

01

010

100

b

b

b

b

bJb

Άξα : b bN0 , b bN1 1 , b bN2 2 θ.ν.θ. (ζρέζε 2.2).


Σηε ζπλέρεηα πξνζδηνξίδνπκε ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο (θίιηξνπ) ιακβάλνληαο ππόςε ηηο ζρέζεηο (2.1) θαη (2.2).

H h i e b e

b b e b e b e b e b e

b b e b e b e b e b e

j i

ii

j i

i

N

j j j

N

j N

N

jN

N

jN j

N

j N j

N

j N

( ) ( )

...

[ ] [ ] [

( )

( ) (

0

0 1 2

2

3

3

1

1

0 1 1

1

2

2

2

2)

/] .. *b eN

jN

22

Σεκείσζε : Ο όξνο πνπ ζεκεηώλεηαη κε ην αζηεξάθη (δειαδή ν b eN

jN

/22 ) ππάξρεη κόλν

γηα N k2 (άξηην).

A

2/N2102

Nj

2

Nj

2/N

2

4Nj

2

4Nj

2

Nj

22

2Nj

2

2Nj

2

Nj

12

Nj

2

Nj

2

Nj

0

*]b2

1..)

2

4Ncos(b)

2

2Ncos(b)

2

Ncos(b[e2

e*b..

]ee[eb]ee[eb]ee[eb)(H

Άξα : ( ) ( ( ))Arg H Arg e Arg AjN

2 2 ή

( ), [ ]

, [ ]

NA

NA

20

20

.

Ζ πξνεγνύκελε ζρέζε γηα ηελ ραξαθηεξηζηηθή θάζεο, ( ) , δείρλεη όηη πξάγκαηη είλαη

θζίλνπζα γξακκηθή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο . Τα άικαηα θαηά πξαγκαηνπνηνύληαη

όηαλ ε παξάζηαζε κέζα ζηελ αγθύιε, [ ]A ,αιιάμεη πξόζεκν. Τα άικαηα θαηά 2 γίλνληαη γηα

λα δηαηεξείηαη ε θάζε ζην δηάζηεκα [ , ].

Δλδεηθηηθά παίξλνπκε γηα N 5 ηα απνηειέζκαηα b b0 5 1, b b1 4 2 ,

b b2 3 3 .

Τόηε ( ) cos( ) cos( ) cos( )5

2

5

22

3

23

1

2Arg .


π

( )

2π/5

π

3π/4

-π/4

-π

π/20

3π/2

Άικα θαηά π (Αιιαγή πξνζήκνπ)

Άικα θαηά 2π

2π

θ.ν.θ.


ΑΣΚΗΣΗ 68

Έζησ ηα Γ.Φ.Α ζπζηήκαηα Α, Β θαη Γ, πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ ζρέζεηο εηζόδνπ-εμόδνπ :

Α : )()1()(01

nxbnyany

Β : )1()()1()( 101 nxbnxbnyany

Γ : )2()1()()1()(2101

nxbnxbnxbnyany

Υπνζέηνπκε κεδεληθέο αξρηθέο ζπλζήθεο. α) Γείμαηε (ρσξίο ηε ρξήζε κεηαζρεκαηηζκνύ Ε) όηη νη αληίζηνηρεο απνθξίζεηο κνλαδηαίνπ παικνύ πιεξνύλ ηηο ζρέζεηο : )()( 10 nuabnh n

)1()()( 1

11nuabnhnh n

)2()()( 2

12nuabnhnh n

β) Γείμαηε όηη κηα ελαιιαθηηθή γξαθή ησλ πξνεγνύκελσλ ζρέζεσλ είλαη :

)()()1()]([)(

1

1

1

10

1

1n

a

bnu

a

bbanh n

)1()(][)1(][)( 1

12

2

12

1

111

2

12

1

110 nabnababnuaababbnh n

γ) Με ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε επαιεζεύζαηε ηελ ελαιιαθηηθή γξαθή ηνπ εξσηήκαηνο (β). δ) Δθθξάζαηε ηα ζπζηήκαηα ‘ηύπνπ’ (Β) θαη (Γ) ζαλ παξάιιειε ζύλδεζε πεξηζζόηεξσλ ΄ηύπνπ΄ (Α) θαη αξηζκνύ ζπζηεκάησλ ρσξίο κλήκε. Σρεδηάζαηε απηέο ηηο παξάιιειεο πξαγκαηνπνηήζεηο ησλ ζπζηεκάησλ (Β) θαη (Γ).

ΛΥΣΗ α)

Α : )()1()(

01nxbnyany

Αλ )()()()( nhnynnx . Έηζη ζα έρσ ηελ εμήο αθνινπζία γηα ην )(nh :

001 )0()1()0( bbhah

101001 0)1()0()1( ababbhah

2

1011001 0)2()1()2( abaabbhah

)()( 01 nubanh n

Β : )1()()1()( 101 nxbnxbnyany

0101 )1()0()1()0( bbbhah

101101 )0()1()0()1( bbabbhah

110

2

11011101 )1()2()1()2( bababbaabbhah

1

2

10

3

1110

2

111 00)2()3( babababaahah

)1()()()1()()( 1

1

11

1

1

)(

01 nubanhnhnubanubanh nn

nh

n

Γ : )2()1()()1()( 2101 nxbnxbnxbnyany

02101 )2()1()0()1()0( bbbbhah

1011012101 00)1()0()1()0()1( bbabbabbbhah


2110

2

1210112101 )0()1()2()1()2( bbababbbaabbbhah

211

2

10

3

12110

2

112101 000)1()2()3()2()3( babababbabaabbbhah

)2()()()2()1()()( 2

2

12

2

1

)(

1

1

101 nubanhnhnubanubanubanh nn

nh

nn

β)

)()(

1

1101)1()()(

nnu

nn nuabnubanh

)()(

)()()()()(

1

1

1

1

01

1

1

1

1

1

1

1

01

1

11

1

1101

01

na

bnu

a

bba

naa

bnu

a

bbanabnuabnuba

na

nnnnn

)1()()(

2

2

1

)()(

1

1

101 )2()1()()(

nnnu

n

nnu

nn nubanubanubanh

b

)1()()(

)1()()(

)1()()()()()(

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

01

1

21

12

1

2

1

1

12

1

2

1

1

01

2

2

12

2

12

2

11

1

11

1

101

na

bn

a

b

a

bnu

a

b

a

bba

na

ban

a

b

a

banu

a

b

a

bba

nanbanubanbanubanuba

n

nnn

nnnnnn

γ)

Β : ])[(]1)[()()()()( 1

10

1

1

1

10

1

1 zbbzXzazYzXzbzXbzYzazY

)(

1

1

1

0

1

1

1

10

'

1)(

)()(

zH

az

b

az

zb

za

zbb

zX

zYzH (3.γ.1)

11

1

'

)(

)(

az

B

z

A

azz

b

z

zH

1

1

'

0

)(

a

b

zz

z

zHA ,

1

1

1

1

'

)()(

a

b

azaz

z

zHB

11

1

1

1' )(az

z

a

b

a

bzH (3.γ.2)

Από (3.γ.1) θαη (3.γ.2) 1

1

11

10)(

a

b

az

z

a

bbzH

1

1

11

10)()(

a

b

az

z

a

bbzHnh

1-1-1-ZZZ

)()()(1

11

1

10 n

a

bnua

a

bbnh n


Γ : )()()()()( 2

2

1

10

1

1 zXzbzXzbzXbzYzazY

])[(]1)[( 2

2

1

10

1

1 zbzbbzXzazY

)(

1

2

)(

1

1

1

0

1

1

2

2

1

10

'''

)(1)(

)()(

zHzH

azz

b

az

b

az

b z

za

zbzbb

zX

zYzH

(3.γ.3)

Ζ )(' zH είλαη ε ίδηα κε ηελ )(' zH . Άξα :

1

1

11

1' )(a

b

az

z

a

bzH (3.γ.4)

2

21

11

2

2

''

)(

)(

z

B

z

B

az

A

azz

bzH

z

2

2

1

1

''

1

)()(

a

b

azaz

z

zHA ,

2

222

''

1

11

00

)(

a

b

zaz

b

dz

d

zz

z

zH

dz

dB

11

222

''

200

)(

a

b

zaz

b

zz

z

zHB

1

1

2

2

1

2

12

1

2'' )( za

b

a

b

az

z

a

bzH (3.γ.5)

Από ηηο (3.γ.3), (3.γ.4) θαη (3.γ.5) έρνπκε :

1

1

2

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

0)( za

b

a

b

a

b

az

z

a

b

a

bbzH

)1()()()()(1

2

2

1

2

1

1

12

1

2

1

1

0 na

bn

a

b

a

bnua

a

b

a

bbzHnh n1-Z

δ) Δμεηάδνπκε ηελ κνξθή ηνπ ζπζηήκαηνο ‘ηύπνπ’ Α :

Α : )(

)(

1

1)(

1

11zX

zY

zaC

az

zCzH

)()()()(1)( 1

1

1

1 zXCzYzazYzXCzazY

)()1()()( 1 nxCnyazYny -1Z . Άξα :

x n( )+

y n( )

a1 z 1

+

+

cX z( ) Y z( )

Δμεηάδνπκε ηελ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, )(zH , ηνπ ζπζηήκαηνο ‘ηύπνπ’ Β :


'

1

1

11

10)(

CC

a

b

az

z

a

bbzH

Σύζηεκα ‘ηύπνπ’ Α Σύζηεκα ρσξίο κλήκε δηόηη:

)()()()()(

)( '''''''

'

'

nxCnyzXCzYCzX

zY

Άξα :

x n( )

+

y n( )

a1 z 1

+

+bb

a0

1

1

X z( ) Y z( )+

+

+

-b

a

1

1

Παξαηήξεζε : Δίλαη πξνθαλέο όηη ην ζύζηεκα ‘ηύπνπ’ Α ηεο πξνεγνύκελεο πξαγκαηνπνίεζεο κπνξεί λα αλαιπζεί ζε δύν άιια ζπζηήκαηα ‘ηύπνπ’ Α, ζπλδεδεκέλα παξάιιεια, κε

ζπληειεζηή ζηνλ πνιιαπιαζηαζηή εηζόδνπ 0b θαη

1

1

a

b αληίζηνηρα. Γελ παξνπζηάδεηαη εδώ γηα

νηθνλνκία ρώξνπ.

Σηε ζπλέρεηα εμεηάδνπκε ηελ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, )(zH , ηνπ ζπζηήκαηνο ‘ηύπνπ’

Γ.

1

1

2

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

0

'''

)( za

b

a

b

a

b

az

z

a

b

a

bbzH

CCC

Σύζηεκα ‘ηύπνπ’ Α Σύζηεκα ρσξίο κλήκε Σύζηεκα κε κλήκε(*)

(*) : )1()()()()(

)( ''''''''1''''1''

''

''

nxCnyzXzCzYzCzX

zY

Άξα :


x n( )

+

y n( )

a1 z 1

+

+bb

a

b

a0

1

1

2

1

2

X z( ) Y z( )+

+

+

-b

a

2

1

z 1

+

- (b

a

b

a

1

1

2

1

2 )

Παξαηήξεζε : Καη εδώ ηζρύνπλ αληίζηνηρα κε όζα αλαθέξακε γηα ην ζύζηεκα ‘ηύπνπ’ Β. Γει. Τν ζύζηεκα ‘ηύπνπ’ Γ κπνξεί λα αλαιπζεί ζε παξάιιειε ζύλδεζε ηξηώλ ζπζηεκάησλ ‘ηύπνπ’ Α

κε ζπληειεζηή εηζόδνπ 0b ,

1

1

a

b,

2

2

a

b αληίζηνηρα.

Οκνίσο θαη ν ‘θαη’επζείαλ’ δξόκνο (ν ρσξίο κλήκε) κπνξεί λα αλαιπζεί ζε δύν κε

πνιιαπιαζηαζηή

1

1

a

b θαη

2

2

a

b αληίζηνηρα.


ΑΣΚΗΣΗ 69

Έζησ ην ζήκα : ύ,0

1N,..,2,1,0n,)N/n2cos()n(x .

Γείμηε κε ρξήζε ηνπ ΓΜΦ (DFT) όηη :

X m N m m N( ) ( / ) [ ( ) ( )]2 1 1

Σηε ζπλέρεηα ρξεζηκνπνηήζηε ην πξνεγνύκελν ζήκα, X m( ) , ζαλ είζνδν ζηνλ

αληίζηξνθν κεη/ζκό, ΑΓΜΦ, γηα λα θαηαιήμεηε πάιη ζε ρξνληθό ζήκα. Δίλαη ην ζήκα απηό ζπλεκίηνλν ;

Σρεδηάζηε ηα ζήκαηα θαη ζηα δύν πεδία γηα N 8 .

ΛΥΣΗ

Γξάθνπκε ηνλ νξηζκό ηνπ ΓΜΦ :

)ee(2

1

e)ee(2

1e)n(x)n(xF)m(X

)1m(N

1N

0n

)1m(N

n2j

)1m(N

1N

0n

)1m(N

n2j

N

mn2j

N

n2j1N

0n

N

n2j1N

0n

N

mn2j

Δπνκέλσο, X m N m m N m m N( ) ( / ) [ ( ) ( )] ( / ) [ ( ) ( )]2 1 1 2 1 1 ,

ιόγσ ηεο πεξηνδηθόηεηαο ηνπ ζήκαηνο, X m( ) , κε πεξίνδν N .

Τν ζήκα x n( ) πξνθύπηεη από εθαξκνγή ηνπ ΑΓΜΦ :

)N

n2cos(]ee[

2

1

]eee[2

1]e)1Nm(e)1m([

2

1

e)]1Nm()1m([2

N

N

1

e)m(XN

1)]m(X[F)n(x

N

n2j

N

n2j

1

N

Nn2j

N

n2j

N

n2j1N

0m

N

mn2j1N

0m

N

mn2j

1N

0m

N

mn2j

1N

0m

N

mn2j

1

γηα n N012 1, , ,..., .


0 1 2

3 4 5

x n( )

n

6 7

1

8

-1

0,707

-0,707

0 1 2 3 4 5

| ( )|X m

m

6 7

Ν/2

8


ΑΣΚΗΣΗ 70

Σην επόκελν θύθισκα εθαξκόδεηαη ζηελ είζνδν ε εηθνληδόκελε κνξθή. Να γξαθνύλ νη δύν (2) πξώηεο κε-κεδεληθέο αξκνληθέο ηεο εμόδνπ κε ηελ

ζπλεκηηνληθή κνξθή [‘Δξγαζηεξηαθή Μνξθή’, mmA , ].

v ti ( ) v to ( )

R

C

+ +

- -

R 1

C F1

t

1

v ti( )

π/2

-1

π/2

T ,V Vp p 2

ΛΥΣΗ Από ηελ αλάιπζε ζε ζεηξά Fourier ηεο ηεηξαγσληθήο θπκαηνκνξθήο πνπ ππάξρεη ζην βηβιίν ηνπ καζήκαηνο, έρνπκε :

02

sin2,,

20c

mcc

ATd m , 222

0T

w

422

2sin222 11 ccAcA mm

002sin22 22 ccA

3

4

3

22

2

3sin22 33 ccA , θαη

02

11 ccmm

0022 c , 3

233 c (ή 180 κνίξεο)

Δπνκέλσο :

...)180t6cos(

π3

4)t2cos(

π

4)t(u)Φtwmcos(A)t(u i

1m

m

2

0mi

...)6cos(4244.0)2cos(273.1)( tttui

Γλσξίδνπκε όκσο όηη :

)()()(0 jVjHjV i .


jCRj

jCR

jCjH

1

1

1

1

1

1

)(

1

43.634472.021

1)2(

jjH , 54.801644.0

61

1)6(

jjH

Άξα :

...)54.806cos()4244.0()1644.0()43.632cos()273.1()4472.0()()6()6()2()2( 31

jHAjHjHAjH

i tttu θαη

ηειηθά :

...)54.806cos()0698.0()43.632cos()569.0()(0 tttu


ΑΣΚΗΣΗ 71

Έλα πεξηνδηθό ζήκα x t( ) εθαξκόδεηαη ζαλ είζνδνο ζε έλα ζπληνληζκέλν

δσλνπεξαηό θίιηξν κε εύξνο δώλεο (BW) 0 25. Hz . ( Σν θίιηξν ππνηίζεηαη ηδαληθό ). Ζ έμνδνο ηνπ θίιηξνπ νδεγείηαη ζε έλα βνιηόκεηξν RMS ηηκήο. Αλ κε f0

ζπκβνιίζνπκε ηελ θεληξηθή ζπρλόηεηα ηνπ θίιηξνπ ( ζε Hz ) θαη V0 ηελ

έλδεημε ηνπ βνιηνκέηξνπ ( ζε V ), ηόηε έρνπκε ηα επόκελα δεύγε ηηκώλ

( f0, V0

) :

( f0 0 , V0 3 ), ( f0 2 , V0 6 ), ( f0 4 , V0 4 ), ( f0 6 , V0 2 ),

( f0 8 , V0 1 ). Οη έλδεημεηο ζε όιεο ηηο άιιεο ζπρλόηεηεο είλαη κεδεληθέο.

α) Να ζρεδηαζηεί ην (δηπιεπξηθό) θάζκα πιάηνπο ησλ | |Cm.

β) Αλ ην ζήκα x t( ) ζπλδεζεί κε αληίζηαζε R 2 , λα ππνινγηζηεί ε νιηθή

ηζρύο πνπ απνδίδεηαη ζηελ αληίζηαζε (νιηθή κέζε ελέξγεηα).

γ) Αλ ην ζήκα x t( ) δηεγείξεη έλα θύθισκα RL ( R L 1 2/ ) θαη ε έμνδνο είλαη

ε ηάζε ζηα άθξα ηεο αληίζηαζεο, λα ππνινγηζηεί ε RMS ηηκήο ηεο ζπληζηώζαο ησλ 4Hz ηεο εμόδνπ.

ΛΥΣΗ

x t( )f0

VRMS

ΗΓΑΝΗΚΟ ΕΧΝΟΠΔΡΑΣΟ

ΦΗΛΣΡΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΚΔΝΣΡΗΚΖ

ΤΥΝΟΣΖΣΑ f0 α) Ηζρύνπλ νη ζρέζεηο :

A Cm m2| | (1)

V VA

RMS m

m

0 02

, , ή A Vm m2 0, (2)

Από ηηο (1) θαη (2) παίξλνπκε : | |, ,

CA V V

m

m m m

2

2

2 2

0 0, m 0 .

Από ηα δεδνκέλα, ζρεκαηίδνπκε ηνλ αθόινπζν πίλαθα :

0 ( m = 0 , D . C . ) 3 3

2 ( m = 1 ) 6 4 . 2 4 3

4 ( m = 2 ) 4 2 . 8 2 8

6 ( m = 3 ) 2 1 . 4 1 4

8 ( m = 4 ) 1 0 . 7 0 7

f Hz0( ) V VRMS m0 0, ,| | ,C mm 0

Παξαηήξεζε : πξνθαλώο έρνπκε | | ,C A V0 0 0 0 .


0 1 2 3 4-1-2

| |cm

m-3

1

2

3

4

-4

f Hz( )0 2 4 6 8-2-4-6-8

β)

x t( )

+

-

R 2

Ζ νιηθή ηζρύο πνπ απνδίδεηαη ζηελ αληίζηαζε ηζνύηαη κε :

E P

RA

A

RA

A

RV V

m

mV

m

V

mm

m

m

1

2

1

2

10

2

2

1

4

0

2

2

1

4

0 0

2

0

2

1

4

0 00

( ) ( ) ( )

,,

, ,

Άξα : P Watts1

23 6 4 2 1 332 2 2 2 2( ) .

γ)

x t x ti( ) ( )

+

-

R 1 2/ x to ( )

L 1 2/

+

- Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ θπθιώκαηνο είλαη :

H jR

R jL j j( )

/

/

1 2

1 22

1

1


Γηα f Hz4 ή 2 2 4 8f παίξλνπκε :

H jj

( ) ,81

1 80 03976 870

.

Δπνκέλσο ε έμνδνο δίλεηαη από ηε ζρέζε :

X f Hz X f Hz H jRMS i RMS

V Volts

0

4

4 4 8

0 2

, ,( ) ( ) | ( )|

,

ή X f Hz VoltsRMS0 4 0159, ( ) , .


ΑΣΚΗΣΗ 72

Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλεκηηνληθή αλάπηπμε Fourier mmA , ηνπ

‘θξνπζηηθνύ’ πεξηνδηθνύ ζήκαηνο πνπ θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα :

0 1 2 3 4 5-1-2

x t( )

t6 7

1

2

8-4 -3

......

ΛΥΣΗ

40),2()1(2)()(,4 tttttxT

4

0

4

0

000 )2()1(2)(4

1)(

4

1)(

1

T

tjmw

T

tjmw

T

tjmw

m dtetttdtetxdtetxT

c

00 221

4

1 wjmjmwee

mc )cos(224

12

4

10

0000 mweeeejmwjmwjmwjmw

00

2cos

2cos2

2

1 0202 jmwjmwe

mwe

mw

mmmm ccAcA ,,2 00

Δπεηδή δε 02

cos 02 mw έρνπκε :

00

02 ,1,2

cos2 mwAmw

A mm

Άξα :

1

24

2

1

0

02 )1(2

cos4

cos21)1(cos2

cos21)(

0

m

w

m

tmmtmwmw

tx


ΑΣΚΗΣΗ 73

Γίλεηαη ην πεξηνδηθό ζήκα x t( ) .

α) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζεκειηώδεο πεξίνδνο, T0.

β) Να ππνινγηζηεί ε RMS ηηκή ηνπ ζήκαηνο x t( ) κε ηε ρξήζε ηνπ

ζεσξήκαηνο ηνπ Parseval.

γ) Δπαιεζεύζηε ηελ πξνεγνύκελε ηηκή ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ καζεκαηηθό νξηζκό ηεο RMS ηηκήο.

δ) Τπνζέζηε έλα ηδαληθό θαησδηαβαηό θίιηξν (ILPF) κε C 4 0

( fC :

ζπρλόηεηα απνθνπήο, C Cf2 ).

Τπνινγίζηε ηελ RMS ηηκή ηεο εμόδνπ ηνπ θίιηξνπ αλ ην ζήκα x t( )

εθαξκνζηεί ζηελ είζνδό ηνπ.

ΛΥΣΗ

α) Σν ζήκα x t( ) γξάθεηαη :

x t t t t t

t t t t t t

( ) cos( ) cos ( ) cos( ) [cos( ) ]

cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

0

2

0 0 0

0 0 0 0 0 0

21

24 1

1

2

1

24

1

2

1

43

1

45

Χζηόζν απηή ε έθθξαζε γηα ην ζήκα x t( ) απνηειεί αλάπηπγκα ζε πεπεξαζκέλε ζεηξά

Fourier.

πλεπώο, ε ζεκειηώδεο θπθιηθή ζπρλόηεηα είλαη 0 θαη αληίζηνηρα ε ζεκειηώδεο πεξίνδνο

ηζνύηαη κε : T0

0

2.

β) Ζ ελεξγόο ηηκή δίλεηαη από ηε ζρέζε [ ( )]x t ERMS όπνπ :

E AAm

m0

2

0

2

1 3 5

2 2 2

2

1 2

2

1 4

2

1 4

201875( ) (

/) (

/) (

/) .

, ,

.

Άξα [ ( )] . .x t ERMS 01875 04330 .

γ) Ο καζεκαηηθόο νξηζκόο ηεο ελεξγνύ ηηκήο δίλεη :

T

0

0

4

0

2

T

2

RMS dt)t2(cos)t(cosT

1dt)]t(x[

T

1)]t(x[

Γηα λα ππνινγίζνπκε ην νινθιήξσκα απηό, θάλνπκε αιιαγή κεηαβιεηήο :

x t dx dt0 0

Με αληηθαηάζηαζε παίξλνπκε :

[ ( )] cos ( ) cos ( )x t x x dxRMS

2 2 4

0

21

22

θαη ζηε ζπλέρεηα κε βάζε ηε ζρέζε : cos ( ) [cos( ) ]2 1

22 1x x ην νινθιήξσκα γξάθεηαη :

[ ( )] cos ( ) cos ( )x t x dx x dxRMS

2 5

0

2

4

0

21

42

1

42


(γηα δηεπθόιπλζε λέα αιιαγή κεηαβιεηήο : y x dy dx2 2 )

1

8

1

8

5

0

4

4

0

4

cos ( ) cos ( )y dy y dy .

Μεηά ηηο πξάμεηο έρνπκε ην απνηέιεζκα :

[ ( )] [ ( )] .x t x tRMS RMS

2 3

16

3

160 4330 .

Δπνκέλσο, επαιεζεύεηαη ην απνηέιεζκα ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο. δ) Ζ ραξαθηεξηζηηθή πιάηνπο ηνπ ηδαληθνύ θαησδηαβαηνύ θίιηξνπ θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα :

| ( )|H

1

c 4 00

ΓΙΑΒΑΣΗ

ΑΠΟΚΟΠΗ

πλεπώο, ζηελ έμνδν ηνπ θίιηξνπ ζα ππάξρνπλ κόλν νη ζπληζηώζεο 1

2 0cos( )t θαη

1

43 0cos( )t . Άξα : [ ( )] (

/) (

/) .x t RMS

1 2

2

1 4

203952 2

.

x t x ti ( ) ( ) x t0( )

ILPF


ΑΣΚΗΣΗ 74

Έλα ζήκα )(tg έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier :

ύαιιν,0

3σ1,e2)t(gF)σ(Gσ

σ

2

πj

Σν ζήκα )(tg εθαξκόδεηαη ζαλ είζνδνο ζε ηδαληθό δσλνπεξαηό θίιηξν (IBPF)

κε κνλαδηαίν θέξδνο ζηελ δώλε δηειεύζεσο πνπ εθηείλεηαη από 5.01 εώο

sec22

rad. Ζ ραξαθηεξηζηηθή θάζεσο ηνπ θίιηξνπ είλαη γξακκηθή κε

θιίζε ondssec3

2, θαη πεξλά από ην κεδέλ (0) ζηελ θεληξηθή ζπρλόηεηα

2

21 .

α) Να ζρεδηαζηεί ε ραξαθηεξηζηηθή (πιάηνπο θαη θάζεο) ηνπ θίιηξνπ. β) Να ζρεδηαζηνύλ ηα θάζκαηα (πιάηνπο θαη θάζεο) ζηελ είζνδν θαη ζηελ έμνδν ηνπ θίιηξνπ. γ) Να πξνζδηνξηζηνύλ νη κέζεο νιηθέο ελέξγεηεο ζηελ είζνδν θαη ζηελ έμνδν ηνπ θίιηξνπ.

ΛΥΣΗ α)

| ( )|H

2

(sec

)rad

-1

1

-2 1 2

1

(sec

)rad

21

1 2

2

1 2

-1

-2

900

900

H( )

β)


| ( )|G

(sec

)rad

-1

2

-2 1 2

900

-3 0 3

(sec

)rad-1

-2

1 2

G( )

-3

03

900

| ( )|Y

(sec

)rad

-1

2

-2 1 2

1200

0

(sec

)rad-1

-2

1 2

Y( )

0

1200

g t( ) y t( )

IBPF

H( ) Γηόηη :

)()()( HGY , θαη )()()( HGY , όπνπ βέβαηα :

)(arg)()()()( HjeHHHH

γ) Από ηηο πξνεγνύκελεο ραξαθηεξηζηηθέο πιάηνπο ηνπ εξσηήκαηνο (β) θαη από ην ζεώξεκα Parseval ζα έρνπκε (Οη ραξαθηεξηζηηθέο θάζεηο δελ παίδνπλ θαλέλα ξόιν ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ ελεξγεηαθνύ πεξηερνκέλνπ ησλ ζεκάησλ) :


Θ. Parseval :

dGdttgEg

22 )(2

1)(

Δκβαδόλ ηνπ 2

)(G

8)24(

2

12gE .

Οκνίσο :

4)14(

2

12yE


ΑΣΚΗΣΗ 75

Έλα ζήκα x t( ) έρεη ηνλ εμήο κεηαζρεκαηηζκό Fourier :

X F x t( ) ( ) ( ), | |

,

1 2 4

0.

Θεσξνύκε επίζεο h t x t( ) ( )2 . Να ππνινγηζηεί ην H( ) κε ρξήζε ηνπ

ζπλειηθηηθνύ ζεσξήκαηνο.

ΛΥΣΗ

Σν H( ) πξνέξρεηαη από ην h t x t( ) ( )2 ζύκθσλα κε ηηο αθόινπζεο ζρέζεηο :

)σ(X*)σ(Xπ2

1)t(x)t(xF)t(hF)σ(H

)t(x)t(x)t(x)t(h 2

(1)

0 1 2 3 4-1-2-3

X( )

1

-4

3 ( ) ( )

3 ( )

Από ην παξαπάλσ ζρήκα είλαη θαλεξό όηη :

X( ) ( ) ( ) ( )3 3

Υξεζηκνπνηώληαο :

ηε κέζνδν ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο κέζσ ζηνηρεησδώλ πξάμεσλ : ΑΝΑΚΛΑΖ, ΜΔΣΑΘΔΖ, ΠΟΛΛΑΠΛΑΗΑΜΟ, ΟΛΟΚΛΖΡΧΖ, ΔΠΑΝΑΛΖΦΖ γηα ηελ πεξίπησζε δηαθξηηώλ ζεκάησλ,

θαη ην όηη ε ζπλάξηεζε Γέιηα είλαη ην ηαπηνηηθό ζηνηρείν ηεο ζπλέιημεο ( ( )* ( ) ( )t x t x t ),

κπνξνύκε λα εμάγνπκε κε ηε βνήζεηα ηεο αξρήο ηεο επαιιειίαο (ππέξζεζεο)

ζηα αθόινπζα ζρήκαηα [( X( )* ( )3 ), ( X( )* ( )3 ), ( X( )* ( ) ) ]

ηε ζπλέιημε X X( ) ( ) , ε νπνία από ηελ (1) δίλεη ην H( ) .


0 4-2-3-4

X ( ) ( )3

2 6-6

1

2

-8

0 4-2-3-4

X ( ) ( )3

2 6-6

1

2

-8 8

0 4-2-3-4 2 6-6

1

-8 8

X X( ) ( ) ( )

θαη ηειηθά παίξλνπκε :

0 4-2-3-4

X ( )

2 6-6

1/π

2/π

-8 8


ΑΣΚΗΣΗ 76

Γίλεηαη ην ζήκα ttmtx cos)(1)( , όπνπ 2

sin)( cttm . Να ππνινγηζζεί θαη

λα ζρεδηαζηεί )(X . Δπίζεο λα ζρεδηαζζεί ην ζήκα )(tx .

ΛΥΣΗ

ttmtx cos)(1)( , )()(sin)( 2

2Mcttm , όπνπ** :

2,0

2,2

1)(2

ttmttxX cos)(cos)()( FFF

Αιιά :

)1()1(costF , θαη

)1(M)1(M2

1

)(M)1()(M)1(2

1)(M)1()1(

2

1tcos)t(mF

M( )

+2-2

π

0 1 2 3 4-1-2-3

F m t t( ) c o s ( )

π/2

-4

1

21M ( )1

21M ( )

Έηζη εθαξκόδνληαο ηελ αξρή ηεο επαιιειίαο ζα έρνπκε γηα ην )(X :


0 1 2 3 4-1-2-3

X ( )

π/2

-4

( )1 π( )1

40sin)(,sin)(1)( 2 ttctmcttmtx

Άξα γηα 0sin)(,4 cttxt

t

x t( )

2

1

π 2π 3π

-1

** : Γηόηη από ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη :

2sin)( 2 d

cdtd

F

Άξα :

2

2 sin2)( ctF

Δπίζεο από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ηζρύεη όηη :

xtXXtx 2)()()(FF

Άξα :

22

2 22

1tcsin

F

(ιόγσ άξηηαο ζπκκεηξίαο).


ΑΣΚΗΣΗ 77

Γίλεηαη ην αθόινπζν θίιηξν :

X z( )

z 1++

2

Y z( )

+

1

z 1+

2

32 5,

z 1+

Να ππνινγηζηνύλ :

α) ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ θίιηξνπ H z( ) ,

β) νη πόινη θαη ηα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο,

γ) ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) ,

θαη

δ) λα ζρεδηαζηεί ην θίιηξν κε δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο.

ΛΥΣΗ

α) Μεηά από πξνζεθηηθή κειέηε ηνπ θίιηξνπ γξάθνπκε :

Y z X z z z z Y z z z z( ) ( ) ( ) ( )[ , ]1 2 2 3 2 51 2 3 1 2 3

Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε H z( ) πεξηγξάθεηαη από ηελ ζρέζε :

Y z

X zH z

z z z

z z z

( )

( )( )

,

1 2 2

1 3 2 5

1 2 3

1 2 3 (Α),

πνπ είλαη ηεο κνξθήο :

H zb b z b z b z

a a z a z a z

q

q

p

p( )..

..

0 1

1

2

2

0 1

1

2

2 .

β) Ζ H z( ) κπνξεί λα γξαθεί ζηελ κνξθή H zz z z

z z z( )

,

3 2

3 2

2 2

3 2 5 1. Με δνθηκέο

βξίζθνπκε όηη κία ξίδα ηνπ παξνλνκαζηή είλαη ε z 2 . Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηηο άιιεο δύν ξίδεο, θάλνπκε ηε δηαίξεζε :


z 2z z z3 23 2 5 1,

z z3 22

z z2 2 5 1,

z z2 2

0 5 1, z

0 5 1, z

0

z z2 0 5,

Σν ηξηώλπκν z z2 0 5, έρεη ξίδεο ηνπο ζπδπγείο κηγαδηθνύο : 0 5 0 5, , j .

Μία ξίδα ηνπ αξηζκεηή είλαη ε z 1 . Άξα θάλνληαο πάιη αληίζηνηρε δηαίξεζε γηα ηνλ αξηζκεηή κπνξνύκε λα γξάςνπκε :

H zz z z

z z z( )

( )( )

( )( , )

1 3 2

2 0 5

2

2 (Β)

( νη κνξθέο (Α) θαη (Β) είλαη ηζνδύλακεο ).

γ) Ζ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ h n( ) βξίζθεηαη σο εμήο :

z z z3 22 2

5 3 5 12z z,

z z z3 23 2 5 1,

z z z3 23 2 5 1,

5 152z z

1 5 1z

h ( )0 h ( )1

κ.λ.π.

δ) ηε ζπλέρεηα, δίλνληαη ηέζζεξηο δηαθνξεηηθνί ηξόπνη ζρεδίαζεο ηνπ θίιηξνπ :

Καηεπζείαλ κνξθή II ή θαλνληθή ( Direct form II ) Με παξαηήξεζε ηνπ ζρήκαηνο 4.7.8 ηνπ βηβιίνπ βιέπνπκε όηη ην ζύζηεκα δελ δίλεηαη ζε θαη'επζείαλ κνξθή II. Δπηβάιιεηαη λα ηξνπνπνηεζεί ν ζρεδηαζκόο ηνπ θίιηξνπ, κνινλόηη ζηε κνξθή απηή επηηπγράλεηαη νηθνλνκία ζηηο κλήκεο. ύκθσλα κε ην γεληθό ζρήκα ηεο θαη'επζείαλ κνξθήο, θηηάρλνπκε ην αληίζηνηρν ζρήκα γηα ην θίιηξν καο :


H zb b z b z b z

a a z a z a z

z z z

z z z

q

q

p

p( )..

.. ,

0 1

1

2

2

0 1

1

2

2

1 2 3

1 2 3

1 2 2

1 3 2 5, a0 1, a1 3 ,

a2 2 5, , a3 1, b0 1, b1 2 , b2 1, b3 2 .

x n( )

z 1

+ ++y n( )0 1

1 21 3

z 1

2 2 5,2 1

z 1

3 1 3 2

Καηεπζείαλ κνξθή I

x n( )+ ++

y n( )

1 2

2 2 5,2 1

3 13 2

z 1

z 1

z 1

0 1

+

+

+

+

z 1

z 1

z 1

1 3

0 1

εηξηαθή κνξθή ηελ πεξίπησζε απηή, γξάθνπκε ηελ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο σο γηλόκελν ζπλαξηήζεσλ

κεηαθνξάο 1εο ή 2εο ηάμεο (ηεο κνξθήο 1

1

1

1

1

1

b z

a z θαη

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

b z b z

a z a z αληίζηνηρα ) :

H z H z H z H zK( ) ( ) ( ) .... ( )1 2 .


Από ηε ζρέζε (Β) βιέπνπκε όηη :

H zz

z

z z

z z( )

,

1

2

1 3 2

1 0 5

1 2

1 2 ,

όπνπ ην πξώην θιάζκα είλαη απνηειεί πξώηεο ηάμεο ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, ελώ ην δεύηεξν δεύηεξεο ηάμεο.

Γηα ηα επηκέξνπο H zi( ) επηιέγεηαη ζπλήζσο ε θαη'επζείαλ κνξθή II.

a a10 20 1, a11 2 , b11 1, b10 1 , b20 1 , 1a21 , b21 3 , a22 0 5, ,

b22 2 .

x n( )

z 1

+ ++y n( )

10 1

11 111 2

z 1

2 1 121 3

z 1

2 2 0 5,22 2

++ ++

12010

H z1 ( )

H z2 ( )

20 1

Παξάιιειε κνξθή

Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο έρεη ηώξα ηε κνξθή : H z C H z H z H zK( ) ( ) ( ) .... ( )1 2 , C :

ζηαζεξά. Αλαπηύζζνπκε ζε κεξηθά θιάζκαηα :

H z

z

z z z

z z z z

A

z

B

z

Cz D

z z

( ) ( )( )

( )( , ) ,

1 3 2

2 0 5 2 0 5

2

2 2 .

Γηα λα βξνύκε ην A πνιιαπιαζηάδνπκε κε z θαη ζέηνπκε z 0 : A2 1

2 0 52

( )

( ) ,.

Γηα ην B , πνι/δνπκε κε z 2 θαη ζέηνπκε z 2 : B( ) ( )

( , ),

2 6 2 2 1

2 2 2 0 52 4

2

2 .

Γηα ηα C D, πνι/δνπκε κε z z2 0 5, θαη ζέηνπκε z 1 θαη z 3 (ζα κπνξνύζε λα

επηιεγεί ν,ηηδήπνηε εμππεξεηεί ) θαη έρνπκε ζύζηεκα δύν εμηζώζεσλ κε αγλώζηνπο ηα C D, .

Έηζη βξίζθνπκε C 34, θαη D 36, .

Άξα H zz

z

z z

z z z

z

z zC

( ), , ,

,

, , ,

,2

2 4

2

3 4 3 6

0 52

2 4

1 2

3 4 3 6

1 0 5

2

2 1

1

1 2 .


x n( ) z 1

+

Y z( )

10 2 4,

11 2

z 1

2 1 1 2 1 3 6,

z 1

2 2 0 5,

2 0 3 4,

++ ++

2

++


ΑΣΚΗΣΗ 78

Γίλεηαη ην κε-γξακκηθό ζύζηεκα :

0,)1(

)()1(

21)( n

nynx

nyny ,

όπνπ 1),()( anaunx θαη αξρηθή ζπλζήθε ay )1( .

α) Ση κπνξεί λα ζεκαίλεη, θαηά ηελ γλώκε ζαο, γηα ην ιεηηνπξγηθό ραξαθηεξηζκό ηνπ ζπζηήκαηνο ην γεγνλόο όηη ε αθνινπζία δεηγκάησλ ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ, )(ny , είλαη θζίλνπζα ;

β) Δίλαη ην ζύζηεκα απηό επζηαζέο θαηά ηελ έλλνηα BIBO ; γ) Πξνζδηνξίζηε ηηο ηηκέο ηνπ n έηζη ώζηε ε ζρεηηθή κεηαβνιή ηεο εμόδνπ λα

είλαη κηθξόηεξε από 310 γηα ηηο πεξηπηώζεηο όπνπ 4a θαη 9a .

δ) Πνηά ζα είλαη ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο αλ 8010a θαη n ;

ΛΥΣΗ

0,)1(

)()1(

21)( n

nynx

nyny

ayanaunx )1(,1),()(

α) )(ny : θζίλνπζα )1()1(

)1(2

1)()1()( ny

ny

anynynyny

0,)1()1()1()1(

2 nanynyanyny

a

Άξα θαη any )( .

Δπνκέλσο, ην ζύζηεκα κπνξεί λα ραξαθηεξηζηεί, από ιεηηνπξγηθήο πιεπξάο, ζαλ έλα ζύζηεκα (αιγόξηζκνο) πξνζέγγηζεο ηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ

)1(aa . Πξνθαλώο, ελλνείηαη όηη κόλνλ είζνδνη ηεο κνξθήο ,1),()( anaunx έρνπλ

λόεκα γηα έλα ηέηνην ζύζηεκα. Β’ ηξόπνο : Δπεηδή κηα θζίλνπζα αθνινπζίαζεηηθώλ αξηζκώλ ηείλεη ζην θάησ θξάγκα ηεο (κπνξεί λα είλαη θάπνηνο ζεηηθόο αξηζκόο, Ρ, ή ην κεδέλ) ζα έρνπκε :

PnyPnynn

)1(lim)(lim . Άξα :

aPP

aP

P

aPP

2

1.

Άξα ην θάησ θξάγκα (θαη ην όξην) ηεο αθνινπζίαο είλαη ε ξίδα ηνπ αξηζκνύ a . Άξα ε

αθνινπζία ηηκώλ ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο, )(ny , πξνζεγγίδεη ηελ ηεηξαγσληθή

ξίδα ηνπ αξηζκνύ a .

β) Βεβαίσο θαη ην ζύζηεκα είλαη επζηαζέο θαηά ηελ έλλνηα BIBO. Γηόηη νπνηαδήπνηε είζνδνο

ηεο κνξθήο ,1),()( anaunx πνπ είλαη θξαγκέλε, δίδεη έμνδν νξηαθά ηελ a , πνπ

είλαη επίζεο θξαγκέλε.


γ)

)1(

)1()()(

ny

nynyny

i) 4a

5.22

5

4

44

2

1

)1()1(

2

1)0(0

y

ayyn

375.04

45.2

)1(

)1()0()0(

y

yyy

05.25.2

45.2

2

1

)0()0(

2

1)1(1

y

ayyn

18.05.2

5.205.2

)0(

)0()1()1(

y

yyy

00061.205.2

405.2

2

1

)1()1(

2

1)2(2

y

ayyn

0241.005.2

05.200061.2

)1(

)1()2()2(

y

yyy

200061.2

400061.2

2

1

)2()2(

2

1)3(3

y

ayyn

34 10)3(10300061.2

00061.22

)2(

)2()3()3( y

y

yyy

ii) 9a

59

99

2

1

)1()1(

2

1)0(0

y

ayyn

4444.09

95

)1(

)1()0()0(

y

yyy

4.35

95

2

1

)0()0(

2

1)1(1

y

ayyn

32.05

54.3

)0(

)0()1()1(

y

yyy

02353.34.3

94.3

2

1

)1()1(

2

1)2(2

y

ayyn

11073.04.3

4.302353.3

)1(

)1()2()2(

y

yyy

00009.302353.3

902353.3

2

1

)2()2(

2

1)3(3

y

ayyn

31075.702353.3

02353.300009.3

)2(

)2()3()3(

y

yyy


300009.3

900009.3

2

1

)3()3(

2

1)4(4

y

ayyn

355 10103)4(y10300009.3

00009.33

)3(y

)3(y)4(`y)4(y

δ) 408080 1010)(lim10 anya

n


ΑΣΚΗΣΗ 79

α) Να ζρεδηαζηεί έλα αηηηαηό θαη κε αλαδξνκηθό (FIR) ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πνπ λα απνθόπηεη ηειείσο ην ζπλερέο (D.C.), κία αλεπηζύκεηε παξεκβνιή 50Hz, θαζώο θαη όιεο ηηο ππάξρνπζεο αλώηεξεο αξκνληθέο ηεο. Γίλεηαη όηη ην κέγηζην "θέξδνο'' είλαη 4 θαη όηη ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο, fs

,

είλαη 400Hz. Να πξνζδηνξηζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ

ζπζηήκαηνο θαη λα γίλεη ε πξαγκαηνπνίεζή ηνπ.

β) Να παξαζηαζνύλ γξαθηθά ε ραξαθηεξηζηηθή πιάηνπο, | ( )|H , θαη ε

ραξαθηεξηζηηθή θάζεο, ( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Να ζεκεησζνύλ ζηνλ άμνλα

ηεο ζρεηηθήο γσληαθήο ζπρλόηεηαο, ( )rad , νη αληίζηνηρεο ηηκέο ηεο θπζηθήο

ζπρλόηεηαο, f Hz( ) .

ΛΥΣΗ

α) Γλσξίδνπκε ηα f Hzs 400 θαη νη ζπρλόηεηεο πνπ ζα απνθνπνύλ είλαη νη

f HzC

DC fs

0 50100150 2002

, , , ,/

.

Δίλαη C C

C

S

Ff

f2 2

C

C

S

f

f,

,

0

02 2

0

4000 ,

C

C

S

f

f,

,

1

12 2

50

400 4,

C

C

S

f

f,

,

2

22 2

100

400 2,

C

C

S

f

f,

,

3

32 2

150

400

3

4,

C

C

S

f

f,

,

4

42 2

200

400.

Άξα πξέπεη ην ζύζηεκα λα έρεη κεδεληθά πάλσ ζην κνλαδηαίν θύθιν ζηα ζεκεία

C,0 , C,1 , C,2 , C,3 , C,4 θαη ζηα ζπδπγή κηγαδηθά ηνπο.

Γειαδή ζα έρνπκε :

0

01 10e ej jC, , ( 0 0

*), ( R )

1

41 1e ej j

C, , 1

41* ej

.

2

21 2e e jj j

C, , 2

2* e jj

3

3

41 3e ej j

C, , 4

3j

*

3 e1

4 1 14e e

j jC, , (4 4

* ), ( R ).


Ζ πλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ππό ζρεδίαζε ζπζηήκαηνο ζα έρεη ηελ εμήο κνξθή :

H z KA z

z( )

( )

( )

όπνπ

K : πξαγκαηηθή ζηαζεξά γηα ηελ επίηεπμε ηνπ δεηνύκελνπ θέξδνπο (Gain).

A z( )

A z z z z z z z

z z e z j z e z z e z j z e

z z z j z j z e z e

ii

j j j j

z z

j j

( ) ( )( )( )( )...( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )(

*

0 1 2 3 10

7

4

3

4

3

4 4

1 1

4 4

1 1

1 12 2

z e z e z z z

j j

z

3

4

3

4

1

4 4 8

4

1 1 1)( ) ( )( )

Υσξίο λα εθηειεζηνύλ νη πξάμεηο, κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην πξνθύπηνλ ζπκκεηξηθό

ζρήκα κε ηα 8 κεδεληθά, κε αξρή ην 0 1 θαη ηόμν κεηαμύ δηαδνρηθώλ κεδεληθώλ 2

8 πνπ

απνηειεί ηε δηάηαμε γηα ηηο όγδνεο ξίδεο ηεο κνλάδαο.

( )z

( ) ( )( )...( )z z z z z0 1 7

8, γηαηί

0 1 7 0... .

Παξαηήξεζε : Σν πνιπώλπκν ηνπ παξνλνκαζηή, ( )z , δελ κπνξεί λα έρεη ηηκή κία ζηαζεξά,

π.ρ. ( )z A , δηόηη ηόηε ην ζύζηεκα ζα πξνθύςεη κε αηηηαηό.

Δπηπιένλ, δελ κπνξεί λα έρεη πόινπο εθηόο από ην κεδέλ δηόηη ηόηε ην ζύζηεκα ζα πξνθύςεη αλαδξνκηθό. Από ηηο πξνδηαγξαθέο ζρεδίαζεο όκσο, ζέινπκε ζύζηεκα αηηηαηό θαη κε

αλαδξνκηθό, άξα ( )z z8.

Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο γξάθεηαη :

)z1(Kz

1zK)z(H 8

8

8


Πξνζδηνξηζκόο ηνπ K :

H K e H K e e e K j e

K e e K e

j j j j

j

j

j

j

jj

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin( )

sin( ) sin( )

sin( )

( )

1 2 4

2 4 2 4

8 4 4 4

2 4

4

2 4 44

| ( )| | | |sin( )|H K2 4 ελώ ε κέγηζηε ηηκή ηνπ είλαη | ( )|H MAX 4 .

Άξα :

| ( )| | | |sin( )| | | | |H K K KMAX MAX4 2 4 4 2 2

1

ή K 2 0( ).

Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο δίλεηαη από ηελ ηειηθή ζρέζε :

H z z( ) ( )2 1 8

Με αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκό z παίξλνπκε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ :

h n Z H z n n( ) ( ) [ ( ) ( )]1 2 8

Ζ έμνδνο αληίζηνηρα είλαη :

Y z z X z X z z X z( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]2 1 28 8 ή

)]8n(x)n(x[2)n(y)]z(Xz)z(X[2Z))z(Y(Z)n(y 811

x n( )

+y n( )

2

z 8

z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1

-+

β) Γηα ηηο ραξαθηεξηζηηθέο πιάηνπο θαη θάζεο, | ( )|H θαη ( ) αληίζηνηρα, ζα έρνπκε :

| ( )| |sin( )|H 4 4 θαη ( ), sin( )

, sin( )24

0 4 0

4 0

ηελ αθόινπζε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο | ( )|H ζεκεηώλνληαη κε (+) θαη (-) ηα δηαζηήκαηα

πνπ ην sin( )4 είλαη ζεηηθό θαη αξλεηηθό αληίζηνηρα.

3

| ( )|H

( )radπ/8 3π/8

1

π/40 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 π

2

4

f Hz( )500(D.C.) 100 150 200

+ + - - + + - -


( )

( )radπ/8 3π/8π/40 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 π

+π/2

+π

f Hz( )50 100 150 200

-π/2

-π


ΑΣΚΗΣΗ 80

Θεσξνύκε ην ζήκα )(1 nx ην νπνίν έρεη όιν ην κε κεδεληθό ηκήκα ηνπ ζην

θιεηζηό δηάζηεκα 1,0 N . Αλ κε 1,...,3,2,1,0),( 111 NmmX θαη

κε 12,...,3,2,1,0),( 222 NmmX παξαζηήζνπκε ηνπο ΓΜΦ ηνπ ζήκαηνο

)(1 nx , κε παξάζπξα αλάιπζεο Ν θαη 2Ν αληίζηνηρα, ηόηε :

α) Να εθθξάζεηε ηνπο όξνπο άξηηαο ηάμεο ηνπ )( 22 mX (δειαδή γηα άξηην 2m )

ζπλαξηήζεη ησλ όξσλ ηνπ )( 11 mX .

β) Να γεληθεύζεηε ην πξνεγνύκελν ζπκπέξαζκα ζηελ πεξίπησζε πνπ ην

‘παξάζπξν αλάιπζεο‘ έρεη κήθνο NLNL ( θαη )2L *.

(Γειαδή λα εθθξάζεηε ηνπο όξνπο L -ηάμεο ηνπ )( LL mX ζπλαξηήζεη ησλ

όξσλ )( 11 mX ). Πνην είλαη θαηά ηελ γλώκε ζαο, ην όθεινο ζηελ αλάιπζε κε

ΓΜΦ από κηα ηέηνηα ‘επέθηαζε κεδεληθώλ ηηκώλ’ ηνπ αξρηθνύ ζήκαηνο;

*

x n1( )

n

0 N-1 2N-1 3N-1

Με κεδεληθό ηκήκα

ηνπ ζήκαηνο x n1( )

LN-1

Δπέθηαζε κεδεληθώλ ηηκώλ

ΛΥΣΗ

1,0,0)(1 Nnnx

α)

1

0

2

111

1

)()()(N

n

nmN

j

enxnxmX F

0

12

2

2

1

1

0

2

2

1

12

0

2

2

122

222

)()()()()(N

Nn

nmN

jN

n

nmN

jN

n

nmN

j

enxenxenxnxmX F

1

0

2

2

1

2

)(N

n

nmN

j

enx

Αλ 2m : άξηηνο, δειαδή 12 2 mm , έρνπκε :

)(

1

0

2

1

1

0

22

2

1

12

22

11

11

)()(2

)(

mX

N

n

nmN

jN

n

mnN

j

enxenxmm

mX

Άξα :

)(2

)( 11

12

22 mXmm

mX


β)

0

1 2

1

1

0

2

1

1

0

2

1 )()()()(Nl

Nn

nmNL

jN

n

nmNL

jNL

n

nmNL

j

LL

LLL

enxenxenxmX

1N

0n

nmNL

2j

1

L

e)n(x

Γηα ηνπο όξνπο L -ηάμεσο ηνπ )( LL mX , δειαδή γηα ηνπο 1mLmL , ζα έρνπκε :

)(

1

0

2

1

1

0

2

1

1

11

11

)()()(

mX

N

n

nmN

jN

n

nLmLN

j

L

LL enxenxmLm

mX

Άξα :

)m(XLmm

)m(X 11

1L

LL

Β’ ηξόπνο : Γλσξίδνπκε όηη :

mN

eXnxFmX j 2)()()(

1111 2)()(

mN

eXmX j

)(2

2

2)(2

)( 111

1

12

22 mXm

N

eXmm

mX j

)m(XLm

LN

2)e(XmLm

)m(X 111

j

1

1L

LL

Σν όθεινο από κηα ηέηνηα ‘επέθηαζε κεδεληθώλ ηηκώλ’ πξέπεη λα αλαδεηεζεί ζηε ‘Φαζκαηηθή Γηαθξηηηθή Ηθαλόηεηα’, δειαδή ζηελ απόζηαζε κεηαμύ δηαδνρηθώλ θαζκαηηθώλ ζπληζησζώλ. Πξάγκαηη, όπσο πξνθύπηεη από ηηο πξνεγνύκελεο ζρέζεηο, αλάκεζα από ηηο θαζκαηηθέο

ζπληζηώζεο 1,...,2,1,0),( 111 NmmX ζα παξεκβάινληαη L επηπιένλ θαζκαηηθέο

ζπληζηώζεο ( ,...3,2L ) κε απνηέιεζκα ηελ βειηίσζε ηεο Γηαθξηηηθήο Ηθαλόηεηαο. Βεβαίσο,

ην ‘πεξίγξακκα’ ηνπ Φάζκαηνο, πνπ θαζνξίδεηαη απνθιεηζηηθά από ην ζήκα 1x , παξακέλεη

αλαιινίσην.


Ζ επόκελε γξαθηθή παξάζηαζε εμεγεί απηά πνπ πξναλαθέξακε.

| ( ) |X e j

0 π 2π

m121 3 4 5

| ( ) |X mθαη

6 7 8 9 100m 2

42 6 8 10 12 14 16 18 200 53 7 9 11 13 15 17 191m 4

42 6 80 53 71 ...

S ,1

S , 2

S , 4| ( ) |X e j

1

| ( ) | | ( ) | | ( ) |X X X1 2 46 1 2 2 4

: | ( ) |X e j

1

: | ( ) |X m1 1

: | ( ) |X m2 2

: | ( ) |X m4 4

...4,2,1, SSS θαη επεηδή ...1

421

S

(ΓΗ) : Γηαθξηηηθή Ηθαλόηεηα (Φαζκαηηθή).


ΑΣΚΗΣΗ 81

Γίλεηαη ην πεξηνδηθό ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ, x n( ) , κε κήθνο πεξηόδνπ

N 6 :

x t e u tt( ) ( ) (1)

α) Να ππνινγηζηεί ν Γ.Μ.Φ., X m( ) , ηνπ ζήκαηνο θαη λα ζρεδηαζηεί ην θάζκα

πιάηνπο, | ( )|X m , θαη ην θάζκα θάζεο, X m( ) , ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ. Αλ

TS 0,01sec πνηα ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ θαζκαηηθώλ ζπληζησζώλ, δειαδή

ε "Γηαθξηηηθή Ηθαλόηεηα", θαη πνηα είλαη ε ηηκή ηνπ πιάηνπο ηεο πςειόηεξεο από απηέο ;

Πνηά είλαη ε ηηκή (Hz) απηήο ηεο ζπληζηώζαο ;

β) Δίλαη ην ζήκα x n( ) πξαγκαηηθό ζήκα ; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο.

Πξνζδηνξίζηε κία ηξηγσλνκεηξηθή έθθξαζε γηα ην ζήκα x n( ) θαη ππνινγίζηε

ηηο ηηκέο ηνπ ζην δηάζηεκα κηαο πεξηόδνπ.

ΛΥΣΗ

α) Σν ζήκα x n( ) έρεη δνζεί ζηε κνξθή Αληηζηξόθνπ Γηαθξηηνύ Μεηαζρεκαηηζκνύ Fourier

(Α.Γ.Μ.Φ.). Απηό ην ζπκπεξαίλνπκε από ηνλ νξηζκό :

1N

0m

mnN

2j

1 e)m(XN

1)]m(X[F)n(x .

Γηα N 6γξάθνπκε :

x n X X e X e X e X e X ej n j n j n j n j n

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

60 1 2 3 4 5

2

6

2

62

2

63

2

64

2

65

(ζρέζε (2)). Από ηε ζύγθξηζε ησλ ζρέζεσλ (1) θαη (2) παίξλνπκε :

X( )0 12 , X X( ) (1 5) 0 , X X( ) ( )2 4 3 θαη X( )3 24 .

Ζ ζπρλόηεηα ππνινγίδεηαη από ηε γλσζηή ζρέζε :

S

SN THz

1 1

6 10

100

62 sec.

Ζ πςειόηεξε θαζκαηηθή ζπρλόηεηα είλαη :

fN

Hz Hzf

MAX S

S

2

6

2

100

650

2( ) γηαηί f

THzS

S

1 1

0 01100

, sec.

Ζ fMAX πνπ πξνζδηνξίζηεθε παξαπάλσ είλαη απηή ησλ 50 Hz, αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή m 3

θαη έρεη πιάηνο

AX

N

( )3 24

64 .


0 1 2 3 4 5

| ( )|X m

m3

24

12

0100

6

200

6300

6 6

2006

100

f Hz( )

Hz6

100S

0 1 2 3

4

5

X m( )

m

π

-π

β) Σν ζήκα x n( ) είλαη πξαγκαηηθό ζήκα, δηόηη όπσο γλσξίδνπκε από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ Γ.Μ.Φ.

: x n R X m X N m( ) ( ) ( )*.

Δδώ, έρνπκε : )m6(X)m(Xm,R)m(X *.

Δπνκέλσο, ην ζήκα x n( ) είλαη πξαγκαηηθό.

Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε κία ηξηγσλνκεηξηθή έθθξαζε γηα ην ζήκα x n( ) παξαηεξνύκε όηη :

e ej n j n2

64

2

62( ) ( )

. Άξα έρνπκε :

])nsin(j)n[cos(4)n3

2cos(2e4]ee[

6

32

]e3e24e312[6

1)n(x

0

)n3(6

2j

)n3

2cos(2

)n2(6

2j)n2(

6

2j

)n2(6

2j)n3(

6

2j)n2(

6

2j

Οπόηε : x n n n( ) cos( ) cos( )22

34 .

Γηα n x0 0 2 0 4 0 2 1 4 5( ) cos( ) cos( ) .


Γηα n x1 1 22

34 2

1

24 15( ) cos( ) cos( ) , .

Γηα n x2 2 24

34 2 2

1

24 6 5( ) cos( ) cos( ) , .

Γηα 3412)3cos(4)3

6cos(2)3(x3n .

Γηα n x4 4 28

34 4 2

1

24 6 5( ) cos( ) cos( ) , .

Γηα n x5 5 210

34 5 2

1

24 15( ) cos( ) cos( ) , .


ΑΣΚΗΣΗ 82

Έλα αηηηαηό ζύζηεκα, ζε είζνδν κνλαδηαίνπ βεκαηηθνύ ζήκαηνο )(nu , έρεη

έμνδν )(nyu :

)()( nunnyu

α) Να πξνζδηνξηζζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, )(nh , ηνπ ζπζηήκαηνο

ρσξίο ηε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε. Να επαιεζεύζεηε ηελ έθθξαζε πνπ πξνζδηνξίζαηε γηα ηελ )(nh κε ηελ ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε. Πώο

ραξαθηεξίδεηε ην ζύζηεκα από πιεπξάο επζηάζεηαο ; β) Να ππνινγηζζεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, ρσξίο ηελ ρξήζε κεηαζρεκαηηζκνύ Ε, ζε είζνδν )(nh :

32,1

10,1

4,0,0

)(

n

n

nn

nx

γ) Δπαιεζεύζαηε ηηο ηηκέο ηεο εμόδνπ ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο κε ηελ ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε. Πξνζδηνξίζαηε ηε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο.

ΛΥΣΗ α)

( )n

Sh n( )

u n u n( ) ( )1ή

y n y nu u( ) ( )1ή

Γ.Υ.Α.

u n( ) y n n u nu ( ) ( )h n( )

)1()1()1()()1()()( nununnunnynynh uu

Άξα :

)1()( nunh

U z( ) Y zu ( )

H z( )

)()()(: zUzHzYu

1z

zz

)1z(

1

)1z(

z

)1z(

z

)z(U

)z(Y)z(H 1

2u


)1(1

)()( 1 nuz

zzzHnh 1-1- ZZ

1

1)(

zzH 1 πόινο ζην ζεκείν z=1

Άξα ην ζύζηεκα είλαη νξηαθά επζηαζέο. β)

x n( ) y n( )h n( )

(Γ.Υ.Α.)

3n2,1

1n0,1

4n,0n,0

)n(x

)4n(u)2n(u2)n(u)n(x

Άξα :

)4n(u)4n()2n(u)2n()n(un)4n(y)2n(y2)n(y)n(y uuu

)4n(u)4n()4n(u)2n(2

)3n(12)2n(02)4n(un)3n(3)2n(2)1n()n(0

)3()2(2)1( nnn

γ)

1

1)(),()()(

zzHzHzXzY

1z

)zz21(z

1z

zz

1z

zz2

1z

z)4n(u)2n(u2)n(u)n(x)z(X

4242ZZ

321

2

2121

2

2242

zz2z)1z(

)z1()z1(z

)1z(

)z1(z

1z

1

1z

)zz21(z)z(Y

)3n()2n(2)1n(zz2z)z(Y)n(y 321-1-1 ZZ


1

1

11

1

)(

)()(

z

z

zzX

zYzH

11 )(1)( zzXzzY

-1Z)()()( 11 zXzzzYzY

)1()1()()1()1()( nynxnynxnyny

x n( )

z 1

+y n( )

+

x n( )1

y n( )1

+

z 1


ΑΣΚΗΣΗ 83 (ΘΔΜΑ 2ν -25/9/91)

Γίλεηαη ην IIR ζύζηεκα :

x n( )

z 1

+ ++y n( )1 3/

11 3/

α) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο. Πώο ραξαθηεξίδεηαη ην ζύζηεκα από πιεπξάο επζηάζεηαο ;

β) Πώο ραξαθηεξίδεηαη ην ζύζηεκα από πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ ;

γ) Να ππνινγηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ζηελ πεξίπησζε πνπ ε είζνδνο είλαη :

x n ak

nkk

( ) cos( )60

2

.

ΛΥΣΗ

α) ύκθσλα κε ηε ζεσξία, ην ζύζηεκα βξίζθεηαη ζε πξαγκαηνπνίεζε κε ηελ θαλνληθή κνξθή ηύπνπ ΗΗ.

Δδώ έρνπκε : a0 1, a1

1

3, b0

1

3, b1 1.

Ζ γεληθή ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ απηώλ ησλ ζπζηεκάησλ είλαη :

a y n k b x n kkk

M

kk

N

( ) ( )0 0

.

Άξα εδώ ζα έρνπκε :

y n y n x n x n( ) ( ) ( ) ( )1

31

1

31 ή

3 1 3 1y n y n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) .

Ο κεηαζρεκαηηζκόο Z ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο δίλεη :

3 3 3 1 3

1 3

3

3

3 1

1 1 1 1

1

1

Y z z Y z X z z X z Y z z X z z

H zY z

X z

z

z

z

z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( )

( )

Άξα ππάξρεη έλαο πόινο ζην ζεκείν z0

1

3 ( )3 1 00z , θαη επεηδή | |z0 1, έπεηαη όηη ην

ζύζηεκα είλαη επζηαζέο. β) Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ζην ρώξν ηεο ζπρλόηεηαο δίλεηαη από ηε ζρέζε :

H H ze

e

j

jz e

j

jj( ) ( )|cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

3

3 1

3

3 3 1.

Σν κέηξν είλαη ίζν κε :


| ( )|( cos( )) sin ( )

( cos( ) ) sin ( )

cos( ) cos ( ) sin ( )

cos( ) cos ( ) sin ( )

cos( )

cos( ), [ , ]

H3

3 1 9

9 6

1 6 9 9

10 6

10 61 0 2

2 2

2 2

2 2

2 2

Άξα ην ζύζηεκα είλαη νινπεξαηό (All Pass)

| ( )|H

1

2 ( )rad0

γ) Από ηε ζεσξία γλσξίδνπκε όηη :

x n( )

cos( )0 0nH( )

Γ.Υ.Α.

| ( )| cos( ( ))H n0 0 0 0

y n( )

H H e j( ) | ( )| ( ), όπνπ ( ) ( ( )) tan

Im( ( ))

Re( ( ))Arg H

H

H

1.

Δδώ έρνπκε :

| ( )|H 1, θαη ( ) tan (sin

cos) tan (

sin

cos)1 1

3

3

3 1.

Σν ζήκα εηζόδνπ γξάθεηαη αλαιπηηθά :

x n ak

n a a n a nkk

( ) cos( ) cos( ) cos( )6 6 30

2

0 1 2 .

Άξα : 0 1 0, , 0 2 6, θαη 0 3 3, .

θαη ηόηε ( ) ( ),0 1 0 0 ( H( )| 0 1 ),

( ) ( ) , ( , ),0 2

0

656 37 0 98rad ,

( ) ( ) , ( , ),0 3

0

398 21 1 71rad .

Άξα ε έμνδνο πεξηγξάθεηαη ηειηθά από ηελ εμίζσζε :

y n a a n a n( ) cos( , ) cos( ,71)0 1 260 98

31

ή )21,98n60cos(a)37,56n30cos(aa)n(y 00

2

00

10 .


ΑΣΚΗΣΗ 84

Έζησ ην ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ )(tx , όπνπ ην δηπιεπξηθό θάζκα πιάηνπο

ηνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε :

0

97),8

(1()( 00

0

0 ffff

ffA

fX

Έζησ όηη δηαζέηεηε έλα θαησδηαβαηό θίιηξν κε ζπρλόηεηα απνθνπήο 02 f , κηα

γελλήηξηα ζπρλνηήησλ ζπλεκηηνληθώλ θπκάησλ κνλαδηαίνπ πιάηνπο κε εύξνο

ζπρλνηήησλ από 01.0 f εώο 05 f .

α) ρεδηάζαηε ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο )(tx . Πεξηγξάςαηε ηνλ ηξόπν

νδήγεζεο ηνπ πξναλαθεξόκελνπ ζήκαηνο ζηνλ δεηγκαηνιήπηε, ρσξίο απώιεηα πιεξνθνξίαο, ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ιεηηνπξγηθέο βαζκίδεο πνπ πεξηγξάθνληαη πξνεγνπκέλσο. ρεδηάζαηε ην αληίζηνηρν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα. β) Πεξηγξάςαηε ηελ αληίζηξνθε δηαδηθαζία επαλάθηεζεο ηνπ αλαινγηθνύ ζήκαηνο, )(tx , από ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πνπ έρεηε δεκηνπξγήζεη.

ρεδηάζηε ην αληίζηνηρν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα.

ΛΥΣΗ α)

| ( )|X f

f Hz( )

Α

7 0f9 0f 7 0f 9 0f

Πξνθεηκέλνπ λα νδεγήζνπκε ην ζήκα απηό ζε ζύζηεκα δεηγκαηνιεςίαο ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ιεηηνπξγηθέο βαζκίδεο πνπ πεξηγξάθνληαη, πξέπεη λα κεηαθηλήζνπκε ηελ δώλε ζπρλνηήησλ

ηνπ ζήκαηνο ζηελ πεξηνρή 020 ff . Απηή ε κεηαθίλεζε θάζκαηνο, ζύκθσλα κε ηηο

ηδηόηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Φνπξηέ (ζει.128) γίλεηαη κε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ ζήκαηνο

κε έλα ζπλεκηηνληθό ζήκα ζπρλόηεηαο 07 f , δειαδή κε ην ζήκα : )72cos( 0 tf , δηόηη :

)7()7(2

1)72cos( 00

)(

0 fffftf

tm

F

Δπεηδή ν κεηαζρεκαηηζκόο Φνπξηέ κεηαηξέπεη ην γηλόκελν ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζε ζπλέιημε ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο, ζα έρνπκε :

)()()(' txtmtx )()()()()()()72cos( '

0 fXfMtxtmfXtxtf F

)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1)()( 0000

' ffXffXfffffXfX , όπσο

θαίλεηαη θαη από ην επόκελν ζρήκα :


| ( )|X f

f

Α

7 0f9 0f 7 0f 9 0f

f7 0f 7 0f

M f( )

1/2( )f f7 0( )f f7 0

f2 0f 2 0f14 0f

X f( )

16 0f14 0f16 0f

A/2

f2 0f 2 0f

H f( )1

2 0f f2 0f

A/2 X f( )

Καησδηαβαηό θίιηξν

(L.P.)

Φάζκα ζήκαηνο

ζηελ έμνδν ηνπ θίιηξνπ

x t( )

Άξα έρνπκε ηελ εμήο ζπλδεζκνινγία ιεηηνπξγηθώλ βαζκίδσλ :

x n( )

m t f t( ) cos( )2 7 0

f fs 5 0

ΓΔΗΓΜΑΣΟΛΖΠΣΖ

Α/Φ

Μεηαηξνπεαο

H f( )

f2 0f2 0f

ΚΑΣΧΓΗΑΒΑΣΟ ΦΗΛΣΡΟ(ΑΝΣΗΑΝΑΓΗΠΛΧΣΗΚΟ)

x t( )x t( )

ΓΔΝΝΖΣΡΗΑΤΥΝΟΣΖΣΧΝ

x t( )

Σα θάζκαηα ησλ ζεκάησλ )(tx , )(tm , )(' tx θαη )('' tx θαίλνληαη ζην πξεγνύκελν ζρήκα.

β) Γηα ηελ δηαδηθαζία επαλάθηεζεο ηνπ αξρηθνύ ζήκαηνο, )(tx , ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε μαλά

ηελ ίδηα ηερληθή πνιιαπιαζηαζκνύ κε ζπλεκηηνληθό ζήκα ζπρλόηεηαο 07 f . Δπί πιένλ, ζα

ρξεζηκνπνηήζνπκε δσλνπεξαηό θίιηξν θαη εληζρπηή γηα ηελ απνθαηάζηαζε ηνπ πιάηνπο ζηελ αξρηθή ηηκή (Α). Σα θάζκαηα ζηα δηάθνξα ζηάδηα θαίλνληαη ζην επόκελν ζρήκα :


X f( )

f

Α/2

2 0f 2 0f

f7 0f 7 0f

M f( )

1/2

f5 0f 5 0f 7 0f

X f( )

9 0f7 0f9 0f

A/4

H f( )

7 0ff7 0f

A/4

~( )X f

Εσλνπεξαηό θίιηξν

Φάζκα ζήκαηνο ζηελ

έμνδν ηνπ θίιηξνπ

αλαθαηαζθεπήο

f7 0f 9 0f7 0f9 0f

1

9 0f9 0f

~( ) ( )X f X f

Ζ αληίζηνηρε ζπλδεζκνινγία ιεηηνπξγηθώλ βαζκίδσλ έρεη σο εμήο :

x n( )

m t f t( ) cos( )2 7 0

f fs 5 0

z n( )

Φ/Α

Μεηαηξνπεαο

H f( )

f2 0f2 0f

ΚΑΣΧΓΗΑΒΑΣΟ

ΦΗΛΣΡΟ

(ΑΝΑΚΑΣΑΚΔΤΖ)

x t( ) x t( )

x t( )

H f( )

| |2 0f| |2 0f

4

~( )x tx t( )

ΔΝΗΥΤΣΖ

(ΚΔΡΓΟ 4)

x t x t( ) ~ ( )4

ΕΧΝΟΠΔΡΑΣΟ

ΦΗΛΣΡΟ (B.P.F.) Παξαηήξεζε :

Υξεζηκνπνηήζακε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο 05 ff s θαη όρη 04 f πνπ επαξθνύζε

ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο ηνπ Shannon δηόηη ππνζέζακε κε ηδαληθό

(πξαγκαηηθό) βαζππεξαηό θίιηξν. Αλ ρξεζηκνπνηνύζακε 04 ff s ηόηε αλαπόθεπθηα ε

πεξηνρή πςειώλ ζπρλνηήησλ ηνπ θίιηξνπ αλαθαηαζθεπήο ζα είρε αιινησζεί αθνύ ζα ππήξρε θαη έλα ηκήκα από ηηο πςειέο ζπρλόηεηεο ηεο ακέζσο επόκελεο επαλάιεςεο ηεο βαζηθήο θαζκαηηθήο δώλεο, όπσο θαίλεηαη θαη ζην επόκελν ζρήκα :


X fS, ( )4

f

Α/2

2 0f 2 0f

f

H f( )

f2 0f2 0f

A/4

2 0ff2 0f

A/2

Απόθξηζε πρλόηεηαο

Βαζππεξαηνύ θίιηξνπ

(πξαγκαηηθνύ)

f3 0f 5 0f

Α/2

f fS 4 0

4 0f 4 0f

2 0f 2 0f

Bαζηθή δώλε

1

H f X fS( ) ( ),4Δπηπιένλ δώλε

Δπηπιένλ δώλε

X fS , ( )5

2 0f 2 0f

f fS 5 0

3 0f5 0f

H f X fS( ) ( ), 5

Φάζκα ζήκαηνο

ζηελ έμνδν ηνπ

βαζππεξαηνύ

θίιηξνπ

X f( )ή


ΑΣΚΗΣΗ 85

Γίλεηαη ην ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ :

x t e u tt( ) ( ) .

Σν ζήκα απηό ζα νδεγεζεί ζε ζύζηεκα δεηγκαηνιεςίαο, ελδηαθεξόκαζηε δε λα δηαηεξήζνπκε ζην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πνπ ζα πξνθύςεη, ζπρλόηεηεο πνπ βξίζθνληαη από πιεπξάο πιάηνπο κέρξη 40db θάησ από ηε ζηάζκε

πιάηνπο ηνπ ζπλερνύο (D.C.). ( A fX f

Xi db

i( ) log

| ( )|

| ( )|20

010 )

α) Να ππνινγηζηεί ε ειάρηζηε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο, fS, θαζώο θαη ε

ζπρλόηεηα απνθνπήο ηνπ αληίζηνηρνπ αληηαλαδηπισηηθνύ θίιηξνπ. Αλ

δηαζέηνπκε ηκήκα ηνπ ζήκαηνο x t( ) κήθνπο 3 sec , λα ππνινγηζηεί ν ΓΜΦ

ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο ζεσξώληαο παξάζπξν αλάιπζεο όζν ην κήθνο ηνπ (δηαθξηηνύ) ζήκαηνο. Πόζε είλαη ε δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα,

S, ζην ρώξν

ζπρλνηήησλ ;

β) πγθξίλεηε ηηο ηηκέο γηα ηα πιάηε ησλ ζπληζησζώλ ησλ 0 Hz, 50 S Hz θαη

100 S Hz κεηαμύ ησλ ηηκώλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ ΓΜΦ θαη ησλ

πξαγκαηηθώλ. Αλ ππάξρνπλ δηαθνξέο, πνύ νθείινληαη θαηά ηε γλώκε ζαο θαη ηί πξνηείλεηε γηα ηε βειηίσζε ηεο αθξίβεηαο ηνπ ππνινγηζκνύ ;

ΛΥΣΗ

α) Πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε ηε ζπρλόηεηα πνπ βξίζθεηαη θαηά 40 db θάησ από ηε

ζηάζκε πιάηνπο ηνπ ζπλερνύο, ζα ππνινγίζνπκε ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο x t( ) :

X f F x t x t e dt e e dt

e dtj f

d ej f

ej f j

j ft t j ft

j f t j f t

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )( ) ( )

2

0

2

2 1

0

2 1

01

2 1

1

2 11

1

2 1

1

1

Άξα : Xj

X( ) | ( )|1

1

1

12.

Γηα ην ζπλερέο : | ( )| ( | ( )| )X X0 2

1

0 11 0 .

Ζ ζηάζκε πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο σο πξνο ην ζπλερέο ζήκα είλαη :

|)(|log20|)0(|

|)(|log20)( 10

1

10 ii

dbi XX

XA

Γηα i 0 παίξλνπκε : dbXdbA 01log20|)0(|log20)0( 1010 .

Γίλεηαη όηη :

1

1log20|)(|log2040)(

21010

m

mm XdbA .


Άξα :

21

11 1

2 11

21

10 2 10

0

10

2

10

2

10

2

log log ( ) log

log log ( )

m

m

m m

m m rad2

10

1 4 4 24 1 10 1 10 1 10log ( ) / sec

(ζηελ ηειεπηαία γξακκή ρξεζηκνπνηήζεθε ε ζρέζε : log ( ) log ( )a a

xx anti x a1)

Άξα : m m

mrad f Hz Hz100

2

100

2/ sec .

ύκθσλα κε ην ζεώξεκα δεηγκαηνιεςίαο ηνπ Shannon πξέπεη :

f f f HzS m S2 2100

2.

Δπηιέγνπκε ηειηθά : f HzS

min 100.

Πξνθαλώο ε ζπρλόηεηα απνθνπήο ηνπ αληηαλαδηπισηηθνύ θίιηξνπ ζα είλαη :

ff

f HzC

S

m

min

2

100

2.

Θα ππνινγίζνπκε ην πιήζνο ησλ δεηγκάησλ, N, πνπ ζα πξνθύςνπλ από ηε δεηγκαηνιεςία

ηνπ ζήκαηνο x t( ) ελόο ηκήκαηνο ηνπ κήθνπο t 3 sec .

Nt

T

t

ff t

S S

S1

1003 3001

/sec secmin

.

ηε ζπλέρεηα, ζα ππνινγίζνπκε ηνλ ΓΜΦ ηνπ ζήκαηνο x n( ) κε "παξάζπξν αλάιπζεο"

κήθνπο 300.

x n x t e u t e u nt n T

t

tn

n

S( ) ( )| ( )| ( )

100

100

x n x n( ) ( ) , n [0,299], x n x n k( ) ( )300

X m F x n x n e e e e

e

e

e e

e e

e

em

jm

jmn

N

n

Nn

n

j nm jmn

n

j m

j m

j m

j m

( ) [ ( )] ( )

( ) (cos( ) sin(

( )

( )

( )

2

0

1

100

0

299 2

3002 3

300

0

299

2 3

2 3300

2 3

1002

300

3

100

1

1

1

1

1

1150 150

0 99992

1 0 96907150 150

))

,

( , cos( )) sin( )m

jm

Άξα : X mm

jm

( ),

( , cos( )) sin( )

0 99992

1 0 96907150 150

Σέινο, ε δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα ζην ρώξν ζπρλνηήησλ είλαη :

S

S Sf

N

f

NHz Hz

min ( / )100

300

1

3.

β)


i) ην ζπλερέο ( f Hz0 ), έρνπκε : Xj

X( ) | ( )|01

0 10

1

0 11

2,

X X m m( ) ( )|,

,,0

0 999921

1 0 9690732 328480 .

ii)

f Hz Hz HzS50 501

3

50

3.

X

j j

X( ) | ( )| ,50

3

1

250

31

1

100

31

50

3

1

10

91

0 029994

X X m

j

jj

m( ) ( )|,

( , cos( )) sin( )

,

( , cos( )) sin( )

,

, ,

500 999921

1 0 9690750

150

50

150

0 999921

1 0 969073 3

0 999921

0 51547 0 86603

50

| ( )|,

, ,,X 50

0 999921

0 51547 0 866030 99215

2 2

iii)

f Hz Hz HzS100 1001

3

100

3

X

j j

X( ) | ( )| ,100

3

1

2100

31

1

200

31

100

3

1

4 10

91

0 015004

X X m

j

jj

m( ) ( )|,

( , cos( )) sin( )

,

( , cos( )) sin( )

,

, ,

1000 999921

1 0 96907100

150

100

150

0 999921

1 0 969072

3

2

3

0 999921

1 48454 0 86603

100

| ( )|,

, ,,X 100

0 999921

1 48454 0 866030 58179

2 2

ηε ζπλέρεηα ζα ζπγθξίλνπκε ηηο ηηκέο πνπ ππνινγίζακε γηα ηα | ( )|X m Sθαη | ( )|X m γηα

m 0 50100, , .

Δίλαη θαλεξό όηη ππάξρεη κεγάιε δηαθνξά ηηκώλ θαη ζηα ηξία δεύγε. Απηό όκσο νθείιεηαη ζην

όηη νη ηηκέο γηα ηα | ( )|X m πνπ ππνινγίζακε δελ είλαη άκεζα ζπγθξίζηκεο κε ηηο αληίζηνηρεο

| ( )|X m S γηαηί πξνεγνπκέλσο ρξεηάδνληαη πνι/ζκό κε ηελ πεξίνδν δεηγκαηνιεςίαο, TS .

Απηό νθείιεηαη ζηελ πξνζέγγηζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier πνπ θάλνπκε κέζσ ηνπ ΓΜΦ. Αλαιπηηθά :


X f F x t x t e dtj ft( ) ( ) ( ) 2 θαη αλ x t( ) 0 , γηα t 0 , ηόηε :

X f x t e dtj ft( ) ( )0

2.

Αλ πξνζεγγίζνπκε ην νινθιήξσκα, ζεσξώληαο δηαθξηηό ρξόλν ( t n Tn S) θαη δηαθξηηή

ζπρλόηεηα, f mm S, ηόηε ην άζξνηζκα πνπ ζα πξνθύςεη ζα έρεη ηελ εμήο κνξθή :

~( )

~( ) ( ) ( )( )( )

( )

X f X m x nT e T T x nT em S S

j m nT

Sn

N

S S

j mNT

nT

n

N

S S SS

2

0

1 21

0

1

όπνπ

αληηθαηαζηήζακε : S

S S

S

f

N

T

N N T

( / )1 1.

Δπηπιένλ γξάθνπκε : ~

( ) ( ) ( ) ( )X f T x n e T x n T X mm S

jN

nm

n

N

S S

2

0

1

.

πλεπώο, γηα λα έρνπκε ζπγθξίζηκα κεγέζε ζα πξέπεη λα πνι/ζνπκε ηηο ηηκέο ησλ | ( )|X m

κε ηελ πεξίνδν δεηγκαηνιεςίαο, TS.

TfS

S

1 1

100 1000 03142

1sec

sec( , sec) .

Έηζη :

|~

( )| | ( )| ( , ) ,X T XS0 0100

32 32848 1 01563,

|~

( )| | ( )| ( , ) ,X T XS50 50100

0 99215 0 03117 ,

|~

( )| | ( )| ( , ) ,X T XS100 100100

0 58179 0 01828 .

Σόηε νη δηαθνξέο ζα είλαη :

m SX m X m|| ( )| |~

( )||

0 1 1 0| ,01563| ,01563

50 0 02999 0 03117 0 00118| , , | ,

100 0 01500 0 01828 0 00328| , , | , .

Παξαηεξνύκε όηη ηώξα νη δηαθνξέο είλαη πνιύ κηθξέο θαη νθείινληαη, θπξίσο, ζηα εμήο :

i) Πξηλ ηε δεηγκαηνιεςία ηνπ ζήκαηνο x t( ) , ππνζέζακε όηη έρεη γίλεη "θηιηξάξηζκα" ηνπ

αξρηθνύ ζήκαηνο κε θαησδηαβαηό θίιηξν κε ζπρλόηεηα απνθνπήο, f HzC

100

2. Οη ηηκέο

όκσο ηνπ ζήκαηνο x n( ) πνπ ρξεζηκνπνηήζακε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ ΓΜΦ έρνπλ

πξνθύςεη από θαηεπζείαλ δεηγκαηνιεςία ηνπ ζήκαηνο x t( ) , ρσξίο ηε κεζνιάβεζε ηνπ

αληηαλαδηπισηηθνύ θίιηξνπ, ζπλεπώο ζην θάζκα ηνπ ζήκαηνο x n( ) ππάξρεη

παξακόξθσζε (έζησ θαη κηθξή) ιόγσ ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο αλαδίπισζεο (aliasing).


ii) Ο ζεσξεηηθόο πξνζδηνξηζκόο ηνπ θάζκαηνο ηνπ ζήκαηνο x t( ) , κέζσ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ

Fourier, έγηλε κε ηελ ππόζεζε απείξνπ κήθνπο ηνπ ζήκαηνο, όπσο πξνθύπηεη θαη από ηνλ

νξηζκό ηνπ ζήκαηνο x t( ) . Αληίζεηα, ζηνλ ΓΜΦ ν πξνζδηνξηζκόο ησλ θαζκαηηθώλ ηηκώλ

γίλεηαη κε ηελ ρξήζε ελόο ηκήκαηνο κόλν ηνπ ζήκαηνο x n( ) , ( n N[ , ]0 1 ) θαη ηελ

ππόζεζε ηεο πεξηνδηθήο επέθηαζεο. Απηό όκσο ηζνδπλακεί κε πνι/ζκό ζην ρξόλν κε έλα

ηεηξαγσληθό παξάζπξν, w nN( ) , κήθνπο N N([ , ])0 1 πνπ ηζνδπλακεί κε ζπλέιημε ζην

πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο ησλ θαζκάησλ, δειαδή :

x n w n X W X W d XN

F

N N( ) ( ) [ ( )* ( )] ( ) ( ) ( )1

2

1

2 Όιε

απηή ε αθνινπζία ησλ επηκέξνπο βεκάησλ θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα :

x t( )

t

1

e u nt ( )

F

1

| ( )|X

p tS ( )

t

1

TS

......

F

PS ( )

S

......

S0

1 / TS

S

ST

2

t

1

x t x t p tS S( ) ( ) ( )

x n( )ή

F| ( )|X S

(ή X ( ) )

S S

aliasing

ST/1


n

w nN ( )

-

...

1

N 1

F| ( ) |W N

2

N

2

N

n

x n x n w nN( ) ( ) ( )

F

| ( )|X

2 2

X X W N( ) [ ( ) * ( )]1

2

Από ην παξαπάλσ ζρήκα είλαη θαλεξό όηη : | ( )| | ( )| ( )X XN

mm S2 2 κε

m N012 1, , ,..., θαη 2 2S

Sf

N.


ΑΣΚΗΣΗ 86

Έλα αηηηαηό ζύζηεκα, ζε είζνδν κνλαδηαίνπ βεκαηηθνύ ζήκαηνο )(nu , έρεη

έμνδν )(nyu :

)2

()( nunyu

α) Να πξνζδηνξηζζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, )(nh , ηνπ ζπζηήκαηνο

ρσξίο ηε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ζ. Να επαιεζεύζεηε ηελ έθθξαζε πνπ πξνζδηνξίζαηε γηα ηελ )(nh κε ηελ ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ζ. Είλαη ην

ζύζηεκα επζηαζέο; β) Να ππνινγηζζεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, ρσξίο ηελ ρξήζε κεηαζρεκαηηζκνύ Ζ, ζε είζνδν )(nx :

74,1

30,1

8,0,0

)(

n

n

nn

nx

γ) Επαιεζεύζαηε ηηο ηηκέο ηεο εμόδνπ ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο κε ηελ ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ζ. Πξνζδηνξίζαηε ηε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο. δ) Να πξνζδηνξηζζεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο θαη λα γίλεη ε πξαγκαηνπνίεζή ηνπ. Να ραξαθηεξηζζεί ην ζύζηεκα από πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ θαη λα παξαζηαζνύλ γξαθηθά ε απόθξηζε πιάηνπο θαη θάζεο ηνπ ζπζηήκαηνο.

ΛΥΣΗ

h n( )u n( ) y n u

nu ( ) ( )

2

)2

()(n

unyu

12,0

2,1

0,0

)2

(

kn

kn

nn

u ή )()(2

1)

2( nunun

u a

.όπνπ )()1()( nunu n

a

Δειαδή :

,...1,0,1,0,1)()1(12

1)

2( nun

u n

α) ?)(nh

( )n

Sh n( )

Εδώ γλσξίδνπκε ηελ απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο ζε είζνδν )(nu . Επνκέλσο ζα εθθξάζνπκε

ην ζήκα εηζόδνπ )(n κέζσ ηνπ ζήκαηνο )(nu :

)1()()( nunun


Επεηδή δε ην ζύζηεκα είλαη Υξνληθά Αλαιινίσην (ΥΑ) έρνπκε όηη :

h n( )u n( ) y nu ( )

h n( )u n( )1 y nu ( )1Γ.Υ.Α.

Άξα :

( )n

Sh n( )

u n u n( ) ( )1ή

y n y nu u( ) ( )1ή

Γ.Υ.Α.

)1()1(12

1)()1(1

2

1)1()()( 1 nununynynh nn

uu

)1(

1

)(

)1()1(12

1)1()1(1

2

1)(11

2

1)(

ny

n

ny

n

uu

nununnh

)()()1()1()1(22

1)()1()1(1)1(1

2

1)( nunununnun a

nnnn

Άξα :

,...1,1,1,1)()1()( nunh n

Επαιήζεπζε κε ρξήζε κεηαζρεκαηηζκνύ Ζ :

u n)( y n)u (

U z( )

h(n)

H(z)Yu z( )

1)(

z

zu(n)zU Z

11...)()(

2

2

2

0420

0 z

z

z

zzzzznyzY

n

n

uu

)1()(

)1)(1()()()(

z

zzH

zz

zzzUzHzYu

)()1()()1(

)()1(

)( 11 nunhz

zH(znh

z

zzH nZ)Z

Σν ζύζηκα κε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο 1

z)(

zzH

έρεη έλαλ πόιν ζην ζεκείν z=-1, δειαδή επάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν. Άξα είλαη νξηαθά επζηαζέο. β)


)8()4(2)(

74,1

30,1

8,0,0

)( nununu

n

n

nn

nx

Επεηδή ην ζύζηεκα είλαη Υξνληθά Αλαιινίσην ζα έρνπκε :

u n k( ) y n ku ( )

x n( )h y n( )

Άξα :

)8(

8

)4(

4

)(

)8()1(1)4()1(12)()1(12

1

)8()4(2)()(

ny

n

ny

n

ny

n

uuu

uuu

nununu

nynynyny

)8n(u)1(12

1)8n(u)1(1)8n(u)1(1

2

1

)6n(2)4n(2)6n()4n()2n()n(

8n8n8n

)6()4()2()( nnnn

Άξα :

,...0,0,0,1,0,1,0,1,0,1)6()4()2()()( nnnnny

γ)

X z( ) Y z( )H z( )

)()()( zXzHzY , 1

)(z

zzH ,

112

1)8()4(2)()()( 84

z

zz

z

zz

z

znunununxzX ZZ

1)21( 84

z

zzz

8842

)21()1)(1(

)( zzzzz

zzY

εκείσζε : 12)( 424 zz : Δηηεηξάγσλε ('4 zz )

)1z2z()1z(z)1z()1z()1z)(1z(

z)1z(

)1z)(1z(

z)z(Y 24262222

624

6

6422466242466 1)1()122( zzzzzzzzzzzzz

)6n()4n()2n()n(zzz1)z(Y)n(y 642-1-1 ZZ

δ)

)()()1()(

)(

1

1

1)( 1

1zXzYz

zX

zY

zz

zzH

)1()()()()()( 1 nynxnyzXzYzzY

-1Z


Άξα : )1()()( nynxny

x n( )

z 1

+y n( )

+-

)2

cos(21

)()(2

2222

22j

jjjj

jj

j

j

j

e

eeee

ee

e

e

ezzHH

2)(,

)2

cos(2

1

)2

cos(2

)(

2j

e

H

(δηόηη 0)2

cos( , 0 )

Πξνθαλώο ην ζύζηεκα είλαη θίιηξν δηέιεπζεο πςειώλ ζπρλνηήησλ (High Pass). ( )(H

γηα ).


( )

0 π

+π/2

+π

| ( )|H

0 π

1/2

| ( )|

cos( )

H1

22

( )2

| ( )|H

Τπάξρεη πόινο επάλσ

ζην κνλαδηαίν θύθιν

ζην ζεκείν Ω=π (z=-1)


ΑΣΚΗΣΗ 87

Έλα ΓΥΑ ζύζηεκα έρεη ηα κεδεληθά ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο H z( ) , ζηα

ζεκεία : 1 2 5 15 2, ( ) /j θαη ηνπο πόινπο ζηα ζεκεία : 1 2 1 2

1

10, , .

α) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο ππό ηελ

πξνϋπόζεζε όηη ην "ζπλερέο " δηέξρεηαη από ην ζύζηεκα ρσξίο ηξνπνπνίεζε ηνπ πιάηνπο ηνπ.

β) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο θαη λα γίλεη ε πξαγκαηνπνίεζή ηνπ κε ηνλ ειάρηζην αξηζκό κλεκώλ.

γ) Να ραξαθηεξηζηεί ην ζύζηεκα από πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ.

δ) Να ππνινγηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ζηελ πεξίπησζε πνπ ε είζνδνο είλαη :

y n a x n y n( ) [ ( ) ( )]1.

ΛΥΣΗ

α) Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο είλαη ηεο κνξθήο :

H z Cz z

z z( )

( )( )

( )( )

1 2

1 2

όπνπ κε αληηθαηάζηαζε παίξλνπκε :

H z C

zj

zj

zj

zj

C

z j z j

z j z j

C

z

z

C

z z

z z

Cz z

z

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

5 15

2

5 15

2

5 15

20

5 15

20

5

2

15

2

5

2

15

2

5

20

15

20

5

20

15

20

5

2

15

2

5

20

15

20

525

4

15

45

10

25

400

15

400

5 102 2

2 2

2

2

2

2 0 5 01, ,z

Αλαδεηνύκε ηε ζηαζεξά C . Γλσξίδνπκε από ηα δεδνκέλα όηη : | ( )|H z z 1 1

( 0 10

DC

j jz e e ).

Άξα : | || |

| , , || | |

| |

| , , || | | | ,C

z z

z zC C Cz

2

2 1

5 10

0 5 01

1 5 10

1 0 5 0110 1 01.

Επνκέλσο : H zz z

z z( )

2

2

5 10

10 5 1.

β) Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ γξάθνπκε :


1z2121

2121

21

21

2

2

)z(Xz10)z(Xz5)z(X)z(Yz)z(Yz5)z(Y10

]z10z51)[z(X]zz510)[z(Y

)z(X

)z(Y

zz510

z10z51

1z5z10

10z5z)z(H

10 5 1 2 5 1 10 2y n y n y n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y n y n y n x n x n x n( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( )0 5 1 01 2 01 0 5 1 2

πνπ είλαη ηεο κνξθήο : a y n k b x n kkk

kk

( ) ( )0

2

0

2

κε a0 1, a1 0 5, , a2 01, ,

b0 01, , b1 0 5, , b2 1.

Η πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο κε ηνλ ειάρηζην αξηζκό κλεκώλ δίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα :

x n( )

z 1

+ ++y n( )0 0 1,

1 0 5,1 0 5,

z 1

2 0 1, 2 1

+ ++

* Η έμνδνο πεξηγξάθεηαη δειαδή από ηελ εμίζσζε (πνπ απνηειείηαη από παξειζόληα δείγκαηα ηόζν ηεο εηζόδνπ όζν θαη ηεο εμόδνπ ) :

y n x n x n x n y n y n( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( )01 0 5 1 2 0 5 1 01 2

γ) ην ρώξν ηεο ζπρλόηεηαο έρνπκε :

H H ze e

e e

e e e e e

e e e e e

e e

e e

j j

j j

z e

j j

j j

j j j j j

j j j j j

j j

j j

j( ) ( )|

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

cos(

2

2

5 10

10 5 1

5 10

10 5

5 10

10 5

5 10 10

10 10 5

11 ) sin( )

cos( ) sin( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )*

5 9

11 5 9

j

j

A jB

A B

X

X

1|)(X|

|)(X||)(H|

*, [ , ]0 .

πλεπώο, από πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ, ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη ζαλ νινπεξαηό (all pass), δειαδή δηέξρνληαη όιεο νη ζπρλόηεηεο από 0 εσο ρσξίο θακκηά ηξνπνπνίεζε

ηνπ πιάηνπο ηνπο.


(Μεηαβάιιεηαη κόλν ε θάζε, ( ) )

| ( )|H

1

ΟΛΟΠΕΡΑΣΟ ΦΘΛΣΡΟ

Η θάζε δίλεηαη από ηε ζρέζε :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tansin

cos

*H X X X X X2

29

11 5

1

( ) tansin

cos2

9

11 5

1.

δ) Δίλεηαη ην ζήκα εηζόδνπ : x nn n

( ) cos( ) cos( )26 3

πνπ γξάθεηαη :

x nn n n n n n

( ) [cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]21

2 6 3 6 3 6 2

ύκθσλα κε ηε ζεσξία αλ ε είζνδνο πεξηγξάθεηαη από ηελ ζρέζε :

x n A n( ) cos( )0 0 , ηόηε ε έμνδνο είλαη :

y n A H n( ) | ( )|cos( ( ))0 0 0 0 , δειαδή έρνπκε ηξνπνπνίεζε ηνπ πιάηνπο

ιόγσ ηνπ όξνπ | ( )|H 0 θαη ηξνπνπνίεζε ηεο θάζεο ιόγσ ηνπ όξνπ ( )0 .

ηελ ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε έρνπκε : 0 1 6, θαη 0 2 2, , ελώ

| ( )| | ( )|, ,H H0 1 0 2 1 θαη

( ) tan

sin

cos

tan ( ) tan ( , )

, ( , )

,0 1

1 1 1

0

2

96

116

5

2

91

2

113

25

2 0 994194

89 67 1565rad

( ) tan

sin

cos

tan ( ) , ( , ),0 2

1 1 02

92

112

5

29 1

0 512189 2127rad .

Επνκέλσο ε έμνδνο ηειηθά είλαη :

y n

n n( ) cos( , ) cos( , )

,

,

,,

( ) ( )6

15652

2127

0 1

0 1

0 20 2

Παξαηήξεζε : ην ζέκα απηό αληηκεησπίζακε έλα νινπεξαηό ζύζηεκα 2νπ βαζκνύ. Σέηνηα

ζπζηήκαηα παξνπζηάδνπλ ηα κεδεληθά ηνπο ζηηο ζέζεηο : r e j θαη ηνπο πόινπο ηνπο ζηηο


ζέζεηο : r e j1 όπνπ r 1 . Εδώ βξήθακε ηα κεδεληθά ζηηο ζέζεηο

1 2

0 65910,

,e j θαη

ηνπο πόινπο ζηηο ζέζεηο 1 2 1 2

0 6591

10

1

10, ,

,e j (γηαηί r 10 )

| ( )|H 1

( ) tan [( ) sin( )

( ) cos( )] tan [

( ) sin( )

( ) cos( )]1

2

2 1

1

2

2 1

1

1 2

1

1 2

r

r r

r

r r


ΑΣΚΗΣΗ 88

Δίλεηαη ην επόκελν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα βαζκίδσλ :

x t( )y n1( )

p ts ( )

h t( )w t( ) y t( )

, όπνπ :

x tt

t( )sin( )2 , p t t ns

n

( ) ( )12 θαη h t

tt( ) ( )sin

( )2 .

α) Να ζρεδηαζζνύλ ηα θάζκαηα πιάηνπο ησλ ζεκάησλ x t( ) , p ts ( ) , w t( ) θαη

y t( ) .

β) Να ππνινγηζηνύλ νη ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ, y t( ) , ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο

t k k Zk 2 , . Να πξνζδηνξηζηεί ε πεξηνρή ζπρλνηήησλ ηνπ ζήκαηνο

εμόδνπ, y t( ) , πνπ ππάξρεη ην 90% ηνπ ελεξγεηαθνύ ηνπ πεξηερνκέλνπ. Είλαη

θαηά ηελ γλώκε ζαο πξαγκαηνπνηήζηκν ην ζύζηεκα κε θξνπζηηθή απόθξηζε h t( ) κε θπζηθά κέζα ;

ΛΥΣΗ α)

x t

t

tX( )

sin( )( ) ;

2

Από ηε ζεσξία ηνπ κεη/ζκνύ Fourier (ζει.123) γλσξίδνπκε :

( / )t

t

0/ 2

1

/ 2

( ), | | /

,

t t1 2

0

F


S ( )

2 424

S ( )sin( )

2

2

Επίζεο από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ κεη/ζκνύ Fourier (ζει.128) γλσξίδνπκε όηη :

x t X X t xF F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

Εδώ ην ζήκα x t( ) έρεη ηελ κνξθή ηνπ S t( ) κε η=1, δηόηη :

x t

t

t

t

t

S t( )sin( ) sin( )

( )2 1

2

1

2

1

2

1

2 1

Άξα :

X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

22

1

X ( ) ( ),

1

1 12

0

X( ) ( )1

01 2/

1

1 2/


p t t nsn

( ) ( )12

0 π 2π 3π

p tS ( )

t

1/2

-π-2π-3π 4π 5π

TS ( )TS

Θα πξνζδηνξίζνπκε ηνπο ζπληειεζηέο (κηγαδηθνύο) cm κε αλάιπζε ζε ζεηξά Fourier :

cT

t e dtT

m m Zm

s

jm

Tt

T

T

s

s

s

s

1 1

2

1

20 1 2

2

2

2

( ) , , , ,...

Άξα :

P (t)

(t)(t)c e

TeS

(t

)

m

jm

Tt

m s

jm

Tt

m

s s

2 21

2

Θα πξνζδηνξίζνπκε ην θάζκα, Ps ( ) , ηεο p ts ( ) , κε ρξήζε ηεο πξνεγνύκελεο ζρέζεο θαη

ηνπ κεη/ζκνύ Fourier :

P p tT

eT

e e dtT

e dts s

s

jm

Tt

m s

jm

Tt

m

j t

s

j m t

m

m

F F s s s

s

( ) ( ) ( )

( )

1

2

1

2

1

2

2 2

2

2

2Tm m

s

s

m

s

m

( ) ( )

Άξα :

P m w t x t p t W X Ps

m

s s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

2

0

PS ( )

1

S2 S S 2 S

S

ST

2 2

22


Η ηειεπηαία ζπλεπαγσγή ζηεξίδεηαη ζην όηη ν κεη/ζκόο Fourier κεηαηξέπεη ην γηλόκελν ζην ρξόλν ζε ζπλέιημε ζηε ζπρλόηεηα (ζει.128). Επηπιένλ, επεηδή ε ζπλάξηεζε ¨δ¨ είλαη ην ηαπηνηηθό ζηνηρείν ηεο ζπλέιημεο ζα έρνπκε :

W mm m

sm

s

m m

s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 1

1

2 1

1

2

2

1

2

W ( )

1 2/

1 2

......

-2 -1-1.5-2.5 -0.5 +0.5

1

1

2 1( )

1

2

2

1( )

1

2

2

1( )

Σέινο, θαη’αληηζηνηρία κε ην ζήκα x t( ) , ην θάζκα ηνπ ζήκαηνο h t( ) ζα είλαη :

h tt

t

t

tS t( ) ( )

sin( )sin( )

( )2 2

2

2

2

2

2

H H( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),

22

22

22

2 1

0 αλλού

H( )

1

( ) ( )22

1

2

β) Θα πξνζδηνξηζζνύλ νη ηηκέο ηνπ ζήκαηνο y t( ) :

y t w t h t Y W HF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Γηα λα ππνινγηζζεί ην θάζκα Y( ) ζρεδηάδνπκε δηαδνρηθά ηα θάζκαηα :


X ( )1

1 2-2 -1 -0.5 +0.5

( )1

1 2-2 -1

P mSm

( ) ( )2 ......( )2

( )2

1 2/

-2 +0.5-0.5

Wm

m

( ) ( )1

2

2

1

-1.5-2.5 1.5 2.5

1 2-2 -1

2

0

H ( )( ) ( )2

2

1 2-2 -1 -0.5 +0.5

( )1

Y ( )

0

1

0

Y

X

Y X y t x t

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1

Άξα :

y t

t

tx t( )

sin( )( )

2

Γηα t t k k y tk 2 1 2 0, , ,... ( )

Γηα t t k y t0 0 0 12( ) ( )

Άξα :

y tk

kk( )

,

, , , ,...

12 0

0 1 2 3 ή

)y t y k kk( ) ( ( )12

Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ πεξηνρή ζπρλνηήησλ πνπ ππάξρεη ην 90% ηνπ ελεξγεηαθνύ

πεξηερνκέλνπ ηνπ ζήκαηνο y t( ) (ζεσξώληαο ζαλ αξρή ηελ κεδεληθή ζπρλόηεηα, DC )

ρξεζηκνπνηνύκε ην ζεώξεκα Parseval :


E Y d d Ey y

1

2

1

2

1

2

2

12

12

( ) ( ),

1n E E dy y, , max.

.max

0 92

09

22

1

22

0

0 9 20 9

20 45.

..

sec, max maxE

rady

πλεπώο ε πεξηνρή ζπρλνηήησλ πνπ ππάξρεη ην 90% ηνπ ελεξγεηαθνύ πεξηερνκέλνπ ηνπ

ζήκαηνο εμόδνπ, y t( ) , είλαη :

0 45.sec

rad ή 0 45 0 45.

sec.

sec

rad rad

Σν ζύζηεκα κε θξνπζηηθή απόθξηζε h t( ) όπσο θαίλεηαη θαη από ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο

H( ) , είλαη έλα ηδαληθό βαζππεξαηό θίιηξν (Ideal Low-pass Filter).

Η θξνπζηηθή απόθξηζε, h t( ) , είλαη έλα κε-αηηηαηό ζήκα, δειαδή έρεη αξρίζεη λα απνθξίλεηαη

πνιύ πξηλ ηελ εθαξκνγή ηεο θαη αθξηβέζηεξα πξηλ από άπεηξν ρξόλν, ζαλ λα «γλώξηδε» ηη ζα επαθνινπζήζεη ζην κέιινλ. Έλα ηέηνην ζύζηεκα όκσο είλαη αδύλαηνλ λα πξαγκαηνπνηεζεί κε θπζηθά κέζα δηόηη όια ηα γλσζηά θπζηθά κέζα ππαθνύνπλ ζηνλ θαλόλα ηεο αηηηνθξαηίαο, δειαδή όηη ηα αίηηα πξνεγνύληαη ησλ απνηειεζκάησλ.


ΑΣΚΗΣΗ 89

Δίλεηαη ην ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ : y n a x n y n( ) [ ( ) ( )]1 .

α) Να επηιπζεί αλαδξνκηθά ε εμίζσζε δηαθνξώλ θαη λα πξνζδηνξηζηεί ε έθθξαζε ηεο εμόδνπ, y n( ) , ζε θιεηζηή κνξθή, ζεσξώληαο κεδεληθέο αξρηθέο

ζπλζήθεο θαη είζνδν : x n u n( ) ( ) .

Επαιεζεύζηε ηελ έθθξαζε ηεο εμόδνπ πνπ πξνζδηνξίζαηε κε ρξήζε ηνπ ζπλειηθηηθνύ αζξνίζκαηνο.

β) Πξνζδηνξίζηε κία πξνζεγγηζηηθή έθθξαζε ηεο εμόδνπ, y n( ) , γηα κεγάιεο

ηηκέο ηνπ n (ρξόλνπ) ζηηο πεξηπηώζεηο :

i) a 1

ii) 1 1a

iii) a 1.

γ) Να ζρεδηαζηεί ε έμνδνο, y n( ) , κε n 01 3, ,2, ,4 θαη 5 όηαλ :

i) a 2

ii) a 2

iii) a1

2

iv) a1

2.

Εμεγήζηε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο εμόδνπ, y n( ) , γηα ηηο πξνεγνύκελεο

πεξηπηώζεηο κε ηε κεζνδνινγία αληηκεηώπηζεο ηεο επζηάζεηαο πνπ δίλεη ην επίπεδν Z.

ΛΥΣΗ

α) Γηα n 0 είλαη y n( ) 0 θαη x n u n( ) ( )

i) y a x y a a( ) [ ( ) ( )] [ ]0 0 1 1 0

y a x y a a a a( ) [ ( ) ( )] [ ]1 1 0 1 2

y a x y a a a a a a( ) [ ( ) ( )] [ ]2 2 1 1 2 2 3

y a x y a a a a a a a a( ) [ ( ) ( )] [ ]3 3 2 1 2 3 2 3 4

…….

y n a x n y n a a a a an n( ) [ ( ) ( )] ... ( )1 12 3 4 1

Πξόθεηηαη γηα γεσκεηξηθή πξόνδν κε ιόγν a , πξώην όξν a (πξνζνρή ιείπεη ην 1) θαη

ηειεπηαίν ( )1 1n na . Άξα :

y n aa a a

a

a

aak k

k

n n n

n( ) ( )( ) ( )

( ( ) )11

1 111

0

1

1 (ζρέζε (1) ),

άξα : y na

aa u nn( ) [ ( ) ] ( )

11 1

.


( Σν άζξνηζκα γεσκεηξηθήο πξνόδνπ κε πξώην όξν ην a , ηειεπηαίν όξν ηνλ θαη ιόγν

είλαη ίζν κε : a

1 )

ii) Η έμνδνο, όπσο γλσξίδνπκε, είλαη ε ζπλέιημε ηεο εηζόδνπ κε ηελ απόθξηζε

κνλαδηαίνπ παικνύ ηνπ ζπζηήκαηνο : y n x n h n( ) ( )* ( ) . Η θξνπζηηθή

απόθξηζε εμ νξηζκνύ είλαη ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο όηαλ είζνδνο είλαη ε

ζπλάξηεζε δέιηα : h n y n x n n( ) ( )| ( ) ( ) . Επνκέλσο :

h a h a a( ) [ ( ) ( )] [ ]0 0 1 1 0

2)]0[)]0()1([)1( aaahah

h a h a a a( ) [ ( ) ( )] [ ( )]2 2 1 0 2 3

h a h a a a( ) [ ( ) ( )] [ ]3 3 2 0 3 4

…….

h n a n h n a u nn n( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )1 1 1.

Όπσο βιέπνπκε ζην ζρήκα, y n x n h n h k x n kk

n

( ) ( )* ( ) ( ) ( )0

.

0

1

2

3

4-1-2 k-3-4

5

α 0<α<1

...

h k( )

0 1 2 3 4-1-2 k-3-4 5

...

1x k( )

0 1 2 3 4-1-2 k-3-4 5

...

1

x k( )

0 1 n-1-2 k-3-4

...

1

x n k( )

...

Περιοτή

επικάλσυης


Άξα : y n h k aa

aa u n

k

n

k k

k

n

n( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )(

0

1

0

1)11

11

Επνκέλσο επαιεζεύηεθε ην δεηνύκελν.

β) i) Αλ a 1, ηόηε a

a

a

a10

1(

| |

| |) θαη :

[ ( ) ] [ ( ( | | )) ] [ | | ]1 1 11 1 1a a an

a

n n θαη γηα n πνιύ κεγάιν είλαη :

1 1 1| | | |a an n. Άξα : y n

a

aa u n

a

aan n( ) [ ( ) ] ( )

| |

| || |

11

1

1 1.

ii) Γηα 1 1a ( ή | |a 1 ) ηζρύεη, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ n :

[ ( ) ] ( )1 11

1a y na

a

n.

iii) Γηα a 1 έρνπκε γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ n :

[ ( ) ] [ ( )( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ( )1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 1a a a a an n n n n n n n n

Άξα : y na

aan n( ) ( )

11 1

γηα a 1 θαη n .

πλνςίδνληαο ηηο ηξεηο πεξηπηώζεηο, έρνπκε :

i) Αλ a 1, ηόηε y na

aa n( )

| |

| || |

101

,

ii) Αλ 1 1a , ηόηε y na

a( )

1 ( πνπ είλαη κεγαιύηεξε ηνπ κεδελόο γηα 0 1a

θαη κηθξόηεξε ηνπ κεδελόο γηα 1 0a ),

iii) Αλ a 1, ηόηε : y na

aan n( ) ( )

11 1

(πνπ ην πξόζεκό ηεο ελαιιάζζεηαη).

γ)

i) Γηα a 2 , κε n [ , ]0 5 ηζρύεη :

)n(u]21[2

)n(u]))2((1[1)2(

)2()n(y)n(u])a(1[

1a

a)n(y

1n

1n1n

Τπνινγίδνληαη ζηε ζπλέρεηα νη ηηκέο ηεο εμόδνπ γηα όια ηα n :

Γηα n 0 έρνπκε : y( ) [ ] [ ]0 2 1 2 2 1 2 20 1.

Γηα n 1 έρνπκε : y( ) [ ] [ ]1 2 1 2 2 1 4 61 1.

Γηα n 2 έρνπκε : y( ) [ ] [ ]2 2 1 2 2 1 8 142 1.

Γηα n 3 έρνπκε : y( ) [ ] [ ]3 2 1 2 2 1 16 303 1.

Γηα n 4 έρνπκε : y( ) [ ] [ ]4 2 1 2 2 1 32 624 1.

Γηα n 5 έρνπκε : y( [ ] [ ]5) 2 1 2 2 1 64 1265 1.

Άξα γηα a y n2 2 6 14 30 62 126( ) , , , , , ,... .


ii) Γηα a 2 , κε n [ , ]0 5 έρνπκε :

y na

aa u n y n u n

u n

n n

n

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( )

[ ( ) ] ( )

11

2

2 11 2

2

31 2

1 1

1

Θα ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο ηεο εμόδνπ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ n :

Γηα n 0 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]02

31 2

2

31 2 20 1

Γηα n 1 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]12

31 2

2

31 4 21 1

.

Γηα n 2 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ( )]22

31 2

2

31 8 62 1

.

Γηα n 3 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]32

31 2

2

31 16 103 1

.

Γηα n 4 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ( )]42

31 2

2

31 32 224 1

.

Γηα n 5 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]52

31 2

2

31 64 425 1

.

Άξα γηα a y n2 2 2 6 10 22 42( ) , , , , , ,... .

iii) Γηα a1

2, κε n [ , ]0 5 έρνπκε :

y n u n u nn n( ) [ ( ( )) ] ( ) [ ( ) ] ( )

1

21

21

11

21

1

2

1 1

Οη ηηκέο ηεο εμόδνπ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ n είλαη :

Γηα n 0 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]0 11

21

1

2

1

2

0 1

Γηα n 1 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]1 11

21

1

4

3

4

1 1.

Γηα n 2 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]2 11

21

1

8

7

8

2 1.

Γηα n 3 έρνπκε : 16

15]

16

11[])

2

1(1[)3( 13y .

Γηα n 4 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]4 11

21

1

32

31

32

4 1.

Γηα n 5 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]5 11

21

1

64

63

64

5 1.

Άξα γηα a y n1

2

1

2

3

4

7

8

15

16

31

32

63

64( ) , , , , , ,... .


iv) Γηα a1

2, κε n [ , ]0 5 είλαη :

y n u n u nn n( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )

1

21

21

11

2

1

31

1

2

1 1

Οη ηηκέο ηεο εμόδνπ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ n είλαη :

Γηα n 0 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]01

31

1

2

1

31

1

2

1

2

0 1.

Γηα n 1 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]11

31

1

2

1

31

1

4

1

4

1 1.

Γηα n 2 έρνπκε : 8

3)]

8

1(1[

3

1])

2

1(1[

3

1)2( 12y .

Γηα n 3 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]31

31

1

2

1

31

1

16

5

16

3 1.

Γηα n 4 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ( )]41

31

1

2

1

31

1

32

11

32

4 1.

Γηα n 5 έρνπκε : y( ) [ ( ) ] [ ]51

31

1

2

1

31

1

64

21

64

5 1.

Άξα γηα a y n1

2

1

2

1

4

3

8

5

16

11

32

21

64( ) , , , , , , ... .

0 1 2 3 4

n

5 ...

y n( )

-6-14

-30

-62

-126

-50

-100

-2

α=-2

(Αστάθεια)


0

1

2

3

4n

5 ...

y n( )

-2

6

-10

22

-42-40

2

α=+2 (Αστάθεια)

10

20

30

40

-30

-20

-10

0 1 3 4

n

5...

y n( )

- --63/64

2

α=-1/2

(Εσστάθεια)

-0,5

-1-31/32

-15/16-7/8

-3/4

y n n( )| 1

1 2 3 4

n...

y n( )

5

α=+1/2

0,2

0,3

0,4

0,5

0,1

1/4

3/85/16

11/3221/641/3

y n n( )|1

3

(ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ)


Γηα λα εμεγήζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο εμόδνπ, y n( ) , ζηηο πξνεγνύκελεο πεξηπηώζεηο, όπνπ

a1

2 θαη a 2 κε κεζνδνινγία ζην επίπεδν Z ζα πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε ηνπο

πόινπο ηνπ ζπζηήκαηνο :

Z y n Z a x n y n Y z a X z z Y z

Y z a z a X z H zY z

X z

a

az

az

z a

( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]

( )[ ] ( ) ( )( )

( )

1

11

1

1

1

Επνκέλσο, ην ζύζηεκα έρεη έλα πόιν ζην ζεκείν z a θαη ζύκθσλα κε ηε ζεσξία ζα

έρνπκε :

- Αλ a1

2, | | | |z a

1

21 , πνπ ζεκαίλεη όηη έρνπκε επζηάζεηα. Πξάγκαηη, ε έμνδνο

ζπγθιίλεη γηα a1

2 ζηελ ηηκή ( )1 θαη γηα a

1

2 ζηελ ηηκή

1

3.

- Αλ a 2 , | | | |z a 2 1 , πνπ ζεκαίλεη όηη έρνπκε αζηάζεηα. Πξάγκαηη, ε έμνδνο

απνθιίλεη θαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο. Εηδηθόηεξα, γηα a 2 ε έμνδνο απνθιίλεη κε αξλεηηθέο

ηηκέο θαη γηα a 2 απνθιίλεη κε ελαιιαζζόκελεο ζεηηθέο θαη αξλεηηθέο ηηκέο.


ΑΣΚΗΣΗ 90

Δεδνκέλσλ ησλ κεηαζ/κώλ Φνπξηέ ησλ ζεκάησλ :

x t t XF

1 1 1 0 0( ) cos( ) ( ) ( ) ( )

x t XF

2 21 2( ) ( ) ( )

Να ππνινγηζζεί κεηαζ/κόο Φνπξηέ ησλ ζεκάησλ ηνπ ζρήκαηνο ρσξίο ηνλ αλαιπηηθό ππνινγηζκό ηνπ νινθιεξώκαηνο.

α) β)

/ 2

/ 2

y t( )

A

-A

t

g t( )

t

0/ 2

A / 2

/ 2

ΛΥΣΗ α)

x t1( )

t

0

1F

0

π

X1( )

0

cos( )0 t


x t2 ( )

t0

1F

2π

X 2 ( )

Πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε ηνλ κεη/ζκό Φνπξηέ ηνπ ζήκαηνο y t( ) βαζηδόκελνη κόλν

ζηνπο κεη/ζκνύο ησλ ζεκάησλ x t1( ) θαη x t2 ( ) , όπσο εηθνλίδνληαη πην πάλσ, πξέπεη λα

βξνύκε θάπνηα ζρέζε (ή νκνηόηεηα) κεηαμύ ησλ δεδνκέλσλ ζεκάησλ θαη ησλ κεη/ζκώλ ηνπο

αθ’ελόο θαη ηνπ ζήκαηνο y t( ) αθ’εηέξνπ. Παξαηεξνύκε όηη ην ζήκα y t( ) έρεη ηξία ζεκεία

αζπλέρεηαο : ηα t 2 0 2, , . Επίζεο παξαηεξνύκε όηη ην θάζκα ηνπ ζήκαηνο

x t x t1 2( ) ( ) παξνπζηάδεη ηξεηο θξνπζηηθνύο παικνύο (ζπλαξηήζεηο ¨¨δέιηα¨) ζηα ζεκεία

0 00, , . Αλ ινηπόλ παξαγσγίζνπκε ην ζήκα y t( ) ζα πξνθύςεη ην ζήκα

w td

dty t( )( ( )) πνπ ζα απνηειείηαη κόλν από ηξεηο θξνπζηηθνύο παικνύο, ζηα ζεκεία

t 2 0 2, , , δειαδή :

w td

dty t A t t A t( ) ( ) 2 2 2

Απηά θαίλνληαη θαζαξά θαη ζην επόκελν ζρήκα :

y t( )

t

0/ 2 / 2

A

-A

d

dt

/ 2

A

w td

dty t( ) ( )

-2A

/ 2

Μπνξνύκε ζπλεπώο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ηδηόηεηα ηεο ζπκκεηξίαο κεηαμύ ησλ ρώξσλ νξηζκνύ (ζει.128) :

x t X X t xF F

( ) ( ) ( ) ( )2


Έηζη ζα έρνπκε :

η) A

t AF

cos( ): ( ) ( )0 0 0

νπόηε :

A t tA

AF

( ) ( ) : cos( ) cos( )2 2 22

22

ηη) A

AF

: ( )2

νπόηε :

2 2 2A tA

AF

( ): ( )

Άξα :

)4

(sin2)2

cos(12)(2)2

cos(2)(

)(2)2

()2

()()(

2AAWAAW

tAttAtydt

dtw

F

F

Άξα :

)4

(sin4)()( 2Atydt

dW F

ηε ζπλέρεηα πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ κεη/ζκό Φνπξηέ ηεο y t( ) , πνπ είλαη θαη ην

δεηνύκελν, ζα εθαξκόζνπκε ηελ ηδηόηεηα ηεο παξαγώγηζεο (ζει.128 ), δειαδή :

x t Xd

dtx t j X

F Fn

n

n( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )


w td

dty t W j Y Y

jW( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

Έηζη :

Yj

Wj

A jA

jA

c( ) ( ) ( ) sin ( )sin( )

( )sin ( )

1 14

4 4

4

44 4

2

22

2

2

, όπνπ : sin ( )sin

c xx

x.


β) Γηα ην δεύηεξν ζήκα, g t( ) , παξαηεξνύκε όηη πξνέξρεηαη από νινθιήξσζε ηνπ ζήκαηνο

y t( ) :

g t( )

t

0/ 2

A / 2

/ 2/ 2

/ 2

y t( )

A

-A

td

dt

πλεπώο, κε εθαξκνγή ηεο ηδηόηεηαο παξαγώγηζεο ζα έρνπκε :

y td

dtg t Y j G G g t

jYF( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

Έηζη :

Gj

jA

cA

c( ) sin ( ) sin ( )1

4 4 4 4

2

2

2

2

Έηζη, ζπλνςίδνληαο, θαηαιήμακε ζηνπο εμήο κεηαζρεκαηηζκνύο :

Y jA

c( ) sin ( )

2

2

4 4

GA

c( ) sin ( )

2

2

4 4

Απηέο νη εθθξάζεηο κπνξνύλ εύθνια λα επαιεζεπζνύλ κε αλαιπηηθό ππνινγηζκό ηνπ κεη/ζκνύ

Φνπξηέ ( y t At

tt( ) , 2 θαη g t A t t( ) ( ),2 2 ) ή από έλαλ πίλαθα

κεη/ζκώλ Φνπξηέ.


ΑΣΚΗΣΗ 91

Πξνθεηκέλνπ λα θαηαζθεπάζνπκε κία γελλήηξηα εκηηνληθώλ ζεκάησλ ζπλερνύο ρξόλνπ ηα νπνία ζα βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα

1 2

θαηαζθεπάδνπκε ην επόκελν ζύζηεκα δύν ιεηηνπξγηθώλ βαζκίδσλ, γλσζηό ζαλ ζύζηεκα DDS (Direct Digital Synthesis) :

x( )0

x( )1

x( )2

x N( )1

~( )y t

Βαθμίδα 1η

y t( )1

H( )

CC 0

Βαθμίδα 2η

Ιδαληθό βαζππεξαηό

θίιηξν

Η βαζκίδα 1 απνηειείηαη από κία κλήκε Ν ζέζεσλ ζηελ νπνία ππάξρνπλ θαηαρσξεκέλα Ν δείγκαηα ηνπ ζήκαηνο x n n N( ) cos( / )2 ,

n N012 1, , ,.. .

Η βαζκίδα 2 απνηειείηαη από έλα ηδαληθό βαζππεξαηό θίιηξν κε απόθξηζε

ζπρλόηεηαο : HC

( ), | |

,

1

0.

Η κλήκε δηαβάδεηαη δηαδνρηθά, κε πεξίνδν Τ κεηαμύ δύν δεηγκάησλ, κε απόιπηα θπθιηθό ηξόπν, δειαδή ε πξνθύπηνπζα αθνινπζία είλαη:

... ( ), ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),...x x x x N x x0 1 2 1 0 1 .

Η έμνδνο, ~( )y t , δίλεηαη πξνθαλώο από ηε ζρέζε :

~( ) cos( / ) ( )y t n N t nTn

2

α) Δείμηε όηη κεηαβάιινληαο ηελ πεξίνδν Τ κπνξνύκε λα πξνζαξκόζνπκε αλάινγα ηελ ζπρλόηεηα ηνπ πξνθύπηνληνο εκηηνληθνύ ζήκαηνο ζύκθσλα κε

ηε ζρέζε : ~( ) cos( ) ( )y t t t nTn

0 όπνπ 0 2 / NT .

β) Να ζρεδηαζηνύλ ηα θάζκαηα ~

( )Y θαη Y( ) , αλ C T/ .

Τξνπνπνηήζηε θαηά πιάηνο ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ ηδαληθνύ βαζππεξαηνύ θίιηξνπ ώζηε ην πιάηνο ηνπ παξαγώκελνπ εκηηνληθνύ ζήκαηνο λα είλαη αλεμάξηεην ηεο πεξηόδνπ Τ.

γ) Αλ Ν=10, f kHz1 5 θαη f kHz2 10 , λα πξνζδηνξηζηεί ην δηάζηεκα

κεηαβνιήο ηεο πεξηόδνπ Τ, θαζώο θαη ηα όξηα εληόο ησλ νπνίσλ κπνξεί λα βξίζθεηαη ε γσληαθή ζπρλόηεηα απνθνπήο ηνπ ηδαληθνύ βαζππεξαηνύ θίιηξνπ

C .


ΛΥΣΗ

α) Δίλεηαη όηη :

0 2 / NT . Επνκέλσο ηζρύεη ε ηζόηεηα :

cos( ) cos( ) cos( )2 2

0

n

N

nT

N TnT .

Άξα γηα ηελ έμνδν γξάθνπκε :

~( ) cos( / ) ( ) cos( ) ( )y t n N t nT nT t nTn n

2 0 .

Επηπξόζζεηα, αλ ιάβνπκε ππόςε ηελ ηδηόηεηα πνπ ηζρύεη γηα ηε ζπλάξηεζε δέιηα :

x nT t nT x t t nT( ) ( ) ( ) ( ) , πνπ εδώ παίξλεη ηε κνξθή :

cos( ) ( ) cos( ) ( )0 0nT t nT t t nT . Έηζη :

~( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )y t nT t nT t t nT t t nTn n n

0 0 0 .

Απνδείρζεθε εύθνια ινηπόλ ην δεηνύκελν. β)

)]σ(S*)tσcos(F[π2

1

])nTt(δF*)tσcos(F[π2

1)nTt(δ)tσcos(F)t(y~F)σ(Y

~

0

)t(s

n

0

n

0

όπνπ : F tcos( ) [ ( ) ( )]0 0 0 θαη

F t nT ST

n

Tn

n nS S

n

( ) ( ) ( ) ( )2 2

κε S T

2.

Οη παξαπάλσ κεη/ζκνί ππάξρνπλ ζηελ ζειίδα 6 ησλ πξόζζεησλ ζεκεηώζεσλ γηα ηνπο Μεη/ζκνύο Fourier ζεκάησλ ηζρύνο. Έηζη :

~( ) [ ( ) ( )]* ( )

[ ( ) ( ) ]

YT

n

Tn n

Sn

S Sn

1

2

20 0

0 0

Επίζεο :

)tσcos(T

1)t(y)]σσ(δ)σσ(δ[π

T

1

)]σσ(δ)σσ(δ[T

π)σ(H)σ(Y

~)t(h*)t(y~F)t(yF)σ(Y

0

)}tσ{cos(F

00

00

0

.

Όια θαίλνληαη θαζαξά ζην αθόινπζν ζρήκα :


00

...

F tcos( )

H ( )

S,1

S,2

0

π

S T

20S

S( )2π/Τ...

...

S0

S

~( )Y

π/Τ

...

00 S 0

S 0S 0

S 0

c T0S

C S

00

π/Τ Y ( )

Γηα ηα ζρήκαηα : ST

n

Tn

nS S

n

( ) ( ) ( )2 2

,

~( ) ( ) * ( )Y C S

1

2 0 , 0 2 / NT , N 2 ,Y Y H( )~

( ) ( ) ,

YT

( ) [ ( ) ( )]0 0 , y tT

t( ) cos( )1

0 .

Καηαιήμακε ινηπόλ ζην ζπκπέξαζκα όηη ην πιάηνο ηεο ζπλεκηηνληθήο εμόδνπ είλαη αληηζηξόθσο αλάινγν ηεο πεξηόδνπ Τ. Πξνθεηκέλνπ λα έρνπκε πιάηνο αλεμάξηεην ηνπ Τ

πξέπεη ην Y( ) λα είλαη :

Y y t tF

( ) [ ( ) ( )] ( ) cos( )0 0 0

1

, δειαδή πξέπεη ην πιάηνο ζηελ

απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ ηδαληθνύ βαζππεξαηνύ θίιηξνπ λα ηξνπνπνηεζεί από 1 ζε Τ.

HC

( ), | |

,

1

0

(πξάγκαηη, Y Y H( )~

( ) ( ) [ ( ) ( )]0 0 ).

γ) Από ηηο πξνδηαγξαθέο ηνπ ζπζηήκαηνο γλσξίδνπκε :

22

2 1 1

NTf

NTf

NTT

N f

Παξαηεξνύκε όηη ε πεξίνδνο είλαη αληηζηξόθσο αλάινγε ηεο ζπρλόηεηαο, άξα:


TN fmin

max

1 θαη T

N fmax

min

1. Γηα f fmin 1

θαη f fmax 2 παίξλνπκε :

T TN f1

2

4 1

51 1

10 1010 10min sec

sec sec .

T TN f2

1

3 1

41 1

10 5 10

1

510 20max sec

sec sec .

Άξα : 10 20

1 2

sec sec

T T

T .

Πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ γσληαθή ζπρλόηεηα απνθνπήο, C

, ηνπ ηδαληθνύ

βαζππεξαηνύ θίιηξνπ, ζηηο πεξηπηώζεηο πνπ παξάγνπκε ζπλεκηηνληθά ζήκαηα από 5kHz

εσο 10kHz ζα θαηαθύγνπκε ζην επόκελν ζρήκα :

0

55 0

......

45 5045

10 10 9090

10 10

~( )|

m ax secY T T 20

50

~( )|

m in secY T T 10

100100

45 45

( )sec

2 103 rad

( )sec

2 103 rad

( )sec

2 103 rad

C C

S,1

S,2

όπνπ :

S

MAXT

rad, ( )

sec1

422 5 10 , 0 1

32 5 10

1

, ( )sec

f

rad ,

S

MINT

rad, ( )

sec2

522 10 , 0 2

42 102

, ( )secf

rad.

Τν παξαπάλσ ζρήκα παξνπζηάδεη ην θάζκα ηνπ ζήκαηνο ~( )y t (δειαδή ην

~( )Y ) γηα ηηο

δύν αθξαίεο πεξηπηώζεηο όπνπ f kHz1 5 θαη f kHz2 10 . Πξνθαλώο γηα λα απνθύγνπκε

ηα θαηλόκελα αλαδίπισζεο (aliasing) ζα πξέπεη ε C λα βξίζθεηαη ζηελ πεξηνρή κεηαμύ

10 2 103 rad

sec θαη 45 2 103 rad

sec. Δειαδή ην θάησ όξην ηεο C ην ζέηεη ε αλώηεξε

ζπρλόηεηα ( 2 22 f ) θαη ην άλσ όξην ην νξίδεη ε θαηώηεξε ζπρλόηεηα. Απηό γίλεηαη όρη ζηε

"βαζηθή δώλε" αιιά ζηελ πξώηε επαλάιεςή ηεο ( S Tf, ,1 0 1

2

1

22 ) δειαδή :


sec

rad)10π245(σ

sec

rad)10π2(

)fπ2)(1N(σfπ2

fπ2N)fπ2(σfπ2fπ2σσσ

3

C

4

1C2

KHz5

1

10KHz5

1C

KHz10

211,SC2

.


ΑΣΚΗΣΗ 92

Δίδεηαη ην ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη κε ηελ εμήο ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ (εμίζσζε δηαθνξώλ) :

y n a y n i b x n ii

i

p

i

i

q

( ) ( ) ( )1 0

α) Εάλ w n( ) είλαη ε έμνδνο ελόο δεύηεξνπ ζπζηήκαηνο πνπ δηεγείξεηαη από

ηελ έμνδν ηνπ πξώηνπ θαη ππαθνύεη ζηε ζρέζε :

w n a w n i b y n ii

i

p

i

i

q

( ) ( ) ( )1 0

, λα πξνζδηνξηζζεί ε δηαθνξά θάζεο κεηαμύ ησλ ζεκάησλ εηζόδνπ, x n( ) θαη

εμόδνπ w n( ) , ζηελ κόληκε θαηάζηαζε.

y n( )H z1( ) H z2( )

x n( ) w n( )

X z( ) Y z( ) W z( )

S1 S2

β) Αλ a b1 012

12, θαη b1 1, λα ππνινγηζζεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε

απόθξηζε πιάηνπο θαη θάζεο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο : H z H z H z( ) ( ) ( )1 2

Σεκείσζε :Θεσξήζαηε όηη νη απαξαίηεηεο κεηαγελέζηεξεο ηηκέο ηεο εηζόδνπ θαη ηεο εμόδνπ ηνπ δεύηεξνπ ζπζηήκαηνο ππάξρνπλ ήδε θαηαρσξεκέλεο γηα λα κπνξεί λα εξγαζζεί ην ζύζηεκα απηό.

ΛΥΣΗ

α) S y n a y n i b x n iii

p

ii

q

11 0

: ( ) ( ) ( )

S w n a w n i b y n ii

i

p

i

i

q

2

1 0

: ( ) ( ) ( )

Πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ δηαθνξά θάζεο κεηαμύ εηζόδνπ, x n( ) , θαη εμόδνπ,

w n( ) , ζα πξνζδηνξίζνπκε ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο (θάζεο) ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο,

H H H( ) ( ) ( )1 2 :

S H

b e

a e

i

j

i

q

i

j

i

p

i

i

1 1

0

1

1

: ( ) (ζει.160)

S H

b e

a e

Hi

j

i

q

i

j

i

p

i

i

2 2

0

1

11

: ( ) ( )*


H H H H H H e H ej

H

j

H

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

( )

* ( )

( )*

1 2 1 11

1

1

1

1

1

H e H

j

1

2

1

21 1

0( ) ( ) ( )

( ) ( )

R

Επεηδή δε νπνηαδήπνηε δηαθνξά θάζεο κεηαμύ εηζόδνπ-εμόδνπ πξνέξρεηαη από ην ζύζηεκα, εδώ ζα έρνπκε κεδεληθή δηαθνξά θάζεο γηαηί ε απόθξηζε θάζεο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο είλαη κεδέλ.

Πξάγκαηη, αλ X X e j X( ) ( ) ( ) θαη W W e j W( ) ( ) ( )

ηόηε ζα έρνπκε :

W H X( ) ( ) ( ) W e H X ej

W H

j

X

W X( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

1

2

W X W X W X( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0

β) a b1 012

12, ,b1 1

Σύκθσλα κε ηελ ζρέζε γηα ηελ H1( ) ζα έρνπκε :

H

b e

a e

e

e

e

e

i

j

i

q

i

j

i

p

j

j

j

j

i

i

1

0

1

1

12

11

2

2

2 1( )

sin2)1cos2(

sin)cos2(

1sin2cos2

2sincos)(1

j

j

j

jH

H1

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 1 4

4 4

1 4 4 4

5 4

5 41( )

( cos ) sin

( cos ) sin

cos cos sin

cos cos sin

cos

cos

(Πξάγκαηη, ζύκθσλα κε ηα αλαγξαθόκελα ζην ηεύρνο ησλ ιπκέλσλ αζθήζεσλ ζηελ ζει.239

θαη από ηελ ζέζε ηνπ πόινπ ( )z 12 θαη ηνπ κεδεληθνύ ( )z z2 1

πεξηκέλακε όηη ην

ππ’όςηλ ζύζηεκα ζα ήηαλ έλα νινπεξαηό ζύζηεκα 1νπ βαζκνύ.) Έηζη :

H H( ) ( )1

2

1

Έηζη :

H H e ej j( ) ( ) ( ) 1 0

Άξα :

H( ) 1 θαη ( ) 0

Επεηδή δε : W H X X( ) ( ) ( ) ( )

1

, έπεηαη όηη ζα είλαη w n x n( ) ( ) .

(Σεκείσζε : Αληί λα ππνινγίζνπκε θαη’επζείαλ ηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο H1( ) θαη H2 ( )

κπνξνύζακε λα ππνινγίζνπκε ηνπο Mεη/ζκνύο )(, 1 zHz θαη H z H z2 1

1( ) ( ) . Σηε

ζπλέρεηα ζα είρακε όηη γηα z e z e zj j1 *, άξα

H zz e

H zz e

H zz ej j j2 1 1( ) ( ) ( )* *

θαη ηειηθά θαηαιήμακε ζηα ίδηα

απνηειέζκαηα όπσο θαη πξνεγνπκέλσο. )


| ( )|H

( )2

2

1

+π

-π

0

0


ΑΣΚΗΣΗ 93

Δίλεηαη ην ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ :

x t t t t( ) cos( ) cos( ) cos( )2 2000 6 6000 4 12000

α) Να πξνζδηνξηζηεί ε ειάρηζηε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο, fS, πνπ

απαηηείηαη ζύκθσλα κε ην Θεώξεκα ηεο Δεηγκαηνιεςίαο ηνπ Shannon, γηα λα δεηγκαηνιεπηήζνπκε ην ζήκα x t( ) . Πνηό είλαη ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ,

x n( ) , πνπ ζα πξνθύςεη ;

β) Αλ δεηγκαηνιεπηήζνπκε ην ζήκα x t( ) κε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο

fS 5000 ./ sec , πνηά ζα είλαη ε έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ,

x n( ) , πνπ ζα πξνθύςεη ;

γ) Θεσξνύκε ηδαληθή ςεθηναλαινγηθή (D/A) κεηαηξνπή ηνπ ζήκαηνο x n( )

ζην αληίζηνηρν ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ x t( ) . Σρεδηάζηε ηα θάζκαηα πιάηνπο

ησλ ζεκάησλ x t( ) θαη x t( ) . Αηηηνινγήζηε επαξθώο ηηο πξνθύπηνπζεο

δηαθνξέο.

ΛΥΣΗ

α) Τν δνζέλ ζήκα γξάθεηαη :

x t t t t

t t tf kHz f kHz f kHz

( ) cos( ) cos( ) cos( )

cos( ) cos( ) cos( )

2 2000 6 6000 4 12000

2 2 10 6 2 3 10 4 2 6 103

1

3

3

3

61 2 2

Η κέγηζηε ζπρλόηεηα είλαη ε f f kHz f f f kHzMAX

Shannon

S MAX3 36 2 2 12 .

Άξα ε ειάρηζηε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο είλαη : f kHzS MIN, 12 θαη ε

αληίζηνηρε κέγηζηε πεξίνδνο : TfS

MAX

S

MIN

1 1

12 10

1

12103 1

3

secsec .

Τν δηαθξηηό ζήκα πνπ πξνθύπηεη ζηελ πεξίπησζε απηή είλαη :

x n x t

n n n

t nTS( ) ( )|

cos( ) cos( ) cos( )2 2 101

1210 6 2 3 10

1

1210 4 2 6 10

1

12103 3 3 3 3 3

x n n n n

F F F

( ) cos( ) cos( ) cos( )2 21

126 2

1

44 2

1

21 2 3

.


β) Γηα ηελ ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο πνπ δίλεηαη fS 5 103 1sec , ε αληίζηνηρε πεξίνδνο

βξέζεθε ίζε κε TS

1

510 3 sec , ελώ ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n x t

n n n

t nTS( ) ( )|

cos( ) cos( ) cos( )2 2 101

510 6 2 3 10

1

510 4 2 6 10

1

5103 3 3 3 3 3

x n n n n

F F F

( ) cos( ) cos( ) cos( )2 21

56 2

3

54 2

6

51 2 3

Επνκέλσο F F1 1

1

2 θαη F F2 3

1

2, , άξα :

x n n n n( ) cos( ) cos( ( ) ) cos( ( ) )2 21

56 2 1

2

54 2 1

1

5 ή

x n n n n

n n

( ) cos( ) cos( ( ) ) cos( )

cos( ) cos( )

2 21

56 2

2

54 2

1

5

6 21

56 2

2

5

Οπόηε : F F F1 3 1

1

5 θαη F2

2

5.

γ) Αλ x n F n x t F f tD A

S0 0 0 02 2( ) cos( ) ( ) cos( )/

θαη απηό ηζρύεη επεηδή :

t nT nt

Tt

Tf tS

S S

S

1. Έηζη :

x t x n t tn f tS( ) ( )| cos( ) cos( )6 2

1

55 10 6 2

2

55 103 3

ή αιιηώο :

x t t tf f f

( ) cos( ) cos( )6 2 10 6 2 2 103 3

1 1 2

.

Από ηελ αλάιπζε Fourier γλσξίδνπκε όηη : cos( ) ( ) ( ) ( )21

20 0 0f n X f f f f fF

.

x t( )

t

0

F

f0

1/2

X f( )

f0

f

0


Άξα :

X f F x t

f f f f f f

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 3 3 10 3 10 2 6 10 6 103 3 3 3 3 3

X f F x t f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 10 10 3 2 10 2 103 3 3 3.

0 1 2 3 4 5-1-2

X f( )

f

kHz6-3

1

3

-6 -5 -4

2

0 1 2 3 4 5-1-2 6-3-6 -5 -4

1

3

2

fs / 2X f( )

f

kHz

Σπρλόηεηα

Αλαδίπισζεο

=2.5 KHz

fs / 2

2

fs

Απηό νθείιεηαη ζην θαηλόκελν αλαδίπισζεο ηνπ αξρηθνύ θάζκαηνο, X f( ) , ιόγσ ρακειήο

ζπρλόηεηαο δεηγκαηνιεςίαο, f kHz kHzS 5 12( ) . Έηζη, ε ζπρλόηεηα ησλ 3kHz

αλαδηπιώλεηαη ζηε ζπρλόηεηα 2kHz θαη απηή ησλ 6kHz κεηά δύν αλαδηπιώζεηο

εκθαλίδνληαη ζηε ζπρλόηεηα ηνπ 1kHz .


ΑΣΚΗΣΗ 94 Δίλεηαη ην επόκελν ΓΧΑ ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n( )+

y n( )

A

z 1

+

-

+

z 1

+

-

.. +

z 1

+

-

..

1ε βαζκίδα 2ε βαζκίδα .. Μ-νζηή βαζκίδα α) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο.

β) Να ππνινγηζηεί ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο, H( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο θαη λα

ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά ην πιάηνο ηεο, H( ) , γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο

παξακέηξνπ Μ (πιήζνο βαζκίδσλ). Να ππνινγηζζεί ε ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο Α, ζαλ ζπλάξηεζε ηεο παξακέηξνπ Μ, ώζηε ην κέγηζην πιάηνο ηεο απόθξηζεο ζα είλαη κνλάδα. γ) Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο. Πνηόο είλαη ν ιεηηνπξγηθόο ραξαθηεξηζκόο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη πώο νλνκάδεηαη ην αληίζηνηρν ζύζηεκα ζπλερνύο ρξόλνπ ; δ) Γηα Μ=3 λα ππνινγηζηνύλ νη ηηκέο ηεο εμόδνπ, y n( ) , γηα είζνδν

x n n( ) cos( )2 .

ΛΥΣΗ

α) Όηαλ έρνπκε ζε ζεηξά Μ θνξέο ην ζύζηεκα H z z1

11( ) θαη ζην ηέινο ην

πνιιαπιαζηαζηηθό ζηνηρείν Α, ηόηε ε ζπλνιηθή ζπλάξηεζε κεηαθνξάο είλαη :

H zY z

X zH z H z H z A H z A

M times

M( )( )

( )( ) ( )... ( ) ( )1 1 1 1

,

όπνπ H z z1

11( ) . Άξα :

H z z AM( ) ( )1 1

β) H H zz e j( ) ( )

H H zz e

e e e e e e e e e jjj

j j j j j j j j

1 12 2 2 2 2 2 2 21 2

2( ) ( ) sin( )

Άξα :

H H A j e AM M MjM

M( ) ( ) ( ) sin ( )122

2

H j e A AM M

jM

M M M( ) sin ( ) sin ( )22

22

1

2

1


δηόηη 0 θαη sin( )2

0 .

| ( )|H

0

| |A 2M

MM

π

M 1M 3

M

M 2

A AMM2 1 1

2.

Είλαη πξνθαλώο ην ζύζηεκα δηέιεπζεο πςειώλ ζπρλνηήησλ.

γ) Y z H z X z z X zM

M( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

21 1

)z(X)z()z(X)z(H)z(Y)n(y M

MZZZ 1111 1

2

1 (1)

Αιιά : ( )x ym

kx ym m k k

k

m

0

.

Έηζη :

( ) ( ) ( )1 11 1

0 0

zm

kz

m

kzm k

k

mk k

k

m

(2)

(1),(2) :

)kn(x)(k

M

)z(Xz)(k

M)z(Xz)(

k

M)n(y

M

k

k

M

kM

k

k

M

M

k

kk

MZZ

0

1

00

1

12

1

12

11

2

1

Άξα :

y nM

kx n k

M

k

k

M

( ) ( ) ( )1

21

0

Τν ζύζηεκα πξαγκαηνπνηεί ηελ Μ-νζηή δηαθνξά ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ x n( ) . Αλ

ζπκβνιίζνπκε κε Δ ηελ πξώηε δηαθνξά, δειαδή Δ x n x n x n( ) ( ) ( )1 ηόηε

y n( ) ΔM x n( ) ην αληίζηνηρν αλαινγηθό ζύζηεκα είλαη ν δηαθνξηζηήο Μ-ηάμεσο

d x t

dt

M

M

( ).


δ) M y nk

x n kk

k

31

2

313

0

3

( ) ( ) ( )

y n x n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

3

0

3

11

3

22

3

333

y n x n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

83 1 3 2 3

x nn

( ) cos( )2

0 1

2

3 4 5-1

-2

x n( )

n

6 7

-3

1

-1

-5 -4

n y x x x x0 01

80 3 1 3 2 3

1

81 3

2

8

1

4( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n y x x x x1 11

81 3 0 3 1 2

1

83 1

2

8

1

4( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n y x x x x2 21

82 3 1 3 0 1

1

81 3

2

8

1

4( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n y x x x x3 31

83 3 2 3 1 0

1

83 1

2

8

1

4( ) ( ) ( ) ( ) ( )

θ.ν.θ. Άξα :

y nn

n

y n y n k k( ), ,

, ,

( ) ( )

1

40 1

1

42 3

4 Z

Ελαιιαθηηθή κέζνδνο επίιπζεο ηνπ εξσηήκαηνο δ :

Από ηελ ζρεηηθή ζεσξία πεξί απόθξηζεο ζπρλόηεηαο ΓΧΑ ζπζηεκάησλ γλσξίδνπκε όηη :

x n n( ) cos( )0

H( )y n M n( ) ( ) cos( ( ) )0 0 0

όπνπ :


M H( ) ( ) θαη ( ) arg ( )H


x n n( ) cos( ) ,2 2 00

H j e A M AM MjM

M M( ) ( ) sin ( ) , ,22

3 2 13

2

34

3

34

5

34

3

4

2

3

0 2

2

442

)(e)(sine)(sineejj)(Hjjjj

Δειαδή M ( ) ( )0

32

2 θαη ( )0

3

4.

Άξα :

y n n n( ) cos( ), , , ,...2

2 2

3

401 2

3

n 0 y( ) cos( )02

2

3

4

2

2

2

2

2

2

1

4

3 32

4

n 1 y( ) cos( )12

2 2

3

4

2

2

2

2

1

4

3 3

n 2 y( ) cos( )22

22

2

3

4

2

2

2

2

1

4

3 3

n 3 y( ) cos( )32

23

2

3

4

2

2

2

2

1

4

3 3

θ.ν.θ.


ΑΣΚΗΣΗ 95

Θεσξνύκε ην ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ 2εο ηάμεο κε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) :

H zb

a z a z( )

0

1

1

2

21, ( , , )b a a R0 1 2

θαη ζπδπγείο κηγαδηθνύο πόινπο 1 2 0

0

, r e j .

α) Πξνζδηνξίζηε ηα a1 θαη a2

ζπλαξηήζεη ηνπ κέηξνπ r0 θαη ηνπ νξίζκαηνο

0

ησλ πόισλ, θαζώο θαη ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ

ζπζηήκαηνο.

β) Κάησ από πνηέο ζπλζήθεο κπνξεί ην ζύζηεκα απηό λα εθηειέζεη ακείσηε εκηηνλνεηδή ηαιάλησζε, κνλαδηαίνπ πιάηνπο, αλ ζεσξήζνπκε ζαλ είζνδν ην ζήκα κνλαδηαίνπ παικνύ, ( )n ; Πνηέο παξάκεηξνη ηνπ ζπζηήκαηνο

θαζνξίδνπλ ηελ ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο ;

γ) Πξνζδηνξίζηε ηε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο. Σρεδηάζηε κία πξαγκαηνπνίεζή ηνπ. Πξνζδηνξίζηε ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ ηαιαλησηή. Θα κπνξνύζε ην ζύζηεκα λα παξάγεη εκηηνλνεηδείο ηαιαληώζεηο κε κεδεληθή είζνδν ; Αλ λαη, θάησ από πνηέο αξρηθέο ζπλζήθεο ;

Όπσο θαίλεηαη, νη αξρηθέο ζπλζήθεο θαη ε δηέγεξζε (είζνδνο) κπνξνύλ λα δξάζνπλ κε αληίζηνηρν ηξόπν. Εμεγήζηε απηόλ ηνλ "δπτζκό" κε ελεξγεηαθά θξηηήξηα.

(Σεκεηώζηε όηη νη αλσηέξσ ηαιαλησηέο δηαθξηηνύ ρξόλνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζήκεξα ζηνπο ςεθηαθνύο ζπλζέηεο ζπρλνηήησλ. )

ΛΥΣΗ

α) Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο γξάθεηαη :

H zb z

z a z az a z a z r e z r e

z r z r

j j( ) ( ) ( )

cos( )

0

2

2

1 2

2

1 2 0 0

2

0 0 0

2

0 0

2

Επνκέλσο : a r1 0 02 cos( ) θαη a r2 0

2.

Γηα λα βξνύκε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, ζα πξέπεη λα θέξνπκε ηε ζπλάξηεζε

κεηαθνξάο ζηε κνξθή : H z

z

A

z z

B

z z

( )

1 2

.

Έρνπκε :


H zb z

z r z r

H z

z

b z r

z r z r r

H zb

rz

z r

z r z r

( )cos( )

( ) sin( )

cos( ) sin( )

( )sin( )

sin( )

cos( )

0

2

2

0 0 0

2

0 0 0

2

0 0 0

2

0 0

0

0 0

0 0

2

0 0 0

2

2 2

1

2

h n Z H zb

rr n u nn( ) ( )

sin( )sin[( ) ] ( )1 0

0 0

0

1

01 ή

h nb

r n u nn( )sin( )

sin[( ) ] ( )0

0

0 01

β) Γηα λα έρνπκε ακείσηε εκηηνλνεηδή ηαιάλησζε πξέπεη λα ηζρύεη :

r rn

0 01 1 θαη επηπιένλ b

b0

0

0 01sin( )

sin( ) . Τόηε ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ

παικνύ ιακβάλεη ηε κνξθή : h n n u n( ) sin[( ) ] ( )1 0 (ζρέζε 1).

Η ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο θαζνξίδεηαη από ηε ζρέζε :

a r1 0 0 02 2cos( ) cos( ) ή 0

1 1

2cos ( )

a. Ταπηόρξνλα, ε ζπρλόηεηα

ηαιάλησζεο εθθξάδεηαη ζπλαξηήζεη θαη ηνπ b0 :

b b0 0 0

1

0sin( ) sin ( ) .

Δειαδή, ππάξρεη εμάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο ηαιάλησζεο από ηηο δύν παξακέηξνπο, b0 θαη a1

.

γ) Η ζρέζε εηζόδνπ - εμόδνπ βξίζθεηαη εύθνια από ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο :

Y z

X z

b

a z a zb X z a z a z Y z

( )

( )( ) [ ] ( )

0

1

1

2

2 0 1

1

2

2

11 .

Η ηειεπηαία ζρέζε κε ηελ εθαξκνγή αληηζηξόθνπ Μεηαζρεκαηηζκνύ Z δίλεη :

b x n y n a y n a y n

y n b x n a y n a y n

0 1 2

0 1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x n( )+

y n( )

b 0 sin

+Σ

z 1

+

+

y n( )1

Σ

z 1

+

y n( )2

a 2 1 a1 02 cos

Σύκθσλα κε όζα ππνινγίζηεθαλ, ην ζύζηεκα εθηειεί ηαιαληώζεηο, κε είζνδν κνλαδηαίν

παικό ( )n θαη γηα r0 1, b0 0sin( ) , a1 02cos( ) θαη a2 1 .

Έηζη, ε εμίζσζε εηζόδνπ - εμόδνπ ηνπ ηαιαλησηή γίλεηαη :

y n y n y n n( ) cos( ) ( ) ( ) sin( ) ( )2 1 20 0 .


Γηα n 0 παίξλνπκε : y y y( ) cos( ) ( ) ( ) sin( )0 2 1 20 0 (ζρέζε 2α).

Γηα n 1 παίξλνπκε : y y y( ) cos( ) ( ) ( )1 2 0 10 (ζρέζε 2β).

Γηα n 2 παίξλνπκε : y y y( ) cos( ) ( ) ( )2 2 1 00 (ζρέζε 2γ).

Αιιά γηα n 0 ζύκθσλα κε ηελ εμίζσζε εμόδνπ ηνπ ηαιαλησηή (ζρέζε 1) έρνπκε :

h n n u n yn

( ) sin[( ) ] ( ) ( ) sin( )1 00

0

0 .

Έηζη ε ζρέζε 2α γξάθεηαη : 2 1 2 00cos( ) ( ) ( )y y (ζρέζε 3α).

Αληίζηνηρα, ε 2β δίλεη :

y y y

y

( ) cos( )sin( ) ( ) sin( ) ( ) sin( )

( )

1 2 1 2 1 20 0

0

0 0 (από ηελ ζρέζε 1).

Άξα : y( )1 0 (ζρέζε 3β).

Η 3α γξάθεηαη : 2 1 2 0 2 00cos( ) ( ) ( ) ( )y y y (ζρέζε 3γ).

Πξάγκαηη, κε δνθηκή ζηελ 2γ παίξλνπκε :

y( ) sin( ) cos( )sin( ) sin( )

cos( ) sin( )cos( ) sin( ) cos ( )sin( ) sin( )

[ cos ( ) ] sin( ) [ ( sin ( )) ] sin( )

2 3 2 2

2 2 4

4 1 4 1 1

1

0 0 0 0

0 0 0 0

2

0 0 0

2

0 0

2

0 0

y( ) [ ( sin ( )) ] sin( ) [ sin ( )] sin( )

sin( ) sin ( ) sin( )

2 4 1 1 3 4

3 4 3

2

0 0

2

0 0

0

3

0 0

Αλ ζεσξήζνπκε κεδεληθή είζνδν ηόηε ε εμίζσζε 1 γίλεηαη :

y n y n y n( ) cos( ) ( ) ( )2 1 20 (ζρέζε 4).

Η ζρέζε 4 γηα ηηο ηηκέο ηνπ n δίλεη :

Γηα n 0 παίξλνπκε : y y y( ) cos( ) ( ) ( )0 2 1 20 (ζρέζε 4α). Όκσο από ηελ 1 έρνπκε

όηη : y y y( ) sin( ) cos( ) ( ) ( )0 2 1 20 0 (ζρέζε 5α).

Γηα n 1 : y y y( ) cos( ) ( ) ( )1 2 0 10 (ζρέζε 4β) θαη επεηδή

y y( ) sin( ) cos( )sin( ) ( )

sin( )

1 2 2 10 0 0

2 00

παίξλνπκε y( )1 0 .

Από ηηο 5α θαη 5β έρνπκε : sin( ) cos( ) ( ) ( ) sin( )0 0

0

02 0 2 2

y y (ζρέζε

5γ). Ο ηαιαλησηήο γηα λα ηεζεί ζε ιεηηνπξγία ζέιεη έλα αξρηθό πνζό ελέξγεηαο ην νπνίν κπνξεί λα πξνέξρεηαη είηε από ηελ είζνδν θαη κεδεληθέο αξρηθέο ζπλζήθεο, είηε από κεδεληθή είζνδν θαη

κε κεδεληθέο αξρηθέο ζπλζήθεο, δειαδή : x n n y y( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 ή

x y y( ) ( ) , ( ) sin( )0 0 1 0 2 0 . Σηελ πξώηε πεξίπησζε ε ελέξγεηα ηζνύηαη κε :

E b1 0

2 θαη ζηε δεύηεξε :

21

2

0

2

0

1

2

2

02 EEb))bsin(sin(E)sin(E . Επαιεζεύζακε έηζη ηελ

αξρηθή ππόζεζε.


ΑΣΚΗΣΗ 96

Έλα ζύζηεκα RADAR παξαθνινύζεζεο ηεο ηξνρηάο (ύςνπο) ελόο αεξνζθάθνπο (Radar Tracking System) εθηηκά ηελ παξνύζα ζέζε ηνπ αεξνζθάθνπο, y n( ) , βάζεη ησλ δύν πξνεγνύκελσλ πξαγκαηηθώλ ηηκώλ

ζέζεο, x n( )1 θαη x n( )2 αληίζηνηρα κέρξη ηελ παξνύζα ρξνληθή ζηηγκή n .

1) Να εθθξαζηεί ε αλσηέξσ εθηίκεζε ηεο ζέζεο (ύςνπο) ζαλ ζρέζε εηζόδνπ- εμόδνπ ελόο ζπζηήκαηνο. (Γειαδή ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηελ εθηηκνύκελε ηηκή ηεο ηξνρηάο y n( ) κε ηηο δύν πξνεγνύκελεο πξαγκαηηθέο ηηκέο ηεο ζέζεο ηνπ

αεξνζθάθνπο x n( )1 θαη x n( )2 .)

2) Να πξνζδηνξηζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο.

Να ππνινγηζηεί ε αθνινπζία εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο, y n( ) , αλ ε αθνινπζία

ηηκώλ ηεο πξαγκαηηθήο ηξνρηάο ηνπ αεξνζθάθνπο, x n( ) , δίλεηαη από ηηο

ζρέζεηο :

α) x n n n( ) , β) x n n n( ) cos( ),2

3) Να πξνζδηνξηζηεί ε ελέξγεηα ηνπ ζθάικαηνο ζέζεο, e n x n y n( ) ( ) ( ) , γηα

ηηο δύν πξνεγνύκελεο πεξηπηώζεηο θαη γηα ρξνληθό παξάζπξν παξαηήξεζεο

n 0 999, .

4) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , θαη ε απόθξηζε

ζπρλόηεηαο, H( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Να ζρεδηαζηεί ην πιάηνο ηεο απόθξηζεο

ζπρλόηεηαο H( ) .

ΛΥΣΗ 1)

x n( ) y n( )h n( )

0

x n( )2

nn 2 n 1

x n( )1

n

y n( )y n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( )1 1 2

x n x n( ) ( )1 2

x n( ) y n( )Γ

Β

Α

Από ηελ ηζόηεηα ησλ ηκεκάησλ ΑΒ θαη ΒΓ έρνπκε :

y n x n x n x n y n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2


2) h n y nx n n

h n n n( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 1 2

0

n1

2

2

h n( )

1

i) Αλ x n n n( ) , έρνπκε :

nnn)n()n()n(x)n(x

)n(*)n(x)n(*)n(x)n()n(*)n(x)n)(h*x()n(y

222212212

2122121

ii) Αλ x n n n( ) cos( ),2 έρνπκε :

y nn n n n n n

2 21

2

2

22

2 2 22

2 2( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( )

3)

α) x n n y n n e n x n y n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

Άξα :

E e nan

( )2

0

β) x n n y nn n

( ) cos( ) ( ) sin( ) cos( )2 22 2

e nn n n n

( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )2

22 2

22

20005004142

42

2999

50032112

0

999

0

2999

0

2999

0

2

,...,,,k,kn

nnnn

b )n

(sin)n

sin()n(eE

4) H z h n H z n n z zZ Z( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 2

H z z z( ) 2 1 2

H H zz e

e e e ejj j j j( ) ( ) ( )2 22

H e e jj j( ) cos sin ( cos ) sin cos

2

1

2 2 2 2 22 2 2 5 4

H( ) cos5 4


| ( ) |H

0 π

1

2

3

π/2


ΑΣΚΗΣΗ 97

Γίλεηαη ε επόκελε ζπλδεζκνινγία ζπζηεκάησλ 1εο ηάμεο :

y n( )H z1( ) H z2( )H z1( )H z2( ) K

x n( )

H z( )

όπνπ H zz

z a1( ) θαη H z z2

11( ) .

1) Να πξνζδηνξηζηνύλ θαη λα ζρεδηαζηνύλ νη απνθξίζεηο ζπρλόηεηαο ησλ δύν ππνζπζηεκάησλ H1( ) θαη H2( ) γηα 0 1a .

2) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο H z( ) . Να ππνινγηζηεί ε πνιιαπιαζηαζηηθή ζηαζεξά Κ έηζη ώζηε ην κέγηζην

πιάηνο ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο λα είλαη κνλάδα (1). Να ζρεδηαζηεί πξνζεγγηζηηθά ην πιάηνο ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο γηα κεξηθέο ελδεηθηηθέο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ a . Πνηόο είλαη ν ξόινο, από ιεηηνπξγηθή πιεπξά, ηεο παξακέηξνπ a ;

3) Αλ ζηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο, H z( ) ,

αληηθαηαζηαζεί ην z κε ην z , λα κειεηεζεί ην πξνθύπηνλ ζύζηεκα,

H z( ) , θαη λα ζρεδηαζηεί πξνζεγγηζηηθά ην πιάηνο ηεο απόθξηζεο

ζπρλόηεηαο γηα δηάθνξεο ελδεηθηηθέο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ a .

ΛΥΣΗ

α) Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο H z1( ) γξάθεηαη :

H H ze

e a a e a j a

Ha a

z e

j

j jj1 1

1

2

2 2 2

1

1

1

1

1

1

( ) ( )|cos( ) sin( )

| ( )|[ cos( )] sin ( )

θαη Ha

a1

1

2 2

1( ) tan (

sin ( )

cos( )) .


| ( ) |H 1

0 ππ/2

1

1 a

1

1 a1

1 2a

H 1 ( )

0 ππ/2

π

π/2

-π/2

-π

Όκνηα, γηα ηελ H z2( ) έρνπκε :

H H z e e e e ez e

jj j j j

j2 22 2 2 21 2

2( ) ( )| ( ) cos( )

Τν κέηξν είλαη ίζν κε : | ( )| cos( )H2 22

γηα 0 .

Η θάζε : H2 2( ) γηα 0 .

| ( ) |H 2

0 ππ/2

2


H 2 ( )

0

π

-π/4

-π/2

π/2

2) Από ην ζρήκα ηνπ ζπζηήκαηνο έρνπκε :

H z K H z H z Kz

z

z

z aK

z

z a( ) ( ) ( )1 2

1 1, 0 1a .

Από ηε ζέζε ηνπ πόινπ θαη ηνπ κεδεληθνύ πνπ ζεκεηώλνληαη ζην ζρήκα, ζπκπεξαίλνπκε όηη

ην κέγηζην πιάηνο ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο ζα εκθαλίδεηαη ζηε ζπρλόηεηα 0 δειαδή :

z 1 . Απηό ζπκβαίλεη δηόηη ζ' απηή ηε ζπρλόηεηα, ην κέηξν ηνπ αξηζκεηνύ γίλεηαη κέγηζην (2)

θαη ην κέηξν ηνπ παξνλνκαζηή ειάρηζην ( 1 a ). Σε όιεο ηηο άιιεο ζπρλόηεηεο ε απόθξηζε πιάηνπο παίξλεη κηθξόηεξεο ηηκέο. Έηζη έρνπκε :

| ( )| ( )| | ( )|H H H zMAX z0 1 1

| ( )| | | | |

| |

H z Kz

z aK

a

Ka

Ka

z z1 1

1 2

11

1

2

1

2

Αληηθαζηζηώληαο ηε ζηαζεξά ζηε ζρέζε πιάηνπο ηεο ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο παίξλνπκε :

| ( )| | | | ( )| | ( )| | ( )| | ( )|H K H Ha

H H1 2 1 2

1

2


| ( )|H

0 π

1

1

π/2

2

34

1 2 3 4

0

Τν ζύλζεην ζύζηεκα ζπκπεξηθέξεηαη ζαλ θίιηξν δηέιεπζεο ρακειώλ ζπρλνηήησλ (Βαζππεξαηό θίιηξν). Πξνθαλώο ε παξάκεηξνο a θαζνξίδεη ηελ δώλε δηέιεπζεο ηνπ ζπζηήκαηνο (θίιηξνπ). 3) Θέηνπκε όπνπ z ην z θαη έρνπκε :

H z H z K H z H z Kz

z

z

z aK

z

z az z( ) ( )| ( ) ( )1 2

1 1

Με ηνλ ίδην ηξόπν πξνζδηνξίδνπκε ηελ ζηαζεξά Κ : Ka1

2.

Όπσο θαίλεηαη από ην παξαπάλσ ζρήκα, ε ζέζε ησλ πόισλ θαη ησλ κεδεληθώλ έρεη αιιάμεη πξόζεκν, ζε ζρέζε κε ην πξνεγνύκελν εξώηεκα. Δπνκέλσο θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ ζα έρνπλ αληηζηξαθεί. Έηζη, ζα έρνπκε ηώξα έλα θίιηξν δηέιεπζεο πςειώλ ζπρλνηήησλ. Πξάγκαηη :

γηα 0 ( )z e ej j0 1 (ζπλερέο dc) ζα είλαη :

H za

az( )| | |1

1

2

1 1

10 .

γηα ( )z e j 1 (2

sf ) ζα είλαη :

H za

az( )| |( )

|1

1

2

1 1

11 .


Γηα λα βξνύκε ην πιάηνο ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο αλαδεηνύκε κία ζρέζε ηνπ πιάηνπο

|~

( )|H κε ηελ πξνεγνύκελε γξαθηθή παξάζηαζε :

| ( )|| | ( )| |~

( )|H z H e Hz e

jj θαη επεηδή :

e e e ej j j j( ) παίξλνπκε :

|~

( )| | ( )| | ( )| | ( )|( )H H e H e Hj j.

Άξα, ε πξνεγνύκελε απόθξηζε πιάηνπο, | ( )|H , κεηαθέξεηαη αξηζηεξά θαηά .

|~

( )|H

0 π

01

1

2 3

4

π/2

1 2 3 4


ΑΣΚΗΣΗ 98

Γίλεηαη ην επόκελν ζύζηεκα ειέγρνπ, κνλαδηαίαο αλάδξαζεο, δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

y n( )H z2( )H z1( )h n1( ) K

x n( )

e n( )Σ

+

-

H z( )

Τν ζύζηεκα κε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ h n1( ) έρεη δύν πόινπο ζηα

ζεκεία z 05. θαη z 08. θαη έλα κεδεληθό. 1) Να πξνζδηνξηζζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο H z1( ) δεδνκέλνπ όηη ε ηηκή ηεο

απόθξηζεο ζπρλόηεηαο, H1( ) , ζην κεδέλ (D.C.) είλαη νθηώ (8) θαη ζην κηζό

ηεο ζπρλόηεηαο δεηγκαηνιεςίαο, f s

2 , είλαη -0.2963.

2) Να πξνζδηνξηζζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο,

H z( ) . Να πξνζδηνξηζζεί επίζεο ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , γηα

Κ=3.25. 3) Να ειεγρζεί ε επζηάζεηα ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο γηα ηηο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ K : α) Κ=3.3 θαη β) Κ=4. Να ππνινγηζζεί ε πξνθύπηνπζα αθνινπζία εμόδνπ γηα ηηο ηηκέο εμόδνπ γηα ηηο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ Κ. Σρνιηάζαηε ηελ ρξνληθή εμέιημε ησλ δύν αθνινπζηώλ εμόδνπ. ΛΥΣΗ

H z z z1 1 205 08( ): . ., ,

1) H z Az z

z z z zA

z z

z z1

1 2 05 08( )

( )

( )( )

( )

( . )( . ), ,

H zD C

H zz

Az

z zA z1 1

1 21

1

1 18 1 08( )

. .( )

( )

( )( )( ) .

, ,

(1)

H z f H zz

Az

s1 1

2 1

1

1 05 1 080 2963( ) ( )

( )

( . )( . ).

A z A z( ) . . . ( ) .1 0 2963 15 18 1 08 (2)

(1),(2) A z A z z A( ) ( ) .1 1 0 08

Άξα :

)8.0)(5.0(

8.0)(1

zz

zzH


2)

Y z K H z E z E z X z Y z( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )1

Y z K H z X z Y z K H z X z K H z Y z

Y z K H z K H z X z

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 11

H zY z

X z

K H z

K H z

Kz

z z

Kz

z z

( )( )

( )

( )

( )

.( . )( . )

.( . )( . )

1

11

0805 08

1 0805 08

H zK z

z z K z

K z

z K z( )

.

( . )( . ) .

.

( . . ) .

08

05 08 08

08

08 13 042

Άξα :

H zK z

z K z( )

.

( . . ) .

08

08 13 042

Γηα 04.03.1,4.03.1

6.2)(25.3 2

21 1zz

zz

zzHKK K

z zz

z1 2

2

1 2

1

2

13 13 4 04

2

13 0 09

2

13 03

2

13 03

208

13 03

205

, ,

. ( . ) ( . ) . . . .. .

.

. ..

Άξα :

H zz

z zK1

2 6

05 08( )

.

( . )( . )

H z

z z z

A

z

A

z

K12 6

05 08 05 08

1 2( ) .

( . )( . ) . .

AH z

zz

z

K

1

105

05

2 6

05 08

2 6

0 38 667

( )( . )

.

.

( . . )

.

..

AH z

zz

z

K

2

108

08

2 6

08 05

2 6

0 38 667

( )( . )

.

.

( . . )

.

..

Άξα :

H zz

z

z

zK18 667

058 667

08( ) .

..

.

h n H z u nK K

n nZ1 1

1 8 667 05 08( ) ( ) . ( . ) ( . ) ( )

Άξα :

h n u nK

n n

18667 05 08( ) . ( . ) ( . ) ( )

hK10 0( ) , hK1

1 2 6( ) . , hK12 338( ) .

hK13 335( ) . , hK1

4 301( ) . , hK1257(5) .

hK16 214( ) . , hK1

7 175( ) . , hK1142(8) . , θιπ


0 1

2

3

4

5

2

h n1( )

n

6

7

3

1

4

8

-1

-3

-4

9

10

-2

-3,38 -3,01

-2,14

-1,42

1,75

2,57

3,35

2,6

K 3 25,

3) Γηα

4.034.1

64.2

4.0)3.13.38.0(

)3.3()8.0()(3.3

222 2 zz

z

zz

zzHKK K

z z2 134 0 4 0. .

449.02

442.03.1

891.02

442.034.1

2

442.034.1

2

1956.034.1

2

)4.0(4)34.1(34.1

2

1

2,1

2,1

2

2,1

z

zz

zz

Άξα :

H zz

z zK2

2 64

0449 0891( )

.

( . )( . )

H z

z z z

A

z

A

z

K22 64

0 449 0891 0 449 0891

1 2( ) .

( . )( . ) . .

AH z

zz

z

K

1

20 449

0 449

2 64

0 449 0891

2 64

0 4425973

( )( . )

.

.

( . . )

.

..

AH z

zz

z

K

2

20891

0891

2 64

0891 0 449

2 64

0 4425973

( )( . )

.

.

( . . )

.

..

Άξα :

H zz

z

z

zK25973

0 4495973

0891( ) .

..

.

h n H z u nK K

n nZ2 2

1 5973 0 449 0891( ) ( ) . ( . ) ( . ) ( )


Άξα :

h n u nK

n n

25973 0449 0891( ) . ( . ) ( . ) ( )

hK20 0( ) , hK2

1 2 64( ) . , hK22 354( ) .

hK23 368( ) . , hK2

4 352( ) . , hK2325(5) .

,94.2)6(2Kh hK2

7 2 64( ) . , hK22 36(8) . , θιπ

0 1

2

3

4

5

2

h n2( )

n

6

7

3

1

4

8

-1

-3

-4

9

10

-2

-3,54 -3,52-2,94

-2,36

2,643,25

3,68

2,64

K 3 3,

Από ην πξνεγνύκελν ζρέδην παξαηεξνύκε όηη ε αθνινπζία ηεο απόθξηζεο κνλαδηαίνπ

δείγκαηνο h nK2( ) , γηα K K2 33. , είλαη απνιύησο θζίλνπζα γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ

ρξόλνπ. Απηό είλαη ζπλέπεηα ηεο ζέζεο ησλ δύν πόισλ ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ βξίζθνληαη ζην

εζσηεξηθό ηνπ κνλαδηαίνπ θύθινπ. ( z z z z1 2 1 20449 0891 1. , . , ). Τν ζύζηεκα

από πιεπξάο επζηάζεηαο, θαηά ηελ ζεώξεζε ¨θξαγκέλε είζνδνο-θξαγκιελε έμνδνο¨ (BIBO) ραξαθηεξίδεηαη σο επζηαζέο.

- Γηα K K H zz

z z

z

z zK3 2 2408 4

08 4 13 0 4

32

19 0 43( )

( . )

( . ) . .

.

. .

z z2 19 0 4 0. .

z zz

z1 2

2

1 2

1

2

19 19 4 0 4

2

19 2 01

2

19 1418

2

19 1418

21659

13 1418

20 241

, ,

. ( . ) ( . ) . . . .. .

.

. ..

Άξα :

H zz

z zK3

32

0241 1659( )

.

( . )( . )


H z

z z z

A

z

A

z

K332

0 241 1659 0 241 1659

1 2( ) .

( . )( . ) . .

AH z

zz

z

K

1

30 241

0 241

32

0 241 16592 257

( )( . )

.

.

( . . ).

257.2)241.0659.1(

2.3

659.1)659.1(

)(3

2z

zz

zHA

K

Άξα :

H zz

z

z

zK32 257

0 2412 257

1659( ) .

..

.

h n H z u nK K

n nZ3 3

1 2 257 0 241 1659( ) ( ) . ( . ) ( . ) ( )

Άξα :

h n u nK

n n

32 257 0241 1659( ) . ( . ) ( . ) ( )

hK30 0( ) , hK3

1 32( ) . , hK32 608( ) .

hK33 1027( ) . , hK3

4 17 09( ) . , hK32836(5) . , θιπ

0 1

2

3

4

5

20

h n3( )

n6

7

30

10

-6,08

-17,09

28,36

10,27

3,2

K 4

-20

-10

-30

Από ην πξνεγνύκελν ζρήκα παξαηεξνύκε όηη ε αθνινπζία ηεο απόθξηζεο

κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h nK3( ) , γηα K K3 4 , είλαη απνιύησο αύμνπζα.( hK3

γηα

n ). Απηό είλαη ζπλέπεηα ηεο ζέζεο ελόο από ηνπο δύν πόινπο ηνπ ζπζηήκαηνο, πνπ

βξίζθεηαη έμσ από ηνλ κνλαδηαίν θύθιν. ( z z2 21659 1. , ).


Τν ζύζηεκα από πιεπξάο επζηάζεηαο θαηά ηελ ζεώξεζε «θξαγκέλε είζνδνο-θξαγκέλε έμνδνο», (BIBO), είλαη αζηαζέο.


ΑΣΚΗΣΗ 99

Γίλνληαη νη επόκελεο πξαγκαηνπνηήζεηο δύν ζπζηεκάησλ πξώηεο ηάμεο (S1 θαη S2 ), δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n( )

z 1

y n( )

1 Σ+

+

S1

x n( )

z 1

Σ +Σy n( )1 2/

+

+

+

+

S2

α) Να πξνζδηνξηζηνύλ νη ζρέζεηο εηζόδνπ - εμόδνπ (εμηζώζεηο δηαθνξώλ ) ησλ δύν ζπζηεκάησλ.

β) Να ππνινγηζηνύλ νη ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο, H z1( ) θαη H z2( ) , ησλ δύν

ζπζηεκάησλ. Οκνίσο λα πξνζδηνξηζηνύλ νη απνθξίζεηο ζπρλόηεηαο, H1( )

θαη H2( ) , θαη λα παξαζηαζνύλ γξαθηθά.

γ) Αλ x n n u n u n( ) [ ( ) ( 5)], λα πξνζδηνξηζηνύλ ηα ζήκαηα εμόδνπ, y n( ) ,

ησλ δύν ζπζηεκάησλ κε ρξήζε ηνπ ζπλειηθηηθνύ αζξνίζκαηνο γηα n [ ,4]0 .

δ) Γεδνκέλνπ όηη ηα δύν ζπζηήκαηα, S1 θαη S2, απνηεινύλ πξαγκαηνπνηήζεηο δύν αξηζκεηηθώλ πξνζεγγίζεσλ ζπγθεθξηκέλεο καζεκαηηθήο ιεηηνπξγίαο (πξάμεο), ραξαθηεξίζηε ηα ζπζηήκαηα από ιεηηνπξγηθή πιεπξά. Δπίζεο λα ππνινγίζεηε ηελ ελέξγεηα ζθάικαηνο ησλ ζεκάησλ εμόδνπ ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο.

Σεκείσζε : Τν ζθάικα εμόδνπ αλαθέξεηαη ζε ζρέζε κε ηηο ηηκέο, ζηηο αληίζηνηρεο ρξνληθέο ζηηγκέο n [ ,4]0 , ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ζπγθεθξηκέλεο

καζεκαηηθήο πξάμεσο (ιεηηνπξγίαο).

ΛΥΣΗ

α) Γηα ην ζύζηεκα S1 βιέπνπκε εύθνια όηη :

Y z z X z Y z y n y n x n( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )1 1 1 .


x n( )

z 1

y n( )

1 Σ+

+

S1

X z( )

Y z( )

X z Y z( ) ( )

Y z( )

x n( )

z 1

Σ +Σy n( )1 2/

+

+

+

+

S2

X z( ) Y z( )

x n x n( ) ( )1

2

Παξαηεξώληαο ην S2, είλαη θαλεξό όηη πξόθεηηαη γηα ηελ θαη'επζείαλ κνξθή ΙΙ γηα q 1. Έηζη

νη ζπληειεζηέο a1, b0

, b1 είλαη ίζνη κε :

a1 1 θαη b b0 1 1,

θαη ην ζύζηεκα ζηε γεληθή ηνπ κνξθή πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε:

y n a y n b x n b x n( ) ( ) ( ) ( )1 0 11 1

ή y n y n x n x n( ) ( ) [ ( ) ( )]11

21

β) Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ πξώηνπ ζπζηήκαηνο δίλεηαη από ηε ζρέζε :

Y z z X z Y z Y z z z X z

H zY z

X z

z

z z

( ) [ ( ) ( )] ( )[ ] ( )

( )( )

( )

1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

Αληίζηνηρα, γηα ην S2 έρνπκε :

Y z z Y z X z z X z Y z z z X z

H zY z

X z

z

z

z

z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )

( )( )

( )

1 1 1 1

2

1

1

1

2

1

21

1

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1


Η απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ πξώηνπ ζπζηήκαηνο είλαη :

H H ze

e e

e e e e

e

e e

e

j

e

z e j

j j

j j j j

j

j j

j j

j1 1

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

1

1

1

22

1

2

1

2

( ) ( )|

sin( ) sin( )

( )

Άξα : H ej

12 2

1

22

( )

sin( )

( )

.

Γηα ην κέηξν θαη ηελ θάζε ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο έρνπκε :

M H1 1

1

22

1

22

( ) | ( )|

|sin( )| sin( )

θαη

1 1 2 2( ) ( )H .

Γηα ην δεύηεξν ζύζηεκα ηζρύεη :

H H ze

e

e e e e

e e e e

e

e j

j

z e

j

j

j j j j

j j j j

j

jj2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

2

22

22

2 2

( ) ( )|

cos( )

sin( )

cot( )

Δπνκέλσο : Hj

2 2 2( ) cot( ) .

Αληίζηνηρα, ην κέηξν θαη ε θάζε δίλνληαη από ηηο ζρέζεηο :

M H2 2

1

2 2

1

2 2( ) | ( )| |cot( )| cot( ) θαη 2 2 2

( ) ( )H γηα 0 .


Σηε ζπλέρεηα ζρεδηάδνπκε ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ M1( ) , 1( ) , M2( ) θαη

2( ) :

M i ( )

i ( )

1/2

-π/2

-π

0

i 1 2,

π

π

i 1 2,

2 ( )

1( )

1( )

2 ( )

γ) Η αθνινπζία ησλ εηζόδσλ x n( ) βξίζθεηαη εύθνια γηα n [ ,4]0 : x n( ) , , , , , , ...01 2 3 4 0 .

Γηα ην ζύζηεκα S1 ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ πξνθύπηεη από ηηο δύν αθόινπζεο ζρέζεηο :

y n y n x n h n y n x n n( ) ( ) ( ) , ( ) ( )| ( ) ( )1 1 1

Άξα : h n h n n1 1 1 1( ) ( ) ( ) πνπ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ n δίλεη:

h1 0 0 0 0( ) , h1 1 0 1 1( ) , h1 2 1 0 1( ) , h h1 13 4 1( ) ( ) .. ,

νπόηε h n1 0111( ) , , , ,... . Παξαηεξώληαο ηηο ηηκέο πνπ ιακβάλεη ε αθνινπζία απηή,

κπνξνύκε λα εμάγνπκε κία γεληθόηεξε ζρέζε γηα ηελ θξνπζηηθή απόθξηζε ηνπ πξώηνπ

ζπζηήκαηνο h n n n n n k u nk

11

1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) .. ( )( ( )) .

Η έμνδνο ηνπ πξώηνπ ζπζηήκαηνο, κε ρξήζε ηνπ ζπλειηθηηθνύ αζξνίζκαηνο είλαη:

y n x n h n x n n k x n kk k

( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( )11 1

γηα n [ ,4]0 .

Έηζη έρνπκε:

y x k x xk

11

0

0 0 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ,

y x k x xk

11

1

1 1 1 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ,

y x k x xk

11

2

2 2 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ,

y x k x x xk

11

3

3 3 2 1 0 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

y x k x x x xk

11

4

4 4 3 2 1 0 3 2 1 0 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


Αληίζηνηρα γηα ην δεύηεξν ζύζηεκα έρνπκε:

y n y n x n x n h n y n x n n( ) ( ) [ ( ) ( )] , ( ) ( )| ( ) ( )11

21 2

Άξα : h n h n n n2 2 11

21( ) ( ) [ ( ) ( )] πνπ γηα n [ ,4]0 δίλεη:

h h2 20 11

20 1 0

1

21 0

1

2( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

h h2 21 01

21 0

1

2

1

20 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

h h h2 2 22 11

22 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

h h h2 2 23 21

23 2 2 1( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

h2 4 1( ) θ.ν.θ.

Άξα ζηε γεληθή πεξίπησζε ε θξνπζηηθή απόθξηζε γξάθεηαη:

h n n n k n u nk

21

1

2111

1

2

1

21( ) , , , ,... ( ) ( ) ( ) ( )

Η έμνδνο ηνπ δεύηεξνπ ζπζηήκαηνο ηζνύηαη κε :

y n x n h n x n x n kk

n

2 21

1

2( ) ( )* ( ) ( ) ( ) πνπ δίλεη ηηο αθόινπζεο ηηκέο :

y x x kk

n

21

01

20 0 0( ) ( ) ( )

y x x k x xk

21

1

11

21 1

1

21 0

1

21

1

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x x k x x xk

21

2

21

22 2

1

22 1 0 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x x k x x x xk

21

3

31

23 3

1

23 2 1 0

1

23 2 1 0

9

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x x k x x x x xk

21

4

41

24 4

1

24 3 2 1 0 8( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

δ) Τα ζπζηήκαηα S1 θαη S2 είλαη πξαγκαηνπνηήζεηο ησλ θαλόλσλ ηεο παξαιιειόγξακκεο θαη ηεο ηξαπεδνεηδνύο νινθιήξσζεο, αληίζηνηρα.

Οη ηηκέο ηνπ νινθιεξώκαηνο x dti

( )0

(εκβαδόλ E t i( ) ) κε x( ) θαη t i 01 3, ,2, ,4

έρνπλ σο εμήο:

E( )0 0 , E( )11

2, E( )2 2 , E( )3

9

2 θαη E( )4 8 .


Σπλεπώο ε ελέξγεηα ζθάικαηνο έρεη σο εμήο:

Γηα ην πξώην ζύζηεκα :

E e n

E y E y E y E y E y

n1 1

2

0

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

0 01

20 2 1

9

23 8 6 0

1

41

9

44 7 5

( )

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ,

Γηα ην δεύηεξν ζύζηεκα :

E e n E n y nn n

2 2

2

0

4

2

2

0

4

0( ) ( ( ) ( )) γηαηί ηζρύεη: E n y n( ) ( )2, n [ , ]0 4 .

Παξαηήξεζε ζην εξώηεκα (γ) :

Η απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h ni ( ) , ησλ ζπζηεκάησλ S1 θαη S2 κπνξεί λα

ρξεζηκνπνηεζεί θαη κε ηε ρξήζε ηνπ αληηζηξόθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Z σο εμ'εο :

h n Z H ni i( ) ( )1, i 12, .

Γηα ην πξώην ζύζηεκα :

H zz

zz

zh n Z z

z

zu n1

1

1

1 11

1 1 11( ) ( ) ( )

ζύκθσλα κε ηε γλσζηή ηδηόηεηα ηεο ρξνληθήο κεηάζεζεο. Γηα ην δεύηεξν :

H zz

z

H z

z

z

z z

A

z

B

z2

21

2

1

1

1

2

1

1 1( )

( )

( )

Άξα :

AH z

zz

z

zz z

2

0 0

1

2

1

1

1

2

( )| |

BH z

zz

z

zz z

2

1 111

2

1

1

22

11

( )( )| |

Τόηε ζα ηζρύεη: H zz

zh n Z

z

zn u n2 2

11

2 1

1

2 1

1

2( ) ( ) ( ) ( )

ή h n n u n2

1

21( ) ( ) ( )


ΑΣΚΗΣΗ 100

Γίλεηαη ην ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ x t( ) :

x tt

( ),

,

12 2

0

2) Να πξνζδηνξηζηνύλ θαη λα ζρεδηαζηνύλ ηα θάζκαηα πιάηνπο θαη

θάζεο, M X( ) ( ) θαη ( ) ( )Arg X αληίζηνηρα, ηνπ ζήκαηνο x t( ) .

( ( ) , 2 f ).

3) Να πξνζδηνξηζζνύλ θαη λα ζρεδηαζζνύλ νκνίσο ηα θάζκαηα πιάηνπο θαη

θάζεο ησλ ζεκάησλ )2

ηt(x)t(x1 θαη )

2ηt(x)t(x2

, ρσξίο λα γίλεη μαλά

αλαιπηηθόο ππνινγηζκόο ηνπ κεη/ζκνύ Φνπξηέ. Γηθαηνινγήζαηε ηελ κνξθή

ηνπ θάζκαηνο θάζεο, ( ) , ζε ζρέζε κε ηελ νιίζζεζε, 2 ηνπ αξρηθνύ

ζήκαηνο x t( ) .

3) Γεληθεύζαηε ηελ πξνεγνύκελε παξαηήξεζε γηα ηελ πεξίπησζε ησλ

ζεκάησλ x t x t k kk N( ) ( ( )),2 . Σρεδηάζαηε ηα θάζκαηα πιάηνπο

θαη θάζεο γηα k 2 . ΛΥΣΗ

x t( )

t

0/ 2

1 /

/ 2

2η2

ηe

ση

j)e(d

σηj

1dte

η

1dte)t(x)t(x)σ(X tσj

2η

2η

tσj2

η

2η

tσjtσjF

je e

je e

jj

ff

f

f

j j j j

j

r

r

r

r

2 2 2 2

2 2

2 2

2

22 2

sin( )

sin( )

sin( )sin( )

ή X c( )sin( )

sin ( )2

22

M X c( ) ( ) sin ( )2


( ) ( )X 0 , αλ sin ( )c 2 0

, αλ sin ( )c 2 0

M ( )

2 / 4 / 6 /

+

+

+

+- -

2 /46 /

( )

......

...

...

2) x t X x t t e XF F

j t( ) ( ) ( ) ( )00

i) x t x t X e Xj

1 12

2( ) ( ) ( ) ( )

M X X1 1( ) ( ) ( ) θαη 1 1

0

2( ) ( ) ( )

,

X X ,

θαη

d

d

1

2

( ) (ζηαζεξό) (= tan( ) )

2 / 4 / 6 /

2 /46 /

1( )

...

...

tan( )2

ii) x t x t X e Xj

2 22

2( ) ( ) ( ) ( )


M X X2 2( ) ( ) ( ) θαη 2 2

0

2( ) ( ) ( )

,

X X ,

θαη

d

d

2

2

( ) (ζηαζεξό) (= tan( ) )

2 / 4 / 6 /

2 /

4

6 /

2 ( )

...

...

tan( )2

iii) x t x t k X e Xk k

j k( ) ( ) ( ) ( )2

2

Άξα :

k kX k X( ) ( ) ( )

,

20

, θαη d

dk

k ( )

2

k=2

2 /

4 / 6 /2 /

46 /

k ( )

...

...

tan( ) k2


ΑΣΚΗΣΗ 101

Γίλεηαη ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ:

ύαιιν0

2θαη1γηα1

3θαη0γηα2

,

,

,

)( n

n

nx

α) Να πξνζδηνξηζηεί ν Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Γηαθξηηνύ Φξόλνπ, X( ) ,

ηνπ ζήκαηνο.

β) Φξεζηκνπνηώληαο δύν κόλν δείγκαηα ( N1 2 ) ηνπ X( ) , πνπ πξνθύπηνπλ

από νκνηόκνξθε δεηγκαηνιεςία ζην πεδίν ηεο ζρεηηθήο γσληαθήο ζπρλόηεηαο θαη ζην δηάζηεκα [ ,2 )0 κε αξρή ηεο δεηγκαηνιεςίαο ην ζεκείν 0, λα

πξνζδηνξίζηε ην ζήκα x n1( ) πνπ πξνθύπηεη από ηε ζεώξεζε ησλ δύν κόλν

δεηγκάησλ ηνπ X( ) . Να ζρεδηαζηεί ην ζήκα x n1( ) γηα n [ , ]0 7 .

γ) Δπαλαιάβεηε ην πξνεγνύκελν εξώηεκα ρξεζηκνπνηώληαο ηέζζεξα ηζαπέρνληα δείγκαηα ( N2 4 ) ηνπ X( ) . Οκνίσο ζρεδηάζηε ην ζήκα

x n2( ) πνπ πξνθύπηεη γηα n [ , ]0 7 .

Γηθαηνινγήζηε επαξθώο ηα απνηειέζκαηα ζηα εξσηήκαηα (β) θαη (γ). Πνηό ζπκπέξαζκα εμάγεηαη γηα ην πιήζνο ησλ ιακβαλνκέλσλ δεηγκάησλ ζην πεδίν ηεο ζρεηηθήο γσληαθήο ζπρλόηεηαο ζε ζρέζε κε ηε δπλαηόηεηα αθξηβνύο πξνζδηνξηζκνύ ηνπ αξρηθνύ ζήκαηνο x n( ) ;

ΛΥΣΗ

α) Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier δηαθξηηνύ ρξόλνπ ππνινγίδεηαη σο εμήο:

2

3

2

3

22

3

22

3

2

3

2

3

323

0

22

22)(|)()()(

jjjjjjjj

jjj

n

nj

ez

eeeeeeee

eeeenxzXnxFX j

2 2 23

2 2

3

2

3

2

3

2

23

2

3

2 2 2

22

3

2e e e e e e ej j j j j j j

( ) ( ) [ cos( ) cos( )]

cos( ) cos( )

ή X ej

( ) [ cos( ) cos( )]2 23

2 2

3

2

β) Γηα N1 2 έρνπκε : m

m

N

2

1

γηα m 01, .

Άξα : 0

2 0

20 θαη 1

2 1

2.

Από εδώ θαη ζην εμήο ζα ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ζπκβνιηζκό:

X X mm( ) ( )πνπ γηα ηηο δύν ηηκέο ηζνύηαη κε:

X X X( ) ( ) ( ) [ ]0 0 0 2 1 2 1 1 6 θαη


X X X j( ) ( ) ( ) [ ]1 1 2 2 0 0 0

Άξα : 01Xθαη60X )()( .

Τν ζήκα x n1( ) πνπ πξνθύπηεη από ηε ζεώξεζε ησλ δύν κόλν απηώλ δεηγκάησλ είλαη:

1

0m

mnπj

1

1N

0m

N

mnπ2j

1

1

ΓΜΦ1 emX2

1nxemX

N

1Fnx

1

1 )()()()( γηα n 01, ή αλαιπηηθά

x X X1 01

20 1

1

26 0 3( ) [ ( ) ( )] ( ) θαη x X X e j

1

1

11

20 1

1

26 0 3( ) [ ( ) ( ) ] ( )

Βέβαηα ην ζήκα x n1( ) πξνθύπηεη πεξηνδηθό κε πεξίνδν N1 2 , ζύκθσλα κε ηε ζρεηηθή

Θεσξία ηνπ Γηαθξηηνύ Μεη/ζκνύ Fourier. Έηζη : x n x n N x n1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) .

0 1 2 3 4 n

x n1 ( )

-

...

3

5 6 7

...

γ) Γηα N2 4 έρνπκε : m

m

N

2

2

γηα m 012 3, , , .

Οπόηε: 0

2 0

40 , 1

2 1

4 2, 2

2 2

4, 3

2 3

4

3

2.

Γηα ηηο ηέζζεξηο παξαπάλσ ηηκέο έρνπκε:

X X X( ) ( ) ( ) [ ]0 0 0 2 1 2 1 1 6,

j1)1(Xj1]2

2j

2

2[2

]2

2

2

22[]

2

2j

2

2[2)]

4

πcos()

4

π3cos(2[)]

4

π3sin(j)

4

π3[cos(2

)]4

πcos()

4

π3cos(2[e2)

2

πΩ(X)1(X)Ω(X

22

4

π3j

1

X X X( ) ( ) ( )2 2 0 .

X X X X j( ) ( ) ( ) *( )3 33

21 1 .

Τν ζήκα x n2( ) από ηε ζεώξεζε ησλ ηεζζάξσλ δεηγκάησλ είλαη:

x n FN

X m e X m ej

mn

N

m

Nj

mn

m2

1

2

2

0

1

2

0

31 1

42

2

( ) ( ) ( ) γηα n 012 3, , , ή αλαιπηηθά


x X m e j jj

m2

0

0

3

01

4

1

46 1 0 1 2( ) ( ) [ ] θαη

1jj10jj164

1

e3Xe2Xe1X0X4

1emX

4

11x

j

2

π3j

1

πj

0j

2

πj3

0m

2

mπj

2

)])(()([

])()()()([)()(

x X m e X X e X e X e

j j

j m

m

j j j

20

3

2 321

4

1

40 1 2 3

1

46 1 0 1 1

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

[ ( ) ( )]

x X m e X X e X e X e

j j j j j j

jm

m

jj

j

2

3

2

0

3 3

2 3

9

231

4

1

40 1 2 3

1

46 1 0 1

1

46 1 0 1 2

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

[ ( )( ) ( )( )] [ ]

Οκνίσο ην ζήκα x n2( ) πξνθύπηεη πεξηνδηθό κε πεξίνδν N2 4

δειαδή x n x n N x n2 2 2 2 4( ) ( ) ( ) n.

0 1 2 3 4 n

x n2 ( )

-

...

2

5 6 7

... 1

Λόγσ ηεο πεξηνδηθόηεηαο ηνπ ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, κε πεξηόδνπο N1 θαη N2

αληίζηνηρα, ζηελ πεξίπησζε ηνπ εξσηήκαηνο (β) έρνπκε θαηλόκελν επηθάιπςεο (aliasing) ζηνλ ρξόλν. (Τν αληίζηνηρν ηεο επηθάιπςεο ζηε ζπρλόηεηα).

Έηζη γηα ην εξώηεκα (β) έρνπκε ην αξρηθό ζήκα x n( ) λα επαλαιακβάλεηαη κε πεξίνδν

N1 2 νπόηε πξνθύπηεη από ηηο δηαδνρηθέο επηθαιύςεηο ην ζηαζεξό ζήκα x n1 3( ) . Σηελ

πεξίπησζε ηνπ εξσηήκαηνο (γ) ε πεξίνδνο επαλάιεςεο είλαη N2 4 , νπόηε δελ επέξρεηαη

επηθάιπςε θαη κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε αθξηβώο ην αξρηθό ζήκα x n( ) (ρσξίο θαηλόκελα

επηθάιπςεο). Σπλεπώο γηα λα κελ έρνπκε επηθάιπςε ζηνλ ρξόλν πξέπεη ην πιήζνο ησλ δεηγκάησλ ζην

πεδίν ηεο ζρεηηθήο γσληαθήο ζπρλόηεηαο, , λα είλαη ίζν ή κεγαιύηεξν από ην πιήζνο ησλ δεηγκάησλ ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ γηα λα κπνξνύκε κέζσ απηώλ ησλ δεηγκάησλ λα πξνζδηνξίζνπκε αθξηβώο ην αξρηθό ζήκα, ρσξίο θαηλόκελα επηθάιπςεο ζηνλ ρξόλν. Απηό είλαη ηειείσο αληίζηνηρν κε ην γλσζηό ζεώξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο. Γηα ηελ αθξίβεηα είλαη ε "ζπκκεηξηθή" έθθξαζή ηνπ.


ΑΣΚΗΣΗ 102

Έλα απιντθό ζύζηεκα πεξηνξηζκνύ ηνπ ζνξύβνπ (data smoothing) ζε κηα

αθνινπζία (ζήκα), x n( ) , ζνξπβσδώλ ξαδηναζηξνλνκηθώλ δεδνκέλσλ,

ζπλίζηαηαη ζηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ παξόληνο δείγκαηνο ηεο εηζόδνπ, x n( ) ,

από ην κέζν όξν ηνπ δείγκαηνο x n( ) θαη ησλ Ν-1 πξνεγνπκέλσλ δεηγκάησλ

ηεο εηζόδνπ, x n x n x n N( ), ( ),..., ( )1 2 1 .

y n( )S

x n( )

1) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ (εμίζσζε δηαθνξώλ) ηνπ

ζπζηήκαηνο. Δπίζεο λα ππνινγηζζεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ πξναλαθεξόκελνπ απιντθνύ ζπζηήκαηνο

απνζνξπβνπνίεζεο. 2) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο, λα

ππνινγηζηνύλ ηα κεδεληθά θαη νη πόινη ηνπ θαη λα ζρεδηαζηνύλ ζην επίπεδν z . Γηα κεγαιύηεξε απνηειεζκαηηθόηεηα ζηνλ πεξηνξηζκό ηνπ ζνξύβνπ ην πξνεγνύκελν απιν΄η΄θό ζύζηεκα κέζνπ όξνπ αληηθαζίζηαηαη από ηελ ελ ζεηξά δύν αληίζηνηρσλ ζπζηεκάησλ κέζνπ όξνπ, S1

θαη S2, N1 3 θαη

N2 5 .

x n( ) y n( )S1

S2

y n1( )

S 3) Να ππνινγηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n' ( ) ,

ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο S ' .

4) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z' ( ) , ηνπ ζύλζεηνπ

ζπζηήκαηνο θαη λα ζρεδηαζζνύλ ηα κεδεληθά θαη νη πόινη ηνπ ζην επίπεδν

z . Να δνζεί κηα πξαγκαηνπνηήζε ηνπ ζπζηήκαηνο S ' .

ΛΥΣΗ

1)

i) y nN

x n x n iN

x n ii

N

i

N

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

1

0

1

Άξα :

y nN

x n ii

N

( ) ( )1

0

1

ii) h n y nx n n

h nN

n ii

N

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

0

1


Άξα :

h nN

n iN

u n u n Ni

N

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

1

iii)

0 1 2 3-1-2

h n( )

nΝ-1 Ν Ν+1

1

N

β)

i) H z h nN

n iN

zZ Zi

Ni

i

N

( ) ( ) ( )1 1

0

1

0

1

H zN

z z

z N

z

z z

N N

N( )

( )

1 1

1

1 1

1

1 1

1 1

Άξα :

H zN

z

z z

N

N( )( )

1 1

11

ii) Μεδεληθά : z N 1 0 Ν-νζηέο ξίδεο κνλάδαο.

Άξα : z e k Nk k

jk

N

2

0 1 2 1, , , ,...,

Γειαδή : z ej

N0 0

20

1

z e ej

Nj

N1 1

21

2

z e ej

Nj

N2 2

22

4

z e eN N

jN

N jN

N1 1

21

2 1( )

( )

Πόινη : z z z zN N1 11 0 0 1 0( )

Άξα :

z z1 0 10 0 , θαη

z z k NN

k k

1 0 0 1 2 3 1, , , ,...,

Γειαδή : 1 2 3 1 0... N

Παξαηήξεζε : Από ηηο ηηκέο ησλ κεδεληθώλ θαη ησλ πόισλ πνπ ππνινγίζακε πξνεγνπκέλσο

παξαηεξνύκε όηη ην κεδεληθό 0 1 θαη ν πόινο 0 1 αιιειναθπξώλνληαη.


iii)

3) S N y n x n ii

1 1 10

2

31

3: ( ) ( )

S N y n x n ii

2 2 2

0

4

51

5: ( ) ( )

Υπνινγίδνπκε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο : i) Με κεζνδνινγία ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ (Σπλέιημε) :

S h n u n u n1 1

1

33: ( ) ( ) ( )

S h n u n u n2 2

1

55: ( ) ( ) ( )

0 1 2 3-1-2

h n1( )

n

4

1/3


0 1 2 3-1-2

h n2 ( )

n

4

1/5

5 6

Με ρξήζε ηεο γλσζηήο κεζνδνινγίαο ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο θαηαιήγνπκε :

,...,,,,,,,,...,)n(h*h)n('h 015

1

15

2

15

3

15

3

15

3

15

2

15

1021

Γειαδή :

h n

n n

n n

n n

n n n

' ( )

,

,

,

, ,

0 0 7

115 0 6

215 1 5

315 2 3 4

0 1 2 3 4 5-1-2

h n( )

n

6 7

1/15

3/15

2/15

8

ii) Με κεζνδνινγία ζην επίπεδν ηεο (ζύλζεηεο) ζπρλόηεηαο ( z -επίπεδν) :

S H zz

z z1 1

3

2

1

3

1

1: ( )

( )

S H zz

z z2 2

5

4

1

5

1

1: ( )

( )

H z H z H zz z

z z

' ( ) ( ) ( )( )( )

( )1 2

3 5

6 2

1

15

1 1

1

H zz z z z z z z z

z z

' ( )( )( ) ( )( )

( )

1

15

1 1 1 1

1

2 4 3 2

6 2

H zz z z z z z

z

' ( )1

15

2 3 3 3 2 16 5 4 3 2

6


H z z z z z z z' ( )1

152 3 3 3 2 16 5 4 3 2 1

h n H zZ' '( ) ( ) ..., , , , , , , , , ,...1 01

15

2

15

3

15

3

15

3

15

2

15

1

150

Πξάγκαηη, θαη κε ηνπο δύν ηξόπνπο πξνζδηνξίζακε ηελ ίδηα αθνινπζία γηα ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, όπσο ήηαλ αλακελόκελν.

4) H zz z z z z z

z

' ( )( ) ( )1

15

1 12 4 3 2

6

Μεδεληθά : z z z z z z2 4 3 21 0 1 0

Τα αληίζηνηρα κεδεληθά, ζύκθσλα κε ηα πξναλαθεξζέληα πεξί Ν-νζηώλ ξηδώλ ηεο κνλάδαο, ζα επξίζθνληαη ζηηο εμήο ζέζεηο :

1

2

3ej

, 2

4

31e

j

( )*

, 3

2

5ej

, 4

4

5ej

,

5

6

54e

j

( )*

θαη )(e*j

35

8

6

Πόινη : z6

1 2 3 4 5 60 0

Πξαγκαηνπνίεζε :

x n( )

y n( )1 / 3

z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 ++

+

+ +

+1 / 5

y n1 ( )y n1 1( )x n( )2x n( )1

Τν ζύλζεην ζύζηεκα απνηειείηαη από ηελ ελ ζεηξά ζύλδεζε δύν FIR ζπζηεκάησλ S1 θαη S2 ,

θαη είλαη θαη απηό νκνίσο FIR ζύζηεκα.


ΑΣΚΗΣΗ 103

Γίλνληαη ηα επόκελα ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ (εκηηνλνεηδείο θπκαηνζπξκνί πεπεξαζκέλνπ ρξόλνπ) :

α)

x t

A f t t T T f

1

0 0 0 02 2 1

0

( )

sin( ) , | | , /

,

[ή x t A f t t T1 0 02 4( ) sin( ) ( / ) ].

Να ζρεδηαζηεί ην ζήκα x t1( ) θαη λα ππνινγηζηεί ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier,

X f1( ) .

β)

x t

A f t t T t T T f

2

0 0 0 0 02 1 2 1

0

( )

sin( ) [ (| |/2 )] , | | , /

,

[ή x t A f t t T2 0 02 2( ) sin( ) ( / ) ].

Να ζρεδηαζηεί ην ζήκα x t2( ) θαη λα ππνινγηζηεί ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier,

X f2( ) .

γ) Να ζρεδηαζηνύλ ηα θάζκαηα πιάηνπο | ( )|X f1 θαη | ( )|X f2 , ησλ

πξναλαθεξόκελσλ ζεκάησλ.

(Υπελζύκηζε: sin( ) ( / ) ( ) ( )2 20 0 0f t j f f f fF

).

Σεκείσζε : Τα ζήκαηα (παξάζπξα) Π θαη Λ νξίδνληαη σο εμήο :

( / )

, | | , /

,

t T

t T T f

4

1 2 1

0

0

0 0 0

θαη

( / )

(| |/2 ), | | , /

,

t T

t T t T T f

2

1 2 1

0

0

0 0 0 0

.

Τα ζήκαηα απηά απνηεινύλ ην ηεηξαγσληθό θαη ην ηξηγσληθό παξάζπξν αληίζηνηρα.

ΛΥΣΗ

α) Από ηε ζεσξία ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier γλσξίδνπκε όηη:

F x t F A f t t T

F A f t F t T X f

1 0 0

0 0 1

2 4

2 4

( ) sin( ) ( / )

sin( ) * ( / ) ( )


( )t

T4 0

t0

1

2 0T2 0T T0T0

4 0T Όκσο :

F A f tjA

f f f fsin( ) ( ) ( )220 0 0 θαη

F t T TfT

fTT c fT( / )

sin( )sin ( )4 4

4

44 40 0

0

0

0 0 .

Άξα :

X fjA

f f f f T c fT1 0 0 0 024 4( ) ( ) ( ) * sin ( )

ή X f j AT c f f T c f f T1 0 0 0 0 02( ) sin [4 ( ) ] sin [4 ( ) ] .

Δπεηδή : ( )* ( ) ( )f f X f X f f0 0 .

Ο θπκαηνζπξκόο x t1( ) έρεη ηελ εμήο εηθόλα:

( )t

T4 0

t0

2 0T2 0T T0T0

4 0T

x t1( )

1

-1 Tf0

0

1

β) Όκνηα, γηα ην ζήκα x t2( ) έρνπκε :

F x t X f F A f t t T

F A f t F t T

2 2 0 0

0 0

2 2

2

( ) ( ) sin( ) ( / )

sin( ) * ( / )


( )t

T2 0

t0

1

2 0T2 0T T0T0

4 0T

Αιιά :

F t T TfT

fTT c fT( / ) [

sin( )] sin ( )2 2

2

22 20 0

0

0

2

0

2

0 .

Δπνκέλσο : X fjA

f f f f T c fT2 0 0 0

2

022 2( ) ( ) ( ) * sin ( ) πνπ γξάθεηαη

X f jAT c f f T c f f T2 0

2

0 0

2

0 02 2( ) sin [ ( ) ] sin [ ( ) ] .

Σηελ πεξίπησζε απηή ν θπκαηνζπξκόο έρεη ηελ εμήο εηθόλα :

( )t

T2 0

t0

2 0T2 0T

T0T0

4 0T

x t2 ( )

1

-1 Tf0

0

1


f0 f0

f0 1

4 0T

| ( )|X f1

2 0AT

............

2 40 0 0AT c f f Tsin [ ( ) ] 2 40 0 0AT c f f Tsin [ ( ) ]

0

| ( )|X f2

... ...

f0f0 1

2 0T

1

2 0T

f

AT0

]T)ff(2[csinAT 00

2

0 ]T)ff(2[csinAT 00

2

0


ΑΣΚΗΣΗ 104

Έλα IIR ζύζηεκα πξώηνπ βαζκνύ έρεη έλα κεδεληθό ζηε ζέζε 1 2 θαη έλαλ

πόιν ζηελ ζέζε 11

2 , ε δε ηηκή ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο ζην ζπλερέο,

(Ω=0), είλαη κνλάδα (1). 1) Να πξνζδηνξηζζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , θαη ε ζρέζε εηζόδνπ-

εμόδνπ (εμίζσζε δηαθνξώλ) ηνπ ζπζηήκαηνο. Δπίζεο λα πξνζδηνξηζζεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) .

2) Να πξνζδηνξηζζεί ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο, H( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο.

(Φαξαθηεξηζηηθή πιάηνπο, H M( ) ( ) θαη ε ραξαθηεξηζηηθή θάζεο,

Arg H( ) ( ) ).

3) Να ζρεδηαζζνύλ νη ραξαθηεξηζηηθέο πιάηνπο θαη θάζεο ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο. Πώο ραξαθηεξίδεηαη ην ζύζηεκα από πιεπξάο δηειεύζεο ζπρλνηήησλ; Να δνζεί ε πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο κε ηνλ ειάρηζην αξηζκό ζέζεσλ κλήκεο.

ΛΥΣΗ

1 12 12 0

1, , ( )H

1)

i) H z Az

zA

z

zA

z

z( )

1

1

2

12

22

2 1

z e zj 0 1

H H zz

( ) ( )0 1

1

H zz

A A A( ) ( )1

1 21 2

2 1 12 1 1

2

Άξα :

H zz

z

z

zH z

z

z( ) ( ) ( )2 1

22

2 1

2

2 1

2

2 1

ii) H zY z

X z

z

zz Y z z X z( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2 12 1 2

( ) ( ) ( ) ( )2 2 11 1

1

z Y z z X zZ

[(Α.Σ.=0)]

2 1 2 11

21

1

21y n y n x n x n y n y n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

iii) h n Z H z( ) ( )1

H z

z

z

z z

A

z

A

z

( )

( )

2

2 1 2 1

1 2


AH z

zz

z

z

z zA1 10

2

2 1 0

2

12 2

( )

AH z

zz

z

z

z zA2 22 1 1

2

21

2

2 12

12

32

12

3 3( )

( )

Άξα :

H zz

z

z

z( ) 2 3

2 12

3

2 12

h n H zz

zn u nZ Z

n

( ) ( ) ( ) ( )1 1 23

2 12

23

2

1

2

Άξα :

h n n n u n

n

u n

n

( ) ( ) ( ) ( )

( )

23

2

1

2

3

2

1

21

0

3

2

1

2

h n n u n

n

( ) ( ) ( )12

3

2

1

21

h n n u nn

( ) ( ) ( )12 3 1

2 11

Υπνινγίδνπκε νξηζκέλεο ηηκέο ηεο h n( ) :

h h h( ) , ( ) , ( )0 12 1 3 1

23

4 2 3 12

38

2 3

h h kk

( ) ,..., ( )3 3 12

316 3 1

2

4 1

Άξα :

h n

n

n

nn

( )

,

,

,

0 0

12 0

3 12 0

1


0 1 2 3-1-2

h n( )

n

4 5

-1/2

1

3/4

3/8

3/163/32 3/64

2) H H zz e

e

e

j

jj

j

j( ) ( )cos sin

cos sin

2

2 1

2

2 2 1

Hj

j( )

cos sin

cos sin

2

2 1 2

M H( ) ( )cos sin

cos sin

cos cos sin

cos cos sin

2

2 1 4

4 4

4 1 4 4

2 2

2 2

12 2 2

2 2

12

5 4

5 41 1 1

12

12

cos

cos( )M (νινπεξαηό, All Pass)

( ) ( ) ( ) ( )H Arg H Arg H zz e j

Τξνπνπνηνύκε ηελ H z( ) σο εμήο :

H zz

z

z

zz

z

zz

z

z( )

2

2 1

2 1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

Άξα :

H z zz

zz

P z

P z

P z

P z

( )( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

2

21

,

όπνπ P z z( ) 2 θαη P z z( )1 1 2 .

Άξα :

)e(P

)e(PeArg

ez)z(HArg)(

j

jj

j

)e(PArg)e(PArgeArg)( jjj

Άιια Arg P e Arg P ej j( ) ( ) , επεηδή ην όξηζκα, ( Arg ), είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε.

Άξα :


( ) ( )2 Arg P e j

Αιιά :

P e e j Arg P ej j j( ) cos sin ( ) tansin

cos2 2

21

.

Άξα :

( ) tansin

cos2

21

., Ω [0, π)

3) i)

M H( ) | ( )|

( ) ( )H

1

-π/2

-π

0

π

π

π/2

π/2π/4π/8 3π/4

0 0 0 20

0 201( ) tan

sin

cos

8 8 8 28

8 20 341( ) tan

sin

cos.

4 4 4 24

4 20571( ) tan

sin

cos.

2 2 2 22

2 20801( ) tan

sin

cos.

34

34

34 2

34

34 2

0 911( ) tansin

cos.

( ) tansin

cos2

21


ii) Δπεηδή ηζρύεη όηη H( ) 1 , ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο νινπεξαηό (All Pass).

iii) Η πξαγκαηνπνηήζε κε ηνλ ειάρηζην αξηζκό ζηνηρείσλ κλήκεο (θαζπζηεξήζεσλ) είλαη ε

θαη’επζείαλ κνξθή II ή θαλνληθή. Δδώ έρνπκε : a b b1 0 11

21

2 1, , .

x n( )

z 1

+ ++y n( )0 1 2/

1 11 1 2/


ΑΣΚΗΣΗ 105 (ΘΔΜΑ 1ν -16/9/94)

Έλα FIR ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ επόκελε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ(εμίζσζε δηαθνξώλ): y n x n x n N( ) ( ) ( ) , N Z N 2 .

1) Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) ,

ηνπ ζπζηήκαηνο.

2) Να ππνινγηζηεί ε έμνδνο, y n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο αλ ε είζνδνο, x n( ) , είλαη:

x n N n u n( ) cos[( / ) ] ( )2 .

Να ζρεδηαζηεί ε πξνθύπηνπζα έμνδνο αλ N 8 .

3) Δπαλαιάβεηε ην πξνεγνύκελν εξώηεκα, αλ ε είζνδνο δίλεηαη από ηε ζρέζε:

x n N n u n( ) cos[( / ) ] ( )4 .

4) Σρνιηάζηε ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνθύπηνπλ ζηα εξσηήκαηα 2 θαη 3 κειεηώληαο ην ζύζηεκα ζε ζρέζε κε ηα αληίζηνηρα ζήκαηα εηζόδνπ, ζην επίπεδν z.

ΛΥΣΗ

1) Η απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ δίλεηαη από ηε ζρέζε:

h n y n h n n n Nx n n( ) ( )| ( ) ( ) ( )( ) ( )

0

-1

h n( )

nΝ

1

( )n

( )n N

2) Από ηε ζρέζε ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ x n N n u n( ) cos[( / ) ] ( )2 βιέπνπκε όηη

FN

1.

Η έμνδνο ηζνύηαη κε ηε ζπλέιημε ηεο εηζόδνπ κε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ :

y n h n x n n n N x n

n x n n N x n x n x n N

( ) ( )* ( ) [ ( ) ( )]* ( )

( )* ( ) ( )* ( ) ( ) ( )

ή

y n x n x n N N n u n N n N u n N

N n u nN

n u n N

N n u nN

n u n NN

n u n u n N

( ) ( ) ( ) cos[( / ) ] ( ) cos[( / ) ( )] ( )

cos[( / ) ] ( ) cos( ) ( )

cos[( / ) ] ( ) cos( ) ( ) cos( ) [ ( ) ( )]

2 2

2 21

2

2 21

21

Δπνκέλσο: y nN

n u n u n N( ) cos( ) [ ( ) ( )]21


Γηα N 8 ε έμνδνο y n n u n u n( ) cos( ) [ ( ) ( )]21

88 παίξλεη ηηο ηηκέο:

y n( ) , ,0, , , ,0, ,0,0,...12

2

2

21

2

2

2

2.

0 1 2

3 4 5

-1

y n( )

n

6

7

1

8

-1

9

2

2

2

2

N F81

8,

3) Από ηελ ζρέζε ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ

x nN

n u n

F

( ) cos( ) ( )22

ζπκπεξαίλνπκε

όηη: FN

2. Η έμνδνο γξάθεηαη

y n h n x n x n x n N

N n u n N n N u n N

N n u nN

n u n N

N n u nN

n u n NN

n u n u

( ) ( )* ( ) ( ) ( )

cos[( / ) ] ( ) cos[( / ) ( )] ( )

cos[( / ) ] ( ) cos( ) ( )

cos[( / ) ] ( ) cos( ) ( ) cos( ) [ ( ) (

4 4

4 22

4

4 22

22

n N)]

Δπνκέλσο: y nN

n u n u n N( ) cos( ) [ ( ) ( )]22

.

Γηα N 8 ε έμνδνο )]8n(u)n(u[)n8

22cos()n('y δίλεη ηελ αθνινπζία ηηκώλ:

y n( ) , , , , , , , , , , ...1 0 1 01 0 1 0 0 0 .


0 1

2

3 4 5-1

y n( )

n

6

7

1

8

-1

9

N F82

8

1

4,

4) Η έμνδνο κε κεηαζρεκαηηζκό Z γξάθεηαη:

y n x n x n N Y z X z z X z

Y z z X z H zY z

X z

z z

z

ZN

N

N N

N

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )1

1

1

1

Τα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο (δειαδή νη ξίδεο ηνπ αξηζκεηή ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο) είλαη νη N-νζηέο ξίδεο ηεο κνλάδαο. Απηά βξίζθνληαη επάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν, κε αξρή ην

ζεκείν z 1, ζε ηζαπέρνπζεο κεηαμύ ηνπο ζέζεηο, κε "βήκα" (ηόμν): 2

N.

Η είζνδνο x n( ) είλαη ζπλεκηηνληθή κε ζρεηηθή ζπρλόηεηα F1

8. Δπεηδή όκσο ην ζύζηεκα

έρεη ζην ζεκείν απηό κεδεληθό, ε είζνδνο απηή απνθόπηεηαη, εθηόο από έλα κηθξό ηκήκα ηεο κε κήθνο κηαο πεξηόδνπ, πνπ εκθαλίδεηαη ζηελ έμνδν θαηά ηελ κεηαβαηηθή θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Όηαλ ην ζύζηεκα θζάζεη ζηε κόληκε θαηάζηαζε ηόηε ε είζνδνο απηή απνθόπηεηαη ηειείσο.

Αληίζηνηρα ζπκβαίλνπλ θαη θαηά ηελ εθαξκνγή ηεο εηζόδνπ (εμίζνπ ζπλεκηηνληθήο) x n( ) κε

δηπιάζηα ζρεηηθή ζπρλόηεηα F F2 21

8. Καη ζηε πεξίπησζε απηή ην ζύζηεκα έρεη

νκνίσο κεδεληθό, νπόηε θαη απηή ε είζνδνο απνθόπηεηαη εθηόο από έλα κηθξό ηκήκα κήθνπο δύν πεξηόδσλ πνπ αληηζηνηρεί ζηε κεηαβαηηθή θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Όηαλ ην ζύζηεκα θζάζεη ζηε κόληκε θαηάζηαζε ηόηε θαη απηή ε είζνδνο απνθόπηεηαη.

Δάλ ηα ζήκαηα εηζόδνπ x n( ) θαη x n( ) , είραλ εθαξκνζηεί ζην καθξηλό παξειζόλ (ζεσξεηηθά

πξηλ από άπεηξν ρξόλν) θαη παξαηεξνύζακε ηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο ζε ρξόλνπο n 0 ,


ηόηε επεηδή ζα παξαηεξνύζακε ηε κόληκε θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο, ζα βιέπακε κόλν

κεδεληθέο ηηκέο, όπσο ζπκβαίλεη θαη ζηα πξνεγνύκελα εξσηήκαηα γηα n 8 (ή n N ).


ΑΣΚΗΣΗ 106

Γίλεηαη ην επόκελν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα βαζκίδσλ :

m t( )

H f( )

f

11

x t( )x t( )

c t( ) c t( )

...

...

y t( )

c t( )

x t( )

LPF

όπνπ m t c t t t( ) sin ( ) sin( )2 2 2 θαη c t t( ) cos( )2 Rt .

1) Να ζρεδηαζηνύλ ηα ζήκαηα m t( ) θαη c t( ) θαζώο θαη ηα αληίζηνηρα

θάζκαηά ηνπο M f( ) θαη C f( ) .

2) Να ζρεδηαζηεί (πξνζεγγηζηηθά) ην ζήκα x t( ) θαζώο θαη ην θάζκα ηνπ

X f( ) .

3) Να ζρεδηαζηεί (πξνζεγγηζηηθά) ην ζήκα y t( ) θαζώο θαη ην θάζκα ηνπ

Y f( ) .

4) Να ζρεδηαζηεί ην θάζκα ηνπ Z f( ) ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ θαζώο θαη ην ίδην

ην ζήκα z t( ) .

Παξαηήξεζε : Τν πξνεγνύκελν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα βαζκίδσλ πεξηγξάθεη, από πιεπξάο αξρώλ, ην ζύζηεκα ηεο “ζύργξνλεο απνδηακόξθσζεο” (Coherent Demodulation), πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηηο ηειεπηθνηλσλίεο. (Τν βαζππεξαηό θίιηξν ζην ηέινο ζεσξείηαη ηδαληθό δει.

H ff

( ) ( )2 .)

Υπελζύκηζε : )]a2cos(1[2

1)a(cos2 .

ΛΥΣΗ

m t c tt

t( ) sin ( )

sin( )

22

2

, c t t( ) cos( )2 .

1)

m t( )

sin ( )ct

2

1

2 4

6t

-2-4-6

......0


c t( )

t

0

1cos( )2 t

0,5

1-1

-0,5

T=1

fT

11

-1

Γηα λα ππνινγίζνπκε ην θάζκα M f( ) ηνπ ζήκαηνο m t( ) ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ηδηόηεηεο

ηνπ κεη/ζκνύ Φνπξηέ (Fourier). Από ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη :

1( ) sin ( )t c f

F

. Γειαδή έρνπκε ζρεκαηηθά :

s t( )

t

0

F

1

2( )

t

/ 2/ 2

1 /


S f F s t( )( ( ) )

f

1 2

sin ( )c f

1

12

.. ....

Δδώ ην ζήκα m t( ) έρεη ηελ ίδηα έθθξαζε κε ην S f( ) , αλ 1

2 12 .

Δπνκέλσο κπνξνύκε κε ρξήζε ηεο γλσζηήο ηδηόηεηαο ησλ κεη/ζκώλ Fourier πνπ αλαθέξεηαη ζηε ζπκκεηξία κεηαμύ ησλ ρώξσλ νξηζκνύ :

Αλ x t X f X t x fF F

( ) ( ) ( ) ( ) .

Άξα εδώ ζα έρνπκε :

s t S f S t s fF F

( ) ( ) ( ) ( )12

12

Άξα :

M f m t s ff

F( ) ( ) ( ) 12

1

12

12

M ff

( )( )

2 12

M f F m t( ) ( )

f0

2

1 4/1 4/

1 2/

1


Γηα ην ζήκα cos( )2 0f t , πνπ είλαη ζήκα ηζρύνο, από ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε όηη :

C f c t f f f fF( ) ( ) ( ) ( )1

2 0 0

Δδώ έρνπκε f 0 1. Άξα :

C f c t f fF( ) ( ) ( ) ( )1

21 1

C f( )

+1-1 0

1

21

21( )f1

21( )f

f

2) x t m t c t ct

t( ) ( ) ( ) sin ( ) cos( )2

2

x t( )

1

1

2

3

t

-1-2-4

0

-1

4-3

Πεξηβάιινπζα :sin ( )

( )

ct

m t

2

Φέξνλ : cos( )

( )

2 t

c t

)f(C*)f(M)t(c)t(m)t(x)f(X FF

)1f(*

21

f)1f(*

21

f)1f()1f(

2

1*

21

f2

f f1

12

1

12


X f( )

f0.5

0 5.

1

0.75 1 1.25

0 5.

-1.25 -1 -0.75 -0.5

(/

)f 1

1 2(

/)

f 1

1 2

3) y t x t c t m t c t c t m t c t ct

t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) cos ( )2 2

22

y t( )

1

1 2

t

-1-2-4 0 4

-3

Πεξηβάιινπζα :sin ( )

( )

ct

m t

2

c t t2 2 2( ) co s ( )

3

y t m t t m t t m t e ej t j t( ) ( ) cos ( ) ( ) cos( ) ( )2 4 421

21 4

1

21

1

2

1

2

1

2

1

4

1

44 4m t m t e m t ej t j t( ) ( ) ( )

Δπίζεο από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ κεη/ζκνύ Fourier γλσξίδνπκε όηη :

s t S f s t e s f fF F

j f t( ) ( ) ( ) ( )2

00

Δδώ έρνπκε όηη f 0 2 . Άξα :

Y f y t M f M f M fF( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

1

42

1

42

1

22

12

1

42

2

12

1

42

2

12

12

1

2

2

12

1

2

2

12

2 2

f f f f f f

M f M f M f( ) ( ) ( )


Y f( )

f

0.25

0 5.

1

1.75 2 2.25-2.25 -2 -1.75 -0.25

1

2

1

1 2(

/)

f

1

2

1

1 2(

/)

f

1 2/

(/

)f

1 2

4) Y ff f f

M f M f M f

( )

( ) ( ) ( )

12

1

2

2

12

1

2

2

12

1

2

1

42

1

42

H ff

( )2

Y f( )

f0.25 1.75 2 2.25-2.25 -2 -1.75 -0.25

1

42M f( )

1

42M f( )

1 2/

1

2M f( )

f1 2-2 -1

H f( )( )

f

2

2

Ιδαληθό βαζππεξαηό

θίιηξν

f0.25-0.25

Z f Y f H f( ) ( ) ( )11

2M f( )

1

1

Z f H f Y f M f( ) ( ) ( ) ( )1

2 (όπσο θαίλεηαη από ην πξνεγνύκελν ζρήκα.)

Άξα :

z t Z f M f m tF F( ) ( ) ( ) ( )1 11

2

1

2


Άξα :

z t m t ct

( ) ( ) sin ( )1

2

1

2 2

z t( )

1/2

2 4

6t

-2-4-6

......0

Παξαηεξνύκε όηη ην ζήκα εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο, x t( ) , είλαη όκνην κε ην αξρηθό, ην m t( ) ,

κόλν πνπ είλαη ¨εμαζζεληκέλν¨ ζην κηζό (1

2) ηνπ αξρηθνύ πιάηνπο. Με κηα απιή δηάηαμε

ελίζρπζεο κπνξνύκε λα ην επαλαθέξνπκε ζην αξρηθό πιάηνο (1). Απηό ην ζύλζεην ζύζηεκα πνπ εμεηάζακε αλαθέξεηαη ζηηο βαζηθέο αξρέο ηεο ¨ζύγρξνλεο απνδηακόξθσζεο¨ (Coherent

Demodulation). Τν ζήκα m t( ) είλαη ην ¨δηακνξθνύλ ζήκα¨ (modulating signal), ελώ ηνc t( )

είλαη ην ¨θέξνλ ζήκα¨ (carrier signal). Σην δηάγξακκα βαζκίδσλ ην πξώην ηκήκα (δηακνξθσηήο, modulator) αλαθέξεηαη ζηνλ πνκπό, ελώ ην δεύηεξν ηκήκα (ζύγρξνλνο απνδηακνξθσηήο, coherent modulator) αλαθέξεηαη ζηνλ δέθηε.


ΑΣΚΗΣΗ 107

Γίλεηαη ε ελ ζεηξά ζύλδεζε δύν ζπζηεκάησλ S1 θαη S2 όπνπ:

-Τν ζύζηεκα S1, κε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο H z1( ) , έρεη ηέζζεξα (4)

ηζαπέρνληα κεδεληθά επί ηνπ κνλαδηαίνπ θύθινπ, κε αξρή ην ζεκείν z 1

( )0 , θαη ηέζζεξηο (4) πόινπο ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ ( z 0 ).

-Τν ζύζηεκα S2, κε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο H z2( ), έρεη έλα (1) κεδεληθό ζηελ

αξρή ησλ αμόλσλ ( z 0 ), θαη έλα (1) πόιν επί ηνπ κνλαδηαίνπ θύθινπ ζην ζεκείν z 1 .

x n( ) y n( )S1

H z1( ), S2H z2( ),

S H z, ( )

1) Να ζρεδηαζηνύλ νη ζέζεηο ησλ πόισλ θαη ησλ κεδεληθώλ ησλ ζπζηεκάησλ S1 θαη S2 θαη λα πξνζδηνξηζηνύλ νη αληίζηνηρεο ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο H z1( ) θαη H z2( ).

Δπίζεο λα πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο S, αλ ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο ζηε ζέζε z 1 είλαη 4, ( H z z( )| 1 4 ),

θαη λα ζρεδηαζηνύλ νη αληίζηνηρνη πόινη θαη ηα κεδεληθά.

2) Να πξνζδηνξηζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ, h n( ) , θαζώο θαη ε

ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ (εμίζσζε δηαθνξώλ) ηνπ (ζύλζεηνπ) ζπζηήκαηνο S θαη λα δνζεί κία πξαγκαηνπνίεζή ηνπ.

3) Να πξνζδηνξηζηεί αλαιπηηθά ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο H( ) ηνπ ζύλζεηνπ

ζπζηήκαηνο S. Να παξαδηαζνύλ γξαθηθά ε απόθξηζε πιάηνπο,

( ) | ( )|H , θαη ε απόθξηζε θάζεο ( ) arg ( )H , γηα

0 .

Παξαηήξεζε: Τν πξναλαθεξόκελν ζύλζεην ζύζηεκα απνηειεί ην ζπλδπαζκό "comb filter-complex resonator". Αλάινγα κε ηε ζέζε ηνπ πόινπ (ή ησλ πόισλ) ηνπ "ζπληνληζηή"(resonator) κπνξεί λα εκθαλίδεη δηαθνξεηηθά ραξαθηεξηζηηθά επηιεθηηθόηεηαο σο πξνο ηε ζπρλόηεηα (βαζππεξαηό, πςηπεξαηό θ.ι.π.). Δπηπιένλ παξνπζηάδεη ππνινγηζηηθή απιόηεηα ζηε πξαγκαηνπνίεζή ηνπ επεηδή νη ζπληειεζηέο ηνπ είλαη όινη κνλαδηαίνη.

ΛΥΣΗ

Η ζπλάξηεζε κεηαθνξάο H z1( ) ζύκθσλα κε ηα δεδνκέλα γξάθεηαη :

H z Kz z j z z j

zK

z z

zK

z

z1 1 4 1

2 2

4 1

4

4

1 1

0

1 1 1( )

( )( )( )( )

( )

( )( ).

Αληίζηνηρα, ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο γηα ην δεύηεξν ζύζηεκα ηζνύηαη κε:

H z Kz

zK

z

z2 2 2

0

1 1( )

( )

( ).


Δπνκέλσο, ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο δίλεηαη από ην γηλόκελν:

H z H z H z Kz

zK

z

z

H z K Kz

z zK

z

z zK

z

zK z z z

K

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

1 2 1

4

4 2

1 2

4

3

4

3

4

1

1 2 3

1

1

1

1

1

1

1

11

Γίλεηαη όηη H z z( )| 1 4 H z K K( ) ( )1 4 1 1 1 1 4 1.

Άξα έρνπκε :

H zz

z z( )

( )

4

3

1

1.

2) Δηδακε όηη ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηζνύηαη κε:

H zz

z zz z z( )

( )

4

3

1 2 31

11 .


Από ηελ ηειεπηαία ζρέζε ζα βξνύκε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ παικνύ:

h n Z H z Z z z z

n n n n n i u n u ni

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 3

0

3

1

1 2 3 4

0 1 2 3 4 5-1-2

1

h n( )

n

Η εμίζσζε δηαθνξώλ ηνπ ζπζηήκαηνο πξνζδηνξίδεηαη εύθνια από ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζύλζεηνπ ζπζηήκαηνο:

H zz

z z

z

z

Y z

X zY z z X z z

Y z z Y z X z z X z

y n y n x n x n

Z

( )( )

( )

( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

3

4

1

1 4

1 4

1

1

1

11 1

1 4

1

y n y n x n x n( ) ( ) ( ) ( )1 4

x n( ) y n( )

z 1

z 1 z 1 z 1 z 1 -+

x n( )4

y n( )1

++

+

+

COMB FILTER COMPLEX

RESONATOR

3)

H H z z z z

H e e ee e

e

z e z e

j j j

j j

j

j j( ) ( )| [ ]|

( ) [ ]

1

11

1

1 2 3

2 3

3

He

e

e e e e

e e e e

He e e

e e e

e

j

j

j j j j

j j j j

j j j

j j j

j

( )

( )( )

( )

sin( )

sin( )

1

1

2

2

4 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

3

2


Άξα: H ej

( )sin( )

sin( )

3

22

2

γηα 0 .

Η απόθξηζε πιάηνπο δίλεηαη από ηε ζρέζε:

M H ej

( ) | ( )| | | |sin( )

sin( )

||sin( )|

sin( )

3

2

1

2

2

2

2

γηα 0 .

Η θάζε ηζνύηαη κε ( ) arg ( ) argsin( )

sin( )

H3

2

2

2

πνπ είλαη ίζε κε:

( ),

,

3

2

0 02

2

.

M ( )

/ 2

( )

1

2

3

4

/ 2

4

23 4/

Κλίση:d

dc t

( ) 3

2

Απηόο ν ζπλδπαζκόο "comb filter-complex resonator" ζπκπεξηθέξεηαη, από πιεπξάο ζπρλνηήησλ ζαλ θίιηξν δηέιεπζεο ρακειώλ ζπρλνηήησλ (βαζππεξαηό θίιηξν, Low pass filter).


ΑΣΚΗΣΗ 108

Γίδνληαη ηα επόκελα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n u n u n N1( ) ( ) ( ) θαη x n n n Z2 0 0 0( ) cos( ), ,, .

1) Να ππνινγηζζεί ε ζπλέιημε ησλ δύν ζεκάησλ, )(*)()( 21 nxnxny .

2) Να ππνινγηζζεί ε εηεξνζπζρέηηζε ηνπο, r lx x1 2( ) .

3) Να δηθαηνινγήζεηε ην απνηέιεζκα ηνπ πξώηνπ εξσηήκαηνο ππνζέηνληαο ην ζήκα x n1( ) ζαλ ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο (ή κνλαδηαίνπ

παικνύ), h n( ) , ελόο Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηνο θαη ην x n2 ( ) ζαλ ην ζήκα εηζόδνπ.

Αλαθέξαηε ηα βαζηθά βήκαηα ζηνπο ππνινγηζκνύο ηεο ζπλέιημεο θαη ηεο ζπζρέηηζεο. Σε πνηα βήκαηα δηαθέξνπλ νη ππ[νινγηζκνί; Πώο εθθξάδεηαη ε ζπζρέηηζε ζεκάησλ κέζσ ηεο πξάμεο ηεο ζπλέιημεο;

ΛΥΣΗ

1) ))(*()(*)()( 2121 nxxnxnxny

x k2 ( )

k

0

1

N 1

1

x k1( )

cos( )0k

k...

u k u N k( ) ( )

0

-1

y n x n x n k y n n kk k

N

( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )1 2 0

0

1

2

0

*12

0

1

0

1

0

00

1

0

1

0

1

0

)()(1

0

0

2

1

2

1)(cos)(

S

N

k

kj

AA

nj

S

N

k

kj

A

nj

N

k

knjknjN

k

eeee

eeknny


S ee

e

e

e

j k

k

N j N

j

j N

j1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1: , (γεσκεηξηθή πξόνδνο κε ιόγν e j 0 )

Se e e e

e e e e

e

e

Nj

Nj

Nj

Nj

N

j j j j

jN

j1

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

0

0

2

2

sin( )

sin( )

S e

N

jN

1

1

20

0

0 2

2

( ) sin( )

sin( )

Άξα :

y n A S A S A S( )* * Re

1

2

1

221 1 1 1 1 1

)2

sin(

)2

sin(

)(0

02

10

0Re

N

eeny

Nj

nj

)2

1(cos

)2

sin(

)2

sin(

)( 0

0

0 Nn

N

ny

ή ηζνδύλακα : y n M n( ) ( ) cos ( )' '

0 0 0,

όπνπ M ' ( )0

)2

sin(

)2

sin(

0

0

N

, θαη ' ( )0 0

1

2

N.

2) r l x n x n lx x

n1 2 1 2( ) ( ) ( ) . Αιιά θαη :

lnnxnxlr xx )(*)()( 2121

Αιιά x n x n2 2( ) ( ) , επεηδή ην ζήκα x n2 ( ) έρεη άξηηα ζπκκεηξία ( x n n2 0( ) cos( ) ).

Άξα :

)()()(*)()( 2121ly

lnny

lnnxnxlr xx

Σπλεπώο :

r l

N

lN

x x1 2

0

00

2

2

1

2( )

sin( )

sin( )

cos ( )


Πξνθαλώο ζην ίδην απνηέιεζκα ζα θαηαιήγακε αλ αθνινπζνύζακε ηνλ αλαιπηηθό ηξόπν ππνινγηζκνύ ηεο εηεξνζπζρέηηζεο, πνπ είλαη γη’απηή ηελ πεξίπησζε ηειείσο αληίζηνηρνο κε ηνλ ηξόπν επίιπζεο ηνπ πξώηνπ εξσηήκαηνο. 3)

h n( )x n n( ) cos( )0 y n( )

h n u n u n N( ) ( ) ( )

x n n2 0( ) cos( ) h n u n u n N( ) ( ) ( )

Από ηε ζεσξία ησλ Γξακκηθώλ θαη Φξνληθώο Αλαιινίσησλ (Γ.Φ.Α.) ζπζηεκάησλ γλσξίδνπκε

όηη αλ ε είζνδνο x n( ) είλαη ην ζήκα A ncos( )0 0, ηόηε ην ζήκα εμόδνπ, y n( ) , ζα

είλαη :

y n H A n H

M

( ) ( ) cos arg ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0

Γειαδή, ην Γ.Φ.Α. ζύζηεκα δελ ηξνπνπνηεί ηε ζπρλόηεηα, 0, ηεο εηζόδνπ, αιιά κεηαβάιιεη

κόλν ην πιάηνο θαη ηελ αξρηθή θάζε θαηά ηα κεγέζε H( )0 θαη arg ( ) ( )H 0 0

,

αληίζηνηρα. Σύκθσλα κε ηα δεδνκέλα ηνπ πξώηνπ εξσηήκαηνο θαη θάησ από ην πξίζκα ηεο

ζεώξεζεο ησλ Γ.Φ.Α. ζπηεκάησλ, έρνπκε A 1 00, , θαη ζπλεπώο :

H M

N

M( ) ( )

sin( )

sin( )

( )'

0 0

0

00

2

2

, θαη

arg ( ) ( ) arg

sin( )

sin( )' ( )

,

HN

N

0 0 0

0

0

0

1

2

2

20

Τα βαζηθά βήκαηα ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο έρνπλ σο εμήο : β1 : Γηαηήξεζε ηνπ ελόο από ηα δύν ζήκαηα αθίλεηνπ (“παγσκέλνπ”) ζην ρξόλν. β2 : Φξνληθή αλάθιαζε ηνπ δεύηεξνπ ζήκαηνο. β3 : Μεηάζεζε ηνπ δεύηεξνπ ζήκαηνο ζηε ζέζε n. β4 : Πνιιαπιαζηαζκόο ησλ δύν ζεκάησλ ζηελ πεξηνρή επηθάιπςεο β5 : Άζξνηζε ησλ κεξηθώλ γηλνκέλσλ. Η ηηκή ηνπ αζξνίζκαηνο είλαη ε ηηκή ηεο ζπλέιημεο

ζηε ζέζε n. β6 : Δπαλάιεςε ηεο δηαδηθαζίαο από ην β3 θαη κεηά γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ n πνπ έρνπκε

επηθάιπςε. Αληίζηνηρα, γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο εηεξνζπζρέηηζεο έρνπκε ηελ ίδηα αιιεινπρία βεκάησλ, όπσο θαη γηα ηελ ζπλέιημε, κε ηελ κόλε δηαθνξά ηελ παξάιεηςε ηνπ δεύηεξνπ βήκαηνο (β2), δειαδή ηεο ρξνληθήο αλάθιαζεο. Δπίζεο ε κεηάζεζε ηνπ δεύηεξνπ ζήκαηνο γίλεηαη ζηελ ζέζε l (αληί ηεο ζέζεο n). Πξνθαλώο, ζύκθσλα κε όζα πξναλαθέξακε, έλα “ζρήκα” (αιγόξηζκνο) ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο εηεξνζπζρέηηζεο εάλ πξνεγνπκέλσο έρνπκε επηθέξεη ζην δεύηεξν ζήκα κηα αξρηθή ρξνληθή αλαθιάζε. Έηζη :


lnnxnxlr xx )(*)()( 2121

(Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ δεύηεξνπ εξσηήκαηνο ηνπ ζέκαηνο απηνύ, έγηλε ρξήζε απηήο ηεο ηδηόηεηαο).


ΑΣΚΗΣΗ 109

1. Γίλεηαη ην ζήκα:

ύ

t

tx

,0

(sec)10,1

)(

Να ππνινγηζηεί αιινχ αλαιπηηθά ν Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier (ΜΦ), X( ) ,

θαη λα ζρεδηαζηεί ην θάζκα πιάηνπο | ( )|X , )R,f2( .

2. Θεσξνχκε ηελ πεξηνδηθή επέθηαζε, x tT( ) , ηνπ πξνεγνχκελνπ ζήκαηνο:

x t x t kTTk

( ) ( )0 , k Z , T0 2sec .

Να ππνινγηζηνχλ νη κηγαδηθνί ζπληειεζηέο ηνπ αλαπηχγκαηνο ζε εηξά Fourier (Φ), cm

, m Z θαη λα ζρεδηαζηεί ην θάζκα πιάηνπο | |cm.

3. Θεσξνχκε ηελ έθθξαζε δηαθξηηνχ ρξφλνπ, x n( ) , ηνπ ζήκαηνο x t( ) :

x n T x nT T x tS S S t nTS( ) ( ) ( )| , n Z , TS 0 25, sec .

Να ππνινγηζηεί ν Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier Γηαθξηηνχ Υξφλνπ (ΜΦΓΥ), X( ) , ηνπ ζήκαηνο x n( ) , ( 2 F ) θαη λα ζρεδηαζηεί ην θάζκα πιάηνπο

| ( )|X γηα [ , )0 2 . ε πνηφ θαηλφκελν απνδίδεηε ηηο παξαηεξνχκελεο

δηαθνξέο ζην θάζκα πιάηνπο | ( )|X ζε ζρέζε κε ην θάζκα πιάηνπο

| ( )|X ;

4. ην πξνεγνχκελν ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ x n( ) λα ππνινγηζηεί ν Γηαθξηηφο

Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier (ΓΜΦ), X m( ) , γηα παξάζπξν αλάιπζεο κήθνπο

N 8 ( m 012 7, , ,.., ) θαη λα ζρεδηαζηεί ην θάζκα πιάηνπο | ( )|X m .

5. Πψο κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ Γηαθξηηφ Μεηαζρεκαηηζκφ Fourier, X m( ) , ελφο ζήκαηνο x n( ) αλ γλσξίδνπκε ηνλ Μεηαζρεκαηηζκφ Fourier

Γηαθξηηνχ Υξφλνπ, X( ) , ρσξίο λα θαηαθχγνπκε ζηνλ αλαιπηηθφ ηνπ

ππνινγηζκφ;

Πψο γξάθεηαη ν ΓΜΦ ζαλ γξακκηθφο κεηαζρεκαηηζκφο (γηλφκελν πίλαθα επί δηάλπζκα); Ση ηδηφηεηεο έρεη ν πίλαθαο W

N ; Να γξαθνχλ νη πίλαθεο WN

θαη WN

1 γηα N 4 .

ΛΥΣΗ

1. Ο κεηαζρεκαηηζκφο Fourier ηνπ ζήκαηνο ππνινγίδεηαη βάζεη ηεο ζρέζεο:

X F x t x t e dtj t( ) ( ) ( )

Ασκήσεις στα "Σήματα και Συστήματα"

307

x t( )

t(sec)

1

0 1

x tt

( ), [ , )

,

1 0 1

0

πγθεθξηκέλα έρνπκε:

X e dtj

d ej j

je e e

je e e e

j t j t j t j

j j j j j j j

j

j j

( ) ( ) [e ] [e ]

[e ] [e ] sin( )

sin( )

sin( )

11

1

2

2

2

2

0

1

0

1

0

1

2 2 2 2 2 2 2

22

2 2

ή X e cj

( ) sin ( )2

2.

Δπνκέλσο: X e c X cj

( ) sin ( ) | ( )| |sin ( )|2

2 2.

| ( )|X

(sec

)rad

2 4 6246

......

| sin ( )|c2

-3 -2 -1 1 2 3 f Hz( )

1

0

2)

x tT ( )

t(sec)-1

1

-2 1 20

T0

2sec


Γηα ην ζήκα x t x t kTTk

( ) ( )0 νη κηγαδηθνί ζπληειεζηέο ζην αλάπηπγκα ζε εηξά Fourier

είλαη ίζνη κε:

cT

x t e dt x t e dt e dt

j md e

j me

j me

m T

j m t

T

T

j m t j m t

j m t j m t j m

1 1

2

1

21

1

2

1 1

2

1 1

2

11

1

2

1

0 1

1

0

1

0 0

1

0

0

1

0

0

0

0 0

0 0 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

(j m

e jmj

m

0

20

0

22

) ( sin( ))

Άξα: cm

em

e

m

mm

jm

jm1

2

1

2

2

20

20

20

0

0 0

sin( )

sin( ) κε 0

0

2 2

2T

θαη m Z .

Σν θάζκα πιάηνπο είλαη: | |

|sin( )|

| |

,

, , , ,..

, , , ,...

c

m

m

m

mm

m

m

1

2

2

2

1

20

11 3 5

0 2 4 6

0

0

| |c m

m

......

-3 -2 -1 1 2 3 f Hz( )

1/2

0 21 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

2π 4π 6π (sec

)rad

-2π-4π-6π

1/π1/π

1/3π1/3π

1/5π1/5π

3)

0 1 2 3 4 5-1-2

1/4

x n( )

n

TS 2TS3TS

( )nTS


309

x n T x nT T x tS S S t nTS( ) ( ) ( )| , , ,

1

4

1

4

1

4

1

4, n Z , TS

1

4sec θαη

fsamples

S 4sec

.

Ο κεηαζρεκαηηζκφο Fourier Γηαθξηηνχ Υξφλνπ δίλεηαη απφ ηελ αθφινπζε ζρέζε:

X F x n x n e e

Xe

e

e e e

e e e

e

j n

n

j n

n

j

j

j j j

j j j

j

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

sin( )

sin( )

1

4

1

4

1

1

1

4

1

4

2

2

0

3

4 2 2 2

2 2 2

3

2

γηα [ , )0 2 . Δπνκέλσο:

| ( )| |sin( )

sin( )

|X1

4

2

2

| ( )|X

/ 2 3 2/

1/4 1/2 -1/4 F

1

0 2

00

1 2 -1 f Hz( )00

fS / 2

Αλ εμεηάζνπκε πξνζεθηηθά ηα θάζκαηα | ( )|X , ηνπ ζήκαηνο x t( ) , θαη | ( )|X ηνπ ζήκαηνο

x n( ) , αληίζηνηρα, ζα δηαπηζηψζνπκε ζεκαληηθέο δηαθνξέο ζηηο (θπζηθέο) ζπρλφηεηεο

δηάθνξεο ησλ 0,1 θαη 2Hz . Πξάγκαηη:

| ( )| |sin ( )| |

sin( )

| | ,6366X c2

2

2

1

2

20 ( f = 1/2 Hz )

| ( )| |

sin( )

sin( )

|,

,6533X4

1

4

2

8

1

4

1

0 38270 ( f = 1/2 Hz )

| ( )| |sin ( )| |

sin( )

| | ,X c3

3

2

3

23

2

1

3

2

2

30 2122 ( f = 3/2 Hz )


| ( )| |

sin( )

sin( )

|,

,X 3

4

1

4

3

23

8

1

4

1

0 92390 2706 ( f = 3/2 Hz )

Οη δηαθνξέο απηέο νθείινληαη ζην θαηλφκελν ηεο θαζκαηηθήο αλαδίπισζεο (aliasing). Πξάγκαηη, απφ ηε ζεσξία πεξί δεηγκαηνιεςίαο, γλσξίδνπκε φηη αλ δεηγκαηνιεπηήζνπκε έλα

ζήκα ζπλερνχο ρξφλνπ κε ζπρλφηεηα δεηγκαηνιεςίαο fTS

S

1, ηφηε ην ηκήκα ηνπ θάζκαηνο

ηνπ κε ζπρλφηεηεο κεγαιχηεξεο απφ ff

N

S

2(ζπρλφηεηα Nyquist ή ζπρλφηεηα αλαδίπισζεο)

πθίζηαηαη δηαδνρηθέο αλαδηπιψζεηο ζην δηάζηεκα [ , ]02

fS κε απνηέιεζκα ην θάζκα ηνπ

πξνθχπηνληνο ζήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ λα δηαθέξεη απφ ην αξρηθφ (ζεψξεκα Shannon). Γηα λα απνθχγνπκε ηηο παξακνξθψζεηο θάζκαηνο, ιφγσ απηνχ ηνπ θαηλνκέλνπ, πξέπεη πξνεγνπκέλσο λα απνθφςνπκε απφ ην θάζκα ηνπ ζήκαηνο ζπλερνχο ρξφλνπ ην ηκήκα πνπ

ππεξβαίλεη ηελ ζπρλφηεηα ff

N

S

2. Απηφ γίλεηαη κε ηε βνήζεηα ελφο βαζππεξαηνχ θίιηξνπ

πνπ απνθφπηεη ζπρλφηεηεο πάλσ απφ ην "ζεκείν" fN.

ηελ πεξίπησζε πνπ εμεηάδνπκε εδψ, ε δεηγκαηνιεςία ηνπ ηεηξαγσληθνχ παικνχ, x t( ) , έγηλε

ρσξίο λα πξνεγεζεί ε δηαδηθαζία ηνπ θαζκαηηθνχ πεξηνξηζκνχ ζην δηάζηεκα [ , ]02

fS(Low

Pass Filtering). Έηζη φιν ην ηκήκα ηνπ θάζκαηνο, X( ) , ηνπ αξρηθνχ ζήκαηνο x t( ) , κε

ζπρλφηεηεο κεγαιχηεξεο απφ ff

HzN

S

2

4

22 αλαδηπιψζεθε ζην δηάζηεκα [ , ]0 2Hz κε

απνηέιεζκα ηηο παξαηεξνχκελεο παξακνξθψζεηο(απνθιίζεηο). ηηο ζπρλφηεηεο 0,1 θαη 2Hz δελ έρνπκε απφθιηζε απφ ηελ πξαγκαηηθή (θαζκαηηθή) ηηκή, γηαηί

ζε φιεο ηηο αθέξαηεο ζπρλφηεηεο ( f Hz0 1 2 3, , , ,.., ) ην πιάηνο ζην αξρηθφ θάζκα είλαη

κεδεληθφ. Παξαηήξεζε : Ο ιφγνο πνπ ζεσξήζακε ηα δείγκαηα ηνπ ζήκαηνο πνιιαπιαζηαζκέλα επί ηνλ

παξάγνληα TS (πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο) είλαη γηα λα έρνπκε άκεζε ζχγθξηζε ησλ ηηκψλ ζε

θαζκαηηθφ επίπεδν. Όλησο, απφ ηε ζρεηηθή ζεσξία (Θεψξεκα Γεηγκαηνιεςίαο ηνπ C.Shannon) γλσξίδνπκε φηη ην θάζκα ηνπ δεηγκαηνιεπηνχκελνπζήκαηνο, ζε ζρέζε κε ην θάζκα ηνπ αξρηθνχ (αλαινγηθνχ) ζήκαηνο, έρεη πνιιαπιαζηαζηεί επί ηνλ παξάγνληα

1

Tf

S

S( ) . Δπνκέλσο γηα λα έρνπκε άκεζε ζχγθξηζε ησλ αληίζηνηρσλ ηηκψλ

πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο ηηκέο ησλ δεηγκάησλ, x nTS( ) , επί ηνλ παξάγνληα TS , δειαδή

ζεσξνχκε ζαλ ηηκέο ηνπ ζήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ:

x n T x nTS S( ) ( ) n Z .

Απηφ ην "είδνο" δεηγκαηνιεςίαο νλνκάδεηαη "δεηγκαηνιεςία εκβαδνχ" (ή επηθάλεηαο, area sampling), ζε αληηδηαζηνιή κε ηελ "δεηγκαηνιεςία πιάηνπο" (amplitude sampling), θαη βέβαηα δηαηεξεί (πξνζεγγηζηηθά) ην εκβαδφλ ηνπ ζήκαηνο θαη ζηα δχν πεδία (ζπλερνχο θαη δηαθξηηνχ ρξφλνπ):


311

E x t dt T x nTa

b

S Sn

| ( )| ( ) ζχκθσλα κε ηνλ θαλφλα ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ.

4. Γηα ην ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ, ν κεηαζρεκαηηζκφο Fourier δηαθξηηνχ ρξφλνπ ππνινγίδεηαη

σο εμήο:

1

0

2

)()()(N

n

N

mnj

enxnxFmX m=0,1,2,…,N-1

Γηα ηα νθηψ δείγκαηα:

X m x n e x n e e

e e ee e

e

e

m

m

jmn

n

j mn

n

j mn

n

j m j m j m

j m j m

j m

j m

( ) ( ) ( )

[ )

sin( )

sin( )

28

0

7

1

4

4

0

3

4

0

3

4 42

43

43

4

4

3

8

1

4

1

41

1

4

1

1

1

4

2

8

Δπνκέλσο: | ( )| |

sin( )

sin( )

|X m

m

m

1

4

2

8

γηα m 012 7, , ,.., .

| ( )|X m

F

1

0

00

1 2 -1f Hz( )

00

fS / 2

1 2 3 4 5 6 7 8

0,6533

0,2706 0,2706

0,6533

m

24

3

4

3

4 2 4

1

20

01

4

1

8

3

8

3

8

1

4

1

8

0,5 1,5 -1,5 -0,5

1

4

2

2

|sin( )

sin( )

|

5. Ο Γηαθξηηφο Μεη/ζκφο Fourier (ΓΜΦ) κπνξεί λα ππνινγηζηεί απφ ηνλ Μεη/ζκφ Fourier

Γηαθξηηνχ Υξφλνπ (ΜΦΓΥ)

ΜΦΓΥ: X x n e j n

n

( ) ( )

ΓΜΦ: X m x n ej

mn

N

n

N

( ) ( )2

0

1


Απφ ηηο δχν παξαπάλσ ζρέζεηο εμάγνπκε φηη: X m XN

m( ) ( )| 2 ,

m N01 1, ,.., .

Απηφ κπνξεί λα επηβεβαησζεί εχθνια αλ ζπγθξίλνπκε ηηο ηηκέο ηνπ θάζκαηνο ζηα πξνεγνχκελα εξσηήκαηα 3 θαη 4, πνπ θαίλεηαη θαη απφ ηηο αληίζηνηρεο γξαθηθέο

παξαζηάζεηο | ( )|X θαη | ( )|X m .

Ο ΓΜΦ ζαλ γξακκηθφο κεη/ζκφο γξάθεηαη σο εμήο: X m W x nN

( ) ( ) , φπνπ:

X m( ) : Σν δηάλπζκα (ζηήιε) ηηκψλ ηνπ κεη/ζκνχ.

x n( ) : ην δηάλπζκα (ζηήιε) ηηκψλ ηνπ ζήκαηνο.

WN

: ν ηεηξαγσληθφο πίλαθαο (κήηξα) ησλ ππξήλσλ, ej

mn

N2

, ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ. Σα

δηαλχζκαηα X m( ) θαη x n( ) έρνπλ δηαζηάζεηο ( )N 1 . Ο πίλαθαο WN

έρεη δηαζηάζεηο

( )N N . Ο πίλαθαο απηφο είλαη επηπιένλ ζπκκεηξηθφο θαη νξζνγψληνο (θαηά

πξνζέγγηζε κηαο πνιιαπιαζηαζηηθήο ζηαζεξάο):

W WN N

T θαη W

NW

NWN N

T

N

1 1 1( )

* *.

Γηα N 4 νη πίλαθεο WN

θαη W N

1 παίξλνπλ ηε κνξθή :

W

w w w w

w w w w

w w w w

w w w w

e e

e e

w eN

j j

j j

j

4

0

4

0

4

0

4

0

4

0

4

1

4

2

4

3

4

0

4

2

4

4

4

6

4

0

4

3

4

6

4

9

2 2

2 2

42

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

, .

Wj j

j j

W Wj j

j j

4 4

1

4

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1

4

1

4

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

*


313

ΑΣΚΗΣΗ 110

Γίδεηαη ην ζχζηεκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ πνπ πεξηγξάθεηαη απφ ηελ επφκελε ζρέζε εηζφδνπ-εμφδνπ (εμίζσζε δηαθνξψλ) :

y n y n y n x n x n x n( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25 1 2 5 1 6 2

1) Να πξνζδηνξηζζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ, H z( ) , θαη λα δνζεί ε

πξαγκαηνπνίεζή ηνπ κε ειάρηζην αξηζκφ ζέζεσλ κλήκεο. 2) Να πξνζδηνξηζζεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο,

h n( ) , πνπ πξνζδηνξίζαηε ;

3) Πνηφο ν ξφινο ηεο ζέζεο , ζην επίπεδν Ε, ησλ κεδεληθψλ θαη ησλ πφισλ ελφο ζπζηήκαηνο ζηνλ ραξαθηεξηζκφ ηεο επζηάζεηάο ηνπ, θαηά ηελ έλλνηα θξαγκέλε είζνδνο-θξαγκέλε έμνδνο (ΒΗΒΟ); Γηθαηνινγήζαηε επαξθψο ηελ απάληεζή ζαο. Πψο ραξαθηεξίδεηαη, απφ πιεπξάο επζηάζεηαο, ην πξναλαθεξφκελν ζχζηεκα; Δπηβεβαηψλεηαη ν ραξαθηεξηζκφο ζαο απφ ηελ ρξνληθή εμέιημε ηεο απφθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , πνπ

πξνζδηνξίζαηε ζην 2ν εξψηεκα;

ΛΥΣΗ

y n y n y n x n x n x n( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25 1 2 5 1 6 2

1) Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο κεηαζρεκαηίδνπκε θαηά z ηελ πξνεγνπκέλε εμίζσζε δηαθνξψλ :

Y z z Y z z Y z X z z X z z X z( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25 5 61 2 1 2

(νη αξρηθέο ζπλζήθεο ζεσξνχληαη κεδεληθέο)

1 25 1 5 61 2 1 2. ( ) ( )z z Y z z z X z

H zY z

X z

z z

z z( )

( )

( ) .

2

2

5 6

25 1

Γηα λα ζρεδηάζνπκε ηελ πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο, κε ηνλ ειάρηζην αξηζκφ ζέζεσλ κλήκεο, παξαηεξνχκε φηη ην ζχζηεκα είλαη ηεο κνξθήο :

a y n k b x n kkk

p

kk

q

( ) ( )0 0

,

φπνπ : p q a a a2 1 25 10 1 2, , . , , b b b0 1 21 5 6, ,

Οπφηε, ζχκθσλα κε ηα λαθεξφκελα ζηε ζρεηηθή ζεσξία (ζει.165 έσο 170 ηνπ βηβιίνπ ηνπ καζήκαηνο) ζα έρνπκε ηελ εμήο πξαγκαηνπνίεζε (θαη’επζείαλ κνξθή ηχπνπ ΗΗ ή θαλνληθή ) :

x n( )

z 1

+ ++y n( )b 0 1

b 1 5

1 2 5,

z 1

2 1 b 2 6


2) Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ππνινγίδνπκε ηνλ

αληίζηξνθν κεη/ζκφ Ε ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο ( h n H zZ( ) ( )1.)

H zz z

z z

H z

z

z z

z z z( )

( . )( )

( )

( . )( )

2 25 6

05 2

5 6

05 2

H z

z

z z

z z z

A

z

B

z

C

z

( )

( . )( ) .

2 5 6

05 2 05 2

AH z

zz

z

z z

z z z

( )

( . )( )0

5 6

05 2 0

6

16

2

BH z

zz

z

z z

z z z

( )( . )

. ( ) .

. .

. ( . )

.

.05

05

5 6

2 05

0 25 25 6

05 05 2

375

0755

2

03

0

)5.02(2

6104

2)5.0(

65

2)2(

)( 2

zzz

zz

zz

z

zHC

(Σν γεγνλφο φηη ν ζπληειεζηήο C πξνζδηνξίζηεθε ίζνο κε κεδέλ ζεκαίλεη φηη ν πφινο πνπ

αληηζηνηρεί ζ’απηφλ (δει. ν z 2 ) αθπξψλεηαη απφ κεδεληθφ πνπ ππάξρεη ζηελ ίδηα ζέζε

( z 2 )).

Άξα :

H zz

zh n n u n

Zn

( ).

( ) ( ) . ( )6 505

6 5 05

1

Έηζη ε h n( ) πξνζδηνξίζηεθε :

h n n u nn

( ) ( ) . ( )6 5 05

Όπσο παξαηεξνχκε, ζηελ απφθξηζε κναλδηαίνπ δείγκαηνο ππάξρεη ν δεχηεξνο φξνο,

5 05. ( )n

u n , πνπ δηαξθεί άπεηξν ρξφλν. πλεπψο ην ζχζηεκα κε άπεηξε δηάξθεηα

απφθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο (IIR, Infinite Impulse Response). 3) Απφ ηε ζρεηηθή ζεσξία γλσξίδνπκε φηη ε ζέζε ησλ πφισλ, ζην επίπεδν Ε, ραξαθηεξίδεη ηελ επζηάζεηα σο εμήο :

α) Πφινη κε κέηξν κηθξφηεξν ηεο κνλάδαο ( z 1), δειαδή πφινη κέζα ζην

κνλαδηαίν θχθιν : Σφηε ην ζχζηεκα είλαη απνιχησο επζηαζέο, θαηά ηελ έλλνηα “θξαγκέλε είζνδνο-θξαγκέλε έμνδνο” (ΒΗΒΟ). Σνχην δηφηη, αλ εμεηάζνπκε ηελ έθθξαζε ζην ρξφλν,

ππάξρεη παξάγνληαο ηεο κνξθήο zn

, θαη βέβαηα lim , ( )n

n

z z0 1 .

β) Πφινη απινί κε κέηξν ίζν κε ηε κνλάδα ( z 1 ), δειαδή απινί πφινη επάλσ ζην

κνλαδηαίν θχθιν : Σφηε ην ζχζηεκα ραξαθηεξίδεηαη ζαλ νξηαθά επζηαζέο. Πξάγκαηη,

lim , ( )n

n

z z1 1 .


315

(Παξαηήξεζε : Ο ραξαθηεξηζκφο “νξηαθά επζηαζέο” αλαθέξεηαη ζην γεγνλφο φηη ην ζχζηεκα είλαη επζηαζέο κφλν αλ ην ζήκα εηζφδνπ δελ εκθαλίδεη πφιν ζην ίδην αθξηβψο ζεκείν κε ην ζχζηεκα, επάλσ ζην κνλαδηαίν θχθιν. ηελ πεξίπησζε απηή (πνπ εκθαλίδεηαη δειαδή πφινο απφ ην ζήκα εηζφδνπ ζην ίδην ζεκείν κε ηνλ πφιν ηνπ ζπζηήκαηνο) ε έμνδνο απνθιίλεη, δηφηη

)(limn

nzn .)

γ) Πφινη πνιιαπινί, κε κέηξν ίζν κε ηε κνλάδα ( z 1 ), δειαδή επάλσ ζην

κνλαδηαίν θχθιν. Σφηε ην ζχζηεκα ραξαθηεξίδεηαη ζαλ αζηαζέο. Σνχην δηφηη, αλ εμεηάζνπκε

ηελ έθθξαζε ζην ρξφλν, ππάξρεη παξάγνληαο ηεο κνξθήο n zp n1 ( p : ε πνιιαπιφηεηα

ηνπ πφινπ), θαη βέβαηα 2,1,lim 1 pzznnp

n.

δ) Πφινη κε κέηξν κεγαιχηεξν απφ ηε κνλάδα, ( z 1 ), δειαδή έμσ απφ ηνλ

κναλδηαίν θχθιν : Σφηε ην ζχζηεκα ραξαθηεξίδεηαη ζαλ αζηαζέο. Σνχην δηφηη ζηελ έθθξαζε

ζην ρξφλν ππάξρεη (θαηά κέηξν) παξάγνληαο ηεο κνξθήο zn

θαη βέβαηα πξνθαλψο

1,lim zzn

n.

Σν ζχζηεκα πνπ εμεηάζακε ζ’απηφ ην ζέκα έρεη ην κνλαδηθφ ηνπ πφιν κέζα ζηνλ κνλαδηαίν

θχθιν ( z 05 1. ). (Ο πφινο z 2 , πνπ είλαη έμσ απφ ηνλ κνλαδηαίν θχθιν,

αθπξψλεηαη απφ ην αληίζηνηρν κεδεληθφ). Άξα ην ζχζηεκα είλαη επζηαζέο. Ζ απφθξηζε

κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , πνπ πξνζδηνξίζακε, έρεη ηελ έθθξαζε :

h n n u nn

( ) ( ) . ( )6 5 05 , δειαδή :

,...2

5,

2

5,

2

5,

2

5,1)(

432nh , θαη βέβαηα :

lim ( ) lim ( ) . ( ) limn n

n

nnh n n u n6 5 05

5

20 .

Άξα νξζψο ραξαθηεξίζακε ην ζχζηεκα ζαλ επζηαζέο.


ΑΣΚΗΣΗ 111 (ΘΔΜΑ 1ν -13/6/95)

Γίλεηαη ην ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ :

x n a u n a R an( ) ( ), , | | 1.

1) Να ππνινγηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε αθνινπζία απηνζπζρέηηζεο ηνπ, r l l ZXX( ), . Δπίζεο λα ππνινγηζηεί ν Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier Γηαθξηηνχ

Υξφλνπ, RXX( ) , ηεο αθνινπζίαο απηνζπζρέηηζεο.

2) Να ππνινγηζηεί ν ΜFΓΥ, X( ) , ηνπ ζήκαηνο x n( ) . Δπίζεο λα ππνινγηζηεί

ε θαζκαηηθή ππθλφηεηα ελέξγεηαο, SXX( ) , ηνπ ζήκαηνο :

[ ( ) ( ) ( )]*S X XXX .

3) Να ζπγθξηζνχλ ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνέθπςαλ απφ ηα εξσηήκαηα 1 θαη 2 γηα ηηο εθθξάζεηο ησλ RXX( ) θαη SXX( ) . ε πνηφ ζπκπέξαζκα

θαηαιήγεηε; Πψο κπνξεί λα ζηεξηρζεί απηφ ζεσξεηηθά;

4) Γηα a 0 5, θαη a 0 5, λα ππνινγηζηνχλ θαη λα ζρεδηαζηνχλ νη

αληίζηνηρεο θαζκαηηθέο ππθλφηεηεο ελέξγεηαο, SXX( ) . Πψο

ραξαθηεξίδεηαη ζε θάζε πεξίπησζε ην ζήκα απφ πιεπξάο πεξηερνκέλνπ ζπρλνηήησλ ;

5) Με πνηφ ηξφπν κπνξεί λα ππνινγηζηεί ην ελεξγεηαθφ πεξηερφκελν ελφο ζήκαηνο, ζπλερνχο ή δηαθξηηνχ ρξφλνπ, κεηαμχ ησλ ζπρλνηήησλ f1

θαη f2 ή

F1 θαη F2

, αληίζηνηρα;

ΛΥΣΗ

1) Ο νξηζκφο ηεο απηνζπζρέηηζεο είλαη ν αθφινπζνο :

r l x n x n lXXn

( ) ( ) ( ) , l Z

0 1 2 3 4 5

x n( )

n6

1a u nn ( )

0 1a

Γηα l 0 έρνπκε :

r l a a a aXX

n n l

n l

l n

n l

( ) 2

Αιιά :

a a a aa

a

n

n l

l l l

l

2 2 2 1 2 2

2

21

( ) ( ) ...

Άξα :


317

r l aa

a

a

alXX

l

l l

( ) ,

2

2 21 10 (1)

Δπίζεο ηζρχεη :

r l r lXX XX( ) ( )

Δπνκέλσο :

r la

alXX

l

( ) ,1

02 (2)

Απφ ηηο (1) θαη (2) παίξλνπκε :

r la

al ZXX

l

( ) ,

| |

1 2.

0 1 2 3 4 5

r lXX ( )

l

1

1 2aa l| | 0 1a,

1

1 2a

-4 -3 -2 -1

Ο Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier Γηαθξηηνχ Υξφλνπ ηζνχηαη κε :

R F r l r l ea

a e

aa e a e

aa e a e

XX XX XX

j l

l

l j l

l

l j l

l

l j l

l

j l

l

I

j l

l

II

( ) ( ) ( )

( ) ( )

| |

( ) ( )

1

1

1

1

1

1

2

2

1

0

2

1

1

0

(3)

Ζ (I) γξάθεηαη :

( ) ...a e a e a e a ea e

a e

j l

l

j j j

j

j

1

1

2 2 3 3

1

δηφηη: | | | |a e aj 1.

Οκνίσο, ε (IΙ) ηζνχηαη κε :

( ) ...a e a e a e a ea e

j l

l

j j j

j0

2 2 3 311

1

θαη πάιη γηαηί | | | |a e aj 1 .

Ζ ζρέζε (3) δίλεη ηειηθά


Ra

a e

a e a e

a

a e a a e

a e a e a a

XX

j

j j

j j

j j

( )

( ) ( ) cos( )

1

1 1

1

1

1

1

1

1 1

1

1 2

2

2

2

2

Δπνκέλσο :

R F r la aXX XX( ) ( )

cos( )

1

1 2 2 , [ , )0 2 .

2) Ο Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier Γηαθξηηνχ Υξφλνπ βάζεη ηνπ νξηζκνχ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε :

X F x n x n e a e

X a ea e

j n

n

n j n

n

j n

nj

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

1

1

(φπσο απνδείρηεθε θαη ζηελ (1IΙ)). Δπηπιένλ:

Xa e j

*( )1

1.

Ζ θαζκαηηθή ππθλφηεηα ελέξγεηαο ηνπ ζήκαηνο ηζνχηαη κε:

S X X

Sa e a e

Sa a

XX

XX j j

XX

( ) ( ) ( )

( )

( )cos( )

*

1

1

1

1

1

1 2 2

3) Όπσο παξαηεξνχκε απφ ηα απνηειέζκαηα ζηα εξσηήκαηα 1 θαη 2, έρνπκε φηη :

S RXX XX( ) ( )

Απηφ ήηαλ αλακελφκελν δηφηη ν Μεηαζρεκαηηζκφο Fourier ηεο απηνζπζρέηηζεο, σο γλσζηφλ, είλαη θαζκαηηθή ππθλφηεηα. (Πξνζνρή ζην φηη ρξεζηκνπνηνχκε ηνπο φξνπο θαζκαηηθή ππθλφηεηα ελέξγεηαο ή ηζρχνο αλάινγα κε ην ηχπν ηνπ ζήκαηνο). Δπίζεο :

F r l r l e x n x n l e

x n x n l e x n e x m e

XX XX

j l

l n

j l

l

ml

j l

n

j n

m

j m

n

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

Όκσο: X x m em

j m( ) ( ) θαη X x n en

j n( ) ( ) .

Γλσξίδνπκε φκσο φηη αλ x n R( ) X X( ) ( )*.

Έηζη :

F r l X X S XXX XX( ) ( ) ( ) ( )( | ( )| )* 2.

Β' ηξφπνο :


319

r l x n x nXX n l

Z

( ) ( )* ( )| R z X z X zXX n l( ) ( )* ( )|1

R R z R X e X e X XXX XX z e XX

j jj( ) ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

R X SXX XX( ) | ( )| ( )2.

Απηφ είλαη ην γλσζηφ ζεψξεκα Wiener-Khintchine.

4) Αληηθαζηζηψληαο a 0 5, ζηε ζρέζε ηεο θαζκαηηθήο ππθλφηεηαο ελέξγεηαο παίξλνπκε :

SXX ( )cos( ) ,

1

1 0 25

ελψ γηα a 0 5, έρνπκε :

SXX ( )cos( ) ,

1

1 0 25.

0 1 2 3 4 5

x n( )

n

1a 0 5.

S X X ( )

/ 2 3 2/0 2

2

4

0,444

a 0 5,,

0

1

2

3

4

5

x n( )

n

1a 0 5.

-1

6


S X X ( )

/ 2 3 2/0 2

2

4

0,444

a 0 5,,

Απφ ηηο πξνεγνχκελεο γξαθηθέο παξαζηάζεηο γηα ηε θαζκαηηθή ππθλφηεηα ελέξγεηαο,

)(XXS , παξαηεξνχκε φηη γηα a 0 5, έρνπκε ζήκα ρακειψλ, θπξίσο,

ζπρλνηήησλ ελψ γηα 5,0a έρνπκε ζήκα πςειψλ ζπρλνηήησλ.

Απηφ βέβαηα επηβεβαηψλεηαη θαη απφ ηε ρξνληθή εμέιημε ηνπ ζήκαηνο γηα a 0 5, , φπσο

θαίλεηαη ζηα αληίζηνηρα ζρήκαηα.

5) Γηα λα ππνινγίζνπκε ην ελεξγεηαθφ πεξηερφκελν ελφο ζήκαηνο ζπλερνχο ρξφλνπ, κεηαμχ

ησλ ζπρλνηήησλ f1 θαη f2

( f1< f2

), ρξεζηκνπνηνχκε ην ζεψξεκα Parseval.

Γεληθά, ην ζεψξεκα Parseval δηαηππψλεηαη σο εμήο :

dXdttxE

XXS

X )(

22 |)(|2

1|)(| , 2 f .

Δπνκέλσο, γηα λα ππνινγίζνπκε ην πεξηερφκελν (ελεξγεηαθφ) κεηαμχ ησλ ζπρλνηήησλ f1 θαη

f2 ζα έρνπκε :

]|)(||)(|[2

1 22

11

11

22

2

2

2

2

2

2

2,1

f

f

f

f

dXdXE

Δπεηδή φκσο έρνπκε άξηηα ζπκκεηξία γηα ην | ( )|X , δειαδή | ( )| | ( )|X X ηειηθά

έρνπκε :

E X d X d1 2

2 21

22

1

1

2

1

2

, | ( )| | ( )| .

Αληίζηνηρα ηζρχνπλ θαη ζηνλ δηαθξηηφ ρξφλν :

E x n X dX

n

| ( )| | ( )|2 2

0

21

2.

Άξα ην ελεξγεηαθφ πεξηερφκελν ηνπ ζήκαηνο κεηαμχ ησλ ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ F1 θαη F2 (

F F1 2 θαη F F1 2

1

2, ) ζα είλαη :

E X d1 2

21

1

2

, | ( )| , 2 F


321

ΑΣΚΗΣΗ 112

Γίλεηαη ην δεχηεξεο ηάμεο (ή βαζκνχ) Γ.Υ.Α. ζχζηεκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ πνπ πεξηγξάθεηαη απφ ηελ επφκελε εμίζσζε δηαθνξψλ :

y n x n by n ay n a b R( ) ( ) ( ) ( ),1 2

(νη αξρηθέο ζπλζήθεο ζεσξνχληαη κεδεληθέο). 1) Πνηά ζρέζε πξέπεη λα ζπλδέεη ηνπο ζπληειεζηέο a θαη b γηα λα έρεη ην ζχζηεκα :

α) Γχν πφινπο πξαγκαηηθνχο θαη δηάθνξνπο κεηαμχ ηνπο

( 1 2 1 2R, , ¨ηζρπξή απφζβεζε¨).

β) Γχν πφινπο πξαγκαηηθνχο θαη ίζνπο κεηαμχ ηνπο ( 1 2 1 2R, ,

¨θξίζηκε απφζβεζε¨).

γ) Γχν ζπδπγείο κηγαδηθνχο πφινπο ( 1 2 1 2C, , ¨αζζελήο

απφζβεζε¨). ε θάζε πεξίπησζε πψο ζα εθθξάδεηαη ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο ζπλαξηήζεη ησλ πφισλ ηνπ

1 θαη

2;

2) Να πξνζδηνξηζζεί ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , γηα ηα επφκελα

δεχγε ζπληειεζηψλ a θαη b . α) a 012. , b 08. β) a 016. , b 08. γ) a 020. , b 08.

3) Να ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά, ην ζήκα εμφδνπ, y n( ) , (ή πεξηβάιινπζά ηνπ) γηα

ζήκα εηζφδνπ x n u n( ) ( ) θαη γηα ηξία δεχγε ζπληειεζηψλ ηνπ πξνεγνχκελνπ

εξσηήκαηνο.

ΛΥΣΗ

y n x n by n ay n a b R( ) ( ) ( ) ( ), , ,1 2 {Α..}=0

1) Μεηαζρεκαηίδνπκε θαηά z ηελ εμίζσζε δηαθνξψλ ηνπ ζπζηήκαηνο :

Y z X z b z Y z a z Y z( ) ( ) ( ) ( )1 2

Y z b z a z X z H zY z

X z b z a z

z

z b z a( ) ( ) ( )

( )

( )1

1

1

1 2

1 2

2

2

Πφινη ηνπ ζπζηήκαηνο : z b z ab b a

2

1 2

2

04

2,

α : 1 2 1 2

2 24 0 4, R b a b a

β : 1 2 1 2

2 24 0 4, R b a b a

γ : 1 2 1

2 2

24 0 4,

*C b a b a

Ζ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ζε θάζε πεξίπησζε ζα εθθξάδεηαη ζπλαξηήζεη ησλ

πφισλ 1 2, σο εμήο :

α : 1 2 1 2, R H zz

z z( )

( )( )

2

1 2

H z

z

z

z z

A

z

A

z

( )

( )( )1 2

1

1

2

2


AH z

zz

z

AH z

zz

z

1 11

1

1 2

2 22

2

2 1

( )( )

( )( )

Άξα :

H zz z

( )1

1 2 1

2

2 1 2

1 1

h n H z u nZn n

( ) ( ) ( )1 1

1 2

1

2

2 1

2, (Α)

β : 1 2 1 2, R H zz

z( )

( )

2

2

H z

z

z

z

B

z

B

z

( )

( ) ( )2

1 2

2

Bd

dzz

z

z z

d

dzz

Bd

dzz

z

z zz

z

1

2 1

2 1

2

2

2

2 2

2 2

2

2

1

2 11

1

2 2

( )!( )

( )( )

( )!( )

( )

Άξα :

H zz z

( ) 11 1

2

h n H z n u n n u nZn n n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , (Β)

γ : 1 2 1 1 22

0 0

,

* ,C r e r ej jH z

z

z z( )

( )( )*

2

1 1

H z

z

z

z z

A

z

A

z

( )

( )( )*

*

1 1 1 1

AH z

zz

zA

( )( ) *

*

*

*11

1

1 1

1

1 1

H zz z

( ) *

*

* *

1

1 1 1

1

1 1 1

1 1

)()()( *

1

1

*

1

*

11*

11

11 nuzHnhnnZ

h n u n e e u nn j n j n( ) ( ) ( )Re Re

* *

*

2 21

1 1

1

1

1 1

1

1

1 1 1

)(cos2)(*

11

11*

11

1

1nunnh

n

, (Γ)


323

2) α) ( a 012. ,b 08. ) b a2 4 0 64 0 48 016 0. . .

1 2

08 0 4

2

0 4

20 2

08 0 4

2

12

20 6

. . .. ,

. . ..

Άξα ζχκθσλα κε ηελ ζρέζε (Α) ζα έρνπκε :

h n u n u nn n n n

( ).

. ..

.

. .. ( ) . . ( )

0 2

0 2 0 60 2

0 6

0 6 0 20 6

3

20 6

1

202 .

β) ( a 016. ,b 08. ) b a2 4 064 064 0. .

1 2

08

20 4

.. . Έηζη ζχκθσλα κε ηελ ζρέζε (Β) ζα έρνπκε :

h n n u nn

( ) ( ) . ( )1 0 4 .

γ) ( a 020. ,b 08. ) b a2 4 0 64 080 016 0. . .

1 2

08 0 4

20 4 0 2

08 0 4

20 4 0 2

1

. .. . ,

. .. .

*

jj

jj

1

2 212 1

204 02 016 004 020 0447. . . . . . , θαη

1 0

0 2

0 426565arctan

.

.. ( )

1 1 04 02 04 02 04 04* . . . . . . ,j j j θαη

1

1 1 26 565 90

0 4 0 2

0 40 4 0 2 0 4 63435

0

*

.

. .

.. . . .

j

jj j

Έηζη, ζχκθσλα κε ηελ ζρέζε (Γ) ζα έρνπκε :

h n n u nn( ).

( . ) cos . . ( )21

0 40 447 26 565 63 435

5

1

0 0 .

3) Όπσο γλσξίδνπκε απφ ηε ζρεηηθή ζεσξία, ε έμνδνο κε ηε ρξήζε ηνπ ζπλειηθηηθνχ αζξνίζκαηνο, ζα δίλεηαη :

)()(,)()()(*)()( nunxknxkhnxnhnyk

y n h k u n k h k nk k

n

( ) ( ) ( ) ( ),0

0 .

πλεπψο ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, ηε ρξνληθή ζηηγκή n , είλαη ην άζξνηζκα ησλ δεηγκάησλ ηεο απφθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο κέρξη απηή ηε ζηηγκή. Έηζη, γηα ηα ηξία δεχγε ζπληειεζηψλ ζα έρνπκε αληίζηνηρα.


α)

h n( )

n

( ) ( , )3

20 6 n

y n( )

n

A 1

...

β)

h n( )

n

( ) ( , )n n1 0 4


325

y n( )

n

A 2

...

γ)

h n( )

n

0

y n( )

n

0

A 3


ΑΣΚΗΣΗ 113

Γίλνληαη ηα Γ.Υ.Α. ζπζηήκαηα δηαθξηηνχ ρξφλνπ ( 0 1a ):

x n( )

z M

++w n( )

1 a

a

G z( )

x n( ) y n( )1

w n( )

G z( ) ++

1/a

H z( )

1) Να πξνζδηνξηζηνχλ νη ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο G z( ) θαη H z( ) . Να

πξνζδηνξηζηνχλ θαη λα ζεκεησζνχλ ζην επίπεδν - z ηα κεδεληθά θαη νη πφινη ηνπ ζπζηήκαηνο H z( ) .

2) Να ζρεδηαζηεί, ελδεηθηηθά, ην πιάηνο ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο, | ( )|H ,

[ ,2 )0 , γηα a 0 θαη a 1 . Να πξνζδηνξηζηεί ε έμνδνο ηνπ

ζπζηήκαηνο, ζηε ζηαζεξή θαηάζηαζε, αλ ε είζνδνο είλαη ηεο κνξθήο :

x n M k n u nk ( ) cos[( / ) ] ( )2 , k M012 2, , ,..,[ / ]

3) Πνηά είλαη ε γεσκεηξηθή ζεκαζία ηεο ζέζεο, ζην επίπεδν - z, ησλ κεδεληθψλ θαη ησλ πφισλ ελφο ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ηνλ κνλαδηαίν θχθιν, γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο; Ση επίδξαζε έρεη ζηελ απφθξηζε ζπρλφηεηαο ε ηνπνζέηεζε ελφο κεδεληθνχ ή ελφο πφινπ επάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θχθιν;

ΛΥΣΗ


327

1) i) Απφ ην πξψην ζρήκα παίξλνπκε :

W z a X z a z W z W z a z a X zM M( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )1 1 1 .

Ηζρχεη : G zW z

X zG z

a

a z M( )( )

( )( )

1

1.

ii) Όκνηα, ζην δεχηεξν ζρήκα βξίζθνπκε φηη:

Y za

X z G z X za

G z X z

H zY z

X z aG z

a

a

a z

H za

a z a

a z a

a z

a z

M

M

M

M

M

( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ( )) ( )

( )( )

( )( ( )) ( )

( )( )

1 11

11

11

1

1

1 1 1

1

1 1

1

H zz

a z

z

z a

M

M

M

M( )1

1

1

Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο είλαη : H zz

z a

M

M( )1

.

Μεδεληθά ζπζηήκαηνο : z zM M1 0 1.

Άξα έρνπκε πφινπο ηηο M-νζηέο ξίδεο ηεο κνλάδαο.

Έηζη : i jM

i i Mexp ( ) , ,2, ,.., .2

1 1 3

Πφινη ζπζηήκαηνο : z a z aM M0 .

Πξφθεηηαη γηα ηηο ηηο M-νζηέο ξίδεο ηνπ a ( 0 1a ). Δπνκέλσο :

i

Ma jM

i i M1 21 1 2 3/ exp ( ) , , , ,.., .


πκπεξαζκαηηθά, κπνξνχκε λα πνχκε :

- Σα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο, i, βξίζθνληαη ζηνλ κνλαδηαίν θχθιν, κε αξρή ην ζεκείν

z 1, ζε ηζαπέρνληα ζεκεία, κε "άλνηγκα" ηφμνπ 2

M.

- Οη πφινη ηνπ ζπζηήκαηνο, i, βξίζθνληαη ζηνλ θχθιν αθηίλαο βξίζθνληαη ζηνλ θχθιν αθηίλαο

a M1/ ( πνπ είλαη ζην εζσηεξηθφ ηνπ κνλαδηαίνπ θχθινπ), κε αξρή ην ζεκείν z a M1/

, ζε

ηζαπέρνληα ζεκεία, κε "άλνηγκα" ηφμνπ 2

M.

2) Ζ απφθξηζε ζπρλφηεηαο ππνινγίδεηαη θαηά ηα γλσζηά :

H zz

z aH H z

e

e a

M

M z e

j M

j Mj( ) ( ) ( )|1 1

.

ηελ πεξίπησζε φπνπ a 0 παίξλνπκε :

He

ee H e j

Mj M

j M

j Mj

M

( ) ( ) sin( )1

1 22

2 .

Σν πιάηνο ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο ζα είλαη :

|)2

sin(|2|)(|M

H , [ ,2 )0 .

| ( )|H

2

024

3

4

5

4

7

4

3

22

ηελ πεξίπησζε φπνπ a 1 παίξλνπκε :

He

e

j M

j M( )1

11.

Γειαδή ην ζχζηεκα ηείλεη λα γίλεη νινπεξαηφ (All pass). Βέβαηα ηα κεδεληθά παξακέλνπλ ζηηο

ζέζεηο (ή ζπρλφηεηεο) 2

1M

i( ) θαη νη πφινη πιεζηάδνπλ κελ αξθεηά θνληά αιιά δελ

αθπξψλνπλ ηα κεδεληθά. Έηζη νη κεδεληζκνί πιάηνπο ζηα αληίζηνηρα ζεκεία ζα παξακείλνπλ. πλεπψο, ε απφθξηζε πιάηνπο ζα είλαη ζηαζεξή (ζπκπεξηθνξά νινπεξαηνχ ζπζηήκαηνο)

εθηφο απφ ηα ζεκεία 2

1M

i( ) πνπ ζα κεδελίδεηαη κε αξθεηά απφηνκε (ζρεδφλ ζεκεηαθή)

πηψζε.

π.χ. Μ=8


329

| ( )|H

0

1

π/4 π/2 3π/4 π 2π Απφ ηε ζεσξία γλσξίδνπκε φηη αλ ε είζνδνο ελφο Γ.X.A. ζπζηήκαηνο είλαη εκηηνλνεηδέο ζήκα,

κε ζπρλφηεηα 0, ηφηε ε έμνδνο είλαη νκνίσο εκηηνλνεηδέο ζήκα ηεο ίδηαο ζπρλφηεηαο

0,

ηξνπνπνηεκέλν θαηά πιάηνο θαη θάζε θαηά ηηο πνζφηεηεο | ( )|H 0 θαη H( )0 ή ( Φ(Ων) ),

αληίζηνηρα. Γειαδή έρνπκε :

x n( )

cos( )0 0nH( )

Γ.Υ.Α.

| ( )| cos( ( ))H n0 0 0 0

y n( )

Δδψ, ε ζπρλφηεηα (ή νη ζπρλφηεηεο) ηνπ ζήκαηνο εηζφδνπ είλαη :

0

2,k M

k , k M012 2, , ,..,[ / ] . Οη ζπρλφηεηεο απηέο φκσο είλαη θαη νη ζπρλφηεηεο

κεδεληζκψλ (απνθνπήο) ηνπ ζπζηήκαηνο ζχκθσλα κε φζα αλαθέξζεθαλ ζην πξψην εξψηεκα.

Δπνκέλσο : | ( )|HM

k2

0 , k M012 2, , ,..,[ / ] .

πλεπψο ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, ζην ππφ ζπδήηεζε ζήκα εηζφδνπ, είλαη κεδεληθή:

x nM

kn u nk ( ) cos( ) ( )2

H zz

z a

M

M( )1

Γ.Υ.Α.

y n( ) 0

kM

0 1 22

, , , .. , [ ]

3) Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ελφο Γ.Υ.Α. ζπζηήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ έρεη ηελ εμήο

κνξθή:

H z K

z

z

ii

q

ii

p( )

( )

( )

1

1

φπνπ : i ηα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο (q ην πιήζνο) θαη i νη πφινη ηνπ ζπζηήκαηνο (p ην

πιήζνο).

πκβνιίδνπκε κε r zi i θαη

s zi i .


Δπίζεο γλσξίδνπκε φηη : H H zz e j( ) ( )| , δειαδή ν γεσκεηξηθφο ηφπνο κεηαβνιήο ηνπ z,

γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο, είλαη ν κνλαδηαίνο θχθινο.

Έηζη γηα ην πιάηνο ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο, | ( )|H , ζα έρνπκε :

| ( )| | ( )| | | |

| |

| |

|H H z K

r

sz e

ii

q

ii

p z ej j

1

1

1

Im z

Re z

j

γεσκεηξηθφο ηφπνο

κεηαβνιήο ηνπ z ( )z e j

i

i i

i

z

z si i

z ri i

0

Δπίζεο γηα ηε θάζε ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο έρνπκε :

H K r si

i

q

i

i

p

( )

1 1

.

Απφ ην πξνεγνχκελν ζρήκα εχθνια ζπλάγεηαη ην ζπκπέξαζκα φηη ε γεηηλίαζε ελφο κεδεληθνχ

κε ην κνλαδηαίν θχθιν (ζε θάπνηα ζπρλφηεηα i ) ζα έρεη σο απνηέιεζκα ηελ ζεκαληηθή

κείσζε ηνπ κέηξνπ ηνπ αληίζηνηρνπ δηαλχζκαηνο, ri , ζηελ πεξηνρή ζπρλνηήησλ γχξσ απφ ην

i . πλεπψο ην πιάηνο ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο, ζ'απηή ηε πεξηνρή ζπρλνηήησλ, ζα

γίλεηαη πνιχ κηθξφ.

Αληίζηνηρα ζπκβαίλνπλ θαηά ηε γεηηλίαζε ελφο πφινπ, i, κε ην κνλαδηαίν θχθιν. Αιιά ηψξα

ην δηάλπζκα si , πνπ ειαρηζηνπνηείηαη θαηά κέηξν, βξίζθεηαη ζηνλ παξνλνκαζηή ηεο

ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο κε απνηέιεζκα ηελ αχμεζε ηνπ πιάηνπο ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο ζηελ αληίζηνηρε πεξηνρή ζπρλνηήησλ. Πξνθαλψο, κεηά απφ φζα αλαθέξζεθαλ, ε ηνπνζέηεζε ελφο κεδεληθνχ επάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θχθιν ζα ζεκαίλεη πιήξε απνθνπή (κεδεληζκφ) ηεο αληίζηνηρεο ζπρλφηεηαο ελψ ε ηνπνζέηεζε ελφο πφινπ επάλσ κνλαδηαίν θχθιν ζα ζεκαίλεη απεηξηζκφ πιάηνπο (ηδαληθφο ζπληνληζκφο).


331

ΑΣΚΗΣΗ 114

Γίλεηαη Γ.Υ.Α. ζχζηεκα ζπλερνχο ρξφλνπ κε θξνπζηηθή απφθξηζε, h t( ) :

h t t t c t t R( ) sin sin ( ),1 1 .

1. Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζζεί ε απφθξηζε ζπρλφηεηαο,

H h tF( ) ( ) , 2 f R, . Πψο ραξαθηεξίδεηαη ην ζχζηεκα απφ

πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ; 2. Να πξνζδηνξηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο, αλ ην ζήκα εηζφδνπ δίλεηαη

απφ ηε ζρέζε : x t t t( ) cos( . ) cos( . )05 15

3. Σξνπνπνηήζηε θαηάιιεια ηελ θξνπζηηθή απφθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο έηζη ψζηε ε έμνδνο ηνπ λα πξνθχπηεη ε ίδηα κε ηελ αλσηέξσ είζνδν.

4. ρνιηάζηε επαξθψο ηε δπλαηφηεηα, ή κε, ηεο πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ ππφ εμέηαζε ζπζηήκαηνο, κε θπζηθά (πξαγκαηηθά) ζηνηρεία.

ΛΥΣΗ

( )tΓ.Χ.Α.

h t( )

1) H h tF( ) ( ) , 2 f

Ωο γλσζηφλ, ν κεη/ζκφο Fourier ηνπ ηεηξαγσληθνχ ζήκαηνο είλαη ην ζήκα sinc, ζην ρψξν ηεο ζπρλφηεηαο, ζχκθσλα κε ηελ εμήο αληηζηνηρία :

At

( )

t0

A

/ 2/ 2

x t( )

F

F -1


X ( )

2

A csin ( )2

A

2

Γειαδή :

At

A cF

sin2

.

Δπίζεο απφ ηελ ηδηφηεηα ηεο δπτθφηεηαο ηνπ κεη/ζκνχ Fourier έρνπκε :

Αλ )(2)()()( xtXXtxFF

.

Γηα λα γίλεη φκσο ην X t h t( ) ( ) ζα πξέπεη :

2

12

12AA .

Έηζη γηα λα γίλεη ν κεη/ζκφο Fourier ηνπ h t( ) ζα είλαη :

H h t xA

AF( ) ( ) ( )2 1

22

2 21

2 2 2

Δπνκέλσο ην Γ.Υ.Α. ζχζηεκα έρεη απφθξηζε ζπρλφηεηαο, H( ) , πνπ αληηζηνηρεί ζε απηή ηνπ

ηδαληθνχ βαζππεξαηνχ θίιηξνπ, κε εχξνο δψλεο δηειεχζεο ζπρλνηήησλ (BW) κνλάδα.

)2

(

0

)(H

2

1

-1 1

)1BW(

2) Απφ ηελ ζεσξία ησλ Γ.Υ.Α. ζπηεκάησλ γλσξίδνπκε φηη :


333

x n( )

cos( )0 0nH( )

Γ.Υ.Α.

| ( )| cos( ( ))H n0 0 0 0

y n( )

Δδψ έρνπκε :

x t t tA A

( ) cos( . ) cos( . ). , .

,

, ,

, ,

05 1505 15

1 0

0 1 0 2

1 2 0 1 0 2

H H H( ) ( ) , ( ), ,21 00 1 0 2

( ) , ( ), ,0 1 0 20 0

Άξα :

y t H t H t( ) ( ) cos( ( )) ( ) cos( ( )), ,

.

, , ,

.

,0 1

1

0 1

0 5

0 1

0

0 2

0

0 2

1 5

0 2

0

y t t( ) cos( . )05

ηελ ίδηα απάληεζε κπνξνχζακε λα θαηαιήμνπκε θαη κε ηελ επίιπζε ζην πεδίν ηεο ζπρλφηεηαο :

)()()()(*)()( XHYtxthtyF

.

Αιιά :

H( ) ( )2

θαη

X ( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )15 05 15 05

Δθηειψληαο ηνλ πνιιαπιαζηαζκφ ζην πεδίν ηεο ζπρλφηεηαο έρνπκε :

Y H X( ) ( ) ( ) ( . ) ( . )05 05

y t Y tF( ) ( ) cos( . )1 05

3) Γηα λα πξνθχπηεη ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ίδηα κε ηελ ζπγθεθξηκέλε είζνδν πξέπεη ην εχξνο δψλεο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ λα απμεζεί ηφζν ψζηε λα εκπίπηνπλ ζηελ δψλε δηέιεπζεο θαη νη δχν ζπληζηψζεο ηνπ ζήκαηνο εηζφδνπ. Μηα ηηκή θαηάιιειε πξέπεη λα είλαη κεγαιχηεξε ηνπ 1.5 θαη γηα ιφγνπο απιφηεηαο αο ζεσξήζνπκε ηελ ηηκή 2 (BW=2). Γειαδή ε ηξνπνπνηεκέλε απφθξηζε ζπρλφηεηαο ζα έρεη ηελ εμήο κνξθή :


( )4

0

H ( )

4

1

-2 2

( )BW 2

H H' ( ) ( )2

(Γειαδή ην ηξνπνηεκέλν ζχζηεκα έρεη δηπιάζην εχξνο δψλεο απφ ην

αξρηθφ) Βάζεη φκσο ηεο ηδηφηεηαο ηεο αληίζηξνθεο επέθηαζεο ησλ κεη/ζκψλ Fourier, έρνπκε :

H H h t h tF

' '( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

1

. Άξα :

h t h t c t c t' ( ) ( ) sin ( ) sin ( )2 2 21

22

2 .

Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο h t' ( ) θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα :

h t( )

t

2

22sin ( )c t

2

2

3

2

3

20

4) Σν ππφ εμέηαζε ζχζηεκα έρεη θξνπζηηθή απφθξηζε, h t( ) , πνπ είλαη κε αηηηαηφ ζήκα.

Γειαδή ελψ ε θξνπζηηθή είζνδνο, ( )t , εθαξκφδεηαη ζην ζχζηεκα ηελ ρξνληθή ζηηγκή κεδέλ,

ην ζχζηεκα έρεη αξρίζεη θαη απνθξίλεηαη ζηελ ζπγθεθξηκέλε είζνδν πξηλ απφ άπεηξν ρξφλν, ζαλ λα γλψξηδε ηη ζα ηεζεί ζαλ είζνδνο ζην κέιινλ. Απηφ φκσο παξαβηάδεη ηελ αξρή ηεο αηηηαηφηεηαο πνπ πξνυπνζέηεη φηη ηα αίηηα πξνεγνχληαη ησλ απνηειεζκάησλ ηνπο. Δπεηδή δε φια ηα θπζηθά (πξαγκαηηθά) ζηνηρεία θαη ζπζηήκαηα ππαθνχνπλ ζ’απηή ηελ αξρή, ζπκπεξαίλνπκε φηη ην ζπγθεθξηκέλν Γ.Υ.Α. ζχζηεκα δελ είλαη δπλαηφλ λα πξαγκαηνπνηεζεί κε θπζηθά κέζα.


335

ΑΣΚΗΣΗ 115

Έλα Γ.Υ.Α. θαη Αηηηαηφ ζχζηεκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ έρεη άξηην ηκήκα, h ne( ) , ηεο

απφθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , πνπ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε :

h n

n

n

n

e( )

,

,

,

0 0

1 1

2 2

1) Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) . Πψο εθθξάδεηαη ε h n( ) κε ρξήζε ζηνηρεησδψλ ζεκάησλ δηαθξηηνχ

ρξφλνπ;

2) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο, ε

ζρέζε εηζφδνπ-εμφδνπ (εμίζσζε δηαθνξψλ) θαη λα ζεκεησζνχλ ζην επίπεδν-z νη πφινη θαη ηα κεδεληθά ηνπ. Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απφθξηζε ζπρλφηεηαο, X( ) , ζην δηάζηεκα [ , ]0 . Πψο

ραξαθηεξίδεηαη ην ζχζηεκα απφ πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ;

3) Να κειεηεζεί ε επζηάζεηα ηνπ ππφ εμέηαζε ζπζηήκαηνο, θαηά ηελ έλλνηα "θξαγκέλε είζνδνο-θξαγκέλε έμνδνο" (BIBO), κε κεζνδνινγία ηφζν ζην πεδίν ηνπ ρξφλνπ φζν θαη ζην πεδίν ηεο ζπρλφηεηαο.

Πνηά πξνυπφζεζε πξέπεη λα ηθαλνπνηεί ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ελφο Γ.Υ.Α. ζπζηήκαηνο γηα λα είλαη απηφ αληηζηξέςηκν; Δμεγείζηε ηε

ζεκαζία απηήο ηεο πξνυπφζεζεο. Δίλαη ην ππφ εμέηαζε ζχζηεκα αληηζηξέςηκν;

4) Να πξνζδηνξηζηεί ε έμνδνο, y n( ) , ηνπ ζχλζεηνπ ζπζηήκαηνο,

h n( ) , αλ ε είζνδνο ηνπ x n( ) είλαη ην κνλαδηαίν ελαιιαθηηθφ ζήκα;

x n( ) y n( )

h n( )

( )n 1 h n( )

+

+

h nσ( )


ΛΥΣΗ

1) Γλσξίδνπκε φηη ην άξηην κέξνο κηαο ζπλάξηεζεο ηζνχηαη κε :

h n h n h n h n h n h ne e( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )1

22 .

Δπεηδή φκσο ην Γ.Υ.Α. ζχζηεκα είλαη θαη αηηηαηφ ζπλεπάγεηαη φηη γηα

n h n0 0( ) .

Δπνκέλσο γηα n 0 ζα έρνπκε : h n h n h ne( ) ( ) ( )

0

2 ή h n h ne( ) ( )2 .

Σειηθά κπνξνχκε λα γξάςνπκε :

h n

n

n

n

( )

,

,

,

0 0

2 1

4 2

ή h n n u n u n u n( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]2 1 4 2 2 1 2 .

2) Γηα λα βξνχκε ηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, κεηαζρεκαηίδνπκε θαηά Z ηελ ηειεπηαία ζρέζε :

H z Z h n z zz

z

z

z(z( ) ( )

( )

)2 4

1

2 1

1

1 2

Άξα :

H zz

z z

z z

z

Y z

X z

Y z z X z z zZ

( )( )

( )

( )

( )

( )[ ] ( )[ ]

2 1

1

2 2

1

1 2 2

1 2

1

1 1 2

1

2 1 2 1

1 2 1 2

x n x n y n y n

y n y n x n x n

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( )]


337

Γηα λα θαηαιήμνπκε ζηελ παξαπάλσ ζρέζε, πνπ είλαη ε ζρέζε εηζφδνπ- εμφδνπ (εμίζσζε δηαθνξψλ), δερηήθακε φηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη κεδεληθέο.

H H z He

e e

e e e

e e e e

e

j

H e

z e

j

j j

j j j

jj j j

j

j

j( ) ( )| ( )( )

( )

( )

( )

cos( )

sin( )

( )

cos( )

sin( )

( )

2 1

1

22

22

22

22

2

2 2 2

2 2 2

2

(γηαηί 2/jej ).

Σν κέηξν ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο ηζνχηαη κε :

| ( )| |

cos( )

sin( )

|H 22

2

ελψ ε θάζε είλαη ίζε κε :

H Arg( ) ( )

cos( )

sin( )2

2

2

.

Σν δεχηεξν κέινο Arg

cos( )

sin( )

2

2

είλαη κεδέλ γηα [ , ]0 .


| ( )|H

/ 2

2

4

/ 2

2

2

2

Κλίση=-1 (( )

)d

d1

Βαθυπερατό (Low Pass)

H ( )


339

3) Ζ Δπζηάζεηα BIBO ζηα πεδία ηεο ζπρλφηεηαο θαη ηνπ ρξφλνπ νξίδεηαη αληίζηνηρα :

Πεδίν ρξφλνπ : Αλ | ( )|h nn

, ηφηε έρνπκε αζηάζεηα.

Πεδίν ζπρλφηεηαο : Πξέπεη max| |,i

iz 1 (δειαδή νη πφινη λα βξίζθνληαη κέζα ζηνλ

κνλαδηαίν θχθιν). Δδψ max| |,i

iz 1, ππάξρεη ινηπφλ πφινο επάλσ ζηνλ κνλαδηαίν θχθιν

ΟΡΗΑΚΖ ΔΤΣΑΘΔΗΑ (ε νξηαθή επζηάζεηα είλαη έλα είδνο αζηάζεηαο).

Γηα λα είλαη ην ζχζηεκα αληηζηξέςηκν ζχκθσλα κε ηε ζεσξία ζα πξέπεη λα ηζρχεη : h( )0 0 .

Όκσο, ζηελ πεξίπησζή καο έρνπκε h( )0 0 , νπφηε ην ζχζηεκα δελ αληηζηξέθεηαη.

(Ζ θπζηθή ζεκαζία ηεο απαίηεζεο απηήο εχθνια γίλεηαη αληηιεπηή αλ εμεηαζηεί ην αθφινπζν ζρήκα αληηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο :

x n( ) x n( )S S 1

y n( )

Ταυτοτικό σύστημα

Ευθύ σύστημαΑντίστρουο σύστημα

Αλ ζηελ είζνδν ζέζνπκε φπνπ x n n( ) ( ) ηφηε πξέπεη λα αλακέλνπκε ζηελ έμνδν μαλά

( )n . Απηφ ζεκαίλεη φκσο φηη ην δεχηεξν ζχζηεκα (αληίζηξνθν) έρεη ζηελ είζνδφ ηνπ κε

κεδεληθφ δείγκα (γηα n 0 ). Ζ είζνδνο ηνπ φκσο είλαη ε έμνδνο ηνπ επζέσο ζπζηήκαηνο, πνπ

απηή ε έμνδνο κε ηε δεδνκέλε είζνδν ( )n είλαη ε θξνπζηηθή απφθξηζε, h n( ) . Καη γηα n 0

πξέπεη h n( ) 0 , δειαδή h( )0 0 .


4)

x n( ) y n( )h n( )

( )n 1 h n( )

+

+

h nσ( )

Δίλαη :

)]2()1([2)(

)]3(4)2(2[)2(4)1(2)1()()(

nnnh

nunnunnhnhnh

Άξα : y n h n x n h n u n n n u na a( ) ( )* ( ) ( )* ( ) [ ( ) ( )]* ( )2 1 2

ή y n u n u n na a( ) [ ( ) ( )] ( )2 1 2 2 1 .

εκείσζε: u na ( ) , , , , , ,...1 11 11 1 , u na ( ) , , , , , ,...1 01 11 11 ,

u na ( ) , , , , , , , ,...2 0 01 11 11 1 .


ΑΣΚΗΣΗ 116

1. Να πξνζδηνξηζηεί ν Γηαθξηηόο Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier, H m( ) , ηεζζάξσλ

ζεκείσλ, ηεο απόθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ελόο ηδαληθνύ

βαζππεξαηνύ θίιηξνπ, δηαθξηηνύ ρξόλνπ, ηνπ νπνίνπ ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο H( ) δίδεηαη :

H( ),

,, ,

1 2

0 2.

2. Να πξνζδηνξηζηνύλ ηα ηέζζεξα δείγκαηα ηεο απόθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ ππό εμέηαζε ηδαληθνύ βαζππεξαηνύ θίιηξνπ, κε

ρξήζε ηνπ Αληίζηξνθνπ Γηαθξηηνύ Μεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. 3. Να απνδεηρζεί όηη ην επόκελν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα νδεγεί ζηνλ

ππνινγηζκό ηνπ Αληίζηξνθνπ Γηαθξηηνύ Μεηαζρεκαηηζκνύ Fourier (ΑΓΜΦ) θάλνληαο ρξήζε ελόο “ζρήκαηνο ππνινγηζκνύ” ηνπ (επζύ) Γηαθξηηνύ Μεηαζρεκαηηζκνύ Fourier (ΓΜΦ).

X m( )

* F *1

N

x n( )

(Σπδπγήο κηγαδηθόο)

ΛΥΣΗ :

H( ),

,, ,

1 2

0 2

H( )

f0

1

2222

......Πεξηνδηθή ζπλέρεηα

κε πεξίνδν 2π

H( ), | |

, | |, [ , ]

1 2

0 2


1) Γλσξίδνπκε από ηε ζεσξία όηη :

H m H

Nmm

( ) ( ) 2

H H H( ) ( ) ( )0

20 0

1 0 10

H H H( ) ( ) ( )1

21

2

1 1 11

H H H( ) ( ) ( )2

22

0 2 02

H H H H( ) ( ) ( ) ( )3

23

3

2 2 2

1 3 13

Πξνζνρή : Η ηηκή ηνπ Ω είλαη 2

θαη όρη 3

2 γηαηί απηό είλαη εθηόο ηνπ δηαζηήκαηνο [-π,+π]

νπόηε αθαηξνύκε ην 2π.

Άξα ν ΓΜΦ ηεο h n( ) είλαη :

F h n H m( ) ( ) , , ,1 1 0 1

2) Από ηε ζεσξία νκνίσο γλσξίδνπκε :

h n H mF( ) ( )1

Άξα :

h nj j

j j

W H m h n

( )

( ) ( )

1

4

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1

1

0

1

1

4

3

1

1

1

1

Άξα :

h n( ) , , ,3

4

1

4

1

4

1

4

3)

X m( )

* F *1

N

x n( )

(Σπδπγήο κηγαδηθόο)


Αξρίδνληαο από ηελ έμνδν έρνπκε :

mnN

j

mm

mnN

j

emXN

emXN

mXN

nx F2

**

*2

***

))((1

)(1

)(1

)(

m

mnN

j

emXN

nx

2

)(1

)(

Απηή όκσο είλαη ε ζρέζε γηα ηνλ Αληίζηξνθν ΓΜΦ. Άξα, όλησο, ην ζρήκα πνπ πξνηάζεθε θαηαιήγεη ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ Αληηζηξόθνπ ΓΜΦ θάλνληαο ρξήζε ελόο ζρήκαηνο ππνινγηζκνύ ηνπ επζέσο ΓΜΦ.


ΑΣΚΗΣΗ 117

Γίλεηαη ην ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ, x t( ) :

x t t t t( ) sin( ) sin( ) sin( )2 10 6 .

i) Να ζρεδηαζηνύλ ηα δηπιεπξηθά θάζκαηα Πιάηνπο θαη Φάζεο, | ( )|X f θαη

Arg X f( ) , αληίζηνηρα, γηα ην ζήκα x t( ) .

ii) Τν ζήκα x t( ) δεηγκαηνιεπηείηαη κε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο Hzf S 4 .

Να πξνζδηνξηζηεί ε έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ, x n( ) , πνπ

πξνθύπηεη κεηά ηε δεηγκαηνιεςία. Γηθαηνινγήζηε ην απνηέιεζκα.

iii) Να γεληθεπηνύλ ηα ζπκπεξάζκαηα ηνπ πξνεγνπκέλνπ εξσηήκαηνο γηα ηνλ

επόκελν γξακκηθό ζπλδπαζκό ζεκάησλ )(txN :

x tN

k tNk N

N

( ) sin[ ( ) ]1

2 12 1 4 , Rt , k Z .

πνπ δεηγκαηνιεπηείηαη νκνίσο κε ηελ ίδηα ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο

Hzf S 4 . Πνηά είλαη ε αθνινπζία ησλ ηηκώλ ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο )(nxN

πνπ πξνθύπηεη από ηε δεηγκαηνιεςία;

iv) Να δηαηππσζεί ην ζεώξεκα δεηγκαηνιεςίαο ηνπ C.Shannon γηα ζήκαηα βαζηθήο δώλεο (base band signals), κε πεπεξαζκέλν εύξνο ζπρλνηήησλ. Να ζρεδηαζηεί έλα ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα, πνπ λα θαίλνληαη νη απαξαίηεηεο βαζκίδεο κε ηηο ραξαθηεξηζηηθέο παξακέηξνπο ηνπο, γηα ηελ πεξίπησζε δεηγκαηνιεςίαο ζεκάησλ θσλήο γηα θνηλή ηειεπηθνηλσληαθή (ηειεθσληθή) ρξήζε κε ζεκαηνζνξπβηθό ιόγν (Signal to Noise Ratio) SNR db40 , (ιόγσ ηνπ θβαληηζκνύ ησλ δηαζέζηκσλ ζηαζκώλ πιάηνπο).

ΛΥΣΗ i) Από ηε ζρεηηθή ζεσξία ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier ζεκάησλ ηζρύνο γλσξίδνπκε όηη :

x t f t X fj

f f f fF

( ) sin( ) ( ) ( ) ( )21

20 0 0

θαη ζρεκαηηθά :

ff00

| ( ) |X f

f0

1/2

ff00f0

X f( )

π/2

-π/2

Δδώ έρνπκε :

f Hz0 1 1, , f Hz0 2 5, , f Hz0 3 3, .

Έηζη, ηα δηπιεπξηθά θάζκαηα πιάηνπο θαη θάζεο έρνπλ σο εμήο :


f0

| ( ) |X f

1/2

f0

X f( )

π/2

-π/2

1-1

-1 1-2

-2-3

-3

-4-5

-5 -4 2

2 3

3

4

4

5

5

ii)

sin( ) sin( ) sin( ) sin( ),

,

2 2 21

4 20 14

10 1

f t n T n nf Hz

f Hz

SS

sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ),

,

2 10 101

4

5

22

2 20 34

50 3

f t n T n n n nn

f Hz

f Hz

SS

sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ),

,

2 6 6 61

4

3

20 24

30 2

f t t n T nn

f Hz

f Hz

SS

=

)2

nπsin()

2

nπ3nπ2sin( .

Άξα : x n x tn n n n

t nTS( ) ( )| sin( ) sin( ) sin( ) sin( )

2 2 23

2.

Τν δηαθξηηό ζήκα παίξλεη ινηπόλ ηηο ηηκέο :

x nn

( ) sin( ) ... , , , , , , , , , ...32

3 01 0 1 01 0 1 0 .

Όπσο παξαηεξνύκε από ην απνηέιεζκα πνπ πξνέθπςε κεηά ηελ δεηγκαηνιεςία κε

ζπρλόηεηα f Hzsamples

S 4 4(sec

) , όιεο νη ζπληζηώζεο ηνπ αξρηθνύ ζήκαηνο ζπλερνύο

ρξόλνπ "εκθαλίδνληαη" ζην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζαλ ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο F1

4.

(Ιζνδύλακα ζαλ θπζηθέο ζπρλόηεηεο f F f Hz HzS

1

44 1 ).

Απηό βέβαηα ήηαλ αλακελόκελν, γηαηί ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο κόλν νη

ζπρλόηεηεο κε ff

i

S

0 2, παξακέλνπλ ζηελ αξρηθή ηνπο ζέζε. Οη ζπρλόηεηεο κε ff

i

S

0 2,


ζα ππνζηνύλ δηαδνρηθνύο θαηνπηξηζκνύο σο πξνο ηα ζεκεία 0 θαη fS

2, κέρξη λα

θαηαιήμνπλ ζε ζπρλόηεηεο "είδσια" πνπ αλήθνπλ ζην δηάζηεκα [ , ]02

fS.

Απηό είλαη ην γλσζηό θαηλόκελν αλαδίπισζεο (aliasing).

Από ηηο ηξεηο ζπληζηώζεο ηνπ αξρηθνύ ζήκαηνο ζπλερνύο ρξόλνπ κόλν ε f0 1, ήηαλ

κηθξόηεξε ηνπ f

HzS

22 . Οη άιιεο δύν ζπληζηώζεο f0 2, θαη f0 3, , 3 θαη 5Hz αληίζηνηρα,

επεηδή ήηαλ κεγαιύηεξεο από fS

2, κεηά ηνπο δηαδνρηθνύο θαηνπηξηζκνύο εκθαλίζηεθαλ

ζηελ ζιεζε "είδσιν" ηνπ 1Hz , ζύκθσλα θαη κε ην επόκελν ζρήκα :

f0 1-1-2 2 3 4 5

f0 1,f0 2, f0 3,

Παραηηρήζιμο εύρος ζστνοηήηφν

μεηά ηη δειγμαηοληυία

1η ανάκλαζη2η ανάκλαζη

fS / 2Σημεία ανάκλαζης

iii) Ο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ ζεκάησλ (αξκνληθώλ) πνπ δίλεηαη έρεη σο εμήο :

x tN

k tNk N

N

( ) sin[ ( ) ]1

2 12 1 4 , t R , k Z .

Γειαδή πξόθεηηαη γηα ην ζύλνιν αξκνληθώλ κε ζπρλόηεηεο :

( ) ,.., , , , , ,...,( )1 4 7 3 1 5 9 1 4N Hz Hz Hz Hz Hz Hz N Hz .

Γηα ηελ ηπρνύζα αξκνληθή απηνύ ηνπ ζπλόινπ ζα έρνπκε κεηά ηε δεηγκαηνιεςία :

)n2

πsin(]knπ2

4

nπ2sin[]

4

1n)k41(π2sin[]t)k41(π2sin[

ξαηνοέαθ

Hz)k41(f

Hz4f

k,0

S

Γειαδή παξαηεξνύκε όηη ε ηπρνύζα αξκνληθή ηνπ πξναλαθεξζέληνο γξακκηθνύ ζπλδπαζκνύ, κεηά ηελ πξάμε ηεο δεηγκαηνιεςίαο εκθαλίδεηαη ζηε ζέζε κε ζρεηηθή

ζπρλόηεηα F1

4.

Eπνκέλσο γίλεηαη αληηιεπηή ζαλ θπζηθή ζπρλόηεηα :

kHzHzfFf Sk ,144

1,0 .

Δπνκέλσο, κεηά ηε δεηγκαηνιεςία, ζα έρνπκε γηα ηνλ γξακκηθό ζπλδπαζκό x tN( ) :


x tN

k tN

Nn n

x tNk N

N f Hz

N

S

( ) sin[ ( ) ] [( ) sin( )] sin( ) ( )1

2 12 1 4

1

2 12 1

2 2

4

άξα : ,...0,1,0,1,0,1,0,1,0...,)(txN .

iv) Τν ζεώξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο ηνπ C.Shannon γηα ζήκαηα βαζηθήο δώλεο, έρεη σο εμήο :

"Κάζε ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ, x t t R( ), , πνπ είλαη θαζκαηηθά πεξηνξηζκέλν ζην

δηάζηεκα [ , ]B B (βαζηθή δώλε), δειαδή κε εύξνο δώλεο (Bandwidth) BW=B, κπνξεί λα

αλαπαξαζηαζεί από ηζαπέρνληα δείγκαηά ηνπ, x nTS( ) , ρσξίο θακκηά απώιεηα

πιεξνθνξίαο. Τα δείγκαηα απηά, πνπ έρνπλ πξνθύςεη από ηε δεηγκαηνιεςία ηνπ ζήκαηνο

x t( ) , πξέπεη λα έρνπλ κεηαμύ ηνπο "ρξνληθή απόζηαζε" TBS

1

2 (ή ηζνδύλακα ε

ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο fT

BS

S

12 ).

Έηζη, έρνπκε ην εμήο ζρήκα δεηγκαηνιεςίαο :

x ta ( ) 1

+B-B

| ( )|H f

Καηφδιαβαηό

ιδανικό θίληρο

s t( )

......

tS

Σσρμός κροσζηικών

παλμών (impulse train)

s t t nTSn

( ) ( )

x ts( )

όπνπ x t x t s t x t t nT x nT t nTS Sn

S Sn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θαη θπζηθά

TBS

1

2 ή f

TBS

S

12 .

Σ' απηή ηελ πεξίπησζε ε "αλαθαηαζθεπή" ηνπ ζήκαηνο ζπλερνύο ρξόλνπ x t( ) , από ηα

δείγκαηα x nTS( ) , επηηπγράλεηαη κε ηε ρξήζε ηεο ζρέζεο "παξεκβνιήο" :

x t x nT cT

t nTS

S

Sn

( ) ( ) sin [ ( )]

ζύκθσλα κε ην επόκελν ζρήκα αλαθαηαζθεπήο :


x tS( ) 1 h t( )


θίληρο

t

x t x t h tS( ) ( ) * ( )

( )BWTS

1

2x tS( ) x t( )

t

όπνπ : h t cT

tS

( ) sin ( ) (ε θξνπζηηθή απόθξηζε ηνπ θαησδηαβαηνύ θίιηξνπ κε δώλε

δηέιεπζεο BWTS

1

2.

Γηα ηελ πεξίπησζε δεηγκαηνιεςίαο ζεκάησλ θσλήο γηα θνηλή ηειεπηθνηλσληαθή ρξήζε (ηειεθσλία) ε κέγηζηε ζπρλόηεηα πνπ πξέπεη λα δηαηεξεζεί κεηά ηε δεηγκαηνιεςία είλαη

HzfMAX 3,3 . Δπνκέλσο πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε έλα θαησδηαβαηό θίιηξν κε

ζπρλόηεηα απνθνπήο f HzC 33, θαη έλα δεηγκαηνιήπηε (sampler) κε ζπρλόηεηα

δεηγκαηνιεςίαο MAXS ff 2 ( f HzS 8 ).

Παξαηήξεζε : Υπνζέηνπκε όηη ζηε ζπρλόηεηα "αλαδίπισζεο" (folding frequency)

kHzf S 42

, ε απόζβεζε ηνπ θαησδηαβαηνύ θίιηξνπ είλαη αξθεηά ηζρπξή, π.ρ. 40db θάησ

από ηελ απόζβεζε ζηε ζπρλόηεηα απνθνπήο. Έηζη ζα απνθύγνπκε αλεπηζύκεηα θαηλόκελα θαζκαηηθήο αλαδίπισζεο πνπ ζα νδεγήζνπλ ζε αθνπζηή παξακόξθσζε). Δπηπιένλ, επεηδή ν απαηηνύκελνο ζεκαηνζνξπβηθόο ιόγνο, SNR, ιόγσ θβαληηζκνύ ησλ

δηαζέζηκσλ ζηαζκώλ πιάηνπο, είλαη : SNR db40 , ζα έρνπκε κε ρξήζε ηεο γλσζηήο ζρέζεο :

SNR B db B db B B( ,2) ,2,2

6 7 6 7 4047

68 , B N .


Έηζη, έρνπκε ην επόκελν δηάγξακκα βαζκίδσλ :

x t( )

0

| ( )|( )H f db


θίληρο

~ ( )x t

( . )f kHzS 33

x t( )

3.3kHz

-3db

f kHzS 4

fS~ ( )x tS

Q x[ ]

x

~( )x t

Δειγμαηολήπηης

(Sampler)

Κβανηιζηής

8 bits

(256 ζηάθμες)

(θφνή)

…10011..

όπνπ ~ ( ) [~ ( )]x n Q x nS S "ιέμεηο" κήθνπο 8 bits.


ΑΣΚΗΣΗ 118 Σηα ζύγρξνλα ζπζηήκαηα ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζεκάησλ κνπζηθήο ην θαηλόκελν ηεο απιήο ερνύο (single echo effect) “κνληεινπνηείηαη” κε ην επόκελν ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

y n x n ax n D a D N( ) ( ) ( ), ,1 .

4. Αλ ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο είλαη f KHzs 44 λα πξνζδηνξηζηεί ε

ειάρηζηε ηηκή γηα ηελ παξάκεηξν θαζπζηέξεζεο D , έηζη πνπ ην θαηλόκελν

ηεο απιήο ερνύο λα είλαη αληηιεπηό από ηνλ αθξναηή. (Σημείωση : Η αθνπζηηθή εληύπσζε ¨παξακέλεη¨ ζηνλ αθξναηή γηα ρξνληθό δηάζηεκα πεξίπνπ 0.1sec)

5. Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο, ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ H z( ) θαη λα δνζεί ε

πξαγκαηνπνίεζή ηνπ. 6. Γηα 0 1a λα ζρεδηαζζνύλ νη πόινη θαη ηα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο. 7. Να πξνζδηνξηζηεί ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο, H( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Πνηά

είλαη ε ειάρηζηε θαη πνηά ε κέγηζηε ηηκή πνπ παίξλεη ην πιάηνο ηεο

απόθξηζεο ζπρλόηεηαο, H( ) ; Να ζρεδηαζηεί ην πιάηνο απόθξηζεο

ζπρλόηεηαο, H( ) , γηα 0 1a θαη 0, .

8. Δπεθηείλνληαο ην πξναλαθεξζέλ ζύζηεκα απιήο ερνύο, έηζη πνπ λα έρνπκε ζαλ αθνπζηηθό απνηέιεζκα ην θαηλόκελν ηεο πνιιαπιήο ερνύο κε άπεηξεο αλαθιάζεηο (reverberation effect), ζεσξνύκε ζεσξνύκε ην επόκελν κνληέιν ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

y n x n a x n D a x n D a x n iD ii

i

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ), ( , , , ,...)2 3

0

2 3 0 1 2 3

Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο,

h n' ( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο, θαζώο θαη ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ H z' ( ) . Να

δνζεί κηα πξαγκαηνπνίεζή ηνπ ζύκθσλα κε αλαδξνκηθή ηνπ ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ (αλαδξνκηθή εμίζσζε δηαθνξώλ). Θα κπνξνύζε λα πινπνηεζεί πξαθηηθά κηα πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο βαζηζκέλε ζηε κε αλαδξνκηθή ηνπ ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ;

ΛΥΣΗ 1) Γηα λα έρνπκε αληηιεπηό θαηλόκελν απιήο ερνύο πξέπεη ε ρξνληθή απόζηαζε ησλ δύν

ζεκάησλ (ηνπ ζήκαηνο κε επζεία δηάδνζε x n( ) θαη ηνπ ζήκαηνο κε δηάδνζε κέζσ

αλάθιαζεο x n D( ) λα είλαη κεγαιύηεξε ησλ 100 01msec ( . sec) ). Δπνκέλσο :

D T Df

D fs

s

s101

10 101 1 1sec sec sec

D 4400

2) y n x n ax n D h n n a n D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


n

h n( )

1

0 D

DD zazXzYzXzazXzY 1)()()()()(

H zY z

X za z

z a

z

D

D

D( )( )

( )1

x n( )

z D

+Σy n( )

+

+

3) H zz a

za

D

D( ) , 0 1

Πόινη : z DD 0 ην πιήζνο πόινη ζην ζεκείν z 0 (Αξρή αμόλσλ).

z z z D1 2 0...

Μεδεληθά : z a a z a a eD D j0 0 1, ( ) . Άξα ηα κεδεληθά ηνπ

ζπζηήκαηνο είλαη νη D ην πιήζνο ξίδεο ηνπ a e j, ζύκθσλα κε ηε ζρέζε :

z a jk

Da j

k

Dk D D

1 12 1 2 1exp

( )exp

( )

Σπλεπώο έρνπκε D ην πιήζνο κεδεληθά δηαηεηαγκέλα ζηνλ θύθιν αθηίλαο a D1

, ζηηο

θνξπθέο θαλνληθνύ πνιπγώλνπ D πιεπξώλ, κε πξώην κεδεληθό ζην ζεκείν (ηόμν) D

.


Σεκείσζε : Λύζε ηεο εμίζσζεο z aN, όπνπ z a C, . (Ν-νζηέο ξίδεο ηνπ a )

z a a e z z z z z aN j

N k

Na

1 2 3, , ,..., : γηα k N12, ,...,

όπνπ : NkN

kjaz aN

k ,...,3,2,1,)1(2

exp1

.

4. H H zz e

H azz ej

Dj( ) ( ) ( ) 1

DjaDaaeH Dj sincos11)(

DaaDaDaH cos21sincos1)( 22222

H a a D( ) cos1 22 (Απόθξηζε Πιάηνπο)

H H a a a aDD

( ) ( ) ( )min

cos 12 21 2 1 1

H H a a a aDD

( ) ( ) ( )max

cos 10

2 21 2 1 1

| ( )|H

4

D

1+a

02

DD

3

D

5

D

1-a

... θ.ν.θ.a>0

5. y n x n a x n D x n a x n iDi

i

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )2

1

2

h n n a n iDi

i

' ( ) ( ) ( )1


n

h n( )

1

D0

23

2D 3D

k

kD

... ...

Y z X z a z X z a z X z a z X zD D D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...2 2 3 3

11

1

2 2 3 3a z a z a z X za z

X zD D D

a z

D

D

... ( ). ( )

Άξα :

H zY z

X z a z

z

z aY z az X z y n ay n D x n

D

D

D

DZ

'

{ . . }( )

( )

( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

11

0

1

Άξα :

y n ay n D x n( ) ( ) ( ) (Σρέζε Δηζόδνπ-Δμόδνπ)

x n( )

z D

+Σy n( )

a

+

+

Με αλαδξνκηθή πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο πνιιαπιήο ερνύο (δει. πξαγκαηνπνίεζε

βαζηζκέλε ζηε ζρέζε y n a x n iDi

i

( ) ( )0

) δελ είλαη δπλαηόλ λα πξαγκαηνπνηεζεί,

ηνπιάρηζηνλ από ζεσξεηηθήο πιεπξάο. Τνύην δηόηη απαηηνύληαη άπεηξεο ην πιήζνο θαζπζηεξήζεηο θαη νκνίσο άπεηξνη πνιιαπιαζηαζηέο. Δλ ηνύηνηο, αλ ην εμεηάζνπκε ην ζέκα από πξαθηηθή ζθνπηά, εάλ ε ηηκή γηα ηνλ “ζπληειεζηή αλάθιαζεο” a είλαη (απνιύησο) αξθεηά

κηθξή ηόηε κπνξεί λα δνζεί κηα κε αλαδξνκηθή πξαγκαηνπνίεζε (πξνζεγγηζηηθή) γηαηί ai

0

γηα i 0 . Έηζη κπνξεί λα ηεξκαηηζζεί ε κε αλαδξνκηθή ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ κέρξη θάπνηα

ηηκή i N0 . Βέβαηα εύθνια παξαηεξνύκε όηη ε αλαδξνκηθή ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ είλαη

πάληνηε απνιύησο αθξηβήο (αλεμάξηεηα από ηελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή) θαη θπζηθά ε πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη αξθεηά απινύζηεξε (από ηελ κε αλαδξνκηθή πξαγκαηνπνίεζε).


ΑΣΚΗΣΗ 119 i) Να δνζνύλ νη νξηζκνί, καδί κε ηα απαξαίηεηα θξηηήξηα πνπ πξέπεη λα

ηζρύνπλ, γηα ηα εμήο βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ησλ ζπζηεκάησλ δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

α) Γξακκηθόηεηα,

β)Τν Φξνληθά Αλαιινίσην,

γ) Τν Αηηηαηό θαη

δ) Η Δπζηάζεηα θαηά ηελ έλλνηα θξαγκέλε είζνδνο-θξαγκέλε έμνδνο (BIBO).

ii) Να ραξαθηεξηζηνύλ ζύκθσλα κε ηα πξναλαθεξζέληα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηα επόκελα ζπζηήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

α) y n x n x n( ) [ ( ) ( )]1

21 1 ,

β) y n x n( ) ( )2 3,

γ) y n x n x n( ) ( ) ( )1 ,

δ) y n n x n( ) ( ) .

ΛΥΣΗ i)

Γξακκηθό Σύζηεκα : Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ραξαθηεξίδεηαη ζαλ γξακκηθό όηαλ έλαο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο εηζόδσλ έρεη ζαλ απνηέιεζκα ηνλ αληίζηνηρν γξακκηθό ζπλδπαζκό εμόδσλ (Αξρή Δπαιιειίαο). Γειαδή :

x n y n a x n a y ni

S

i i ii

S

i ii

( ) ( ) ( ) ( )

Σαλ ζπλέπεηα ηεο πξνεγνύκελεο ζρέζεο έρνπκε όηη ε κεδεληθή είζνδνο θαηαιήγεη δε κεδεληθή έμνδν.

Φξνληθώο Αλαιινίσην Σύζηεκα : Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ραξαθηεξίδεηαη σο Φξνληθώο Αλαιινίσην αλ ε θαζπζηέξεζε ηεο εηζόδνπ θαηά D δείγκαηα ζπλεπάγεηαη θαζπζηέξεζε ηεο εμόδνπ νκνίσο θαηά D δείγκαηα (Τν ζύζηεκα δελ κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν). Γειαδή :

x n y n x n D y n DS S

( ) ( ) ( ) ( )

Σαλ ζπλέπεηα ηεο ηειεπηαίαο ζρέζεο έρνπκε όηη ε θαζπζηεξεκέλε έθθξαζε ηεο

απόθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο h nD( ) είλαη ίζε κε h n D( ) : h n h n DD( ) ( ) .

Αηηηαηό Σύζηεκα : Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ραξαθηεξίδεηαη σο αηηηαηό αλ δελ παξαβηάδεη ηελ αξρή ηεο αηηηόηεηαο, δειαδή όηη ηα αίηηα πξνεγνύληαη ησλ απνηειεζκάησλ. Απηό ζεκαίλεη όηη ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο δελ κπνξεί λα πξνηξέρεη ηεο εηζόδνπ (δηαθνξεηηθά ην ζύζηεκα ζα κπνξνύζε λα πξνβιέπεη ηηο κειινληηθέο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ). Απηό δηαηππώλεηαη σο εμήο :

Αλ x n( ) 0 γηα n n y n0 0( ) γηα n n0 .

Σαλ ζπλέπεηα ηεο αξρήο ηεο αηηηόηεηαο έρνπκε όηη ε θξνπζηηθή απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο

(απόθξηζε κνλαδηαίνπ βήκαηνο) είλαη κεδεληθή γηα n 0 . (Γειαδή ε θξνπζηηθή απόθξηζε αηηηαηνύ ζπζηήκαηνο είλαη αηηηαηό ζήκα).


Δπζηαζέο Σύζηεκα θαηά ηελ έλλνηα Φξαγκέλε Δίζνδνο-Φξαγκέλε Έμνδνο : Έλα ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη επζηαζέο θαηά ηελ πξναλαθεξζείζα έλλνηα όηαλ νπνηαδήπνηε θξαγκέλε (θαηά πιάηνο) είζνδνο έρεη ζαλ απνηέιεζκα νκνίσο θξαγκέλε έμνδν.

Γειαδή : Αλ | ( )| | ( )|x n M y n N γηα M N, .

Σπλέπεηα ηεο πξναλαθεξζείζαο επζηάζεηαο είλαη όηη ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο ελόο Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηνο είλαη απνιύησο αζξνίζηκε. Γειαδή :

(ΔΥΣΤΑΘΔΙΑ BIBO) | ( )|h kk

.

ii) α) y n x n x n( ) [ ( ) ( )]1

21 1

Τν ζύζηεκα απηό είλαη γξακκηθό θαη ρξνληθά αλαιινίσην αιιά δελ είλαη αηηηαηό. Τέινο είλαη επζηαζέο θαηά BIBO.

β) y n x n( ) ( )2 3

Τν ζύζηεκα απηό δελ είλαη γξακκηθό, είλαη ρξνληθά αλαιινίσην, αηηηαηό θαη επζηαζέο θαηά BIBO.

γ) y n x n x n( ) ( ) ( )1

Τν ζύζηεκα απηό δελ είλαη γξακκηθό, είλαη ρξνληθά αλαιινίσην, αηηηαηό θαη επζηαζέο θαηά BIBO.

δ) y n n x n( ) ( )

Τν ζύζηεκα απηό είλαη γξακκηθό, δελ είλαη ρξνληθά αλαιινίσην, είλαη αηηηαηό θαη δελ ηθαλνπνηεί ηηο απαηηήζεηο γηα επζηάζεηα θαηά BIBO.


ΑΣΚΗΣΗ 120 Γίλεηαη ην πεξηνδηθό ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ, x t( ) ,

(κε πεξίνδν Τ=2) :

x tt t

t tx t x t kT k T tZ R( )

sin( ),

sin( ),, ( ) ( ), , ,

1 1 2 0 1

1 2 1 22 .

1. Να ζρεδηαζηεί ην ζήκα x t( ) ζην δηάζηεκα 2 4, . Πώο κπνξεί λα

εθθξαζζεί ην ζήκα x t( ) ζαλ άζξνηζκα βαζηθώλ, γηα ην αληηθείκελν ησλ

ζεηξώλ Fourier, πεξηνδηθώλ ζεκάησλ;

2. Να ζρεδηαζηνύλ ηα δηπιεπξηθά θάζκαηα πιάηνπο θαη θάζεο, cm θαη

arg cm αληίζηνηρα m Z , γηα ην πεξηνδηθό ζήκα x t( ) .

3. Να δείμεηε όηη ην επόκελν ¨ζύζηεκα¨ νδεγεί πξαθηηθά ζηνλ ππνινγηζκό ησλ ζπληειεζηώλ am

θαη bm ηνπ ηξηγσλνκεηξηθνύ αλαπηύγκαηνο ζε ζεηξά

Fourier ηνπ πεξηνδηθνύ, κε πεξίνδν Τ, ζήκαηνο ηεο εηζόδνπ x tT ( ) , αλ ε

ρξνληθή δηάξθεηα T0 ηεο θξνπζηηθήο απόθξηζεο h t( ) ζεσξεζεί ίζε κε ηελ

πεξίνδν ηνπ πεξηνδηθνύ ζήκαηνο x tT ( ) (δειαδή T T0).

[ )()(2)( 00 TtutuTth ]. Θα πξνθύςνπλ θαηά ηελ γλώκε ζαο,

κεηαβνιέο ζηηο ηηκέο ησλ ζπληειεζηώλ am θαη bm

εάλ ε ρξνληθή δηάξθεηα

ηεο θξνπζηηθήο απόθξηζεο h t( ) , ζεσξεζεί ίζε κε αθέξαην πνιιαπιάζην ηεο

πεξηόδνπ Τ; (δειαδή T kT k0 2 3 4, , , ,...). Γηθαηνινγήζηε επαξθώο ηελ

απάληεζή ζαο.

x tT( )

y n1( )

cos( )2 nt

T

h t( ) a m m 0 1 2, , ,..

y n1( )

sin( )2 nt

T

h t( ) b m m 0 1 2, , ,..

n 0 1 2 3, , , , ..

T0 t

h t( )2 0/ T

4. Να επαλαζρεδηαζηεί ην πξναλαθεξόκελν ζύζηεκα πξαθηηθνύ

ππνινγηζκνύ ησλ ζπληειεζηώλ ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο ζεηξάο Fourier, επηθέξνληαο ηηο θαηάιιειεο ηξνπνπνηήζεηο ή ζπκπιεξώζεηο, ώζηε ζηελ έμνδν λα πξνθύπηνπλ νη κηγαδηθνί ζπληειεζηέο cm ηνπ αληίζηνηρνπ

αλαπηύγκαηνο ζε κηγαδηθή εθζεηηθή ζεηξά Fourier. ΛΥΣΗ

x tt t

t t

x t x t kT k T tZ R

( )sin( ),

sin( ),

( ) ( ), , ,

1 1 2 0 1

1 2 1 2

2

1)


0 1 2 3 4-1-2

t

1

3/2

-1/2

......

T=2

Από ηνλ νξηζκό ηνπ ζήκαηνο x t( ) , εύθνια θαίλεηαη όηη ην ζήκα έρεη πξνθύςεη από ηελ

¨ππέξζεζε¨ κηαο ηεηξαγσληθήο παικνζεηξάο, κε πεξίνδν 2, θαη ελόο εκηηνληθνύ ζήκαηνο (κε πεξίνδν επίζεο 2). Αλαιπηηθόηεξα ζα έρνπκε :

( )t

1

t

0

1

+1/2-1/2

1

Καζπζηέξεζε 1/2

1/2 10

1

1

(/

)t 1 2

1

Με βάζε ηνλ πξνεγνύκελν ¨ζπκβνιηζκό¨ ηνπ ηεηξαγσληθνύ παικνύ ζα έρνπκε γηα ηελ ηεξηαγσληθή πεξηνδηθή παικνζεηξά κε πεξίνδν 2.

x t

t k

k t Tk

Z R1

1

22

12( ) , , ,

Τν εκηηνληθό ζήκα κε πεξίνδν 2 ζα έρεη ηελ εμήο έθθξαζε :

x t t t TR2

1

22( ) sin( ), ,

Έηζη ην πεξηνδηθό ζήκα x t( ) , ζα γξάθεηαη :

x t x t x t

t k

t tk

R( ) ( ) ( ) sin( ),1 2

1

22

1

1

2

2) Πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζνπκε ηνπο ζπληειεζηέο cm , ηνπ αλαπηύγκαηνο ζε ζεηξά Fourier,

ηνπ ζήκαηνο x t( ) , ζα θηλεζνύκε κέζσ ησλ αληίζηνηρσλ αλαπηπγκάησλ ζε ζεηξέο Fourier ησλ

δύν ¨βαζηθώλ¨ πεξηνδηθώλ ζεκάησλ πνπ ην απνηεινύλ. Αξρίδνπκε από ηελ πεξηνδηθή ηεξηαγσληθή παικνζεηξα : Από ηελ ζρεηηθή ζεσξία πεξί ζεηξώλ Fourier (βηβιίν ζεσξίαο, ζει.114-115), γηα ηελ (ζπκκεηξηθή) πεξηνδηθή παικνζεηξά, έρνπκε :


f

+d/2

d

A

+T-T -d/2

At kT

dk

( )

x t( )

0

......

x t cm

F

m Z'

. .'( ) , όπνπ : c A

d

Tc

m d

Tm

' sin ,0

02

2

Η πεξηνδηθή ηεηξαγσληθή παικνζεηξά x t'' ( ) , πνπ πξνθύπηεη από ηελ x t' ( ) θαηόπηλ

θαζπζηέξεζεο θαηά d2 , δειαδή x t x t d'' '( ) ( )2 , ζα έρεη ην εμήο αλάπηπγκα ζε ζεηξά

Fourier, ζύκθσλα κε ηε ζρεηηθή ηδηόηεηα :

Ιδηόηεηα : Αλ x t c x t t e cF

m

Fjm

Tt

m( ) ( ). . . .

0

20

Γηα ην ζήκα x t'' ( ) ζα έρνπκε :

x t c c e cF

m m

jmT

d

m

''. .

'' '' '( ) ,

2

2

Τν ζήκα x t1( ) είλαη ην ίδην κε ην ζήκα x t'' ( ) αλ ζεσξήζνπκε : A D T1 1 2, ,

Άξα :

x t c c cA d T

F

m m m1 1 1 1 1 2( ) ,

, ,

. .

, ,

''

c e c m c c m em

jm

A

d

T

m

jm

1

2

2

1

21

211

2

2

2

1

2

1

2 2, ,sin sin

Γηα ην εκηηνληθό ζήκα x t2 ( ) ζα έρνπκε :

x t te e

j je e

j t j t

j t j t

2

1

2

1

2 2

1

4( ) sin

Παξάιιεια γλσξίδνπκε όηη ην αλάπηπγκα ηνπ εκηηνληθνύ ζήκαηνο ζε ζεηξά Fourier ζα έρεη ηελ εμήο έθθξαζε :

x t t c em

jm t

m

2 2 0

1

2

2

2( ) sin , ( ),

Σπγθξίλνληαο ην αλάπηπγκα ζε ζεηξά Fourier κε ην αλάπηπγκα Euler ηνπ εκηηνληθνύ ζήκαηνο πξνθύπηεη ακέζσο όηη :


cj

cj

c mm2 1 2 1 2

1

4

1

40 1, , ,, , ,

Δπνκέλσο γηα ην ζήκα x t x t x t( ) ( ) ( )1 2 ζα έρνπκε, ζύκθσλα κε ηελ ηδηόηεηα ηεο

Γξακκηθόηεηαο ησλ ζεηξώλ Fourier :

x t x t x t( ) ( ) ( )1 2

. .

, ,

F

m m mc c c1 2

Δηδηθά γηα m 1 έρνπκε :

c c m e c c em

jm j

12

1 12

1

2 2

1

2 2, ,sin sin

c e j jj

1 12

1

2

2 1

2 2

1, cos sin

c c j j1 1 1 1

1 1, ,

*

*

Έηζη ηειηθά :

c c c j j j1 1 1 2 1

1 1 4

4

4

4 2, ,

c c j j1 1

4

4

4

4

4

4 2*

*

Άξα γηα ηνπο ζπληειεζηέο cm ζα έρνπκε :

c

c m e m m

j m

j m

m

jm

Z1

2 21

4

41

4

41

2sin , ,

,

,

ή ηζνδύλακα :

c

c m m m

m

m

m

Z1

2 21

4

41

4

41

sin , ,

,

,

c

c m m m m

m

m

m

Zarg sin , ,

,

,

,

2 21

21

21

0

Φάζκα πιάηνπο :


| |c m

m

1/2

0 21 3 4 5-1-2-3-4-5

4

4

4

4 1

2 2|sin ( )|c

m

m0 2

1 3

4

5

-1-2-3-4-5

π/2

-π/2

π mm cc

3)

x tT( )

y n1( )

cos( )2 nt

T

h t( ) a m m 0 1 2, , ,..

y n1( )

sin( )2 nt

T

h t( ) b m m 0 1 2, , ,..

n 0 1 2 3, , , , ..

T0 t

h t( )

2 0/ T

x tT( )

x tT( )

y t1( )

y t2 ( )

Γξόκνο “1”

Γξόκνο “2”

Αξρίδνπκε ηελ εμέηαζε ηνπ παξαπάλσ ¨ ζρήκαηνο ¨ ππνινγηζκνύ ησλ ζπληειεζηώλ am θαη

bm ηεο ζεηξάο Fourier από ηνλ επάλσ ¨δξόκν¨ ¨1¨ :


Αξρίδνπκε από ηελ έμνδν y t1( ) :

)()(

0

)()(

00

1

©

0

0

)(2

)(2

)()()()()()()(

thtx

T

T

txth

T

T

TTT

TT

dxT

dtxT

dthtxdtxhtxthty

Γηα ην ζήκα x tT

' ( ) έρνπκε :

T

mt

T

mtb

T

mta

a

T

nttxtx

m

m

m

mTT

2cos

2sin

2cos

2

2cos)()(

11

0

T

mtπ2cos

T

mtπ2sinb

T

mtπ2cos

T

mtπ2cosa

T

ntπ2cos

2

a

1m

m

1m

m0

Έηζη γηα T T0 ε έμνδνο y t1( ) γίλεηαη :

T 1m

m

1m

m0

1

ηdT

ηnπ2cos

T

ηmπ2sina

T

ηnπ2cos

T

ηmπ2cosa

T

ηnπ2cos

2

a

T

2

)t(y

0T 1m

0

T 1m

0

T

01

ηdT

ηnπ2cos

T

ηmπ2sina

T

2

ηdT

ηnπ2cos

T

ηmπ2cosa

T

2ηd

T

ηnπ2cos

2

a

T

2)t(y

Τν πξώην νινθιήξσκα είλαη κε κεδεληθό κόλν γηα n 0 θαη έρεη ηηκή a0 . Τν δεύηεξν

νινθιήξσκα είλαη κε κεδεληθό κόλν γηα n m (ζρέζεηο νξζνγσληόηεηαο) θαη έρεη ηηκή am . Τν

ηξίην νινθιήξσκα είλαη πάληα κεδεληθό (ζρέζεηο νξζνγσληόηεηαο). Άξα από ηνλ επάλσ

δξόκν ¨1¨ πξνθύπηνπλ νη ζπληειεζηέο a mm , , , , ,...012 3 . Με ηειείσο αληίζηνηρε αλάιπζε

γηα ηνλ θάησ δξόκν ¨2¨, θαη ιακβάλνληαο ππ’όςηλ ηηο ζρέζεηο νξζνγσληόηεηαο, ζα

θαηαιήμνπκε ζηνλ ππνινγηζκό ησλ ζπληειεζηώλ b mm , , , , ,...0 12 3 .

Δάλ αιιάμνπκε ηελ δηάξθεηα ηεο θξνπζηηθήο απόθξηζεο h t( ) ζε T kT0 (θαη βέβαηα θαη ην

πιάηνο ηεο ζε 2

kT) δελ ζα πξνθύςεη νπδεκία αιιαγή ζηηο ηηκέο ησλ ζπληειεζηώλ am θαη bm

πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο δύν εμόδνπο, δηόηη :

T

'

T

T

'

T

kT

'

T ηd)η(xT

2ηd)η(xk

kT

2ηd)η(x

kT

2

(Απηό ζπκβαίλεη επεηδή ην ζήκα xT

' ( ) είλαη πεξηνδηθό κε πεξίνδν Τ).

(Οκνίσο θαη γηα ην xT

'' ( ) )

4) Από ηελ ζρεηηθή ζεσξία γλσξίδνπκε όηη :


c a jb c c x tm m m m m R1

2, , ( )*

.

Σπλεπώο ε απαηηνύκελε ¨ιεηηνπξγηθή¨ ηξνπνπνίεζε ζηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο ππνινγηζκνύ

ησλ ζπληειεζηώλ am θαη bm

έρεη σο εμήο :

a m m 0 1 2, , ,..

b m m 1 2 3, , ,..

...

...

Σ

j

+

- 1/2

cm m 0 1 2, , ,..

*c m m 1 2 3, , ,..

Σπδπγήο κηγαδηθόο

a jbm m


ΑΣΚΗΣΗ 121

Έλα Γ.Φ.Α. θαη IIR ζχζηεκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ (δειαδή κε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο άπεηξεο δηάξθεηαο) έρεη ηελ εμήο απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο :

h n u nn( ) ( , ) ( )0 75 .

Να πξνζδηνξηζηεί ε έμνδνο ηνπ πξναλαθεξφκελνπ ζπζηήκαηνο, y n( ) , κε

κεζνδνινγία ζην πεδίν ηνπ ρξφλνπ θαη λα ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά ε πεξηβάιινπζα ησλ δεηγκάησλ ηνπ ζήκαηνο εμφδνπ, γηα ηηο εμήο πεξηπηψζεηο ηεο εηζφδνπ, x n( ) :

1) x n u n( ) ( ) .

Σε πνηά ηηκή ηείλεη ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ζηε ζηαζεξή θαηάζηαζε (steady state); (Γειαδή γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ ρξφλνπ, n ).

2) x n u nn( ) ( ) ( )1 .

Οκνίσο λα πξνζδηνξηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ζηε ζηαζεξή θαηάζηαζε.

3) x n u n u n( ) ( ) ( )25 .

Να πξνζδηνξηζηεί ε πξνζεγγηζηηθή ηηκή ηεο εμφδνπ φηαλ ν ρξφλνο ( n ) πιεζηάδεη ηελ ηηκή 25 θαη φηαλ πιεζηάδεη ηελ ηηκή 50.

4) Πψο κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηε ζπλέιημε δχν αηηηαηψλ ζεκάησλ θάλνληαο ρξήζε ηνπ πνιιαπιαζηαζκνχ πνιπσλχκσλ ; Πνηά είλαη ε αηηηνινγία απηήο ηεο δπλαηφηεηαο ;

ΛΥΣΗ

n

h n( )

1h n u nn( ) ( . ) ( )0 75

...0

1)

n

x n u n( ) ( )

-

-

. . .

1

x n1 ( )

0


Ζ έμνδνο ππνινγίδεηαη, θαηά ηα γλσζηά, απφ ηε ζπλέιημε ηνπ ζήκαηνο εηζφδνπ κε ηελ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο :

y n h n x n h k x n kk

k

k

n n

n

1 1 10

1

0 750 75 1

0 75 14 3 0 75( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( , )

( , )

,( , )

Άξα :

y nn

nu nn

n

1

0 0

4 3 0 75 04 3 0 75( )

,

( , ) ,[ ( , ) ] ( ) .

Γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ ρξφλνπ, n , (ζηαζεξή θαηάζηαζε-steady state), έρνπκε :

lim ( ) lim[ ( , ) ]n n

ny n1 4 3 0 75 4 .

n

-

-

y n1 ( )

0

1

2

3

4

1 2 3 4

...

2) x n u nn( ) ( ) ( )1

0

1

2

3

4

5

1

n

x n2 ( )

-1

6

Όκνηα κε ηελ πξνεγνχκελε πεξίπησζε έρνπκε :

y n h n x n h k x n k

y n

k

k

k

n

n k n k

k

n

n

n

n n

2 2 20 0

2

1

0 75 1 1 0 75

10 75 1

0 75 1

4

71

3

70 75

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( )( , )

( , )( ) ( , )

Άξα :


y n

n

nu nn n

n n

2

0 0

4

71

3

70 75 0

4

71

3

70 75( )

,

( ) ( , ) ,[ ( ) ( , ) ] ( ) .

Σηε ζηαζεξή θαηάζηαζε έρνπκε :

lim ( ) lim[ ( ) ( , ) ] ( )n n

n n ny n2

4

71

3

70 75

4

71

4

7.

0

1

2

3

4

5

1

n

y n2 ( )

-1

6

4/7

-4/7

3) Τν ζήκα πνπ δίλεηαη γξάθεηαη :

))25()()(25()()( 113 nxnxnununx

0 1 2 3 22 23

n

x n3( )

24

...

1

25 26

Δπεηδή ην ζχζηεκα είλαη Γ.Φ.Α. ζα έρνπκε :

y n h n x n h n x n x n h n x n h n x n

y n y n y n

3 3 1 1 1 1

3 1 1

25 25

25

( ) ( )* ( ) ( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )]

( ) ( ) ( )

Αιιά : y n u nn

1 4 3 0 75( ) [ ( , ) ] ( ) θαη y n u nn

1

2525 4 3 0 75 25( ) [ ( , ) ] ( ) .

Άξα :

y n y n y n u n u nn n

3 1 1

2525 4 3 0 75 4 3 0 75 25( ) ( ) ( ) [ ( , ) ] ( ) [ ( , ) ] ( ) .

Γηα 0 24n y n n

3 4 3 0 75( ) [ ( , ) ]

Γηα n 25 y n n n n

3

25 254 3 0 75 4 3 0 75 3 0 75 0 75 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) [( , ) ]


Σπλνςίδνληαο, έρνπκε ηειηθά :

25],1)75,0[()75,0(3

240,)75,0(34

0,0

)(25

3

n

n

n

nyn

n

Όηαλ ν ρξφλνο πιεζηάδεη ηε ηηκή 24, ηφηε ζχκθσλα κε ηελ έθθξαζε γηα ηελ έμνδν

y n3( ) γηα 0 24n ζα έρνπκε :

y n n

n

n3 24 24

244 3 0 75 4 3 0 75 4( ) [ ( , ) ] ( , ) .

Αληίζηνηρα, θαζψο ν ρξφλνο πιεζηάδεη ηελ ηηκή 50 ζα έρνπκε απφ ηελ αληίζηνηρε έθθξαζε

γηα ηελ έμνδν y n3( ) γηα n 25 :

y n n

n

n3 50

25

50

50 253 0 75 0 75 1 3 0 75 0 75 1 0( ) ( , ) [( , ) ] ( , ) [( , ) ]

0 1 2 3 22 23

n

y n3( )

24

...1

25 26

2

3

4

27

...50494847

4 3 0 75( , )n

3 0 75 0 75 125( , ) [( , ) ]n

Σεκείσζε : Απφ ηε κνξθή ηνπ ζήκαηνο εμφδνπ, y n3( ) , παξαηεξνχκε φηη ππάξρεη κεγάιε

νκνηφηεηα κε ηε "θφξηηζε- εθθφξηηζε" ππθλσηή. Απηφ βέβαηα δελ είλαη ηπραίν. Τειείσο αληίζηνηρεο ζρέζεηο (κε απηέο ηνπ δηαθξηηνχ ρξφλνπ) κπνξνχλ λα γξαθνχλ γηα έλα απιφ δηθηχσκα RC :

x t( ) y t( )

R

C

+ +

- -

Σπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο :

1

1

1

1

)(

)()(

RCS

CSR

CS

SX

SYSH .

Γηα RC TC (είλαη ε ζηαζεξά ρξφλνπ ηνπ θπθιψκαηνο) 1

1)(

STsH

C

.

Τέινο, ζην ρξφλν ν αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκφο Laplace δίλεη :


)(1

1

11)()( 11 tue

T

TS

TLSHLth CT

t

C

C

C

.

Παξάιιεια, ε εθαξκνγή κηαο ζηαζεξάο ηάζεο ζηελ είζνδν, κε ηηκή V0, ηε ρξνληθή ζηηγκή

t 0 θαη ε απνκάθξπλζή ηεο (κε ηαπηφρξνλν "βξαρπθχθισκα" ηεο εηζφδνπ) ηε ρξνληθή

ζηηγκή t0νδεγεί ζηελ εμήο έθθξαζε γηα ηελ είζνδν x t( ) :

x t V u t u t t( ) [ ( ) ( )]0 0.

Δπνκέλσο ε έμνδνο y t( ) ζα δίλεηαη απφ ηε ζρέζε :

y t h t x t h x t d( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ,

πνπ ζα θαηαιήμεη ζηε γλσζηή γξαθηθή παξάζηαζε θφξηηζεο θαη εθθφξηηζεο ππθλσηή :

y t( )

t

V0

t 0

t TC0 5

Σην ππφ εμέηαζε ζέκα, γηα ηελ πεξίπησζε ηνπ δηαθξηηνχ ρξφλνπ, είρακε αληίζηνηρεο ζρέζεηο κε απηέο πνπ ρξεζηκνπνηήζακε γηα ην δηθηχσκα RC :

h n u n e u n e u nn n n( ) ( , ) ( ) ( ) ( )ln( , ) ,0 75 0 75 0 288,

δηφηη a en n aln( ) θαη )25()()( nununx .

4) Απφ ηε ζρεηηθή ζεσξία, πεξί ησλ κεζφδσλ ππνινγηζκνχ ηεο ζπλέιημεο, γλσξίδνπκε φηη

κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ζπλέιημε ζαλ πνιπσλπκηθφ πνιιαπιαζηαζκφ, αθνχ βέβαηα πξνεγνπκέλσο έρνπκε "κεηαηξέςεη" ηα ππφ ζπλέιημε ζήκαηα ζηα αληίζηνηρα πνιπψλπκα. Απηφ βέβαηα δηθαηνινγείηαη απφ ηηο ηδηφηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ Z. Γηα ηελ πεξίπησζε απηή ρξεζηκνπνηνχκε ηε γλσζηή ηδηφηεηα ηνπ κεη/ζκνχ Z (φπσο θαη ησλ κεη/ζκψλ Fourier θαη Laplace) πνπ κεηαηξέπεη ηε ζπλέιημε ζε πνιιαπιαζηαζκφ. Έηζη έρνπκε :

x n X zZ

( ) ( ) θαη h n H z x n h n y n Y z X z H zZ Z

( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

φπνπ βέβαηα ηα ππφ ζπλέιημε ζήκαηα x n( ) θαη h n( ) έρνπλ κεηαζρεκαηηζηεί ζε

πνιπψλπκα, X z( ) θαη H z( ) αληίζηνηρα, ιφγσ ηεο "θχζεο" ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ Z.

X z Z x n x n z n

n

( ) ( ) ( )0

θαη H z Z h n h n z n

n

( ) ( ) ( )0

.

(πξνθαλψο y n Z Y z( ) ( )1).


ΑΣΚΗΣΗ 122

Έλα Γ.Φ.Α. αηηηαηφ θαη IIR ζχζηεκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ (γελλήηξηα πεξηνδηθψλ θπκαηνκνξθψλ) έρεη απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) :

,...5,4,3,2,5,4,3,2,5,4,3,2)(nh .

1. Να πξνζδηνξηζζεί ε εμίζσζε δηαθνξψλ ηνπ ζπζηήκαηνο (ζρέζε εηζφδνπ-εμφδνπ) κε κεζνδνινγία ζην πεδίν ηνπ ρξφλνπ.

2. Δπαιεζεχζαηε ηελ ζρέζε εηζφδνπ-εμφδνπ πνπ πξνζδηνξίζαηε ζην πξνεγνχκελν εξψηεκα κε κεζνδνινγία ζην πεδίν ηεο (γεληθεπκέλεο) ζπρλφηεηαο Ε.

3. Γηαηί έλα δεχγνο κηγαδηθψλ πφισλ, 1 θαη 1

* , ζηελ ζπλαξηήζε κεηαθνξάο

H z( ) ελφο Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηνο νδεγεί ζηελ εκθάζε εκηηνλνεηδψλ

ηαιαληψζεσλ ζηελ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο h n( ) ; Απφ πνηνχο

παξάγνληεο εμαξηάηαη ε ζπρλφηεηα Ω ησλ ηαιαληψζεσλ θαη ε ρξνληθή εμέιημε ηνπ πιάηνπο ησλ; Γηθαηνινγήζαηε επαξθψο ηηο επαξθψο ηηο απαληήζεηο ζαο;

ΛΥΣΗ

1)

h n( ) , , , , , , , , , , , ,...2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5

h n( ) , , , , , , , , , , , ,...4 0 0 0 0 2 3 4 5 2 3 4 5

h n h n n n n n( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 4 5 2 3 1 4 2 5 3

0 1 2 3 4 5

3

2

h n( )

n6 7 8

4

5

1

9

...

10 11 12 13 14 15

Απφ ηελ ζεσξία γλσξίδνπκε φηη ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , είλαη ε έμνδνο ηνπ

ζπζηήκαηνο αλ ε είζνδνο είλαη ην ζήκα κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, ( )n . Άξα ε ίδηα ζρέζε πνπ

ζπλδέεη ηα h ζα ζπλδέεη θαη ηα y x . Έηζη ζα έρνπκε :

y n y n x n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 1 4 2 5 3

y n x n x n x n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 4 2 5 3 4


2)

H z h n

z z z z z z z

Z Z( ) ( ) , , , , , , , , , , , ,...

...

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5

2 3 4 5 2 3 4 51 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 51 2 3 1 2 3 4 1 2 3 8z z z z z z z z z z z ...

4

3211284321

1

15432...15432

zzzzzzzzzz

2 3 4 5

1

1 2 3

4

z z z

z

Y z

X z

( )

( )

Y z z X z z z z( ) ( )1 2 3 4 54 1 2 3

Y z Y z z X z z X z z X z z X z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 32 3 4 5

. . 0

1Zy n y n x n x n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 1 4 2 5 3

y n x n x n x n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 4 2 5 3 4

Έηζη επαιεζεχζακε ηελ ζρέζε εηζφδνπ-εμφδνπ πνπ πξνζδηνξίζακε ζην πξνεγνχκελν εξψηεκα κε κεζνδνινγία ζην πεδίν ηνπ ρξφλνπ.

3) Υπνζέηνπκε, γηα ινγνχο απιφηεηαο, φηη ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο H z( ) ηνπ Γ.Φ.Α.

ζπζηήκαηνο έρεη έλα δεχγνο κεδεληθψλ πφισλ κφλν :

H zA z

z zA

z

zA

z

z( )

( )

( )( )*

*

*

1 1 1 1

Άξα :

)()()( *

1

*

1 nuAnuAnh nn

1 1 1 1 1 11 1r e r e r

j j R* , ,

h n A r e u n A r e u n A r e A r e u nn jn n jn n jn n jn( ) ( ) ( ) ( )*

*

1 1 1 11 1 1 1

2 21 1 11Re ( ) cos( ) ( )A r e u n A r n u nn jn n

A

A A ej A . Οπφηε θαη ηειηθά :

h n A r n u nn

A( ) cos( ) ( )2 1 1

Πξάγκαηη, απφ ηε κνξθή ηεο απφθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , πξνθχπηεη φηη έρνπκε

ηελ εκθάληζε εκηηνλνεηδψλ ηαιαληψζεσλ, κε ζπρλφηεηα 1 ( 1 ).


Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ην πξνεγνχκελν δηάγξακκα ησλ πφισλ ζην επίπεδν z , ε ζπρλφηεηα

ηαιαληψζεσλ, 1, είλαη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεηαη κεηαμχ ηνπ ζεηηθνχ

εκηάμνλα θαη ηεο πνιηθήο αθηίλαο r1 . Γηα κεγάιεο ηηκέο ηεο γσλίαο 1 έρνπκε κεγάιν ξπζκφ

(ζπρλφηεηαο) ηαιάλησζεο. Ζ κέγηζηε ηηκή γηα ην 1 είλαη ε ηηκή

1, νπφηε έρνπκε

ελαιιαζζφκελε ηαιάλησζε ( 1 1 12 12F F ). Ζ ρξνληθή εμέιημε

ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο εμαξηάηαη απφ ην κήθνο ηεο πνιηθήο αθηίλαο r1. Αλ r1 1 ζα

έρνπκε ηαιάλησζε κε γξήγνξε απφζβεζε πιάηνπο. Αληίζεηα αλ r1 1 ζα έρνπκε ηαιάλησζε

απμαλφκελνπ πιάηνπο. Γηα r1 1 (Μνλαδηαίνο Κχθινο) έρνπκε ακείσηεο ηαιαληψζεηο.


ΑΣΚΗΣΗ 123

Γίλεηαη ην ζπλεκηηνληθφ ζήκα ζπλερνχο ρξφλνπ, x t( ) :

x t( ) cos( )15t , t R .

1) Να πξνζδηνξηζηεί ε πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο, TS, ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ

κήθνπο ηεο πεξηφδνπ Ν θαη ηνπ αξηζκνχ ησλ παιηλδξνκήζεσλ i , ( N i N, ), έηζη πνπ ην ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ, x n x nT x tS t nTS

( ) ( ) ( )| , πνπ

ζα πξνθχςεη απφ ηε δεηγκαηνιεςία, λα είλαη πεξηνδηθφ.

2) Γηα TS 01, sec λα πξνζδηνξηζηεί ην κήθνο N0 ηεο ζεκειηψδνπο

πεξηφδνπ ηνπ ζήκαηνο x n( ) . Να ζρεδηαζηνχλ, ζην ίδην δηάγξακκα, κία

πιήξεο πεξίνδνο ηνπ ζήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ x n( ) θαζψο θαη ν

απαηηνχκελνο αξηζκφο πεξηφδσλ ηνπ αξρηθνχ ζήκαηνο ζπλερνχο ρξφλνπ x t( ) . Σρνιηάζηε ην παξαηεξνχκελν απνηέιεζκα.

3) Να δηαηππσζεί ην "ζεψξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο" ηνπ C.Shannon γηα ζήκαηα ελέξγεηαο, βαζηθήο δψλεο ζπρλνηήησλ, θαη λα ζρεδηαζηνχλ ηα ζρεηηθά γξαθήκαηα ζηα πεδία ρξφλνπ θαη ζπρλφηεηαο.

Γεδνκέλνπ φηη ηα πεδία ρξφλνπ ( t ) θαη ζπρλφηεηαο ( f ), πνπ ζπλδένληαη κέζσ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ Fourier, εκθαλίδνπλ έλα είδνο ζπκκεηξίαο κεηαμχ ηνπο (δειαδή θαηά θάπνην ηξφπν έρνπλ ζρέζε αληηθεηκέλνπ θαη εηδψινπ), πξνζπαζήζηε λα δψζεηε κία αληίζηνηρε δηαηχπσζε γηα ην "δπτθφ ζεψξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο" (δει. γηα δεηγκαηνιεςία ζην πεδίν ηεο

ζπρλφηεηαο, f ) θαη ζρεδηάζηε ηα αληίζηνηρα γξαθήκαηα ζηα πεδία ζπρλφηεηαο θαη ρξφλνπ. Με πνηφ βαζηθφ κεηαζρεκαηηζκφ ζεκάησλ δηαθξηηνχ ρξφλνπ ζπλδέεηαη άκεζα ην δπτθφ ζεψξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο.

ΛΥΣΗ 1) Τν ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ πνπ πξνθχπηεη απφ ηε δεηγκαηνιεςία γξάθεηαη σο εμήο :

x n x nT x t nT n

T F T T F

S t nT S

S S S

S( ) ( ) ( )| cos( ) cos( )15

15 2 152

15

Αιιά, φπσο γλσξίδνπκε απφ ηε ζρεηηθή ζεσξία, γηα λα είλαη έλα εκηηνλνεηδέο ζήκα

δηαθξηηνχ ρξφλνπ πεξηνδηθφ πξέπεη ε ζρεηηθή ηνπ ζπρλφηεηα, F , λα είλαη ιφγνο δχν απιψλ

αθεξαίσλ, δειαδή Fi

N, φπνπ i ν αξηζκφο ησλ "παιηλδξνκήζεσλ" ζην δηάζηεκα κηαο

πεξηφδνπ θαη N ην "κήθνο" (πιήζνο δεηγκάησλ) ηεο πεξηφδνπ. Έηζη ηειηθά έρνπκε :

Ti

NS

2

15.

2) Αληηθαζηζηνχκε ζηελ ηειεπηαία έθθξαζε γηα ηε ζπρλφηεηα δεηγκαηνιεςίαο ηελ ηηκή

TS 01, sec :

Ti

Ni N

i

NS 0110

2

1520 15

3

4, .


Δπηπιένλ, επεηδή πάληνηε ηζρχεη N i , έπεηαη φηη N N ii i0 3 3

4

34| | .

Άξα N0 4 . Μία πιήξεο πεξίνδνο ηνπ ζήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ, x n( ) , θαζψο θαη νη

ηξεηο "παιηλδξνκήζεηο" ηνπ αξρηθνχ ζήκαηνο x t( ) , θαίλνληαη ζην αθφινπζν δηάγξακκα :

t(sec)0

x t( )

1

-1

2

151 2

4

15

3 4

...

6

15

x n( )

cos( ) cos( )23

42

1

4n n

N 0 4

cos( , )1 5

2

15

t

T

Τν ζήκα x t( ) (αξρηθφ ζήκα ζπλερνχο ρξφλνπ) έρεη ζπρλφηεηα fT

HzA

1 15

2( ) .

Τν ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ, x n( ) , πνπ πξνθχπηεη κεηά ηε δεηγκαηνιεςία, εκθαλίδεηαη κε

ζρεηηθή ζπρλφηεηα F3

4. Δπεηδή φκσο ε αλψηεξε παξαηεξήζηκε ηηκή γηα ην F είλαη ε

ηηκή 1

2, ε ζρεηηθή ζπρλφηεηα γίλεηαη ηειηθά αληηιεπηή κε ηηκή F 1

3

4

1

4 (Λφγσ

αλαδίπισζεο γχξσ απφ ηελ ηηκή F1

2).

Έηζη, ην πξνθχπηνλ ζήκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ εκθαλίδεηαη κε θπζηθή ζπρλφηεηα, f , πνιχ

ρακειφηεξε απφ ηελ αξρηθή, f HzA ( )15

2.

Πξάγκαηη : f F f HzS

1

4

10 5

2.

Γειαδή ηειηθά έρνπκε : f fA

1

3.

Απηφ βέβαηα είλαη ην γλσζηφ θαηλφκελν ηεο "θαζκαηηθήο αλαδίπισζεο" θαη νθείιεηαη ζε αλεπηηπρή επηινγή ηεο ζπρλφηεηαο δεηγκαηνιεςίαο.

Σχκθσλα κε ην ζρεηηθφ ζεψξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο, πξέπεη f fS A2 ή

f HzS 215

24( ) ,775Hz . Ζ επηιερζείζα φκσο ζπρλφηεηα δεηγκαηνιεςίαο είλαη θαηά

πνιχ ρακειφηεξε ( Hzf S 314,01,0 κε ζπλέπεηα λα παξαηεξνχκε ηα

πξναλαθεξζέληα.

3) Θεψξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο (C.Shannon, 1949) :

"Έλα ζήκα ελέξγεηαο ζπλερνχο ρξφλνπ, x t( ) , βαζηθήο δψλεο ζπρλνηήησλ κε αλψηεξε

θαζκαηηθή ζπληζηψζα B(Hertz), κπνξεί λα αλαθαηαζθεπαζηεί κε κνλαδηθφ ηξφπν απφ ηα


ηζαπέρνληα δείγκαηά ηνπ, ππφ ηελ πξνυπφζεζε φηη ε ζπρλφηεηα δεηγκαηνιεςίαο fS είλαη

ηνπιάρηζηνλ ίζε κε 2Bsamples

sec". (δειαδή f

TBS

S

12 ).

Σήκα ελέξγεηαο : E x t dt| ( )|2 .

Σήκα βαζηθήο δψλεο ζπρλνηήησλ : X ff B

f B( )

, | |

, | |

0

0.

0

x t( )

t

TS

... ...

ΠΕΔΙΟ

ΥΡΟΝΟΤ

| ( )|X fS

f

fS

Πεδίο

στνότητας

BB fSf BSf BS

......

2B

Πξέπεη : fT

BS

S

12

Γπτθφ Θεψξεκα Γεηγκαηνιεςίαο : "Τν θάζκα ζπρλνηήησλ ελφο ζήκαηνο ελέξγεηαο ζπλερνχο ρξφλνπ κε (ρξνληθή) δηάξθεηα

2T κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί κνλαδηθά απφ ηζαπέρνληα δείγκαηά ηνπ (ζην πεδίν ηεο ζπρλφηεηαο) ππφ ηελ πξνυπφζεζε φηη ηα δείγκαηα απηά ιακβάλνληαη κε (θαζκαηηθή)

απφζηαζε κεηαμχ ηνπο (S) ην πνιχ ίζε κε

1

2T (δειαδή S T

1

2).


0

| ( )|X f

f

S

... ...

ΠΕΔΙΟ

ΤΥΝΟΣΗΣΑ

x tS ( ) Πεδίο

Υρόνοσ

TT1

S

T

......

2Tt1

S

1

S

T1

S

Πξέπεη : S T

1

2

Τν δπτθφ ζεψξεκα ηεο δεηγκαηνιεςίαο ζπλδέεηαη άκεζα κε ην Γηαθξηηφ Μεηαζρεκαηηζκφ Fourier (Discrete Fourier Transform). Σ' απηφ ην κεηαζρεκαηηζκφ ππνινγίδνπκε ηζαπέρνληα δείγκαηα ηνπ θάζκαηνο ελφο

ζήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ, x n( ) . Τν ζήκα έρεη ρξνληθή δηάξθεηα N TS. Δπνκέλσο ηα

ηζαπέρνληα δείγκαηα ηνπ θάζκαηνο πξέπεη λα απέρνπλ ην πνιχ θαηά 1

N TS

. Πξάγκαηη,

ζηνλ ππφ ζπδήηεζε κεηαζρεκαηηζκφ, ζεσξνχκε N ηζαπέρνληα ζεκεία ζην κνλαδηαίν θχθιν θαη ζε απηά ηα ζεκεία ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή ηνπ θάζκαηνο.

Ο κνλαδηαίνο θχθινο (ε πεξηθέξεηά ηνπ) αληηζηνηρεί ζε θαζκαηηθφ κήθνο fTS

S

1.

Δπνκέλσο ε δηαίξεζή ηνπ ζε N ηζαπέρνληα ζεκεία νδεγεί ζε θαζκαηηθή απφζηαζε

κεηαμχ ησλ δηαδνρηθψλ ζεκείσλ (ή δεηγκάησλ) : S

SN T

1. Παξαηεξνχκε φηη έρνπκε

ζπκθσλία κε ην πξναλαθεξζέλ ζεψξεκα.


ΑΣΚΗΣΗ 124

Γίλεηαη ν κεηαζρεκαηηζκφο Fourier ελφο αηηηαηνχ ζήκαηνο ελέξγεηαο ζπλερνχο ρξφλνπ :

X j f f R( ) ( ) , ,1 2 3 22 .

4. Να εθθξαζηεί ν πξναλαθεξφκελνο κεηαζρεκαηηζκφο Fourier ζαλ άζξνηζκα δχν απινχζηεξσλ κεηαζρεκαηηζκψλ (δειαδή κε παξνλνκαζηέο πξψηνπ βαζκνχ σο πξνο ηε γσληαθή ζπρλφηεηα σ) [ X X X( ) ( ) ( )1 2

].

5. Να πξνζδηνξηζηεί ν αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκφο Fourier

x t XF( ) ( )1 , θαη λα ζρεδηαζηεί ην ζήκα x t( ) .

6. Να πεξηγξαθεί ε κεζνδνινγία πνπ αθνινπζείηαη ζηελ πξάμε πξνθεηκέλνπ λα επηηεπρζεί ε ζπκπίεζε ηνπ αξηζκνχ ησλ γελλεηξηψλ (αξκνληθψλ ηαιαλησηψλ) πνπ απαηηνχληαη γηα ηελ παξαγσγή πεξηνδηθψλ ζεκάησλ. Με πνηφ θξηηήξην πξνζδηνξίδεηαη ε θεηδσιή ηηκή, Μ, ηνπ πιήζνπο ησλ απαηηνχκελσλ γελλεηξηψλ;

ΛΥΣΗ

Xj

f f R( )( )

, ,1

2 322 .

1) 2 3 2 3 2 3 02 2 2j j j j x x x( ) ( )

x x x1 2

2

1 2

3 3 4 2

2

3 1

21 2, ,

2 3 1 22( ) ( ) ( ) ( )j j j j

Xj j

A

j

B

j( )

( ) ( )

1

1 2 1 2

Aj j j

1

2

1

2

1

1 212

Bj j j

1

1 2

1

2 1

1

2 112

Άξα :

Xj j

X X

X X

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

2

1 2

1 2

2) Γλσξίδνπκε φηη :

F e u ta j

aat ( ) ,1

0

Έηζη :

F

F

je t u t

je t u t

x t e t e t u t e t e t u t

1

1

1

1

1

22

2 1

( )

( )

( ) ( ) ( )


t

x t( )

1

e u t x tt

( ) ( )1

t0

-1

e e u t x t

x t x t

t t( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 2

e u t x tt2

2( ) ( )

t 0 2 0 693ln .

3) Απφ ηε ζρεηηθή ζεσξία ησλ ζεηξψλ Fourier γλσξίδνπκε φηη ε ηζρχο ελφο πεξηνδηθνχ ζήκαηνο, βάζεη ησλ ζπληζησζψλ (αξκνληθψλ) ηεο αλάιπζεο Fourier, δίλεηαη απφ ηε ζρέζε:

P AAm

m

0

2

2

1 2 ( P : Μέζε Ηζρχο)

Αληίζηνηρα, αλ πξνζεγγηζηεί ην πεξηνδηθφ ζήκα ρξεζηκνπνηψληαο ηνπο Μ πξψηνπο φξνπο ηεο ζεηξάο Fourier, ηφηε ε ηζρχο ηνπ πξνθχπηνληνο (πεξηνδηθνχ) ζήκαηνο ζα δίλεηαη απφ ηε ζρέζε :

P AA

M

m

m

M

0

2

2

1 2 ( PM : Ηζρχο Μ αξκνληθψλ)

Τν θξηηήξην ηεο ¨θεηδσιήο¨ ηηκήο ηνπ αξηζκνχ Μ (ησλ ρξεζηκνπνηνχκελσλ γελλεηξηψλ) είλαη ην

πνζνζηφ, α, ηεο ζπλνιηθήο ηζρχνο P , πνπ παξακέλεη ζην ζπκπηεζκέλν πεξηνδηθφ ζήκα

ρξεζηκνπνηψληαο Μ ην πιήζνο φξνπο (ηαιαλησηέο). Έηζη έρνπκε ην επφκελν ζρήκα :

0 1 2 3 4 5

P

n

P

aP

...P A0 0

2

P1

P2

P3

P4

P5

P

M

P aP1

P aP

α : Σπληειεζηήο πνζνζηνχ (π.ρ. α=0.95 ή 95%) (Πξαθηηθά 0.9<α<1)

Πξέπεη πξνθαλψο : P a PM . Απφ φιεο ηηο ηηκέο ηνπ αξηζκνχ Μ πνπ ηθαλνπνηνχλ

ηελ πξναλαθεξζείζα ζρέζε επηιέγεηαη ε ειάρηζηε.(Αλαιπηηθή παξνπζίαζε απηνχ ππάξρεη ζην βηβιίν ηεο ζεσξίαο, ζει.117-118).


ΑΣΚΗΣΗ 125

Έλα Γ.Φ.Α. ζχζηεκα δηαθξηηνχ ρξφλνπ πεξηγξάθεηαη απφ ηελ επφκελε αλαδξνκηθή εμίζσζε δηαθνξψλ :

y n y n y n x n( ) ( ) ( ) ( )3

41

1

82 , n Z .

1) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο, H z( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Να

βξεζνχλ θαη λα ζρεδηαζηνχλ ζην επίπεδν-Z ηα κεδεληθά θαη νη πφινη ηνπ ζπζηήκαηνο.

2) Να πξνζδηνξηζηεί ε απφθξηζε ζπρλφηεηαο, H( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο. Να

πξνζδηνξηζηνχλ κε ηε γεσκεηξηθή κέζνδν ζην επίπεδν-Z νη αθξηβείο ηηκέο

ηεο απφθξηζεο πιάηνπο, M H( ) | ( )| , ζηηο ζέζεηο 02

, θαη . Να

ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά ε απφθξηζε πιάηνπο ηνπ ζπζηήκαηνο γηα [ , )0 .

Πψο ραξαθηεξίδεηαη ην ζχζηεκα απφ πιεπξάο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ;

3) Να πξνζδηνξηζηεί ε απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο

θαη λα ραξαθηεξηζηεί ην ζχζηεκα απφ πιεπξάο δηάξθεηάο ηεο.

4) Να πξνζδηνξηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά ε έμνδνο, y n( ) , ηνπ

ζπζηήκαηνο, κε ρξήζε ηνπ ζπλειηθηηθνχ αζξνίζκαηνο, αλ ε είζνδνο είλαη :

x n u nn( ) ( ) ( )1

2.

5) Να πξνζδηνξηζηεί ε έμνδνο ελφο Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηνο δηαθξηηνχ ρξφλνπ, πνπ ραξαθηεξίδεηαη απφ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο h n( ) , αλ ε είζνδνο

ηνπ είλαη ηεο κνξθήο x n zn( ) ( z r e j ),( Cz ).

Υπάξρεη κεηαηφπηζε ηεο ζπρλφηεηαο ηνπ ζήκαηνο εμφδνπ, y n( ) , ζε ζρέζε

κε ηε ζπρλφηεηα ηνπ ζήκαηνο εηζφδνπ, x n( ) ; Πψο ραξαθηεξίδνληαη ηα

ζήκαηα ηεο κνξθήο x n zn( ) γηα ηα Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηα δηαθξηηνχ ρξφλνπ;

Υπελζπκίδνπκε φηη Z a u nz

z az an ( ) , | | | | .

ΛΥΣΗ 1) Δθαξκφδνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκφ Z ζηε δνζείζα ζρέζε :

Y z z Y z z Y z X z( ) ( ) ( ) ( )3

4

1

8

1 2 Y z z z X z( )[ ] ( )13

4

1

8

1 2

H zY z

X zz z

z

z z

( )( )

( )

1

13

4

1

8

3

4

1

8

1 2

2

2

(Υπνζέζακε φηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη κεδεληθέο). Τα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη νη ξίδεο ηνπ αξηζκεηή ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο :

z2

1 20 0, .

Οη πφινη είλαη νη ξίδεο ηνπ παξνλνκαζηή ηεο H z( ) :


z z2

1 2

2

1 2

3

4

1

80

3

4

3

44

1

8

2

3

4

9

16

8

16

2

3

4

1

16

2

3

4

1

4

2

,

,

( )

Άξα : 1

1

2 θαη 2

1

4.

Σηε ζπλέρεηα, ζρεδηάδνπκε ηα κεδεληθά θαη ηνπο πφινπο ηνπ ζπζηήκαηνο ζην επίπεδν Z :

2) Ζ απφθξηζε ζπρλφηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο ππνινγίδεηαη θαηά ηα γλσζηά :

H H zz e j( ) ( )| H

e

e e

j

j j

( )

( )( )

2

1

2

1

4

.

Με ρξήζε ηεο γεσκεηξηθήο κεζφδνπ πξνζδηνξηζκνχ ησλ ηηκψλ ηεο απφθξηζεο ζπρλφηεηαο ζα έρνπκε αλαιπηηθά :

α) 0 11 0

0z e ej | θαη | ( )| ,H 0

1 1

1

2

3

4

1

3

8

8

32 67

Άξα : M( ) ,670 2 .

β) jeezj

j 2

2

2 |2

r12 21

1

21

1

4

5

2( ) θαη r2

2 211

41

1

16

17

4( )


| ( )| ,H2

1 1

5

2

17

4

1

85

8

8

850 87

Άξα : M( ) ,2

0 87 .

γ) z e ej j

1 1| θαη | ( )| ,H1 1

3

2

5

4

1

15

8

8

150 53

Άξα : M( ) ,0 53 .

M H( ) | ( )|

0 / 2

1

2

32,67

0,870,53 ffs / 2fs / 4

M( )0

M( )2 M ( )

Πξνθαλψο έρνπκε έλα βαζππεξαηφ (Low Pass) ζχζηεκα. 3) Γηα λα βξνχκε ηελ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, εθαξκφδνπκε αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκφ Z ζε θαηάιιειε κνξθή ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο :

H zz

z z

H z

z

z

z z

A

z

B

z

( )

( )( )

( )

( )( )

2

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

.


Δπνκέλσο έρνπκε :

Az

z

Bz

z

H zz

z

z

z

z

z

1

4

1

21

2

1

4

1

21

4

2

1

2

1

41

4

1

2

1

41

4

1

21

2

1

4

1

2

1

4

|

|

( ) .

Τφηε :

h n Z H z Zz

z

Zz

z

u n u n

h n u n

n n

n n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [( ) ( ) ] ( )

1 1 1

1 2

21

2

1

4

21

2

1

4

1

2

1

2

(Β' ηξφπνο : Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο γξάθεηαη :

H zz

z

z

z

H z H z( ) ( ) ( )1

2

1

4

1 2 .

Γηα θάζε κία απφ ηηο ζπλαξηήζεηο βξίζθνπκε ηνλ αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκφ Z :

h n Z H z u nn

1

1

1

1

2( ) ( ) ( ) ( ) θαη h n Z H z u nn

2

1

2

1

4( ) ( ) ( ) ( ) .

Άξα :

h n h n h n

h n u n u n

k n k n

k

n

k k

k

n

n k

k

n

n

n

n n n n

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( )

1 20

2

0

2

0

2

1

2 1 1 2

1

2

1

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 1

2 1

1

22 1

1

2

1

2

Τν ζχζηεκα ραξαθηεξίδεηαη απφ απφθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο άπεηξεο δηάξθεηαο (IIR).

h n( )

h n h n h n( ) ( ) ( )1 2

n

1

-1

h n u nn

1

11

2( ) ( ) ( )

h n u nn

2

21

2( ) ( ) ( )

2

...


4) Ζ έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ππνινγίδεηαη ζχκθσλα κε ηνπο θαλφλεο ηνπ ζπλειηθηηθνχ αζξνίζκαηνο σο εμήο :

Αλ x n u nn( ) ( ) ( )1

2 ηφηε

y n h n x n( ) ( )* ( )

12

1

1)2

1(

)2

1()1(2)

2

1()

2

1()

2

1()

2

1()

2

1()(

)2

1()

2

1()

2

1()

2

1()

2

1(])

2

1()

2

1[()(

1

00

1

0

2

0

1

0

)()(

21

n

nnn

k

knn

k

n

n

k

knkn

k

knkn

k

knx

kn

kh

kk

nny

ny

y n n n

y n n n

n n n n n

n n n n

( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) [ ( ) ]

( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( )

1

21

1

2

1

21

1

21

1

21

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1 1 1

1 1 1 2

Άξα : y n n u nn n( ) [ ( ) ( ) ] ( )1

2

1

2

1 2.

n 0 1 2 3 4 5 ...

...

...

...

n n( )1

2

1

( )1

2

2n

y n( )

0

1

1 1

1

4

5

41 25,

11

17

161 06,

49

640 77,

129

2560 5,

321

10240 31,

1

16

3

41

64

1

21

256

1

1024

5

16

y n( )

n

0,5

1

...

1,25

1 2 3 4 50

1,06

0,77

0,5

0,31


5)

h n( )x n( ) y n( )

Γ.Υ.Α.

Όκνηα κε ην πξνεγνχκελν εξψηεκα, γηα ηελ είζνδν απηή ζα έρνπκε :

x n z r e y n h n x n h k z z h k zn n j n

x n z

n k

k

n k

k

n( ) ( ) ( ) ( )* ( )| ( ) ( )( )

θαη ηειηθά : y n z H zn( ) ( ) .

Παξαηεξνχκε φηη ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ην ίδην ζήκα εηζφδνπ, zn, ηξνπνπνηεκέλν

θαηά ηνλ παξάγνληα H z( ) (ζπλάξηεζε κεηαθνξάο).

Αιιά : H z H z e j H z( ) | ( )| ( ) φπνπ | ( )|H z ην πιάηνο ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο θαη H z( )

ε θάζε ηεο.

Έηζη ηειηθά ην ζήκα εμφδνπ, y n( ) , ζα γξάθεηαη :

y n z H z r e H z e H z r en n j n j H z n j n H z( ) ( ) | ( )| | ( )|( ) ( ( ))

φπνπ ην πιάηνο ηξνπνπνηείηαη θαηά ηελ πνζφηεηα | ( )|H z θαη ε θάζε θαηά H z( ) .

Πξνθαλψο δελ ππάξρεη νπδεκία κεηαηφπηζε ηεο ζπρλφηεηαο ηνπ ζήκαηνο εμφδνπ ζε ζρέζε κε ηε ζπρλφηεηα ηνπ ζήκαηνο εηζφδνπ. (Μφλν ηξνπνπνίεζε πιάηνπο θαη θάζεο έρνπκε). Απηφ βέβαηα είλαη βαζηθφ ραξαθηεξηζηηθφ ησλ Γ.Φ.Α. ζπζηεκάησλ (είηε ζπλερνχο, είηε δηαθξηηνχ ρξφλνπ). Μφλν κε κε γξακκηθέο ελέξγεηεο (π.ρ. πνιιαπιαζηαζκφ) κπνξνχκε λα επηθέξνπκε κεηαηφπηζε ζηε ζπρλφηεηα ηνπ ζήκαηνο.

Τα ζήκαηα ηεο κνξθήο x n zn( ) ραξαθηεξίδνληαη ζαλ "ηδηνζπλαξηήζεηο" (ή "ηδηνζήκαηα")

ησλ Γ.Φ.Α. ζπζηεκάησλ, κε αληίζηνηρεο ηδηνηηκέο ηηο εθθξάζεηο H z( ) (ζπλάξηεζε

κεηαθνξάο). Γηα ηα Γ.Φ.Α. ζπζηήκαηα ζπλερνχο ρξφλνπ νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπο είλαη ηα

ζήκαηα x t est( ) , κε αληίζηνηρεο ηδηνηηκέο ηηο εθθξάζεηο H s( ) (Σπλάξηεζε Μεηαθνξάο).


ΑΣΚΗΣΗ 126

Μηα ηξάπεδα πξνηείλεη ην αθόινπζν απνηακηεπηηθό-ζπληαμηνδνηηθό πξόγξακκα ¨Με ζηαζεξέο Α δξρ. γηα δηάζηεκα Μ κελώλ, ρσξίο ελδηάκεζεο αλαιήςεηο, εμαζθαιίδεηαη ζηε ζπλέρεηα ζηαζεξή κεληαία ζύληαμε Α δξρ. Γηα όιν ην ππόινηπν δηάζηεκα ηεο δσήο ζαο.¨ (πλήζσο M 180 ). Σν κεληαίν επηηόθην είλαη ε%, θαη ζεσξείηαη ζηαζεξό γηα όιν ην δηάζηεκα ηνπ πξνγξάκκαηνο (ππνηίζεηαη κεδεληθόο πιεζσξηζκόο). 1. Θεσξώληαο ζαλ είζνδν ηα πνζά ησλ θαηαζέζεσλ θαη αλαιήςεηο θαη ζαλ

έμνδν ην ππόινηπν ηνπ ινγαξηαζκνύ ακέζσο κεηά ηελ λ-νζηή θαηάζεζε ή αλάιεςε λα ζρεκαηίζεηε ηελ ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ (εμίζσζε δηαθνξώλ) ηνπ νηθνλνκηθνύ ζπζηήκαηνο. Δπίζεο δώζαηε ηελ δηαγξακκαηηθή παξάζηαζε ηνπ. Πνηά είλαη ε καζεκαηηθή έθθξαζε γηα ην ζήκα εηζόδνπ

)(nx ;

2. Να ππνινγηζηεί ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο κε κεζνδνινγία ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ n (ζπλειηθηηθό άζξνηζκα).

3. Δπηβεβαηώζηε ηελ νξζόηεηα ηνπ απνηειέζκαηνο ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο κε κεζνδνινγία ζην πεδίν ηεο γεληθεπκέλεο ζπρλόηεηαο (πεδίν z).

4. Πώο ραξαθηεξίδεηαη ην ζύζηεκα απηό από πιεπξάο επζηάζεηαο; Αλαθέξαηε ηελ ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε πνπ πξέπεη λα ηζρύεη, ηόζν ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, n, όζν θαη ζην πεδίν ηεο γεληθεπκέλεο ζπρλόηεηαο, z, γηα λα είλαη έλα ζύζηεκα επζηαζέο θαηά ηελ έλλνηα θξαγκέλε εηζόδνο-θξαγκέλε εμόδνο (BIBO). Έρεη θαηά ηελ γλώκε ζαο λόεκα, γηα ην πξναλαθεξζέλ νηθνλνκηθό ζύζηεκα, λα ππάξμεη ηξνπνπνίεζή ηνπ ώζηε ν πόινο ηνπ λα ηνπνζεηεζεί εληόο ηνπ κνλαδηαίνπ θύθινπ;

ΛΥΣΗ 1) Πξνθαλώο, ε εμίζσζε δηαθνξώλ ηνπ νηθνλνκηθνύ ζπζηήκαηνο (θαη ζε αληηζηνηρία κε

παξόκνην ζέκα ιπκέλν ζηηο αζθήζεηο) ζα έρεη ηελ εμήο κνξθή :

y n x n y n y n x n y n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 ,

όπνπ : ε: κεληαίν επηηόθην

x n( ) : Πνζά θαηαζέζεσλ ή αλαιήςεσλ (κεηά ην δηάζηεκα ησλ Μ κελώλ)

y n( ) : Τπόινηπν ινγαξηαζκνύ κεηά ηελ λ-νζηή θαηάζεζε ή αλάιεςε

Γηα ηελ είζνδν, x n( ) , ζα ηζρύεη :

x n A u n u n M A u n M( ) ( ) ( ) ( )

ηαζεξέο θαηαζέζεηο Α δξρ. ηαζεξέο κεληαίεο αλαιήςεηο Γηα δηάζηεκα Μ-κελώλ. κεηά ην δηάζηεκα Μ-κελώλ.

x n A u n A u n M( ) ( ) ( )2


2)

x n( )

z1

++y n( )

1

+

+

y n( )1

)(*)()( nhnxny , όπνπ : )1()1()()()(

)()( nhnnnx

nynh

Άξα :

h n u nn( ) , ( ), ( ) , ( ) ,.... ( ) ( )1 1 1 1 12 3

k0

x k( )Α

1-1-2-3 2 M-1

M

-Α

h k( )

k0 1-1-2-3 2

...

( )1k

k0 1-1-2-3 2

( )1k

h k( )

Πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε ην ζπλειηθηηθό άζξνηζκα ζα έρνπκε ηηο εμήο θάζεηο :

Φάζε 1ε : 0 1n M

H

L

N

Nk

knhkxnhnxny )()()(*)()( , όπνπ N L 0 , N nH .

Άξα :

y n x k h n k A AAk

n

n k

k

n

n k

k

n

n k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )10 0 0

1 1 1

A An k

k

nn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1 1 1 1 1 1 1

0

1 2

A A n M

n n( ) ( )

( )

( ),

1 1

1 1

1 10 1

1

1

1


Φάζε 2ε : n M

n

Mk

knM

k

knn

Mk A

M

k A

AAknhkxknhkxnyknkn

)1()1()()()()()(1

0)1(

1

0)1(

A An k

k

M

k

k M

n

n

M n M

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 10

1

1

1

1

A An

M n n M n

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )1

2 1 1 1

1 1

2 1 1 11

1

1

,

n M εκείσζε : Τπελζπκίδνπκε όηη ην άζξνηζκα γεσκεηξηθήο πξνόδνπ κε πξώην όξν ηνλ α,

ηειεπηαίν όξν ηνπ η θαη ιόγν ηνπ σ, δίδεηαη από ηελ ζρέζε :. .

a

1

(Υξήζε απηνύ ηνπ ηύπνπ έρεη γίλεη ζηα πξνεγνύκελα, πξνθεηκέλνπ λα ππνινγηζζνύλ ηα ζπλειηθηηθά αζξνίζκαηα.)

3) Z

nynxny )1()1()()( {Α..=0}

Y z X z z Y z Y z z X z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1

H zY z

X z z

z

z( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1 11

X z x n A u n A u n M Az

zA z

z

zZ Z M( ) ( ) ( ) ( )2

12

1

Άξα :

Y z H z X zz

zA

z

zA z

z

z

H z

M

X z

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 12

1

)(

22

)1(121

)(

)1(12

)1(1)(

zW

M

M

zz

zzA

z

zY

zz

zzA

zz

zAzY

W zz z

( )( )1 1

W z zz

z

z z( ) ( )1

1 1 1

1

W z zz

z

z z( )

( )1

1 1 1

1 1

Άξα :

W zz z

( )( )

1 1

1

1 1

1


Y z A z z W z A zz

z

z

zM M

z W z

( ) ( )( )

( )

1 2 1 21

1

1

1

Y z Az

z

z

zA z

z

z

z

z

z W z

M

z W z

( )( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

12

1

1

1

1

y n Y zZ( ) ( )1

y n Az

z

z

zA z

z

z

z

zZ Z M( )

( ) ( )

1 11

1

1

12

1

1

1

1

)(1

)1(1

2)(1

)1(1

)( MnuMnAnunAny

Πξάγκαηη :

Γηα 0 1n M ππάξρεη κόλν ν πξώηνο όξνο ηνπ αζξνίζκαηνο γηα ην y n( ) , δειαδή :

y n A

n

( )( )1 11

, πνπ ζπκθσλεί απόιπηα κε ην αληίζηνηρν απνηέιεζκα πνπ

ππνινγίζακε κε ρξήζε ηνπ ζπλειηθηηθνύ αζξνίζκαηνο. (Φάζε 1ε)

Γηα Mn ππάξρνπλ θαη νη δύν όξνη ηνπ αζξνίζκαηνο γηα ην y n( ) , νπόηε έρνπκε :

y n A A A

n n M n n M

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

21 1 1 1 2 11 1 1 1

, πνπ

ζπκθσλεί νκνίσο κε ην αληίζηνηρν απνηέιεζκα πνπ ππνινγίζακε κέζσ ηνπ ζπλειηθηηθνύ αζξνίζκαηνο. (Φάζε 2ε)

4) H zz

z( )

( )1 Πόινο : z 1 1

ην ζύζηεκα είλαη πξνθαλώο αζηαζέο, θαηά ηελ έλλνηα ¨ΒΗΒΟ¨ γηαηί έρεη ηνλ πόιν ηνπ ¨έμσ¨ από ηνλ κνλαδηαίν θύθιν. Οη ηθαλέο θαη αλαγθαίεο ζπλζήθεο γαη λα έρνπκε επζηάζεηα θαηά ηελ έλλνηα ¨ΒΗΒΟ¨ ηόζν ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ (n) όζν θαη ζην πεδίν ηεο γεληθεπκέλεο ζπρλόηεηαο (z) έρνπλ σο εμήο :

1. Πεδίν ηνπ ρξόλνπ : h kk

( )

2. Πεδίν ηεο γεληθεπκέλεο ζπρλόηεηαο : zmax

1. Γειαδή όινη νη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο

βξίζθνληαη εληόο ηνπ κναλδηαίνπ θύθινπ.


ην ππό εμέηαζε ζύζηεκα ν πόινο είλαη z 1 0( ) . Γηα λα ηνπνζεηεζεί ν πόινο

εληόο ηνπ κνλαδηαίνπ θύθινπ πξέπεη ε<0. Απηό όκσο ζεκαίλεη αξλεηηθό κεληαίν επηηόθην, πνπ δελ έρεη θαλέλα λόεκα γηα ηέηνηα νηθνλνκηθά ζπζηήκαηα (πζηήκαηα Απνηακίεπζεο).


ΑΣΚΗΣΗ 127

Τπνζέηνπκε ην ζεσξεηηθό κνληέιν ηεο δεηγκαηνιεςίαο, κε ρξήζε πεξηνδηθήο

θξνπζηηθήο παικνζεηξάο (Impulse Train) κε πεξίνδν T BS 1 2/

ζην ξόιν ηνπ δεηγκαηνιήπηε, ζύκθσλα κε ην επόκελν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα

x t x t s tS ( ) ( ) ( )

t

x t( )

x tS( )x t( )

ts t( )

......

t| |1

2B

s t tn

Bn

( ) ( )2

όπνπ : s t t n Bn

( ) ( [ / ])2 θαη x t x t s t x n B t n BS

n

( ) ( ) ( ) ( / ) ( [ / ])2 2 .

α) Αλ ην ζήκα εηζόδνπ, x t( ) , έρεη ην πξαγκαηηθό κέξνο, X fR ( ) , θαη ην

θαληαζηηθό κέξνο, X fI( ) , ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ηνπ θαηά Fourier (δειαδή

X f X f jX fR I( ) ( ) ( ) ζύκθσλα κε ην επόκελν ζρήκα, λα ζρεδηαζηεί ην

πξαγκαηηθό θαη ην θαληαζηηθό κέξνο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier, X fS( ) ,

ηνπ ζήκαηνο x tS( ) ζηελ έμνδν ηνπ δεηγκαηνιήπηε.

X fR ( )

t0

1

2B

2B2B


X fI ( )

t0

sin( )f

B2

2B

2B

[εκείσζε : Τπελζπκίδνπκε όηη ζύκθσλα κε ηε ζρεηηθή ζεσξία, ε δεηγκαηνιεςία ελόο ζήκαηνο ζην ρξόλν κε πεξίνδν δεηγκαηνιεςίαο TS

νδεγεί ζε πεξηνδηθή επέθηαζε ηνπ θάζκαηόο ηνπ, ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο, κε πεξίνδν f TS S1/ .]

β) Πνηά είλαη θαηά ηε γλώκε ζαο ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο x tS( ) ;

γ) Θεσξνύκε ηα ζήκαηα x t1( ) θαη x t2( ) , θαζκαηηθώο πεξηνξηζκέλα κε

αλώηεξεο θαζκαηηθέο ζπληζηώζεο ηα 100Hz θαη 200Hz αληίζηνηρα (δει. X f1 0( ) γηα | |f 100 θαη X f2 0( ) γηα | |f 200 . Πνηά πξέπεη λα είλαη ε

κέγηζηε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο, TS, ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα ηνπ

C.Shannon, αλ ζηελ είζνδν ηνπ ζπζηήκαηνο δεηγκαηνιεςίαο ζέζνπκε ηα εμήο ζήκαηα :

1) x t1( )

2) x t1 10( )

3) x t x t1 2( ) ( )

4) x t x t1 2( )* ( )

5) x t x t1 2( ) ( )

δ) ε πνηά ζεκεία δηαθνξνπνηείηαη από ην ζεσξεηηθό κνληέιν, ηόζν από πιεπξάο ζεκάησλ όζν θαη ζπζηεκάησλ, θαηά ηε γλώκε ζαο, έλα πξαγκαηηθό ζύζηεκα δεηγκαηνιεςίαο θαη αλαθαηαζθεπήο ζεκάησλ;

ΛΥΣΗ α) Από ηε ζρεηηθή ζεσξία πεξί δεηγκαηνιεςίαο γλσξίδνπκε όηη :

Αλ x t x t s tS( ) ( ) ( ) ηόηε Xs(f) = F x t F x t F s tS( ) ( ) * ( )

όπνπ F s t S f F tn

BB f n B

n n

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

(γηαηί : n SSn

ST

nfT

TntF )1

(1

)( από γλσζηή ηδηόηεηα ησλ

ζπλαξηήζεσλ δέιηα).


Σειηθά θαηαιήγνπκε ζηελ αθόινπζε ζρέζε γηα ηελ έμνδν ηνπ δεηγκαηνιήπηε ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο (όπνπ X(f) = f {x(t)} ) :

X f X f B f n B B X f n BS

n n

( ) ( )*[ ( )] ( )2 2 2 2

(εθαξκόδνπκε ηελ ηδηόηεηα X f f n f X f n f( )* ( ) ( )0 0,

δειαδή ην "θξνπζηηθό ζήκα", ( )f , είλαη ην ηαπηνηηθό αηνηρείν ηεο ζπλέιημεο).

Δπεηδή έρνπκε :

X f X f j X f X f jX fS S S

R

S

I

S( ) Re ( ) Im ( ) ( ) ( ) ,

κπνξνύκε λα γξάςνπκε :

X f B X f n BR

S

Rn

( ) ( )2 2 θαη X f B X f n BI

S

In

( ) ( )2 2 .

Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ X fR

S ( ) θαη X fI

S ( ) θαίλνληαη ζηε ζπλέρεηα :

X fR

S ( )

t0

1

2B2B

11

2Bf

1

2Bf

4B4B

Αρχικό ΦάσμαΦασματικές

επαναλήψεις

X fI

S ( )

t0

sin( )f

B2

2B

2B

4 B4 B

Αξρηθό Φάζκα

Φαζκαηηθέο

επαλαιήςεηο

Από ηηο πξνεγνύκελεο γξαθηθέο παξαζηάζεηο είλαη θαλεξό όηη :

X fR

S ( ) 1 θαη X fI

S( ) 0 .

(Πξάγκαηη, γηα ην πξαγκαηηθό κέξνο, αλ πεξηνξηζηνύκε ζε έλα δηάζηεκα, π.ρ. ην [ , ]0 2B ζα

έρνπκε :

X fB

fB

fR

S ( ) ( )11

2

1

21 .


Αληίζηνηρα, γηα ην θαληαζηηθό κέξνο, ζην ίδην δηάζηεκα, ζα ηζρύεη :

X ff

B

f

BI

S( ) sin sin2 2

0 .

Όκνηα απνδεηθλύνληαη ηα ίδηα απνηειέζκαηα θαη γηα ηα ππόινηπα δηαζηήκαηα.)

Δπνκέλσο : X f X f jX f j X fS

R

S

I

S S( ) ( ) ( ) ( )1 0 1.

β) Από ηε ζεκαηηθή ελόηεηα ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier ζεκάησλ πνπ παξαβηάδνπλ ηηο

ζπλζήθεο Dirichlet, γλσξίδνπκε :

F t x t F X f tS S( ) ( ) ( ) ( )1 1.

Άξα, ζηελ έμνδν ηνπ δεηγκαηνιήπηε, ζα έρνπκε ην θξνπζηηθό ζήκα ( )t .

γ) Από ηε ζεσξία ηεο δεηγκαηνιεςίαο (ζεώξεκα C.Shannon) είλαη γλσζηό όηη :

TBS

1

2,

όπνπ B : ε αλώηεξε (κε κεδεληθή) θαζκαηηθή ζπληζηώζα ηνπ ππό δεηγκαηνιεςία ζήκαηνο. Δπνκέλσο πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε, γηα θάζε κία από ηηο πέληε πεξηπηώζεηο ζεκάησλ

εηζόδνπ, ηελ αλώηεξε θαζκαηηθή ζπληζηώζα, B .

1) Γηα ην x t1( ) βξίζθνπκε όηη : sec200

1

2

1sec100

,1

1

,

1

,1

MAX

MAXSMAXf

Tf

ή T mS MAX, sec1 5 .

2) Γηα ην θάζκα ηνπ ζήκαηνο x t1 10( ) , μέξνπκε όηη ηζρύεη :

x t X f x t XfF F

1 1 1 1101

10 10( ) ( ) ( ) ( ) .

Δπνκέλσο έρνπκε :

sec2000

1

2

1sec100010

,2

2

,

1

,1,2

MAX

MAXSMAXMAXf

Tff

ή T mS MAX, , sec2 0 5 .

3) Γηα ην ζήκα x t x t1 2( ) ( ) , εύθνια βξίζθνπκε όηη ε κέγηζηε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο

ζα ηζνύηαη κε :

HzHzHzfff MAXMAXMAX 200200,100max,max ,2,1,3 .

Άξα ε πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο ζα είλαη :

sec5,2sec400

1

2

1

,3

3

, mf

TMAX

MAXS T mS MAX, , sec3 2 5 .

4) Γηα ην ζήκα x t x t1 2( )* ( ) γξάθνπκε :

)f(X)f(X)t(x*)t(x 21

F

21 .

Άξα γηα ηε κέγηζηε ζπρλόηεηα έρνπκε :

HzHzHzfff MAXMAXMAX 100200,100min,min ,2,1,4 θαη αληίζηνηρα γηα ηελ

πεξίνδν : sec5sec200

1

2

1

,4

4

, mf

TMAX

MAXS T mS MAX, sec4 5 .

5) Σέινο, ε πεξίπησζε απηή ζα κπνξνύζε λα ραξαθηεξηζηεί δπτθή ηεο πεξίπησζεο (4) :

x t x t X f X fF

1 2 1 2( ) ( ) ( )* ( ) .


Δπνκέλσο :

HzHzHzffff

f MAXMAX

MAXMAX

MAX 3002001002

22,2,1

,2,1

,5

θαη sec67,1sec600

1

2

1

,5

5

, mf

TMAX

MAXS T mS MAX, , sec5 167 .

εκείσζε : Από ηε ζρεηηθή ζεσξία ηεο ζπλέιημεο (αλαινγηθώλ ζεκάησλ) γλσξίδνπκε όηη ε δηάξθεηα ηεο ζπλέιημεο είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ησλ δηαξθεηώλ ησλ δύν ππό ζπλέιημε ζεκάησλ. Δδώ ηα

ππό ζπλέιημε ζήκαηα, X f X f1 2( ), ( ) αληίζηνηρα, έρνπλ δηάξθεηα (δηπιεπξηθό εύξνο

δώλεο) 2 1f MAX, θαη 2 2f MAX, . Άξα ην απνηέιεζκα ηεο ζπλέιημήο ηνπο ζα έρεη (δηπιεπξηθό)

εύξνο δώλεο 2 1 2( ), ,f fMAX MAX . Οπόηε, ε αλώηεξε ζπρλόηεηα ζα είλαη ην κηζό απηνύ ηνπ

εύξνπο f fMAX MAX1 2, , .

δ) Σα θύξηα ζεκεία ζηα νπνία ππάξρεη δηαθνξνπνίεζε κεηαμύ ηνπ ζεσξεηηθνύ κνληέινπ

δεηγκαηνιεςίαο θαη αλαθαηαζθεπήο ζεκάησλ θαη ελόο πξαγκαηηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη ηα εμήο : i) To ζήκα εηζόδνπ ππνηίζεηαη θαζκαηηθά πεξηνξηζκέλν

( | ( )| , | |X f f B0 ). Απηό όκσο ζπλεπάγεηαη όηη ην ζήκα, x t( ) , πξέπεη λα έρεη άπεηξε

δηάξθεηα. (Από ηε ζεσξία ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier γλσξίδνπκε όηη είλαη αδύλαην λα έρνπκε πεξηνξηζκό ηνπ ζήκαηνο ηαπηόρξνλα ζην ρξόλν θαη ζηε ζπρλόηεηα. Αλ ππάξμεη πεξηνξηζκόο ζην έλα πεδίν ηόηε ε δηάξθεηα ζην άιιν γίλεηαη άπεηξε.) ηελ πξάμε όκσο, όια ηα ζήκαηα είλαη πεπεξαζκέλεο ρξνληθήο δηάξθεηαο. Δπνκέλσο, ην θαζκαηηθό ηνπο πεξηερόκελν εθηείλεηαη (ζεσξεηηθά) κέρξη ην άπεηξν. Γηα ηνλ ιόγν απηό ρξεζηκνπνηνύκε ην αληηαλαδηπισηηθό (antialiasing) θίιηξν ζηελ είζνδν. ii) H θξνπζηηθή παικνζεηξά (Impulse Train) πνπ xξεζηκνπνηνύκε γηα ηε δεηγκαηνιεςία είλαη καζεκαηηθό επηλόεκα. ηελ πξάμε νη παικνί δεηγκαηνιεςίαο έρνπλ κηθξό κελ, αιιά

κε κεδεληθό, εύξνο ( )d

T.

iii) Σν θίιηξν αλαθαηαζθεπήο, πνπ ζην ζεσξεηηθό κνληέιν ππνηίζεηαη ηδαληθό (βαζππεξαηό) δελ είλαη δπλαηό λα θαηαζθεπαζηεί. ηελ πξάμε αληηθαζίζηαηαη από πξαγκαηηθό βαζππεξαηό θίιηξν, κε ηζρπξή εμαζζέλεζε (απόζβεζε) ζηελ πεξηνρή απνθνπήο

( | |ffS

2).


ΑΣΚΗΣΗ 128

Θεσξνύκε ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ x n a u n an( ) ( ), 0 1.

1. Να πξνζδηνξηζηεί ν Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Γηαθξηηνύ Υξόλνπ (ΜΦΓΥ), X ( ) , ηνπ πξνεγνύκελνπ ζήκαηνο θαη λα ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά ην θάζκα

πιάηνπο, X ( ) , γηα 0, .

2. Τπνζέηνπκε όηη παξεκβάιινπκε Ν-1 κεδεληθά N 1 κεηαμύ ησλ

δηαδνρηθώλ δεηγκάησλ ηνπ πξνεγνύκελνπ ζήκαηνο (δειαδή δεκηνπξγνύκε ην ζήκα y n x n N( ) ( ) . Να πξνζδηνξηζηεί ν ΜΦΓΥ, Y( ) , ηνπ ζήκαηνο

y n( ) . Πνηά ζρέζε ζπλδέεη ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο X ( ) θαη Y( ) κεηαμύ

ηνπο; Πνηά είλαη ε πεξίνδνο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Y( ) ;

5. Πόζν είλαη, γεληθά, ην κήθνο ηεο βαζηθήο πεξηόδνπ ηνπ ΜΦΓΥ ελόο ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ σο πξνο ηε ζρεηηθή γσληαθή ζύρλνηεηα Ω

rad sample , σο πξνο ηελ ζρεηηθή ζπρλόηεηα F cycles sample θαη σο

πξνο ηε θπζηθή ζπρλόηεηα f ( cycles sample ή Hz), αληίζηνηρα;

ΛΤΖ

x n a u n an( ) ( ), 0 1

1)

n

x n( )

1a u nn ( )

...

0 1 2 3 4

2) X x n x nz e

X zz e

F F j j( ) ( ) ( ) ( ). .

X z a u nz

z aF n( ) ( ) X

z

z a z eX

e

e aj

j

j( ) ( )


| ( )|X

/ 2 3 2/0 2

1

1 a

1

1 a

1

1 2a

Οη ηηκέο ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηαο (πιάηνπο) X ( ) , ππνινγίδνληαο κε ρξήζε ηεο

γεσκεηξηθήο κεζόδνπ ζην επίπεδν z. Έηζη έρνπκε :

00

10 1

z e X X zz

j ( ) ( )

0Ω)Ω(X

a1

1

1zaz

z

1z)z(X

2

2 2

z e j X X zz j

j ( ) ( )

X zz j

j

j a aX( ) ( )

1

1 22

z e X X zz

j 11

( ) ( )

X zz a a

X( ) ( )1

1

1

1

1

2) ,...0,0,a,...,0,0,a,0,...,0,0,1)Nn(x)n(yN2n

2

Nnάκεδελη θ1N

0n

n

y n xn

N( ) ( )

1

0 1 2 3 4 N-1 N N+1 2N

N-1 κεδεληθά

aa 2


Πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier Γηαθξηηνύ Υξόλνπ, Y( ) ,

πξνζδηνξίδνπκε αξρηθά ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Ε, Y z( ) :

Y z y n y n z z a z a za z

z

z aZ n

n

N N

N

N

N( ) ( ) ( ) ...0

0 2 211

1

(Έρνπκε γεσκεηξηθή πξόνδν απείξσλ όξσλ κε πξώην όξν, α, ηελ κνλάδα θαη ιόγν, σ, ην

a z N. Σν άζξνηζκά ηεο είλαη, όπσο γλσξίδνπκε :

. .

a

1, 1zaσ N ).

Άξα :

Y Y zz e

e

e aX Nj

jN

jN( ) ( ) ( )

Δπνκέλσο θαηαιήμακε ζηελ ζρέζε :

x n X x n N X NF F

y n Y

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Από ηε ζεσξία ησλ πεξηνδηθώλ ζεκάησλ γλσξίδνπκε όηη ην αλ ην ζήκα x t( ) έρεη πεξίνδν Σ,

ηόηε ην ζήκα x Nt N( ), 2 , έρεη πεξίνδν T N . Σν ζήκα X ( ) έρεη πεξίνδν 2π. Οπόηε

ην ζήκα X N Y( ) ( ) ζα έρεη πεξίνδν 2

N.

0N

2

N

3

N

4

N

1

1 a

1

1 a

3) Όπσο αλαθέξζεθε θαη πξνεγνπκέλσο, ην κήθνο ηεο βαζηθήο πεξηόδνπ ζηνλ ΜΦΓΥ ελόο ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ, είλαη 2π. Πξάγκαηη :

X x n x n eF j n

n

( ) ( ) ( ). .

)Ω(Xe)n(xee)n(xe)n(x)π2Ω(Xn

nΩj

n 1

nπ2jnΩj

n

n)π2Ω(j

Δπίζεο γλσξίδνπκε όηη : 2 F . Δπνκέλσο :

0 2 0 2 2 0 1F F

Άξα ην κήθνο ηεο βαζηθήο πεξηόδνπ ηνπ ΜΦΓΥ σο πξνο ηελ ζρεηηθή ζπρλόηεηα F είλαη έλα.

Δπίζεο ηζρύεη όηη : Ff

f s

. Άξα : 0 1 0 1 0Ff

ff f

s

s

Δπνκέλσο ην κήθνο ηεο βαζηθήο πεξηόδνπ ηνπ ΜΦΓΥ σο πξνο ηε θπζηθή ζπρλόηεηα f είλαη

f s (: ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο).


ΑΣΚΗΣΗ 129

Γίλεηαη ε επόκελε ζπλδεζκνινγία δύν Γ.Υ.Α. ζπζηεκάησλ :

y n( )h n1( )

x n( )h n2( )+ +

-2

1) Να πξνζδηνξηζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ ζύλζεηνπ

ζπζηήκαηνο (ζαλ ζπλάξηεζε ησλ h n1 ( ) θαη h n2( ) ).

2) Αλ h n a u nn

1( ) ( ) θαη h n a u n u nn

2 2( ) ( ) [ ( ) ( )], 0 1a , λα

ππνινγηζηεί ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) . Πώο ραξαθηεξίδνληαη

κεηαμύ ηνπο ηα ζπζηήκαηα h n1 ( ) θαη h n2( ) ζύκθσλα κε ην απνηέιεζκα

ηνπ ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημήο ηνπο;

3) Να δνζεί ε έθθξαζε ηεο απόθξηζεο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο γηα ηηο πεξηπηώζεηο πνπ έρνπκε :

α) ζύλδεζε ζε ζεηξά θαη

β) παξάιιειε ζύλδεζε,

N ην πιήζνο Γ.Υ.Α. ζπζηεκάησλ κε απνθξίζεηο κνλαδηαίνπ δείγκαηνο

h ni ( ) , ( i N1,2,.., ), αληίζηνηρα.

ΛΥΣΗ

1)

y n( )h n1( )

x n( )h n2( )+ +

-2

( )n h n( ) h n( ) h n( ) h n( )

h n( )

ύκθσλα κε ην παξαπάλσ ζρήκα, ε έμνδνο ηνπ πξώηνπ ζπζηήκαηνο δίλεηαη από ηελ ζρέζε :

h n h n n h n( ) ( )* ( ) ( )1 1

Μεηά ηνλ αζξνηζηή, έρνπκε :

h n h n n h n n( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

ηελ έμνδν ηνπ δεύηεξνπ ζπζηήκαηνο, παίξλνπκε :


h n h n h n h n n h n h n h n h n( ) ( )* ( ) [ ( ) ( )]* ( ) ( )* ( ) ( )2 1 2 1 2 2

Ζ έμνδνο όινπ ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ίζε κε :

h n h n n h n h n h n n( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( )2 21 2 2

n

h n1 ( )

1a u nn ( )

...

0 1 2 3 4

n

h n2 ( )

10 1a

0

1

2 3 4

-a

2)

Ζ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) ηζνύηαη κε :

h n h n h n n a n h n a h n

a u n a a u n a u n u n a nn n n n

1 2 1 1

1

1 1

1 1

( )* ( ) ( )*[ ( ) ( )] ( ) ( )]

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

Όκσο a0 1, νπόηε h n h n n1 2( )* ( ) ( ) .

Απηό ζεκαίλεη όηη έρνπκε αληίζηξνθα ζπζηήκαηα.

Δπνκέλσο, ηειηθά ζα έρνπκε γηα ην h n( ) :

h n h n h n h n n n n a n n( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )1 2 2 2 1 2

ή h n a n( ) ( )1


3)

ύλδεζε N ην πιήζνο Γ.Υ.Α. ζπζηεκάησλ "ελ ζεηξά" :

y n( )h n1( )

x n( )h n2( )

( )n h n( )

h n( )

h n3( ) h nN( )

Ζ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο γηα ην παξαπάλσ ζύζηεκα πεξηγξάθεηαη από ηελ αθόινπζε ζρέζε :

h n h n h n h n h nN( ) ( )* ( )* ( )*...* ( )1 2 3

ύλδεζε N ην πιήζνο Γ.Υ.Α. ζπζηεκάησλ παξάιιεια :

y n( )

h n1( )

x n( )

( )n h n( )

h n( )

+

h n2( )

h n3( )

..

.

h nN( )

Ζ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο γηα ηελ πεξίπησζε απηή πεξηγξάθεηαη από ηελ αθόινπζε ζρέζε :

h n h n h n h n h n h nN ii

N

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1 2 31

.


ΑΣΚΗΣΗ 130

Γίλεηαη ην επόκελν ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα βαζκίδσλ :

x t( )

cos( )2 f tc

z

w

+y t( )

w t z t( ) ( )2z t( )

ΤΣΖΜΑ

ΣΔΣΡΑΓΩΝΗΚΟΤ

ΝΟΜΟΤ

(S.L.S.)

ΗΓΑΝΗΚΟ

ΕΩΝΟΠΔΡΑΣΟ

ΦΗΛΣΡΟ

(I.B.P.F.)

(Σν ζήκα εηζόδνπ, x t( ) , έρεη ην εηθνληδόκελν ζηε ζπλέρεηα θάζκα, X f( ) , ην

δε ηδαληθό δσλνπεξαηό θίιηξν (Ideal Band Pass filter), ζηελ έμνδν ηνπ ιεηηνπξγηθνύ δηαγξάκκαηνο, έρεη εύξνο δηέιεπζεο ζπρλνηήησλ 2Β (Hz) θαη θεληξηθή ζπρλόηεηα f c

(Hz), f Bc, ζύκθσλα κε ην αληίζηνηρν ζρήκα. Σν

(κε γξακκηθό) ζύζηεκα ηεηξαγσληθνύ λόκνπ, (Square Law System), είλαη έλα ζύζηεκα πνπ δίλεη ζαλ έμνδν ην ηεηξάγσλν ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ).

X f( )

f0B

1

B

H f( )

f

f Bc

f Bcf cf Bc

1

f cf Bcf Bc0

Να ππνινγηζηνύλ θαη λα ζρεδηαζηνύλ ηα θάζκαηα ησλ ηξηώλ ζπληζησζώλ ηνπ

ζήκαηνο εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο ¨ηεηξαγσληθνύ λόκνπ¨, w t z t( ) ( )2 :

1. Σεο ζπληζηώζαο w t x t1

2( ) ( ) ;

2. Σεο ζπληζηώζαο w t f tc2

2 2( ) cos ( ) .

3. Σεο ζπληζηώζαο w t x t f tc3

22 2( ) ( ) cos ( ) .


4. Να ζρεδηαζηεί ην θάζκα ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ y t( ) . Πνηά ε βαζηθή, από

πιεπξάο εθαξκνγώλ, ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier αλαδεηθλύεη ε ππό εμέηαζε δηάηαμε ζπζηεκάησλ;

ΛΥΣΗ S.L.S. : Square-Law System (ύζηεκα Σεηξαγσληθνύ Νόκνπ) I.B.P.F. : Ideal Band-Pass Filter (Ηδαληθό Εσλνπεξαηό Φίιηξν)

z t x t f t w t x t f tc c( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( )2 22

w t x t f t x t f t

w t

c

w t

c

w t

( ) ( ) cos ( ) ( ) cos( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 2 3

2 2 2

1. w t x t x t x t W f x t x tF

F1

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)f(X*)f(X)t(x*)t(x)f(W FF1

X f( )

f0B

1

B

d)f(X)(X)f(X*)f(X)f(W1

2 0 1 1 21B f W f d f B B f BB

f B

( )

0 2 1 1 21f B W f d B f B B ff B

B

( )

f B W f2 01 ( )


W f1( )

f0

2B

2B

2B

2B f

f B2

2. )tf2π2cos(2

1

2

1)tf2π2cos(1

2

1)tfπ2(cos)t(w ccc

2

2

)tf2π2cos(2

1

2

1)tf2π2cos(

2

1

2

1)f(W cc2 FFF

1

2

1

2

1

22

1

22

1

2

1

42

1

42( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f f f f f f f fc c c c

fc

1/4

W f2 ( )

fc 2fc2fc

1/2

f

3. w t x t f tc3 2 2( ) ( ) cos( )

)tf2cos(*)t(x2)tf2cos()t(x2)t(w)f(W cc33 FFFF

)ff(X

c

)ff(X

ccc

cc

)ff(*)f(X)ff(*)f(X)ff()ff(2

1*)f(X2

)()( cc ffXffX


W f3 ( )

f

f Bc

f Bcf cf Bc

1

f cf Bcf Bc0

2 B 2 B

4. )t(w*)t(h)t(y )f(W)f(H)t(w)t(h)t(w*)t(h)f(Y

)f(W)f(H

FFF

Από ηελ παξαηήξεζε ησλ ζρεηηθώλ ζθαικάησλ ( H f( ) θαη W f( ) ) θαίλεηαη θαζαξά όηη

ηειηθά κόλν ε ζπληζηώζα w t3( ) βξίζθεηαη θαζκαηηθά κέζα ζηελ πεξηνρή δηέιεπζεο ηνπ

ηδαληθνύ δσλνπεξαηνύ θίιηξνπ. Οη άιιεο δύν ζπληζηώζεο ( w t1( ) θαη w t2 ( ) ) επξίζθνληαη

θαζκαηηθά ζηελ πεξηνρή απνθνπήο θαη απνξξίπηνληαη. Έηζη έρνπκε ηειηθά :

Y f H f W f W f y t w tF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3

1

Σν ππό εμέηαζε ζύζηεκα είλαη ¨ιεηηνπξγηθά ηζνδύλακν¨ κε έλα ζύζηεκα ¨πξαγκαηηθήο δηακόξθσζεο¨ (ηδηόηεηα ηεο ¨πξαγκαηηθήο δηακόξθσζεο¨ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier) :

x t( )

cos( )2 f tc

y t x t f tc( ) ( ) cos( )2

ύζηεκα “πξαγκαηηθήο δηακόξθσζεο“

)ff()ff(2

1*)t(x)tf22cos()t(x)f(Y ccc FF

Y f X f f X f fc c( ) ( ) ( )

[εκείσζε : Ζ ηδηόηεηα αλαθέξεηαη ζαλ ¨πξαγκαηηθή δηακόξθσζε¨ (Real Modulation) ζε αληηδηαζηνιή πξνο ηελ ¨κηγαδηθή δηακόξθσζε¨ (Complex Modulation) :

x t e X f fj f t

cc

F( ) ( )2

].


ΑΣΚΗΣΗ 131

Γίλεηαη ε εμήο πξαγκαηνπνίεζε ελόο Γ.Υ.Α. ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ :

x n( )z 1

y n( )z 1+ ++

X z( )

2

++Y z( )

-3

w n1( )

w n2 ( )

1) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο, H zY z

X z( )

( )

( ).

(Τπόδεημε : Ζ επίιπζε ησλ ζρέζεσλ πνπ πξνθύπηνπλ γίλεηαη ζην πεδίν Z ππνζέηνληαο κεδεληθέο ζπλζήθεο.)

2) Να πξνζδηνξηζηεί ε ζρέζε εηζόδνπ-εμόδνπ (εμίζσζε δηαθνξώλ) ηνπ ζπζηήκαηνο. Να ππνινγηζηνύλ θαη λα ζρεδηαζηνύλ ζην επίπεδν Z ηα κεδεληθά θαη νη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο θαη λα ραξαθηεξηζηεί ην ζύζηεκα από πιεπξάο επζηάζεηαο θαηά ηελ έλλνηα BIBO.

3) Να ππνινγηζηεί θαη λα ζρεδηαζηεί ελδεηθηηθά ε απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνπ ζπζηήκαηνο.

4) Γηα ην γεληθό Γ.Υ.Α. ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

a y n i b x n jii

P

jj

Q

( ) ( )0 0

, a0 1, a b Ri j, , P Q N,

ζρεδηάζηε ηελ πξαγκαηνπνίεζή ηνπ θαηά ηελ θαηεπζείαλ κνξθή ΙΙ (θαλνληθή κνξθή) (πξαγκαηνπνίεζε κε "νηθνλνκία" κλήκεο). Γώζηε ηελ αληίζηνηρε πξαγκαηνπνίεζε ηνπ ππό εμέηαζε ζπζηήκαηνο.

ΛΥΣΗ

1) Ζ έμνδνο Y z( ) ηζνύηαη κε :

Y z W z W z( ) ( ) ( )2 1 2 (1)

Όκνηα, ε W z2( ) γξάθεηαη :

W z z W z Y z z W z z Y z2

1

1

1

1

13 3( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) (2)

Ζ απόθξηζε w n1( ) ζην πεδίν Z πεξηγξάθεηαη από ηε ζρέζε :

W z z X z W z z X z z W z1

1

2

1 1

2( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) (3)

Από ηε (2) έρνπκε :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 1

2 1

3

3

z W z W z Y z

z W z W z Y z


W z z W z Y z1 2 3( ) ( ) ( ) (4)

Από ηελ (3) αληίζηνηρα :

( )

( ) ( ) ( )3

1 2z W z X z W z

z W z W z X z1 2( ) ( ) ( ) (5)

Ζ (4) δίλεη :

z W z z W z z Y z1

2

2 3( ) ( ) ( ) ,

ελώ από ηελ (5) :

z W z W z X z1 2( ) ( ) ( ) .

Πξνζζέηνληαο ηηο δύν ηειεπηαίεο ζρέζεηο θαηά κέιε παίξλνπκε :

z W z z W z z Y z

z W z W z X zz W z X z z Y z

1

2

2

1 2

2

2

31 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

ή W zX z z Y z

z2 2

3

1( )

( ) ( ) (6)

Καη πάιη από ηηο (4) θαη (5) κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε θαη ην W z1( ) :

( ): ( ) ( ) ( )

( ): ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

4 3

51 3

1 2

2

1 2

2

1

W z z W z Y z

z W z z W z z X zz W z Y z z X z

ή W zY z z X z

z1 2

3

1( )

( ) ( ) (7)

Αληηθαζηζηνύκε ηηο (6) θαη (7) ζηελ (1) θαη ηόηε ζα ηζρύεη :

Y z W z W zY z z X z

z

X z z Y z

z( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

3

1

3

11 2 2 2

Y zY z z X z

z

X z z Y z

z( )

( ) ( ) ( ) ( )6 2

1

3

12 2

Y zY z z X z z

z( )

( )[ ] ( )[ ]3 6 1 2

12

Y z z Y z z X z z( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2 1 3 6 1 2

Y z z z X z z( )[ ] ( )[ ]2 1 3 6 1 2

H zY z

X z

z

z z( )

( )

( )

1 2

3 52 .

2) Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο πνπ κόιηο ππνινγίζακε γξάθεηαη :

H zY z

X z

z

z z

z z

z z( )

( )

( )

1 2

3 5

2

1 3 52

1 2

1 2

Y z z z X z z z( ) [ ] ( ) [ ]1 3 5 21 2 1 2

Y z z Y z z Y z z X z z X z( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 21 2 1 2

Z

y n y n y n x n x n

1

3 1 5 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Σα κεδεληθά ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη νη ξίδεο ηνπ αξηζκεηή ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο :

2 1 01

2z z .


Αληίζηνηρα, νη πόινη είλαη νη ξίδεο ηνπ παξνλνκαζηή :

z z z

z j

2

0

3 5 03 9 20

2

3

2

11

42 24 1321 2 24 0 734

1 2

1 2

,

,, ( , ) , ( , )

Σν ζύζηεκα είλαη αζηαζέο θαηά ηελ έλλνηα "BIBO" επεηδή | | ,,

z1 2

2 24 1 .

3) Γηα λα βξνύκε ηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, εθαξκόδνπκε αληίζηξνθν

κεηαζρεκαηηζκό Z ζηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο αθνύ ηε θέξνπκε ζε θαηάιιειε κνξθή :

H zz z

z z j z j

H z

z

z

z z j z j

H z

z

A

z

B

z j

B

z j

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

*

2

3

2

11

4

3

2

11

4

2 1

3

2

11

4

3

2

11

4

3

2

11

4

3

2

11

4

2

. Δπνκέλσο έρνπκε :

AH z

zz H z

j j

A

z z

( )| ( )|

( )( ) ( )0 0

2

1

3

2

11

4

3

2

11

4

1

3

2

11

4

1

9

4

11

4

1

20

4

1

5


11311

1124

11113

1124

2

11113

112

2

11

4

11

2

3

112

)4

112)(

4

11

2

3(

1113

)4

11

2

3

4

11

2

3)(

4

11

2

3(

1)4

11

2

3(2

|

)4

11

2

3(

12|)(

)(

)4

11

2

31, 1,

j

j

j

j

j

j

j

jB

jj

j

jjj

j

B

jzz

zzz

z

zHB

jzzz

Άξα : 522,0220

60

119121

11416

|11311|

|1124|||

j

jB θαη

BB 00011 04,10113,4291,58)11

113(tan)

4

112(tan .

Σόηε κπνξνύκε λα γξάςνπκε :

B B B| | , , , ,0 522 101 04 0 522 0 5610 θαη

B B B* | | , , , ,0 522 10104 0 522 0 5610.

Από ηε ζρεηηθή ζεσξία ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Z γλσξίδνπκε όηη έλα δεπγάξη ζπδπγώλ

κηγαδηθώλ πόισλ ( , *) "ζπλεηζθέξεη" ζηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο, h n( ) , ηνλ

ζπλεκηηνλνεηδή όξν : 2| | | | cos( ) ( )B n u nn

B .

Από ηα πξνεγνύκελα έρνπκε :

1

0 02 24 1321 2 24 1321 0 734, , | | , , , , ,

B B B0 522 101 04 0 522 101 04 0 5610 0, , | | , , , , .

Δπνκέλσο :

h n n n u nn( ) ( ) ( , )( , ) cos( ,734 , ) ( )1

52 0 522 2 24 0 0 561 .

h n( )

n

Αστάθεια

n

| ( )|h n

0


4)

N)Q,P(,1a)jn(xb)in(ya 0

Q

0j

j

P

0i

i

Ζ πξαγκαηνπνίεζε ζηελ θαηεπζείαλ κνξθή ΙΙ (θαλνληθή κνξθή) ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ

πεξηγξάθεηαη από ηελ πξναλαθεξόκελε εμίζσζε δηαθνξώλ έρεη σο εμήο (γηα QP ):

x n( )

z 1

+ ++y n( )b 0

b 1a 1

z 1

a 2 b 2

+ ++

z 1

b pa p

+ +

Από ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ ππό εμέηαζε ζέκαηνο πξνθύπηεη όηη:

a0 1 , a1 3 , a2 5 , b0 0 , b1 2 , b2 1.

Έηζη ζα έρνπκε ηελ εμήο πξαγκαηνπνίεζε :

x n( )

z 1

+

y n( )2

3

z 1

5

1

+ ++

ηε ζπλέρεηα ζα παξνπζηάζνπκε ιεπηνκεξώο ηελ αλάιπζε ζε απιά θιάζκαηα, όηαλ ππάξρεη ζηελ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο δεύγνο ζπδπγώλ κηγαδηθώλ πόισλ.

Έζησ όηη : H z

z

B

z

B

z

( ) *

*

1 1

, όπνπ BH z

zz z

( )( )|1 1

( B C ).

(Οη αξηζκεηέο B B, * είλαη πάληα ζπδπγείο κηγαδηθνί)

Οπόηε ηειηθά ζα έρνπκε :

H z Bz

zB

z

zh n B B u n

h n B B u n B u n

Zn n

n n n

( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )

( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( ) Re ( ) ( )

*

*

* *

*

1 1

1 1

1 1 1

1

2


Αιιά :

1 1 11

1| | | | ej

θαη Bj

B eBBB |||| .

Δπνκέλσο γξάθνπκε :

h n B u n B e e u n

B e u n B n u n

n j n j n

n j n n

B

B

B

( ) Re ( ) ( ) Re | | | | ( )

Re | | | | ( ) | | | | cos( ) ( )( )

2 2

2 2

1 1

1 1 1

1

1

πκπέξαζκα : Έλα δεύγνο ζπδπγώλ κηγαδηθώλ πόισλ νδεγεί ζηελ εκθάληζε ζπλεκηηνληθώλ ηαιαληώζεσλ ζηελ απόθξηζε κνλαδηαίνπ δείγκαηνο ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ

ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο θαζνξίδεηαη από ηε θάζε ηνπ πόινπ ( ), ην δε πιάηνο

εμειίζζεηαη ζύκθσλα κε ηνλ παξάγνληα n|| ( || : κέηξν ηνπ πόινπ).

carayianniskallinikosbakamidis signals systems exercises 2004

Documents