98學年度統一入學測驗 398-11

99學年度統一入學測驗 399-12

100學年度統一入學測驗 3100-13

101學年度統一入學測驗 3101-14

102學年度統一入學測驗 3102-15

103學年度統一入學測驗 3103-16

104學年度統一入學測驗 3104-17

105學年度統一入學測驗 3105-18

Q目次

超越顛峰歷屆統測試題の精粹數學C

105 學年度統一入學測驗 105-1

8 105學年度統一入學測驗

注意事項：

本試卷共 25 題，每題 4 分，共 100 分，答對給分，答錯不倒扣。

鋳 本試卷均為單一選擇題，每題都有、、、四個選項，請選一個最適當答案，在答

案卡同一題號對應方格內，用 2 B 鉛筆塗滿方格，但不超出格外。

　　　　 若直線 3x - 2y + 6 = 0 的斜率為 a，y 截距為 b，x 截距為 c，且此直線與兩坐標軸

所圍成的封閉區域面積為 d，求 ab - cd 之值。

23

29

215

221

　　　　鋳 若 ( ) sec cscf x x x2 2

2 2= + 的週期為 P，求 P 之值。

2r r 2r r2

　　　　鋴 設 TABC 三內角+A、+B、+C 的對應邊分別為 a、b、c，且 a bc b c32 − = − ，

求+A 之值。

2r

32r

43r

65r

　　　　鋽 設 sec i + csc i = 1，求 sec i csc i 之值。

12 + 12 − 12− − 12− +

　　　　鍃 設 a = cos 40˚cos 80˚cos 160˚，b = sin 10˚cos 20˚cos 40˚，則 a + b 之值為何？

41− 0

41

21

第 8 回105-2

　　　　鎄 已知向量 ( , )a 6 8= − 且與 b 之夾角為 60˚，則向量 a 在 b 上的正射影長為何？

5 7 5 3 10

　　　　鎭 已知 a、b 為實數，若 f ( x ) = x3 + ax2 + bx - 6，g ( x ) = x2 - 7x + 6，且 f ( x ) 可被 g ( x )整除，求 2a + 3b 之值。

23 36 39 45

　　　　䥅 已知 A、B、C 為常數，且對任意 x 均滿足 ( ) ( ) ( )x xx x

xA

xB

xC

1 23 9 3

1 2 22

2

2− ++ − =

−+

++

+ ，求 B 之值。

- 1 0 1 2

　　　　䥑 若三元一次聯立方程式 ( )( ) ( )

ax ayax y a z

a y a z

51 3

1 2 3 1

− =− + − =− + − =

* 恰有一解，則 a 可能為下列何值？

0 1 2 3

　　　　麿 設 a、b、c 均為實數，若 ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) = - 2，則 ac

c a

bc

c a

bb

c a

26

2 23 3

− − − 之

值為何？

- 12 - 6 6 12

　　　　鐗 已知 z i31 = + 、z2 = 1 + i，其中 i 1= − ，則 z z1224 可表示為下列哪一個？

16 ( cos 240˚ + i sin 240˚ ) 16 ( cos 300˚ + i sin 300˚ ) 16 ( cos 60˚ + i sin 60˚ ) 16 ( cos 120˚ + i sin 120˚ )

105 學年度統一入學測驗 105-3

　　　　匁 滿足二元一次聯立不等式 4

3 65 2 10

x yx yx y

#

#

$

+−+

* 的整數解 ( x , y ) 共有幾個？

3 4 5 6

　　　　鐝 設 a , b , c , d , e , f 六數成等比數列，且已知 a + c + e = 168，b + d + f = 84，則 d 之

值為何？

6 9 16 32

　　　　鐭 已知 log p210 = ，log q310 = ，求 3log log log6 6 12616 6− + 之值。

p qp q52 22+++ p q

p q32 22+++ 3 p q

p q2 22+−+ 5 p q

p q2 22+−+

　　　　鐾 設 ( . )a 0 1 41

= ， (0. )b 2 41

= ， (0.2)c 51

= ，則下列何者正確？

a < b < c c < a < b b < a < c b < c < a

　　　　䥪 試求 1396 除以 4 的餘數為何？

3 2 1 0

　　　　鑔 若同時擲兩粒公正的骰子，則下列何者正確？

點數和等於 5 的機率大於點數和等於 8 的機率

點數和等於 6 的機率大於點數和等於 7 的機率

點數和等於 7 的機率大於點數和等於 9 的機率

點數和等於 9 的機率大於點數和等於 8 的機率

　　　　鑹 連續投擲一公正硬幣四次，觀察其出現正反面的情形。已知 E 為第二次投擲出現

正面的事件，F 為第三次投擲出現正面的事件，G 為四次投擲中至少出現兩次正

面的事件。若 p ( A ) 表示事件 A 發生的機率，則下列敘述何者正確？

( )p E81= ( )p E G

81

+ =l ( )p F E41; = ( )p G

1611=

第 8 回105-4

　　　　锭 下列各選項的抽樣資料中，何者的樣本標準差最小？

7.5 , 11.5 , 19.5 , 23.5 , 25.5 6 , 10 , 18 , 22 , 24 3.5 , 4.5 , 6.5 , 7.5 , 8 3 , 5 , 9 , 11 , 12

　　　　関 已知圓的方程式為 x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0；直線方程式為 x + y - 1 = 0，若圓和直

線的交點分別為 A 與 B，圓心為 O，則下列何者正確？

AB21=

圓心 O 到直線 AB 的距離為 21

圓心 O 與 A、B 形成的三角形 TABO 面積為 21

交點 A、B 的坐標分別為 ( - 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )

　　　　䦧 已知一橢圓之焦點分別為 ( 3 , 3 ) 及 ( - 1 , 3 )，且過點 ( 3 , 6 )，則下列何者為橢圓上

的點？

( - 1 , 0 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 4 , 5 )

　　　　间 已知 ( ) ( ) ( )f xx

x x x27 9

2 1 13 2 4

=+

− +，求 f ( x ) 在 x = 0 的導數 f l( 0 ) 之值。

316−

38−

34−

31−

　　　　阳 試求定積分 x dx2 113 −−

# 之值 =？

215

217

219

221

　　　　䧥 試求 ( )limn

nn

n n2 12

2 22

n

2+ −++ +

"3 之值 =？

0 1 2 3

　　　　枠 設 f ( x ) = x3 + 3x2、g ( x ) = 4，則兩函數 y = f ( x ) 與 y = g ( x ) 之圖形所圍成的封閉區

域面積為何？

411

427

491

4221

第 8 回18

【解題關鍵】三角函數的週期

原式 cos sinx x

2

1

2

12 2

= +

　　 ( )sin cos

sin cos

x x

x x

2 2

2 22

2 2

=+

　　 ( )sin cosx x41 2

2 2

12

= sin x42=

　　 4csc x2=

作 y = csc x 如右圖𦯷，週期為 2r

若 y = csc2x，則函數負值轉正值

如右圖，週期為 r

y = 4 csc2x，4 不影響週期

故得週期仍為 r，選虲

【解題關鍵】餘弦定理

a bc b c32 − = − 　⇒　a2 - 3bc = b2 - 2bc + c2

⇒　b2 + c2 - a2 = - bc

由餘弦定理，cosAbc

b c abcbc

2 2 212 2 2

= + − = − =−

A 12032c+ r= = ，故選虲

【解題關鍵】三角函數的性質、一元二次方程式

sec csc 1i i+ = 　⇒　cos sin1 1 1i i+ =

⇒　cos sinsin cos 1i ii i+ = 　⇒　sin cos sin cosi i i i+ =

⇒　( ) ( )sin cos sin cos2 2i i i i+ =

⇒　 ( )sin cos sin cos1 2 2i i i i+ =

令 sin i cos i = x，得 1 + 2x = x2

x2 - 2x - 1 = 0　⇒　 x2

2 4 42

2 2 2 1 2! !!= + = =

∵ sin cos sin21 2i i i= 　∴ x

21

21

# #− ，故 x 1 2= −

sec csccos sin x

1 11 21 1 2i i

i i= = =

−=− −

故選蚒

【解題關鍵】三角函數的轉換

( )cos cos sin80 90 10 10c c c c= − =

160 (90 2 20 )cos cos cos20#c c c c= − =−

( )cos cos cos cos sin cosa b40 80 160 40 10 20c c c c c c= = − =−

a + b = - b + b = 0，故選虲

【解題關鍵】正射影長

( , )a 6 8= − ， ( )a 6 8 102 2= − + =

∵ a 、b 夾角為 60˚

∴ a 在 b 上正射影長為

　 10 5cosa 6021

# #c = =

故選䕷

2r−2rx

y

2rr−r−2rx

y

a

b60˚

【解題關鍵】行列式的運算性質

aaa

c ac ac a

b cb cb c

aaa

ccc

b cb cb c

222

222

1

2

3

1 1

2 2

3 3

1 1

2 2

3 3

1

2

3

1

2

3

1 1

2 2

3 3

+++

−−−

=−−−

× ( - 1 ) × 2

　　　　　　　　　 aaa

ccc

bbb

aaa

bbb

ccc

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

= =−

　　　　　　　　　 = - 2故選虲

【解題關鍵】指數的運算性質

∵ 3a = 5　∴ 5 (3 ) 3 9 3b a b ab 2= = = =

∴ ab = 2，故選蚒

【解題關鍵】海龍公式與外接圓半徑

設三角形三邊長 a = 3、b = 3、c = 4，R 為外接圓半徑

5s2

3 3 4= + + =

由海龍公式得三角形面積

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s a s b s c 5 5 3 5 3 5 4# # #− − − = − − −

　　　　　　　　　 25 2 2 1 5# # #= =

又三角形面積 2Rabc4

5= =

∴ R abc4 2 5 8 5

3 3 42 59

109 5

#

# #= = = =

故選蚲

【解題關鍵】重複組合

三人先各分一顆球後，剩下 3 顆任意分給三人

設三人分別再得 x、y、z 顆球

即 x + y + z = 3，且 x、y、z 為非負整數

共有 10H C C33

33 3 1

35= = =+ − 種，故選虲

8 105學年度統一入學測驗

蚲　虲　虲　蚒　虲　䕷　䕷　蚲

蚲　蚲　䕷　虲　蚒　䕷　䕷　蚒

蚒　蚲　蚒　蚒　䕷　䕷　虲　蚲

虲

【解題關鍵】直線方程式

在坐標平面上畫出直線

3x - 2y + 6 = 0x - 2 0y 0 3

得斜率為 ( )0 23 0

23

− −− =

x 截距為 - 2，y 截距為 3

直線與兩軸圍成面積為 2 3 321

# # =

所求 3 ( 2)23 3

29 12

221

# #= − − = + = ，故選蚲

x

y

O

( 0 , 3 )

(−2 , 0 )

105 學年度統一入學測驗 19

【解題關鍵】複數極式與棣美弗定理

( )z i i3 3 13 13

3 11

1 = + = ++

++

( ) ( )cos sini i223

21 2

6 6r r= + = +

( )z i i1 1 11 11

1 11

2 = + = ++

++

2 (2) 2 ( )cos sini i

21 1

4 4r r= + = +

[ ( )] [( ) ( )]cos sin cos sinz z i i23 3

21224 2 4r r

r r= + +

　 ( ) [ ( ) ( )]cos sini2 23 3

2 4 rr

rr= + + +

　 ( )cos sini16 240 240c c= +

故選䕷

【解題關鍵】二元一次不等式的圖形

作圖求解，可得整數解有

( 1 , 3 )、( 2 , 2 )、( 2 , 1 )、( 2 , 0 )四組，故選虲

【解題關鍵】等比數列

設首項為 a，公比為 ra + c + e = a ( 1 + r2 + r4 ) = 168…嫎b + d + f = ar ( 1 + r2 + r4 ) = 84…娋嫎

娋，得

r1 2= 　⇒　r

21=

又 [ ( ) ]

a b c d e fa

121

121

2526

+ + + + + =−

−=

⇒　( )

126 128a1

21

25221

6364

6

#

#=−

= =

128 16d ar813

#= = = ，故選蚒

【解題關鍵】對數的運算

原式 6 6 12log log log621

61

621 1= − +−2

　　 6 6 12log log logloglog

212

11

21 5

21

612

6 6 610

10= −−

+ = +

　　 5 5log loglog log

log loglog log

21

2 34 3

21

2 32 2 3

10 10

10 10

10 10

10 10= +++ = +

++

　　 5( )p qp q

22= +

++

故選䕷

【解題關鍵】指數比大小

∵ 0 < 0.2 < 1 且 41

51> 　∴ ( . ) ( . )0 2 0 2<4

151

又 ( . ) ( . )0 1 0 2<41

41

，得 a < b < c，故選䕷

【解題關鍵】二項式定理

(139) (4 35 1)6 6#= − (4 35) ( 1)C 0

6 0 6#= −

(4 35) ( 1) (4 35) ( 1) (4 35) ( 1)C C C16 1 5

26 2 4

66 6 0

# # #g+ − + − + + −

x

y3x−y=6

5x+2y=10x+y=4

4 的倍數

【解題關鍵】除法原理

∵ f ( x ) 可被 g ( x ) 整除　∴餘式為 0由長除法（分離係數）得

( )( )

b aa

6 7 49 06 6 42 0− − − − =

− − + =)

⇒　a ba7 436 48

+ =−=−

'

⇒　ba

138

==−

'

2a + 3b = - 16 + 39 = 23故選䕷

【解題關鍵】部分分式

( )xA

xB

xC

1 2 2 2−+

++

+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

x xA x B x x C x

1 22 1 2 1

2

2

=− +

+ + − + + −

( ) ( )x xx x1 2

3 9 32

2=

− ++ −

⇒　3x2 + 9x - 3 = A ( x + 2 )2 + B ( x - 1 ) ( x + 2 ) + C ( x - 1 )x 代 - 2，得 - 9 = - 3C　⇒　C = 3x 代 1，得 9 = 9A　⇒　A = 1x 代 0，得 - 3 = 4A - 2B - C = 1 - 2B⇒　2B = 4　⇒　B = 2故選蚲

【解題關鍵】克拉瑪公式

∵方程組恰有一解

∴ 0aa

a

aa

a01

1

012 3

T !=−−−

−−

　 aa

a

aa

a

a aa

aa

a01

1

012 3

00

11

012 3

−−−

−−

=−

− +−

−−

　 [( ) (2 3) (1 ) ]a a a a1 2= − + − − −　 [( 1)(2 3) ( ) ]a a a a 1 2= − − − −　 ( ) [ ( )]a a a a1 2 3 1= − − − − ( 1)( )a a a 2= − −∴ a 不可為 0、1、2，故選蚲

【解題關鍵】行列式的運算性質

原式 3ac

c a

bcc a

bbc a

22

2 2=

− − −

( )21

# −

( )21

# −

　　 3ac

c a

b a b ab c

22

2 200 0

=−

− −− （以第三列降階）

　　 3 2( ) ( )( ) ( )c a b a b ab c c a b a b c

06#= −

− −−

= − − −

　　 6( )( ) ( ) 6 ( 2) 12a b b c c a #=− − − − =− − =故選蚲

1 7 6 a b

aa

ba a

a1 61 7

77

66

7 496

6 420

1 7− −

−++

−− −

−+

+g

-

-

第 8 回20

【解題關鍵】橢圓的定義

橢圓上的點到兩焦點的距離和為定值

( ) ( ) [ ( )] ( )3 3 6 3 3 1 6 3 82 2 2 2− + − + − − + − =

䕷𨭆； [( ) ] ( ) [( ) ( )] ( ) 81 3 0 3 1 1 0 32 2 2 2− − + − + − − − + − =

虲𨯔； ( ) ( ) [ ( )] ( )1 3 2 3 1 1 2 32 2 2 2− + − + − − + −

　　　 2 5=

蚒𨯔； ( ) ( ) [ ( )] ( )2 3 3 3 2 1 3 3 42 2 2 2− + − + − − + − =

蚲𨯔； ( ) ( ) [ ( )] ( )4 3 5 3 4 1 5 32 2 2 2− + − + − − + −

　　　 5 29= +

【解題關鍵】導數的定義

( ) ( ) ( )( ) ( )

lim limfx

f x fxx

x x x

000

027 9

2 1 13 2 0

x x0 0

4

=−− =

−+

− + −

" "l

　　 ( ) ( ) 1 16limx

x x27 9

2 1 13 23 3

16x 0

4#=

+− + = − =−

"

故選䕷

【解題關鍵】定積分

,

,x

x x

x x2 1

2 121

1 221<

$

− =−

−*

x dx2 113 − =−

# ( ) ( )x dx x dx1 2 2 121

2113− + −

−# #

　　　　　 ( ) ( )x x x x21

2113

= − + −−2 2

　　　　　 [ ( )] [ ( )]41 2 6

41= − − + − −

　　　　　 821

217= + =

故選虲

【解題關鍵】無窮數列的極限

( )limn

nn

n n2 12

2 2n

2 2+ −++ +

"3

( )( ) ( ) ( )lim

n nn n n n n

22 1 2 2 2

n

2 2

=+

+ + − + +"3

lim limn nn n

n

n n2

3 21 2

3 1 2

3n n2

2 2=

+− + =

+

− +=

" "3 3

故選蚲

【解題關鍵】兩曲線間的面積

y x xy

34

3 2= +=

) 　⇒　x3 + 3x2 - 4 = 0

⇒　( x - 1 ) ( x2 + 4x + 4 ) = 0⇒　( x - 1 ) ( x + 2 )2 = 0⇒　x = 1 或 x = - 2作圖如右，可知 x ! [ - 2 , 1 ] 時，g ( x ) $ f ( x )

所求 [ ( )] (44

)x x dx x x x4 34

33 221

2= − + = − −

− −

1#

　　 ( )411 4

427= − − =

故選虲

x

y y= f ( x )

y= g ( x )

− 2 1

故 ( 139 )6 除以 4 的餘數即為 (4 35) ( 1)C 06 0 6

# − 除以 4 的

餘數。1 ' 4 = 0…1，故選蚒

【解題關鍵】古典機率

以 ( a , b ) 表示投擲兩公正骰子第一粒點數為 a，第二粒

點數為 b則點數和為 5 有 ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 1 ) 4 種

　點數和為 6 有 ( 1 , 5 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 1 ) 5 種

　點數和為 7 有 ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , 　( 6 , 1 ) 6 種

　點數和為 8 有 ( 2 , 6 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 4 ) , ( 5 , 3 ) , ( 6 , 2 ) 5 種

　點數和為 9 有 ( 3 , 6 ) , ( 4 , 5 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 3 ) 4 種

䕷𨯔；點數和等於 5 的機率小於點數和等於 8 的機率

虲𨯔；點數和等於 6 的機率小於點數和等於 7 的機率

蚒𨭆

蚲𨯔；點數和等於 9 的機率小於點數和等於 8 的機率

【解題關鍵】機率的性質

∵硬幣為公正　∴正面反面出現機率各為 21

又每次投擲結果彼此不影響

故 ( )P E21= ， ( )P F

21=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P G C C C21

21

21

21

21

24 2 2

34 3

44 4= + +

　　 ( )161 6 4 1

1611= + + =

P ( E + Gl ) = P（第二次為正面且四次中至多出現一次正面）

= P（第二次正面，其餘皆反面）

21

21

21

21

161

# # #= =

∵每次投擲互不影響　∴ ( | ) ( )P F E P F21= =

故僅蚲正確

【解題關鍵】標準差

資料愈密集，樣本標準差愈小，由選項可看出蚒最密

集，故蚒標準差最小

【解題關鍵】圓與直線的關係

x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0⇒　( x2 - 2x + 1 ) + ( y2 - 2y + 1 ) = 1⇒　( x - 1 )2 + ( y - 1 )2 = 1，得圓心 O ( 1 , 1 )，半徑 r = 1

䕷𨯔；AB r d2 2 1212 2= − = −

　　　　 2

2 2= =

虲𨯔；圓心 O 到直線的距離

　　　d1 11 1 1

21

2 2=

+

+ − =

蚒𨭆；TABO 面積 AB d21

21 2

21

21

# # # #= = =

蚲𨯔；由圖知交點為 ( 1 , 0 )、( 0 , 1 )

恰兩次正面 恰三次正面 四次皆正面

第一次反 第二次正 第三次反 第四次反

x

y

x+ y− 1= 0

B ( 0 , 1 )

dA ( 1 , 0 )

O ( 1 , 1 )