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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y SERVICIOS NO. 50

CURSO

CÁLCULO INTEGRAL

PERIODO 2013-2

AUTOR

JULIO MELÉNDEZ PULIDO

Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50

2 Julio Meléndez Pulido

CONCEPTO FUNDAMENTAL:

1. INTEGRALES ELEMENTALES

CONCEPTO SUBSIDIARIO:

1.1 Antecedentes (diferenciales).

1.2 Integrales Inmediatas.

1.3 Integrales por Sustitución o cambio de variable.

1.4 Integración por partes.


2. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.


2.1 Integrales de la forma: duuusen nm cos

2.2Integrales de la forma: duuctgoduutg nn

2.3 Integrales de la forma:

uduoduu nn

cscsec

2.4Integrales de la forma:

oduuutg nm sec

duuuctg nm

csc



,cos dxnxmxsen

dxnxsenmxsen

múltiplosángulos

porduuusen nm

cos



,coscos dxnxmx

Cuando m n


3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES


3.1 Integración por sustitución trigonométrica.

3.2 Integrales definidas.

3.3 Área bajo la curva.

3.4 Área entre curvas.




1. INTEGRALES ELEMENTALES

1.1 Antecedentes (diferenciales).

Definición del diferencial dy

Si y=f(x) es una función derivable en x y dx es el diferencial de x, del diferencial

dy que corresponde a la variable dependiente y se define como:

dy=f’(x)dx

Ejercicio 1: Determina la diferencial de la función y=4x2-5x+3

dy=f’(x)dx

1. Se procede a sacar la derivada de la función utilizando el software

GEOGEBRA:

Función a derivar:

Derivada de la función:



2. Se realiza la derivada paso a paso:

3. Se aplica: dy=f’(x)dx

dy=(8x-5)dx = diferencial de la función

En los siguientes ejercicios determina la diferencial de la función (dy).

⁄


GEOGEBRA:




⁄

(

) ( ⁄⁄ )

⁄

⁄


( ⁄ )

√


GEOGEBRA:




√

⁄

⁄⁄

⁄

⁄

⁄

√


√



⁄


GEOGEBRA:


⁄

(

) ( ⁄⁄ )

⁄

⁄


⁄

⁄



1.2 Integrales Inmediatas.

Las integrales inmediatas son aquellas donde se pueden aplicar las formulas

directamente sin necesidad de agregar literales nuevas, simplemente se tienen

que acomodar mediante cambios algebraicos para que la integral sea

efectuada mediante una fórmula directa.

Integrar: 5x

Para resolver esta integral podemos notar que no tenemos que hacer ningún

movimiento algebraico así que tenemos una integral directa donde podemos

aplicar la fórmula de

1

1

nnx

x

ndx c donde en este caso n=5

5 1

5 1

xc

6

6

xc

Resolver: 25my dy

Esta es una integral directa donde aparece una constante ósea todo numero o

letra que sea diferente a y ya que en este caso nuestra integral esta con respecto

a dy. Lo que tenemos que hacer es sacar la o las constantes de la integral y

procedemos a integrar con la misma fórmula del ejercicio anterior.

25m y dy

2 1

52 1

ym c

3

53

ym c

35

3my C

http://www.youtube.com/watch?v=Awc8XyIppPE&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=Awc8XyIppPE&feature=relmfu



Integrar: 2

dx

x

Como podemos observar esta integral no tiene formula que sea directa, ahora lo

que tenemos que hacer es un movimiento algebraico para poder encontrar una

fórmula que se le asemeje para poder resolverla de manera directo

2x dx Lo que hicimos aquí fue subir a 2x al numerador pero con exponente

negativo

Ahora ya podemos aplicar una formula directa

2 1

2 1

xc

1

1

xc

1c

x

Integrar: 3 z dz

Como podemos notar no hay fórmula para la integral de una raíz cubica, así que

lo que haremos es convertir la raíz en un exponente y así resolverla por medio de

la fórmula de la integral de un exponente.

1

3 z dz

13 1

11

3

zc

43

4

3

zc

433

4

zc



3 43

4z c

Integrar: 3 2

dx

x

2

3

dx

x

2

3x dx

2 3

3 3

2 3

3 3

xC

1

3

1

3

xC

1

33x C 33 x C

Integrar: 1 x x dx

Para poder resolver esta integral no existe ninguna fórmula pero como podemos

notar es una multiplicación asi que podemos aplicar la propiedad distributiva

para poder resolverlo.

x x xdx

12.x x x dx

32x x dx

Ahora lo que tenemos que hacer es separar cada literal para integrarlas por

separado.

312 2x dx x dx



312 21 1

312 21 1

x xc

3 52 2

3 52 2

x xc

3 52 22 2

3 5

x xc

3 52 2

2 2

3 5x x c

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=2HO5WdjERTs

Integrar: 2

3 4s ds

Para resolver esta integral lo que hay que hacer primero el binomio al cuadrado

después separar los términos para resolver por separado

29 24 16s s ds

29 24 16s ds s ds ds

93

3

s24

2

2

s16s

3 23 12 16s s s C

Integrar: 3 2

2

5 4x xdx

x

Para resolver esta integral la podemos simplificar primero para poder resolverla.

3 2

2 2 2

5 4x xdx

x x x

3x2x

25 x

2x2

4dx

x

2

45x dx

x

25 4x x dx

25 4xdx dx x dx

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=2HO5WdjERTs



2 145

2 1

x xx c

2 45

2

xx c

x

Integrar: 39 4 11x x dx

13 29 4 11x dx x dx dx

34 2

9 4 1134

2

x xx c

4 39 811

4 3x x x C

Integrar:

22 3x

dxx

22 6 9x x

x

22 12 18x x

x

182 12x

x

2 12 18dx

x dxx

2 2

2

x12 18x lnx c

2 12 18lnx x x c




1239 4 11x dx x dx dx

324

9 4 1134

2

x xx c

4 39 811

4 3x x x c

Integrar: 2

x a x dx

2x a ax x dx

312 22ax ax x dx

312 22a x dx a xdx x dx

32

23

2

xa

2

2

xa

52

5

2

xc

3 52 2

22 2

3 5

ax xax c

Integrar: 3x x dx

3 12 23x dx x dx

5 32 2

35 3

2 2

x xC

52 6

5x

3

3x c5 32

25

x x c

Integrar: 3

24 73 5x x dx

x



32

12

4 3 7 5dx

x dx x dx dxx

3 12 24 3 7 5x dx x dx x dx

5 12 25

3 7 55 15

2 2

x x xx c

556

14 55 5

xx x x c

Completando integración

En ocasiones hay integrales las cuales no están completas y estas se deben

completar agregando un número el cual también se pondrá fuera de la integral

con su operación inversa.

Integrar: 2 3

dx

x

Lo primero que tenemos que hacer es comprobar si dx está completo esto lo

hacemos derivando a x y si nos da el mismo resultado que está en dx estará

completa si no se tendrá que agregar el número que falte con su respectivo

numero en operación inversa

1 2

2 2 3

dx

x 2 3dv

xdx

2dv

dx

2dv dx

Ahora que ya completamos la integral podemos resolverla mediante una formula

directa que nos dice lndv

v cv

1ln2 3

2x c

Integrar: 2 1

xdx

x

2

1 2

2 1

xdx

x 2 1dv

xdx

2dv

xdx

2dv xdx

21ln 1

2x c



Integrar: 2

31 2

x dx

x

2

3

1 6

6 1 2

x dx

x

31 2dv

xdx

26dv

xdx

26dv x dx

31ln1 2

6x c

Integrar: 1

sin2

xdx

1 12 sin

2 2x dx

1

2

dvx

dx

1

2

dv

dx

1

2dv dx

12cos

2x c

Integrar: cos3xdx

1cos3 3

3x dx 3

dvx

dx 3

dv

dx 3dv dx

1sin3

3x c

Integrar: tan2xdx

1tan2 2

2x dx 2

dvx

dx 2

dv

dx 2dv dx

1lnsec2

2x c

Integrar: 3cos2 sin2xe xdx

3cos21. 6sin2

6

xe xdx 3cos2dv

xdx

3sin2 .2 6sin2dv x xdx



3cos21

6

xe c 3sin2 .2 6sin2dv x xdx

1.3 Integrales por Sustitución o cambio de variable.

En muchos casos sustituyendo en función de una nueva variable se obtiene una

diferencial que se integra más sencillo que la inicial.

Este método en muchos casos lleva a una Formula de integración ya definida

previamente. En general este método es de gran utilidad debido a que se puede

utilizar para otros métodos posteriores sin embargo es necesario considerar los

siguientes puntos:

Este método es de gran utilidad cuando la integral intervienen relaciones

algebraicas y/o trascendentes complicadas y la integral no está completa.

También se usa este artificio en aquella expresiones que tengan radicales

de incide “n” donde “n” pertenece a los números enteros.

Al realizar un cambio de variable debe ser más sencilla que la inicial en

caso que sea más complicada que la inicial se intenta otro cambio hasta

que se logre integrar.

La nueva variable se cambia por las partes más complicadas de la

expresión que involucra la variable en estudio, es decir, no conviene

cambiar toda la expresión ni cualquier parte de ella siempre hay que

analizar cuál es la más conveniente.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Se hace el cambio de variable

Se despeja la variable

Se diferencia con respecto a la variable

Se sustituye los valores de la integral inicial.



Integrar: 21 2y ydy

El primer paso para resolver una integral por el método de sustitución o cambio

de variable es identificar quien es más convenientemente que sea “u” en este

caso tomare como u a 21 y ya que al derivarlo nos quedaría 2du

ydy

ya que

tenemos esto despejaríamos a dy y nos quedaría de la siguiente manera 2

dudy

y

ahora reconstruimos la integral en términos de la nueva letra.

21 2y ydy 21u y

2du

ydy

---------->

2

dudy

y

Sustituyendo los valores de u y de dy en la integral original nos quedaría una

integral de esta manera pero cabe mencionar ya que se está sustituyendo por la

letra u toda la expresión se debe gobernar por dicha letra así que se realiza las

operaciones debidas para que en la operación solo intervenga la letra u.

22

duU y

y

Aquí empleamos algebra para eliminar 2y.

2u y2

du

y

Y nuestra integral queda de la siguiente manera:

udu

Ahora ya tenemos una integral más sencilla que se puede resolver mediante

fórmulas inmediatas.

12u du

32

3

2

uc

Este sería nuestro resultado ahora solo lo que nos que hacer es sustituir los valores

de u

32

3u

322

13

y c



Integrar: 4 1 t dt

4 1 t dt 4 1u t

4du

dt ------------>

4

dudt

Al sustituir los valores de u y de du el 4 no lo podemos eliminar con ninguna literal

así que la sacamos de la integral.

4

duu

1 du

4u

Ahora solo nos queda la raíz que la podemos convertimos en una potencia y

resolvemos de manera directa.

12

1 du

4u

321

34

2

uc

En nuestro resultado aparece un doble cociente así que la resolvemos como si

fuese un sándwich ósea medio por medio y extremos por extremos y el exponente

de u lo podemos transformar en raíz.

32

1 2

4 3u c

31 2

4 3u c

Ahora simplemente multiplicamos las fracciones reducimos a su mínima expresión

y cambiamos los valores de u por los originales.

32

4 112

t c

31

4 16

t c



Integrar: cos 7 5 d

cos 7 5 d 7 5u

cos u 7

d 7

du

d -------------------->

7

ddy

1cos u d

7

1

7sen u c

1

7 57

sen c

Integrar: 2 3x sen x dx

2 3x sen x dx 3u x

2

2

3

dux sen u

x 23

dux

dx ----------------->

23

dudx

x

2x2

3

dusen u

x

3

dusen u

1 du

3sen u



1

cos 3

u c

1cos

3u c

31cos x

3c

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=0BEt4jtWIPo

Integrar: 2 3 17 x x dx

2 3 17 x x dx 3 17u x

2

23

dux u

x 23

dux

dx ----------- >

23

dudx

x

2x23

duu

x

3

duu

1

3udu

12

1

3u du

321

33

2

u

=

321

23 3

u

312

3 3

u

=

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=0BEt4jtWIPo



31 2

3 3u

32

9u c

3

3217

9x c

Integrar: 4

23 13x xdx

4

23 13x xdx 23 13u x

4

6

duu x

x 6du

xdx

----------- >

6

dudx

x

4u x6

du

x

4

6

duu

41

6u du

51

6 5

uc

5

23 131

6 5

xc

5

23 13

30

xc

Integrar: 2 sen x dx

2 sen x dx 2u x



2

dusen u 2

du

dx ----------- >

2

dudx

1 du

2sen u

1· cos

2u c

1cos 2x

2c


3 23 2x x dx 22u x

332

dux u

x 2du

xdx

-------------- >

2

dudx

x

3 x 3

2

duu

x

332

duu

33

2udu

13

3

2u du

433

·42

3

uc

433

·32 4

uc



3 43 3·

2 4u c

3 49

8u c

423

92

8x c

Integrar: 4 sen x dx

4 sen x dx 4u x

4

dusen u 4

du

dx --------------- >

4

dudx

1

4sen u du

1· cos

4u c

1cos 4x

4c

Integrar: 6

6x dx

6

6x dx 6u x

6u du 1du

dx ---------------- > dx du

7

7

uc

7

6

7

xc

Integrar: 7 2x dx

7 2x dx 7 2u x

7

duu 7

du

dx ----------- >

7

dudx

1

7udu

12

1

7u du



321

·37

2

uc

321

·27 3

uc

31 2·

7 3u c

32

21u c

Integrar: 7 2xe dx

7 2xe dx

7 2u x

7

u due 7

du

dx --------------- >

7

dudx

1

7

ue du

1

7

ue c 7 21

7

xe c

Integrar: cossenxe xdx

cossenxe xdx u senx

coscos

u due x

x cosdu

xdx

------------- >

cos

dudx

x

27 2

21x c



cosue xcos

du

x

ue du ue c senxe c

Integrar: 1

5 2dx

x

1

5 2dx

x 5 2u x

1

5

du

u 5

du

dx ---------- >

5

dudx

1

5

du

u

1ln

5u c

1ln 5 2

5x c

Integrar: 25

xdx

x

25

xdx

x

25u x

2

x du

xu 2

dux

dx ----------- >

2

dudx

x

x

2

du

xu

1 1

2du

u

12

1 1

2du

u



12

1

2u du

121

·12

2

u

1

2 2

12u u

25 x c

Integrar: ln x

dxx

ln xdx

x lnu x

1

du dxx

Si separamos los términos no se altera y así se nos es más fácil de identificar como

sustituir las variables

ln 1

1

xdx

x

Ya que la tenemos así ya es más fácil de identificar como sustituir la integral para

que predomine la nueva letra.

udu 2

2

uc

2ln

2

xc

Integrar: 2 1 xx e dx

2 1 xx e dx

2 1u x

2

u dux e

x 2du

xdx

---------------- >

2

dudx

x

x 2

u due

x

2

u due



1

2

ue du 1

2

ue c 2 11

2

xe c

Integrar: 6

5 2cos

senxdx

x

6

5 2cos

senxdx

x 5 2cosu x

6

2

senx du

u senx 2 2du

senx senxdx

--------- > 2

dudx

senx

6 senx

2

du

u senx

6 1

2du

u

6

2

1du

u

13 du

u

3lnu c

3ln 5 2cos x c

Integrar: 21

x

x

edx

e

2 21 1

x x

xx

e edx dx

e e

xu e

21

u du

uu

xdue

dx ------------ > x

du dudx

ue

u

21

du

u u



2

1

1du

u

En esta integral podemos aplicar la fórmula de 2 2

1dv varctg c

a av a

ya que

tenemos todas la variables que se piden en la formula tenemos a du sobre 2u + 1

a este lo tomaríamos como 2a , 1 no está al cuadrado pero como este número al

cuadrado resulta el mismo no altera la expresión y podemos aplicar la formula.

1

1 1

uarc tg c

arc tg u c

xarc tg e c

Integrar: 3

8

4

1

xdx

x

Para resolver esta integral no nos conviene elegir alguna de las literales que

tenemos ya que la derivarlas obtendríamos un resultado que no se asemeja a

ninguna de la integral para completarla o resolverla directamente así que aremos

lo siguiente.

3

8

4

1

xdx

x

3

2 3

4

1 4

x du

u x



34x

2 31 4

du

u x

2

1

1du

u

21

du

u

arc tg u c

4 xarc tg c

Integrar: 21 cos

senxdx

x

2·

1

senx du

senxu

cosu x

senx

2·

1

du

u senx

1 =-du du

senx senxdx dx

2

1·

1du

u

dudx

senx

21

du

u

arc tg u c cosarc tg x c

Integrar:

2

1

x

x

edx

e

Para poder resolver esta integral podemos descomponer de la siguiente manera

ya que al hacerlo así no se altera la expresión y sustituimos sus valores.

.

1

x x

x

e edx

e 1xu e -------------- >

1xe du

1.x xe edx

u

xdue

dx ----------------->

xdu e dx

Ahora solo nos queda por sustituir xe y dx para que la integral quede en términos

de u pero hay que notar que xdu e dx así que sustituiremos de la siguiente

manera



1xedu

u

Ahora lo que hacemos es separar en forma de resta con el mismo denominador

para no alterar la expresión.

1xedu

u u

Para obtener este resultado solo hicimos una simple resta de potencias1 12 21u u u y en la segunda integral solo la subimos con exponente negativo y

ahora ya podemos resolver las integrales con fórmulas inmediatas.

1 12 2u du u du

3 12 2

3 12 2 32 2

2 23 1 3 3

2 2

u uu u u u

321 2 1

3

x xe e

Integrar: 2 1x xdx

2

1u udu 1u x ------------------ >1x u

12

21u u du 1

du

dx ------------------ > dx du

122 2 1u u u du

5 3 12 2 22u du u du u du

7 5 32 2 2

27 5 3

2 2 2

u u uc

7 5 32 2 2

2 4 27 5 3

u u uc

7 5 32 4 2

7 5 3u u u c

7 5 32 4 2

1 1 17 5 3

x x x c



1.4 Integración por partes.

La integración mediante el método de por partes se necesita considerar el

integrando como el producto de un función “u” y la diferencial de una segunda

función en “v” esta hace que su integración dependa de la integral de “v” “du”

que puede ser fácil de integrar

Algunas reglas generales:

dx es siempre una parte del dv

Siempre deberá ser posible que dv se pueda integrar.

Es mejor elegir a dv como la parte de apariencia más complicada con tal

de que esta se pueda integrar.

Si la integral resultante es más difícil que la inicial entonces se ha elegido

mal o incorrectamente las partes de u y dv por lo que se debe hacer una

vuelva elección hasta que se logre integrar.

Lo anterior se debe de aplicar en la fórmula que se muestra a continuación:

udv uv vdu

Integrar: cosx xdx

Para resolver esto lo primero que hay que hacer es identificar quien es u y quien

dv, para escoger u existe un truco bastante útil que se llama ILATE que consiste en

clasificar las funciones dadas en la integral en las siguientes categorías “I” cuando

la función es Inversa, más exactamente las trigonométricas inversas, “L”

logarítmica, “A” Algebraica, “T” Trigonométrica, “E” Exponencial.

Clasificamos nuestras funciones en alguna de estas 5 categorías y luego

identificamos cual nos aparece primero al decir la palabra ILATE la primera letra

que nos encontremos esa va a ser la función que hace en papel de la “u” y lo

que sobra con su dx hará el papel de dv.

Cabe mencionar que hay situaciones en la que no funciona pero en su mayoría

sirve.

Cuando ya tengamos bien identificado quien es “u” habrá que derivarlo

con respecto a x y ya obteniendo nuestro resultado despejamos lo que

sería a du.

Con respecto a dv este lo tendremos que integrar a los dos lados es decir

de la parte de dv y la parte que esta después del igual para así obtener v



cosx dx

u x ----------Derivamos---------- > 1du

dx ---------Despejamos------ > du dx

cosdv xdx --------Integramos-------- > cosdv xdx -------------- > v senx

Ya que identificamos todos los datos que viene en la fórmula:

udv uv vdu

Solo tenemos que sustituir los valores y resolverlo:

cosx xdx xsenx senxdx

cosx xdx xsenx senxdx

cosx xdx cosxsenx x

cosx xdx cos x sen x x c

INTEGRAR: 5xxe dx

u x --------------- > 1 du

dx --------------- > du dx

5xdv e dx --------------- >5xdv e dx --------------- >

5

5

xev (Para resolver esta

integral aplicamos la siguiente formula

mxmx e

em

)

Reconstruimos nuestra integral usando la fórmula de por partes.

udv uv vdu

5 55

5 5

x xxxe dx

e ex dx

555 1

5 5

xx xxe d

ex x e dx



5 55 1

5 5 5

xx

x

xe d cxe e

x

5 55

5 25

x xx e e

xe xdx c

5 55

5 25

x xx xe e

xe dx c Nuestro resultado lo podríamos dejar de esta manera

pero se puede reducir aún más resolviendo la resta de fracciones.

5 55 5

25

x xx xe

xe dxe

c

Y para darle mayor presentación la podemos

factorizar.

5xxe dx 5 5 1

25

xe xc

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=NwvoSwywN6s

Integrar: 2xxe dx

u x --------------- > 1du

dx --------------> du dx

2xdv e ---------------> 2xdv e -------------- >

2

2

xev

udv uv vdu

2 22 .

2 2

xx x

xe e

xd dxe x

222 1

2 2

xx xxe d

xee dxx

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=NwvoSwywN6s



2 22 1

.2 2 2

xx

x

xe dx

xe e

c

2 22

2 4

xx

x

xxe e

e dx c

2 22 2

4

x xx xe

xe dxe

c

2xxe dx 2 2 1

4

xe xc

Integrar: 7 lnx xdx

lnu x ------------------- >1du

dx x --------------------- >

1du dx

x

7dv x dx ------------------ >7dv x dx ------------------- >

8

8

xv

udv uv vdu

8 87 1

8 nl

8n l

x xxx x ddx x

x

78

81 1ln

8 8ln

xx xx x dd x

xx

78

81lnn

8 8l

xxx dx xx

1

x dx

78

71

8l

8n ln

xxx x x xd dx

87

81ln

8 8l

8n

x xxx x dx c



87

8lnn

8 64l

x xx x cd

xx

78 8

6

ln8 ln

4

x x xx x d cx

7ln x x dx 8 8ln 1

64

x xc

Integrar: cosx xdx

u x --------------------- > 1 du

dx ----------------------- > du dx

cosdv xdx ------------------------- > cosdv xdx -------------------------- > v senx

udv uv vdu

cos xsenx senxdxx xdx

ccos osxsenxx cx xdx

cosx xdx cosxsenx x c

Integrar: 2secx xdx

u x --------------------- > 1 du

dx ----------------------- > du dx

2secdv xdx ----------------------- >2secdv xdx ------------------- > tanv x

udv uv vdu



2 tansec tanx xd x dx x x x

2 tan lncossec x xx xdx x c

2secx xdx tan lncosx x x c

Integrar: cos3x xdx

u x --------------------- > 1 du

dx ----------------------- > du dx

cos3dv xdx -------------------> cos3dv xdx ------------------------ >1

33

v sen x

udv uv vdu

1 13 3

3 3cos3 x sen x senx xd xx dx

1 13 3

3 3cos3 x sen x senx xd xx dx

cos31 1

33 3

x senx xdx x 3 3sen x dx --- >Se le agrego el 3 ya que es una

integral indirecta y lo tendremos que sacar de la integral con su forma inversa.

1 1 1co 3

3 3 3s 33 x sen x sen xd xx dx x

1 1 1

3 cos33 3 3

cos3 x senx xd x cx x

1 1

3 coc ss3 39

o3

x sex xdx n x x c



1 13 coc ss3 3

9o

3x sex xd x cx n x

3 coscos3

3

3 9

xsenx xd

xx

xc

cos3x xdx 3 3 cos3

9

xsen x xc

Integrar: 3

lnxdx

x

lnu x ----------------- > 1

du

dx x --------------------- >

1du dx

x

3

dxdv

x ----------------- >

3

3

dxdv x dx

x

------------ >

2

2

1

2 2

xv

x

udv uv vdu

3 2 2

1 1 1ln . .

2

ln

2

xdx

xx dx

xx x

2 23

ln 1 1.

2 2

ln xd

xx xd

x xx x

2 23

ln 1 1 1

22

ln.

xdx

xxx

x x

xd

23 3

ln 1 1

22

ln xxdx

xdx

x x

23 2

ln 1 1

2

l

2 2

n xxdx c

x xx

23 2

ln 1 1

2

l

2 2

n xxdx

xc

x x



3

lnxdx

x 2 2

ln 1

2 4

xc

x x

Integrar: x arc tg x dx

u arc tg x --------------- > 2

1

1

du

dx x

------------------- > 2

1

1du dx

x

dv x ------------------ > dv x ------------------- >

2

2

xv

2 2

2

1 . .

2 2 1

x xarc tg xarc tg x xdx dx

x

2 2

2

1 .

2

2 1

x xarc tgarc tg x

xx x x dd x

2

2

1 1 . 1

2 2 1 arc tg x xdx

xarc tg x dx

x

2

2

1 1 . 1

2

2 1arc tg x xdx

xarc tg x dx dx

x

2 1

.2

2

xarc tg xar xc tg x xdx arctgx c

arc tg x xdx 21 1 1

2 2 2x arc tg x x arctg x c

Integrar: 2lnx dx

2lnu x --------------------- >1

2du

dx x -------------------- >

12du dx

x

dv dx ---------------------- > dv x ---------------------- > v x

22 1ln .l . 2n x xd x dxx x

x



22ln ln 2xx xx xd 1

.x

dx

2 2lnl 2n x x dx d xx 2lnx dx

2ln 2x x x c

Integrar: 2x senxdx

2u x ------------------- > 2 du

xdx

--------------------- > 2du xdx

dv senxdx -------------------- > dv senxdx ---------------------- > cosv x

udv uv vdu

22 cos cos 2x x x xdxx senxdx

22 cos 2x senxdx x x cos .x xdx ----- > En esta integral la tenemos que volver

a realizar por el método de por partes volviendo a identificar a u y dv

u x ------------ > du dx

cosdv xdx ---------- > cosdv xdx ------------ > v senx

22 cos 2x senxdx x x .x senx senxdx ------- >En esta parte de nuestra

integral se volvió a sustituir los valores de la fórmula de por partes con los datos

antes encontrados si modificar la demás expresión.

22 cos 2 . 2x x x x ssen enx senxdxxdx

22 cos 2 . 2 cosx x x sex sen cxd nx xx

22 cos 2 . 2cosx x x senx se d cn x xx x



Integrar: xe senxdx

u senx --------------- > cos du

xdx

------------------ > cosdu xdx

xdv e ----------------- > xdv e -------------------- >

xv e

udv uv vdu

cosx xx senxee senxdx e xdx

cosu x ----------- > du

senxdx

--------- > du sendx

xdv e ------------ > xdv e ---------- > xv e

cosx x xx senxe xe s e e senxen dx dxx

cosx x x xe senxd senxe xe e senxdxx

cosx xx senxe sen e xx edx xe senxdx ------->si nos damos cuenta esta

integral es la misma que al principio teníamos, como es la misma expresión la

pasaremos al principio o la colocaremos como el doble de la integral.

co2 sx x xsene senxdx xe xe ----- > Ahora el numero 2 lo pasamos del otro lado

del igual con su expresión inversa.

1 1cos

2 2

x x xsene senx xed ex x

xe senxdx cos

2

xe senx xc



Integrar: 2cos xdx

cos .cosx xdx

cosu x ----------------- > du

senxdx

----------------- > du senxdx

cosdv x ------------------> cosdv x --------------- > v senx

udv uv vdu

2c co s .s o .x senx senx sx x nxdxd e

2 coscos .x sxdx enx 2sen x dx --------- > Aplicamos identidad

trigonométrica

22 cos . 1 cc osos x sxdx enx x dx

22 cos . cco oss x sexdx nx dx xdx

2 coo .s sc x senxdx x x 2cos xdx ------- >Como es la mismas expresión que

la original la pasamos al principio como el doble

2 coco .s s2 x senxxd xx c

2cos xdx 1 1

cos .2 2

x senx x c



Integrar: 2sec 3x xdx

u x ----------------- > 1du

dx ----------------> du dx

2sec 3dv xdx ---------------- >2sec 3dv xdx -------------------- >

1tan3

3v x

udv uv vdu

2 1 1tan3sec a3 t n3

3 3x x xx xd dxx

2 1tan3sec tan3

3 33

xxx xdx xdx

2 1tansec 3 3 tan3 3

3 3

xxx xd dx x x

2 1 1tan3 tan3

3ec 3

3 3s

xxx dx x xdx

2sec 3x xdx 1

tan3 ln sec33 9

xx x c

Integrar: xsenxdx

u x ----------------- > 1du

dx ----------------> du dx

dv senxdx ------- > dv senxdx ----------- > cosv x

udv uv vdu

. cos cosxsen x x xdx x xd

cos cosxs x xn xe x xdxd

xsenxdx cosx x senx c



Integrar: 2 lnx xdx

lnu x------------------- >

1du

dx x

---------------------->

1du dx

x

2dv x------------------ >

2dv x -------------------- >

3

3

xv

udv uv vdu

3 32 1

ln . .3 3

ln .x

x xx

x dxx

32 31 1

lnln .3 3

xx xx x dx

x

32 31

ln3

.3

lnx

xx xx 1

xdx

23

21lnn

3l .

3

xx x dx xx

23 31

lln . n3 3 3

x xxx cx

2ln .x x

3 3

ln3 9

x xx c



Integrar: 2

lnxdx

x

2 lnx xdx

lnu x -------------------- >1du

dx x ------------------- >

1du dx

x

2dv x --------------- >

2dv x ----------------->

1 1

1

xv

x

udv uv vdu

1 1 1ln

l.

nxdx x x

xd

x x x

1 1 1l

lnnx

xd

xx dx

xx x

2

lnln 1xdx

x

xd

x xx

2lnln xxdx

xx dx

x

1lnln

1

x xc

x

xdx

x

ll nn 1x xc

x xdx

x

lnxdx

x ln 1x

cx



Integrar: ln xx dx

lnx xdx --------- > Quedo de esta manera porque aplicamos la siguiente

propiedad de logaritmos: ln lnna n a

lnu x -------------------------- > 1du

dx x ----------------------->

1du dx

x

dv x --------------------------- > dv x ---------------------->

2

2

xv

udv uv vdu

2 2 1lnln .

2 2

x x xxx dx d x

x

221 1

lnln .2 2

xxx

xx

x xd dx

221

ln2

ln2

xx dx

x xx 1

.x

dx

2 1ln

2l

2n x x

x xx x xdd

2 21ll

2n n

2 2

x x xxx dx c

ln xx dx2 2

ln2 4

x xx c



Integrar: cosxsenx xdx

u x --------------------- > 1du

dx ----------------------- > du dx

cosdv senx x ------------------ > cosdv senx x

2

2

sen xv ---------->Para llegar a este resultado integramos mediante el método

de sustitución.

cossenx xdx u senx

udu cosdu

xdx

2

2

uc =

2

2

sen xc cosdu xdx

udv uv vdu

2 2

.2 2

coss

xsenen x sen

dx x dx xxx

22c

1

2 2os

xsexsen

n xsenx xxdx dx

2

s1

2 2cox

xsensenx x x

xd

11 cos2

2x dx ------------- >Aquí aplicamos la

identidad trigonométrica de 2 11 cos2

2sen

2 1 1

. 1 cos2os2 2

c2

xsen xx dxxsenx xdx

2 1

cos22 4

cosxsen x

dxxse dx xdxnx x

2

cos1

cos22 4

xsenxsenx x x xdxdx

x



2

cos1

cos2 22 4

xxsen x

xsenx x x ddx x

2 1 1cos2

2 4 2cos

xsenxsenx xd x x xx

xd

cosxsenx xdx2 1 1

22 4 8

xsen xx sen x c




2. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.

2.1 Integrales de la forma: duuusen nm cos

CASO #1

cosm nsen u udu

Cuando m y/o n sea un número entero positivo impar, Si m es impar factorizamos

el sen u du y expresamos la restante potencia par sen en potencia del cos y si es n

impar hacemos lo mismo pero ahora con el cos, utilizando la siguiente identidad

trigonométrica:

2 2cos 1sen u u

Identidades trigonométricas despejadas:

2 2

2 2

1 cos

cos 1

sen u u

u sen u

2.2 Integrales de la forma: duuctgoduutg nn

CASO #2

tann udu cotn udu

n=un numero entero par o impar

Cuando n sea un número entero impar factorizaremos para que esta quede al

cuadrado y se puedan utilizar las siguientes identidades trigonométricas:

2 2tan sec 1 2 2cot csc 1


2 2sec tan 1

2 2csc cot 1




uduoduu nn

cscsec

CASO #3

secn udu cscn udu

Cuando n sea un número entero impar factorizaremos para que esta quede al

cuadrado y se puedan utilizar las siguientes identidades trigonométricas:

2 2sec tan 1 2 2csc cot 1


2 2

2 2

tan sec 1

cot csc 1

O también podemos aplicar las siguientes fórmulas de reducción:

1 21 2sec sec tan sec

1 1

n n nnudu u u udu

n n

1 21 2csc csc cot csc

1 1

n n nnudu u u udu

n n



Integrar: 3 5cossen x xdx

Notemos que esta integral es del Caso #1, como en la integral tenemos 3sen

donde n es un número par positivo lo factorizamos para poder utilizar la identidad

trigonométrica de 2 21 cossen

3 5cossen x xdx

2 5cossen x xsendx

Ya que hemos factorizado de esta manera, la podemos desarrollar por el método

de sustitución o cambio de variable

2 51 cos cosx xsen dx cosu x ------> du senxdx

2 51 u u du du senxdx

5 3u u du

4 2

4 2

u uc

4 2

1 1

4 2c

u u

4 2

1 1

4 2c

u u

4 2

1 1

4cos 2cosc

x x



Integrar: 4 52 cos 2sen x xdx

Factorizamos.

4 42 cos 2 cos 2sen x x x xdx

2

4 22 cos 2 cos 2sen x x x xdx

Aplicamos identidad trigonométrica 2 2cos 1 sen

2

4 21 22 cos 2sen x x xsen x xd

Ahora lo resolvemos por el método de cambio de variable o sustitución.

2

4 211

2u u du 2u sen x ------- > 2cos2

dux

dx

4 2 411 2

2u u u du 2cos2du xdx

4 6 812

2u u u du

5 7 91 2

2 5 7 9

u u uc

5 7 92

10 14 18

u u uc

5 2

10

u

7

14

u 9

18

uc

5 7 9

10 7 18

u u uc

5 7 92 2 2

10 7 18

sen x sen x sen xc

Integrar: 3cos xdx



Factorizamos. 2cos cosx xdx

Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2cos 1 sen

21 cossen x xdx

2 2cos cossen x x dx

Resolvemos por el método de sustitución o cambio de variable. 2

du u du su enx ----------- > cosdu

xdx

3

3

uu c cosdu xdx

3

3

sen xsenx c

Integrar: 3sen xdx

Factorizamos.

2sen xsenxdx

Aplicamos identidad trigonométrica de 2 21 cossen .

21 cos x senxdx

2cossenx xsenx dx

Resolvemos por el método de sustitución. cosu x

2du u du du senxdx

3

3

uu c

31

cos cos3

x x c

Integrar: 2 35 cos 5sen x xdx

Factorizamos.

2 25 cos 5 cos5sen x x xdx

Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2cos 1 sen



2 25 1 5 cos5sen x sen x xdx

Resolvemos por el método de sustitución.

2 25 1 5 cos5 5sen x sen x x dx 5u sen x ------------ > cos5 5du

xdx

2 215 1 5 cos5

5sen x sen x xdx cos5 5du x dx

2 211

5u u du

2 41

5u u du

3 51

5 3 5

u uc

3 5

15 25

u uc

3 55 5

15 25

sen x sen xc

3 51 15 5

15 25sen x sen x c

Integrar: 2

4cos

sen xdx

x

Factorizamos.

2

2 2cos cos

sen xdx

x x

Aplicamos la identidades trigonométricas de tancos

sen

y 21

seccos

2

2 2

1

cos cos

sen xdx

x x



2.4Integrales de la forma:

oduuutg nm sec

duuuctg nm

csc

2 2tan secx xdx

Resolvemos por el método de sustitución o cambio de variable

2u du tanu x ------------------- > 2sec

dux

dx

3

3

uc

2secdu xdx

31tan

3x c

Integrar: 3

4

cos xdx

sen x

Factorizamos.

3

3

cos 1xdx

senxsen x

Aplicamos la identidad trigonométrica de cos

cotsen

y

1csc

sen

3cot cscx xdx

2cot csc cotx x xdx

Sustituimos con la identidad trigonométrica de 2 2cot csc 1

2csc 1 csc cotx xdx

Resolvemos por el método de integración por cambio de variable o sustitución.

2 1u du cscu x -------------- > csc cot du x xdx



2u du du csc cot du x xdx

3

3

uu c

3csccsc

3

xx c

Integrar: 3tan xdx

Aquí observamos que tenemos una integral del Caso # 2 tann du así que

tendremos que factorizar para poder aplicar las identidades correspondientes.

2tan tanx xdx

Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2tan sec 1

2sec 1 tanx xdx = 2sec tan tanx x x dx

Resolvemos por el método de sustitución o cambio e variable.

2sec tan tanx x xdx tanu x ----------------- > 2secdu

xdx

tanudu xdx 2secdu xdx

2

lncos2

ux c

2tanlncos

2

xx c

21tan lncos

2x x c

Integrar: 2 4tan secx xdx

2 2 2tan sec secx x xdx

Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2sec tan 1

2 2 2tan tan 1 secx x xdx



4 2 2tan tan secx x xdx

Resolvemos por el método de sustitución.

4 2u du u du tanu x ----------- >2secdu xdx

5 3

5 3

u uc

5 3tan tan

5 3

x xc

Integrar: 3cot xdx

Aquí observamos que tenemos una integral del Caso # 2 cotn du así que

tendremos que factorizar para poder aplicar las identidades correspondientes.

2cot cotx xdx

Aplicamos la identidad trigonométrica de 2 2cot csc 1

2csc 1 cotx xdx

2csc cot cotx x x dx

Resolvemos por el método de sustitución o cambio de variable.

2csc cot cotx xdx xdx cotu x --------------- > 2csc du

xdx

cotudu xdx 2cscdu xdx

2cotln

2

xsenx c

21cot ln

2x senx c

Integrar: 4sec xdx

En este integral nos encontramos con una integral del Caso #3 secn udu y si

observamos podemos aplicar una de las fórmulas de reducción que no dice lo

siguiente:

2 21 2

sec sec tan sec1 1

n n nnudu u u udu

n n



Resolvemos:

4 2 21 2

sec sec tan sec3 3

xdx x x xdx

4sec xdx 21 2

sec tan tan3 3

x x x c

Integrar: 5 3tan secx xdx

2

2 2tan sec tan secx x x xdx `

Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2tan sec 1 y resolvemos por el

método de sustitución o cambio de variable

2

2 2sec 1 sec tan secx x x xdx secu x

2

2 21u u du sec tandu x xdx

4 2 22 1u u u du

6 4 22u u u du

7 5 3

27 5 3

u u uc

7 5 3sec sec sec2

7 5 3

x x xc

Integrar: 4sec xdx

2 2sec secx xdx

Aplicamos identidad trigonométrica 2 2sec tan 1 y resolvemos por el

método de sustitución o cambio de variable

tanu x

4 2tan sec tan secx x x xdx

2 2tan 1 secx xdx



2 1u du 2secdu xdx

2u du du

3

3

uu c

3tantan

3

xx c




3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES


3.1 Integración por sustitución trigonométrica.

Parta resolver este tipo de integrales existen 3 casos los cuales los resolveremos por

medio de un triángulo rectángulo.

Caso #1

Integrales de la forma 2 2a u

2 2 cosa u a

u a sen

cos du a d

u

arcsena

Caso#2


2 2 sec a u a

tanu a

2 sec du a d

arctanu

a

Caso #3


2 2 tan u a a

secu a

sec tan du a d

arcsecu

a



Integrar: 2

29

x dx

x

Lo primero que tenemos que hacer para poder darle solución a esta integral es

identificar que caso es esta integral.

Como podemos observar tenemos una integral del caso 1

Lo siguiente para resolver esta integral es identificar cada uno de los datos en el

triángulo rectángulo

2

2 2

9

3

a

u x

a

u x

2 2 cosa u a ---- >

29 3cosx

u a sen ------ > 3x sen u

arcsena

--------- >3

xarcsen

Como podemos visualizar ya tenemos todos los datos identificados para poder

sustituir los nuevos valores en la integral original pero debemos notar que no

tenemos a dx está la encontramos derivando a x con respecto a d y listo.

3x sen --------- > 3dx

send

------------- > 3cosdx d

Ahora ya tenemos todos los datos necesarios ahora solo sustituimos estos datos en

los datos originales

Si tenemos que 3x sen si lo elevamos al cuadrado obtendremos 2 29x sen y

he aquí el último dato, ahora solo la sustitución.

2

29

x dx

x

29 .3cos

3cos

sen d

La integral nos queda de la siguiente manera ahora

solo reducimos términos semejantes para poder

resolverla.

29 . 3cossen

3cos

d



29sen d

29 sen d

1

9 1 cos22

d

(Para resolver el 2sen aplicamos la identidad

trigonométrica de 2 11 cos2

2sen o podemos

aplicar la fórmula que nos dice2 1

22 4

xsen xdx sen x en

este caso con cualquiera de los métodos llegaremos al

mismo resultado.)

1 19 cos2

2 2d

1 1 29

2 2 2

senc

Al integrar 1

cos22

como está completa con su

respectivo un medio afuera se utiliza la fórmula de seno

pero la cuestión aquí es porque se pone el 2 abajo, el

dos se pone abajo del seno para "compensar" que el

ángulo del seno no es únicamente "teta", sino

"2teta",que sale de la regla de la cadena.

9 9 2

2 2 2

senc

9 92

2 4sen c

9 92 cos

2 4sen c

9 18cos

2 4sen c

Ahora para terminar nuestra integral solo nos queda

sustituir los valores por lo originales pero como nos

podemos dar cuenta en nuestro datos que ya antes

habíamos encontrado no tenemos el valor del seno del

doble de teta( 2sen ) así que aplicaremos la

identidad trigonométrica de 2 2 cossen sen para

poder sustituir los valores de seno y coseno pero en

este caso tampoco tenemos coseno pero sabemos

que .

cosc a

h que seria

29cos

3

x

y solo

sustituimos con todos los datos anteriores

29 18 9

2 3 4 3 3

x x xarcsen c

9 18

2 3

xarcsen

4

29

3 3

x xc

Sustituimos el valor de teta y el valor de seno se

obtiene despejando 3x sen ------ >3

xsen

Ahora solo reducimos hasta su mínima expresión



9 9

2 3

xarcsen

29

2 9

x xc

29 19

2 3 2

xarcsen x x c

Integrar: 24

dx

x

Aquí tenemos una integral del caso 2 ahora identifiquemos sus datos en el

triángulo rectángulo

2

2 2

4

2

a

u x

a

u x

2 2 seca u a ----- >24 2secx

tanu a ------- > 2tanx

2tandx

d

------- >

22secdx d

arctanu

a ------- > arctan

3

x

Sustituimos los valores en la integral original y resolvemos

24

dx

x

22sec

2sec

d

2 2sec

2

d

sec

sec d

ln sec tan c

Para sustituir los valores sec y tan no tenemos los valores

en los datos encontrados en el rectángulo pero

sabemos que sec.

h

c o y

.tan

.

c o

c a por lo tanto

tenemos que 24

sec2

x

y tan

2

x



24ln

2 2

x xc

Integrar: 225 4

dx

x

2

2 2

4

25

2

5

a

u x

a

u x

2 2 tanu a a ---- >

225 4 2tanx

secu a ------- > 2

sec5

x

2sec

5

dx

d

------- >

2sec tan

5dx d

arcsecu

a --------- >

5arcsec

2

x

Sustituimos los nuevos valores e la integral original

225 4

dx

x

2sec tan

5

2 tan

d

25 sec

2d

2

10sec d

1sec

5d

1ln sec tan

5c

Para poder sustituir estos valores utilizamos



2. 25 4tan

. 2

c o x

c a

y

5sec

. 2

h x

c a

21 25 4 5ln

5 2 2

x xc

Integrar: 21

x

x

edx

e

Para poder resolver esta integral podemos hacer un cambio de variable para que

sea más sencillo resolverlo.

2

1

x

x

edx

e

xu e xdu e dx

21

du

u

De esta manera es más sencillo resolverlo mediante el

método de sustitución trigonométrica.

1a

u u

21 secu

tandu

d

---- >

2secdu d

Sustituimos los nuevos valores

21

du

u

sec d

ln sec tan c 21sec

. 1

h u

c a

y

.tan

. 1

c o u

c a

2sec

sec

d



2ln 1 u u c Pero sabemos que xu e así que sustituimos este valor

2ln 1 x xe e c

Integrar:

2

4

4

xdx

x

24 2secx

2tanx

22secdx d

Sustituimos Valores

24

4

xdx

x

24

tan 2 2sec

2

d

secdx

4 tan sec d dx

4lnsec .ln sec tan c 24

sec. 2

h x

c a

y

.tan

. 2

c o x

c a

2 24 44ln ln

2 2 2

x x xc



Integrar:

3

24

dx

x

24 2cosx

2sinx

2cosdx d

Sustituimos Valores

3

2cos

2cos

d

EL 2 cos se eleva al cubo por que las literales que encerraba

la raíz estaban elevadas a la un cubo

2cos

3

2cos

d

2

2cos

d

24cos

d

2

1

4 cos

d

Identidad Trigonométrica 2

2

1sec

cos

21sec

4d

1tan

4c

2

.tan

. 4

c o x

c a x

2

1

4 4

xc

x



Integrar: 225 x

dxx

225 2cosx

5sinx

5cosdx d

Sustituimos Valores:

5cos 5cos

5sin

d

10 2cos

5

d

sin

25cos

sin

d

Identidad Trigonométrica 2 2cos 1 sen

25 1

sin

sen d

25 5sin

sin

d

2sin5 5

sin

d

sin

d

Identidad Trigonométrica

1csc

sin

5 csc 5 sind d

5ln csc cot 5cos c 5

csc.

h

c o x ;

2. 25cot

.

c a x

c o x

25 255ln 5

x

x x

225

5

xc

2. 25cos

5

c o x

h

225 25

5ln 25x

x cx



Integrar: 2 4x dx

2 4 2secx

2tanx

22secdx d


22sec 2sec d

34 sec d Fórmula:

2 21 2sec sec tan sec

1 1

n n nnudu u u udu

n n

41

2

1sec tan

2 sec d

2sec tan 2 sec d

2sec tan 2ln sec tan c 2 4

sec. 2

h x

c a

;

.tan

. 2

c o x

c a

22 4

2

x 2 42ln

2 2 2

x x xc

22 4

4 2ln2 2

x x xx c

2 214 2ln . 4

2 2

xx x x c

2 2 14 2ln 4 ln

2 2

xx x x c

Aplicamos Propiedad de Logaritmos

ln ln lnab a b



2 24 2ln 42

xx x x c

Integrar: 2 2 2

dx

x a x

2 2 cosa x a

sinx a

cosdx a d

2 2 2sinx a


cosa 2 2sin cos

d

a a

2 2

1

sin

d

a


2

1csc

sin

2

2

1csc d

a

2

1cot c

a

2 2.cot

.

c a a x

c o x

2 2

2

1 a xc

xa

2 2

2

a xc

a x



Integrar:

5

2

2

24

x dx

x =

2

524

x dx

x

24 2cosx

2sinx

2cosdx d

2 24sinx

Sustituimos:

2

5

4sin 2cos

2cos

d

24sin 2cos

5

2cos

d

2

4

sin4

2cos

d

2

4

4 sin

16 cos

d

2

2 2

4 sin 1

16 cos cosd

Identidades Trigonométricassin

tancos

;

1sec

cos

2 24tan sec

16d --->

Para Resolver utilizamos el método de sustitución o

cambio de variable

24

16v dv tanv

2secdv d

34

16 3

vc

34 tan

16 3c

2

.tan

. 4

c o x

c a x



3

24 4

16 3

x

xc

3

2

3

244

16 3

x

xc

3

2

3

2

4

16 3 4

xc

x

4

3

48

x

3

224c

x

3

2

3

212 4

xc

x

Integrar: 29 4

dy

y y

29 4 3cosy

3siny

3cosdy d

3cos

3sin 3cos

d

3sin

d


cscsin



1csc

3d

1

ln csc cot3

c

2

csc9 4

2.

h

c o

y

y

;

. 3cot

. 2

c a

c o y

29 41 3ln

3 2 2

yc

y y

29 4 31ln

3 2

yc

y

29 4 31 1ln

3 2

yc

y

29 4 31 1ln ln

3 2

yc

y

Aplicamos Propiedad de Logaritmos

ln ln lnab a b

29 4 31ln

3

yc

y

Integrar: 3 2 9

dx

x x

2 9 3tanx

3secx

3sectandx d

sec3

xarc

3 327secx


3 sec tan 327sec 3

d

tan



1 sec

27

3sec

d

2

1

27 sec

d


cossec

21cos

27d Formula

2 1cos sin2

4 4

uudu x

1 1sin2

27 2 4x c

Identidad Trigonométrica sin2 2sin cos

1

54 108

2 sin cos c

1sin cos

54 54c

2

sin9.c o

h

x

x

;

.co

3s

c a

xh

1

54 54

2 9 3x

x

c

x

2

2

1 9

54 18

xc

x

2

2

1 9sec

54 3 18

x xarc c

x

3.2 Integrales definidas.

Una integral definida es aquella donde se puede visualizar perfectamente el valor

de la constante de integración, definiendo 2 límites de la propia integral lo cual

nos permitirá encontrar el área bajo la curva de la integral considerando el limite

inferior, cabe señalar que para encontrar el área bajo la curva es necesario

desarrollar dicha integral por cualquiera de los métodos ya antes vistos de

acuerdo al tipo de problema que se presente en el momento.

b

af x F b F a



Integrar: 2

2

1x dx

Para resolver esta integral lo resolvemos por el método más adecuado que en

este caso es directo

23

13

x

Ya que hemos resuelto la integral habrá que evaluar entre Limite Superior y el

Limite Inferior y así dar cumplimiento al teorema fundamental del cálculo.

Para realizar esto realizaremos una operación que nos dice “límite superior menos

límite inferior” (Ls-Li) para llevar acabo esto remplazaremos los valores del límite

superior como del inferior en las literales y resolveremos la operación.

3 32 1

3 3

8 1

3 3

7

3 2.33333

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

1

2

x2 dx = 2.333334

f(x) = x2



Integrar: 4

3

02x dx

44

0

24

xx

Evaluación: Ls Li

4 44 0

2 4 2 04 4

256

8 04

64 8 56

Gráfica:

x-20 20 40

y

-40

-20

20

40

0

4

x3– 2 dx = 56.000064

Area = 59.7798

f(x) = x3– 2



Integrar: 2

3 2

12 3 1x x x dx

24

4

x3

3

3

x2

2

12

xx

24 2

3

12 2

x xx x

Evaluación: Ls Li

4 24 2

331 12 2

2 2 1 12 2 2 2

1 1

8 8 2 2 1 12 2

0 3 3

Gráfica:

x-5 5 10

y

-10

-5

5

10

– 1

2

2x3– 3x

2+ x – 1 dx = -3

Area = 5.4864

f(x) = 2x3– 3x

2+ x – 1



3.3 Área bajo la curva.

Calcular el área de la región del recinto limitado por la curva 24f x x x y el

eje ox .

Para poder resolver este problema lo primero que tenemos que hacer es

graficarla, para poder identificar cuando la gráfica intersecta en x para así

identificar nuestros límites para la integral.

Ahora que ya tenemos nuestros límites los aplicamos en nuestra integral,

resolvemos y evaluamos nuestra integral con sus respectivos limites

42

2

x

43

03

x

43

2

0

23

xx Evaluamos: Ls Li

3 3

2 24 0 32 322 4 2 0 0

3 3 3 3

210.667u

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

0

4

4x – x2 dx = 10.666656

Area = 10.6666

f(x) = 4x – x2

Punto de interseccion en x

( 4 , 0 )

Este sera nuestro limite Superior


( 0 , 0 )

Este sera nuestro Limite Inferior

4

2

04x x dx



Hallar el area bajo la curva de 2 4f x x x con respecto al eje x.

4

2

04x x dx

43

2

0

23

xx

Evaluación: Ls Li

3 3

2 24 02 4 2 0

3 3

320

3

10.667

210.667u

El resultado lo ponemos positivo ya que no puede haber

áreas negativas y la 2u significa unidades cuadradas ya que

se trata de un área .

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

0

4

x2

– 4x dx = -10.666656

Area = 10.6667

f(x) = x2

– 4x


( 4 , 0 )

punto de interseccion en x

( 0 , 0 )



Hallar el área limitada bajo la curva de cosy x entre en eje ox ; 2

y

3

2

32

2

cos xdx

32

2

sinx

Evaluamos: Ls Li

3sin sin

2 2

1 1

2

22u

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

1.570796

4.712389

cos(x) dx = -1.999998

Area = 2

1

2 P i Rad

3

2 P i Rad



Calcular el área limitada por la curva 22y x x y eje x. Hacer Grafica

1

2

2

2 x x dx

12 3

2

22 3

x xx

Evaluación: Ls Li

2 3 2 31 1 2 2

2 1 2 22 3 2 3

29

2u

¿?

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

– 2

1

2 – x – x2 dx = 4.499995

Area = 4.5

f(x) = 2 – x – x2



Encontrar el área limitada por la parábola 22y y y y eje y . Trazar la figura.

2

2

0

2y y dy

23

2

03

yy

Evaluación: Ls Li

3 3

2 2 022 0

3 3

84 0

3

24

3u



Hallar el área limitada por la parábola 2y x y las rectas 0y ; 2x : 5x

Trazar figura e indicar el elemento de área.

5

2

2

x dx

53

23

x

Evaluación: Ls Li

3 3

5 2

3 3

125 8

3 3

117

3

239A u

x-20 -10 10 20

y

-20

-10

10

20

x = 5

x = 2

f(x) = x2

2

5

x2 dx = 39.000005



Hallar el área de una arcada de la cosenoide, 2cosy x

32

2

2cos xdx

32

2

2senx

Evaluación: Ls Li

32sin 2sin

2 2

2 2

4

24u

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

1.570796

4.712389

2cos(x) dx = -3.999997

Area = 4

f(x) = 2cos(x)



3.4 Área entre curvas.

Si f y g son continúas y además f(x) mayor o igual que g(x) para todo el valor de x

en cierto intervalo cerrado entre 2 valores, entonces el área de la región acotada

por las dos graficas en el intervalo se representaría de la siguiente manera:

F y g son continuas f x g x ,a b

x-20 -10 10 20

y

-20

-10

10

20

f(x) Ya que es mayor

g(x) Ya que es menor

a

b

[f(x) ] – [g(x) ] dx = A

a b



Calcular el área de la región acotada por 2y x ; y x

Aplicamos Formula de b

af x g x dx

4

2

0x x dx

32

4

3

0

3 3

2

x x

32

43

0

23 3

x x

Evaluación: Ls Li

3 32 22 22 2

1 1 0 03 3

2 1

03 3

21

3u

20.33u

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4

0

1

(x)0.5

– x2

dx = 0.333327

Area = 0.3333

g(x) = x2

f(x) = x0.5



Calcular le área de la región acotada por las siguientes 2 ecuaciones:

2 6y x 2 3 0y x

Para poder graficar estas dos ecuaciones lo primero que tenemos que hacer es

despejar una de las literales en ambas ecuaciones:

26y x 3 2y x

3

2

16 3 2x x dx

33

2

1

33

xx x

Evaluación: Ls Li

3 3

2 23 13 3 3 3 1 1

3 3

5

93

59

3

32

3

210.66u

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

– 1

3

6 – x2 – [3 – 2x] dx = 10.666656

Area = 10.6666

g(x) = 3 – 2x

f(x) = 6 – x2



Hallar el área limitada por la parábola 25y x y la recta 1y x

Trazar la figura e indicar el elemento de área.

2

2

35 1x x dx

22 3

3

62 3

x xx

Evaluación: Ls Li

2 3 2 33 3

6 2 6 3 32 3

2 2

2 3

22 27

3 2

125

6

520

6

220.833u

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

– 3

2

5 – x2 – [x – 1] dx = 20.833312

Area = 20.8333

f(x) 5 – x2

y = x – 1



Hallar el área limitada por las siguientes curvas:

2 4y x 2 6x y

Despeje

4y x 2

6

xy

2

5.241483

04

6

xx dx

32

5.2414833

0

4

6 18

x x

Evaluación: Ls Li

3 3

2 23 34 5.241483 5.241483 4 0 0

6 18 6 18

7.999 0

7.999

28u

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

f(x) = (4x)0.5

g(x) =x

2

6

0

5.241483

(4x)0.5

– x

2

6 dx = 7.999839

Area = 7.9996



Calculara el área limitada por la curva 2y x , el eje x y la recta 4y x .

8

02 4x x dx

32

82

0

24

2 3

x xx

Evaluación: Ls Li

3 32 22 2

8 2 8 0 2 04 8 4 0

2 3 2 3

15.085 0

215.085u



Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas: 2y x 2y x

Despeje:

y x 2y x

1

2

0x x dx

32

13

0

2

3 3

x x

Evaluación: Ls Li

3 3

2 23 32 1 1 2 0 0

3 3 3 3

10

3

1

3

x-4 -2 2 4 6

y

-6

-4

-2

2

4

6

0

1

(x)0.5

– x2

dx = 0.333327

Area = 0.3333

g(x) = x2

f(x) = (x)0.5



20.333u

Hallase el área acotada por la parábola 22y x y la recta y x

2

2

12x x x

22 3

1

22 3

x xx

Evaluación: Ls Li

2 3 2 32 2 1 1

2 2 2 12 3 2 3

10 7

3 6

10 7

3 6

9

2

x-10 -5 5 10

y

-10

-5

5

10

– 1

2

2 – x2 – [ – x] dx = 4.499995

Area = 4.5

g(x) = – x

f(x) = 2 – x2



24.5u

Determine el área que limita la gráfica de la función 3 6f x x x con las rectas

0y ; 0x ; 4x .

4

3

06x xdx

44 2

0

64 2

x x

Evaluación: Ls Li

4 2 4 2

4 4 0 06 6

4 2 4 2

256

48 04

64 48 0

16 0

16 ------- >

Este sería el resultado de la evaluación de la integral mas no es

el resultado que buscamos, ya que lo que estamos buscando

aquí es el área y al evaluar esta integral no encontramos el área

ya que en la gráfica podemos observar que tenemos un área

x-30 -20 -10 10 20 30

y

-30

-20

-10

10

20

30

40

0

4

x3

– 6x dx = 16.000064

Area = 34

x = 4f(x) = x3

– 6x

y=0

x=0

Interseccion en x

( 2.44949 , 0 )



negativa y una positiva.

Para encontrar el área de una gráfica en la que se encuentran 2 o más áreas en

ambos signos (-a, a) se tendrán que evaluar con la misma integral todas las áreas

de cada intervalo, después se sumaran las áreas obtenidas aun si en estas se

obtienen resultados negativos; recordemos que un área nunca puede ser

negativa así que la tomaremos como positiva y las sumaremos todas.

En este caso tenemos dos áreas en los siguientes intervalos en x

0,2.44949 2.44949,4

Tomaremos estos intervalos quienes serán los límites de nuestra integral

2.44949

3

0

2.449494 2

0

6

64 2

x xdx

x x

Evaluación: Ls Li

4 2 4 22.44949 2.44949 0 0

6 64 2 4 2

3618 0

4

9 18 0

9

29u

43

2.44949

44 2

2.44949

6

64 2

x xdx

x x

Evaluación: Ls Li

4 2 4 2

4 2 4 2

4 4 2.44949 2.449496 6

4 2 4 2

4 4 2.44949 2.449496 6

4 2 4 2

256 3648 18 0

4 4

3664 48 18 0

4

16 9

225u

Ahora que ya tenemos nuestras 2 Áreas las sumamos y obtenemos nuestro

resultado

2 225 9a u u

234a u



Determine el área de la región limitada por la curva 3 2 2y x x x y el eje x en

el intervalo 1,1

1

3 2

1

14 3

2

1

2

2 2

x x x

x xx

Evaluación: Ls Li

4 3 4 3

2 21 1 1 11 1

2 2 2 2

5 13

2 12

2

3

20.66u -------- > Evaluación de la integral con los limites [-1,1]

x-6 -4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4

6

– 1

1

x3

+ x2– 2x dx = 0.666668

Area = 1.5

f(x) = x3

+ x2– 2x



Evaluación de áreas entre los intervalos [-1,0] y [0,1] en el eje x 0

3 2

1

04 3

2

1

2

2 2

x x x

x xx

Evaluación: Ls Li

4 3 4 3

2 20 0 1 10 1

2 2 2 2

130

12

13

12

21.083u

13 2

0

14 3

2

0

2

2 2

x x x

x xx

Evaluación: Ls Li

4 3 4 3

2 21 1 0 01 0

2 2 2 2

50

12

5

12

20.417u

Área total 2 21.083 0.417a u u

1.5a



Determine el área de la región limitada por la gráfica de: 37 6f x x x y el eje

x en el intervalo 4,3 .Haga Grafico

3

3

4

32 4

4

7 6

7 62 4

x x dx

x xx

Evaluación: Ls Li

2 4 2 43 3 4 4

7 6 7 6 42 4 2 4

2716

4

91-

4

x

22.75 --------- > Evaluación la integral

x-20 -10 10 20

y

-20

-10

10

20

– 4

3

7x – x3– 6 dx = -22.749914

Area = 50.75

f(x) = 7x – x3– 6

Interseccion en x

( -3 , 0 )

Interseccion en x

( 1 , 0 )

Interseccion en x

( 2 , 0 )



Evaluación de áreas entre los intervalos [-4,-3] , [-3,1], [1,2] y [2,3] 3

3

4

32 4

4

7 6

7 62 4

x x

x xx

Evaluación: Ls Li

2 4 2 43 3 4 4

7 6 3 7 6 42 4 2 4

11716

4

53

4

213.25u

33

4

12 4

3

7 6

7 62 4

x x

x xx

Evaluación: Ls Li

2 4 2 41 1 3 3

7 6 1 7 6 32 4 2 4

11 117

4 4

32

232u

2

3

1

22 4

1

7 6

7 62 4

x x

x xx

Evaluación: Ls Li

2 4 2 42 2 1 1

7 6 2 7 6 12 4 2 4

112

4

3

4

20.75u

3

3

2

32 4

2

7 6

7 62 4

x x

x xx

Evaluación: Ls Li

2 4 2 43 3 2 2

7 6 3 7 6 22 4 2 4

272

4

19

4

24.75u

Área Total 2 2 2 213.25 32. 0.75 4.75u u u u

250.75u



Bibliografía

AYRES J.R, Frank. Cálculo diferencial e integral Serie Schaum. Mc Graw Hill.

CUELLAR, Juan Antonio. Matemáticas VI Calculo Integral. Mc Graw Hill.

GRANVILLE, William Anthony. Calculo diferencial e integral. Limusa.

LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Oxford.

SWOKOWSKI, Earl. Cálculo con geometría analítica. Grupo editorial

Iberoamericano.

http://julmelcbtis50.wordpress.com/

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