凝縮熱伝達...凝縮現象蒸気が低温（露点以下）の面にふれると起こる...

凝縮熱伝達

凝縮現象

蒸気が低温（露点以下）の面にふれると起こる

滴状凝縮冷却面と液の接触角が大きい場合

冷却面に滴状に凝縮、熱伝達係数大

核沸騰熱伝達に対応

膜状凝縮冷却面と液の接触角が小さい場合

冷却面に膜状に凝縮、熱伝達係数小

膜沸騰熱伝達に対応

接触角

気体と液体の界面エネルギー：σL

気体と固体の界面エネルギー：σS

固体と液体の界面エネルギー：σi

接触角φはこれらのエネルギーのバランスから決まる

濡れやすい面：接触角小

濡れにくい面：接触角大

0cos SiL =σ−σ+φσ

L

iScosσ

σ−σ=φ

気泡の離脱

気泡がある大きさになると浮力により伝熱面を離脱離脱気泡直径db

浮力と表面張力のバランス

浮力

表面張力

Fritzの式

)(gd6 VL

3b ρ−ρπ

φσπ sind0)(g

sindVL

b ρ−ρσφ∝

�1400 )(g

0209.0dVL

b ≤φ≤ρ−ρ

σφ=

凝縮液膜の基礎方程式

水平面となす角φをする

下向きに座標軸をとる。２次元、非圧縮性の一般的な式

連続の式

運動量の式

0yv

xu =

∂∂+

∂∂

φρ+∂∂µ+

∂∂µ+

∂∂−=

∂∂ρ+

∂∂ρ sing

yu

xu

xp

yuv

xuu L2

2

L2

2

LLL

φρ−∂∂µ+

∂∂µ+

∂∂−=

∂∂ρ+

∂∂ρ cosg

yv

xv

yp

yvv

xvu L2

2

L2

2

LLL


エネルギーの式

気相は静止していると仮定

これを液相の式に代入

2

2

L2

2

LLPLLPL yT

xT

yTvc

xTuc

∂∂λ+

∂∂λ=

∂∂ρ+

∂∂ρ

φρ+∂∂−= singxp0 g φρ=

∂∂ singxp

g

φρ+∂∂µ+

∂∂µ+

∂∂−=

∂∂ρ+

∂∂ρ sing

yu

xu

xp

yuv

xuu L2

2

L2

2

LLL

φρ−ρ+∂∂µ+

∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ sing)(

yu

xu

yuv

xuu gL2

2

L2

2

LLL


水平面となす角φをする

下向きに座標軸をとる。２次元、非圧縮性

連続の式

運動量の式（流れ方向成分のみ考える）


0yv

xu =

∂∂+

∂∂

φρ−ρ+∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ sin)(g

yu

yuv

xuu gL2

2

LLL

2

2

LLPLLPL yT

yTvc

xTuc

∂∂λ=

∂∂ρ+

∂∂ρ

境界条件

y=0（伝熱面）で u=v=0, T=TW

y=δ（液膜界面）で T=TS

δは液膜厚さ。は気液界面の剪断力が小さいと仮定した条件

厳密には気液界面での剪断力が働く

以上の基礎方程式を解くことにより凝縮熱伝達が解析出来る。

0yu

L =∂∂µ

0yu

L =∂∂µ

液膜流量の式

x=0からx=xまでに凝縮した液体が液膜厚さδとなって流れる。熱平衡を仮定する。

熱のバランスを考えるとδに関する積分方程式が得られる。

液膜内の速度分布温度分布を与えればこの積分方程式を解くことが出来る

��=

δδ

��

��

�

∂∂λ=−ρ+ρ

x

00y

L0 sPLL0 Lfg dxyTdy)TT(ucudyH

液膜内の速度分布

運動方程式を積分

液膜厚さが薄いので対流運動量項を無視

層流を仮定

y=0からy=δまで積分して

y=δ（液膜界面）でを用いて

φρ−ρ−=∂∂µ sin)(gyu

gL2

2

L

Cysin)(g

yu

L

gL +µ

φρ−ρ−=

∂∂

0yu

L =∂∂µ

δµ

φρ−ρ=

L

gL sin)(gC

液膜内の速度分布もう一度y=0からy=δまで積分して

y=0でu=0を用いて C=0

液膜内平均速度um

Cysin)(g

y2

sin)(gu

L

gL2

L

gL +δµ

φρ−ρ+

µφρ−ρ

−=

)yy2(2

sin)(gu 2

L

gL −δµ

φρ−ρ=

2

L

gL3

L

gL

0

2

L

gL

0m

3sin)(g

32

2sin)(g

dy)yy2(2

sin)(gudy1u

δµ

φρ−ρ=δ

δµφρ−ρ

=

−δδµ

φρ−ρ=

δ= ��

δδ

液膜内の温度分布

液膜のエネルギーバランス式

を変形して

と仮定（顕熱輸送は潜熱輸送に比べて小さい）出来る場合が多く

��=

δδ

��

��

�

∂∂λ=−ρ+ρ

x

00y

L0 sPLL0 Lfg dxyTdy)TT(ucudyH

��=

δ

��

��

�

∂∂λ=

��

�

� −+ρx

00y

L0fg

sPLLfg dx

yTdy

H)TT(c1uH

1H

)TT(cH

)TT(c

fg

WsPL

fg

sPL <<−≤−

��=

δ

��

��

�

∂∂λ=ρ

x

00y

L0Lfg dxyTudyH

液膜内の温度分布

顕熱輸送は潜熱輸送に比べて小さい場合にはエネルギー保存式は

y=0からy=δまで２回積分して

y=0でT=TW y=δでT=TSを用いて

微分してy=0とおけば

0yT2

2

L =∂∂λ

21 CTCT +=

δ−+= y)TT(TT WSW

δ−=��

�

��

�

∂∂

=

WS

0y

TTyT

液膜厚さの基礎方程式

顕熱輸送を無視した液膜のエネルギーバランス式

に速度分布

及び壁面での温度勾配

を代入し積分を実行

��=

δ

��

��

�

∂∂λ=ρ

x

00y

L0Lfg dxyTudyH

)yy2(2

sin)(gu 2

L

gL −δµ

φρ−ρ=

δ−=��

�

��

�

∂∂

=

WS

0y

TTyT


左辺

右辺

これから

を用いて

3

L

gLLfg

3

L

gLLfg

0

2

L

gLLfg0Lfg

3sin)(g

H32

2sin)(g

H

dy)yy2(2

sin)(gHudyH

δµ

φρ−ρρ=δ

µφρ−ρ

ρ=

−δµ

φρ−ρρ=ρ ��

δδ

�� δ−λ=��

�

��

�

∂∂λ

=

x

0

x

0 WsL0y

Ldx)TT(dx

yT

� δ−λ=δ

µφρ−ρ

ρx

0WSL3

L

gLLfg

dx)TT(3

sin)(gH

PLL

LL

L

LL c

,ρ

λ=κρµ=ν

� δφ��

�

��

�

ρρ−ρκν−=δ x

0

L

gL

LL

fg

WSPL3 dx

sin)(

gH

)TT(c3


δはxの関数だから

をxで微分して

� δ=

δx

0

1dxdxd

� δφ��

�

��

�


0

L

gL

LL

fg

WSPL3 dx

sin)(

gH

)TT(c3

δφ��

�

��

�

ρρ−ρκν−=δδ 1

sin)(

gH

)TT(cdxd

L

gL

LL

fg

WSPL2

dxsin

)(g

H)TT(cd

L

gL

LL

fg

WSPL3

φ��

��

�

ρρ−ρκν−=δδ


をx=0でδ=0としてx=0からx=xまで積分

dxsin

)(g

H)TT(cd

L

gL

LL

fg

WSPL3

φ��

��

�

ρρ−ρκν−=δδ

xsin

)(g

H)TT(c

41

L

gL

LL

fg

WSPL4

φ��

��

�

ρρ−ρκν−=δ

φ��

��

�

ρρ−ρκν−=�

�

��

� δ

sin)(

gH

)TT(cx14

x

L

gL

LL

fg

WSPL3

4


変形して

グラスホフ数とプラントル数

通常のグラスホフ数

��

��

�

κν

νφ��

�

��

�

ρρ−ρ

−=��

��

� δ

L

L2LL

gL3fg

WSPL4

1sin)(

gx

1H

)TT(c4x

��

��

�

κν=

L

LLPr2

LL

gL3x

1sin)(

gxGrν

φ��

��

�

ρρ−ρ

=

4/1Lx

4/1

fg

WSPL

)PrGr(1

H)TT(c2

x ��

�

��

� −=��

�

� δ

2L

3x

1TgxGrν

∆β=

熱伝達係数

温度分布より

熱流束は

これから熱伝達係数は

を代入して

δ−+= y)TT(TT WSW

δ−λ=��

�

��

�

∂∂λ=

=

WSL

0yLw

TTyTq

δλ=

−δ−λ=

−= L

WS

WSL

WS

wx TT

1TTTT

qh

4/1Lx

4/1

fg

WSPL

)PrGr(1

H)TT(c2

x ��

�

��

� −=��

�

� δ

4/1Lx

4/1

WSPL

fgLx )PrGr(

)TT(cH

21

xh �

�

��

�

−λ=

熱伝達係数

局所ヌッセルト数を用いて

x=0からx=xまでの平均熱伝達係数hm

平均ヌッセルト数Numは

L

xx

xhNuλ

=

4/1Lx

4/1

WSPL

fgx )PrGr(

)TT(cH

21Nu �

�

��

�

−=

4/1x x1h =∝

x4/3x

0 4/1

x

0 xm h34Ax

34

x1dx

xA

x1dxh

x1h ==== ��

943.02

134 )PrGr(

)TT(cH

21

34xhNu 4/1

Lx

4/1

WSPL

fg

L

mm ≅�

�

��

�

−=

λ=

熱伝達係数

単相流の熱伝達係数（垂直平板の自然対流）

Nu=0.56(GrPr)0.25

凝縮熱伝達係数

類似の形の項が非常に大きく大きな熱伝達係数となる

)PrGr()TT(c

H943.0Nu 4/1

Lx

4/1

WSPL

fgm �

�

��

�

−=

��

��

�

− )TT(cH

WSPL

fg

凝縮熱伝達係数の別の表し方

膜レイノルズ数 Rex

ここで umは液膜の平均速度

ここで伝熱面単位幅あたりに流下する液体流量をΓとする

円管内の液膜流：液のレイノルズ数

jL:液の見かけの速度

QL:液の体積流量

L

mx

u4Reνδ=

mL uδρ=Γ

LL

mL

L

mx

4u4u4ReµΓ=

µδρ=

νδ=

)4/D(QDDjRe 2

L

LL

LL πν

=ν

=mL uDQ δπ=

D/u4)4/D/(uD)4/D/(Qj m2

m2

LL δ=πδπ=π=

L

mm

LL

LL

u4Du4DDjRe

νδ=δ

ν=

ν=

δ

D

凝縮熱伝達係数の別の表し方平均の凝縮熱伝達係数hmは

だから

x4/3x

0 4/1

x

0 xm h34Ax

34

x1dx

xA

x1dxh

x1h ==== ��

δλ=

−δ−λ=

−= L

WS

WSL

WS

wx TT

1TTTT

qh

δλ== L

xm 34h

34h 2

L

2

L

gL

0m 3sing

3sin)(g

udy1u δν

φ≅δµ

φρ−ρ=

δ= �

δ

32LL

2

LL

mx

sing34

3sing4u4Re δ

νφ=

νφδ

νδ=

νδ= φν�

�

��

�=δ − 3/13/12L

3/1x

3/1

sin)g/(Re43

3/12L

3/1x

L3/13/4

Lm )g/(Re

sin34

34h

νλφ�

�

��

�=δ

λ=

3/1x

3/13/1

x

3/13/4

L

3/12Lm

Re1sin47.1

Re1sin

34)g/(h φ=φ��

��

�=λ

ν

凝縮熱伝達係数の別の表し方

液膜レイノルズ数で表した凝縮熱伝達係数

は長さの次元を持つので左辺は一種の

ヌッセルト数。これを凝縮数という

大気圧の飽和蒸気（１００℃）で壁温２０℃ 長さ1mの垂直平板 sin φ=1, x=1m

液膜厚さ0.26mm 液膜レイノルズ数990平均熱伝達係数2489W/(m2K)

3/1x

3/1

L

3/12Lm

Re1sin47.1)g/(h φ=

λν

3/12L )g/(ν

実験データとの比較

実験結果は理論式より２８％大きくなる

液膜表面にさざ波ができて凝縮の面積がひろがるため

Rex<1400で層流であることは確認されている

Rex>1800になると液膜は乱流になる。

実験結果による相関式。

4.0x

L

3/12Lm Re0077.0)g/(h =λ

ν

液膜厚さが非常に薄い場合

局所的な凝縮熱伝達係数

x→でδ→0 従ってhx→∞

しかし実際にはそうはならない

液膜表面で温度を連続と仮定

実際は凝縮は非平衡現象だからわずかの温度差が生じる

液膜が非常に薄い場合にはこの温度差が重要

δλ=

−δ−λ=

−= L

WS

WSL

WS

wx TT

1TTTT

qh

4/1Lx

4/1

WSPL

fgx )PrGr(

)TT(cH

21Nu �

�

��

�

−=

4/1x x1h =∝


液膜へ飛び込む分子と液膜から飛び出す分子の挙動を分子運動論で解析


液膜表面温度は壁面温度に等しい

よって熱伝達係数は

液膜厚さ0.09ミクロン以下大気圧の飽和蒸気で7.8x106W/(m2K)

WfgM

S

fgV

S

L

V qHRT2

HT1T

απ

ρ��

��

�

ρρ−=∆

S

fgM

S

fgV

VL

LWx RT2

HTH

Tqh

παρ

ρ−ρρ=

∆=

凝縮の分子運動論

理想気体を仮定する

気液界面へ単位面積単位時間に流れ込む分子数

Nは単位体積あたりの分子数

は分子の平均速度。分子の速度がMaxwell-Boltzmann分布に従うとすれば

vN41

v

)kT2

mvexp(kT2

m)v(F22/3

−��

��

�

π=

mkT8dvv4)

kT2mvexp(

kT2mvv

0

222/3

π=π−�

�

��

�

π= �

∞


の分子のうちαMが液体中にはいり、(1-αM) が気体に跳ね返されるとする。

αMを凝縮係数と呼ぶ。

液体に正味入る分子数は

その質量流束GCは

理想気体を考えると

p=NkT k:Boltzmann定数 N=p/(kT)

vN41

v

πα=

πα=α=

2mkTN

mkT8mN

41vmN

41G MMMC

vN41

Mα


気体定数R, R0

pV=n R0 T pV=nM(R0 /M)T p=ρRT R= R0 /M M:分子量

p=NkT=mN(k/m)T= ρ (k/m)T R=k/m

蒸気は飽和温度であるから

RT21p

kT2mp

2mkT

kTp

2mkTNG MMMMC π

α=π

α=π

α=π

α=

SMC RT2

1pGπ

α=


気液界面の液体側からも分子が飛び出す（蒸発）

液体側も理想気体で近似する。また液体側から気液界面に流れ込む分子の内αMが蒸気側へ入り、 (1-αM)が液体側に跳ね返されるとする。αMを蒸発係数と呼び通常は凝縮係数と同じ値を仮定する。

液体側から気体側へ流れ込む正味の質量流量（蒸発量）GEVは

p’は液体側の圧力 S

'MEV RT2

1pGπ

α=


正味の凝縮量は

これが蒸発潜熱を運ぶからこれによる熱流束qWは

クラジウス－クラペイロンの式を用いて

S

'MEVC RT2

1)pp(GGπ

−α=−

S

'MfgEVCfgW RT2

1)pp(H)GG(Hqπ

−α=−=

��

��

�

ρρ−

ρ==

∆−=

L

VS

Vfg

VS

fg

1T

HvT

HT

'ppdTdp

S

Mfg

L

VS

VfgW RT2

H

)1(T

HTq

πα

ρρ−

ρ∆=

WfgM

S

fgV

S

L

V qHRT2

HT1T

απ

ρ��

��

�

ρρ−=∆

対流及び慣性の影響これまでは、運動量の式、エネルギーの式において、慣性項を無視

プラントル数が大きい場合には粘性力影響が無視できない。液膜内のエネルギーバランス式

速度分布温度分布はそのままと仮定

��=

δ

��

��

�

∂∂λ=

��

�

� −+ρx

00y

L0fg

sPLLfg dx

yTdy

H)TT(c1uH

δ−−−=− y)TT()TT(TT WSWSS

)yy2(2

sin)(gu 2

L

gL −δµ

φρ−ρ=

対流及び慣性の影響左辺

3

L

gLL

fg

WSPLfg

4

L

gLL

fg

WSPLfg

3

L

gLL

fg

WSPLfg

0

2

L

gLL

fg

WSPLfg

0

2

L

gLL

fg

WSPLfg

0fg

SPLLfg

32

2sin)(g

H)TT(c

831H

125

2sin)(g

H)TT(cH

32

2sin)(g

H)TT(c1H

ydy)yy2(2

sin)(gH

)TT(cH

dy)yy2(2

sin)(gH

)TT(c1H

dyH

)TT(c1uH

δµ

φρ−ρρ��

�

��

� −+=

δµ

φρ−ρρ

δ−−

δµ

φρ−ρρ��

�

��

� −+=

−δµ

φρ−ρρ

δ−−

−δµ

φρ−ρρ��

�

��

� −+=

��

�

��

� −+ρ

�

�

�

δ

δ

δ

対流及び慣性の影響

右辺はそのまま

従って、対流と慣性を無視した解析に於いて

Hfgを

に置き換えるだけでよい。実際には温度分布も直線ではなくなるので、それをもっと精密に与えた結果(Rohsenow)はHfgを

に置き換えればよいことを示す。

��

�

��

� −+fg

WsPLfg H

)TT(c831H

��

�

��

� −+fg

WsPLfg H

)TT(c68.01H

対流及び慣性の影響

プラントル数が１程度より以下

実際には慣性項を対流項を取り入れた解析が必要。数値解あるいは級数による解（単相流の自然対流）で解析可能。

Sparrow & Greggの解析

プラントル数の影響

プラントル数が大きい場合はRohsenowの解

と一致。プラントル数が小さい場合には慣性による流れの減速による効果

蒸気の摩擦力の影響

これまでは気液界面の摩擦を無視

液膜厚さが厚い場合、液膜速度が早い場合

蒸気が平行に流れている場合

界面での摩擦を無視できない

垂直平板飽和凝縮の場合

液膜厚さが厚い場合、液膜速度が早い場合

摩擦により液膜の速度が遅くなり熱伝達が悪くなる

その影響を厳密に解析評価する必要

蒸気の摩擦力の影響（垂直平板飽和凝縮）

基礎式は液膜と蒸気について考える

（液膜） 0y

vx

u LL =∂∂+

∂∂

L2L

2

LL

LLL

LL gyu

yuv

xuu ρ+

∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ

2L

2

LL

LLPLL

LLPL yT

yTvc

xTuc

∂∂λ=

∂∂ρ+

∂∂ρ


基礎式は液膜と蒸気について考える

（蒸気）

T=TS （蒸気温度は一定）

0y

vx

u VV =∂

∂+∂

∂

V2V

2

VV

VVV

VV gyu

yuv

xuu ρ+

∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ


境界条件

（気液界面）uL=uV, TL=TS

θ<<1の時

（壁面） y=0 uL=vL=0, TL=TW

（無限遠方）y=∞ uV=vV=0, Tv=TS

θρ−θρ=θρ−θρ sinucosvsinucosv VVVVLLLL

yu

yu V

VL

L ∂∂µ=

∂∂µ

xuv

xuv VVVVLLLL ∂

δ∂ρ−ρ=∂δ∂ρ−ρ

1cos ≅θx

tansin∂δ∂=θ≅θ


• 以上の式を解析的に解くことが可能（級数解）Koh, Sparrow, Hartnett

• 摩擦力を無視した場合より液膜速度が小さくなり熱伝達は悪くなる

• PrL>>10では影響は無視 PrL ≒1でも影響は小、 PrL<<1の液体金属の場合には影

響が大きい

蒸気の摩擦力の影響（平板に沿う強制対流凝縮）

水平平板に沿う速度u∞の蒸気流

気相、液相とも層流蒸気流には層流境界層が出来る（２層境界層）

基礎式は垂直平板の場合と類似

この場合も解析解（級数解）が求められる。

４つの無次元数の間の関係として与えられる

��

�

�

��

�

�

µρµρ−=

νλ=

∞ VV

LL

fg

WSPLL

L

Lx

x

x ,H

)TT(c,Prf/xu

/xhRe

Nu


基礎式

（液膜） 0y

vx

u LL =∂∂+

∂∂

2L

2

LL

LLL

LL yu

yuv

xuu

∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ

2L

2

LL

LLPLL

LLPL yT

yTvc

xTuc

∂∂λ=

∂∂ρ+

∂∂ρ


（蒸気）

T=TS （蒸気温度は一定）

0y

vx

u VV =∂

∂+∂

∂

2V

2

VV

VVV

VV yu

yuv

xuu

∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ


境界条件

（気液界面）uL=uV, TL=TS

θ<<1の時

（壁面） y=0 uL=vL=0, TL=TW

（無限遠方）y=∞ uV= u∞, vV=0, Tv=TS

θρ−θρ=θρ−θρ sinucosvsinucosv VVVVLLLL

yu

yu V

VL

L ∂∂µ=

∂∂µ

xuv

xuv VVVVLLLL ∂

δ∂ρ−ρ=∂δ∂ρ−ρ

1cos ≅θx

tansin∂δ∂=θ≅θ


• PrLが大きいときf()はに対して

極小値

• 温度差の増大---液膜厚さの増大

• 熱伝達係数の低下

• 温度差が更に増大---顕熱輸送が増加

• 熱伝達係数は再び増加

• PrLが小さいときf()はに対して単調に現象---熱伝導が支配的

fg

WSPL

H)TT(c −

fg

WSPL

H)TT(c −

垂直円管内下向強制対流凝縮

• 垂直円管内を下向きに蒸気が流れ、壁面に凝縮が起こる場合

• が小さく液膜厚さが薄い場合

• 円管の曲率を無視でき垂直平板の解析がほぼそのまま適用できる。

• 蒸気のみが円管を流れた場合の壁面摩擦応力τWとすればよい

fg

WSPL

H)TT(c −

垂直円管内下向凝縮液膜の基礎方程式

下向きに座標軸をとる。２次元、非圧縮性

連続の式

運動量の式（流れ方向成分のみ考える）


0yv

xu =

∂∂+

∂∂

)(gyu

yuv

xuu gL2

2

LLL ρ−ρ+∂∂µ=

∂∂ρ+

∂∂ρ

2

2

LLPLLPL yT

yTvc

xTuc

∂∂λ=

∂∂ρ+

∂∂ρ

境界条件

y=0（伝熱面）で u=v=0, T=TW

y=δ（液膜界面）で T=TS

δは液膜厚さ。

以上の基礎方程式を垂直平板の場合と同様に解くことにより凝縮熱伝達が解析出来る。

WL yu τ=

∂∂µ

過熱蒸気の凝縮

• これまでの解析---蒸気は飽和温度

• 蒸気が過熱（飽和温度以上）の時

• 蒸気の過熱度による顕熱を考慮する必要がある。

• その影響の度合い

• 蒸気の比熱が小さいのでこの値も小さい

• 大気圧水蒸気過熱度１００℃で９％

• 蒸気相の境界層が薄いため影響は更に小さい

• 飽和蒸気の凝縮熱伝達の式がそのまま使える

fg

SGPV

H)TT(c −

不凝縮気体を含む蒸気の凝縮

• これまでの解析---蒸気は単一の成分

• 蒸気に不凝縮性ガスが含まれている場合

• 液面の温度はその圧力に対する飽和温度ではなく、蒸気分圧に対する飽和温度

• 液面温度の低下---熱伝達の低下

• 不凝縮性ガスは液面で凝縮しない

– 液面近くで不凝性ガスが濃縮、分圧が上昇

– 蒸気分圧は更に小さくなり、熱伝達は低下

– わずかの不凝縮性ガスの混入で熱伝達係数は大きく低下

水平円管外面の凝縮熱伝達

• 水平円管外面の凝縮

• 復水器などの伝熱機器に多く用いられる重要な凝縮の形態

• 円管の径が大きい場合（数センチ）

• 凝縮液膜の厚さは管径に比べ十分小さい

• 円管の曲率を無視

• 水平面からの角度φが変化する平板の凝縮熱伝達として近似的に取り扱える


円管に沿ったx座標、法線方向にy座標

x=r0φと置く dx=r0dφ

と置いて

� δφ��

�

��

�


0

L

gL

LL

fg

WSPL3 dx

sin)(

gH

)TT(c3

��φφ

δφ=

δφ

��

��

�

ρρ−ρ

κν−=φδ000

L

gL

LL

fg

WSPL3 dBdr

)(g

H)TT(c

3sin

zsin 3/1 =φδ

φφ= �φ

dz

sinB3z

0

3/13


両辺をzで微分（d/dz=d/dφ・(dφ/dz))

積分して

φ=0でよってC=0

dzd

zsinBz

3/12 φφ= φφ= dsinBdzz 3/13

CdsinB4z

0

3/14

+φφ= �φ

0sinz 3/1 =φδ=4/1

0

3/13/1 dsinB2sinz ��

�� φφ=φδ= �

φ

4/1

0

3/13/1

4/1

L

L

L

gL30

2L

4/1

fg

WSPL

0

dsinsin

1)(

grH

)TT(c2r ��

�� φφ

φ��

�

�

��

�

�

νκ

��

�

�

ρρ−ρ

ν��

�

��

� −=δ�

φ

4/1

0

3/13/1 dsin

sin1)(

��

�� φφ

φ=φΦ �

φ

)(1

)(gr

H)TT(c

r2)(h

4/1

L

L

L

gL30

2L

4/1

fg

WSPL

0

L

φΦ��

�

�

��

�

�

νκ

��

�

�

ρρ−ρ

ν��

�

��

� −λ=φ

−

−

φφπ

= �π

d)(h1h0m


平均熱伝達係数 hm

平板の式

でx=0.91πdと置いたものに等しい

�π

φφΦπ

��

�

�

��

�

�

κν

ν

��

�

�

ρρ−ρ

��

��

�

−=

λ=

0

4/1

L

L2L

L

gL34/1

WSPL

fg4/1

L

mm d

)(11

)(gd

)TT(cH

21dhNu

4/1Ld

4/1

WSPL

fg

L

mm )PrGr(

)TT(cH

725.0dhNu ��

��

�

−=

λ=

)PrGr()TT(c

H943.0Nu 4/1

Lx

4/1

WSPL

fgm �

�

��

�

−=


膜沸騰熱伝達との関連

水平円柱の膜沸騰熱伝達Bromleyの式

C=0.62 これは凝縮の式

で液体の物性値を気体に入れ替えたもの

4/1

SWPV

fg4/1V

4/1

V

VL2V

3

V

0C

)TT(cH

PrgdCdh��

��

�

−��

�

��

��

�

ρρ−ρ

��

��

�

λ=

λ

4/1Ld

4/1

WSPL

fg

L

mm )PrGr(

)TT(cH

725.0dhNu ��

��

�

−=

λ=


凝縮数で表すと

Γは円管単位長さあたりに単位時間に流れ落ちる凝縮液の質量流量

（平板）

Γ=ρLδumでδはφ=πで無限大、しかしumが0となるのでΓは有限

3/1L

3/12Lm

Re151.1)g/(h =

λν

3/1x

3/1

L

3/12Lm

Re1sin47.1)g/(h φ=

λν

L

4ReµΓ=

2

Lm 3

singu δν

φ≅3

L

3

LmL z

3g

3singu

µ=δ

µφ≅δρ=Γ


実験データとの比較、水蒸気で２３％高め

有機溶媒で１３から１５％低め

対流と慣性の影響

平板における解析を用いて

x=0.91πdと置けばよい


水平円管群

n本鉛直に並ぶ

n本目の熱伝達係数hmn

hm1 は１本目の平均熱伝達係数

n本の平均熱伝達係数

41m1m

4/3

mn2m1mmn n/hhn

n)hhh(n1h ==+++= �

mnh

4/34/3

1m

mn )1n(nhh −−=


二本目以降の熱伝達も同様の解析で求める

ただし１本の時は

の強化条件をφ=0でC=0としたが、上から液膜が流れてくるのでCは0ではない

上から流れてくる質量流量の半分G/2が片方

へ流れ落ちるとすると

CdsinB4z

0

3/14

+φφ= �φ

2

Lm 3

singu δν

φ≅3

L

3

LmL z

3g

3singu2/G

µ=δ

µφ≅δρ=

3/1

L

g3

2Gz ��

�

��

� µ=3/4

L4

g3

2G

41

4zC ��

�

��

� µ==


過冷度の影響

液体は過冷されているで、管と管の間の液膜でも凝縮がおこる。

これ考慮すると

で求めた値を倍する

ただし

41m1m

4/3

mn2m1mmn n/hhn

n)hhh(n1h ==+++= �

)1n(H

)TT(c20.01fg

WSPL −��

�

��

� −+

2)1n(H

)TT(c

fg

WSPL <−��

�

��

� −

凝縮熱伝達...凝縮現象 蒸気が低温（露点以下）の面にふれると起こる...

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凝縮熱伝達...凝縮現象蒸気が低温（露点以下）の面にふれると起こる...