第六章信号与系统的复频域分析 · 2017/4/10 1 浙江大学控制科学与工程学系...
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2017/4/10 1
浙江大学控制科学与工程学系
信号与系统 Signals and Systems
第六章信号与系统的复频域分析
Chapter 6 The Complex Frequency Domain Analysis of
Signal and System
控制系网络课程平台:http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/
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复习与概述将输入信号表示成基本信号的线性组合
时域:
dtxtx )()()(
系统的输出
dthxthtxty )()()(*)()(时域
频域: k
ts
kkeatx )( 频域
k
ts
kkkesHaty )()(
LTI系统,h(t)x(t) y(t)
est stesH )(
(t) h(t)
LTIS基本关系
t
s dehsH )()(
LTIS
迭加原理
连续系统Fourier变换 :考虑特征函数复指数信号est中令s=jω,
est=ejωt形式的复指数信号表示方法--第三章的内容
复频 (Laplace变换) :考虑特征函数复指数信号est中令s=+jω形式的
复指数信号表示--广义Fourier变换,求系统响应并进行S域的分析
X(s) Y(s)=H(s)X(s)H(s)特征函数
特征值
2017/4/10 3
主要内容
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换的性质
周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换
单边拉普拉斯变换
LTI系统的复频域分析
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拉普拉斯变换——基本内容
拉普拉斯变换
引言
从Fourier变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的收敛域
拉普拉斯变换的几何表示
x(t)的时域特性与其拉普拉斯变换X(s)的收敛域的关系
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拉普拉斯变换——引言
19世纪末,英国工程师 O. Heaviside (1850-1925) 算子法
P.S. Laplace (1749-1825) 数学依据 拉普拉斯变换
拉氏变换与对数变换的比较
数 nk lnnk
取对数
积、商 ∑lnnk
反对数
乘、除 加、减
f(t)的积分
微分方程F(s)=L[f(t)]
拉氏变换
f(t)=L-1[F(s)] F(s)
古典法
逆变换
代数运算
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拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(1)
)()( jXtx F )()(
1
txjX F
)()()( jjejXjX
幅度谱 相位谱
复习Fourier变换
F变换为信号与系统的频域分析提供了手段,但进行F变换的前提
是信号满足收敛条件
F变换把时域分析的卷积运算转化为频率域的乘积运算。
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复习连续时间傅里叶变换收敛的条件为:
若x(t)能量有限 ,则x(t)与 在能量
上无差别,但不能保证在时域上处处相等。
dttx
2)(
dtejXtx tj
)(
2
1)(ˆ
1)x(t)绝对可积,即
dttx )(
2)在任何有限区间内,x(t)只有有限个最大值和最小值
3)在任何有限区间内,x(t)只有有限个不连续点,且不连续点上信
号具有有限值。
拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(2)
狄里赫利条件
一些常见的信号如阶跃、斜坡、周期都不满足绝对可积的条件,不能
直接求F变换--虽然借助广义函数可求,然而出现冲激函数(t)
分析不可积原因:当 ,x(t)不趋于零,有的还增大t
k
k
F kajXtx )(2)(2)( 01 周期信号:
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拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(3)
dtetxdteetxetxF jttjtt )()()()})({
解决办法:引入衰减因子e-t, 乘以x(t),使 ,可F变
换
0)(, tetxt
dtetxjX tj )()()(
S
dtetxsXtxL st)()()}({(
双边Laplace变换正变换
jsdejXtx
dejXjXFetx
tj
tjt
令,)(2
1)(
)(2
1)}({)(
)(
1
j
j
stdsesXj
sXLtx
)(
2
1)}({)( 1 Laplace反变换
X(t)的
象函数
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拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(4)
另一种办法:从特征函数的角度
定义L变换
X(s) Y(s)=H(s)X(s)H(s)
dtetxsXtxL st)()()}({(
LTI系统,h(t)x(t) y(t)
est stesH )(
(t) h(t)
LTIS基本关系
t
s dehsH )()(
特征值
对任意的 s 均成立
特征函数
j
j
stdsesXj
sXLtx
)(
2
1)}({)( 1 Laplace反变换
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F变换:时域与频域的联系, t, 为实数
L变换:时域与复频域的联系,t为实数,s为复数
js
F
sXjXtx
)()()(F变换与L变换的关系
0
)()( dtetxsX st注意:若x(t)=0当t0,则
单边Laplace变换
拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(5)
Fourier变换: tjed
jXtx
2
)()(将信号表示为无限多个频率
为、复振幅为
的虚指数分量之和
2)(
djX
Laplace变换: stej
dssXtx
2
)()(将信号表示为无限多个复频
为s、复振幅为
的复指数分量之和j
dssX
2)(
2017/4/10 11
拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(6)
衰减因子e-t
数学含义:
原函数乘以衰减因子以满足绝对可积条件
物理含义:频率变换为复频率s。
只能描述振荡的重复频率,
而s不仅描述重复频率,还描述振荡幅度的增长速率或衰减速率
( )st j t t j te e e e
稳定性的问题
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( ) ( )
( )( )
x t X s
dx tsX s
dt
( ) ( ) ( , )X s x t h t s dt
x t h t s
t x t h t s
要保证 ( ) ( , )的积分收敛,规定:
当 时, ( ) ( , ) 0
假定此变换可通过以下积分实现:
( )( ) ( , ) ( ) ( , ) | ( ) ( , )
dx tsX s h t s dt x t h t s x t h t s dt
dt
拉普拉斯变换——从算子符号法的概念引出拉普拉斯变换(1)
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( ) ( ) '( , )sX s x t h t s dt
( ) ( , ) ( ) '( , )s x t h t s dt x t h t s dt
( , )( , ) '( , )
dh t ssh t s h t s
dt
( , ) ln[ ( , )]
( , )
dh t ssdt h t s st
h t s
积分
( , ) ( ) ( )st sth t s e X s x t e dt
拉普拉斯变换——从算子符号法的概念引出拉普拉斯变换(2)
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拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域(1)
显然:不同的 = Re{s} 对应不同的信号,Laplace变换存在收敛域问题
收敛域ROC (Region of Convergence)概念:能使x(t)的Laplace
变换存在的 s 值范围( = Re{s})称为 x(t) 的Laplace变换ROC, 通
常用 s 平面上的阴影表示。
因为Fourier变换对某些信号不收敛而引入衰减因子e-t, 乘以x(t)后
再求F变换-- Laplace变换:
问题: Laplace变换一定收敛吗?
)})({)( tetxFsX
dtetxsXtxL st)()()}({
双边Laplace变换正变换
dsesX
jsXLtx st)(
2
1)}({)( 1
Laplace反变换
回答: 不一定。
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拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域(2)
例6-1(P214) 设信号𝒙𝟏 𝒕 = 𝒆−𝒂𝒕𝒖 𝒕 , (𝒂 > 𝟎);𝒙𝟐 𝒕 = −𝒆−𝒂𝒕𝒖(−𝒕)。求
𝑿𝟏 𝒔 , 𝑿𝟐(𝒔)及其收敛域。
as
1dtee dteedtu(t)ee(s)X
0
jωσ)t(a
0
statstat
1
t
aas
sXtuetxL
at
Re{s} ,1
)()()(即:
-a Re
[s]平面
𝑿𝟏(𝒔)的收敛域示意图
Im
由绝对可积条件,得:𝜎 +a>0,
解:
as
1dtedtt)eu(e(s)X
0 s)t(astat
2
由绝对可积条件,得:𝜎 +a<0, aRe{s} ,as
1X(s)t)u(ex(t)
Lat
即:
Im
-a Re
[s]平面
𝑿𝟐(𝒔)的收敛域示意图结论:Laplace变换对某些Re{s}收
敛,对某些Re{s}不收敛。所以,在
给出L变换的同时要给出变量 s 收敛
域。例6-1中两个信号的Laplace变
换式虽然相同,但ROC不同,它们表
示了完全不同的原信号。
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拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域(3)
例6-2 (P215) 设信号 )0(,)(
betxtb 求X(s)及收敛域。
解:
不存在。时,<而当
整个积分的
>->+:项第
:项第
)(X0
Re{s}: ,2
}Re{0}{R2
}Re{0}{R1 ;
)()(
22
0
)(0
)(
0
0
sb
bbROCbs
b
bsbseROC
bsbseROC
bs
e
bs
e
dteedteedtetxsX
tbstbs
stbtstbtst
bRe{s}b- ,2
)()0()(22
bs
bsXbetx
Ltb即:
结论:
并非所有的信号都存在Laplace变换,有一个
收敛域ROC问题。
Im
Re
[s]平面
X(s)的收敛域示意图
-b b
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拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的几何表示:零极点图
)(,)(
)()(
10
10 mnsasaa
sbsbb
sD
sNsX
n
n
m
m
许多信号x(t)的Laplace变换式可表示成s的有理函数
在一个有理Laplace变换式中,除去一个常数因子A外,分子分母多
项式都能用它们的根(零点和极点--零点zi使X(s)为零;极点pj使
X(s)为无穷大)来表示,而常数因子A只影响X(s)的大小,不影响X(s)
的性质。虽然X(s)不能像F变换画出幅度谱与相位谱,但在 s 平面上可
以标出零极点位置(X-极点,O-零点),-- X(s)的零极点图。
更常见或更方便
)(
)(
)(
)()(
1
1
j
n
j
i
m
i
ps
zsA
sD
sNsX
常数:
n
m
a
bA
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拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域及零极点图
解:
1}Re{1}Re{;1}Re{ ;2}Re{:ROC
)2)(102(
1252
31s
1/2
31s
1/2
2s
1
)](2
1)(
2
1)([)(
2
2
)31()31(2
ssss
sss
ss
jj
dtetuetuetuesX sttjtjt
由欧拉公式与例6-1:
)()3(cos)()( 2 tutetuetx tt 例6-3 求实指数复指数信号之和的LT及ROC
Laplace变换式
常表示为s的2个
多项式之比
有理函数 )(
)(
)(
)()(
1
1
j
n
j
i
m
i
ps
zsA
sD
sNsX
Im
-1
Re
[s]平面
X(t)的收敛域示意图
-2
-1+3j
-1-3j
极点零点
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拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(1)
ROC的某些具体特性与x(t)的特性有关,
ROC的边界位置可以由X(s)的极点决定。
Review:Ex.6-1 aas
sXtuetxL
at
Re{s} ,1
)()()(Im
-a Re
[s]平面
aas
sXtuetxL
at
Re{s} ,1
)()()(
Im
-a Re
[s]平面
bRe{s}b- ,2
)()(22
)0(
bs
bsXetx
LbtbEx.6-2
Im
-b
Re
[s]平面
b
1}Re{;)1)(2(
1)()(2)(3)( 2
s
ss
ssXtuetuetx
Ltt
Ex.6-3
-1
Re
[s]平面 Im
-2 +1
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拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(2)
性质1 X(s)的收敛域在 s 平面上由平行于虚轴 j 的带状区域组成
(即收敛域与S的虚部无关,因为在X(s)的ROC内的这些s值都是绝对
可积的,该条件只与实部有关)。
性质2 对有理Laplace变换来说,ROC内不包括任何极点(因为若包
含一个极点,则X(s)在该点为无穷大,积分不收敛)。
性质3 若 x(t)是时限的,且绝对可积,则其X(s)的ROC是整个s平面。
直观理解:时限信号x(t)(T1t T2),乘以衰减因子e-t(>0-指数衰
减; <0-指数增长), 因为x(t)是时限的,e-t x(t) 不可能无界,所以
一定可积。
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拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(3)
性质4 若x(t)是右边信号,且X(s)存在,则X(s)的ROC一定在其最
右边极点的右边。指t<T1, x(t)=0的信号
性质5 若x(t)是左边信号,且X(s)存在,则X(s)的ROC一定在其最
左边极点的左边。
T1
t
X(t)
T1
X(t)
t
Im
Re
[s]平面
-1
[s]平面
-2
Im
Re
2017/4/10 22
拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(4)
一个信号x(t)要么不存在Laplace变换,否则就一定属于性质3~性质
6这4类情况中的某一种,即整个s平面(有限长信号),某一左半平面
(左边信号),某一右半平面(右边信号),带状收敛域(双边信号)。
例6-4 设 , 试画出该变换式的零极点图及其ROC的
几种可能情况(P219)。
)2)(1(
1)(
sssX
解: 极点s=-1, s=-2。画出零极点图后,分信号是右、左、双边3种
情况讨论,由性质4~6可得到相应的ROC。参见P219图6-11。
性质6 若x(t)是双边信号,且X(s)存
在,则X(s)的ROC一定在由s平面的一
条带状域所组成。
Im
-b
Re
[s]平
面
b
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主要内容
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
阶跃、指数、冲激、正弦。。。。
双边拉普拉斯变换的性质
周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换
单边拉普拉斯变换
LTI系统的复频域分析
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常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(1)
(1)单位阶跃信号u(t)--(右边信号)
0}Re{ ;1
)}({00
sss
edtetuL
stst
(2)单边指数信号 )(tue at --(右边信号)
asas
dteetueL statat
}Re{ ;1
)}({0
(3)单位冲激信号δ(t)
{ ( )} ( ) 1; sstL t t e dt ROC
为整个 平面
如果冲激出现在t=t0(t0>0), 则 0)}({ 0
stettL
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常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(2)
(4)信号tn u(t)--(右边信号)
)}({)(
)(
1)}({
1
0
11
00
00
tutLs
ndtet
s
ndtt
s
nee
s
t
des
tdtettutL
nstnnststn
stnstnn
由分部
积分法:
特别地:当n=1,为单位斜坡函数0}Re{;
1)}({
1)}({
1)}({
2
0 ss
tuLs
tutLs
ttuL
当n=2,为抛物线函数 0}Re{;2
)}({3
2 ss
tutL
...
0}Re{;!
)}({1
ss
ntutL
n
n
...
当n为任意值,则
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常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(3)
(5)正弦信号cos0t·u(t)--(右边信号)
0}Re{ ;)11
(2
1
)(2
1
)(2
1
2
1
2
1
)(2
1cos)}({cos
2
0
200
00
)(
00
)(
)(
0
)(
0
0000
00
00
00
ss
s
jsjs
js
e
js
e
dtedte
dteeedtettutL
tjstjs
tjstjs
sttjtjst
同理:正弦信号sin0t·u(t)--(右边信号)
0}Re{ ;sin)}({sin2
0
2
0
000
ss
dtettutL st
注意到:p1, p2=j0
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常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(4)
(6)衰减正弦信号e-atcos0t·u(t)--(右边信号)
as as
as
jas
e
jas
e
dteeeedtetetuteL
tjastjas
sttjtjatstatat
}Re{;)(
)(2
1
)(2
1
)(2
1cos)}(cos{
2
0
2
00
)(
00
)(
0000
00
00
同理:衰减正弦信号e-atsin0t·u(t)--(右边信号)
asas
dtetetuteL statat
}Re{ ;)(
sin)}(sin{2
0
2
0
000
注意到:p1, p2=-aj0
2017/4/10 28
主要内容
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换的性质
周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换
单边拉普拉斯变换
LTI系统的复频域分析
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双边拉普拉斯变换的性质(1)作用:利用拉普拉斯变换性质,可以简化求解过程
注意:(1)Laplace变换是Fourier变换的推广(X(s)=F{e-tx(t)}),所
以性质与F变换类似,不同处是Laplace变换要考虑收敛域问题;(2)单边
Laplace变换与双边变换性质大部分相同,仅时域微分与时域积分不同
(1)线性
111 );()( RROCsXtx LT
222 );()( RROCsXtx LT
2122112211 RR);()()()( 至少包含ROCsXasXatxatxa LT
交集1) 小于R1与R2,ROC为交集;
2) ,说明 不存在;
3)在相加过程发生零极点相消,ROC可能扩大
21 RR
21 RR )()( 2211 sXasXa
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双边拉普拉斯变换的性质(2)
求L{x1(t)-x2(t)}.
1}Re{;1
1)()( 11
s
ssXtx LT例6-5(P221)已知
1}Re{;)2)(1(
1)()( 22
s
sssXtx LT
解:
-1Re{s} -1;Re{s}
-2Re{s} ;2
1
)2)(1(
1
1
1)}()({)( 21
ssss
txtxLsX
-2
注意:因为该例产生了零极点相消情况,所以收敛域扩大。
-1 -1
ROC示意图
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双边拉普拉斯变换的性质(总结)(1)线性
2122112211 RR);()()()( 至少包含ROCsXasXatxatxa LT
RROCsXettxstLT
),()( 0
0(2)时域平移性质
RROCsXtxL );()}({
}Re{);(})({ aRROCasXetxL at (3)S域平移性质
(4)尺度变换特性 aRRROCa
sX
aatxL 1);(
1)}({
(5)时域微分RRROCssX
dt
dxL 包含1);(}{
(6)s域微分RROC
ds
sdXttx
LT
;)(
)(
(7)时域卷积性质 212121 R);()()}()({ RROCsXsXtxtxL 包含
(8)时域积分性质 0}Re{s}R );(1
)( {包含ROCsX
sdx LT
t
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双边拉普拉斯变换性质(9)
异函数不包含冲激或者高阶奇
定理限制条件:
)(,0
00,
txt
x(t)t
(9)初值和终值定理
x(0+)-即x(t)当t从正值方向趋于0时的值
即x(t)当t时的值
切的初值注意条件,要保证有确初值定理: );(lim)0( ssXxs
0( ) lim ( ) lim ( ); lim ( )
( ) 1
t s tx x t sX s x t
X s s
终值定理: 条件是 存在
的极点均在 平面的左半平面(或原点处有 阶极点)
例6-61
1 21 21 2
1 2
( ) ( )
( ) lim 0i
Ls t s t
s t
it
a aX s x t a e a e
s s s s
x e s
存在 存在
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双边拉普拉斯变换性质(9-2)
解: 由例6-3:
1}Re{;)2)(102(
1252 )()(
2
2
s
sss
sssXtx
LT
例6-7 由(例6-3) )()3(cos)()( 2 tutetuetx tt 验证初值与终
值定理2)0( x
由初值定理与终值定理
2)2)(102(
1252lim)(lim)0(
2
2
sss
sssssXx
ss
0)2)(102(
1252lim)(lim)(lim)(
2
2
00
sss
sssssXtxx
sst
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双边拉普拉斯变换性质(9-2)
解:
-1 21 1 1 1( ) ( ) L [ ( - )]= [ 1] ( )
2 2 2
LTtX s x t e u t
s s
例6-81
( )( 2)
X ss s
验证终值定理
双边Laplace变换的性质列表如P224所示
发散,终值定理不成立
𝑥 ∞ = lim𝑡→∞
𝑥(𝑡) = lim𝑠→∞
𝑠𝑋(𝑠) = lim𝑠→∞
𝑠1
𝑠(𝑠 − 2)= −
1
2