第 9章 曲げ部材 1

第 9章 曲 げ 部 材

図 9.1 断面構成の例

第 9章 曲げ部材 2

9.1 曲げに対する断面の抵抗能力

(1) 弾性域

図 9.2 梁内の応力

σb =M

Ic =

M

W

M : 作用モーメント

I :断面二次モーメント

c : 中立軸からの距離

W : 断面係数

許容応力度設計法

σa =σYFS

σa : 許容応力

σY : 降伏点応力

FS : 安全率

曲げ部材の設計 = 安全性の照査

σb < σa

第 9章 曲げ部材 3

(2) 塑性域

• 梁は，上下縁が降伏してもすぐに崩壊には至らない ！

• 荷重を上げていくと塑性化が進行

• 全断面が塑性化したときが最大耐荷力

例 P/PY –∆/の曲線を描け．

PY = Σ3i=1σYi

Ai : 全塑性引張力 ，

∆ : 伸び量，

部材断面積 : A1 = A2 = A3=100cm2，

材料 : 完全弾塑性体

σY1 = σY3 = 235MPa， σY2 = 450MPa

A1 A2 A3σY 1 σY 2 σY 3

I II III

P

l

∆l

σ

σy

0 εεy

• 部材1，3が降伏するまで(PA)は，3本の部材は弾性的挙動．

PA = 235N/mm2 × 30000mm2 = 7050000N = 7.05× 103kN

• 部材1，3が降伏後し，部材2が降伏するまで(PY )

部材1，3はσY1 = 235MPaだけ負担．

PY = 235× 20000 + 450× 10000 = 9200000N = 9.20× 103kN• PA/PY = 7.05× 103/9.20× 103 = 0.766• 点Aにおけるひずみ

(∆l/l)A = σ/E = 235/(2.0× 105) = 1175× 10−6

• 部材2が降伏するとき，全塑性状態が開始する点

(∆l/l)B = σ/E = 450/(2.0× 105) = 2250× 10−6

A

BP/PY

∆l/l (×10−6)0

0.766

1.0

1175 2250

第 9章 曲げ部材 4

• 降伏モーメント梁の最大応力が降伏応力となるときのモーメント MY σY =

MYI

· h2

• 荷重増加 −→ 塑性域拡大 中立軸から z の位置まで降伏した状態に対応するモーメント

M = 2∫ h/2z0

σY bzdz + 2∫ z00

σY · zz0

bzdz

• 全塑性モーメントMP = 2

∫ h/20

σY bzdz MP = σYZ Z : 塑性断面係数 (cf. W : 断面係数 ) f =Z

W:形状係数

図 9.3 長方形断面梁の弾塑性挙動

第 9章 曲げ部材 5

表 9.1 塑性断面係数と形状係数

第 9章 曲げ部材 6

9.2 コンパクト断面とノンコンパクト断面

コンパクト断面 :

全塑性モーメントに達することを保証する幅厚比

をもつ鋼板で断面構成

荷重抵抗係数法 :

Mr = φf ·MnMr : 外力モーメント，

φf : 抵抗係数，

Mn : 公称曲げ強度

Mn = MP

MP : 全塑性モーメント強度 = FYZ，

FY :基本降伏強度，

Z :塑性断面係数

全塑性モーメント MP が実現されるような塑性変

形が生じるまで，局部座屈が生じない

⇓フランジの幅厚比 (bf/2tf)p

⇓桁高 : 一定

使用材料:降伏強度 Fy ≤ 345 (MPa)表 9.3

ノンコンパクト断面 :

フランジが降伏応力に到達するまでしか局部座屈

の防止は保証されていない．

• 表 9.4 に示す値 :梁の最外縁が降伏するときのモーメント

• 溶接組立 : Mn =Mr = (FY − Fr)W

第 9章 曲げ部材 7

9.3 2軸曲げ

断面の主軸 (x1, y1)

tan 2α = − Ixy12(Ix − Iy)

主軸に関する断面二次モーメント

I1 = Ix cos2 α + Iy sin

2 α− 2Ixy sinα cosαI2 = Ix sin

2 α + Iy cos2 α + 2Ixy sinα cosα

図 9.5 断面の主軸

荷重が主軸に一致しない

ねじりも生じない

−→ 2軸方向の曲げ

σb =M1

I1y′ +

M2

I2x′ =

M1

W1+M2

W2

x′, y′ :求めたい位置の主軸系座標系での座標

図 9.6 z断面梁の曲げ

第 9章 曲げ部材 8

9.4 梁の中のせん断応力

図 9.7 梁内に生じるせん断応力

τzx = τxz = −V Q

Ib

V :せん断力

I : 断面2次モーメント

Q :注目断面の外側の断面1次モーメント

b : 注目断面の板幅

図 9.8 長方形断面におけるせん断応力分布

最大せん断応力

• 長方形断面

τmax =3

2

V

bd=3

2τave

τave =V

bd:平均せん断応力

• 円形断面

τmax =4

3

V

πr2 =4

3τave

τave =V

πr2 : 平均せん断応力

第 9章 曲げ部材 9

9.5 薄肉断面の梁中のせん断応力

• 梁高に比べ，板要素はきわめて薄い

• 板厚方向の応力は一定とみなしてよい

図 9.9 H型断面梁内のせん断応力分布

• フランジ内のせん断応力きわめて小さい

• フランジ側面の自由表面にも作用

• 自由表面にはせん断応力は作用しない

• 薄板では板厚方向の応力分布を無視できる

図 9.10 長方形断面におけるせん断応力分布

図 9.11 微小要素と応力の成分

第 9章 曲げ部材 10

• 微小要素に作用するx方向の力のつり合い∂σx∂x

t+∂τsx∂s

t = 0

• seを起点としてsについて積分

τsxt = [τsxt]s=se −∫ sset∂σx∂x

ds

• σx = (M/I)zを代入

τsxt = [τsxt]s=se −dM

dx

1

I

∫ ssez(tds)

• dM/dx = V,∫ ssez(tds) = Qを代入

τsxt = [τsxt]s=se −V Q

I

• 板厚は場所によって変化するものとすると

τsx = τxs =1

t(s)[τxst]s=se −

V Q

It(s)

• 開断面の端部は，x方向の表面力は0

τsx = τxs = 0

• 積分の起点Seを断面の端部に取ると，

[τxst]s=se = 0 τxs = −V Q

It

図 9.12 2枚以上の板が集まる箇所

せん断流 =せん断応力×板厚(τxs3t3 − τxs1t1 − τxs2t1)dx = 0

τxs3t3 = τxs1 + τxs2

第 9章 曲げ部材 11

例題 9.1

せん断力 V = dM/dx が作用するとき，梁中のせ

ん断応力分布を求めよ．

図 9.13 チャンネル材に生じるせん断応力

τsx =1

t[τsxt]s=se −

V Q

It

I =∫Az2dA ≈ 2btf(d

2)2︸ ︷︷ ︸

フランジ

+twd

3

12︸ ︷︷ ︸ウェブ

(a) 0 ≤ s1 ≤ b, s1 = y + b

端部での条件 [τxs1]s1=0 = 0

τxs1 = [τxs1tf ]s1=0 − V Q

I

=V

I

∫ s10

(−d

2

)tf · ds1

=V

I

∫ y−b

(−d

2

)tf · dy

=V

I

d

2tf(y + b)

s1 = b (y = 0) τxs1tf =V

I· d2· tfb

(b) 0 ≤ s2 ≤ d, s2 = z + d/2

τxs2tw = [τxs2tw]s1=b −V Q

I

フランジとウェブの交点でのつり合い式

[τxs2tw]s2=0 = [τxs1tf ]s1=b =V

I

d

2tfb

τxs2tw =V

I

d

2tfb− V

I

∫ z−d/2 ztwdz

=V

I

d

2tfb− V

I

tw2

z2 − d2

4

第 9章 曲げ部材 12

9.6 せん断中心

直応力分布 σx =M

Iz

せん断応力分布 τxs =1

t

([τxst]se −

V Q

I

)

外力 : x− z面内

断面力 : Fx, Fz, Mxz

Mxy = 0 Myz = 0

図 9.14 せん断中心

Mxy =∫AyσxdA =

M

I

∫AyzdA

Myz =∫ b0

d

2τxs1tfds1 +

∫ b0

d

2τxs3tfds3 =

V

I

b2d2tf4

= 0y = 0まわりのねじりモーメント = 0

荷重がウェブ軸上に作用

面内でのつり合いは不成立⇒ねじれ変形せん断中心 ねじれ変形は生じない

e =M

V=

b2d2tf4I

図 9.15 せん断中心

第 9章 曲げ部材 13

9.4 横座屈

• 曲げに対して効率の良い断面ウェブを薄く，桁高を高く

• 上フランジ桁高 (z)方向 : ウェブの面内曲げ剛性

水平 (y)方向 : フランジの曲げ剛性

ウェブの面外曲げ剛性

図 9.16 はりの横座屈

横座屈，横ねじれ座屈，横倒れ座屈

圧縮側フランジ −→ 座屈

水平方向へたわみ出し

全体としてねじれた形で崩壊

• 単純化 : 圧縮フランジ単独の柱

ウェブの面外曲げ剛性

引張フランジのねじれ，曲げ抵抗

⇒ 無視

σcr =π2EIzAfL2

Iz =tfb

3

12, Af = tfb

• 横ねじれ座屈モーメント(両端単純支持， 2軸対称断面，等曲げ)

M0 =

(π

L

)√EIzGJ

√√√√1 + π2EIwL2GJ

(9.36)

Iw :反りねじり剛性

GJ :サンブナンのねじり剛性

第 9章 曲げ部材 14

式 (9.36)の誘導

座屈前x , y, z −→ 座屈後ζ, , η, ξ

横方向たわみ角dw/dx，回転角ϕ

ζ, , η, ξ軸まわりのモーメント

Mζ =M cosϕ ≈ M

Mη =M sinϕ ≈ Mϕ

Mξ =M sin(dw/dx) ≈ M(dw/dx)

• ζ軸まわりの曲げの支配方程式

EIzd2v

dx2 = −M (1)

• η軸まわりの曲げの支配方程式

EIyd2w

dx2 = −Mϕ (2)

• ξ軸まわりのねじれの支配方程式

GJdϕ

dx−EIw

d3ϕ

dx3 =Mdw

dx(3)

EIz : 面内曲げ剛性 EIy : 面外曲げ剛性

GJ :ねじり剛性 EIw : 反りねじり剛性

式(3)をxで微分し，式(2)を代入

EIwd4ϕ

dx4 −GJd2ϕ

dx2 − M2

EIyϕ = 0 (4)

一般解

ϕ = C1 sinhα1x + C2 coshα1x+ C3 sinα2x+ C4 cosα2x

α1 =

√λ1+

√λ21+4λ2

2

α2 =

√−λ1+

√λ21+4λ2

2

λ1 =

GJEIw

λ2 =M2

(EIw)(EIy)

x = 0, lときϕ = 0(回転拘束)，d2ϕ/dx2 = 0(反り自由)

C1 × 0 + C2 × 1 + C3 × 0 + C4 × 1 = 0C1 × 0 + C2 × α2

1 + C3 × 0− C4 × α22 = 0

C1 sinhα1l + C2 coshα1l + C3 sinα2l + C4 cosα2l = 0

C1α21 sinhα1l + C2α

21 coshα1l

−C3α22 sinα2l − C4α

22 cosα2l = 0

第 9章 曲げ部材 15

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 0 1

0 α21 0 −α2

2

sinhα1l coshα1l sinα2l cosα2l

α21 sinhα1l α2

1 coshα1l −α22 sinα2l −α2

2 cosα2l

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 α21 + α2

2 0

sinhα1l coshα1l − cosα2l sinα2l

α21 sinhα1l α2

1 coshα1l + α22 cosα2l −α2

2 sinα2l

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (α2

1 + α22)α

21 sinhα1l sinα2l + (α

21 + α2

2)α22 sinhα1l sinα2l = 0

= (α21 + α2

2)[α2

1 sinhα1l sinα2l + α22 sinhα1l sinα2l

]= (α2

1 + α22)

2 sinhα1l · sinα2l = 0

(α21 + α2

2) = 0 sinhα1l = 0sinα2l = 0 α2l = nπ (n = 1, 2, 3, · · ·)

Mcr =

(π

l

)√EIyGJ

√√√√√1 +π2EIwl2GJ

弾性座屈応力度

σcr =McrWc=

π2E

4

(Kl

b

)2

K = 2 (Aw/Ac ≤ 2)=√3 + Aw/2Ac (Aw/Ac > 2)

終局曲げ圧縮応力度

(α ≤ 0.2)σbu/σy = 1.0

(0.2 < α ≤ √2)

σbu/σy = 1.0− 0.412(α− 0.2)(√2 < α)

σbu/σy = 1/α2

α =2K

π

l

b

√σyE

第 9章 曲げ部材 16

例題 9.1 図 9.17に示すように，長さ 500cmの

純曲げを受ける I桁 (材質： SM400)がある．こ

の I桁の弾性座屈モーメント Mcr，終局曲げモー

メント Mu，許容曲げモーメント Ma を求めよ．

図 9.17 等曲げを受ける I桁

上下対称 −→圧縮フランジ

Iy = 328466cm4

Wy = Iy/zc = 328466/51 = 6441cm3

Aw = 98× 1 = 98cm2, Ac = 25× 2 = 50cm2

Aw/Ac = 98/50 = 1.96 < 2 −→ K = 2

σcr =π2E

4

(25000

250

)2 = 308.4N/mm2

Mcr = Wcσcr = 6441× 103 × 308.4= 1.986× 109N ·mm = 1.986× 103kN ·m

α =√σy/σcr =

√235/308.4 = 0.873

σbu = {1.0− 0.412(0.873− 0.2)} · 235 = 169.8 N/mm2

Mu = Wcσbu = 6441× 103 × 169.8= 1.094× 109 N ·mm = 1.094× 103 kN ·m

l/b = 5000/250 = 20, Aw/Ac = 1.96 表9.5より

σbag = 140− 2.4(20− 4.5) = 102.8 N/mm2

Ma =Wcσbag = 6441× 103 × 102.8= 0.662× 109 N ·mm = 0.662× 103 kN ·m

Mu/1.7 = 0.644× 103kN ·m

問題 9.1 例題 9.1で I桁の材質を SM490Yとし

たときのMcr、Mu、および Maを求めよ。

第 9章 曲げ部材 17

例題 9.2 図 9.18に示すように純曲げを受ける上下非対称

な I桁 (長さ 500cm,材質： SM400)がある．この I桁の終局

および許容曲げモーメント Mu，Ma を求めよ．

図 9.17 等曲げを受ける I桁

A(cm2) z(cm) Az(cm3) Az2(cm4) or I

U-Flg.pl. 250×20 50 −51 −2550 130050

1-Web.pl. 1000×10 100 0 0 83333

L-Flg.pl. 200×20 40 51 −2040 104040

A=190 −510 I = 317423

偏心量：e = −510/190 = −2.68 cmIy = 317423− 190× 2.682 = 316058 cm4

上縁：zc = 52.0− 2.68 = 49.32 cm 下縁：zc = 52.0 + 2.68 = 54.68 cm

断面係数：Wc = Iy/zc = 6408cm3

Wt = Iy/zt = 5780cm3

Aw/Ac = 100/50 = 2 −→ K = 2

σcr =π2E

4 (2 · 20)2 = 308.4N/mm2

α =√235/308.4 = 0.873

σbu = {1.0− 0.412(0.873− 0.2)}235= 169.8 N/mm2

表9.5より l/b = 500/25 = 20, Aw/Ac = 2

σbag = 140− 2.4(20− 4.5) = 102.8 N/mm2

Mbu =Wcσbu = 1.088× 103 kN ·mMy =Wcσy = 1.358× 103 kN ·m

∴ Mu = 1.088× 103 kN ·mMbag =Wcσbag = 0.659× 103 kN ·mMta =Wtσta = 5780× 103 × 140= 0.809× 103 kN ·m∴ Ma = 0.659× 103 kN ·m