casos particulares del producto triple de jacobi · i el teorema de jacobi de los numeros...
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Casos particulares delProducto Triple de Jacobi
Jesus A. CorralChiara ForacePiera Galber
Luis J. Salmeron ContrerasMaria Soler Facundo
Universitat de Valencia
16 Enero 2014
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Producto Triple de Jacobi
Producto Triple de Jacobi
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
A partir de esta identidad podemos deducir:I El Teorema de Jacobi de los Numeros TriangularesI El Teorema de Euler de los Numeros Pentagonales
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Producto Triple de Jacobi
Producto Triple de Jacobi
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
A partir de esta identidad podemos deducir:I El Teorema de Jacobi de los Numeros TriangularesI El Teorema de Euler de los Numeros Pentagonales
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Deduccion del Teorema de Jacobi
Producto Triple de Jacobi
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓
Teorema de los numeros triangulares
( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)
2
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Deduccion del Teorema de Jacobi
Producto Triple de Jacobi
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓
Teorema de los numeros triangulares
( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)
2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k
→ 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k
= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2
→ 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2
= 1−qk− 12 aq−
12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2
→ 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2
= 1−qk− 12 a−1q
12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n
→(
q12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n
= qn22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q12 e y = ia
12 q−
14
1− x2k → 1−(
q12
)2k= 1− qk
1+x2k−1y2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)2= 1−qk− 1
2 aq−12 = 1− aqk−1
1+x2k−1y−2 → 1+(
q12
)2k−1 (ia
12 q−
14
)−2= 1−qk− 1
2 a−1q12 = 1− a−1qk
xn2y2n →
(q
12
)n2 (ia
12 q−
14
)2n= q
n22 (−1)nanq−
n2 = (−1)nanq
n(n−1)2
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Sustitucion
Por tanto obtenemos:∞∏
k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
De los tres factores que aparecen en el productorio, elsegundo, cuando k = 1 queda simplemente (1− a).
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Sustitucion
Por tanto obtenemos:∞∏
k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
De los tres factores que aparecen en el productorio, elsegundo, cuando k = 1 queda simplemente (1− a).
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Deduccion del Teorema de Jacobi
Luego ese productorio se puede escribir como:
∞∏k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk )
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk−1)
)
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)(1− a)
( ∞∏k=2
(1− aqk−1)
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk )
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
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Deduccion del Teorema de Jacobi
Luego ese productorio se puede escribir como:
∞∏k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk )
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk−1)
)
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)(1− a)
( ∞∏k=2
(1− aqk−1)
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk )
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
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Deduccion del Teorema de Jacobi
Luego ese productorio se puede escribir como:
∞∏k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk )
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk−1)
)
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)(1− a)
( ∞∏k=2
(1− aqk−1)
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk )
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
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Deduccion del Teorema de Jacobi
Luego ese productorio se puede escribir como:
∞∏k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk )
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk−1)
)
=
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)(1− a)
( ∞∏k=2
(1− aqk−1)
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )
)( ∞∏k=1
(1− aqk )
)
= (1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
![Page 25: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/25.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Veamos ahora el sumatorio de la derecha:∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
=0∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2 +
∞∑n=1
(−1)nanqn(n−1)
2
=∞∑
n=0
(−1)−na−nq(−n)(−n−1)
2 +∞∑
n=0
(−1)n+1an+1q(n+1)n
2
=∞∑
n=0
(−1)na−nqn(n+1)
2 +∞∑
n=0
−(−1)nan+1qn(n+1)
2
=∞∑
n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
![Page 26: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/26.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Veamos ahora el sumatorio de la derecha:∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
=0∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2 +
∞∑n=1
(−1)nanqn(n−1)
2
=∞∑
n=0
(−1)−na−nq(−n)(−n−1)
2 +∞∑
n=0
(−1)n+1an+1q(n+1)n
2
=∞∑
n=0
(−1)na−nqn(n+1)
2 +∞∑
n=0
−(−1)nan+1qn(n+1)
2
=∞∑
n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
![Page 27: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/27.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Veamos ahora el sumatorio de la derecha:∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
=0∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2 +
∞∑n=1
(−1)nanqn(n−1)
2
=∞∑
n=0
(−1)−na−nq(−n)(−n−1)
2 +∞∑
n=0
(−1)n+1an+1q(n+1)n
2
=∞∑
n=0
(−1)na−nqn(n+1)
2 +∞∑
n=0
−(−1)nan+1qn(n+1)
2
=∞∑
n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
![Page 28: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/28.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Veamos ahora el sumatorio de la derecha:∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
=0∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2 +
∞∑n=1
(−1)nanqn(n−1)
2
=∞∑
n=0
(−1)−na−nq(−n)(−n−1)
2 +∞∑
n=0
(−1)n+1an+1q(n+1)n
2
=∞∑
n=0
(−1)na−nqn(n+1)
2 +∞∑
n=0
−(−1)nan+1qn(n+1)
2
=∞∑
n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
![Page 29: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/29.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
El factor (a−n − an+1) se puede escribir como:
(a−n − an+1) =1an (1− a2n+1)
=(1− a)
an(1− a2n+1)
(1− a)
Como en general es cierto que:
m∑k=0
ak =(1− am+1)
(1− a)
![Page 30: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/30.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
El factor (a−n − an+1) se puede escribir como:
(a−n − an+1) =1an (1− a2n+1) =
(1− a)an
(1− a2n+1)
(1− a)
Como en general es cierto que:
m∑k=0
ak =(1− am+1)
(1− a)
![Page 31: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/31.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
El factor (a−n − an+1) se puede escribir como:
(a−n − an+1) =1an (1− a2n+1) =
(1− a)an
(1− a2n+1)
(1− a)
Como en general es cierto que:
m∑k=0
ak =(1− am+1)
(1− a)
![Page 32: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/32.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
El factor (a−n − an+1) se puede escribir como:
(a−n − an+1) =1an (1− a2n+1) =
(1− a)an
(1− a2n+1)
(1− a)
Como en general es cierto que:
m∑k=0
ak =1− am+1
1− a
Podemos escribir que
(1− a2n+1)
(1− a)=
2n∑k=0
ak = (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)
![Page 33: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/33.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Entonces
(a−n−an+1) =(1− a)
an(1− a2n+1)
(1− a)
=(1− a)
an (1+a+a2+a3+. . .+a2n)
Sustituyendo este valor en el sumatorio de la derecha obtenemos:
∞∑n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
= (1− a)∞∑
n=0
(−1)n
an (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)qn(n+1)
2
![Page 34: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/34.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Entonces
(a−n−an+1) =(1− a)
an(1− a2n+1)
(1− a)=
(1− a)an (1+a+a2+a3+. . .+a2n)
Sustituyendo este valor en el sumatorio de la derecha obtenemos:
∞∑n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
= (1− a)∞∑
n=0
(−1)n
an (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)qn(n+1)
2
![Page 35: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/35.jpg)
Deduccion del Teorema de Jacobi
Entonces
(a−n−an+1) =(1− a)
an(1− a2n+1)
(1− a)=
(1− a)an (1+a+a2+a3+. . .+a2n)
Sustituyendo este valor en el sumatorio de la derecha obtenemos:
∞∑n=0
(−1)n(a−n − an+1)qn(n+1)
2
= (1− a)∞∑
n=0
(−1)n
an (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)qn(n+1)
2
![Page 36: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/36.jpg)
Conclusion
Ası hemos visto que tanto en el miembro de la izquierda de laecuacion, como en el de la derecha, aparece el factor (1− a).
(1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
= (1− a)∞∑
n=0
(−1)n
an (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)qn(n+1)
2
Si eliminamos el factor (1-a) y substituimos a por 1, se obtiene:( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)
2
![Page 37: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/37.jpg)
Conclusion
Ası hemos visto que tanto en el miembro de la izquierda de laecuacion, como en el de la derecha, aparece el factor (1− a).
(1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
= (1− a)∞∑
n=0
(−1)n
an (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)qn(n+1)
2
Si eliminamos el factor (1-a) y substituimos a por 1, se obtiene:( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)
2
![Page 38: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/38.jpg)
Conclusion
Ası hemos visto que tanto en el miembro de la izquierda de laecuacion, como en el de la derecha, aparece el factor (1− a).
(1− a)
( ∞∏k=1
(1− qk )(1− a−1qk )(1− aqk )
)
= (1− a)∞∑
n=0
(−1)n
an (1 + a + a2 + a3 + . . .+ a2n)qn(n+1)
2
Si eliminamos el factor (1-a) y substituimos a por 1, se obtiene:( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)
2
![Page 39: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/39.jpg)
Conclusion
Entonces a partir de
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓∞∏
k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
⇓
Teorema de los numeros triangulares
( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)/2
![Page 40: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/40.jpg)
Conclusion
Entonces a partir de
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓∞∏
k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
⇓
Teorema de los numeros triangulares
( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)/2
![Page 41: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/41.jpg)
Conclusion
Entonces a partir de
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓∞∏
k=1
(1− qk )(1− aqk−1)(1− a−1qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nanq
n(n−1)2
⇓
Teorema de los numeros triangulares
( ∞∏k=1
(1− qk )
)3
=∞∑
n=0
(−1)n(2n + 1)qn(n+1)/2
![Page 42: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/42.jpg)
Deduccion del Teorema de Euler
Producto triple de Jacobi
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2ky2)(1 + x2ky−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓
Teorema del numero pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
(3n−1)n2
![Page 43: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/43.jpg)
Deduccion del Teorema de Euler
Producto triple de Jacobi
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2ky2)(1 + x2ky−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓
Teorema del numero pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
(3n−1)n2
![Page 44: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/44.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 45: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/45.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k
→ 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 46: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/46.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k
= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 47: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/47.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 48: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/48.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2
→ 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 49: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/49.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2
= 1−q3k− 32 q−
12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 50: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/50.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 51: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/51.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2
→ 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 52: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/52.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2
= 1−q3k− 32 q
12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 53: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/53.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
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Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n
→(
q32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 55: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/55.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n
= q3n2
2 (−1)nq−n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 56: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/56.jpg)
Sustitucion
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
En la ecuacion ponemos x = q32 e y = iq−
14
1− x2k → 1−(
q32
)2k= 1− q3k
1+x2k−1y2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)2= 1−q3k− 3
2 q−12 = 1− q3k−2
1+x2k−1y−2 → 1+(
q32
)2k−1 (iq−
14
)−2= 1−q3k− 3
2 q12 = 1− q3k−1
xn2y2n →
(q
32
)n2 (iq−
14
)2n= q
3n22 (−1)nq−
n2 = (−1)nq
n(3n−1)2
![Page 57: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/57.jpg)
Sustitucion
Por tanto obtenemos:∞∏
k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2) =∞∑
n=−∞(−1)nq
n(3n−1)2
Podemos ver que el miembro de la derecha es igual que elTeorema del Numero Pentagonal. Nos falta demonstrar que elde la izquierda es igual tambien.
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Sustitucion
Por tanto obtenemos:∞∏
k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2) =∞∑
n=−∞(−1)nq
n(3n−1)2
Podemos ver que el miembro de la derecha es igual que elTeorema del Numero Pentagonal. Nos falta demonstrar que elde la izquierda es igual tambien.
![Page 59: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/59.jpg)
Deduccion del Teorema de Euler
Desarrollando el productorio:
∞∏k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2)
= (1− q3) · (1− q2) · (1− q1)︸ ︷︷ ︸k=1
· (1− q6) · (1− q5) · (1− q4)︸ ︷︷ ︸k=2
· (1− q9) · (1− q8) · (1− q7)︸ ︷︷ ︸k=3
. . .
Reordenando los terminos:
= (1− q1) · (1− q2) · (1− q3) · (1− q4) · (1− q5) · (1− q6)
· (1− q7) · (1− q8) · (1− q9) . . .
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Deduccion del Teorema de Euler
Desarrollando el productorio:
∞∏k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2)
= (1− q3) · (1− q2) · (1− q1)︸ ︷︷ ︸k=1
· (1− q6) · (1− q5) · (1− q4)︸ ︷︷ ︸k=2
· (1− q9) · (1− q8) · (1− q7)︸ ︷︷ ︸k=3
. . .
Reordenando los terminos:
= (1− q1) · (1− q2) · (1− q3) · (1− q4) · (1− q5) · (1− q6)
· (1− q7) · (1− q8) · (1− q9) . . .
![Page 61: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/61.jpg)
Deduccion del Teorema de Euler
Desarrollando el productorio:
∞∏k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2)
= (1− q3) · (1− q2) · (1− q1)︸ ︷︷ ︸k=1
· (1− q6) · (1− q5) · (1− q4)︸ ︷︷ ︸k=2
· (1− q9) · (1− q8) · (1− q7)︸ ︷︷ ︸k=3
. . .
Reordenando los terminos:
= (1− q1) · (1− q2) · (1− q3) · (1− q4) · (1− q5) · (1− q6)
· (1− q7) · (1− q8) · (1− q9) . . .
![Page 62: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/62.jpg)
Deduccion del Teorema de Euler
Por tanto:∞∏
k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2) =∞∏
k=1
(1− qk )
que es igual que el miembro de la izquierda del Teorema delNumero Pentagonal.
![Page 63: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/63.jpg)
Conclusion
Entonces a partir de
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓∞∏
k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2) =∞∑
n=−∞(−1)nq
n(3n−1)2
⇓
Teorema del Numero Pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
(3n−1)n2
![Page 64: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/64.jpg)
Conclusion
Entonces a partir de
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓∞∏
k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2) =∞∑
n=−∞(−1)nq
n(3n−1)2
⇓
Teorema del Numero Pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
(3n−1)n2
![Page 65: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/65.jpg)
Conclusion
Entonces a partir de
∞∏k=1
(1− x2k )(1 + x2k−1y2)(1 + x2k−1y−2) =∞∑
n=−∞xn2
y2n
⇓∞∏
k=1
(1− q3k )(1− q3k−1)(1− q3k−2) =∞∑
n=−∞(−1)nq
n(3n−1)2
⇓
Teorema del Numero Pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
(3n−1)n2
![Page 66: Casos particulares del Producto Triple de Jacobi · I El Teorema de Jacobi de los Numeros Triangulares](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022708/5be60a3009d3f247448c6715/html5/thumbnails/66.jpg)
Casos particulares delProducto Triple de Jacobi
Jesus A. CorralChiara ForacePiera Galber
Luis J. Salmeron ContrerasMaria Soler Facundo
Universitat de Valencia
16 Enero 2014