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Categorias,algebra homologica,categorias derivadas
slides de aula
Sasha Anan′in
ICMC, USP, Sao Carlos
14/10/2015 – 11/11/2015
3. Cohomologias
3.1. Exemplo introdutorio: homologias singulares. Seja k ∈ N e sejame0, . . . , ek ∈ Rn linearmente independentes. Um k-simplexo (padrao) ∆k
e o envelope convexo dos e0, . . . , ek , isto e, o menor subconjunto con-vexo de Rn que contem os e0, . . . , ek . O simplexo ∆k pode ser descritousando coordenadas baricentricas ∆k = {
∑ki=0 xiei |
∑ki=0 xi = 1,
x0, . . . , xk > 0}. Sejam 0 6 i 6 k com k > 1. Denotemos por∂ ik : ∆k−1 → ∆k a funcao da i-esima face dada pela formula∂ ik : (x0, . . . , xk−1) 7→ (x0, . . . , xi−1, 0, xi , . . . , xk−1) em termos de coorde-
nadas baricentricas. E obvio que ∂jk+1∂ik = ∂ ik+1∂
j−1k se k > 1 e
0 6 i < j 6 k + 1.Seja X um espaco topologico. Um k-simplexo singular em X e umafuncao contınua σ : ∆k → X . Denotamos por SkX :=
{∑σ cσσ | σ ∈
Esp(∆k ,X ), cσ ∈ Z}
o grupo abeliano livremente gerado por todos osk-simplexos singulares em X . Se f : X → X ′ e uma seta em Esp, podemos
definir (Sk f )(∑
σ cσσ) :=∑
σ cσf σ, obtendo assim um funtor EspSk→ Ab.
Em seguida, frequentemente escrevemos f no lugar de Sk f . Os elementosde SkX sao ditos k-cadeias. Por definicao, Sk := 0 para k < 0.
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A regra ∂kσ :=∑k
i=0(−1)iσ∂ik define a transformacao natural∂k : Sk → Sk−1, chamada operador de bordo (por definicao, ∂k := 0 sek 6 0). Verifiquemos que ∂k∂k+1 = 0. Seja σ : ∆k+1 → X um(k + 1)-simplexo singular, entao
∂k∂k+1σ = ∂k
k+1∑j=0
(−1)jσ∂jk+1 =∑
06i6k06j6k+1
(−1)i+jσ∂jk+1∂ik =
=∑
06i<j6k+1
(−1)i+jσ∂jk+1∂ik +
∑06j6i6k
(−1)i+jσ∂jk+1∂ik
e, em vista de ∂jk+1∂ik = ∂ ik+1∂
j−1k ,∑
06i<j6k+1
(−1)i+jσ∂jk+1∂ik =
∑06i<j6k+1
(−1)i+jσ∂ik+1∂j−1k =
= −∑
06i6j6k
(−1)i+jσ∂ik+1∂jk ,
mostrando que ∂2 = 0 (em seguida, frequentemente omitimos ındices casoisto nao cause confusoes).
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Temos tambem uma transformacao natural deg : S0 → ∆Z, chamada graue dada por σ 7→ 1, onde ∆Z : Esp→ Ab denota o funtor constante:∆ZX := Z e ∆Zf := 1Z.
3.1.1. Lema. Seja c ∈ X um ponto num conjunto convexo X ⊂ Rn.Entao existem homomorfismos ck : SkX → Sk+1X , k ∈ Z, tais que∂ck + ck−1∂ = 1SkX para todo 0 6= k ∈ Z e ∂c0 = 1S0X − degX ·c. Emparticular, Im ∂k+1 = Ker ∂k para todo 0 6= k ∈ Z.
Demonstracao. Seja σ : ∆k → X um simplexo singular. Definamosck · σ : ∆k+1 → X pela formula
(ck · σ)(x0, . . . , xk+1) :=
{x0c + (1− x0)σ( x1
1−x0, . . . , xk+1
1−x0) se x0 6= 1
c se x0 = 1
E facil ver que (ck · σ)∂ i+1k+1 = ck−1 · (σ∂ik) se k > 0 e 0 6 i 6 k , que
(ck · σ)∂0k+1 = σ se k > 0 e que (c0 · σ)∂1
1 = c , onde c denota o simplexosingular ∆0 → X com a imagem c . Daı segue a primeira afirmacao.A segunda e um fato geral: se ∂kx = 0, entaox = ∂ckx + ck−1∂x = ∂ckx �
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3.1.2. Lema. Sejam fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, transformacoes natu-rais tais que deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ para todo k ∈ Z. Entao existemtransformacoes naturais sk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais quefk = ∂sk + sk−1∂ para todo k ∈ Z.
Demonstracao. Para i < 0, definamos si := 0. Por inducao sobre k,ja construımos transformacoes naturais si : Si → Si+1(∆1 ×−) tais quefi = ∂si + si−1∂ para todo i < k.Para o simplexo singular 1∆k
∈ Sk∆k , temos
∂(fk1∆k− sk−1∂1∆k
) = fk−1∂1∆k− (∂sk−1)∂1∆k
=
= fk−1∂1∆k− (fk−1 − sk−2∂)∂1∆k
= 0
devido a ∂2 = 0 e pela hipotese de inducao. Claro que ∆1 ×∆k e convexoem Rn.Consideremos o caso k = 0. De deg f0 = 0 e ∂c0 = 1S0∆0 − deg ·c paraqualquer c ∈ ∆1 ×∆0 ' ∆1 (vide o Lema 3.1.1), obtemos
f01∆0−s−1∂1∆0 = f01∆0 = f0∂c01∆0 +deg(f01∆0)c = f0∂c01∆0 = ∂f1c01∆0
e definamos b0 := f1c01∆0 ∈ S1(∆1×∆0). Temos f01∆0 = ∂b0 + s−1∂1∆0 .S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 5 / 1
Caso k 6= 0, pelo Lema 3.1.1, existe bk ∈ Sk+1(∆1 ×∆k) tal que∂bk = fk1∆k
− sk−1∂1∆k, ou seja, fk1∆k
= ∂bk + sk−1∂1∆knovamente.
Definamos sk : SkX → Sk+1(∆1 × X ) pela formula skσ := (1∆1 × σ)bk ,onde σ : ∆k → X e um k-simplexo singular em X . Entao, para quaisquerseta f : X → X ′ em Esp e k-simplexo singular σ : ∆k → X em X , temos(1∆1 × f )skσ = (1∆1 × f )(1∆1 × σ)bk = (1∆1 × f σ)bk = sk(f σ),mostrando assim a naturalidade de sk .Finalmente, pela naturalidade de fk e de sk−1, obtemos fkσ = (1∆1 × σ)fke (1∆1 × σ)sk−1 = sk−1σ para qualquer funcao contınua σ : ∆k → X (quee nada mais do que um k-simplexo singular em X ). Agora,
fkσ = fkσ1∆k= (1∆1 × σ)fk1∆k
= (1∆1 × σ)(∂bk + sk−1∂1∆k) =
= ∂(1∆1×σ)bk+(1∆1×σ)sk−1∂1∆k= ∂skσ+sk−1σ∂1∆k
= ∂skσ+sk−1∂σ,
pois (1∆1 × σ)∂ = ∂(1∆1 × σ) e σ∂ = ∂σ (usamos aqui o fato que ∂ euma transformacao natural) �
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Introduzimos a categoria Esp(2) de pares “espaco topologico e seu subes-paco”. Os objetos de Esp(2) sao pares (X ,S), onde X ∈ Esp e um espaco
topologico e Si↪→ X e um subespaco em X . Uma seta (X ,S)
f−→ (X ′,S ′)
em Esp(2) e simplesmente uma seta Xf−→ X ′ em Esp tal que fS ⊂ S ′.
Seja (X ,S) ∈ Esp(2). Entao temos SkSi↪→ SkX e definimos
Sk(X ,S) := SkX/SkS . Sendo ∂ uma transformacao natural, obtemos umhomomorfismo induzido ∂k : Sk(X , S)→ Sk−1(X ,S). E facil ver quetal ∂k (que e mais geral do que o anterior: tome S = ∅) e umatransformacao natural entre funtores do tipo Esp(2) → Ab.Definamos Hk(X , S ; Z) := Ker ∂k/ Im ∂k+1. E imediato que
Hk : Esp(2) → Ab e um funtor, chamado k-homologia singular de par.
3.1.3. Proposicao. Sejam (X ,S), (X ′, S ′) ∈ Esp(2) e sejah : ∆1 × (X ,S)→ (X ′,S ′) uma homotopia em Esp(2) (isto e, uma setah : ∆1 ×X → X ′ em Esp tal que h(∆1 × S) ⊂ S ′). Entao Hk h0 = Hk h1,onde ht : (X , S)→ (X ′,S ′) e dado por htx := h(t, x).
Demonstracao. Seja t ∈ ∆1. A funcao contınua g t : X → ∆1 × X ,definida pela regra g t : x 7→ (t, x), e uma transformacao natural em X talque hg t = ht . Temos transformacoes naturais induzidas
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g tk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que ∂g t
k = g tk−1∂. Ja que deg g t
0 inde-pende de t, definindo fk := g 1
k − g 0k , obtemos transformacoes naturais
fk : Sk → Sk(∆1 ×−), k ∈ Z, satisfazendo deg f0 = 0 e ∂fk = fk−1∂ paratodo k ∈ Z. Pelo Lema 3.1.2, existem transformacoes naturaissk : Sk → Sk+1(∆1 ×−), k ∈ Z, tais que fk = ∂sk + sk−1∂ para todok ∈ Z.De g tS ⊂ ∆1 × S segue g t
k(SkS) ⊂ Sk(∆1 × S) ⊂ Sk(∆1 × X ) para oshomomorfismos g t
k : SkX → Sk(∆1 × X ), k ∈ Z. Pela naturalidade dos
sk ’s aplicada ao morfismo Si↪→ X , concluımos que
sk(SkS) ⊂ Sk+1(∆1 × S) ⊂ Sk+1(∆1 × X ) para os homomorfismossk : SkX → Sk+1(∆1 × X ), k ∈ Z. Portanto, temos homomorfismosinduzidos g t
k : Sk(X ,S)→ Sk(∆1 × X ,∆1 × S), fk = g 1k − g 0
k esk : Sk(X ,S)→ Sk+1(∆1 × X ,∆1 × S) e permanece validofk = ∂sk + sk−1∂, isto e, g 1
k − g 0k = ∂sk + sk−1∂, k ∈ Z.
O morfismo h : (∆1 × X ,∆1 × S)→ (X ′, S ′) induz os homomorfismoshk : Sk(∆1 × X ,∆1 × S)→ Sk(X ′, S ′), k ∈ Z. De hg t = ht seguehkg t
k = htk . Logo, h1
k − h0k = hk∂sk + hksk−1∂ = ∂hk+1sk + hksk−1∂. Seja
z ∈ Ker ∂k . Entao (h1k − h0
k)z = ∂hk+1skz ∈ Im ∂k+1. Isto implica
Hk h0 = Hk h1�
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3.2. Complexos, cobordos, cociclos e cohomologias. Seja C umacategoria abeliana. Denotamos por Kom∗ C, onde ∗ ∈ {∅,+,−, b},a categoria cujos objetos sao os ∗-complexos, isto e, sequenciassemiexatas em C
C • : . . . -d i−1C• C i -
d iC• C i+1 -
d i+1C• . . .
com a condicao:
∅ nada.+ existe um i0 tal que C i = 0 para todo i < i0.− existe um i1 tal que C i = 0 para todo i > i1.b existem i0 e i1 tais que C i = 0 se i < i0 ou i > i1.
Os morfismos d iC•’s chamam-se operadores de bordo do complexo.
Um morfismo h• : C •→ D• entre complexos e uma colecao de setashi : C i → D i compatıveis com os d•• ’s, isto e, hi+1d i
C•= d iD•h
i paratodo i . Podemos escrever as ultimas igualdades sem ındices: hd = dh(os ındices se sabem). A composicao de morfismos e obvia. A categoriaKom∗ C e uma Ab-categoria se definirmos (h•+ f •)i := hi + f i . Ela possuibiprodutos (C •⊕D•)i := C i ⊕D i com projecoes e injecoes obvias. Ela temobjeto nulo 0i := 0. Possui nucleos e conucleos:
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por exemplo, (Ker h•)i := Ker hi com o morfismo ker h• : Ker h•→ C • feitode morfismos ker hi e com d i
Ker h• induzido por d iC• e d i
D•. Obviamente, h•
e mono (epi, iso) se e so se cada um hi e mono (epi, iso). E facil verificaragora que Kom∗ C e uma categoria abeliana.
Bi C • -j iC•
Zi C •
πiC•6
ker d iC•
?C i−1 -d i−1
C• C i
Seja C • um complexo. Denotemos Bi C • := Im d i−1C• e
Zi C • := Ker d iC•. Temos a decomposicao de d i−1
C• nodiagrama a direita com j iC• mono (vide a Definicao 2.18).Facamos Hi C • := Co j iC•. Em outras palavras, a sequencia
0→ Bi C •j iC•−→ Zi C •
co j iC•−→ Hi C •→ 0
e exata.Seja h• : C •→ D• um morfismo entre complexos. Entao temos o diagramacomutativo
C i−2 -d i−2C• C i−1 -π
iC•
Bi C • -j iC•Zi C • -ker d i
C•C i -d iC• C i+1
hi−2
?hi−1
?hi
?hi+1
?D i−2 -d i−2
D• D i−1 -πiD•
Bi D• -j iD•Zi D• -ker d i
D•D i -d iD• D i+1
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C i−1 -πiC•
Bi C • -mi
C• C i -co d i−1
C• Co d i−1C•- 0
hi−1
?g?
hi
?D i−1 -
πiD•Bi D• -
miD• D i -
co d i−1D• Co d i−1
D•- 0
Zi C • -ker d iC•C i -d i
C• C i+1
Zi h•
?hi
?hi+1
?
Zi D• -ker d iD•D i -d i
D• D i+1
As setas hi e hi+1 induzem o morfismo Zi h• :
Zi C •→ Z iD• que faz o diagrama a direitacomutativo. As setas hi−1 e hi induzem omorfismo g : Co d i−1
C• → Co d i−1D• que faz o
diagrama acima comutativo, ondemi
C•= ker(co d i−1C• ) : Bi C •= Im d i−1
C• = Ker(co d i−1C• )→ C i e
miD• = ker(co d i−1
D• ) : Bi D•= Im d i−1D• = Ker(co d i−1
D• )→ D i sao os mono-
morfismos participando nas decomposicoes dos morfismos d i−1C• e d i−1
D• (videa Definicao 2.17). Assim, as setas hi e g induzem o morfismo
Bi C • -mi
C• C i -co d i−1
C• Co d i−1C•- 0
Bi h•
?hi
?g?
Bi D• -mi
D• D i -co d i−1
D• Co d i−1D•- 0
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Bi h• : Bi C •→ Bi D• que faz o diagrama acima comutativo.
C i−1 -πiC•
Bi C • -miC• C i
hi−1
?Bi h•
?hi
?D i−1 -
πiD•Bi D• -
miD• D i
Consequentemente, no diagrama a direita te-mos mi
D•(Bi h•)πiC•= himi
C•πiC•= mi
D•πiD•h
i−1.Sendo mi
D• mono, concluımos que πiD•hi−1 =
(Bi h•)πiC•, isto e, o primeiro quadrado nestediagrama tambem e comutativo. Resumindo,obtemos o diagrama comutativo
(3.2.1)
C i−2 -d i−2C• C i−1 -π
iC•
Bi C • -j iC•Zi C • -ker d i
C•C i -d iC• C i+1
hi−2
?hi−1
?Bi h•
?Zi h•
?hi
?hi+1
?D i−2 -d i−2
D• D i−1 -πiD•
Bi D• -j iD•
Zi D• -ker d iD•D i -d i
D• D i+1
O quadrado central e comutativo, pois ker d iD•(Z
ih•)j iC•πiC•=
= hi (ker d iC•)j iC•π
iC•= (ker d i
D•)j iD•πiD•h
i−1 = (ker d iD•)j iD•(B
ih•)πiC• com
(3.2.2)
0 - Bi C • -j iC•Zi C • -co j iC•
Hi C • - 0
Bi h•
?Zi h•
?Hi h•
?0 - Bi D• -
j iD•Zi D• -
co j iD•Hi D• - 0
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πiC• epi e ker d iD• mono. Finalmente, obtemos o diagrama comutativo
acima e vemos que Bi , Zi e Hi sao funtores. Chamaremos Hi de i-coho-mologia de complexo.
3.2.3. Lema. Os funtores Bi , Zi e Hi sao aditivos.
Demonstracao. Sejam dados dois morfismos entre complexosh•, f • : C •→ D•. O morfismo h•+ f • determina, para todo i , o diagrama
C i−1 -πiC•Bi C • -j iC•
Zi C • -ker d iC• C i
hi−1 + f i−1
?Bi (h•+ f •)
?Zi (h•+ f •)
?hi + f i
?D i−1 -πiD•
Bi D• -j iD•
Zi D• -ker d iD• D i
comutativo, onde Zi (h•+ f •) e o unico morfismo que faz comutativo oquadrado a direita. Como (hi + f i ) ker d i
C•= hi ker d iC•+ f i ker d i
C•=(ker d i
D•)Zih•+ (ker d i
D•)Zi f •= ker d i
D•(Zih•+ Zi f •), pela unicidade, temos
Zi (h•+ f •) = Zi h•+ Zi f •. Daı, Zi e aditivo. Analogamente,πiD•(hi−1 + f i−1) = πiD•h
i−1 + πiD•fi−1 = (Bih•)πiC•+ (Bi f •)πiC•=
(Bih•+ Bi f •)πiC•. Logo, pela unicidade de Bi (h•+ f •), concluımos que
Bi (h•+ f •) = Bi h•+ Bi f •. Daı, Bi e aditivo. Da unicidade do morfismoinduzidoS. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 13 / 1
entre conucleos segue a aditividade de Hi(vide (3.2.2)
)�
3.2.4. Lema. Seja C •∈ Kom∗ C. Entao, para todo i , existem dois unicosmorfismos αi
C• e βiC• que fazem o diagrama
0 0 06 ? ?
0 - Bi C • -j iC•Zi C • -co j iC•
Hi C • - 0
πiC•6
ker d iC•
?αiC•
?C i−1 -d i−1
C• C i -co d i−1C• Co d i−1
C•- 0
d iC•
?βiC•?
C i+1 -1C i+1
C i+1
comutativo. Neste diagrama, as linhas e colunas sao exatas. Alem disso,o diagrama e funtorial (isto e, todos os morfismos no diagrama saotransformacoes naturais).
Demonstracao. Sendo d iC•d
i−1C• = 0, obtemos d i
C•= βiC•(co d i−1C• ) para
um unico βiC•. De 0 = (co d i−1C• )(d i−1
C• ) = (co d i−1C• )(ker d i
C•) j iC•πiC• e de
πiC• ser epi, concluımos que (co d i−1C• )(ker d i
C•)j iC•= 0.S. Anan′ in (ICMC) categorias 14/10/2015 – 11/11/2015 14 / 1
Logo, existe um unico αiC• que faz o diagrama do lema comutativo.
Por caca em diagrama, e facil provar queαiC• e mono e que αi
C•= kerβiC•.
C i−1 -d i−1C• C i -
co d i−1C• Co d i−1
C•-
βiC• C i+1
hi−1
?hi
?hi
?hi+1
?D i−1 -
d i−1D• D i -
co d i−1D• Co d i−1
D•-
βiD• D i+1
ZiC • -co j iC• HiC •
?
αiC•
Co d i−1C•
?
ker d iC•
C i -co d i−1C•
����Zi h•
����hi
����
Hi h•
����hi
ZiD• -co j iD• HiD•
?
αiD•
Co d i−1D•
?
ker d iD•
D i -co d i−1
D•
Para provar que o diagrama do lema e funtorial, tomemos um morfismoh• : C •→ D• entre complexos. Entao o diagrama acima a esquerda ecomutativo, onde o quadrado a direita e comutativo, pois co d i−1
C• e epi.Utilizando as comutatividades obtidas anteriormente, constatamos queresta provar a comutatividade da face direita no diagrama acima a direita.As comutatividades das faces de cima, de baixo, frontal, do fundo e daesquerda sao ja conhecidas (vide a primeira parte do lema). A comutativi-dade da face direita segue da comutatividade das outras faces e de co j iC•ser epi �
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3.3. Sequencia longa exata. Seja E : 0→ C •1ε•−→ C •2
p•−→ C •3 → 0 umasequencia exata de complexos. Pelo Lema 2.22 (da serpente), obtemos odiagrama comutativo (3.3.1) abaixo a esquerda com linhas exatas. Usandoa definicao (2.22.2) de δi−1, vemos que βi
C•1
δi−1 = 0 e δi−1j i−1C•3
= 0 (pois
πi−1C•3
e pi−2 sao epis). Sendo, pelo Lema 3.2.4, αiC•1
= kerβiC•1
, obtemos
δi−1 = αiC•1
∆i−1 para algum ∆i−1 : Zi−1 C •3 → Hi C •1. Sendo αiC•1
mono,
concluımos que ∆i−1j i−1C•3
= 0. Assim, obtemos δi−1E : Hi−1 C •3 → Hi C •1 tal
que ∆i−1 = δi−1E (co j i−1
C•3
) (vide o diagrama (3.3.1) abaixo a direita; note
que δi−1E e o unico morfismo que faz este diagrama comutativo).
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(3.3.1)
C i−22
-pi−2
C i−23
- 0
πi−1C•2 ?
πi−1C•3 ?
Bi−1 C •2-Bi−1 p•
Bi−1 C •3j i−1C•2 ?
j i−1C•3 ?
0 - Zi−1 C •1-Zi−1 ε•
Zi−1 C •2-Zi−1 p•
Zi−1 C •3-δ
i−1
ker d i−1C•1 ?
ker d i−1C•2 ?
ker d i−1C•3 ?
0 - C i−11
-εi−1C i−1
2-pi−1
C i−13
- 0
d i−1C•1 ?
d i−1C•2 ?
d i−1C•3 ?
0 - C i1
-εiC i
2-pi
C i3
- 0
co d i−1C•1 ?
co d i−1C•2 ?
co d i−1C•3 ?
-δi−1
Co d i−1C•1
-εi
Co d i−1C•2
-pi
Co d i−1C•3
- 0
βiC•1 ?
βiC•2 ?
0 - C i+11
-εi+1C i+1
2
Bi−1 C •3
6j i−1C•3
Zi−1 C •3
6co j i−1
C•3
Hi−1 C •3 -δi−1E Hi C •1
?αiC•1
Co d i−1C•1
?βiC•1
C i+11
����
∆i−1
-δi−1
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Mostremos que a sequencia
. . . -δi−2E Hi−1 C •1
-Hi−1 ε•Hi−1 C •2
-Hi−1 p•Hi−1 C •3
-δi−1E Hi C •1
-Hi ε•. . .
e exata. Para isto, consideremos o diagrama comutativo0 0 0 0 06 6 6 ? ?
Hi−1 C •1-Hi−1 ε•
Hi−1 C •2-Hi−1 p•
Hi−1 C •3-δ
i−1E Hi C •1
-Hi ε•Hi C •2
co j i−1C•1
6co j i−1
C•2
6co j i−1
C•3
6αiC•1 ?
αiC•2 ?
Zi−1 C •1-Zi−1 ε•
Zi−1 C •2-Zi−1 p•
Zi−1 C •3-δi−1
Co d i−1C•1
-εiCo d i−1
C•2
j i−1C•2
6j i−1C•3
6
Bi−1 C •2-Bi−1 p•
Bi−1 C •3- 0
onde a sequencia na segunda linha e exata pela exatidao de Ker-Coker-sequencia (2.22.1) e as colunas sao exatas. Observemos que a terceiralinha e exata. Com efeito,(Bi−1 p•)πi−1
C•2
= πi−1C•3
pi−2 (vide o segundo quad-
rado comutativo em (3.2.1)). Sendo Bi−1 p• divisor a esquerda de umepimorfismo, ele e epi. Por caca usual em diagrama, podemos provar quea primeira linha do diagrama e exata nos termos Hi−1 C •2, Hi−1 C •3 e Hi C •1.
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Seja C uma categoria abeliana. Consideremos a categoria Esc C, cujosobjetos sao sequencias curtas exatas de complexosE : 0→ C •1 → C •2 → C •3 → 0, com C •1,C
•2,C
•3 ∈ Kom∗ C, e cujos
morfismos sao dados por diagramas comutativos do tipo
E : 0 - C •1-ε•
C •2-p•
C •3- 0
h?
h•1?
h•2?
h•3?
E ′ : 0 - C ′1• -ε′•
C ′2• -p
′•C ′3• - 0
Obviamente, temos tres funtoresFk : Esc C → Kom∗ C, k = 1, 2, 3, onde,para E : 0→ C •1 → C •2 → C •3 → 0,definimos FkE = C •k .
Hi C •3-δiE
Hi+1 C •1
Hi h•3?
Hi+1 h•1?
Hi C ′3• -δ
iE ′
Hi+1 C ′1•
Zi C •3-
co j iC•3 Hi C •3
?Hi h•3
Hi C ′3•
?
Zi h•3
Zi C ′3• -
co j iC ′3•
����δi
����δ′i
����δiE
����δiE ′
Co d iC•1
�αi+1C•1 Hi+1 C •1
?
Hi+1 h•1
Hi+1 C ′1•
?
hi1
Co d iC ′1•�
αi+1C ′1•
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Vamos mostrar que o δi• obtido acima define uma transformacao natural
δi• : Hi F3 → Hi+1 F1. Isto e, para todo morfismo h : E → E ′ em Esc C,como acima, o quadrado acima a esquerda e comutativo. De fato, este
quadrado e a face direita do cubo acima a direita, onde hi1 e induzido por
h•1 e as comutatividades das faces de cima, de baixo, de frente e do fundoja sao conhecidas. Pela Observacao 2.23, temos a comutatividade da faceesquerda. Sendo co j i
C•3
epi e sendo αi+1C ′1• mono, pela comutatividade destas
cinco faces obtemos a comutatividade da face direita.
3.4. Homotopias. No exemplo introdutorio 3.1, vimos como umahomotopia de funcoes contınuas entre espacos topologicos se transformoupara uma homotopia entre os complexos S• de simplexos singulares.
-d iC•
C i+1
��
��
hi+1
��
��
hi
C i
?f i − g i
D iD i−1 -d i−1D•
3.4.1. Definicao. Seja C uma categoriaabeliana e sejam C •,D•∈ Kom∗ C complexos.Dizemos que morfismos f •, g • : C • → D•
sao homotopicos se existe uma colecao demorfismos hi : C i → D i−1 em C, chamadahomotopia (os morfismos hi ’s nao precisamcomutar com d), tais que f i − g i = d i−1
D• hi + hi+1d iC• para todo i .
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Podemos escrever as ultimas igualdades sem ındices: f − g = dh + hd(os ındices se sabem).Denotamos f •∼ g • se f • e g • forem homotopicos. E facil ver que “serhomotopico” e uma relacao de equivalencia e que os morfismoshomotopicos a zero formam em Kom∗ C(C •,D•) um subgrupo. Aindamais, estes subgrupos formam um “ideal”, isto e, a composicao commorfismo homotopicamente nulo e homotopicamente nula.
3.4.2. Lema. Se f •, g • : C •→ D• sao homotopicos, entao Hi f •= Hi g •
para todo i .
Demonstracao. Pela aditividade de Hi podemos supor que g = 0. Temoso diagrama abaixo a esquerda (que nao e necessariamente comutativo).Pela hipotese, f i = hi+1d i
C•+ d i−1D• hi . Logo,
f i (ker d iC•) = hi+1d i
C•(ker d iC•) + d i−1
D• hi (ker d iC•) = d i−1
D• hi (ker d iC•) =
(ker d iD•)j iD•π
iD•h
i (ker d iC•). Sendo Zi f • o unico morfismo que faz a
comutatividade f i (ker d iC•) = (ker d i
D•)(Zi f •), concluımos que
Zi f •= j iD•πiD•h
i (ker d iC•). Obtemos o diagrama comutativo abaixo a
direita, onde ϕ = πiD•hi (ker d i
C•). Agora,(Hi f •)(co j iC•) = (co j iD•)j iD•ϕ = 0. Sendo co j iC• epi, Hi f •= 0 �
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Bi C •
6πiC•
C i−1
?f i−1
D i−1
?πiD•
Bi D•
-j iC•
-d i−1C•
-d i−1D•
-jiD•
���
hi
Zi C •
?ker d i
C•
C i
?f i
D i
6ker d iD•
Zi D•
-d iC•
-d iD•
���
hi+1
C i+1
?f i+1
D i+1
0 -Bi C • -j iC•
Zi C • -co j iC•Hi C • - 0
Bi f •
?
ϕ ��� ?
Zi f •
?Hi f •
0 -Bi D• -j iD•
Zi D• -co j iD•Hi D• - 0
Fazendo um “quociente” pelo “ideal” daDefinicao 3.4.1, obtemos a categoria K∗ Ccujos objetos sao os de Kom∗ C e cujosmorfismos sao classes homotopicas demorfismos de Kom∗ C, isto e,
K∗ C(C •,D•) := Kom∗ C(C •,D•)/ ∼. Claramente, obtemos o funtor“canonico de quociente” π : Kom∗ C → K∗ C. (Note que K∗ C e umaAb-categoria, mas, em geral, nao e uma categoria abeliana.)Denotamos por Kom∗0 C a subcategoria completa de Kom∗ C formada portodos os complexos cujos operadores de bordo sao nulos. Assim, paraqualquer C •∈ Kom∗ C, obtemos B•C •,Z•C •,H•C •∈ Kom∗0 C e podemosconsiderar B•, Z• e H• como funtores, B•,Z•,H• : Kom∗ C → Kom∗0 C.
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Kom∗ C -π K∗ C
?H• �
�h
Kom∗0 C -I Kom∗ C
3.5. Teorema. Seja C uma categoria abeliana. Entaoos funtores B•,Z•,H• : Kom∗ C → Kom∗0 C sao adi-tivos e formam a sequencia exata 0→B•→Z•→H•→0.O funtor H• passa por K∗ C, isto e, o diagrama adireita e comutativo, onde h e um funtor aditivo e I e a inclusao.Seja E ∈ Esc C uma sequencia curta exata de complexos,
E : 0→ C •1ε•−→ C •2
p•−→ C •3 → 0. Entao a sequencia
. . . -δi−2E Hi−1 C •1
-Hi−1 ε•Hi−1 C •2
-Hi−1 p•Hi−1 C •3
-δi−1E Hi C •1
-Hi ε•. . .
e exata, onde, para todo i , δi• e uma transformacao natural. Isto significaque, para qualquer morfismo h : E → E ′ em Esc C,
E : 0 - C •1-ε•
C •2-p•
C •3- 0
h?
h•1?
h•2?
h•3?
E ′ : 0 - C ′1• -ε′•
C ′2• -p
′•C ′3• - 0
o diagrama
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. . . -δi−2E Hi−1 C •1
-Hi−1 ε•Hi−1 C •2
-Hi−1 p•Hi−1 C •3
-δi−1E Hi C •1
-Hi ε•. . .
Hi−1 h•1?
Hi−1 h•2?
Hi−1 h•3?
Hi h•1?
. . . -δi−2E ′ Hi−1 C ′1
• -Hi−1 ε′•
Hi−1 C ′2• -Hi−1 p′•
Hi−1 C ′3• -δ
i−1E ′ Hi C ′1
• -Hi ε′•. . .
e comutativo �
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Exercıcios
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