統計検定直前対策講座 1級 統計数理 （シグマイン...
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統計検定直前対策講座 １級 統計数理 - 変数変換 -
茨城大学 工学部 情報工学科
新納浩幸
変数変換（１次元）
X : 確率変数
RRg :
)(Xg : 確率変数
分布はどうなる？ 平均はどうなる？ 分散はどうなる？
X 、ｆ 、g からうまく求めたい
)(xf : 密度関数
変数変換（１次元）
)(XgY の密度関数 h(y)
dy
dxxfyh )()(
)(xgy なので、
dy
dxygfyh ))(()( 1
ここも g の逆関数 が必要
例）
X : (0,1) の一様分布 、1)( xf
2XY の密度関数 h(y) は？
2xy なので 2/1yx
2/1
2
1 ydy
dx
yyyh
2
1
2
11)( 2/1
平均と分散
dxxfxgdydy
dxxfxg
dyyyhXgEYE
)()()()(
)())(()(
dxxfYExgdydy
dxxfYExg
dyyhYEyXgVYV
)())()(()())()((
)())(())(()(
22
2
Y の密度関数 h(y) を 必要としない
1次変換の平均と分散
bXaEbaXE )()(
)()( 2 XVabaXV
注意！ a は２乗で外に出て、 b は消える
変数変換（2次元）
),( YX : 確率変数
),( yxf : 同時密度関数
RRRg ),(:1
RRRg ),(:2
)),(),,((),( 21 YXgYXgVU
: 確率変数
分布はどうなるか？
変数変換（2次元）
),( VU の同時密度関数 h(u,v)
||||),(),( Jyxfvuh
v
g
u
gv
g
u
g
vu
yxJJ
1
2
1
2
1
1
1
1
),(
),(ヤコビアンの行列式 の絶対値
ヤコビアンの注意
|'||| JJ (x, y), (u,v) どちらを行にするか列にするかは関係ない
＊要素の順序は行列式の符号だけを変化させる、 絶対値には影響しない
＊転置行列の行列式は不変
(u, v) でも (v, u) でもどちらでもよい
),(
),(
1
),(
),(
yx
wuJ
wu
yxJ
＊逆関数を求めなくてもヤコビアンは求まる
どちらで微分しているか 大注意！！ また最終的には 逆関数は必要
代表的利用例
＊ 確率変数のたたみ込みの公式
＊ 正規分布の正規化定数の算出
＊ ベータ関数とガンマ関数の関係
2012-問2, 2014-問2
たたみ込みの公式
YX , : 独立な確率変数
YXZ の分布を X と Y のたたみ込みから求める
YXZ
XW により変数変換
111
01
),(
),(
yx
zw
)()(),( wzfwfzwh YX
の逆数がヤコビアン
w で周辺化する
dxxzfxfdwwzfwfzh YXYX )()()()()(
関数 f を平行移動しながら関数 g を 重ね足し合わせる二項演算
たたみ込みによる正規分布の和
),(),,( 22
yyxx NYNX ～～
YXZ
: 独立
dxxzfxfzh YX )()()(
2exp
2
1
2
)(exp
2
1
2
)(exp
2
1)()(
2
2
2
2
Q
xzxxzfxf
yx
y
y
yx
x
x
YX
2
2222
2
22
22
)(1
)()( yx
yx
yx
yx
y
x
yx
yxzzxQ
dxzx
z
dxzx
z
dxQ
dxxzfxfzh
yx
yx
xx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
YX
2
22
2
22
22
22
22
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
)()(2
exp2
)(2
)(exp
)(2
1
)()(exp
)(2
)(exp
2
1
2exp
2
1
)()()(
最後の積分の中は
)),((22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
xx zN
の確率密度関数なので、積分値は １
)(2
)(exp
)(2
1)(
22
2
22yx
yx
yx
zzh
),( 22
yxyxNYXZ ～
正規分布の正規化定数の算出
cdxe x 12/2
とおいて
2
1c となることの証明
YX , 独立、密度関数 2/2xce を考える
sinrY
cosrX により変数変換
がヤコビアン rrr
r
r
yx
)sin(cos
cossin
sincos
),(
),( 22
),( YX の同時密度関数は 2/)(2 22 yxec
),( r の同時密度関数は 2/2 2
),( rrecrf
逆関数で 定義
全体で積分する、極座標の変数変換なので範囲に注意、
0
2
0
22 )2/exp(),(1
drdrrcdrdrf
2
0
22
0
22 2)2/exp(2)2/exp(2 crcdrrrc
2
1c
22/2
dxe x 偶関数なので
20
2/2
dxe x
2
xt で変数変換して
0
2
dxe x 通常の公式
ガンマ関数とガンマ分布
0
1)( dxexm xm ガンマ関数
)!1()()3(
)()1()2(
1)1()1(
mm
mmm
ただし m が整数のとき
ガンマ分布の密度関数
k
xk
k
exxf
)()(
/1
kXE )(
2)( kXV
k : 形状母数 Θ ：尺度母数
),( kGaX～
ガンマ分布と指数分布の関係
),1( GaX～
/
)(xe
xf
指数分布 )(Ex
ガンマ分布とカイ2乗分布の関係
2,
2
nGaX～
自由度 n のカイ2乗分布
2/
2/12/
2)2/()(
n
xn
n
exxf
ベータ関数とベータ分布
1
0
11 )1(),( dxxxbaB ba ベータ関数
)(
)()(),(
ba
babaB
ベータ分布の密度関数
),(
)1()(
11
baB
xxxf
ba
ba
aXE
)(
)1()()(
2
baba
abXV
a, b : 形状母数
),( baBeX～
これを示すのに 変数変換を利用
ガンマ分布とベータ分布の関係
)1,(aGaX～ )1,(bGaY～、 は独立とする
YX
XU
YXV
),( baBeU～
)1,( baGaV ～
＊ U と V は独立 ＊ ガンマ関数とベータ関数の関係 ＊ ガンマ分布の再生性 （和が同じ分布になる）
その他、正規分布、２項分布、ポアソン分布、 コーシー分布 なども再生性をもつ
上記は変数変換を用いて証明され、同時に以下のこともわかる
最重要
YX
XU
YXV
逆関数を求めてから偏微分して ヤコビアンを求める
UVX
)1( UVY vuvuv
uv
uv
vu
yx
)1(
1),(
),(
),( YX の同時確率は X と Y が独立であることから
)()()()(),( 11
b
ey
a
exyfxfyxf
yb
xa
YXXY
これがヤコビアン
),( VU の同時確率は
veuvuvba
vb
ey
a
ex uvuvba
yb
xa
)1(1111 ))1(()()()(
1
)()(
vbbaa euvuba
111 )1()()(
1
111 )1()()(
)(
)(
1
bavba uu
ba
baev
ba
v のみの関数 Ga(a+b) の密度関数
u のみの関数 Be(a,b) の密度関数
変数が分離されているので独立、 積分することで
)(
)()(),(
ba
babaB
も示される
過去問
2012-問2
2014-問2
どちらも非常に良問 変数変換がポイント
カイ２乗分布の再生性
ガンマ分布の再生性
（モーメント母関数を利用）
カイ２乗分布とベータ分布の関係
ガンマ分布とベータ分布の関係