cepre tema 01 segmentos-Ángulos
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Teoría y Practica.TRANSCRIPT
Si en una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D el segmento EF que
une los puntos medios de AB y CD, se
puede expresar de la siguiente manera:
x
A E B C D F
Si en una recta se tienen 4 puntos
consecutivos A, B, C y D; y además "C" es
punto medio del segmento BD, entonces se
cumple la siguiente igualdad:
Por su medida:
1. Ángulo nulo:
º 0º
2. Ángulo llano:
Por comparación de medida:
1. Ángulos complementarios:
Complemento de un ángulo:
MATEMATICA 1 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
Sea:
Del gráfico:
Suma : AB + BC + CD = AD Resta : AB = AD – BD Multiplicación : AC = 4CD
División :
Definición: Dados dos puntos diferentes A y B de una misma recta se denomina segmento AB, denotado como AB, al
conjunto de los puntos: A, B y todos los
puntos que estén comprendidos entre A y
B. En la figura adjunta A y B son los
extremos del segmento AB pertenecientes al segmento.
Notación: AB : Segmento AB
AB :Longitud del segmento AB
Definición: El ángulo es la figura geométrica formada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen.
Elementos:
Vértice : OLados : OA y OB
Notación:
Ángulo AOB: ∢ AOB; AOB
Medida del ∢ AOB : m∢AOB=α °
Segmentos
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOEs el punto de segmento equidista de los extremos. Llamado punto de bisección.
Si “M” es punto medio de AB, entoncesAM = MB = a
Operaciones con Segmentos
Casos Particulares
A B
A B
A B C D
Ángulos
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
OP : es bisectriz del ∢ AOB, si y sólo si:
y
Clasificación
Observaciones:1. Los ángulos formados alrededor de una
recta suman 180º
2. Los ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 360º
Por su medida:
1. Ángulo nulo:
º 0º
2. Ángulo llano:
Por comparación de medida:
1. Ángulos complementarios:
Complemento de un ángulo:
Por su medida:
1. Ángulos adyacentes:
x a b
2. Ángulos consecutivos:
x aº bº cº dº
3. Ángulos opuestos por el vértice:
Observaciones:3. ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ
= ൌࢻ��ι ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ
= ൌ�� ιࢻ
4. ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ
= ൌࢻ��ι ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ
= ൌ�� ιࢻ
5. SCα °=90 °+α °
6. CSα °=α °−90°
7. Sα °−Cα °=90°
Teorema:
El ángulo que forma las bisectrices de un par lineal mide 90º
Si las rectas L1 y L2 son paralelas y están cortadas por una secante se determinan ocho ángulos:
1.
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
Geometría 2 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Si las rectas L1 y L2 son paralelas y están cortadas por una secante se determinan ocho ángulos:
Siendo L1/¿ L2:1.
2.
3.
4.
1.
6.
7.
9.
10.
11.
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
Geometría 3 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
Propiedades
Ángulos de lados perpendicularesÁngulos de lados paralelos
6.
7.
9.
10.
11.
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
1. Dado los puntos A, B y C tal que "M" el punto medio de AB, si: AC+BC=30, determinar “MC”
a) 16 b) 18 c) 10
d) 15 e) 20
2. Dados los puntos A, B y C colineales y consecutivos, tal que AC=21 y 4AB=3BC. Calcular “AB”:
a) 3 b) 4 c) 6
d) 9 e) 12
3. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C tal que AB=x+a ;
BC=2 x−a y AC=12. Hallar "x":
a) 3 b) 4 c) 6
d) 2 e) 8
4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B, C, D y E tal que: CE=8; BD=12 y AC=10. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y DE:
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
5. Se tienen los puntos colineales A, B, C, D y E de manera que AB=BC; CD=2DE y AB+AE=6. Hallar “AD”:
a) 3 b) 2 c) 5
d) 4 e) 6
6. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D tal que AB=3BC y AD+3CD=12. Calcular “BD”.
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que 2AC=AD-AB y CD-AB=6. Hallar “BD”:
a) 8 b) 10 c) 15
d) 12 e) 18
8. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos P, A, B y C de manera que PA+PB=PC+BC y PA=12. Hallar “BC”:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
9. Dados los puntos M, N, P y Q colineales y consecutivos se cumple que MN-MP+2=NQ-PQ. Hallar “NP”.
a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
10.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, E R y U de tal manera que 3PR=5EU y 5RU+2ER=18. Hallar “PE”:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
11.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB = 17; CD = 23 y AD = 6BC. Calcular BC.
a)8 b)7 c)6 d)5
e)9
12.En una línea recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D tal que: .
Calcular :
a) 1,5 b) 2 c) 1
d) 1,3 e) 1,2
Geometría 4 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
13.En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AC = 5; BD = 4 y
, calcular el menor: BC
a) 1,5 b)1 c)2 d)3
e)4
14.En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52. Calcular BD.
a) 36 b)24 c)28
d)42 e)39
15.Del gráfico calcular la medida de segmento que
une los puntos medios de y de .
Geometría 5 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
a) 4 b) 17 c) 26
d) 13 e) 16
16.Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, siendo m∡AOB=2x-20°; m∡BOC=60°, m∡COD=2x+20° y m∡AOD=180°. Calcular "x":
a) 30° b) 40° c) 45°
d) 60° e) 75°
17.Las medidas de dos ángulos complementarios se diferencian en 32°. Hallar la medida del mayor ángulo.
a) 29° b) 32° c) 52°
d) 61° e) 78°
18.Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos adyacentes AOB y BOC, siendo m∡AOC=158°.
a) 78° b) 79° c) 44°
d) 22° e) 68°
19.Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m∡AOD=120° y m∡BOC=30°. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
a) 60° b) 65° c) 70°
d) 75° e) 80°
20.Del gráfico OC es bisectriz ∡AOD y OE es
bisectriz ∡DOF. Hallar "x":
a) /2
b)
c) 3/2
d) 2
e) 3
21.Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que m∡BOC - m∡AOB=82°. Calcular la medida del ángulo cuyos lados son OB y la bisectriz del ∡AOC.
a) 36° b) 20° c) 41°
d) 16° e) 38°
22.Se tienen cinco ángulos consecutivos coplanares cuyas medidas se encuentran en
progresión aritmética; calcular el valor de uno de ellos:
a) 18° b) 36° c) 54°
d) 72° e) 90°
23.La relación de dos ángulos suplementarios es como 5 es a 13. ¿Cuál es la diferencia de dichos ángulos?
a) 40° b) 50° c) 80°
d) 100° e) 140°
24.Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento resulta 20°. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
a) 100° b) 80° c) 20°
d) 130° e) 160°
25.La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo "x" es igual a "5x". Hallar "x":
a) 10° b) 15° c) 18°
d) 20° e) 22°30'
26.Si al suplemento del complemento de la medida de un ángulo se le aumenta el complemento del suplemento de la medida de dicho ángulo, resulta 90º más el suplemento de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo.
a) 60º b) 80º c)75º
d)90º e)45º
27.La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 60°, el complemento del primer ángulo es el doble del complemento del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
a) 70º b) 60º c) 40º
d) 50º e) 35º
28.Calcular “x” en la expresión: Siendo: C = Complemento S = Suplemento
a) 2x b)1 c)2 d)0
e)180º - x
29.En la figura: Calcular:
a) 72º b) 54º c) 48º
d) 64º e) 36º
Geometría 6 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
3x + 30º
2x + 20º
xFA
B
C D
E
1L
2L
3K + 65º
K + 30º
50º
2L
1L
2
4
3
60º
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
30. Los ángulos consecutivos
, y forman un ángulo que mide 120º, si
, el lado es
bisectriz del . Hallar
a) 36º b) 42º c) 54º
d) 48º e) 6º
31.Un ángulo mide , Si:
. Calcular , Siendo: S = Suplemento, C = Complemento
a) 20º b) 40º c) 35º
d) 25º e) 90º
32.Se tienen los ángulos consecutivos ,
y , siendo: , y
. Hallar:
a) 24º b) 16º c) 54º
d) 44º e) 64º
33.Los ángulos consecutivos , y , forman un ángulo recto. Hallar la medida del
ángulo . Si
a)20º b)30º c)35º d)40º e)50º
34.En la figura adjunta: x – y = 12º. Hallar “a”
a)6º b)24º c)18º
d)12º e)9º
35.En la figura: Calcular
a) 160º b) 170º c) 120º
d) 150º e) 140º
36.Si:
L1/¿ L2 . Calcular .
a) 65º b) 75º c) 60º
d) 50º e) 80º
37.Calcular , Si: L1/¿ L2 ,
a) 12º
b) 11º
c) 10º
d) 14º
e) N.A
1) Los puntos A, B, C y D se encuentran sobre una
línea recta, tal que: “C” es punto medio de AD,
además: BD – AB = 18. Calcular BC.
a)9 b)7 c)8 d)6 e)3
2) En una recta, se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, de modo que:
y AB.BC = 96. Calcular: CD
a) 16 b) 20 c) 4 d) 12 e) 24
3) En los puntos colineales A, B, C y D se cumple
que AD=22, AC+BD = 30
Encontrar BC.
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 15
4) En una recta se marcan los puntos
consecutivos A, B, C, D y E, de manera que:
AB = BC, CD = 2DE, AB + AE = 15. Hallar AD
a) 6 b) 7,5 c) 15 d) 8 e) 10
5) Del gráfico, calcular “x”, Si: CD – AB = 15
Geometría 7 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
200º
y
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
a)6 b)5 c)4 d)2 e)3
6) En una recta, se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, de modo que: BC =
6; BD = 2AB y AC = 5CD. Calcular AB.
a)3 b)4 c)2 d)6 e)5
7) Los puntos A, B, C, D se encuentran en una
línea recta de modo que AC + BD + AD = 36,
BC = 4. Hallar: AD.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
8) Sobre una recta, se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D y E, tal que: CD = 2 y
Además B y C son puntos medios de AD y BE.
Calcular AD.
a) 16 b) 20 c) 30 d) 40 e) 25
9) En una recta, se toman los puntos consecutivos
A, M, B, C de modo que AM = MC, AB – BC =
18. Calcular MB
a) 9 b) 8 c) 12 d) 16 e) 14
10)Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, M, N, B de modo que:
BN – AM = 1, 2AM + 3AN = 5NB. Hallar MN.
a) 3/5 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 e) 1
11)Del gráfico: Calcular BD
a) 14 b) 18 c) 16 d) 42 e) 28
12)Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, siendo AB = 4 y CD
= 10. Hallar MN, si “M” biseca a AC y “N”
biseca a BD.
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
13)Dados los puntos colineales y consecutivos A,
B y C donde AB−BC=56; se toman M, N y
R, puntos medios de AB, BC y MN
respectivamente. Hallar: RB
a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 13
14)Los puntos A, B, C y D son colineales y
consecutivos, de manera tal que:
BD8
=CD5; además AC = 6 y AB = 4.
Calcular AD
a) 28 b) 3 c) 28/3 d) 2 e) NA
15)Sean los puntos colineales y consecutivos: A,
B, C, D y E; “M” biseca a DE;
AB=DM=3BCHallar CD sabiendo que AD=18 y BE=27
a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 4,5
16)El complemento de la diferencia que existe
entre el suplemento y el complemento de
la medida de un ángulo es igual al duplo del
complemento de dicho ángulo. Cuál es la
medida de dicho ángulo.
a)80º b)60º c)120º d)90º e)135º
17)Se tienen los ángulos consecutivos ,
y ; siendo ; y
. Hallar
a) 18º b) 28º c) 35º d) 16º e) 12º
18)En los ángulos consecutivos , y
, se cumple que: ,
. Calcular el ángulo formado por
las bisectrices de los ángulos y
a) 26º b)35º c)48º d)79º e)84º
Geometría 8 Lic. Javier Saldarriaga Herrera
x
30º
2L
1L
m
n
1L
2L
30º
30º
x
2x + 10º5x - 10º
x + 40º
2x + 60º
3x + 20º
1L
2L
CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II
19)Si: , es la bisectriz del ángulo
; es la bisectriz de . Hallar la
a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
20)En los ángulos consecutivos , , y
, se cumple que ,
, . Calcular
la medida del ángulo
a) 20º b) 40º c) 30º d) 15º e) 18º
21)Si:L1/¿ L2 ,, Calcular “x”
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 30º
22)En la figura: L1/¿ L2 , y , hallar “x”
a) 120º b) 60º c) 90º d) 30º e) 75º
23)Si al suplemento del complemento de la
medida de un ángulo se le aumenta el
complemento del suplemento de la medida de
dicho ángulo, resulta 90º más el suplemento
de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo.
a) 60º b) 80º c) 75º d) 90º e) 45º
24)La suma de las medidas de dos ángulos es
igual a 60°, el complemento del primer ángulo
es el doble del complemento del segundo.
Hallar la diferencia de las medidas de dichos
ángulos.
a)70º b)60º c)40º d)50º e)35º
38. Si:L1/¿ L2 ,, Calcular “x”
a) 8º b) 10º c) 12º d) 15º e) 20º
Geometría 9 Lic. Javier Saldarriaga Herrera