数理統計講義資料多変数データの整理と特性値hchigira/st166.pdf ·...

数理統計講義資料�

多変数データの整理と特性値��

��関係性の特性値��

� ��

� はじめに

❏ 単変数データと多変数データ

単変数データ��

縮約

��

�� 中心

�� ばらつき

多変数（�変数）データ��

� � ��

縮約

��

��、�� 中心

��、�� ばらつき

��など�関係性

�

この講義資料のテーマ・・・�� を縮約して関係性という特性を表す

� ��

❏ 関係性の特性値の種類Æ 量的データ同士

（・散布図）・共分散・相関係数

Æ 質的データ同士

（・分割表）・関連係数・�係数

Æ 量的データと質的データ相関比など（この講義資料では詳しくは扱わない）

� ��

講義の構成�� 散布図

�� 共分散

�� 相関係数

� 分割表

�� 関連係数と�係数

� ��

�� 量的データと質的データの関係性

� ��

� 散布図

共に量的なデータ�� を�次元平面にプロットする。��では、�挿入� � �散布図� � �散布図（マーカーのみ）�など

� ��

例� 都道府県別�世帯当たり�ヶ月間の収入と支出消費支出

勤め先収入総計食料教育北海道 ��

青森県 � ��

岩手県 ��

宮城県 ��

秋田県 ��

山形県 ��

福島県 ��

茨城県 ��

栃木県 ��

群馬県 ��

埼玉県 ��

千葉県 ��

東京都 ��

神奈川県 ��

��

総務省統計局『全国消費実態調査』（��年、単位�万円）

� ��

30 35 40 45 5022

24

26

28

30

32

34

1ヶ月間勤め先収入

1ヶ月間消費支出（総計）

30 35 40 45 504.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5


1ヶ月間消費支出（食料）

30 35 40 45 500.5

1

1.5

2

2.5


1ヶ月間消費支出（教育）

�

支出総計と収入の関係性は強そう。食料支出と収入はまあまあ。教育支出と収入は弱そう

� ��

� 共分散

❏ 定義

��

��

��

��

��

�� 中心の特性値

�� ばらつきの特性値

�� 関係性の特性値

とセットでよく使われる� ��

❏ ��の直感的な解釈��が大きい� �が大きい

�が小さい� �が小さい

というデータだと・・・� ��

�

��

��

� � � �

� ��

��が大きい� �が小さい

�が小さい� �が大きいというデータだと・・・

� ��

��

��

� � � �

� ��

� ��

��が大きい� �が大きかったり小さかったり

�が小さい� �が大きかったり小さかったり

というデータだと・・・� ��

�

��

��

� � � �

� 相殺されて��

��は��と��の比例関係を捉える

� ��

例� 都道府県別�世帯当たり�ヶ月間の収入と支出

30 35 40 45 5022

24

26

28

30

32

34


1ヶ月間消費支出（総計）

� ��

30 35 40 45 504.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5


1ヶ月間消費支出（食料）

� ��

30 35 40 45 500.5

1

1.5

2

2.5


1ヶ月間消費支出（教育）

� ��

� ��

❏ ��の性質

��と��の共分散が�� と � ��の共分散は��

注��）��は単位に依存する万円単位� 教育支出と収入の��

� ��

円単位� 教育支出と収入の��

� 単位を変えると関係性の強さが見かけ上変わってしまう

注��）��の意味する関係性

��と��が比例関係（線形関係）にある時に��は大きくなる。

��と��が非線形関係にある時は��は必ずしも大きくならない

� ��

� 相関係数

❏ 定義

��

��

��

❏ 性質

� ��と��の相関係数が��

� �� と � ��の相関係数は

��

��

� ��は無名数

� ��

� � � � ��

��

��

��

��

�

��は比例関係（線形関係）の強さを表す。つまり、��

強い正の比例関係・・・��

比例関係が弱い・・・��

強い負の比例関係・・・��

� ��

❏ ��の解釈の注意点Æ ��の意味する関係性

��と��が厳密な比例関係（線形関係）にあることと ��

は同値だが、��と��が非線形関係にあっても��は必ずしも�

に近づかない

例� 有所得者�人当たり平均所得金額年齢年収年齢年収

便宜上

�年齢�

を変換��

年齢年収年齢年収

��歳以下 ��

��歳 ��

� ��

��

� ��

��

� �� 歳以上 ��

厚生労働省『国民生活基礎調査』（��年、単位万円）

� ��

20 40 60 800

100

200

300

400

500

年齢

年収

rxy≒0.962

rxy≒－0.034

rxy≒－0.946

�

��

○�

×�

線形関係が無いあらゆる関係が無い

であり、機械的に��だけを見るのは危険。少なくとも散布図を描くべき

� ��

Æ ��と因果関係�� が大きくなったから�が大きくなった（因果関係）�

�

必ずしも因果関係とは限らない。�� でも見せかけ

の相関の場合がある

� ��

� 分割表

共に質的なデータ�� に対し、各カテゴリーに入るデータ数を数えて表にまとめる

� ��

例� 居住地と自動車保有��が第�世帯の居住地、��が第�世帯が自動車を保有するかどうか

世帯数比率自動車保有自動車保有するしない計するしない計

居住地

東京都区部 ��

居住地

東京都区部 ��

中都市 �� 中都市 ��

町村 �� 町村 ��

計 �� 計 ��

総務省統計局『全国消費実態調査』（��年）より作成

（��のカテゴリー数が�、��のカテゴリー数が�なので��分割表と呼ぶ。一般には� � 分割表と呼ぶ）

�

大きな都市の方が自動車保有率が低い。居住地と自動車保有は関係があるようだ

� ��

� 関連係数と�係数

❏ 関連係数

Æ 定義

分割表（データ数のでも比率のでもどちらでも良い）�

自動車保有するしない計

居住地都市 ��

町村 ��

計 ��

� ��

��

��分割表にしか対応していない

� ��

Æ 性質自動車保有

するしない計


町村 ��

計 ��

��

��

�� （居住地と車保有は関係無し）

�� （関係あり）

�� （関係あり）� ��

❏ �係数Æ 定義

��

比率ではないデータ数の分割表�



町村 ��

計 ��

� ��

�

��

��

��

��上の式は��分割表に対応するものだが、一般の� � 分割表にも対応できる

� ��

Æ 性質自動車保有

するしない計


町村 ��

計 ��

��

��

�� （関係無し）

�� （関係あり）

�� （関係あり）� ��

❏ 例� 居住地と自動車保有


居住地東京都区部 ��

居住地東京都区部 ��

町村 �� 町村 ��

計 �� 計 ��

� � � �� 、 � � ��


居住地中都市 ��

居住地中都市 ��

町村 �� 町村 ��

計 �� 計 ��

� � � �� 、 � � ��

� ��

❏ 関係性の調べ方の注意

居住地と自動車保有は関係があるか調べたい� 町村部の世帯にアンケート�


居住地町村 ��

� これだけで関係があるとするのは誤り都市部の世帯にもアンケートしないと、



町村 ��

計 ��

� � � � 、 � � �

か


居住地都市 � � �

町村 ��

計 ��

� � � �� 、 � � ��

か

解らない

� ��

ある占いを試したら、実際

良い悪い計運勢良い ��

� これだけで当たるとするのは誤り運勢が悪い時も調べると、

実際良い悪い計

運勢良い ��

悪い ��

計 ��

� � � � 、 � � �

かもしれない

� ��

�町村部の自動車保有運勢が良かった時の出来事

といった一部のカテゴリーだけを調べても関係性は把握できない。�

都市部の自動車保有運勢が悪かった時の出来事

といった全てのカテゴリーを調べ、カテゴリーの変化によるデータの変動で関係性を捉える

� ��

注�）質的データ�量的データ�

��を占いでの運勢、��を実際の出来事とする�� 良い、普通、悪い

�� 良い、普通、悪い

� �� は共に質的データ

� �（良い、悪いの�カテゴリーの場合のみ）、�を使う

�� 何らかの点数

�� 何らかの点数

� �� は共に量的データ

� ��、��を使う

� ��

� 量的データと質的データの関係性

❏ 相関比

関係性の強さを��の値で表す。アイデアとしては��に似ている。詳しくは高橋信� トレンドプロ� 「マンガでわかる統計学」� オーム社�

��年�

参照

❏ 線形回帰分析

��が量的データ、��が質的データの場合。説明変数��をダミー変数として被説明変数��に線形回帰モデルを当てはめる。詳しくは山本拓� 「計量経済学」� 新世社� �� 年�参照

� ��

❏ 質的変量分析��が質的データ、��が量的データの場合。被説明変数を��、説明

変数を��とした質的変量モデルを当てはめる。詳しくは浅野皙� 中村二朗 � 「計量経済学（第�版）」� 有斐閣� ��年�

参照

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