cepal charlas sobre sistemas complejos sociales...

Martin Hilbert (Dr.; Ph.D.) MartinHilbert[at]gmail.com

CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS)

Una exploración guiada de conceptos y métodos

9na sesión LEYES DE POTENCIA:

¿Firma omnipresente de la complejidad?

http://journals.wiley.com/complexity

http://journals.wiley.com/complexity

I. ¿Cuáles son las leyes de potencia (y sus

diferentes caras, como: la ley de Zipf, la distribución libre de escala, la distribución de cola gruesa, la distribución de Pareto)?

II. ¿Cuáles son algunos de los mecanismos generadores de leyes de potencia?

III. ¿Cómo identificar leyes de potencia auténticas?

Las preguntas de hoy

¿Cuál es la fascinación (obsesión) con leyes de potencia?

Paja a que aferrarse a un mundo complejo o Es raro encontrar regularidades en cualquier lugar. La ley de potencia se une a grupo

muy selecto de distribuciones de utilidad social

Tiene propiedades fascinantes o Es la única distribución libre de escala: se refiere a los fractales (iterativo en el espacio) y el

caos (iterativo en el tiempo)

o No tiene un promedio: conduce a impredecibles “grandes eventos” e invalida muchos métodos científicos establecidos.

Varios mecanismos generativos listos para elegir o ¿Cuál es el dinámica micro que conduce a esta distribución macro? Curva normal proviene del TLC...

o Ley de potencia proviene de: o Criticidad auto-organizada o Tolerancia altamente optimizado o Escalamiento alométrico o Vinculación preferencial o ...

Parece fácil de detectar visualmente o Línea recta en un gráfico log-log

Sources: Newman (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law. Contemporary Physics, 46(5), 323. Carneiro (1987). The Evolution of Complexity in Human Societies and Its Mathematical Expression. Int.J. of Comparative Sociology, 28(3-4), 111–128. Brown, et.al. (2011). Energetic Limits…. BioScience, 61(1), 19–26.

Power-laws en todas partes!

Sources: Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. J. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review, 51, 661–703. Krugman, P. R. (1996). The Self-Organizing Economy. Blackwell Publishers.

“…no estamos acostumbrados a ver este regularidades exacta en la economía - es tan exacta que me

resulta fantasmal/ spooky”

Power-laws everywhere! Power-laws en todas partes!

86% de la riqueza con 20% de las personas 60% de la población en el 10% de las ciudades 75% de las personas con 1% de los apellidos

Mean (average)

1 StDev ≈ 66%

2 StDev ≈ 95%

leyes de potencia ≠ “normal” veces citado

# de artículos

0 368,110

1 70836

2 44,127

3 32,625

4 25,910

5 21,627

6 18,202

7 15,595

…

8,678 1

8,904 1

El número de citas de ISI física (1981-1997) 783 339 artículos en total 47% nunca citados!!

Sources: Harcourt, Inc. (2001); Newman, M. E. J. (2010). How Networks of People & Information Shape Our World. Presented at the 2010 Ulam Lectures, Santa Fe. http://www.santafe.edu/news/item/video-2010-ulam-lectures-our-small-world-newman/

Ley de potencia

o 𝑦 𝑥 ~ 1

𝑥𝛼

o 𝑦 𝑥 = 𝐶 ∗ 𝑥−𝛼

o 𝐥𝐨𝐠 𝒚 𝒙 = log 𝐶 ∗ 𝑥−𝛼 = log 𝐶 + log 𝑥−𝛼 = −𝜶 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝒄 (con c = log C)

o Leyes de potencia de rango frecuencia: p 𝑥 = 𝐶 ∗ 𝑥−𝛼 (PDF) (NO TODOS son de rango frecuencia!)

Distribucion de Pareto o CDF de la PDF: 𝑃 𝑋 < 𝑥 = (

𝑚

𝑥)𝑘, donde k = α-1

Ley de Zipf o Cambia la eje horizontal y vertical

o Alinea frecuencia de las entidades de primero al último

Las diferentes caras de la ley de potencias

Source: Adamic, L. (2000). Zipf, Power-law, Pareto - a ranking tutorial. Research at HP Labs : Information

Dynamics Lab. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking

Vilfredo Pareto (1848-1923)

George Zipf (1902-1950)

la y-tima ciudad más grande, tiene x habitantes

x o más habitantes en y% de las ciudades

x habitantes se encuentran en y% de las ciudades

http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking








o Ley de potencia proviene de: o Criticidad auto-organizada o Tolerancia altamente optimizado o Escalamiento alométrico o vinculación preferencial o ...


Propiedades de Leyes de Potencia: Ø = ∞

Sources: Gladwell, M. (2006, February 13). Million-Dollar Murray, Dept. of Social Services. Retrieved from http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060213fa_fact

Avg: 13

Avg: 107

Distribución de ingreso o Estima el salario mensual promedio de tus amigos o ¿Qué pasaría con el promedio si Carlos Slim ($ 1 mil millones mensual) se uniría?

Desembolsos de seguros por terremotos o California 1994 terremoto Northridge

Caídas en bolsa o Black Monday Oct, 19, 1987: caída de 23 % en Dow Jones o = 20 DevEst = probabilidad de 1 : 1050 (1018 segundos desde Big Bang…)

Propiedades de Leyes de Potencia: Ø = ∞

Sources: Gladwell, M. (2006, February 13). Million-Dollar Murray, Dept. of Social Services. http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060213fa_fact

También puede ser positivo:

intervención especifica!

o Comportamiento corrupto:

solo 42 policías del LAPD!

o Costo de Emergencia de la salud producido por personas sin hogar:

Suponiendo curva normal, un apartamento para todo el mundo sería demasiado caro... pero...

o Contaminación por emisión de coche:

Utilizar el dinero para pasar los controles en arreglar los coches viejos…?

http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060213fa_fact

Parece igual sin importar a qué escala lo miramos o Scales are multiplicative, while ratio stays constant: [1 : 2] or [10 : 20] or [100 : 200] => [1*k : 2*k]

Es la única distribución libre de escala! o Cambio de escala significa zoom

exponencial tanto en X & Y

permanece única constante con la relación lineal

entre dos exponenciales

[1 : 2]

Propiedades de Leyes de Potencia: Libre de escala

Leyes de Potencia y fractales

Escher “Smaller and Smaller”

Mandelbrot Set




Tiene propiedades fascinantes o Es la única distribución libre de escala: se refiere a los fractales (iterativo en el espacio)

y el caos (iterativo en el tiempo)





Desequilibrios en proporciones 1- Square/ Cube Law: Cauliflowers: Surfaces absorbing energy grow by the square but the organism grows by the cube (Galileo, 1638; Haire, 1959).

2- Quarter-power laws: Organisms: Metabolic fluid flow is governed by ¼ power-law due to constant size tubes (Kleiber, 1932; West, Brown, Enquist, 1997).

3- Random walk: Coin flipping: Tosses until certain gambler’s ruin in stochastic process with finite number of games (Kraitchik, 1942; Newman, 2005).

4- Hierarchical modularity: Cells: Gains from cell fission by the square, connectivity cost by n(n–1)/2, producing imbalance (Simon, 1962; Bykoski, 2003).

5- Event bursts: Individuals: Bursts of communication, entertainment, and work activities followed by long delays (Paxon & Floyd, 1995; Barabási, 2005).

Múltiples distribuciones 6-Combination theory: # of exponentials: Multiple exponential or lognormal distributions or increased complexity of components (subtasks, processes) (Mandelbrot, 1963; West & Deering, 1995; Newman, 2005).

7- Interactive breakage: Wealth; mass extinctions/explosions: Interactive elements having multiplicative effects (Kolmogorov’s “breakage theory”, 1941).

8-Interacting fractals: Food web; firm & industry size: The fractal structure of a species is based on the food web (Pimm, 1982), which is a function of the fractal structure of predators and niche resources (Preston 1950; Halloy, 1998; Solé & Alonso, 1998; Camacho & Solé, 2001; Kostylev & Erlandsson, 2001).

9- Random observation: exponential growth with inversely exponential observations (Reed & Hughes, 2002)

Loops de retroalimentación positiva 10- Least effort: Language; firms; economies: Frequency of use is function of ease of usage (Zipf,’49; Dahui et.al.,2005; Ishikawa,2005; Podobnik et.al.,2006).

11- Preferential attachment: Networks: Likelihood of link is proportional to number of existing degrees (Yule, 1925; Young, 1928; Barabasi & Albert, 1999).

12- Spontaneous order: Copy/imitation: Agents copy/ learn from others, forming different sized hierarchical groups (Kauffman, 1969, 1993; Holland, 1995).

13- Irregularity gradients: Coral growth; river blockages: Initial (ir)regularity increases with positive feedback (Juarrero, 1999; Turner, 2000; Barabási, 2005).

Efectos contextuales 14- Phase transitions: Turbulent fluids: Exogenous energy impositions cause autocatalytic interaction effects and percolation transitions (Bénard, 1901; Prigogine, 1955; Stauffer, 1985; Newman, 2005).

15- Diffusion bursts: Disease; memes: Diffusion pattern affected by structural holes, high-centrality nodes, or cliques (Taylor, 1984; Baskin, 2005; Agar, 2006).

16-Selforganized criticality: Sandpiles; forests; heartbeats: Intermediation of constant tension (or flow) in open system (Bak et al., 1987; Bak, 1996).

17-Niche Proliferation: Markets: Consumer-individualized niches in markets with cheap production, distribution, and search (Anderson, 2006).

18-Decays: Sales declines: Exogenous shocks cause interaction networks that decay by a power law (Sornette et al., 2004).

19- Highly optimized Tolerance: System design: Fire-walls for propagation and spread (Carlson & Doyle, 1999, 2000)

Que crea las leyes de potencia?

Source: based on McKelvey, B. (2010). Complexity Science for Social Systems; UCLA Hum CS M130/ Mgmt M118A. Andriani, P., & McKelvey, B. (2009). Perspective-From Gaussian to Paretian Thinking: Causes and Implications of Power Laws in Organizations. Organization Science, 20(6), 1053–1071. doi:10.1287/orsc.1090.0481

Positive feedback loops = Ciclos de retroalimentación positivos

Tengo una acción

aquí que te quiero

reco- mendar

Reco-mendar?

Eso es una locura!

Vende ???

Vende !!!

Tengo una…

Eventos Grandes

Ciclos de retroalimentación positiva: ricos se hacen más ricos

Source: Yule, G. U. (1925). "A Mathematical Theory of Evolution, Based on the Conclusions of Dr. J. C. Willis, F.R.S". Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences 213 (402–410): 21–23. Price de Solla, D. J. (1965). Networks of Scientific Papers. Science, 149(3683), 510–515. Barabasi, A.-L., & Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks. Science, 286(5439), 509–512. Adamic L. (2012), Social Network Analysis, Coursera

Conexión preferencial o La probabilidad es proporcional al número de grados existentes

o En el momento t, habrá t * m enlaces

o Número total de grados = t * m * 2 (cada enlace proporciona dos grados, uno para cada nodo conectado)

o Probabilidad de adjuntar al nodo j = [grado de j] / [2 * t * m]

“Porque al que tiene se le dará más y tendrá en abundancia, pero al que no tiene, se le quitará aun lo que tiene”

(Mateo, capítulo 13, versículos 11-13)

BA-model: α = -3

Usually btw 2 - 3

Self-organized criticality (SOC): Criticalidad autorganizada

Log (frecuencia de avalanchas)

Log (tamaño de avalanchas)

Sources: Bak, P., Tang, C., & Wiesenfeld, K. (1987). Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise. Physical Review Letters, 59(4), 381. Turcotte (1999). Self-organized criticality. Reports on Progress in Physics, 62(10), 1377–1429. Drossel & Schwabl (1992). Self-organized criticality in a forest-fire model, Phys. Rev. Lett. 69 1629–32

Per Bak (1948 - 2002)

…

Modelo de incendios forestales o Árbol que crece de forma aleatoria en el sitio (si el sitio no está ocupado)

o Chispas de fuego que se reducen con proporcionalidad inversa a los nacimientos de árboles. Chispa en el sitio vacío se apaga

o Chispa de fuego en el árbol se enciende todos los árboles adyacentes (no en diagonal)

o Número de árboles perdidos en las avalanchas de fuego = poder de la ley

Source: Weintrop, D., Tisue, S., Tinker, R. and Wilensky, U. (2011). NetLogo Sandpile model. Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling, Northwestern U.

…or bureaucrat’s desk, with papers piling up...?

0 grains = black 1 grain = green 2 grains = yellow 3 grains = red

Self-organized criticality sandpile

Highly optimized tolerance (HOT) = Tolerancia altamente optimizada (HOT)

Sources: Carlson & Doyle (2000). Highly optimized tolerance: robustness and design in complex systems. Physical Review Letters, 84(11), 2529–32. Carlson, J. M., & Doyle, J. (1999). Highly optimized tolerance: A mechanism for power laws in designed systems. Physical Review E, 60(2), 1412–1427. Newman, M. (2000). Applied mathematics: The power of design. Nature, 405(6785), 412–413. UCSB Physics (2009), Ecology and Forest Fires http://web.physics.ucsb.edu/~complex/research/ecology.html

Ingeniería de robustez en la dinámica de percolación o Solución optimizada para la robustez frente a peligros imprevistos contagiosas

Modelo de incendios forestales o Maximización de numero de árboles en el bosque

o ¿Cuál es la mejor forma de colocar estos cortafuegos para minimizar el daño?

o Si los incendios son iniciados por chispas que aterrizan uniformemente al azar:

cortar el bosque en trozos de igual tamaño.

o Si hay más chispas en algunas áreas que en otras

Minimizar el daño cortando bosque en trozos cuyos

tamaños varían en proporción inversa a las chispas

o Optimización muestra que la distribución óptima consiste

en una distribución de bloqueos / paredes contrafuegos

según ley de potencia

Crecimiento exponencial y la observación exponencial inversa

Observaciones aleatorias de crecimiento exponencial o El tiempo entre las observaciones de los sujetos en crecimiento exponencial está

inversamente distribuido exponencialmente. Por ejemplo:

o Rendimiento de 10.000 sujetos se duplica cada paso de tiempo.

o Cada ronda que lanzamos una moneda para evaluar el desempeño de una persona aleatoriamente elegido

1st ronda: 5,000 sujetos [10,000*0.5cara] con rendimiento = 1

2nd ronda: 2,500 sujetos [5,000sello*0.5cara] con rendimiento = 2

3rd ronda: 1,250 sujetos [2,500sello,sello*0.5cara] con rendimiento = 4

4th ronda: 625 sujetos [1,250sello,sello,sello*0.5cara] con rendimiento = 8

…

Progreso y Difusión

Source: Hilbert, M (2013/14). Scale-free power-laws as interaction between progress and diffusion. Complexity.

Familia de las leyes de potencia de escalamiento dimensional

Galileo Galilei (1564-1642)

Ley del cuadrado-cubo de Galileo o El aumento de volumen es proporcional al cubo, mientras

que el área es proporcional al cuadrado del multiplicador.

2

2

2

2

Length 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Area 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Volume 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1,000

2

Familia escalamiento dimensional de las leyes de potencia

Galileo Galilei (1564-1642)

Ley del cuadrado-cubo de Galileo o El aumento de volumen es proporcional al cubo, mientras

que el área es proporcional al cuadrado del multiplicador.

Relleno del espacio: ¿Cuántos cubos con el área A se

necesitan para llenar el cubo grande?

Escalamiento alométrico: ¼ leyes de potencia

Source: Kleiber (1947). "Body size and metabolic rate". Physiological Reviews 27 (4): 511–541. West & Brown (2004). Life’s Universal Scaling Laws. Physics Today, 57(9), 36–42. Stumpf & Porter (2012). Critical Truths About Power Laws. Science, 335(6069), 665–666. West & Brown (2005). The origin of allometric scaling laws in biology from genomes to ecosystems: towards a quantitative unifying theory of biological structure and organization. J Exp Biol, 208(9), 1575-92.

Ley de Kleiber (1947)

¿Por qué un ratón vive 1-2 años, nosotros 80 años y una ballena 200 años?

¿Por qué un ratón duerme 18 horas, nosotros 8 horas y un elefante sólo 3 horas?

𝑦 𝑚𝑎𝑠𝑎 ~ 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑘∗14

La mayoría de las leyes de potencia están validos por no más de 3-4 órdenes de magnitud e.g. 1cm => 10 cm => 100cm => 1.000 cm

aquí tenemos más de 27 órdenes de magnitud!

Grande o pequeño, todos tenemos ≈

1.5 billones de latidos del corazón y

300.000 ciclos de respiración!

3 restricciones:

Redes de servicios de energía que llenan el espacio

Tamaño invariante de unidades terminales.

Los organismos evolucionan hacia un estado óptimo de energía reducido al mínimo necesario para la distribución de recursos.

Geoffrey West

La tasa metabólica: k ≈ ¾ Large de vida: k ≈ ¼ Tasa de crecimiento: k ≈ - ¼ Frecuencia cardiaca: k ≈ - ¼ Tasa de sustitución de nucleótidos del ADN: k ≈ - ¼ Longitudes de aortas y árboles: k ≈ ¼ Radios de aortas y árboles: k ≈ 3/8

La materia gris cerebral: k ≈ 5/4

Las densidades de las mitocondrias, cloroplastos y ribosomas: k ≈ - ¼ Las concentraciones de ARN ribosomal y las enzimas metabólicas: k ≈ - ¼

𝑦 𝑚𝑎𝑠𝑎 ~ 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑘∗14

Aumenta la esperanza de vida con masa

La frecuencia cardiaca disminuye con la masa

Source: West, G. B., Brown, J. H., & Enquist, B. J. (1997). A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology. Science, 276(5309), 122–126.

Escalamiento alométrico: ¼ leyes de potencia

Source: Bettencourt, L. M. A. (2013). The Origins of Scaling in Cities. Science, 340(6139), 1438–1441. Isalgue, A., Coch, H., & Serra, R. (2007). Scaling laws and the modern city. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 382(2), 643–649. Shalizi, C. R. (2011). Scaling and Hierarchy in Urban Economies. arXiv:1102.4101.

Organismos alométricas ciudad basada en los capilares de tráfico / información?




Tiene propiedades fascinantes o Es la única distribución libre de escala: se refiere a los fractales (iterativo en el espacio)

y el caos (iterativo en el tiempo)





Sagrada universalidad Batman! …encontré una

ley de po…

Oh no - mentira!

Log-log! ¿Quién es? Una ley de potencia?

No todas las líneas rectas de log-log son una ley de potencia! o distribución de ley de potencia: f(x) = x-α o distribución exponencial: f(x) = e-λx o distribución log-normal: f(x) = 1/x exp[-(lnx-µ)2/2σ2

Podría ser engañoso utilizar: o La inspección visual o Ajuste de mínimos cuadrados R2

Sources: Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. J. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review, 51, 661–703.

Prueba para detectar leyes de potencia auténticas

Estimación xmin de la “cola gorda”

Utilice xmin para calcular el exponente α

Crea conjuntos de datos sintéticos de la ley de potencia derivada (unos 1.000 o mas…)

Comparar con los datos empíricos

Código para la prueba disponible en

MatLab, R, C++, Python (!) http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/powerlaws

Sources: Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. J. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review, 51, 661–703.

http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/powerlaws



Sources: Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. J. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review, 51, 661–703. Hilbert, M (2013). Scale-free power-laws as interaction between progress and diffusion. Complexity

Log-log! ¿Quién es? …algunas veces una ley de potencia?








o Ley de potencia proviene de: o Criticidad auto-organizada o Tolerancia altamente optimizado o Escalamiento alométrico o Vinculación preferencial o ...

“Parece” fácil de detectar visualmente o Línea recta en un gráfico log-log

I. ¿Cuáles son las leyes de potencia (y sus

diferentes caras, como: la ley de Zipf, la distribución libre de escala, la distribución de cola gruesa, la distribución de Pareto)?

II. ¿Cuáles son algunos de los mecanismos generadores de leyes de potencia?

III. ¿Cómo identificar leyes de potencia auténticas?

Las preguntas de hoy

Reconocimiento

En este caso, especialmente (pero no exclusivamente) de:

Adamic, L. (2000). Zipf, Power-law, Pareto - a ranking tutorial. Research at HP Labs: Information Dynamics Lab. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/

Adamic L. (2012), Social Network Analysis, Coursera; http://www.coursera.org/course/sna

Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. J. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review, 51, 661–703.

Hilbert, M. (2013/14). Scale-free power-laws as interaction between progress and diffusion. Complexity.

McKelvey, B. (2010). Complexity Science for Social Systems;

UCLA Hum CS M130/ Mgmt M118A.

Newman, M. (2005). Power laws, Pareto distributions and

Zipf’s law. Contemporary Physics, 46(5), 323. …entre otros…

“...la innovación ... consiste en la realización de nuevas combinaciones" Schumpeter, J. (1939). Business Cycles. New York: McGraw-Hill. p. 84

cepal charlas sobre sistemas complejos sociales...

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