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算術教育入門

加法と減法と補助数字

典型的な筆算の指導

東京・荒井公毅

もっとも基本となる筆算の指導については，『たしざん ひきざ

んプリント集』（上・下，荒井公毅著，1997年，国土社）で詳し

く説明しました。今回の資料は，水道方式でいう水源地と呼ばれる

典型的な筆算（２位数＋２位数，２位数－２位数といった計算）の

指導です。この計算は，補助的な数字（補助数字）を書くことで，

間違いを少なくすることができます。そこで，補助数字の書かせ方

についての試みは，昔からありました。ただ，系統的に，先を見通

した書かせ方というものは，私の知るかぎりありませんでした。そ

こで，今回，今までの自分自身の実践結果から導きだした，授業科

学といえる指導法を紹介することにしたのです。（2017年 06月）

自分が属している例会で発表したところ，若い先生方から，たい

そういい評価を頂きました。そこで，多くの人に知ってもらいたい

と考え，今回，増補・改訂したのが，この資料です。

さて，この提案には，前提条件があります。その条件とは，3年

生以上の学年では，５ミリ方眼のノートを使うということです。指導

するときには，必ず準備させてください。 （2019年 02月）

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水道方式の発展Ⅰ

長加法と短加法と補助数字

長加法，短加法という言葉は，筆者が使いはじめたものです。わ

り算に長除法，短除法という言葉があったので，その考え方を加法

（たし算）にも適用したというわけです。

さて，加法では，繰り上がった１を，どう書くかが問題になりま

す。多くの場合，１を上に書きます。これは，繰り上がった１を加

えるときに間違えないからです。２位数＋２位数の計算からは，こ

こで，紹介する長加法を使って指導すると，補助数字（補助記号と

しての数字）の書き方が，変わってきます。これは，長加法で書い

ていた数字を，小さくして，補助数字にするからです。

(１)２位数＋２位数（長加法）

右にある二つの計算のよ

うに，一の位，十の位と別々

に計算し答えを書き，その

のち加えて答えを求める計

算を「長加法」と呼ぶことに

したのです。この長加法と

いう言葉は，一般的な加法

と区別するためです。この

長加法で計算すると，１年生からできるようになります。もちろ

ん，２年生で，２位数＋２位数を学習する計算の苦手な子どもた

ちにとっても，かりやすく，間違いなくできる書き方です。

さて，くり上がりがある２位数＋２位数では，一の位だけにく

り上がりがある計算（左 36＋27，29＋29 型）と，一の位と十の

位ともにくり上がりがある計算（右 96＋87，99＋99 型）があり

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ます。左と右のような二つのたし算を長加法で計算すると，二つ

をあまり区別することなく指導することができます。

(２)長加法から長短加法へ（長短加法Ⅰ）

長加法の指導では，

問題になりませんが，

短加法へと導くため

には，指導の流れが

大切です。左の 36＋

27 と，右の 96＋87

では，右の 96＋87 から指導します。これは，左（36＋27，29＋

29 型）の問題数が 1300 なのに対して，右（96＋87，99＋99 型）

の問題数が 4860 あるからです。右の方が，一般的なたし算とい

えます。

上の二つの計算は，短加法へいくための途中の段階（長短加法）

の書き方です。長加法から短加法へは，直接すすむと理解できな

い子どもたちがでてきてしまうからです。子どもたちに理解させ

ようとしたら，ステップを小さくすることが指導のコツです。

(３)長加法から長短加法へ（長短加法Ⅱ）

長加法から短加法へとは，すぐに移行で

きないために，途中の段階として長短加法

が必要になります。

36＋27のような十の位の計算に繰り上

がりないものは，⑵から⑶へ進むことがで

きますが，96＋87のように，十の位にも

繰り上がりのあるたし算の場合は，ここに

あるような段階が必要になります。補助数字は，忘れないように

するための，頭の補助をするための数字というわけです。

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この段階が必要な計算があります。そ

れは，56＋47のように，十の位では繰り

上がりがないのに，一の位の繰り上がり

ために，それにひきずられて十の位に繰

り上がりができてしまう場合です。それ

が右の計算で，このように補助数を書か

せることで，子どもの間違いを減らすこ

とができます。

(４)２位数＋２位数（短加法）

左の計算は，２位数＋２位数で一般的

な（問題数が多くある）繰り上がりがあ

るものです。長加法，長短加法Ⅰ，Ⅱと

順序よくやってくると，左のように補助

数字を書くことに何の抵抗もありません。

このような書き方を短加法と呼ぶことに

したのです。

ところで，繰り上がった１を下に小さく書くと，かけ算のとき

に書く補助数字と似てくるという心配があります。しかし，途中

に１段で書き表す長短加法を教えていれば，難しいことなく指導

することができます。

右の 36＋27（29＋29 型）のように，一

の位だけが繰り上がるたし算の数は，1300

題あります。

29＋29 型と呼ばれる右の計算ような計

算は 1300 題あって，そのうち，繰り上が

った１で繰り上がるたし算（次ページ，56

＋47）は，252 題あります。29＋29 型の計算全体のおよそ２割で

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す。56＋47 のような計算は，⑶にある長

短加法Ⅱの段階（前ページ，右上の計算）

の指導が必要となります。これは，56＋47

のような計算は，29＋29 型としてではな

く，99＋99 型の計算の特殊な型として，

扱った方がよいからです。

２位数＋２位数で，繰り上がりがあるた

し算の指導は，長加法では，問題数の多い 99＋99 型，29＋29 型

の順になります。このときも，29＋29 型の特殊型である 56＋47

（29＋79 型）をやってから，29＋29 型の一般的な（36＋27 のよ

うな）計算へと進めていきます。指導のすべてが，一般から特殊

ではなく，特殊から一般への指導の流れもあるのです。

(５)３位数＋３位数

たし算についていえば，２位数＋２位数の段階で，「全員が短加

法を使いこなせる」ようになって欲しいものです。これは，２年

生で短加法を使いこなせるようにする，ということです。

３年生になると，右のような３位数

＋３位数の計算がでてきます。このと

きに，まだ長短加法で計算していると，

２位数×１位数の長短乗法の計算を指

導するときに，似ているので混乱する

ことがあるからです。

指導は，繰り上がりのない222＋222

型から始めます。次に繰り上がりのある 299＋299型，229＋279型，

229＋229 型，292＋292 型の順に指導していきます。最後に，千の

位に繰り上がる 999＋999 型，929＋929 型，992＋992 型となりま

す。299＋299 型の筆算が，計算力向上に最も重要な型といえます。

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水道方式の発展Ⅱ

くり下がりがある減法の補助数字 繰り下がりのあるひき算のもっとも基本となる計算，12－9型

（13－７のような 1年生で学習する計算）は，答えを求めるため

に，2回ひき算をする減減法か，ひき算とたし算をする減加法のど

ちらかをします。そこで，子どもたちにとって分かりやすい「1年

生から筆算を使う減加法」を紹介してきました。

私が紹介してきた減加法の補助的な数字（補助数字）の使い方と

似たものが，教科書（東京書籍）3年生のひき算に載るようになり

ました。これは，できない子どもたちが多かったために，3年生で

入れたという感じです。さて，わり算のアルゴリズムでの「ひく」

にあたるひき算へつながる指導，という考え方がこの資料です。

(１) ２位数－１位数（１２－９型）

１年生で学習する 13

－９のような繰りさがり

のあるひき算は，もっと

も基本となる計算です。

そこで，ひき算の答えを

暗記することが目標にな

ります。

しかし，すぐに暗記と

いっても，なかなかでき

るものではありません。

そこで，まず，10 の補数

（１と９，２と８，３と

７……）を，暗記させま

す。10－のひき算という

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よりは，10 の合成と分解が何とかできるようになれば，前ページ

のようなやり方で，くり下がりがあるひき算を教えることができ

ます。（荒井公毅『たしざん ひきざんプリント集』1997 年，国

土社）

３から９は，ひけません。そこで，となりの十の位から１本（１十）

借りてきて，10個（10）に変身します。変身した 10から９をひ

きます。ひいた残りは，１です。はじめからあった一の位の３と，10

からひいた残り１をたして（合わせて）４と答えがでます。

と，指導することができます。このように，借りてきた 10 から

ひいて，ひいた残りをたして，答えを求める方法を「減加法」と

よんでいます。ひき算の教え方には，この減加法のほかに減減法

があります。減減法というのは，13－９の場合，ひく９を３と６

に分解します。３－３，10－６とひき算を２回することから，こ

の名前がついています。

さて，くり下がりがあるひき算のタイル操

作を教えたあとに，左の図のように補助数字

を書いてドリルします。最終目的が暗算です

から，左のやり方でずっとやっているわけに

はいきません。

そこで，まず，右上の図

のように補助数字を書きま

す。借りた１を消して，借

りてきた 10 と５を合わせ

て（〇で囲んで），15 としてみます。その 15 か

ら－８をします。つぎに，右下の図のように，借

りた１を消したあとに，１を一の位に直接書いて

15 にします。最終的には，右の図のように補助

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数字を書いて，暗算で答えを求めます。この書き方にすると，２

位数－２位数や３位数－３位数で，くり下がりがあるひき算があ

るときに，利用することができて大変便利です。

ひき算のもっとも基本となる計算（素過程という）は，かけ算

九九のように，すぐに答えがだせるようになることが最終の目的

です。これは，桁数の多いひき算が，基本となる計算（素過程）

が集まってできているからです。基本となる計算を覚えれば，あ

とはそれを使うだけです。まさに，「基本の計算を，知って，覚え

て，使って，計算力を磨きましょう」となるわけです。昔は，こ

の素過程を「減法九九」とって，九九のように唱えさせる指導も

あったのです。

(２)２位数－２位数（９２－２９型）

教科書では，筆算の計算を学習するのは，２年生です。これは，

１年生が－１位数の計算で，－２位数の計算は２年生だからです。

さて，２位数－２位数の筆算では，はじめ一の位，十の位に，繰

りさがりのないひき算から練習します。そ

れから，一の位に繰りさがりあるひき算と

いう順番で指導します。

２年生でも，くり下がりがあるひき算の

習熟が不完全な子どもがいるので，左の図

から，進めていくとよいでしょう。このと

き，２年生で前ページ（７ページ）のよう

な指導はしません。これは，前ページの計

算が１年生の内容で，できないから復習す

るという感じで，２年生としての自尊心を

傷つけてしまうからです。

２位数－２位数のくり下がりがあるひき算で，くり下がりの計

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算手順をていねいに扱います。－２位数になっただけで，７ペー

ジのくり下がりの指導と同じです。８ページの51－38の計算が，

はじめの導入です。

このやり方が理解できたら，右の図の上，

下と進んでいきます。借りてきた 10 を一の

位に入れて，右のように〇で囲んで 11 にし

てしまうことが指導のヘソです。これで，11

－８というもっとも基本となる計算（素過程）

になります。

さて，素過程を覚えている子が多くいるの

で，いつまでもやらせると「できる子の謀叛」

が起きて逆効果になります。素過程の定着が

不十分な子どもに対しては，８ページや右上

の図のやり方を認めます。そして，徐々に右

下の図の書き方へ移行していきます。

素過程を十分に暗記している子どもは，頭

の中で計算する傾向があります。右下の図のように補助数字を書

かせることで，位が増えたひき算でのミスを減らすことができま

す。そこで，２年生では，右下の図の書き方で統一します。ノー

ミソの働きのように，書かせることが低学年にとっては，大切な

指導だからです。

もっとも基本となるひき算は，暗記するのが目標でした。そこ

で，もっとも基本となるひき算のドリルは，繰りかえし練習し，

ひき算の答えがすぐにでるようにしなくてはなりません。２年生

で，このもっとも基本となるひき算を暗記させることが，３年生

以上のひき算の土台となります。そのことを教師が意識して，ド

リルさせることが大切です。

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(３)３位数－３位数（９２２－２９９型）

51－38（92－29 型）ができるように

なると，３年生で学習する３位数－３位

数で二つくり下がりがある計算（922－

299 型）も，簡単に理解することができ

ます。計算する手順（アルゴリズム）が

同じだからです。基本となるひき算（右

図の一の位 12，十の位では 14）に変身

する位置が，一の位と十の位では違っています。この違いを知っ

て，覚えて，使え（練習すれ）ば，確実にできるようになります。

３位数－３位数で，くり下がりのない典型的な問題（999－222

型）は４万 6656 題あります。一の位にくり下がりがある計算（992

－229 型），十の位にくり下がりがある計算（929－292 型），一と

十の位の二つにくり下がりがある計算（922－299 型）は，どれも

同数の３万 6288 題あることがわかっています。

そこで，指導の順番は，

① 999－222 型（繰り下がりがない）

② 922－299 型（一の位，十の位，共に繰り下がりがある）

③ 992－229 型（一の位に繰り下がりがある）

④ 929－292 型（十の位に繰り下がりがある）

となります。

さて，一の位のひき算をすると，十の

位が０（右の図，514－376）になるよ

うな計算についてです。一の位に１（１

本＝10 個）貸してしまうと十の位は，

０になってしまいます。百の位から１借

りてくると，十の位は 10 になります。

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子どもたちの中には，０が特別なものと思っていることがありま

す。そこで，十の位が０になる場合の計算は，教える必要がある

のです。

今度は，十の位がもともと０の場合です。

右の図のような 602－279 のような計算で

す。一の位のひき算をしようとすると，十の

位が０で，借りる数がありません。そこで，

百の位から借りてきます。百の位は１貸し

て６→５，十の位は借りてきて 10 になりま

す。この 10 を一の位に１貸して 10→９に

なります。一の位は 12－９，十の位は９－７，百の位は５－２と

計算します。

この 602－279 のような計算で，簡単そ

うに思えて，間違える子どもたちの多い計

算が，右図のような 602－８です。ひく数

の十の位，百の位が空いていて，０が書か

れていません。位が空っぽです。この位が

空っぽという意味の「空位」を，数学者は

「０」と書くということが，わかっていないので，混乱してしま

うのです。空位の０，これを意識化させることが大切なのです。

指導としては「ノーミソの目で，まぼろしの０を見つけよう」と

教えるのがよいでしょう。

(４)３位数－３位数（９２２－２９９型）の発展

補助数字（補助記号としての数字）の書き方について，これで

おしまいという訳にはいきません。いわゆるひき算の計算ならば，

⑶までのやり方でいいのですが，４年生から学習するわり算の中

にあるひき算では，この補助数字の書き方では困ったことがおき

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てしまいます。それは，１行に収ま

らないということです。823÷34の計

算（右）をみると,〈ひいて〉で繰り

さがりのひき算があります。そのた

め，わり算でのひき算は，右図のよ

うに，1段に収まるように，補助数字

を小さく書く必要性が生まれます。

右上がおすすめの補助数字の書き方

です。右下のような補助数字の書き方

もありますが，頭に記憶する部分があ

って，できない子がでてきます。

右上のように，繰りさがった「１」

を書かせることが大切です。この練習

は，３年生の後半から４年生の前半ま

でに，知って，覚えて，使えるように

させておきます。

11ページに

あるような補

助数字の書き方から，左のような書き方へと

練習をすることになります。このとき，ノー

トは，５ミリ方眼のものを使います。このノ

ートに，１センチ方眼の数字一つを書かせる

ようにします。右図のマス目が５ミリ方眼を

表しています。補助数字は，５ミリ方眼の中

に小さく書かせます。

全員が補助数字を小さく書けるようになる

までは，左のように計算の上を空けて，補助

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数字が書けるようにします。ノート指導をするときに，全員が同じに

なるようにするためです。一斉指導のコツといってよいでしょう。

(５)さくらんぼ計算ではなく筆算を

●親たちのなげき

小学生の子が、さくらんぼ計算でつまずいています。算数大好き、

計算大好きだったのに、最近浮かない顔してるなぁ、と思って聞いて

みたら「さくらんぼ計算がよくわからない………」というのです。

確かに足し算のさくらんぼはまだわかるのですが、引き算になる

と、逆に混乱してしまうみたいです。答えはパッと出せるし、全部あ

っているのに、さくらんぼ部分が埋まらくて苦慮しているので、「先

に答え書いて、あとでさくらんぼは埋めなさい」とアドバイスしたら、

すらすら進むようになったわけです。（SNSで見つけたもの）

●教科書のやり方とは

まずは，教科書（東京書籍，１年下，2014年版）をみてみまし

ょう。「13－９」の繰り下がり

のあるひき算の説明です。「３

から９はひけない」と書かれ

ていますが，どうして「ひけな

い」のでしょうか。

３から９をひけば，残り６

です。さらに，このひく６を10

からひくという考え方があり

ます。この考えを「減減法」と

いいます。教科書にあるブロ

ック図では，この減減法を否

定することはできません。３

と 10にわけたのですから，どちらの数からもひくという減減法を

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使えば，１と３をたす必要性はありません。教科書は，減減法の

方が「理に適っている」といってよいでしょう。

教科書の説明のように，10－９を計算し，わけた３とたし算す

るという考え方を「減加法」といいます。この減加法は，十進位

取り記数法があって，説明できるものなのです。十進位取り記数

法というのは，一の位，十の位といった位取りがあって，10にな

ると，次の大きい位に進んでいくという数の表し方です。漢字の

記数法は，九・十・十一というように，位がありません。

●十進位取り記数法

右が教科書です。図を見ると，位取りのよう

な感じがしますが，13を 10に分解しただけで

す。ブロックも 10のままで，一の位の３と「違

う位だ」

とはわ

かりま

せん。

左は，拙著の位取りの説

明です。水道方式のタイル

を基に，十を「本や個」と

同じように，個別単位とし

て考え，説明しています。

水道方式のタイルを使う

ことで，一の位が 10 個に

なると，１本に変身して十

の位に進みます。これが，

タイルを使った，十進位取

り記数法の説明です。

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右図は，36 を使って説明しています。これは，十進位取り記数法

の原則に従えば，10～99 で同じ法則が使えます。また，10～19 を最

初に説明していないのは，日本語の構造上の問題からです。たとえば

13 を右図に入れてみると，１本３個で，日本語では１十３になりま

すが，１十の１を省略して読むのがふつうだからです。

文字（十）のまえの係数１は，省略するという数学的な考え方が，

ここでも適用できるということです。

●位取りなくして，繰り下がりを教える（教科書を料理する）

百歩譲って，教科書準拠で 13－９を説明したら，どうなるかとい

うと，下の図のようになります。13 ページの教科書の図と，比べて

みてください。どうでしょうか，わかりやすくなっていませんか。

ところで，算数教育関

係者は，左のようなタイ

ル図のひき算を，絶対に

書きません。それは，タ

イル図が，筆算の形式になっているからです。また，このタイル図の

書き方が，差を求めるひき算（求差）になっています。これもダメで

す。水道方式を推し進める数学教育協議会（略して数教協）の先生方

からも，このタイル算は，拒否反応を示されます。これは，ひき算は，

残りを求めるひき算（求算）で教えることになっているからです。

●補助数字を教える（料理しても限界がある）

教科書には，右のような補助数字を使ったもの

が書かれています。上の図（タイル算）と対応し

て見ると，13 を 10 と３にわけ，10 から９をひく

というようになります。この 13 を 10 と３わけた図が，さくらんぼ

に似ていることから，さくらんぼ計算といわれたのだと思います。

さて，上のタイル算は，あくまでも教科書準拠です。教科書のよう

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な補助数字（さくらんぼ計算）を使えるのは，１年生の繰り下がりを

学習する一時期だけです。これから学年があがってしまい筆算になる

と，全く使えません。その場（１年のこの時期）かぎりの指導法で，

子どもたらが，知って，覚えても，２年生以上では全く使うことがな

い，いや使えないのです。

このような汎用性のない指導法を，子どもたちに押しつけても，算

数が嫌いになるだけです。１年生から筆算を教えた方が，指導上，合

理的であり，子どもたちのためであり，計算力の向上，しいては学力

向上へとつながるのです。