1

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§11..66.. 生産規模の経済とウェバー問題

2

���

生産関数：

Q = f(x1, x2){偏在要素

仮定：AA33**,, AA44

分析手順：

ステップ１）産出量固定→最適立地ステップ２）産出量変化→最適立地変化

3

f(x)はα同次� f(�x) = ��f(x) ⇥�, x > 0

Q = Axa1xb

2 �A(�x1)a(�x2)b

= �a+bA xa1xb

2⇤ ⇥� ⌅Q

規模の経済の導入�：同次関数

：a+b次同次

4

����� ����� �����

5

��(���%*!��(homotheticity)

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6

$%-��α���(α> 0)

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(i)  α1 1 (DRS)

�����.��

(ii) α2/(CRS)

� ��(%�,�����)

(iii)α3/(IRS)

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7

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(2)

(3)

8

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(1)

(2)

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← (2)

← (3)

9

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10

i.e., ������� � ����� �

(4)

(5)

(6)

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�����������

11

(6)��

��������

������

m0

×訂正

12

(i) �DRS)

1

F* ��������

13

(ii) α=��CRS)

F* ��������������� �

1

1

14

(iii) ��IRS)

F* �������

1

15

��'IRS� �)

���&�����&�

i.e., �����

����&����

�����"$!����

���������#���%��↓ �� � ��#���%��↑

Q↑ Q↓

16

生産関数：

Q = f(x1, x2){偏在要素

���������� ����

���

�� ��

�������� � �"!�

��������������

17

��'%������!" ������ �

������

&��(�

'��(�

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�#����

�����$��

�#����

18

��Krugman-Venables (EER1996)

��(1990)

Northeast Midwest South West

Steel Autos Textiles

13.4 7.9 14.2 51.8 65.6 3.2 24.5 23.4 79.6 10.4 7.0 3.9

EC(1989)

France Germany Italy UK

18.9 25.3 15.8 20.2 34.7 13.2 18.7 9.5 17.4 15.8 13.0 18.6

Table 1. Shares of industry employment

Krugman, P., Venables, A.J. (1996) “Integration, specialization, and adjustment”European Economic Review 40, 959-967.

19

����

�� � �� � ����

����

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20

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� i.e., ������+��

例題：規模の経済の下での工場の数と立地

C1

C2

M2M1

�2

�2

�2

�2

1

1

11

Q = [min{x1, x2}]2

p1 = p2 = 1

Q1 = Q2 = 4

m0 = m1 = m2 = 1

22

x1

x2

Q = 1Q = 4Q = 8

2�

2

2�

22

2

1

1

ii)) Q = [min{x1, x2}]2 �[min{�x1, �x2}]2 = [� min{x1, x2}]2

�2 [min{x1, x2}]2 = �2Q

Q = 1⇥�

x1 � 1x2 � 1

：22次同次

Q = 4⇥�

x1 � 2x2 � 2

Q = 8⇥�

x1 � 2⇤

2

x2 � 2⇤

2

iiii))

23

iiiiii)) 工場数＝２の場合

Q1 = Q2 = 4� x1 = x2 = 2

工場１→市場１工場２→市場２{

各工場：

m0 = m1 = m2 = 1

minTi = 2di1 + 2di

2 + 4di0 �⇥ F �

i

2 + 2 = 4�４は優越ウェイト

��

F �1 = C1

F �2 = C2

ii..ee..,, 22次元ウェバー問題

(i = 1, 2)

24

iivv)) 工場数＝１の場合

Q = Q1 + Q2 = 4 + 4 = 8� x1 = x2 = 2⇥

2

minT = 2�

2d1 + 2�

2d2⇤ ⇥� ⌅ + 4d10 + 4d2

0⇤ ⇥� ⌅要素輸送費 生産財輸送費

m0 = m1 = m2 = 1

① 総要素輸送費：M1M2上の任意地点で最小

② 総生産財輸送費： C1C2上の任意地点で最小

∴最適立地点＝M1M2とC1C2の交点

(� 2�

2 = 2�

2)(� 4 = 4)

25

vv)) 総費用の比較

C =�(p1x1 + p2x2) + (2d1 + 2d2 + 4d1

0)⇥� 2

=⇤

(2 + 2) + (2⇥

2 + 2⇥

2 + 0)⌅� 2

= 8 + 8⇥

2

C = (p1x1 + p2x2) + (2�

2d1 + 2�

2d2 + 4d10 + 4d2

0)

= (2�

2 + 2�

2) + (2�

2 + 2�

2 + 4 + 4)

= 8 + 8�

2

工場数 == 22の場合：

工場数 == 11の場合：

∴いずれの場合も最適Qi < 4Qi > 4

�

の場合は？

26

§11..77.. 輸送規模の経済とウェバー問題

例題：Bulk economies of transportation

p1 = p2 = 1

�Ti(xi, di) = x�di i � {1, 2}T0(Q, d0) = Q⇥d0

生産関数：

偏在要素

Q = min{2x1, 2x2⇤ ⇥� ⌅}

輸送費用：

C

M1 M2

I

立地空間：ネットワーク

i

訂正

27

ii)) T (d1, d2, d0) = x�1 d1 + x�

2 d2 + Q⇥d0

=�

Q

2

⇥�

d1 +�

Q

2

⇥�

d2 + Q⇥d0

iiii)) � = ⇥ � T (d1, d2, d0) = Q�

�12�

d1 +12�

d2 + d0

⇥

mind1,d2,d0

T � mind1,d2,d0

12�

d1 +12�

d2 + d0

∴ 最適立地は産出量Qに独立

28

iiiiii)) � =12, ⇥ = 1

Q = 1� x1 = x2 =12

� T = (1/2)1/2d1 + (1/2)1/2d2 + d0

=1⇥2d1 +

1⇥2d2 + d0

ii..ee..,, 優越ウェイト無し

� F � = I

1�2

+1�2

=�

2 > 1

1�2

+ 1 >1�2, 1

29

Q = 4� x1 = x2 = 2

� T = 21/2d1 + 21/2d2 + 4d0

=⇥

2d1 +⇥

2d2 + 4d0

�2 +

�2 < 4

⇒ 市場のウェイトが優越

� F � = C

要素((生産財))輸送における規模の経済が大

最適立地：市場((要素供給地))寄り

産出量の増加