cc/ec/mestrado/ufes teoria dos grafos (inf 5037/inf2781) grafos orientados (digrafos)
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Teoria dos Grafos
(INF 5037/INF2781)CC/EC/Mestrado/UFES
Grafos Orientados(digrafos)
Teoria dos Grafos
(INF 5037/INF2781)CC/EC/Mestrado/UFES
Grafo Orientado ou digrafo
• Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v1, …, vn} é um conjunto de vértices e A =
{a1, …, ak} é um conjunto de arcos tais que
ak, k=1,…,m é representado por um par
ordenado (vi,vj) de vértices, i,j = 1,…,n.
c
d
e f
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Lista de adjacência
3 •2
1 4
2 •1
4 •1
4 •2
2 •3
1
2
3
5
4
1
2
3
4
5
4
2
1
2
13
Teoria dos Grafos
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Matriz de Adjacência
• Seja G = (V,A)
• A = (aij), 1 ≤ i,j ≤ n
• aij = 1, quando (i,j) A
0, caso contrário
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Matriz de Adjacência
a
e
b c
d
0 1 1 0 1
0 0 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
a b c d e
a
b
c
e
d
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Matriz de Adjacência
• Diagonal principal nula:
• Matriz não necessariamente simétrica.
• Valores nulos: ausência de arestas
• Valores não nulos: presença de arcos
grafos sem laços
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Matriz de Incidência
• Seja G = (V,E)
• B = (bkl), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m
• bkl = 1, quando o vértice k é extremidade inicial
do arco l
-1, quando o vértice k é extremidade final
do arco l
0, caso contrário
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Matriz de Incidência
(a,b) (a,c) (a,e) (c,b) (c,d) (d,b) (e,c)
+1 +1 +1 0 0 0 0
-1 0 0 -1 0 -1 0
0 -1 0 +1 +1 0 -1
0 0 0 0 -1 +1 0
0 0 -1 0 0 0 +1e
a
b
c
d
a
e
b c
d
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Relações de adjacência
• Em um digrafo G = (X, U), diz-se que y
X é sucessor de x X quando existe (x,y)
U. Diz-se também que x é antecessor
de y.
– + (x): conjunto de sucessores de x
– - (x): conjunto de antecessores de x
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Vizinhança
• Vizinho ou vértice adjacente de um vértice
x, em um grafo orientado ou não, é todo
vértice y que participa de uma ligação
(arco ou aresta) com x.
x x+ (x)
- (x)
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Vizinhança
• Seja A X. Então + (A) = U + (x) , x A
a
e
b c
d
A
Idem para
- (A)!
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Fechos Transitivos
• Conjuntos que representam ligações
diretas ou indiretas entre vértices em
grafos orientados.
• Diz-se que um vértice y é atingível a partir
de x em um grafo G quando existe em G
uma seqüência de sucessores que
começa em x e termina em y.
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Fecho Transitivo Direto
• + (x): conjunto de vértices de G atingíveis
a partir de x
^
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Fecho Transitivo inverso
• - (x): conjunto de vértices de G a partir
dos quais x é atingível
^
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Incidência
• Um arco incide exteriormente em x X se x for
extremidade inicial e interiormente se x for
extremidade final do arco.
• O arco (i,j) é incidente em A X de um grafo G,
se ele tem uma e só uma extremidade em um
vértice pertencente a A.
• (i,j) é incidente a A: interiormente (i A, j A)
exteriormente (i A, j A)
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Grau de um vértice
• Semigrau exterior (d+(x)): número de
arcos incidentes exteriormente a x
• Semigrau interior (d-(x)): número de arcos
incidentes interiormente a x
• d(x) = d+(x) + d-(x)
• Vértice nulo: d+(x) = d-(x) = 0
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Isomorfismo
• Seja G um digrafo e G´ o grafo
correspondente sem orientações.
• Seja G´ um grafo não orientado. Então G,
obtido a partir de G´ definindo-se uma
orientação arbitrária de suas arestas é dito
digrafo associado a G.
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Isomorfismo
• Se G é um digrafo e G´ é um grafo não
orientado obtido a partir de G: único.
• Se G é um grafo não orientado e G´ é
orientado, obtido a partir de G: várias
possibilidades.
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Isomorfismo
• Quando dois digrafos G1 e G2 são
isomorfos?
– Os grafos não orientados G1´ e G2´
correspondentes a G1 e G2 devem ser
isomorfos.
– As orientações entre as arestas
correspondentes devem ser as mesmas.
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Alguns tipos de digrafos
• Simples: sem laços ou arcos paralelos
• Assimétrico: possui no máximo um arco entre
cada par de vértices
• Simétrico: para cada par de vértices existe um
arco em cada direção
• Completo simétrico (n(n-1) arcos)
• Completo assimétrico (n(n-1)/2 arcos)
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Percursos
• Percurso simples direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes. Nenhuma aresta aparece mais de uma vez, mas um vértice pode ser repetido.
• Caminho direcionado: percurso simples sem repetição de vértices
• Circuito: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção.
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Conexidade
• Grafo simplesmente conexo ou s-conexo:
todo par de vértices é unido por ao menos
um caminho no grafo correspondente não
direcionado a
d
b c
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Conexidade
• Grafo semi-fortemente conexo ou sf-
conexo: em todo par de vértices do grafo,
um deles é atingível a partir do outro (ou
seja, entre eles existe
um caminho em ao
menos um dos dois
sentidos possíveis)
a
d
b c
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Conexidade
• Grafo fortemente conexo ou f-conexo: é um grafo no qual todo par de vértices é mutuamente atingível. Assim, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos
• Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado
a
b c
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Níveis de Conexidade
s-conexo
f-conexo
sf-conexo
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Componentes f-conexas
• Atingibilidade recíproca: (simetria)
• Todo vértice é atingível a partir de si
mesmo: (reflexividade)
• Se z é atingível a partir de y e y é atingível
a partir de x então z é atingível a partir de
x: (transitividade)
relação de equivalência sobre o conjunto de vértices de G
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Componentes f-conexas
• Um grafo orientado qualquer pode ser
particionado em componentes f-conexas
maximais.
• Se um grafo orientado é f-conexo: a
partição é o próprio conjunto de vértices
do grafo.
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Árvores
• Uma árvore é um digrafo s-conexo sem
circuitos ou ciclos no grafo não orientado
associado a
d
b c