第六章信号与系统的复频域分析 · 2017/4/10 1 浙江大学控制科学与工程学系...

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2017/4/10 1 浙江大学控制科学与工程学系 信号与系统 Signals and Systems 第六章 信号与系统的复频域分析 Chapter 6 The Complex Frequency Domain Analysis of Signal and System 控制系网络课程平台:http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/

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2017/4/10 1

浙江大学控制科学与工程学系

信号与系统 Signals and Systems

第六章信号与系统的复频域分析

Chapter 6 The Complex Frequency Domain Analysis of

Signal and System

控制系网络课程平台:http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/

Page 2: 第六章信号与系统的复频域分析 · 2017/4/10 1 浙江大学控制科学与工程学系 信号与系统Signals and Systems 第六章信号与系统的复频域分析 Chapter

2017/4/10 2

复习与概述将输入信号表示成基本信号的线性组合

时域:

dtxtx )()()(

系统的输出

dthxthtxty )()()(*)()(时域

频域: k

ts

kkeatx )( 频域

k

ts

kkkesHaty )()(

LTI系统,h(t)x(t) y(t)

est stesH )(

(t) h(t)

LTIS基本关系

t

s dehsH )()(

LTIS

迭加原理

连续系统Fourier变换 :考虑特征函数复指数信号est中令s=jω,

est=ejωt形式的复指数信号表示方法--第三章的内容

复频 (Laplace变换) :考虑特征函数复指数信号est中令s=+jω形式的

复指数信号表示--广义Fourier变换,求系统响应并进行S域的分析

X(s) Y(s)=H(s)X(s)H(s)特征函数

特征值

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2017/4/10 3

主要内容

拉普拉斯变换

常用信号的拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换的性质

周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换

单边拉普拉斯变换

LTI系统的复频域分析

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2017/4/10 4

拉普拉斯变换——基本内容

拉普拉斯变换

引言

从Fourier变换到拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的收敛域

拉普拉斯变换的几何表示

x(t)的时域特性与其拉普拉斯变换X(s)的收敛域的关系

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2017/4/10 5

拉普拉斯变换——引言

19世纪末,英国工程师 O. Heaviside (1850-1925) 算子法

P.S. Laplace (1749-1825) 数学依据 拉普拉斯变换

拉氏变换与对数变换的比较

数 nk lnnk

取对数

积、商 ∑lnnk

反对数

乘、除 加、减

f(t)的积分

微分方程F(s)=L[f(t)]

拉氏变换

f(t)=L-1[F(s)] F(s)

古典法

逆变换

代数运算

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2017/4/10 6

拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(1)

)()( jXtx F )()(

1

txjX F

)()()( jjejXjX

幅度谱 相位谱

复习Fourier变换

F变换为信号与系统的频域分析提供了手段,但进行F变换的前提

是信号满足收敛条件

F变换把时域分析的卷积运算转化为频率域的乘积运算。

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2017/4/10 7

复习连续时间傅里叶变换收敛的条件为:

若x(t)能量有限 ,则x(t)与 在能量

上无差别,但不能保证在时域上处处相等。

dttx

2)(

dtejXtx tj

)(

2

1)(ˆ

1)x(t)绝对可积,即

dttx )(

2)在任何有限区间内,x(t)只有有限个最大值和最小值

3)在任何有限区间内,x(t)只有有限个不连续点,且不连续点上信

号具有有限值。

拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(2)

狄里赫利条件

一些常见的信号如阶跃、斜坡、周期都不满足绝对可积的条件,不能

直接求F变换--虽然借助广义函数可求,然而出现冲激函数(t)

分析不可积原因:当 ,x(t)不趋于零,有的还增大t

k

k

F kajXtx )(2)(2)( 01 周期信号:

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2017/4/10 8

拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(3)

dtetxdteetxetxF jttjtt )()()()})({

解决办法:引入衰减因子e-t, 乘以x(t),使 ,可F变

0)(, tetxt

dtetxjX tj )()()(

S

dtetxsXtxL st)()()}({(

双边Laplace变换正变换

jsdejXtx

dejXjXFetx

tj

tjt

令,)(2

1)(

)(2

1)}({)(

)(

1

j

j

stdsesXj

sXLtx

)(

2

1)}({)( 1 Laplace反变换

X(t)的

象函数

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2017/4/10 9

拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(4)

另一种办法:从特征函数的角度

定义L变换

X(s) Y(s)=H(s)X(s)H(s)

dtetxsXtxL st)()()}({(

LTI系统,h(t)x(t) y(t)

est stesH )(

(t) h(t)

LTIS基本关系

t

s dehsH )()(

特征值

对任意的 s 均成立

特征函数

j

j

stdsesXj

sXLtx

)(

2

1)}({)( 1 Laplace反变换

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2017/4/10 10

F变换:时域与频域的联系, t, 为实数

L变换:时域与复频域的联系,t为实数,s为复数

js

F

sXjXtx

)()()(F变换与L变换的关系

0

)()( dtetxsX st注意:若x(t)=0当t0,则

单边Laplace变换

拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(5)

Fourier变换: tjed

jXtx

2

)()(将信号表示为无限多个频率

为、复振幅为

的虚指数分量之和

2)(

djX

Laplace变换: stej

dssXtx

2

)()(将信号表示为无限多个复频

为s、复振幅为

的复指数分量之和j

dssX

2)(

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2017/4/10 11

拉普拉斯变换——从Fourier变换到拉普拉斯变换(6)

衰减因子e-t

数学含义:

原函数乘以衰减因子以满足绝对可积条件

物理含义:频率变换为复频率s。

只能描述振荡的重复频率,

而s不仅描述重复频率,还描述振荡幅度的增长速率或衰减速率

( )st j t t j te e e e

稳定性的问题

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2017/4/10 12

( ) ( )

( )( )

x t X s

dx tsX s

dt

( ) ( ) ( , )X s x t h t s dt

x t h t s

t x t h t s

要保证 ( ) ( , )的积分收敛,规定:

当 时, ( ) ( , ) 0

假定此变换可通过以下积分实现:

( )( ) ( , ) ( ) ( , ) | ( ) ( , )

dx tsX s h t s dt x t h t s x t h t s dt

dt

拉普拉斯变换——从算子符号法的概念引出拉普拉斯变换(1)

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2017/4/10 13

( ) ( ) '( , )sX s x t h t s dt

( ) ( , ) ( ) '( , )s x t h t s dt x t h t s dt

( , )( , ) '( , )

dh t ssh t s h t s

dt

( , ) ln[ ( , )]

( , )

dh t ssdt h t s st

h t s

积分

( , ) ( ) ( )st sth t s e X s x t e dt

拉普拉斯变换——从算子符号法的概念引出拉普拉斯变换(2)

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2017/4/10 14

拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域(1)

显然:不同的 = Re{s} 对应不同的信号,Laplace变换存在收敛域问题

收敛域ROC (Region of Convergence)概念:能使x(t)的Laplace

变换存在的 s 值范围( = Re{s})称为 x(t) 的Laplace变换ROC, 通

常用 s 平面上的阴影表示。

因为Fourier变换对某些信号不收敛而引入衰减因子e-t, 乘以x(t)后

再求F变换-- Laplace变换:

问题: Laplace变换一定收敛吗?

)})({)( tetxFsX

dtetxsXtxL st)()()}({

双边Laplace变换正变换

dsesX

jsXLtx st)(

2

1)}({)( 1

Laplace反变换

回答: 不一定。

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2017/4/10 15

拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域(2)

例6-1(P214) 设信号𝒙𝟏 𝒕 = 𝒆−𝒂𝒕𝒖 𝒕 , (𝒂 > 𝟎);𝒙𝟐 𝒕 = −𝒆−𝒂𝒕𝒖(−𝒕)。求

𝑿𝟏 𝒔 , 𝑿𝟐(𝒔)及其收敛域。

as

1dtee dteedtu(t)ee(s)X

0

jωσ)t(a

0

statstat

1

t

aas

sXtuetxL

at

Re{s} ,1

)()()(即:

-a Re

[s]平面

𝑿𝟏(𝒔)的收敛域示意图

Im

由绝对可积条件,得:𝜎 +a>0,

解:

as

1dtedtt)eu(e(s)X

0 s)t(astat

2

由绝对可积条件,得:𝜎 +a<0, aRe{s} ,as

1X(s)t)u(ex(t)

Lat

即:

Im

-a Re

[s]平面

𝑿𝟐(𝒔)的收敛域示意图结论:Laplace变换对某些Re{s}收

敛,对某些Re{s}不收敛。所以,在

给出L变换的同时要给出变量 s 收敛

域。例6-1中两个信号的Laplace变

换式虽然相同,但ROC不同,它们表

示了完全不同的原信号。

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2017/4/10 16

拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域(3)

例6-2 (P215) 设信号 )0(,)(

betxtb 求X(s)及收敛域。

解:

不存在。时,<而当

整个积分的 

>->+:项第

  :项第

)(X0

Re{s}: ,2

}Re{0}{R2

}Re{0}{R1 ;

)()(

22

0

)(0

)(

0

0

sb

bbROCbs

b

bsbseROC

bsbseROC

bs

e

bs

e

dteedteedtetxsX

tbstbs

stbtstbtst

bRe{s}b- ,2

)()0()(22

bs

bsXbetx

Ltb即:

结论:

并非所有的信号都存在Laplace变换,有一个

收敛域ROC问题。

Im

Re

[s]平面

X(s)的收敛域示意图

-b b

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2017/4/10 17

拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的几何表示:零极点图

)(,)(

)()(

10

10 mnsasaa

sbsbb

sD

sNsX

n

n

m

m

许多信号x(t)的Laplace变换式可表示成s的有理函数

在一个有理Laplace变换式中,除去一个常数因子A外,分子分母多

项式都能用它们的根(零点和极点--零点zi使X(s)为零;极点pj使

X(s)为无穷大)来表示,而常数因子A只影响X(s)的大小,不影响X(s)

的性质。虽然X(s)不能像F变换画出幅度谱与相位谱,但在 s 平面上可

以标出零极点位置(X-极点,O-零点),-- X(s)的零极点图。

更常见或更方便

)(

)(

)(

)()(

1

1

j

n

j

i

m

i

ps

zsA

sD

sNsX

常数:

n

m

a

bA

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2017/4/10 18

拉普拉斯变换——拉普拉斯变换的收敛域及零极点图

解:

1}Re{1}Re{;1}Re{ ;2}Re{:ROC

)2)(102(

1252

31s

1/2

31s

1/2

2s

1

)](2

1)(

2

1)([)(

2

2

)31()31(2

ssss

sss

ss

jj

dtetuetuetuesX sttjtjt

由欧拉公式与例6-1:

)()3(cos)()( 2 tutetuetx tt 例6-3 求实指数复指数信号之和的LT及ROC

Laplace变换式

常表示为s的2个

多项式之比

有理函数 )(

)(

)(

)()(

1

1

j

n

j

i

m

i

ps

zsA

sD

sNsX

Im

-1

Re

[s]平面

X(t)的收敛域示意图

-2

-1+3j

-1-3j

极点零点

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2017/4/10 19

拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(1)

ROC的某些具体特性与x(t)的特性有关,

ROC的边界位置可以由X(s)的极点决定。

Review:Ex.6-1 aas

sXtuetxL

at

Re{s} ,1

)()()(Im

-a Re

[s]平面

aas

sXtuetxL

at

Re{s} ,1

)()()(

Im

-a Re

[s]平面

bRe{s}b- ,2

)()(22

)0(

bs

bsXetx

LbtbEx.6-2

Im

-b

Re

[s]平面

b

1}Re{;)1)(2(

1)()(2)(3)( 2

s

ss

ssXtuetuetx

Ltt

Ex.6-3

-1

Re

[s]平面 Im

-2 +1

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拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(2)

性质1 X(s)的收敛域在 s 平面上由平行于虚轴 j 的带状区域组成

(即收敛域与S的虚部无关,因为在X(s)的ROC内的这些s值都是绝对

可积的,该条件只与实部有关)。

性质2 对有理Laplace变换来说,ROC内不包括任何极点(因为若包

含一个极点,则X(s)在该点为无穷大,积分不收敛)。

性质3 若 x(t)是时限的,且绝对可积,则其X(s)的ROC是整个s平面。

直观理解:时限信号x(t)(T1t T2),乘以衰减因子e-t(>0-指数衰

减; <0-指数增长), 因为x(t)是时限的,e-t x(t) 不可能无界,所以

一定可积。

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拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(3)

性质4 若x(t)是右边信号,且X(s)存在,则X(s)的ROC一定在其最

右边极点的右边。指t<T1, x(t)=0的信号

性质5 若x(t)是左边信号,且X(s)存在,则X(s)的ROC一定在其最

左边极点的左边。

T1

t

X(t)

T1

X(t)

t

Im

Re

[s]平面

-1

[s]平面

-2

Im

Re

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拉普拉斯变换——x(t)的时域特性与其Laplace变换的ROC的关系(4)

一个信号x(t)要么不存在Laplace变换,否则就一定属于性质3~性质

6这4类情况中的某一种,即整个s平面(有限长信号),某一左半平面

(左边信号),某一右半平面(右边信号),带状收敛域(双边信号)。

例6-4 设 , 试画出该变换式的零极点图及其ROC的

几种可能情况(P219)。

)2)(1(

1)(

sssX

解: 极点s=-1, s=-2。画出零极点图后,分信号是右、左、双边3种

情况讨论,由性质4~6可得到相应的ROC。参见P219图6-11。

性质6 若x(t)是双边信号,且X(s)存

在,则X(s)的ROC一定在由s平面的一

条带状域所组成。

Im

-b

Re

[s]平

b

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2017/4/10 23

主要内容

拉普拉斯变换

常用信号的拉普拉斯变换

阶跃、指数、冲激、正弦。。。。

双边拉普拉斯变换的性质

周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换

单边拉普拉斯变换

LTI系统的复频域分析

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常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(1)

(1)单位阶跃信号u(t)--(右边信号)

0}Re{ ;1

)}({00

sss

edtetuL

stst

(2)单边指数信号 )(tue at --(右边信号)

asas

dteetueL statat

}Re{ ;1

)}({0

(3)单位冲激信号δ(t)

{ ( )} ( ) 1; sstL t t e dt ROC

为整个 平面

如果冲激出现在t=t0(t0>0), 则 0)}({ 0

stettL

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2017/4/10 25

常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(2)

(4)信号tn u(t)--(右边信号)

)}({)(

)(

1)}({

1

0

11

00

00

tutLs

ndtet

s

ndtt

s

nee

s

t

des

tdtettutL

nstnnststn

stnstnn

由分部

积分法:

特别地:当n=1,为单位斜坡函数0}Re{;

1)}({

1)}({

1)}({

2

0 ss

tuLs

tutLs

ttuL

当n=2,为抛物线函数 0}Re{;2

)}({3

2 ss

tutL

...

0}Re{;!

)}({1

ss

ntutL

n

n

...

当n为任意值,则

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2017/4/10 26

常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(3)

(5)正弦信号cos0t·u(t)--(右边信号)

0}Re{ ;)11

(2

1

)(2

1

)(2

1

2

1

2

1

)(2

1cos)}({cos

2

0

200

00

)(

00

)(

)(

0

)(

0

0000

00

00

00

ss

s

jsjs

js

e

js

e

dtedte

dteeedtettutL

tjstjs

tjstjs

sttjtjst

同理:正弦信号sin0t·u(t)--(右边信号)

0}Re{ ;sin)}({sin2

0

2

0

000

ss

dtettutL st

注意到:p1, p2=j0

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2017/4/10 27

常用信号的拉普拉斯变换--由拉普拉斯变换定义推导(4)

(6)衰减正弦信号e-atcos0t·u(t)--(右边信号)

as as

as

jas

e

jas

e

dteeeedtetetuteL

tjastjas

sttjtjatstatat

}Re{;)(

)(2

1

)(2

1

)(2

1cos)}(cos{

2

0

2

00

)(

00

)(

0000

00

00

同理:衰减正弦信号e-atsin0t·u(t)--(右边信号)

asas

dtetetuteL statat

}Re{ ;)(

sin)}(sin{2

0

2

0

000

注意到:p1, p2=-aj0

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2017/4/10 28

主要内容

拉普拉斯变换

常用信号的拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换的性质

周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换

单边拉普拉斯变换

LTI系统的复频域分析

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2017/4/10 29

双边拉普拉斯变换的性质(1)作用:利用拉普拉斯变换性质,可以简化求解过程

注意:(1)Laplace变换是Fourier变换的推广(X(s)=F{e-tx(t)}),所

以性质与F变换类似,不同处是Laplace变换要考虑收敛域问题;(2)单边

Laplace变换与双边变换性质大部分相同,仅时域微分与时域积分不同

(1)线性

111 );()( RROCsXtx LT

222 );()( RROCsXtx LT

2122112211 RR);()()()( 至少包含ROCsXasXatxatxa LT

交集1) 小于R1与R2,ROC为交集;

2) ,说明 不存在;

3)在相加过程发生零极点相消,ROC可能扩大

21 RR

21 RR )()( 2211 sXasXa

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2017/4/10 30

双边拉普拉斯变换的性质(2)

求L{x1(t)-x2(t)}.

1}Re{;1

1)()( 11

s

ssXtx LT例6-5(P221)已知

1}Re{;)2)(1(

1)()( 22

s

sssXtx LT

解:

-1Re{s} -1;Re{s}

-2Re{s} ;2

1

)2)(1(

1

1

1)}()({)( 21

ssss

txtxLsX

-2

注意:因为该例产生了零极点相消情况,所以收敛域扩大。

-1 -1

ROC示意图

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双边拉普拉斯变换的性质(总结)(1)线性

2122112211 RR);()()()( 至少包含ROCsXasXatxatxa LT

RROCsXettxstLT

),()( 0

0(2)时域平移性质

RROCsXtxL );()}({

}Re{);(})({ aRROCasXetxL at (3)S域平移性质

(4)尺度变换特性 aRRROCa

sX

aatxL 1);(

1)}({

(5)时域微分RRROCssX

dt

dxL 包含1);(}{

(6)s域微分RROC

ds

sdXttx

LT

;)(

)(

(7)时域卷积性质 212121 R);()()}()({ RROCsXsXtxtxL 包含

(8)时域积分性质 0}Re{s}R );(1

)( {包含ROCsX

sdx LT

t

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双边拉普拉斯变换性质(9)

异函数不包含冲激或者高阶奇

            定理限制条件:

)(,0

00,

txt

x(t)t

(9)初值和终值定理

x(0+)-即x(t)当t从正值方向趋于0时的值

即x(t)当t时的值

切的初值注意条件,要保证有确初值定理: );(lim)0( ssXxs

0( ) lim ( ) lim ( ); lim ( )

( ) 1

t s tx x t sX s x t

X s s

终值定理: 条件是 存在

的极点均在 平面的左半平面(或原点处有 阶极点)

例6-61

1 21 21 2

1 2

( ) ( )

( ) lim 0i

Ls t s t

s t

it

a aX s x t a e a e

s s s s

x e s

存在 存在

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双边拉普拉斯变换性质(9-2)

解: 由例6-3:

1}Re{;)2)(102(

1252 )()(

2

2

s

sss

sssXtx

LT

例6-7 由(例6-3) )()3(cos)()( 2 tutetuetx tt 验证初值与终

值定理2)0( x

由初值定理与终值定理

2)2)(102(

1252lim)(lim)0(

2

2

sss

sssssXx

ss

0)2)(102(

1252lim)(lim)(lim)(

2

2

00

sss

sssssXtxx

sst

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双边拉普拉斯变换性质(9-2)

解:

-1 21 1 1 1( ) ( ) L [ ( - )]= [ 1] ( )

2 2 2

LTtX s x t e u t

s s

例6-81

( )( 2)

X ss s

验证终值定理

双边Laplace变换的性质列表如P224所示

发散,终值定理不成立

𝑥 ∞ = lim𝑡→∞

𝑥(𝑡) = lim𝑠→∞

𝑠𝑋(𝑠) = lim𝑠→∞

𝑠1

𝑠(𝑠 − 2)= −

1

2