centro de enseÑanza tÉcnica industrial ......fasores las senoides se expresan fácilmente en...

CENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA INDUSTRIAL

INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ

Circuitos Eléctricos II

Ing. Juan Gilberto Mateos Suárez 1

Fasores Las senoides se expresan fácilmente en términos de fasores, es más cómodo trabajar que con las funciones

seno y coseno.

“Un fasor es un numero complejo que representa la amplitud y la fase de una senoide”

Los fasores brinda un medio sencillo para analizar circuiros lineales excitados por fuentes senoidales; las

soluciones de tales circuitos serian impracticables de otra manera. La nocion de resolver circuitos de co-

rriente alterna usando fasores es idea original de Charlez Proteus Steinmetz (1865-1923). Un número

complejo z se escribe en forma rectangular como:

Donde √ ; “x” es la parte real de “z” y “y” es la parte imaginaria de “z”, el numero complejo “z”

también se escribe en forma polar o exponencial, como sigue;

Donde “r” es la magnitud de “z” y “φ” la fase de “z”, se advierte que “z” se representa de tres maneras:

La relación entre la forma rectangular y polar se muestra en la figura siguiente donde el eje “x” representa

la parte real, el eje y representa la parte imaginaria de un numero complejo, dadas “x” y “y”, se obtienen

“r” y “φ” como sigue:

√

tan (

)

El numero complejo “z” se escribe como sigue:

( s sin ) La suma y resta de números complejos es más sencilla en la forma rectangular, la multiplicación y división

lo son en forma polar, dados los números complejos:

( )

( )

√ √ (

)





Excitación compleja Se comienza por tomar la cantidad compleja;

s sin

sen s

sen s

( s sen )

Integrando

ln( )

Si θ = 0

s( ) sin( )

ln( ) c = 0

ln( )

Tomando antilogaritmos;

Y si se hace;

s sin

Se obtiene:

La identidad de Euler es;

s( ) sin( )

( s sin ) ( s sin )

s( )

s( )

( )

( s sin ) ( s sin )

sen( )





sen( )

( )

s( ) sin( ) √ tan (

)

EXCITACIÓN SINUSOIDAL (Corriente Alterna)

Para utilizar una excitación sinusoidal lo ms completa posible se usa;

( ) ( )

( ) ( )

En donde las minúsculas representan los valores instantáneos y las letras con mayúsculas son representati-

vas de cantidades con una magnitud máxima, w es la frecuencia de repetición de los ciclos que se produ-

cen en la forma de onda y los ángulos φ y θ indican el desfasamiento de la excitación con respecto a la

respuesta.

( ) s( ) sen( )

Si se aplica esta forma de onda a un circuito formado por dispositivos pasivos, se cumple el “principio de

superposición”;

circuito

pasivov(t)s i(t)

s

Esto es: Una función sinusoidal compleja produce una respuesta compleja, y según el principio de super-

posición, es correcto suponer que la parte real de la excitación produce la parte real de la respuesta y de la

misma forma la parte imaginaria de la entrada produce la parte imaginaria de la salida.

( ) s( ) sen( )

( ) [ ( )] [

( )]

[ ( )] s( )

[ ( )] sen( )

circuito

pasivov(t)s

[ ]RE [ ]i(t)

sRE

circuito

pasivoIMG [ ]i(t)

s

v(t)s

[ ]IMG

Principio de superposición





Representación Fasorial Una corriente sinusoidal real:

( ) s( )

Es la expresión de la parte real de una función compleja:

( ) [

( )] [ ( )]

( ) s( ) sen( )

Es decir la corriente i(t) se puede representar por una cantidad compleja si;

( ) ( )

Al suprimir el factor ( ) y expresar el resultado en forma polar se obtiene “el fasor” corriente.

Esta forma abreviada es la representación fasorial de la corriente i(t) y contiene información únicamente

sobre la amplitud y la fase. La expresión ( ) s( ) es una representación en el dominio del

tiempo y el fasor es una representación en el dominio de la frecuencia, al proceso por el cual

se cambia i(t) por I se le llama “transformación fasorail entre el dominio del tiempo y el dominio de la

frecuencia cuyos pasos son;

1) Dada una función sinusoidal en el dominio del tiempo se escribe la función como una onda co-

seno.

2) Se expresa la onda coseno como la parte real de una cantidad compleja

3) Se suprime el factor ( )

INTERPRETACIÓN VECTORIAL DE UN FASOR

Una función senoidal se representa con un fasor que es un número complejo, al representarlo como un

vector giratorio, que se conoce como “vector de Fresnel”, y que tiene las siguientes características:

Gira con una velocidad angular ω.

Su módulo es el valor de pico o su valor eficaz.

La Figura muestra la representación fasorial o vectorial de la onda senoidal correspondiente a la ecuación

siguiente:

( ) ( )





Representación fasorial o vectorial de la onda senoidal.

Ejemplo;

Cambiar al dominio de la frecuencia la expresión:

( ) s( )

( ) [ ( )]

( )

Ejemplo;

Indicar a la corriente i(t) en forma fasorial:

( ) sen( )

( ) s ( )

( ) s ( )

Relaciones Fasoriales

v(t)

-

-

R

Al circuito de la figura se le aplica la tensión compleja:

( ) ( )





Y se obtiene como respuesta la corriente compleja:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Expresado en forma fasorial;

Como se trata de una resistencia como único elemento del circuito, no almacena energía, la igualdad de los

ángulos y φ es evidente, la tensión y la corriente en una resistencia se encuentran en fase.

( )

( )

Considerando a la bobina la ecuación que la define es;

v(t)

-

-

L

( )

( )

Si la señal de entrada es una excitación compleja se hace;

( ) ( )

( )

[

( )]

( )

( )

( )

( )

( )

( )





La bobina almacena energía, es decir, guarda dentro de ella una carga en forma de campo magnético, esto

hace producir efectos eléctricos que varían con el tiempo por tal motivo es evidente que los ángulos ϕ y φ

no son idénticos.

Para un capacitor su expresión como una corriente en el dominio del tiempo es;

v(t)

-

-

C

( )

( )

( )

(

( ))

( )

( )

( )

( )

( )

( )

De la misma forma que la bobina, el capacitor almacena energía entre sus placas, la diferencia con respec-

to al inductor es que lo hace almacenando una carga en forma de un campo eléctrico evidentemente los

ángulos y φ, no son iguales.

Al examinar el circuito RC serie que se muestra en la figura, y aplicando métodos fasoriales;

Ci(t)

R

v(t)

Ci(t)

R

V

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia





( ) sin( )

( ) s( )

Aplicando la ley de ohm al circuito RC serie:

(

)

( )

√

( ) tan ( )

( )

√

( )

[ tan ( ) ]

( )

√

( )

[ tan ( ) ]

( )

√

( )

[ tan ( )]

Ejemplo: Sea C1 = 800 uF, C2 = 1200 uF, w = 1000 Hz, se pide determinar I e i(t).

1 mH

C2C1

10 00

Solución;

( )( )

( )( )





( )

La impedancia de las reactancias capacitivas en paralelo es;

( ) (

)

( )

( )

0.5J10 00

J

( ) s( )

( ) sen ( )

Ejemplo:

Para el circuito que se muestra se pide encontrar la respuesta i(t).

1.5 1

FH

v(t)

1

3

1

6

i(t)

W W

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)





( )

1.5

1-2jj40 -900

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

√( ) ( ) tan (

)

√( ) tan ( )

( ) s( )





Ejemplo:

En el circuito que se muestra en la figura, mediciones experimentales con w = 1000 Hz demuestran que

i(t)=sen(1000t) cuando v(t) = 107.8 cos (1000t - 68.2°). Determinar la red especifica más sencilla que se

encuentra dentro del interior de la caja.

2mH

Cajai(t)

v(t)

( ) s( )

( ) ( ) s ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

Dentro de la caja existe una resistencia de 5 ohms.





Ejemplo:

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