第五节第五节第五节第五节

应用MATLAB控制系统仿真应用MATLAB控制系统仿真

提纲提纲提纲提纲

弹簧 物 统一、弹簧-重物-阻尼器系统二、传递函数二、传递函数三、结构图模型

引言引言引言引言MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件，

它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了个方便的界面友好的用户环境一个方便的界面友好的用户环境。

控制系统的分析与设计方法 都是以数学模型为控制系统的分析与设计方法，都是以数学模型为基础进行的。MATLAB可以用于以传递函数形式描述的控制系统的控制系统。

在本节中 首先举例说明如何使用MATLAB进行辅在本节中，首先举例说明如何使用MATLAB进行辅助分析。然后讨论传递函数和结构图。

、弹簧、弹簧--重物重物--阻尼器系统阻尼器系统、弹簧、弹簧 重物重物 阻尼器系统阻尼器系统

弹簧—重物—阻尼器动力学系统如图2-1所示。重物M的位移由y(t)表示，用微分方程描述如下：

2d ( ) d ( )y t y t2

d ( ) d ( ) ( ) ( )d dy t y tM B Ky t f tt t

+ + =

该系统在初始位移作用下的瞬态响应为该系统在初始位移作用下的瞬态响应为：

2

2

(0)( ) sin( 1 )ntn

yy t e tζω ω ζ θζ

−= − +21 ζ−

其中θ =cos-1ζ 初始位移是y(0)其中θ =cos ζ ，初始位移是y(0)。系统的瞬态响应当ζ＜1时为欠阻尼，当ζ＞１时为过阻尼，

当ζ＝1时为临界阻尼。ζ

过阻尼情况：y(0)=0.15 m ω = (弧度/秒)2过阻尼情况：y(0) 0.15 m ωn (弧度/秒)

（ ）

2

13

2 2ζ = 2 , 3K B

M M= =

欠阻尼情况：y(0)=0.15 m ωn= (弧度/秒)2 2 M M

2

（ ）21

2 2ζ = 2 , 1K B

M M= =

利用MATLAB程序—unforced.m，可以显示初始位移为y(0)的物体自由运动曲线 如图 所示的物体自由运动曲线，如图2-63所示。

在unforced m程序中 变量y(0) ω t ζ 和ζ 的值由指令在unforced.m程序中，变量y(0)，ωn，t，ζ 1和ζ 2的值由指令直接输入工作区，然后运行unforced.m程序就可以产生响应曲

线。线。

>>y0=0.15;wn=sqrt(2);1 3/(2* (2)) 2 1/(2* (2))>>zeta1=3/(2*sqrt(2)); zeta2=1/(2*sqrt(2));

>>t=[0:0.1:10];>>unforced>>unforced

（a）MATLAB指令窗口

* 计算系统在给定初始条件下的自由运动计算系统在给定初始条件下的自由运动t1=acos(zeta1)*ones(1,length(t));t2=acos(zeta2)*ones(1,length(t));c1=(y0/sqrt(1-zeta1^2)); c2=(y0/sqrt(1-zeta2^2));y1=c1*exp(-zeta1*wn*t)sin(wn*sqrt(1-zeta1^2)*t+t1);2 2* ( t 2* *t) i ( * t(1 t 2^2)*t+t2)y2=c2*exp(-zeta2*wn*t)sin(wn*sqrt(1-zeta2^2)*t+t2);* 计算运动曲线的包络线

bu=c2*exp(-zeta2*wn*t);bl=-bu;bu c2 exp( zeta2 wn t);bl bu;* 画图

plot(t,y1, ‘-’,t,y2,‘-’,t,bu, ‘--’,bl, ‘--’),gridxlabel(‘Time[sec]’), ylabel(‘y(t) Displacement[m]’)text(0.2,0.85,[‘oeverdamped zeta1=’,num2str(zeta1),] )text(0 2 0 80 [‘underdamped zeta2 ’ num2str(zeta2) ] )text(0.2,0.80,[‘underdamped zeta2=’,num2str(zeta2),] )

（b）分析弹簧—重物—阻尼器的MATLAB程序unforced.m图2 63 分析弹簧 重物 阻尼器的MATLAB指令图2-63 分析弹簧—重物—阻尼器的MATLAB指令

在欠阻尼和过阻尼情况下的响应曲线如图2-64所示：在欠阻尼和过阻尼情况下的响应曲线如图2 64所示：

图 弹簧 重物 尼 的自由 动曲线图2-64 弹簧—重物—阻尼器的自由运动曲线

可分析以传递函数形式描述的系统 分子多项式和MATLAB可分析以传递函数形式描述的系统。分子多项式和分母多项式都必须在MATLAB指令中指定。

在MATLAB中多项式由行向量组成 这些行向量包含了降次在MATLAB中多项式由行向量组成，这些行向量包含了降次排列的多项式系数。例如多项式p(s)=1s3+3s2+0s1+4s0，按图2-65的格式输入p=[1 3 0 4]，格式输 p [ ]

>>p=[1 3 0 4];>>r=roots(p)>>r=roots(p)r=-3.3553e+001.7765e-01+1.0773e+00j1.7765e-01-1.0773e+00j

>>p=poly(r)p=1 000 3 000 0 000 0 000j 4 000+0 000j1.000 3.000 0.000-0.000j 4.000+0.000j

图2 65 输入多项式并求根图2-65 输入多项式并求根

矩阵乘法由MATLAB的conv()函数完成。把两个多项式相乘矩阵乘法由MATLAB的conv()函数完成。把两个多项式相乘合并成一个多项式n(s)，即：

n(s)= (3s2 +2s +1) (s +4) = 3s3 +14s2 +9s +4

与此运算相关的MATLAB函数就是conv()。函数polyval()用来计算多项式的值。多项式n(s)在s = -5处值为n (-5) = -66，见图2-66。算多项式的值。多项式n(s)在s 5处值为n ( 5) 66，见图2 66。

>>p=[3 2 1];q=[1 4];>>n=conv(p q)>>n=conv(p,q)n=3 14 9 4

>>value=polyval(n,-5)value=-66

图2-66 MATLAB的conv()函数和polyval()函数

二、传递函数

设传递函数为G(s)=num/den，其中num和den均为多项式。利用函数用函数：

[P , Z]=pzmap(num , den)

可得G(s)的零极点位置，即P为极点位置列向量，Z为零点位置列向量。该指令执行后自动生成零极点分布图。置列向量。该指令执行后自动生成零极点分布图。

考虑传递函数：

26 1s + ( 1)( 2)s s+ +3 2

6 1( )3 3 1

sG ss s s

+=

+ + + 和( 1)( 2)( )

( 2 )( 2 )( 3)s sH s

s i s i s+ +

=+ − +

传递函数G(s)/H(s)的零极点图如图2-67所示，相应的MATLAB传递函数G(s)/H(s)的零极点图如图2 67所示，相应的MATLAB指令如图2-68所示。

图2-67 零极点图

>>numg=[6 0 1];deng=[1 3 3 1];>>z=roots(numg)>>z=roots(numg)z=0+0.4082jj

0-0.4082j>> p=roots1(deng)p=-1-1-1-1

>>n1=[1 1]; n2=[1 2]; d1=[1 2*j]; d2=[1 –2*j]; d3=[1 3];[ ] [ ] [ j] [ j] [ ]>>numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3));>>num=conv(numg,denh); den=conv(deng,numh);

i t ( d )>>printsys(num,den)num/den=

6s^5+18s^4+25s^3+6s 5+18s 4+25s 3+图2-68 绘制零极点图指令

三、三、结构图模型结构图模型结构图模型结构图模型

一个开环控制系统可以通过G1 (s)与G2 (s)两个环节的串联而得到 利用 i ()函数可以求串联连接的传的串联而得到，利用series()函数可以求串联连接的传递函数，函数的具体形式为：

[num den] series(num1 den1 num2 den2)[num,den]=�series(num1,den1,�num2,den2)

例如G ( )和G ( )的传递函数分别为例如G1 (s)和G2 (s)的传递函数分别为：

11( )2

sG ss

+=

+ 2 2

1( )500

G s =2s + 2500s

( ) 1 1 1( ) ( )C s s sG G + +则

1 2 2 3 2

( ) ( ) ( )( ) 2 500 500 1000

G s G sR s s s s s

= = ⋅ =+ +

串联函数的用法示于图2 69：串联函数的用法示于图2-69：

>>num1=[1];den1=[500 0 0];>>num2=[1 1];den2=[1 2];>>[num den]=series(num1 den1 num2 den2);>>[num,den]=series(num1,den1,num2,den2);>>printsys(num,den)num/den=

s+1500s^3+1000s^2

图2-69 series函数的用法图2 69 series函数的用法

当系统是以并联的形式连接时 利用 ll l()函数可得到系当系统是以并联的形式连接时，利用parallel()函数可得到系统的传递函数。指令的具体形式为：

[ d ] ll l ( 1 d 1 2 d 2)

系统以反馈方式构成闭环，则系统的闭环传递函数为：

[num,den]= parallel (num1,den1, num2,den2)

( )( )1 ( ) ( )B

G sG sG s H s

=± ( ) ( )

求闭环传递函数的MATLAB函数有两个：cloop()和feedback()p() ()其中cloop()函数只能用于H (s)=1（即单位反馈）的情况。

cloop()函数的具体用法为：[ d ] l ( d i )[num,den]= cloop (numg,deng, sign)

其中numg和deng分别为G (s)的分子和分母多项式，sign=1为正反馈，sign= -1为负反馈（默认值）。反馈，sign -1为负反馈（默认值）。

f db k()函数的用法为feedback()函数的用法为：[num,den]= feedback (numg,deng,numh,denh, sign)

其中numh为H (s)的分子多项式，denh为分母多项式。其中numh为H (s)的分子多项式，denh为分母多项式。

闭环反馈系统的结构图如图2-70所示，被控对象G(s)和控制部分Gc (s)以及测量环节H (s)的传递函数分别为：

，，1( ) sG s += =numc 1( )G s = =

numg 1( )H s = =numh( )

2cG ss

= =+denc 2( )

5G s

s= =deng

( )10

H ss

= =+denh

图2 70 闭环反馈系统的结构图图2-70 闭环反馈系统的结构图

应用series()函数和feedback()函数求闭环传递函数的MATLAB应用series()函数和feedback()函数求闭环传递函数的MATLAB指令如图2-71 所示：

>>numg=[1];deng=[5 0 0];>>numc=[1 1];denc=[1 2];

h [1] d h [1 10]>>numh=[1];denh=[1 10];>>[num1,den1]=series(numc,denc,numg,deng);>>[num den]=feedback(num1 den1 numh denh -1);>>[num,den] feedback(num1,den1,numh,denh, 1);>>printsys(num,den)num/den=

s^2+11s+105s^4+60s^3+100s^2+s+1

图2-71 feedback()函数的应用

例2 12 个多环的反馈系统如图2 49所示 给定各环节的传例2.12 一个多环的反馈系统如图2-49所示，给定各环节的传递函数为：

1 11

1( )10

G ss

=+ 2

1( )1

G ss

=+

2

3 2

1( )4 4

sG ss s

+=

+ + 41( )6

sG ss

+=

+

1( ) 1H s = 2 ( ) 2H s = 31( )2

sH ss

+=

+ 2s +

试求闭环传递函数GB(s)=C(s)/R(s)。

解 求解步骤如下：解 求解步骤如下：步骤1：输入系统各环节的传递函数；步骤2：将H2的综合点移至G2后；步骤3：消去G3，G2，H2环；步骤4：消去包含H3的环；步骤5 消去其余的环 计算G (s)步骤5：消去其余的环，计算GB (s)。

根据上述步骤的MATLAB指令以及计算结果在图2-72中。根据上述步骤的MATLAB指令以及计算结果在图2 72中。

>>ng1=[1];dg1=[1 10];>>ng2=[1];dg2=[1 1];>>ng2=[1];dg2=[1 1];>>ng3=[1 0 1];dg3=[1 4 4];>>ng4=[1 1];dg4=[1 6];g [ ]; g [ ];>>nh1=[1];dh1=[1];>>nh2=[2];dh2=[1];

>>nh3=[1 1];dh3=[1 2];nh3 [1 1];dh3 [1 2];>>[n1,d1]=series(ng2,dg2,nh2,dh2);>>[n2,d2]=feedback(ng3,dg3,n1,d1,-1);>>[n3,d3]=series(n2,d2,ng4,dg4);>>[n4,d4]=feedback(n3,d3,nh3,dh3,-1);>>[n5 d5]=series(ng1 dg1 ng2 dg2);>>[n5,d5]=series(ng1,dg1,ng2,dg2);>>[n6,d6]=series(n5,d5,n4,d4);>>[n7,d7]=cloop(n6,d6,-1);[n7,d7] cloop(n6,d6, 1);>>printsys(n7,d7)num/den=

s^4+ 3s^3+ 3s^2+3s+22s^6+38s^5+261s^4+1001s^3+1730s^2+1546s+732

图2-72 多环结构图简化

通过pzmap()或roots()函数可查看传递函数是否有相同的零极点 还可使用 数除去传递 数共同的零极点因子点，还可使用minreal()函数除去传递函数共同的零极点因子。如图2-73所示。

>>numg=[1 6 11 6];deng=[1 7 12 11 5];>>printsys(numg,deng)numg/deng=numg/deng=

s^3+6s^2+11s+6s^4+7s^3+12s^2+11s+5

>>[num,den]=minreal(numg,deng);>>printsys(num,den)1 pole-zeros cancellednum/den=

s^2+4s+3s 2+4s+3s^3+6s^2+6s+5

图2-73 minreal()函数的应用

例2 2所示的位置随动系统 在给定各元件参数并忽略L 和令例2.2所示的位置随动系统，在给定各元件参数并忽略La和令ML = 0的情况下，其结构图如图2-74所示：

图2-74 位置随动系统的结构图

第一步求闭环传递函数GB (s)=θ c(s) /θ r(s)，求解过程及结果如图2-75所示。第二步利用step()函数计算参考输入θ r (t)为单位如图 所示 第 步利用 p()函数计算参考输入 r ( )为单位阶跃信号时输出θ c (t)的响应。

>>num1=[200]; den1=[20];num2=[1]; den2=[2 0 5 0];>>num1=[200]; den1=[20];num2=[1]; den2=[2 0.5 0];>>num3=[0.2 0]; den3=[1]; num4=[540]; den4=[1];>>[na,da]=series(num1,den1,num2,den2);[ , ] ( , , , );>>[nb,db]=feedback(na,da,num3,den3,-1);>>[nc,dc]=series(nb,db,num4,den4);

d l ( d )>>[num,den]=cloop(nc,dc,-1);>>printsys(num,den)num/den=num/den=

54002s^2+2.5s+5400>>t=[0:0.005:3];>>[y,t]=step(num,den,t);

l ( ) id>>plot(t,y),grid

图2 75 位置随动系统的结构图简化及阶跃响应指令图2-75 位置随动系统的结构图简化及阶跃响应指令

图2-76 位置随动系统的阶跃响应曲线

图2-76给出了位置随动系统的阶跃响应曲线。用plot()函数用于画出y(t)曲线，grid函数用于给图形加上网格。

小结小结小结小结本章讨论了如何建立控制系统以及元部件的数学模本章讨论了如何建立控制系统以及元部件的数学模

型问题。本章所涉及的数学模型共有三种，即微分方程、传递函数、结构图或信号流图。

利用传递函数研究线性系统，可根据传递函数的极点和零点分布判定系统对不同输入信号的响应特性点和零点分布判定系统对不同输入信号的响应特性。

利用结构图或信号流图可以了解系统中的每个变量利用结构图或信号流图可以了解系统中的每个变量，还可以通过梅逊（Mason）公式，方便地求得系统输入输出间的传递函数。

利用MATLAB软件可求解系统在不同参数和输入情况下的响应况下的响应。