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第一章 信号与系统基本概念

1.1 学习要求

通过本章的学习，学生应深刻理解信号的定义、分类与特性及系统的概念与分类，熟悉

信号的时域运算规则及简单处理过程，掌握系统的主要性质，了解线性时不变系统的分析方

法。

1.2 内容概述

1.2.1 信号的定义与分类

信号的定义

信号是消息的表现形式，而消息是信号的具体内容。所谓电信号是指随时间变化的电压

或电流。

信号的分类

（1）确定性信号与随机信号

根据信号的是否可预知性，可以将信号分为确定性信号和随机信号。

确定性信号：可以预先知道信号的变化规律，故又称为确知信号或规则信号，它可以表

示为一个确定的时间函数或序列。

随机信号：不能预知其变化规律，即描述不能预先确定。

（2）连续时间信号与离散时间信号

按信号的自变量是否连续可分为连续时间信号和离散时间信号。

连续信号：在连续时间范围内有定义的信号称为连续时间信号。其函数的定义域——时

间是连续的。时间和幅值都为连续的信号又称为模拟信号，在实际应用中，模拟信号和连续

信号两名词往往不予区分。如正弦信号：

( ) sin( )f t t t ， － (1-1)

离散信号：仅在离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号。“离散”是指信号的定

义域——时间是离散的。离散信号定义在离散的时刻 ),2,1,0( ktk 上，而其余时刻则

无定义。

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离散信号可以通过连续信号的抽样得到。对连续信号 )(tf ，每隔一定的时间间隔 sT 抽

取一点，即 (st nT n 为整数），得到 )( snTf

)()()()( snTts nTfnftfnTfs

记 (1-2)

sT 为抽样周期， sT1 为抽样频率，n为序号， )( snTf 可简写为 )(nf ， sT 隐含其中。

（3）周期信号与非周期信号

周期信号：定义在 ),( 区间，按一定时间间隔重复变化的信号。连续周期信号可表

示为

( ) ( ) , ( 0)f t rT f t r T T 为整数 为周期 。

离散周期信号可表示为 ( ) ( ) , ( 0)f n rN f n r N N 均为整数 。

不满足式连续周期信号表示或离散周期信号表示的信号为非周期信号。

（4）能量信号与功率信号

设连续电压或电流信号为 )(tf ，则它在 1 欧姆电阻上的瞬时功率为 2|)(|)( tftp ，在

时间间隔 TtT 内消耗的能量为 dttfE T

T

2)( ，

当T 时，总能量为 2

( )T

TTE Lim f t dt

，

平均功率为 21 ( )

2T

TTP Lim f t dt

T

结论：

(1) 当 E0 ，即E为有限值， ,0P 则 )(tf 为能量有限信号，简称能量信号。

(2) 当E， P0 ，即 P 为有限值，则 )(tf 为功率有限信号，简称功率信号。

1.2.2 典型信号与奇异信号

1．典型连续信号

(1) 正弦信号

正弦信号和余弦信号仅在相位上相差 2/ ，统称为正弦信号，写作

)sin()( tAtf (1-3)

式中 A为振幅， 为角频率， 为初相位.

(2) 指数信号

连续指数信号的一般表示为

3

atCetf )( (1-4)

其中：C，a可以是实数也可以是复数。下面分三种情况讨论。

(i) 当 C 和 a都是实数，f(t)为实指数信号。

(ii)当 C＝1， ja 时，f(t)为周期复指数信号，即: ( ) j tf t e 。

(iii) 当 C 和 a都是复数，f(t)为复指数信号。

（3） 抽样信号 Sa(t)

抽样信号的函数表达式为

tttSa )sin()( (1-5)

抽样函数是一个实偶函数，即 )()( tSatSa 。且 0t 时， ( ) 1Sa t ；

2t k 、 、 、 时， ( ) 0Sa t 。抽样函数还具有如下性质：

0 2

)( dttSa (1-6)

dttSa )( (1-7)

2．奇异信号

(1)斜变信号 )(tR

斜变信号定义为

000

)(ttt

tR (1-8)

(2)单位阶跃信号 ( )u t

单位阶跃信号定义为

0001

)(tt

tu (1-9)

)(tR 与 ( )u t 的关系为： ( ) ( )du t R tdt

(3)符号函数 )(tSgn

符号函数 )(tSgn 表示为

01

01)(

tt

tSgn (1-10)

4

(4)单位冲激信号 )(t

单位冲激信号 )(t 的定义从以下两种方式来定义。

① 从某些函数取极限来定义 )(t 函数

单位冲激函数可视为脉宽为 ，面积为 1 的单位矩形脉冲，当 趋于零时的极限，即

0 0

1 1( ) lim ( ) lim ( ) ( )2 2

t G t u t u t

(1-11)

② 狄拉克(Dirac)定义

狄拉克定义式为

00)(

1)(

tt

dtt

(1-12)

(2)冲激函数的性质

①0

0 0( ) , ( ) ( )t t

f t t t f t f t

如果函数 在 处连续 即 ，则有

)()( 0tttf )()( 00 tttf

②筛选特性

则有处连续在如果函数 ,)( 0tttf ( ) ( ) (0 )t f t d t f

③ )(t 是偶函数

单位冲激信号是偶对称信号，即 )()( tt 。

④ )(t 与阶跃函数的关系：

( ) ( )t

u t d

或者 )()( tudtdt 。

⑤尺度特性： )(||

1)( ta

at

(5)单位冲激偶 )(' t

单位冲激函数的微分定义为“单位冲激偶”函数，它是在 t=0 处呈现正、负极性的两个

冲激，记为 )(' t 。

单位冲激偶有如下性质：

(1) 0( )f t t t 如果函数 在 处连续，则

5

0 0( ) ( ) ( )t t f t dt f t

(2)单位冲激偶是奇函数，它所包含的面积等于零，即

( ) 0t dt

。

1.2.3 典型离散信号

1. 单位阶跃序列

单位阶跃序列 u(n)与连续单位阶跃信号 u(t)相对应，定义为

1 0

( )0 0n

u nn

(1-13)

2. 单位样值序列

单位样值序列定义为

1 0( )

0 0n

nn

(1-14)

3. 矩形序列

1 0 1( ) ( ) ( )

0N

n NG n u n u n N

其他 (1-15)

4. 实指数序列

实指数序列表示为

)()( nuanx n (1-16)

当|a|>1 时，序列随 n 指数增长；|a|<1 时，序列随 n 指数衰减；a>0 时，序列值为同符

号；a<0 时序列值的符号交替变化；a=1 时，序列值为常数 1；a= -1 时，为 1 和-1 交替变化。

5. 复指数序列和正弦序列

复指数序列定义为

njenx 0)( (1-17)

根据欧拉公式有 njne nj00 sincos0 ，可见复指数序列的实部和虚部都是正弦

序列。正弦序列表示为

nnx 0sin)( (1-18)

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1.2.4 信号的基本运算

信号的基本运算包括信号的尺度变换、反褶、平移以及信号的叠加、相乘、微分和积分

等。

尺度变换

尺度变换又称为标度变换，是指信号的压缩和扩展。若 1a ，则信号 )(atf 是将 )(tf

在时间轴线性压缩a倍；若 10 a ，则 )(atf 是将 )(tf 在时间轴线性扩展 a/1 倍。这种

变换称为信号的尺度变换。

2. 信号的平移

设 00 t ，则 )( 0ttf 就是把 )(tf 沿 t轴正向平移 0t 的波形； )( 0ttf 是把 )(tf 沿 t

轴负向平移 0t 的结果。

3. 信号的反褶

信号的反褶又可称为信号的倒置，指信号以 t=0 或 n=0 轴反褶，得到 ( )f t 或 ( )f n 。

4. 积分和微分

信号的微分和积分运算在信号与系统分析中经常遇到，如电容器和电感器的伏安特性

就是用微分和积分来描述。

1.2.5 系统的描述

1. 系统模型的定义

系统模型指系统物理特性的数学抽象，即以数学表达式或具有理想特性的符号组合的图

形来表征系统的特性。

2. 系统的数学模型

当系统的激励是连续信号时，若其响应也是连续信号，则称该系统为连续系统。当系统

的激励是离散信号，若其响应也是离散信号，则称该系统为离散系统。

描述连续系统的数学模型是微分方程，描述离散系统的数学模型是差分方程。

3. 系统的框图表示

系统方框图的具体描述形式可用一些基本运算单元组合而成。这些基本运算单元模型包

括加法器、乘法器、积分器和延时器等，见表 1-1 和 1-2。

表 1-1 常用连续时间系统基本运算单元模型

名称 时域模型及表达式

数乘器

)()( tafty a)(tf

7

乘法器

加法器

延时器

积分器

微分器

表 1-2 常用离散时间系统基本运算单元模型

名称 时域模型及表达式

延时器

加法器

乘法器

1.2.6 系统的互联

一个实际的系统往往是由若干个子系统相互联结而组成，通过多个系统的互联也可以构

成新的系统。

1. 系统级联

)(1 tf)()()( 21 tftfty

)(2 tf

1( )f t

2 ( )f t

1 2( ) ( ) ( )f t f t f t

)(tf延时

)()( tfty

)(tf

( ) ( )

ty t f d

)(tfdt

d dttdfty )()(

( )f nD

( ) ( 1)y n f n

( )f n

)1( ny

( ) ( 1) ( )y n y n f n

( )f n ( ) ( )y n af n

a

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各子系统之间首尾依次相接，前一系统的输出是后一系统的输入，这种互联形式称为系

统级联或串联。

2. 系统并联

各子系统输入端相接，接收同一输入信号，系统总的输出为各子系统的输出之和，这种

形式称为系统并联。

3. 反馈系统

1.2.7 系统的分类与性质

1. 系统的可逆性与逆系统

若系统对不同的激励信号产生的响应都不同，即激励和响应呈一一对应关系，则称此系

统为可逆系统。

2. 即时系统与动态系统

如果系统的输出只决定于同时刻的输入，则称此系统为即时系统，又称瞬时系统或无记

忆系统。如果系统的输出不仅与同时刻输入有关，还与该时刻以前或以后的输入有关，则是

动态系统，又称记忆系统。

3. 时不变系统与时变系统

若系统的参数不随时间变化，则为时不变系统，或称非时变系统、定常系统。反之系统

参数随时间而变，则为时变系统。

4. 系统与非线性系统

满足叠加性和均匀性的系统称为线性系统，否则为非线性系统。线性系统的数学模型是

线性微分方程或线性差分方程。

叠加性是指当几个激励信号同时作用于系统时，产生的输出是各个激励单独作用于系统

产生的输出之和。即对给定的系统 A，若激励信号为 )()( 21 tftf 、 时产生的响应分别为

)()( 21 tyty 、 ，则当激励为 )()( 21 tftf 时，系统的响应为 )()( 21 tyty ，即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Af t f t y t y t 系统 (1-19)

均匀性是指当激励信号放大 a 倍作用于系统时，产生的响应也放大 a 倍，即

( ) ( )Aaf t ay t系统 (1-20)

则线性系统应满足的表达式为

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )Aa f t a f t a y t a y t 系统 (1-21)

线性时不变(Linear Time Invariant )系统，简称 LTI 系统。线性时不变系统满足微分和积分性

质，即

0 0

( ) ( ) , ( ) ( )t tdf t dy t f d y d

dt dt (1-22)

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5. 增量线性系统

如果一个系统输出的增量与输入的增量之间呈线性关系，则称该系统为增量线性系统。

也就是说，对任何两个输入信号的响应之差是这两个输入信号之差的线性函数，即差满足叠

加性和均匀性。

1.2.8 系统的稳定性

若系统对任意的有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称此系统为稳定系统。也可

以称之为有界输入有界输出(bounded input bounded output)意义下的稳定系统。稳定性是系统

本身的特性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。

1.2.8 因果系统与非因果系统

如果系统的响应只与激励的过去和现在有关，而与将来无关，即系统在 0t 时刻的响应

只与 0tt 和 0tt 时刻的输入有关，则系统是因果系统，否则为非因果系统。

1.3 本章知识点

（1）信号的概念、分类与特性

（2）信号的基本运算

（3）系统的概念与分类

（4）系统的描述、分类与性质

1.4 例题

例 1-1： 已知 )(tf 的波形如图 1-1，求 ( 3 2)f t 的波形。

例 1-1 图

10

求解过程：

方法一：

方法二：

方法三：

例 1-2：判断系统 20( ) ( ) ( )y t ay t bx t 是否为线性系统。

解：零输入响应是线性的。

11

零状态响应：

所以，系统为非线性的。

1.5 习题

1．画出下列各函数的波形。

(1) (1 2 ) ( )te u t (2) cos ( 1) ( 1)t u t

(3) )()1( tut (4) )1( ttu

(5) )](2[ 0ttSa (6) )cos(u

(7) )4()3()2()1( ttttt

2．写出图中所示各波形的函数式。

题 2 图

3．已知信号 )(tf 的波形如题 3 图所示，试画出下列各函数对 t 的波形。

(1) )( tf (2) )2( tf

(3) )21

( tf (4) )121( tf

题 3 图

4．写出下图示各序列的表达式。

21 1 1

22 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t y t bx tx t y t bx t

2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )x t x t b x t x t bx t bx t

)(1 tf

t202t

)(3 tf

0 1 22 1

1

2

1

3

t0

1

1

)( tf

21

12

1

20 4

( )f n

n

(1)

6 8

1

20

1

4

( )f n

n6 8

(2)

题 4 图

5．利用冲激函数的抽样性质，计算下列积分。

(1) tdtt sin)4

(

(2)

0( ) 2te t t dt

(3) 2 8 ( 4)t u t dt

(4)

10 2

10(2 3) 2 5t t t dt

6．判断系统 2( ) ( )y t t f t 是否为线性系统。