第三节

局部改变量的估值问题

微分及其运算主要内容：

一、微分

三、微分在近似计算中的应用

二、微分公式和法则

2

0 0A x

0 0设边长由 变到 ,x x x

0 0

2 2

0 0

( ) ( )

( )

A A x x A x

x x x

.)(22

0 xxx

x

xx 0

xx 0

一、微分

1.微分概念

实例:正方形铁皮受热后面积的改变量

2( )A x x面积函数

0x

0x

x

2)( x

( )1 ( )2

,2)

.

( x x 的高阶无穷小 当 很小时可

忽略

所以 2( ) ( ).x o x

,(1) x A 的线性函数 且为 的主要部分，

称为线性主部；

2

0 0

( )lim lim 0,x x

xx

x

因为

2( )x

02x x

x即 的高阶无穷小

.)(22

0 xxx

( )1 ( )2

A

,, ,

A x yx

其中 是与 无关的常数 为的线性主部 是 的高阶无穷小

( )

,

( )

y f x x

x y y

y A x o x

设函数 在点 处有增

量 如果 的增量 可写为

定义

即 d d ( ) .y f x A x

于是有 d ( ).y y o x

( ) ,

( ) (, .)

y f x x A x

y f x x y f x

则称函数 在点 可微 并称 为

在点 处的微分 记 d或d作

A ( )o xx

+

dy

o (Δx)

0

( )lim 0x

o x

x

关于定义的几点说明：

d 是自变量的改变量 的线性函数(1) ;y x

(2) ( ) ;y y o x x d 是比 高阶的无穷小

当 时 d 与 是等价无穷小(3) 0 , ;A y y

( ) ( )1 ,

y A x o x o x

y A x A x

d

当 时，d

0 .1y

yx

y A x d ( )y y o x d

因为 ( ) ( )

,y A x o x o x

Ax x x

所以当 时，对上式两端取极限得0x

0lim .

x

yA

x

( )f x

( ) .y f x x 也就是说 d

（4）

下面我们来求 的微分y x

d

d( )

yf x

x

函数的可导与可微是等价的 .

函数的微分d 与自变量的微分

d 的商等于该函数的导数 .

y

x

dx d ( )y f x x x x x

( )y f xd

xd

x

几何意义:(如图)

,

.

y

y

d

当 是 的

纵坐标增量时

就是 纵坐标

对应

曲

切线

的增量

线

,

, .M MN

x

MP

切线

当 很小时 在点

的附近 可近似 曲线段代替段

2. 微分的几何意义

0x x

P

)( xfy

0x

M

N

T

dy y)( xo

）x

y

o

x

( ),

( )

.

y f x

x y f x

y

由微分定义可知，只要求出

再乘上自变量的微分d ，即得函数

的微分d

二、微分公式和法则

( ) xy f xd d

函数的导数

自变量的微分

1 (ln )x 例 d

(sin )xd

Cd

( ) x d

1.x

x d( ) x d

cos .x x d

( ) 0.C x d

ln x

sin x

1. 基本初等函数的微分公式

1

( ) 0;

( ) ;

C

x x x

d

d d

2

2

(sin ) cos ;

(cos ) sin ;

(tan ) sec ;

(cot ) csc ;

x x x

x x x

x x x

x x x

d d

d d

d d

d d

( ) ln ;

( ) ;

x x

x x

a a a x

x

d d

d e e d

2

2

2

2

1(arcsin ) ;

1

1(arccos ) ;

1

1(arctan ) ;

1

1(arccot ) .

1

x xx

x xx

x xx

x xx

d d

d d

d d

d d

1(log ) ;

ln

1(ln ) ;

ax x

x a

x xx

d d

d d

2. 函数和、差、积、商的微分法则

2

2

( )

( ) ;

( ) ;

;

1( ) ;

uv v u u

u v u u v

v v

v

v

v u

v

u

v

v

d dd

d

d

d

d

d d

d d

[ ( )] .u x

y u x y u x d d

( ) ;Cu C ud dy f u x[ ( )]

三、微分在近似计算中的应用

0 0( ) ( )y f x x f x

0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x

0 0

0

( ) ( )

( ).

f x f x

f x x

因此，如果 和 都容易计算，那

么就可以利用上式来近似计算

因为 d0

( )y y f x x

33 1.02 .例 求 的近似值3

3

( ) 1.02

1.02 1 0.02, 0.02 , ,

( ) 1 0.02 .

f x x

x

f x x

该题是求函数 在点 处

的值, 而 是较小的量 看作

提示与分析

所

以原问题是求 在 处的近似值问题

:

33 1.02 .例 求 的近似值

0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x

解 设 取 ，3

0( ) , 1, 0.02f x x x x

3

0 0 01.02 ( ) ( ) ( )f x x f x f x x

(1) (1) 0.02.f f

而 3(1) 1 1,f

3

3 211

1 1(1) ( ) ,

33xx

f xx

于是 3 0.021.02 1 1.0067.

3

(1 0.02)f

课后作业

习题 3 (pages 98-100)

1(4)， 4(1)(6)，5(2)(3)，

11(4)，13(1)