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CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DlESARROLLO TECNOLOGLCO
cenidet MODELADO DE LA EXPANSION DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LIQUIDA EN TUBEFUAS
HORIZONTALES
T E S I S P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E :
- DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA
P R E S E N T A
OCTAVIO CAZAREZ CANDIA M.C.
CENIDET CENTRO DE INFORMACION
D!RECTORES DE TESIS: DR. GILBERT0 ESPINOSA PAREDES (UAM-I) DR:ALFONSO GARCIA GUTIERREZ (IIE-CENIDET)
CUERNAVACA, MORELOS
I-
DICIEMBRE DE 2001
-
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIN Y DESARROLLO TECNOLGICO
cenidet DOCTORADO EN CIENCIAS EN
INGENIERIA MECNICA
TESIS
MODELADO DE LA EXPANSI~N DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LQUIDA
EN TUBEIAS HORIZONTALES
PRESENTA
M.C. OCTAVIO CZAREZ CANDIA
ASESORES
Dr. Gilberio Espinosa Paredes UAM-I
Dr. Alfonso Garcia Gutirrez IIE-CENIDET
JURADO
Dra. Gabriela lvarez Garcia (CENIDET) P r e s i d e n t e
Dr. Gilbert0 Espinosa Paredes (UAM-I) Secretario
Dr. Rigoberto Longoria Ramrez (CENIDET) Dra. Sara Lilia Moya Acosta (CENIDET) ler. Vocal 2" Vocal
Di-. Alfonso Garcia Gutirrez (CENIDET-IIE) Dr. Gustavo Urquiza Beltrn (CENIDET-IIE) 3er. Vocal Suplente
Diciembre de 2001 Cueriiavaca, Morelos
-
U SI'I' J Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico Cuernavaca. Mor., Noviembre 22.2001
Asunto: Se autoriza impresi6n de tesis y fecha para examen de grado.
DR. JESOS ARNOLD0 BAUTISTA CORRAL DIRECTOR DEL CENIDET P r e s e n t e .
A h . - Dr. Riqoberto Lonqoria Ramirez JEFE DEL DEPTO. DE ING. MECNICA
Por este conducto hacemos de su conocimiento que, despus de haber sometido a revisin el trabajo de tesis titulado:
"MODELADO DE LA EXPANSIN DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LQlDA EN TUBERiAS HORIZONTALES"
Desarrollado por el M.C. OCTAVIO CZAREZ CANDIA y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorizaci6n de impresin de tesis y la fecha de examen de grado.
Sin otro particular, quedamos de usted.
A T E N T A M E N T E - COMIT TUTORIAL /\
DESARR0LI.C SUBDIRECCIC
Dra. Sara Lllla M4ya Acosta
Dr. Gustavo Urauiza Beltrn
INTERIOR INTERNADO PALMIRA S/N. CUERNAVACA. MOR. MCXICO APARTADO POSTAL 5-164 CP 62050. CUERNAVACA. TEL YFAX j7]3140637,12Y3127613 cenidet
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Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico
Cuernavaca, Mor., Diciembre 9, 2001.
Asunto: Se autoriza impresin de tesis.
M.C. OCTAVIO CZAREZ CANDZA Candidato al Grado de Doctor En Ciencias en Iiigeniera Mecnica I' I' e s e n t e.
Despus de haber sometido a revisin su trabajo de tesis titulado:
"MODELADO DE LA EXPANSI~N DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LQUIDA EN TUBERAS HORIZONTALES"
Y habiendo cumplido con las indicaciones que el comit tutorial de tesis realiz, se le comunica q u e se le concede la autorizacin para que proceda a la impresin de la misma como requisito para la obtencin del grado.
Sin otro particular quedo de usted.
6.E.P 0.G.i.l CEHIRO NACIOXAL !Xi I>~VEITlGAClOW
Y DESARROLLO TECNOLOGCO SUBDIRECCION ACAOEMICA
A T E N T A M E N T E
DR. RIGOBERTO LO RAMfREZ Jefe del Depto. de Ing. c nica del Cenldet
c.c.p.- Servicios Escolares c.c.p.- Expediente
re mnacde impresl6n de tesis ai alumm doctwando
INTERIOR INTERNADO PALMIRA S I N . CUERNAVACA. MOR. MBICO APARTADO POSTAL 5 1 6 4 C P 62050. CUERNAVACA. TE1.Y FAX: (7)3140637. 12Y3127613 cenidet
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. ..
-
Resumen
En esta tesis se presenta un modelo matemtico basado en el mtodo del
promedio volumtrico, dependiente del tiempo, para un flujo bifhico burbujeante
de aire y agua en una tubera horizontal. En el modelo se toma en cuenta
la compresibilidad de la fase gaseosa as como la fuerza interfacial debida a
las variaciones del radio de burbuja y la pulsacin de la burbuja en el gradiente de
presin entre las fases.
El anlisis se basa en las ecuaciones de conservacin, promediadas
en volumen, de masa, cantidad de movimiento y energa para ambas
fases y sus interfases (modelo a dos fluidos), las cuales se derivaron tericamente
a partir de las ecuaciones locales instntaneas en tres dimensiones
y rgimen transitorio aplicando el mtodo del promedio volumtnco. AI
aplicar dicho mtodo y teoremas sobre promediado volumtrico, se obtienen en
forma natural los trminos interfaciales. Esto da lugar a un conjunto cerrado de
ecuaciones, y para cerrar el sistema se utiliz un modelo de celda concntrica y
la teora de flujo potencial para desarrollar las cerraduras correspondientes a los
efectos de masa agregada, del promedio de la dida de las desviaciones espaciales
de la velocidad de la fase lquida, de la diferencia de los promedios de la presin y
de la fuerza debida a la variacin del radio de burbuja.
Para resolver el sistema de ecuaciones resultante se llev a cabo un anlisis
de estabilidad lineal obtenendose as una ecuacin de onda promedio de cuarto
... 111
-
Resumen iv
orden, de la cual se obtienen las velocidades de propagacin de la onda de vaco
con lo cual se determina el rango de comportamiento hiperblico del sistema de
ecuaciones promedio.
Adems, con el fin de estudiar los efectos debidos a las no linealidades,
tambin se obtuvo una solucin del sistema resultante de ecuaciones aplicando el
mtodo de diferencias finitas con un esquema implicit0 hacia atrs y usando el
concepto de celda donadora.
Este anlisis permiti evaluar la influencia de la compresibilidad sobre la
fraccin de vaco, la velocidad del gas, la velocidad del lquido y la presin del
lquido. Se estudiarn dos casos: un modelo adiabtico y un modelo
cuasi-isotrmico (temperatura del gas constante). Los resultados numricos y
analticos (caso lineal) se compararn con datos tericos y experimentales
reportados en la literatura. -
Todo lo anterior permiti avanzar en la comprensin del efecto de los
parmetros que controlan la dinmica del flujo bifsico burbujeante, encontrndose
que los trminos del gradiente de presin entre las fases que implican variacin del
radio de burbuja, hacen que la velocidad "rpida" de la onda de vaco sea mayor que
la velocidad promedio de la fase gaseosa, y que la velocidad "lenta" sea menor que
la velocidad promedio.de la fase lquida. Se encontr que esto tambin se debe a la
fuerza interfacial causada por las variaciones del radio de burbuja, haciendo que el
rango de comportamiento hiperblico disminuya. Tambin se encontr que debido
http://promedio.de -
Resumen V
a la expansin de la burbuja, la fuerza de flotacin sobre ella aumenta haciendo que
tambin aumenten la velocidad promedio de la fase gaseosa y la fraccin de vaco.
Al expandirse la burbuja se provoca un arrastre de lquido haciendo que la velocidad
promedio de la fase lquida tambin aumente. Todo lo anterior ocurre mientras se
presenta una cada de presin a lo largo de la tubera.
As, la principal contribucin del presente estudio radica en la derivacin de
las relaciones de cerradura para un flujo bifsico burbujeante, en las cuales se toma
en cuenta la compresibilidad de la fase gaseosa. Adems, se deduce una ecuacin de
onda en la cual los trminos de tercer y cuarto orden se deben a la compresibilidad
de la fase gaseosa. En la literatura especializada, hasta donde se sabe, no se han
reportado estos trminos que incluyen el efecto de compresibilidad.
Tambin, se logra una gran contribucin en el entendimiento de la influencia
que tiene la suposicin de flujo cuasi-isotrmico sobre la propagacin de ondas de
vaco.
-
Reconocimientos
Se agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACyT) por
el apoyo econmico brindado en la realizacin del presente trabajo.
vi
-
Con tenido
Lista de Figuras VIII ... ................................................................ Lista de Tablas x
Nomenclatura xi
...................................................................
...................................................................
.. Introduccion ..................................................................... 1
1 Trabajos previos y problema a resolver ................................... 4
Trabajos experimentales ..................................................... 4 1 . 1
1.2 Trabajos tericos ........................................................... 12
1.3 Investigacin realizada ..................................................... 21
Objetivo de la investigacin .......................................... 22 1.3.1
1.3.2 Alcance de la investigacin .......................................... 22
1.4 Problema a resolver ........................................................ 23
1.4.1 Metodologa ........................................................ 26
2 Ecuaciones de transporte basadas en el promedio volumtrico . . . . . . 29
Ecuaciones de conservacin locales instantneas ............................. 29
Mtodo del promedio volumtrico ........................................... 36
Ecuaciones promediadas en volumen ........................................ 39
Ecuacin de masa promediada en volumen e instantnea . . . . . . . . . . . . . . . 40
instantnea .......................................................... 43
- 2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2 Ecuacin de cantidad de movimiento promediada en volumen e
-
Contenido ...
V l l l
2.3.3
2.3.4
Ecuacin de energa promediada en volumen e instantnea . . . . . . . . . . . . 5i
Condiciones de salto promediadas e instantneas ...................... 56
2.4 Discusion .................................................................. 60
2.5 Conclusiones ............................................................... 60
..
3 Relaciones de cerradura ................................................... 62
Ecuaciones promedio de transporte para gas y lquido ........................ 62 3.1
3.2 Estructura de la celda unitaria concntrica ................................... 66
3.3 Promedio interfacial de los esfuerzos viscosos ............................... 67
3.4 Integral de las desviaciones espaciales de la presin .......................... 68
3.4.1
3.4.2 Desviaciones espaciales del vector velocidad .......................... 76
3.4.3 Dida de las desviaciones espaciales de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.4 Gradiente de presin interfacial de la fase lquida ..................... 79
3.5 Fuerza radial debida a las variaciones del radio de burbuja .................... 82
3.6 Discusion .................................................................. 85
3.7 Conclusiones ............................................................... 87
Desviaciones espaciales del potencial de velocidad .................... 73
..
4 Sistema cerrado de ecuaciones ........................................... 88
4.1 Ecuaciones promediadas .................................................... 88
4.2 Simplificacin de las ecuaciones promediadas ............................... 90
4.3 Conclusiones ............................................................... 95
.... . i % . 5 Descripcin dinmica;de la ecuacin.de onda de.vaco . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ., 5.1 Introduccion ............................................................... 98
http://ecuacin.de -
Contenido ix
5.2 Ecuaciones en el estado base y entre variables perturbadas .................... 99
5.2.1 Estado base y perturbaciones ........................................ 100
5.2.2 Estado base de las ecuaciones de transporte promedio . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.3 Ecuaciones de transporte entre variables perturbadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Ecuacion de onda ......................................................... 102
5.4
5.5
5.6 Resultados analticos y discusin ........................................... 112
5.7 Conclusiones .............................................................. 120
..
Velocidades de propagacin, tiempo de relajacin y coeficiente de difusin . . . 1 1 O
Estabilidad lineal para flujo burbujeante .................................... 112
. . . . 6 Solucion numerica ........................................................ 122 6.1 Introduccion .............................................................. 123 ..
6.2 Discretizacin de las ecuaciones promedio instantneas ..................... 124
6.3 Procedimiento de solucin ................................................. 129
6.4 Resultados numricos y discusin ................ : ......................... 13 1
Propagacin de la onda de vaco ..................................... 133
Validacin del cdigo numrico ..................................... 134
6.4.3 Comportamiento transitorio ......................................... 137
6.4.1
6.4.2
............................................................. 6.5 Conclusiones. 138
7 Conclusiones y Recomendaciones ....................................... 140
.................................................................... Referencias 144
. . A Termino fuente ............................................................ 153
-
Contenido X
.. B Clculo de u1 y ~2 ......................................................... 160 C Potencial de velocidad .................................................... 166
D Coeficientes de la ecuacin de onda ........ .... : ....................... 178
E Parmetros de las ecuaciones discretizadas ............................ 181
F Publicaciones. Ponencias. Conferencias ................................ 187
-
Contenido xi
Lista de Figuras
Figura Descripcin Pgina
1 Comparacin de la fraccin de vaco (A) y la velocidad del lquido (B). Distribuciones en flujo vertical ascendente entre el modelo de Dimitris et al., 1995 (todas las lneas) y datos experimentales (todos los smbolos) de Bankoff, 1990. (Figura modificada de Dimitris et al., 1995).
Efecto del flujo volumtrico del gas sobre los perfiles de la fraccin .de vacos local. (Modificado de Andreussi et al., 1990).
8
2 9
3 Distribucin de las burbujas de gas corriente abajo 11 del orificio: (a) 0.5 a 4.5 dimetros, (b) 9 a 14 dimetros, (c) 69 a 72 dimetros.(Modificado de Warren y Klausner, 1995).
4 Modelo fisico de un flujo bifsico burbujeante horizontal. 23
5 Metodologa para estudiar un flujo bifsico burbujeante. 26
6 Volumen promedio V usado por el presente estudio. ro es la 3 1 longitud caracterstica del volumen promedio, 1, y 11 son las longitudes caractersticas de las fases gas y lquido, respectivamente, ngl es el vector normal unitario apuntando de la fase gas a la fase lquida y ni, = -ngi.
7 Longitudes caractersticas. 67
8 Celda unitaria concntrica. 73
9 Velocidades caractersticas en funcin de la fraccin de vacos. Presente trabajo, caso cuasi-isotrmico. (O) con compresibilidad, (O) sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167), (A) sin la fuerza de reaccin radial debido a las variaciones del radio de burbuja, (*) sin compresibilidad.
Velocidades caractersticas en funcin de la fraccin de vacos. Presente trabajo, caso adiabtico. (O) con compresibilidad, (O) sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167), (A) sin la fuerza de reaccin radial debido a las variaciones del radio de burbuja, (*) sin compresibilidad.
1 15
10
.. i
1 16
-
Contenido xii
Figura Descripcin Pgina
11
12
13
14
15
Comparacin de modelos de onda de vacos. (O) Pauchon y Banerjee (1988) con interaccin de burbuja, (o) Pauchon y Banerjee (1986), (o) Lahey (1991), (A) Pauchon y Bamejee (1988) sin interaccin de burbuja, presente modelo sin compresibilidad, (*) presente modelo cuasi-isotrmico con compresibilidad, (A) presente modelo cuasi-isotrmico sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167), (i) presente modelo adiabtico con compresibilidad, (O) presente modelo adiabtico sin varia- ciones del radio de burbuja en la ecuacin (167).
Perfiles de la fraccin de vaco, presin y velocidad a lo largo de la tubera considerada en el presente estudio. (A) velocidad promedio intrnseco del gas, (i) velocidad promedio intrnseco del lquido, (o) fraccin de vaco, (O) presin promedio intrnseco del lquido.
Comparacin de la velocidad de onda de vacos como funcin de sg para diferentes valores de la velocidad superficial del lquido. Tomadas de Bemier (1982). (i) (vi) = 0.073 d s , (O) (VI) = 0.169 m / S , (A) (VI) = 0.318 &S.
Comparacin de la velocidad de onda de vacos como funcin de E~ para diferentes valores de la velocidad superficial del lquido. Tomadas de Mercadier (1981). (i) (VI) = 0.1 mis, (0) ( V I ) = 0.2 m / S , (A) (VI) = 0.29m/~, (A) (vi) = 0.39 mis , ( 0 ) (VI) = 0.49 m / ~ .
Fraccin de vacos como funcin del tiempo para los modelos adiabtico y cuasi-isotrmico transitorios. (o) modelo adiabtico, (O) modelo cuasi-isotrmico.
118
131
134
135
137
-
Contenido ... XI11
Lista de Tablas
Tabla Descripcin Pgina
1 Aproximaciones para los casos cuasi-isotrmico y adiabtico. 112
2
3
4
Tiempo de relajacin para los trminos de tercer orden t:(= 2). 112 113
113
Tiempo de relajacin para los trminos de cuarto orden t:(= e). Difusividad, de(= 9) como funcin de la fraccin de vacos.
-
Contenido xiv
...
Nomenclatura Smbolo Descripcin Unidades
aceleracin
tensor mtrico en coordenadas de supficie (a, B = 1,2).
rea interfacial (rea de la superficie comn a la fase I y la fase g) contenida en la regin macroscpica, (= A,l)
radio de la esfera de lquido
calor especfico a presin constante de la fase gas
calor especfico a presin constante de la fase lquida
coeficiente de masa agregada
coeficiente de difusividad referido al tiempo de relajacin
elemento infinitesimal de rea
elemento infinitesimal de volumen
vectores normales unitarios en coordenadas cartesianas
vectores normales unitarios en coordenadas esfricas
vector de fuerza de arrastre interfacial
vector de fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja
vector de fuerza de masa virtual
vector de aceleracin de la gravedad que acta en la fase k
tensor simtrico en coordenadas espaciales ( j , k = 1,2 ,3)
entalpia especfica
curvatura media local instantnea, medida desde la fase gas
m / S
-
m2
ni
J/kg-K
Jkg-K
-
m2/s
m2
m3 .
-
-
N/m3
N/m3
N/m3
d S 2
-
Jk 1 /m
-
xv Contenido
Descripcin Unidades Smbolo
tensor unitario
nhmero de onda
coeficiente en la relacin de cerradura de las desviaciones espaciales de la velocidad, (= 1/5)
parmetro auxiliar definido por la ecuacin (398) del Apndice E
longitud caracterstica de la fase gas
longitud caracterstica de la fase lquida
longitud caracterstica del sistema en estudio
fuerza normal debida a la tensin de superficie
fuerzas interfaciales por unidad de volumen, (= Mmk)
vector normal unitario dirigido de la fase 1 a la fase g (= -ngl)
vector normal unitario dirigido de la fase k a la fase m k = 1 para m =g y IC =g para m = 1, (= - n m k )
vector normal unitario
presin local instantnea de la fase k
presin interfacial @km # pmk)
presin promedio interfacial de la fase k , (= ( P k ) g I )
vector de flujo de calor por unidad de rea de la fase k
trmino de generacin de calor por unidad de volumen de la fase k
coordenada esfrica
longitud caracterstica del volumen promedio
= 1 ,2 ,3 (mismo significado que nig)
-
-
adim
kg/m3
m
m
m
N/m2
N/m3
-
-
- -.
N/m2
N/m2
N/m2
J1s-m'
J/s-m3
I l l
ni
-
Contenido xvi
Smbolo Descripcin Unidades
radio de la burbuja esfrica contenida de una esfra de lquido de radio b
Nmero de Reynolds
tiempo
tensor hbrido, a = 1,2; k = 1 , 2 , 3
tiempo de relajacin
tensor de esfuerzos viscosos local instantneo
tensor de esfuerzos interfaciales
vector velocidad local instantneo de la fase k
m
-
S
-
S
NimZ
N/mZ
m / S
velocidad local instantnea de la fase k en la direccin del flujo m/s ( z )
velocidad relativa (velocidad radial en el Apndice C ) m / S
volumen promedio m3
vector de velocidad interfacial
coordenada rectangular -~
m / S
m
Smbolos especiales
Smbolo Descripcin Unidades
o promedio de fase - ( Y promedio de fase intrnseco -
desviacin espacial - I
-
Contenido xvii
. Smbolos griegos - I
Smbolo Descripcin Unidades
espesor de la capa lmite alrededor de la superficie de m la burbuja
fraccin volumen de la fase k -
coordenada esfrica -
viscosidad de la fase k
coeficiente de la relacin de cerradura (= 1/4)
kg/m-s
-
densidad de la fase IC kg/m3
tensin superficial
potencial de velocidad
N/m
m2/s
coordenada esfrica -
- variable genrica, representa un escalar, vector o tensor
diferencia de presin interfacial N/mz
tamao de paso en tiempo S -
tamao de paso en espacio
parmetro auxiliar definido por la ecuacin (403) del Apndice E
m
m / s
variable auxiliar definida por la ecuacin (126)
variable auxiliar definida por la ecuacin (127)
d S 2
m / S 2
-
Contenido xviii
Subndices y superndices
Smbolo Descripcin Unidades
j
IC
km
t
t + A t
nmero de nodo o celda (j =nodo actua1,j - 1 = - nodo anterior)
k = 1 para la fases lquida y k =g para la fase gas
k = 1 para m =gy k =gpara m = 1
tiempo anterior
tiempo actual
-
Introduccin
El flujo de fluidos a dos fases, lquido y gas, ocurren con mucha frecuencia en las
plantas de energa e industrias petrolera, geotrmica, qumica y equipos de proceso
(Delhaye, et al. 1981). Algunos ejemplos de aplicaciones son, flujos de agua-vapor
en reactores nucleares, transporte de mezclas de gas-aceite y procesos de extraccin y
destilacin de multicomponentes.
1 As, el nmero desituaciones donde se ven involucrados los flujos bifsicos es muy
diverso. Por ello, en la conduccin de mezclas bifsicas lquido-gas. se pueden presentar
diversas configuraciones de flujo, dependiendo de las proporciones de cada una de las fases,
la geometra, orientacin de la tubera y de las propiedades termodinmicas y de transporte
de los fluidos involucrados.
En la industria petrolera mexicana, por ejemplo, se manejan los "crudos libres de
gas"; en las plataformas petroleras se realiza una separacin de las fases lquido y gas,
con el objeto de conducir la produccin de manera monofsica y evitarse as problemas
causados por la dinmica de mezclas bifsicas en tuberas. El crudo ya desgasificado se
transporta por medio de tuberas a io largo de varias decenas de kilmetros. Sin embargo.
el petrleo llega al otro extremo de la tubera con un cierto contenido de burbujas, situacin
que induce a errores de medicin del flujo de crudo entre la entrada y la salida, dado que a
la entrada de la tuberia se tenia un flujo monofsico y a la salida es bifasico.
Las burbujas aparecen en la medida en que disminuye la presin del crudo debido a
la prdida de presin en una tubera tan larga y de topografa variable. La separacin del
I
-
Introduccin 2
gas en las plataformas petroleras no es del 100% efectiva, por lo que se tienen
microburbujas de gas disueltas en el crudo. Dichas burbujas se expanden conforme el crudo
avanza en la tubera por efectos de la cada de presin, y se puede presentar coalescencia de
tal suerte que aparecen las burbujas. De esta manera se tiene un flujo burbujeante, el cual
podra evolucionar a flujo pulsante si el contenido de gas disuelto es lo suficiente como para
generarlo. La caracterstica principal del flujo pulsante es el hecho de que fluye de manera
alternada en paquetes de lquido separados por una burbuja cuya longitud es normalmente
de varios dimetros de la tubera. Ello induce inestabilidades hidrodinmicas en la tubera
y, en consecuencia, vibraciones mecnicas que pueden daar el sistema de transporte.
En Geotermia se presenta un problema similar para el caso cuando se conduce agua
en estado saturado. Durante la separacin de las fases lquido y vapor, ste ltimo se
conduce hacia la turbina. El iquido saturado se despresuriza parcialmente para generar ms
vapor flasheo), el cual se introduce en la turbina en una etapa intermedia de presin. De
esta forma se incrementa la produccin de energa. El agua remanente en estado saturado
se conduce hacia una laguna de evaporacin atmosfrica o se reinyecta al subsuelo a fin de
recuperar ms energa. Durante la conduccin de agua se van formando burbujas de vapor
debido a que la presin disminuye, apareciendo en consecuencia un flujo burbujeante. Si la
tubera es muy larga y la cada de presin alta, se podra presentar de igual forma un flujo
pulsante.
-
La eficiencia ylo la seguridad de dichos sistemas industriales se incrementa conforme
se adquiere y se tiene un mejor conocimiento de las caractersticas locales del flujo (Tribbe '
-
Introduccin 3
Y Muller, 2000). Por 10 anterior, se presenta la necesidad de estudiar en detalle los
mecanismos de la expansin de la fase gaseosa en un flujo bifsico.
El flujo bifsico burbujeante en tuberas ha sido objeto de numerosos estudios
experimentales y tericos, de tal manera que se cuenta con informacin satisfactoria para
la distribucin radia!. Sin embargo, no se han identificado claramente los mecanismos que
contribuyen a la expansin de la fase gaseosa en el desarrollo axial del flujo (Ruggles et
a1.,1988b; Grossetete, 1992).
De acuerdo con lo anterior, la habilidad para analizar la transferencia de energa y
cantidad de movimiento se ve limitada por un entendimiento inadecuado de !a distribucin
de fases, y de la interaccin entre fases, y de stas con la pared del conducto que las
contiene. En otras palabras, es necesario una adecuada constitucin de modelos
matemticos y la generacin de una base de datos experimentales suficientes: sobre el flujo
en dos fases.
As, en el presente trabajo, se deducen las ecuaciones de transporte para masa,
cantidad de movimiento y energa promediadac en volumen, las cuales componen
el modelo a dos fluidos. La deduccin se hace en tres dimensiones y
estado transitorio, tomando en cuenta la compresibilidad de la fase gaseosa. Tambin se
deducen las relaciones de cerrado mediante las cuales se estudia la interaccin interfacial
de las fases gaseosa y lquida para un flujo bifsico burbujeante horizontal. Se predicen
los perfiles de la presin del lquido, de las velocidades de ambas fases y de la fraccin de
vaco en direccin axial. Tambin se estudia el fenmeno de la propagacin de la onda de
vaco y la influencia que tienen las cerraduras sobre lla.
-
Captulo 1 Trabajos previos y problema a resolver
En este capNi0 se presenta la revisin del estado del arte relacionado con el flujo
bifsico burbujeante. Se estudi informacin referente a trabajos experimentales y tericos,
sobre la distribucin de la fraccin de vaco en direccin axial y radial. Tambin se presenta
informacin referente al modelo a dos fluidos y las cerraduras utilizadas en trabajos previos.
Adems se hace nfasis en la propuesta de la investigacin desarrollada en la presente tesis.
1.1 Trabajos experimentales
En el flujo burbujeante disperso o simplemente flujo burbujeante a travs de tuberas
horizontales, la fase gaseosa se encuentra en forma de pequeas burbujas (dimetro mucho
ms pequeo que el dimetro de la tubera) inmersas en una fase lquida continua. Los
tamaos de burbuja varan desde unos cuantos milmetros hasta unos cuantos centmetros
de dimetro (Kokal y Sianislav, 1989a). A bajas fracciones de gas, las burbujas se localizan
cerca de la parte superior de .la tubera, debido a los efectos de flotacin, pero a altas
fracciones de gas las burbujas se dispersan uniformemente.
La aparicin de burbujas que dan lugar al flujo bifsico burbujeante se debe
principalmente a tres factores: Ebullicin, reaccin qumica y cada de presin.
La ebullicin se presenta cuando existe transferencia de calor, la cual puede propiciar
un cambio de fase en el lquido o,bin una liberacin de gases disueltos (conduccion de . ,.
4
-
5
petrleo cmdo), mientras que una reaccin qumica entre lquido-lquido o liquido-slido
puede provocar la formacin de gases como producto de la propia reaccin. Si se
considera el caso de un flujo monofsico adiabtico y no reactivo a travs de una tubera, el
nico factor que puede provocar un flujo bifsico es la cada de presin, la cual induce un
cambio de fase o bien una liberacin de gases disueltos. En los tres casos la aparicin de la
segunda fase se presenta en forma de microburbujas, las cuales posteriormente dan lugar a
las burbujas.
En el mbito experimental, la formacin de burbujas puede provocase
principalmente por la inyeccin de gas en el lquido (Avijit, et al., 1998; Ieehwan, et al.,
1994), la transferencia de calor por medio de resistencias elctricas o bin por la cada de
presin provocada en un liquido que se encuentra saturado con un gas a una cierta presin
(Yehuda y Abraham, 1985).
Para identificar y comprender cuales son los parmetros que controlan la dinmica
del flujo bifsico burbujeante, as como para poder medir y modelar las variables ms
representativas del patrn de flujo, es necesario estudiar las fuerzas que actan sobre las
burbujas, antes y durante su viaje a travs del medio continuo (lquido). Las variables
ms representativas son (Kokal y Stanislav, 1989b): La fraccin de vaco, las velocidades
del gas y lquido, la cada de presin y la distribucin de presiones de las fases gaseosa y
lquida.
Con relacin al flujo bifsico burbujeante adibatico y no reactivo a travs de
tuberas, se han realizado varios trabajos tericos y experimentales, principalmente a travs
de tuberas verticales y en menor medida en tuberas horizontales. Lo anterior se debe a
-
1.1 Trabajos experimentales 6
que en la prctica se presentan con mayor frecuencia flujos verticales. ~n dichos trabajos
se detemina la fraccin de vaco, adems de
evaluar la contribucin de los efectos interfaciales sobre la fraccin de vaco y la velocidad
de propagacin de la onda de vaco.
la distribucin axial y ragial de
En cuanto a la distribucin radial J e la fraccin de vaco, el flujo bifsico
burbujeante vertical ha sido objeto de numerosos estudios (Serizawa, 1974; Drew y Lahey,
1978; Steven et al., 1985; Ishii, 1975; Liu y Buikoff, 1990; Zun y Mose, 1990; Johnson et
al., 1990; Dimitris et al., 1995). AI respecto y F r q u e tiene mayor relacin con la discusin
que nos ocupa, Serizawa (1974) estudi exvrimentalmente la distribucin de las fases
en direccin radial cuando una mezcla burbujeante de aire/agua fluye ascendente en un
conducto vertical en forma circular. l us un memmetro de pelcula caliente para medir
la fraccin de vaco local nicamente en direccin radial, la velocidad media axial del
lquido y la velocidad de burbuja. Para flujos 5urbujeantec ascendentes con una calidad de
0.0085, los autores observarn mximos de Ii fraccin de vaco cerca de la pared y una
distribucin homognea en el centro de la tu?era, pero conforme el valor de la calidad
aumenta, la distribucin central homognea -:a tomando una forma de campana con un
mximo en el centro de la tubera, de tal mazera que el flujo burbujeante cambia a flujo
bala (slug) a partir de una calidad de 0.0427.
Por otro lado, Dimitris et al. (1995) atsarrollaron una aproximacin anlitica del
problema de flujo burbujeante vertical ai,al-simtrico disperso en estado estable en
tuberas. La formulacin incorpora observacianes experimentales y tambin el efecto de
tamao de burbuja. Los autores supoxn que las variaciones de la densidad
-
1.1 Trabajos experimentales 7
del lquido promediadas en tiempo generan perfiles axial-simtricos, lo cual es una buena
aproximacin para flujos en canales verticales y flujos horizontales con pequeas burbujas
y altas velocidades. Adems consideran rgimen permanente y bidimensional, asumiendo
que, excepto para la presin, todas las otras derivadas en la direccin axial se desprecian,
el flujo es turbulento y estable despus de realizar un promediado en tiempo y desprecian
los efectos de la tensin superficial. El modelo produce buenos resultados para
cantidades pequeas de flujo promediado en volumen, pero no puede describir exactamente
los aspectos locales del flujo por que no toma en cuenta los mecanismos interfaciales.
Los resultados del modelo se presentan en la Figura 1, donde se comparan stos con
los datos experimentales de Liu y Bankoff (1 990).
Como se observa en la Figura 1, el perfil de la fraccin de vaco presenta un valor
mximo cerca de la pared y decrece hasta un valor casi constante en la regin central
de la tubera. La fraccin de vaco se ve afectada por el nmero de Reynolds ya que se
tienen valores ms grandes para Re=28000 que para Re=41000 para la misma velocidad
superficial del gas ((vK)=0.23 d s ) . De la misma manera, la velocidad del gas influye
sobre la fraccin de vaco ya que se tienen valores mayores para (vK)=0.347 m/s que para
(v,)=0.027 m / s para el mismo nmero de Reynolds (Re=41000). Ntese que el efecto de la
velocidad superficial del gas sobre la velocidad del lquido es igual al efecto sobre el perfil
de la fraccin de vaco, ya que a mayores velocidades del gas, mayores son los valores de
la velocidad del lquido y mayor es la fraccin de vaco.
Por otro lado, el estudio de la distribucin radial de la fraccin de vaco en
una configuracin horizontal o cerca de la horizontal es de inters en la transportacin
-
. 1.1 Trabajos experimentales 8
- 8 0.3 O
-
9
de mezclas gas-lquido a travs de tuberas. En esas aplicaciones, el flujo burbujeante
puede ser observado, ya sea en grandes 'slugs aireados (burbuja grande en forma de bala
con burbujas pequeas viajando atrs de ella) viajando por la tubera o bajo condiciones de
velocidades superficiales de poco gas y gran cantidad de lquido (flujo burbujeante
disperso).
En tuberas horizontales, la fuerza de flotacin provoca la migracin de las burbujas
de gas hacia la parte superior de la tubera y el flujo es altamente asimtrico en la seccin
transversal de la tubera. Bajo esas condiciones, las observaciones experimentales descritas
por Andreussi et al. (1990) indican que la velocidad media del gas (velocidad promediada
en la seccin transversal) puede ser apreciablemente menor que la velocidad del lquido y
que el perfil de la fraccin de vaco es cada vez menos simtrico conforme el ngulo de
inclinacin con referencia al eje vertical aumenta hasta un valor de 90"(tubera horizontal).
Dichos autores tambin estudiaron el efecto del flujo de gas sobre la distribucin de
vaco a lo largo de una tubera horizontal, encontrando que a menor flujo de gas, el perfil de
la fraccin de vaco tiende a ser homogneo en la seccin transversal de la tubera (Figura
2).
-
Andreussi et al., (1 999) realizaron experimentos para analizar nuevamente
la distribucin de la fase gaseosa en un flujo bifsico horizontal. Se basaron en pruebas
de conductancia para medir la fraccin de vaco local, dimetro de burbuja y velocidad de
la fase gaseosa, obteniendo resultados similares a los observados en su trabajo publicado
en 1990 (Andreussi et al., 1990). De los resultados ms importantes obtenidos por estos
autores indican que el dimetro mximo para que exista flujo bifsico burbujeante disperso
-
I. 1 Trabajos experimentales I O
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
j , = 4.4 m/s
O 10 20 30 40 50
Y imm)
Figura 2. Efecto del flujo volumtrico del gas sobre los perfiles de la fraccin de vacos local. (Modificado de Andreussi et al., 1990).
- a travs de tuberas horizontales es de 6 mm, valor para el cual las burbujas cambian su
forma esfrica a elipsoidal.
Warren y Klausner (1995) realizaron mediciones de la cada de presin y la fraccin
de vaco en una tubera horizontal de 19.1 mm de dimetro interior por la cual circula un
flujo bifsico burbujeante disperso. Las mediciones de la cada de presin fueron usadas
para identificar la longitud en la cual se desarrolla el esfuerzo cortante despus de una
obstruccin al ujo, para flujos msicos por unidad de rea entre 1277 a 2126 kg/m2s.
fraccin de vaco de O a 0.2, presin esttica absoluta de 124 a222 kPa y rea de obstruccin
-
1 . I Trabajos experimentales 11
A,/&de 0.2 a 0.8, donde A, es la rea de flujo del orificio y A, es la rea de la seccin
transversal de prueba.
Para medir la fraccin de vaco, los autores utilizaron la tcnica
de capacitancia, colocando sensores a 68 dimetros corriente arriba y 115 dimetros
corriente abajo de la obstruccin. Hicieron mediciones de la fraccin de vaco en direccin
axial, inmediatamente despus de la obstruccin pero no reportan los resultados. Tambin
realizaron observaciones del comportamiento de las burbujas en direccin axial, notando
que la distribucin radial y el tamao de burbuja cambia en dicha direcci'n, de tal manera
que cuando las burbujas son pequeas viajan ocupando toda la seccin transversal de la
tubera y al crecer, tienden a viajar preferentemente en la parte superior (Figura 3).
. ,. Figura 3. Distribucin de las burbujas de gas corriente abajo del orificio: (a) 0.5 a 4.5 dimetros, (b) 9 a 14 dimetros, (c) 69 a 72 dimetros.(Modificado de Warren y Klausner, 1995).
-
1.2 Trabajos tericos 12
La Figura 3 muestra la estructura del flujo bifsico burbujeante corriente abajo de la
obstruccin (50% de obstruccin al flujo). El nmero de Reynolds para el lquido es de
52000 y la fraccin de vaco en la regin de flujo desarrollado es de 0.09. En la Figura
3a, las burbujas son esfricas y pequeas comparadas con las burbujas (no esfricas) en la
regin de flujo desarrollado (Figura 3c) en donde las burbujas emigran a la parte superior
del tubo.
Los autores tambin observaron que el tamao de burbuja medio en la regin
completamente desarrollada decrece con el incremento del flujo volumtrico del lquido
y que el rea de obstruccin no afecta la estructura del flujo en la regin completamente
desarrollada.
AI igual que los trabajos comentados anteriormente, en la literatura se encuentran
otras investigaciones relacionadas con la distribucin radial de la fraccin de vaco, pero
no referentes a la distribucin axial. Adems, existe poca informacin para el fenmeno
del flujo bifsico burbujeante disperso a travs de tuberas horizontales. Sin embargo, hay
informacin importante referente al modelo a dos fluidos el cual se puede utilizar para
predecir la distribucin axial de la fraccin de vaco y evaluar la influencia de los efectos
interfaciales sobre la fraccin de vaco y la velocidad de propagacin de la onda de vaco.
Dicha informacin se presenta en la seccin de trabajos tericos.
1.2 Trabajos tericos
Se han realizado diversos trabajos para conocer la descripcin dinmica del flujo bifsico
por medio de cantidades promediadas ya sea en espacio-tiempo o bin en tiempo-espacio.
, . . . .
-
1.2 Trabajos tericos 13
Tambin se han realizado trabajos (Ishii, 1975; Yadigaroglu y Lahey, 1976; Gray y Lee,
1977; Hassanizadeh y Gray, 1979; Banerjee y Chan, 1980; Delhaye, 1981; Drew, 1983;
Lahey y Drew, 1989; Soria y de Lasa, 1991; Zhang y Prosperetti, 1994; Espinosa y Soria,
1998; Sherwood, 1999) sobre la derivacin exacta de las ecuaciones que modelan dichas
cantidades promedio, El proceso de promediado muestra la interaccin entre las regiones
homogneas (fases, interfases y lneas de contacto) en un sistema multifsico (Soria y de
Lasa, 1991). Una vez que se utilizan aproximaciones nmericas, las ecuaciones
de transporte promediadas para flujo multifsico se pueden usar para resolver una gran
variedad de problemas prcticos. Pero en cualquier caso, la dificultad de usar
dichas formulaciones, estriba en el uso de relaciones de cerrado apropiadas para cada uno
de los trminos que se introducen debido al proceso de promediado.
Las relaciones para obtener un conjunto cerrado de ecuaciones de
conservacin promedio para cada fase, el cuai se conoce como modelo a dos fluidos,
se han obtenido en trabajos anteriores para un flujo bifsico burbujeante (Zuber, 1964; Van
Wijngaarden, 1976; Stuhmiller, 1977; Biesheuvel y Spoelstra, 1989; Lahey, 1991; Pouchon
y Smereka,l992; Espinosa y Soria, 1998; Shenvood, 1999). En los trabajos mencionados,
los resultados sobre las relaciones de cerrado son similares respecto a la aproximacin de la
teora del flujo potencial alrededor de una burbuja esfrica con un modelo de celda unitaria
concntrica. Sin embargo, se puede obtener una formulacin general para dichas relaciones
de cerrado utilizando un modelo de celda unitaria excntrica (Espinosa-Paredes, 2001).
El modelo a dos fluidos utilizado en los trabajos mencionados, vara en cuanto a las
ecuaciones de conservacin utilizadas. El modelo puede estar formado por cuatro
-
1.2 Trabajos tericos 14
ecuaciones (dos para masa y dos para cantidad de movimiento) o por seis ecuaciones (dos
para rnasa,dos para cantidad de movimiento y dos para energa). Adems,
las consideraciones hechas por cada investigador, en cuanto a las fuerzas involucradas,
transferencia de calor, transferencia de masa y compresibilidad de las fases hacen que los
modelos difieran entre s.
Para establecer el estado del arte del modelo a dos fluidos es imprescindible anunciar
aqu el modelo obtenido en el presente trabajo (Capitulo 2). Dicho modelo consiste de las
ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energa promediadas en volumen intrnseco,
las cuales son:
a) Conservacin de masa
b) Conservacin de cantidad de movimiento
-
1.2 Trabajos tericos
c) Conservacin de energa
15
En las ecuaciones (I), (2) y (3), E es la fraccin de vaco, p es la densidad, v es la
velocidad, p es la presin, g es la gravedad, T es el tensor de esfuerzos viscosos, Ap es
el gradiente de presin, h es la entalpa, q es la transferencia de calor interfacial, V es el
volumen ocupado por las fases gaseosa y lquida, A es la rea, w es la velocidad, n es el
vector normal, q"' es la generacin de calor, IC y m representan gas (k =g) o lquido ( I C = 1 )
con IC # m, s representan slido o pared, el tlde (I) representa desviacin espacial y el
corchete ( ) k representa promedio en volumen intrnseco.
En relacin con el modelo a dos fluidos dado por las ecuaciones (1), (2) y (3), Chen
et al. (1985), analizaron la propagacin de perturbaciones infinitesimales (ondas de sonido)
enun flujo bifsico burbujeante de aire y agua con el fin de evaluar algunas
- v i v : . . . ..leyes .de.transferencia interfacial en modelos unidimensionales.de. .dos.fluidos (ecuaciones . ~,
de conservacin promediadas en espacio y tiempo). Los autores consideraron a las fases
lquido y gas como compresibies y a la fase gaseosa como un gas ideal.
http://unidimensionales.de -
1.2 Trabajos tericos 16
Los autores utilizaron la ecuacin (1) nicamente con los dos trmiiios del miembro
izquierdo; la ecuacin (2) nicamente con el primero, segundo, tercero y quinto trminos
del miembro izquierdo y con el tercer, cuarto y quinto trminos del miembro derecho; la
ecuacin (3) nicamente con el primero, segundo y cuarto trminos del miembro izquierdo
y el tercer y cuarto trminos del miembro derecho. Dichas ecuaciones las usaron en una
sola dimensin.
Para resolver las ecuaciones ( I ) , (2) y (3) con las simplificaciones mencionadas
anteriormente, los autores utilizaron ecuaciones constitutivas las cuales expresan las leyes
de transferencia interfacial en trminos de las variables dependientes.
Por otro lado, Ruggles et al. (1988a) midieron la atenuacin y dispersin de ondas a
travs de una mezcla burbujeante de aire y agua. Adems, obtuvieron datos experimentales
los cuales combinados con un modelo a dos fluidos (Chen et al., 1983; Ruggles, 1987) les
permiti establecer una relacin emprica entre el coeficiente de volumen virtual, C,,, y la
fraccin de vaco,
Los autores tambin utilizaron un modelo a dos fluidos para predecir 10s
datos medidos. El modelo fue desarrollado para un flujo disperso de aire y agua en el
cual se tomaron en cuenta los efectos viscosos y la transferencia de calor interfacial. Las
ecuaciones que utilizaron los autores son las ecuaciones (I), (2) y (3) sin tomar en cuenta
los mismos trminos que despreciaron Chen et a1.(1985), adems de que en la ecuacin (2)
no tomaron en cuenta el quinto trmino del miembro derecho. Tambin usaron la ecuacin
-. . ,de'gas ideal;-Ircual permite determinar las variacionesdela'densidad del gas con respecto ' ' . . ^. "1
ai tiempo y la posicin.
-
1.2 Trabajos tericos 17
Ruggles et al. (1988b) tambin usaron el modelo a dos fluidos para predecir
informacin referente a la propagacin de ondas de vaco de un flujo burbujeante de aire
y agua. Analizaron la importancia del uso de la transferencia de cantidad de movimiento
interfacial (arrastre, masa virtual y desviaciones espaciales de la velocidad) en el modelo
a dos fluidos. El modelo usado por los autores se compone de las ecuaciones (I), (2) y
(3) en una dimensin. Los autores hicieron las mismas simplificaciones hechas por Chen
et al. (1985), pero en la ecuacin (2) s tomarn en cuenta el cuarto trmino del miembro
izquierdo y el primer trmino del miembro derecho.
En 1991, Lahey present un anlisis lneal y no lneal del fenmeno de ondas de
vaco. Su estudio se bas en el modelo unidimensional a dos fluidos promediado en espacio
ytiempo (Lahey y Drew, 1989), con el cual encuentra que la dispersin de las ondas de
vaco es fuertemente influenciada por el deslizamiento entre las fases. Adems observ
que la fuerza de masa virtuai es un parmetro muy importante en el modelado de ondas
de vaco. Muestra adems que el anlisis de ondas de vaco es un excelente medio para
evaluar las cerraduras utilizadas en el modelo a dos fluidos.
El flujo que analiza el autor es un flujo burbujeante de aire y agua. Las ecuaciones
de conservacin en las que basa su estudio son las ecuaciones de ( I ) y (2) con las mismas
simplificaciones hechas por Ruggles, et al. (1988b). El autor considera que ambas fases
son compresibies pero omite la fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja.
-
1.2 Trabajos tericos 18
En 1992, Lahey nuevamente present un anlisis lineal y no ineal del fenmeno
de ondas de vaco, con el mismo propsito que su trabajo de 1991. l utiliza un modelo
unidimensional a dos fluidos promediado en espacio y tiempo para un flujo adiabtico de
aire y agua a travs de un conducto de seccin transversal constante, el cual consiste de las
ecuaciones ( I ) y (2) con las mismas simplificaciones que su trabajo de 1991, adems de la
ecuacin (3), en la cual hizo las mismas suposiciones que Ruggles et al. (i988b). En el
modelo se asume que ambas fases son compresibles y que se tiene una ecuacin de estado
dada por la ecuacin (4).
En este caso, Lahey incluye la fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja y
realiza un desarrollo (similar al realizado por Chen et al., 1985) para encontrar una relacin
entre las presiones de fase del lquido y gas. Para lo anterior, considera una sola burbuja
rodeada por un medio lquido infinito y excitada por oscilaciones sinusoidales de presin.
Supone que la respuesta de la burbuja es simtricamente esfrica y sin oscilaciones de
traslacin. -
El autor nuevamente encuentra que el coeficiente de masa virtual es el parmetro que
afecta ms significativamente al modelo de dos fluidos.
Espinosa y Soria (1998) desarrollaron un modelo a dos fluidos promediado en
volumen para fluidos Newtonianos (aire-agua), el modelo es unidimensional, isotrmico,
incompresible y dependiente del tiempo. Para obtener las relaciones
de cerrado, consideraron flujo potencial alrededor de las burbu.ias esfricas. Los autores
utilizaron el modelo para estudiar los efectos de interaccin de cantidad de movimiento para
un patrn de flujo burbuja. Para lo anterior realizaron un anlisis dinmico lineal basado
-
1.2 Trabajos tericos 19
en la tcnica de eigenvalores, determinando el dominio de comportamiento hiperblico
y la velocidad de la onda de fraccin de vaco. Para obtener el modelo partieron de las
ecuaciones de conservacin locales de masa y cantidad de movimiento a las cuales les
aplicaron operadores de promediado en volumen intrnseco. Supusieron que ambas fases
son incompresibles, obteniendo dos ecuaciones para masa y dos ecuaciones para cantidad
de movimiento, las cuales se obtienen haciendo la densidad constante en las ecuaciones (I)
y (2) y usando una sola dimensin. Adems, en dichas ecuaciones no tomaron en cuenta el
segundo, quinto, sexto y sptimo trminos de la ecuacin (2).
Las relaciones de cerrado que utilizan son semejantes a las presentadas por otros
investigadores. No incluyen la fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja y
resuelven el sistema cerrado de ecuaciones utilizando el mtodo de diferencias finitas con
un arreglo implcito y aplicando el concepto de celda donante, el cual fue usado por Saurel
et al. (1994).
Dos son las tcnicas que comnmente se utilizan para analizar la propagacin de
ondas de vaco. Una es la evaluacin de los eigenvalores (races caractersticas)
y eigenvectores del conjunto de ecuaciones resultante del modelo a dos fluidos (Ramshaw
y Trapp, 1978; Biesheuvel y Van Wijngaarden, 1984; Pauchon y Banejee, 1986). La otra
tcnica consiste en la linealizacin del conjunto de ecuaciones y anlisis de la relacin de
dispersin (Ramshaw y Trapp, 1978; Lahey, 1991; Biesheuvel y Gorissen, 1990; Park et
al , 1990; Lisseter y Fowlor, 1992). Cuando se tienen races caractersticas reales,
las perturbaciones pequeas de la longitud de onda se estabilizan, tal que el problema
de valor inicial esta correctamente planteado (Ramshaw y Trapp, 1978). Sin embargo,
-
1.2 Trabajos tericos 20
las rakes caractersticas complejas no necesariamente indican una formulacin incorrecta,
ya que pueden aparecer por una inestabilidad fsica de la configuracin de flujo supuesta,
indicando posiblemente transicin a un patrn de flujo diferente (Soria y de Lasa, 1992;
Brauner y Maron, 1992).
En su trabajo, Espinosa-Paredes y Soria (1998) utilizan la tcnica de evaluacin de
eigenvalores, encontrando que el sistema de ecuaciones hiperblico que resuelven, esta
bien planteado (races reales). La transicin matemtica de sistemas hiperblicos a no
hiperblicos indica una posible transicin de flujo (coalescencia de burbujas) tal como lo
determinaron Ruggles et al. (1988b).
Adems los autores encontraron que al incluir el esfuerzo cortante interfacial se
reduce el dominio de hiperblicidad y se incrementa ste con las desviaciones espaciales
de la velocidad. En particular, el dominio de hiperblicidad se reduce cuando el coeficiente
de masa virtual (Cvm) es mayor a 0.5 y se incrementa cuando C,, es pequeo. Los autores
tambin estudiaron el efecto de la tensin superficial sobre el dominio de hiperblicidad
(regin estable) observando que dicho parmetro afecta en mayor medida a la solucin del
sistema de ecuaciones para velocidades superficiales del lquido pequeas (Z 0 . lds ) que
para velocidades grandes (g 0.4ds) .
Relacionado con el trabajo anterior, Espinosa-Paredes (200 1) estudi un conjunto de
burbujas dispersas en una fase lquida continua. Utiliz las ecuaciones promediadas en
espacio y tiempo (modelo a dos fluidos) para un flujo bifsico transitorio, incompresible e
isotrmico con el fin de describir las caractersticas de la propagacin de ondas de vaco e
investigar la estabilidad lineal del rgimen de flujo burbujeante. Para la descripcin
-
1.3 Investigacin realizada 21
promedio, el autor propuso flujo potencial alrededor de las burbujas con lo cual obtuvo
relaciones de cerrado usando un modelo de celda excntrica. Las relaciones de cerrado
obtenidas comprenden la masa virtual, la diferencia entre la presin promedio intrnseco y
la presin promedio en la interface, as como el promedio de la dida de las desviaciones
espaciales de la velocidad para la fase lquida.
El punto de partida que utiliza el autor en su estudio son las ecuaciones
de transporte promediadas en volumen, tridimensionales y dependientes del tiempo dadas
por las ecuaciones (I) y (2) con las mismas restricciones que las del trabajo de Espinosa-
Paredes y Soria (1998).
Con este trabajo, Espinosa-Paredes (2001) encuentra que el modelo fue estable para
fracciones de vaco menores o iguales a 217, y que es posible determinar la masa virtual y
la dida de las desviaciones espaciales de la velocidad como funcin de la excentricidad
tal que las ecuaciones gobernantes promedio para flujo en dos fases sean estables. Deriva
adems relaciones de cerrado en funcin de la excentricidad con las cuales obtiene un
modelo a dos fluidos unidimensional para flujo burbuja, el cual es nuevo en el campo de
estudio en el flujo en dos fases.
-
1.3 Investigacin realizada
De acuerdo a la revisin de literatura que se present en la seccin anterior, se realiz
un trabajo de investigacin dividido en dos grandes etapas. La primera tiene que ver
con el establecimiento de relaciones de cerrado del modelo a dos fluidos para establecer
un modelo fsico objetivo. La segunda etapa tiene que ver con el diseo y desarrollo de
-
1.3 Investigacin realizada 22
un programa de cmputo que simula la expansin de microburbujas y la evolucin del
flujo burbujeante en una tubera horizontal considerando la distribucin axial de las fases.
El modelo es validado con datos tericos y experimentales referentes a la velocidad de
propagacin de la fraccin de vaco reportados en la literatura.
1.3.1 Objetivo de la investigacin
Modelar la hidrodinmica de la expansin de burbujas presentes en la fase lquida en una
tubera horizontal para describir la distribucin axial de la fraccin de vaco debido a la
cada de presin. Para esto se establece un modelo fsico y se desarrolla un programa de
computo para simular los fenmenos hidrodinmicos y de interaccin interfacial.
1.3.2 Alcance de la investigacin
El modelado de la expansin de las burbujas no tiene solucin exacta por lo que se
aplicaron dos aproximaciones: a) linealizar las ecuaciones promedio y obtener una solucin
analtica a travs de la ecuacin de onda y b) considerar o estudiar los efectos no lineales
desarrollando un modelo numrico (unidimensional y transitorio) para un flujo bifsico
burbujeante adibatico y no reactivo. Los modelos fsico y computacional consideran la
aparicin de las burbujas como producto de la expansin de microburbujas presentes en la
fase lquida o como el flujo de fases (lquido/gas) en una tubera y que dan lugar a un flujo
bifsico burbujeante.
-
El modelo toma en cuenta la interaccin lquido-burbujas (fuerzas de arrastre, las de
masa virtual y las debidas a la variacin del radio de burbuja).
-
1.4 Problema a resolver 23
Se obtienen tericamente las expresiones para las ecuaciones de cerradura, utilizando
la teora de flujo potencial y un modelo de celda unitaria concntrica. Adems, se toma en
cuenta la compresibilidad de la fase gaseosa.
1.4 Problema a resolver
El fenmeno de flujo en dos fases y, en particular, el flujo bifsico burbujeante a travs de
tuberas se presenta en varias aplicaciones industriales, por ejemplo en condensadores y
evaporadores, equipos de procesos qumicos, reactores nucleares, tuberas de aceite, entre
Otras.
La importancia de conocer el tamao y distribucin de las burbujas en procesos
industriales donde se llevan a cabo fenmenos de transferencia de calor y masa, cada de
presin y transicin del patrn de flujo, es crucial debido a que son funcih de la fraccin
de vaco. Tambin es importante conocer las velocidades de las fases involucradas, ya que
son parmetros que se toman en cuenta para el diseo y seguridad de dichos equipos.
En el presente trabajo se estudia un sistema como el mostrado en la Figura 4. Dicho
sistema consiste de un flujo bifsico burbujeante adiabtico y no reactivo para el cual se
predice la fraccin de vaco, las velocidades, presiones y temperaturas de las fases gaseosa
y lquida.
El sistema en estudio es un flujo en dos fases y dos componentes viajando a travs
de un ducto horizontal en rgimen de flujo burbuja. El sistema est constituido por una
fase continua lquida (agua) y una fase dispersa de gas (aire). La longitud caracterstica
del ducto es mucho mayor que el tamao individual de las burbujas, las cuales
-
1.4 Problema a resolver 24
Volumen promedio, Y
Fase dispersa, s I , I - - - - - - - - - - - 4
Figura 4. Modelo fisico de un flujo bifsico burbujeante horizontal
se suponen esfricas con radio variable viajando preferentemente en la parte central de la
tubera (Warren y Kiausner, 1995; Andreussi et al., 1990), por lo que no interactan con la
pared de sta. Adems se supone que las burbujas no interactan entre s.
En general, las burbujas pueden aparecer debido a intercambio de calor, reaccin
qumica, cada de presin o bien a una combinacin de stas. En este trabajo, debido a que
no existe transferencia de calor entre la pared de la tubera y los fluidos y que los fluidos no
reaccionan qumicamente entre s, la aparicin y expansin de las burbujas de aire se debe
nicamente al gradiente de presin que existe entre dos puntos distantes en la direccin
axial de la tubera.
-
~~
1.4 Problema a resolver 25
Se considera que los fluidos son Newtonianos, ambas fases estn en movimiento y
la distribucin, nmero y posicin de las burbujas no se conocen. Adems, la tensin
superficial es constante y no se presenta transferencia de masa interfacial.
El volumen promedio seleccionado para este estudio es constante y mucho mayor
que el tamao individual de las burbujas. Adems, se encuentra lejos de la pared del ducto
y de la entrada del flujo bifsico a la tubera, con lo cual se asegura que el sistema es
homogneo y continuo. Con estas restricciones los efectos viscosos lejos de la pared del
ducto son despreciables.
En trminos matemticos, la restriccin de escala de longitud impuesta para estudiar
flujo burbujeante se expresa con la siguiente desigualdad (Espinosa-Paredes y Soria, 1998)
donde I , y 11 son las longitudes caractersticas microscpicas de la fase gaseosa y fase
lquida, respectivamente, r,, es la longitud caracterstica del volumen promedio y L es la
longitud caracterstica macroscpica.
A fin de simular adecuadamente el flujo bifsico, se deben simular los
flujos representativos de gas y lquido con sus interacciones y, tambin se debe modelar
la distribucin de tamaos de burbuja, los perfiles de velocidad de las fases lquido y gas,
..: 'as como'labfraccin de ,vaco. ;:Adems, se deben desarrollar modelos.paradas. ecuaciones
de cerrado que cumplan con el principio de objetividad de material, que sean modelos bien
propuestos, y que reproduzcan bien los datos experimentales.
-
1.4 Problema a resolver 26
Lo anterior es el problema que se resuelve en la presente investigacin para el sistema
mostrado en la Figura 4. El resultado es un modelo matemtico el cual permite predecir
el comportamiento de un flujo bifsico burbujeante adiabtico y no reactivo que circula a
travs de una tubera horizontal, tomando en cuenta la expansin de las burbujas. Adems,
se obtienen expresiones para las ecuaciones de cerrado, las cuales permiten obtener un
modelo matemtico totalmente terico, es decir no se utilizan correlaciones en
su constitucin.
1.4.1 Metodologa
La metodologa que se sigue en el presente trabajo se muestra en el esquema de la Figura
5.
Primeramente se deben establecer las ecuaciones de gobierno locales instantneas,
las cuales consisten de un conjunto de ecuaciones de transporte de masa, cantidad de
movimiento y energa para cada una de las fases y la condicin de salto de cantidad de
movimiento interfacial, la cual incorpora los efectos de las fuerzas interfaciales.
El siguiente paso es aplicar a las ecuaciones de gobierno el mtodo de promedio
volumtrico para obtener informacin suficiente para estimar el comportamiento global del
sistema en trminos de variables promedio (Captulo 2).
A continuacin es necesario determinar las cerraduras, las cuales se formularon como
un problema asociado con las desviaciones espaciales alrededor de los valores promedio
de las variables.locales instantneac:Para.ello se aplica.4a teora de flujo potencial.en una ~ ' . .~
-
1.4 Problema a resolver
Comparacin con datos Ecuacin de onda (Anlisis lineal) experimentales
21
Solucin numrica (Aproximacin no lineal)
Modelo de celda
kuaciones locales y puntuales de masa, cantidad de movimiento y energa
Aplicacin del mtodo del promedio volumtnco
Obtencin de las ecuaciones . promedio ecuaciones promedio Obtencin de cerraduras
Figura 5. Metodologa para estudiar un flujo bifsico burbujeante.
celda concntrica (Captulo 3). El siguiente paso es acoplar las ecuaciones promedio con
las cerraduras para lograr un conjunto cerrado de ecuaciones (Captulo 4).
Enseguida se realiza un anlisis de estabilidad lineal del conjunto cerrado de
ecuaciones promedio que consiste en determinar la ecuacin de onda de donde
se identifican la velocidad de propagacin, los tiempos de relajacin y el coeficiente de
difusividad de la onda cinemtica. Esta ecuacin con derivadas parciales de cuarto orden es
I _ *
-
1.4 Problema a resolver 2s
la ecuacin jerrquica que gobierna los fenmenos de propagacin de la onda de fraccin
de vaco (Captulo 5).
Con el fin de estudiar los efectos que provocan las no linealidades, el sistema cerrado
de ecuaciones promedio se resuelve numricamente aplicando la tkcnica de diferencias
finitas. El sistema que se simula es un flujo bifsico burbujeante disperso a travs de una
tubera horizontal. Se desarrolla un cdigo numrico con el cual se calcula la velocidad
de propagacin y se obtienen las distribuciones de la fraccin de vaco, las velocidades y
las presiones de las fases (Captulo 6). Finalmente se obtienen las conclusiones del trabajo
(Captulo 7).
-
Captulo 2 Ecuaciones de transporte basadas en el
promedio volumtrico
En este captulo se presenta la derivacin terica de las ecuaciones de conservacin
promediadas en volumen para los procesos de flujo en dos fases usando el mtododel
promedio volumtrico. Se promedian las ecuaciones de conservacin de masa, cantidad de
movimiento y energa, obtenindose un conjunto de ecuaciones promedio para cada una de
las fases e interfases conocido como modelo de dos fluidos. El planteamiento matemtico
es en tres dimensiones y rgimen transitorio.
2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas
La descripcin local instantnea esta constituida por un conjunto de ecuaciones de balance
de masa, cantidad de movimiento y energa. Debido a la presencia de la interfaz que separa
las fases gas-lquido, tambin es necesario especificar un conjunto de ecuaciones de balance
locales instantneas de masa, cantidad de movimiento y energia que describan los procesos
fsicos en la regin interfacial (supuesta como bidimensional) conocidas como condiciones
de salto. Para obtener una solucin particular es necesario especificar las condiciones de
frontera y las condiciones iniciales. Las ecuaciones locales instantneas son el punto de
partida para desarrollar el modelo promedio volumtrico para flujo en dos fases aplicando
el promedio en volumen.
-
29
-
2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas 30
Las hiptesis y suposiciones de los procesos de transferencia de masa, cantidad de
movimiento y energa que se aplican para obtener la descripcin local instantnea son:
Flujo adibatico
Transferencia de masa interfacial nula
Tensin superficial constante
Las ecuaciones de balance locales instantneas que describen los procesos
de transferencia de masa, cantidad de movimiento y energa no pueden resolverse para
un sistema con un nmero desconocido de burbujas movindose en el lquido tal y como
se ilustra en la Figura 6 . Sin embargo, una descripcin promedio proporciona suficiente
informacin para estimar el comportamiento global del sistema en trminos de variables
promedio. Por lo anterior, se presenta la necesidad de promediar en volumen
dichas ecuaciones, para lo cual se selecciona un volumen promedio lejos de las paredes
slidas del ducto y de la entrada del flujo en dos fases, para asegurar que el sistema sea
homogneo y continuo. Con esta restriccin, los efectos viscosos lejos de las paredes
del ducto son despreciables (Espinosa-Paredes y Soria, 1998). Adems, el considerar al
volumen promedio lejos de las paredes del ducto garantiza que se cumpla la restriccin de
escala de longitud dada por la ecuacin ( 5 ) .
Las ecuaciones locales instantneas que describen los procesos fsicos
de transferencia de masa cantidad de movimiento y energa para cada una de las fases estn
dadas por el siguiente conjunto (Ishii, 1975; Delhaye, et al., 1981):
-
2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas 31
Figura 6. Volumen promedio V usado para el presente estudio. r, es la longitud carac- terstica del volumen promedio, 1, y 11 son las longitudes caractersticas de las fases gas y lquido respectivamente, nrf es el vector normal unitario apuntando de la fase gas a la fase lquida y nlg = -nai.
a) Ecuacin de continuidad para la fase k :
aPk - + v . ( P k V k ) = o at
b) Ecuacin de cantidad de movimiento de la fase k :
-
2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas 32
donde I es el tensor identidad, pk representa la presin de la fases k , g es el vector de
aceleracin de la gravedad que acta sobre la fase k y Tk es el tensor de esfuerzos viscosos
de la fase k , el cual para flujo Newtonian0 y localmente compresible esta dado como:
donde pk es la viscosidad de la fase IC y el superndice T denota transpuesta.
c) Ecuacin de energa para la fase k :
donde hk es la entalpa especfica de la fase k , 4; es el vector flujo de calor por unidad de rea de la fase k y < es el trmino de generacin de calor por unidad de volumen de la fase k .
Por otro lado las condiciones de salto estn dadas por (Ishii, 1975; Espinosa-Paredes,
2001):
a) Condicin de salto de masa interfacial:
-
2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas 33
donde wig es la velocidad de la interfase 1-g, Al, es la regin interfacial (Figura 6) , Aka
es la regin ocupada entre la fase k y la pared slida s del ducto, nlE es el vector normal
unitario dirigido de la fase 1 a la fase g, el cual tiene la propiedad niL = -nzt, y nks es el
vector normal unitario dirigido de la fase k a la pared del ducto s. La condicin de salto
de masa [Ecuacin (log)] no considera efectos de acumulacin en la regin interfacial,
mientras que la ecuacin ( I 1) establece la condicin de frontera de adherencia o tambin
conocida como condicin de no deslizamiento en la interfase k - s.
b) Condicin de salto de cantidad de movimiento:
[plvi (vi - wig) f piEI - TiE] . ni E
+ [pzvg (vg - wig) + P ~ J - Tgt] . nzt = m' en AlE (12)
donde m es la fuerza debida a la tensin superficial, la cual esta definida por:
m = (t$@o) ,o = ZH,U~,, + t,amPu,p (13)
Esta ecuacin se deriva en el Apndice A, y como caso particular, cuando u
es constante se reduce a:
m = (tea k aP u) ,o = 2H,onFI (14)
.. ,_ En las ecuaciones (13) y.(14), tt es el tensor hbrido, amo es el tensoKsimtrico en la
superficie, u es la tensin superficial, H, representa la curvatura media interfacial medida
desde la fase gaseosa, ( ),o denota derivada covariante en coordenadas de superficie y los
-
2.1 Ecuaciones de conservacin locales insianineas 34
ndices con letras griegas significan coordenadas de superficie (a ,@ = 1,2) . La ecuacin
(13) en coordenadas espaciales esta dada por (Apndice A):
donde gkJ representa el tensor simtrico espacial, nj es el vector normal con
notacin indicia1 y tiene el mismo significado que nig, [ ] , j denota derivada covariante
en coordenadas espaciales y los ndices con letras latinas significan coordenadas espaciales
( j , IC = 1 , 2 , 3 ) .
Es importante mencionar que cuando no existe transferencia de masa de una fase a la
otra, ya sea por un proceso de condensacin o evaporacin a travs de la regin interfacial,
las ecuaciones (10) y (12) se pueden escribir como:
La ecuacin (16) establece que no existe transferencia de masa interfacial debido a
que se impone que la velocidad de la fase k en la direccin normal en la interfase es igual
, j i .:a
-
2.2 Mtodo del promedio volurntrico 35
donde E es el trmino fuente de energa de superficie debido a la tensin superficial (trabajo
debido por la tensin superficial), el cual esta dado por (Ishii, 1975):
(19) E = (,a k 4 u wig) ,p = -2H,on,, . wl,
La solucin tambin requiere de condiciones de frontera y condiciones iniciales:
c.1. Pk = 9 (4 i en t = O (21)
donde Ake representa las reas de entrada y salida de la fase IC asociadas con la regin de
estudio (Figura 6) , x es el vector de posicin, t la variable temporal y yk representa a las
variables dependientes (p , v,p y h) de cada una de las fases.
Por otro lado, la ecuacin de estado esta dada por:
la cual permite implicar el efecto de compresibilidad en las ecuaciones de conservacin,
-
2.2 Mtodo del promedio volumtrico 36
2.2 Mtodo del promedio volumtrico
El conjunto de ecuaciones locales instantneas definidas en la seccin anterior no se pueden
resolver para un sistema con un nmero desconocido de burbujas movindose en el lquido,
por lo cual es necesario promediarlas en espacio. Gray (1983) desarroll expresiones para
el mtodo del volumen promedio dependientes en espacio y tiempo, mientras que en este
estudio se restringe a un volumen promedio constante. Adems, en el presente trabajo se
considera que las ecuaciones promedio obtenidas son independientes de la geometra del
volumen promedio, siempre y cuando ste sea independiente del tiempo, de la localizacin
en el sistema de flujo en dos fases y que cumpla con la restriccin impuesta de escalas de
longitud dada por la ecuacin (5). El volumen promedio se compone de las fases gaseosa
y lquida, donde el volumen promedio es constante y el volumen de cada una de las fases
depende del tiempo:
Las cantidades promedio se asocian con cantidades locales a travs de un operador
promedio, el cual para una variable genrica 1c, en la fase IC se define por:
donde .j $k, es el. .valor .de . 1c, en. la .... fase IC y puede. ser un escalar,.vector,o tensor.
La expresin dada por la ecuacin (24) se conoce como promedio ,fuse, mientras que el
promedio intrnseco defuse esta dado por:
-
2.2 Mtodo del promedio volumtrico 37
Los operadores promedio de fase y promedio de fase intrnseco estn relacionados a
travs de la siguiente expresin:
( $ k ) = E k ( @ d k
donde ~k es la fraccin volumen definido por
Otra cantidad promedio importante que se aplica en el presente estudio es el promedio
en rea:
Para obtener la descripcin promedio, se deben aplicar dos teoremas de integrales
(Slatery, 1967; Whitaker, 1967). Dichos teoremas son una herramienta matemtica que
permiten intercambiar las variables entre derivadas promedio por derivadas de variables
promedio. .El primer teorema es la ecuacin de transporte general, con la cual se relaciona
la derivada promedio de una cantidad Gk con respecto ai tiempo. Para un sistema de M
fases, este teorema esta dado por:
-
2.2 Mtodo del promedio volumtrico 38
El segundo teorema es conocido como teorema de promedio espacial. Para cualquier
cantidad Sk asociada con la fase k , este teorema esta dado por:
m=M
(v$k) = v($k) + $ l,_,,, $knkmdA (30) m=l(k#n)
Si Gk es igual a 1, los teoremas dados por las ecuaciones (29) y (30) se reducen,
resultando:
donde w k m es la velocidad en la interfase k - m, n k m es el vector normal unitario en la
interfaz apuntando de la fase k a la fase m y gk es cualquier cantidad asociada con la fase
k . Si qLk es una constante igual a 1, de la ecuacin (24) se obtiene:
La ecuacin (33) indica que el promedio de una constante es igual a la fraccin de
vaco de la fase k multiplicada por esa constante.
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 39
Es importante mencionar que si se aplica la condicin dada por la ecuacin (1 1) y se
toma en cuenta que hay dos fases fluyendo a travs de la tubera, una gaseosa y otra lquida,
y que wlg = w8/, Al, = A*,, ngl = -nl,. las ecuaciones (29)-(32) se pueden escribir como:
nkmdA - - nksdA; k # m (37) ' S V E k = Ak,(t) Es importante recordar que la derivacin terica de las ecuaciones anteriores - debe
satisfacer la restriccin de escalas de longitud (&,h
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 40
entre el promedio de fase y el promedio de fase intrnseco [ecuacin (26)] se obtienen las
ecuaciones de conservacin promedio en fase intrnseco.
2.3.1
Aplicando el operador promedio dado por la ecuacin (24) en la ecuacin (6) ,
Ecuacin de masa promediada en volumen e instantnea
y usando los teoremas dados por las ecuaciones (34) y (35) en la ecuacin (38) y aplicando
la condicin de frontera dada por la ecuacin (1 1), se obtiene:
El trmino de la integral representa la transferencia de flujo msico interfacial por
unidad de volumen para el caso en que la fase 1 se evapora. La transferencia de masa
se lleva a cabo en la interfaz entre las fases fluidas y se presenta debido al desequilibrio
termodinmico entre las fases. Algunos autores representan a dicho trmino por ri = -r, y su magnitud se determina por medio de una cerradura.
-
Una de las variables ms importantes a determinar es la fraccin de vaco ~k de la fase
k. Por lo tanto, es conveniente representar la ecuacin 39 en trminos de ~ k . Lo anterior se
logra aplicando la ecuacin (26), obtenindose:
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 41
Para el planteamiento propuesto es ms conveniente obtener productos
entre promedios de las variables que el promedio de productos entre variables locales
instantneas. Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones espaciales de
las variables locales instantneas (Gray, 1975). Las variables entre desviaciones
espaciales tienen caractersticas importantes asociadas con su longitud caracterstica que
permiten realizar simplificaciones de las ecuaciones promedio, las cuales estn en trminos
de variables promedio y de las desviaciones espaciales (Ochoa-Tapia y Whitaker, 1995).
Una variable local instantnea cualquiera ( $ k ) esta dada por la suma de su promedio en
volumen intrnseco y su desviacin espacial
Cuando se presenta el producto entre dos variables locales instantneas Qk1 y $k2, y
usando la ecuacin (41) se tiene que: -
(1CikISlkZY = ( $ k d k ( 1 / l k A k + ( $ k i ! M k
Similarmente para tres variables locales instantneas se tiene que:
(43)
-
ZP
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 43
Entonces todos los trminos que contienen variaciones espaciales de la densidad alrededor
de su valor promedio, se pueden despreciar. Adems si se aplica la ecuacin (43) en la
ecuacin (40) para el caso en que Gkl = pk y Gk2 = v k , se obtiene la ecuacin
de conservacin de masa promediada en volumen e instantnea en trminos de la fraccin
volumen, de variables promedio y de las desviaciones espaciales para la fase IC .
La ecuacin (48) considera efectos de acumulacin, convectivos, dispersivos y de
transferencia de masa interfacial. Este resultado fue obtenido previamente por Gray y Lee
(1977).
2.3.2 Ecuacin de cantidad de movimiento promediada en volumen e instantnea
Aplicando la ecuacin (24) en la ecuacin de cantidad de movimiento local instantnea
dada por la ecuacin (7), se obtiene: -.
(v) + (v ' ( P k V k V k ) ) -k ( v p k ) - (v ' T k ) - ( P k g k ) = 0 (49) Aplicando los teoremas de promedio en espacio y tiempo @Zcuaciones (34) y ( 3 5 ) ]
en la ecuacin (49) se obtiene:
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 44
( P k g k ) = ( P k ) gl; (54)
El resultado de la ecuacin ( 5 I ) se obtiene al aplicar la condicin de adherencia dada
por la ecuacin (1 1), la cual establece que no hay deslizamiento de las fases con la pared
del ducto, es decir:
Es interesante observar que en la ecuacin (52) aparecen tres trminos de presin en
forma natural al aplicar el mtodo de volumen promedio. Estos trminos estn relacionados
con el gradiente de presin en la fase k, la presin en la regin interfacial k - m y la presin
en la regin interfacial k - s. Lo mismo se puede observar en la ecuacin (53), donde
...c...: ..-el iproceso de ..pi;omediado-da lugar-a tres trminos viscosos, uno .de ellos..es. el gradiente
de los esfuerzos viscosos fluido-fluido en la fase &, el segundo trmino son los esfuerzos
viscosos en la regin interfacial k - m y el tercer trmino son los esfuerzos viscosos en la
-
2.3 Ecuacionespromediadas en volumen 45
regin interfacial k - s. Para flujo turbulento en dos fases, los esfuerzos viscosos en las
fases normalmente son pequeos y frecuentemente no se consideran. Sin embargo, en este
trabajo s se consideran para obtener un conjunto de ecuaciones promedio con el mnimo
de restricciones posibles.
Sustituyendo la ecuacin (8) en la ecuacin (53), se puede demostrar que para un flujo
Newtonian0 y compresible, la divergencia del promedio del tensor de esfuerzos viscosos
esta dado por:
y los trminos de las integrales estn dados por:
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 46
De las ecuaciones (56) y (57) se puede observar que el promedio del trmino viscoso
para un flujo Newtonian0 y compresible da origen a 14 trminos viscosos para cada una de
las fases. '.
Sustituyendo las ecuaciones (50)-(54) en la ecuacin (49):
Para expresar la ecuacin (58) en trminos de se deben usar la ecuacin (26), la
ecuacin (43) y la ecuacin (44):
Para la presin local instantnea se aplica en el presente trabajo la descomposicin
espacial propuesta por Banerjee y Chan (1980):
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen
P k ( p k ) k + ( A P k m ) + P k m
donde la diferencia de los promedios de la presin esta definida por:
47
donde el primer trmino es el promedio en rea de la presin y el segundo trmino es el
promedio intrnseco de la presin. Las desviaciones espaciales de la presin interfacial son:
(62)
La descomposicin anterior tambin fue aplicada por Lahey y Drew (1989) para la
I
p k m = Pk - ( p k ) k m
obtencin de las ecuaciones de conservacin promediadas en volumen y tiempo.
Sustituyendo la ecuacin (60) en la segunda y tercera integrales del lado derecho de
la ecuacibn (59):
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 48
lado derecho de la ecuacin (63) representan el gradiente de la fraccin de vaco [ecuacin
(37)], entonces:
Sustituyendo la ecuacin (64) en la ecuacin (59):
donde
La primera integral del lado derecho de la ecuacin (65) representa el intercambio de
la cantidad de movimiento interfacial debido a la transferencia de masa interfacial
-
2.3 Ecuaciones.promediadas en volumen 49
Debido a io explicado en la obtencin de la ecuacin de conservacin demasa
(seccin 2.1.2), en cuanto a que los trminos que contienen desviaciones de la densidad se
pueden despreciar y si se aplica la ecuacin (37), entonces la ecuacin (65) se simplifica:
El trmino dispersivo definido por el quinto trmino del miembro izquierdo de la
ecuacin (67), se atribuye a la presencia de las fases y no se refiere a los esfuerzos de
Reynolds clsicos en flujo turbulento, los cuales representan la correlacin de
las fluctuaciones (temporales) de la velocidad.
La ecuacin (67) se puede simplificar, observando que los esfuerzos viscosos
interfaciales son mucho mayores que los esfuerzos viscosos de las fases, y de acuerdo con
la siguiente estimacin de orden de magnitud de los trminos viscosos:
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 50
donde LT es la longitud caracterstica asociada con los cambios en ( T k ) y L, es la longitud
caracterstica asociada con los cambios en ~ k . El orden demagnitud del tensor de esfuerzos
viscosos dentro de una capa lmite de espesor 6 en el lquido, muy cerca de la superficie de
la burbuja es:
El orden de magnitud para la integral se obtiene de la ecuacin (32):
Ntese que en las ecuaciones (69) y (70), el trmino 6 > 1. S LT = O [LE], el orden de magnitud del trmino V. ( T k ) en la ecuacin (68) es mucho menor que la integral sobre
el rea interfacial en la ecuacin (69):
Por lo tanto, la ecuacin se simplifica resultando:
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 51
El significado de cada uno de los trminos de la ecuacin (73) es: el primer trmino
del miembro izquierdo es la aceleracin temporal o acumulacin, el segundo trmino son
los efectos convectivos, el tercer trmino son los efectos de presin, el cuarto trmino es la
dispersin, el quinto trmino es la fuerza de gravedad; Del lado derecho, el primer trmino
es el promedio del gradiente de presin interfacial en la interfase k- m , el segundo trmino
es la transferencia de cantidad de movimiento interfacial, el tercer y septimo trminos son
los trminos dispersivos, el cuarto y quinto trminos son los esfuerzos viscosos interfaciales
asociados con las fuerzas de arrastre y de pared, respectivamente, mientras que el sexto
trmino es el promedio del gradiente de presin interfacial en la interfase k - s. -
2.3.3 Ecuacin de energa promediada en volumen e instantnea
Aplicando el operador promedio dado por la ecuacin (24) en la ecuacin de balance de
energa local instantnea dada por la ecuacin (9):
,
-
52 2.3 Ecuaciones promediadas en volumen
Aplicando los teoremas de promedio en espacio y tiempo, dados por las ecuaciones
(34) y (35) en la ecuacin (74) se obtiene:
( P k g k ' vk) = g k ' (PkVk) 680)
En la obtencin de las ecuaciones (76) y (78) se consider que
,
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 53
Lo anterior es debido a la condicin de no deslizamiento [ecuacin (il)] entre las
fases fluidas y la pared del ducto.
El trmino (pkhk) de la ecuacin (as), se puede escribir como:
(Pkhk ) = E k ( P k ) k ( h k ) k + E k ( P m
Sustituyendo la ecuacin (83) en la ecuacin (75), se obtiene:
- Sustituyendo la ecuacin (83) y aplicando la ecuacin (44) para +kl = pk, qk2 = hk
y $ J ~ ~ = vk en la ecuacin (76), se obtiene:
El primer trmino de la ecuacin (77), se puede expresar en trminos del promedio
intrnseco:
-
2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 54
Si se aplica la definicin de las desviaciones espaciales dada por la ecuacin (60) en
la integral sobre el rea interfacial que aparece en la ecuacin (77), se obtiene:
. , .
La ecuacin (87) se puede simplificar aplicando la ecuacin (36):
- Sustituyendo las ecuaciones (86) y (88) en la ecuacin (77), se obtiene:
Usando la ecuacin (41), el primer trmino de la ecuacin (78), tambin se puede
descomponer:
( T k ' v k ) = & k (