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CF1812 - Estrutura da Matéria A
2º Semestre de 2019
Prof. Ismael André Heisler
1
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2
Na física quântica, o princípio da incerteza impede a
observação sem que o comportamento das partículas seja
alterado.
Um filme implica ⇒ fótons ⇒ interação.
Portanto, qualquer tentativa de as distinguir ⇒ alteração do
comportamento.
Werner Heisenberg
Funções de onda (associadas ao elétron) têm extensão finita
⇒ superposição
⇒ indistinguibilidade.
No átomo de He, por exemplo: os elétrons apresentam funções
de onda muito superpostas. Não se pode saber qual é qual.
indistinguibilidade
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3
Para isso, é necessário trabalhar com combinações lineares das
autofunções:
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Principio de Exclusão de Pauli
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5
Átomos Multieletrônicos
• A solução da equação de Schrödinger para
um átomo com muitos elétrons é bastante complexa
• Além da interação dos elétrons com o núcleo,
interação dos elétrons entre si introduz grandes
dificuldades
não é possível obter solução analítica
tratamento: aproximações sucessivas,
começando com os efeitos mais intensos e indo
para os mais fracos.
=> problema de muitos corpos
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Átomos Multieletrônicos
• Para tentar achar uma solução aproximada,
desconsidera-se a interação Coulombiana dos
elétrons
• Permite aplicar o método de separação de
variáveis
Soluções em termos das autofunções dos átomos
monoeletrônicos (soluções do átomo de
hidrogênio)
• Para facilitar os cálculos, esse potencial é
suposto ser esfericamente simétrico
Elétrons interagem somente com o núcleo + um
potencial médio resultante de outras várias
interações
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7
Átomos Multieletrônicos
A hipótese de um potencial esférico
é bastante razoável se todos os
estados de uma “camada” n
estiverem semipreenchidos ou
completemante preenchidos
Apesar da repulsão intereletrônica
instantânea que um dado elétron sente
(devido à presença dos outros) não ser
esfericamente simétrica, caso os outros
elétrons formem uma subcamada
semipreenchida ou completamente
preenchida, a densidade eletrônica devida
aos mesmos é esfericamente simétrica, um
resultado conhecido como
teorema de Ünsold
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Orbital d, com l = 2 e ml= -2, -1, 0, 1, 2
ml= -2ml= -1
ml= 0
ml= 1 ml= 2
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Átomos Multieletrônicos
Interação mais importante: coulombiana e- com núcleo (Ze) e com os outros (Z-1)e-
São muitas e dependem das posições relativas. Não dá para resolver a eq. de Schrödinger direto. 1a aprox.: tratar os e- como se seus movimentos fossem independentes.
Com isso, a eq. de Schrödinger pode ser separada em conjunto de equações, uma para cada e-.
Exigências conflitantes: movimentos independentes e interação entre eles.
Compromisso: cada e- move-se independentemente em um potencial resultante V(r), que é esfericamente simétrico, e é a soma do potencial coulombiano do núcleo (atrativo) e do repulsivo dos (Z-1) outros e-.
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O método Hartree
O método de Hartree (1927) constitui o primeirométodo a utilizar um procedimento numérico iterativo para cálculos de estrutura eletrônica.
É um método aproximativo para determinar a função de onda e a energia de um problema de muitos-corpos de um estado estacionário.
Hartree propôs utilizar o método variacional para o Hamiltoniano de muitos elétrons usando como função “teste” o produto das funções de onda de cada elétron individualmente (orbitais), o que ficou conhecido como aproximação de Hartree (ou produto de Hartree):
Douglas Hartree
Ψ𝐻( 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑍)= 𝜓1 𝑟1 𝜓2 𝑟2 𝜓3 𝑟3 …𝜓𝑍( 𝑟𝑍)
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• Sua proposta é iniciar a resolução da equação de Schrödinger com um
potencial simples (“ansatz”) e, a partir do primeiro resultado para a função de
onda, calcular a distribuição de cargas (elétrons) resultante desse potencial
O método Hartree
• Em seguida, calcula-se o potencial novamente, mas a partir dessa nova
distribuição de cargas, que pode ser usado para resolver novamente a
equação de Schrödinger
• Esses passos são repetidos até o potencial usado na equação de
Schrödinger (e que dará a distribuição de cargas) e o potencial “ansatz”
obtido dessa distribuição de cargas sejam iguais
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12
O método Hartree
Isto é
perto do núcleo 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑍𝑒
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑍𝑒 − 𝑍 − 1 𝑒 = 𝑒longe do núcleo
𝑉𝑒 𝑟 = −𝑍𝑒2
4𝜋𝜀0
1
𝑟𝑟 → 0
𝑟 → ∞𝑉𝑒 𝑟 = −𝑒2
4𝜋𝜀0
1
𝑟
Uma boa sugestão de potencial deve satisfazer:
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Blindagem
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De modo geral
𝑉𝑒 𝑟 = −𝑒2
4𝜋𝜀0
1
𝑟𝑍𝑒𝑓(𝑟)
𝑍𝑒𝑓(𝑟) → 𝑍 𝑟 → 0
𝑍𝑒𝑓(𝑟) → 1 𝑟 → ∞
𝑉𝑒 𝑟 =𝑓(𝑟)
𝑟≠𝑐𝑡𝑒
𝑟
Como
é um potencial central
mas não é
Coulombiano
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É vantajoso representar o vetor posição, 𝑟𝑖, em coordenadas
esféricas, (𝑟𝑖 , 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖) para o i-ésimo elétron (independente
dos outros)
A dinâmica de cada elétron é determinada pela energia
potencial central 𝑉𝑒(𝑟𝑖)
−ℏ2
2𝑚𝛻𝑖2𝜓𝑖 + 𝑉𝑒(𝑟𝑖)𝜓𝑖=𝐸𝑖𝜓𝑖
Essa equação de Schrödinger deve ser resolvida para
obter autofunções
𝜓𝑖(𝑟𝑖) com autovalores de energia 𝐸𝑖
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A energia potencial total é a soma simples da contribuição
de cada elétron
𝑉 =
𝑖=1
𝑍
𝑉𝑒(𝑟𝑖)
Sendo assim, a autofunção total do sistema atômico é
dada por
Ψ𝐻( 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑍)= 𝜓1 𝑟1 𝜓2 𝑟2 𝜓3 𝑟3 …𝜓𝑍( 𝑟𝑍)
= 𝑢𝑛1𝑙1𝑚𝑙1 𝑟1, 𝜃1, 𝜑1 𝑢𝑛2𝑙2𝑚𝑙2 𝑟2, 𝜃2, 𝜑2 …𝑢𝑛𝑍𝑙𝑍𝑚𝑙𝑍 𝑟𝑍, 𝜃𝑍, 𝜑𝑍
𝐸 =
𝑖=1
𝑍
𝐸𝑖
Autofunções não muito diferentes das do
átomo de hidrogênio
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Por exemplo
Ψ𝐻( 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑍)= 𝑢100 𝑟1, 𝜃1, 𝜑1 𝑢100 𝑟2, 𝜃2, 𝜑2 𝑢200 𝑟3, 𝜃3, 𝜑3
Para a configuração 1s2 2s1 do átomo de Lítio teríamos o seguinte produto de Hartree
Para acharmos a solução do problema temos que resolver a equação de Schrödinger
Por serem soluções de um problema de campo central, cada uma das funções u pode ser expressa como
um produto entre uma função radial e um harmônico esférico
𝑢𝑛𝑖𝑙𝑖𝑚𝑙𝑖 𝑟𝑖 , 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖 = 𝑅𝑛𝑖𝑙𝑖 𝑟𝑖 𝑌𝑙𝑖𝑚𝑙𝑖 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖 =𝑃𝑛𝑖𝑙𝑖 𝑟𝑖
𝑟𝑖𝑌𝑙𝑖𝑚𝑙𝑖 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖
−ℏ2
2𝑚𝛻𝑖2 + 𝑉𝑒(𝑟𝑖) 𝑢𝑛𝑖𝑙𝑖𝑚𝑙𝑖 𝑟𝑖 , 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖 =𝐸𝑖𝑢𝑛𝑖𝑙𝑖𝑚𝑙𝑖 𝑟𝑖 , 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖
Assim, a equação que resta ser resolvida é
−ℏ2
2𝑚𝑃𝑛𝑖𝑙𝑖′′ +
𝑙(𝑙+1)ℏ2
2𝑚𝑟𝑖2 + 𝑉𝑒(𝑟𝑖) 𝑃𝑛𝑖𝑙𝑖 𝑟𝑖 =𝐸𝑖𝑃𝑛𝑖𝑙𝑖 𝑟𝑖 𝑖 = 1,… , 𝑍
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O grande detalhe do método de Hartree consiste na escolha do
potencial V(ri) a que cada um dos elétrons está submetido.
Hartree assumiu que cada elétron se move em um potencial
esfericamente simétrico (pois V depende apenas da distância elétron-
núcleo) devido não apenas ao núcleo, mas também aos outros N – 1
elétrons.
Este potencial geralmente é chamado de campo médio, por levar em
conta o efeito de outros elétrons de forma média ou efetiva.
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Os elétrons são então “distribuídos” nos vários estados
quânticos, respeitando-se o princípio de exclusão de
Pauli e preenchendo-se os mesmos em ordem
crescente de energia
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20
O algoritmo de Hartree
Adota-se um potencial
𝑉𝑒 𝑟 = −𝑒2
4𝜋𝜀0
1
𝑟𝑍𝑒𝑓(𝑟)
Calculam-se as
autofunções Rnl(r) (a
parte angular é a
mesma do at. H) e Enl
para cada elétron.
Os elétrons são distribuídos nos
vários estados quânticos,
respeitando-se o princípio de
exclusão de Pauli e preenchendo-
se os mesmos em ordem
crescente de energia.
Constrói-se o estado completo do
átomo
A distribuição de
probabilidade, 𝑅𝑛𝑙2
resultante para o
sistema de elétrons +
núcleo determina
distribuição de cargas
A média desses potenciais
sobre os estado do átomo
gera a energia potencial
𝑉𝑒 𝑟
Em seguida, calcula-se a
distribuição de
cargas a partir da densidade de
probabilidade dos elétrons dada
pelas funções de onda obtidas
anteriormente
Obtém-se potenciais eletrostáticos
clássicos pela lei de Gauss
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As autofunções obtidas pela teoria de Hartree são muito próximas àquelas
obtidas para um átomo monoeletrônico, pois ambas se baseiam em
potenciais com simetria esférica:
Hartree: Resultados
As autofunções de spin e angulares são exatamente as mesmas que no caso monoe-,
pois a simetria esférica foi mantida.
Portanto toda a discussão sobre as propriedades angulares e dependências em θ e
continuam válidas.
Átomos multieletrônicos no seu estado fundamental possuem os estados eletrônicos de
energia mais baixa estão completamente ocupados
⇒ densidade de carga com simetria esférica
⇒ só os e mais externos é que produzirão carga assimétrica.
A dependência em r das auto-funções é diferente daquela do átomo mono e-, por causa
do V(r) diferente.
Assim, Rnℓ(r) não tem a mesma dependência com r.
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Densidade de probabilidade radial
probabilidade de encontrar um e- com os
números quânticos n e ℓ em r.
Como existem (2ℓ+1) possíveis mℓ e 2 ms
para cada mℓ, podemos ter 2(2ℓ+1) e- em cada
camada descrita por ℓ.
Hartree: Resultado para o Argônio
Raio característico para n = 3 ⇒ ⟨r⟩ ≈ 1,5a0
um pouco maior que 1,0 enquanto o raio
característico da camada mais interna tem valor
muito menor que 1.
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12
3
Hartree: Resultado para o Argônio (Z=18)
P(r) = densidade de probabilidade radial total
Soma sobre os valores de n e l ocupados no átomo.
Fornece a probabilidade de encontrar algum elétron com coordenada
Radial na região em torno de r.
Argônio
𝑍𝑒𝑓(𝑟) → 𝑍 𝑟 → 0
𝑍𝑒𝑓(𝑟) → 1 𝑟 → ∞
Note que
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Hartree: Resultado para o Argônio
1s2s, 2p
3s, 3p
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Hartree: Resultado para o Argônio
O acordo está dentro 20% com relação ao
que se mede experimentalmente
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Hartree: Resultados
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1
O e- externo está quase que
completamente blindado da
carga nuclear devido a
distribuição de carga de
todos os outros e-.
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28
2
Os e- internos sentem completamente a atração coulombiana exercida pelo núcleo (há
pouca blindagem). A teoria de Hartree prevê que o raio da camada n=1 é menor (por um
fator 1/(Z-2)) do que a camada n=1 do hidrogênio
Para os e- externos, ou altos valores de n, são bem blindados do núcleo: eles
sentem como uma atração por um e- na presença de um núcleo de carga unitária
Mesmo argumento anterior, trocando Z1 por Zn ~n:
Para o caso do argônio notamos que superestima por um fator 2
𝑟 = 3𝑎0 𝑟 = 1.5𝑎0pelo gráfico vemos que
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30
3
Os elétrons das camadas internas estão numa região de
energia potencial negativa alta. Assim, suas energias totais
são altas e negativas
𝐸 = −𝜇𝑍2𝑒4
(4𝜋𝜀0)22ℏ2𝑛2
Para H, Z=1
𝐸𝐻 = −13.6 eV
𝑛2
𝐸 = −13.6 eV𝑍𝑒𝑓2
𝑛2
assim
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31
Para n=1
𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = −13.6 eV𝑍12
12= −13.6 eV 𝑍 − 2 2
Para o argônio
𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = −13.6 eV 18 − 22= −13.6 eV x 256 = 3482 eV
Já para a camada mais externa
𝐸𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 ≅−−13.6 eV𝑛2
𝑛2= 𝐸𝐻
𝑍𝑒𝑓 ≅ 𝑛
𝑍𝑒𝑓 = 𝑍1 = (𝑍 − 2)
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Hartree
Hartree-Fock
Hartree-Fock
DFT
LAMMPS