物理学ai 第8講 前回の講義ファイルspweb/physicsai08.pdf · レポート解説...
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前回の講義ファイルhttp://www.ms.osakafu-u.ac.jp/~spweb/PhysicsAI07.pdf
自習用テキスト http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/
~spweb/physmath*.pdf *:1~5
物理学AI 第8講
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自習用テキスト解答(3章まで) http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/~spweb/physmathAns1.pdf
前回の講義ファイル物理学AI 第8講
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レポート解説第3章レポート提出者:63名 (内締切後: 2.5名)
第7講レポート提出者:65名
物理学AI 第8講
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太陽と半月の間の角は約87°(89.85°)。 太陽までの距離は何スタディオンか?
アリスタルコス
87°
レポート1解説物理学AI 第8講
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レポート1解説
87° (89.85°)
題意より太陽・半月・観測者の間の関係は下図の通り。
2,000,000std. ÷ cos 87° ≒ 38,000,000std.
2,000,000std. ÷ cos 89.85° ≒ 760,000,000std.
アリスタルコスの求めた距離は
精度4桁の角度を使うと
物理学AI 第8講
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惑星の運動に関するケプラーの第3法則、すなわち公転周期Tと軌道長半径aの間に関係式T2 ∝ a3が成り立つことを、軌道が円の場合についての次元解析によって導け。 (ヒント)公転周期Tは万有引力定数Gと太陽質量mおよび軌道半径aによって決まる。万有引力定数の持つ次元はM-1L3T-2である。
レポート2解説物理学AI 第8講
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T ∝ Gambac
Gの次元はM-1L3T-2だから左辺の次元 = T右辺の次元 = (M-1L3T-2)aMbLc
レポート2解説公転周期Tは万有引力定数Gと太陽質量mおよび軌道半径aによって決まる。
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-a + b = 0, -2a = 1, 3a + c = 0両辺の各ベキを比べると
したがって∴ a = -1/2, b = 1/2, c = 3/2
レポート2解説
T ∝ G-1/2m1/2a3/2 T 2 ∝ a3
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x1(t)、x2(t) を同次式の解、非同次式の一つの特解はF(t)/cなので、非同次式の一般解は
2階線形非同次微分方程式 解の性質
物理学AI 第8講
+ b + cx = F(t)dt2d2x
dtdx
F(t)/c + A1 x1 + A2 x2
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x1(t)、x2(t) を同次式の解、非同次式の一つの特解はF(y)/cなので、非同次式の一般解は
2階線形非同次微分方程式 解の性質
物理学AI 第8講
+ b + cx = F(y)dt2d2x
dtdx
F(y)/c + A1 x1 + A2 x2
①
②
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②式を①式左辺各項に代入
cx = c A1 x1 + c A2 x2 + F(y)
dt2d2x = A1 + A2
b = b A1 + b A2dtdx
解の性質物理学AI 第8講
dt2d2x1
dt2d2x2
dtdx1
dtdx2
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= A1( )
+ b + cx dt2d2x
dtdx
+= F(y)
②式を①式左辺に代入すると解の性質
物理学AI 第8講
+ b + cx1 dt2d2x1
dtdx1
A2( ) + F(y) + b + cx2 dt2d2x2
dtdx2
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第6・7講 運動の法則
~ニュートンの運動方程式~ ~日常的な力~
運動方程式を解く① ~次元・単位と次元解析~
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ニュートンの第一法則慣性の法則 力 f = 0
ならば 加速度 a =
微分方程式で書けば
dt2d2x = 0
0
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ニュートンの第一法則静止または等速度運動: 加速度 a = = 0
微分方程式の一般解は x(t) =
dt2d2x
C1 + C2t
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ニュートンの第二法則運動の法則
物体の加速度は外力に比例し、質量に反比例する。
ma = m = f
ニュートンの運動方程式dt2d2x
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ニュートンの第三法則作用・反作用の法則
2つの物体が互いに及ぼし合う力は、大きさが等しく方向は反対である。
f 12 = -f21
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日常的な力① ~抗力~
mmg =
N =mg cos θ
F =mg sin θ
θma = mg sin θ
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日常的な力② ~張力~M
m= mg
T
T
Ma = T ma = mg - T
(M + m) a = mg
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日常的な力③ ~摩擦力~
静止摩擦力 静止摩擦係数
動摩擦力 動摩擦係数
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日常的な力④~空気抵抗~
直径数mm以下 F = -kv
直径数mm~数m F = -CρAv2
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さまざまな運動 第6講補足 ~重力~ ~運動方程式を解く②~ 減衰運動・振動運動 (教科書§1.6~1.8)
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ニュートンの第二法則物理学AI 第8講
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重力の特徴
ニュートンの第二法則物理学AI 第8講
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例:雨滴の落下運動雨滴は速度に比例した空気抵抗を受ける。上方向を正として運動方程式は
m = kv - mgdtdv
-km-1(v - mgk -1)変形すると dtdv =
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例:雨滴の落下運動
であるから
u = v - mg k -1とすると
dtdu (v - mgk -1) = dt
dvdtd
= -km-1udtdu
u(t) = u(0)exp(-km-1t)したがって解は exp(x) = ex
= -xdtdx
=
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例:雨滴の落下運動
v(t) = mg k -1 (1- exp(-km-1t))
u(t) = -mgk -1 exp(-km-1t)変数 v に戻すと
初期条件を v(0) = 0とすると
この関数は t → ∞ のときv(∞) = mg k -1 終端速度
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v(t) = mgk -1 (1- exp(-km-1t))例:雨滴の落下運動
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例:単振動
0 x-x
(調和振動)
f = kx f = -kxフックの法則ma = -kx
運動方程式
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単振動の解
両辺をmで割ると ma = m = -kxdt2
d2x
= -km-1xdt2d2x
φ = k1/2m-1/2t とすると = -xdφ2
d2x
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特性方程式は
x(t) = i(C1 - C2) sin φ + (C1 +C2) cos φ
単振動の解λ2 = -1
x(t) = C1eiφ +C2e-iφ一般解は
sin、cos を使って書き直すと
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2階微分すると元に戻って符号が変わるのだから、xの特解はsin φとcos φ。したがって一般解は
x(t) = Asin φ + Bcos φ = Asin k1/2m-1/2t + Bcos k1/2m-1/2t
単振動の別解物理学AI 第8講
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x1(t)…xm(t) (m ≤ n)を特解とすると
線形同次微分方程式 dix∑ ai = 0dtii =0
n
∑ Aj xj j =1
m
も解。特に m=n の場合は一般解。 重ね合わせの法則
微分方程式の性質物理学AI 第8講
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を満たす ψ を用いて三角関数を合成すると
x(t) = (A2 +B2)-1/2 sin (k1/2m-1/2t + ψ) = C sin (k1/2m-1/2t + ψ)
cos ψ = A/(A2 +B2)1/2 sin ψ = B/(A2 +B2)1/2
ここで単振動の解
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x(t) = C sin (k1/2m-1/2t + ψ)
周期
初期位相
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k1/2m-1/2T = 2π周期Tは
T = 2π· m1/2k -1/2
T ∝ m1/2k -1/2
したがって
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次元解析の例
T ∝ makbAc
周期 Tを決めている物理量は 質量 m、バネ定数 k、振幅 A
バネ定数の次元はMT-2だから左辺の次元 = T右辺の次元 = Ma(MT-2)bLc
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次元解析の例
a + b = 0, -2b = 1, c = 0両辺の各ベキを比べると
したがってT ∝ m1/2k -1/2
∴ a = 1/2, b = -1/2, c = 0
(正確には T = m1/2k -1/2 × 2π)
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単振り子物理学AI 第8講
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単振り子の解
θ が小さいとき、 sin θ をマクローリン展開の1次までで近似すると
ma = m = -mg·sin θdt2d2s
円周に沿った成分の運動方程式は
sin θ ≃ θ
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単振り子の解単振り子の運動方程式は
m = -mgθ = -mgsL-1dt2d2s
したがって、単振り子はバネ定数 k = mgL-1 の単振動に対応する。
m = -kxdt2d2x
単振動の運動方程式は
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単振り子の解 周期は T = 2π· m1/2k -1/2 = 2π· L1/2g -1/2
振り子の等時性
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単振り子の解θ があまり小さくないときは?
m = -mg(θ - θ 3/6) = -mg(sL-1 - s3L-3/6)dt2
d2s
これは非線形微分方程式となって数学的に解くのが難しい。
sin θ ≃を使うと運動方程式は
θ - θ 3/6
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レポート12012年5月21日には日本でも金
環食が起こった。 太陽の直径は何スタディオンか?
アリスタルコス
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単振り子の振れ角θ が大きくsin θ ≃ θと近似できないとき、振れ角が小さい場合に比べて振り子の周期はどうなるか定性的に議論せよ。
レポート2物理学AI 第8講
締切: 6月13日 提出先:B9棟108室前ポスト
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レポート自習用テキスト第5章 問全問
最大10点
物理学AI 第8講
締切: 7月15日 提出先:B9棟108室前ポスト