流体伝熱基礎講座 - nagoya institute of...

Nagoya Institute of Technology

名古屋工業大学大学院

物理工学専攻

後藤俊幸

流体伝熱基礎講座

第２回午後

中部CAE懇話会


拡散方程式

境界条件

初期条件

素解 ( f(x)=δ(x-x0) に対する解無限領域）


保存量（計算のチェック）

離散化（単純オイラー法）

境界条件はノイマン条件

u の総量は保存される


! Diffusion equation in 1D by Simple Eulerimplicit real*8 (a-h,o-z)integer pout,gdraw,nx,tmaxreal*8 kappaparameter(nx=50, kappa=0.1, dt=0.001, ibs=0)

!（x軸の格子点数、拡散係数、 dt、境界条件のスイッチ）parameter(tmax=400, gdraw=40)

!（時間ステップ数、結果を書き出す時間幅）dimension u(0:nx),uold(0:nx)

dx=1.d0/dfloat(nx)dx2i=1.d0/dx/dxpi=4.d0*atan(1.d0)amp=1.d-1 t_init=0.001

! *** 初期条件x0=dx*(nx/2)do i=0,nx

x=i*dxu(i)=amp/sqrt(2.*pi*t_init)*exp(-(x-x0)*(x-x0)/4/kappa/t_init)if(u(i).lt.1.d-20) u(i)=0.d0

end do


! *** 境界条件if(ibs.eq.0) then

! * データファイルのオープンwrite(6,*) ' Dirichlet Condition'open(10, file='diffusion_d.dat')

! * ディリクレ条件u(0)=0.d0u(nx)=0.d0

elsewrite(6,*) ' Neumann Condition'open(10, file='diffusion_n.dat')

! * ノイマン条件u(0)=u(1)u(nx)=u(nx-1)

endif ! ! *** Write u(x=1/2,t) !

t=0.d0write(6,1001)

1001 format(/,' Evolution of u(1/2,t) ', /)write(6,1000) t,u(nx/2)

do i=0,nxwrite(10,1000) i*dx, u(i)

end dowrite(10,1000)

Nagoya Institute of Technology! *** 単純オイラー法による時間発展

do n=1,tmaxdo i=0,nx

uold(i)=u(i) ! uをu_oldにコピーend do

! 時間を１つ進めるdo i=1,nx-1

diff=kappa*(uold(i+1)-2.d0*uold(i)+uold(i-1))*dx2iu(i)=uold(i)+diff*dt

end do! *** 境界条件を課す

if(ibs.eq.0) then u(0)=0.d0 ! ディリクレ条件u(nx)=0.d0

elseu(0)=u(1) ! ノイマン条件u(nx)=u(nx-1)

endif ! *** データを書き出す

if(mod(n,gdraw).eq.0) thendo i=0,nx

write(10,1000) i*dx, u(i)end do write(10,1000)

t=n*dtwrite(6,1000) t,u(nx/2)

endifend do

1000 format(1x, 1pe10.3, 2x, 1pe12.6)stopend


レイリーの問題

x

y

U0

u(y,t)


拡散方程式の数値解の安定性条件


∆x

t=0

t=∆t

t=2∆t

-∆x


∆t

∆x

∆t/4

∆x/2

x= 2κ t

y


安定な数値解法

Crank-Nicolson法（陰的解法）


ディリクレ境界条件の場合


! *** Time advancing by Crank-Nicolsondo n=1,tmax

! *** Enforce Boundary conditions at x=0if(ibs.eq.0) then

alpha(0)=0.d0beta(0)=0.d0

elsealpha(0)=2.d0/(2.d0+bi)beta(0)=(u(1)-(2.d0-bi)*u(0)+u(1))/(2.d0+bi) ! u(i) is at t=n.

endif ! *** Forward elimination

do i=1,nx-1sigmai=1.d0/( 2.d0+bi-alpha(i-1) )alpha(i)=sigmaidiff=u(i+1)-(2.d0-bi)*u(i)+u(i-1) ! u(i) is at t=n.beta(i)=sigmai*( diff+beta(i-1) )

end do! *** Enforce Boundary conditions at x=1

if(ibs.eq.0) then u(nx)=0.d0 ! u(nx) is at t=n+1.

elsealpha(nx)=2.d0/(2.d0+bi)beta(nx)=(u(nx-1)-(2.d0-bi)*u(nx)+u(nx-1))/(2.d0+bi) ! u(i) is at t=n.u(nx)=alpha(nx)*u(nx-1)+beta(nx) ! u(nx) is at t=n+1, while u(nx-1) is at t=n.

endif! ! *** Backward substitution

do i=nx,1,-1u(i-1)=alpha(i-1)*u(i)+beta(i-1) ! u(i-1) and u(i) are at t=n+1

end doend do

Crank-Nicolsonプログラムのコア部分


比較

単純オイラー法クランク・ニコルソン法


２次元拡散方程式

境界条件

初期条件

離散化

1

10

y

x


! Diffusion equation in 2D by Simple Euler!

implicit real*8 (a-h,o-z)integer pout,gdraw,nx,tmaxreal*8 kappa_x,kappa_yparameter(nx=50, ny=50, kappa_x=0.05, kappa_y=0.05, dt=0.001, ibs=1)parameter(tmax=200, gdraw=20, int=10)dimension u(0:nx, 0:ny),uold(0:nx, 0:ny)character:: filename*14

! *** Make parameters dx=1.d0/dfloat(nx); dy=1.d0/dfloat(ny)dx2i=1.d0/dx/dx; dy2i=1.d0/dy/dypi=4.d0*atan(1.d0); amp=1.d-1 t_init=0.01

! *** Initial conditionx0=dx*(nx/2); y0=dy*(ny/2)do j=0,ny

do i=0,nxx=i*dx; y=j*dyu(i,j)=amp/(2.*pi*t_init)*exp(-((x-x0)**2+(y-y0)**2)/4/kappa_x/t_init)if(u(i,j).lt.1.d-20) u(i,j)=0.d0

end doend do

! *** Boundary conditionif(ibs.eq.0) then

u(0,:)=0.d0; u(:,0)=0.d0u(nx,:)=0.d0; u(:,ny)=0.d0

elseu(0,:)=u(1,:); u(nx,:)=u(nx-1,:)u(:,0)=0.d0; u(:,ny)=0.d0

endif


! write initial dataqsum=0.d0do j=0,ny

do i=0,nxqsum=qsum+u(i,j)

end doend doqint=qsum*dx*dyqint_0=qintwrite(6,*) 'time u(nx/2,ny/2,t) Q(t)/Q(0)'write(6,1000) nt*dt, u(nx/2,ny/2), qint/qint_0

no=0write(filename, '(A7, I3.3, A4)'), 'field_u', no , '.dat'open(20,file=filename,status='unknown')do j=0,ny

do i=0,nxu_tmp=u(i,j)if(u_tmp.lt.1.e-20) u_tmp=1.d-20write(20,2000) i*dx, j*dy, u_tmp

end do write(20,2000)

end do

1000 format(1x,1pe10.3,3x,1pe10.3,3x,1pe10.3)2000 format(2(1x, 1pe10.3), 2x, 1pe12.6)


! *** Time advancing by simple Eulerdo nt=1,tmax

! *** Copy u to uolddo j=0,nydo i=0,nx

uold(i,j)=u(i,j)end doend do

! *** Compute u(t+dt) by simple Eulerdo j=1,ny-1do i=1,nx-1

diff_x=kappa_x*(uold(i+1,j)-2.d0*uold(i,j)+uold(i-1,j))*dx2idiff_y=kappa_y*(uold(i,j+1)-2.d0*uold(i,j)+uold(i,j-1))*dy2iu(i,j)=uold(i,j)+(diff_x+diff_y)*dt

end doend do

! *** Enforce Boundary conditions! * For zero flux at x=0 and 1

if(ibs==1) then u(0,:)=u(1,:)u(nx,:)=u(nx-1,:)

endif


! *** Output data for t>0 if(mod(nt,int)==0) then

qsum=0.d0do j=0,nydo i=0,nx

qsum=qsum+u(i,j)end doend doqint=qsum*dx*dywrite(6,1000) nt*dt, u(nx/2,ny/2), qint/qint_0

endif

if(mod(nt,gdraw).eq.0) thenno=nt/gdrawwrite(filename, '(A7, I3.3, A4)'), 'field_u', no , '.dat'open(20,file=filename,status='unknown')

do j=0,nydo i=0,nx

u_tmp=u(i,j)if(u_tmp.lt.1.e-20) u_tmp=1.d-20write(20,2000) i*dx, j*dy, u_tmp

end do write(20,2000)

end doclose(20)

endif

end do

stopend


例題２－１

境界条件

初期条件

1

10

y

x


移流方程式

解

代入してみると

流す作用

すなわち特定の（ｘ、ｔ）の組についてξ =x-ct が一定ならｆも一定


特性曲線

すなわち特定の（ｘ、ｔ）の組についてξ =x-ct が一定ならｆも一定特性曲線


初期条件

離散化

周期境界条件

x0

0.1


中心差分による結果


風上差分

まとめて

数値粘性項

∆x

クーラン数


風上（1次精度）差分による結果


ラックスヴェンドルフの方法

数値粘性項


中心差分ラックスヴェンドルフ風上差分

滑らかな初期条件


! Convective equation in 1D by Lax-Wendroff

! *** Choice of the numerical scheme ! switch=0: Central difference ! switch=1: Lax-Wendroff

! *** Choice of the initial condition! init_type=0: Top hat! init_type=1: Gaussian

implicit real*8 (a-h,o-z)integer kint,kdraw,nx,nt,tmax,switch

! parameter(nx=100, tmax=40, kint=2, kdraw=20)parameter(nx=100, tmax=100, kint=2, kdraw=20)parameter(c=1.d0, dt=0.002, width=0.05, init_type=0, switch=0)dimension u(0:nx),uold(0:nx)character*20 file(0:2)

! *** Make parameters dx=1.d0/dfloat(nx)pi=4.d0*atan(1.d0)sigma2=width*widthamp=1.d-1/sqrt(2.*pi*sigma2)

! r=abs(c)*dt/dxr=c*dt/dxfile(0)=' Central_difference'file(1)=' Lax-Wendroff '

if(switch==0) open(10,file='Central_difference.dat')if(switch==1) open(10,file='Lax-Wendroff.dat')

write(6,1000) file(switch),r 1000 format(1x,A20,1x,'Courant Number=',1pe10.3,/)

write(6,*) ' Conservation of Q'

ラックスヴェンドルフのプログラム例


! *** Initial condition and ! computation of total Q(t)=¥int u(x,t)dx ***

x0=dx*(nx/2)do i=0,nx

x=i*dxu(i)=0.d0if(init_type==0 .and. abs(x-x0)


! *** Output data for t>0

call output(u,dx,dt,nx,nt,kint,kdraw)end dostopend

! ******************************************************************** subroutine output(u,dx,dt,nx,nt,kint,kdraw)implicit real*8 (a-h,o-z)real*8 u(0:nx)save Q_init

! **** write Q if(mod(nt,kint).eq.0) then

Q=0.d0do i=0,nx

Q=Q+u(i)end doQ=Q*dxif(nt==0) Q_init=Qwrite(6,1000) nt*dt,Q/Q_init

endif

! *** write u(x,t)if(mod(nt,kdraw).eq.0) then

do i=0,nxwrite(10,2000) i*dx,u(i)

end dowrite(10,2000)

endif

1000 format(1x,2(1pe10.3,1x))2000 format(1x,2(1pe12.5,1x))

returnend


例題２－２

境界条件

初期条件

1

10

y

x

cx はＯ（１）のパラメータ


バーガース方程式

数学的解析のしやすさからBurgers により乱流の最も簡単なモデルとして導入された

非線形性散逸性圧縮性

ショック解


いくつかの現象のモデル

・界面の成長 (KPZ eq.) ・宇宙の大規模泡構造（Ｚｅｌｄｏｖｉｃｈ）

http://www.nhk.or.jp/school/junior/yougo26.html#010

de Lapparent et al. (1986)

2d Burgers 3d Burgers

Takahashi and Gotoh (2000)

div u

スライド番号 1スライド番号 2スライド番号 3スライド番号 4スライド番号 5スライド番号 6スライド番号 7スライド番号 8スライド番号 9スライド番号 10スライド番号 11スライド番号 12スライド番号 13スライド番号 14スライド番号 15スライド番号 16スライド番号 17スライド番号 18スライド番号 19スライド番号 20スライド番号 21スライド番号 22スライド番号 23スライド番号 24スライド番号 25スライド番号 26スライド番号 27スライド番号 28スライド番号 29スライド番号 30スライド番号 31スライド番号 32スライド番号 33スライド番号 34スライド番号 35スライド番号 36

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