粒子加速器磁铁测量技术

粒子加速器磁铁原理1

二极磁铁和四极磁铁的测量实验

2

磁铁的种类及在加速器中的作用1

磁铁的分析方法2

磁场基本形态在极坐标下的表达式（傅里叶分析）

3

粒子加速器磁铁原理

1.磁铁的种类及在加速器中的作用

B=常数

使粒子的运动轨道弯转

粒子曲率半径ρ与磁场强度B成反比

B′′=G’=常数

消除粒子运动的色散

其消除色散能力与磁场二阶梯度成正比

二极磁铁 六极磁铁

B′=G=常数

使粒子运动以轨道中心为轴线聚焦

聚焦力的大小与磁场梯度成正比

四极磁铁

磁铁的种类及在加速器中的作用

八极磁铁B′′′=G’’=常数消除朗道阻尼

其它类型的磁铁

例如用于束流注入的切割磁铁和凸轨磁铁 ，用于同步辐射的 扭摆磁铁以及产生纵向磁场的螺线管磁铁等等

组合型磁铁和它所建立的组合磁场•组合磁场是在同一空间上同时存在两种或多种给定要求的磁场形态。例如，在均匀磁场的基础上再加一个均匀梯度磁场，即B+G，形成这种组合磁场形态的磁铁成为组合磁铁。这种组合磁铁可以同时完成粒子弯转和聚焦两种作用。

在无电流区内，磁场的旋度为零，即×B=0。B= -V

•𝐵𝑥 = −𝜕𝑉

𝜕𝑥

•𝐵𝑦 = −𝜕𝑉

𝜕𝑦

磁场是一种无源场，即 ·B 0

B= A

•𝐵𝑥 =𝜕𝑨

𝜕𝑦

•𝐵𝑦 = −𝜕𝑨

𝜕𝑥

0201

磁矢式法 磁标示法

磁场的分析方法

•当空间坐标用复数表示时为z=x+iy时，磁场可以用复磁势F来表示，可写成：F=A+iV

•B = 𝐵𝑥 + 𝑖𝐵𝑦

•B∗ = 𝐵𝑥 − 𝑖𝐵𝑦=i𝑑𝐹

𝑑𝑧

•𝐵𝑥 = −𝜕V

𝜕𝑥=𝜕𝑨

𝜕𝑦

•𝐵𝑦 = −𝜕V

𝜕𝑦= −𝜕𝑨

𝜕𝑥

•这三种磁势均可以描述同一个磁场。采用哪一种方式要看在具体情况下使用的方便。

03 复磁势法

•将复磁势F(z)=A+iV 在直角坐标(x,y)下作多项式展开，有

• F(z)=A+iV=∑𝑐𝑛𝑧𝑛=∑𝑐𝑛(𝑥 + 𝑖𝑦)

𝑛

LOREM IPSUM AMET

•将复磁势F(z)=A+iV在极坐标（r,θ）下作三角函数的展开。

•考虑z= z 𝑒𝑖𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃。

•F(z)=A+iV=∑𝑐𝑛𝑧𝑛=∑−

𝒃𝒏𝑵+𝒊𝒃𝒏𝑺

𝒏!𝑟𝒏𝑒𝒊𝒏θ

• =∑ −𝒃𝒏𝑵+𝒊𝒃𝒏𝑺

𝒏!𝑟𝒏[cos 𝑛𝜃 + isin(𝑛𝜃)]

• 𝑉𝑛= −𝑟𝑛

𝑛!bn sin 𝑛𝜃 + 𝜃𝑛

• 𝐴𝑛= −𝑟𝑛

𝑛!bn cos 𝑛𝜃 + 𝜃𝑛

•𝐵𝑟 𝑟, 𝜃 = −𝜕𝑉

𝜕𝑟= ∑𝑛=1∞ 𝑟𝑛−1

𝑛−1 !bn sin 𝑛𝜃 + 𝜃𝑛

•𝐵𝜃 𝑟, 𝜃 = −1

𝑟

𝜕𝑉

𝜕𝜃= ∑𝑛=1∞ 𝑟𝑛−1

𝑛−1 !bn cos 𝑛𝜃 + 𝜃𝑛

磁场基本形态在极坐标下的表达式（傅里叶分析)

二极磁铁的霍尔点测

01

四极磁铁的旋转线圈测量

02

•霍尔点测法是基于霍尔效应测量磁铁的方法。由霍尔效应得B=nVqW/I。

•n为载流子数密度

•V为霍尔片两端的电压

•q为每个载流子上的电荷数

•W为霍尔片的宽度

•I为通过霍尔片的电流大小。

•由霍尔片两端的电压信息得出磁场大小。

Lorem dolor amet

霍尔点测法

霍尔点测法是用一个小霍尔片在磁场区

域内进行逐点扫描，测得每一点的磁场强

度。霍尔点测法主要用于测量二极磁铁的

不均匀度与各极磁铁的有效长度。

二极磁铁的点测实验

•在好场区范围内作平行于磁极中心轴线的弧线19条（每隔5mm作一条弧线，包括好场区边缘），弧线对应的圆心角度为69°，在弧线上每隔0.5°测量一个磁场值，共139个数据，乘以对应的弧长累加后作为该弧线的积分磁

场，再除以弧线的半径作为归一化积分磁场，由于固定角度对应的弧长与弧线的半径成正比，因此可以直接将弧线上测得的139个磁场值直接累加之和作为归一化磁场。对不同半径弧线积分得到的19组归一化磁场值进行磁

场均匀度分析。将最大值与最小值之差除以平均值作为磁场的不均匀度，按设计要求，不均匀度应小于1%。

• 测量轨迹平面图

一块磁铁的测量结果(不均匀度)

•不均匀度：𝐵𝑚𝑎𝑥−𝐵𝑚𝑖𝑛

𝐵𝑎𝑣𝑒∗ 100% = 0.284% < 1%

四块磁铁的离散性分析(要求小于千分之五)测量半径（mm）

1045

1040

1035

1030

1025

MAX-MIN

0.001063287

0.001092399

0.001039362

0.00110187

0.001062529

1020

1015

1010

1005

1000

995

0.001114934

0.001146745

0.001119024

0.001118281

0.001104023

0.00111476

990

985

980

975

970

965

960

955

0.001104941

0.001173516

0.001138731

0.001236016

0.001134977

0.001111387

0.001235986

0.001122946

任何一个积分曲线的离散均小于千分之五，符合要求

反抵线圈

旋转线圈测量主要是为了测量磁场的各阶谐波分量。对于一个理想的四极磁铁，应该仅有四极磁场（即n=2时的谐波分量）。因此，一块四极磁铁的二阶谐波分量远远大于其它各阶谐波。主磁场势必会影响高阶谐波的测量。因此，为准确测量高阶谐波，引入反抵线圈（又称补偿线圈）。

反抵线圈参数的计算•（ 𝑉𝑑𝑡）

𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑖𝑙=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 ∑𝑛 𝐶𝑛 𝑟1

𝑛 − 𝑟3𝑛 cos (𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

（ 𝑉𝑑𝑡）𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑖𝑙

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 ∑𝑛 𝐶𝑛 𝑟2𝑛 − 𝑟4

𝑛 cos(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

（ 𝑉𝑑𝑡）

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑒𝑑

= 𝐿𝑒𝑓𝑓

𝑛

𝐶𝑛 [𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝑟1𝑛 − 𝑟3

𝑛 −𝑀𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑟2𝑛 − 𝑟4

𝑛 ]co𝑠(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

•定义以下参量

•𝛽1 ≜ |𝑟3

𝑟1|, 𝛽2 ≜

𝑟4

𝑟2, ρ=

𝑟2

𝑟1, μ=

𝑀𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟

𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟

•代入得

•（ 𝑉𝑑𝑡）𝑢𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 ∑𝑛 𝐶𝑛 𝑟1𝑛[1 − (−𝛽1)

𝑛]cos(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

（ 𝑉𝑑𝑡）

𝑐𝑜𝑚𝑝

= 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟

𝑛

𝐶𝑛 𝑟1𝑛[{1 − (−𝛽1)

𝑛} − μρ𝑛{1

− (−𝛽2)𝑛}]cos(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

•定义以下物理量

•未补偿敏感度𝑆𝑁=1 − −𝛽1𝑛

• 补偿敏感度 𝑠𝑛=1 − −𝛽1𝑛 − μρ𝑛{1 − (−𝛽2)

𝑛}

•于是有

• （ 𝑉𝑑𝑡）𝑢𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 ∑𝑛 𝐶𝑛 𝑟1𝑛𝑆𝑁cos(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

• （ 𝑉𝑑𝑡）𝑐𝑜𝑚𝑝= 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 ∑𝑛 𝐶𝑛 𝑟1

𝑛𝑠𝑛 cos(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)

•

•对于四极磁铁，为了抵消4极(n=2)和二极(n=1)的磁场，反抵线圈组合需要满足以下条件

•

•𝑠2=1 − −𝛽12 − μρ2 1 − −𝛽2

2 = 0，

•𝑠1=1 − −𝛽1 − μρ 1 − −𝛽2 = 0

•

•可选取 𝛽1 = 0.5， 𝛽2 = 0.2， ρ=0.625， μ = 2

四极磁铁的旋测实验

0301

通过拟合消除热耦电压影响

主线圈加反抵线圈测量其它谐波分量

确定磁中心偏差

0402

仅用主线圈测量N

级和N-1

级谐波

• 测量线圈由两部分组成，主

线圈和反抵线圈，通常它们需要通过焊接连接起来。通常接点与线圈是不同的金属材料，它们组成了热电偶并产生了一个恒定的小电压。恒角速度旋转可以实现通过拟合将热电偶电压的影响去除。

•如图是一个测量四极磁铁测量输出曲线的实例。曲线图展示了由于热电偶电压而造成的输出电压积分曲线的线性漂移。若将线性漂移还原，就等价于每一次的测量电压都减去热电偶电压。

•若漂移线的倾角可以测量，那么修正的表达

𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 = 𝑉 −𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒(°)

360𝑉360

。修正后的数据用于后续的分析傅里叶级数。

通过拟合消除热耦电压影响

仅用主线圈测量N级和N-1阶谐波(对四极磁铁1、2阶)

（ 𝑉𝑑𝑡）𝑁 𝑢𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟( 𝐶𝑁 𝑟1𝑁𝑆𝑁cos(𝑁𝜃 + 𝜓𝑁))

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟( 𝐶𝑁 𝑟1𝑁𝑆𝑁[cos 𝑁𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑁 − sin 𝑁𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑁])

𝑃𝑁−1= 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑁−1 𝑟1𝑁−1𝑆𝑁−1𝑐𝑜𝑠𝜓𝑁−1

𝑄𝑁−1= −𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑁−1 𝑟1𝑁−1𝑆𝑁−1𝑠𝑖𝑛𝜓𝑁−1

𝑃𝑁−12 + 𝑄𝑁−1

2 = 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑁−1 𝑟1𝑁−1𝑆𝑁−1

𝑃𝑁= 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑁 𝑟1𝑁𝑆𝑁𝑐𝑜𝑠𝜓𝑁

𝑄𝑁= −𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑁 𝑟1𝑁𝑆𝑁𝑠𝑖𝑛𝜓𝑁

𝑃𝑁2 + 𝑄𝑁

2 = 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑁 𝑟1𝑁𝑆𝑁

𝜓𝑁−1= −arctan(𝑄𝑁−1𝑃𝑁−1)

𝜓𝑁= −arctan(𝑄𝑁𝑃𝑁)

然后，加入反抵线圈，测除N和(N-1)阶以外的谐波分量

（ 𝑉𝑑𝑡）𝑐𝑜𝑚𝑝

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 ∑( 𝐶𝑛 𝑟1𝑛𝑠𝑛cos(𝑛𝜃 + 𝜓𝑛)) (n≠ N − 1&n ≠ N)

=𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 ∑{ 𝐶𝑛 𝑟1𝑛𝑠𝑛 cos 𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜓𝑛 − sin 𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜓𝑛 } (n≠ N− 1&n ≠ N)

=∑𝑝𝑛cos 𝑛𝜃 + 𝑞𝑛sin(𝑛𝜃) (n≠ N− 1&n ≠ N)

𝑝𝑛 = 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑛 𝑟1𝑛𝑠𝑛𝑐𝑜𝑠𝜓𝑛

𝑞𝑛 = −𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑛 𝑟1𝑛𝑠𝑛𝑠𝑖𝑛𝜓𝑛

𝑝𝑛2 + 𝑞𝑛

2 = 𝐿𝑒𝑓𝑓𝑀𝑜𝑢𝑡𝑒𝑟 𝐶𝑛 𝑟1𝑛𝑠𝑛

可解得相角

𝜓𝑛= −arctan(𝑞𝑛𝑝𝑛)

主线圈加反抵线圈测量其它谐波分量

最后，计算得磁场的各阶谐波分量

𝐵𝑛∗ = 𝐵𝑛𝑥 − 𝑖𝐵𝑛𝑦=i F’(z)=i

d

dz|𝐶𝑛|𝑒

𝑖𝜓𝑛𝑧𝑛=in|𝐶𝑛|𝑒𝑖𝜓𝑛𝑧𝑛−1

= n|𝐶𝑛|𝑟𝑛−1{icos[(n-1)θ+𝜓𝑛]- sin[(n-1)θ+𝜓𝑛]}

取其实部 𝐵𝑛𝑥=- n|𝐶𝑛|𝑟𝑛−1sin[(n-1)θ+𝜓𝑛]

=−𝑛 𝑝𝑛2+𝑞𝑛2

𝑟𝐿𝑒𝑓𝑓sin[ n − 1 θ − arctan(

𝑞𝑛

𝑝𝑛)]

取其虚部 𝐵𝑛𝑦=- n|𝐶𝑛|𝑟𝑛−1cos[(n-1)θ+𝜓𝑛]

=−𝑛 𝑝𝑛2+𝑞𝑛2

𝑟𝐿𝑒𝑓𝑓cos[ n − 1 θ − arctan(

𝑞𝑛

𝑝𝑛)]

|𝐵𝑛|=𝑛 𝑝𝑛

2+𝑞𝑛2

𝑟𝐿𝑒𝑓𝑓

磁中心偏差由于在制作磁铁时存在误差，磁铁的几何中心和磁场的中心并不完全重合，会

有一个小的偏差ΔZ。在进行粒子物理实验时，粒子应该聚焦于磁场中心而不是磁

铁的几何中心。因此，需要测出磁中心偏差。

对于四极磁铁

F=𝐶2(𝑧 + Δz)2≈𝐶2(𝑧

2 + 2𝑧Δz)= 𝐶2(𝑧2 + 2𝑧(Δx + iΔy)

且𝐵∗ = 𝐵𝑥 − 𝑖𝐵𝑦=i F’=i𝐶2[2z+2(Δx + iΔy)]

磁场由一阶分量和二阶分量组成。而误差项由二极分量决定。

𝐵1𝑥−𝑖𝐵1𝑦 = i2𝐶2(Δx + iΔy)

𝐵1𝑥−𝑖𝐵1𝑦

2𝐶2𝑟1=iΔx−Δy

𝑟1

Δx

𝑟1= −

𝐵1𝑦

2𝐶2𝑟1=

𝑆2𝑃1

2𝑆1 𝑃22+𝑄2

2

Δy

𝑟1= −

𝐵1𝑥

2𝐶2𝑟1=

𝑆2𝑄1

2𝑆1 𝑃22+𝑄2

2

若拓展到2N极磁铁，则

Δx

𝑟1=

𝑆𝑁𝑃𝑁−1

𝑁𝑆𝑁−1 𝑃𝑁2+𝑄𝑁

2

Δy

𝑟1=

𝑆N𝑄N−1

N𝑆N−1 𝑃N2+𝑄N

2。

测量方法 •先将主线圈插入四极磁铁的磁场中，将线圈在磁场中按逆时针和顺时针分别旋转三圈。仅在逆时针和顺时针的第二圈计数，数字积分器将电压对时间积分。然后将主线圈和反抵线圈连接，同时插入磁场。重复上述步骤。然后用前述的方法计算出各级谐波分量以及磁中心偏差。测量过程中，励磁电流取值分别为1A，2A，3A

，3A，4A，5A，6A，7A

，96A。

测量结果Angle Bn/B2 bn an

N (Dgr.) units units units

1 244.304 3.15E-03 -13.669 -28.408

2 0.082 1.00E+00 9999.99 14.295

3 274.205 1.50E-03 1.102 -14.986

4 30.878 3.21E-04 2.751 1.645

5 298.121 2.49E-04 1.175 -2.198

6 135.99 5.63E-04 -4.05 3.912

7 293.27 1.51E-04 0.594 -1.382

8 309.724 1.10E-04 0.702 -0.845

9 198.717 1.40E-04 -1.329 -0.45

10 311.417 2.84E-04 1.879 -2.13

11 257.294 5.61E-05 -0.123 -0.547

12 320.058 2.44E-04 1.873 -1.568

13 335.087 1.72E-04 1.555 -0.722

14 317.409 4.05E-04 2.978 -2.737

15 316.872 2.47E-04 1.803 -1.689

16 313.947 3.53E-04 2.45 -2.541

17 326.385 2.50E-04 2.083 -1.385

18 300.868 3.80E-04 1.951 -3.264

19 292.476 1.38E-04 0.528 -1.277

20 341.943 6.75E-04 6.419 -2.093

21 331.552 2.42E-04 2.126 -1.152

dx=-0.024(mm)

dy=0.049(mm)

dr=0.055(mm)

THANKS